Date post: | 05-Apr-2015 |
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2002 Teil II: Kp. 2
Diese Fragen sollten Sie beantworten können
Was ist das Ziel der Vorlesung -
Rechner zur Unterstützung der Berechnung technischer Vorgänge Was ist ein Modell - Abstraktion Wie sind technische Modelle strukturiert - horizontal und vertikal Was sind die mathematischen Grundbeziehungen technischer
Modelle -
Erhaltungsgleichungen in integraler und differenzieller Form
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Numerische Methoden, SS 2002 Teil II: Kp. 2
V2: Modellieren auf endlichen Maschinen
Teil II: Rechner als endliche Maschine
Kap. 2: Modellieren auf endlichen Maschinen
Inhalt: Endlichkeit von Rechnern Vom Problem zum Programm Bessere Rechner via bessere Verfahren
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Numerische Methoden, SS 2002 Teil II: Kp. 2
Simulation mit Hilfe von Rechnern
Das Rechnen auf dem Computer ist - im Gegensatz zu Algebra - ein Rechnen mit Zahlen auf einer endlichen Maschine. Die Zahlen werden durch Rechenvorschriften - Algorithmen - generiert. Die Rechenvorschriften sind über Attribute, die konkrete Werte annehmen müssen (z.B. Geometriedaten oder Materialdaten) mit der Wirklichkeit verknüpft; unter Umständen müssen die Attribute selbst über Rechenvorschriften bestimmt werden. Daraus ergeben sich für den Einsatz von Rechnern zur Lösung von technischen Problemen eine Reihe von Konsequenzen und Fehlermöglichkeiten: Probleme müssen so aufbereitet (modelliert) werden, daß sie durch
Zahlen und Operationen auf Zahlen beschreibbar sind, Zahlen und Operationen auf Zahlen sind auf endlichen Maschinen zu
verarbeiten, die Attribute müssen so aufbereitet sein, daß sie die Realität auf das
Rechenmodell abbilden.
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Numerische Methoden, SS 2002 Teil II: Kp. 2
Das sollten Sie heute lernen
Wie lösen wir Probleme auf Rechnern Was sind Datenstrukturen und Abstrakte Datentypen Was sind Algorithmen und Funktionsmodule Warum ist ein Rechner eine endliche Maschine Was ist eine Simulation und warum kann sie durch moderne
Rechner verbessert werden Rolle der Numerik bei Simulationen
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Numerische Methoden, SS 2002 Teil II: Kp. 2
Lösung von Problemen
Methoden zurBeschreibung
DatenstrukturAlgorithmen
Modell
Reduktion
System
AbstrakteDatentyp-Module
Methoden zur Lösung (Beschreibung des Verhaltens)
Simulationsprogramm(Modul)
Reduktion Komplexität
Komplexität
Funktions-Module
Problem
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Numerische Methoden, SS 2002 Teil II: Kp. 2
Datenstruktur -1
Definition Zusammenfassung von Daten verschiedenen Typs zur Beschreibung eines Problems
Datentypen Beschreibt Menge der möglichen Werte,
zulässige Operationen der Variablen eines Typs.
Abstrakter Datentyp Datenstruktur + darauf definierten Operationen
Datenstruktur Realisierung eines Abstrakten Datentyps auf Rechner
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Datenstruktur -2
Implementierung einer Datenstruktur
bestimmt Effizienz der darauf definierten Operationen
Erfahrung Falsch gewählte Datenstrukturen können Lösung eines Problems unmöglich machen.
Schlußfolgerung Es müssen verschiedene Sichten auf Daten eines Problems möglich sein.
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Beispiele für abstrakte Datentypen
GrundtypenInteger, Real, Character, etc.
ADT's aus der DatenverarbeitungTupel - Satz von Grundtypen
Operationen: SQL
Menge - Sammlung gleichartiger Datenobjekte
Operationen: Schnitt und Vereinigung
Abbildung - Relation zwischen ADT's
Operation: Erzeugung von Tupeln
Folge - Geordnete Menge
Operation: Warteschlangen
ADT's aus der NumerikVektor - Folge von Zahlen, Länge N
Operationen: Vektoroperationen
Matrix - zweidimensionale Anordnung einer Menge
Text - Folge von Character
Operationen: abhängig von Semantik
(Beschreibung, Programm, Prozedur,
Eingabe)
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Algorithmen -1
Definition Verfahren zur Lösung von Problemen
Eigenschaften Korrektheit - durch Testen kann man Anwesenheit von Fehlern nachweisen
Effizienz - Speicherbedarf
Rechenzeitbedarf je als Funktion der Problemgröße
Implementierung Abbildung eines Verfahrens auf Grundoperationen
- einer konkreten Programmiersprache
- eines konkreten Rechners
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Algorithmen -2
Grundoperationen Methoden abstrakter Datentypen (Algorithmen können so formuliert werden, daß sie nur auf Datentypen und ihre Methoden zurückgreifen).
Erfahrung Es sind in der Regel konkurrierende Verfahren, konkurrierende Implementierungen, konkurrierende Datentypen
möglich.
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Numerische Methoden, SS 2002 Teil II: Kp. 2
Modul
Faßt man die Operationen zur Lösung einer Aufgabe unter einer Schnittstelle zusammen, so erhält man einen Modul.
Beschreibung Funktion
Interface
Validierung
Typen Funktionsmodul: Eingabe Daten - aus Eingabe folgt eindeutige Ausgabe in Form neuer Daten
Abstrakter Datentyp-Modul
Eingabe Methode - aus Eingabe folgt Zustandsveränderung der Datenstruktur.
Realisierung Unterprogramm
Prozedur
Hierarchische Strukturierung des Kontrollflusses
Hierarchische funktionale Zerlegung durch schrittweise Verfeinerung (HIPO)
Modularisierungskonzepte betreffen sowohl den Entwurf, die Spezifikation als auch die Programmierung.
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Numerische Methoden, SS 2002 Teil II: Kp. 2
ADT - Modul
Zu jeder Datenstruktur gehören Basisoperationen wie
Generieren, Modifizieren, Speichern oder Darstellen
Module, die diese Operationen für einen Datentyp zur Verfügung stellen, heißen
Abstrakte Datentyp-Module.
ADT-Module können als Folge von Operationen unter einer Schnittstelle beschrieben werden. Sie verbergen Details der Implementierung der Datenstruktur.
Beim Aufruf eines ADT-Moduls muß die gewünschte Operation angegeben werden. Das Resultat der Operation ist vom Zustand des Datenobjektes abhängig, ADT-Module haben ein Gedächtnis.
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Funktions - Modul
Das Verhalten eines Systems wird durch Transformationen von Eingangsgrössen in Ausgangsgrössen beschrieben. In der Regel sind dabei der Zustand des Systemes und systemspezifische Parameter (Attribute) zu beachten
Module, die diese Transformationen durchführen, heißen
Funktions - Module.
Funktions-Module können als Folge von Methoden von ADT‘s unter einer Schnittstelle beschrieben werden. Sie verbergen Details der Implementierung einer Methode und des die Methode umsetzenden Algorithmuses.
Beim Aufruf eines Funktions-Moduls müssen die zu tranformierenden Daten und die Systemparameter angegeben werden. Das Resultat der Operation ist nur davon abhängig.
Funktions - Module haben kein Gedächtnis
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Funktions Modul zur Beschreibung des Wärmetransportes in einem Rohr
Prinzip: Input - Prozeß - Output
IN P U T
O U T P U T
Te i n
Te m b
Te x
m
.
m
.Q.
PA R A M E T E R
L , D , , c
h o r iso n ta le o d e r
v e rtik a le R o h re
p
T Y P E 7 0
R o hrle itu ng
T Y P E -IN P U T S :T ein E in tri t ts te m p e ra tu r d e s H e iz w a ss e rm a ss e n flu s se i [G ra d C e ls iu s ]m H e iz w a ss e rm a s se n flu ß [k g /s ]T am b U m g e b u n g s te m p e ra tu r [G ra d C e ls iu s ]
T Y P E -P A R A M E T E R .L R o h rlä n g e l [m ]D R o h rd u rc h m e ss e r [m ] E m is s io n s z a h l fü r d ie ä u ß e re R o h ro b e r flä c h e [ .]c p s p e z if isc h e W ä rm e k a p a z ite t d e s F lu id s [ J /k g K ]
> o d e r = 0 v e rt ik a le s o d e r h o riz o n ta le s R o h r [ .]T Y P E -O U T P U T S :
T ex A u s tri t ts te m p e ra tu r d e s H e iz w a s se rm a ss e n f lu ss e s [G ra d C e ls iu s ]m H e iz w a ss e rm a s se n flu ß [k g /s ]
Q a b g e g e b e n e W ä rm e s tro m [W ]
Durchführung:
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Integration von Funktions Modulen in System
Schritt 1: Verbinden der Schnittstellen (Semantik)
Regelung
Wärme-Erzeuger
Wärme-Verteiler
Wärme-ÜbergabeRaum 2
Wärme-ÜbergabeRaum 1
Nutzer 1
Nutzer 2
Nutzer 3Wärme-
ÜbergabeRaum 3
T,M T
Schritt 2: Steuerung des Ablaufes
Schritt 3: Verfeinerung einzelner Teilaufgaben
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Beispiel Auswertungsmodellierung Verbindung von ADT- und Funktions- Modulen
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endlich viele Stellen - Rundungsfehler endlich viele Werte - Diskretisierungsfehler endlich viele Schritte - Abbruchfehler endlich viele Rechnerkomponenten - Rechenergebnisse von Anlage
abhängig Problem gut konditioniert - Rundungsfehler spielen keine Rolle Problem konsistent - alle Diskretisierungsfehler gleiche
Ordnung Problem konvergent - alle Abbruchfehler gleiche Ordnung
Ziel: Verfahren und Implementierungen so gestalten, dass Qualität der Lösung aus Qualität des Modelles und seiner Daten (Simulation) bestimmt werden.
Rechnen auf endlichen Maschinen
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Numerische Methoden, SS 2002 Teil II: Kp. 2
Moderne Rechner erlauben• feinere Diskretisierung
• Verbesserung der Konvergenz
• realitätsnähere Modellierung
Detaillierte Modellierung erfordert• Detaillierung der Beschreibung
• Integration neuer Effekte
• verläßlichere Materialdaten
• zuverlässigere Experimente
• exaktere Randbedingungen
• Integration von Erfahrungen aus Nachbardisziplinen
Das alles führt über Computer Aided Engineering (CAE) und Computational Engineering (CE) zu virtueller Realität (VR).
Simulation mit modernen Rechnern
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Moderne numerische Verfahren erlauben• weniger Einfluss der Rundungsfehler
• gröbere Diskretisierung bei geringeren Diskretisierungsfehlern
• Verbesserung der Konvergenz
• realitätsnähere Modellierung durch heterogene Modelle
• stabile und fehlertolerante Algorithmen
Moderne numerische Verfahren müssen von modernen Software- Engineering-Konzepten begleitet werden• Datenmodelle zur Beschreibung von Produkten
• Workflows zur Beschreibung von Abläufen
• Komponenten zur Erbringung von Berechnungsdiensten
• Kommunikation und Kooperation zur Unterstützung der Zusammenarbeit
Das alles führt zu verteilten Systemen.
Simulation mit modernen Verfahren
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designdevelop
constr.docs constructionschem
bids
commissioning
occupancy
Virtual Building Environment of LBNLVirtual Building Environment of LBNL
A.lnk E+ .lnk Radiance.lnk
COMIS
…
…spaceneeds
energyefficiency
airquality
greenbuilding
discussion
presentations
charrettes
workshops
simulated datareal data
design
real building
instrumentation
measurements
performance metrics
benchmarks
diagnostics
DOE-2 4-DArt-lantis.lnk
Art-lantis-.lnkPVSYST
-.lnk
virtual building
time
Smc.lnk
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Effektivitätssteigerung durch numerischer Verfahren
Beschleunigung
1,0E+00
1,0E+01
1,0E+02
1,0E+03
1,0E+04
1,0E+05
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
Gauß-Elimination
Gauß-Seidel
SOR
PCG
Mehrgitter
Adaptivität
Entwicklungen im Bereich der Verfahren zur effektiveren Lösung von Gleichungssystemen
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Numerische Methoden, SS 2002 Teil II: Kp. 2
Effektivitätssteigerung durch verbesserte Rechner
Beschleunigung
1
10
100
1000
10000
100000
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
CDC 7600
Cray X-MP
IBM SP-2
Parallelrechner
Vektorsupercomputer
Beschleunigung der Lösung von Gleichungssystemen durch schnellere Rechner
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Diese Fragen sollten Sie beantworten können
Was ist eine Datenstruktur Was ist ein Abstrakter Datentyp Was ist ein Algorithmus und was sind seine Eigenschaften Was ist ein Modul Drei Auswirkungen der Endlichkeit von Rechnern Was bedeuten Konvergenz, Konsistenz und Kondition Wie können wir die Effektivität einer Simulation steigern Was sind die Konsequenzen verbesserter Modellierung