Tutorium: Analysis und Lineare Algebra
Vorbereitung der Bonusklausur am 26.05.2014(Teil 2)
Steven Kö[email protected]
mathe.stevenkoehler.de
© 2014 Steven Köhler 21. Mai 20142
Kurvendiskussion
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler3
Bei einer Kurvendiskussion sollten die folgenden Eigenschaften
einer Funktion ÄuberprÄuft werden:
² De¯nitionsbereich
² Wertebereich
² Polstellen
² Nullstellen
² Extrempunkte
² Wendepunkte
² Monotonie
² KrÄummung
² Symmetrie
² Grenzwerte
² Asymptoten
Aufgabe 1
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler4
Bestimme die Asymptoten der folgenden Funktion:
f (x) =x2 ¡ 4x + 4
x ¡ 3:
Aufgabe 1 – Lösung I
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler5
Skizze der Funktion
Aufgabe 1 – Lösung II
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler6
Skizze der Funktion mit Asymptote x ¡ 1.
Differenzenquotient
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler7
Der Di®erenzenquotient ist de¯niert als¢f (x)
¢x=
f(x)¡ f(x0)
x¡ x0
.
Definition der Differenzierbarkeit I
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler8
Die reelle Funktion f hei¼t di®erenzierbar an der Stelle x0 2 D(f),
wenn der Grenzwert
limx!x0
f(x)¡ f(x0)
x¡ x0
existiert. Wir bezeichnen diesen Grenzwert mit f 0(x0) und nennen
ihn Ableitung von f an der Stelle x0.
Definition der Differenzierbarkeit II
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler9
Die reelle Funktion f hei¼t di®erenzierbar an der Stelle x0 2 D(f),
wenn der Grenzwert
limh!0
f(x0 + h)¡ f(x0)
x0 + h¡ x0
existiert. Wir bezeichnen diesen Grenzwert mit f 0(x0) und nennen
ihn Ableitung von f an der Stelle x0.
Polynomfunktionen I
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler10
f(x) = x f(x) = x2
Polynomfunktionen II
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler11
f(x) = x3 f(x) = x4
Polynomfunktionen III
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler12
³xn
´0= n ¢ xn¡1
Exponentialfunktionen I
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler13
f(x) = ex f(x) =³
12
´x
Exponentialfunktionen II
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler14
³ex
´0= ex
³ax
´0= ax ¢ lna
Logarithmusfunktionen I
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler15
f(x) = lnx
Logarithmusfunktionen II
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler16
³lnx
´0=
1
x³logax
´0=
1
lna ¢ x³logax
´0= logae ¢
1
x
Wurzelfunktionen I
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler17
f(x) =p
x f(x) = 5p
x
Wurzelfunktionen II
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler18
³px´0
=1
2 ¢p
x³px´0
=³x
12
´0=
1
2¢ x¡
12
³np
x´0
=1
n ¢np
xn¡1³np
x´0
=³x
1n
´0=
1
n¢ x
1n¡1
³np
xm
´0=
³x
mn
´0=
m
n¢ x
mn¡1
Trigonometrische Funktionen I
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler19
f(x) = sin x f(x) = cos x
Trigonometrische Funktionen II
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler20
f(x) = tanx =sinx
cosxf(x) = cotx =
1
tan x=
cosx
sin x
Trigonometrische Funktionen III
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler21
³sin x
´0= cos x
³tan x
´0=
1
cos2 x³cos x
´0= ¡ sin x
³tan x
´0= 1 + tan2 x³
¡ sin x´0
= ¡ cos x³cot x
´0=
¡1
sin2 x³¡ cos x
´0= sin x
³cot x
´0= ¡1 ¡ cot2 x
Trigonometrische Funktionen IV
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler22
f(x) = arcsinx f(x) = arccosx
Trigonometrische Funktionen V
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler23
f(x) = arctanx f(x) = arccotx
Trigonometrische Funktionen VI
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler24
³arcsinx
´0=
1p
1 ¡ x2³arccosx
´0=
¡1p
1 ¡ x2³arctanx
´0=
1
x2 + 1³arccotx
´0=
¡1
x2 + 1
Hyperbolische Funktionen I
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler25
f(x) = sinhx =1
2
³ex ¡ e¡x
´f(x) = coshx =
1
2
³ex + e¡x
´
Hyperbolische Funktionen II
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler26
f(x) = tanhx =sinhx
coshxf(x) = cothx =
coshx
sinhx
Hyperbolische Funktionen III
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler27
³sinhx
´0= cosh x
³coshx
´0= sinhx
³tanhx
´0=
1
cosh2 x³tanhx
´0= = 1¡ tanh2 x³
cothx´0
=¡1
sinh2 x³cothx
´0= = 1¡ coth2 x
Ableitungsregeln
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler28
³u § v
´0= u0 § v0 (Summenregel)
³u ¢ v
´0= u0 ¢ v + u ¢ v0 (Produktregel)
³u
v
´0=
u0 ¢ v ¡ u ¢ v0
v2(Quotientenregel)
f³g(x)
´0= f 0
³g(x)
´¢ g0(x) (Kettenregel)
³f (x)g(x)
´0=
³eg(x)¢lnf (x)
´0(Logarithmisches Di®erenzieren)
Aufgabe 2
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler29
Bestimme die Ableitungen der folgenden Funktionen:
a) f1(x) = sin¡4x5 ¡ x3 + 5x2 + x¡ 23
¢b) f2(x) =
ptan (x) ¢ arctan (ln (x))
c) f3(x) = (sin x)3x2¡x+3
d) f4(x) = xe ¢ cos (5 ¢p
x) ¢ log2 x
Aufgabe 3
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler30
Gegeben seien die beiden Funktionen
h1(x) =¡1
sin2 (x)und h2(x) = ¡1 ¡ cot2 (x):
BestÄatige mithilfe der Quotientenregel, dass es sich sowohl bei h1
als auch bei h2 um eine Ableitung der Funktion h(x) = cot (x)
handelt.
Aufgabe 4
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler31
Gegeben seien die beiden Funktionen
sinh (x) =1
2
³ex ¡ e¡x
´und cosh (x) =
1
2
³ex + e¡x
´:
Bestimme die Extrem- und Wendepunkte der Funktionen sinh und
cosh.
Aufgabe 4 - Funktionsgraphen
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler32
Graph von sinh (x) Graph von cosh (x)
Aufgabe 5
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler33
Bestimme die Ableitung der folgenden Funktion:
f(x) = sin
Ãrln
³tan
³(3x + 1)
2´´!
:
Ober- und Untersummen I
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler34
Untersumme
Un =b¡ a
n¢
n¡1Xi=0
f
μa + i ¢
b¡ a
n
¶
Ober- und Untersummen II
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler35
Obersumme
On =b¡ a
n¢
nXi=1
f
μa + i ¢
b¡ a
n
¶
Ober- und Untersummen III
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler36
Das Integral ist der Grenzwert der Ober- bzw. Untersumme:
bZa
f(x) = limn!1
On = limn!1
Ãb¡ a
n¢
nXi=1
f
μa + i ¢
b¡ a
n
¶!=
hF (x)
ib
a
bZa
f(x) = limn!1
Un = limn!1
Ãb¡ a
n¢
n¡1Xi=0
f
μa + i ¢
b¡ a
n
¶!=
hF (x)
ib
a
Insbesondere gilt:
limn!1
On = limn!1
Un
Ober- und Untersummen IV
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler37
nXi=0
i =n(n + 1)
2
nXi=0
i2 =n(n + 1)(2n + 1)
6
nXi=0
i3 =n2(n + 1)
2
4
nXi=0
i4 =n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n¡ 1)
30
nXi=0
i5 =n2(n + 1)
2(2n2 + 2n¡ 1)
12
Aufgabe 6
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler38
Berechne die FlÄache, die von der x-Achse, den beiden Geraden
x = 0 und x = 1 sowie der Funktion f (x) selbst eingeschlossen
wird, mithilfe einer Obersumme:
f (x) = 2x2 + x:
ÄUberprÄufe das Ergebnis mithilfe des entsprechenden bestimmten
Integrals.
Potenzen
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler39
Zxn dx = 1
n+1xn+1 + c
Wurzeln
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler40
Z1
2p
xdx =
px + c
Z1
n ¢np
xn¡1dx = n
px + c
Zp
x dx =2
3x
32 + cZ
mp
xn dx =m
n + mx
n+mm + cZ
1mp
xndx =
m
m ¡ nx
m¡nm + c
Exponentialfunktionen
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler41
Zex dx = ex + cZ
ax ln a dx = ax + cZax dx =
1
ln aax + c
Logarithmen
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler42
Z1
xdx = ln jxj + cZ
1
ln a ¢ xdx = logajxj+ cZ
logae ¢1
xdx = logajxj+ cZ
ln x dx = x ¢ ln x ¡ x + cZlogax dx =
1
ln a
³x ¢ ln x ¡ x
´+ c
Trigonometrische Funktionen I
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler43
Zsin x dx = ¡ cos x + c
Zcos x dx = sin x + c
Z¡ sin x dx = cos x + c
Z¡ cos x dx = ¡ sin x + c
Z1
cos2 xdx = tan x + c
Z ³1 + tan2 x
´dx = tan x + c
Z¡1
sin2 xdx = cot x + c
Z ³¡1 ¡ cot2 x
´dx = cot x + c
Trigonometrische Funktionen II
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler44
Z1
p1 ¡ x2
dx = arcsinx + c
Z¡1
p1 ¡ x2
dx = arccosx + c
Z1
x2 + 1dx = arctanx + c
Z¡1
x2 + 1dx = arccotx + c
Partielle Integration I
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler45
Die partielle Integration basiert auf der Produktregel:¡u ¢ v
¢0= u0v + uv0
Durch Integration erhÄalt man:Z ¡u ¢ v
¢0=
Z ¡u0v + uv0
¢uv =
Zu0v +
Zuv0
Anschlie¼endes Umstellen ergibt:Zu0v = uv ¡
Zuv0Z
uv0 = uv ¡
Zu0v
Aufgabe 7
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler46
Bestimme die folgenden Integrale mit partieller Integration:
a)
Z(2x2 ¡ 3) ¢ cos (3x) dx
b)
Zsin x ¢ cos x dx
Integration durch Substitution I
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler47
Integration durch Substitution macht Verwendung von der Ket-
tenregel:
F³g(x)
´0= f
³g(x)
´¢ g0(x):
Durch Integrieren ergibt sich:ZF
³g(x)
´0dx =
Zf³g(x)
´¢ g0(x) dx
F³g(x)
´=
Zf³g(x)
´¢ g0(x) dx:
Integration durch Substitution II
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler48
Es sei f eine auf dem Intervall I stetige Funktion und es soll dortRf (x) dx berechnet werden. FÄur ein Intervall I 0 sei g : I 0 ! I
eine bijektive Funktion mit stetiger Ableitung. Dann lÄasst sichRf (x) dx berechnen, indem man
1.R
f¡g(t)
¢¢ g0(t) dt ermittelt;
2. im Ergebnis t = g¡1(x) substituiert (\Resubstitution").
FormelmÄa¼ig drÄuckt man dies hÄau¯g auch durch die folgende
Schreibweise aus:Zf (x) dx =
·Zf³g(t)
´¢ g0(t) dt
¸t=g¡1(x)
Aufgabe 8
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler49
Berechne das folgende Integral:
Ze
3p
7x+3 dx.
Funktionen mit speziellem Aufbau I
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler50
Manchmal liegen Funktionen in der folgenden Form vor:Zf 0(x)
f (x)dx:
Diese lassen sich direkt mit dem Logarithmus integrieren:Zf 0(x)
f (x)dx = ln
¯̄̄f (x)
¯̄̄:
Funktionen mit speziellem Aufbau II
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler51
Manchmal liegen Funktionen in der folgenden Form vor:Zf (x) ¢ f 0(x) dx:
Diese lassen sich wie folgt direkt integrieren:Zf (x) ¢ f 0(x) dx =
1
2
³f (x)
´2
:
Aufgabe 9
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler52
Berechne die folgenden Integrale:
a)
Zarctan x
x2 + 1dx
b)
Z1
p1 ¡ x2 ¢ arcsinx
dx
Tricks I
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler53
Teilweise fehlt lediglich ein konstanter Faktor c, um eine Funktion
direkt integrieren zu kÄonnen. Dieser kann durch eine \Multiplika-
tion mit 1" leicht hinzugefÄugt werden:Zf (x) dx =
Z1
c¢ c ¢ f (x) dx =
1
c
Zc ¢ f (x) dx:
Teilweise fehlt lediglich eine additive Konstante, um eine Funktion
direkt integrieren zu kÄonnen. Diese kann durch eine \Addition von
0" leicht hinzugefÄugt werden:Zf (x) dx =
Z ³f (x) + c ¡ c
´dx =
Z ³f (x) + c
´dx ¡
Zc dx:
Aufgabe 10
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler54
Bestimme die folgenden Integrale:
a)
Ze3x¡5 dx
b)
Z5x ¡ 2
x2 + 1dx
Integration rationaler Funktionen I
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler55
1. Schritt: Division mit Rest
Dieser Schritt ist nur notwendig, wenn der Grad des ZÄahlers
grÄo¼er oder gleich dem Grad des Nenners ist.
2. Schritt: Faktorzerlegung des Nenners
Zerlegung des Nenners in die folgende Form:
c ¢³x ¡ a1
´®1
¢ : : : ¢³x ¡ ar
´®r
¢³Q1(x)
´¯1
¢ : : : ¢³Qs(x)
´¯s
Hierbei gilt:
² (x ¡ ai) sind Linearfaktoren, ai Nullstellen des Nenners;
² Qi(x) sind quadratische Polynome ohne Nullstellen;
² ®i und ¯i sind die Vielfachheiten der jeweiligen Terme.
Integration rationaler Funktionen II
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler56
3. Schritt: Partialbruchzerlegung
f (x)
g(x)=
A11
(x ¡ a1)®1
+A12
(x ¡ a1)®1¡1
+ : : : +A1®1
(x ¡ a1)
...
+Ar1
(x ¡ ar)®r
+Ar2
(x ¡ ar)®r¡1
+ : : : +Ar®r
(x ¡ ar)
+p11x + q11¡Q1(x)
¢¯1+
p12x + q12¡Q1(x)
¢¯1¡1+ : : : +
p1¯1x + q1¯1
Q1(x)
...
+ps1x + qs1¡Qs(x)
¢¯s+
ps2x + qs2¡Qs(x)
¢¯s¡1+ : : : +
ps¯sx + qs¯s
Qs(x)
Integration rationaler Funktionen III
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler57
4. Schritt: Integration
Die Integration ¯ndet fÄur jeden bei der Partialbruchzerlegung
entstandenen Term separat statt; die Terme werden dabei in
vielen FÄallen auf die Ableitungen des Logarithmus oder des
Arcustangens zurÄuckgefÄuhrt.Zf (x)
g(x)=
ZA11
(x ¡ a1)®1
+
ZA12
(x ¡ a1)®1¡1
+ : : : +
ZA1®1
(x ¡ a1)
...
+
Zps1x + qs1¡Qs(x)
¢¯s+
Zps2x + qs2¡Qs(x)
¢¯s¡1+ : : : +
Zps¯s
x + qs¯s
Qs(x)
Aufgabe 11
21. Mai 2014© 2014 Steven Köhler58
Berechne die Integrale der folgenden rationalen Funktionen:
a)
Z¡x ¡ 2
x2 + 4x ¡ 7dx
b)
Z6x ¡ 5
2x2 + 2dx