TU Bergakademie Freiberg Institut für Elektrotechnik

antriebstechnik

Beckert, U.: Berechnung zweidimensionaler Wirbelströme in kurzen Permanentmagneten von PM-Synchronmaschinen antriebstechnik 46 (2007), Heft 6, S. 44 - 48

Berechnung zweidimensionaler Wirbelströme in kurzen Permanent-

magneten von PM-Synchronmaschinen

Ulrich Beckert, TU Bergakademie Freiberg

Herrn Prof. em. Dr.-Ing. G. Pfaff zum 75. Geburtstag gewidmet

Zusammenfassung Bei hochausgenutzten PM-Synchronmaschinen mit Oberflächenmagneten sind die

Wirbelstromverluste in den Permanentmagneten bedeutsam. Die Wirbelstromverluste

lassen sich durch eine axiale Unterteilung der Permanentmagnete in mehrere

Teilmagnete reduzieren. Im Beitrag wird ein Modell zur analytischen Berechnung der

Wirbelstromverluste in kurzen Permanentmagneten mit zweidimensionaler

Wirbelströmung vorgestellt.

Keywords: Synchronmaschinen, Oberflächenmagnete, zweidimensionale Wirbelströme,

analytische Berechnung

Calculation of two-dimensional Eddy Currents in the Permanent

Magnets of PM-Synchronous Machines

For highly utilized PM synchronous machines with surface magnets eddy current losses

are significant. By subdividing the permanent magnets in axial direction into partial

magnets a reduction of the eddy current losses is achieved. In the paper a model for the

analytical calculation of eddy current losses in the short permanent magnets with a two-

dimensional eddy current is presented.

Keywords: synchronous machines, surface magnets, two-dimensional eddy currents,

analytical calculation

Berechnung zweidimensionaler Wirbelströme in kurzen Permanent-

magneten von PM-Synchronmaschinen

Ulrich Beckert, TU Bergakademie Freiberg

1 Einleitung

Der Beitrag bezieht sich auf hochausgenutzte permanenterregte Synchronmaschinen mit

Oberflächenmagneten, deren axiale Länge klein gegenüber der Polteilung sein kann.

Mit einer Erhöhung der Ausnutzung des eingesetzten Magnetmaterials, d.h. mit abneh-

mender Luftspaltweite treten zunehmend parasitäre Wirbelströme und Wirbelstromver-

luste in den Permanentmagneten auf. Diese entstehen durch die nutungsbedingten Mo-

dulationen des Polrad- und des Ankerfeldes sowie durch nichtsinusförmige Ankerströ-

me bei Umrichterbetrieb.

Bei der analytischen Berechnung der Wirbelstromverluste ist bisher stets vorausgesetzt

worden, dass die Wirbelströme nur eine axiale Komponente besitzen, dass also die Län-

ge der Permanentmagnete groß gegenüber ihrer Breite bzw. gegenüber der Polteilung

ist. Auf diese Weise entstand ein zweidimensionales Feldproblem [1, 3].

Analog der Blechung weichmagnetischer Kreise lassen sich die Wirbelstromverluste in

den Permanentmagneten durch eine axiale Unterteilung der Permanentmagnete in meh-

rere Teilmagnete reduzieren. In diesem Fall kann bei der analytischen Berechnung nicht

mehr vorausgesetzt werden, dass die Wirbelströme rein axial verlaufen.

Im Folgenden wird ein verfeinertes Modell vorgestellt, bei dem die Wirbelströme neben

einer axialen auch eine tangentiale Komponente besitzen können, wodurch ein dreidi-

mensionales Feldproblem entsteht. Die Magnetlänge kann dann auch klein gegenüber

der Magnetbreite bzw. der Polteilung sein.

2 Definition des Rechenmodells

Bild 1: Rechenmodell

Dieses Modell ist durch folgende idealisierende Annahmen definiert:

• Die Krümmung wird vernachlässigt, so dass von einem ebenen Feldproblem in

Kartesischen Koordinaten ausgegangen werden kann.

• Das Maschinenmodell besteht aus zwei Schichten (Bild 1): Der Luftspalt bildet

die Schicht 1, das Magnetmaterial bildet die Schicht 2.

• Die elektrische Leitfähigkeit κ und die relative Permeabilität des Magnet-

materials sind konstant, d.h., es liegt ein lineares Problem vor. Es gilt das Super-

positionsprinzip.

rµ

• Die Ständeroberfläche ist glatt. Der Einfluss der Nutung wird bereits durch

einen Ersatzstrombelag berücksichtigt.

• Sättigungserscheinungen und Wirbelströme im geblechten Ständer- und Läuferei-

sen werden vernachlässigt. Seine Permeabilität wird als unendlich groß )( Fe ∞=µ

und seine elektrische Leitfähigkeit zu Null )0( Fe =κ angenommen.

• Die Wirbelströme besitzen neben der axialen (z-) Komponente auch eine tangenti-

ale (x-) Komponente. Dadurch entsteht ein dreidimensionales Feldproblem, d.h.

alle drei Komponenten der magnetischen Feldstärke und der magnetischen Fluss-

dichte sind vorhanden.

• Die te Feldwelle wird durch einen Ersatzstrombelag an der Ständerbohrung

angeregt.

−ν

)y( δ−=

Im Fall der zweidimensionalen Wirbelströmung gilt für den Ersatzstrombelag

)txa(cos)z(a)t,z,x(a ,1,1 νννν ω−ϕ= (1)

bzw. als komplexer Augenblickswert

)txa(j,1,1 e)z(a)t,z,x(a νν ω−νν ϕ=

Die Funktion berücksichtigt den Effekt der endlichen Länge der Permanentmagne-

te.

)z(ϕ

3 Axiale Feldverteilung

Für die Berechnung zweidimensionaler Wirbelstromerscheinungen, d.h. für die Erfas-

sung des Effektes der endlichen Länge der Permanentmagnete müssen die axialen Ver-

teilungen der Durchflutung bzw. des anregenden Strombelages und des Vektorpotentia-

les durch eine normierte, möglichst einfache analytische Funktion beschrieben werden.

Da bereits die Berechnung der eindimensionalen Wirbelstromerscheinungen vorwie-

gend auf Hyperbelfunktionen [3] geführt hat, wird für die axialen Feldverteilungen

ebenfalls ein Ansatz mit einer Hyperbelfunktion gewählt:

) (2) l/z(coshe21)z( 2/ η−=ϕ η−

Sie hat den Vorteil, dass ihr Verlauf durch einen Parameter η vollständig gekennzeich-

net wird, s. Bild 2.

Bild 2: Axiale Feldverteilung

Ist die Länge der Magnete groß gegenüber ihrer Breite, so hat der Randeffekt nur ge-

ringen Einfluss, die normierte axiale Feldverteilung nähert sich zunehmend einer

Rechteckfunktion, der Parameter η muss hoch gewählt werden usw.

4 Fourieranalyse der axialen Feldverteilung

So elegant die Approximation der axialen Feldverteilungen durch die Funktion

gemäß Gl. (2) mit ihrem nur einen Parameter )z(ϕ η erscheint, für die Lösung der

Wirbelstromdifferentialgleichung ist sie leider nicht bzw. nicht direkt geeignet. Im

Hinblick auf die Lösung der charakteristischen Gleichung wird eine Approximation der

axialen Feldverteilungen benötigt, die die Forderung

)z(Kz

)z(2

2

ϕ=∂ϕ∂ (3)

erfüllt, wobei K ein reeller Faktor ist. Eine solche Approximation erhält man, wenn

man den Effekt der endlichen Länge der Magnete gemäß Bild 3 als eine unendliche

Folge von in axialer Richtung hintereinander liegenden Permanentmagneten betrachtet.

Bild 3: Axiale Feldverteilung als unendliche Folge

Diese Erweiterung erlaubt die Darstellung der Funktion )z(ϕ als Fourier-Reihe:

)l/z(coshe21)z( 2/ η−=ϕ η− ∑=

m

5,3,1k

k )zbk(coskF

= (4)

Darin ist . l/b π=

Für die Fourier-Koeffizienten gilt:

( 2ksin)k(e)k(4F 22

22

kπ

π+ηπ−η

π=

η− ) , wobei k = 2 g +1 g = 0, 1, 2, ... (5)

Die Fourier-Entwicklung erfüllt die Forderung nach Gl. (3).

Ein Vergleich der Bilder 4a mit 4b und 4c zeigt, dass die Fourier-Approximation umso

besser wird, je mehr Harmonische berücksichtigt werden, d.h. je größer gewählt

wird. Allerdings wächst proportional mit auch der Rechenaufwand, da die Wirbel-

stromverluste für jede Harmonische k gesondert berechnet werden. Insbesondere muss

das Gleichungssystem zur Bestimmung der Integrationskonstanten für jede Harmoni-

sche k gesondert gelöst werden.

maxk

maxk

Allgemein gilt, dass umso mehr Harmonische berücksichtigt werden müssen, je mehr

sich die axiale Feldverteilung einer Rechteckfunktion annähert, d.h. je größer das Ver-

hältnis von Magnetlänge zu Magnetbreite ist. MM b/l

Bild 4: Fourier-Approximation der axialen Feldverteilung )z(ϕ für 20=η

a) bis 7k max =b) bis 13k max =c) bis 19k max =

5 Grundgleichungen und Lösungsansatz

Aus den Maxwellschen Gleichungen für quasistationäre Felder [2] erhält man nach Ein-

führung des Vektorpotentiales gemäß

ArotB = (6)

als Grundgleichungen des Problems

tAA∂∂

µκ=∆ (7)

tAG∂∂

κ−= (8)

Darin ist Laplace-Operator. =∆

Für den Fall zweidimensionaler (axialer und tangentialer) Wirbelströmung muss auch

das Vektorpotential zweidimensional eingeführt werden:

zx AkAiA += 0A y = (9)

Aus der Quellenfreiheit des Vektorpotentials

0z

Ax

AAdiv zx =∂∂

+∂∂

= (10)

folgt noch

zA

xA zx

∂∂

−=∂∂

bzw.

∫ ∂∂

−= xdz

AA z

x (11)

Es genügt also, zunächst die z-Komponente des Vektorpotentiales zu ermitteln.

Nach Einführung komplexer Augenblickswerte gemäß

)txa(j,z,z e)z,y(A)t,z,y,x(A νν ω−νν =

)txa(j,x,x e)z,y(A)t,z,y,x(A νν ω−νν =

(12)

führen die Grundgleichungen auf:

ννννν

ν µκω−=∂

∂+

∂∂

+∂

∂=∆ ,z2

,z2

2,z

2

2,z

2

,z AjzA

yA

xA

A (13)

xdx

AA ,z

,x ∂∂

−= νν ∫ (14)

sowie

νν κω+= ,x,x AjG (15)

νν κω+= ,z,z AjG (16)

Zur Verkürzung der Schreibweise wird auf eine besondere Kennzeichnung der betrach-

teten υ-ten Feldwelle verzichtet, d.h. p,f, τω bezeichnen im Folgenden die Größen der

ten Feldwelle. −ν

Die allgemeinen Lösungen von Gl.(13) lauten für den Bereich des Luftspaltes

( ) )tax(jkk,1kk,1

m

...3,1k

k101,z e)yc(coshD)yc(sinhC)zbk(cos

kF

aaA ω−

=

+µ

= ∑ (17)

und den Bereich des Magnetmaterials

( ) )tax(jkk,2kk,2

m

...3,1k

kr

102,z e)yq(coshD)yq(sinhC)zbk(cos

kF

aaA ω−

=

+µµ

= ∑ (18)

Über die charakteristische Gleichung

2kk

2k

2

k22

k2 cjjcq)bk(qa α−=µκω−=−=−+− (19)

erhält man

( ) ( 2kk

2k

2kk

2

kcj1cjq α−=σ−β= )

( kkkkcjq σ−β= ) (20)

2

11 2k

k

+α+=β (21)

2

11 2k

k

−α+=σ (22)

wobei

2

p2

22k l

k1aabk1a)bk(ac ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τ+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=+= (23)

2k

k cµκω

=α (24)

und

µκω

=δ2 (25)

die Eindringtiefe der betrachteten −ν ten Feldwelle in das Magnetmaterial sowie

und p/a τπ= l/b π= (26)

sind.

Über Gl. (14) erhält man für die x-Komponenten des Vektorpotentiales im Bereich des

Luftspaltes

( ) )tax(jkk,1kk,1

m

...3,1k

k101,x e)yc(coshD)yc(sinhC)zbk(sin

abk

kF

aajA ω−

=

+µ

−= ∑

(27)

und des Magnetmaterials

( ) )tax(jkk,2kk,2

m

...3,1k

kr

102,x e)yq(coshD)yq(sinhC)zbk(sin

abk

kF

aajA ω−

=

+µµ

−= ∑ (28)

6 Flussdichteverteilungen

Über Gl.(6) erhält man aus der Verteilung des Vektorpotentiales die x-, y- und z-

Komponenten der magnetischen Flussdichte. Für den Bereich des Magnetmaterials er-

hält man:

( ) )tax(jkk,2kk,2

m

...3,1k

kkr102,x e)yq(sinhD)yq(coshC)zbk(cos

aq

kFaB ω−

=

+µµ= ∑ (29)

( ) )tax(jkk,2kk,2

m

...3,1k

2k

r102,y e)yq(coshD)yq(sinhC)zbk(cosabk1

kFajB ω−

=

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+µµ−= ∑

(30)

( ) )tax(jkk,2kk,2

m

...3,1k

kkr102,z e)yq(sinhD)yq(coshC)zbk(sin

abk

aq

kFajB ω−

=

+µµ= ∑ (31)

7 Bestimmungen der Integrationskonstanten

Die Integrationskonstanten bestimmen sich aus den Randbedingungen des Problems:

• An der Grenzfläche Ständereisen – Luftspalt )y( δ−= muss wegen die

Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke gleich dem Ersatzstrombelag

sein.

∞=µ Fe

• An der Grenzfläche Luftspalt-Permanentmagnet (y = 0) müssen die Tangential-

komponente der magnetischen Feldstärke und die Normalkomponente der magne-

tischen Flussdichte stetig übergehen.

• An der Grenzfläche Permanentmagnet-Läufereisen (y = h) muss wegen ∞=µ Fe

die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke Null sein.

Man erhält folgende Bestimmungsgleichungen:

( 1)c(sinhD)c(coshCac

kk,1kk,1k =δ−δ )

0Ccq

C k,2k

kk,1 =−

(32)

0DD k,2rk,1 =µ−

0)hq(sinhD)hq(coshCkk,2kk,2 =+

Dieses Gleichungssystem lässt sich in Matrizenschreibweise darstellen und sehr effektiv

lösen. Es muss für jede berücksichtigte Harmonische k der axialen Feldverteilung ge-

sondert gelöst werden.

8 Verteilung der Wirbelstromdichte

Die Verteilung der Wirbelstromdichte im Magnetmaterial erhält man aus der Verteilung

des Vektorpotentials über die Gln. (15) und (16)

( ) )tax(jkk,2kk,2

m

...3,1k

k1x e)yq(coshD)yq(sinhC)zbk(sin

abk

kF

aaG ω−

=

+µκω+= ∑

(33)

( ) )tax(jkk,2kk,2

m

...3,1k

k1z e)yq(coshD)yq(sinhC)zbk(cos

kF

aajG ω−

=

+µκω+= ∑

(34)

9 Wirbelstromverluste

Die Wirbelstromverluste im Magnetmaterial werden zweckmäßig über den Poynting-

schen Vektor [2], den Vektor der Energieflussdichte ermittelt.

[ ]*HERe

21S

rrr×= (35)

Darin ist *H der konjugiert komplexe Wert von H. Über den Gauß´schen Integralsatz

erhält man, dass der Energiefluss über die Oberfläche des Magnetvolumens den Wir-

belstromverlusten in den Permanentmagneten entspricht.

[ ]∫ ⋅×=MA

*w AdHERe

21P

rrr (36)

Da die x- und die z-Komponente des Poyntingschen Vektors keinen Beitrag zum Ober-

flächenintegral liefern und außerdem die Tangentialkomponente der magnetischen

Feldstärke an der Grenzfläche Permanentmagnet-Läufereisen Null sind, führt Gl. (36)

über

[ dzdxBGBGRe21lp2P 0y

*2,zx

*2,xz

2/l

2/l 0r0w

i

i

p

=−

τ

⋅−⋅⋅µµκ

ν−= ∫ ∫ ] (37)

schließlich auf

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛µµταν−= ∑

=k,2

*k,2

*

k2m

...3,1k

2k

r02

1ppw DCa

qjRe

abk1

kF

21falzp2P

(38)

In Gl. (38) sind f die Frequenz, pτ die Polteilung und die Amplitude des Ersatz-

strombelages der gerade betrachteten

1a

ten−ν Feldwelle in Umfangsrichtung, z ist die

Anzahl der Teilmagnete in axialer Richtung.

Eine ausführliche Darstellung der Theorie wird in [4] gegeben.

10 Ermittlung des Ersatzstrombelages

Bei der Berechnung der Wirbelstromerscheinungen war vorausgesetzt worden, dass die

betrachtete Feldwelle durch einen Ersatzstrombelag an der Ständerbohrung ge-

mäß Gl. (1) angeregt wird. Im Folgenden wird die Ermittlung dieses Ersatzstrombelages

skizziert:

te−ν

In der Theorie elektrischer Maschinen [6] wird das magnetische Luftspaltfeld üblicher-

weise als Produkt einer Durchflutungswelle und einer magnetischen Leitwertwelle dar-

gestellt. Für die Radialkomponente des Ankerfeldes am Radius lässt sich z.B. anset-

zen:

0r

)r,()t,()t,r,(B 0111011 γλ⋅γϑ=γ (39)

Die Anschrift der Durchflutungswelle bereitet im Allgemeinen keine Probleme. Bei

Speisung einer symmetrischen Drehstromwicklung mit sinusförmigem Drehstrom der

Frequenz f gilt für die entstehende Durchflutungswelle in Ständerkoordinaten :1γ

∑µ

µ ω−γµϑ=γϑ )t(cosˆ)t,( 1,111 (40)

wobei

1,11

,1 I21p2

w423ˆ

µ

ξ

π=ϑ µ

µ ,

g = 0, 1, 2, ... g61 ±=µ

und

mechpf2 ω=π=ω

sind.

Erhebliche Schwierigkeiten bereitet dagegen die Anschrift der magnetischen Leitwert-

funktion des einseitig genuteten Luftspaltes. Es lässt sich zunächst nur sagen, dass sie

vom betrachteten Radius abhängt und periodisch mit ist, so sie sich als Fou-

rierreihe darstellen lässt:

0r p/N1

(41) ∑ γλλ=γλi

10i,rel001 )i(cos)r(ˆ)r,(

wobei

r

00 /h µ+δ

µ=λ

r

(42)

(δ = Luftspaltlänge, h = Magnethöhe, µ = rel. Permeabilität des Magnetmaterials) und

gp

Ni 1=

)r,( 01

g = 0, 1, 2, ...

sind. Die Ermittlung der magnetischen Leitwertfunktion γλ kann entweder rein

analytisch mittels konformer Abbildung [7] oder über eine numerische Feldberechnung

erfolgen.

Bild 5 und Tabelle 1 zeigen eine Gegenüberstellung der Ergebnisse der analytisch und

der numerisch berechneten Leitwertfunktion für dRr i,s0 −= ( ;

d = 0,5 mm ;

erhält man:

t

(44)

mm90R i,s =

=i,sR

2

Ständerbohrungsradius) [5]. Man erkennt, dass das klassische

Verfahren [7] der konformen Abbildung, das nur einen Bruchteil der Rechenzeit einer

FEM-Berechnung benötigt, sehr genaue Ergebnisse liefert.

Für die Berechnung der Wirbelströme wird die Radialkomponente des Ankerfeldes im

läuferbezogenen Koordinatensystem γ benötigt. Mit Hilfe des Zusammenhanges

( )( )t)1n(ncos)t)1m(m(cosB)t, 2n,12m,1021 ω−+γ+ω−+γ=γ ∑r,(B

( )( )⎥⎦

⎢⎣

⎡ω+γλ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡γµϑλ=γ ∑∑

µµ

i20i,rel2,10021 ticos)r(ˆ)(cosˆ)t,r,(B

pt mech221 ω+γ=ω+γ=γ

i∑

µ

(43)

B

⎤

Gegenüberstellung von analytischer und FEM-Berechnung

Bild 5: Verlauf der magnetischen Leitwertfunktion bei d = 0,5 mm

Jede Kombination von und i ergibt zwei Drehfelder mit den Ordnungszahlen µ und im −µ= in +µ= . Beide Drehfelder haben die gleiche Amplitude

)r(ˆˆ21)r(B)r(B 0i,rel010n,10m,1 λλϑ== µ (45)

Für ihre Drehfrequenzen und Polteilungen gilt:

f)1n(ff)1m(f nm −=−= m/ppm τ=τ n/ppn τ=τ

Anschließend werden die Amplituden dieser Drehfelder mit dem vorgestellten

Wirbelstrommodell an der Stelle dyr 00 +δ−== und 0z0 = berechnet.

Man erhält: ννν µ= Na)z,y(B ,1000,y

wobei

( ))yc(coshD)yc(sinhCac

kFN 0kk10kk1

2k

m

...3,1k

k +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

=ν

Durch Gleichsetzen der nach beiden Wegen berechneten Amplituden der Drehfelder an

der Stelle erhält man die Amplituden der Ersatzstrombeläge: 00 yr =

ν

νν µ=

N)r(B

a0

0,1,1 (46)

In analoger Weise werden die anregenden Feldwellen des Polradfeldes ermittelt.

Literatur [1] Heil, J.: Auslegung und Betriebsverhalten von permanenterregten Synchronmaschinen mit

maschinenkommutiertem Frequenzumrichter. Diss. TH Darmstadt, 1990

[2] Wunsch, G.: Feldtheorie, Bd. I und II. Verlag Technik, Berlin 1976

[3] Beckert, U.: Berechnung der Wirbelstromverluste in den Permanentmagneten von hochtourigen PM-Synchronmaschinen. antriebstechnik 45(2006), H. 11, S. 42-45

[4] Beckert, U.: Modell und Algorithmus zur analytischen Berechnung zweidimensionaler Wirbel-stromerscheinungen in den Permanentmagneten von PM-Synchronmaschinen. Forsch.Ber. IfE TU BAF 2006

[5] Arnold, H.; Beckert, U.: Analytische Berechnung der nutungsbedingten Modulation des Luft-spaltfeldes von PM-Synchronmaschinen.

Forsch.Ber. IfE TU BAF 2006 [6] Müller; G.: Theorie elektrischer Maschinen. VCH-Verlagsgesellschaft, Weinheim 1995 [7] Ollendorff, F.: Berechnung magnetischer Felder Springer Verlag, Wien 1952

Wichtigste Formelzeichen A m/Vs magnetisches Vektorpotential

11 a,a m/A Ersatz-Strombelag

B,B T magnetische Flussdichte

D,C Integrationskonstante

E m/V elektrische Feldstärke

f Hz Frequenz

G 2m/A Wirbelstromdichte

H m/A magnetische Feldstärke

k Ordnungszahl der axialen Harmonischen

il m Magnetlänge

p Polpaarzahl

wP W Wirbelstromverluste

S 2m/W Poynting´sche Vektor

t s Zeit

z,y,x m kartesische Koordinaten im läuferfesten Sys-tem

z Anzahl der Teilmagnete

pα Polbedeckungsfaktor

δ , iδ m Luftspaltlänge, ideelle Luftspaltlänge

δ m Eindringtiefe

∆ Laplace-Operator

κ m/S elektrische Leitfähigkeit des Magnetmaterials

rel, λλ magnetischer Leitwert, relativer Leitwert

µ Am/Vs Permeabilität

0µ , Feµ Am/Vs Permeabilität des Vakuums, d.Dynamobleches

rµ relative Permeabilität des Magnetmaterials

ν Ordnungszahl der Harmonischen

pτ m Polteilung

ω s/1 Kreisfrequenz

i,relλ g

i FEM analytisch

0 0 0.9874 0.9884

1 24 -0.1229 -0.1158

2 48 -0.1336 -0.1293

3 72 -0.0781 -0.0787

4 96 -0.0145 -0.0180

5 120 0.0206 0.0184

6 144 0.0234 0.0245

Tabelle 1:

Vergleich der Fourier-Koeffizienten der magnetischen Leitwertfunktion von FEM- und analytischer Berechnung (d = 0,5 mm)