Übungsaufgaben W S1112

Einführung in die Statistik - Übungsaufgaben

Übungsaufgaben WS1112

Peter Schrott Martin Zuber 1



Aufgabe 2:

• Studien zeigen, dass der Benzinverbrauch von Motorrädern in Deutschland normal verteilt ist, mit einem Mittel von 25,5 km/l und einer Standardabweichung von 4,5 km/l. Welcher Prozentsatz von Motorrädern machen mehr als 30 km/l?

A

30

25,5 x

30 25,51,0

4,5

x µz

A = 0,3413

P(x ≥ 30) = 0,5 – 0,3413

= 0,1587 15,87%



Aufgabe 4:Der Body-Mass-Index ist ein Maß des Körperfetts basierendauf Größe und Gewicht. Nach den „Dietary Guidlines for Americans“ bedeutet ein BMI über 25 Übergewichtigkeit.

Eine Untersuchung an der Arizone State University zeigte, dass von 750 zufällig ausgesuchten Bachelor-StudentInnen386 übergewichtig sind. Von 500 zufällig ausgesucht Master-StudentInnen sind 237 übergewichtig.

Frage: Sind die Bachelor StudentInnen in ihrem Gewicht signifikant unterschiedlich zu den Master-studentInnen? (5% Irrtumswahrscheinlichkeit)



0 1 2H : p =p

A 1 2H : p p

(0,515 0,474)1,42

(0,515)(0,485) (0,474)(0,526)750 500

z

1

3860,515

750p

2

2370,474

500p

0.05

1 1.96

2 1.96

KW

KW

1,42 > 1,96 f.A.

1,42 < -1,96 f.A.H-Null kann nicht abgelehnt werden. Somit sind die BachelorStudentInnen in ihrem Gewicht nicht signifikant unterschiedlich im Vergleich zu den Master-StudentInnen.



Aufgabe 4:• Wie ist der Einfluss von Männern und Frauen auf das

familiäre Kaufverhalten?Eine Studie zeigt, dass in 70% der Fälle die Männer entscheiden, welches neue Auto gekauft wird.Angenommen, 4 Familien wollen neues Auto kaufen.

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in MINDESTENS 2 der 4 Familien der Ehemann den entscheidenden Einfluss ausübt?



• P (mindestens 2) = P(x≥2) = p(2) + p(3) + p(4)

= 1 – p(0) – p(1) = 1 – C4

0(0,7)0(0,3)4 – C4

1(0,7)1(0,3)3

= 1 – 0,0081 – 0,0756 = 0,9163

Die Wahrscheinlichkeit ist 91,63%, dass der Ehemann in mindestens 2 Familien den Autoverkauf bestimmt



Aufgabe 5: • Nach einer Studie über Bankdarlehen werden 50%

aller Darlehen dazu benutzt, bereits vorhandene Rechnungen zu finanzieren. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 45 von 100 zufällig ausgewählten Darlehen einer Bank dazu benutzt werden, vorhandene Schulden zu decken?

• Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit durch Approximation an die Normalverteilung!µ = np = 100(0,5) = 50

σ = √npq = √100(0,5)(0,5) = 5



11

22

44,5 501,1

545,5 50

0,95

x µz

x µz

p(45) ≈ P(z1 ≤ z ≤ z2) = P (-1,1 ≤ z ≤ -0,9) = 0,3643 –

0,3159 = 0,0484

44,5 45,550



Aufgabe 6: Firma A weiß, dass durchschnittlich 1 von 10

Konsumenten ihr Produkt favorisieren. Nach einer PR-Kampagne in einer bestimmten Region wurden 200 Einwohner dieser Region befragt um die Effektivität der Werbekampagne festzustellen. Das Ergebnis der Umfrage brachte die Erkenntnis, dass 26 Konsumenten das Produkt der Firma A bevorzugen. Bedeutet dieses Ergebnis, dass die Werbekampagne erfolgreich war? (Irrtumswahrscheinlichkeit = 5 %)

(Es wird davon ausgegangen, dass die Stichprobe die erforderlichen Annahmen erfüllt.)

p0 = 0.1 230.13

200p



H0: p = 0.1

HA: p > 0.1

Da , deshalb wird H-Null verworfen wenn z > 1.645.

Erg.: Da wir den z-Wert 1.41 erhalten haben und dieser nicht größer ist als 1.645 – müssen wir davon ausgehen, dass die Werbekampagne keine signifikante Steigerung der Beliebtheit des Produktes erbracht hat.

0.05

0

0 0

0.13 0.11.41

(0.10)(0.90)200

p pz

p q

n



Aufgabe 7:

• Frage:a) E(x)

b) σ

x 0 1 2 3 4 0

p(x) .1 .1 .2 .4 .1 .1



Beispiel:

x p(x) xp(x) (x-μ)2 x2

0 0.2 0

1 0.1 0.1

2 0.2 0.4

3 0.4 1.2

4 0.1 0.4

1 2.1

()2.1 Ex



2 2

x

= (x- ) ( )p x

22 2

x

= x p(x)-

21.69



Die Regierung Bayerns führt eine Studie durch, um den Alkoholkonsum junger Autofahrer im Zeitraum des Oktoberfestes zu untersuchen. Mit Hilfe der Polizei werden an einem Abend 120 Autofahrer zwischen 18 und 26 Jahren auf ihren Promillegehalt getestet. Dabei stellte sich heraus das 9 Junge Erwachsene mehr als 0,3 Promille beim Test aufwiesen. Wie hoch ist die Quote an alkoholisierten Fahrern, die den gesetzlich vorgeschriebenen Höchstwert überschritten haben bei einem Konfidenzintervall von 95%?



n = 120p = 9/ 120 = 0,075α = 0,05 → z α/2 = 1,96 p ± 1,96 * √(0,075*0,925/120) = 0,047KI (0,028;0,122) A. Durchschnittlich haben 5,1%- 9,9% der jungen Autofahrer einen zu hohen Promillewert im Blut.



Die 30 HM- Studenten konnten das Grundstudium mit einem Durchschnitt von 2,1 abschließen. Von den TM Studenten schafften es sogar 40. Insgesamt haben 42 HM und 59 TM Studenten die ersten zwei Semester erfolgreich abschließen können. Bei einer Diskussion am Stammtisch meinen nun die TMler, dass sich das Talent der TM und HM Studenten unterscheidet. Würdest du zu stimmen? (α = 0,01)



p1 = 30/ 42 = 0,7142p2 = 40/ 59 = 0,678

Ho: p1 = p2HA: p1≠ p2

α = 0,01 → (zweiseitig) z α/2 = 2,575

Teststatistik:z = (0,7142-0,678)/ √((0,7142*0,2858/42)+(0,678*0,322/59)= 0,391

-z α/2 < z; z α/2 > z → Annahmebereich: Ho darf nicht abgelehnt werden!A. Du musst widersprechen, da es keinen signifikanten Unterschied gibt.



Es wird vermutet, dass Frauen mehr Zeit zum Vor- und Nachbreiten der Vorlesungen aufbringen und daher ihr Notenschnitt besser ist. In einer Umfrage mit einer Stichprobe von 1000 Studenten wurde der durchschnittliche wöchentliche Lernaufwand von 400 weiblichen und 600 männlichen Studenten ermittelt. Die weiblichen Studenten lernten im Schnitt 15h mit einer Standardabweichung von 3h. Die männlichen Studenten lernten im Schnitt 14h mit einer Standardabweichung von 3,5h. Deuten die Ergebnisse der Umfrage darauf hin, dass weibliche Studenten signifikant mehr lernen als männliche.



Der Wert aus der Teststatistik liegt im Ablehnungsbereich. Die Nullhypothese muss abgelehnt werden. Weibliche Studenten lernen signifikant mehr als männliche Studenten.

Date post:	01-Jan-2016
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