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Unternehmensintegrierter MasterstudiengangInformations- und Kommunikationstechnik

ModulSysteme der Funktechnik

Thomas Schneider

21.12.2006

ii

Inhaltsverzeichnis

Vorwort xi

Zusammenfassende Wiederholung xv0.1 Wellen und deren Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv0.2 Der Funkkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii0.3 Antennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx0.4 Grundlagen zellulärer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiv0.5 Sprachkompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi0.6 Mobilfunksysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi

I Large - Scale Fading 1

1 Wechselwirkung einer Welle mit ihrer Umgebung 51.1 Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Die Dämpfungskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Dämpfung der Atmosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3 Regendämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.4 Kabel- und Wanddämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 Das Snelliusche Brechungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2 Skintiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3 Brechung in der Erdatmosphäre . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Re�exion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.1 Die Fresnel-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2 Re�exionsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.3 Brewster-Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.1 Kohärente Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.2 Inkohärente Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.3 Rayleigh- und Mie - Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5 Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.1 Das Huygenssche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.2 Fresnel-Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.3 Fresnel - Zonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.6.1 Interferenzgleichung bei gleicher Richtung . . . . . . . . . 341.6.2 Interferenzgleichung bei verschiedenen Richtungen . . . . 36

iii

iv INHALTSVERZEICHNIS

1.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Ausbreitungsmodelle 432.1 Drahtlose Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.1 Broadcast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.2 Basisstation, Access Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1.3 Richtfunk, Punkt-zu-Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1.4 Punkt-zu-Multipunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1.5 Ad-hoc, Peer-to-Peer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2 Das Freiraummodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.1 Freiraum-Pfadverlust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Das Zweistrahlmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3.1 Breakpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.2 Two-Ray Pathloss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4 Knife - Edge - Di¤raction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4.1 Fresnel - Ellipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4.2 Beugungsverlust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4.3 Multiple Knife - Edge Di¤raction . . . . . . . . . . . . . . 65

2.5 Ray - Tracing/ - Launching Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . 672.5.1 Ray-Launching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.5.2 Ray-Tracing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


3 Empirische und physikalische Ausbreitungsmodelle 733.1 Ein einfaches empirisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2 Okumura - Hata und COST 231 Modell . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2.1 Okumura - Hata Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.2 COST - 231-Hata Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3 Physikalische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3.1 Allsebrook und Parsons Modell . . . . . . . . . . . . . . . 803.3.2 Das Ikegami Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.3 Das COST - 231 Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82


II Small - Scale Fading 87

4 Abschattung 934.1 Slow - Fading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2 Q - Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3 Ausfall- und Abdeckungswahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . 100

INHALTSVERZEICHNIS v

5 Der mobile Mehrwegekanal 1055.1 Der Gaußkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.2 Der Rayleigh-Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.3 Bitfehlerrate im Rayleigh-Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.4 Der Rice - Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6 Doppler Verschiebung 1176.1 Das klassische Doppler-Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.2 level crossing rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.3 average fade duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.4 Kohärenzzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7 Flat - und Frequency - Selective Fading 1297.1 Narrowband - und Wideband - Fading . . . . . . . . . . . . . . . 1297.2 Intersymbolinterferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.3 Kanal-Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.4 Kohärenzbandbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8 Möglichkeiten zur Verbesserung der Signalqualität bei Small -Scale Fading 1518.1 Equalizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.2 Rake Receiver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.3 Multiple Input Multiple Output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.4 Diversity und Kanalkodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

9 Gesamtzusammenfassung 159

III Anhang 165

A Kugelkoordinaten 167

B div, grad, curl, rot 169

C Logarithmische Einheiten 173

D erf, erfc und Q-Funktion 175

Literaturverzeichnis 181

Index 184

vi INHALTSVERZEICHNIS

Tabellenverzeichnis

1.1 Resonanzfrequenzen und mittlere Dämpfungskoe¢ zienten auf Nor-mal Null der Moleküle der Erdatmosphäre im Frequenzbereichzwischen 1 und 100 GHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Dämpfung typischer Antennenkabel in denWLAN-Frequenzbereichenin dB/m nach [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Typische Dämpfungen für Hindernisse in dB bei einer Frequenzvon 2.4 GHz nach [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Brechungsindizes unterschiedlicher dielektrischer Materialien fürverschiedene Frequencen [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1 Geländeerhebungen zwischen Leipzig-Connewitz und Berlin-Alexanderplatz. 61

3.1 Exponent des Pfadverlusts für unterschiedliche Umgebungen . . . 753.2 Gemessene Empfangsleistung in bestimmten Entfernungen von

der Basistation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1 Anforderungen an drahtlose Multimedia-Kanäle. . . . . . . . . . 112

6.1 Evaluation Channel B for UMTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.1 Vergleichskanal für UMTS Typ A. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.2 Typische RMS Delay Spreads für unterschiedliche Umgebungen. 1407.3 Leistungs-Verzögerungspro�l für UMTS-Systeme. . . . . . . . . . 1427.4 Bürotestumgebung (Indoor) bei 2GHz. . . . . . . . . . . . . . . . 1427.5 RMS dealy spraeds in Nanosekunden für indoor-zu-indoor Um-

gebungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.6 Leistungs-Verzögerungspro�l für UMTS-Systeme outdoor-to-indoor.1437.7 Leistungs-Verzögerungspro�l für Satellitenmobilfunksysteme. . . 1437.8 Gemessene Impulsantwort eines mobilen Mehrwegekanals. . . . . 1447.9 Relative Impulsantwort eines mobilen Mehrwegekanals. . . . . . 144

D.1 Tabelle der Q-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Abstract

vii

viii TABELLENVERZEICHNIS

Erklärung des Autors

Dieser Studientext richtet sich an Studierende des Masterstudiengangs Informations-und Kommunikationstechnik (IKT)Der Inhalt folgt dem Curriculum der Hoch-schule für Telekommunikation Leipzig (FH) in der Fassung vom Januar 2007.Das Eigenstudium wird von Hochschullehrern und autorisierten Tutoren unterEinsatz dieses Studientextes und in Verbindung mit Komponenten des BlendedLearning (Lernplattform, Präsenzlehrveranstaltungen, Videokonferenz, Tutori-en, E-Mail, usw.) betreut. Der vorliegende Studientext ist ausschließlich zurNutzung in dieser Studienform entwickelt. Eine Verwendung anderer Art istnicht beabsichtigt.Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenzeichen usw.

in diesem Studientext berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zuder Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Marken-schutzgesetze als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutztwerden dürften.Der Inhalt des Studientextes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch überneh-

men Autor und technische Redaktion für die Korrektheit keine Haftung.

ix

x TABELLENVERZEICHNIS

Vorwort

Mobile Kommunikationssysteme wie der Mobilfunk und drahtlose lokale Com-puternetzwerke (wireless local area networks WLAN) sind seit einigen Jahrenfester Bestandteil des täglichen Lebens. Auf annähernd der gesamten Welt be-steht heute die Möglichkeit, Zugang zu einem drahtlosen Kommunikationssys-tem zu erhalten. Die Industrienationen und viele Entwicklungsländer sind miteinem dichten Netz drahtloser, zellularer Mobilfunknetze überzogen und in we-niger dicht besiedelten Gebieten ermöglichen Satellitensysteme - zumindest fürdiejenigen, die es sich leisten können - eine Versorgung. Gleichzeitig gibt esin größeren Städten preiswerte bis hin zu kostenlosen Zugängen zu WLAN-Systemen.Die größten Zuwachsraten in der mobilen Telefonie verzeichnen die Länder

Afrikas südlich der Sahara, ausgenommen Südafrika [1]. Gleichzeitig be�ndensich dort auch 34 der 50 ärmsten Länder der Erde. Die Anzahl der mobilenTeilnehmer in 30 der Länder des südlichen Afrika stieg von Null im Jahre 1994auf mehr als 82 Millionen Ende 2004. Die Wachstumsrate für den gesamtenKontinent beträgt mehr als 58% pro Jahr. Allein Kamerun, Kenia, Senegal undTansania haben eine Steigerung von mehr als 300% aufzuweisen. Im Vergleichdazu liegt die Wachstumsrate in den amerikanischen Staaten bei lediglich 22%.Der Boom in Afrika ist im Wesentlichen auf 2 Gründe zurückzuführen. Ers-

tens gibt es in dieser Region kaum Festnetzanschlüsse. Beispielsweise verfügtNigeria, das größte Land Afrikas mit 140 Millionen Einwohnern, nur über 500000 Festnetzanschlüsse (1 für 280 Menschen). In den meisten Ländern des südli-chen Afrika haben nicht einmal 1% der Bevölkerung Zugang zu einem Festnetz-anschluss, in Lateinamerika liegt diese Zahl bei 10% und in den USA bei 64%.Tokio und New York City haben jeweils mehr Festnetzanschlüsse als das gesam-te südliche Afrika. Zweitens ist die mobile Telefonie in diesen Staaten billiger alsGespräche über das Festnetz. Zum Beispiel liegt der durchschnittliche Minuten-preis für ein Gespräch zwischen Kamerun und den USA bei 50 Cent wenn manein Mobiltelefon benutzt, während dasselbe Gespräch über einen Festnetzan-schluss mit 6$ zu Buche schlagen würde. Der Grund dafür ist, dass die meisteninternationalen Gespräche aus Kamerun über Frankreich geroutet werden, wasteuer bezahlt werden muss. Mobile Gespräche laufen hingegen über Satellit undumgehen somit die teuren Gebühren.Auch in Europa erfreut sich die mobile Telefonie einer immer noch wach-

senden Beliebtheit. Am 1. August 2006 stieg z. B. in Deutschland die Zahlder Mobiltelefonnutzer auf 82.8 Millionen, damit gibt es hierzulande inzwischenmehr Mobiltelefonanschlüsse als Einwohner [2]. Deutschland war in Europa al-lerdings eines der letzten Länder wo dies bislang noch nicht der Fall war, nurFrankreich, Belgien und Dänemark hinken noch weiter hinterher. In Italien liegt

xi

xii VORWORT

die Auslastungsrate hingegen bereits bei 120%.Auch WLAN-Systeme unterliegen einem starken Wachstum. Ballungsräume

wie z.B. San Francisco und Paris wollen diese Zugänge z. B. im gesamten Stadt-gebiet kostenlos anbieten. Die Unterscheidung zwischen WLAN und mobilenSystemen wird in Zukunft wahrscheinlich nur noch bei der Abrechnung, nichtaber bei der Nutzung von Interesse sein. Moderne Endgeräte sind zunehmend inder Lage, mehrere mobile Standards in einem einzigen Gerät zu integrieren. Sokann man mit einem Mobiltelefon über ein klassisches zellulares Mobilfunknetzwie beispielsweise UMTS und über ein WLAN-System kommunizieren. Gleich-zeitig können aber auch Broadcast-Systeme wie das digitale Fernsehen integriertwerden.Alle mobilen Systeme, wie die gesamte Nachrichtentechnik, beruhen auf elek-

tromagnetischen Wellen. Diese Wellen dienen der Informationsübertragung überTausende von Kilometern - wie bei den optischen Fasern, die um den Globusherum verlegt sind - oder sie übertragen ihre Information nur über wenige Me-ter - wie bei den so genannten �Hotspots� der WLAN-Systeme an Flughäfenund Bahnhöfen. Unabhängig von den jeweiligen Übertragungsstandards und deneingesetzten Geräten werden die wichtigsten Eigenschaften der Kommunikationwie die Reichweite der Übertragung, die Menge an Information die übertragenwerden kann sowie weitere wichtige Faktoren von den Eigenschaften und demphysikalischen Verhalten der Wellen bestimmt. Der Entwurf nachrichtentechni-scher Standards und das Design jedes einzelnen Kommunikationssystems sinddemnach durch das physikalische Verhalten der Wellen vorgegeben. Auch wennman z. B. nicht die Details jedes einzelnen der IEEE-WLAN Standards kennt,lassen sich wichtige Aussagen und Einschätzungen zur Kommunikation über einsolches System aus der Kenntnis des physikalischen Verhaltens der Trägerwellenund der Signale ableiten.Der Mobilfunk hat, wie der Name schon sagt, zwei wesentliche Aspekte. Zum

einen werden die Informationen über die so genannte Luftschnittstelle zum Teil-nehmer übertragen und zum anderen sind die Endgeräte mobil. Die Luftschnitt-stelle bezeichnet die letzten Meter oder Kilometer zwischen der Basisstationund dem Mobiltelefon in einer so genannten Mobilfunkzelle. Einerseits muss dieLeistung der gesendeten Signale so großsein, dass der Signal zu Rauschabstand(Signal - to - Noise Ratio SNR) ausreicht die übertragene Information im Emp-fänger zu dekodieren. Andererseits darf die Signalleistung nicht so hoch sein,dass die Signale aus einer Zelle zu einer Verringerung des SNR in einer anderenZelle führen. Die Signalleistung diesen Vorgaben entsprechend anzupassen istdie Aufgabe der Funknetzplanung. Sie bedient sich dazu bei Modellen die ausden Grundlagen der Physik elektromagnetischer Wellen abgeleitet wurden. Diewesentlichen technischen Voraussetzungen für mobile Funksysteme, ihr Aufbau,Funktionsweise und ihre Berechnung waren Bestandteil des Scripts "Funktech-nik I/IIïn der Bachelorausbildung.Der zweite wichtige Aspekt der mobilen Kommunikation ergibt sich aus der

Mobilität der Endgeräte. Diese führt zu einem völlig anderen Verhalten desÜbertragungskanals als bei der sonst in der Telekommunikation üblichen Ver-bindung zu festen Endgeräten. Hinzu kommt noch das in den allermeisten Fällenzwischen dem Mobiltelefon und der Basisstation keine Sichtverbindung besteht,das bedeutet die Verbindung läuft indirekt und über mehrere Wege gleichzeitig.Dies führt dazu, dass der Signalpegel innerhalb einer Mobilfunkzelle drastischenSchwankungen unterworfen ist auch wenn der Teilnehmer seine Position nur ge-

VORWORT xiii

ringfügig verändert. Aus diesen Bedingungen ergeben sich bestimmte Parameterzur Berechnung mobiler Kommunikationssysteme, die zum Teil nur noch sta-tistisch erfasst werden können (für 98% der Teilnehmer in der Funkzelle kannin 95% der Zeit eine Bitfehlerrate von kleiner als 10�3 garantiert werden). Inder Technik der mobilen Systeme spricht man vom so genannten "Large -ündSSmall - Scale Fading". Der Ursprung und die Berechnung dieses Verhaltensstehen im Mittelpunkt des hier vorliegenden Manuskripts. Dieses baut auf denKenntnissen auf die in der Bachelorausbildung erworben wurden, daher emp-�ehlt sich vor dem Beginn eine nochmalige Wiederholung der im Manuskript"Funktechnik I/IIënthaltenen Kapitel.

Leipzig, Thomas SchneiderDezember, 2006

xiv VORWORT

ZusammenfassendeWiederholung

Das hier vorliegende Manuskript setzt das im Bachelorstudiengang verwendeteManuskript "Funktechnik I/II"bzw. "Mobilfunk"voraus. Hier sollen noch einmaldie wesentlichsten Aspekte der bislang behandelten Funktechnik kurz zusam-mengefasst werden. Die hier aufgeführten Punkte stellen sozusagen das Grund-wissen dar das man für das Verständnis des Textes benötigt.

0.1 Wellen und deren Eigenschaften

� Die Grundlage der gesamten Nachrichtentechnik und damit auch der Funk-technik sind die Maxwellgleichungen. Diese stellen Di¤erentialgleichungendar die man unter bestimmten Bedingungen zu der so genannten Wellen-gleichung zusammenfassen kann. Die Gleichungen die Maxwell in seinemBuch �A Treatise on Electricity and Magnetism�im Jahre 1865 verö¤ent-lichte haben die folgende Form:

r� ~E= �@~B

@t, (1)

r� ~H=~j+@ ~D

@t, (2)

r � ~D= �, (3)

undr � ~B= 0 , (4)

wobei ~E und ~H für die elektrischen und magnetischen Feldvektoren stehenund ~D sowie ~B sind die zugehörigen Flussdichten; ~j beschreibt die Stromdichteals ein Ergebnis der Bewegung von Ladungsträgern, � ist die Ladungsträger-dichte und r stellt den Nabla Operator dar (siehe Anhang).

� Im Vakuum erhält man für die Wellengleichung:

� ~E =1

c2@2 ~E

@t2, (5)

wobei � den Laplace Operator darstellt. Diese Gleichung beschreibt dieAusbreitung elektromagnetischer Wellen im Vakuum aber auch in der

xv

xvi ZUSAMMENFASSENDE WIEDERHOLUNG

Erdatmosphäre und ist daher für Funksysteme von besonderer Bedeutung.Nach Gleichung (5) haben alle elektromagnetischen Wellen, unabhängigvon ihrer Frequenz, dieselbe Geschwindigkeit c = 1=

p"0�0: Dies ist die so

genannte Vakuum Lichtgeschwindigkeit (c � 2:99792� 108 m/s).

� Die Lösung der Wellengleichung für eine ebene, transversale, monochro-matische Welle die sich in z-Richtung ausbreitet ist

~E(z; t) =1

2

�Eej(k0z�!t) + c.c.

�~ei =

��E�� cos (k0z � !t+ '0)~ei, (6)

mitE = Re

�E�+ j Im

�E�= a+ jb,��E�� =pa2 + b2,

und

'0 = arctanb

a,

Die Buchstaben c.c. sollen die konjugiert Komplexe des Ausdrucks be-schreiben, also

c:c: = E�e�j(k0z�!t);

Re und Im stehen für den Real- und Imaginärteil der komplexen Funktion.Der Term E bezeichnet die komplexe Amplitude der Welle und enthält diePhase für z = 0, ('0):

E = E0ej'0 , (7)

und ~ei steht für den Einheitsvektor in eine beliebige i-Richtung. In diesemFall, in dem sich die Welle in z�Richtung ausbreitet, steht ~ei in der x-y Fläche. Gleichung 6 beschreibt eine monochromatische Welle mit derKreisfrequenz ! = 2�f und der Wellenzahl k0 = 2�=� = !=c.

� Die Polarisation einer elektromagnetischen Welle ist als die Richtung deselektrischen Feldvektors de�niert. Bleibt die Richtung des elektrischenFeldstärkevektors während der ganzen Zeit der Ausbreitung der Welle er-halten, so spricht man von linear polarisierten Wellen. Je nach Bezugs-system unterscheidet man linear polarisierte Wellen in horizontal-vertikal,s-p, TE-TM und H-E Wellen. Dreht sich der elektrische Feldvektor wäh-rend der Ausbreitung der Welle um deren Ausbreitungsrichtung und bleibtsein Betrag konstant spricht man von zirkular polarisierten Wellen. Än-dert sich der Betrag während der Drehung handelt es sich um elliptischpolarisierte Wellen.

� Die Frequenz ist der reziproke Wert einer vollständigen Schwingungsdauerdes Feldes f = 1=T .

� Die Wellenlänge ist umgekehrt proportional zur Frequenz im Vakuum. DerProportionalitätsfaktor ist die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c = ��f . Ineinem Medium verkürzt sich die Wellenlänge um den Brechungsindex desMediums �M = �0

n .

0.2. DER FUNKKANAL xvii

� Jede elektromagnetische Welle ist auch Teilchen, ein so genanntes Pho-ton welches Energie und Impuls besitzt. Die Energie des Photons ist pro-portional zu seiner Frequenz E = hf , der Impuls ist proportional zumWellenzahlvektor ~p = ~~k.

� Der Poynting Vektor bestimmt die Richtung des Energie�usses der elek-tromagnetischen Welle ~S = ~E � ~H.

� Die Intensität des Feldes ist der Betrag des Poynting Vektors I =��~S�� =

c"0E2, sie bestimmt welche Leistung durch eine Flächeneinheit tritt I =

PA .

� Der Wellenwiderstand des Freiraums ist das Verhältnis zwischen den Be-trägen des elektrischen und magnetischen Feldes Z0 =

j~Ejj ~Hj , er ist eine

Konstante mit einem Wert von � 377 .

0.2 Der Funkkanal

� Für die meisten Betrachtungen in Funksystemen reicht es aus das Signalim Basisband zu untersuchen.

� Das Signal im Basisband hat eine Trägerfrequenz von 0 und einen zusätz-lichen imaginären Anteil.

� In heutigen mobilen Funksystemen wird fast ausschließlich die digitaleModulation verwendet.

� Die Vorteile der digitalen Modulation liegen in ihrer Implementierbarkeitin IC�s bzw. in Software und der Möglichkeit Kompressions-, Fehlererkennungs-und Fehlerkorrektur Mechanismen sowie kryptogra�sche Verfahren anzu-wenden.

� Für die Übertragung von Informationen und damit für die Modulationstehen 4 Parameter zur Verfügung, die Amplitude (ASK), die Frequenz(FSK) und die Phase (PSK).

� Im Prinzip bedeutet digitale Modulation nichts anderes als die Auswahleiner bestimmten Wellenform aus einer endlichen Menge möglicher Wel-lenformen.

� Digitale Modulationsverfahren werden in einem Inphase-Quadratur Koor-dinatensystem bzw. einem Konstellationsdiagramm dargestellt.

� Jeder Punkt in diesem Diagramm stellt ein mögliches Signal der Modula-tion dar.

� Der Abstand zwischen den Punkten bestimmt die Toleranz gegenüberRauschein�üssen und die spektrale E¢ zienz des Verfahrens.

� Der Signal zu Rauschabstand (SNR) ist das Verhältnis zwischen der Signal-und der Rauschleistung.

xviii ZUSAMMENFASSENDE WIEDERHOLUNG

Abbildung 1: I-Q und Vektordiagramme verschiedener Modulationsarten

Abbildung 2: Bitfehlerwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit vom SNR für eineBPSK, QPSK, 8, 16, 32 und 64-PSK-Modulation.

0.2. DER FUNKKANAL xix

Abbildung 3: Der additive white Gaussian noise Kanal

� Der SNR bestimmt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit und damit die Reich-weite eines Funksystems.

� Rauschen ist ungewollte Energie die, zusätzlich zum eigentlichen Signal,am Empfänger umgesetzt wird.

� In Mobilfunksystemen ist vor allem das interne Rauschen der Empfängervon Bedeutung.

� Die Rauschzahl eines Verstärkers gibt das Verhältnis zwischen dem Ausgangs-und Eingangsrauschen des Systems geteilt durch den Verstärkungsfaktoran.

� In einem AWGN-Kanal hat das Rauschen eine konstante Leistungsvertei-lung über sein Spektrum und eine Normalverteilung über seine Leistung.

� Ein AWGN-Kanal tritt in Kabeln oder für Richtfunksysteme auf, mobileFunksysteme arbeiten hingegen in einem Rayleigh- oder Rice-Kanal.

� Die BER ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gesendetes Bit vom Empfän-ger falsch interpretiert wird.

� Die BER hängt vom SNR und dem Euklidischen Abstand der Symbole imKonstellationsdiagramm ab.

� Die Kapazität eines Übertragungskanals ist die maximal mögliche Bitratemit der eine Information fehlerfrei über einen rauschenden Kanal übertra-gen werden kann.

xx ZUSAMMENFASSENDE WIEDERHOLUNG

Abbildung 4: Drahtlose Netze

� Die Kapazität des Kanals wird durch seine Bandbreite und die spektraleE¢ zienz bestimmt.

� In einem AWGN-Kanal hängt die spektrale E¢ zienz nur vom SNR ab.

� In einem Funkkanal lässt sich die Kapazität durch ein verringern der Aus-leuchtzone erhöhen.

0.3 Antennen

� Ein Dipol wirkt im Prinzip wie ein elektrischer Schwingkreis, auch in ihmoszillieren elektrische und magnetische Feldenergie. Im Gegensatz zumSchwingkreis ragen beide Energien beim Dipol jedoch weit in den Raumhinaus und lösen sich von ihm.

� Ein �=2-Dipol ist ein Draht der für die zu sendende oder zu empfangendeWelle eine Länge von einer halben Wellenlänge hat. Durch zusätzlicheInduktivitäten und Kapazitäten kann die tatsächliche physikalische Längedes Drahtes verändert werden.

� Ein �=4-Dipol weist dem Wellenfeld gegenüber ebenfalls eine Länge von�=2 auf. Die fehlende zweite Hälfte der Länge wird durch In�uenz in einerleitenden Fläche erzeugt.

� Eine Antenne hat ein so genanntes Nah- und Fernfeld. Im Nahfeld derAntenne sind elektrisches und magnetisches Feld phasenverschoben zu-einander. Alle Parameter einer Antenne gelten nur für das Fernfeld. DerÜbergang zwischen Nah- und Fernfeld ist �ießend. Man kann mit guter

0.3. ANTENNEN xxi

Abbildung 5: Räumliche Verteilung der Intensität um eine Dipolantenne in einerfesten Entfernung r von der Antenne in Polarkoordinaten. Das große Diagrammzeigt die Verteilung in der #�Ebene während das kleine Diagramm die Vertei-lung in der ��Ebene beschreibt

Näherung davon ausgehen, dass ab einer Entfernung von 10�� von derAntenne das Fernfeld dem Nahfeld überwiegt.

� Das elektrische und magnetische Feld einer von einer Antenne abgestrahl-ten Welle sind im Fernfeld der Antenne in Phase, die Feldvektoren sindorthogonal zueinander und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Feldes.

� In der Ebene in der der Dipol liegt (r; z) weisen das elektrische und ma-gnetische Feld eine sin# Abhängigkeit auf, dementsprechend hat die ab-gestrahlte Leistung bzw. Intensität des Feldes eine sin2 # Abhängigkeit.In der Ebene senkrecht zum Dipol ('; r) sind die Felder unabhängig von' und indirekt proportional zu r. Damit sind die Leistung und Intensitätproportional zu 1=r2.

� De�niert man in einer Entfernung r1 eine Fläche A mit einer bestimmtenForm um eine Antenne und vergleicht die durch sie hindurch tretendeLeistung mit der Leistung die durch eine Fläche derselben Form aber ineiner anderen Entfernung r2 tritt so ergibt sich, dass die gesamte durchdie Fläche tretende Leistung konstant bleibt und der Sendeleistung derAntenne entspricht.

� Durch die phasenrichtige Zusammenschaltung mehrere Antennenelemen-te zu einem Antennenfeld kann man eine starke Bündelung des von derAntenne abgestrahlten Feldes erzielen.

xxii ZUSAMMENFASSENDE WIEDERHOLUNG

Abbildung 6: Elektrisches Feld für eine Antennenarray aus 8 Elementen

� Umso mehr Elemente zusammengeschaltet werden umso stärker ist dieBündelwirkung im Hauptmaximum, allerdings steigt dann auch die Anzahlder Nebenmaxima.

� Ist die Anzahl der Antennenelemente gerade, so strahlt das Antennenfeldin paralleler Richtung keine Energie ab. Für eine ungerade Anzahl vonAntennenelementen ist dies hingegen nicht der Fall.

� Antennen verhalten sich bezüglich ihrer Abstrahlcharakteristik und derdaraus abgeleiteten Antennenparameter gleich, egal ob sie als Sende- oderEmpfangsantenne eingesetzt werden. Sende- und Empfangsfall sind rezi-prok zueinander.

� Die elektrischen Eigenschaften einer Antenne lassen sich durch ein Ersatz-schaltbild bestehend aus einem Generator, sowie einem Antennen- undeinem Eingangsstufenwiderstand beschreiben.

� Der Nahfeldradius einer Antenne ist der doppelte quadratische Durch-messer der kleinsten Kugel die die Antenne vollständig umschließt geteiltdurch die Wellenlänge der Welle die von der Antenne abgestrahlt wird.

� Die Nebenkeulendämpfung ist das Verhältnis zwischen der Hauptkeuleund der größten Nebenkeule des Richtdiagramms.

� Das Vor-/Rückverhältnis der Antenne bzw. die Rückdämpfung ist dasVerhältnis der Leistung in Richtung der Hauptkeule zur Leistung in ent-gegengesetzter Richtung.

0.3. ANTENNEN xxiii

Abbildung 7: Nah- und Fernfeld eines �=2�Dipols

Abbildung 8: Antennendiagramm zur Beschreibung der Antennenparameter

xxiv ZUSAMMENFASSENDE WIEDERHOLUNG

� Der Ö¤nungswinkel oder die Strahlbreite einer Antenne ist der Raumwin-kelbereich in dem die Leistung noch mindestens der Hälfte der maximalabgestrahlten Leistung entspricht wird.

� Der Richtfaktor, oder Directivity D, ist das Verhältnis zwischen der ma-ximalen Strahlungsintensität einer Antenne zur Intensität einer Antennedie in eine Kugel�äche mit demselben Radius abstrahlt und mit derselbenLeistung betrieben wird.

� Der Gewinn einer Antenne ist proportional zu ihrem Richtfaktor, Propor-tionalitätskonstante ist der Wirkungsgrad.

� Die e¤ektive Apertur bestimmt eine Fläche über die eine Leistung ausder Wellenfront absorbiert wird und zur Empfängereingangsstufe geliefertwird. Ihre Größe bestimmt welcher Anteil der Leistung im Empfängernutzbar ist.

� Mit einer Steuerung der Phase und des Betrages des komplexen Ansteu-erstroms für jedes Antennenelement lässt sich das Richtdiagramm einerAntenne verändern.

� Der Pfadverlust für die Freiraumausbreitung steigt quadratisch mit derEntfernung und der Frequenz.

� Für ein drahtloses System ist vor allem das thermische Rauschen vonBedeutung, es bestimmt die minimale Empfangsleistung.

� Die maximal Übertragbare Datenrate über einen Kanal der Bandbreite Bwird durch seine Kapazität und damit vom Signal zu Rauschabstand imKanal bestimmt.

0.4 Grundlagen zellulärer Systeme

� �Vielfachzugri¤�bezeichnet den direkten Zugri¤von Endteilnehmern bzw.Endgeräten auf ein Medium.

� Das Ziel der Vielfachzugri¤sverfahren ist es Signale unterschiedlicher Quel-len auf einem gemeinsamen Übertragungsmedium derart miteinander zukombinieren, dass diese Signale an ihren jeweiligen Zielen ohne gegensei-tige Beein�ussung wieder voneinander getrennt werden können

� Die einzelnen Vielfachzugri¤sverfahren lassen sich in einen �festen�, �zu-fälligen�und �kontrollierten�Zugri¤ einteilen.

� Feste Vielfachzugri¤sverfahren sind TDMA, FDMA, CDMA und SDMA

� Bei TDMA teilen sich die Nutzer die Zeit des Zugri¤s

� Bei FDMA unterscheiden sich die Nutzer in ihren Trägerfrequenzen

� Bei CDMA wird jedem Nutzer ein teilnehmerspezi�scher Code zugewiesen

� SDMA unterscheidet die Nutzer durch den Ort ihres Aufenthalts in derZelle

0.4. GRUNDLAGEN ZELLULÄRER SYSTEME xxv

Abbildung 9: Grundsätzliches Arrangement zur Erläuterung des Vielfachzugri¤sin Funksystemen

Abbildung 10: Feste Vielfachzugri¤sverfahren, FDMA, TDMA und CDMA ineinem Frequenz/Zeit-Diagramm, nach [36]

xxvi ZUSAMMENFASSENDE WIEDERHOLUNG

Abbildung 11: Hierarchie der Sprach- und Audiokodierer

0.5 Sprachkompression

� Sprachkompression bezeichnet Verfahren die in der Lage sind Sprachsi-gnale zu komprimieren.

� Eine Kompression kann durch das Entfernen von Redundanz oder dasEntfernen weniger wichtiger Informationen erfolgen.

� Die menschliche Sprache lässt sich dementsprechend auf 4 wichtige Pa-rameter reduzieren (Lautstärke oder Amplitude, Stimmbandgrund- oderPitchfrequenz, Quelle, Filterparameter).

� Audiokodierer lassen sich in Wellenform- und Quellenkodierer einteilen.

� Wellenformkodierer reagieren nur auf die Einhüllende der Signale, sie sindunabhängig von der Quelle.

� Quellenkodierer nutzen a priori Informationen über die Quelle, sie ermög-lichen sehr große Kompressionsraten.

� Vocoder in Mobilfunksystemen reduzieren die menschliche Sprache aufeinen Parametersatz und übertragen diesen.

0.6 Mobilfunksysteme

� Das zellulare Konzept ist die Grundlage aller Mobilfunksysteme

� Die Entwicklung der Mobilfunksysteme lässt sich in 3 große Etappen fas-sen. 1. Generation: analog; 2. Generation: digital; 3. Generation: nebenSprache auch Datenverkehr.

0.6. MOBILFUNKSYSTEME xxvii

Abbildung 12: Grundstruktur des GSM-Netzes nach [4]

� Ein GSM Vocoder nutzt das RPE-LTP-Verfahren zu Sprachkompression,dies ist eine Art RPC.

� Die 13 kbit/s Nettodatenrate eines GSM-Vocoders werden bei der Kanal-kodierung auf 22.8 kbit/s Bruttodatenrate aufgebläht.

� Eine Datenverschlüsselung wird beim GSM System durch das Zusammen-spiel zwischen SIM und AC ermöglicht.

� Die SIM-Karte ist ein Mikroprozessor und ein Speicher. Sie ermöglicht dieIdenti�kation des Nutzers.

� Die GSM-Netzwerk-Infrastruktur besteht aus dem Festnetz dem ein Stern-netz überlagert wurde.

� Ein Handover wird bei GSM durch die BSC oder MSC gesteuert.

� Das location update ist eine Prozedur zur Information des Netzwerks überden Aufenthaltsort des mobilen Teilnehmers.

� Das Routing im mobilen Netz ist durch das Zusammenspiel zwischen demHLR und dem VLR möglich.

� HSCSD ist leitungsorientiert, ermöglicht eine höhere Nettodatenrate proKanal und die Kanalbündelung.

� GPRS ermöglicht neben der leitungs- auch eine paketorientierte Kommu-nikation. Ermöglicht wird dies durch ein paralleles Netzwerk.

� EDGE beruht auf dem GSM-System und ermöglicht eine Vergrößerungder Datenrate durch 8-PSK.

� UMTS ist ein Mobilfunksystem der 3. Generation mit CDMA als Viel-fachzugri¤sverfahren.

xxviii ZUSAMMENFASSENDE WIEDERHOLUNG

Abbildung 13: Verbindungsaufbau im GSM-Netz

Abbildung 14: GPRS-Netzwerkarchitektur.

0.6. MOBILFUNKSYSTEME xxix

Abbildung 15: UMTS Netzwerkarchitektur Release 99.

xxx ZUSAMMENFASSENDE WIEDERHOLUNG

Teil I

Large - Scale Fading

1

3

Abbildung 16: Wechselwirkungen einer Welle mit ihrer Umgebung bei der Aus-breitung in einer Mobilfunkzelle.

Eine Welle die sich vom Sender zum Empfänger bewegt unterliegt einerganzen Reihe von Ein�üssen durch ihre Umgebung. Da der Sender in eine Flächestrahlt - und diese naturgemäßquadratisch mit der Entfernung größer wird- sinkt die Empfangsleistung mit dem Quadrat der Entfernung (siehe Script"Funktechnik I/II"). Aber auch andere Größen haben einen Ein�uss auf dieEmpfangsfeldstärke, z.B. die Dämpfung durch Regentropfen, Laub oder Häuser.Ändert sich die Empfangsleistung nur langsam mit einem größer werdenden

Abstand zum Sender so spricht man vom "Large - Scale Fading" auf das indiesem Teil eingegangen werden soll. Diesem überlagert sich das so genannteSSmall - Scale Fading"das Gegenstand des nächsten Teils des Scripts ist.Das Large - Scale Fading ist die Grundlage für die Berechnung von Emp-

fangsfeldstärken, Reichweiten von Sendern, Zellgrößen, Bitfehlerraten und da-mit der gesamten Funknetzplanung. Ähnlich wie bei einer elektromagnetischenWelle im optischen Bereich treten für eine Funkwelle bestimmte physikalischeE¤ekte wie Beugung, Streuung, Re�exion und Interferenzerscheinungen auf. Aufdiese Erscheinungen wird im ersten Teil des folgenden Abschnitts eingegangen.Abbildung 16 zeigt die E¤ekte die auf eine elektromagnetische Welle bei der

Ausbreitung in einer Mobilfunkzelle wirken. Von einer einfachen Freiraumaus-breitung kann man nur in unmittelbarer Nähe zum Sender ausgehen. StehenHindernisse im Ausbreitungsweg zwischen dem Sender und dem Empfänger sokommt es zu einer Beugung der Trägerwelle. Die Beugung verringert die emp-fangbare Feldstärke und führt gleichzeitig zu Kopien des Signals. Diese könnenmit anderen Kopien, die z.B. durch eine Re�exion oder Streuung entstehen,interferieren. Die Interferenz kann - ja nach der relativen Phasenlage zwischenden Kopien - konstruktiv oder destruktiv sein. Auf Grund der geringen Wel-lenlängen des Trägersignals kommt es dadurch zu starken Signaleinbrüchen undÜberhöhungen in geringem Abstand. Durch die Abnahme des Brechungsindex

4

der Atmosphäre mit der Höhe wird die Welle gebrochen. Das führt zu einerVergrößerung des Radio- gegenüber dem sichtbaren Horizont.All diese physikalischen E¤ekte lassen sich nur schwer analytisch berechnen,

da hierzu sehr viel Rechenkapazität und die genaue Kenntnis der Verhältnissein der jeweiligen Umgebung vonnöten sind. Für kleinere Bereiche wie Innen-städte und die Ausbreitung im Indoor-Bereich werden die Re�exion und dieBeugung mit Hilfe so genannter Ray-Tracing bzw. Ray-Launching Programmeberücksichtigt auf die später eingegangen wird. Für größere Bereiche werden ausden physikalischen Gegebenheiten bestimmte Modelle abgeleitet die zumindesteine annähernde Berechnung der Empfangsfeldstärke erlauben. Diese so genann-ten Ausbreitungsmodelle, ihre Herleitung und Anwendung sind Gegenstand deszweiten Teils dieses Abschnitts.

Kapitel 1

Wechselwirkung einer Wellemit ihrer Umgebung

Die Maxwell Gleichungen beschreiben die Ausbreitung elektromagnetischer Wel-len vollständig, so dass die Lösung eines Feldproblems mit Hilfe der MaxwellGleichungen immer zu einem richtigen Ergebnis führt wenn man alle Parametergenau kennt. Auf der anderen Seite ist eine solche Lösung aber recht aufwändig.Um die Ausbreitung in einer Mobilfunkzelle zu berechnen benötigt man z.B.Informationen über die Art und Höhe der Bebauung, die Breite der Straßenzü-ge usw. Derartige Informationen lassen sich aus elektronischen Landkarten undGeo-Informationssystemen erhalten. Neben diesen Parametern benötigt manaber auch die physikalischen Eigenschaften der Gebäude. Eine Glasfassade re-�ektiert beispielsweise völlig anders als eine Betonwand und eine Asphaltstraßeanders als ein Kopfsteinp�aster. Aber auch Betonwände sind nicht alle gleich.Ist die Betonwand grob verputzt kann es zu einer Streuung der Wellen kom-men während eine glatt verputzte Wand die Wellen re�ektieren lässt. Selbstwenn man alle Parameter kennen würde sind diese von bestimmten Bedingun-gen abhängig die sich zeitlich ändern. Eine Asphaltstraße zeigt z.B. völlig andereEigenschaften wenn sie trocken ist als wenn sie nass ist oder Schnee auf ihr liegt.Aus diesen Gründen ist eine genaue Berechnung mit den Maxwell Gleichun-

gen meist nur in Ausnahmefällen sinnvoll. Man kann sie beispielsweise für dieBerechnung der Abstrahlcharakteristik der Antennen und für die Feldberech-nung in der Nähe der Sendeantenne nutzen um z.B. das Gefahrenpotenzial fürHerzschrittmacher abzuschätzen. Für viele andere Probleme gibt es einfachereLösungswege.Unter bestimmten Bedingungen verhalten sich elektromagnetische Wellen in

einer ganz bestimmten Art und Weise die man bereits lange vor der Aufstellungder Maxwell Gleichungen kannte und untersuchte. Die meisten dieser Phänome-ne stammen aus dem Gebiet der Optik. Für moderne Mobilfunksysteme werdenWellen mit Frequenzen von einigen GHz und damit Wellenlängen im Zentime-ter und Millimeter - Bereich verwendet. Diese Wellen verhalten sich in vielenBeziehungen ähnlich wie elektromagnetische Wellen im sichtbaren Spektrum.In diesem Kapitel sollen die Ursachen, das Verhalten und die Berechnung sol-

cher Phänomene wie Dämpfung, Beugung, Interferenz und Streuung untersuchtwerden. Aus den dabei erhaltenen grundlegenden Beziehungen werden dann im

5

6 KAPITEL 1. WECHSELWIRKUNG

nächsten Kapitel Ausbreitungsmodelle für Funkwellen abgeleitet.

1.1 Dämpfung

Zur Abstrahlung und zum Empfang von Funkwellen werden Antennen benutzt.In einer Entfernung r tritt die von der Sendeantenne abgestrahlte Leistung durcheine Fläche. Diese Fläche ist - unabhängig davon ob die Antenne einen Gewinnhat oder nicht - proportional zum Quadrat der Entfernung r2 (siehe ScriptFunktechnik I/II). Die Antenne des Empfängers kann nur den Teil der Leistungin der Fläche aufnehmen der ihrer e¤ektiven Apertur entspricht. Da diese kon-stant ist - sich die Sendeleistung aber quadratisch mit der Entfernung aufteilt- nimmt die Empfangsleistung quadratisch mit der Entfernung ab. Das führtzum so genannten Freiraumpfadverlust. Obwohl dieser in manchen Verö¤entli-chungen als Dämpfung bezeichnet wird ist hier ausschließlich der physikalischeProzess gemeint der zur Umwandlung der Energie der elektromagnetischen Wel-le in Wärme führt.

1.1.1 Die Dämpfungskonstante

Zur Untersuchung der Dämpfung wollen wir von der Lösung der Wellenglei-chung, die im Script "Funktechnik I/II"bzw. "Mobilfunk"behandelt wurde, aus-gehen. Wird der komplexe Brechungsindex

n2 = (n+ j�)2 = "r (1.1)

- mit n als deren Realteil, � als der so genannten Extinktionskonstante und "rals der relativen Dielektrizitätskonstanten - in die Lösung der Wellengleichung

~E(z; t) =1

2

�Eej(kz�!t) + c.c.

�~ei (1.2)

- mit k = nk0 = n!=c als dem Wellenzahlvektor und ! als der Kreiswellenzahlder Welle - eingesetzt, ergibt sich

~E(z; t) =1

2

�Eej((n+j�)k0z�!t) + c:c:

�~ei (1.3)

=1

2

�Ee��k0zej(nk0z�!t) + c:c:

�~ei.

Der Realteil des Brechungsindex�n bleibt entsprechend der Gleichung (1.3)mit der komplexen Zahl j verknüpft. Er führt daher lediglich zu einer Pha-senänderung der Welle. Diese Phasenänderung drückt sich in einer verändertenGeschwindigkeit der Welle aus und führt zu E¤ekten wie der Brechung und Re-�exion der Welle auf die in den nächsten Abschnitten eingegangen wird. DieExponentialfunktion Ee��k0z beschreibt hingegen die Abnahme der Wellenam-plitude mit der Entfernung z.Die Intensität der Welle ist proportional zum Quadrat ihrer Amplitude.

I =1

2"0cn

��E��2 , (1.4)

Demnach ergibt sich für die Intensität der Welle

I(z) = I0e�2�k0z = I0e��z, (1.5)

1.1. DÄMPFUNG 7

wobei� = 2�k0 =

4�

�0� (1.6)

die so genannte Dämpfungskonstante in km�1darstellt. Umso größer die Dämp-fungskonstante ist, umso stärker wird das Signal bei seiner Ausbreitung abge-schwächt. Die relative Dielektrizitätskonstante der Gleichung (1.1) ist eine Be-stimmungsgröße von Medien. Dämpfung und Phasenänderung der Welle kanndaher nur in einem Material auftreten.Die Intensität einer Welle ist ihre Leistung bezogen auf die Fläche durch die

sie sich hindurch bewegt.

I =P

A, (1.7)

Aus (1.4) und (1.7) folgt, dass nicht nur die Intensität einer Welle, sondern auchihre Leistung proportional zum Quadrat ihrer Feldamplitude ist. Demnach mussfür die Verringerung der Leistung in einer Entfernung z; eine ähnliche Beziehunggelten wie für die Intensität (1.5). Daher folgt für die Leistung der Welle inAbhängigkeit von z

dP (z)dz

= ��P (z) (1.8)

Für die Entfernung z = L; ergibt (1.8)

P (L) = P (0)e��L, (1.9)

wobei P (0) die Leistung bei z = 0 beschreibt. Mit (1.9), folgt für die Dämp-fungskonstante

�km�1 = � 1LlnP (L)

P (0). (1.10)

In der Telekommunikation verwendet man häu�ger eine Dämpfungskonstan-te die sich auf einen Logarithmus zur Basis 10 bezieht10 (�dB/km ):

�dB/km = �10

Llog

P (L)

P (0). (1.11)

Mit (1.11) eingesetzt in (1.10), erhält man für die Umrechnung zwischenbeiden Dämpfungskonstanten:

�km�1 =�dB/km

10ln 10 � 0:23026 �dB/km : (1.12)

Für Frequenzen die heute üblicherweise für die drahtlose Kommunikationverwendet werden ist die Dämpfung der Luft in der Erdatmosphäre in denmeisten Fällen vernachlässigbar klein, trotzdem gibt es einzelne Frequenzbe-reiche bei denen die Dämpfung recht großwird. Der Dämpfungskoe¢ zient füreine Frequenz von 10 GHz beträgt z.B. nur 0.02 dB/km. Währenddessen derDämpfungskoe¢ zient bei einer Frequenz von 63 GHz einen Wert von 15 dB/kmhat.Trotzdem sind diese Dämpfungswerte verglichen mit anderen Übertragungs-

medien recht klein. Koaxialkabel die zur Verbindung zwischen dem Verstärkerund der Antenne bei Basisstationen eingesetzt werden haben z.B. eine Dämp-fung von 102 dB/km (LMR 600) für Frequenzen im GHz-Bereich. Flexible Kabelfür IEEE802.11b WLAN-Systeme (2.4GHz) haben Dämpfungen zwischen 450


dB/km (RG214) und 820 dB/km (RG223) für IEEE802.11a -Systeme (5GHz)steigen diese Dämpfungen auf 750 dB/km (RG214) bzw. 1350 dB/km (RG223).Geringere Dämpfungen weisen Kupferhohlleiter auf. Für 5 GHz hat ein R58bzw. WG13-Hohlleiter z.B. eine maximal zulässige Dämpfung von 56 dB/km.Nur Glasfasern haben sehr geringe Dämpfungen von 0.2 dB/km, allerdings beiFreiraumwellenlängen von 1550 nm, was einer Frequenz von 193 THz entspricht.Elektromagnetische Wellen im GHz-Bereich lassen sich in Glasfasern nur mitHilfe einiger Tricks übertragen (Radio over Fiber z.B. in [3]).

1.1.2 Dämpfung der Atmosphäre

Für Mobilfunksignale geringer Frequenz, z.B. die GSM-Netze bei 0.9, 1.8 bzw.1.9 GHz aber auch UMTS mit 2 GHz und WLAN bei 2.4 und 5 GHz weistdie Atmosphäre eine geringe Dämpfung auf. In diesen Frequenzbereichen ist vorallem die Dämpfungseigenschaft von Hindernissen wie Wänden oder Gebäudenvon Bedeutung.Zukünftige Mobilfunksysteme sollen hingegen in Frequenzbereichen von bis

zu mehreren hundert GHz arbeiten. In diesen Bereichen gibt es einige nicht zuvernachlässigende Dämpfungseigenschaften der Erdatmosphäre. Auf der ande-ren Seite bietet eine starke Dämpfung den Vorteil, dass die vergebenen Fre-quenzen für eine Mobilfunkzelle schon nach einer kurzen Distanz wieder an eineandere Mobilfunkzelle vergeben werden können.Die Verringerung der Leistung eines Signals in der Erdatmosphäre hat meh-

rere Ursachen. In der Troposphäre spielt beispielsweise die Leitfähigkeit desErdbodens, der Bewuchs und die Bebauung eine wichtige Rolle. Diese Ein�üssewerden in späteren Kapiteln behandelt. Hier wollen wir davon ausgehen, dasssich die Welle im Freiraum bewegt, Erdboden, Ionosphäre und Hindernisse sindweit entfernt und lediglich die Luft der Erdatmosphäre ist von Bedeutung. DieseLuft besteht aus Molekülen und Spurengasen, sie enthält Staub, Aerosole undWasser. Diese Bestandteile führen zu einer Inhomogenität der Brechungsindex-Verteilung in der Luft. Ist die Wellenlänge der Welle klein genug, kommt es anjeder Grenz�äche zwischen unterschiedlichen Brechungsindizes zu einer Re�exi-on in alle beliebigen Richtungen. Diese Erscheinung wird Streuung genannt undin Kapitel 1.4 behandelt. An dieser Stelle soll vor allem auf den Ein�uss derMoleküle eingegangen werden.Die Luft ist ein Gemisch welches im Wesentlichen aus den Gasen Sticksto¤

und Sauersto¤ besteht. Diese Gase schließen sich auf Grund chemischer Bindun-gen zu Molekülen wie N2 und O2 zusammen. Zusätzlich be�ndet sich auch immerWasserdampf (H2O) in der Luft. Ein Molekül, wie beispielsweise das Wassermo-lekül, ist ein Dipol, d. h. es existieren zwei Ladungsträgerschwerpunkte (positivund negativ). Eine chemische Bindung hält diese Ladungsträgerschwerpunktezusammen. Tri¤t eine elektromagnetische Welle auf dieses Molekül, so übt sieeine Kraft auf die Ladungsträgerschwerpunkte des Moleküls aus. Das Molekülbeginnt zu schwingen.Im mechanischen Modell lässt sich das Molekül als zwei Massen (positi-

ver und negativer Ladungsträgerschwerpunkt) die durch eine Feder (chemischeBindung) zusammengehalten werden betrachten. Entsprechend der Größe derMassen m und der Federkonstante k im mechanischen Modell lässt sich auchfür das Molekül eine Resonanzfrequenz !0 =

pk=m bestimmen. Hat die äußere

Welle eine Frequenz in der Nähe der Resonanzfrequenz des Moleküls wird ein

1.1. DÄMPFUNG 9

Tabelle 1.1: Resonanzfrequenzen und mittlere Dämpfungskoe¢ zienten auf Nor-mal Null der Moleküle der Erdatmosphäre im Frequenzbereich zwischen 1 und100 GHzMolekül Frequenz [GHz] Dämpfung [dB/km]

H2O 22 0.18

O2 63 15

O2 126 2

H2O 183 30

H2O 325 35

Großteil der Energie der elektromagnetischen Welle in eine Schwingungsenergiedes Moleküls und letztlich in Wärme umgewandelt. Die Moleküle in der Luftsind also in der Lage der elektromagnetischen Welle Energie zu entziehen unddiese in Wärme zu verwandeln. Wie gut dieser Prozess funktioniert hängt vomVerhältnis der Frequenz der Welle zur Resonanzfrequenz des Moleküls ab.Ein Molekül hat mehrere Resonanzfrequenzen, es kann in unterschiedlichen

Richtungen schwingen, es kann um verschiedene Achsen rotieren und noch einigeandere Bewegungen ausführen. Weiterhin führen nicht nur die direkten Reso-nanzen zu einer starken Absorption sondern auch Oberwellen und Mischungenunterschiedlicher Resonanzen. Im für den Mobilfunk und andere drahtlose An-wendungen wichtigen Frequenzbereich zwischen 1 und 100 GHz gibt es vor al-lem Resonanzen des Sauersto¤- und des Wassermoleküls. Die Frequenzen undDämpfungen sind in Tab.1.1 zusammengefasst. Den Dämpfungsverlauf in diesemFrequenzbereich zeigt Abb. 1.1. Demnach steigt der Dämpfungsverlauf in die-sem Frequenzbereich mit zunehmender Frequenz an, gleichzeitig gibt es mehrereResonanzspitzen. Wie für die optische Nachrichtentechnik so �nden sich auchhier zwischen den einzelnen Resonanzpeaks �Übertragungsfenster� bei 35, 94,140 und 220 GHz in denen die Dämpfung gering ist.Im Gegensatz zur optischen Nachrichtentechnik bieten für zellulare Syste-

me aber auch Frequenzen mit hoher Dämpfung einige Vorteile. Trotz der, imVergleich zu niedrigeren Frequenzen, hohen Dämpfung wird der so genannteMillimeter-Wellen Bereich (30-300 GHz) für zukünftige mobile Anwendungenfavorisiert. Dies hat mehrere Gründe:

� In diesem Frequenzbereich ist Platz für extrem breitbandige Anwendun-gen, da er bislang kaum genutzt wurde.

� Die hohe Dämpfung bedeutet gleichzeitig auch, dass die Frequenzen häu�gwieder verwendet werden können. Dementsprechend ergibt sich ein hoherFrequency - Reuse Faktor (siehe Bachelor-Script).

� Antennen mit hohem Gewinn können für Sender und Empfänger extremklein gebaut werden. Der Einsatz mehrerer kleiner Antennen ist vor allemfür MIMO Systeme interessant.


Abbildung 1.1: Mittlere atmosphärische Absorption von elektromagnetischenWellen im Frequenzbereich von 10 bis 400 GHz bei einer Temperatur von 20 �Cauf Meereshöhe und einem Wasserdampfgehalt von 7.5 g/m3, nach [6].

1.1.3 Regendämpfung

Wenn Regen fällt führt dies zu einem zusätzlichen Energieverlust der elektro-magnetischen Welle. Wie großdie Dämpfung durch Regen ist hängt von derStärke des Regens und der Frequenz der Welle ab wie Abb. 1.2 zeigt.Unterhalbvon 2 GHz hat auch der stärkste Regen kaum einen Ein�uss auf die Dämpfungder Funksignale. Bei WLAN-Systemen mit Trägerfrequenzen von 5GHz könnenstarke Regenfälle mit Mengen von 150mm/h zu einer zusätzlichen Dämpfungvon einem halben dB führen. In WiMAX-Verbindungen die bis zu einer Fre-quenz von 60GHz betrieben werden können kann auch ein relativ schwacherRegen zu einem nicht zu vernachlässigenden Anstieg der Dämpfung führen. EinStarkregen lässt die Dämpfungskonstante in einem 60 GHz WiMAX-Systemauf 30dB/km ansteigen. In einer Entfernung von 1km kommt in diesem Fall nurnoch 1=1000 der Leistung an die ohne Regen dort empfangen werden könnte.Starke Regenfälle sind weitaus seltener als schwache. Die Häu�gkeit und die

Menge des Regens sind von Region zu Region unterschiedlich. Statistische Aus-sagen darüber lassen sich mit Daten des Wetterdienstes tre¤en. Bei starkemRegen sinkt die Reichweite des Signals und eine Funkzelle wird entsprechendkleiner. Teilnehmer an den Rändern der Funkzelle können in diesem Fall nichtmehr bedient werdenund eine Richtfunk- oder Satellitenverbindung bricht zu-sammen wenn diese E¤ekte nicht in die Dimensionierung des Systems ein�ießen.

Beispiel 1 Ein breitbandiges drahtloses System arbeite bei einer Frequenz von20 GHz. Die gesendete Leistung reicht aus um in einem Radius von 5 km umdie BTS gut empfangen werden zu können. Wie großist der Radius der gutenEmpfangbarkeit bei einem schwachen Regen von 0.25 mm/h und wie großist erbei einem Starkregen von 150 mm/h?

1.1. DÄMPFUNG 11

Abbildung 1.2: Zusätzliche Dämpfung einer Welle durch Regen, nach [6]

Lösung 2 Die Intensität, also die Leistung pro Fläche, muss gleich bleiben da-mit die Antenne dieselbe Leistung aus der Welle ziehen kann. Hat die Sende-antenne einen Gewinn ergibt sich für die Intensität I = GP=(4�r21), wobei Pdie Sendeleistung und r1 = 5 km ist. Die gleiche Intensität muss aus dem ge-dämpften Signal folgen welches sich mit I = GPe��r2=(4�r22) errechnen lässt.Durch gleichsetzen und Umstellen erhält man r22 = r21e

��r2 . Die zusätzlicheDämpfung bei einem Regen von 0.25 dB/km beträgt nach Abb. 1.2 � � 0:013dB/km, während sie bei einem Starkregen auf � � 18 dB/km ansteigt. Mit die-sen Werten ergibt sich durch eine numerische oder gra�sche Lösung ein Radiusvon r2 � 5 km bei einem Regen von 0.25 mm/h. Der schwache Regen beein�usstdie Ausbreitung des Signals demnach kaum. Bei einem Regen einer Stärke von150 mm/h sinkt der Radius hingegen auf nur noch 900 m.

1.1.4 Kabel- und Wanddämpfung

Auch wenn für Frequenzen im unteren GHz-Bereich die Dämpfung durch dieLuft der Atmosphäre relativ gering ist, so spielt für Mobilfunk- und WLAN-Systeme vor allem die Dämpfung der Verbindungskabel zwischen dem Aus-gangsverstärker des Senders und der Antenne eine entscheidende Rolle. Gleich-zeitig ist auch die Empfangsantenne bei Punkt zu Punkt Verbindungen miteinem Kabel mit dem Eingangsverstärker des Empfängers verbunden. Die Ka-beldämpfungen der üblichen Koaxialkabel ist relativ hoch, wie Tab.1.2 für dieWLAN-Frequenzen zeigt.

Beispiel 3 Sie wollen eine breitbandige Antenne für die WLAN-Standards IE-EE 802.11b und 802.11a verwenden. Zur Verbindung des Transceivers mit derAntenne des Access-Points benötigen Sie 10 m RG223 Kabel. Wie großist diezusätzliche Dämpfung bei diesen beiden Frequenzen?


Tabelle 1.2: Dämpfung typischer Antennenkabel in den WLAN-Frequenzbereichen in dB/m nach [5]

Typ 2.4 GHz 5.3 GHz 5.8 GHz

RG 214 0.45 0.75 0.85

RG 223 0.82 1.35 1.43

RG 316 1.47

EF 316 D 1.54 2.51 2.66

EF 393 0.49 0.86 0.92

EF 400 0.87 1.46 1.55

1/2"High�ex 0.17 0.27 0.28

1/2"High�ex UL 0.17 0.27 0.28

Lösung 4 IEEE 802.11b arbeitet bei Frequenzen von 2.4 GHz, während fürIEEE 802.11a in Deutschland Frequenzen von 5.4 GHz in Frage kommen. Ent-sprechend der Tabelle hat dieses Kabel bei 2.4 GHz eine Dämpfung von 0.82dB/m und damit eine Zusatzdämpfung von 8.2 dB bei einer Kabellänge von 10m. Bei einer Frequenz von 5.4 GHz beträgt die Dämpfung 1.35 dB/m und damitdie Zusatzdämpfung 13.5 dB. Bei der höheren Frequenz wird die Welle also um5.3 dB stärker gedämpft. Dies bedeutet, dass die Leistung die an der Antenneankommt fast nur noch 1/4 von der Leistung bei 2.4 GHz beträgt.

Neben der Kabeldämpfung spielt, für die Verbindung von Teilnehmern inGebäuden, die Durchgangsdämpfung durch Fenster undWände eine große Rolle.Typische Dämpfungen für eine Frequenz von 2.4 GHz zeigt Tab.1.3

Beispiel 5 Um welche Distanz wird die maximale Reichweite Ihres Telefonsverringert wenn Sie sich in einem Gebäude be�nden (15 dB) oder in einemFahrstuhl stecken bleiben (25 dB)?

Lösung 6 Nach (2.4) ist die Empfangsleistung wenn man die zusätzliche Dämp-fung durch das Hindernis LHind berücksichtigt.

PR =PTLHind

GTGR

��

4�d

�2Die Empfangsleistung an der Basisstation muss mit und ohne zusätzliches Hin-dernis gleich sein, daraus ergibt sich

PTGTGR

��

4�d1

�2=

PTLHind

GTGR

��

4�d2

�2und damit für das Verhältnis zwischen den Strecken

d1d2=pLHind

Im Fahrstuhl wird die maximale Entfernung demnach um das 17.78-fache klei-ner, während sie sich hinter der Betonmauer nur um das 5.6 fache verringert.

1.2. BRECHUNG 13

Tabelle 1.3: Typische Dämpfungen für Hindernisse in dB bei einer Frequenz von2.4 GHz nach [5].

Hindernis Dämpfung

Dünne Mauer 2-5 dB

Holzmauer 5 dB

Geschlossene Aluminiumblenden 8 dB

Gitterfenster mit Holzrahmen 4-5 dB

Gitterfenster mit Stahlrahmen 10 dB

Stahlbretter/Schränke 15 dB

Ziegelmauer 6-12 dB

Betonmauer 10-20 dB

Betondecke 20 dB

Aufzug 20-30 dB

1.2 Brechung

Der Begri¤Brechung kommt aus dem Gebiet der geometrischen Optik. Hält maneinen Strohhalm unter einem Winkel in ein Glas klaren Wassers so erscheint derStrohhalm an der Grenz�äche zwischen der Luft und dem Wasser tatsächlicheinen Knick aufzuweisen, er wird gebrochen. Die Ursache dieses Phänomens istder Brechungsindexunterschied zwischen der Luft und dem Wasser. Für Funk-systeme ist vor allem die Brechung in der Atmosphäre interessant. Sie ist eineFolge der Veränderung des Brechungsindex�der Luft mit steigender Höhe undführt zu einer Erweiterung des Radiohorizonts, wie bereits im Script �Funktech-nik I/II�bzw. �Mobilfunk� erläutert wurde. Hier wird dieses Phänomen nocheinmal etwas näher untersucht.

1.2.1 Das Snelliusche Brechungsgesetz

Es soll die Grenz�äche zwischen zwei Medien mit den relativen Dielektrizitäts-konstante

"r1 = n1 + j�1 (1.13)

und"r2 = n2 + j�2 (1.14)

betrachtet werden. Tri¤t eine elektromagnetische Welle aus Medium 1 kom-mend unter einem Winkel auf die Grenz�äche zwischen den beiden Medien sowird ein Teil der Welle in das zweite Medium hinein gebrochen und der Restwird re�ektiert. Beide Medien haben o¤ensichtlich unterschiedliche Dämpfungs-eigenschaften �1 6= �2 und sie unterscheiden sich im Brechungsindex n1 und n2voneinander. Wie im Script �Funktechnik I/II� bzw. �Mobilfunk�dargestellt,folgt aus der letztgenannten Tatsache, dass sich die Phasengeschwindigkeit derWelle im Medium 1 von der Phasengeschwindigkeit der Welle im Medium 2unterscheidet.


Ein Auto fahre auf einer Straße, solange beide Räder dieselbe Haftung aufdem Untergrund haben fährt das Fahrzeug geradeaus. Angenommen der Fahrerschläft ein und bewege sich an den Rand der Fahrbahn der aus schlammigemSand besteht. Wenn die beiden rechten Räder sich in diesem Schlamm bewegenhaben sie eine geringere Haftung als die linken, sie drehen durch. Daraus ergibtsich, dass die Geschwindigkeit des Fahrzeuges auf der rechten Seite geringerist als auf der linken. Das Fahrzeug dreht sich dementsprechend rechts herum.Kommt es nun von der Straße ab so hat es bei der Weiterfahrt im Schlamm einegeänderte Richtung. Genau dasselbe passiert auch an der Grenz�äche zwischenden Medien. die unterschiedliche Phasengeschwindigkeit bewirkt eine Ablenkungdes Strahles zum dichteren Medium (dem Medium mit dem höheren Brechungs-index) hin. Dieser E¤ekt wird Brechung genannt. Der Zusammenhang zwischenden Winkeln des einfallenden � und gebrochenen Strahles � wird durch dasSnelliussche Brechungsgesetz beschrieben

sin�

sin�=vph1vph2

=n2n1

(1.15)

wobei vph die Phasengeschwindigkeit der Welle beschreibt.

1.2.2 Skintiefe

Was mit dem gebrochenen Anteil der Welle im Medium geschieht hängt vonder Größe des Imaginärteils des Brechungsindex�ab. Wie im vorigen Kapitelabgeleitet, führt der Imaginärteil zur Dämpfung der Welle im Medium. DieEnergie wird also in Wärme umgewandelt. Die Eindringtiefe bei der die Leistungoder Intensität der Welle auf das 1=e fache abgesunken ist wird als die Skintiefe� bezeichnet. Nach (1.5) folgt

I (�) =I0e: (1.16)

und damit für die Skintiefe� = 1=� (1.17)

Beispiel 7 Bei einem Metall wird, für hohe Frequenzen, der Brechungsindexdurch die freien Leitungselektronen bestimmt und die Dämpfungskonstante ergibtsich durch Stöße der Elektronen untereinander. Die mittlere Zeit zwischen zweiStößen ist � : Diese mittlere Zeit beträgt für Kupfer � � 2:7�10�14s. Für relativniedrige Frequenzen (!� � 1) ist der Absorptionskoe¢ zient des Metalls

� = 2k0� =

r2�!

"0c2(1.18)

mit � als der Leitfähigkeit des Metalls, c als der Vakuumlichtgeschwindigkeitund "0 als der elektrischen Feldkonstanten. Für Kupfer gilt diese Gleichung fürFrequenzen von f � 1= (2��) � 5:9 THz. Kupfer hat eine Leitfähigkeit von� = 6 � 107 A/(Vm). Wie großist die Eindringtiefe einer Mobilfunkwelle miteiner Frequenz von 2 GHz?

Lösung 8 Die Mobilfunkwelle dringt demnach

� = 1=� =

r8:854� 10�12 � 9� 10162� 6� 107 � 2� � 2� 109m

1.2. BRECHUNG 15

rund 726 nm tief in das Kupfer ein bevor ihre Leistung auf das 1=e fache abge-sunken ist. Die Skintiefe beträgt also 726 nm.

Nach Gleichung (1.18) ist die Skintiefe in einem leitfähigen Medium um-gekehrt proportional zur Wurzel aus der Frequenz. Hohe Frequenzen dringendemnach viel weniger weit in ein Metall ein als niedrige. Das Wasser der Meereund Ozeane enthält gelöste Salze. Diese Ionen führen zu einer Leitfähigkeit desWassers und damit ebenfalls zu einer Skintiefe. Für die Kommunikation mit ge-tauchten U-Booten werden daher elektromagnetische Wellen mit extrem großenWellenlängen und damit sehr geringer Frequenz eingesetzt.

1.2.3 Brechung in der Erdatmosphäre

Innerhalb der Erdatmosphäre gibt es zwei grundlegend unterschiedliche Bre-chungsindizes die für Funkwellen von Bedeutung sind. Der eine ist der Bre-chungsindex der Ionosphäre und der andere der Brechungsindex der Luft.Die Ionosphäre entsteht durch die Aufspaltung der Luftmoleküle durch die

energiereiche Strahlung der Sonne. Die Ionen der Ionosphäre sind leitfähig, daherhandelt es sich hier um den Brechungsindex eines leitfähigen Mediums. In denoberen Luftschichten werden die einzelnen Luftmoleküle entmischt, da sie alleeine unterschiedliche Energie zur Aufspaltung ihrer Bindung brauchen gibt esnicht nur eine sondern vier Ionosphärenschichten. Jede von ihnen hat eine anderePlasma-Grenzfrequenz. Je nach dem Verhältnis der Frequenz der Funkwellen zudieser Plasma-Grenzfrequenz werden sie entweder re�ektiert, absorbiert odertransmittiert.

� Längstwellen: Für diese stellt die Ionosphäre und die Erdober�äche - inderen wasserhaltigen Schichten sich gelöste Salze be�nden - einen Wel-lenleiter dar. Die Wellen werden dementsprechend um die gesamte Erdeherum geleitet.

� Lang- und Mittelwellen: In den unteren beiden Schichten der Ionosphärewerden diese Wellen absorbiert. In den beiden oberen hingegen re�ektiert.Alle 4 Schichten sind nur am Tag vorhanden. In diesem Fall wird die Wellein den unteren beiden Schichten vollständig absorbiert. In der Nacht bauensich die unteren beiden Schichten ab und die Welle wird an den oberenbeiden Schichten re�ektiert. Dadurch kommt es in der Nacht zu großenÜberreichweiten von Lang- und Mittelwellensendern. Gleichzeitig führt dieÜberlagerung der an der Ionosphäre re�ektierten mit der Welle die sich amBoden ausgebreitet hat zu einem Fading in den Abend- und Nachtstunden.

� Kurzwelle: Bei diesen Frequenzen ist die Wellenlänge viel kleiner als derAbstand zwischen den einzelnen Ionosphärenschichten. Durch die Ände-rung des Brechungsindex mit der Höhe innerhalb der Ionosphärenschichtkann die Kurzwelle wieder zurück zur Erde gebogen werden. An der Erdewird sie ebenfalls re�ektiert. So dass mit Kurzwelle so genannte Multi-Hop-Verbindungen über die ganze Erde möglich sind. Ob die Welle wiederzur Erde gebogen wird hängt von der Frequenz der Welle, der Tageszeit,der Sonne�eckentätigkeit und anderen Bedingungen ab.

� Ultrakurzwelle: In diesem Frequenzbereich spielt die Ionosphäre keine Rol-le, da die Raumwelle durch die Ionosphäre hindurch dringt. Für UKW und


alle Frequenzen darüber (>30MHz) ist nur die Ausbreitung der bodenna-hen Welle von Bedeutung.

Für Funksysteme oberhalb des UKW-Bereichs ist vor allem die Änderungdes Brechungsindex�der Luft von besonderer Bedeutung. Dieser führt ebenfallszu einer Brechung der Wellen. Luft besteht aus einem Gasgemisch. Die Luftmo-leküle haben eine Masse und werden durch die Gravitation von der Masse derErde angezogen. Zum einen ist die Gravitation vom Quadrat des Abstands zwi-schen den Massen abhängig und zum anderen drücken die Luftmoleküle die sichweiter oben be�nden auf die Moleküle weiter unten. Der größte Druck herrschtdementsprechend auf der Erdober�äche. Bei einem Anstieg der Höhe um dh vonder Erdober�äche verändert sich der Druck der Luft um

dp = �� (h) gdh (1.19)

wobei g die Erdbeschleunigung 9:81 m/s2 und � (h) die mit der Höhe einherge-hende Dichteänderung beschreibt.Nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte bleibt das Verhältnis zwischen Druck

und Dichte in jeder Höhe gleich und entspricht somit auch dem am Bodenherrschenden p0=�0.

p (h)

� (h)=p0�0=) � (h) = p (h)

�0p0

(1.20)

Das Verhältnis zwischen Druck und Dichte am Boden lässt sich messen. DieDruckänderung mit der Höhe ist mit (1.19) und (1.20):

dp

dh= �g �0

p0p (h) (1.21)

Der Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe ist dementsprechend

p (h) = p0e�g �0p0 h (1.22)

Dies ist die so genannte Barometrische Höhenformel. Der Luftdruck nimmt alsoexponentiell mit der Höhe ab. Abbildung 1.3 zeigt den Luftdruck in Abhängig-keit von der Höhe.

Beispiel 9 Leipzig-Connwitzer Kreuz be�ndet sich in einer Höhe von 92.4 müber NN. Der normale Luftdruck auf Meereshöhe beträgt rund 1015 hPa, wiehoch ist der Luftdruck dann in Leipzig-Connewitz?

Lösung 10 Entsprechend Glng.(1.22) folgt für den Luftdruck in Leipzig mitH = p0

�0g= 8005 m; p (92:4m) = 1012:25 hPa. Die Messung dieses Luftdruckun-

terschieds ist die Grundlage Barometrischer Höhenmesser.

Die Verringerung des Luftdrucks führt zu einer Verringerung des Brechungs-index�mit der Höhe. Die elektromagnetische Welle wird beim Durchgang durchdie Atmosphäre gebrochen und zwar jedes Mal vom Lot weg wenn sie höhersteigt, wie in der Abb.1.3 dargestellt ist. Die Welle breitet sich also nicht gerad-linig aus sondern in einer Bogenkurve.

1.2. BRECHUNG 17

Abbildung 1.3: Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe über der Erdober�ächenach der Barometrischen Höhenformel. Luftdruck am Boden 1015 hPa, Skalen-höhe H = p0

�0g= 8005 m

Der Brechungsindex der Luft am Boden ist rund 1.000315, da eine derartigeSchreibweise umständlich ist drückt man den Brechungsindex in so genanntenN-units aus. Diese bezeichnen den Unterschied des Brechungsindex�zu 1.

N = (n� 1)� 106 (1.23)

Der Brechungsindex am Boden ist demzufolge NS � 315. Da der Brechungsin-dex von der Dichte der Luftmoleküle abhängt folgt er demselben exponentiellenVerlauf wie diese. Der Brechungsindex der Luft in Abhängigkeit von der Höheist

N = NSe� hH (1.24)

mit H = 7:35 km und NS = 315 als Standard Referenzwerte nach ITU [28].Den Brechungsindex in Abhängigkeit von der Höhe über dem Meeresspiegel

zeigt Abb.1.4

Beispiel 11 Wie großist der Standard-Brechungsindex in Leipzig-Connewitz(Höhe über NN 92.4m)?

Lösung 12 Nach Gleichung (1.24) beträgt der Brechungsindex in Leipzig Conne-witz N = 311:06 N-units und ist damit rund 4 N-units kleiner als auf Meeres-höhe.

Die Brechungsindexänderung mit steigender Höhe führt vor allem zu einerVergrößerung des Horizonts elektromagnetischer Wellen im Frequenzbereich dermobilen Funksysteme wie im Bachelor-Script bereits ausgearbeitet wurde. Dader Luftdruck �ießend abnimmt �ndet auch die Änderung des Brechungsindex�


Abbildung 1.4: Brechungsindex der Erdatmosphäre in Abhängigkeit von derHöhe über dem Meeresspiegel für H = 7:35 km und NS = 315:

mit der Höhe �ießend statt. Angenommen ein Sender strahlt eine Welle in Rich-tung des Horizonts ab. Da die Erde rund ist, dringt die Welle mit größer wer-dender Entfernung in immer höhere Luftschichten ein. Diese haben aber einenstetig abnehmenden Brechungsindex. In der Folge wird die Welle ständig gebro-chen. Da es sich um den Übergang von einem dichten zu einem dünnen Mediumhandelt wird die Welle zur Erde hin gebrochen. Dementsprechend beschreibt dieWelle einen Bogen. Wie stark die Krümmung dieses Bogens ist hängt von derFrequenz der Welle ab. Bei elektromagnetischen Wellen im KW-Bereich ist dieKrümmung, in der Ionosphäre, stärker als die Erdkrümmung. Die Welle wirddementsprechend wieder zum Boden zurück gebrochen.Für Wellen im Mobilkommunikations-Bereich (0.5-300 GHz) ist die Krüm-

mung geringer. Trotzdem ist sie stärker als die Krümmung für Wellen des sicht-baren Lichtes. Dementsprechend reichen diese Wellen über den sichtbaren Hori-zont hinaus. Inversionswetterlagen können in einigen Fällen auch zu einer Aus-bildung von Wellenleitern und damit zu extremen Überreichweiten führen. Nä-heres zu diesen Themen �ndet sich im Bachelor-Script.

1.3 Re�exion

Die Re�exion ist ebenfalls bereits aus der Optik bekannt und im Prinzip sehreinfach zu beschreiben. Tri¤t eine Welle unter einem Winkel � auf eine Grenz�ä-che zweier Materialien die sich in ihrem Brechungsindex voneinander unterschei-den, so wird die Welle in den meisten Fällen unter dem Winkel � re�ektiert. DerWinkel der re�ektierten Welle ist also gleich dem Winkel der einfallenden Welle,aber die Größe Ihrer Amplitude hängt vom Anteil ab der in das Medium hineingebrochen wurde. Im Bereich der drahtlosen Kommunikation bzw. Funktechnikführt die Re�exion zu zusätzlichen Kopien des drahtlosen Signals die am Emp-

1.3. REFLEXION 19

fänger ankommen. Diese Kopien können dort das Signal-zu-Rauschverhältnisdurch Interferenz verschlechtern und sie führen zu einer zeitlichen Verbreiterungder im Funkkanal gesendeten Impulse durch Intersymbolinterferenz. Durch ei-ne geschickte Signalverarbeitung die z.B. bei MIMO-Systemen angewandt wirdkönnen diese Re�exionen aber auch zu einer Vergrößerung der Übertragungska-pazität des Funkkanals führen.Re�exion innerhalb einer Funkzelle tritt auf wenn sich die Wellen in der

Luft ausbreiten und auf ein Hindernis stoßen dessen Abmessungen viel größerals die Wellenlänge sind und dessen Ober�äche als eben bezeichnet werden kann.Dies können z.B. Häuserfassaden sein. Aber auch wenn sich kein Hindernis imAusbreitungsweg zwischen Sender und Empfänger be�ndet kommt es in denmeisten Fällen zu Re�exionen der Welle an der Erdober�äche. Dies liegt vorallem daran, dass die Höhe des Empfängers mit 1 bis 2 m relativ gering ist,dafür aber die Entfernung zwischen Sender und Empfänger relativ groß.

1.3.1 Die Fresnel-Gleichungen

Abbildung 1.5 zeigt das Verhalten einer horizontal (oben) und vertikal (unten)polarisierten Welle1 . Wie man der Abbildung für die horizontale Welle ent-nehmen kann, wird ein bestimmter Anteil der Welle unter dem Einfallswinkelre�ektiert. Der Rest wird in das Medium hinein gebrochen. Da das zweite Me-dium dichter ist als das Erste ist der Winkel � kleiner als der Winkel �. ImMedium breitet sich die Welle weiter aus und tri¤t erneut auf eine Grenz�äche,diesmal aber zu einem dünneren Medium. Es tritt erneut eine Re�exion auf. Dahier der Einfallswinkel � ist folgt auch für den re�ektierten Strahl erneut derWinkel �. Da das zweite Medium nun dünner ist, wird die Welle von der Ober-�ächennormalen weg gebrochen. Bei der austretenden Welle tritt nun erneut derWinkel � auf.Die Größe der einzelnen Amplituden der gebrochenen und re�ektierten Wel-

len wird durch den Transmissions- und den Re�exionskoe¢ zienten bestimmt.Der Transmissionskoe¢ zient ist das Verhältnis zwischen der gebrochenen undder einfallenden Amplitude � = Ag=Ae und der Re�exionskoe¢ zient entspre-chend das Verhältnis zwischen der re�ektierten und der einfallenden Amplituder = Ar=Ae . Da Re�exion und Brechung rein passiv sind können � und r auchhöchstens den Wert 1 annehmen. In diesem Fall ist die re�ektierte bzw. gebro-chene Amplitude gleich der einfallenden Amplitude.Die beiden Koe¢ zienten unterscheiden sich, je nachdem ob es sich um eine

horizontal oder vertikal polarisierte Welle handelt. Aus den von Augustin Fresnelaufgestellten Gleichungen ergibt sich für den Transmissions-Koe¢ zienten einerhorizontal polarisierten Welle

�H =2n1 cos�

n1 cos�+ n2 cos�(1.25)

1Horizontale und vertikale Polarisation werden durch die Stellung des E-Vektors zum Hori-zont bestimmt. Die folgenden Aussagen gelten nur dann wenn sich die Wellen in Bezug auf diere�ektierende Ober�äche genau so verhalten wie in Abbildung 1.5 dargestellt. Wird die Wellenicht am Boden sondern z.B. an einer Hausfassade re�ektiert drehen sich die Bedingungenum. Daher wird in der Physik für die Re�exion meist eine s und p-Polarisation de�niert (sieheBachelor-Script). Die horizontale Polarisation meint in Bezug auf die Re�exionsgleichungenalso immer eine s und die vertikale immer eine p-Polarisation.


Abbildung 1.5: Re�exion und Brechung einer horizontal (oben) und vertikal(unten) polarisierten Welle

ihr Re�exionskoe¢ zient ist hingegen

rH =n1 cos�� n2 cos�n1 cos�+ n2 cos�

(1.26)

Für vertikal polarisierte Wellen ergibt sich

�V =2n1 cos�

n2 cos�+ n1 cos�(1.27)

und

rV =n1 cos� � n2 cos�n1 cos� + n2 cos�

(1.28)

Die Frequenz der Welle geht nicht direkt in die Fresnel-Formeln ein, trotzdemist der Transmissions- und Re�ektionskoe¢ zient nicht Frequenzunabhängig, dader Brechungsindex eines Mediums sich mit der Frequenz ändert (n1 = n1 (!)und n2 = n2 (!)).Wenn für den Brechungsindex von Luft näherungsweise n1 = 1 angenommen

wird lassen sich die Fresnel-Gleichungen für den Re�exionskoe¢ zienten verein-fachen. Sie ergeben dann

rH =cos��

qn22 � sin2 �

cos�+qn22 � sin2 �

(1.29)

und

rV =�n22 cos�+

qn22 � sin2 �

n22 cos�+qn22 � sin2 �

(1.30)

1.3. REFLEXION 21

Tabelle 1.4: Brechungsindizes unterschiedlicher dielektrischer Materialien fürverschiedene Frequencen [8]

Material Brechungsindex Frequenz [MHz]

Trockener Boden 2 100

Typischer Boden 3.9 100

Feuchter Boden 5 100

Wasser 9 100

Ziegelsteine 2.1 4000

Kalkstein 2.7 4000

Glas (Corning 707) 2 1-10000

Zur Berechnung des Re�exionskoe¢ zienten benötigt man dementsprechendnur noch den Brechungsindex des Hindernisses bzw. die Wurzel aus der relativenDielektrizitätskonstanten und den Einfallswinkel der Welle. Die Brechungsindi-zes für unterschiedliche Materialien bei bestimmten Frequenzen sind in Tab.1.4aufgeführt.

1.3.2 Re�exionsfaktor

Abbildung 1.6 zeigt den Re�exionsfaktor einer TE- bzw. TM-Welle (horizontalbzw. vertikal) in Abhängigkeit vom Einfallswinkel � für eine Ziegelsteinwand("r = 4:44). Für �ache Einfallswinkel (� =) 90�) ist der Re�exionsfaktor,unabhängig von der Polarisation � �1. Das heißt, die gesamte Intensität dereinfallenden Welle wird re�ektiert, nichts geht in das Material hinein. Außerhalbdieses Sonderfalls gibt es für TE-Wellen an der Grenz�äche immer eine Aufspal-tung der einfallenden Welle in eine gebrochene und eine re�ektierte Welle. FürTM-Wellen gibt es hingegen einen Winkel bei dem der Re�exionsfaktor Nullwird. Das ist der so genannte Brewster-Winkel . Fällt eine horizontal polarisier-te Welle unter diesem Winkel auf die Grenz�äche wird nichts re�ektiert. Diegesamte Intensität der Welle geht in das zweite Medium hinein.Da der Re�exionsfaktor das Verhältnis der Amplituden zwischen re�ektierter

und einfallender Welle bestimmt und die Intensität bzw. die Leistung der Welleproportional zum Quadrat der Amplituden ist ergibt sich für das Verhältnis derLeistungen und Intensitäten

r2 =A2rA2e

=IrIe=PrPe

(1.31)

Die re�ektierten Intensitäten bzw. Leistungen für unterschiedliche Materia-lien zeigt die Abb. 1.7

1.3.3 Brewster-Winkel

Ist der Einfallswinkel streifend, also � 90� werden alle Wellen zu 100% re�ek-tiert, dabei ist es egal aus welchem Material das Medium besteht und welche


Abbildung 1.6: Re�exionsfaktor einer TE bzw. TM-Welle für die Re�exion aneiner Ziegelsteinwand bei einer Frequenz von 4 GHz.

Abbildung 1.7: Intensität bzw. Leistung der re�ektierten Wellen als Funktiondes Einfallswinkels für unterschiedliche dielektrische Materialien

1.3. REFLEXION 23

Polarisation die Welle hat. Für TE-Wellen re�ektieren Wasser und feuchter Bo-den auch für spitze Einfallswinkel der Wellen, Glas und trockener Boden re-�ektieren hingegen relativ schlecht. Tri¤t eine einfallende TM-Welle unter demBrewster-Winkel auf die Grenz�äche wird sie überhaupt nicht re�ektiert. DieGröße dieses Winkels hängt vom Brechungsindex des Materials ab. Für Wasserbeträgt er � 84� für trockenen Boden und Glas hingegen nur � 63�.Außer für Winkel von 0� und 90� werden TE polarisierte Wellen grundsätz-

lich besser re�ektiert als TM-Wellen. Das bedeutet, weist die einfallende Welleeine Mischung zwischen horizontaler und vertikaler Polarisation auf. So wirddurch die Re�exion der horizontale Anteil gegenüber dem vertikalen verstärkt.Fällt die Welle beispielsweise unter dem Brewster-Winkel auf die Grenz�ächeist sie nach der Re�exion nur noch horizontal polarisiert. Sind die Wellen alsonicht genau TE oder TM polarisiert wird bei jeder Re�exion der elektrischeFeldvektor gedreht und damit die Polarisation verändert.O¤ensichtlich hängt - außer für den Fall des streifenden Einfalls (� =) 90�)

- die Re�exion in starkem Masse von der Polarisation der Wellen und damitder Richtung des elektrischen Feldvektors ab. Den Grund dafür zeigt Abb. 1.8.Wie im Bachelor-Script erläutert wurde, kann man die Ausbreitung elektroma-gnetischer Wellen in Nichtleitern durch einen Primär- und einen Sekundärtermin den Maxwell-Gleichungen beschreiben. Der Sekundärterm entsteht durch diePolarisation des Materials. Dringt eine Welle in das Medium ein wird diesespolarisiert. Die Welle (der Primärterm) regt im Medium Dipole zur Schwin-gung an. Die Dipole werden aus den Valenzelektronen als negativem Ladungs-trägerschwerpunkt und dem restlichen Atomrumpf als positivem Schwerpunktgebildet. Die Frequenz der Schwingung entspricht der Frequenz der anregendenWelle, lediglich die Phase ist eine andere. Jede beschleunigte Ladung ist ihrer-seits wieder Quelle elektromagnetischer Wellen. Das ist der Sekundärterm in denMaxwell-Gleichungen. Die Dipole strahlen nicht in alle Richtungen gleich gutab, sondern haben eine bestimmte Abstrahlcharakteristik, wie ebenfalls schonim Bachelor-Script hergeleitet wurde.Im oberen linken Fall der Abb. 1.8 ist die einfallende Welle p- bzw. TM-

polarisiert. Die Welle wird in das Medium hinein gebrochen und regt dort Di-pole zu Schwingungen an. Die Schwingungsrichtung der Dipole entspricht dabeider Richtung des elektrischen Feldvektors im Material. Sie schwingen dement-sprechend in der Blattebene. Senkrecht zu seiner Schwingungsrichtung strahltein Dipol am Besten ab. In Schwingungsrichtung dagegen überhaupt nicht wiein der Abbildung zu sehen ist.Wie man der Abbildung entnehmen kann, ist der Anteil den die Dipole in

Richtung des re�ektierten Strahles aussenden eher gering. Wenn der re�ektierteund der gebrochene Strahl einen Winkel von 90� zueinander einnehmen (�+� =90�) zeigt der re�ektierte Strahl genau in die Schwingungsrichtung der Dipole.Da diese in dieser Richtung nichts abstrahlen gibt es keinen re�ektierten Strahl.Das ist der oben bereits erwähnte Brewster-Winkel.Ist die Welle hingegen s- oder TE-polarisiert schwingen die Dipole senkrecht

zur Blattebene. Von oben betrachtet strahlt ein Dipol in alle Richtungen gleichgut ab. Daher gibt es für eine s-Polarisation keinen Brewster-Winkel und derre�ektierte Anteil ist - bei gleichem Einfallswinkel - für s-polarisierte Wellen -außer bei 0 und 90� - immer größer als bei p-polarisierten Wellen.

Beispiel 13 Berechnen Sie den Brewster-Winkel einer Glasfassade für UMTS-


Abbildung 1.8: Re�exion an einer ebenen Ober�äche für unterschiedlich polari-sierte Wellen zur Erläuterung des Brewster Winkels.

Wellen.

Lösung 14 Die Bedingung für den Brewster-Winkel lautet: � + � = 90� unddamit � = 90��. Der Brechungsindex einer Glasfassade ist bei einer Frequenzvon 2 GHz, nach Tab. 1.4 n2 = 2. Und das Snelliusche Brechungsgesetz besagtsin�sin � = n2

n1. Mit n1 = 1 für Luft folgt: sin� = 2 sin (90� � �) bzw. sin� =

2 cos (�). Quadriert man beide Seiten ergibt sich sin2 � = 4 cos2 � und mit derBeziehung 1 � sin2 � = cos2 � folgt sin2 � = 4

�1� sin2 �

�= 4 � 4 sin2 � und

damit sin� =p4=5 = 0:894 43. Daraus folgt für den Brewster-Winkel � =

63:47�. Dies entspricht dem Ergebnis nach Abb. 1.7.

Da Wellen drahtloser mobiler Systeme in städtischen Gebieten häu�gen Re-�exionen am Erdboden und an Häuserfassaden unterworfen sind lässt sich keineAussage über die Polarisation der am Empfänger ankommenden Welle tref-fen. Man kann also die Kapazität eines mobilen Funkkanals nicht durch einPolarisations-Multiplex erhöhen.

Beispiel 15 Eine Mehrwegekomponente eines WLAN-Signals tri¤t unter ei-nem Winkel von 20� auf eine Hausfassade aus Glas. Wie großist die re�ektierteLeistung wenn die einfallende Welle eine Leistung von 1 mW hatte und die Sen-deantenne senkrecht zur Erdober�äche stand. Vorher aufgetretene Änderungender Polarisation durch Re�exion sollen vernachlässigt werden.

Lösung 16 Wenn die Sendeantenne senkrecht zum Erdboden stand und sichdie Polarisation nicht geändert hat sind die Wellen, gegenüber dem Erdboden,

1.4. STREUUNG 25

Abbildung 1.9: Beispiel der kohärenten Streuung einer elektromagnetischen Wel-le an rauhen Ober�ächen

vertikal polarisiert, allerdings steht die Hausfassade senkrecht zum Erdboden unddamit parallel zur Antenne. Dementsprechend sind die Wellen in der Re�exi-onsebene horizontal polarisiert. Für TE-Wellen die unter einem Winkel von 20�

auf eine Glas�äche fallen ergibt sich nach Abb. 1.7, oder durch eine Rechnung,dass 12.5% der Leistung re�ektiert werden. Die Leistung der re�ektierten Welleist also 0.125 mW.

1.4 Streuung

Die im vorigen Kapitel beschriebene Re�exion tritt im eigentlichen Sinne nur aufwenn die Grenz�äche zwischen den Medien mit unterschiedlichen Brechungsindi-zes ideal eben ist. In den allermeisten Fällen ist dies nicht der Fall. Abbildung 1.9zeigt eine elektromagnetische Welle die auf eine nicht vollkommen glatte Ober-�äche tri¤t. Zwischen dem ersten und zweiten Medium besteht ein Unterschiedin den Brechungsindizes dementsprechend wird ein Teil der Wellenamplitude ander Grenz�äche zurückgeworfen.Die Wellenfront der einfallenden Welle sei eben. Ein Teil der Wellenfront

tri¤t auf Erhebungen der Ober�äche und wird eher gestreut als der Teil der vonden Tälern der Ober�äche zurückgeworfen wird. Die einfallende Welle regt inder Ober�äche Dipole zu Schwingungen an. Diese Dipole schwingen mit dersel-ben Frequenz wie die einfallende Welle. Ein schwingender Dipol ist seinerseitswieder Quelle einer elektromagnetischen Welle die er, mit der für einen Dipol ty-pischen Strahlungscharakteristik, in den Raum abstrahlt. Die einzelnen Dipolewerden durch die einfallende Wellenfront zu unterschiedlichen Zeiten angeregtund schwingen daher mit unterschiedlichen Phasenlagen.

1.4.1 Kohärente Streuung

Haben die einzelnen Dipole aber trotzdem eine feste Phasenbeziehung zueinan-der, wie im Abschnitt �Zusammenschaltung von Dipolen�des Bachelorscripts,so überlagert sich der Hauptteil der gestreuten Anteile in einer bestimmtenRichtung. Wie Abb. 1.9 zeigt, wird in diesem Fall ein Teil der Energie in andereRichtungen abgelenkt, aber der wesentliche Anteil tritt unter demselben Win-kel zur Ober�ächennormalen aus unter dem die Welle eintraf. Dieser E¤ekt wird


Abbildung 1.10: Beispiel einer inkohärenten Streuung an einer rauen Ober�äche

kohärente Streuung genannt und soll hier wie die Re�exion behandelt und be-rechnet werden. Der Energieverlust der durch die Streuung der Welle in andereRaumrichtungen entsteht kann durch eine Änderung des Re�exionskoe¢ zientenin die Rechnung einbezogen werden. Der geänderte Re�exionskoe¢ zient lässtsich berechnen falls die Höhenverteilung der Ober�äche einer Gaußverteilungfolgt. Der Re�exionskoe¢ zient ist in diesem Fall [8]

rrau = �sr (1.32)

mit r als dem polarisations- und winkelabhängigen Re�exionskoe¢ zienten derim letzten Kapitel behandelt wurde und �s als

�s = exp

��8��h cos�

�

�2�I0

�8��h cos�

�

�2�: (1.33)

Wobei �h die Standardabweichung der Ober�ächenhöhe von deren mittlerenWert ist, � ist die Wellenlänge, � der Einfallswinkel der Welle und I0 die Bessel- Funktion erster Art, Nullter Ordnung.

1.4.2 Inkohärente Streuung

Haben die einzelnen Streuzentren hingegen keine feste Phasenbeziehung zuein-ander tritt eine inkohärente Streuung auf. Die Welle wird in viele verschiedeneRaumrichtungen gestreut, wie Abb. 1.10 zeigt. Ob die Ober�äche für die einfal-lende Welle so rau ist das es zu einer inkohärenten Streuung kommt hängt vomEinfallswinkel der Welle und ihrer Wellenlänge ab. Abbildung 1.11 zeigt nocheinmal einen vergrößerten Ausschnitt der Abb. 1.10Wenn der von der Ober�äche zurückgeworfene Anteil in eine Richtung gehen

soll müssen sich die beiden an Berg und Tal re�ektierten Teilstrahlen einanderkonstruktiv überlagern können. Zu einer konstruktiven Überlagerung kommt eswenn die Wegdi¤erenz zwischen beiden Teilstrahlen (d1 + d2) nicht größer als�=4 ist.

d1 + d2 = d1

�1 +

d2d1

�� =4 (1.34)

Der Teilweg d1 ist entsprechend der Abbildung

d1 =h

cos�(1.35)

1.4. STREUUNG 27

Abbildung 1.11: Streuung an einer rauen Ober�äche

. Im rechtwinkligen Dreieck d1; d2;x ist der Winkel zwischen d1 und d2 gleichdem Doppelten des Einfallswinkels (2�) und

cos (2�) =d2d1= cos2 �� sin2 � (1.36)

Mit (1.35) und (1.36) in (1.34) und der Beziehung 1� sin2 � = cos2 � ergibt sich

d1 + d2 = 2h cos� � �=4 (1.37)

bzw.

h � �

8 cos�: (1.38)

Ist die Höhe der Ober�ächenstruktur kleiner als dieser Wert kommt es zueiner konstruktiven Überlagerung und die einfallende Welle wird in eine be-stimmte Richtung re�ektiert. Ist die Höhe hingegen größer wird die Welle inviele verschiedene Raumrichtungen gestreut.Abbildung 1.12 zeigt den maximalen Höhenunterschied - also die Rauhigkeit

- den eine Ober�äche haben kann damit die einfallende Welle nicht in vieleverschiedene Raumrichtungen gestreut wird, in Abhängigkeit vom Einfallswinkelfür unterschiedliche Frequenzen der Wellen.Zunächst einmal hängt der Wert von der Frequenz ab. Fällt eine Welle unter

einem Winkel von 45� auf eine raue Ober�äche so wird ein GSM - Signal miteiner Frequenz von 1GHz noch von einer Ober�ächenstruktur mit einem Höhen-unterschied von 5.3 cm re�ektiert. Bei einem WLAN-Signal mit einer Frequenzvon 5 GHz beträgt der maximale Höhenunterschied hingegen nur 1 cm und eindrahtloses Signal einer Trägerfrequenz von 100 GHz wird nur von Strukturenre�ektiert deren Tiefe kleiner als 0.5 mm ist. Ist der Einfallswinkel allerdings�ach (� =) 90�), so tritt auch noch für grobe Strukturen eine Re�exion dereinfallenden Welle auf.

Beispiel 17 Zur rechtwinkligen Ablenkung eines grünen Laserstrahles soll einSilberspiegel eingesetzt werden. Wie eben muss dieser geschli¤en werden damitdas Licht nicht gestreut wird?


Abbildung 1.12: Maximaler Höhenunterschied einer rauen Ober�äche bei deres noch zu einer Re�exion eines einfallenden Strahls unterschiedlicher Frequenzkommt

Lösung 18 Nach (1.38) ergibt sich mit � = 531 nm und � = 45� eine ma-ximale Rauhigkeit von 93.8 nm. Für hochwertige Laseroptiken wird meist eineRauhigkeit von �=10; in diesem Fall also 53 nm, garantiert.

1.4.3 Rayleigh- und Mie - Streuung

Streuung tritt nicht nur an rauen Strukturen des Erdbodens oder der Bebau-ung, sondern auch in der Atmosphäre auf. Bewegt sich eine gebündelte Welledurch ein Medium mit der Ausdehnung l, so ist ihre Intensität bei z = l klei-ner als bei z = 0. Dies hat mehrere Ursachen, zum einen wird die Welle imMedium gedämpft. Wie im Abschnitt 1.2 erwähnt, regt das zeitlich veränder-liche elektromagnetische Feld die Moleküle des Materials zu Schwingungen anund die Energie der Welle wird in Wärme verwandelt. Gleichzeitig wird aberauch ein Teil der Energie durch Streuung aus der Ausbreitungsrichtung der Wel-le abgelenkt. Diese Ablenkung durch Streuung kann mehrere Ursachen haben,aber grundsätzlich hängt sie immer mit der inhomogenen Verteilung optischerEigenschaften im Volumen des Mediums zusammen.Die Luft der Atmosphäre enthält, neben anderen Bestandteilen, Staubpar-

tikel, Aerosole und Wasserdampf. Die Dielektrizitätskonstante, bzw. der Bre-chungsindex, dieser Partikel unterscheidet sich von dem der umgebenden Luft.Dementsprechend wird ein Teil der Welle die sich durch die Luft bewegt anjeder Grenz�äche zwischen der Luft und den Partikeln re�ektiert. Die Vertei-lung und die Lage der Grenz�ächen ist völlig zufällig, dementsprechend wirdein Teil der Energie der Welle in alle möglichen Richtungen re�ektiert oder, mitanderen Worten, im Medium gestreut. Diese Art von Streuung tritt auf wenndie Wellenlänge in der Größenordnung der Abmessungen der Partikel liegt undwird Mie - Streuung genannt. Die Streuung von mm-Wellen an Regentropfen ist

1.5. BEUGUNG 29

z.B. eine derartige Mie - Streuung. Die Mie - Streuung ist unabhängig von derWellenlänge, das heißt alle Frequenzanteile in der Bandbreite des übertragenenSignals werden gleich gestreut. Wasserdampf in der Erdatmosphäre oder Fett-tropfen in der Milch haben Abmessungen die der Wellenlänge des sichtbarenLichts entsprechen. Da auch hier Mie - Streuung auftritt und alle Wellenlängendes Tageslichts gleich gestreut werden, erscheinen der Nebel oder die Milch weiß,obwohl Wasser und das Milchfett eigentlich durchsichtig sind.Im Mobilfunkbereich werden die Wellen beispielsweise durch das Laub von

Bäumen gestreut. Diese Streuverluste sind. [6]

LdB = 0:2f0:3R0:6 (1.39)

mit f als der Trägerfrequenz des Signals in MHz für Frequenzen von 200-95 000MHz und R als der Dicke der Laubschicht in m für Dicken bis 400 m.

Beispiel 19 Wie stark ist die Abschwächung eines Mobilfunksignals mit einerFrequenz von 2 GHz hinter zwei Laubbäumen mit einer Laubdicke von 10m?

Lösung 20 Nach (1.39) ergibt sich L = 0:2� 20000:3 � 100:6 � 7:8 dB.

Auch völlig reine Medien können eine Streuung von Wellen verursachen.Wenn, z.B. ein Gas oder eine Flüssigkeit bestehend aus identischen Molekülensich in einem thermischen Gleichgewicht be�ndet, so ist der Brechungsindexisotrop über das gesamte Volumen des Mediums. Betrachtet man hingegen nureinen winzig kleinen Ausschnitt des Gesamtvolumens, mit Abmessungen kleinerals die Wellenlänge aber größer als die Moleküle, so erkennt man, dass die Mo-lekülverteilung in diesem Volumen zufällig ist. Diese zufällige Molekülverteilunghat ihre Ursache in der thermischen Bewegung der Moleküle und führt zu einerzufälligen Fluktuation des Brechungsindex auf einer Größenskala die viel kleinerals die Wellenlänge ist. In diesem Fall wird die Wellenablenkung als Rayleigh-Streuung bezeichnet. Auf Grund der kleinen Abmessungen gelten die Gesetzeder Strahlenoptik (das Snelliussche Brechungsgesetz) in diesem Fall nicht mehrsondern der Wellencharakter muss in die Betrachtung mit einbezogen werden.Die Intensität der gestreuten Welle ist bei der Rayleigh-Streuung abhängig vonder Wellenlänge, sie ist

IS �1

�4(1.40)

Die Streuung des Sonnenlichts an den Spurengasen der Erdatmosphäre istz.B. eine Rayleigh-Streuung. Nach (1.40) ist die Intensität der gestreuten Welleumgekehrt proportional zur vierten Potenz der Wellenlänge. Im gestreuten An-teil des in der Atmosphäre gestreuten weißen Sonnenlichts ist dementsprechendder blaue Anteil viel intensiver als der rote. Dies ist einer der Gründe für denblauen Himmel am Tage und die rote Sonne am Abend- und Morgen.

1.5 Beugung

Die Beugung einer Welle tritt an allen Kanten wie Hausdächern und Ecken vonStraßenzügen oder anderen scharfkantigen Hindernissen auf die sich im Ausbrei-tungsweg be�nden. Durch die Beugung ist es überhaupt erst möglich, dass eineVerbindung zwischen dem mobilen Teilnehmer und der Basisstation besteht ob-wohl keine direkte Sicht zwischen ihnen existiert. Erst die Beugung ermöglicht


Abbildung 1.13: Huygensches Prinzip am Beispiel einer Kugelwelle

dementsprechend die Kommunikation mit Teilnehmern die sich beispielsweisein Straßenschluchten be�nden und von dort aus telefonieren. Optische Wellenwerden natürlich ebenfalls gebeugt aber die Beugung ist umso stärker umsogrößer die Wellenlänge der Welle ist. Dementsprechend leuchtet die Welle ei-ner Basisstation auf dem Dach eine Straßenschlucht aus obwohl eine Lampe, anderselben Stelle angebracht, die Straße im Dunkeln lassen würde.

1.5.1 Das Huygenssche Prinzip

Während man für die Erklärung der Brechung, Re�exion und Streuung da-von ausgehen kann, dass Strahlen durch den Brechungsindexunterschied einerGrenz�äche in eine beliebige Richtung abgelenkt werden lässt sich der E¤ekt derBeugung nur beschreiben wenn man den Wellencharakter mit in Betracht zieht.Ausgangspunkt zur Beschreibung des Phänomens der Beugung ist das Huygens-sche Prinzip. Dieses wurde im Jahre 1690 von dem holländischen Physiker undMathematiker Christiaan Huygens (1629-1695) aufgestellt.Huygens waren Radiowellen natürlich unbekannt, er betrachtete in seiner

Abhandlung Licht und stellte die Hypothese auf, dass Licht eine Wellenbewe-gung in einem alles durchdringenden Äther ist. Er stand damit im krassen Ge-gensatz zu dem damals die gesamte wissenschaftliche Welt beherrschenden IsaacNewton (1643-1727) der Licht als einen Strom sehr kleiner Teilchen betrachtetedie sich geradlinig ausbreiten.Das Huygenssche Prinzip ist in Abb.1.13 dargestellt. Eine Primärwelle bewe-

ge sich von einem Punkt P aus isotrop in alle Raumrichtungen. Die Wellenfrontder Welle beschreibt demnach zu einem beliebigen Zeitpunkt eine Kugel�ächederen Mittelpunkt P und deren Abstand r1 ist. Man kann nun jeden einzelnenPunkt auf der Kugel�äche als Quelle neuer Sekundärwellen betrachten. Steht derweiteren Ausbreitung der Welle kein Hindernis im Weg so ergibt die Einhüllendealler Sekundärwellen eine neue kugelförmige Wellenfront mit dem MittelpunktP und dem Abstand r2.Dieses Prinzip wurde später von Augustin Fresnel (1788-1827) zum Huygens

- Fresnelschen Prinzip erweitert. Fresnel nahm zusätzlich zum HuygensschenPrinzip an, dass für die Berechnung des Feldes in einem Punkt S außerhalb derprimären Wellenfront alle Sekundärwellen die von den Quellen auf der Wellen-

1.5. BEUGUNG 31

Abbildung 1.14: Fresnel-Huygensches Prinzip zur Erklärung von Beugungsphä-nomenen. Erläuterungen im Text

front erzeugt werden amplituden- und phasenrichtig überlagert werden müssen.Zur Erklärung der Beugung bediente er sich dementsprechend zusätzlich derInterferenz.

1.5.2 Fresnel-Beugung

Beugungse¤ekte in der Optik werden in die so genannte Fernfeld und Nahfeld-Beugung unterteilt. Bei der ersteren, die auch Fraunhofer - Beugung genanntwird, ist der Abstand zur Lichtquelle so groß, dass die Wellenfronten als ebenangesehen werden können. Im zweiten Fall, der auch Fresnel - Beugung genanntwird, muss die Krümmung der Wellenfronten mit berücksichtigt werden. Für dieBeugung der Wellen drahtloser Kommunikationssysteme soll hier ausschließlichvon der Fresnel - Beugung ausgegangen werden.Das Fresnel - Huygenssche Prinzip ist in Abb. 1.14 gezeigt. Im oberen Teil

des Bildes (Abb. 1.14 (a)) strahlt eine punktförmige Quelle L elektromagneti-sche Wellen isotrop in alle Raumrichtungen aus. Auf der kugelförmigen Frontder Primärwelle be�nden sich Quellen die ihrerseits wieder Sekundärwellen ab-strahlen. Eine solche Quelle ist im Punkt S dargestellt. Von diesem Punkt wirdeine Sekundärwelle in Richtung des Punktes P abgestrahlt, der Abstand zwi-schen S und P ist r. Zur Erläuterung von Beugungsphänomenen führte Fresnelnun zusätzliche Kugeln ein die ihren Mittelpunkt im Punkt P haben und dieWellenfront der Primärwelle schneiden, wie in Abb. 1.14 (b) dargestellt ist.Der Abstand zwischen den Radien der Kugeln sei die Hälfte der Wellenlänge

der von L abgestrahlten Welle �=2: Die erste Kugel die die Primärwellenfrontgenau tri¤t (' = 0 in Abb. 1.14 (a)) hat dementsprechend den Radius r0. Die


zweite den Radius r = r0+�=2, die nächste weist einen Radius von r = r0+� auf,während diem�te Kugel den Radius r = r0+m�=2 hat. Blickt man von P aus inRichtung L (Abb. 1.14 (c)), so ergeben die Schnitt�ächen zwischen den Kugelnkonzentrische Kreise deren Abstand nach außen hin durch die Kugelkrümmungkleiner zu werden scheint. Diese Kreise werden auch Fresnel - Zonen genannt.Die Radien der einzelnen Fresnel - Zonen seien �m , mit m als der Nummer

der Zone. Be�ndet sich der Beobachtungspunkt P weit genug von L entfernt,so ist der Radius der m�ten Zone

�m �qr2 � r20 =

q(r0 +m�=2)

2 � r20 (1.41)

Ist der Abstand viel größer als die Wellenlänge r0 � � - was in mobilen Funk-systemen meist der Fall sein dürfte - so ergibt sich für den Radius der m�tenFresnel - Zone

�m �pmr0� (1.42)

Beispiel 21 Wie großist der Radius der ersten Fresnel - Zone für ein UMTS-Signal wenn sich der Empfänger in einer Entfernung von 50 m be�ndet?

Lösung 22 Ein UMTS-Signal hat eine Trägerfrequenz von 2 GHz und damiteine Wellenlänge von � � 15 cm. Für den Radius der Fresnel - Zone ergibt sichentsprechend �1 �

p0:15� 50 = 2:73 m.

1.5.3 Fresnel - Zonen

Nach dem Huygenschen Prinzip be�nden sich in jeder einzelnen der FresnelschenZonen auf der Kugel�äche der Primärwelle Quellen die Sekundärwellen auch inRichtung des Empfangspunktes P anregen. Die Gesamtfeldstärke der Welle imPunkt P ergibt sich aus der phasenrichtigen Überlagerung all dieser Beiträ-ge. Vom Sendepunkt L zur Kugel�äche herrscht in alle Richtungen derselbeAbstand, dementsprechend senden alle Quellen auf der Kugel�äche Sekundär-wellen mit derselben Phase aus. Von der Kugel�äche zum Empfangspunkt Pändert sich aber der Abstand von Zone zu Zone laut Voraussetzung um �=2.Dementsprechend ändert sich das Vorzeichen der einzelnen Beiträge der Zonenvon einer Zone zur nächsten. Die Gesamtfeldstärke im Punkt P ist also

E(P ) =

NXm=1

Em = jE1j � jE2j+ jE3j � jE4j+ :::� jEN j (1.43)

Eine einfache Umordnung von (1.43) ergibt

E(P ) =1

2jE1j+

�1

2jE1j � jE2j+

1

2jE3j

�(1.44)

+

�1

2jE3j � jE4j+

1

2jE5j

�+:::+

1

2jEN j

Ist � hinreichend klein, so ist auch die Radienänderung der einzelnen Kugelngering, dementsprechend lässt sich mit guter Näherung davon ausgehen, dasssich die Beträge der einzelnen Em mit m nur langsam ändern, es folgt

jEm j �1

2(jEm�1j+ jEm+1j) (1.45)

1.5. BEUGUNG 33

Wenn dies der Fall ist, dann sind alle Glieder die sich in Gleichung (1.44) inKlammern be�nden Null und übrig bleiben lediglich die beiden letzten Glieder,da sie nicht vollständig kompensiert werden.

E(P ) � 1

2(jE1j+ jEN j) (1.46)

Die letzte Fresnel - Zone EN entsteht für ' = 90�, ihre Ausdehnung istvon P aus betrachtet extrem klein. Die Anzahl der Sekundärquellen die sichauf ihr be�nden und in Richtung P strahlen muss gering sein. Ihr Beitrag zumGesamtfeld im Punkt P kann daher vernachlässigt werden. Be�ndet sich alsokein Hindernis im Ausbreitungsweg zwischen dem Sender L und dem EmpfängerP - wird die Ausbreitung des Funksignals also durch nichts gestört - so ist dieGesamtfeldstärke im Punkt P

E(P ) � 1

2jE1j (1.47)

Die im Punkt P ankommende Feldstärke wird demnach lediglich von der Hälftealler sich auf E1 be�ndlichen Quellen gespeist.Angenommen die Ausbreitung zwischen Sender und Empfänger wird durch

ein Hindernis gestört. Im ersten Fall soll ein Schirm der die erste Fresnel - Zoneabdeckt und alle anderen Teile durchlässt betrachtet werden. Ist dies der Fall,so kann die erste Klammer in (1.44) nicht mehr vollständig kompensiert werden,da � jE2j+ 1

2 jE3j =12 jE1j demnach folgt

E(P ) = � jE2j+1

2jE3j =

1

2jE1j (1.48)

Deckt man die erste Fresnel - Zone ab, so ist die Feldstärke im Empfangspunktalso genauso großwie ohne Hindernis. Ein zunächst überraschendes Ergebnis dasbei seiner ersten Verö¤entlichung durch Augustin Fresnel heftigen Widerspruchdurch die damals etablierte wissenschaftliche Welt hervorrief. Der Grund fürdieses Verhalten liegt einfach darin, dass der Anteil der destruktiven Quellenvon E1 abgedeckt wurde. Da � jE2j + 1

2 jE3j aber genauso großist kommt dieFeldstärke jetzt von diesen beiden Zonen.Wählt man hingegen den umgekehrten Fall, also einen Schirm der den ge-

samten Bereich außer der ersten Fresnel - Zone abdeckt, so ergibt sich aus (1.44)

E(P ) =1

2jE1j+

1

2jE1j = jE1j (1.49)

Durch die Abschirmung eines Teils der Welle tritt im Punkt P also nicht etwaweniger Energie auf, wie man annehmen könnte wenn man von einer Strahlaus-breitung ausgeht, sondern die Feldstärke ist unter obigen Bedingungen doppeltso hoch und die Intensität damit vervierfacht. Dieser E¤ekt kann für eine Er-höhung der Signalfeldstärke genutzt werden. Blendet man beispielsweise allegeraden Fresnel - Zonen aus, so ergibt sich ein Schirm wie in Abb. 1.14 (c)(weiße Zonen absorbieren). In diesem Fall überlagern sich im Punkt P nur dieAnteile mit positiven Vorzeichen es folgt also

E(P ) = jE1j+ jE3j+ jE5j+ ::: (1.50)

Dies lässt sich beispielsweise zu einer Vergrößerung des Gewinns von Parabol-Antennen nutzen. Eine noch größere Erhöhung der Signalfeldstärke lässt sich


erzielen, wenn die Phase der Anteile der geraden Zonen um �=2 verändert wird.In diesem Fall überlagern sich die Anteile aller Zonen konstruktiv im PunktP . Dies kann man im Bereich der Optik beispielsweise durch unterschiedlichdicke Materialstärken erreichen. Das Ergebnis sind Fresnel - Linsen wie sie inbilligen Kameras, Overheadprojektoren und zur Vergrößerung des Blickwinkelsin Autorückscheiben eingesetzt werden.Im Pfad der Ausbreitung von Funksystemen sind Hindernisse die der Abmes-

sung der Fresnel - Zonen entsprechen für gewöhnlich nicht anzutre¤en, trotzdemhaben die Fresnel - Zonen eine große Bedeutung bei der Dimensionierung vonFunkübertragungsstrecken. Sie dienen der Abschätzung ob ein Hindernis dasin den Ausbreitungsweg zwischen Sender und Empfänger hineinragt der Ver-bindung Leistung entzieht oder nicht. Auf diese spezielle Problematik wird imAbschnitt 2.4 näher eingegangen.

1.6 Interferenz

Der Begri¤ Interferenz beschreibt einfach die Überlagerung zweier Wellen. Ha-ben diese dieselbe Frequenz und Amplitude so hängt das Ergebnis der Über-lagerung von der Phasenbeziehung der beiden Wellen zueinander ab. Habendie Wellenzahlvektoren beispielsweise einen Winkel zueinander, so �ndet maninnerhalb der Überlagerung Orte an denen sich beide Wellen verstärken undandere an denen sie sich gegenseitig auslöschen. Im Mobilfunk gibt es meist kei-ne direkte Sichtverbindung zwischen dem Sender und dem mobilen Teilnehmer.In Stadtgebieten überragt die Antenne der Basisstation meist die sie umgeben-den Gebäude und der Teilnehmer be�ndet sich beispielsweise in einer Straßen-schlucht. Ein Teil des Signals wird dann über das Dach eines Gebäudes gebeugt,während ein anderer an einer Hausfassade re�ektiert wird, ein dritter erreichterst nach der Re�exion an der Straße den Teilnehmer usw. Das Signal breitetsich demnach auf mehreren Wegen zum Empfänger aus, die einzelnen Signalan-teile werden dementsprechend �Mehrwegekomponenten�genannt. Am Ort desEmpfängers überlagern sich die einzelnen Komponenten. Ob es nun zu einerVerstärkung oder gegenseitigen Auslöschung kommt hängt von der Phasenbe-ziehung der Komponenten zueinander ab. Diese verändert sich aber sowohl zeit-lich als auch örtlich. Bei einem UMTS-Signal mit einer Frequenz von 2 GHzergibt sich beispielsweise eine Wellenlänge von 15 cm. Demnach kann hier schonein Ortswechsel von wenigen Zentimetern eine extrem starke Signaländerungergeben.

1.6.1 Interferenzgleichung bei gleicher Richtung

Diese Interferenzerscheinungen werden in Funksystemen SSmall - Scale Fa-ding"genannt und können nur noch statistisch bzw. über bestimmte von Mes-sungen abgeleitete Parameter beschrieben werden. Auf die Berechnung dieserParameter wird weiter hinten eingegangen.Angenommen zwei Wellen ~E1 und ~E2 erreichen den Empfänger auf unter-

schiedlichen Wegen. Die beiden Wellen lassen sich über

~E1 = E1ej(!1t�~k1�~r1+�1)~ei (1.51)

1.6. INTERFERENZ 35

und~E2 = E2e

j(!2t�~k2�~r2+�2)~ej (1.52)

beschreiben. Der Einfachheit halber sollen beide Wellen dieselbe Frequenz !1 =!2 = ! und dieselbe Polarisation ~ei = ~ei haben. Zunächst soll der Fall betrachtetwerden, dass sich beide Wellen entlang einer imaginären x�Achse ausbreiten.Dann gilt ~k1 = k1x = ~k2 = k2x = k und ~r1 = ~r2 = x. Die Überlagerung derbeiden Wellen ergibt in diesem Fall einfach:

Eges = E1 + E2 = E1ej(!t�kx+�1) + E2e

j(!t�kx+�2) (1.53)

=�E1e

j�1 + E2ej�2�ej(!t�kx)

=�E1 + E2

�ej(!t�kx)

= Eej(!t�kx)

Demnach hat die durch die Überlagerung neu entstandene Welle dieselbeFrequenz und denselben Wellenzahlvektor wie die beiden ursprünglichen Wellenund sie bewegt sich auch in derselben Richtung fort. Lediglich ihre komplexeAmplitude (Amplitude und Nullphasenwinkel) hat sich geändert.Die Intensität eines elektromagnetischen Feldes ist proportional zum Qua-

drat der komplexen Amplitude des Feldes:

I =1

2c"0E

2 (1.54)

Mit E2 = EE� folgt dann für die Intensität der neu entstandenen Überlagerungaus beiden Teilwellen

E2 = EE� =�E1e

j�1 + E2ej�2� �E1e

�j�1 + E2e�j�2

�(1.55)

= E21 + E22 + E1E2

�ej(�1��2) + e�j(�1��2)

�= E21 + E

22 + 2E1E2 cos (�1 � �2)

und mit (1.54) ergibt sich für die Intensität der neuen Gesamtwelle:

Iges = I1 + I2 + 2pI1I2 cos � (1.56)

wobei� = �1 � �2 (1.57)

ist. Die Intensität der Welle am Empfänger ist demzufolge nicht einfach dieSumme der Einzelintensitäten beider Wellen, sondern sie weist einen zusätzli-chen Interferenzterm auf, der von der Phasenbeziehung zwischen den Teilwellenbestimmt wird.Wenn die Amplituden beider Wellen gleich großsind, also I1 = I2 = I, so

folgt bei einem Phasenunterschied von � = 0 :

Iges = 4I (1.58)

In diesem Fall hat sich die Intensität also nicht verdoppelt sondern vervierfacht.Weisen beide hingegen einen Phasenunterschied von � = � auf so folgt Iges = 0,die Wellen löschen sich also gegenseitig aus. Die Überlagerung schwankt dement-sprechend zwischen Null und der vierfachen Intensität der Einzelwelle.


Abbildung 1.15: Momentaufnahme des Amplitudenquadrats der Überlagerungzweier Wellen [7]

1.6.2 Interferenzgleichung bei verschiedenen Richtungen

Es soll nun der Fall betrachtet werden, dass beide Wellen zwar dieselbe Pola-risation und Frequenz aber eine unterschiedliche Ausbreitungsrichtung haben.Abbildung 1.15 zeigt das Amplitudenquadrat der Überlagerung zweier Wellen- also die Intensitätsverteilung der Interferenz - die in ihren Ausbreitungsrich-tungen einen geringfügig verschiedenen Winkel zueinander haben. Wie man er-kennen kann, ergibt sich durch die Überlagerung eine übergeordnete Strukturmit Maxima und Minima die ihrerseits wieder eine Art Welle zu sein scheint. InAbb. 1.16 ist die Überlagerung zweier Strichbilder dargestellt2 .Genau genommen entstehen aus den beiden Ursprungswellen zwei Interfe-

renzwellen. Die Vektoren der beiden sich überlagernden Wellen sind in Abb.1.17 gezeigt. Durch die Interferenz der Wellen entsteht eine in Richtung derWinkelhalbierende der beiden Wellen � laufende Welle mit dem Wellenvektor~p und eine senkrecht dazu stehende Welle mit dem Wellenvektor ~q (vergleicheAbb. 1.15).Wie man aus dem Vektordiagramm der Abb. 1.17 entnehmen kann, muss

~k1 = ~k2 + ~q sein. Die Vektoren ~k2, ~p und ~q=2 bilden ein rechtwinkliges Drei-

eck, daher gilt für den Wellenzahlvektor der stehenden Welle j~qj = 2��~k2�� sin�.

Da sowohl ~q als auch ~k1;2 Wellenvektoren sind lassen sie sich ausdrücken als

2Der hier gezeichneten Struktur überlagern sich noch diverse andere Raster die von der Artder Speicherung und dem verwendeten Drucker bzw. der Anzeige abhängen. Derartige Mustertreten z.B. auch im Fernsehen durch die zeilenförmige Abtastung und Anzeige besonders fürNadelstreifen-Anzüge auf und werden Moiré-Muster genannt.

1.6. INTERFERENZ 37

Abbildung 1.16: Überlagerung zweier Strichbilder (Moiré-Muster)

Abbildung 1.17: Vektordiagramm der Überlagerung zweier Wellen.


Abbildung 1.18: Überlagerung zweier Wellen an einem Empfänger

��~k1�� = ��~k2�� = ��~k�� = 2�=� und j~qj = 2�=�?, mit � als der Wellenlänge der ur-

sprünglichen Welle und �? als der Wellenlänge der durch die Überlagerung neuentstandenen Welle.Die Wellenlänge der stehenden Welle ist demnach3

�? =�

2 sin�(1.59)

Beispiel 23 Ein Teilnehmer eines UMTS-Mobilfunksystems bewege sich ent-lang einer Straße. Der Nutzer empfange sowohl einen direkten als auch einenvon der Straßenober�äche re�ektierten Strahl, wie in Abb.1.18 dargestellt.DerSender sei so weit entfernt, dass der direkte und der re�ektierte Strahl von obenund unten unter annähernd demselben Winkel � = 10� auf den Empfänger tref-fen. In welchen Abständen der Höhe kommt es zu Einbrüchen des Signals amOrt des Empfängers?

Lösung 24 Die Einbrüche kommen durch die Interferenz zwischen den beidenWellen zustande. Da beide Wellen unter demselben Winkel auftre¤en ist diestehende Interferenzwelle senkrecht nach oben gerichtet. Ihre Wellenlänge ergibtsich aus (1.59) und ist �? = 15 cm

2 sin 10� = 43:2 cm. Demnach kommt es mit derHöhe in einem Abstand von 43:2 cm zu starken Signaleinbrüchen.

Diese Interferenzerscheinungen müssen vor allem auch in der Messtechnik be-achtet werden. Zum Ausmessen von Antennensystemen werden daher Kammernverwendet bei denen die Re�exionen an Wänden und Boden durch Dämmmat-ten unterbunden werden. Zum Ausmessen größerer Antennen - wie z. B. derdes Fernsehturms in Berlin - wurden und werden große Holzmasten gebaut. DasHolz unterbindet Re�exionen am Mast und die Größe der Masten verhindertdie Re�exion am Erdboden. Die Holzmasten zum Ausmessen der Fernsehturm-antennen stehen noch in der Nähe von Brück (Potsdam-Mittelmark).

3 In der Akustooptik und Röntgenbeugung ist Glng. (1.59) als Bragg-Bedingung bekannt.Sie gibt an in welcher Richtung optische Wellen an einem akustischen Gitter bzw. Röntgen-strahlen an einem Kristallgitter gestreut werden.

1.7. ZUSAMMENFASSUNG 39

1.7 Zusammenfassung

� Der Imaginärteil des Brechungsindex führt zu einer Absorption der Welle.

� Die Moleküle in der Luft können elektromagnetischen Wellen Energie ent-ziehen und diese in Wärme verwandeln. Wie gut dieser Prozess funktio-niert hängt vom Verhältnis der Frequenz der Welle zur Resonanzfrequenzder Luftmoleküle ab.

� Im GHz-Bereich gibt es 5 Resonanzfrequenzen des O2 und des H2O -Moleküls die zu einer starken Dämpfung des Signals führen.

� Regen führt, abhängig von seiner Stärke und der Frequenz der Welle, eben-falls zu einer Dämpfung. Der Radius einer Funkzelle kann sich demnachbei starkem Regen drastisch verkleinern. Hohe Frequenzen z.B. für IE-EE802.11 a und Wimax sind davon stärker betro¤en als z.B. GSM-900.

� Eine Re�exion tritt an der Grenz�äche zwischen zwei Medien auf die sichin ihren relativen Dielektrizitätskonstanten voneinander unterscheiden.

� Ein Teil der Leistung der Welle wird re�ektiert eine anderer in das zweiteMedium hinein gebrochen. Einfalls- und Ausfallswinkel sind bei der Re-�exion gleich groß. Bei der Brechung hängt die Größe des Winkels vomVerhältnis der Brechungsindizes der Grenz�äche ab.

� Die Skintiefe ist die Eindringstrecke der Welle bei der ihre Leistung aufdas 1/e - fache abgefallen ist.

� Durch den nach oben hin abnehmenden Luftdruck nimmt auch der Bre-chungsindex der Luft mit größer werdender Höhe ab. ElektromagnetischeWellen werden dadurch frequenzabhängig gebrochen. Daher ist der Hori-zont für Radiowellen weiter als für sichtbares Licht.

� Für �ache Einfallswinkel (� =) 90�) ist der Re�exionsfaktor, unabhängigvon der Polarisation und vom Brechungsindex des Materials � �1. Dasheißt, die gesamte Intensität der einfallenden Welle wird re�ektiert.

� Außer für Winkel von 0� und 90� werden TE polarisierte Wellen grund-sätzlich besser re�ektiert als TM-Wellen.

� Sind die Wellen nicht genau TE oder TM polarisiert wird bei jeder Re�e-xion der elektrische Feldvektor gedreht und damit die Polarisation verän-dert.

� Ist die Grenz�äche zwischen zwei Medien nicht glatt sondern rau kommtes statt zu einer Re�exion zu einer Streuung der Wellen.

� Eine kohärente Streuung tritt auf wenn die einzelnen Streuzentren einefeste Phasenbeziehung zueinander haben. Sie kann im Wesentlichen wieeine Re�exion behandelt werden zu dessen Berechnung der Re�exionsko-e¢ zient angepasst werden muss.

� Bei der inkohärenten Streuung werden die Wellen in viele verschiedeneRaumrichtungen abgelenkt. Sie tritt auf wenn die einzelnen Streuzentrenkeine feste Phasenbeziehung zueinander haben.


� Wann es zu einer kohärenten oder inkohärenten Streuung kommt hängtfür eine gegebene Welle von ihrer Wellenlänge, ihrem Einfallswinkel undder Rauhigkeit der Ober�äche ab.

� Streuung in Medien wie der Luft ist begründet durch eine inhomogeneVerteilung der dielektrischen Eigenschaften innerhalb des Mediums undresultiert in einer Ablenkung eines Teils der Energie der Welle.

� Ist die inhomogene Verteilung in der Größenordnung der Wellenlänge trittMie - Streuung auf. Sie ist unabhängig von der Wellenlänge.

� Ist die inhomogene Verteilung viel kleiner als die Wellenlänge kommt eszur Rayleigh-Streuung, diese ist abhängig von der Wellenlänge.

� Durch Streuung, Re�exion und Beugung kann es in Funksystemen zurgleichzeitigen Ausbreitung mehrerer Signalwellen kommen. Dieses Phäno-men wird Mehrwegeausbreitung genannt.

�Die Überlagerung der Mehrwegekomponenten führt zu einer Inter-ferenz am Ort des Empfängers. Das Ergebnis der Interferenz ist dieperiodische Änderung der Signalfeldstärke in der Funkzelle.

1.8 Aufgaben

1.1

Außerhalb eines Gebäudes habe ein Mobilfunksignal eine Leistung von 1�10�5W.

� Wie großist die Leistung innerhalb des Gebäudes wenn die Wand ausSteinen mit einer Dicke von 50 cm und einem Dämpfungskoe¢ zienten von10 dB/m besteht?

1.2

Der Verstärker eines WLAN-Systems (802.11a, 5 GHz) hat eine Ausgangsleis-tung von 200 mW. Die Sendeantenne ist mit einem 10 m langen Kabel mit demVerstärker verbunden.

� Wie großist die Leistung die der Antenne zur Verfügung gestellt wirdwenn Sie beide mit einem

1. RG 214 (750 dB/km),

2. einem RG 223 (1350 dB/km) oder einem

3. Hohlleiter (R58 bzw. WG13, 56 dB/km) verbinden?

1.3

Zwei Mobilfunksysteme arbeiten bei einer Frequenz von 10 und 63 GHz.

� Nach welcher Entfernung ist die Leistung der von der BTS dieser Systemeabgestrahlten Signale nur noch halb so groß?

Exercises 41

1.4

Wie großkönnen Sie den Zellradius einer Mobiltelefonzelle wählen wenn derSignal zu Rauschabstand an der Basisstation mindestens 20 dB sein muss undSie bei der Abschätzung ausschließlich vom Freiraumfall ausgehen? Für das zubetrachtende System sind folgende Parameter gegeben:

� Leistung Mobile 2W; Gewinn Antenne BTS 6.15 dB; Gewinn AntenneMobile 2.15 dB; Trägerfrequenz 2 GHz; Bandbreite 200 kHz; Rauschtem-peratur am Empfänger 300 K; Dämpfung Empfängerkabel 10 dB/100m;Länge Empfängerkabel 30 m; Gesamtrauschzahl des Empfängers 6.

1.5

Wie großist Ihr maximaler Zellradius wenn Sie für Aufgabe 1.4 eine Trägerfre-quenz von 22 bzw. 63 GHz wählen?

1.6

Zeigen Sie dass für n1 = 1 aus (1.26) und (1.28) tatsächlich (1.29) und (1.30)folgt.

1.7

Sie wollen eine VHF Richtfunkstrecke zwischen Hamburg (53� 33� nördlicherBreite, 10� östlicher Länge) und Leipzig (51� 21�nördlicher Breite, 12�240 östli-cher Länge) aufbauen. Sende-und Empfangsantenne sollen dieselbe Höhe haben.Es be�nden sich keinerlei Hindernisse oder Bodenerhebungen auf dem Weg. Diedirekte Sichtverbindung zwischen Sender und Empfänger muss an der tiefstenStelle wenigstens 2 m über dem Boden sein, die Troposphäre weist eine mittlereRefraktivität auf.

1. Welche Höhe müssten Ihre Antennen bei einer direkten Verbindung min-destens haben?

2. Wenn Ihre Sendeantenne nur eine Höhe von 30 m hat, in welcher Ent-fernung müssten Sie dann unter obigen Bedingungen eine Relaisstationanbringen die ebenfalls 30 m hoch sein soll?

3. Wieviele 30m hohe Relaisstationen benötigen Sie für die Verbindung Ham-burg - Leipzig?

1.8

Warum unterscheiden sich aus physikalischer Sicht für einen senkrechten Einfallder Wellen die re�ektierten Leistungen von s und p - polarisierten Wellen nichtvoneinander?

1.9

Angenommen zwei Teilwellen haben dieselbe Amplitude, Polarisation, Ausbrei-tungsrichtung und Frequenz.


� Unter welcher Bedingung hat die neu entstehende Welle die doppelte Am-plitude der beiden Teilwellen?

1.10

Welche Wellenlänge hat die in Ausbreitungsrichtung laufende Welle der Abb.1.17?

Kapitel 2

Ausbreitungsmodelle

In einem Broadcast - System soll ein Sender ein bestimmtes Gebiet abdecken.Die Sendeleistung muss dabei so großsein, dass jeder potentielle Teilnehmer indem Gebiet zu einem Empfang der Sendung in der Lage ist. Gleichzeitig mussdie Sendeleistung aber so gering sein, dass andere Sender in Nachbargebietendie dieselbe Frequenz nutzen nicht gestört werden.Dasselbe tritt auch bei Mobilfunksystemen auf. Jedem Teilnehmer in der Zel-

le muss von der Basisstation genügend Signalfeldstärke zur Verfügung gestelltwerden. Gleichzeitig muss aber auch jeder mobile Teilnehmer die Möglichkeithaben mit seiner Sendeleistung die Basisstation zu erreichen. Auf der anderenSeite darf die Sendeleistung aber nicht zu hoch werden sonst wird die Kommuni-kation in den Nachbarclustern gestört. Das bedeutet, es kommt nur ein gewisserBereich für die Sendeleistung in Frage. Wie großdieser ist hängt von den kon-kreten technischen Bedingungen und von der Bebauung bzw. der Topographieder betrachteten Zelle ab.Um die benötigte Sendeleistung zu berechnen werden Ausbreitungsmodelle

benutzt. Diese sind die Grundlage für die von den Mobilfunk�rmen und anderenEinrichtungen verwendeten Vorhersagetools. Ausbreitungsmodelle stellen eineVereinfachung der tatsächlich gegebenen physikalischen Bedingungen dar. Dasheißt, das Ergebnis der Rechnung ist grundsätzlich nur eine Näherung.

2.1 Drahtlose Netze

Bevor auf die einzelnen Ausbreitungsmodelle eingegangen wird sollen zunächsteinmal kurz die drahtlosen Netze behandelt werden für die diese Modelle gelten.Neben der klassischen Broadcast - Technik bei der ein starker Sender mit ei-nem oder mehreren Antennenstandorten ein bestimmtes Gebiet versorgt gibt esnoch eine ganze Reihe anderer Möglichkeiten einzelne Transceiver mit Antennenuntereinander zu verbinden. Je nach Einsatz, haben die Antennen unterschiedli-che Parameter und damit ergeben sich für die Funkverbindung unterschiedlicheBedingungen.Eine Broadcast - Antenne sollte beispielsweise eine besonders gute Rund-

strahlcharakteristik aufweisen um ein ganzes Gebiet zu versorgen. Dass heißt,vom Funkstrahl wird eine Fläche ausgeleuchtet. In dieser Fläche kommt es zurBeugung, Streuung, Re�exion und Interferenz. Ein Ausbreitungsmodell für die-

43

44 KAPITEL 2. AUSBREITUNGSMODELLE

Abbildung 2.1: Drahtlose Netze

sen Fall muss diese E¤ekte dementsprechend berücksichtigen.Antennen für eine Richtfunkstrecke sollten hingegen einen sehr hohen Ge-

winn haben. Nach Möglichkeit sollte sich kein Hindernis zwischen Sender undEmpfänger be�nden. Tritt doch ein Hindernis auf kommt es zur Beugung. Dieunterschiedlichen drahtlosen Netze zeigt Abb.2.1

2.1.1 Broadcast

Eine oder mehrere Antennen bedienen ein großes Gebiet. Die Antennen habeneinen geringen Gewinn und eine gute Rundstrahlcharakteristik um das gesamteGebiet möglichst gut zu versorgen. Die Reichweite der Signale hängt von derTopographie des Geländes und den Sendeparametern ab. Es treten E¤ekte wieBeugung, Streuung, Interferenz und Re�exion auf. Typische Broadcast-Systemesind Fernseh- oder Rundfunkstationen.Üblicherweise haben die einzelnen Standorte für ein Fernseh- oder Rundfun-

knetz unterschiedliche Frequenzen, damit sie sich in den Überlappungsbereichenzwischen zwei Stationen nicht gegenseitig durch Interferenz beein�ussen. Wennvon mehreren Antennenstandorten mit derselben Frequenz gesendet werden sollkommt ein so genanntes single frequency network (SFN) zum Einsatz. Hier sen-den tatsächlich alle Antennen mit derselben Frequenz. Für eine konstruktiveInterferenz muss die Phase der von den Antennen abgestrahlten Signale imÜberlappungsbereich übereinstimmen. Dies wird durch GPS - Empfänger inden Sendern gesteuert, damit alle Standorte dieselbe Zeitbasis besitzen. SFNkommen z.B. für digitales terrestrisches Fernsehen (digital video broadcast ter-restrial) DVB-T zum Einsatz.Auf Grund der Vielzahl möglicher Beein�ussungen auf das Signal und der

Größe des zu betrachtenden Gebiets werden für die Berechnung der Ausbreitungmeist empirische Modelle verwendet.

2.1. DRAHTLOSE NETZE 45

2.1.2 Basisstation, Access Point

Ähnlich wie im Broadcast - System bedienen hier Antennen von einem festenStandort aus ein gesamtes Gebiet. Dieses Gebiet wird beim Mobilfunk Zelleund beim WLAN Hotspot genannt. Der große Unterschied ist aber, dass dieVerbindung nicht nur in eine, sondern in beide Richtungen statt�ndet. Wäh-rend bei Broadcast - Systemen ein Sender mit großer Leistung (mehrere kW fürFernsehsender) ein großes Gebiet abdecken kann werden in einer Zelle mobileSysteme wie Telefone oder Rechner mit einem Festnetz verbunden. Die Sende-leistung dieser mobilen Endgeräte ist gering, so dass die Zellgröße im Vergleichzu Broadcast - Systemen ebenfalls gering ist.Für WLAN-Systeme haben die Antennen meist einen geringen Gewinn und

eine gute Rundstrahlcharakteristik. Bei Mobilfunk-Basisstationen wird die Zellehingegen meist sektorisiert, so dass die Antennen in einen 120� Winkel abstrah-len. Die Zellgröße hängt von der Topographie der Zelle und den Sendeparame-tern ab.In der Zelle treten ebenfalls wieder Re�exionen, Beugung, Streuung und In-

terferenz auf. Die Größe der E¤ekte hängt von der Bebauung des Zellgebietsab. Für eine Mobilfunkzelle auf dem �achen Land lässt sich beispielsweise da-von ausgehen, dass es nur einen direkten und einen re�ektierten Strahl gibt.Hier lässt sich dementsprechend das Zweistrahlmodell einsetzen. Für Zellen instädtischen Gebieten werden meist empirische Modelle eingesetzt. Im Gegen-satz zu Mobilfunkzellen sind Hotspots eher klein und meist im Indoor - Bereichzu �nden. Für derart kleine Zellen lassen sich Ray - Tracing bzw. - LaunchingMethoden zur Berechnung der Ausbreitungsbedingungen verwenden.

2.1.3 Richtfunk, Punkt-zu-Punkt

Richtfunk stellt im Prinzip einen Kabelersatz dar. Über eine vorher fest de�-nierte Strecke werden große Datenmengen ausgetauscht. Der Vorteil ist, dassteure Kabelverbindungen oder Standleitungen entfallen, auch über schwer zu-gängliches Gebiet lassen sich große Datenmengen transportieren. Der Aufbau istschnell und relativ einfach. Anwendungen sind z. B. eine Funk-Brücke zwischeneinzelnen LAN�s in unterschiedlichen Gebäuden. Die Anbindung von Basissta-tionsstandorten an das Festnetz usw.Richtfunkantennen haben einen sehr hohen Gewinn und strahlen nur in eine

einzige, vorher de�nierte Richtung. Die Topographie des Geländes spielt für dieReichweite keine Rolle. Daher lässt sich das Freiraummodell verwenden. Es mussaber berechnet werden, ob kein Hindernis in den Ausbreitungsweg zwischen Sen-der und Empfänger hineinragt. Für diese Berechnung werden Beugungsmodelledie von den Fresnelschen Zonen abgeleitet wurden verwendet.

2.1.4 Punkt-zu-Multipunkt

Bei diesem System werden z.B. mehrere Gebäude miteinander verbunden. Aufeinem Gebäude be�ndet sich die Basisstation mit einer Rundstrahlantenne mitgeringem Gewinn, während die Antennen der anderen Gebäude einen hohenGewinn haben und auf die Basisstation ausgerichtet werden. Auch hier ist dieReichweite nicht von der Topographie des Geländes, sondern von den Sende-und Empfangsparametern abhängig. Ein Beispiel für ein solches System ist z.B.


WiMax mit dem auch auf dem Lande einzelnen Teilnehmern schnelle Netzan-schlüsse zugänglich gemacht werden können.Für eine Berechnung der Empfangsfeldstärke lässt sich mit guter Näherung

das Freiraummodell verwenden. Auch hier ist - wie beim Richtfunk - vor al-lem sicher zu stellen das sich keine Hindernisse in der ersten Fresnel - Zonebe�nden. Gibt es diese doch lässt sich die Reichweite bzw. Empfangsfeldstärkez.B. über das Knife - Edge Di¤raction Modell bestimmen. Je nach Frequenz desFunksystems kann Regen zu einer starken Dämpfung dieser Systeme führen.

2.1.5 Ad-hoc, Peer-to-Peer

Bei diesen Systemen geht es - im Gegensatz zu allen anderen - nicht um die Ver-bindung eines mobilen Teilnehmers mit einem Festnetz im Hintergrund, sondernum die Verbindung einzelner Teilnehmer untereinander zum Datenaustausch.Die Richtwirkung und damit der Gewinn der Antennen ist meist relativ

gering und die Reichweite hängt von der Infrastruktur ab. Besteht freie Sichtzwischen Sender und Empfänger lässt sich das Freiraummodell, bzw. das Zwei-strahlmodell zur Berechnung der Empfangsfeldstärke verwenden. In bebautenGebieten ist eine Voraussage der Empfangsfeldstärken hingegen schwierig bisunmöglich da sowohl Sender als auch Empfänger ihre Position ständig ändernkönnen.

2.2 Das Freiraummodell

Das einfachste Modell zur Berechnung der Empfangsfeldstärke in einem Funk-system ist das Freiraummodell, es wird auch Grundgleichung der Funkwellen-ausbreitung genannt. Ist die Sendeleistung bekannt, lässt sich mit ihr die Emp-fangsleistung in einer bestimmten Entfernung vom Sender abschätzen bzw. derPfadverlust bestimmen.Wie der Name schon sagt, gilt das Freiraummodell nur im freien Raum also

im Prinzip nur im Weltraum, z. B. für Satellitenverbindungen. Beim Freiraum-modell wird davon ausgegangen, dass sich die Wellen ohne jede Beein�ussung desMediums oder der Umgebung ausbreiten. Mit guter Näherung lässt sich diesesModell aber auch für die Berechnung von Richtfunk und Punkt zu MultipunktSystemen verwenden.Das Modell geht auf die 1946 von Harald T. Friis in den Bell Telephone

Laboratories abgeleiteten Zusammenhänge zurück [30]. Ausgangspunkt ist dasin Abb.2.2 dargestellte Szenario.Ein Sender strahle mit einer Leistung PT elektromagnetische Wellen mit Hil-

fe einer Sendeantenne mit dem Gewinn GT in den Raum ab. In einer Entfernungd tritt die gesamte abgestrahlte Leistung durch die Fläche A:Ein Empfänger habe eine Antenne mit der e¤ektiven Apertur AR , dem Ge-

winn GR und liefert die Leistung PR an die Empfängereingangsstufe. Die Fluss-dichte, bzw. Intensität der abgestrahlten Welle ist in der Entfernung d von derSendeantenne

I =PTGT4�d2

(2.1)

Der Teil der Gesamtleistung, den die Empfängerantenne aufnehmen kann,

2.2. DAS FREIRAUMMODELL 47

Abbildung 2.2: Modell zur Ableitung der Freiraum - Ausbreitungsgleichung.

hängt von ihrer e¤ektiven Apertur ab. Sie ist

PR = IAR (2.2)

Nach den im Bachelor-Script abgeleiteten Zusammenhängen ist die e¤ektiveApertur der Empfangsantenne

AR =�2GR4�

(2.3)

Mit (2.1) und (2.3) in (2.2) folgt für die empfangene Leistung

PR =PTGT4�d2

�2GR4�

= PTGTGR

��

4�d

�2(2.4)

Beispiel 25 Mobilfunkzellen auf dem Land können einen Radius von 30 kmhaben. Ein Mobiltelefon, ausgestattet mit einer Dipolantenne, sende mit einerLeistung von 2 W und einer Frequenz von 1.8 GHz. Wie großist die Empfangs-leistung an der BTS, wenn sich das Mobile am Rand der Zelle be�ndet und dieBTS-Antenne einen Gewinn von 9 dB hat?

Lösung 26 Eine Dipolantenne hat einen Gewinn von GT � 1:64, der Gewinnder BTS-Antenne ist GR = 10

9 dB10 = 7:94. Demnach beträgt die Empfangsleis-

tung lediglich PR = 2 W�1:64� 7:94��

0:166 m4��30�103m

�2� 5:05� 10�12 W.

2.2.1 Freiraum-Pfadverlust

Der so genannte Pfadverlust ist der Verlust an Leistung, der in diesem Mobil-funkkanal auftritt; er ist das Verhältnis von gesendeter zu empfangener Leistung.Mit � = c=f ergibt sich dementsprechend aus (2.4).

LP =PTPR

=

�4�

c

�2f2d2

GTGR(2.5)

Diese Beziehung wird als Freiraum-Pfadverlust (Freespace Pathloss) oder Pf-adverlust unter Line of Sight (LOS)-Bedingung bezeichnet, d. h. es be�ndensich keine Hindernisse - auch nicht der Erdboden - im Weg. Nichts darf dasFunksignal bei diesem Modell in irgendeiner Weise beein�ussen.


Abbildung 2.3: Streckenverlust in Abhängigkeit von der Entfernung für unter-schiedliche Frequenzen der Welle

Nach (2.5) steigt der Streckenverlust quadratisch mit der Entfernung an.Dies war zu erwarten, da sich die gesendete Leistung in eine Fläche verteilt,die quadratisch mit der Entfernung größer wird. Aber der Streckenverlust steigtauch quadratisch mit der Frequenz an! Den Streckenverlust für unterschiedlicheFrequenzen zeigt Abb.2.3. In der Telekommunikation werden gern logarithmi-sche Größen zur Bestimmung des Pfadverlustes verwendet, aus (2.5) folgt

10 log

�PTPR

�= 20 log

�4�

c

�+ 20 log f + 20 log d�GTdB �GRdB (2.6)

wobei GTdB und GRdB die jeweiligen Gewinne in dB darstellen. Setzt man f inMHz und d in km ein, so ergibt sich für den Freiraum-Pfadverlust die einfacheBeziehung.

LPdB = 32:4 + 20 log f + 20 log d�GTdB �GRdB (2.7)

Bei den Basisstationen von Mobilfunksystemen be�ndet sich der eigentlicheSender häu�g in einem Gebäude am Fuße eines Sendemastes, der in den meistenFällen die Dächer überragt. Das Kabel von der Verstärkerausgangsstufe desSenders zur eigentlichen Antenne führt zu Signalverlusten. Berechnet man dieseVerluste, mit ein ergibt sich für die Leistung am Empfänger in dB

PR = PT � LP +GT +GR � LT � LR (2.8)

mit

� PT Leistung des Senders an der Ausgangsstufe in dB.

� LP Streckenverlust im Freiraum in dB für isotrope Antennen (Glei-chung (2.7) ohne GTdB und GRdB):

2.3. DAS ZWEISTRAHLMODELL 49

� GT Logarithmischer Gewinn der Sendeantenne.

� GR Logarithmischer Gewinn der Empfangsantenne.

� LT Verlust des Kabels zwischen Sender und Sendeantenne in dB.

� LR Verlust des Kabels zwischen Empfänger und Empfangsantenne indB.

Beispiel 27 Eine Mobiltelefonzelle auf dem Land arbeite mit einer Sendeleis-tung von 10 W und einer Trägerfrequenz von 1.2 GHz. Die Höhe des Sendemas-tes sei 20 m. Zum Anschluss der Antenne an den Sender werden 30 m Kabel(LMR-600) mit einer Dämpfung von 10.2 dB/100m benötigt. Der Gewinn derSendeantenne sei 8.15 dB. Der Empfänger be�nde sich in einer Entfernung von10 km und sei mit einem �=2�Dipol ausgestattet. Das Kabel des Empfängersist so kurz, dass seine Verluste zu vernachlässigen sind. Wie großist die Ein-gangsleistung am Empfänger?

Lösung 28 Zunächst einmal müssen alle Angaben in dB umgerechnet werden,dann folgt aus einfachem Einsetzen in (2.8)

PR = 40 dBm� LP + 8:15 dB+ 2:15 dB� 10:2 dB/100m� 30 m

PR = 47:24 dBm�LP . Der Pfadverlust ergibt sich aus (2.7) ohne GTdB undGRdB und ist LP = 113:4 dB. Demnach ist die Leistung am EmpfängereingangPR = �66:16 dBm oder 242� 10�12 W.

2.3 Das Zweistrahlmodell

Bei der Freiraumausbreitung wurde davon ausgegangen, dass sich nichts auchnur in der Nähe des Ausbreitungsweges zwischen Sender und Empfänger be-�nden darf. Diese Bedingung ist sehr gut für eine Verbindung zwischen zweiSatelliten im Weltraum gegeben, aber auch bei der Berechnung von Richtfunk-strecken kann man mit guter Näherung vom Freiraumfall ausgehen wenn sichSende- und Empfangsantenne hoch genug über dem Erdboden und allen ande-ren Hindernissen be�nden. Bei Mobilfunkzellen hat aber, selbst auf dem �achenLand, das Mobiltelefon nur eine relativ geringe Höhe von 1.50 bis 2 m. Gleichzei-tig ist die BTS in den meisten Fällen weit entfernt. Der Ein�uss des Erdbodensauf dem sich Sender und Empfänger be�nden kann in diesem Fall nicht vernach-lässigt werden.Auch das Zweistrahlmodell geht davon aus, dass sich im Ausbreitungsweg

keine Hindernisse zwischen Sender und Empfänger be�nden. Im Gegensatz zumFreiraummodell gibt es aber gleichzeitig zwei Ausbreitungswege der Wellen undzwar zum einen den direkten Pfad und zusätzlich eine Re�exion am Erdboden.Das Zweistrahlmodell ist dementsprechend gut zur Abschätzung der Zellgrößevon mobilen Funkverbindungen auf dem �achen Land geeignet, aber auch inanderen Umgebungen - wie zum Beispiel Vorstädten - zeigt sich oft ein ähnlichesVerhalten des Pfadverlusts wie beim Zweistrahlmodell.Die grundsätzliche Geometrie zur Ableitung des Zweistrahlmodells zeigt

Abb.2.4


Abbildung 2.4: Geometrie zur Herleitung des Zweistrahlmodells

Der Sender hat eine Höhe von hT und der Empfänger eine Höhe von hR überder Ebene. Ein Teil der gesendeten Energie erreicht den Empfänger direkt überden Weg s1, ein zweiter Teil wird über den Weg s2 am Erdboden re�ektiert underreicht dann erst den Empfänger. Die beiden Anteile des elektrischen FeldesE1 (!) und E2 (!) überlagern einander am Empfangsort, so dass man für dasgesamte Feld

Eges =E1 (!) d0

s1e�jks1 + r

E2 (!) d0s2

e�jks2 (2.9)

schreiben kann. Die Strecke d0 ist eine Referenzgröße die sich im Fernfeld derAntenne be�ndet und r ist der Re�exionsfaktor der Ober�äche.Wenn wir annehmen, dass der Abstand zwischen Sender und Empfänger d

viel größer als die Höhen der Sende- und Empfangsantenne hT und hR ist1 , sokann man für die Amplituden der beiden Anteile annähernd schreiben.

E1 (!) d0s1

� E2 (!) d0s2

� E0d0d

(2.10)

Dementsprechend folgt für das elektrische Feld am Empfangsort.

Eges =E0d0de�jks1

�1 + rejk(s1�s2)

�(2.11)

Während der Wegunterschied für die Amplituden nach (2.10) vernachlässig-bar gering ist, lässt er sich für die Phase der Gesamtwelle (s1 � s2) keineswegsvernachlässigen. Wie im Abschnitt 1.6 gezeigt wurde, reichen Wegunterschiedeim Bereich einer halben Wellenlänge aus um die Intensität des Gesamtsignalszu vervierfachen oder annähernd auszulöschen. Im Mobilfunkbereich sind dieswenige Zentimeter.Zur Berechnung des Wegunterschieds dient Abb.2.4. Zur Vereinfachung der

Berechnung wurde der Empfänger am Erdboden gespiegelt. Wie man der Ab-bildung entnehmen kann, ergibt sich für den gespiegelten Empfänger derselbe

1Sende- und Empfangsantenne werden hier gleichbedeutend mit BTS und Mobiltelefonverwendet. Die Höhe der Sendeantenne entspricht also der Höhe der BTS, während die Höheder Empfangsantenne die Höhe des Mobiltelfons ist.


Weg s2 wie für den ursprünglichen. Der Wegunterschied zwischen dem direktenund dem re�ektierten Strahl ist

s1 � s2 =

qd2 + (hT � hR)2 �

qd2 + (hT + hR)

2 (2.12)

= d

0@s1 + �hT � hRd

�2�

s1 +

�hT + hR

d

�21AEntwickelt man die beiden Wurzeln f1;2 (x) =

p1 + x1;2 mit x1 =

�hT�hR

d

�2und x2 =

�hT+hR

d

�2in eine Taylor Reihe

f (x) =1Xs=0

f (s) (x0)

s!(x� x0)s (2.13)

um x0 = 0 und bricht diese nach dem zweiten Glied ab, so ergibt sich, daf1;2 (0) = 1 und f

0

1;2 (0) = 1=2

f1;2(x) = f1;2 (0) + f0

1;2 (0)x1;2 = 1 +1

2x1;2 (2.14)

Dementsprechend folgt für (2.12)

s1 � s2 = d

"1 +

1

2

�hT � hR

d

�2� 1� 1

2

�hT + hR

d

�2#(2.15)

= �2hThRd

und damit für (2.11)

Eges =E0d0de�jks1

�1 + re�jk

2hT hRd

�(2.16)

Der Re�exionsfaktor r hängt vom Einfallswinkel, der Polarisation der Welleund der Bescha¤enheit des Bodens ab, wie in Abschnitt (1.2) gezeigt wurde.Ist der Einfallswinkel allerdings �ach � ! 90�- was durch die Bedingung d �hT ; hR annähernd gegeben ist - so kann man den Abbildungen 1.6 und 1.7entnehmen, dass der Re�exionsfaktor unabhängig von der Polarisation und demBrechungsindex r = �1 wird. Für (2.16) folgt entsprechend.

Eges =E0d0de�jks1e�jk

hT hRd

�ejk

hT hRd � e�jk

hT hRd

�(2.17)

=E0d0de�jks1e�jk

hT hRd 2j sin

�khThRd

�Der Betrag des elektrischen Feldes ist demzufolge mit k = 2�=�

jEgesj =2E0d0d

��sin�2�hThR�d

�� (2.18)

Das Gesamtfeld an der Empfangsantenne ist demnach eine periodische Funk-tion die sowohl von der Entfernung zwischen Sender und Empfänger d als auchvon der Höhe der Sende- und Empfangsantenne (hT ; hR) abhängt.


Abbildung 2.5: Gesamtfeldstärke eines Mobilfunksignals mit einer Trägerfre-quenz von 2 GHz in Abhängigkeit von der Entfernung zur Basisstation. DieHöhe der Basisstationsantenne beträgt 20m und die Höhe des Mobiltelefons1.5m. Das kleine Bild zeigt die Gesamtfeldstärke in Abhängigkeit von der Höheder Empfangsantenne für eine feste Entfernung von 160m.

Abbildung 2.5 zeigt die normierte Gesamtfeldstärke für ein Mobilfunksignalmit einer Trägerfrequenz von 2 GHz im Abstand von 50 bis 450 m von derBasisstation für eine feste Höhe der Empfangsantenne von 1.5m. Wie man derAbbildung entnehmen kann, gibt es Bereiche in denen das Empfangssignal ex-trem stark einbricht, der Abstand zwischen den Minima wird mit steigenderEntfernung größer.Die eingefügte Abbildung zeigt die Feldstärke des Empfangssignals in einer

festen Entfernung von 160m vom Sender in Abhängigkeit von der Höhe der Emp-fangsantenne. O¤ensichtlich hat das Empfangssignal alle 60cm vom Erdbodenaus gesehen ein Minimum. Dies sind die typischen Interferenzerscheinungen diebereits in Kapitel 1.6 behandelt wurden.Die Höhe der Minima folgt aus (2.18). Eine Sinusfunktion hat Nullstellen

bei n� �, demnach ergibt sich

n� � = 2�hThR�d

(2.19)

oder, für die Empfängerhöhe bei der die Empfangsfeldstärke eine Nullstelle auf-weist hRNST

hRNST =nd�

2hT(2.20)

Beispiel 29 Berechnen Sie den Abstand zwischen den Minima des Empfangs-signals für oben aufgeführtes Beispiel (d = 160m, f = 2GHz, hT = 20m).

Lösung 30 Mit den oben angegebenen Werten ergibt sich für die Nullstellender Empfangsfeldstärke hRNST = n� 60cm.


Abbildung 2.6: Empfangsleistung in Abhängigkeit von der Entfernung bei einerTrägerfrequenz von 2 GHz. Die Senderhöhe beträgt 20m und die Empfängerhöhe1.5m.

2.3.1 Breakpoint

Abbildung 2.6 zeigt die Empfangsleistung (elektrische Feldstärke ins Quadrat)für dasselbe Beispiel wie oben, jetzt aber für eine größere Entfernung zwischenSender und Empfänger. Ab einer gewissen Entfernung, die in der Abbildung als"Breakpoint"gekennzeichnet ist, treten keine periodischen Schwankungen derLeistung mit der Entfernung mehr auf.Vor diesem Punkt ist die Entfernungsabhängigkeit der mittleren Empfangs-

leistung proportional zu 1=r2 und zeigt dementsprechend dieselbe Proportiona-lität wie im Freiraumfall (vgl. Abb.2.3). Nach diesem Punkt fällt die Empfangs-feldstärke deutlich stärker mit der Entfernung, die Abhängigkeit ist jetzt propor-tional zu 1=r4. Der Breakpoint folgt aus der Tatsache, dass für kleine Argumentedie Sinusfunktion ihrem Argument im Bogenmaßentspricht (sinx � x), dies giltfalls x < 0:3 rad. Aus (2.18) folgt dementsprechend.

2�hThR�d

< 0:3 rad (2.21)

bzw.

d >20�hThR3�

� 20hThR�

(2.22)

wobei � � 3 angenommen wurde.

Beispiel 31 Berechnen Sie für das obige Beispiel den Abstand von der Sende-antenne bis zum Breakpoint.

Lösung 32 Mit den Werten des obigen Beispiels berechnet sich ein Wert vond > 20� 20m�1:5m=0:15m > 4 km.


2.3.2 Two-Ray Pathloss

Hinter dem Breakpoint ist der Betrag der elektrischen Feldstärke in der Entfer-nung d

jEgesj =2E0d0d

� 2�hThR�d

(2.23)

Die Leistung ist proportional zum Quadrat der elektrischen Feldstärke, für dieLeistung PR die der Empfänger am Ort d aufnehmen kann ergibt sich mit (2.23):

PR =jEgesj2

Z0Ae =

16E20d20

d4� �

2h2Th2R

�2Z0Ae (2.24)

mit Z0 als dem Wellenwiderstands des Freiraums und der e¤ektiven Fläche derEmpfangsantenne Ae .Die e¤ektive Antennen�äche ist um den Gewinn der Antenne GR größer als

die Fläche eines isotropen Kugelstrahlers Ai = �2

4� .

Ae = GRAi (2.25)

mit 2.24 folgt für die Empfangsleistung:

PR =4E20d

20�h

2Th

2R

d4Z0GR (2.26)

Die von der Sendeantenne abgestrahlte elektrische Feldstärke ist in der Ent-fernung d0 von der Antenne:

E20 =PTZ0GT4�d20

(2.27)

mit PT als der Leistung der Sendeantenne und GT als deren Gewinn. Mit (2.26)ist die Empfangsleistung:

PR = PTGTGRh2Th

2R

d4(2.28)

Die Empfangsleistung hängt, ganz im Gegensatz zum Freiraummodell, nuno¤enbar nicht mehr von der Frequenz der Wellen ab, dafür steigt sie aber qua-dratisch mit der Höhe der Sende- und Empfangsantenne. Der Pfadverlust in dBfür das Zweistrahlmodell ist dementsprechend

LTR (dB) = 10� log�PTPR

�(2.29)

= 40 log d� 10 logGT � 10 logGR � 20 log hT � 20 log hR

In der englischsprachigen Literatur wird dieser als Two-Ray Pathloss bezeichnet.

Beispiel 33 Berechnen Sie die Empfangsleistung in einer Entfernung von 8 kmvon der Sendeantenne für ein 1.8 GHz Signal. Die Sendeleistung betrage 10 W,der Gewinn der Sendeantenne ist 9 dB, der Gewinn der Empfangsantenne 2.15dB. Die Sendeantenne hat eine Höhe von 15 m, die Empfangsantenne be�ndesich 1.7 m über dem Erdboden.

2.4. KNIFE - EDGE - DIFFRACTION 55

Abbildung 2.7: Vergleich zwischen der Empfangsleistung für den Freiraumfallund nach dem Zweistrahlmodell.

Lösung 34 Die Empfangsleistung in dB ist nach (2.29) PR = PT � LTR =40dBm�156:12 + 9dB+2:15dB+23:52 + 4:6 = �76:85dBm � 2 � 10�11W. DieEmpfangsleistung ist also äußerst gering. Nach dem Freiraummodell würde sichhingegen ein Wert von -64.4 dBm � 3:6 � 10�10W ergeben, also fast das 20fache.

Abbildung 2.7 zeigt die Empfangsleistung in Abhängigkeit von der Entfer-nung zum Sender berechnet nach dem Freiraum- und dem Zweistrahlmodell.Die Sendeleistung beträgt 40 W, die Trägerfrequenz ist 2 GHz, die Gewinne derSende- und Empfangsantenne sind 9 bzw. 2.15 dBm und die Höhen der beidenAntennen sind 20 und 1.7 m. Wie man der Abbildung entnehmen kann, ist dieEmpfangsleistung die man nach dem Zweistrahlmodell berechnet kleiner als diewelche sich nach dem Freiraummodell ergeben würde und sie nimmt mit weitersteigender Entfernung deutlich schneller ab.

2.4 Knife - Edge - Di¤raction

Während die beiden vorangegangenen Modelle kein Hindernis bei der Betrach-tung zuließen kann man das Knife-Edge Di¤raction Modell verwenden wenn sichein Hindernis mit einer �scharfen Kante�im Ausbreitungsweg zwischen Senderund Empfänger be�ndet. Diese �scharfe Kante� ist natürlich nur eine Nähe-rung. Eine Knife-Edge Beugung �ndet mit guter Näherung z.B. an Hausecken,Spitzdächern oder Bergrücken statt.Die Beugung einer elektromagnetischen Welle in einer natürlichen Umge-

bung lässt sich meist nur relativ schwierig berechnen, trotzdem gibt es für einigeeinfache Geometrien geschlossene Lösungswege zur Berechnung der zusätzlichenDämpfung die durch Beugung auftritt. Von besonderer Bedeutung bei der Funk-


Abbildung 2.8: Darstellung des Huygenschen Prinzips zur Beugung an einerKante.

wellenausbreitung sind Hindernisse mit der Form eines Bergrückens oder Dächervon Straßenzeilen in einer städtischen Umgebung. Das Hindernis ist in diesenFällen kein kreisförmiges Objekt wie im Abschnitt 1.5 sondern es ragt mit einerKante in den Ausbreitungsweg hinein - wie Abb.2.8 zeigt. Gleichzeitig ist esaber senkrecht zum Ausbreitungsweg sehr weit ausgedehnt. Auch in diesem Fallkann man die Beugung mit dem Huygensschen Prinzip beschreiben.Die Wellenfront an dem Hindernis besteht aus unendlich vielen kugelförmi-

gen Quellen, die alle ihrerseits wieder elektromagnetische Wellen in den Raumabstrahlen. Die Überlagerung der Sekundärwellen hinter dem Hindernis ergibt,dass ein Teil der Energie in den Schattenbereich hinein gebeugt wird.Zur Berechnung dieser speziellen Probleme geht man nicht von einer Quelle

aus die punktförmig ausgedehnt ist und dementsprechend Kugelwellen in denRaum abstrahlt. Der Geometrie angepasst strahlt die Quelle für diese Fällezylinderförmige Wellen in den Raum ab.

2.4.1 Fresnel - Ellipsoide

Eine Funkübertragungsstrecke zeigt Abb. 2.9Im Ausbreitungsweg zwischen Sender und Empfänger be�ndet sich ein Hin-

dernis. Vom Sender hat es die Entfernung d1 und bis zum Empfänger die Ent-fernung d2.Nehmen wir zunächst einmal an, das Hindernis würde bis zum Punkt P

ragen. In diesem Fall gibt es keine direkte Sichtverbindung zwischen Senderund Empfänger und das einzige Signal welches den Empfänger erreicht wäredas an P gebeugte. Der Weg den dieses Signal zurücklegt ist s1 + s2: Auchfür dieses Problem lassen sich Fresnel - Zonen de�nieren. Da es sich um eindreidimensionales Problem handelt entstehen Fresnel - Ellipsoide, wie man derAbb. 2.9 entnehmen kann. In den beiden Brennpunkten des Ellipsoids be�ndensich der Sender und der Empfänger.


Abbildung 2.9: Fresnel - Ellipsoide um den Ausbreitungsweg eines Funksignals

Abbildung 2.10: Funkverbindung mit Hindernis im Ausbreitungsweg

De�nieren wir für die Einhüllende des Ellipsoids, dass sich der direkte Weg(d1 + d2) vom gebeugten Weg (s1 + s2) um m�=2 unterscheidet, so folgt:

s1 + s2 = d1 + d2 +m�

2(2.30)

Mit Abb. 2.9 und rm � d1; d2 ergibt sich für den Radius des m�ten El-lipsoids an einer beliebigen Stelle im Ausbreitungsweg zwischen Sender undEmpfänger

rm �rm�d1d2d1 + d2

(2.31)

Ragt ein Hindernis mit der Höhe h in den Ausbreitungsweg - wie in Abb.2.10dargestellt - wobei h die Höhe über der Verbindungslinie zwischen Sender undEmpfänger darstellt - so ist der Abdeckungsgrad der m�ten Fresnel - Zonedurch das Hindernis: h=rm.


Aus diesem Abdeckungsgrad lässt sich der Beugungsparameter v bestimmen,er ist mit (2.31)

v =h

rm

p2m � h

s2 (d1 + d2)

�d1d2(2.32)

Durch die Beugung kommt es zu einem Energiegewinn, da ohne Beugung keinSignal im Schattenbereich des Hindernisses auftreten würde. Der Beugungsge-winn ist einfach das Verhältnis von der gebeugten zur einfallenden Leistung undlässt sich über das komplexe Beugungsintegral berechnen.

GKE =jEdj2

jEij2= jF (v)j2 (2.33)

mit Ed als der Feldstärke der gebeugten und Ei als der Feldstärke der einfal-lenden Welle und F (v) als dem Fresnelschen Beugungsintegral in Abhängigkeitvom Beugungsparameter v

F (v) =1 + j

2

Z 1

v

exp

��j�t

2

2

�dt (2.34)

oder

jF (v)j = 1

2

�1

2+ C2 (v)� C (v) + S2 (v)� S (v)

�(2.35)

wobei C (v) und S (v) die Fresnelschen Sinus- und Kosinusintegrale sind.Drückt man den Gewinn in dB aus, so ergibt sich aus (2.33)

GKE(dB) = 20 log�jEdjjEij

�= 20 log jF (v)j (2.36)

Ohne Hindernis wäre die Empfangsfeldstärke natürlich größer als mit, daherführt das Hindernis zu einem Beugungsverlust auf der Übertragungsstrecke. DerBeugungsverlust ist einfach der negative Beugungsgewinn.

Ld = �GKE (2.37)

Er tritt zusätzlich zum Freiraumverlust auf und muss dementsprechend hin-zuaddiert werden. Der gesamte Pfadverlust im Falle einer Beugung an einemscharfkantigen Hindernis ist dementsprechend

LKE = LP + Ld

mit LP als dem Freiraumpfadverlust aus (2.7).Das komplexe Beugungsintegral lässt sich entweder durch eine Reihenent-

wicklung annähern, oder man liest die entsprechenden Parameter aus einer Ta-belle ab. Abbildung 2.11 zeigt den Verlust der durch Beugung an einer Kanteauftritt.Be�ndet sich das Hindernis genau auf der Höhe der Verbindungslinie zwi-

schen Sender und Empfänger so ist der Beugungsparameter v = 0. Nach Abb.2.11folgt dann für den Beugungsverlust ein Wert von 6 dB. Die empfangene Leistungbeträgt also nur noch 1/4 der Leistung die ohne Hindernis empfangbar wäre.Für einen Beugungsparameter von v = �0:8 ist der Beugungsverlust 0 dB.

Die empfangene Signalleistung entspricht also trotz Hindernis der Leistung die


Abbildung 2.11: Verlust durch Beugung an einer Kante, die durchgezogene Li-nie gibt den exakten Wert, während die Punkte die Werte die sich aus denNäherungslösungen ergeben darstellen.

Abbildung 2.12: Bereich der ersten Fresnel - Zone der frei von Hindernissen seinmuss damit der Ausbreitungsweg unbeein�ußt bleibt.

ohne Hindernis empfangen werden würde. Mit (2.32) folgt damit für die Höheh � �0:6 r1. Das Hindernis darf also höchstens zu 40% in den ersten Fresnel- Radius hineinragen - wie in Abb.2.12 dargestellt - wenn der Beugungsverlustvernachlässigbar klein sein soll.Wenn das Hindernis also höchstens bis an den Rand der weißen Ellipse her-

anragt werden trotzdem noch 100% der Leistung empfangen die ohne Hindernisempfangen worden wären. Dieses Kriterium wird meist für eine Entscheidungbenutzt ob ein Hindernis welches sich im Ausbreitungsweg be�ndet zu einersigni�kanten Leistungsverschlechterung führt oder nicht.

Beispiel 35 Sie wollen eine Richtfunkstrecke mit einer Trägerfrequenz von 10GHz aufbauen um zwei Basisstationen die eine Entfernung von 20 km zueinan-der haben miteinander zu verbinden. In einer Entfernung von 5 km von IhrerAntenne be�ndet sich ein Hausdach mit einer Höhe von 20 m. Wie hoch müssenSie Sende- und Empfangsantenne wählen wenn Sie die Erdkrümmung vernach-lässigen?


Abbildung 2.13: Geländepro�l zwischen Leipzig-Connewitz und der DübenerHeide unter Einbeziehung der Erdkrümmung und der Brechungsindexänderung.

Lösung 36 Für den Radius des ersten Fresnel - Ellipsoids ergibt sich nach

(2.31) rn �q

m�d1d2d1+d2

=q

1�3�10�2m�5�103m�15�103m5�103m+15�103m = 10:6 m. Da 60% die-

ses Radius frei von Hindernissen sein müssen darf das Hausdach höchstens 6.364m unter der Verbindungslinie stehen. Bei Vernachlässigung der Erdkrümmungergibt sich demnach eine Mindesthöhe der Masten von 26.364 m.

Beispiel 37 Sie sollen eine Richtfunkstrecke zwischen Leipzig-Connewitz undBerlin-Alexanderplatz bei einer Frequenz von 1 GHz planen. Das Geländepro�lder Strecke zeigt die Tabelle 2.1 und die Abb.2.13. Zwischenstationen der Streckesollen in der Dübener Heide bei km 43 und im Fläming bei km 89 eingerichtetwerden. Beachten Sie bei Ihrer Planung die Erdkrümmung und die Abnahme desBrechungsindex mit der Höhe (siehe Bachelor-Script). Zusätzliche Bebauung gibtes auf der Übertragungsstrecke nicht.

Lösung 38 Bei Beachtung der Erdkrümmung und der Änderung des Brechungs-index mit der Höhe ergibt sich mit b � r1r2

2R (siehe Bachelor-Script) und Reff =4=3�6375km=8500km für die erste Teilstrecke zwischen Leipzig-Connewitz undder Dübener Heide die Abb.2.13

Laut Tabelle existiert bei einer Entfernung von 18 km vom Sender ein Hin-dernis mit einer Höhe von 139 m über NN. Rechnet man die Erdkrümmunghinzu ergibt sich eine Höhe von 165.47 m bei Berücksichtigung des e¤ektivenBrechungsindex. Wenn die Hindernisse auf der Strecke keinen Ein�uss auf dieAusbreitung haben sollen müssen wenigstens 60% des Radius der ersten Fresnel- Zone frei von diesen Hindernissen sein. Mit (2.31) folgt für den Radius derersten Fresnel - Zone mit d1 = 18 km, d2 = 25 km und � = 0:3 m, r1 = 56 m.Das Hindernis muss sich demnach 0:6� r1 = 33:6 m unter der Verbindungslinie


Tabelle 2.1: Geländeerhebungen zwischen Leipzig-Connewitz und Berlin-Alexanderplatz.

Entfernung /km Höhe über NN Entfernung /km Höhe über NN

0 120 78 92.4

5 110 83.5 102

10 124 84 92.4

18 139 89 107

20.9 110 93.5 92.4

28 105 95 45

29 91 100 45

30 90 104 76

32 92 104.4 36

35 110 110 35

40 144 111 60.7

41.8 140 113 36

42 155 115 36

43 160 117 77

48 95 120 34

49 124 224 34

52 102 125 45

55 63 130 45

62.6 63 135 36

70 65 146 34

73 107 150 32

74 102


Abbildung 2.14: Geländepro�l zwischen dem Fläming und Berlin-Alexanderplatz unter Einbeziehung der Erdkrümmung und der Brechungsin-dexänderung.

zwischen Sender und Empfänger be�nden. Die Verbindungslinie verläuft also165:47 m + 33:6 m = 199.07 m über NN. Für die Sendeantenne folgt eine Höhevon 199.07 m - 120 m = 79.07 m. Die Empfangsantenne hat eine Höhe von199.07 m - 160 m = 39.07 m.Für die dritte Teilstrecke vom Fläming nach Berlin ergibt sich die Abb.2.14Bei

km 117 tritt ein Hindernis mit einer Höhe von 77 m auf, unter Einbeziehungder Erdkrümmung folgt für dieses Hindernis eine Höhe von 131.35 m über NN.Mit (2.31) folgt für 0:6� r1 = 40:45 m. Die Sendeantenne muss also eine Höhevon 65 m über dem Erdboden haben während die Sendeantenne eine Höhe von140 haben sollte.Die Antennenhöhen für das mittlere Teilstück sind durch diese Berechnun-

gen bereits vorgegeben. Es ergibt sich die Abb.2.15Auf der Mitte der Verbin-dungsstrecke zwischen Sender und Empfänger betragen 60% des ersten Fresnel- Radius 35 m. Das Hindernis bei km 73 ragt nicht in diesen Bereich hinein, sodass keine Erhöhung der Antennen nötig ist. Die gesamte Übertragungsstreckezeigt Abb.2.16

2.4.2 Beugungsverlust

Ist der Radius des ersten Fresnel - Ellipsoids nicht zu 60% frei von Hindernissenso kommt es zu einem Beugungsverlust. Für eine Berechnung dieses Verlusteslässt sich das Beugungsintegral (2.34) auch annähern, die Näherungsformelnsind [32]

Gd (dB) = 0 v � �1 (2.38)

Gd (dB) = 20 log (0:5� 0:62v) � 1 � v � 0 (2.39)


Abbildung 2.15: Geländepro�l zwischen der Dübener Heide und dem Flämingunter Einbeziehung der Erdkrümmung und der Brechungsindexänderung.

Abbildung 2.16: Richtfunkstrecke zwischen Leipzig-Connewitz und Berlin-Alexanderplatz.


Gd (dB) = 20 log (0:5 exp (�0:95v)) 0 � v � 1 (2.40)

Gd (dB) = 20 log�0:4�

q0:1184� (0:38� 0:1v)2

�1 � v � 2:4 (2.41)

Gd (dB) = 20 log�0:225

v

�v > 2:4 (2.42)

Die nach den Näherungsformeln berechneten Beugungsverluste sind als Punk-te in Abb. 2.11 eingetragen. Wie man der Abbildung entnehmen kann, ist derFehler für v � 1 relativ gering.

Beispiel 39 Ein Richtfunksystem arbeite bei einer Frequenz von 2 GHz undsei mit Antennen mit einer Höhe von jeweils 30m ausgestattet. Der Abstandzwischen Sender und Empfänger sei 3 km. In der Mitte der Verbindungsstreckebe�nde sich ein Haus mit Spitzdach.a) Wie hoch darf das Haus höchstens sein wenn die Empfangsfeldstärke na-

hezu unbeein�usst bleiben soll?b) Wie großist der Beugungsverlust wenn das Haus eine Höhe von 25 m

hat?c) Wie großist der Beugungsverlust bei einer Höhe von 30 m?d) Welcher Beugungsverlust ergibt sich bei 35m?

Lösung 40 a) Nach obiger Diskussion darf das Haus höchstens zu 40% in denRadius der ersten Fresnel- Zone hineinragen. Die erste Fresnel - Zone ist r1 �q

0:15�2:25�1063�103 � 10:6 m. Das Haus muss sich dementsprechend 0:6� r1 = 6:36

m unter der Verbindungslinie zwischen Sender und Empfänger be�nden und darfdementsprechend höchstens eine Höhe von 30m�6:36m= 23:64m haben.b) Bei einer Höhe von 25 m ergibt sich für h = �5m und damit für v =

�5q

2�3�1030:14�2:25�106 � �0:7, damit folgt nach (2.39) für die Dämpfung Ld =

�Gd = 0:6 dB. Sie ist dementsprechend relativ gering.

Lösung 41 c) Wenn das Haus 30m hoch ist ragt es genau in die Verbindungs-linie zwischen Sender und Empfänger, in diesem Fall ist h = 0 und dementspre-chend v = 0. Demnach beträgt die zusätzliche Dämpfung Ld = 6 dB.

Lösung 42 d) Bei einer Höhe von 35m ist h = 5m und damit v � 0:7, mit(2.40) folgt für die zusätzliche Dämpfung Ld = 11:8 dB.

In den meisten Fällen ist die Geometrie nicht so einfach wie in Abb. 2.10.für Mobilfunksysteme gilt z.B. in den meisten Fällen das die Empfangsantenneeine geringere Höhe hat als die Sendeantenne. Abbildung 2.17 zeigt einen sol-chen allgemeinen Fall.Die Höhe des Hindernisses ragt über die Verbindungsliniezwischen Sender und Empfänger hinaus und die Empfängerhöhe ist tiefer alsdie Höhe der Sendeantenne.Zur Berechnung wird die Geometrie entsprechend der Abb.2.18 vereinfacht.

Alle Höhen werden um die Empfängerhöhe reduziert. Dementsprechend hat derEmpfänger jetzt die Höhe 0, während das Hindernis und der Sender die Höhenho �hR und hT �hR aufweisen. Der Beugungsparameter v kann auch über denWinkel des am Hindernis gebeugten Strahles � berechnet werden, er ist

v = �

s2d1d2

� (d1 + d2)(2.43)


Abbildung 2.17: Allgemeiner Fall der Beugung an einem Hindernis

Abbildung 2.18: Reduzierte Geometrie zur Berechnung des Beugungsverlusts

Der Beugungswinkel � ist nach Abb. 2.18

� = � + (2.44)

2.4.3 Multiple Knife - Edge Di¤raction

Die Berechnungsvorschriften des Knife - Edge Di¤raction Modells gelten nurwenn sich ein einziges Hindernis im Ausbreitungsweg zwischen Sender und Emp-fänger be�ndet. Der gebräuchlichste Weg die Signalverringerung welche durchmehrere Hindernisse entsteht zu berechnen ist die Geometrie derart umzufor-men, dass man die Berechnung nach den Methoden des vorhergehenden Ab-schnittes für jedes einzelne Hindernis durchführen kann und die Ergebnisse danngeeignet zusammenzufassen.Die einfachste Methode wurde im Jahre 1947 von Bullington vorgeschlagen

[33]. Bei dieser Methode wird durch geometrische Verfahren versucht, mehrereHindernisse im Ausbreitungsweg durch ein einzelnes zu ersetzen, wie in Abb.2.19gezeigt ist.Der Schnittpunkt der Verbindungslinien zwischen Sender und erstem Hin-

dernis und Empfänger und zweitem Hindernis de�niert den Ort und die Höhedes äquivalenten Hindernisses. Für dieses äquivalente Hindernis lässt sich nun


Abbildung 2.19: Konstruktion eines äquivalenten Hindernisses

Abbildung 2.20: Aufteilung eines Beugungsproblems mit mehreren Hindernissenin mehrere Beugungsprobleme mit jeweils einem Hindernis

mit dem einfachen Knife - Edge Verfahren der zusätzliche Pfadverlust durchBeugung ermitteln.Die soeben beschriebene Methode ist zwar sehr einfach gibt aber in den

meisten Fällen keine hinreichend genauen Ergebnisse. Eine andere Herange-hensweise wurde 1966 von Deygout verö¤entlicht [34]. Als Beispiel diene dieAbb.2.20Zunächst wird für alle drei Hindernisse der Beugungsparameter so er-mittelt, als sei nur dieses eine Hindernis im Ausbreitungsweg vorhanden, d. h.

v1 = v (d1;d2 + d3 + d4; h1)

v2 = v (d1 + d2; d3 + d4; h2) (2.45)

v3 = v (d1 + d2 + d3; d4; h3)

Das Hindernis mit dem größten positiven Beugungsparameter ist das Haupthin-dernis, für dieses wird nun nach (2.36) bzw. (2.37) der Beugungsverlust Lmain =LKE (v2) bestimmt. Rechts und links vom Haupthindernis wird anschließend das

2.5. RAY - TRACING/ - LAUNCHING MODELLE 67

Beugungsproblem in Teilprobleme aufgespalten. Für die beiden Teilwege der Ab-bildung 2.20 (a und b) wird dann einzeln der Beugungsverlust bestimmt. Dabeiwird beispielsweise für den ersten Teilweg angenommen das Haupthindernis istder Empfänger, für Teilweg b ist es entsprechend der Sender.Die Beugungsparameter für die Teilwege sind

va = v (d1; d2; ha)

vb = v (d3; d4; hb) (2.46)

Der gesamte Pfadverlust der Anordnung LPL berechnet sich nun aus der Summedes Verlustes der Freiraumausbreitung LFS , dem zusätzlichen Verlust durch dasHaupthindernis und den Verlusten durch die beiden Teilwege (LKE (va) undLKE (vb)).

LPL = LFS + LKE (v2) + LKE (va) + LKE (vb) (2.47)

Be�nden sich in den Teilwegen weitere Hindernisse können die Teilwege er-neut in Unterwege aufgeteilt werden für die der Beugungsverlust nach obigerMethode ermittelt werden kann.

2.5 Ray - Tracing/ - Launching Modelle

Beim Freiraummodell wurde ein einzelner Strahl verfolgt der sich vom Senderzum Empfänger ausbreitete. Für das Knife - Edge Di¤raction Modell war esebenfalls ein einzelner Strahl dieser erfuhr auf seinem Weg aber eine Beugungan einer Kante. Beim Zweistrahlmodell waren es dann zwei Strahlen, wobei dereine sich direkt ausbreitete und der zweite re�ektiert wurde. Das Ergebnis wardann die Überlagerung beider Strahlen.Ray - Tracing bzw. - Launching Modelle sind eine Weiterführung dieser

Idee, hier werden aber nicht ein oder zwei Strahlen sondern eine Vielzahl vonStrahlen verfolgt und die auf sie einwirkenden E¤ekte berechnet. In einer vorherfestgelegten Ebene - z.B. einem Ausschnitt aus einem Stadtgebiet - wird danndie Überlagerung der einzelnen Strahlen berechnet.Ray - Tracing und - Launching Modelle können recht gute Ergebnisse lie-

fern. Die Interferenz der einzelnen Signale und damit das Small - Scale Fadingwerden allerdings - da keine Phaseninformation vorliegt - nicht berechnet. DerNachteil dieser Verfahren ist, dass sie relativ komplex sind und damit auch beischnellen Rechnern selbst für die Berechnung einer Mikrozelle (1000 m x 1000m) einige Stunden an Berechnungszeit benötigen können. Für genaue Ergeb-nisse des Verfahrens benötigt man auch genaue Kenntnisse über die Bebauungund die Eigenschaften des Geländes welches man berechnet. Aus diesen Grün-den kommen sie meist nur für die Berechnung von Indoor- und Mikrozellen inFrage.Gerade bei Indoor - Zellen kann eine Veränderung der Aufstellung der Mö-

bel bzw. von Stellwänden bei Großraumbüros zu einer völligen Veränderungder Signalausbreitung führen und macht damit die Ergebnisse der Berechnunghinfällig. Die Signalausbreitung in Hotspots in Bahnhöfen und Flughäfen wirdauch durch die Verteilung der Menschenmassen in diesen Bereichen bestimmt.Diese ist zeitlich variabel, Ray - Tracing und - Launching Modelle können diesnur unzureichend abbilden.


Abbildung 2.21: Grundidee des Ray-Launching Verfahrens

2.5.1 Ray-Launching

Das Grundprinzip des Ray - Launching Verfahrens zeigt Abb. 2.21. Zunächstwird eine Prognoseebene (das Gebiet das berechnet werden soll) de�niert. Fürdieses Gebiet müssen alle Informationen in einer Datenbank vorhanden sein.Im Anschluss werden der Standort und die Eigenschaften eines Senders inner-halb der Prognoseebene festgelegt. Ein Rechnerprogramm sendet dann virtuelleStrahlen vom Sender aus und berechnet ihre Feldstärke entlang ihres Verlaufs.

Die einzelnen vom Sender ausgesandten Strahlen unterscheiden sich durchein konstantes Winkelinkrement��: Tri¤t der Strahl z.B. auf eine re�ektierendeWand wird der Re�exionswinkel berechnet und der Strahl wird weiter verfolgt.Tri¤t er hingegen auf eine Beugungskante, so werden von der Beugungskanteerneut sekundäre Strahlen unter einem konstanten Winkelinkrement ausgesandtund ebenfalls weiter verfolgt. Die Beugungskante ist dementsprechend, wie beimHuygenschen Prinzip ein sekundärer Sender. Die Berechnung des Strahles endetwenn er die Prognoseebene durchstößt oder wenn sein Pegel unter eine vorherfestgelegte Schwelle abgesunken ist. In diesen Fällen wird das Winkelinkrementum �� erhöht, ein neuer Strahl ausgesandt und alles beginnt für diesen neuenStrahl von vorn.

Tre¤en zwei oder mehr Strahlen an einem Punkt zusammen werden ihre ein-zelnen Feldstärkebeiträge für das Endergebnis aufsummiert. Das Ergebnis einerRay - Launching Berechnung ist entsprechend eine zweidimensionale Verteilungder Feldstärke innerhalb der Prognoseebene. Die Genauigkeit des Ergebnisses -aber auch die benötigte Rechenzeit - steigt mit der Anzahl der E¤ekte die dasProgramm für jeden Strahl berücksichtigt. Wie viele Re�exionen werden z.B.nach einer Beugung in die Berechnung einbezogen, wird eine zweite Beugungberechnet usw.

2.5. RAY - TRACING/ - LAUNCHING MODELLE 69

Abbildung 2.22: Grundidee des Ray-Tracing

2.5.2 Ray-Tracing

Ein anderes Verfahren ist das so genannte Ray - Tracing2 , das in Abb.2.22 ge-zeigt ist. Hier wird zunächst ebenfalls ein bestimmtes Gebiet sowie der Standortund die Eigenschaften eines Senders festgelegt. Im Gegensatz zum Ray - Laun-ching gehen die Strahlen nun aber vom Empfänger aus. Auch hier werden wiederStrahlen unter einem bestimmten Winkelinkrement vom Empfänger ausgesandtund über Re�exion und Beugung verfolgt. Tre¤en sie den Sender wird ihr Feld-stärkeanteil am Empfänger zu den bereits erhaltenen hinzusummiert, wenn nichtwird der nächste Strahl berechnet.

Wurde ein Empfängerstandort berechnet wird der Empfänger in einem vor-her festgelegten Raster weiter verschoben und alles wird erneut berechnet. Dasgeschieht so lange bis die Feldstärke für alle Empfängerstandorte im Rastererrechnet wurde. Ray - Tracing erfordert natürlich einen höheren Rechenauf-wand als Ray - Launching auf der anderen Seite bietet es aber auch eine gleichbleibend gute Au�ösung über das gesamte zu berechnende Gebiet.

2Ray-Tracing Verfahren werden vor allem auch in der Filmindustrie zum sogenannten �ren-dern� (Wiedergeben, Interpretieren) bestimmter Filmsequenzen in �Render-Farmen� einge-setzt. Inzwischen werden ganze �computeranimierte� Spiel�lme mit diesen Verfahren pro-duziert aber auch in normalen Filmen spielen computeranimierte Speziale¤ekte eine immergrößere Rolle. Dazu wird eine 3-dimensionale am Computer erstellte Szene mittels eines Gitter-rasters bestimmt und es werden Eigenschaften der Ober�äche und der Atmosphäre festgelegt.Die Render Farm (mehrere gra�sche Großrechner) berechnen dann mittels Ray-Tracing dieLicht- und Schattenverteilung in diesem Bild. Das Ergebnis ist von tatsächlich existierendenund mit Kameras aufgenommenen Szenen kaum zu unterscheiden.Ein kostenloses Programm zur Entwicklung solcher künstlichen Bilder ist beispielsweise

POV-Ray (persistance of vision).


2.6 Zusammenfassung

� Ausbreitungsmodelle stellen grundsätzlich nur eine Näherung dar. Die vonihnen gelieferten Ergebnisse sind nur eine Abschätzung der Wirklichkeit.

� Bei einem Broadcast System bedienen eine oder mehrere Antennen eingroßes Gebiet. Es existiert nur der Weg vom Sender zum Empfänger.

� Bei WLAN oder Mobilfunk Systemen werden Hotspots oder Zellen voneinem einzelnen Standort aus bedient. Die Systeme arbeiten im Up- undDownlink.

� Richtfunk und Punkt zu Punkt Systeme sind ein Kabelersatz über Funk-kanäle.

� Ad - Hoc bzw. Peer - to - Peer Netze sind echte drahtlose Netze bei denendas gesamte Netzwerk auf Funkverbindungen beruht.

� Das Freiraummodell gilt nur für Gebiete ohne Hindernisse. Es kann z.B.für Satelliten und Richtfunkstrecken verwendet werden.

� Beim Freiraummodell steigt der Pfadverlust quadratisch mit der Entfer-nung und der Frequenz.

� Der Pfadverlust des Freiraummodells ist LPdB = 32:4+20 log f+20 log d�GTdB �GRdB :

� Beim Zweistrahlmodell wird die Re�exion an der Ober�äche berücksich-tigt, es gilt für �aches und freies Gelände.

� Beim Zweistrahlmodell steigt der Pfadverlust in 4. Potenz mit der Entfer-nung.

� Der Pfadverlust des Zweistrahlmodell ist 40 log d�10 logGT�10 logGR�20 log hT � 20 log hR :

� Mit dem Knife - Edge Beugungsmodell lassen sich Beugungsverluste aneinem Hindernis berechnen.

� Der Pfadverlust des Knife - Edge Beugungsmodells ist LKE = LP �20 log jF (v)j, mit LP als dem Freiraumpfadverlust.

� Ein Hindernis darf höchstens zu 40% in den ersten Fresnel - Radius ei-ner Funkverbindung hineinragen wenn Beugungsverluste vernachlässigbarklein sein sollen.

� Ray - Tracing und Ray - Launching Verfahren sind Computerprogrammedie auf einer Strahlverfolgung basieren.

� Bei Ray - Tracing wird der Strahlweg vom Empfänger zum Sender undbei

� Ray - Launching vom Sender zum Empfänger berechnet.

2.7. AUFGABEN 71

2.7 Aufgaben

2.0

Leipzig hat die Koordinaten (51�210 N; 12�230O) und Berlin (52�310 N; 13�220O)dazwischen bei (52�030 N; 12�580O) liegt der Fläming mit Erhebungen von rund100m Höhe.

� Konstruieren Sie eine Richtfunkstrecke zwischen Leipzig und Berlin wennIhnen Masten mit einer Höhe von 20m für Ihre Antennen zur Verfügungstehen (50%)!

2.1

Ihr Mobiltelefon sendet mit einer maximalen Leistung von 2W und einer Fre-quenz von 1.8 GHz ein GSM - Signal, am Empfangsort benötigen Sie einenminimalen Signal-zu Rauschabstand von 20 dB. Die Antenne der Basisstation(BTS) hat eine Höhe von 20m, das Mobiltelefon halten Sie in einer Höhe von1.7m. Ihr Telefon ist mit einem Halbwellendipol ausgestattet, während Ihre BTSAntenne aus 8 Halbwellendipolen besteht. Die Dämpfung des Sendekabels be-trägt 10 dB/100m und ist 20m lang. Ihr Empfänger hat eine Noise - Figure von4, die äquivalente Rauschtemperatur ist 300K.

� Wie großist der maximale Zellradius den Sie unter diesen Bedingungenim Freiraumfall wählen können?

2.3

Ab welcher Entfernung von der Basisstation gilt für Aufgabe 2.1 die Näherungs-formel für das Zweistrahlmodell?

2.4

Berechnen Sie für Aufgabe 2.1 die Empfangsleistung mit Hilfe des Zweistrahlm-odells in einer Entfernung von 2 und 2.5 km von der Basisstation und in einerHöhe von 2 und 2.5 m wenn die Basisstation mit 10 W sendet.

2.5

In einer Entfernung von 1km von der Basisstation der Aufgabe 2.1 be�ndet sichein scharfkantiges Hindernis mit einer Höhe von 10m.

� Wie großist die Leistung an Ihrem Empfänger in einer Entfernung von2km bei einer Empfängerhöhe von 1.7m wenn die Sendeleistung 10W be-trägt?


Kapitel 3

Empirische undphysikalischeAusbreitungsmodelle

Die im vorangegangenen Kapitel behandelten Modelle zur Berechnung des Pf-adverlustes gehen alle von ganz speziellen Verhältnissen im Ausbreitungspfadzwischen Sender und Empfänger aus. Beim Zweistrahlmodell darf sich z.B. keinHindernis im Ausbreitungsweg be�nden, beim Knife - Edge - Di¤raction Mo-del darf lediglich ein Hindernis mit einer scharfen Kante auftreten usw. DieseVerhältnisse sind in den allermeisten Fällen nicht gegeben. In einem städtischenGebiet z. B. treten eine Vielzahl von Hindernissen wie Häuser, Bäume oder ähn-liches auf. Die Welle wird an Hausdächern gebeugt, an Hausfassaden re�ektiertund gestreut und entlang von Straßenschluchten geleitet.All diese Bedingungen sind recht komplex und zusätzlich unterliegen sie zum

Teil auch noch einer zeitlichen Änderung durch die Bewegung von Fahrzeugen,die allgemeine Bautätigkeit usw. Will man den Pfadverlust in einem derartigenSzenario analytisch bestimmen benötigt man eine Vielzahl von Information.Neben dem genauen Bebauungsplan mit Straßen und den Höhen der einzelnenHauszeilen sind z.B. Informationen über die dielektrischen Eigenschaften der inder Zelle verbauten Materialien unerlässlich. Hat man all diese Informationen solässt sich der Pfadverlust mit Hilfe der Maxwellgleichungen genau bestimmen.Aber erstens benötigen derartige Rechenverfahren eine geraume Zeit und zwei-tens ändern sich die Eigenschaften, und damit der Pfadverlust, mit der Zeit.Die dielektrischen Eigenschaften einer Straße hängen z.B. davon ab wie dichtder Verkehr auf ihr ist, ob sie feucht oder nass ist oder ob vielleicht Schnee aufihr liegt.Empirische Ausbreitungsmodelle beschreiten einen komplett anderen Weg.

Bei ihnen wird von vornherein davon ausgegangen, dass man den genauen Pfad-verlust ohnehin nicht bestimmen kann und ihn in den allermeisten Fällen auchnicht wirklich benötigt. Ein Fehler wird in Kauf genommen, und das Ergebnisstellt nur den mittleren Pfadverlust dar.Empirische Ausbreitungsmodelle beruhen auf einer großen Zahl von Messun-

gen die in typischen Umgebungen durchgeführt wurden. Es wird dann versuchtdie Ergebnisse der Messungen mathematisch zu beschreiben. Die mathematische

73

74 KAPITEL 3. EMPIRISCHE UND PHYSIKALISCHE MODELLE

Beschreibung ist das Modell welches auf andere Umgebungen angewandt wird.Damit ist die Umgebung auf die man das Modell anwendet nur ähnlich aber niegleich zu der in der das Modell bestimmt wurde. Außerdem wird die Umgebungdes Senders durch das Modell als annähernd gleichförmig betrachtet. Ein ein-zelnes großes Gebäude welches alle anderen überragt stellt z.B. unüberwindbareProbleme für ein empirisches Modell dar.Den physikalischen Modellen liegen hingegen E¤ekte wie die Re�exion oder

Beugung zu Grunde, meist werden diese noch mit einem empirischen Term er-weitert. Die meisten physikalischen Modelle beinhalten vor allem die Beugungder Wellen über die Dächer in eine Straßenschlucht hinein. Daher bieten sieeine recht gute Beschreibung der Wellenführung in den Straßen und spezielleBedingungen der konkret betrachteten Umgebung lassen sich bei ihnen besserberücksichtigen.Die meisten in den Vorhersagetools der Mobilfunk�rmen praktisch ange-

wandten Modelle sind eine Mischung aus physikalischen und empirischen Mo-dellen.

3.1 Ein einfaches empirisches Modell

Wie erwähnt beruhen empirische Modelle auf einer Vielzahl von Messungen undeine zu den Messungen passende Funktion wird bestimmt. Um den Fehler zuverkleinern wird versucht Parameter zu bestimmen welche die spezielle Um-gebung, die Frequenzabhängigkeit der Messung und die Höhe von Sende- undEmpfangsantenne beschreiben.Stellt man den Pfadverlust doppelt logarithmisch dar (Pfadverlust in dB in

Abhängigkeit von log(d)) so ergibt sich eine Gerade. Im Freiraummodell warihr Anstieg 2, im Zweistrahlmodell ergab sich eine 4. Geht man davon aus, dasssich der Pfadverlust immer durch eine Gerade annähern lässt, dann lässt sichfür ein einfaches Modell des Pfadverlustes als:

L = 10n log d�K (3.1)

schreiben, oder linear:

LP =PTPR

=dn

k(3.2)

mit n als dem Exponenten des Anstiegs der von der Umgebung abhängig ist(n = 2 im Freiraum und n = 4 bei Zweistrahl). PT und PR sind die Sende- bzw.Empfangsleistung, LP ist der Pfadverlust, d der Abstand zwischen Sender undEmpfänger und

K = 10 log k (3.3)

ist eine Konstante des Modells welche von der Umgebung und den Antennenhö-hen abhängt. Tabelle 3.1 zeigt einige Exponenten des Anstiegs für unterschied-liche Umgebungen [8]

Beispiel 43 Durch Messungen haben Sie in einer städtischen Umgebung füreinen Pfadverlust die Gleichung L = 32 log d�12 empirisch ermittelt. Wie großist Ihre Empfangsleistung in einer Entfernung von 3km vom Sender wenn diesermit einer Leistung von 10W sendet?

3.2. OKUMURA - HATA UND COST 231 MODELL 75

Umgebung Exponent n

Freiraum 2

Ebene Fläche 4

Städtisches Gebiet 2.7 bis 3.5

Stadt mit Abschattung 3 bis 5

In Gebäuden Sichtverbindung 1.6 bis 1.8

In Gebäuden ohne Sicht 4 bis 6

Tabelle 3.1: Exponent des Pfadverlusts für unterschiedliche Umgebungen

Lösung 44 Der Pfadverlust ist L = PT �PR = 32 log d�12, demnach folgt fürdie Empfangsleistung PR = 40dBm�32 log 3000 + 12 = �59:3 dBm.

Die Sendeleistung der Antenne hängt von den Antennenparametern ab, ein-facher und praktischer für Messungen ist es daher die Leistung in einer be-stimmten Referenzentfernung zu bestimmen und diese Referenzleistung dref indas empirische Modell mit einzubeziehen. Damit folgt

LP = 10n log d� 10n log dref + Lref (3.4)

Lref ist der Referenzpfadverlust in der Referenzentfernung dref .

Beispiel 45 Während einer Messkampagne wurden in einem vorstädtischenGebiet Messwerte der Signalleistung in Abhängigkeit von der Entfernung auf-genommen. Das Ergebnis ist in Abb.3.1 dargestellt, jeder Punkt bezeichnet denMittelwert aus einer Vielzahl von Messungen an unterschiedlichen Orten in ei-ner festen Entfernung vom Sender. Die Leistung des Senders betrug 10 W.BestimmenSie ein einfaches empirisches Modell für diese Messungen.

Lösung 46 Das einfache empirische Modell folgt Glng. (3.1) L = 10n log d�K.Für jede Dekade zeigt das Diagramm einen Abfall von 40 dB. Demnach lässtsich der Pfadverlust in dem Gebiet mit einem Verlustexponenten von n = 4annähern. Aus der Abbildung ergibt sich z.B. für eine Entfernung von 100m eineEmpfangsleistung von PR = 40dBm� (40 log 100�K) � �55 dBm. Demnachist K � 15 dB. Das empirische Modell zur Bestimmung der Messergebnisse inAbb.3.1 ist demzufolge L = 40 log d� 15.

3.2 Okumura - Hata und COST 231 Modell

Das Modell von Okumura [13] ist eine komplett empirische Methode die aufextensiven Messungen beruht die Okumura in und um Tokio im Frequenzbe-reich zwischen 200 MHz und 2 GHz durchführte. Dementsprechend besteht dasOkumura - Modell ausschließlich aus gemessenen Daten und beinhaltet keiner-lei analytische Komponente. Speziell in suburbanen Gebieten bietet das Modellsehr gute Ergebnisse [15]. In anderen Bereichen kann der Fehler allerdings re-lativ großwerden. Meist wird der Grund dafür im Unterschied zwischen derBebauung des betrachteten Gebietes und Tokio gesehen.


Abbildung 3.1: Empfangsleistung in Abhängigkeit von der Entfernung zwischenSender und Empfänger in einer vorstädtischen Umgebung

Im ursprünglichen Okumura - Modell werden die Vorhersagen mit Hilfe ei-niger Graphen durchgeführt aus denen man bestimmte Korrekturfaktoren ent-nimmt um das Modell an die gewünschten Bedingungen anzupassen. Da diesrelativ umständlich ist wurden zumindest die wichtigsten Graphen von Hata[14] durch Formeln angenähert. Beim Hata - Modell handelt es sich dement-sprechend um die empirische Formulierung der Messergebnisse von Okumura.Daher gilt das Modell für dieselben Frequenzen und Bereiche. Das sich ergeben-de Okumura - Hata - Modell ist eines der am weitesten verbreiteten Modelle zurBerechnung von Mobilfunk-Makrozellen und liegt vielen kommerziell genutztenVorhersage - Tools zum Netzdesign zugrunde. Meist werden diese heutzutagenoch um eine analytische bzw. physikalische Komponente erweitert.

3.2.1 Okumura - Hata Modell

Beim Okumura - Hata Modell wird das Vorhersagegebiet in ein o¤enes, urbanesund suburbanes Gelände mit folgenden Eigenschaften eingeteilt:

� O¤en: Freies Gelände, keine größeren Bäume oder Gebäude im Pfad, z.B.Wiesen, Reisfelder, steppenartiges Gelände.

� Suburban: Dörfer oder Straßen mit vereinzelten Bäumen und Häusern. Eskönnen sich einige Hindernisse in der Nähe des Senders und Empfängersbe�nden. Die Bebauung des Gebiets ist aber grundsätzlich nicht dicht.

� Urban: Stadtzentrum oder große Stadt mit großen Gebäuden und Häusernmit zwei oder mehr Geschossen, bzw. auch größere eng bebaute Dörfer mitgroßen Bäumen.


Die Formeln von Hata zur Berechnung des Pfadverlusts sind [14]:

O¤en: LdB = A+B logR�D (3.5)

Suburban: LdB = A+B logR� C (3.6)

Urban: LdB = A+B logR� E (3.7)

mitA = 69:55 + 26:16 log fc � 13:82 log hb

B = 44:9� 6:55 log hb

C = 2 (log (fc=28))2+ 5:4

D = 4:78 (log fc)2+ 18:33 log fc + 40:94 (3.8)

E = 3:2 (log (11:75hm))2 � 4:97 für große Städte fc � 300MHz

E = 8:29 (log (1:54hm))2 � 1:1 für große Städte fc < 300MHz

E = (1:1 log fc � 0:7)hm � (1:56 log fc � 0:8) für mittlere bis kleine Städte

Die Geltungsbereiche des Models sind:

150MHz � fc � 1500 MHz

für die Trägerfrequenz fc in MHz

30m � hb � 200m

für die Antennenhöhe der Basisstation hb in m. Dies ist die Höhe über dem mitt-leren Erdniveau in einem Bereich von 3-10 km um die betrachtete Basisstation.Weiterhin

1m � hm � 10m

für die Höhe der Antenne der Mobilstation hm in m und R � 1 km für den sogenannten great - circle Abstand zwischen der Antenne und dem Mobiltelefonin km. Also dem Abstand zwischen beiden auf der Erdkugel (siehe Bachelor-Script).Abbildung 3.2 zeigt den mit dem Okumura - Hata Modell errechneten Pfad-

verlust für o¤enes, suburbanes und urbanes Gelände. Während der Unterschiedzwischen einem suburbanen und einem urbanen Gelände relativ gering ist, istder Unterschied zwischen einem freien und einem suburbanen Gelände hingegensehr groß.

Beispiel 47 Berechnen Sie die Zellgröße eines GSM-900 Systems für Dessau(mittlere bis kleine Stadt) wenn der maximal zulässige Pfadverlust 130 dB be-tragen kann. Die Sendeantenne habe eine Höhe von 30 m und der Empfängerbe�ndet sich in einer Höhe von 1.5 m.

Lösung 48 Da es sich um ein urbanes Gebiet handelt kommt (3.7) zusammen

mit den Gleichungen (3.8) in Frage: R = 10LdB�A+E

B : Mit A = 126:42, B =35:225, und E = 0:0159 � 0 ergibt sich für die Zellgröße lediglich R = 1:26 km.


Abbildung 3.2: Pfadverlust in Abhängigkeit von der Entfernung nach demOkumura-Hata Modell für ein GSM-900 System (hb = 30 m, hm = 1:5 m)

3.2.2 COST - 231-Hata Modell

Für mittlere bis kleine Städte wurde das Okumura - Hata - Modell erweitertum auch das Frequenzband von 1500 bis 2000 MHz mit abdecken zu können.Dieses Modell wird COST - 231-Hata Modell genannt, es ist dementsprechendauch für das UMTS-Band gültig. Der Pfadverlust des COST - 231-Modells ist[16]

LdB = F +B logR� E +G (3.9)

mit den Größen nach (3.8) für mittlere bis kleine Städte und

F = 46:3 + 33:9 log fc � 13:82 log hb

sowie

G = 0 dB für mittelgroße Städte und vorstädtisches Gebiet

G = 3 dB Großstädte

Abbildung 3.3 zeigt die Zellgrößen für ein GSM-900, 1800, 1900 und UMTS-System in einem suburbanen Gelände. Mit steigender Trägerfrequenz steigtdementsprechend auch der Pfadverlust an. Die Zellgröße eines GSM-900 Sys-tems ist demnach entschieden größer als die eines GSM-1800 Systems, auchwenn alle anderen Parameter gleich bleiben.

Beispiel 49 Berechnen Sie die Zellgröße eines UMTS - Systems für Dessauwenn der maximal zulässige Pfadverlust 130 dB betragen kann. Die Sendean-tenne habe eine Höhe von 30 m und der Empfänger be�ndet sich in einer Höhevon 1.5 m.


Abbildung 3.3: Pfadverlust in Abhängigkeit von der Zellgröße für GSM-900,1800, 1900 und UMTS in einem suburbanen Gelände (hb = 30 m, hm = 1:5 m)

Lösung 50 Nach (3.9) ergibt sich für die Entfernung R = 10LdB+E�F�G

B : Hiersind wieder B = 35:225, E � 0, G = 0 und F = 137:79. Daraus ergibt sich fürdie Zellgröße lediglich R = 600 m. Obwohl also derselbe Basisstationsstandortgewählt wurde ist die Zellgröße nur noch halb so groß, allerdings ist zu beachten,dass das COST - 231-Modell erst ab einer Zellgröße von 1 km gültig ist.

Empirische Modelle sind einfach, schnell berechenbar und bieten innerhalbkürzester Zeit selbst für große Gebiete einigermaßen vertrauenswürdige Ergeb-nisse. Auf der anderen Seite haben sie aber auch einige Nachteile;

� Empirische Modelle können nur in dem Parameterbereich genutzt werdenin dem die Originalmessung stattfand.

� Die Umgebungen müssen klassi�ziert werden.

�Wo ist beispielsweise die Grenze zwischen urban und suburban,� ein Stadtzentrum in den USA und Japan sieht völlig anders aus alsdie mittelalterlichen Städte in Europa.

� Speziell der Begri¤ urban hat in unterschiedlichen Regionen eine un-terschiedliche Bedeutung.

� Diese Klassi�zierung führt dazu, dass die Nutzung von Vorhersage - Toolssehr viel mit der Erfahrung des Nutzers zu tun hat.

� Empirische Modelle bieten keine Möglichkeit der Änderung oder Anpas-sung falls z.B. ein einzelnes Gebäude oder ein Berg im Ausbreitungswegsteht und die gesamte andere Bebauung überragt.

Aus diesen Gründen wird heute für kommerzielle Vorhersage - Tools eineMischung aus empirischen und physikalischen Modellen benutzt.


Abbildung 3.4: Physikalische Interpretation des Allsebrook und Parsons Modellsnach [10]

3.3 Physikalische Modelle

Berechnet man die Empfangsleistung in einer bestimmten Entfernung von derBasisstation nach einem der empirischen Modelle so ergibt sich rings um dieBTS überall die gleiche Leistung. In den empirischen Modellen hängt die Emp-fangsleistung nur von der Frequenz, der Höhe der Basisstation, der Entfernungund einigen anderen Parametern, die je nach Modell variieren ab, nicht abervon der konkreten Bebauungssituation des Geländes.Das Freiraum-, das Zweistrahl- und das Knife - Edge - Beugungsmodell

waren bereits physikalische Ausbreitungsmodelle. Ein spezieller physikalischerE¤ekt wurde analytisch berechnet, allerdings können diese Modelle nur unterganz speziellen Bedingungen benutzt werden.

3.3.1 Allsebrook und Parsons Modell

Eine Verbindung zwischen dem Zweistrahl- und dem Knife - Edge - Modellstellt z.B. das Allsebrook und Parsons Modell dar [17] dessen physikalischerHintergrund in Abb.3.4 gezeigt ist. Dabei handelt es sich um eines der erstenVorhersagemodelle für urbane Gebiete das auch die Geometrie des betrachtetenGeländes mit berücksichtigt. Die Grundlage des Modells waren Messungen dieAllsebrook und Parsons in den britischen Städten Bradford, Birmingham undBath bei Frequenzen von 86, 167 und 441 MHz durchführten.Bei den Messungen ergab sich ein Anstieg des Pfadverlusts mit der Ent-

fernung von 40 dB/Dekade, was dem Zweistrahlmodell entsprechen würde. Inder physikalischen Interpretation wird die Welle dementsprechend zunächst aneiner ebenen Fläche re�ektiert. Zusätzlich wurde - wie beim einfachen empiri-schen Modell - ein Clutter - Faktor eingeführt, dieser ist frequenzabhängig. DieseFrequenzabhängigkeit wird an den Verlust durch eine Knife - Edge - Beugung

3.3. PHYSIKALISCHE MODELLE 81

Abbildung 3.5: Physikalische Interpretation des Ikegami-Modells, nach [10]

angenähert. Diese Annäherung geht von einem fest de�nierten Hindernis aus,es handelt sich dabei um eine Kante mit einer Höhe von 10m, die 30m vom 2mhohen mobilen Empfänger entfernt ist.Der Pfadverlust des Allsebrook und Parsons Modells ist

LP = LTR + LKE + (3.10)

mit dem Pfadverlust nach dem Zweistrahlmodell LTR. Dabei ist zu beachten,dass die e¤ektive Höhe der Empfangsantenne durch die tatsächliche Höhe desHindernisses bzw. Gebäudes ersetzt werden muss.Die Knife - Edge - Beugung LKE ist

LKE = 20 log

ho � hm

548p(dm � 10�3) =fc

!(3.11)

mit ho als der Höhe des Hindernisses in m, hm als der Höhe des Mobile in m, fcals der Trägerfrequenz in MHz und dm als der Entfernung zwischen dem Mobileund dem Hindernis in m. Der Korrekturfaktor beträgt

= �2:03� 6:67fc + 8:1� 10�5f2c (3.12)

3.3.2 Das Ikegami Modell

Neben dem Allsebrook und Parsons Modell gibt es noch weitere physikalischeModelle, wie z.B. das Ikegami Modell [18] dessen physikalische Interpretation inAbb.3.5 gezeigt ist. Eine Basisstation die höher als die Bebauung des Geländesist strahlt eine Welle aus die an einem Hindernis gebeugt und von einem ge-genüberliegenden Hindernis re�ektiert wird. Die beiden Hindernisse stellen eineStraßenschlucht dar in der sich das Mobile be�ndet.


Die Leistungen der beiden resultierenden Anteile der Welle in der Straßen-schlucht (gebeugt und re�ektiert) werden aufsummiert. Dieses Modell beinhaltetdementsprechend besonders gut die Leistungsverteilung entlang von Straßenzü-gen. Das Ergebnis ist

LP = 10 log fc + 10 log (sin�) + 20 log (ho � hm) (3.13)

�10 logw � 10 log�1 +

3

L2r

�� 5:8

mit fc als der Trägerfrequenz in MHz, ho und hm als der Höhe des Hindernis-ses an dem gebeugt wird und der Höhe des Mobile, Lr = 0:25 als dem Leis-tungsverlust durch die Re�exion und w als dem Abstand zwischen den beidenHindernissen bzw. der Straßenbreite. Die Größe � ist der Winkel zwischen derStraße und der direkten Linie zwischen Basisstation und Mobile.Das Modell benötigt dementsprechend eine Datenbank in der die Bebauung

des Geländes gespeichert ist. Wie man Glng. (3.13) entnehmen kann ist dasModell weder von der Höhe der BTS-Antenne noch von der Entfernung abhän-gig, beides bedeutet das die Ergebnisse für größere Abstände zwischen BTS undMobile zu einer Unterabschätzung der tatsächlichen Verhältnisse führen.

3.3.3 Das COST - 231 Modell

Das COST - 231 bzw. Wal�sch - Ikegami Modell ist ebenfalls ein Modell dassich physikalisch Interpretieren lässt. Dabei wurde durch das COST - 231 Pro-jekt das Wal�sch - Bertoni Modell [19] mit dem soeben beschriebenen Ikegami -Modell und einigen empirischen Korrekturfaktoren verbunden. Das Modell bein-haltet die Freiraumausbreitung und die Mehrfachbeugung über die Dächer, dieBeugung am letzten Dach hinunter auf das Straßenniveau wird extra behandelt.Falls keine direkte Sichtverbindung zwischen Sender und Empfänger besteht

ist der Pfadverlust nach dem Wal�sch - Ikegami - Modell [16]

LP = LF + Lmsd + Lsd (3.14)

mit LF als dem Pfadverlust nach dem Freiraummodell, Lmsd als der Mehrfach-beugung nach dem Knife - Edge - Modell bis zum letzten Hindernis und Lsdals der letzten Beugung und Streuung der Welle hinunter auf das Niveau derStraße.Abbildung 3.6 zeigt die einzelnen Parameter des Wal�sch - Ikegami - Modells.

Alle Parameter außer R (km) werden in m angegeben. Die letzte Beugung zumStraßenlevel ist

Lsd = �16:9 + 10 log fc + 10 log(ho � hm)2

wm+ L (�) (3.15)

mit fc als der Sendefrequenz in MHz. Der letzte Term beinhaltet wieder denWinkel zwischen der Orientierung der letzten Straße zu R; er ist

L (�) =

8<: �10 + 0:354� für 0� � � < 35�2:5 + 0:075 (�� 35�) für 35� � � < 55�4:0� 0:114 (�� 55�) für 55� � � � 90�

9=; (3.16)

Der Beugungsterm über die Dächer errechnet sich zu

Lmsd = Lbsh + ka + kd logR+ kf log fc � 9 logw (3.17)

3.3. PHYSIKALISCHE MODELLE 83

Abbildung 3.6: Parameter nach dem Wal�sch-Ikegami- Modell

mit

Lbsh =

��18 log [1 + (hb � ho)] für hb > ho0 für hb � ho

�(3.18)

ka =

8<: 54 für hb > ho54� 0:8 (hb � ho) für R � 0:5km und hb � ho54� 0:8 (hb � ho)R=0:5 für R < 0:5km und hb � ho

9=; (3.19)

kd =

�18 für hb > ho18� 15 (hb � ho) =ho für hb � ho

�(3.20)

kf = �4 + 0:7�fc925

� 1�

(3.21)

für mittlere Städte und vorstädtische Gebiete mit mittlerer Baumdichte und

kf = �4 + 1:5�fc925

� 1�

(3.22)

für das Zentrum großer Städte. Der Gültigkeitsbereich des Modells ist:

� 800 MHz � fc � 2000 MHz,

� 4m � hb � 50m;

� 1m � hm � 3m und

� 0.02km � R � 5km.

Weitere physikalische Modelle auf die hier nur kurz eingegangen werden sollsind das Rooftop Di¤raction Modell [20] bei dem eine Mehrfachbeugung über dieDächer vor der eigentlich zu betrachtenden Straßenschlucht und die Beugungam letzten Dach berücksichtigt werden und das Flat - Edge Modell [21]. ImGegensatz zum Rooftop Di¤raction Modell wird hier davon ausgegangen, dassalle Dächer gleich hoch sind.


3.4 Zusammenfassung

� Empirische Ausbreitungsmodelle beruhen auf einer großen Zahl von Mes-sungen die in typischen Umgebungen durchgeführt wurden.

� Empirische Modelle sind einfach, schnell berechenbar und bieten innerhalbkürzester Zeit selbst für große Gebiete einigermaßen vertrauenswürdigeErgebnisse.

� Empirische Modelle können nur in dem Parameterbereich genutzt werdenin dem die Originalmessung stattfand.

� Die Umgebungen müssen für empirische Modelle in bestimmte Klasseneingeteilt werden (z.B. urban, suburban, o¤en).

� Empirische Modelle bieten keine Möglichkeit der Änderung oder Anpas-sung an konkrete Gegebenheiten des zu betrachtenden Gebietes.

� Den physikalischen Modellen liegen E¤ekte wie die Re�exion oder Beu-gung zu Grunde.

� Physikalische Modelle benötigen genaue Informationen über die Bebauungdes zu betrachtenden Gebiets.

� Physikalische Modelle bieten eine recht gute Beschreibung der Wellenlei-tung entlang der Straßen.

� Die meisten praktisch angewandten Modelle sind eine Mischung aus phy-sikalischen und empirischen Modellen.

3.5 Aufgaben

3.1

Messungen in urbanen und suburbanen Gebieten haben ergeben, dass sich dieMessergebnisse sehr gut durch ein Zweistrahlmodell welches mit einem zusätz-lichen Verlustfaktor (Clutter - Factor) erweitert wurde annähern lassen. Umden Clutter - Faktor eines bestimmten urbanen Gebietes zu bestimmen führenSie Messungen der Empfangsleistung in bestimmten Entfernungen von der BTSdurch. Sie Senden mit einer Leistung von 10 W, Ihre Sendeantenne hat eineHöhe von 20m, die Empfangsantenne 1.5m, Sende und Empfangsantenne habeneinen Gewinn von jeweils 9 dB. Ihre gemessene Empfangsleistung ist in Tab.3.2zusammengefasst.

� Welcher Clutter - Faktor ergibt sich für dieses Gebiet?

3.2

Vergleichen Sie die Zellgrößen eines GSM-900 und GSM-1800 Systems nach demOkumura - Hata bzw. COST - 231 Modell in mittleren bis kleinen Städten füreine BTS-Antennenhöhe von 30m.

Exercises 85

Tabelle 3.2: Gemessene Empfangsleistung in bestimmten Entfernungen von derBasistationEntfernung/km Empfangsleistung/dBm

2 -64

2.5 -69

3 -71

3.5 -75

4 -76

4.5 -79

3.3

Angenommen Sie können für ein GSM-1800 System einen maximalen Pfadver-lust von 130 dB tolerieren. Ihre Sendeantenne sei 30 m und Ihre Empfangsan-tenne 1.5m hoch.

� Wie großwäre der maximale Zellradius im Freiraum, über einer ebenenFläche und in einer Kleinstadt?

3.4

In einer GSM-900 Zelle im Stadtzentrum betrage die Sendeleistung 40 W, dieBTS-Antenne ist 35 m hoch.

� Wie hoch ist die Empfangsleistung in einer Entfernung von 1 km zur BTSwenn der Gewinn der BTS-Antenne 9 dB ist, sich das Mobile in einer Höhevon 2m be�ndet und mit einem Dipol ausgestattet ist?

3.5

Die Monitorfunktion ihres GSM-900 Mobiltelefons zeigt ihnen in einem urbanenZentrum eine Empfangsleistung von �70 dBm. Wie großist nach dem Okumura- Hata Modell ihre Entfernung zur Basisstation wenn Sie annehmen die BTSsendet mit 40 W, hat einen Antennengewinn von 9 dB und eine Höhe von 35m.Ihr Telefon ist mit einem Dipol ausgestattet und be�ndet sich in einer Höhe von2m.

3.6

In einem städtischen Gebiet �nden Sie die Bedingungen der Abb. 3.7 vor. Be-rechnen Sie für ein UMTS-System den Pfadverlust nach dem Wal�sch - Ikegamiund dem COST - 231-Hata Modell.


Abbildung 3.7: Bebauung eines städtischen Areals.

Teil II

Small - Scale Fading

87

89

Abbildung 3.8: Zusammenhang zwischen empirischem Modell, Abschattung undSmall - Scale Fading in einer Mobilfunkzelle.

Die im ersten Teil berechneten Ergebnisse stellen lediglich einen Mittelwertder Signalleistung dar. Wird der Pfadverlust beispielsweise mit einem empiri-schen Modell berechnet ergibt sich eine langsame Änderung der Signalleistungmit der Entfernung, in den meisten Modellen sinkt die Signalleistung beispiels-weise mit 40 dB/Dekade. Betrachtet man eine bebaute Zelle, wie in Abb.3.8, soerrechnet man für einen festen Pfadverlust von z.B. 120 dB einen Kreis um dieBTS herum (gepunktete Linie in Abb.3.8).Große Gebäude führen aber zu einer zusätzlichen Dämpfung des Signals

während Straßen wie Wellenleiter wirken können und damit das Signal verstär-ken. Hinter den großen Gebäuden ist das Signal demnach schwächer als nachdem analytischen Modell zu erwarten, während es entlang der Straßen stärkerist. Dieser E¤ekt wird Abschattung genannt. Im Ergebnis ist die Linie gleichenPfadverlusts kein Kreis mehr sondern zeigt eine Art amöbenhafter Struktur(gestrichelte Linie in Abb.3.8).In einem bebauten Gelände unterliegen die Trägerwellen einer Vielzahl von

physikalischen E¤ekten wie der Beugung, Streuung und Re�exion, dies führtdazu dass sich eine Vielzahl von Kopien des Signals ausbreiten. Wie bereitsim Abschnitt 1.6 herausgearbeitet wurde, führt die Interferenz dieser Kopien zueiner Verstärkung oder Abschwächung des Signals je nachdem ob sich die Wellenkonstruktiv oder destruktiv überlagern. auf Grund der geringen Wellenlängeim Mobilfunk und bei anderen drahtlosen Systemen wie z.B. WLAN kann esauf wenigen Zentimetern zu einer starken Überhöhung und Abschwächung desSignals kommen. Dies ist das so genannte Small - Scale Fading (durchgezogene

90

Abbildung 3.9: Pfadverlust in Abhängigkeit von der Zellgröße bei Berücksichti-gung der Abschattung und des Small-Scale Fading

Linie in Abb.3.8).Abbildung 3.9 zeigt den Pfadverlust in Abhängigkeit von der Zellgröße bei

Berücksichtigung der Abschattung und des Small - Scale Fading. Demnach än-dert sich die Signalfeldstärke nicht nur periodisch entlang eines Weges in einerfesten Entfernung vom Sender sondern auch periodisch mit der Entfernung. Die-ser E¤ekt wird - im Gegensatz zu den schnellen Änderungen des Small - ScaleFading - auch Slow - Fading genannt.Während empirische Modelle klare Aussagen über die mittlere zu erwartende

Signalleistung tre¤en lassen sich die Ergebnisse der Abschattung und des Small- Scale Fading nur noch statistisch behandeln. Man garantiert also nicht dass ineiner Entfernung von 1km von der Basisstation eine Verbindung zum mobilenTeilnehmer möglich ist, sondern diese Verbindung ist mit einer Wahrscheinlich-keit von z.B. 98% möglich.Gleichzeitig führt die Mehrfachausbreitung zur Entstehung mehrerer Kopien

des gesendeten Signals die gleichzeitig beim Empfänger ankommen. Diese Ko-pien überlagern einander. Der E¤ekt wird Intersymbolinterferenz genannt undführt zu einer Art Dispersion des Empfangssignals. Diese Dispersion lässt sichdurch Kanal-Parameter bestimmen.Das Verhältnis zwischen dieser Dispersion und der Dauer eines Symbols be-

stimmt ob die übertragenen Symbole im Kanal verzerrt werden oder nicht. Jenachdem spricht man vom Flat- oder Frequency - Selective Fading.Neben der Mehrfachausbreitung der Signale können sich Sender und Emp-

fänger in mobilen Funksystemen auch bewegen. Auf der einen Seite führt dieszu einer zeitlichen Varianz der Bedingungen auf der anderen Seite kommt es zuzusätzlichen physikalischen E¤ekten wie der Doppler-Verschiebung die zu einerFrequenzänderung führt.Durch die unterschiedlichen Frequenzen auf Grund der Doppler-Verschiebung

91

kommt es zu zusätzlichen Fading-Ereignissen im Kanal. Das Signal bricht durcheinen bestimmten Pegel der Empfangsfeldstärke und ändert somit das Rausch-verhalten im Kanal. Die Bewegung des Teilnehmers führt zu einer Änderungdes Kanals mit der Zeit. In Abhängigkeit vom Verhältnis zwischen der Zeitder Kanal-Änderung und der Dauer eines gesendeten Symbols spricht man vomSlow - und Fast - Fading.Auf all diese E¤ekte wird in diesem Teil näher eingegangen.

92

Kapitel 4

Abschattung

Eine Mobilfunkzelle in einer Stadt ist meist dadurch gekennzeichnet, dass kei-ne direkte Verbindung zwischen Sender und Empfänger besteht. Rund um dieBasisstation be�nden sich eine Vielzahl von Hindernissen die höher sind als dieEmpfangsantenne und die an die Höhe der Sendeantenne heranreichen. Die phy-sikalische Ausbreitung der Welle ist in diesem Fall vor allem durch eine Beugungüber die Dächer und z. T. durch eine Wellenleitung entlang der Straßenzüge be-stimmt. Be�ndet man sich in einer festen Entfernung von der Basisstation kanndie Empfangsfeldstärke demnach sehr großen Schwankungen unterworfen sein.Strahlt die Sendeantenne direkt in einen Straßenzug der auf beiden Seiten mithohen Gebäuden bebaut ist, so nimmt die Feldstärke der Welle eher langsammit der Entfernung ab.Ein solches Szenario lässt sich mit dem Zehnstrahlmodell oder dem so ge-

nannten "Dielectric Canyon"beschreiben. Ähnlich wie beim Zweistrahlmodellwird hier die Überlagerung mehrerer Signalausbreitungswege untersucht. Ge-nau genommen sind es zehn Strahlen die an der Straße, an Hauswänden, erstan der Hauswand und dann an der Straße usw. usf. re�ektiert werden können.Besteht hingegen keine Sichtverbindung zwischen Sender und Empfänger

und be�ndet sich die Empfangsantenne hinter einem hohen Gebäude, so ist vorallem die Beugung über das Dach des Gebäudes für die Ausbreitung der Welleverantwortlich. Nach (2.33) kann die Empfangsfeldstärke in diesem Fall sehrgering sein.

4.1 Slow - Fading

Für bebaute Gebiete hängt die empfangene Leistung nicht nur von der Entfer-nung zum Sender, sondern vor allem vom konkreten Standpunkt des Empfängersin der Zelle ab. Dieser E¤ekt wird Abschattung bzw. im englischen shadowinggenannt. Verbindet man alle Punkte in einer festen Entfernung vom Sender soergibt sich in der Ebene ein Kreis mit dem Radius r.Abbildung 4.1 zeigt die Empfangsleistung entlang dieses Radius r. Wie man

der Abbildung entnehmen kann, schwankt die empfangbare Leistung zufälligum einen mittleren Wert (siehe auch Abb.3.8). Ist ein Straßenzug beispielsweiseentlang des Ausbreitungsweges zwischen Sender und Empfänger gerichtet emp-fängt man eine sehr hohe Leistung. Bewegt man sich weiter auf dem Kreis, so

93

94 KAPITEL 4. ABSCHATTUNG

Abbildung 4.1: Empfangsleistung in einer festen Entfernung von der Basisstationentlang des Kreises mit Radius r

gelangt der Empfänger hinter die Gebäude des Straßenzuges und die Empfangs-leistung bricht ein. Dementsprechend �ndet die Änderung der Signalfeldstärkeauf der Größenskala der Gebäudebreite statt. Da dies, verglichen mit der Signal-variation auf Grund der Mehrwegeausbreitung, eher viel ist wird dieser E¤ektauch SSlow - Fading"genannt.Die Signalfeldstärke auf dem Kreis ist zufällig verteilt, trägt man die Häu-

�gkeit der Signalpegel auf dem Kreis ab ergibt sich ein Gaußfunktion mit einemMittelwert welcher der mittleren Signalfeldstärke entspricht, wie Abb.4.2 zeigt.Diese mittlere Signalfeldstärke ist die, die man beispielsweise mit einem empi-rischen Modelle erhalten hätte.Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Verlust auftritt p(Ls), mit Ls

als dem Verlust durch Abschattung, lässt sich mit der Standard Wahrschein-lichkeitsdichte von Gaußberechnen.

p(Ls) =1

�Lp2�exp

�� L

2S

2�2L

�(4.1)

Die Streuung oder Standardabweichung der Wahrscheinlichkeitsfunktion �L wirdals Ortsvariabilität oder "Location - Variability"bezeichnet, sie hängt von derFrequenz und der Bebauung der jeweiligen Umgebung ab. Vorstädtische Gebie-te zeigen die größte Variabilität, da sich hier die Bebauung sehr stark ändernkann. Im Stadtzentrum ist die Signaldämpfung zwar stärker als in der Vorstadt,aber die Variabilität ist kleiner. Die kleinste Variabilität zeigt sich im o¤enenGelände.Nach den Messkurven von Okumura et al. [13], [10] lässt sich auch die Fre-

quenzabhängigkeit der Ortsvariabilität empirisch bestimmen, sie ist

�L = 0:65 (log fc)2 � 1:3 log fc +A (4.2)

4.1. SLOW - FADING 95

Abbildung 4.2: Wahrscheinlichkeitsdichte der zusätzlichen Dämpfungswertedurch Abschattung in der Zelle

Wobei fc die Trägerfrequenz in MHz darstellt und A ist ein zusätzlicher Sum-mand zur Beschreibung der jeweiligen Umgebung. In Städten ist A = 5:2 undin einer vorstädtischen Umgebung ergibt sich für A = 6:6.Abbildung 4.3 zeigt die Ortsvariabilität in Abhängigkeit von der Frequenz für

ein städtisches und vorstädtisches Gebiet. Wie man der Abbildung entnehmenkann, nimmt die Variabilität mit der Frequenz zu. Dies liegt vor allem daran,dass auch der Beugungsverlust mit der Frequenz steigt. Die kleine Abbildungoben links zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der durch die Abschat-tung zusätzlich auftretenden Dämpfung für eine Frequenz von 2 GHz in einerStadt und einer Vorstadt. In der Abbildung unten rechts ist die Wahrscheinlich-keitsdichte in einer Vorstadt bei zwei unterschiedlichen Frequenzen dargestellt.Der gesamte Pfadverlust innerhalb der Zelle Lges setzt sich aus dem mittle-

ren Pfadverlust Lm - der sich z.B. mit einem empirischen Modell berechnen lässt- und dem zusätzlichen (durch Abschattung entstehenden) Pfadverlust LS zu-sammen. Der zusätzliche Verlust durch Abschattung kann hinter einem großenGebäude positiv und entlang einer Straße negativ sein.Durch die Abschattung variiert der gesamte Pfadverlust dementsprechend

um den Mittelwert.Lges = Lm + LS (4.3)

Den sich daraus ergebenden Pfadverlust in Abhängigkeit von der Entfernungzwischen der BTS und dem Mobile zeigt Abb.4.4. Es gibt demnach Bereiche in-nerhalb der Zelle in denen der Pfadverlust größer ist als der mittlere Pfadverlustund Bereiche in denen er kleiner ausfällt.Um eine zuverlässige Kommunikation in einer bestimmten Entfernung zu

gewährleisten muss zum Eigentlichen (nach dem Pathloss Modell errechnetenWert) ein so genannter �Fade - Margin�hinzugefügt werden. Dieser berücksich-tigt die Abschattung bzw. das Slow - Fading. Vernachlässigt man dementspre-


Abbildung 4.3: Ortsvariablität in Abhängigkeit von der Frequenz für städtischeund vorstädtische Gebiete. Die beiden Diagramme innerhalb zeigen die Wahr-scheinlichkeitsdichte des Zusatzverlustes für unterschiedliche Bebauungen undFrequenzen.

Abbildung 4.4: Pfadverlust in Abhängigkeit von der Zellgröße bei Berücksichti-gung der Abschattung.

4.1. SLOW - FADING 97

Abbildung 4.5: Link - Budget Analyse bei Berücksichtigung der Abschattung ineiner Mobilfunkzelle

chend in einer Link Budget Analyse (siehe Bachelor-Script) die Abschattungund bestimmt die Zellgröße, so werden 50% des Randes der Zelle eine Signal-feldstärke unter dem berechneten Wert haben und somit keine Verbindung zurBTS aufbauen können.Abbildung 4.5 zeigt eine Link Budget Analyse für ein mobiles Funksystem

bei dem die Abschattung berücksichtigt wurde. Ohne Abschattung ergibt sichder Zellradius aus dem Schnittpunkt zwischen der Linie des mittleren Pfadver-lusts Lm und der minimalen Empfangsleistung. In diesem Fall lässt sich nur mit50% Wahrscheinlichkeit garantieren, dass am Rande der Zelle eine Verbindungzur BTS möglich ist. Soll diese Wahrscheinlichkeit steigen, muss man ein ent-sprechendes Fade - Margin einführen, wie Abb.4.5 zeigt. In diesem Fall wirddann aber die maximale Zellgröße entsprechend kleiner1 .

Beispiel 51 In einer städtischen Umgebung lässt sich der Pfadverlust mit Hilfedes Zweistrahlmodells und einem zusätzlichen Clutter - Faktor von 20 dB bestim-men. Die Sendefrequenz sei 2 GHz, die Sendeantenne habe eine Höhe von 15 mund die Empfangsantenne von 1.5 Metern. Schätzen Sie die maximale Zellgrößeab wenn der maximal mögliche Pfadverlust 150 dB beträgt und 80% der Orteam Rand der Zelle ausreichend Signalfeldstärke erhalten sollen.

Lösung 52 Der Pfadverlust lässt sich mit dem Zweistrahlmodell - erweitert umden Clutter - Faktor - bestimmen, es ergibt sich

Lm = 40 log r � 20 log 15� 20 log 1:5 + 201Zu Beachten ist, dass in einer Funkzelle für mobile Systeme auch die Mehrwegeausbreitung

eine entscheidende Rolle spielt. Das sich daraus ergebende Small - Scale Fading verkleinertdie Zelle noch mehr. Auf diese Phänomen wird im folgenden Abschnitt eingegangen.


Abbildung 4.6: Pfadverlust in -dB in Abhängigkeit von der Entfernung zumSender für das obige Beispiel

Das Ergebnis zeigt Abb.4.6. Ohne Abschattung würde sich ein Zellradius von �8:4 km ergeben. Die Wahrscheinlichkeitsdichte des zusätzlichen Verlustes durchAbschattung für ein 2 GHz Signal in einem städtischen Gebiet ist im kleinenBild dargestellt. Geht man davon aus, dass das schra¢ erte Gebiet ungefähr 80%der Fläche unter der Kurve ausmacht ergibt sich eine Zellgröße von nur noch� 4:4 km. In der Planung der Zellgröße muss man demnach ein zusätzliches sogenanntes Fade - Margin durch die Abschattung berücksichtigen.

4.2 Q - Funktion

Die Abschätzung der Fläche in obigem Beispiel ist natürlich sehr ungenau, sielässt sich durch integrieren von (4.1) berechnen. Die Wahrscheinlichkeit dassder Verlust durch Abschattung um wenigstens z dB größer ist als der mittlerePfadverlust (also das nicht schra¢ erte Gebiet in Abb.4.6) ist:

p(Ls > z) =

Z 1

Ls=z

p(Ls)dLS =

Z 1

Ls=z

1

�Lp2�exp

�� L

2S

2�2L

�dLS (4.4)

Für eine Berechnung ist eine Normierung von z mit der Standardabweichung�L nötig, mit der neuen Variablen x = z=�L folgt

p(Ls > z) =1p2�

Z 1

x=z=�L

exp

��x

2

2

�dx = Q(x) (4.5)

Dies ist die so genannte komplementäre, kumulative Normalverteilung (sieheAnhang).

4.2. Q - FUNKTION 99

Abbildung 4.7: Komplementäre kumulative Normalverteilung zur Bestimmungder Wahrscheinlichkeit eines zusätzlichen Pfadverlustes durch Abschattung

Das schra¢ erte Gebiet in Abb.4.6 ist das �Gaußsche Fehlerintegral�, odererror - function �erf� deren Ergebnisse sich in Tafelwerken [22] und Taschen-rechnern �nden. Das Gaußsche Fehlerintegral ist de�niert als

erf(x) =2p�

Z z

x=0

e�x2

dx (4.6)

Die Beziehung zwischen (4.5) und (4.6) ist [10]

Q(x) =1

2

�1� erf

�xp2

��(4.7)

wobei x = z=�L :Die Wahrscheinlichkeitsdichte in Abhängigkeit von x und die sich daraus

ergebende komplementäre, kumulative Normalverteilung zeigt Abb.4.7Wenn xeinen großen negativen Wert hat trägt die gesamte Fläche unter der Kurve zumIntegral bei und die Wahrscheinlichkeit ist entsprechend 1 bzw.100%. Das heißt,der Pfadverlust ist mit Sicherheit größer als der errechnete Mittelwert. Wennx = 0 ist, wird nur über die Hälfte der Fläche integriert und die Wahrschein-lichkeit dass der Pfadverlust mit dem Mittelwert übereinstimmt beträgt 50 %.Steigt x in positive Richtung nimmt die Fläche und die sich daraus ergebendeWahrscheinlichkeit entsprechend ab.

Beispiel 53 Mit den Werten aus dem vorhergehenden Szenario soll berechnetwerden wie großdie Zelle gewählt werden kann wenn 80% der Orte am Randesicher mit einer ausreichenden Signalfeldstärke versorgt werden sollen. Oder,anders ausgedrückt , wenn man am Rand der Zelle mit 80 prozentiger Wahr-scheinlichkeit eine ausreichende Signalfeldstärke erhält.


Lösung 54 Der gesamte Pfadverlust lässt sich wieder wie im obigen Beispielberechnen, er ist

Lges = 40 log r � 20 log 15� 20 log 1:5 + 20 + Ls < 150dB

wobei Ls den zusätzlichen Pfadverlust durch Abschattung darstellt. Der Wert deszusätzlichen Verlustes ist zufällig und berechnet sich aus (4.7) bzw. ist in Abb.4.7dargestellt. Die Werte der Fehlerfunktion können z.B. in [22] Tab.1.1.2.9.2 ge-funden, oder errechnet werden. Der Pfadverlust soll für 80% der Orte am Randder Zelle kleiner sein als der maximal für das System zulässige Pfadverlust. DieWahrscheinlichkeitsdichte schließt 80% ein wenn Q(x) > 0:2. Nach Abb.4.7 istdas dann der Fall wenn x < 0:85. Der zusätzliche Pfadverlust durch Abschattungist nach (4.4) LS = z = x�L : Die Ortsvariabilität für das obige Beispiel ist nachAbb. 4.3 8 dB. Daraus folgt für LS = 6:8 dB. Der Zellradius ist somit

log r =150 + 23:52 + 3:52� 20� 6:8

40

und damit r = 5:7 km. Die Abschätzung im vorangegangenen Beispiel war alsosehr grob.

Handelt es sich nicht um ein städtisches, sondern ein vorstädtisches Gebietso ist die Ortsvariabilität größer, bei 2 GHz beträgt sie 9.4 dB. Daraus ergibtsich bei 80% Wahrscheinlichkeit ein Verlust durch Abschattung von LS = 8dB. Die Zellgröße in einer Vorstadt ist demnach annähernd 1/2 km kleiner, siebeträgt nur noch 5.3 km.Berechnet man die Zellgröße in einer Stadt hingegen nicht für ein UMTS-

System (2 GHz), sondern für GSM-900, so ist die Ortsvariabilität 7 dB unddamit der Verlust nur 5.95 dB. Die Zellgröße in der Stadt ist demnach rund 6km. Im Allgemeinen ist der Pfadverlust in einer Stadt jedoch größer als in einerVorstadt, daher ergibt sich für den mittleren Pfadverlust ein größerer Wert derdie Zellgröße trotz geringerer Varianz der Standardabweichung sinken lässt.

4.3 Ausfall- und Abdeckungswahrscheinlichkeit

Nach dem obigen Beispiel empfangen die Teilnehmer am Rand der Zelle mit 80%Wahrscheinlichkeit eine genügend hohe Signalfeldstärke. Das bedeutet, dass derPfadverlust innerhalb der Zelle mit einer größeren Wahrscheinlichkeit unter demmaximal Möglichen bleibt, ausgeschlossen ist dies aber nicht. Auch innerhalbder Zelle kann es demzufolge Gebiete geben in denen keine Verbindung zumSender existiert.Die Ausfallwahrscheinlichkeit durch Abschattung (Outage - Probability PA),

ist die Wahrscheinlichkeit dass der Pfadverlust innerhalb der Zelle größer ist alsder durch das System maximal zulässige Pfadverlust LMax. Ist dies der Fall sofällt das System aus. Die Ausfallwahrscheinlichkeit beträgt [10]

PA = P (Lges > LMax) (4.8)

= P (Lm + LS > LMax)

= P (LS > LMax � Lm)

= Q

�LMax � Lm

�L

�

4.3. AUSFALL- UND ABDECKUNGSWAHRSCHEINLICHKEIT 101

Abbildung 4.8: Anteil der Orte mit ausreichender Abdeckung in Prozent inAbhängigkeit von der Entfernung zum Sender für 3 verschiedene Standardab-weichungen der Ortsvariabilität. Die Werte entsprechen den beiden vorangegan-genen Beispielen (Clutter - Faktor 20 dB, Sendeantenne 15m, Empfangsantenne1.5m, maximaler Pfadverlust 150 dB)

Die Wahrscheinlichkeit, dass dasselbe System innerhalb der Zelle mit einerausreichenden Signalfeldstärke versorgt wird ist die so genannte Abdeckungs-wahrscheinlichkeit, bzw. Coverage - Probability PC . Sie beträgt demnach

PC = 1� PA (4.9)

Nach (4.8) und (4.9) ist die Abdeckungswahrscheinlichkeit

PC =

�1�Q

�M

�L

��(4.10)

wobei M = LMax � Lm der zusätzliche Verlustfaktor durch Abschattung, bzw.der Fade - Margin ist.Die Abdeckungswahrscheinlichkeit für ein städtisches und vorstädtisches Ge-

biet bei 2 GHz sowie für eine Zelle in einer Vorstadt bei 900 MHz zeigt Abb.4.8.Eingetragen ist die Zellgröße wenn die Abdeckung für alle Orte innerhalb derZelle größer als 95% sein soll.Abbildung 4.8 wurde mit den Werten des Beispiels unter der Voraussetzung

berechnet, dass sich der Pfadverlust mit Hilfe eines angepassten Zweistrahlm-odells ermitteln lässt. Entsprechend der Abbildung ist die Zellgröße bei dersel-ben Trägerfrequenz in einer Vorstadt kleiner als in einer Stadt. Gleichzeitig istdie Zellgröße eines 900MHz-Systems größer als die eines 2 GHz-Systems. DerGrund dafür ist die höhere Ortsvariabilität in der Vorstadt und bei höherenFrequenzen. Auf der anderen Seite ist der Anpassungs- oder Clutter - Faktornatürlich sowohl von der Frequenz als auch von der Umgebung abhängig was inder Berechnung nicht berücksichtigt wurde.


Zusammenfassung

� Die Abschattung ist ein Ergebnis der zusätzlichen Dämpfung durch Ge-bäude und der Wellenleitung entlang von Straßen.

� Die Signalfeldstärke ändert sich periodisch entlang eines Weges in einerfesten Entfernung vom Sender und mit der Entfernung.

� Durch die Abschattung variiert der gesamte Pfadverlust um den Mittel-wert.

� Die - verglichen mit dem Fast - Fading - langsame Änderung der Signal-feldstärke mit der Entfernung heißt Slow - Fading.

� Die Abschattung lässt sich nur statistisch beschreiben.

� Die Verteilung der Signalpegel folgt in einer festen Entfernung vom Sendereiner Gaußfunktion.

� Die Ortsvariabilität hängt von der Frequenz und der Bebauung der jewei-ligen Umgebung ab.

� Vorstädtische Gebiete zeigen die größte Ortsvariabilität, im Stadtzentrumist die Variabilität kleiner und die kleinste Variabilität zeigt sich im o¤enenGelände.

� Der E¤ekt der Abschattung muss für mobile Funksysteme in Link-BudgetAnalysen berücksichtigt werden.

� Sowohl die Abschattung als auch die Ausfall- und Abdeckungswahrschein-lichkeit lassen sich mit der komplementären, kumulativen Normalvertei-lung oder Q - Funktion berechnen.

� Die Ausfallwahrscheinlichkeit durch Abschattung (Outage - Probability),ist die Wahrscheinlichkeit das der Pfadverlust innerhalb der Zelle größerist als der für das System maximal tolerierbare Pfadverlust.

� Die Abdeckungswahrscheinlichkeit (Coverage - Probability) ist die Wahr-scheinlichkeit das der Pfadverlust kleiner als der maximal tolerierbare Pf-adverlust ist.

Aufgaben

4.1

Berechnen Sie nach dem Hata - Modell die Zellgröße bei einer Abdeckungswahr-scheinlichkeit von 95% in einer großen Stadt und einem vorstädtischen Gebiet.

� Der maximal zulässige Pfadverlust betrage 140 dB und die Sendefrequenzsei 900 MHz, die Höhe der BTS über der mittleren Bodenhöhe sei 30mund die Empfängerhöhe 1.5 m.

4.3. AUSFALL- UND ABDECKUNGSWAHRSCHEINLICHKEIT 103

Abbildung 4.9: Empfangsleistung in Abhängigkeit von der Entfernung zwischenSender und Empfänger in einer vorstädtischen Umgebung

4.2

Während einer Messkampagne wurden in einem vorstädtischen Gebiet Mess-werte der Signalleistung in Abhängigkeit von der Entfernung aufgenommen.Das Ergebnis ist in Abb.4.9 dargestellt, jeder Punkt bezeichnet den Mittelwertaus einer Vielzahl von Messungen an unterschiedlichen Orten in einer festenEntfernung vom Sender.Für eine Entfernung von 3 km vom Sender zeigt Abb.4.10 die gemessene Signalleistung die um den Sender herum ermittelt wurde. Diegemessenen Werte wurden mit einem handelsüblichen Programm mit Hilfe einerGaußfunktion ge�ttet. Für andere Entfernungen gehen Sie von einer ähnlichenVarianz aus.Sie wollen in diesem Gebiet ein zelluläres Mobilfunksystem mit einer Teilneh-

merbandbreite von 500 kHz aufbauen. Ihre Empfangsgeräte haben eine Noise -Figure von 4 und Ihre Sender eine Leistung von 40W.

1. Bei welcher Frequenz fand die Messkampagne statt?

2. Berechnen Sie die Zellgröße in diesem Gebiet wenn die Abdeckungswahr-scheinlichkeit 90% betragen soll und ihr Demodulationsverfahren ein SNRvon 20 dB tolerieren kann.


Abbildung 4.10: Gemessene Verteilungsdichte der Signalleistungswerte in einerfesten Entfernung von der Basisstation

Kapitel 5

Der mobile Mehrwegekanal

Das im vorangegangenen Kapitel behandelte �Large - Scale Fading� führt zueiner langsamen Änderung des Signals bei einer Bewegung des Mobiles überrelativ große Distanzen. Mit größer werdender Entfernung zur BTS wird dasmittlere Signal kleiner. Nimmt man die Abschattung hinzu schwankt der Emp-fangspegel um diesen Mittelwert. Das so genannte �Small - Scale Fading�hatsein Ursache hingegen in geringen Positionsänderungen des Mobile. Im Ergebniskommt es zu:

� einer zeitlichen Spreizung des Signals, auch Dispersion genannt.

�Die Ursache hierfür ist die zeitliche Verzögerung von Mehrwegekom-ponenten (Echos) im Kanal1 .

� einer zeitlichen Veränderung des Kanals.

�Die Ursache dieser Änderung liegt in der zufälligen Frequenzmodu-lation durch eine Doppler-Verschiebung unterschiedlicher Mehrwege-komponenten innerhalb der Zelle.

� einer schnellen Änderung der Signalstärke über ein kleines Zeitintervall,oder eine kurze Distanz.

�Die Ursache hierfür ist die Überlagerung der Mehrwegekomponentenam Ort des Mobiles. Das Ergebnis der Überlagerung, also der Signal-pegel, hängt von der Phasenbeziehung der einzelnen Wellen zueinan-der ab. Diese ist einer ständigen Änderung durch die Bewegung desMobile, oder der Umgebung unterworfen.

Das Small - Scale Fading ist zeitlich variabel und lässt sich nicht mehr ana-lytisch beschreiben. Zur Beschreibung des Kanals werden dementsprechend vonMessungen abgeleitete Parameter benutzt die in diesem Kapitel behandelt wer-den sollen. Die Faktoren die das Small - Scale Fading und damit das Verhaltendes Signals und des Kanals beein�ussen sind:

1 Im Prinzip lässt sich dies mit der bereits bekannten Multimoden-Dispersion im Licht-wellenleiter vergleichen, nur das hier die Bedingungen weitaus komplizierter sind, da keineinfacher Wellenleiter sondern ein 3-dimensionaler Raum vorliegt.

105

106 KAPITEL 5. MOBILER MEHRWEGEKANAL

� Mehrwegeausbreitung:

�Die Ursache hierfür sind re�ektierende, streuende und beugende Ob-jekte. Da sich sowohl der Sender (bei Ad - hoc Netzwerken) als auchder Empfänger und die Objekte bewegen können ändern sich dieMehrwegekomponenten in Amplitude, Phase und Zeit. Das Ergebnisist eine Signalverbreiterung durch Intersymbolinterferenz und eineFluktuation der Signalstärke.

� Geschwindigkeit des Mobile:

�Dies führt zu einer zufälligen Frequenzmodulation der Mehrwegekom-ponenten durch Doppler-Verschiebung.

� Geschwindigkeit umgebender Objekte.

�Dies können z.B. Fahrzeuge auf einer Straße sein. Das Ergebnis isthier wieder eine zufällige Frequenzmodulation einzelner Mehrwege-komponenten.

� Übertragungsbandbreite des Signals:

� In vielen Systemen lässt sich die Bandbreite des Signals den Bedin-gungen im Kanal anpassen.

5.1 Der Gaußkanal

Im Bachelor-Script wurde bereits der so genannte �additive white Gaussian -noise�-Kanal behandelt (siehe Abb. 3). In diesem wird das Signal lediglich inseiner Leistung beein�usst, das Rauschen ist unabhängig von der Signalleistungund lässt sich einfach hinzuaddieren. In Abhängigkeit vom Signal zu Rauschver-hältnis und der im System verwendeten Modulationsart lässt sich die Bitfehler-rate im Mobile bestimmen.Abbildung 5.1 zeigt die BER in Abhängigkeit vom SNR für einen AWGN -

Kanal. In guter Näherung lässt sich beispielsweise bei Richtfunk- und Satelli-tenstrecken von einem AWGN - Kanal ausgehen.Bei mobilen Systemen wie dem zellularen Mobilfunk und WLAN�s liegt das

Problem allerdings in der Bewegung des Mobile und der Mehrwegeausbreitung.Die einzelnen Mehrwegekomponenten werden einander am Empfangsort überla-gert. Das Ergebnis hängt von der Phasenbeziehung der einzelnen Komponentenab. Da sich sowohl der Sender als auch die Umgebung bewegen kann ist dasErgebnis der Überlagerung stark von Zeit und Ort abhängig. Die Ortsabhängig-keit spielt sich dabei in der Größenordnung der Wellenlänge ab. Für den mobilenMehrwegekanal gilt daher nicht mehr das AWGN - Modell.

5.2 Der Rayleigh-Kanal

Für den mobilen Mehrwegekanal gelten die Beziehungen der Abb.5.2.Im Ge-gensatz zum AWGN - Kanal wird das Signal nicht mehr nur vom Pfadverlustund dem additiven Rauschen, sondern auch vom Fading durch die Überlagerung

5.2. DER RAYLEIGH-KANAL 107

Abbildung 5.1: Bitfehlerrate in Abhängigkeit vom SNR für verschiedene in mo-bilen Systemen eingesetzte Modulationsarten in einem AWGN-Kanal

Abbildung 5.2: Der Rayleigh-Kanal


Abbildung 5.3: Rayleigh-Verteilung. Die Punkte sind �ktive Messergebnisse unddie Kurve ihre Häu�gkeitsverteilung

der Mehrwegekomponenten beein�usst. Das Empfangssignal hat demzufolge ge-genüber den Verhältnissen beim AWGN - Kanal eine zusätzliche multiplikativeKomponente.

y(t) = A� (t)u (t) + n (t) (5.1)

Aus dieser Tatsache folgt eine statistische Verteilung der Empfangsfeldstärkedie sich nicht mehr mit einer Gaußfunktion beschreiben lässt. Die Empfangs-feldstärke schwankt durch die Mehrwegeüberlagerung sowohl in ihrer Amplitudeals auch in der Phase um den Mittelwert herum. Ihre Änderung ist demnachkomplex.De�niert man den Abstand vom Mittelwert in der komplexen Ebene als r

so folgt die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines bestimmten Wertes von r -eine so genannte Rayleigh-Verteilung:

PR (r) =� r�2

�e�r

2=(2�2) (5.2)

mit � als der Standardabweichung.Abbildung 5.3 zeigt �ktive Messwerte der Signalamplitude in einem Mehr-

wegekanal und ihre Annäherung durch eine Rayleigh - Funktion. Im Gegensatzzur Gauß- ist die Rayleigh-Funktion asymmetrisch.Für den Empfänger bedeutet die statistische Änderung des Signalpegels

einen zufälligen Einbruch oder eine Überhöhung des Empfangssignals um denMittelwert, sie kann demnach als ein zusätzliches Rauschen dargestellt werden.Dieses �Rauschen�muss bei der Link-Budget Analyse mit in Betracht gezogenwerden.Die Link-Budget Analyse eines mobilen Mehrwegekanals bei gleichzeitiger

Berücksichtigung der Abschattung zeigt Abb. 5.4Im mobilen Mehrwegekanal

5.2. DER RAYLEIGH-KANAL 109

Abbildung 5.4: Link-Budget Diagramm für einen mobilen Mehrwegekanal

wird der minimale Signalpegel mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit de�-niert. Nach Abb. 5.4 führt dies zu einer weiteren Verringerung des maximalenZellradius.Wie man der Abbildung entnehmen kann, ist die Wahrscheinlichkeit dafür,

dass ein geringerer Signalpegel als der mittlere auftritt größer als die Wahr-scheinlichkeit für einen größeren Pegel. Dies folgt aus der Asymmetrie der Rayleigh-Verteilung. Das zusätzliche �Rauschen�des Signals lässt sich durch ein Signal-zu-Rauschverhältnis =Signalleistung/Rauschleistung ausdrücken.Die Verteilungsdichtefunktion dieses Rauschens ist [10]

P ( ) =1

�e�

� (5.3)

mit � als dem mittleren SNR des Kanals (siehe Abb. 5.4) und > 0, bzw.P ( ) = 0; sonst.Die Wahrscheinlichkeit dafür dass der aktuelle SNR unter einem bestimmten

Wert s liegt ist demnach

P ( < s) =

sZ0

1

�e�

� d (5.4)

= 1� e� s�

Abbildung 5.5 zeigt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines SNR untereinem bestimmten Wert s in Abhängigkeit von diesem Wert bezogen auf dasmittlere SNR.

Beispiel 55 Für die Datenübertragung auf ein Mobile darf der Signal-zu-Rauschabstandnicht unter 10 dB sinken. Welchen mittleren SNR muss der Rayleigh-Kanal auf-weisen wenn diese Bedingung in 99.8% der Zeit garantiert werden soll?


Abbildung 5.5: Signal zu Rauschverteilung eines Rayleighkanals

Lösung 56 Bei einer Erfolgsrate von 99.8% ergibt sich eine Misserfolgswahr-scheinlichkeit -also die Wahrscheinlichkeit das der SNR tatsächlich unter denWert von 10 dB sinkt - von (100� 99:8) =100 = 2�10�3 = P ( < s). Aus (5.4)ergibt sich für den mittleren SNR � = � S

ln(1�P ( < s))= � 10

ln(1�2�10�3) = 37dB.Der mittlere Signal-zu-Rauschabstand muss - wenn die Datenübertragung in99.8% der Zeit garantiert werden soll - 37 dB betragen.

Wie obiges Beispiel zeigt, ist der zusätzlich einzuberechnende Fade Marginerheblich. Damit der SNR in 99.8% der Zeit nicht kleiner als 10dB wird mussein Fade Margin von 27dB eingestellt werden. Das ist mehr als das 500-fache!

5.3 Bitfehlerrate im Rayleigh-Kanal

Da man das Small - Scale Fading als eine Art Rauschen betrachten kann hates natürlich auch einen Ein�uss auf die Bitfehlerrate der Übertragung. Für eineBerechnung der Bitfehlerrate in einem Rayleigh-Kanal muss die Bitfehlerwahr-scheinlichkeit im AWGN - Kanal mit der Rayleigh-Statistik gewichtet werden.Im Bachelor-Script wurde z.B. die Bitfehlerwahrscheinlichkeit einer BPSK -

Modulation hergeleitet. Sie war

PAWGN (BPSK) = Q�p

2 �

(5.5)

mit als dem Signal-zu-Rauschabstand. Die BER in einem Rayleigh-Kanal istdann:

PRay =

Z 1

0

PAWGN ( )P ( ) d (5.6)

5.3. BITFEHLERRATE IM RAYLEIGH-KANAL 111

Abbildung 5.6: Bitfehlerrate in Abhängigkeit vom SNR für eine BPSK-Modulation in einem AWGN und Rayleigh-Kanal

Mit (5.3) folgt demnach für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit der BPSK - Modu-lation:

PRayBPSK =1

2

"1�

r�

1 + �

#� 1

4�(5.7)

Den Vergleich zwischen den Bitfehlerraten in einem AWGN und einem Rayleigh-Kanal für eine BPSK - Modulation zeigt Abb.5.6Die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten in einem Rayleigh-Kanal für andere Mo-

dulationsarten sind [8]

PRayFSK =1

2

"1�

r�

2 + �

#� 1

2�(5.8)

PRayDPSK =1

2 (1 + �)� 1

2�(5.9)

PRayGMSK =1

2

"1�

r��

�� + 1

#� 1

4��(5.10)

mit � = 0:68 für ein Bandbreite-Zeit Produkt von BT = 0:25 und � = 0:85 fürBT =1 (siehe Bachelor-Script).Die BER für die einzelnen Modulationsarten sind in Abb.5.7 zu sehen. Wie

man der Abbildung entnehmen kann, ist die BER in einem Rayleigh-Kanal -unabhängig von der jeweils verwendeten Modulationsrate - um ein Vielfacheshöher als die BER in einem AWGN - Kanal und sie sinkt deutlich langsamermit steigendem SNR.Die Anforderungen bezüglich der BER, des Packetverlusts und der Verzöge-

rungszeiten an einen Multimedia-Kanal zeigt die Tab. 5.1. Während diese für


Tabelle 5.1: Anforderungen an drahtlose Multimedia-Kanäle.

Sprache Daten Video

Verzögerung <100ms - <100ms

Packet Loss <1% <1%

BER 10�3 10�6 10�6

Datenrate 8-32kbit/s 1-100Mbit/s 1-20Mbit/s

Verkehr kontinuierlich burstartig kontinuierlich

Abbildung 5.7: Bitfehlerraten verschiedener in mobilen Systemen eingesetzterModulationsarten in einem Rayleigh-Kanal

eine Sprachübertragung noch relativ gering sind, steigen sie für die Übertragungvon Daten und Videosignalen um das 1000-fache.

Beispiel 57 Für die Datenübertragung in einem Mobilfunksystem (GMSK -Modulation, BT=0.25) benötigen Sie eine BER von 10�9. Welche Möglichkeitenhaben Sie diese zu erreichen?

Lösung 58 Nach der Näherungsrechnung von (5.10) ergibt sich für den mitt-leren SNR bei einer BER von 10�9: � = 109= (4� 0:68) = 85 dB. Einen derarthohen SNR bekommt man höchstens in absoluter Nähe der BTS zu Stande. FürMobilfunksysteme ist dies so gut wie unmöglich um aber trotzdem eine BERvon 10�9 garantieren zu können muss dem Signal Redundanz hinzugefügt wer-den. Dies kann über eine spezielle Kanalkodierung sowie Fehlererkennungs- undKorrekturmaßnahmen erfolgen.

5.4. DER RICE - KANAL 113

Abbildung 5.8: Wahrscheinlichkeitsdichte von Empfangsamplituden in einemRice-Kanal

5.4 Der Rice - Kanal

Die Rayleigh-Verteilung gilt nur wenn es keine direkte Sichtverbindung zwischendem Mobile und der BTS gibt. Wenn diese existiert besteht das Empfangssignalaus einer Mischung zwischen der direkt empfangenen Signalkomponente und derÜberlagerung der Mehrwegekomponenten. In der Folge wird die Verteilung sym-metrischer und zwar umso deutlicher umso stärker die direkte Komponente ist.Abbildung 5.8 zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte von Signalamplituden unter�Line of Sight�Bedingung.Für die �Line of Sight� Bedingung geht die Rayleigh-Funktion in eine so

genannte Rice - Verteilung über [23] und der Rayleigh- wird zum Rice - Kanal.In Abbildung 5.9 sind zwei Rice - Verteilungen für unterschiedlich starke Line ofSight Komponenten dargestellt. Ist die Line of Sight Komponente stark (A = 2)so ist die Verteilung sehr symmetrisch. Bei schwacher Line of Sight Komponentewird sie zunehmend unsymmetrischer (A = 0:1) um dann bei A = 0in eineRayleigh-Verteilung überzugehen.

5.5 Zusammenfassung

� Bei einer direkten Sichtverbindung zwischen Sender und Empfänger lässtsich der Funkkanal mit dem additive white Gaussian noise Modell be-schreiben. Es handelt sich um einen so genannten AWGN-Kanal.

� Der mobile Mehrwegekanal ist meist ein Rayleigh-Kanal.

� Die Rayleigh-Verteilung gilt nur wenn es keine direkte Sichtverbindungzwischen dem Mobile und der BTS gibt.


Abbildung 5.9: Rice-Verteilung für unterschiedliche Stärken der Line of SightKomponente.

� Im Gegensatz zum AWGN-Kanal wird im Rayleigh-Kanal das Signal nichtmehr nur vom Pfadverlust und dem additiven Rauschen, sondern auch vomFading durch die Überlagerung der Mehrwegekomponenten beein�usst.

� Im Gegensatz zur Gauß- ist die Rayleigh-Funktion asymmetrisch.

� Das Fading des Mehrwegekanals wird als "Rauschen�bei der Link-BudgetAnalyse in Betracht gezogen.

� Die Bitfehlerrate in einem Rayleigh-Kanal ist viel größer als die in einemAWGN - Kanal.

� Die Bitfehlerrate sinkt in einem Rayleigh-Kanal nur langsam mit wach-sendem Signal-zu-Rauschabstand.

� Unter �Line of Sight�Bedingung geht die Rayleigh-Funktion in eine Rice- Verteilung über und der Rayleigh- wird zum Rice - Kanal.

5.6 Aufgaben

5.1

Bei einem Mobilfunksystem in einem Rayleigh-Kanal (GMSK - Modulation,BT=0.25) benötigen Sie eine BER von 10�4.

� Wie häu�g ist der momentane SNR nur halb so großwie der mittlere?

Exercises 115

5.2

Um wie viel muss der mittlere Empfangspegel bei einem Mobilfunksystem mitGMSK - Modulation (fc = 1800MHz, BT=0.25) in einem Rayleigh-Kanal in-nerhalb eines Stadtgebiets über dem Rauschpegel liegen wenn Sie eine Abde-ckungswahrscheinlichkeit von 95% und eine BER von 10�3 garantieren?


Kapitel 6

Doppler Verschiebung

Die Doppler- Verschiebung entsteht durch die Bewegung des Mobiltelefons re-lativ zur Basisstation. Das Ergebnis ist eine Frequenzänderung und damit einezeitliche Änderung des Kanals. Die Bedingungen zur Berechnung der Doppler-Verschiebung sind in Abb.6.1 gezeigt.Das Mobiltelefon bewege sich mit einer Geschwindigkeit v von A nach B

und steht dabei ununterbrochen mit der Basisstation (BTS) in Verbindung. DieWelle welche die BTS erreicht hat von A einen um �l längeren Weg zurückzu-legen als von B, demnach ändert sich die Phase der Welle zwischen den OrtenA und B. Diese Phasenänderung ist:

�� = 2��l

�(6.1)

Da sich das Mobiltelefon mit einer konstanten Geschwindigkeit v bewegt ist derWegunterschied

�l = d cos � = v�t cos � (6.2)

Mit (6.1) folgt für die Phasenverschiebung:

�� = 2�v�t

�cos � (6.3)

Die Frequenz einer Welle ist die zeitliche Änderung ihrer Phase. Demnachist die Frequenzänderung der Welle die durch die Bewegung des Mobiles her-vorgerufen wird:

fd =d�

dt=1

2�

��

�t=v

�cos � (6.4)

Nach Gleichung (6.4) tritt die größte Frequenzänderung für � = 0 und � = 180�

auf. Im ersten Fall bewegt sich das Mobile direkt auf die BTS zu, aus (6.4)folgt, dass die Frequenz der Welle um fd = v=l größer wird. Bewegt sich dasMobile hingegen direkt vom Sender fort, so wird die Frequenz der Trägerwellemit fd = �v=l kleiner.

Beispiel 59 Angenommen ein mobiler Teilnehmer des GSM-900-Netzes bewegtsich mit einer Geschwindigkeit von 200km/h auf einer Autobahn. Wie großistdie Frequenzänderung wenn er sich

1. direkt auf die BTS zu bewegt,

117

118 KAPITEL 6. DOPPLER VERSCHIEBUNG

Abbildung 6.1: Doppler-Verschiebung

2. sich direkt von ihr entfernt und

3. er sich auf der Höhe der BTS be�ndet?

Lösung 60 Die Wellenlänge eines 900MHz Trägersignals ist � = 33:3cm, dem-nach folgt für die Frequenzänderung im Fall

1. fd = 55:55m/s=0:333m=166.8 Hz, dass die Trägerfrequenz um rund 167Hz ansteigt. Im Fall

2. nimmt sie demnach um denselben Wert ab, während sie im Fall

3. gleich bleibt da � = 90� und damit fd = 0.

Vergleicht man die im Beispiel ausgerechnete Frequenzänderung mit der Trä-gerfrequenz von 900 MHz oder der Signalbandbreite von 200kHz so ergibt sichlediglich eine Änderung von 1:8 � 10�7 bzw. 8:35 � 10�3. Trotz dieser rela-tiv geringen Änderung der Trägerfrequenz hat die Doppler-Verschiebung einengravierenden Ein�uss auf die Signalübertragung in mobilen Funksystemen.

6.1 Das klassische Doppler-Spektrum

Die Verhältnisse für einen mobilen Teilnehmer in einem Mehrwegekanal zeigtAbb. 6.2. Der Empfänger erhält Kopien des Signals aus unterschiedlichen Rich-tungen, jedes einzelne dieser Signale tri¤t unter unterschiedlichen Winkeln � aufden Empfänger. Da sich der Teilnehmer mit einer bestimmten Geschwindigkeitv im Kanal bewegt, ergibt sich nach (6.4) für jede einzelne Komponente eineunterschiedliche Phasenverschiebung und damit eine unterschiedliche Frequenz.

6.1. DAS KLASSISCHE DOPPLER-SPEKTRUM 119

Abbildung 6.2: Mobiler Teilnehmer in einem Mehrwegekanal.

Aus dem gesendeten Spektrum der linken Seite in Abb. 6.2 wird demnach dasin der Frequenz gespreizte Spektrum der rechten Seite in Abb. 6.2. Die einzelnenfrequenzverschobenen Anteile überlagern einander am Empfänger. Dies führt zuSignaleinbrüchen die von der Doppler-Verschiebung im Kanal und damit von derGeschwindigkeit des mobilen Teilnehmers abhängen.Nimmt man an das die Signale aus allen Richtungen rund um den Teilnehmer

von �� bis � kommen können und das keine dieser Richtungen bevorzugt ist, soergibt sich für die Wahrscheinlichkeit das das Signal aus der Richtung � kommt.

p (�) =1

2�(6.5)

Das Mobiltelefon ist allerdings mit einer Antenne ausgestattet die einen Ge-winn G aufweist. Zeigt diese Antenne in die Richtung des Winkels � so ergibtsich für die mittlere Leistung die aus der Richtung d� kommt.

P (�) = G (�) p (�) d� (6.6)

wobei p (�)die Wahrscheinlichkeit nach Gleichung (6.5) darstellt.Die spektrale Leistungsverteilung kann geschrieben werden als

P (f) = S (f) df (6.7)

wobei S (f) die spektrale Verteilung einer einzelnen Mehrwegekomponente istdie unter dem Winkel � eintri¤t. Ist der Winkel � negativ so tritt dieselbeDopplerverschiebung wie für einen positiven Winkel � auf. Die spektrale Leis-tungsverteilung ist dann mit (6.6)

S (f) df = G (�) p (�) d�+G (��) p (��) d� (6.8)


und für den Betrag der spektralen Verteilung der einzelnen Komponente folgt

jS (f)j = [G (�) p (�) +G (��) p (��)] d�df

(6.9)

Die Frequenzverschiebung der Trägerfrequenz fc durch den Doppler-E¤ekt istmit Gleichung (6.4)

f =fcv

ccos� = fm cos� (6.10)

Dann wird der Kosinus des Eintre¤winkels über das Verhältnis der Frequenzenbestimmt und es folgt aus (6.10) cos� = f=fm. Die Ableitung von (6.10) nachdem Winkel � ist �� dfd�

�� = fm j� sin�j (6.11)

Setzt man dieses Ergebnis in (6.9) ein, so ergibt sich

jS (f)j = [G (�) p (�) +G (��) p (��)]df=d�

(6.12)

Mit einem Gewinn des Hertzschen Dipols von 1.5 und einer Wahrscheinlichkeitdes Auftretens des einzelnen Winkels nach (6.5) ergibt sich

jS (f)j = 1:5=2� + 1:5=2�

fm j� sin�j(6.13)

mit

sin� =p1� cos2 � =

s1�

�f

fm

�2(6.14)

folgt für die spektrale Verteilung

S (f) =1:5

�fm

q1� (f=fm)2

jf j < fm (6.15)

undS (f) = 0 jf j < fm (6.16)

Diese spektrale Verteilung wird klassisches Doppler- Spektrum genannt. Dasklassische Doppler-Spektrum für eine Gleichverteilung des Auftretens jedes ein-zelnen Winkels und eine Hertzschen - Dipol als Empfangsantenne zeigt Abb.6.3.Demnach wird die Leistungsverteilung über das gesamte mögliche Spektrumzwischen fc � fd und fc + fd aufgespalten, in der Nähe der ursprünglichenTrägerfrequenz tritt ein Minimum auf während die Verteilung an den Rändernmaximal wird.

6.2 level crossing rate

Die direkte Messung oder Beobachtung der Doppler-Verschiebung in einem mo-bilen Mehrwegekanal ist relativ schwierig, da sie nur einen geringen Anteil an dergesamten Bandbreite des Signals hat. Messbare Parameter die von der Doppler-Verschiebung abgeleitet werden zeigt Abb.6.4, dies sind:

6.2. LEVEL CROSSING RATE 121

Abbildung 6.3: Klassisches Dopplerspektrum für einen Dipol bei gleicher Wahr-scheinlichkeit des Auftretens der einzelnen Winkel.

Abbildung 6.4: Level crossing rate und fade duration als Folge der Doppler-Verschiebung innerhalb der Zeit des Empangs eines Signals.


Abbildung 6.5: Level crossing rate in Abhängigkeit vom Abstand des Referenz-levels zum mittleren Signalpegel für das klassische Dopler-Spektrum.

� level crossing rate (l.c.r.).

�Diese bestimmt die Anzahl positiver Durchbrüche der Signalfeldstär-ke durch ein Referenz-Niveau pro Zeiteinheit und die

� average fade duration (a.f.r.).

�Diese bestimmt die mittlere Zeit zwischen einem negativen und po-sitiven Niveau-Durchbruch, also die mittlere Dauer für die sich dasSignal unterhalb des Referenzlevels be�ndet.

Für das klassische Doppler-Spektrum errechnet sich die level crossing ratein 1=s zu [39]

Nr =p2�fm�re

��r2 (6.17)

wobei sich fm aus (6.10) ergibt und �r ist der Abstand zwischen der mittlerenSignalleistung und dem betrachteten Referenzlevel (siehe Abb. 6.4). Die Anzahlder positiven Signaldurchbrüche über einen bestimmten Referenzwert ist o¤en-bar direkt proportional zur mittleren Frequenzverschiebung des Signals durchden Doppler-E¤ekt fm = fcv=c: Demnach steigt die Anzahl dieser Durchbrücheje Sekunde mit einer größer werdenden Geschwindigkeit des mobilen Teilneh-mers und sie ist für höhere Trägerfrequenzen, also z. B. bei WLAN größer alsfür GSM - Frequenzen.Die auf fm normierte level crossing rate zeigt Abb. 6.5. Das Maximum der

Signaldurchbrüche �ndet statt wenn sich das betrachtete Referenz-Niveau knappunterhalb des mittleren Signalpegels be�ndet. Gleichzeitig zeigt Abb. 6.5 dastiefe Signaleinbrüche mit 30 und 40 dB unter dem mittleren Niveau viel häu�gervorkommen als eine Signalüberhöhung von 5 dB. Letztere würde durch einekonstruktive Interferenz der einzelnen Mehrwegekomponenten auftreten.

6.3. AVERAGE FADE DURATION 123

Beispiel 61 Ein mobiler Teilnehmer des GSM-900 Systems bewege sich miteiner Geschwindigkeit von 100km/h auf einer Autobahn und telefoniert.

1. Wie oft fällt das Signal in einer Minute um 10dB und 20 dB unter denmittleren Signalpegel.

2. Wie oft treten diese Einbrüche auf wenn der Teilnehmer zum UMTS-System wechselt?

Lösung 62 Die mittlere Doppler-Verschiebung ergibt sich aus fm = fcv=c zu83.4Hz, damit folgt nach (6.17) für �r = �10dB= 0:1; Nr =

p2� � 83:4� 0:1�

exp(�0:12) = 20:7 1/s.

1. Demnach fällt das Signal in einer Minute rund 1242-mal um 10 dB un-ter den mittleren Signalpegel. Ein Einbruch um 20dB ergibt sich hingegenlediglich rund 125-mal pro Minute.

2. Beim UMTS-System mit seiner Trägerfrequenz von 2GHz beträgt die mitt-lere Doppler-Verschiebung 185.3Hz. Ein Einbruch um 10 dB ergibt sichdemnach mehr als doppelt so häu�g wie beim GSM - System und zwar2759-mal pro Minute während ein Einbruch um 20dB nur 276-mal proMinute auftritt.

6.3 average fade duration

Die mittlere Fadingdauer bei einem Referenzlevel von �r für das klassische Doppler-Spektrum ist [39]

� �r =e�r

2 � 1�rfm

p2�

(6.18)

Nach Gleichung (6.18) ist die Fading Dauer indirekt proportional zur mittlerenDoppler-Verschiebung fm. Bei hohen Geschwindigkeiten des mobilen Teilneh-mers treten demnach häu�ger Einbrüche des Signals auf, aber sie dauern nichtso lange wie bei niedrigen Geschwindigkeiten. Die auf fm normierte mittlereFadingdauer zeigt Abb.6.6.Ein Vergleich zwischen den Abbildungen 6.5 und 6.6 ergibt, dass tiefe Si-

gnaleinbrüche zwar häu�g auftreten ihre Dauer aber nur sehr kurz ist, währendSignalüberhöhungen zwar weitaus seltener sind sie dafür aber sehr viel längeranhalten.

Beispiel 63 Wie lange liegt ein UMTS-Signal durchschnittlich um

1. 0,

2. 10, und

3. 20dB unter dem mittleren Signalpegel wenn sich der mobile Teilnehmermit einer Geschwindigkeit von 120km/h bewegt?

Lösung 64 Die mittlere Doppler-Verschiebung ist bei dieser Geschwindigkeitfm = fcv=c = 222:4Hz. Die Dauer der Einbrüche ergibt sich aus (6.18) und ist

1. � �r (0dB) = 3:1ms,


Abbildung 6.6: Normierte mittlere Fadingdauer für das klassische Doppler-Spektrum.

2. � �r (�10dB) = 180�s und

3. � �r (�20dB) = 18�s.

6.4 Kohärenzzeit

Eine andere Möglichkeit die E¤ekte der Doppler-Verschiebung zu beschreibenliegt in einer Betrachtung des Signals im Zeitbereich. Für einen zufälligen Pro-zess ist die inverse Fouriertransformierte der spektralen Leistungsdichte die sogenannte Autokorrelationsfunktion. Diese drückt die Korrelation zwischen ei-nem gegebenen Signal zu einer bestimmten Zeit und einer Verschiebung desSignals um die Zeit � aus.Für das klassische Doppler-Spektrum ist die Autokorrelationsfunktion in ei-

nem Rayleigh-Kanal [39]:� (�) = J0 (2�fm�) (6.19)

mit J0 als der Besselfunktion erster Art nullter Ordnung.Die Autokorrelationsfunktion ist in Abb.6.7 gezeigt. Für kurze Zeitverschie-

bungen � ändert sich an dem Signal erwartungsgemäßnur sehr wenig. Steigtdie normierte Verzögerung fm� auf 0.6 hat die Autokorrelationsfunktion einMinimum. Für größer werdende Verschiebungen bis zu einer normierten Verzö-gerungen von fm� � 1:1 wird das Signal sich selbst wieder ähnlicher.Die Autokorrelationsfunktion führt zur De�nition einer Kohärenzzeit des

Kanals. Diese gibt die Zeit an innerhalb derer der Kanal als einigermaßen kon-stant angesehen werden kann. Konstant ist der Kanal wenn die Autokorrelati-onsfunktion annähernd 1 ist, nach Abb.6.7 ist dies eine Funktion der Doppler-Verschiebung fm. Demnach ist die Kohärenzzeit indirekt proportional zu fm,

Summary 125

Abbildung 6.7: Autokorrelationsfunktion für das klassische Doppler-Spektrum.

und damit Tc / 1=fm. Wenn man vorgibt das die Autokorrelationsfunktion nichtkleiner als 1=

p2 werden darf ergibt sich aus Abb. 6.7 für die Kohärenzzeit:

Tc =9

16�fm(6.20)

Sind die Signale länger als die Kohärenzzeit des Kanals so werden sie durchdie Doppler-Spreizung gestört.

Zusammenfassung

� Die Doppler-Verschiebung entsteht durch die Relativbewegung zwischendem mobilen Teilnehmer und der Basisstation, sie ist direkt proportionalzur Geschwindigkeit des Teilnehmers und zur Trägerfrequenz der Signal-übertragung.

� Die maximale Doppler-Verschiebung tritt auf, wenn sich der mobile Teil-nehmer direkt auf die BTS zu oder direkt von ihr weg bewegt. Im erstenFall wird die Frequenz erhöht im zweiten erniedrigt.

� Im mobilen Mehrwegekanal führt die Doppler-Verschiebung zu einer spek-tralen Aufspreizung des Signals.

� Das klassische Doppler-Spektrum hat ein Minimum bei der Trägerfrequenzund Maxima an den jeweiligen Rändern der Frequenzverteilung.

� Durch die Doppler-Verschiebung der einzelnen Mehrwegekomponenten kommtes zu einem Fading des Signals.


� Die level crossing rate (l.c.r.) bestimmt die Anzahl positiver Durchbrücheder Signalfeldstärke durch ein Referenz-Niveau pro Zeiteinheit.

� Die average fade duration (a.f.r.) bestimmt die mittlere Zeit zwischen ei-nem negativen und positiven Niveau-Durchbruch, also die mittlere Dauerfür die sich das Signal unterhalb des Referenzlevels be�ndet.

� Die Anzahl der Signaldurchbrüche unter ein bestimmtes Niveau steigt mitgrößer werdender Geschwindigkeit des mobilen Teilnehmers aber ihre mitt-lere Dauer nimmt mit der Geschwindigkeit ab. Dasselbe Verhalten gilt fürsteigende Trägerfrequenzen.

� Tiefe Signaleinbrüche treten häu�g auf, ihre Dauer ist aber nur sehr kurz.Signalüberhöhungen sind seltener, sie dauern aber länger.

� Die Autokorrelationsfunktion drückt die Ähnlichkeit zwischen einem ge-gebenen Signal zu einer bestimmten Zeit und demselben Signal nach einerVerschiebung um die Zeit � aus.

� Die Kohärenzzeit eines Kanals gibt die Zeit an innerhalb derer er als kon-stant angesehen werden kann.

� Auf Grund der Änderung des Kanals im Verhältnis zur Dauer eines Sym-bols der zu übertragenden Nachricht unterscheidet man zwischen SSlow-und "Fast Fading.

� Fast - Fading tritt im Kanal auf wenn die Symboldauer größer als dieKohärenzzeit des Kanals oder die Signalbandbreite kleiner als die Dopp-lerbandbreite ist.

� Slow - Fading Ereignisse treten ein wenn die Symboldauer viel kleinerals die Kohärenzzeit des Kanals oder die Signalbandbreite kleiner als dieDopplerbandbreite ist.

6.5 Aufgaben

6.1

Tabelle 6.1 fasst die Impulsantwort eines UMTS Evaluation Channel zusammen.

� Tritt für ein Signal einer Bandbreite von 5 MHz ein �aches oder ein fre-quenzselektives Fading in diesem Kanal auf?

� Hinweis: Flaches Fading tritt auf wenn die Signalbandbreite viel klei-ner als die Kohärenzbandbreite oder die Symbolperiode viel größer als dieZeitdispersion des Kanals ist. Wenn Sie von der Kohärenzbandbreite aus-gehen benutzen Sie bitte das Ergebnis einer Frequenzkorrelationsfunktionvon >0.9.

Exercises 127

Tabelle 6.1: Evaluation Channel B for UMTSrel. Delay [ns] rel. mean power [dBm]

0 -2.5

300 0

8900 -12.8

12900 -10

17100 -25.2

20000 -16

6.2

In einem UMTS-System bei einer Trägerfrequenz von 2 GHz bewege sich einTeilnehmer mit einer Geschwindigkeit von 100 km/h.

� Wie großist die Wahrscheinlichkeit das, innerhalb einer gewissen Zeitspan-ne, die Empfangsleistung um 30 dB unter die mittlere Leistung sinkt?

� Hinweis: Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Anzahl und mittlerenDauer der Fadingereignisse bezogen auf die Gesamtzeit.

6.3

Der Teilnehmer eines GSM-900 Systems bewege sich mit einer konstanten Ge-schwindigkeit von 24km/h in einer Funkzelle. Das System soll digitale Datenim Binärformat mit einer Datenrate von 50bit/s übertragen. Wie großist diemittlere Bitfehlerrate pro Sekunde für diese Datenrate?

� Ein Bitfehler tritt immer dann auf wenn das zu übertragende Bit in mehrals 10% seiner Dauer einem Fading unterliegt.

6.4

Der Teilnehmer eines WLAN-Systems (IEEE 802.11a [5GHz]) bewege sich mitSchrittgeschwindigkeit (7km/h) im Bereich eines Hotspots.

� Wie lange liegt das Signal in einer Sekunde

1. 10,

2. 20 und

3. 30dB unter dem mittleren Empfangspegel?

6.5

Kann der Kanal eines GSM-900 Systems bei einer Geschwindigkeit von 100km/hals konstant angesehen werden?


Abbildung 6.8: Ad-hoc Netzwerk in einer vorstädtischen Umgebung.

6.6

Die maximale Geschwindigkeit in einem WLAN-IEEE 802.11a System sei 30km/h.

� Wie lang darf die Dauer eines einzelnen Sende-Pakets in diesem Systemgewählt werden?

6.7

In einem Ad - hoc Netzwerk einer vorstädtischen Umgebung �nden Sie dasSzenario der Abb.6.8 vor. Die Trägerfrequenz sei 900MHz, die Geschwindigkeitdes Fahrzeugs betrage 50km/h, der Abstand zwischen Sender und Empfängerist 3km und der Winkel � sei 30�.

� Berechnen Sie die Zeitverzögerung und die Frequenzverschiebung zwischenden beiden eingezeichneten Mehrwegekomponenten.

Kapitel 7

Flat - und Frequency -Selective Fading

7.1 Narrowband - und Wideband - Fading

Für schmalbandige Mobilfunksysteme die lediglich Sprache übertragen kann dermobile Mehrwegekanal während der Übertragung der Information als annäherndkonstant angesehen werden. Das Fading auf Grund der Mehrwegeausbreitung istein Ergebnis geringer Weg- oder Frequenzunterschiede der einzelnen Mehrwege-komponenten. Diese Unterschiede in der Größenordnung einiger Wellenlängenführen zu unterschiedlichen Phasen der Komponenten und damit zu konstruk-tiver und destruktiver Interferenz bzw. zu starken Signaleinbrüchen. Trotzdemtre¤en alle Komponenten zu annähernd derselben Zeit am Empfänger ein sodass alle Frequenzen innerhalb einer relativ großen Bandbreite in derselben Artund Weise vom Kanal beein�usst werden.Für mobile Datendienste gelten die obigen Bedingungen in den meisten Fäl-

len nicht mehr. Sowohl GPRS im GSM - System als auch UMTS und WLANbzw. WiMAX übertragen Daten mit einer Bandbreite die größer als die Band-breite des Kanals sein kann. Werden die Signale von Objekten die sich weitentfernt von der Verbindungslinie zwischen Mobile und BTS be�nden gestreutoder re�ektiert und ist die Amplitude dieser gestreuten Anteile großso könnendie Zeitdi¤erenzen der einzelnen Mehrwegekomponenten sehr großwerden. Sinddiese relativen Zeitdi¤erenzen größer als die Zeiteinheit der zu übertragendenNachricht (Bit- oder Symboldauer), so wird das Signal stark verzerrt. Zusätzlichvariiert diese Verzerrung mit der Bandbreite des Kanals.Abbildung 7.1 zeigt einen mobilen Teilnehmer der sich entlang einer Straße

fortbewegt. Diesen Teilnehmer tre¤en zwei Mehrwegekomponenten. Die Kom-ponente die den Teilnehmer direkt erreicht benötigt die Zeit �1 = r0=c. Dieandere Komponente wird an der Hauswand re�ektiert und benötigt die Zeit�2 = (r1 + r2) =c. Das Signal welches das Mobiltelefon empfängt ist die Summezwischen diesen beiden Komponenten

y = A1ej(!�1+�1) +A2e

j(!�2+�2) (7.1)

Die zweite Komponente kann als Ëcho"der ersten gesehen werden. BeideAnteile haben unterschiedliche Amplituden A und Phasenlagen �. Ist der Weg-

129

130 KAPITEL 7. FLAT - UND FREQUENCY - SELECTIVE FADING

Abbildung 7.1: Wideband Fading im mobilen Mehrwegekanal.

unterschied zwischen den Komponenten gering so ist die Zeitverzögerung zwi-schen ihnen vernachlässigbar klein. Das vom Mobiltelefon empfangene Signal istdemnach

y � ej!��A1e

j(�1) +A2ej(�2)

�(7.2)

Alle Frequenzanteile im empfangenen Signal werden dementsprechend in der-selben Art und Weise vom Kanal beein�usst. Der Kanal kann demnach als eineeinzige multiplikative Komponente gesehen werden. Sind die relativen Zeitver-zögerungen der beiden Komponenten jedoch stark unterschiedlich, so gilt dieNäherung (7.2) nicht mehr.Abbildung 7.2 zeigt die Empfangsleistung an einem Mobiltelefon wenn das

Signal aus zwei Komponenten unterschiedlicher Zeitverzögerung aber gleicherAmplitude besteht. Die Abbildung stellt demnach die Transfer- oder Übertra-gungsfunktion des Kanals dar. Wenn die Zeitverzögerung zwischen beiden Mehr-wegekomponenten z.B. 0:1 �s beträgt so kommt es bei Vielfachen von 1=0:1�s= 10MHz zu starken Signaleinbrüchen da sich die beiden Komponenten de-struktiv überlagern. Hat das zu übertragende Signal eine Bandbreite von 3MHz,so wird es in diesem Kanal über seine Bandbreite eine annähernd konstante Ab-schwächung erfahren. Das Signal ist für diesen Kanal also schmalbandig.

Hat die zweite Mehrwegekomponente hingegen einen 3-mal längerenWeg zurückzulegen als im vorherigen Beispiel so steigt die Verzögerung zwi-schen beiden auf 0:3�s. Die Transferfunktion variiert dementsprechend viel häu-�ger mit der Frequenz und zwar bei Vielfachen von 1=0:3 �s= 3:3MHz (sieheAbb.7.2). Das vorhin erwähnte 3 MHz Signal ist für diesen Kanal dementspre-

7.1. NARROWBAND - UND WIDEBAND - FADING 131

Abbildung 7.2: Übertragungsfunktion eines Kanals der aus zwei Mehrwegekom-ponenten besteht für eine geringe (0.1�s) und große (0.3�s) Zeitverzögerungzwischen beiden Komponenten.

chend breitbandig.Ob das betrachtete Signal als breit oder schmalbandig angesehen werden

kann und ob der Kanal dementsprechend zu einer starken Verzerrung des Emp-fangssignals führt oder nicht hängt also vor allem von der Zeitverzögerung derMehrwegekomponenten im Verhältnis zur Signalbandbreite ab.Abbildung 7.3 zeigt oben den Fall des Wideband - Fading. Das Signal ist im

Verhältnis zum Kanal breitbandig. Im Ergebnis werden unterschiedliche Fre-quenzkomponenten des Signals unterschiedlich beein�usst und es kommt zu ei-nem frequenzselektiven Fading und damit einer Verzerrung des Signals. DieseVerzerrung ist im oberen Teil der Abb.7.4 gezeigt. Das zeitlich kurze Sendesi-gnal hat ein breites Spektrum. Die unterschiedliche Beein�ussung der einzelnenspektralen Anteile führt zu einer Verzerrung des Signals im Zeitbereich.Im unteren Fall der Abb.7.3 ist das Signal gegenüber dem Kanal schmalban-

dig, alle Signalfrequenzen werden gleich beein�usst und es tritt ein so genanntes"Flat Fading auf. Wie man im unteren Teil der Abb. 7.4 sehen kann, wird dasSignal nicht verzerrt sondern lediglich in der Amplitude verändert.

Beispiel 65 Die Teilnehmerbandbreite bei GSM beträgt 200kHz, die von UMTShingegen 5MHz ab welchen Wegunterschieden der Mehrwegekomponenten trittfür beide Systeme ein frequenzselektives Fading auf?

Lösung 66 Wenn man annimmt, dass es zu einem frequenzselektiven Fadingkommt wenn die Kanalbandbreite in der Größenordnung der Signalbandbreiteliegt ergibt sich für die maximal tolerierbare Zeitverzögerung bei GSM 1/200kHz=5�sund damit ein Wegunterschied von 5�s�c � 1:5km. Bei UMTS ergibt sich hin-gegen eine maximale Zeitverzögerung von 0.2�s und damit ein maximaler Weg-unterschied von lediglich 60m.


Abbildung 7.3: Frequenzselektives- und Flat-Fading.

In einer Funkzelle existieren natürlich nicht nur zwei Wege auf denen sichdie einzelnen Kopien des Signals ausbreiten können. Das Empfangssignal hängtdemnach von der Überlagerung aller Mehrwegekomponenten ab. Jede dieserKomponenten hat unterschiedliche Amplituden, Phasen und Zeitverschiebun-gen. Des Weiteren sinkt die Amplitude der jeweiligen Komponenten mit derWegstrecke die sie zurückgelegt hat. Be�nden sich Mobiltelefon und Basisstati-on dicht beieinander so überwiegen die Amplituden der direkten Komponentenbei Weitem und es tritt ein Flat - Fading auf. Ist das Mobile jedoch weit ent-fernt so gibt es viele Wellen die eine annähernd gleiche Amplitude haben derenWegunterschiede aber gravierend sind. Demnach ist das Verhalten des Kanalseine Funktion der Zellgröße.

7.2 Intersymbolinterferenz

Elektromagnetische Wellen, also auch Funkwellen, breiten sich mit Lichtge-schwindigkeit in dem Raum zwischen Sender und Empfänger aus. Da dieseGeschwindigkeit endlich ist kommt es grundsätzlich zu einer Verzögerung desEmpfangssignals gegenüber dem Sendesignal. Diese Verzögerung stellt für denEmpfänger kein Problem dar. Problematisch wird das Ganze erst wenn es ei-ne Aufspreizung der Verzögerung (Delay - Spread) durch die unterschiedlichenWege der einzelnen Kopien des Signals gibt.Abbildung 7.5 zeigt ein gesendetes Signal das sich über drei unterschiedli-

che Wege mit unterschiedlichen Verzögerungszeiten ausgebreitet hat. Das Emp-fangssignal ist die Überlagerung dieser drei Kopien des Ursprungssignals. Wieman erkennen kann, wird die einzelne Symboldauer durch den Delay - Spread

7.2. INTERSYMBOLINTERFERENZ 133

Abbildung 7.4: Frequenzselektives- und Flat-Fading und der Ein�uss auf dasSignal im Zeitbereich.

Abbildung 7.5: Intersymbolinterferenz in einem mobilen Mehrwegekanal.


Abbildung 7.6: Bitfehlerrate in Abhängigkeit vom Signal-zu-Rauschabstand füreinen AWGN-Kanal sowie Rayleigh Kanäle mit steigendem Delay - Spread.

vergrößert. Die einzelnen Pulse werden verbreitert und es kommt zu einer Di-spersion des Empfangssignals. Ist die Datenrate großso ist die Dauer zwischenden Symbolen klein. Wenn nun die Dispersion größer ist als diese Pause so über-schreiben die einzelnen Pulse einander. Dieses Überschreiben wird Intersymbol-Interferenz genannt.Diese Intersymbolinterferenz führt zu einer Vergrößerung der Bitfehlerra-

te im Kanal. Die Bitfehlerrate in Abhängigkeit vom Signal-zu-Rauschabstandfür unterschiedliche Funkkanäle zeigt Abb.7.6. In einem AWGN- und einemRayleigh-Kanal sinkt die Bitfehlerrate mit steigendem SNR. Kommt allerdingseine Intersymbolinterferenz bzw. eine Dispersion der Empfangssignale durch dieAufspaltung der Verzögerung der Mehrwegekomponenten hinzu so ist dies nurnoch bedingt der Fall.Die Intersymbolinterferenz ist unabhängig vom SNR, da bei steigender Sen-

deleistung auch die Leistung in den Kopien des Signals ansteigt. Die Bitfehlerra-te ist dementsprechend ebenfalls unabhängig vom SNR, sie bleibt konstant hoch.Ohne zusätzliche Maßnahmen der Signalentzerrung wie beispielsweise Equalizerbei GSM, Rake Receiver bei UMTS und MIMO bei WiMAX mobile wären diesemobilen Mehrwegekanäle ungeeignet für die Übertragung großer Datenmengen.

Beispiel 67 In einem bergigen Gelände tre¤e eine starke Kopie des Sendesi-gnals 15�s nach der ersten ein. Wie großwäre in einem solchen Kanal die ma-ximale Datenrate wenn man annimmt, dass die logische Null um höchstens dieHälfte überschrieben werden darf und keine Maßnahmen zur Signalverbesserungeingesetzt werden?

Lösung 68 Die logische Null muss in diesem Fall mindestens 30�s dauern. Bei

7.3. KANAL-PARAMETER 135

Abbildung 7.7: Modell des mobilen Mehrwegekanals für breitbandige Signale.

einer Zeitverzögerung der Kopie um 15�s bleibt dann immer noch die Hälfte derNull unbeein�usst. Demnach ist die maximale Datenrate wenn die logische Nullund die logische Eins gleich lang sind: 1=30�s=33.3kbit/s.

7.3 Kanal-Parameter

Zur Einschätzungen des Kanals und seiner Eigenschaften in Bezug auf die Über-tragung von Signalen werden natürlich nicht solche einfachen Betrachtungen wiein dem eben vorgeführten Beispiel durchgeführt. Neben der Zeitverzögerung hatauch der Pegel der einzelnen Mehrwegekomponenten einen starken Ein�ußaufdie Qualität des Empfangssignals. Zur Berechnung wird der Kanal modelliertund aus diesem Modell werden bestimmte Parameter, die so genannten Kanal-Parameter abgeleitet.Das Standard-Modell des breitbandigen mobilen Funkkanals zeigt Abb. 7.7

[10]. Die Vielzahl der möglichen Mehrwegekomponenten mit unterschiedlichenVerzögerungen werden zu einzelnen Komponenten zusammengefasst. Der Ab-stand zwischen den Verzögerungen der Komponenten ist dabei konstant. Jededer Komponenten repräsentiert einen eigenen Strahl, bzw. eine eigene Kopie desSendesignals.Die Amplitude eines jeden Strahles variiert im Zeitbereich entsprechend den

Bedingungen der vorherigen Kapitel. Das heißt, die Amplitude unterliegt einerRayleigh- oder Rice - Statistik und es �nden zusätzliche Fading-Ereignisse durchdie Doppler-Verschiebung auf Grund der Bewegung des mobilen Teilnehmersstatt.Die einzelnen Strahlen werden als unkorreliert zueinander betrachtet, das be-

deutet sie sind vollständig unabhängig voneinander. Diese Annahme ist gerecht-fertigt wenn die einzelnen Strahlen an unterschiedlichen Objekten re�ektiert


Abbildung 7.8: Zeitabhängige Impulsantwort des mobilen Mehrwegekanals.

oder gestreut werden. Durch die hohen Frequenzen der mobilen Kommunikati-onssysteme beträgt der Abstand zwischen diesen Komponenten meist mehrereWellenlängen. Der Kanal ist daher ein lineares Filter mit einer zeitvariantenendlichen Impulsantwort.Dementsprechend kann der Kanal durch eine zeitlich veränderliche Impul-

santwort beschrieben werden. Das Ausgangssignal y zu einer Zeit t ist das Ein-gangssignal u(t) gefaltet mit der Impulsantwort des Kanals h(t; �) [8], [10]

y (t) = u (t) � h (t; �) =Z 1

�1h (t; �)u (t� �) d� (7.3)

wobei � die Faltung beschreiben soll während � die Verzögerung der einzelnenKomponenten darstellt.Die zeitvariante Impulsantwort eines mobilen, breitbandigen Mehrwegeka-

nals zeigt Abb. 7.8. In dieser Abbildung sind 5 unterschiedliche Mehrwegekom-ponenten gezeigt jede einzelne stellt die schmalbandige Überlagerung einzelnerKomponenten mit ähnlicher Verzögerung dar. Auf der Zeitachse ist die zeitlicheÄnderung der einzelnen Komponenten durch die Rayleigh- oder Rice - Statistikund die Doppler-Verschiebung im Kanal abgebildet.Blickt man direkt von vorn auf die Abbildung 7.8, so werden die zeitlichen

Änderungen der einzelnen Anteile vernachlässigt und es ergibt sich Abb.7.9. Diesist das so genannte Leistungsverzögerungs-Pro�l (Power - Delay - Pro�le PDP)des mobilen Mehrwegekanals. Von dieser Darstellung werden die wichtigstenParameter zur Berechnung des Kanals abgeleitet.Im Einzelnen sind das:

� Excess - Delay :

�Verzögerung jeder Komponente relativ zur ersten eingetro¤enen Kom-ponente.


Abbildung 7.9: Power - Delay - Pro�le eines mobilen Mehrwegekanals.

� Total (Maximum) Excess - Delay :

�Di¤erenz zwischen der ersten und der letzten eingetro¤enen Kompo-nente.

� Mean - Delay :

�Verzögerung die dem Gravitationszentrum der Verteilung der Verzö-gerungen entspricht.

� RMS Delay - Spread :

� Zweites Moment der Verteilung der Verzögerungen, bzw. Spreizungder Verteilung.

Zur Messung der einzelnen Parameter werden meist tatsächlich Pulse in denKanal gesendet. Mit einem Messfahrzeug wird dann die Impulsantwort aufge-nommen. In einer komplexen Umgebung, wie z.B. einer Stadt treten natürlichweit mehr Komponenten auf als die in Abb.7.9 gezeigten. Vor allem die Anteilemit großer Verzögerung weisen aber nur noch schwache Amplituden auf. Ausdiesem Grund wird meist ein Schwellwert de�niert. Liegen die Komponentendarunter so werden sie bei der Berechnung nicht berücksichtigt.Abbildung 7.10 und Tabelle 7.1 zeigen ein standardisiertes Verzögerungspro-

�l das zur Evaluation von Makrozellen - Technologien für die 3. Mobilfunkgene-ration (UMTS) benutzt wurde. Sowohl die x als auch die y�Achse wurden nor-miert. Der Nullpunkt der Verzögerung wurde auf den Zeitpunkt des Eintre¤ensdes ersten Signals festgelegt. Dementsprechend bezeichnet die x�Achse nicht dieabsolute sondern die relative Verzögerung. Dasselbe gilt für die y�Achse, hier


Abbildung 7.10: Vergleichskanal für UMTS Typ A.

Tabelle 7.1: Vergleichskanal für UMTS Typ A.

rel. Delay [ns] rel. mean power [dBm]

0 0.0

310 -1.0

710 -9.0

1090 -10.0

1730 -15.0

2510 -20.0


wurde das Maximum der Eingangsleistung auf einen Wert von 0dB festgelegt,damit handelt es sich um eine relative Leistung.Der Excess - Delay jeder Komponente entspricht den Daten in der Tabelle,

da die Ankunft der ersten Komponente auf Null festgelegt wurde. Der Totaloder Maximum Excess - Delay ist die Zeitdi¤erenz die zwischen dem Eintre¤endes ersten und des letzten Signals vergeht nach Abb. 7.10 entspricht diese einerZeit von 2.5�s. Das Empfangssignal wird also um 2.5�s gespreizt. Eine Aussageüber die Qualität des Kanals lässt sich daraus aber noch nicht tre¤en. Wie mander Abbildung entnehmen kann, liegt die Leistung der zuletzt eingetro¤enenKomponente 20dB, also 1/100 unter der der ersten. Um eine Aussage überdie Qualität des Kanals zu tre¤en muss neben der Verzögerung demnach auchdie Leistungsverteilung herangezogen werden. Dies tun die beiden folgendenParameter.Die mittlere Verzögerung, oder Mean - Delay entspricht dem Gravitations-

zentrum der Verteilung der Verzögerungen dieses wird mit der Gleichung [8],[10]

�0 =1

PT

nXi=1

Pi� i (7.4)

berechnet. Dabei bezeichnet � i die einzelnen Verzögerungen und Pi die einzelnenrelativen Leistungen der Komponenten, PT ist die relative Gesamtleistung imKanal, de�niert als

PT =nXi=1

Pi (7.5)

Die relative Gesamtleistung im Kanal nach Tab. 7.1 ist

PT � 1 + 0:79 + 0:13 + 0:1 + 0:03 + 0:01 = 2:06

Demnach folgt für die mittlere Verzögerung mit Glng. (7.4)

�0�s =1

2:06(1� 0 + 0:79� 0:31 + :::) = 0:2543�s

Der wichtigste Parameter ist der RMS Delay - Spread er bestimmt die Auf-spreizung des Empfangssignals durch die Mehrwegekomponenten. Wenn der er-rechnete Wert sehr viel geringer als die Symboldauer ist tritt so gut wie kei-ne Intersymbolinterferenz auf und der Kanal kann als schmalbandig betrachtetwerden. In den RMS Delay - Spread gehen sowohl die relativen Leistungen dereinzelnen Komponenten als auch ihre Verzögerungen ein, er ist

�RMS =

vuut 1

PT

nXi=1

Pi�2i � �20 (7.6)

Mit der Tab. 7.1 ergibt sich

�RMS�s =

r1

2:06(1� 02 + 0:79� 0:312 + :::)� 0:25432 = 0:37�s

Die Ergebnisse sind in Abb. 7.10 eingezeichnet. Auf Grund der geringen Leistungder Signalkomponenten mit größerer Verzögerung ist die im Kanal eintretendeAufspreizung relativ gering. Tabelle 7.2 zeigt typische Delay - Spreads in einigenUmgebungen [10].


Tabelle 7.2: Typische RMS Delay Spreads für unterschiedliche Umgebungen.

Umgebung RMS Delay Spread (�s)

Indoor cells 0:01� 0:05Mobilfunk-Satellitensysteme 0:04� 0:05O¤enes Gelände < 0:2

Makrozelle Vorstadt < 1

Makrozelle Stadt 1� 3Makrozelle bergig 3� 10

Beispiel 69 Angenommen der RMS Delay - Spread darf höchstens 1/10 derSymboldauer betragen. Wie großsind die maximalen Datenraten in den Umge-bungen nach Tabelle 7.2 wenn keine Maßnahmen zur Verbesserung der Übertra-gungsqualität getro¤en werden?

Lösung 70 In einer Indoor - Zelle ergeben sich dann 1=(10�0:01�s) = 10Mbit/sbis 2Mbit/s. Für ein Mobilfunk Satellitensystem folgen 2.5Mbit/s bis 2.0Mbit/s.Im o¤enen Gelände ist die maximale Datenrate 0.5 Mbit/s. In einer Makrozellein der Vorstadt beträgt die maximale Datenrate unter den obigen Bedingungen0.1 Mbit/s. In der Stadt ergeben sich 0.1 Mbit/s bis 33kbit/s und in einem ber-gigen Gelände sinken die Datenraten auf 33kbit/s bis 10kbit/s.

Die größten Delay - Spreads zeigt demnach vor allem bergiges Gelände. Diesliegt daran, dass meist keine Hindernisse zwischen dem Sender und dem Bergexistieren. Die Welle kann sich demnach sowohl auf dem Hin- als auch auf demRückweg ungehindert ausbreiten. Die am Berg re�ektierten Anteile haben dahereine relativ große Amplitude und Zeitverzögerung. Ohne besondere Maßnahmenzur Unterdrückung der Intersymbolinterferenz würde man in diesen Umgebun-gen nicht einmal ein GSM - Datensignal übermitteln können.In Abb. 7.11 sind die Standard-Leistungsverzögerungspro�le für das GSM

- System gezeigt [41], [10]. Diese beruhen auf einer Vielzahl von Messwertendie in mehreren europäischen Ländern durchgeführt wurden. Die abgebildetenVerzögerungspro�le stellen Standard Testfälle für die Beurteilung der Leistungs-fähigkeit von GSM - Geräten bei 900 und 1800 MHz dar. Ebenfalls eingezeichnetist die Dauer eines einzelnen Symbols für das GSM - System 1 .In der oberen linken Abbildung ist das Verzögerungspro�l eines typischen

o¤enen Geländes gezeigt. Wie man der Abbildung entnehmen kann gibt es nurin der Nähe des Senders einige Streu- und Re�exionszentren. In der Folge ist dasEmpfangssignal zeitlich nur gering verbreitert. Das RMS Delay - Spread beträgt0.1 �s was im Vergleich zur Symboldauer von 3:7�s vernachlässigbar klein ist.In diesem Funkkanal tritt also so gut wie keine Intersymbolinterferenz auf.

Der Kanal kann als Narrowband - Kanal angenähert werden und das Fadingim Kanal ist Flach. Demnach werden alle Frequenzanteile der übermittelten

1Mit GSM ist hier sowohl das alte GSM-System als auch HSCSD, GPRS und EDGEgemeint. Während bei GSM, HSCSD und GPRS die Symbol- mit der Bitdauer übereinstimmtumfasst ein Symbol bei EDGE 3 bit (siehe Bachelor - Script).


Abbildung 7.11: Standard Leistungsverzögerungspro�le für das GSM-Systemnach [41]. Eingezeichnet ist die Symboldauer von 3.7�s.

Nachricht in derselben Art und Weise beein�usst und es tritt keine Verzerrungder empfangenen Symbole auf.Anders sieht dies hingegen für Makrozellen in einem typischen Stadtgebiet

aus. Das entsprechende Verzögerungspro�l ist in der oberen rechten Abbildunggezeigt. Hier be�nden sich einige Streu- und Re�exionszentren in größerer Ent-fernung vom Sender. Der Anteil der von ihnen zurück geworfenen Signalenergieist nicht zu vernachlässigen. In der Folge ist die Aufspaltung des Empfangs-signals relativ groß. Das RMS Delay - Spread beträgt 1.03 �s. Trotzdem isthier die meiste Signalenergie immer noch innerhalb der Dauer eines Symbols imGSM - System.In einem bergigen Gelände, wie es in der unteren Abbildung gezeigt ist, tref-

fen einige Kopien kurz nacheinander ein, danach herrscht eine Weile Ruhe undnach 15 �s tre¤en erneut mehrere Kopien mit einer relativ hohen Signalenergieden Empfänger. Dies führt zu einem RMS Delay - Spread von 5.1 �s. Das istdeutlich größer als die GSM - Symboldauer. Als Ergebnis tritt in diesem Funk-kanal eine starke Intersymbolinterferenz auf. Das Signal ist im Vergleich zumKanal breitbandig. Im Kanal tritt demzufolge frequenzselektives Fading auf.Die einzelnen Frequenzen des Signals werden unterschiedlich beein�usst unddas Empfangssymbol ist verzerrt. Ohne den Einsatz von Equalizern wäre eineDaten- und Sprachübertragung in diesem Kanal mit dem GSM - System nichtmöglich.

Beispiel 71 Angenommen der Sender und Empfänger befanden sich für dieAufnahme der Messergebnisse der Abb. 7.11 (unten) dicht beieinander. In wel-cher Entfernung vom Sender be�nden sich dann die Berge?


Tabelle 7.3: Leistungs-Verzögerungspro�l für UMTS-Systeme.

Relative Delay Relative Power Relative Delay Relative Power

ns dB ns dB

0 0.0 0 -2.5

310 -1.0 300 0.0

710 -9.0 8900 -12.8

1090 -10.0 12900 -10.0

1730 -15.0 17100 -25.2

2510 -20.0 20000 -16.0

Tabelle 7.4: Bürotestumgebung (Indoor) bei 2GHz.

Relative Delay Relative Power Relative Delay Relative Power

ns dB ns dB

0 0 0 0

50 -3.0 100 -3.6

110 -10.0 200 -7.2

170 -18.0 300 -10.8

290 -26.0 500 -18.0

310 -32.0 700 -25.2

Lösung 72 Die ersten Mehrwegekomponenten entsprechen Objekten die sich inder Nähe des Mobiltelefons be�nden. Die ersten großen Echos tre¤en nach 15�s beim Empfänger ein. Da sich das Signal mit Lichtgeschwindigkeit hin undzurück bewegt ist der Abstand zu diesen stark re�ektierenden Objekten von denenwir annehmen das es die Berge sind: c� t=2 = 2:25km.

Abbildung 7.11 gilt für GSM - Makrozellen. Für unterschiedliche Frequenz-bereiche müssen z. T. auch unterschiedliche Messkampagnen durchgeführt wer-den. Daher gelten für das GSM - System andere Parameter als bei UMTS.Tabelle 7.3 zeigt die so genannten Evaluationskanäle für UMTS [40], [10]. Derlinke Kanal (A) tritt in 40% der Zeit auf. Es handelt sich dabei um einen Kanalmit einer relativ geringen Aufspaltung des Empfangssignals. Der rechte Kanal(B) zeigt eine viel größere Aufspaltung des Signals. Er tritt in 55% der Zeit auf.

In Indoor - Zellen z.B. in Bürogebäuden gelten andere Bedingungen Tabelle7.4 zeigt die Indoor - Evaluationskanäle für UMTS [40]. Der linke Fall stellteinen so genannten mittleren Kanal dar, er hat ein RMS Delay - Spread von 35ns. Der rechte Fall zeigt einen "Bad Channel"mit einer Aufspreizung von 100ns.Tabelle 7.5 zeigt Werte für den RMS Delay - Spread im UMTS-System in 3

unterschiedlichen Fällen. FallA repräsentiert ein häu�g vorkommendes Szenario,Fall B zeigt Mittelwerte und in der letzten Spalte (Fall C) sind Extremwerte


Tabelle 7.5: RMS dealy spraeds in Nanosekunden für indoor-zu-indoor Umge-bungen.

Umgebung Fall A Fall B Fall C

residential 20 70 150

o¢ ce 35 100 460

commercial 55 150 500

Tabelle 7.6: Leistungs-Verzögerungspro�l für UMTS-Systeme outdoor-to-indoor.Relative Delay [ns] Relative Power [dB] Relative Delay [ns] Relative Power [dB]

0 0 0 0

110 -9.7 200 -0.9

190 -19.2 800 -4.9

410 -22.8 1200 -8.0

- - 2300 -7.8

- - 3700 -23.9

abgetragen die nur relativ selten auftreten[42].Die Kanäle der Tabelle 7.4 gelten wenn sich sowohl der Sender als auch der

Empfänger im Indoor Bereich be�nden. Meist be�ndet sich aber der Senderaußerhalb des Raumes während sich der Empfänger in demselben aufhält. DieKanal-Parameter für diesen Fall zeigt Tab. 7.6In Tabelle 7.7 ist das Verzögerungspro�l für mobile Satellitensysteme im

L-Band dargestellt [43].

Beispiel 73 In einem mobilen Mehrwegekanal wurde eine Impulsantwort ge-messen. Das Ergebnis der Messung zeigt Tab.7.8. Ist ein mobiles Funksystemmit einer Datenrate von 25kbit/s und einer BPSK in diesem Kanal breit oderschmalbandig?

Lösung 74 Der Kanal kann als schmalbandig betrachtet werden wenn der Delay

Tabelle 7.7: Leistungs-Verzögerungspro�l für Satellitenmobilfunksysteme.

Relative Delay [ns] Relative Power [dB]

0 0

100 -15

200 -20

300 -26

400 -28

500 -30


Tabelle 7.8: Gemessene Impulsantwort eines mobilen Mehrwegekanals.

Delay [�s] Received Power [dBm ]

20 -93

20.2 -90

20.5 -92

21.6 -96

22.3 -98

25 -100

Tabelle 7.9: Relative Impulsantwort eines mobilen Mehrwegekanals.

Delay [�s] Received Power [dBm ]

0 -3

0.2 0

0.5 -2

1.6 -6

2.3 -8

5 -10

- Spread des Kanals viel kleiner als die Dauer eines Symbols ist. Da BPSK zumEinsatz kommt entspricht die Symbol- auch der Bitdauer. Sie ist 1=25kbit/s=40�s. Zur Berechnung des Delay - Spreads eignen sich die Werte in Tab.7.8nicht direkt. Sowohl die Verzögerungszeit als auch die Empfangsleistung müssenzunächst in relative Werte gewandelt werden. Das bedeutet, die erste Mehrwege-komponente tri¤t zur Zeit t = 0 ein und die größte Signalleistung beträgt 0dB.Die Verzögerungszeit hat demnach einen O¤set von 20�s, während man bei derEmpfangsleistung 90dBm hinzurechnen muss. Die relativen Verzögerungszeitenund Empfangsleistungen zeigt Tab.7.9. Aus diesen Werten ergibt sich ein Delay- Spread von �RMS = 1:06�s. Da 40�s� 1:06�s ist der Kanal o¤ensichtlichschmalbandig.

7.4 Kohärenzbandbreite

Die oben beschriebenen Parameter stellen eine Betrachtung des Kanals im Zeit-bereich dar. Durch eine Fouriertransformation der Impulsantwort des Kanalslässt sich die Betrachtung auch im Frequenzbereich durchführen. Der Kanalwird dementsprechend als Filter mit einer zeitvarianten Frequenzantwort be-trachtet. Dies ist die so genannte zeitvariante Übertragungsfunktion oder "timevariant transfer function"(TVT bzw. T (f; t))

T (f; t) = -F [h (t; �)] =Z 1

�1h (t; �) e�j!�d� (7.7)


wobei -F [h (t; �)] die Fouriertransformation der Impulsantwort darstellen soll.Das Spektrum des Ausgangssignals ist demnach die Multiplikation des Fou-

riertransformierten Eingangssignals mit der TVT

Y (f; t) = U (f)T (f; t) (7.8)

mitY (f; t) = -F [y(t)] (7.9)

undU (f) = -F [u(t)] (7.10)

Aus der Korrelation zwischen den Komponenten der Transferfunktion wirddie Kohärenzbandbreite abgeleitet. Sie bestimmt ob der Kanal als Flach oderFrequenzselektiv angesehen werden muss. Im ersten Fall werden alle Frequenzan-teile des übertragenen Signals durch den Kanal gleich beein�usst. Das Signalwird also lediglich abgeschwächt aber nicht verzerrt.Während im zweiten Fall unterschiedliche Frequenzanteile durch den Kanal

unterschiedlich beein�usst werden. Das Signal wird in diesem Fall verzerrt. DerFrequenzbereich in dem der Kanal als Flach angesehen werden kann bzw. dieKohärenzbandbreite ist

BC �1

5�RMS(7.11)

mit �RMS als dem RMS Delay - Spread.

Beispiel 75 Die GSM - Evaluationskanäle sind in Abb. 7.11 gezeigt. BeurteilenSie die einzelnen Kanäle bezüglich der Verzerrung die sie auf das übertragenSignal im GSM - System ausüben.

Lösung 76 Die Teilnehmerbandbreite im GSM - System beträgt 200kHz.

1. Die Kohärenzbandbreite im �achen Gelände beträgt BC � 1=5�0:1�s=2MHz.Im �achen Gelände ist der Kanal für ein GSM - Signal also mit Sicherheitauch "Flach". Alle Frequenzanteile des Signals werden gleich beein�usstund es tritt keine Verzerrung des Signals auf.

2. Die Kohärenzbandbreite in einem typischen Stadtgebiet beträgt nach Abb.7.11 und Glng.(7.11) 194.2kHz. Ein städtisches Gelände stellt o¤enbareinen Grenzfall dar. Die Symbolverzerrungen lassen sich hier nicht ver-nachlässigen.

3. Für bergiges Terrain sind die Bedingungen dagegen eindeutig. Die Kohä-renzbandbreite ist hier lediglich 39.2kHz. Dies ist entschieden kleiner alsdie Signalbandbreite. Damit ist das Signal für diesen Kanal breitbandig, estritt frequenzselektives Fading auf und das Signal wird verzerrt. Der Ein-satz von Equalizern ist daher in einem solchen Kanal unbedingt notwendig

7.5 Zusammenfassung

� Für schmalbandige Funksysteme kann der mobile Mehrwegekanal als an-nähernd konstant angesehen werden.


�Das Fading auf Grund der Mehrwegeausbreitung führt zu unter-schiedlichen Phasen der Komponenten und damit zu konstruktiverund destruktiver Interferenz bzw. zu starken Signaleinbrüchen.

�Alle Frequenzen innerhalb des Signals werden in derselben Art undWeise vom Kanal beein�usst.

� Da alle Signalfrequenzen in derselben Art und Weise beein�usst werdenwird "Narrowband - Fadingäuch "Flat - Fading"genannt.

� Sind die relativen Zeitdi¤erenzen der Mehrwegekomponenten größer alsdie Zeiteinheit der zu übertragenden Nachricht (Bit- oder Symboldauer),so wird das Signal stark verzerrt.

� Da einzelne Signalfrequenzen vom Kanal unterschiedlich beein�usst wer-den nennt man "Wideband - Fadingäuch "Frequency - Selective - Fading".

� Flat - Fading tritt auf wenn die Signalbandbreite viel kleiner als die Ka-nalbandbreite oder die Symboldauer viel größer als die Zeitaufspreizungim Kanal ist.

� Frequency - Selective Fading tritt auf wenn die Signalbandbreite größer alsdie Kanalbandbreite oder die Symboldauer kleiner als die Zeitaufspreizungim Kanal ist.

� Das Verhalten des Kanals ist eine Funktion der Zellgröße.

�Pico- und Mikrozellen im Indoor - Bereich zeigen meist Flat - Fadingwährend

�Makrozellen und hier besonders das bergige Gelände frequenzselekti-ves Fading zeigen und damit zu einer Verzerrung des Kanals führen.

� Die Überlagerung der Mehrwegekomponenten führt zu einer Zeitdispersiondes empfangenen Symbols. Dies ist die Intersymbolinterferenz.

� Die Intersymbolinterferenz führt zu einer Vergrößerung der Bitfehlerrateim Kanal.

� Die Intersymbolinterferenz und damit die BER ist unabhängig vom SNR.

� Ohne zusätzliche Maßnahmen der Signalentzerrung wären mobile Mehr-wegekanäle mit Intersymbolinterferenz ungeeignet für die Übertragunggroßer Datenmengen.

� Im Modell des mobilen Mehrwegekanals wird die Vielzahl der möglichenMehrwegekomponenten mit unterschiedlichen Verzögerungen zu einzelnenKomponenten mit festem zeitlichen Abstand zusammengefasst.

� Jede der Komponenten repräsentiert einen eigenen Strahl.

� Die Amplitude eines jeden Strahles variiert im Zeitbereich mit einer Rayleigh-oder Rice - Statistik und es �nden zusätzliche Fading-Ereignisse durch dieDoppler-Verschiebung auf Grund der Bewegung des mobilen Teilnehmersstatt.

7.6. AUFGABEN 147

� Der mobile Mehrwegekanal ist ein lineares Filter mit einer zeitvariantenendlichen Impulsantwort.

� Das Power - Delay - Pro�le PDP des mobilen Mehrwegekanals stellt diezeitliche Aufspaltung des Empfangssignals in die Mehrwegekomponentendar.

� Die Verzögerung jeder Komponente relativ zur ersten eingetro¤enen Kom-ponente ist das Excess - Delay

� Die Di¤erenz zwischen der ersten und der letzten eingetro¤enen Kompo-nente ist das Total oder Maximum - Excess - Delay.

� Die Verzögerung die dem Gravitationszentrum der Verteilung der Verzö-gerungen entspricht ist das Mean - Delay.

� Das zweite Moment der Verteilung der Verzögerungen, bzw. die Spreizungder Verteilung ist das RMS Delay - Spread.

� Die Kohärenzbandbreite stellt eine Betrachtung des Übertragungskanalsim Frequenzbereich dar.

� Die Kohärenzbandbreite bestimmt ob der Kanal als Flach oder Frequenz-selektiv angesehen werden muss.

7.6 Aufgaben

7.1

Für Small - Scale Fading Messungen bei einer Frequenz von 1.8GHz benutzen Sieein Messfahrzeug, das sich mit einer konstanten Geschwindigkeit von 50 km/hdurch den Kanal bewegt. Aufeinanderfolgende Messungen sollen dabei eine sehrhohe Korrelation aufweisen (TC = 9= (16�fm)), mit fm als der Frequenz derDoppler-Verschiebung.

1. Bestimmen Sie das nötige räumliche Abtastintervall (Shannon).

2. Wie viele Werte erhalten Sie für eine Distanz von 10m?

7.2

Der Rake Receiver eines UMTS Telefons stellt nach Messungen in einer be-stimmten Umgebung seine Finger auf 0, 10 und 15 �s ein. Die Empfangspegelfür diese drei Mehrwegekomponenten betragen -10, -20 und -10 dBm.

� Welche Form des Fading wirkt in diesem Kanal auf ein Signal mit einerBandbreite von 300kHz?


Abbildung 7.12: Mehrwege-Impulsantwort eines mobilen Kanals zur Berechnungder Aufgabe FF3.

7.3

Die Messungen eines mobilen Kanals haben das Mehrwegepro�l nach Abb.7.12ergeben.

� Berechnen Sie

1. den Mean - Excess - Delay,

2. den RMS Delay - Spread sowie

3. die 50% Kohärenzbandbreite

dieses Kanals.

7.4

Messungen eines Mobilfunkkanals zeigen Ihnen eine Impulsantwort nach Abb.7.13.Die Bitdauer der Information die Sie durch diesen Kanal schicken wollen beträgt1ms, die Trägerfrequenz sei 1.8GHz.

1. Wie großist die Bandbreite die Ihr Signal maximal haben darf wenn Siekeine technischen Mittel zur Signalverbesserung einsetzen?

2. Welche technischen Möglichkeiten kennen Sie um auch Signale größererBandbreite in diesem Kanal zu übertragen?

3. Wie großist die höchste Geschwindigkeit (km/h) mit der sich die Teilneh-mer in obigem System bewegen können wenn die maximale Signalverzer-rung nicht größer als 50% sein soll?

Exercises 149

Abbildung 7.13: Mobiler Mehrwegekanal zur Berechnung der Aufgabe FF4.

7.5

Angenommen eine bestimmte Modulationsart benötigt für eine bestimmte BERein �RMS=TS -Verhältnis von � 0:1.

� Bestimmen Sie die kleinste Symbolperiode TS und die damit verbundenegrößte Symbolrate die für dieses Verfahren durch einen Kanal der Abb.7.14gesendet werden kann wenn Sie keinen Equalizer einsetzen.

� Bestimmen Sie die Kohärenzbandbreite für einen Kanal der Abb.7.14

Abbildung 7.14: Mehrwegepro�l im in- und Outdoor Bereich zur Berechnungder Aufgabe FF5.


Kapitel 8

Möglichkeiten zurVerbesserung derSignalqualität bei Small -Scale Fading

Im Prinzip gibt es fünf wesentliche Möglichkeiten trotz hoher Intersymbolin-terferenzen in einem Kanal hohe Datenraten zu übertragen. Im Einzelnen sinddas:

� Equalizer

� Rake Receiver

� MIMO

� Diversity

� Kanalkodierung

All diese Möglichkeiten können entweder einzeln oder in Kombination mit-einander eingesetzt werden.

8.1 Equalizer

Equalizer kompensieren eine im Kanal auftretende Intersymbolinterferenz. Wieim vorigen Abschnitt beschrieben wurde ist in einem mobilen Mehrwegekanaldas Empfangssignal y zu einer Zeit t das Sendesignal u(t) gefaltet mit der Im-pulsantwort des Kanals h(t; �)

y (t) = u (t) � h (t; �) (8.1)

Kennt man also die Impulsantwort des Kanals so ist man - zumindest theo-retisch - in der Lage aus dem empfangenen Signal das ursprünglich gesendetewieder herzustellen. Das Problem ist allerdings, dass sich der Kanal ständig

151

152 KAPITEL 8. VERBESSERUNG DER SIGNALQUALITÄT

Abbildung 8.1: TDMA-Rahmenstruktur des GSM-Systems für einen NormalBurst und einen 26-frame multiframe nach [38]

ändert. Die Zeit innerhalb derer der Kanal konstant bleibt wird durch die Ko-härenzzeit bestimmt und ist demnach von der Bewegungsgeschwindigkeit desmobilen Teilnehmers abhängig.Die Aufgabe des Equalizers ist es dementsprechend die Impulsantwort des

Kanals durch eine ständige Messung seiner Eigenschaften zu bestimmen undden Empfänger adaptiv an den Kanal anzupassen.Beim GSM - System wird ein so genannter Viterbi - Equalizer eingesetzt. Die

ständige Messung des Kanals erfolgt über die Trainingssequenz die gleichzeitigmit jedem Datenburst übertragen wird.Abbildung 8.1 zeigt die GSM - Rahmenstruktur, im unteren Teil ist ein

so genannter "Normal Burstäbgebildet. Die tatsächlich zu übertragenden Da-ten liegen in den 2 � 57 Symbolen1 die sich links und rechts der so genannten"Trainings Sequenz"be�nden. Die 26 Symbole der Trainingssequenz dienen demViterbi - Equalizer zur Messung des Kanals.

Beispiel 77 Wie schnell darf sich ein Teilnehmer des GSM-900 und des DCS-1900 Systems maximal bewegen wenn seine Sendung nicht durch die Doppler-Spreizung des Kanals gestört werden darf?

Lösung 78 Im GSM - System werden einzelne Bursts versandt (siehe Bachelor-Script). Während der Dauer eines Bursts darf sich der Kanal nicht verändern,da sonst der Equalizer im Empfänger nicht in der Lage wäre die Intersym-bolinterferenzen im Kanal auszugleichen. Ein einzelnes Bit des GSM - Systemshat eine Dauer von 3.69�s und in einem Burst werden 156.25 Bit versendet.Für die minimale Kohärenzzeit des Kanals ergibt sich demnach ein Wert von576.56�s= 9

16�fmund damit für die maximale Doppler-Spreizung fm = 310:54

1Beim alten GSM-System entspricht ein Symbol einem Bit. Beim EDGE-System- das die-selbe Rahmenstruktur aufweist - stellt ein Symbol hingegen 3 Bit dar.

8.2. RAKE RECEIVER 153

s�1 = fcv=c. Die maximale Geschwindigkeit beim GSM-900 System ist dement-sprechend 372.4 km/h während sich der DCS-1900 Teilnehmer nur mit 176.4km/h fortbewegen darf.

Die grundsätzliche Funktion des Equalizers beschreibt die Gleichung

r (t) = s (t) � h (t) (8.2)

wobei r (t) die empfangene Trainingssequenz, s (t) die gesendete Trainingsse-quenz und h (t) die Impulsantwort des Kanals ist. Im Empfänger wird die emp-fangene Trainingssequenz r (t) vom Rest des empfangenen Bursts getrennt undeinem so genannten "matched �lterßugeführt. Der Equalizer kennt die gesendeteTrainingssequenz, da sie fest zwischen Sender und Empfänger vereinbart wurde,und kann daher die Impulsantwort des Kanals bestimmen.Wie Tabelle 7.2 zeigt, können im mobilen Mehrwegekanal relativ große Ver-

zögerungszeiten auftreten. Der Equalizer ist für eine Signal-Dispersion von 15-20�s ausgelegt. Bei einer Bitdauer von 3.69�s können demnach 4 bis 6 bit desempfangenen Signals miteinander in Wechselwirkung getreten sein. Für jedendieser 4-6bit großen Bereiche muss der Viterbi - Equalizer diejenige Bitfolge�nden die mit der größten Wahrscheinlichkeit gesendet wurde. Bei 4 bis 6 bitergeben sich 24 bis 26; also 16 bis 64 mögliche Bitsequenzen.Die möglichen Bitsequenzen werden im Equalizer gebildet und mit der Im-

pulsantwort des Kanals - die er vorher aus der Trainingssequenz des übertrage-nen Bursts extrahiert hatte - gefaltet. Durch einen Vergleich mit den tatsächlichempfangenen Bitsequenzen wird diejenige bestimmt die mit der größten Wahr-scheinlichkeit gesendet wurde. Diese wird dann einer Weiterverarbeitung imEmpfänger zugeführt.

8.2 Rake Receiver

Im UMTS-System geht man einen anderen Weg zur Verringerung der Intersym-bolinterferenzen. Während man beim Equalizer des GSM - Systems versuchtdie Nachteile der Mehrwegeausbreitung möglichst gut auszugleichen wird beimRake-Receiver des UMTS versucht diese Mehrwegekomponenten zu einer Ver-besserung der Qualität des Empfangssignals zu nutzen.Rake heißt so viel wie "Rechen", entsprechend den Zinken des Rechens be-

steht ein Rake-Receiver aus mehreren so genannten "Fingern". Jeder dieserFinger stellt im Prinzip einen eigenen Empfänger dar. Die Grundidee des RakeReceivers besteht darin, die einzelnen Finger auf jeweils eine der Mehrwege-komponenten abzustimmen. Jeder Finger verarbeitet demnach eine verzögerteVersion des Signals. Am Ende werden alle diese Versionen zusammengefügt umdas Empfangssignal zu verbessern.

Beispiel 79 Der Rake Receiver kann die Komponenten natürlich nur dann auf-lösen wenn ihre Zeitdi¤erenz größer als eine Chipzeit ist, sonst kommt es zurIntersymbolinterferenz unter den einzelnen Chips. Wie großmuss der Pfadun-terschied der Mehrwegekomponenten demnach wenigstens sein?

Lösung 80 Bei einer Chiprate von 3.84Mchip/s die für UMTS gilt, ergibt sichein minimaler Pfadunterschied von c=3:84Mcp/s = 78m. Das amerikanische IS-95 System verwendet eine Chiprate von nur 1Mchip/s. Hier muss der minimalePfadunterschied demnach 300m betragen.


Abbildung 8.2: Grundsätzliche Funktionsweise eines Rake-Receivers.

Die einzelnen Arbeitsschritte eines Rake-Receivers zeigt Abb.8.2 am Beispieleines Pfeils. Der Rake-Receiver arbeitet demnach in folgenden Schritten:

1. Bestimmung der Verzögerungszeiten zu denen Energie am Empfänger an-kommt und einstellen der Rake Finger auf diese Peaks.

2. In jedem Finger wird der Phasenein�uss des Kanals auf die Mehrwege-komponente bestimmt und der Ein�uss kompensiert.

3. Kombination der demodulierten phasenkorrigierten Anteile der einzelnenFinger.

8.3 Multiple Input Multiple Output

Einen völlig neuen Weg schlagen so genannte "Multiple Input Multiple Out-putöder "MIMOSysteme ein wie sie beispielsweise in einigen WLAN-Standardsund bei WiMAX mobile vorgesehen sind. Die grundsätzlich mögliche Anordnungunterschiedlicher Sende- und Empfangsantenne zeigt Abb.8.3.Im oberen Teil der Abbildung gibt es genau eine Sende- und Empfangsan-

tenne, dies ist ein so genanntes SSingle Input Single Outputöder SSISOSystem.In der Mitte hat der Sender mehrere Antennen, aber der Empfänger besteht im-mer noch aus lediglich einer einzigen Antenne. Demnach handelt es sich hierbeium ein "Multiple Input Single Outputöder "MISOSystem. Der untere Teil derAbbildung stellt ein MIMO-System dar hierbei besteht sowohl die Sende- alsauch die Empfangseinheit aus mehreren Antennen.Während bei UMTS die Qualität des einen gesendeten Signals verbessert

werden soll werden bei MIMO die unterschiedlichen Wege im mobilen Kanaldazu benutzt gleichzeitig eine Vielzahl von Daten über den Kanal zu über-tragen. MIMO ermöglicht somit eine drastische Vergrößerung der in mobilenMehrwegekanälen übertragbaren Datenraten.

8.3. MULTIPLE INPUT MULTIPLE OUTPUT 155

Abbildung 8.3: Unterschiedliche Übertragungssysteme.

Abbildung 8.4: Mehrwegekanal zur Erläuterung des MIMO-Systems.


Die grundsätzliche Idee hinter MIMO zeigt Abb.8.4. Wie bereits im Bachelor-Script ausgeführt wurde, kann man die Sende- und Empfangscharakteristik ei-nes Antennenarrays durch eine geeignete Steuerung der Phasen und Beträgeder Ströme einstellen. Bei MIMO wird im Prinzip etwas Ähnliches durchge-führt. Die einzelnen Mehrwegekomponenten werden dazu genutzt, unabhängigvoneinander Daten zu übertragen. Kommen die Daten beim Empfänger aus un-terschiedlichen Richtungen an, so ist er in der Lage diese Richtungen durch eineintelligente Signalverarbeitung aufzulösen wenn er über mehrere Empfangsan-tennen verfügt.Im Sender kann ein hochbitratiger Datenstrom aufgeteilt werden. Die ein-

zelnen im Mehrwegekanal übertragenen Datenströme haben in diesem Fall eineniedrigere Datenrate. Sie werden parallel im Kanal übertragen und vom Emp-fänger empfangen. Da alle Datenströme bei derselben Frequenz übertragen wer-den, kommt es zu einer gegenseitigen Beein�ussung der Daten untereinander,also zu Fadingereignissen, Interferenzen usw. Durch die Richtungsinformationdie der Empfänger auf Grund seiner Empfangsantennen erhält und eine intel-ligente Signalverarbeitung kann er die einzelnen Datenströme wieder au�ösen.Im Anschlußwerden dann die niederbitratigen Datenströme wieder zu einemhochbitratigen zusammengesetzt.Der MIMO-Ansatz führt demnach zu einer Erhöhung der übertragbaren Da-

tenraten und zwar nicht trotz sondern gerade wegen der Mehrwegeausbreitungdie im Kanal statt�ndet.

8.4 Diversity und Kanalkodierung

Die Grundidee der Diversity - Techniken ist es dasselbe Signal auf unterschied-lichen Wegen oder mit Hilfe unterschiedlicher Kopien durch den Kanal zu schi-cken. Die einzelnen Diversity - Techniken sind:

� Antenna - oder Space - Diversity

� Polarization - Diversity

� Frequency - Diversity

� Time - DiversityIm ersten Fall werden zwei oder mehr Antennen örtlich voneinander getrennt

angebracht. Beide arbeiten auf denselben Empfänger. Kommt es im Kanal zueinem Fadingereignis durch die Überlagerung von Mehrwegekomponenten oderdurch die Doppler-Verschiebung, so ist dieses örtlich eng begrenzt. Hat die eineAntenne also einen Signaleinbruch zu verzeichnen, so ist das Signal bei der ande-ren Antenne wahrscheinlich nicht geschwächt. Die Überlagerung beider gleichtdementsprechend den Signaleinbruch aus.Ähnlich funktionieren auch die anderen Diversity - Techniken. Beim Polari-

zation - Diversity empfängt die Empfangsantenne beispielsweise sowohl vertikalals auch die horizontal polarisierten Signale. Beim Frequenz - Diversity wird dasSignal auf unterschiedlichen Frequenzen gesendet und beim Time - Diversity zuunterschiedlichen Zeiten.Die Kanalkodierung wurde bereits im Bachelor-Script eingehend behandelt.

Die Grundidee ist hierbei dem Signal Redundanz hinzuzufügen die dem Kanalangepasst ist. Dazu gibt es unterschiedliche Möglichkeiten.


� Fehlerkodierer

� Blockkodierer

� Faltungskodierer

� Trellis - Code Modulation

Das letzte Beispiel ist eine Kombination aus einer Kanalkodierung und einerModulation.

8.5 Zusammenfassung

� Im Prinzip gibt es fünf wesentliche Möglichkeiten trotz hoher Intersym-bolinterferenzen in einem Kanal hohe Datenraten zu übertragen

�Equalizer,�Rake Receiver,�MIMO,�Diversity,�Kanalkodierung

� Equalizer kompensieren die Intersymbolinterferenz der empfangenen Nach-richt.

� Equalizer passen den Empfänger ständig adaptiv an die Bedingungen desKanals an.

� Rake Receiver nutzen die Mehrwegeausbreitung zur Verbesserung der Si-gnalqualität.

� Bei Rake Receivern wird jeder Teilempfänger (Finger) auf die unterschied-lichen Mehrwegekomponenten abgestimmt.

� In einem MIMO - System wird die Mehrwegeausbreitung des Signals dazubenutzt, unabhängig voneinander unterschiedliche Bitströme zu übertra-gen.

� Mit MIMO lassen sich drastische Vergrößerungen der übertragbaren Da-tenraten erzielen.

� Die Grundidee der Diversity - Techniken ist es dasselbe Signal auf un-terschiedlichen Wegen oder mit Hilfe unterschiedlicher Kopien durch denKanal zu schicken.

� Es gibt 4 mögliche Diversity - Techniken

�Antenna - oder Space -,�Polarization -,�Frequency - und�Time - Diversity

� Bei der Kanalkodierung wird dem Signal Redundanz hinzugefügt um eineFehlererkennung oder -korrektur zu ermöglichen.


Kapitel 9

Gesamtzusammenfassung

In diesem Manuskript wurde der mobile Funkkanal und mobile Funksystemebehandelt. Im Gegensatz zu allen anderen Kanälen der Nachrichtenübertragungkönnen sich hier sowohl der Empfänger als auch der Sender oder andere Objektebewegen. Gleichzeitig tri¤t eine Vielzahl von Kopien des Signals gleichzeitigbeim Empfänger ein. Die wesentlichen E¤ekte die hier behandelt wurden sindin Abb. 9.1 dargestellt.Entfernt sich der mobile Teilnehmer vom Sender so nimmt die Empfangs-

feldstärke ab. Das ist das so genannte "Large - Scale Fadingäuf der linken Seiteder Abbildung. Die Ursache hierfür liegt in der Verteilung der Sendeleistung ineine Fläche die mit größer werdendem Abstand quadratisch zunimmt. Zur Be-rechnung dieses Pfadverlusts gibt es eine Vielzahl von Modellen die alle gewisseVor- und Nachteile haben. Im Einzelnen wurden hier behandelt:

� Das Freiraummodell

� Das Zweistrahlmodell

� Knife - Edge - Di¤raction

� Ray-Tracing/- Launching Modelle

� Empirische und physikalische Ausbreitungsmodelle

� Okumura - Hata

� COST - 231 Modell

Durch die Bebauung und andere Objekte die sich im Bereich der Funkzellebe�nden schwankt die tatsächlich vom mobilen Teilnehmer empfangene Leistungum den Mittelwert. Das ist die so genannte Abschattung, die sich nur statistischbeschreiben lässt.Gleichzeitig treten in einem mobilen Kanal noch andere physikalische E¤ekte

auf und zwar:

� Brechung

� Re�exion

� Streuung

159

160 KAPITEL 9. GESAMTZUSAMMENFASSUNG

Abbildung 9.1: Signalfading

� Beugung

� Interferenz

� Dämpfung

Die Dämpfung der Atmosphäre ist nur bei relativ hohen Frequenzen vonBedeutung die heute noch sehr selten benutzt werden. Die Re�exion, Streuungund Beugung lassen Kopien des ursprünglich gesendeten Signals entstehen. AmEmpfänger überlagern sich diese Kopien. Je nach der relativen Phasenlage dereinzelnen Kopien überlagern diese sich konstruktiv oder destruktiv. Dement-sprechend kommt es zu starken Schwankungen des Signals auf kleinstem Raum.Diese Schwankungen sind das so genannte SSmall - Scale Fading"das sich nurstatistisch beschreiben lässt. Die Verteilungsfunktionen zur Beschreibung diesesVerhaltens sind

� Rayleigh-Statistik. Falls keine Sichtkomponente vorhanden ist.

� Rice-Statistik. Falls Sichtkomponente vorhanden ist.

Gleichzeitig führt die Mehrwegeausbreitung auch zur Intersymbolinterferenzbzw. zur zeitlichen Dispersion des empfangenen Symbols. Diese Dispersion lässtsich nach Abb. 9.1 im Zeit- und Frequenzbereich beschreiben. Die Beschreibungim Zeitbereich führt auf den

� RMS Delay - Spread

während die Beschreibung im Frequenzbereich auf die

161

Abbildung 9.2: Signal- und Kanalparameter

� Kohärenzbandbreite führt.

Die Bewegung aller Objekte im mobilen Funkkanal führt zu einer zeitlichenÄnderung des Kanals. Diese lässt sich nach Abb.9.1 ebenfalls wieder im Zeit-und Frequenzbereich beschreiben. Die Beschreibung im Frequenzbereich führtauf die

� Doppler Bandbreite

während die Beschreibung im Zeitbereich auf die

� Kohärenzzeit

führt. Die beiden wichtigsten Signal Parameter sind

� Bandbreite und

� Symbolrate bzw. Symboldauer

während die wichtigsten Kanal-Parameter zur Beschreibung des Small - ScaleFading die

� RMS Delay - Spread und die

� Dopplerspreizung

sind. Entsprechend der Abbildung 9.2 führt das Verhältnis zwischen diesenParametern zu unterschiedlichen Fading-Ereignissen im Kanal. Die Dispersionim Mehrwegekanal führt auf das

� Frequenzselektive und

� Flache Fading

während die Doppler Verschiebung der Frequenz durch die Bewegung imKanal auf das

� Fast - und

� Slow - Fading


Abbildung 9.3: Small - Scale Fading im mobilen Mehrwegekanal.

führt.Abbildung 9.3 zeigt die unterschiedlichen Fading Ereignisse. Zum so genann-

ten Flat - Fading kommt es wenn

� Die Signalbandbreite viel kleiner als die Kanalbandbreite ist (BS � BC)oder

� Die Symboldauer ist viel größer als die Zeitaufspreizung im Kanal (TS ��RMS).

Frequenzselektives Fading tritt hingegen auf wenn

� Die Signalbandbreite größer als die Kanalbandbreite ist (BS > BC) oder

� Die Symboldauer ist kleiner als die Zeitaufspreizung im Kanal (TS <�RMS).

Fast - Fading tritt im Kanal auf wenn:

� Die Symboldauer größer als die Kohärenzzeit des Kanals ist (TS > TC)oder

� Die Signalbandbreite ist kleiner als die Dopplerbandbreite (BS < BD).

Slow - Fading Ereignisse treten ein wenn

� Die Symboldauer viel kleiner als die Kohärenzzeit des Kanals ist (TS �TC) oder

� die Signalbandbreite ist kleiner als die Dopplerbandbreite (BS � BD).

� Im Prinzip gibt es fünf wesentliche Möglichkeiten trotz hoher Intersym-bolinterferenzen in einem Kanal hohe Datenraten zu übertragen (Equali-zer, Rake Receiver, MIMO, Diversity, Kanalkodierung).

163

� Equalizer kompensieren die Intersymbolinterferenz.

� Rake Receiver nutzen die Mehrwegeausbreitung zur Verbesserung der Si-gnalqualität.

� Bei MIMO wird die Mehrwegeausbreitung dazu benutzt, die übertragba-ren Datenraten drastisch zu erhöhen.

� Es gibt 4 mögliche Diversity - Techniken (Antenna - oder Space -, Polari-zation -, Frequency - und Time - Diversity).


Teil III

Anhang

165

Anhang A

Kugelkoordinaten

Bei allen zentralsymmetrischen Problemen wie z.B. der Bestimmung des Raum-winkels, der Richtwirkung und des Gewinnes von Antennen sind Kugelkoordi-naten besonders günstig. Die einzelnen Kugelkoordinaten, der Azimuthwinkel�, der Polarwinkel � und der Radius r sind in Abbildung A.1 eingetragen.Lässt man den Radius der Kugel und den Azimuthwinkel � konstant und

variiert den Polarwinkel � von 0 bis 2� ergeben sich Längenkreise auf der Kugel.Bei einer Variation von � bei gleichzeitiger Konstanz von r und � ergeben sichhingegen so genannte Breitenkreise.Die in Abb. A.1 markierte Fläche auf der Kugel - die z.B. den Bereich dar-

stellen kann durch den die abgestrahlte Leistung einer Antenne tritt - ergibtsich zu

dA = r sin �d�rd' (A.1)

bzw.dA = r2 sin �d�d' = r2d (A.2)

wobeid = sin �d�d' (A.3)

als Raumwinkel bezeichnet wird. Die Fläche auf der Kugel die vom Raum-winkel umschlossen wird steigt quadratisch mit der Entfernung vom Kugelmit-telpunkt an.Die Fläche der gesamten Kugel ergibt sich dementsprechend wenn man über

die Winkel d' von 0 bis 2� und d� von 0 bis � integriert

AKugel = r2

Z 2�

0

d'

Z �

0

sin �d� = 2�r2 (� cos �)�0 = 4�r2 (A.4)

Ein Vergleich zwischen den Gleichungen A.4 und A.2 zeigt, dass der gesamteRaumwinkel der von einer Kugel umschlossen wird

dKugel = 4� (A.5)

ist. Als Maßdes Raumwinkels dient das Steradian oder Radian ins Quadrat(rad2) und es bezeichnet die Fläche die vom Raumwinkel aus einer Einheits-kugel (r = 1) um den Scheitel als Mittelpunkt herausgeschnitten wird [22].

167

168 ANHANG A. KUGELKOORDINATEN

Abbildung A.1: Kugelkoordinatensystem

Dementsprechend ist der gesamte Raumwinkelbereich einer Kugel 4� sterad,bzw. ein Steradian ist

1 sterad =1sr = 1 rad2 = 1=4� (A.6)

Ein Radian im Bogenmaßkann mit Hilfe von Gradmaßen über

1 rad =180

�Grad (A.7)

ausgedrückt werden. Ein Radian ins Quadrat, bzw. ein Steradian, ist dement-sprechend

1sr =�180

�

�2Grad2 = 3282:80635 Grad2: (A.8)

Der gesamte Raumwinkel einer Kugel war nach Glng. A.5 4� sr, er wird mitGlng. A.8 zu [44]:

dKugel = 4� sr = 4� � 3282:80635 Grad2 = 41252:96125 Grad2 (A.9)

Anhang B

div, grad, curl, rot

In der elektromagnetischen Feldtheorie die durch die Maxwellgleichungen be-schrieben wird werden oft Abkürzungen für mathematische Operationen be-nutzt, derartige Abkürzungen sind beispielsweise der Laplace und Nabla Ope-rator. Die grundsätzlichen Konzepte sollen hier kurz wiederholt werden

� Divergenz divDie Divergenz eines Feldes von Vektoren ~E ist ein Maßfür die Quellendieses Feldes. Das Ergebnis ist ein Skalarfeld, ein Feld von Zahlen:

div ~E =�

"0.

� Gradient gradMit der Gradientenoperation ist es möglich, aus einem Skalarfeld ein Vek-torfeld zu bilden. Sind beispielsweise in einem bestimmten Volumen Quel-len vorhanden erzeugen sie eine Potentialfunktion ': Durch Gradienten-bildung entsteht daraus das elektrische Vektorfeld

~E = �grad'.

Das Ergebnis ist ein Quellenfeld, die Feldlinien haben einen Anfang undein Ende.

� Rotation rot (curl)Wenn die Feldlinien eines Vektorfeldes weder einen Anfang noch ein Endeaufweisen handelt es sich um ein Wirbelfeld. Mit der Rotation ist es mög-lich die Ursachen dieser Feldwirbel zu bestimmen. Das Ergebnis ist dannwieder ein Vektorfeld.

rot ~E = �@~B

@t.

� Nabla OperatorDer Nabla Operator ist sowohl ein Vektor als auch eine Vorschrift für einemathematische Operation. Wird ein kartesisches Koordinatensystem mitx, y, und z benutzt, kann er geschrieben werden als

r = @

@x~ex +

@

@y~ey +

@

@z~ez.

169

170 ANHANG B. DIV, GRAD, CURL, ROT

Mit Hilfe des Nabla Operators können die erwähnten Operationen derFeldtheorie ausgedrückt werden als

div ~E = r � ~E =@Ex@x

+@Ey@y

+@Ez@z

,

grad' = r' = @'

@x~ex +

@'

@y~ey +

@'

@z~ez,

und

rot ~E = r� ~E =

��~ex ~ey ~ez@@x

@@y

@@z

Ex Ey Ez

�� .In Zylinderkoordinaten, gebräuchlich für Drähte und Fasern, hat der NablaOperator die Form

r = @

@r~er +

1

r

@

@'~e' +

@

@z~ez

In Kugelkoordinaten, kann der Nabla Operator geschrieben werden als

r = @

@r~er +

1

r

@

@#~e# +

1

r sin#

@

@'~e'.

� Laplace OperatorDas doppelte Kreuzprodukt zwischen Vektoren kann umgeschrieben wer-den zu

~a�~b� ~c = ~b (~a � ~c)� ~c�~a �~b

�.

Mit ~a = r; ~b = r, und ~c = ~E folgt

r�r� ~E = r�r � ~E

�� (r � r) ~E.

Mit den oben beschriebenen Operationen kann es geschrieben werden als

rot rot ~E = grad div ~E � (r � r) ~E

Ist das betrachtete Feld quellenfrei, so ist div ~E =0 und, daher, rot rot ~E =(r � r) ~E. Das Skalar Produkt zwischen zwei Nabla Operatoren ist derLaplace Operator. In einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit denKoordinaten x, y und z heißt das

r � r =

0@ @@x@@y@@z

1A �0@ @

@x@@y@@z

1A =@2

@x2+@2

@y2+@2

@z2= �.

Demnach ist, entgegen dem Nabla Operator, der Laplace Operator keinVektor. Wird der Laplace Operator auf einen Vektor angewandt erhältman

� ~E =

�@2

@x2+@2

@y2+@2

@z2

�0@ ExEyEz

1A .

div, grad, curl, rot 171

Der Laplace Operator in Zylinderkoordinaten r, ' und z kann geschriebenwerden als

� =1

r

@

@r+@2

@r2+1

r2@2

@'2+@2

@z2.

172 ANHANG B. DIV, GRAD, CURL, ROT

Anhang C

Logarithmische Einheiten

Logarithmische Einheiten werden in der Telekommunikation häu�g benutzt umkomplizierte Sachverhalte einfacher berechnen zu können. Der Gewinn einerAntenne ist z.B.,

GdB = 10 log10

�kKA

�.

Ein Gewinn von 30 dBi bedeutet z.B. das die Antenne in der Lage ist daselektrische Feld 1000 mal besser zu bündeln als ein Kugelstrahler, bzw. dass dieStrahlkeule nur 1/1000 des Raumwinkels eines Kugelstrahlers einnimmt.

kKA

= 10Gd B i10 .

Da man sich bei der De�nition des Gewinns einer Antenne auch auf andereVergleichsgrößen beziehen kann, z.B. einen Dipol, wird durch den Index i nocheinmal eindeutig darauf hingewiesen dass ein isotroper Kugelstrahler zum Ver-gleich herangezogen wurde. Hat ein Verstärker eine Verstärkung von 20 dB, soist seine Ausgangsleistung 100 mal größer als seine Eingangsleistung.Tritt in einem Medium eine Dämpfung von 3 dB auf, so bedeutet dies die

Ausgangsleistung ist nur halb so großwie die Eingangsleistung. Die Beziehungzwischen der Dämpfungskonstante pro Kilometer und der Dämpfungskonstantein dB pro Kilometer wurde bereits in Abschnitt 1.1 gezeigt, sie ist:

�km�1 = 0:23026 �dB/km .

Auch die Leistung wird gern auf eine Vergleichsleistung bezogen und in dBangegeben. Der Ausdruck dBm bezieht sich z.B. auf eine Vergleichsleistung von1 mW, wohingegen dB� auf 1 �W bezogen wird, usw.. Eine Sendeleistung von10 mW ist also

PdBm = 10 log1010 mW1 mW

= 10 dBm

Eine Empfangsleistung von �30 dBm ist hingegen

P = 1 mW� 10�3010 = 1 �W=0 dB�

Der besondere Vorteil der logarithmischen Rechnung besteht darin, dass ma-thematische Operationen um einen Grad erniedrigt werden. Aus der Ausbrei-

173

174 ANHANG C. LOGARITHMISCHE EINHEITEN

tungsformel von FriisPtPr=

�4�

c

�2f2d2 = LP

wird dementsprechend durch die Anwendung der Logarithmen Gesetze

LPdB = 20 log

�4�

c

�+ 20 log f + 20 log d

bzw. wenn f in MHz und d in km eingesetzt wird, folgt die einfache Beziehung

LPdB = 32:4 + 20 log f + 20 log d

Anhang D

erf, erfc und Q-Funktion

Die Wahrscheinlichkeit das ein bestimmtes Ereignis eintritt, bzw. die Wahr-scheinlichkeit das der Wert x auftritt ist

P (x) =1

�p2�e�

(x�m)2

2�2 (D.1)

wenn der zufällige Prozess der zu diesem Ereignis führt einer Gauß- bzw. Nor-malverteilung folgt. Der Erwartungswert der Verteilung istm und ihre Streuungist �, bzw. ihre Varianz ist �2. Eine Normalverteilung ist durch Streuung undErwartungswert vollständig bestimmt. Abbildung D.1 zeigt mehrere Normalver-teilungen mit demselben Erwartungswert aber unterschiedlicher Streuung.Die Wahrscheinlichkeit das im zufälligen Prozess ein Wert auftritt der größer

ist als ein bestimmter Wert x0 kann mit dem Integral von x0 bis unendlich überdie Normalverteilung (D.1) berechnet werden.

P (x > x0) =1

�p2�

Z 1

x0

e�(x�m)2

2�2 dx (D.2)

Dieses Integral lässt sich nicht in geschlossener Form analytisch lösen. Substi-tuiert man hingegen

y =x�m�

(D.3)

so erhält man die normierte und zentrierte Normalverteilung

P (y > y0) =1p2�

Z 1

y0

e�y2

2 dy (D.4)

Füry0 =

x0 �m�

= z (D.5)

folgt daraus die komplementäre kumulative Normalverteilung, oder auch Q-Funktion von z

Q (z) =1p2�

Z 1

z

e�y2

2 dy (D.6)

Diese bestimmt also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Wert y in der nor-mierten und zentrierten Normalverteilung größer als ein Referenzwert y0 ist.

Q (z) = Q

�x0 �m�

�= P (y > y0) (D.7)

175

176 ANHANG D. ERF, ERFC UND Q-FUNKTION

Abbildung D.1: Gaußsche Normalverteilung bei unterschiedlicher Streuung

Abbildung D.2: Komplementäre, kumulative Normalverteilung (Q-Funktion).Die gestrichelten Linien sind die obere und untere Grenze der Q-Funktion nachden im Text beschriebenen Funktionen

177

Abbildung D.2 zeigt die Q-Funktion im Bereich zwischen -4 und 4Ab einemWertvon z � 1:5 kann (D.6) näherungsweise auch durch zwei analytische Funktionenbestimmt werden die ebenfalls in der Gra�k dargestellt wurden. Die obere unduntere Grenze der Q-Funktion ist�

1� 1

z2

�1

zp2�e�z

2=2 < Q(z) <1

zp2�e�z

2=2 (D.8)

Tabelle D.1 gibt die Werte der Q-Funktion für �z = 0:1. Wichtige Werte derQ-Funktion sind unter anderem Q(0) = 0:5 und

Q(�z) = 1�Q(z) (D.9)

-

z Q(z) z Q(z) z Q(z) z Q(z)

�3:9 0:99993 �1:9 0:97128 0:1 0:46017 2:1 0:01786

�3:8 0:99989 �1:8 0:96407 0:2 0:42074 2:2 0:0139

�3:7 0:99984 �1:7 0:95543 0:3 0:38209 2:3 0:01072

�3:6 0:99977 �1:6 0:9452 0:4 0:34458 2:4 0:0082

�3:5 0:99966 �1:5 0:93319 0:5 0:30854 2:5 0:00621

�3:4 0:99952 �1:4 0:91924 0:6 0:27425 2:6 0:00466

�3:3 0:99931 �1:3 0:9032 0:7 0:24196 2:7 0:00347

�3:2 0:99995 �1:2 0:88493 0:8 0:21186 2:8 0:00256

�3:1 0:99903 �1:1 0:86433 0:9 0:18406 2:9 0:00187

�3:0 0:99865 �1:0 0:84134 1:0 0:15866 3:0 0:00135

�2:9 0:99813 �0:9 0:81594 1:1 0:13567 3:1 9:67603E � 4�2:8 0:99744 �0:8 0:78814 1:2 0:11507 3:2 6:87138E � 4�2:7 0:99653 �0:7 0:75804 1:3 0:0968 3:3 4:83424E � 4�2:6 0:99534 �0:6 0:72575 1:4 0:08076 3:4 3:36929E � 4�2:5 0:99379 �0:5 0:69146 1:5 0:06681 3:5 2:32629E � 4�2:4 0:9918 �0:4 0:65542 1:6 0:0548 3:6 1:59109E � 4�2:3 0:98928 �0:3 0:61791 1:7 0:04457 3:7 1:078E � 4�2:2 0:9861 �0:2 0:57926 1:8 0:03593 3:8 7:23481E � 5�2:1 0:98214 �0:1 0:53983 1:9 0:02872 3:9 4:80964E � 5�2:0 0:97725 �0:0 0:5 2:0 0:02275 4:0 3:16712E � 5

Tabelle D.1: Tabelle der Q-Funktion

Taschenrechner und mathematische Computerprogramme bieten die Q-Funktionmeist nicht an. Dafür ist in den meisten Programmen aber eine enge Verwandteder Q-Funktion, die Fehlerfunktion, tabelliert. Die Fehlerfunktion oder ErrorFunction (erf) ist

erf(z) =2p�

Z z

0

e�x2

dx (D.10)


Abbildung D.3: Bereiche in den unterschiedlichen Verteilungen die den jeweili-gen Fehlerfunktionen entsprechen

Die komplementäre Fehlerfunktion ist

erf c(z) =2p�

Z 1

x=z

e�x2

dx (D.11)

Die Beziehung zwischen diesen beiden Funktionen ist

erf c(z) = 1� erf(z) (D.12)

Das Verhältnis zwischen der erf, erfc und Q-Funktion ist in den AbbildungenD.3 und D.4 dargestellt. Wie man den Gleichungen (D.6) und (D.10) entnehmenkann handelt es sich um unterschiedliche Verteilungen über die die jeweiligeFunktion de�niert wurde. Die Verteilung auf deren De�nition die erf und erfcFunktion beruhen hat den doppelten Flächeninhalt - also 2 - gegenüber derzentrierten und normierten Normalverteilung mit ihrem Flächeninhalt von 1.Trotzdem lassen sich die einzelnen Funktionen ineinander umrechnen. Die

Beziehung zwischen ihnen ist

Q (z) =1

2

�1� erf

�zp2

��=1

2erf c

�zp2

�(D.13)

erf (z) = 1� 2Q�p2z�

(D.14)

erf c(z) = 1� 2Q�p2z�

(D.15)

Diese Funktionen sind vor allem für die Berechnung mit Taschenrechner undRechnerprogramm nützlich.backmatter

179

Abbildung D.4: Vergleich zwischen erf, erfc und Q-Funktion


Literaturverzeichnis

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Index

Abdeckungswahrscheinlichkeit, 121Abschattung, 113Absorption

In der Atmosphäre, 25Ausfallwahrscheinlichkeit, 121

Barometrische Höhenformel, 34Beugung, 49

Fern- und Nahfeld, 50Fraunhofer, 50Fresnel, 50Kante, 76Knife Edge Di¤raction, 79Multiple Knife Edge, 83

Beugungsparameter, 79, 82Bitfehlerrate

bei Intersymbolinterferenz, 157Breakpoint

Zweistrahlmodell, 74Brechung, 34

Erdatmosphäre, 33Snellius, 30

Brechungsgesetz, 31Brechungsindex

der Atmosphäre, 35versch. Materialien, 39

Brewster Winkel, 42Brewster-Winkel, 39

Coverage Probability, 121

Dämpfung, 22, 23durch Laub, 48einiger Wellenleiter, 24Kabel, 28Regen, 27, 28Resonanzen, 25Wand, 29

Dämpfungskonstante, 23Umrechnung, 24

dB, 195

dBi, 195dBm, 195Dielektrizitätskonstante, 22Divergenz, 193

Empirisches Modell, 95erf, 197erfc, 198Error Funktion, 197Excess Delay, 162Extinktionskonstante, 22

FadingFast, 148Flat, 155, 171Frequency Selective, 155, 171Schmalband, 153Slow, 148Wideband, 153

Fast Fading, 148Fernfeldbeugung, 50Flat Fading, 171Freiraummodell, 68Freirumausbreitung, 67Frequency Selective Fading, 155Fresnel Beugung, 50Fresnel Ellipsoid, 78, 80Fresnel Zonen, 51Fresnel-Gleichungen

Re�exion, 38Fresnelsches Beugungsintegral, 79

Näherungsformeln, 81Friis, 67Funkkanal

Standardmodell, 159

Gaussche Normalverteilung, 196Gaussches Fehlerintegral, 119Gaussverteilung, 114Gradient, 193

Huygens, 49

184

INDEX 185

Huygenssches Prinzip, 49

Impulsantwort, 160Inkohärente Streuung, 44Interferenz, 54

Intersymbol, 157Intersymbolinterferenz, 157

Kabeldämpfung, 28Kanal Parameter, 159Kanalmodell, 159Kanalparameter, 160Knife Edge Di¤raction, 78Kohärente Streuung, 43Kohärenzbandbreite, 169Kugelkoordinaten, 191Kurzwellen, 33

Längstwellen, 32Langwellen, 33Laplace, 194Large Scale Fading, 19Leistungsverzögerungs Pro�l, 160Link Budget

Abschattung, 118Logarithmische Einheiten, 195Luftdruck, 34

Maximum Excess Delay, 162Maxwellgleichungen, 1Mean Delay, 162, 163Mehrwegeausbreitung, 160Mie Streuung, 47Mittelwellen, 33Multiple Knife Edge Di¤raction, 83

N-units, 35Nabla, 193Nahfeldbeugung, 50Newton, 49Normalverteilung, 196

komplementäre, kumulative, 197normiert und zentriert, 197

Ortsvariabilität, 114Outage Probability, 121

PfadverlustAbschattung, 115empirisch, 93Freiraum, 67, 68

Knife Edge Di¤raction, 79Zweistrahlmodell, 75

PolarisationRe�exion, 41

Power Delay Pro�le, 160

Q-Funktion, 119, 197

Raumwinkel, 192Rayleigh Streuung, 48Re�exion, 37, 39Re�exionsfaktor, 39Re�exionskoe¢ zient, 37

raue Ober�ächen, 44Regendämpfung, 28Resonanzdämpfung, 25RMS Delay Spread, 162, 164Rotation, 193

Skintiefe, 31Slow Fading, 114, 148Snellius, 31Streuung, 43, 46

Inkohärent, 44Kohärent, 43

Time Variant Transfer Function, 169Transmissionskoe¢ zient, 37

Ultrakurzwelle, 33

WellengleichungLösung, 2Vakuum, 1

Wideband Fading, 153

Zweistrahlmodell, 75

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