tragwerkslehre.TU.Skript

5/13/2018 tragwerkslehre.TU.Skript - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/tragwerkslehretuskript 1/88

._.

Institut fUr Architekturwissenschaften:

Tragwerksplanung und Ingenieurholzbau

o.Univ.Prof. DDI W.Winter

Technische Universitat Wien

http://www.iti.tuwien.ac.at

T lJW lEN

Tragwerkslehre Einfuhrung

Studienunterlagen

zur Vorlesung

1. Einleitung

2. Krafte I Lasten im Hochbau

3. EinfOhrung in die Statik

4. Gleichgewicht I Auflager

5. SchnittgroBen

6. EinfOhrung in die Festigkeitslehre I

Materialeigenschaften

http://www.iti.tuwien.ac.at/

http://www.iti.tuwien.ac.at/



r



_ Institut fUr

L-Architekturwissenschaften:

rTragwerksplanung und

_ Ingenieurhol:zbau

Teil 6:

6.1

6.2

6 . 3

6.4

6 . 5

6.6

6.7

Einflihrung in die Festigkeitslehre I Materialeigenschaften

Normalspannung I Dehnung 6-1Definition der Normalspannungen zufolge Druck und Zug /

Definition der Dehnung / Definition der

Biegenormalspannungen

Arbeitslinie, Elastizitatsmodul 6-4Stahl/Beton / Holz / Glas

Schubspannung 6-7

Schubmodul 6-8

Warmedehnzahl 6-9

Tabelle 6-10

Literaturverzeichnis 6-10

_ .

3. Auflage: September 2007

FOrden Inhalt verantwortlich:

Kamyar TAVOUSSI

II Tragwerkslehre Einfuhrung



INHALTSVERZEICHNIS

Tragwerkslehre EinfOhrung

Teili:

1.1

1.2

1.3

1.4

Teil2:

2.1

2.2

2 . 3

Teil3:

3.1

3 . 2

3 . 3. . .

Teil4:

4.14.2

4.3

4.4

4.5

4.6

1.5

1.6

Einleitung

Geschichte der Statik............................................................. 1-1

Bauwerk und Tragwerk.......................................................... 1-3

Aufgaben des Tragwerkes..................................................... 1-4

Klassifizierung von Tragwerken 1-5Klassifizierung nach ihrem Material / Klassifizierung nach ihrer

Form / KJassifizierung nach ihrer Nutzung / Klassifizierung nach

inter mechanischen 8eanspruchung

Erforderliche Nachweise in der Tragwerkslehre 1-12

Uteraturverzeichnis................................................................ 1-12

Krafte I Lasten im Hochbau

Physikalische Definition der Kraft .. 2-1Der Begriff Kraft / Die Newtonschen Gesetze in der Krliftelehre /

Dimension und Einheit von Kraften

Klassifizierung der Lasten...................................................... 2-2Einteilung nach der Richtung / Einteilung nach der Verteilung /

Einteilung nach der Dauer / Einteilung nach der Ursache

Uteraturverzeichnis....................... 2-12

Einfiihrung in die Statik

EinfOhrung in die graphische Statik 3-1Darstellung von Kniften / Axiome in der Kraftelehre /

Kraftezusammensetzung / Kraftzerlegung / G/eichgewicht von

Kraften

EinfOhrung in die analytische Statik....................................... 3-8Kraftezusammensetzung / Kraftzerlegung / Gleichgewicht von

Kraften / Kraflepaar. Moment

Literaturverzeichnis.................... 3-14

Gleichgewicht I Auflager

Gleichgewicht 4-1

Funktion der Auflager 4-2

Auflagerarten 4-3Eingespanntes- / unverschiebliches Auf/ager /

verschiebliches Auflager

Statische Bestimmtheit 4-7

Ermittlung von Auflagerkraften 4-10Grafische Ermitt lung / analytische Ermitt lung

Literaturverzeichnis................................................................ 4-11

Teil 5: SchnittgroBen5.1 Bestimmung der Schnittgrol1en 5-1

AI/gemeines / System und Krafle in einer Ebene /

System und Krafle nicht in einer Ebene / SchnittgroBenverlaufe

als Kurvendiskussion / Zusammenhang zwischen Belastung und

SchnittgroBenverlaufe / Zusammenhang zwischen

SchnittgrOBenverlaufe und Tragergeometrie

5.2 Schnittgn511enberechnung an ausqswahlten statisch

bestimmten Systemen 5-11Geneigte Trager / Geknickte Trljger / Gerbertrager /

Dreigelenktragwerke / Stotzlinienkonstruktion I Fachwerke

5.3 Tabellen fOr Einfeldtrager 5-23

5.4 Uteraturverzeichnis................................................................ 5-24

Tragwerkslehre EinfOhrung



_ Institut fOr


r-Tragwerksplanung und

_ IngenieurholzbauEINlEITUNG 1

Teil 1: Einleitung

1.1 GESCHICHTE DER STATIK1.2 BAUWERK UNOTRAGWERK

1.3 AUFGABEN DES TRAGWERKES1.4 KLASSIFIZIERUNG VON TRAGWERKEN1.5 ERFORDERLICHE NACHWEISE IN DER TRAGWERKSLEHRE

1.6 LITERA TURVERZEICHNIS

'.

1.1 GESCHICHTE DER STATIK

Die Tragwerkslehre ist eng mit Statik (die Lehre von Gleichgewicht; ein Zweig der

technischen Mechanik) verbunden.

Die UrsprOnge der technischen Mechanik im wissenschaftlichen Sinn liegen in den

Arbeiten der Universalgelehrten der Renaissance.

Wenn jemand den Titel Vater der modernen Mechanik verdient, dann ist es Galilei,

der in Pisa, Padua und Florenz Mathematik lehrte, aber vor allem auch durch seine

Entdeckungen und Beobachtungen im Bereich der Physik und Astronomie berOhmt

geworden ist. Er veroffentllchte und diskutierte seine astronomischen

Beobachtungen 1632 in seinem berOhmten .Dialoqo de due massimi sistemi del

mondo" (Dialog Ober die beiden hauptsachlichen Weltsysteme) und fOhrte sie als

Beleg fOr das Kopernikanische heliozentrische Weltsystem an.

In der Neuzeit (17. bis19. Jahrhundert) erarbeiteten Naturwissenschaftler die

Grundlagen der heute noch gOitigen Regeln der technischen Mathematik.

Insbesondere waren dies Angehorige der "Royal Society", sowie der "Ecole des

Ponts et Chaussees".

Zu den bedeutendsten Namen gehoren:

Isaac Newton, Robert Hooke, Thomas Young, Augustin Cauchy, Henri Navier,

Simeon D. POisson, Leonhard Euler.

,"

Tragwerlcslehre Einffihrung 1-1



_ Institut fO r

Architekturwissenschaflen;

Tragwerksplanung und

_ Ingenieurholzbau

[1]

Chronologische Obersicht zur Entwicklung der Statik:

. . . . .""

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1-2 Tragwerkslehre Einfiihrung



EINLEITUNG 1

1.2 BAUWERK UNO TRAGWERK

Das Bauwerk ist die Summe aller Bauteile. Bauteile konnen sein:

• Tragende Bauteile (Stotzen, Balken, Decken, ... );

• Trennende Bauteile (Wande, Decken);

• Dichtende Bauteile (Dach, insbesondere Flachdach);

• Ent- und versorgende Bauteile (Leitungen, Schachte).

Tragende Bauteile sind Tragwerkselemente. Das Tragwerk ist die Summe aller

Tragwerkselemente (tragender Bauteile) .

.

<_

. "

Tragwerkslehre Elnfiihrung 1-3



_ lnstitut fOr

1-1 Architekturwissenschaften:

r-' Tragwerl<splanung und

_ lngemeurholzbau

i 1.3

j Ein Tragwerk des Hochbaues hat folgende Grundaufgaben zu losen:

I, .

III •

AUFGABEN DES TRAGWERKES

Oberspannen:

Durch das "Oberspannen" wird der obere Raumabschluss (horizontal, geneigt

oder gekriimmt) hergestellt.

• Stotzen:

Bauteile, die im Tragwerk die Aufgabe "StOtzen" Obernehmen, werden im

Aligemeinen auf Druck beansprucht.

Aussteifen:

Die Aussteifung ist erforderlich, um die sichere Ableitung der auf das Gebaude

einwirkenden horizontalen Lasten zu gewahrleisten (siehe auch TeiIS).

Grunden:

Die Grundung hat die aus dem Bauwerk kommenden Lasten in den Baugrund

Oberzuleiten. Dabei unterscheidet man zwischen FlachgrOndungen

(Einzelfundamente, Streifenfundamente, Plattenfundamente) und

TiefengrOndungen (Pfahlgriindung).

.'

G) stotzen[2 }

C D (2 ) 0berspannen Aussteifen Grunden

10 Houpttrager 30 Dochverband 40 Einzelfundomentlb Nebentrager 3b Wondverband 4b Pfahlgrundung

1-4 Tragwerkslehre Einfuhrung



EINLEITUNG 1

1.4 KLASSIFIZIERUNG VON TRAGWERKSELEMENTENITRAGWERKEN

Eine Zusammenfassung von TragwerkselementenlTragwerken erfordert ein

Ordnungskriterium, eine Klassifizierung. Die Vorgaben, nach denen ein solches

Ordnungskriterium aufgestellt werden konnte, sind sehr vielfaltig und Oberschneiden

sich teilweise, so dass eine einheitliche und allgemein verbindliche Klassifizierungnicht existiert. Es werden deshalb im Foigenden mehrere Moglichkeiten vorgestellt:

• Klassifizierung der TragwerkselementelTragwerke nach ihrem Material;

• Klassifizierung der TragwerkselementelTragwerke nach ihrer Form;

• Klassifizierung der TragwerkselementelTragwerke nach ihrer mechanischen

Beanspruchung;

• Klassifizierung der TragwerkselementelTragwerke nach ihrer Nutzung.

1.4.1 Klassifizierung der TragwerkselementelTragwerke nach ihrem Material

Das Tragsystem und Material bilden eine Einheit - eben das Tragwerk. Es liegtdaher nahe, TragwerkselementelTragwerke nicht nur nach den ihnen zugrunde

liegenden Tragsystemen zu ordnen, sondern auch nach ihren Materialen. Die

klassischen Baumaterialien sind Mauerwerk, Holz, Stahlbeton und Stahl. Hinzu

kommen noch Mischbauweisen wie z. B. der Verbundbau, der weder dem

Stahlbetonbau noch dem Stahlbau eindeutig zuzuordnen ist. Es empfiehlt sich

daher folgende Aufteilung:

• TragwerkselementelTragwerke aus Holz;

• TragwerkseJementelTragwerke aus Stahl;

• TragwerkselementelTragwerke aus Stahlbeton;

• TragwerkselementelTragwerke aus Mauerwerk;

• TragwerkselementelTragwerke aus Verbundkonstruktionen;

• Sonderkonstruktionen wie Membrantragwerke.

Tragwerkslehre Einfiihrung 1·5



_ InstitutfOr

II.- Arch ilekturwissenschaften:

r- Tragwerksplanung und

_ Ingenieurholzbau

[3]

1.4.2 Klassifizierung der TragwerkselementelTragwerke nach ihrer Form

Dazu konnen drei Hauptgruppen gebildet werden:

• Kontinua;

• Flachige Tagwerkselemente, Flachentragwerke;

• Stabformiqe Tragwerkselemente, stabfermige Tragwerke.

1.4.2.1 Kontinua

Bel den Kontinua handelt es sich um massige Bauwerke wie z.B. Pyramiden und

Staudarnrne, bei denen aile drei Abmessungen (Lange, Hehe und Breite) des

Tragwerks von gleicher GreBenordnung sind: Der Lastabtrag geschieht durch Zug-

und Druckkratte.

1.4.2.2 Flachige Tragwerkselemente, Flachentragwerke

Ebene, flachige Tagwerkselemente sind Scheiben und Platten.

Scheiben werden tangential zu ihrer Ebene durch Zug- oder Druekkrafte

beansprucht.

Platten werden senkrecht (normal) zu ihrer Ebene beansprucht, sie biegen sich.

r.i«bI~

1-61 Tragwerkslehre ElnfOhrung

I



EINLEITUNG 1Die Kombination dieser beiden Tragwirkungen fOhrt zum Faltwerk, einer gefalteten

Ebene.

'.Zu den leichten, gekrOrnrnten Flachentragwerken zahlen wir pneurnatischeKonstruktionen (Traglufthallen), Zelte und Seilnetze.

Urn den Flachen von Zelten und Seilnetzen eine ausreichende Stabilitat zu

verleihen, sind sie in der Regel doppelt und gegensinnig gekrOrnmt.

[2 ]

[4 ]

Tragwerk&lehre Einfilhrung 1·1



_ Institut fUr

LArchitekturwissenschaften;. . - 1 Tragwerksplanung und

_ Ingenieurholzbau

[l]

[2 J

Schwere, gekrOmmte Flachentragwerke sind meistens Schalen, die auch wieder

einfach oder doppelt gekrOmmt sein konnen,

[3 ]

1.4.2.3 Stabformige Tragwerkselemente, stabformige Tragwerke

Gerade, hauptsachllch durch eine Druckkraft beanspruchte Stabs dienen als

StOtzen.

T

J ~ ~ <~ . .~~

b,h«l

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1-8! Tragwerkslehre ElnfOhrung

II



EINLEITUNG 1Die so genannte HangestUtze bildet eine Ausnahrne. in dern nur Zugkrafte auftreten

k6nnen.

ZUGSTAB

Stabe, die vorwiegend durch Biegung beansprucht werden, bezeichnen wir als

Trager oder Balken.

Beispiel fOr den Einsatz von Balken in einern Tragwerk:

+Bolken

(Fenstersturz]

SIahlbeton

[ 5 ]

[4]

[3 ]

[2]

Tragwerkslehre Elnffihrung 1-9



_ Inslilut fOr

II-. Archltektorwtssenscheften:


_ Ingenieurholzbau

[2]

[2 ]

[4 ] !

[2]

B alke n und S to tze n ke nnan z u R ahm en z usamme nge fO gt w erde n:

biegesteife Ede /

B alke n ko nne n auc h z u raum tle h a usge de hnte n T raqe rro ste n z usamme nge fO gt

w erd en, d ie a hnlic he E ig ensc ha fte n w ie P la tte n a ufw eise n:

G e krOmmte , sta bf6 rm ig e T ra gw erke sind vo rw ie ge nd d urc h D ruc kkra fte

b ea nsp ruc hte B og en .

:

1·10 Tragwerkslehre ElnfOhrung



EINLEJTUNG 1Seile sind je nach Belastungsart gerade oder gekrGmmte Elemente, die auf Zug

beansprucht werden.

. __ r __ ~~ .

~.._.. _.~..lr - ' - - - -'1L _J

1.4.3Klassifizierung der Tragwerke nach ihrer ~utzung

Eine Klassifizierung der Tragwerke nach ihrer Nutzungsart soli sich

architektengerecht, weitgehend auf die spatere Gebaudenutzung beziehen. Das

fGhrt bei der Vielfalt der Gebaudenutzungen zwangslaufig zu einer sehr groben

Unterteilung. Ais vorteilhaft hat sich das Einordnen in zwei Hauptgruppen erwiesen:

Geschol1bau und Hallenbau.

• Geschol1bau:

'.

• Zellenstruktur (Mauerwerk);

• Schottenbau;

• Grol1tafelbau;

• Skelettbau;

• Hangesysteme .

• Hallenbau:

• Fertigungshallen: StGtzen - Binder - Systeme, Fachwerksysteme,Rahmensysteme;

• Flugzeughallen: Bogensysteme, Fachwerksysteme, Seilsysteme;

• Ausstellungshallen: Tragerrostsysteme, Rahmensysteme,

Fachwerksysteme;

• Sportstatten: StGtzen - Binder - Systeme, Fachwerksysteme,Rahmensysteme, Traglufthallen (Pneus);

• Triounendacher: Fachwerksysteme, Seilsysteme, Zeltdacher, Schalen.

1.4.4Klassifizierung der Tragwerke nach ihrer mechanischen Beanspruchung

[2]

Tragwerkslehre ElnfOhrung 1-11



_ lnstitut filr

II-Archileklurwissenschaften:

... Tragwerksplanung und

_ Ingenieurholzbau

11.5

! In der Tragwerkslehre sind mit Kenntnis auftretender Lasten folgende drei, Nachweise zu fOhren:,

I •I

ERFORDERLICHE NACHWEISE IN DER TRAGWERKSLEHRE

Tragsicherheitsnachweis (Tragsicherheit):

Es muss nachgewiesen werden, dass das Tragwerk und aile seine Teile

wahrend der Errichtung und der geplanten Nutzungsdauer gegen Versagen

gesichert ist;

• Gebrauchstauglichkeitsnachweis (Gebrauchssicherheit):

Nachweis, dass die Nutzung nicht durch zu groBe Verformungen bzw. sonstige

I • ~::~:::Ii::~:=:e::~i:~:~t~) beeintrachtigt wird;

I Es ist nachzuweisen, dass sich durch z.B. Abnutzung, Korrosion und

IMaterialermOdung die Tragsicherheit und die Gebrauchssicherheit nicht

beeintrachtigt werden.


[1] Praktische Baustatik 1; Werner; B.G. Teubner Verlag; 1994

[2] Tragwerkslehre; Leicher; Werner Verlag; 2002

i [3] Tragwerksarten; Fachbereich Bauingenieurwesen; Universitat-

Gesamthochschule Siegen;

http://www.uni-siegen.de/deptlfb10/baukonstruktionslehre/

baukonstru ktion/stichwortskript.htm

[4] Godden Structural Engineering Slide Library; nisee; University of California,

Berkeley

http://nisee.berkeley.edu/godden

[5] Baukonstruktion; Dierks, Schneider, Wormuth; Werner Verlag; 1993

1-121 Tragwerkslehre Einfilhrung

I







_ lnstitut riir


r"" Tragwerksplanung und

_ lngenieurholzbau KRAFTE I L AST E N 1M H OC HB AU 1 2Teil 2: Krafte Ilasten im Hochbau

2.1 PHYSIKALISCHE DEFINITION DER KRAFT

2.2 KLASSIFIZIERUNGEN DER LASTEN

2.3 UTERATURVERZEICHNIS

2.1 PHYSIKALISCHE DEFINITION DER KRAFT

2.1.1 Der Begriff Kraft

Kraft = physikalische GrOBe, die nur in ihren Wirkungen begreifbar ist.

2.1.2 Die Newtonschen Gesetze in der Kraftelehre

1. Newtonsches Gesetz = Tragheitsgesetz:

Jeder Kerper bleibt im Zustand der Ruhe oder gleichfermigen Bewegung,

solange keine einwirkenden Krafte diesen Zustand andern.

2. Newtonsches Gesetz = Grundgesetz der Mechanik:

Kraft = Masse x Beschleunigung

F= m·a

3. Newtonsches Gesetz "Actio est reactio":

Zwei Krafte, gleiche Wirkungslinie, gleich groB, entgegengesetzt gerichtet.

Actio Actio

'-

Reac tio Reac tio

2.1.3 Dimension und Einheit von Kraften

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt:

F=m -a

a... Erdbeschleunigung 9,81~.m/s2

Gewichtskraft einer Masse von 1 kg:

F = 1 ·9,81 kg·m·s·2:::: 10 kg·m·s-2

Einheit der Kraft:

In der Praxis:

1 N = 1 kg.m·s-2 = 1 Newton

1 kN = 1 Kilonewton = 103Newton

1 MN = 1 Meganewton = 106 Newton

1 kp = 1 Kilopond = 10 Newton)Alte Einheit:

[1 ]




_ Institut fUr

.._ ArchUeklurwissenschaften:

.... Tragwerksplanung und

_ Ingenieurholzbau

(,1]

[1 ]

2.2 KLASSIFIZIERUNG DER LASTEN

Lasten sind aile Krafie, die auf ein Bauwerk einwirken. Die Absehatzunq der

tatsachlich auftretenden Lasten eines Bauwerkes ist der erste Schritt einer stati-

schen Berechnung. Zu grol1e Lastannahmen fOhren zu einer Oberdimensionierung

der Bauteile und dadurch zu einer Verteuerung; zu geringe Annahmen fOhren zueiner unzureichenden Dimensionierung von Bauteilen und infolge dessen zu

unzulasslqen Durchbiegungen, Bauschaden oder auch zum Einsturz.

Es mOssen sowohl aile Einzelbauteile wie Balken, StOtzen und Wande, wie auch

das gesamte Bauwerk so konstruiert sein, dass die Lasten ohne Einschrankung der

Standsicherheit und der Gebrauchstauglichkeit aufgenommen und letztendlich in

den Baugrund abgeleitet werden konnen.

Tragwerkstei l /Element

- Laste rm it tl ung fur d ie B emessung

(Dimens ionie rung ) od er Na chweis fU h rung

e inze lne r Bauwe rks te il e

Gesamttragwerk

- Laste rm ittlung fO r de n

N ac hw eis d er S tan d-sicherhei t (Stabi lis ierung)

d es g es am te n B auwe rk es

G ge sam te

V-lasten

R ."

2.2.1 Einteilung nach der Richtung

I vertikale Lasten I (L as te n a us....--- -.J Erdanziehung)

- E ig e nla ste n

- N utz la ste n

- S ch ne e /E is

2 - 2 1 Tragwerkslehre Einffihrung

I horizontale Lasten I ( langs-I~.----- --...J Querrichtung)

-Wind

- E rd druc k

- B remsk rift e

- E rd be be n

I beliebig gerichtete Lasten

- in ve rtikale und ho riz ontaJe

K om po ne nte n z erle ge n!



KRAFTE I LASTEN 1MHOCHBAU 22.2.2 Einteilung nach der Verteilung

I(Raumlast,

. _ _ K _ o _ r p _ e _ r I _ a _ s t _ . . . J " Wichte)

- Kraft pro Volumeneinheit

- aus Dichte (Masse) undErdanziehung resultierend

I Flachenlast I- Kraft pro Flacheneinhei t

- z . B. Deckeneigenlasten

I Linienlast I (Streck enlastLaufmeterlast)

- Kraft pro Uingeneinhei t

- z .B . E ig enla st e ine r W a nd

I Punktlast I (Einzellast)

- Kraft (o hne B ez ug )

- z .B , Eige nlast e ine r S tO tz e

B eispie l fO r S tahlbe ton (M aB e in e m):

KOrperlast ( W ic hte )

Decke_

Dimension

k N / m ~

I c N / m

Flol iehenlast

25.0.16 = 4 kN/m2

Wand

Linienlast

25·0,2·3 = 15kN/m

StOtze

Punktlast

25·0,2·0,3 .3 = 4,5 kN

(Beispiel Stahlbeton)

[1 ]

[1 ]

Tragwerkslehre Einfuhrung 2.a



_ Institut fOr

.._ Architekturwissenschaften:


_ Ingenieurholzbau

Beispiel fOr die LastObertragung zwischen den einzelnen Bauteilen:

AUI---- Flachenlast

U-_---Linienlast

Einzellast (Punktlast)

R

I I I I I I I I I I Il . L lf 1

Einzellast (Punktlast)

, Beispiele fOr Verteilung von Linienlasten:

[1 ]

1

Rech teddas t

Dreiecklast

1

be l ieb ig ver te i lt e

Last

• x

L L

2-4 Tragwerkslehre Einfiihrung



KRAFTE I LASTEN 1MHOCHBAU 2

2.2.3 Einteilung nach der Dauer

LI_st_a_n_d_ig_e_L_as_te_n _ _ _ . 1 ( st ati sche l as ten )

- E ig e nla ste n

- ( Erdd ru ck )

v era nd e rlic he L as te n (Verkehrslasten)

. . . . , _ - - - - 1 ~ v orw ie ge nd ruh en d (sta tisc h)

* - Nu tz la ste n ( Pe rs one n , Mobilia r,

L ag e rg ut. F a hr ze uge )

- W i nd la ste n

- Eis/Schnee /Wasserdruck /Erddruck

'__--I~ nic ht v orw ie ge nd ru he nd (d yn am isc h)

- sc hw in ge nd e L aste n (M asc hin en )

- sto 6a rtig e la ste n (P ra llst0 6e , D ru cks t6 6e .

Bremskrafte ... )

- s to ch as tis ch e L as te n (E rd be be n)

* o ft a uc h a ls V e rk eh rs la ste n b ez e ic hn et

2.2.4 Einteilung nach der Ursache

-, I aus Bauwe rk /T ragwe rk

- E ig e nl as te n

I aus Nutzung/Funk tion

- Nu tz la ste n ( Ve rk e hr sla ste n )

- Wasse rd ru ck

aus K lim a

-Wind

- E is /S ch ne e

- T empe ra tu r

aus Umgebun g

- E rdd ru ck

- E rd be be n, B o de ns en ku ng

I aus Sonde ru rsachen

- E xplo s ion en

- P ra il st0 6e

- Brand

1m Folgenden wird auf die wichtigsten Lasten naher e ingegangen.

[1]

_-tragwerkslehre Einflihrung 2·5



_ Institut fUr


.. .. . Tragwerksplanung und

_ Inqenieurholzbau

2.2.4.1 Eigenlasten

Eigenlasten sind aile Lasten aus der Konstruktion des Gebaudes, Diese Lasten sind

vertikale Lasten.

Mit Kenntnis der Korperlast (Wichte, Raumlast) I I Y " eines Baustoffes, sowie des

Bauteilvolumens "V" lasst sich das Eigengewicht eines Bauteiles oder eines ganzen

Bauwerkes uberschlaqiq ermitteln.

G=y.V

G Eigengewicht des Bauteiles I Bauwerkes als Einzellast [kN]

y .Korperlast (Wichte, Raumlast) des Bauteiles [kN/m3J

V Bauteilvolumen [m31

g= y. d

g Eigengewicht des Bauteiles I Bauwerkes als Flachenlast [kN/m2

J

]I Korperlast (Wichte, Raumlast) des Bauteiles [kN/m31

d Bauteildicke [m}

Foigend sind einige Beispiele fOr Korperlasten (Wichten, Raumlasten) angefOhrt:

'Y

kN/ml

Stahl 78,5

Stahlbeton 25

Aluminium 27

Gusseisen 72,5

Kupfe r 89

Ble i 113

Glas 26

Holz Nadel ho lz e r l ufttr o ck e n 5,5

l aubho lz e r l ufttr o ck e n 8

M aue rw erk aus Naturstein 26,5

Normalbackste in 16

Kalksandste in 18

Putz 15

Ve rgle ich Wasse r 10

San d, K ie s 17...19

T on . M e rk el 17...22[1]

2 - 6 1 Tragwerkslehre Einfiihrung



[1 ]

KRAFTE f LASTEN 1MHOCHBAU 2Beispiel fOr Lastzusammenstellung eines Massivdeckenaufbaues:

6e m

3cm

16cm

20cm

Zementestr ich

Dammstoffplatte

S ta hJ be to np Ja tte B 2 5

{InstaJJationen

abge hang te Un te rd e ck e

lastzusammenstellung6 em Zemen te str ie h

3 em Dl fmmsto f fp Jat te

1 6 em Stahlbe tonplatte B 25

(Dicke vorgeschatzt)

Instal lationen

Unterdecke

..J.I

63

16

20

}schwimrnender

Estrieh

Tragwerkselement

}Unterdecken-Z

Instal lat ionsbereieh

0.06 .22 = 1,32 kN/m20,03. 1 = 0,03 kN/m2

0,1 6 . 25 = 4 ,0 0 kN/m2

1,50 kN/m2

0,65 kN/m2

Eigen las t gesamt Ig = 7,50 kN/m2




_ Institut fOr

L-Archltekturwissenschaften:

..- Tragwerksplanung und

_ lngenieurholzbau

2.2.4.2 Nutzlasten

D ie N utz laste n sind abhangig vo n de r vo rge se he ne n N utz ungsart de r Raurne,

I

I

i ~a: :~ :~~~ :~~~ :: :e ~~:: ~: ~:::U nd:~~~ :~ :: n~ tc :

S tie ge n, G ange und Po de ste in so lche n G ebaude n:

• A ufe nth altsraume in BOro ge ba ud en, K ran ke nh ause r, W e rkstatte n:S tie ge n, G ange und Po de ste in so lche n G ebaude n:

3 k N / m 2

4 k N / m 2

• A ufe ntha ltsraum e in S chule n, Gescnatten, Gaststattsn:

S tie ge n, G ange und Po de ste in so lche n Gebauden:

• A ufe nth altsra ume fO r Mensc he n an sammlu ng en(T he a te r, K in os, K irc he n, V e rsammlu ng sh alle n, ... ):

S tie ge n, G ange und Po de ste in so l che n G ebaude n:

5 kN/m2

6 kN/m2

r

I • N ic ht be ge hb are D ac he r:

I• Balkone , Loggie n:

0 ,5 k N/m 2

mindestens 4 k N / m 2

IZwischenwande konnsn (be i D ec ke n m it a usre ic he nd er Q ue rv erte ilu ng sw irku ng) m ite in em g e ne re lle n Zus ch la g b e rO ck sic htig t w e rd en :

I · fOr R lium e m it e ine r N utz last vo n 2-3 kN lm ' sind 1 ,0 kN /m ' anz use tz en., • fur R aum e m it e ine r N utz last vo n 4 k N / m 2 sind a , s k N / m 2 anzusetzen.

l • fur R aum e m it e ine r N utz last gre Be r a ls 4 kN /m2 is t k ein Z us ch la g n otw e nd ig .I

i

I A uf G e la nd erh olm e n u nd B rO stu ng en sin d fo lge nd e ho riz ontale L aste n an zu se tz e n:!

! • in Au fe n th alts ra umen fO r Menschenansamm lungeni (T he ate r, K in os, K irc he n, V e rsamm lu ngsha lle n, .. . ):

~ • be l allg . z ugangliche n F lachdache rn, T errasse n und S tle ge n:

I • in a lle n a nd ere n G e bau de n:

1 ,5 k N/m

1 ,0 kN /m

0 ,5 kN /m

2 " 1 Tragwert<.,ehre Elnfllhrung



[1]

KRAFTE I LASTEN 1MHOCHBAU 22.2.4.3 Windlasten

Windlasten wirken grunds~tzlich normal auf die belasteten Flachen.

Es ist prinzipieU zu unterscheiden zwischen der Wirkung der Windkraft auf das

gesamte Bauwerk und der Wirkung auf Bauwerksteile wie Wande oder Dacher.

Die genaue Windeinwirkung ist abhangig von der Ortlichkeit und geometrische Form

des Baukorpers,

Windwirkung auf gesamtes Bauwerk:

\'

,...------- - 7 V

Kippen Glei ten= 1

1Verschieben [1]

FOrAbschatzunq der horizontalen Windeinwirkung auf das gesamte Bauwerk reicht

oft folgende N~herung (ubliche Gebaudehohen):

w = 1 kN/m2

Beispiel fOr den Einfluss der Windrichtung auf die DrucklSogverteilung der einzelnen

Flachen eines Bauwerkes:

Wind-

richtung

~

[3]

Wind-richtung

Darnit wird klar, dass einzelne Bauwerksteile durch die Windeinwirkung beansprucht

werden:

~--, I

Eindr(lcken

(Winddruck)AbreiBen

Herausziehen

(WIndsog)Schwingen

Tragwerkslehre Einfuhrung 2-9



[4] h l 3 1

_ Institut fOr

L... Architekturwissenschaflen:


_ Ingenieumolzbau

2.2.4.4 Schneelasten

Schneelasten sind immer auf die horizontale Projektion der Dachflfiche zu beziehen.

Die Schneeregellast So reicht von 0,75 kN/m2 im Donaugebiet bis 14 kN/m2 am

Arlberg.

Die tatsachliche Schneeeinwirkung ist von der Dachneigung abhangig.

2.2.4.5 Erddrucklasten

Auf Wande von unterkellerten Bauwerken werden Erdlasten ausgeObt. Die genaue

Verteilung und GroBe dieser Lasten sind von Faktoren wie Bodenverhaltnisse,

Neigung der Wand usw. abhangig.

K e l l e r h

FOr Oberschlagige Berechnungen (vertikale Wandflachen) gilt:

Ea = 3. h2 k N / m (pro Meter Wandbreite)

. . . 0 1 Tragwe<ksleh",In_



KRAnE I LASTEN 1MHOCHBAU 1 22.2.4.6 Grundwasserlasten

Die Auftriebslast "A" auf die Sohle hangt vom Volumen des verdrangten

Grundwassers abo

Zusatzllch werden die Kellerwande belastet.

.s:A

I A = Y w • h . L· b :V . § l L Prinzip des Archimedes

j),c1.k ~lJ~\2.2.4.7 Temperaturlasten

Durch klimatische EinfiOsse erwarmen und erkalten sich einzelne Bauteile und

Bauwerke. Dadurch erfahren sie Dehnungen und VerkOrzungen. Eine Behinderung

dieser Verformungen erzeugt Krafte, die bei der Tragwerksplanung zu

berOcksichtigen sind. Diese Lasten werden im Teil6 behandelt.

~1]

[5]

Tragwerkslehre ElnfOhrung 2·11



_ Institut fOr



_ Ingenieurholzbau

2.2.4.8 Erdbebenlasten

I 1mFaile eines Erdbebens bewegt sich der Boden horizontal hin und her, dadurch

. werden die Fundamente der Bauwerke gezwungen, diese Bewegungen

mitzumachen. Der obere Teil der Bauwerke aber rnochte wegen seiner

Massentragheit seine Lage nicht andern, Es entstehen Tragheitskrafte, die auf dasTragwerk einwirken.

[6 J

Die Erdbebenlasten sind proportional abhangig vom Schwingungsverhalten des

Bauwerkes sowie der Starke der Boderibeschleuniqunq,

2.3 LlTERATURVERZEICHNIS

[1] Padia 1; Heller; Ernst und Sohn Verlag; 1998

[2] Praktische Baustatik 1;Werner; B.G. Teubner Verlag; 1994

[3] ESDEP; Das Europalsche Stahlbau-Lehrprogramm; 1996

[4] Baustatik, Teill Grundlagen; Lohmeyer; B.G. Teubner Verlag; 1996

[5] Stahlbau; Hirt, Bez; Ernst und Sohn Verlag; 1998

[6] What are the Seismic Effects on Structures, Earthquake Tips; ICJ Online;

http://www.icjonline.com

2 - 1 2 1 Tragwerkslehra ElnfOhrung

I

http://www.icjonline.com/

http://www.icjonline.com/



_ Inslilut fUr

L... Archileklurwissenschaflen:

.- Tragwerksplanung und

_ IngenieurholzbauEINFOHRUNG IN DIE STATIK 3

Teil 3: Einfuhrung in die Statik

3.1 EINFOHRUNG INDIE GRAFISCHE STATIK3.2 EINFOHRUNG INDIEANALYTISCHE STATJK


3.1 EINFOHRUNG IN D IE GRAFISCHE STATIK

3.1.1 Darstellung von Kraften . -

.• t

Die GroBe (Betrag) wird

in e in em K ra ftemaB sta b

darge s teU t ( z. B .1 cm = 1 0 kN )

Kraft = gerichtete GroBe = Vektor3 BestimmungsstOcke:

1. GroBe, Betrag

2. Richtung (Wirkungslinie, Lage, Winkel)

3. Richtungssinn (Pfeilspitze)

, 3.1.2 Axiome in der Kraftelehre

Aquivalenzaxiom = Verschiebungsaxiom

Krafte sind aquivalent, wenn sie die gleiche Wirkung~~~ ..ausOben

~ z.B. auf Wirkungslinie verschieben

Reaktionsaxiom

Aktion = Reaktion

F12 = F21

[1]

F 1

~

Parallelogrammaxiom

= ~ Die Wirkung zweier Krafte mit gleichem Angriffspunkt [1 ]

/ ist gleich der Wirkung ihrer vektoriellen Summe

~ '4( ~RQ~JJfY~o f « t 4




_ Institut fUr

L Architekturwissenschaften:

r Tragwerksplanung und

_ Ingenieurholzbau

3.1.3 Krtiftezusammensetzung (Resultierende von Kraften)

3.1.3.1 gemeinsame Wirkungslinie

Beispiel 1:

k.,~~ S~ , . ,~t ~~~s~~S~~ &~~~4t~t

~?'klJ F , I uO ~ J ! f ! ! ! ' _ _ ~ h _f' ~)5 " l < O J . ~

Lageplan W i rk un gs lin ie v on f1• F2• R

A

[1 ]

Krafteplan

1eme ...kN R = E ntfe mung A E

Beispiel 2:

Pfeilspitzen definieren die Richtung

F , / F \-I -

lagepJan

1 F " ~ 2 . . k l. J A nfangspunkt A

j

F L ~A,'KV

Y ~ ~ LS klJ Endpunkt E

=~~~AtrtJ

[1 ] f3

Resul t ierende = E ntfe rnung A E

Krafteplan

1cme1.kN

3 . 2 1 Tragwerkslehre ElnfOhrung



EINFUHRUNG IN DIE STATIK 33.1.3.2 verschiedene Wirkungslinien in der Ebene (rechtwinklig)

Dreieck im Krafieplan = Schnittpunkt A im Lageplan

F1 ge ge be ne W irkungslinie n Fl' F2

an

F ,E

maBstablich darge s te llte K rafteF 2 F 1• F 2 und e rm itte lte r esultie re nde R

R = E ntfe rnu ng A E

A-- - - . . . . .F ,

Kraft epl an (Krii fte d re ie ck )

:

1 em = . . . kN

3.1.3.3 verschiedene Wirkungslinien in der Ebene (schiefwinklig)

Beispiel 1:

R = = E ntfe rnu ng A E

Kraf te /Lageskizze

1 em : ... kN

LG rOB e d er K ra fte

A

[1]

.//

/

Lageplan

LWirkungslinien

d er K ra fte

Tragwerkslehre EinfOhrung 3-3



_ lnsUtul ror

L:Architekturwissenschafien:

r- T ra gwe rl <. sp la nu ng u nd

_ Ingenieurhotzbau

[1 ]

Beispiel 2:

I

I

Zl~It'I

II

Lageplan

"Q'4-~ .r ' (l __

" ' 1 . ~ _ _ " . -11---._ermittelte Wirkungslinie

-- 30° von R

- --

Krafteplan

A1 em= 3,0 kN

R= Entfemung AE

im o.g. MaBstab

Beispiel 3:

System ohne Schnittpunkt bzw. Schnittpunkt auBerhalb der Zeichenflache:

[lr

" "

Poistrahien

\

\

1\, \

Polfigur (Poleck)

Krafteplan

1 em = . . . kN

I I

Lageplan

z .B . D re ie ck 5 ·F5·6 .aSchnittpunkt P2

P 1

Se il fi gu r (Se il e ck )

3 - 4 1 Tragwerkslehre Einfiihrung

I



EINFOHRUNG IN DIE STATIK 3Vorgangsweise:

Entw ic k lung Se ilf igu r/Po lf igu r (Se ile c kve r fah ren )

1 . K rafte plan z eic hne n "\ G rO Be vo n R

2. S eitlic h n eb en d em K ra fte pla n e in en b elie big en

Punk t 0 a ls Po l wahle n

3. Ve rb indungs lin ie n de r K r aftv e kto re n F l mit dem Po l

'\ P o is tra hie n 1...n

4. Po is tra hie n s ch rfttw e is e p ara lle l in d en L ag e pla n

ube rt ragen '\ Se ils trah len /Se il figu r

P rin z ip : D re ie c k im K ra fte p la n 5: Schnittpunkt

im la ge p fa n b zw. S e ilfig ur, d .h . P o is tra hie n

w e rd en a ls K ra fte kompo ne nte n a ufg efa Bt.

Punk t P1 = = Dre ieck 1-F1-2

Punkt P 2 ::: D re ie c k 5 - F5 -6

I P unkt P 3 5: D re ie c k 1 - R -6 I\Lage de r R esultie re nde n R:

R wird v on d en a uB e re n Po is tra hle n

1 und 6 e ingeschlossen

Beispiel 4: System mit mehreren Schnittpunkten

\

\ I

I

Schrittweise Teilresultierende bilden:

F 1, F2 ~ R 1,2

F3, F4~ R 3,4

(siehe zentrales ebenes Kraftesystem)

Lagepfan

Kraftepfane

1 em s ...kN

[1 ]

[1]

Tragwerkslehre Elnfilhrung 3-5



_ Institut fUr

._ Archilekturwissenschaften:


_ Ingenieurholzbau

[1 ]

[1]

3.1.4 Kraftzerlegung

\

\

I

// L ag e d e r K ompone nte n

2 R ic ht unge n

LagepJan

F ,

G rOB e d er K ompone nte n

KrAfte/Lageskizze 1 em a ...kN

3.1.5 Gleichgewicht von Kraften

3.1.5.1 aile Krafte auf gteicher Wirkungslinie

Aile Krafte auf gleicher Wirkungslinie

~

" e t ' J t 1 e ~ 0 =~G{eu~~~~ageplan

A . .E

~ F ,

'F~~

Der Krafteplan ist geschlossen

~ Anfangspunkt = Endpunkt

Kraf teplan

1 em = = . . . kN

3~ TragwerkslehreEinfiihrung



E IN FO HR UN G IN o rE S TA TIK 3

.,

3.1.5.2 verschiedene Wirkungslinien

GroSe u nd R ie h tu ng von G fU r G t e ic hgew ieh t?

G . ~ ~ l . . t - \ \ " , , 1 .

Aile Wirkungslinien mOssen sich in

einem Punkt schneidenF 3

Lageplan

G

- -

Der Krafteplan (das Krafteck)

muss geschlossen sein

~ Anfangspunkt = Endpunkt

F ,

Krafteplan

1 em e,..kN

Allgemeine Regeln:

• siehe grafische Ermittlung der Resultierenden:

- gleichgrol1e Gegenkraft antragen

- geschlossenes Krafteck (Krafteplan): Anfangspunkt A = Endpunkt E• zwei Moglichkeiten der Kraftekonstellation:

1. System mit rnehreren Schnittpunkten auf der Zeichenflache:

Schrittweise Resultierende bzw. Gleichgewichtskraft ermitteln

2. System ohne Schnittpunkt auf der Zelchenflache bzw. paraltele Krafte:

Arbeit mit Seilverfahren (Seilfigur, Polfigur)

• siehe auch Ermittlung der Auflagergrol1en

. .

[1]

Tragw .... ' .. r e Elnfiihrung 1 3 . 7



_ lostitut fOr

LArchitekturwisseoschaften:

r-Tragwerksplaoung und

_ Ingenieumolzbau

m

3.2 EINFOHRUNG IN DIEANALYTISCHE STATIK

3.2.1 Kraflezusammensetzung (Resultierende von Kraflen)

3.2.1.1 gemeinsame Wirkungslinien

Beispiel 1:

R = F1 + F2,

Richtung = Richtung der groBeren Kraft bzw. der Summe

Kraf te /Lageskizze

- O R .Resul t ierende

Beispiel 2:

R = F1 + F2 + F3

Allgemein:

R=LFi

Richtung:

Lage/Kraf teskizze

________'4.*I----~~.~~~~~-F-3------

Einen Richtungssinn positiv (+) definieren, z.B. nach rechts:

R = F1 + F2- F3

3 - 8 1 Tragwerkslehre ElnfOhrung

I



EINFOHRUNG IN DIE STATIK 33.2.1.2 verschiedene Wirkungslinien in der Ebene (rechtwinklig)

F 1

Krafte/ lageskizze

Resultierende:

R= ~ F ; 2 + F/

Richtung:

tan u1=F2/ F1

tan u2=F1/ F2

Hintergrund:

Satz des Pythagoras

c2 = a2 + b2

3.2.1.3 verschiedene Wirkungslinien in der Ebene (schiefwinklig)

Beispiel 1:

Krafte/Lageskizze

i.I.I•,•I.I•

F 1

A

Resultierende:

R2= Fl + Fl- 2F1F2• cosy

Richtung:

sin u= sin 't : F 1 1 R

sin B . = sin y . F 2 1 R

Hintergrund ist der Kosinussatz:

c2 = a2 + b2- 2ab . cos y

Sinussatz:

abc--=--=--sma sinp siny

[1 ]

[1]




_ lnsfitut fOr

LArchiteklurwissenschaften:

.... Tragwerksptanung und

_ Ingenieurholzbau

[1 )

[1 ]

[1]

Beispiel 2:

Lageplan:

a ile K ra fte in x -y- Ko rn po ne nte n z e rle ge n

tan a . = R y I R x

R x = ~ F i x

a, = ~ Fiy

Komponenten fOr F ix . F iy•

z.B. fOr F2:

F 2 x = F 2 . cos 0 . 2

F 2y = F 2 . sin 0.2

x

Komponenten:F x = F . cos a .

Fy= F· sin a .

Komponenten:

F ; =F. s~nasm j-

F2=F. si.npsm y

abc

--=-=-

3·10 Tragwerkslehre Einfiihrung

y

x

3.2.2 Kraftzerlegung

3.2.2.1 in zwei rechtwinklige Wirkungsrichtungen

Kri i f te/Lageskizze

sina sinp sinr

F

y

3.2.2.2 in zwei schiefwinklige Wirkungsrichtungen

I

\ K riifte /L age sldz ze /

\

,,

y'

Hintergrund ist der Sinussatz:



EINFOHRUNG IN DIE STATIK 3

3.2.3 Gleichgewicht von Kraften

3.2.3.1 aile Krafte auf gleicher Wirkungslinie

Lage/Kriifteskizze

rFi =0

Fi Krafte auf einer Wirkungslinie; einen Richtungssinn positiv definieren

(z.B. nach rechts unten)

3.2.3.2 verschiedene Wirkungslinien,aile Wirkungslinien schneiden sich in einem Punkt

Lage/Krafteskine

rFix = LHi =0 Summe aller Horizontalkrafte

LFiy = LVi =0 Summe aller Vertikalkrafte

Komponenten, z.B. fOr F1:

F1x=F1 . cos U1

F1y =F1 . sin U1

[1 ]

[1 ]

Tragwerkslehre Elnfiihrung 3·11



_ Institut fOr

L. . . . Architekturwissenschaflen:.... Tragwerksplanung und

_ Ingenieurhalzbau

3.2.3.3 verschiedene Wirkungslinien,aile Wirkungslinien schneiden sich nicht in einem Punkt

[1 J

lage/KrAfteskizze

!Fix = !Hi =0 Summe aller Horizontalkrafte

!Fiy = !Vj =0 Summe aller Vertikalkrafte

!M~=0 Summe aller Momente (beliebiger Drehpunkt)

Komponenten,z.B. fOrF4:

F4x=F4. cos <4

F4y =F4. sin <4

3-12 Tragwerkslehre Einfuhrung



EINFUHRUNG IN DIE STATIK 3

.,

3.2.4 kraftepaar, Moment

Ein Kraftepaar besteht aus 2 Kraften, die gleichgroB und entgegengesetzt gerichtet

sind und parallele Wirkungslinien besitzen .

. . . . .F 1 = F 2 = F

l:Fi = 0

Ein Kraftepaar besitzt ein DrehvermOgen:

M = F . a = Kraft x Abstand der Wirkungslinien

M = Drehmoment, unabhangig vom Drehpunkt, hat einen Richtungssinn

(Pfeilspitze)

3.2.4.1 Moment einer Kraft

M hier linksdrehend

B e z u g s p u n k t ~

~ /

Hebelarmi7~/ Wirkungslinie

M = F . a = Kraft x Hebelarm (rechtwinkliger Abstand vom 8ezugspunkt)

3.2.4.2 Versetzungsmoment

Parallelverschieben einer Kraft:

M=F·a

I

I

=

Die Gesarntwirkung einer urn "a" parallel verschobenen Kraft nF " andert sich nicht,

wenn zusatzlich das Versetzungsmoment

M= F·a

angebracht wird.

[1)

[1 J

[1 ]




_ Institutfiir

.... Architekturwissenschaften:


_ Ingenieurholzbau

[ 1 J

[ 1 J

3.2.4.3 Anwendungen des Versetzungsmomentes

z.B. bei Spannungsermittlung exzentrisch gedrOckter StOtzen:

Moment+

mitlige Langskraft

ausmittige Uingskraft

R Re

M

e=-R

3.2.4.4 Momentsatz (Aquivalenz der Momente):

y

Moment urn den Punkt 0:

M o = F· a = F y . ~ - Fx . Y A

Das Moment einer Kraft ist gleich der Summe der Momente der rechtwinkligen

Komponenten dieser Kraft.


[1] Padia 1; Heiler; Ernst und Sohn Verlag; 1998

3·14 Tragwerkslehre ElnfOhrung



_ InstitutfUr

._ ArchitektulWissenschaften:

r TragwerKsplanung und

_ IngenieurholzbauGLEICHGEWICHT I AUFLAGER 4

Teil 4: Gleichgewicht I Auflager

"

4.1 GLEICHGEWICHT4.2 FUNKTION OER AUFLAGER

4.3 AUFLAGERARTEN4.4 STATISCHE BESTIMMTHEIT

4.5 ERMITTLUNG VON AUFLAGERKRAFTEN

4.6 LITERATURVERZEICHNIS

4.1 GLEICHGEWICHT

Die Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht der festen Korper unter dem Einfluss von

Kraften.

Die Baustatik befasst sich mit der Ermittlung angreifender Krafte auf einen festen

Korper (Bauwerk). Ziel der statischen Berechnung ist, ein Geb8ude so zu

berechnen, dass es trotz der einwirkenden Krafte (Lasten) standsicher undgebrauchstauglich bleibt.

Dies bedeutet, dass die Summe aller angreifenden 8ui1eren und inneren Krafte

eines Gebaudes (Systems) gleich Null ist, d.h. dass es sich im Gleichgewicht

befindet. 1stdieser Gleichgewichtszustand nicht gegeben, so ist das System instabil,

d.h. kinematisch (verschieblich).

Tragwerkslehre EinfOhrung 4·1



_ lnstitut fOr

I-Architekturwissenschaften:


_ lngenieurholzbau

4.2 FUNKTION DER AUFLAGER

Aile Lasten, die auf ein Bauwerk wirken, mOssen Ober Auflager in den festen

Baugrund abgeleitet werden. Damit das Bauwerk im Ruhezustand verbleibt, mOssen

folgende Bewegungsmoglichkeiten unterbunden werden:

ho riz on ta le Ve rs chiebung

Verdrehung

ver ti ka le Versch iebung

r

Auflager

(Stotzung)

starre r K orpe r -

in de r Ebe ne

[1]

Wichtige Begriffe:

Freiheitsgrad Bewegungsmoglichkeit des Lagers

Bindung verhinderte Bewegungsmoglichkeit

Wertigkeit. Anzahl der Bindungen eines Lagers

AufiagergroBen Auflagerkraft oder Auflagermoment

Auflager sind das Bindeglied zwischen den Tragwerken oder zwischen dem

Tragwerk und dem Baugrund. Zwischen Lasten und AufiagergroBen muss

Gleichgewicht herrschen.

F

A . B . F = S yste m d er

auBe ren K ra ft eLast

A ufla ge r 8u fla ge r A

[1] A B


t



GLEICHGEWICHT I AUFLAGER 4

4.3 AUFLAGERARTEN

Es stehen drei AufJagerarten zur VerfGgung:

" • eingespanntes AufJager;

• unverschiebliches AufJager;

• verschiebliches AufJager.

Begriff Wertigkeit Verdrehung Verschiebung Verschiebung

Symbol a" horizontal vertikal"

eingespanntes Auflager

~

3 nein nein nein

Iunverschiebliches Auflager

1 2 ja nein nein

~ ~

verschiebliches Auflager

R 1 ja ja nein

B*

Unter Wertigkeit versteht man die Anzahl der aufnehmbaren Reaktionen:

• 3-wertig: Verdrehung, horizontale und vertikale Verschiebung sind

behindert;

• 2-wertig: Horizontale und vertikale Verschiebung sind behindert;

• 1-wertig: Vertikale (oder horizontale) Verschiebung wird behindert.

Tragwerkslehre Einfilhrung 4-3



_ Institut fUr

L... Architekturwissenschafien;


_ Ingenieurholzbau

4.3.1 Eingespanntes Auflager (3-wertig)

Beispiele fOr Einspannungsmoglichkeiten eines Tragers in einer Wand bei

verschiedenen Baumaterialien und Bauweisen:

[ 2 ]

Eingespannt in: Mauerwerk Wandnische

(2)

Wand

Aufnahme eines Verdrehungsmomentes fOr eingespannte StOtzen:

Rahmenecke

[1 ]

vertikales Kraftepaar

Auflagerbank

II

•

H 2 4horizontales Kraftepaar

Beispiel fOr eine eingespannte StOtze aus Stahl:

[3 ] i

I

4 - 4 1 Tragwerkslehre Einffihrung

. '



GLE I CHGEWICHT I AU F L AG E R 4

4.3.2 Unverschiebliches Auflager (2-wertig)

Beispiele fOr die unverschiebliche Lagerung eines Tragers auf einer Wand oder

StOtze bei verschiedenen Baumaterialien und Bauweisen:

Lagerung auf: Trockenem Zentrierleiste

Elastomer- Topflager Kipplager

Elastomerkissen

Kalottenlager

Beispiel fOr einen gelenkigen StotzenfuB einer HolzstOtze:

[2 ]




_ Institut fiir

.._ Architekturwissenschafien:

... Tragwerksplanung und

_ Ingenieurholzbau

[2 J

[2 J

4.3.3 Verschiebliches Auflager (1-wertig)

Beispiele fOr die verschiebliche Lagerung eines Tragers auf einer Wand oder StGtze

bei verschiedenen Baumaterialien und Bauweisen:

Elastomerekissen

Elastomere-Gleitlager Kipp-Gleitlager Rollenlager

4-6 Tragwerkslehre EinfLihrung

Lagerung auf: Trockenem Zentrierleiste

Kalotten-Gleitlager

Beispiel fOr ein Rolllager eines Bruckentraqers:



GLEICHGEWICHT I AUFLAGER 4

4.4 STATISCHE BESTIMMTHEIT

Ein System ist statisch bestimmt, wenn sich seine AuflagergroBen (und

SchnittgrOBen) mit Hilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen berechnen lassen:

• Summe aller Vertikalkraite = 0;

• Summe aller Horizontalkrafte = 0;

• Summe aller Momente = O.Es gelten:

• AufiagergroBen konnen allein aus den 3 Gleichgewichtsbedingungen ermittelt

werden;

• Fertigungsungenauigkeiten fOhren nicht zu Spannungen;

• Verformungen (z.B. Temperaturdehnungen) konnen sich frei ausbilden und

fOhren nicht zu Spannungen;

• relativ einfache Ermittlung der Schnittgn5Ben und damit Dimensionierung derTragwerke;

• Querschnittsverlauf hat keinen Einfluss auf AufiagergrOBen und SchnittgroBen.

Statisch bestimmte Grundsysteme:

Kragarm (Konso'e)

...__----------_ 3 Bindungen

Einspannung

T ra ge r a uf 2 S tQ tz e n ( eln fa ch e r Ba lk e n)

: : : z s : :Gleit lager I ' - - - _ + - : ~

te ste s L a ge r3 Bindungen

. .

Ein System ist statisch unbestimmt, wenn es so gelagert ist, dass es sich im

Gleichgewicht befindet, die AufiagergrOBen lassen sich jedoch nicht mehr allein mit

Hilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen losen. Es sind zusatzlich

Verformungsbedingungen zu berOcksichtigen.

Statisch unbestimmte Systeme besitzen im Aligemeinen ein geringeres

Verformungsverhalten als statisch bestimmte Systeme. Es konnen jedoch

Zwangungen im Material und Bauteil auftreten .

[1]




_ Institut FOr

L.. Archilekturwissenschaften;


_ Ingenieurholzbau

[ 2 ]

j

iI

I

I{5 ] !

ir

Nach einer einfachen Gleichung:

n=a+v-3s

lasst sich bestimmen, ob das System statisch bestimmt, statisch unbestimmt oder

kinematisch (Iabil) ist.

Dabei bedeuten:

n Grad der statischen Unbestimmtheit

n=O: statisch bestimmt

n>O: statisch unbestimmt

n<O: kinematisch (Iabil)

a Wertigkeit aller Auflager

s Anzahl der Scheiben (in sich stabile und unverschiebliche Teile) eines

Systems

v Wertigkeit aller Verbindungen zwischen einzelnen ScheibenDie Wertigkeit einer biegesteifen Verbindung zwischen 2 Scheiben betragt 3.

Die Wertigkeit einer gelenkigen Verbindung zwischen 2 Scheiben betraqt 2.

Die Wertigkeit einer gelenkigen Verbindung zwischen 3 Scheiben betraqt 4.

Beispiele fur eine gelenkige Verbindung zwischen zwei Tragem be; verschiedenen

Baumaterialien und Bauweisen:

oBolzenverbindung AufJegenl Anhangen Laschenverbind ung

Beispiel fUr eine gelenkige Verbindung von zwei Brettschichholztragem:

4-8 Tragwerkslehre EinfLihrung



GLEICHGEWICHT I AUFLAGER 4Eine einfache Methode, um den Grad der statischen Bestimmtheit eines Systems zu

bestimmen ist es, solange AufiagelWertigkeiten zu reduzieren und/oder die

Wertigkeit der Bindungen zwischen den einzelnen Scheiben zu reduzieren bis

statisch bestimmte Grundsysteme entstehen.

Beispiel:

Durchlauftrager

2 Bindungen losen

-Einfeldtrager

2-fach unbestimmt

Bei Entfernung von 2 einwertigen Auflagern entsteht ein Trager auf 2 StOtzen, d.h.

das System ist zweifach statisch unbestimmt.

Systeme, die trotz statischer Bestimmtheit unzulassiq sind:

3 Gleitlager - Schnittpunlct der Wirkungslinie der Auflagerkrifte

.-I--:~ .....

=:.-·/r--.._/

Rotation!

,I

3 Gleitlager In einer RichtungVerschiebung!

I " ": _,

Il-

[1]

[1)

Tragwerkslehre Einfiihrung '4·9



_ Institut fOr

__ , Architekturwissenschaften:

IIITragwerksplanung und

_ Ingenieurholzbau

[1]

4.5 ERMITTLUNGVON AUFLAGERKRAFTEN

4.5.1 Grafische Ermittlung

Lageplan

r 1,./'

, . / - t r gemeinsamer,./ /

,./ / I Schnittpunkt,. / R I

,. / de r 3 W irkungs-

,./,./ I iinien,./ I

,./

,./

K ra fte pla n A hl AV I A

Ze rle gung A in Ah und Ay

K ra fte pla n A , B , R

E rm ittlun g de r A ufla ge rk ra fte A , B

1 em = = . . . kN

4·10 Tragwerkslehre ElnfUhrung



GLE I CHGEWICHT I AUFLAGER 4

4.5.2 Analytische Ermittlung

IH =0:

2 : . . V = O :

2 : . . M = O :

Summe horizontale Krafte = 0

Summe vertikale Krafte = 0

Summe Momente = 0

2

L

L-a

B vy

a

Beispiel: E.M =0 Rv . a - Bv . l = 0 t+"\ Bv =Rv' a2 l

LM = O Av' L - Rv (l-a) = 0 a\ Av = RvCL-a } [1 ]

1 L

~H=O A t, • R h = 0 ~ Ah= Rh

Kontrolle: D/=O Av + By - Ry= 0 t +

4.6 LITERATURVERZEICHNIS

[1] Padia 1; Heller; Ernst und Sohn Verlag; 1998

[2] Tragwerkselemente; Egger, Beck und Mandl; B.G. Teubner Verlag; 1996

[3] ESDEP; Das Europaische Stahlbau-Lehrprogramm; 1996

[4] Godden Structural Engineering Slide Library; nisee; University of California,

Berkeley



Tragwerkslehre Einfilhrung 4·11







_ Institut fUr

I-Architekturwissenschaften:


_ Ingenieurholzbau SCHNITIGRCSSEN 5-, Teil 5: SchnittgroBen

5.1 BESTIMMUNG OER SCHNITTGROSSEN

5.2 SCHNITTGROSSENBERECHNUNG AN AUSGEWAHL TEN

STA TISCH BESTIMMTEN SYSTEMEN5.3 TABELLEN FOR EINFELDTRAGER


5.1 BESTIMMUNG DER SCHNITTGROSSEN

5.1.1 Allgemeines

Wir konnen bei statisch bestimmten Systemen mit den Gleichgewichtsbedingungen

bei gegebener Belastung die AufiagergreBen fOr ein Tragwerk bestimmen. Fur

statisch unbestimmte Systeme mussen zusatzllch zu den

Gleichgewichtsbeziehu ngen Verformu ngsbeziehungen berucksichtigt werden,

dieses Problem wird in der Vorlesung "Statik und Festigkeitslehre" behandelt. Die

Belastung und die AuflagergreBen ergeben zusammen die auBeren Krafte, die

sicherstellen, dass das Tragwerk keine Verschiebungen oder Verdrehungen erfahrt,

Oas nachste Ziel der statischen Berechnung ist die Bestimmung der inneren

Beanspruchungen des Tragwerkes. Diese werden dann mit der Festigkeit des

Baustoffes verglichen.

Die innere Beanspruchung etnes Korpers ermittelt man nach dem Schnittprinzip.

Hierzu denkt man sich den Kerper an einer beliebigen Stelle durchgeschnitten und

setzt den abgeschnittenen Teil dadurch ins Gleichgewicht, indem man sich an der

Schnittstelle wirkende innere Krafte vorstellt.

5.1.2 System und Krafte in einer Ebene

Um den abgeschnittenen Teil eines ebenen Stabwerks in der Ruhelage und im

Gleichgewicht zu halten, musssn wir drei SchnittgreBen anbringen:

• Normalkraft Nx: wirkt senkrecht zur Schnitttlache (wirkt in x-Richtung);

• Querkraft Qz: wirkt in der Schnittflache (wirkt in z-Richtung);

• Biegemoment M y : wirkt urn die y-Achse.

+-------i1~---~l_K \ 1 1 :

gegebene r T rage r

mit Last F

Schnitt i

\ F v

. AhI ~~t~F~h~~~---=--.=-......

Av b x - , + - . - - , - x = = x '_ B

Gesamtsystem mit

Komponenten der

Belastung und

StutzgroBen

[1]




_ lnstitut fur

L.. Architekturwissenschaften:.- Tragwerksplanung und

_ Ingenieurholzbau

[1]

[1 ]

l inker Tragertef mit

positiv angesetz ten

Schnlttgrolsen

MitNi.Qi

Ermittlung der SchnittgroBen durch Bildung des Gleichgewichtes fUr den linken

Tragerteil:

L H =0: Ni - Ah = 0 4- Ni=~

L v=O: Qj-Ay=O ~ Qi=Ay

L Ms=O: MI- Ay. x = 0 . . . . . M = Av.x

Die Bezeichnung der Achsen und die Definition der positiven Richtung der

SchnittgroBen sind in den unteren Abbildungen zu erkennen.

negative (rechte)

Schnittflache

positive Schnlttflache

(Hnke)

/1- -

/ 1

y~ 1

I

•

/

Qz

linksdrehend

~ - - - - - - - - - - - - ~. .. . - . . . . ---~- . . . . . . .

+M Zug Unterseite

rechtsdrehend -M Zug Oberseite

Es wird stets Gleichgewicht (mit Hilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen) an

einem der beiden durch den Schnitt entstandenen Teile gebildet, wobei die

Betrachtung an jedem der beiden Teile zum gleichen Ergebnis fUhren muss, da die

beiden Schnittufer selbst im Gleichgewicht stehen mOssen (die an den beiden

Schnittufern wirkenden SchnittgroBen sind entgegengesetzt gerichtet und gleich

groB).

N

linkes Schnittufer rechtes Schnittufer

5·2 TragwerksJehre Einfuhrung



SCHNITTGROSSEN 5

-,Vorzeiehenregeln:

Normalkraft = positiv bei Zugbeanspruehung

= negativ bei Druckbeanspruehung

Querkraft = positiv, wenn Q den linken Tragwerksteil naeh unten und

den reehten naeh oben versehieben will

Biegemoment= positiv, wenn an der Unterseite (gestriehelte Faser)

Zugspannungen auftreten

Da sieh die Schnlttkrafte von Quersehnitt zu Quersehnitt andern, wird der Verlauf

zeichneriseh dargestellt. Die Biegemomentenflaehe wird auf der gezogenen Seite

aufgetragen.

Grafische Darstellung der Schnittgrollen M, N,Q

Vorgangsweise:

• Wahl eines Ma~stabes fOr M, N, Q, z.B. 1 em entspricht 10 kN;

• getrennte Abtragung von M, N, Q senkreeht zur Stabaehse an der jeweiligenStelle x.

Die SchnittgroBenverlaufe verdeutliehen die Beanspruehung des Tragwerkes und

bilden die Grundlage fOr die Bemessung.

Beispiele:

Einfeldtrager

q

Kragtrager

~

q

IIiIiI

~L

~

~ tQR qL

M R f

I II I•Ii I

Auflagergro~en:

t t

Querkraftverlauf:

Biegemomenten-

verlauf:[2]

Tragwerkslehre Einfilhrung 5-3



_ Inslitut fUr

.._ Archileklurwissenschaflen:

r-Tragwerksplanung un d

_ Ingenieurholzbau

{ 2 ]

[3]

5.1.3 System und Krafte nicht in einer Ebene

Wenn sich das System und die einwirkenden Krafte nicht in einer Ebene befinden

(siehe Zeichnung), dann ergeben sich maximal 6 SchnittgroBen:

j

I • Normalkraft Nx: wirkt senkrecht zur Schnittflache (wirkt in x-Richtung);

I •Querkraft Qz: wirkt in der Schnltttlache (wirkt in z-Richtung);

I • Querkraft Qy: wirkt in der Schnittflache (wirkt in y-Richtung);[• Biegemoment M y : wirkt urn die y-Achse;

• Biegemoment M z : wirkt urn die z-Achse;

• Torsionsmoment M x : wirkt um die x-Achse.

Eine Torsionsbeanspruchung liegt dann vor, wenn sich der Querschnitt eines

Balkens zufolge eines einwirkenden Torsionsrnornentes M T entlang seiner

Schwerachse unterschiedlich stark verdreht.

M T

Eine Torsionsbeanspruchung kann entstehen, wenn z.B. eine Vertikalbelastung auf

einen Balken nicht durch den .scnubmlttelounkt' M des Querschnittes geht. Der

Schubmittelpunkt ist bei doppelsyrnmetrischen Querschnitten identisch mit dem

Schwerpunkt.

z z z ZI I I I

ill f ill

z

1 M y $ } y- -yy y y

J

[ 2 ]

'1 y

I I , IZ Z Z Z z

Dappel8ymmetr lsche Querachnltte

5 - 4 1 Tragwerkslehre EinfOhrung

I



SCHNITTGROSSEN 5Der Schubmittelpunkt (M) und Schwerpunkt (S) eines Querschnitts konnen auch

verschieden sein. Die Bestimmung der Lage des Schubmittelpunktes wird in der

Lehrveranstaltung "Statik und Festigkeitslehre" behandelt.

Einfachsymmetrische Querschnitte

Die Torsionsbelastung (Torsionsmoment) eines auerschnitts ergibt sich somit als

Moment aus der Vertikalbelastung multipliziert mit dem Hebelarm zum

Schubmittelpunkt:

M t =p. a Mt=p. b

[2]

[4 ]

Eine stabile Lagerung kann nur gewahrleistet werden, wenn am Auflager zusatzlich

eine auerschnittsverdrehung verhindert wird. Dies wird durch eine

Zweipunktlagerung, Gabellagerung oder eine Einspannung erreicht.

ZWeipunktlagerung

[2 ]

Zur Bestimmung des Torsionsmomentenverlaufs (eine SchnittgrOBe!) kann man die

Querkraftanalogie heranziehen.

Der Verlauf der Schnittgr6Be .Torsionsmoment Mx" entlang der Stabachse zufolge

eines einwirkenden Torsionsmomentes MT ist analog zum Verlauf der SchnittgrOBe

"auerkraft a" zufolge einer einwirkenden Kraft F, siehe Zeichnung nachste Seite.

. . J . . . . . . . _ _ _ . _·~K

GabeUagerung Einspannung

Tragwerkslehre EinfUhrung 5·5



_ Institut fUr

L- Architekturwissenscharten:

.- Tragwerksplanung und

_ Ingenieurholzbau

[2 ]

F

~A_ Q _ _ _ _ _ , . . A

{ II +

Q

_ A _ - - - - 4 ~ o ; . ; r , . a T _ _ ~A{- '€I I

I + , - - - - I _ _ _ _ ,

In der unteren Zeichnung ist fOr einen Einteldtraqer der TorsionsmomentenverlauffOr verschiedene Lagerungszustande und Belastungsarten dargestellt

(Querkraftanalogie beachten).

~

rM T m T

- a ; - - c r { 1~ff ~f f~a "ibl

I L T I ~ L ~sIem

~ J ~ J I l :3r+--__ m T . b .

+ 2 r---__

~ ~M T ~ m T . b . < : : : : : : : : : J m T ! : "<::::j L

L 2 6 m T S

~ J~I + I M T r---__

~ ~ m T ! : .T .L

~2

5.1.4 SchnittgroBenverUiufe als Kurvendiskussion

Zwischen der Belastung eines Traqers, der Querkraft Qz(x) und dem Biegemoment

My(x) besteht ein allgemein gOltiger Zusammenhang, der sich an einem Trager

gemaB nachstern Bild nachweisen lasst.

Annahmen:

• Beliebige Streckenlast q [kN/mJ;

• man schneidet aus dem Trager einen Teil mit einer sehr kleinen Breite .dx"heraus;

• das unendlich kleine TragerstOck .dx" muss unter der Einwirkung der auBeren

und inneren Krafte im Gleichgewicht sein;

• auf das Flachenelement .dx" wirkt somit die Kraft .q.dx" im Schwerpunkt S;

• an der Schnittstelle .x" wirken "Q" und "M";

an der Schnittstelle .x+dx" wirken "Q+dQ" und "M+dM", wobei "dQ" und "dM"

kleinere Zu- oder Abnahmen bedeuten.

5 - 6 1 Tragwerkslebre Einfiihrung

J



SCHNITTGROSSEN 5!i

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... x

q

h

z

i q lQ j j Q+dQ

M~t~~M+dM

x I dx I....--- ...........

~ f

Betrachtung des herausgeschnittenen Teils:

tv» 0:

Q - q.dx - (Q+dQ) =0

dQ = - q.dx

dQ/dx = - q

Q'(x)=-q

Die erste Ableitung der Querkraft nach x liefert die negative Belastung!

"i..M= 0: (Bezugspunkt im Schwerpunkt d. rechten Schnittflache)

- M - a.dx + q.dx . (dX/2) + (M+dM) = 0

q.(dr)/2 - Q.dx + dM = 0

Da es sich bei "dx" urn einen sehr kleinen Wert handelt, wird "dx2 .. vemachlassigbar

klein, damit ergibt sich:

- a.dx + dM = 0dM = Q.dx

dM/dx= Q

M'(x) = Q

Die erste Ableitung des Biegemomentes nach x liefert die Querkraft!

Es ergibt sich somit eine Extremwertaufgabe: An jener Stelle, an der die

Querkraft gleich null ist, tritt in der Biegemomentenlinie ein Extremwert (Maximum

oder Minimum) auf. Urn die Stelle von Mmaxzu bestimrnen muss man die Ableitung

der Biegemomentenfunktion, namlich die Querkraft gleich null setzen.




_ Institut fOr

L Architekturwissenschaflen:


_ Ingenieurholzbau

[5]

5.1.5 Zusammenhang zwischen Belastung und SchnittgroBenverUiufe

Der Zusammenhang zwischen Belastung, Querkraftverlauf und

Biegemomentenverlauf ist unten tabellarisch dargestellt.

,c.!

I C-....Q,) Q,) : : : : sC)E.!!G)O~.- G)mE>

-cQ)

Eo.5Q)

NC.-W

I---t ct----tl ~

t----tl c:

t----11 £

" ' ".)'e:o ! : :

c:"Q j a;.>t:.

.0c a. . .O ' C IQ a ..II C D

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~< . I I

:E: : i E

~~

" ' "0

" ca;o ! : :

c: .0

" m e.>t:. O ' C I

a ..III.I:<.l

Q !I~s- 'C

I ii C II~E a

: i 1 :

.>t:.u"2: o ! : :

(;)

II

0'

-I J..!-~c

W

u,

C)

C: : : t

-nr aa;toC Dc.-~

5-8 I Tragwerkslehre Einfiihrung

I



SCHNmGROSSEN 1 5Zusammenfassend kann man festhalten:

• Der Biegemomentenverlauf ist in Bereichen ohne Gleichlast linear veranderlich:

• eine Einzelkraft bewirkt einen Knick im Biegemomentenverlauf;

• Sprungstellen im Biegemementenverlauf treten nur an Stellen auf, wo aul1ere

Momente eingeleitet werden;

• Momente an Gelenken sind gleich null;

• das maxima Ie Biegemoment tritt dart auf, wo die Querkraft null wird.

Beispiele fOr einen Einfeldtrager:

Einzellast Gleichlast

tF

IIqI I ie Z Q IF ~

~

U2~

LI2

~L

~L

~

t t F f t i f II IItufiagergrOl1en:

F F 9 ! : . ~.. .'2 2 2 2

~I 9f~uerkraftverlauf: +

~

k o n s t linear in4emd

[Sprung

Biegemamenten-I I

verlauf:

~

\::19

[2]

linear Andemd quadr. parab.a n d e m d

Knick Maximum




_ Institutfiir

.._ Architekturwissenschaften;

r- Tragwer1<.splanungund

_ Ingenieurholzbau

5.1.6 Zusammenhang zwischen SchnittgroBenverUiufe und Tragergeometrie

In Abhangigkeit von den Schnittgrol1enverlaufen (hauptsachlich

Biegemomentenverlauf) kann man den Querschnittsverlauf optimieren. D.h. an den

Stellen mit den grol1ten Beanspruchungen des Tragwerkes wird der Querschnitt

verstarkt,

Beispiele fOr statisch sinnvolle Form eines Tragwerkes aufgrund des

Biegemomentenverlaufes:

Statische

Systeme:

Biegemomen-

tenverlauf:

'I moglicheTraqerform:

I!

Statische

Systeme:

Biegemomen-

I tenverlauf:

I

II mogliche

I Traqerform:

I

11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

L \

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

L \

5 - 1 0 1 Tragwerkslehre Elnfiihrung

I



SCHNITTGROSSEN 55.2 SCHNITTGROSSENBERECHNUNG AN AUSGEWAHL TEN STATISCH

BESTIMMTEN SYSTEMEN

5.2.1 Geneigte Trager

Geneigte Trager haben oft Belastungen aus Eigenlasten, Schneelasten und

Verkehrslasten aufzunehmen, die vertikal wirken. Aul1erdem kommen rechtwinkligzur Traqerachse angreifende Lasten hinzu, wie z.B. Windlasten. Die Momente aus

beiden Lastrichtungen k6nnen addiert werden.

5.2.1.1 Eigenlasten

Bei der Lastenermittlung ist zu beachten, daB die Eigenlasten immer vertikal auf die

(geneigte Dach-) Flache wirken.

Umrechnung von Eigenlasten:

=

l ; 2 l / C O s aGF

vertikal

. '

Bezug: Dachfltiche

Richtung: vertlkal

=:zt

g~/= 9 '51 n« _..- ....

+~

O F

/1 O F

[6 JO F

l_ OF

5.2.1.2 Schneelasten

Schneelasten wirken immer vertikal auf die Grundrissflache.

Umrechnung von Schneelasten:

Bezug: Oachfltiche

Rlchtung: ver1lkal

t;2t=Bezug: GrundrlBflCiche

Rlchtung: vet1lkal

O f

vertikal

~_S"~sr2IBezug: GrundriBflCiche OF Of

Rlchtung: vertlkal l_ OF /1 DF

[6]




_ Institutfur

L... Architekturwrssenschaften:

.- Tragwerkspfanung und

_ fngenieurholzbau

[6 }

[1]

[7]

5.2.1.3 Windlasten

Windlasten wirken immer senkrecht zur (geneigten Dach-) Flache (Sog oder Druck).

Umrechnung von Windlasten:

w

~=w~8ezug: DachfJOche GF

vertikcl

AF

horizontalichtung: senkrecht zur OFrI

" 1 5.2.2 Geknickte Tragerf

i Geknickte Trager kommen in der Praxis in unterschiedlichen Formen vor.

Treppenlaufe in Verbindung mit den Podesten ergeben z.B. geknickte Trager.

MOgliche Form:

b ew e glic he s L a ge r

oder:fe ste s la ge r

SchnittgrOBenverlaufe:

N Q

Beispiel:

5-12 t Tragwarkslehre Einfiihrung

I



SCHNITTGROSSEN 55.2.3 Gerbertrager

Werden die Spannweiten zu groB urn sie mit einem Trager auf 2 StOtzen

Oberspannen zu konnen, muss ein anderes System gewahlt werden. Eine

Moglichkeit dafOr bietet der Gelenk- oder Gerbertrager.

Dieser ist ein Ober mehrere StOtzen laufender Trager, in dem Gelenke eingebautsind. Ein Gelenk kann per Definition Krafte in Richtung der Traqerachse

(Normalkrafte) und Krafte senkrecht zur Traqerachss (Ouerkrafte) Obertragen, nicht

jedoch (da es verdrehbar ist) ein Biegemoment. Somit erhalten wir zu den 3

Gleichgewichtsbedingungen eine weitere Gleichgewichtsbedingung.

Die Anzahl der Gelenke von Gelenkstragern, die ein festes und ansonsten lauter

verschiebliche Auflager haben, ist gleich der Anzahl der InnenstOtzen.

Damit die Gelenktrager stabil bleiben und nicht in sich beweglich werden, dOrfen in

einem Feld nicht mehr als zwei Gelenke angeordnet werden. Die Nachbarfelder

mOssen in diesem Fall von Gelenken frei bleiben.

Beispiel:

Da die Endauflager auch als Gelenke aufzufassen sind, darf in einem Endfeld nur

ein zusatzllches Gelenk vorkommen.

Beispiel:

o : z s : L S 0

. '

[6]




_ InstilutfUr

LArcllitektulWissenschaften;


_ Ingenieurholzbau

[1]

FOr die Berechnung der Auflager- und Schnittgref?,en kann der Gerbertrager an den

Stellen der Gelenke (M=O) "zerlegt" werden und jeder Traqerteil fOr sich berechnet

werden. Es entsteht dadurch ein System von auskragenden Traqern und Traqern

auf 2 Stotzen. An den Stellen des Gelenkes treten horizontale und vertikale

Gelenkskrafte "Gh" und " G v " auf, die einerseits Auflagerkrafte des eingehangten

Traqers sind (Aktion) und andererseits die danebenliegenden Trager belasten(Reaktion).

E in ge ha ng te r T r ag er

A u sk ra ge nd e T ra ge r

T ra ge r a uf2 S tiitz en

5.2.4 Dreigelenktragwerke

Dreigelenktragwerke bestehen aus zwei Tragwerksteilen, die durch ein Gelenk

miteinander verbunden sind. Die anderen Enden der beiden Tragwerksteile sind die

Auflager, die ebenfalls als Gelenke ausgebildet werden (zweiwertige Auflager).

Dreigelenktragwerke konnen unterschiedliche Formen aufweisen:

Dreigelenkrahmen:reigelenkstabzug:

, J J J J I I lq

v v

DreigeJenkbogen:

5·14 Tragwerkslehre Elnffihrung



SCHNITTGROSSEN 5Beispiel fOreine Dreigelenkbogenbrucke:

Das Prinzip der AufiagergroBenbestimmung (Voraussetzung zur Berechnung von

SchnittgroBen) fur einen Dreigelenkrahmen ist in der naehsten Zeichnung

dargestellt.

w

J I \ 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 J I I l q

2 JBv

AH 1

Av t L-\-~------r

,UBIIH

-GH

Gv

A

Av 1

UluUB-GH

Gv

A

Av 1

I.M1 = = 0 - Bv

I.M2=O -Av

LV = = 0 - G v

LH = 0 - GH

la ]

[1 ]




_ lnstitut fur

II.- Architekturwissenscharten:


_ Ingenieurholzbau

5.2.5 Stulzlinienkonstruktionen

Die StOtzlinie ist diejenige Kurve, nach der ein Tragwerk geformt sein muss, damit

die Lasten ohne Biegemomente, sondern nur Ober Druckkrafte abgetragen werden.

Die Form der StOtzlinie ergibt sich als Umkehrform eines Seilzuges unter Belastung.

Ein Seilzug kann die Belastung nur Ober Zugkrafte aufnehmen.

Beispiel fOr Gleichlasten:

Seillinie:

* il

StOtzlinie:

t t i t t *1

FOr Gleichlasten ist die Form der StOtzlinie naherungsweise parabelfOrmig.

Beispiel fOr Einzellasten:

Seillinie:

StOtzlinie:

l

5-161 Tragwerkslehre ElnfOhrung

I



SCHNITIGROSSEN 55.2.6 Fachwerke

Unter einem Fachwerk versteht man eine Konstruktion, die aus einzelnen geraden

Staben gebildet wird. Die Stabe werden so miteinander verbunden, daB sie jeweils

Dreiecke bilden. Dreiecke sind unverschieblich, auch wenn die einzelnen Stabe

gelenkartig miteinander verbunden sind. Das lst bei einem Viereck nicht der Fall.

Die Verbindungsstellen der SUibe heiBen Knotenpunkte.

Beispiel fOr eine FachwerkbrOcke:

~.

Bezeichnungen am Fachwerk:

Knolen"'Sl.n~'

.D''

DiogonolstObe} FOIIstobe

Ver ti }(o ls tabe , P fosten

Das besondere Merkmal bei Fachwerken ist, dass in den Staben nur Normalkrafte

(Zug- oder Druckkratte) wirken. Dazu mOssen einige vereinfachende Annahmen und

Voraussetzungen erfOlit sein:

• Das Fachwerk besteht nur aus starren stsben mit gerader Stabachse;

• die Stabe sind an den Kontenpunkten gelenkartig miteinander verbunden;

• die Stabe sind zentrisch angeschlossen. Die Schwerlinien der Stabe

(Stabachsen) schneiden sich in einem Punkt;

• die Belastung greift nur als Einzellast in den Knotenpunkten an;

• die Eigenlast des Fachwerks wird zu den Einzellasten der 8uBeren Belastung

hinzugerechnet;

• jedes statisch bestimmte Fachwerk hat eine zugehorige Anzahl Stabe,

s

=2k - 3, s

=Anzahl der Stabe, k = Anzahl der Knotenpunkte;

• das Fachwerk ist statisch bestimmt gelagert (3-wertig).

, [ 9 J

[10]

Tragwerkslehre Einfiihrung 5-17



_ Institut fUr

._ Architekturwissenschaften:


_ Ingenieurholzbau

5.2.6.1 Einteilung der Fachwerke und deren Bezeichnung

Einteilung nach der Ausfachungsart:

i

! f\N\VVVl

I

I

I VSZ\7Sl!

~

I~zs~~

b . h.

I

I /1S2T\Z1\,~ ~ 3 ~ b .

[10] I~Ij

Parallelfachwerk mit follenden Diogono-

len (zur Milte hin)

ParaUelfachwerk mit stelgenden Diago-

nolen (zur Mitte h:in)

Strebenfachwerk (ohne Pfosten)

Strebenfachwerk.

Strebenfachwerk mit hochgezogenem

Untergurt

W-Fachwerk

Strebenfachwerk mit Pfosten zur VerkOr-

zung der Biegelange von Obergurt bzw.

Untergurt bei scnweren Losten

Die Fachwerke woren ouch ohne Verti-

kolstobe stabil.

Parallelfachwerk mit Pfosten und gekreuz-

ten Diagonalen

5-18, Tragwerkslehre Einfuhrung

I.



SCHNITTGROSSEN 5

Einteilung nach der Traqerform:

Parallelfachwerk mit Pfosten und Diago-

nalen

Dreieckfachweri< (Satteldochfachwerk}

Dochneigung a ~ 15°

Sotteldachfachwerk mit angehobener

Traufe (Tropeztrager)

Pultfachwerk

Dochneigung a~15°

Pultfochwerk mit ongehobener Troufe

Bogenfachwerk mit gelcrOmmten Obergurt

Bogenfochwerk mit gekrummten untergurt

Fischbauchfochwerk

einfaches Rautenfachwerk (aus zwei Stre-

benfachwerken oddiert]

K- Fachwerk

Tragwerkslehre Elnfiihrung 5·19



_ lnstitut fijr

L Architeklurwissenscharten:


_ Ingenieurholzbau

[1]

[1]

[1]

I 5.2.6.2 Regeln zum Erkennen von Nullstaben

In einem Fachwerktrager kOnnen manche Stabe bel bestimmter Laststellung weder

Zug- noch Druckkrafte erhalten. Die Normalkrafte dieser Stabe sind Null. Solche

Stabe werden als Nullstabe bezeichnet. HierfOr gelten folgende Regeln:

Regel 1:

Bei belasteten Knoten mit zwei Staben ist ein Stab ein Nullstab, wenn die Last in

Richtung des anderen Stabes wirkt.

A

Regel 2:

Bei unbelasteten Knoten mit zwei Staben sind beide Stabe nur Nullstabe.

A

Regel 3:

Bei unbelasteten Gurtknoten mit nur einem FOlIstab ist dieser FOlIstab ein Nullstab,

wenn die Gurtstabe in einer Wirkungslinie liegen.

Regel 4:

Bei unbelasteten Gurtknoten mit FOlistaben, die von anderen Knoten kommend

schon Null sind, ist ein weiterer FOlistab ebenfalls Null, wenn sonst kein anderer

FOlistab vorhanden ist und wenn die Gurtstabe in einer Wirkungslinie liegen.

Ii

[1] ~

I B

II

5·20 I Tragwerkslehre Elnfilhrung



SCHNITTGROSSEN 55.2.6.3 Schnittkraftberechnung von Fachwerken

Es stehen 2 analytlsche Verfahren zur Schnittkraftberechnung von Fachwerken zur

VerfOgung:

• Rundschnittverfahren;

• Ritterschnittverfahren.

Rundschnittverfahren

Prinzip: - jeder Knoten muB fOr sich im Gleichgewicht sein

- maximal 2 unbekannte pro Knoten

Beispiel:

Knoten 1: L H=O

} 0, und D, bestimmen

L V=O

.~

} S und U bestimmen

Knoten 2: L H=O

L v = o

Knoten 3: L H=O} 0, und D, bestimmen

L V=o

Ritlerschnitlverfahren

Prinzip: - Stabkrafte wahlweise mitten im Fachwerk bestimmen;

- System in 2 Teile schneiden, nachdem AufiagergroBenbestimmt wurden;

- max. 3 Stabe schneiden (Stabkratte zunachst als Zugkrafte

ansetzen);

- Gleichgewichtsbedingungen aufstellen.

[1]

Tragwerkslehre Einfiihrung 5-21



_ InstitutfUr

._ Archilekturwissenschaften:


_ lngenieurholzbau

[1]

Beispiel:

~(_~L~__+)~(_ ~L~__+)~(_ ~L~__)+

L M1 = 0: A. 1,5 L - F1. L - F2• 0,5 L - U. h = a ~

L M 2 = 0: A. L - F1. 0,5 L + o. h = a

L v = 0: A - F 1 - F 2 + D, = a

Stabkraft ubestimmen

Stabkraft 0

bestimmen

Stabkraft 0

bestimmen

5·22 Tragwerkslehre Einfiihrung



SCHNITTGROSSEN 5

[11]

f

5.3 TABELLEN FOR EINFELDTRAGER

TABELLE 1: Auflagergrol1en und Biegemomente von Kragtragern und

statisch bestimmt gelagerten Einfeldtragern

• •

Belastungsfall . Auflaqerkrafte Biegemomente

l ~ J : _ L _ 8 ' M(x) = -FxB=F

Ma=-Fl

2. I qx2

~~

M(x)=--2

B=qlql2

Ma=--2

:~i~tqx3

M(x)=--

B=ql

61

2 q{2MB=--

6

4 . M(x)=A.x

a lb b fur O~x~a, A=F-I

M(x) =B(l-x)~ I 1 " ,.

afur a~x~l

Al-L-J.. 8 B=F-I

maxM=F.a·b/1

5. IF FI=b=- F

2 A=B=- M(x)=2"x; maxM='4

2

6. F F

cs8A=8=F maxM=Fa

7 . ,;q - + - f - ,

qxql M(x)=- (I-x)

A=8=-. 2

Ifill III . 1 1 1 1 1 1 1 2 ql2

A ' T ' x - t . . . . .- - ~ maxM=-8

8. 1 q lx ( X 2 )( A=-ql M(x)=T 1-(2

Afiiti$61 ql2

8=- ql maxM=15,63

bei x==0,577

9. cA=qbc qabc

~ C f - F f- ImaxM=2T (2/-c)

}' 2 . 'qA. : : .a 1 1 b

J .~8B=qac beix=~+d

I I q

I qc qc10.a=b=- A=B=- maxM=a (21-c)

2 2

Tragwerkslehre Einfuhrung 5·23



_ Institut fUr

LArchitekturwissenschaften:


_ Ingenieurholzbau

[11]

TABELLE 2: AuflagergroBen und Biegemomente von statisch bestimmt

gelagerten Einfeldtragern mit Kragarmen-Befastungsfall Aufl agerkrafte Biegemomente

20, x::;,,:. . . . .

~ JFc Fcx

- - -":t .. . A=--M(x)

=A 'X=--. . . . .( I

ApJ ( B t : f l B=F(l+C)Ms=-Fc

l

21,maxMF=8~ (l2_C2)2

qI c A;=- (P_c2)

qc2

~ ' ~ f i Y + L21

MS=-Tq

S=-(I+c)2" --8 ..::21

maxMF=IMsl

wenn c=I(v'2-1)

22,

F c ( c~A=S"",F MA=Ms=-Fc

, i E r ~ - ~ r ~23,

M(x) =A,x ( 1 _ £ . _ _ X _ )x (+Zc

r' lrd M qx2

f r Ourx~CWI <'1=-2

A=B= qc2~ E " ! ' ~ ~(l+2c)

MA=Ms=-y

Mc= qP ( ! . _ C2)2 4 P

fUr c=O,35351wird

q[2MA=Mc

=±16


[1J Padia 1; Heller; Ernst und Sohn Verlag; 1998

[2 J

[3 J

~ [4]

I [5 J

I

I [6 ]

,I [7]

Ij [8]

I

Tragwerkselemente; Egger, Beck, Mandl; Werner Verlag; 1996

Baustatik, Teil 2, Festigkeitslehre; Lohmeyer, B.G. Teubner Verlag; 1996

Vorlesungen Ober Statik und Festigkeitslehre; Mann; B.G. Teubner Verlag;

1997

SchnittgroBenverlaufe, Fachbereich Arubi, Lehrgebiet Tragwerkslehre,

Universitat Kaiserslautern;http://www.uni-kl.de/AG-GoepferUtragwerkslehre.htm

Lastannahmen fOr Bauwerke, LS Tragwerksplanung, TU Dresden;


Merkblatt 355, Entwurfshilfen fOr Stahltreppen;

http://www.stahl-info.de/schriftenverzeichnis/pdfs/MB355.pdf

Godden Structural Engineering Slide Library; nisee; University of California,

Berkeley


ESDEP; Das Europaische Stahlbau-Lehrprogramm; 19969]


[11] Bautechnische Zahlentafeln; Wendehorst, B.G. Teubner Verlag; 1998

5·24 Tragwerkslehre EinfLihrung

http://www.uni-kl.de/AG-GoepferUtragwerkslehre.htm







http://www.uni-kl.de/AG-GoepferUtragwerkslehre.htm



_ lnstitut fUr

L-Architeklurwissenschaften:

r- Tragwerksplanung und 6_ Ingenieurholz-bau EINFOHRUNG IN DIE FESTIGKEITSLEHRE I MATERIALEIGENSCHAFTEN

Teil6: Einflihrung in die FestigkeitslehreJ

Materi aIeigenschafien

6.1 NORMALSPANNUNG, DEHNUNG

6.2 ARBEITSLINIE, ELASTIZITATSMODUL~3 SCHUBSPANNUNG

6.4 SCHUBMODUL (GLEITMODUL)6.5 WARMEDEHNZAHL

6.6 TABELLE6.7 LlTERATURVERZEICHNIS

6.1 NORMALSPANNUNG, DEHNUNG

6.1.1 Definition der Normalspannungen zufolge DrucklZug

Kraft bezogen auf Querschnittsflache ergibt Spannung. Spannungen, die senkrechtauf die Querschnittsflache stehen, werden als Normalspannungen bezeichnet. Die

physikalische Bezeichnung dafur ist "a".

a= ± F [kN/cm21A

F Kraft [kN]

A Ouerschnittsflache [cm2]

Zugspannungen entstehen zufolge einer Zugkraft und haben ein positives

Vorzeichen. Druckspannungen entstehen zufolge einer Druckkraft und haben ein

negatives Vorzeichen.

Beispiel Zugstab:

F~I~ ~I~FSpannungen im Inneren des Zugstabes:

a=F/Ar-:F~~I ~ ~I~F

A

.J




_ InsUtutfiir



_ Ingenieurholzbau

6.1.2 Definition der Dehnung

Beispiel fOr einen Zugversuch am Probek6rper:

I

I I~ D l1 - . 0

M.-E = - Dehnung

L

IlL Langenanderung

L Ausgangslange

MJEQ = - ....Ouerdehnung

DL

W Durchmesseranderung

D ,." Durchmesser

EV = _ . . . .. £ . . .. . Ouerdehnzahl

E

6L/2 F(j= - Normalspannung

A

6-2 Tragwerkslehre Einfilhrung



EINFOHRUNG IN DIE FESTIGKEITSLEHRE I MATERIALEIGENSCHAFTEN 6

6.1.3 Definition der Biegenormalspannungen

Ein Balken auf 2 StOtzen wird durch eine Kraft schraq zu seiner Achse belastet.

Dieser Balken biegt sich. Dadurch wird die Oberseite kOrzer und die Unterseite

lanqer. Damit steht fest, dass die Oberseite gedrOckt werden und die Unterseite

gezogen werden muss.

Oberseite wird kOrzer (Stauchung)

. . _ _ . . . . . . . .- - - - - - - - - - - - - - - - - p

- - _ ~-.- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Unterseite wird lanqer (Dehnung)

Druck (Oberseite)

"

Auflager ......_ I Auflager

Zug (Unterseite)

Unter Einhaltung gewisser Voraussetzungen (darauf wird in der Vorlesung

"TWL 1- Statik und Festigkeitslehre" naher eingegangen) kann proportional zur

Verformung des Querschnittes folgende Spannungsverteilung angesetzt werden:

h

Druckspannu ngen

~-- Zugspannungen

[1]

[1]

Tragwerkslehre EinfUhrung 6-3



_ InstitutfOr

LArchitekturwissenschaften:

r- Tragwer1lsplanung und

_ Ingenieurholzbau

[1 ]

[2]

6.2 ARBEITSLINIE, ELASTIZITATSMODUL

, Anhand von Versuchen (z.B. auf Zug oder Druck) werden die Arbeitslinien, auch

Spannungs- Dehnungslinien genannt, fOr verschiedene Baustoffe gewonnen. Dabei

werden die Dehnungen in Abhangigkeit von Spannungen aufgetragen. Die

Arbeitlinien sind charakteristisch fur die jeweiligen Bausstoffe.

6.2.1 Stahl

Zugversuch am Probekorpsr aus Stahl:

1 ·4-+----l -

1 ·

Arbeitslinie von Stahl S 235 (=St 360 = St 37):

+cr(NImm"J

fz·380 N I m m "

- E (Qauchung) (Oehnung) + E" 210.000 N I n w ' n "

E ' " 2 10 . 00 0 NImmo

elastisch

f,$'235NImIn" plastisch

- cr [NImm"J

1melastischen Bereich gilt das Hooke'sche Gesetz:

(j =&.E

Die Normalspannungen sind den Dehnungen proportional.

Der Proportionalitatsfaktor hei~t Elastizitatsmodul E.

Die Steigung der Arbeitslinie im elastischen Bereich ergibt den E-Modul (E= c r ) .e

6-4· Tragwerkslehre ElnfOhrung



EINFOHRUNG IN DIE FESTIGKEITSLEHRE I MATERIALEIGENSCHAFTEN 6

6.2.2 Beton

Druckversuch am Probek6rper aus Beton:

Arbeitslinie von Beton (verschiedene Betonguten):

- & (Stauchung) (Dehnung) +£

+ C T (N Imm2}

/ & pR IdeI f c : l -1/12 fe%0

' .

few = 20 N lmm" . Ie - 0 .8 few. fe = 1 6 N l II II 1 1 '

E = 27500 N lmm"

plaatisdl

6.2.3 Holz

Druckversuch parallel zur Faser am Probek6rper aus Holz:

f

[1 1

[2 J

[ 1 J




_ InstitutfUr


rragwerksplanung und

_ Ingenieurholzbau

[2]

Arbeitslinie von Holz parallel zur Faser:

-s. (stauchung)

+o[NImm"J

f . , . ' " eo --------J/

I/

/

I eIaIIiadI

/I

I

t an (l .z . . E.. '"11.000 N Itnm ' /

60S%. la.z (Dehntmg) +8.

(Oehnung)4

E

[ 0100]

6.2.4 Glas

Arbeitslinie von Glas:

a[N/mm2 ]

200

(ESG)120 ,

r

r (TVG)70 ,._•..•• - •••• _+, • • - _ • • - . -• •• • ~ - -- -

; ! (Aoat)45 -~".- · · r - · ·" r · · " ~ . " . -

2 3


I



EINFUHRUNG IN DIE FESTIGKEITSLEHRE I MATERIALEIGENSCHAFTEN 6

6.3 SCHUBSPANNUNG

Wenn an einem Korper parallele, entgegengesetzte Krafte angreifen, die nur gering

zueinander versetzt sind, dann entstehen Schubspannungen ", If,welche in der

Querschnittsflache liegen. In diesem Fall wird die Schubspannungsverteilung

gleichmassig verteilt angenommen:

F,=-A

F,=-A

A

Schubspannungen entstehen autserdern zufolge Querkraftbiegung und zufolge

Torsionsbeanspruchung (darauf wird in der Vorlesung "Statik und Festigkeitslehre"

naher eingegangen).

'.,




_ InstilutfGr

._ Architeklurwissenschaften:


_ Ingenieurholzbau

6.4 SCHUBMODUL (GLEITMODUL)

Schubspannungen " t: " verursachen Verformungen (Verzerrungen):

{

~~.........._-....... I

- -I

__~ •. y J.. . _ - _ . _

1melastischen Bereich (kleine Verzerrungen) sind Schubspannungen den

Verzerrungen proportional:

ry::::tany= G ~ r= G . y ;

y Gleitung oder Schiebung

G Schubmodul (Gleitmodul); Materialkonstante fOr kleine Verzerrungen

Es gibt einen Zusammenhang zwischen ElastizitiUsmodul E, Schubmodul G und

Querdehnzahl v:~:

EG- .- 2(1+ v) ,

&QV = -- ....Querdehnzahl

e

Bei Metallen gilt: G:::: O,4.E

6-81 Tragwerkslehre EinfOhrung

I



EINFOHRUNG IN DIE FESTIGKEITSLEHRE I MATERIALEIGENSCHAFTEN 6. ,

• 6.S WARMEDEHNZAHL

Infolge Erwarmung rnochte sich ein Korper ausdehnen. Die Warmedehnzahl a gibt

die Langenanderung eines 1m langen Stabes bei einer Temperaturanderung von

IJ.T =1 C o an.

1

r-----------------,----I~ ~l J

6L_ . .

Wie bereits bekannt gilt:

IJ.LE = - . .. . .Oehnung

L

Oaraus folgt:

I J . L = E.L

Weiters gilt:

E = a .I J. T . .. .. Oehnung zufolge Temperaturdifferenz

Damit ergibt sich:

IlL = a .I J. T. L .. .. Langenanderung zufolge Temperaturdifferenz

a ...Warmedehnzahl'J

Wenn diese Ausdehnung behindert wird, ergeben sich groBe Spannungen undKrafte:

a = E .E = E.a.IJ.T

F = A . O ' = A.E.a.IJ.T

~T

'\A . E .a




_ Institutfiir

.._ Architekturwissensehatten:


_ Ingellieurholzbau

6.6 TABELLE

Tabelle der Materialeigenschaften

Beton

830

2750 6500 2500 2,4

500 1000 50 0,5(in Faserrichtung)

2400 3000 900 -1900 1

3000 7000 0,5

1400 300 0,4

1Material Oichtep E-Modul G-Modul Warmedehnzahl ex

[kg /m3] [kN/cm

2

] [kN/cm

2

] [10·S

.K.1

]1

!rS~t-ah~I---------+~7~8~50~+-~2~1~0~00~~~8~0~00~~----~1~,2~--~

l S 235 (=St 360I =St 37)I~~~--------~~~~+-~~~-+---=~---+------~----~! Aluminium

I legierungenlr-------------~------+---__---+----~---+------~----~r HolzS 10

I Glas (Float)j PVC (hart)


[1] Statik und Festigkeit; Geiger; Schweizer 8audokumentation; 1987

[2] Tragwerkselemente; Egger, Beck und Mandl; B.G. Teubner Verlag; 1996

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