+ All Categories
Home > Documents > Trace vs Maximum Eigenvalue

Trace vs Maximum Eigenvalue

Date post: 24-Dec-2015
Category:
Upload: nikitas666
View: 227 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
Description:
trace vs eigenvalue
31
econstor www.econstor.eu Der Open-Access-Publikationsserver der ZBW – Leibniz-Informationszentrum Wirtschaft The Open Access Publication Server of the ZBW – Leibniz Information Centre for Economics Nutzungsbedingungen: Die ZBW räumt Ihnen als Nutzerin/Nutzer das unentgeltliche, räumlich unbeschränkte und zeitlich auf die Dauer des Schutzrechts beschränkte einfache Recht ein, das ausgewählte Werk im Rahmen der unter → http://www.econstor.eu/dspace/Nutzungsbedingungen nachzulesenden vollständigen Nutzungsbedingungen zu vervielfältigen, mit denen die Nutzerin/der Nutzer sich durch die erste Nutzung einverstanden erklärt. Terms of use: The ZBW grants you, the user, the non-exclusive right to use the selected work free of charge, territorially unrestricted and within the time limit of the term of the property rights according to the terms specified at → http://www.econstor.eu/dspace/Nutzungsbedingungen By the first use of the selected work the user agrees and declares to comply with these terms of use. zbw Leibniz-Informationszentrum Wirtschaft Leibniz Information Centre for Economics Lütkepohl, Helmut; Saikkonen, Pentti; Trenkler, Carsten Working Paper Maximum eigenvalue versus trace tests for the cointegrating rank of a VAR process Discussion Papers, Interdisciplinary Research Project 373: Quantification and Simulation of Economic Processes, No. 2000,83 Provided in Cooperation with: Collaborative Research Center 373: Quantification and Simulation of Economic Processes, Humboldt University Berlin Suggested Citation: Lütkepohl, Helmut; Saikkonen, Pentti; Trenkler, Carsten (2000) : Maximum eigenvalue versus trace tests for the cointegrating rank of a VAR process, Discussion Papers, Interdisciplinary Research Project 373: Quantification and Simulation of Economic Processes, No. 2000,83, http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:11-10048091 This Version is available at: http://hdl.handle.net/10419/62268
Transcript
Page 1: Trace vs Maximum Eigenvalue

econstor www.econstor.eu

Der Open-Access-Publikationsserver der ZBW – Leibniz-Informationszentrum WirtschaftThe Open Access Publication Server of the ZBW – Leibniz Information Centre for Economics

Nutzungsbedingungen:Die ZBW räumt Ihnen als Nutzerin/Nutzer das unentgeltliche,räumlich unbeschränkte und zeitlich auf die Dauer des Schutzrechtsbeschränkte einfache Recht ein, das ausgewählte Werk im Rahmender unter→ http://www.econstor.eu/dspace/Nutzungsbedingungennachzulesenden vollständigen Nutzungsbedingungen zuvervielfältigen, mit denen die Nutzerin/der Nutzer sich durch dieerste Nutzung einverstanden erklärt.

Terms of use:The ZBW grants you, the user, the non-exclusive right to usethe selected work free of charge, territorially unrestricted andwithin the time limit of the term of the property rights accordingto the terms specified at→ http://www.econstor.eu/dspace/NutzungsbedingungenBy the first use of the selected work the user agrees anddeclares to comply with these terms of use.

zbw Leibniz-Informationszentrum WirtschaftLeibniz Information Centre for Economics

Lütkepohl, Helmut; Saikkonen, Pentti; Trenkler, Carsten

Working Paper

Maximum eigenvalue versus trace tests for thecointegrating rank of a VAR process

Discussion Papers, Interdisciplinary Research Project 373: Quantification and Simulation ofEconomic Processes, No. 2000,83

Provided in Cooperation with:Collaborative Research Center 373: Quantification and Simulation ofEconomic Processes, Humboldt University Berlin

Suggested Citation: Lütkepohl, Helmut; Saikkonen, Pentti; Trenkler, Carsten (2000) : Maximumeigenvalue versus trace tests for the cointegrating rank of a VAR process, Discussion Papers,Interdisciplinary Research Project 373: Quantification and Simulation of Economic Processes,No. 2000,83, http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:11-10048091

This Version is available at:http://hdl.handle.net/10419/62268

Page 2: Trace vs Maximum Eigenvalue

������������ ���������

� ������� ��� ���� "!�#%$��'&��(! )*!�+-,.��,0/1+2�435! /6!�,87.,:9<;=+>7.?(!@ ;A��#%7.!B A+2�C7.��#( D0�4#�E ;"9F� )HGID JK+-;L3M!�,.,2N

�PO

Q �RTS4UV�5WYXU���Z<\[]�<^_RQ U_S'���RT`��Ma�b_ced�\�gfgce�hOjik��lRTcmb

n \bP�l��c8oVp<cmZPZ<��b_\ba5b_cmd<��lfgcm�hO%�<q Q �RmfgcTbVZrc

p<b_`stp��gfl�g�b�u8�l�b_ZPRT\�

Q U_S'���RT`��Ma�b_ced�\�gfgce�hOjik��lRTcmb

v `V`_�g\fgfLqw���%���<�g�g\fg[��b_`_\b_���x Q �RmS'UV�LWtXUV�gZ<�[��^_Ry��zhbVfl��ce��UV�{q|XUV�Lor�}p~��cTf���cmZ1U_bV` X�BZ���b_��SA\�g�gcT��Q UVS'�]�<RT`V����a�bVcmd�\�gflcm��Xp~���Po�[_p<b_`�p<UV��YoP�����k���r���}���V���<��ik��lRTcmb�����\�gS=p<b�O��P�S=p<cTRyx�RTU_���Z<����Mcm�Mc���^PU�����gRmcTb���`_

�%�8�\�������<�

uY^_�[_�g��[�����cm�f���q�p��gp<b_����<q�S=p~ �cTS'UVS��cm���b�d�p<RTUVkp<bV`4���gp<��-��\fl��f8qw���¡�g^_�����cmbP�g����gp���cmb_�5��p<b_Z��<qp�d<��\�g���2p<U������l����l�fgflcmd<t[_�g�r��\fgf2p��gk�\��SA[�p<�g\`���uY^Vk��\fl��f.p<�gkp<RTRPRTcmZ<\RTcT^V���r`���p��gcT�M�hO�[k�g�fl�gf2p<b_`��[��gp���BUVb_`_��M`_ce¢£\�g\bP�Yp<fgflU_S=[���cT�<b_fY�g\��p<�g`VcTb_�4�g^_�`_�����lS=cmb_cTf���cm��[�p<���Y�<q���^V�`�p��}p'�<�b_\��p��gcT��b[_�l���\�fgf\�2uY^_Bp�flOrS=[����<�gcT�M`_cTf����lcT�_UV�gcT��bVf�UVb_`_���RT�r��p�R�p<Rm�g��gb_p���ced��f�p<�l��<cmd�\b%p<bV`=��^V�Rm����p<R�[]������cTfk`_��lcmd�\`��-z¤�McTfkqw�<U_b_`¥��^�p~�Y��^_�Rm����p<R][���k\�M�<q¡�����l�g�fl[]�<b_`_cTbV�AS=p~ �cTS4U_S¦�cT�<�b�d�p<RTU_Bp<b_`¥���gp<����\fl�gf�cmf�d�\�lO�flcTSAcTRTp<��� v*§ ��b���Astp<�lRT�¥�\��S=[_p<�gcmfg��b(fl^_���Mf���^_����\d�\������^�p~����^_\�g¨S=p�O��¨fgRTcm��^��`_ce¢£\�g�bV���fkcTb{flS{p�RTR�f�p<SA[_Rm�f���uY^_��g��p<�\���\fl��f����bV`{���C^�p�d��SA���g5`_cTf���������\`{fgcm©�\fk�M^_��l�p<f���^_\cT�[������5cTfYcmb¥fg��SA�fgce��U�p��gcT��bVftfgU_[��lcT���Y�g�"�g^�p��M�<q¡��^V�S=p~ �cTS4U_Sª\cT��\b�d<p�RTU_B�g�fl�gf��«�¬C­]®y¯�°|±�²2³�°�´�µ�¶£·|¸¹�º�º ­�»Y°|±~±.µ½¼�·r¯~­�´¿¾�µ ¹ ´�À�¼\»t»k­l±�®�ÁV°|±~Â2ã­]°�·y­ º ·¤°}®y­�µ ¹ ´\®y¼�®�¯�­�Ä¡­ ¹ ®�Á�À¤¯�­]Å~¼�·¤ÁyÀ¤¯ ¹ ± º Á º ­�»t­lÆDZ�ÈÁ�À¤¯~°}µÉ®gÊ�Ë�Å_¶{Ì�Í}Ì~Ê�°|±�Âk®y¯�­¡Î ¹ ·�¼�¾<­l°|±MÏ]¼�»t»tÆÐÁyÁyÆǼ\± ¹ ±~Â�­l·�®y¯~­¡Ñr·¤°|Æ¿±�Æ¿± º °|±~ÂYÒ�¼�Ó�Æ¿´ÇÆÇ®wÔ�¼�µP³Õ­lÁy­l°�·�À¤¯�­l·�Á_Ö·y¼ º ·¤°|»t»t­× À�¼�±�®y·¤°�À�®�Ø�¼~Ù_γ¡¶£Å_Ò�³�Ú8Ï£ÑÕÛ�Ü�Ý�Þ�ßgÌ\àhÊgµ½¼\·_á~±~°|±�À�Æа|´~Á ¹ ¾�¾<¼�·y®lÙ_Ñ�¯�­�Áy­lÀ�¼\±~Âk° ¹ ®�¯�¼�·�°�´¿Áy¼�®y¯~°�±�²�ÁV®y¯�­Õâ�·mã�¸¼2ä\°�¯~Á�Áå¼\±Å�¼ ¹ ±~Â�°|®yÆ¿¼�±�°|±�Â5®�¯�­-æ�´¿­�ç�°�±~Â�­�·¡è�¼�±Bé ¹ »�Ó<¼�´ÐÂ�®8Å�¼ ¹ ±~Â�°|®yÆ¿¼�±�µ½¼�·�á~±~°|±�À�Æа|´PÁ ¹ ¾�¾<¼�·y® ¹ ±~Â�­l·¡°Yé ¹ »�Ó�¼\´¿Â�®¡·y­gÁå­g°|·¤À¤¯°�Ã�°|·¤Â�ÙVÖ�°�·å®�¼|µV®y¯~Æ¿ÁÕ·�­lÁy­l°�·�À¤¯5ã°\ÁÕÂ�¼�±�­.ÃÕ¯�Æ¿´¿­2¯�­.ã°\Á�è�ÆÐÁyÆ�®�ÆDZ º ®�¯�­-é ¹ »�Ó�¼\´¿Â�®8ê�±�Æ¿è�­l·�ÁyÆÇ®wÔYÆDZ�¶£­�·�´ÇÆ¿±PÙ

Page 3: Trace vs Maximum Eigenvalue

ë ì #¥7.+2;Lí���3M7.��;A#

zhb"�SA[_cT�lcT��p<R�f���U_`VcT�f2��q]f�Orfl��\S=f-�<q\����b_�<S=cm�k��cmS=�fg��lcT\f�����^_YbPU_S4�]\�2�<q����cmbP�g����gp���cmb_�B�l�Rîp~��cT�<b_fcTf8�<qï��\b¨�<q�S=p�ðl����cmb�����l�f��2�]\��p<UVfgYcm�.p�¢]��\�gf.��^_kS=�r`_�Rrfg���U_[Ap<bV`¨cTbVqw\�g�bV��t[_�l���\�`_UV�g�f-p~�.�<�g^_��fl��p<��\f��<q8��^_Cp<b�p<ReOrfgcTf\�tuY^_\�g\qw�<�g<���^_����<cTb���\����p��gcTb_�A��p�b_Z¥�<q2pAflOrfl�g�SñcTfMU_flU�p<RTReO¥cTb�d<�fl�gcT��p~���`p���p<bj�p<�lRmO¥f��}p<�<<�kz¤q2p"d<��\�g����p<UV���<�g��<�g�flfgced�¥òïó v�ô�õ SA��`V�RÕcTf5p<b�p<`_\öPU�p����`_\fg���lcT[V�gcT��bj�<q8��^_`�p���p���\b_��gp���cm��b÷[_�g�r��\fgf¥òå��� n õ �ÕRTcTZ��RmcT^_�r��`��gp���cm�øòåW ô�õ �hOr[]A��\fl��f4p<f�[_�g��[��fl�`ø��Oúù<��^�p<bVfg�bò���û����V�2��û<û� õ p<�l'��^_"SA��fl���\��SAS=��bVRmOjU_fg\`úcmbVqw��l�b_�\"�g���<RTfBcmb(��^_cmf�����b���| r���"ut�k�Ld�p<�gcTp<b���f��<q��^V�fgC���f���f�p��g'p�d�p<cmRîp<�_Rm<�_�g^_'fg�~�h��p�RTRT\`�S=p~ �cTS4U_Sü�cm���b�d�p<RTUV��g�fl�gf�p<b_`���^_4�g��p<�\C�g�fl�gf���i��<��^�hOr[]\ft�<q��g�f���fYp<�l5qw�l�öPU_\bP�gRmO{p<[_[_RmcT\`=cmb{�SA[_cm�gcT��p<R_f���U_`_cm�f\����ced��b=��^_�RT��b_�~�¤��cmS=k���r� �cTf����bV��B�<q��^V��h���=�g�f���f5cm�McTfYflU_�g[V�gcTflcTb_�"��^_p��M��b_ReO¥RTce�g��Rm�cmf5ZPb_���Mbýp<�]�<UV�M��^_��g\Rîp��gcmd<�[]\�lqw���lS{p<bV����<q¡��^_�h���A�hOr[�f5�<q.W ô �g�fl�gf��

u8�r`�p"ò���û�û<þ õ �g\[]������f.�<b"p § ��b���Mstp��gRT��� �[]\�gcmS=\bP�.����SA[�p<�lcTb_���g^_tflS{p<RmR�fgp<SA[_RT�[_�g��[�����cm�f�<qY�g^_=�h���(�hOr[]\f¨�<qY��\fl��f'p<b_`úÿ�bV`_f4��^_p��'b_\cm�g^_��'��qt��^_=���f���f'cmf4U_bVcmqw���lS=ReO�fgU_[��lcT���C�_UV�C��^_���gp<�����\fl��f�[]\�lqw���lSñ�\�l��\��cTb�fg��SA�fgcm�gU�p��gcT��b_fM�M^_\�g4�g^_4[���k\��cTf�RT����� Q cmf�flcTS'U_RTp���cm��bLfl�gU_`VOcTf�RmcTSAcm��\`(cTb p¥bPU_S'�����<qt�l�fg[�����f\��^_����\d�\��� � cm�gf�����^_A����b_flcT`_\�gf��_cmd�p<�lcîp��g¨��� n f���bVRmO�� � �����^V�fg{[_�g�r��\fgfg\f��2S=p~ �cTS'UVS �cT�<�b�d�p<RTU_=p<b_`÷���gp<��A���f���f'`Vcm¢]�����b_RmO��M^V�bø��^V{bPU_RTR-^�Or[]����^_\fgcTffl��p���\f��g^�p��M��^_����<cTb���\����p��gcTb_�"�gp<b_Z¥cTfM©\��g�A�M^_cT�}^�cTfM��Rm�p<�lRmOLp"fg[��\cîp<R�flcm��U_p���cm��b��ko���\��b_`��u8�r`�p���<b_fgcm`_��lf���b_ReOB��\fl�gf��M^_cT�}^4p<RTRm���úqw���¡p�`V\��\�gSAcTb_cmfl�gcT�-RTcmb_�p<���g�g\b_`'cTb���^Vt��� n ��uY^_�[]\�lqw���lS{p<bV���<qt�g�f���f4�M^_cm�}^ `_�ýbV�<�¨p<RmRT���Kqw�<�4pýRmcTb_�p<�����l�b_`ø�VUV�5ðlU_f��"p�SA�p�b ��\�gS cTf�ZPb_���Mbø���(�{öPU_ce��`_ce¢£\�g�b����

zhb ��^_¥[_�l�fl�b��Afl��UV`VOú��¥�McTRTR�[��lqw�<�gS p(����SA[�p<�lcTfg�<bø�]��h�k\�b1S{p~ �cmS'U_S �cm���b�d�p<RTUV%p<b_`���gp<��j��\fl��fA�}p<ZPcmb_�úcmbP�g�úp������<U_b��%fg�<S=LqwU_�l�g^_��{p<fg[�����f\� � cm�gf��=��q�p<RTRy����ý�McmRTRY���<S=[�p��g¥��\fl��f��p<fl�` ��b `Vcm¢]��g\b��4p�fgfgUVS=[V�gcT��bVf��l���p��g`_cmb_�¥��^_A`_\�g��lS=cmb_cTf���cT�4[�p<�l���¡�g^�p���cTf\�Õ�kA����bVfgcT`V�����\fl��fqw������� n f��Mce��^�p<bV`(�Mcm��^V��UV��RmcTb_�p<�5�g�g\b_`(��\�gSAf�� v Rmfg�%`_ce¢£\�g\bP�����g�p���SA�b��gfB�<q-��^_4S=�p<b�p<b_``_�����lS=cmb_cTf���cm�����l�b_`¨�g��gS �M^_cT�}^"^�p�d<5��\b"[_�g��[��fl�`"cTb'�g^_YRTce����gp���UV�g��McmRTRr�]Y�\��b_flcT`_\�g�`"cmb'��^_[_�l�fg\b��4f���U_`VO<� § �<�g"[_�g\��cmfg�ReO��¡pLbrUVS'�]\���<qtW ô �hOr[A�g�fl�gfC�l\drcT��k\`úcmb Q U_�_�lcT�}^��¡WYXUV��Z��[��^_R� oVp�cTZPZ<��bV�búò��<����� õ �McTRmR��]�cmb_��RmU_`_�`LcmbL�g^_�����SA[�p<�lcTfg�<b�� § ���l���d�\�����k�`_�"b_�<�5��b_ReO%qw�r��U_fM��bfgS=p<RmR2f�p<SA[_RTAfgcmS'U_RTp���cm��b_f��_UV�'p<RTfl���\��S=[_p<�gA��^_=RT�r��p<R2[���k\�'�<qt�g^_{`_ce¢£\�g\bP�C��\fl��f\� � cmb�p<RmRmO����U_� § ��b���4stp<�gRm�¨fl��UV`VO¥�}p<Z��f5cTb����Ap<�\����UVbP�5^_cm��^_\�Y`_cTSA�b_flcT��b_p<R£[_�l���\�flfg�f�p<fY�k\RTRy�

uY^_¥fl�gU_`VO cmf4f����gUV�\��UV�g�`1p<f4qw�<RTRT���Mf\��zhbø��^_¥b_| r�"fg�����cm��bø��^_{S=�r`_�R�qw��p<SA\�����lZúp<bV`ø��^_^�Or[]�<�g^_�fl�f��<q]cTb���\�g�f���p<�gY`VcTfg�\U_fgfl�`��2uY^VM�g�f���f�p<b_`¨��^V�cT�-p�flOrS=[����<�gcT�t[_�l��[��l�gcT\f2p<�gY[V�g�fl�b���\`

Page 4: Trace vs Maximum Eigenvalue

cTb�o�\�\�gcT��b��V� v RT�r��p<R£[]������5����SA[�p<�lcTfg�<b¥cTfY[��lqw�<�gSA�`jcTb�o������cm��bLþ{p<bV`j�g^_��g�flU_Rm�gfM�<q.p"fgS=p<RmRf�p�S=[_Rm{flcTS'U_RTp���cm��búf���U_`�O p<�l%[_�g\fg\bP�g�`6cTb6o�\�\�gcT��b6 ��÷sk�<b_��RmU_fgcm��b_f¨p<�l¥`_��p��Mb cmb6o������cT�<b��V�o���SA�S=p���^_\S{p~��cT��p<R£`V��gced�p���cm��b_fYp<�l�`_\qw\�g�g\`j�g�¨��^_ v [V[]\b_`_ce ]�

uY^_"qw��RTRm���Mcmb_�%��\�gSAcTb_�<RT���<Oýp<b_`÷b_�<��p���cm��b cTf�U_fl�` �g^_�g�<U_��^_��U����AuY^_{`_ce¢£\�g\b_��cmb_�L��[]\��p��g���cTf5`_\b_�<��\`(��O��L����^_p���cmf���qw���5pA�gcTSA�fg��lcT\f����Mfl�g���}^_p<fl�gcT�4[V�g�r���flf�����'^�p�d��� ������������������uY^_�flOrS'���R��£ò�� õ `V�b_�<�g�f{p<b1cmb�����<��p��g�` [V�g�r���flf{�<q����g`V���������^�p~�{cmf����g^_j[_U_�g\RmO f����r�}^�p<fl�gcT�[�p<�����<q£�g^_�[V�g�r���flfkcmf�f��}p��gcT��b_p<�lO¨�<��p�flOrS=[����<�gcT��p�RTRmOCfl��p���cm��b�p<��O"p�qï�g��-`_cm¢]��l�b_�\cTb_���C�gcTSA�f.�M^_cmRTcm��cmf�f���cmRTR.b_�<b_fl��p���cm��b�p<��O p�qï��\�C`Vcm¢]��g\b_��cmb_�'ðlU_fl�����F�A�gcTSA�f��%sk��b�d�\�g��\b_��%cmb `VcTfl�g�gcm�_UV��cm��b ������p<Z �\��b�d���l���bV��(cmf¨fgcT�<b_cmÿ�\` �PO ! �6uY^Vj�g��p<�\<���g^_L��p<bVZ p<b_` ��^_LS=p~ �cTS=p<Rk\cT��\b�d<p�RTU_¥�<q��^V%S{p~���gc½ #" p<�l{`_\b_�<�g�` ��O �g��ò�" õ �.�lZ�ò$" õ p<b_`�%'&)(+*�ò�" õ �.�l�fl[]\�\��ced�\RmO���z¤q�" cTf'p�b ò�,�-/. õS=p����lce ���q�qwU_RmR.���<RTU_SAb ��p<b_Z6ò$,102. õ �¡��=`V�b_�<�g{p�b ������^_�<����b�p<R�����SA[_RT\S=\b����PO3"46fl���g^�p��"54�cTftp�b ò�,6-�ò$,��7. õlõ S=p����lce "��qÕqwU_RTR����RmU_SAb{��p�b_ZAp<b_`%flU_�}^¥��^�p��8":9;"54��F�V�.uY^_����l�g^_������b_p<R���<S=[_Rm�SA�b����<q�p�b_��b_flcTb_�<U_Rîp<�-flörU_p<�g�S{p��g�gc½ "cTf-©�\�g�¨p�b_`=�g^_�������^_�<����b�p<R��\��SA[_RT\S=\bP���<q�pC©\��g�S=p����lce ýcTf�p<b cT`V�b���ce�hO(S=p����lce ý�<qkflU_cm��p<�_Rm'`_cTSA�bVfgcT�<b�� v b ò$,<-#, õ cT`_\bP�gcm�hOýS{p��g�gc½ (cmf�`_�b_�����`��O=�?>�����W8o%cmftU_fg\`j�g�Ap<�_�_�l\drcîp��g����bV���p�RTcT©\�`LRT�p<fl�tfgöPU�p<�l�f�p<b_`L����^���f��-cTftfl^_�����5qw�<�t�gcm��^��Y^�p<b_`fgcm`_<��óA@�s § p<�_�V�g\drcTp���\fBd����������\�g�g�<�B�����l�g\�\��cm��b�SA��`_\R�� v flU_S>cmfB`_�ÿ�b_�` ���¥�'©\��g�Lceq2��^_RT������M���U_b_`L�<q8��^_�fgUVS=S=p���cm��b%cmb_`_� ¥� ���\�`_f�cm��fYUV[_[]\�M�]��UVb_`��

B � ;Lí(!�&�,ñ�'#�í CED6Fú;¨7.?(!�,�!�,ü;"9 ì #%7�!�+2!�,87GIHKJ L/M5NPO Q�RANTSVUv b1���_fl��ld�p<�VRTW,��h`_cmS=\b_fgcm��b�p<R���cTSALfg\�gcT\fX��Y� ò��Z�$\[^]^]^]_[`��>a õ 9 òcb=� �d[^]^]a]e[`f õ cmf=�\��b_flcT`_\�g�`�M^_cm�}^�cmfY���b_\��p��g�`��PO{��^_���� n��e�hg_i�j�g��+b_j�k�+[ bl� �d[}�m[^]^]^]n[ ò��m]e� õ�M^_\�gog_iAp<b_`<g��4p<�l÷ò�,�- � õ [�p���p<SA\�g��4d<��\�g���gf"�<q5��^V¥`_\�g��gSAcTbVcTfl�gcT�"��\�gSj�úuY^_%ÿ��lfl�"��bV<�g_i��M�McTRmRM�]��l\qw��l�g\` ��� p<f%SA�p�b ����lS p<bV`1g��AcTf=��p<RmRT�`1���g\b_` [�p<�gp<S=���\��� uY^_�[_�l���\�flfok��g\[_�g\fg\bP�gf4��^V=f����r�}^�p<fl�gcT�A[�p<�����M^VcT�}^úcmf�cTb÷���b_\��p<R-U_bV���_fg\�ld�p<�_Rm{p�b_` ^_p<fC©\��l�ýSA�p<b��=uY^PU_f����^Vj`V\��\�gSAcTb_cmfl�gcT�¥p<bV`1f����r�}^�p<fl�gcT�j[�p<����fAp<�gLflcTSA[_RmOúp<`_`_\` cmbFòy���e� õ � z¤�AcTf"p<flfgU_SA�` ��^_p��"��^_���<S=[��b_\bP�gf-�<qpk�Õp<�lMp��-S=�<fl�l�]ò�� õ �.uY^_cmf2cTSA[_RTcm�f¡��^�p��q��cTf-p<Rmfg��p��-SA��fl�r�£ò�� õ �2�Bq�\��U_�gfl<�P��^_\�gS=p�Oj�4�\��cTb���\����p~��cT�<b(p<SA��b_�A��^_4d�p<�lcîp<�VRT�f5�<qrk��p<bV`��£^_\b_������<qq��h� § �<�g���d<����_k�-cmfBp<flfgU_SA�`

Page 5: Trace vs Maximum Eigenvalue

���"�����b_\��p��g�`j��Ojp¨ó vBô [V�g�r���flf�� � ���t���<bPd<�b_cm�b_�\<���k��M�gce��B�g^_�[_�g�r��\fgf5cTb¥óA@�s § qw�<�gSj��Yk�s�utvk�����Tj1w ���x y z �n{ y �Yk��� y j�|}~[ bq� ��[|�m[^]^]a]_[ ò��m]¿� õ�M^_\�g#t p<b_` ��^V { y p<�g6ò$,h-�, õ S=p��g�gcT�\�f%��qCUVb_ZPb_���Mb [�p���p<SA\�g��gfLp�b_`1|�X� cmcT`�òå��[�� õ cTfcTbV`_�[�b_`V�b���ReO���cm`_�b���cm��p<RmRmO�`VcTfl�g�gcm�_UV��\`C�M^_ce���b_��cTfl��Mce��^'©\��l�BS=�p<b'p�b_`'b_��bVfgcTbV��U_Rîp��8�\��d�p<�lcîp<bV��S=p����lce ��B� § ���l���d�\���-cTbúfg\�l��cmb_�(U_[ W ô �hO�[%��\fl�gf'cm�4cTf'p�fgfgUVS=\`ø��^�p��4��^_X|}Mp��gL��p<U_flfgcîp�b����^_p���cmf���|}��¦cmcT`��úòy��[�� õ p<b_`��^_�bV��<��k��p<b_`���2p��gCp<RTfl�¥��p<U_fgflcîp<bj[_�l���\�fgfl�f\��uY^_CfgU_S:��bj��^_����^���f��2�<q-ò����¿� õ �g\[_�g\fg�b��gfk��^_�fg^_�<�l�l����\�gS*`VOrb�p<SAcT�\f���q£��^V�[_�l���\�fgf\�2z¤�k`VcTf�p�[_[]�p<�gf�cmqZ�=� ���.uY^_cTbVcm��cTp<R_d�p<RTUV�f�k�kòcbl���q�5j1�d[^]^]a]a[}� õ p<�l�p<fgflU_SA�`%���4�]B©\��l�'qw���k�\��b�d��bVcT�bV��<��uY^_�p�flOrS=[����<�gcT�p<b�p�RmOrfgcmfk�g\S{p�cTb_f�d<p�RTcT`{cmq��g^_\O%p<�g�p�fgfgUVS=\`L�g�¨�]Bp<b�O{�gp<b_`_��S d�p<�gcTp<�_RT\f��M^VcT�}^L`_�¨b_�<�k`_�[�bV`��b¥��^V�fgp<SA[_RT�flcT©���

�B\ÿ�bVcTb_�=� �� w���� � ò$� 9���� [^]a]^]?[`� 9�� w õ+9 �£ce�BcTf��p<f�Oý�g�%fg\'��^�p�����^_4[_�g�r��\fgfA���p�RTfg�{^�p<f�p=ó5@�s §�g\[_�g\fg\bP��p���cm��bL�M^_cT�}^j��p<bj���M�lcm�l���bLcmbL�g^_�qw��RTRm���McTb_�¨p�Rm��\�gb�p~��cmd<B�tp�Orf�x������ ��i�j��d�+bej�t:������sj { � � �� w?� ����� j���� ��j������Yxdtv�5�� b)� ������� �� j { ��� �� w�� ����� j��p� ��j�t � � ����� j { � � �� w�� ����� j���~[ bq�<��j �d[���j1�m[^]^]^]�[ ò��m]�� õ�M^_\�g���i�� �:t:gnijªò���>�j t¡�£¢ w ���y z � { y õ g��|����¤� �tvg����5�P� ��i:j2�d�|�5t � � ����� xAtv�y�� ����� �¥�¦b)� �CxZ�Z9���� �§9î� { �¥� { �Yx�¨©¨©¨�x { w ���~�¡p<bV`¤� � �� w�� ����� ��� �� w?� ����� ��� �� w��Zª �k�B�[�b_`VcTb_�A��bL��^_p<flfgU_SA[V��cm��b_f�qw����g_i4p<b_`«gT�|�8`Vcm¢]��g\b��4�l�fl�g�gcm�\��cm��b_f��McTRmR.�=cmS=[��fg\` �<b/�]�r��i4p<b_`<�d�|� v �_�lcT\q`_cmfg��UVfgfgcm��bj�<q8�g^_�`_cm¢]��l�b��5��p<fl�fM�McTRmR£���<cmd�\bLcTb�o������cm��bW���V�M^_��l��g^_�����cmb�����<��p��gcT��b%�g�fl�gf�p��g[_�l�fg\b����`£�kuY^_�^�Or[]�<�g^_�fl�f��<q�cmb�����l�f��5�McmRTR������<b_fgcm`_��l�`ýbV� r���GIH~G ¬�­:®�Qq¯'M5NsU�NsU°Q²±o³µ´I¯�Ns¶�NsUZ¯z¤��cTf-�k\RTRe�¤ZPb_���Mb òåfl�<��<���_�e��ù<��^�p�b_fg\b ò���û<û� õgõ �g^�p��k�g^_5brUVS'�]\�k�<q�RTcTbV�p<�lRmO'cmb_`_\[]\b_`_�b��Y�\��cTb��g�����gp���cmb_�¨�g\Rîp��gcT��b_f��<q���¡cTfY\örU_p<R����¨��^V��gp<b_Z=�<qrtF�M^VcT�}^L�McTRTR]�]�`V�b_�<�g�`j��O=·'cTb¥�g^_Bqw��RTRm���McTb_�_�uY^_cmf�bPU_S4�]\�2cTf.��^V5öPU�p�bP�gcm�hO¨��q£cmbP�g��l�fl��cmb"�g^_Y��\fl��f-�\��b_fgcm`_��l�`AcTb¨��^VcTf2fl�gU_`VO<�r¸úM`_cmfg��UVfgf2��\fl��f`_\fgcT�<b_�`Lqw���Y�}^_\�}Zrcmb_�=�g^_�[�p<cm�gfY�<q8^�O�[�<�g^_�fl�f¹ ò�·^i õ x��lZ]òºt õ �h·^i d<��lfgU_f »¹ ò�·ai õ x��gZ£òºt õ 0�·^i ò��m]�þ õp<b_` ¹ ò$·^i õ x��gZ£òºt õ �¼·^i d�\�gfgUVf ¹ ò$·^iTj � õ x��lZ£ò�t õ �u·airj �d] ò��m]¿ õ�

Page 6: Trace vs Maximum Eigenvalue

u¡�fl�gfB�<q.�g^_Cqw�<�gSA��5[�p<cT�5�<q2^�Or[�<��^_\fg\f�p<�g��<qï��\b(�g�qw��l�g�`����¥p<fM���gp<�����\fl��fBp<b_`ý�g^_��fg�qw���M��^_Rîp~�g��\�Y[�p<cm�Yp<�g�ZPb_���Mb(p�fYS{p~ �cmS'U_S \cT��\b�d<p�RTU_B�g�fl�gf��¸úMp��gYp<Rmfg��cmbP�g��l�fl�g�`"cTb'�g^_tRm����p<R�[���k\�-�<q���^_t�g�f���f��2z¤q ¹ ò$·^i õ cmf����lU_<���g^_tS=p����lce �t cTbC��^_óA@�s § qw�<�gS:òy���;� õ ��p<b{�M�M�gcm�l��\b{p<f�p�[_�g�r`_U_���Itu�¼½T¾e9î���M^_��l5½ p<b_`�¾�p<�l4ò$,X-�·^i õ S=p����lcT�\�f�<q���p�b_ZW·^i��CuY^PU_f\�¡��¨S{p�Oj�M�gce��'��^V¨brUVRTR�^�Or[�<��^_\fgcmfCp�f ¹ ò�·ai õ x�t��¿½T¾e9��Mcm�g^3½�[�¾ ò$,/-3·^i õp<b_`=�gZ]òº½ õ �F�gZ]ò�¾ õ �¼·^i�� � U_�l�g^_��lS=���l<�rcmq£�gZ]òºt õ �h·�0�·^i����g^_��l�� �cmfl�Bò�,À- · õ S=p����lcT��\f:��½øxµ½r�+�p<b_`«�¦¾úx�¾n�~���<q8��p�b_ZÀ·r�_fgU_�}^j��^�p~�

t¼�2��½øxµ½r�~� �� ¾s9¾s9� �� ��½�¾ 9 j�½l�V¾ 9� ]� ���YRT�r��p�R£[�������p<b�p�RmOrfg\fM�g^_�qw��RTRm���McTb_�'Rm����p<R�p�Rm��\�gb�p~��cmd<�^�O�[�<�g^_�flcTfY�McTRmR��]��\��b_flcT`_\�g�`£x¹�Á ò�·^i õ xYtu�u½�¾ 9 j �f ½r�+¾ 9� [ ò��m]�� õ�M^_\�g¥��^_¥qåp<�������¥�©Â�f cmb ��^_¥fl����<b_`1�g��gS ��b ��^_L�\�Ç^���f�� \b_fgUV�g�f"��^_p��Ap�[_�g��[��"p�flOrS=[����<�gcT�`_cmfl���lcT�_U���cT�<b¥�<q8�g^_���\fl�5fl��p���cmfl��cm��fYcmfY���V�}p�cTb_\`Lqw�<�If ! à �

Ä /¦?(! /6!�,87.,

zhb ��^_cmf¨fg\�\��cm��b �k¥�McTRmRk�\��b_fgcm`_��"W ô �hOr[¥���f���f¨qw���'�g^_¥^�O�[�<�g^_�fl�f{cmb ò�����þ õKÅ ò����¿ õ UVb_`_��Ap<R½���\�gb�p~��cmd< p<fgflU_SA[V��cm��b_f%qw���%�g^_�`_\�g��lS=cmb_cTf���cT��S=�p<b p<b_` ���l�b_` �g��gSAf�� v b ��d����drcT\� �<q���^_p<flfgU_SA[V��cm��b_fYqw����g_i�p<b_`�g��Yp�b_`��g^_4p�fgfg�r��cTp���\`�SA�r`_�RmfMp<b_`��g�f���f5cTfM��cmd<�bjcTbju�p��_RT"���M^_cT�}^�cTfp<`_�<[V��\`úqw�g��S Q U_�_�lcT�}^���WYXUV�gZ<\[]��^VR � o�p<cTZPZ<�<b_�b òy�<���V� õ �La�bV`_��'��p<UVfgfgcTp<b p<fgflU_S=[���cT�<b_f��¡��^_W ô �hOr[Yfl�}p~��cTf���cm��f.�l�Rîp~���`'�g�B��^_YSA�r`_�Rmf�cTb¨u8p<�_RmB�YS=p�O4�]k���V�}p�cTb_\`¨�PO4����bV���b��g��p��gcTb_����UV����^_fg^V���l���h�gUVbj`�O�b_p<S=cm��fYp�b_`¥[]\�lqw���lS=cmb_�¨p'�l�`_U_�\�`��¤��p<bVZ%�g\���g\fgfgcm��b��-uY^_�W ô f��}p��gcTf���cT�\ft�<q¡cTb��g��g\fl���p�b ��^V�bú�"���V��p<cTb_\` ��O÷fg�<RmdrcTb_�jpLfgU_ce�}p<�VRT"�cm���b�d�p<RTUVA[V�g���_Rm�Sj� � ����| Vp<S=[VRT<��qw������^V=��p<fg�M^_\�g"b_�j`_\�g��gSAcTbVcTfl�gcT������lS=f�p�[_[]�p<��cTb��g^_"S=�r`_�Rtò�g_iÆ�¡g���¦� õ �g^_"W ô fl��p���cmfl��cm��f���p<b �]���V��p<cTbV�`�p<f5qw��RTRm���Mf��5�B�b_����4�g^_4�l�fgcm`_U�p<Rmf�qw�l��Sü�g\���g\fgfgcmb_�o����-p�b_`¤������5�<b7� � �� w�� ����� ��OWÇ:i\p<b_`3Ç��$l�£�g�fl[]\�\�gcmd�\RmO<��p<b_`�`_�ÿ�b_�È�É y ��f ��� ¢ Á z � ÇvÉÊ�Ç9y ò$Ë`[~Ìo� ��[�� õ � § �<�g���d<�����`_\b_�<�g'��^_���l`_��l�` òå��\b_��gp<RTcm©�\` õ �cm���b�d�p<RmU_�ftqw�l��S fl��RmdrcTbV�'`_\��ò�%�ÈT�~�T�<ÈT��iÍÈ ���i~i Èni`� õ � �¨��Oo%n�8Π¨©¨©¨�Îu%�>��uY^_\b���^V��g��p<�\�fl�}p~��cTf���cm��qw���t��\fl�gcTb_�"��^_�[�p�cT�t�<q8^�Or[]�<�g^_�fl�f�cTb ò�����þ õ ��p<b���fg^_���MbL���A�]Ï Ç iÑÐ~(VÒ�Ó ò�·ai õ ���vf >xy z ÐºÔ � � RT����ò�����%

yõ òº��]e� õ

þ

Page 7: Trace vs Maximum Eigenvalue

p<b_`L��^V�S=p~ �cTS4U_Sª\cT��\b�d<p�RTU_�f��}p��gcTfl�gcT�Bqw���t�g�f���cTbV�ýòy���¿ õ cTfÏ Ç i&�(V* ò$·^i õ ����f(Rm����ò��Õ��%'Ð Ô � � õ òº��]¿� õòåfl�4ù<��^�p<bVfg�búò���û�û� õlõ �

z¤qlg��8� �{p�b_`Wg_i�cTf5U_b_�l�fl�g�gcm�\��\`��]p{��� n �Mcm��^�[]�<fgfgcm�_RmO%b_��b_©\��g�{S=�p<bj�g��lSñcmf��\��b_flcT`_\�g�`�M^_\�g�p�fLpú`_\�g��lS=cmb_cTf���cT�LRmcTb_�p<�A�g�g\b_` ��\�gS cTf=� ���RmU_`_�` ��O p<fgflU_SA[V��cm��b��FuY^V�g��d<p��gcîp�bP�gf{�<qW ô �hO�[��g�f���f%^�p�d<ý���b ����b_flcT`_\�g\` cTb ��^_�RTcm�g��gp���U_�l¥qw���A�g^_cTfAfgce��U�p~��cT�<b�� uY^_jÿ��gf��{��\fl�{cTf���V��p<cTbV�`ú��O `_�l��[_[_cmb_�7�d�~b�cTb ��^VAÿ��lfl�4�öPU�p��gcT��b �<q�òy���;� õ p<bV`úcTbV��RTUV`_cTb_�jp<b cTb���\�g�\�[V�C����lS cTb��^VBóA@�s § ��uY^_cmft����lS ^�p<ft�g�¨f�p��gcTf�qïO%�g\fl�g�gcT����cm��b_ft����p<U_fg��<�g^_����McTfgB�g^_�SA��`_\R£S=p�O%��\b_��gp���RTcmb_�p������l�b_`_f\�2uY^_Mfg\����b_`A��\fl���bVqw�<�g��\f��g^_M�g\fl���lcT����cT�<b¨��bA�g^_M����bVfl�}p�bP�-�g��gSK�PO¨p<�_fg�<�g�_cmb_����^_cTb��g��g�\�[V��cTb��g�A�g^_C�\��cTb��g����gp���cm��bL�g�RTp���cm��b_f\� � cmb�p<RmRmO���cTb¥��^V��g^_cT�l`j�g�fl�gcTb_�Afg���U_[���^_�S=�p<bL����lSg_iCcTf��fl�gcTS=p���\`úcmbúpLÿ��gf��'fl�g�[ p�b_`ú��^V�bøce�CcmfCflU_�V�g��p<�����` qw�g��SÖ����¥uY^_=�g�fl�gf¨p<�l=[���qw���gSA�`��b ��^_ASA�p<b p<`~ðlU_f���\`ú`�p���pV�×k���Ø��T�Ø×g_i��¡b_�<�gcTb_�L��^_p����#×k�Õ�Ù������%o�U_ce�}p<�_Rm¨�f���cTS=p��g���gf�×g_ip<�lC[_�l��[��fg\`(��O(o�p<cTZPZ<�<b_�b � WÕU_UVZrZ���b_\b6ò���û�û�� õ p<b_`�o�p<cTZPZ<�<b_�b � WtXUV�gZ<�[��^_Rkò���������p õ �tuY^_p<f�O�SA[V�g�<��cm�%`_cTf����lcT�_UV�gcT��bVfC�<qM�g^_%��\fl�"fl��p���cmfl�gcT��fC`_� b_�<�¨`V�[�b_` ��bø�g^_¥fg[��\cmÿ��¥�}^_�<cT��{�<qM��^_�h���=p�Rm��\�gb�p~��cmd<�\fl��cmS{p~�����lf��.uY^_�fgcm�gU�p��gcT��b%cmfk`_ce¢£\�g\bP�tcTb%flS{p<RmR]fgp<SA[_RT\f��V^V����\d<��\�²¸ BU_flB��^_�f���cmS{p��g����[_�g��[��fl�`¥��OLoVp�cTZPZ<��bV�b � WYXU���Z<\[]�<^_R2òy�<������p õ cmb{��^_�fgcTS4U_Rîp��gcT��bVf��l�[���l�g�`¥cmb¥o�\�<�� ����p�U_fg�cm�Y�l�flU_Rm�g�`ýcmb¥fgRmcT��^���ReO{�\�l��\�5flcT©\�[V�g��[�����cT\fM�<q8�g^_���\fl�5cTbL[_�l�RTcmS=cmb�p<��O=flcTS'UVRîp��gcT��b_f\�

z¤q��]����^�gni%p<b_`�g��Ap<�l�UVb_�g\fl���lcT�����` p `_�����lS=cmb_cTf���cm�jRmcTb_�p<�¨���l�b_` cmf{p�RTRT�����` qw����� uY^V�g�`_ce¢£\�g�b��'W ô �hOr[]%�g�f���f'^�p�d<¥�]\�b [_�l��[]�<fg�`øqw�<���g^_cTfCfgcm�gU�p��gcT��b�� v ��p<cTb��8��^_\fg{�g�fl�'fl�}p~��cTf���cm��f��p�b �=�<�V�}p<cmb_�` �\��b�d��bVcT�b��gRmO drcîp%��^_"óA@�s § f\�{uY^_"ÿ��lfl�CS=�r`_�R2cmf�fg��4U_[÷cTb÷fgUV�}^øp¥�tp�O fg�p<f'�g�÷cmS=[��fl=��^VjRmcTb_�p<�gce�hO÷�<qM��^_¥���l�b_` �g��gSj�úuY^Vjfl��\��b_`6S=�r`_�R�cTb_�\RTU_`V�f'��^VL�g�g\b_` ����lS��UV�gfgcm`_4��^V¨����cmbP�g����gp���cm��bý�g��gSj��zhb÷[V�gcTbV��cT[VRT4flU_�}^ p%S=�r`_�R8��p<b ��\b_��gp���¨öPU�p�`_��p��gcT�4�g�g\b_`_f�cmqb_�%�l�f����gcm�\�gcT��b_f�p<�l4cTSA[��fg\`ý��bý�g^_'`_���\�gSAcTb_cmfl��cm��[�p<��p�S=�����lf�� � cTb�p�RTRmO<�V��^V'Rîp<f����g�f���cTb�u�p<�VRT�"cTf���p�fg�`÷��b [_�lcT�����g�g\b_`úp�`~ðlU_fl�gS=\b���d�cTpLp���W¡o([_�g�r��\`_U_�gAp<bV`÷\fl�gcTS=p���cm��b(�<q���^_"�l�fgUVRm��cmb_�óA@�s § qw���5��^_����g\b_` p<`~ðlUVfl��\`�d<p��gcîp��_RT\f���sk�gcm�gcT��p<RÕd<p�RTU_\f�qw���Bp�RTRÕ��^_\fg'�g�fl�gfBS=p�Oj�4qw��U_bV`(cTb��^VB�g�qw��g\b_��\fM��cmd<�b¥cTb¥u8p<�_Rm4���2uY^V�b_�<�}p~��cT�<b=qw���k�g^_B`_ce¢£\�g\bP�k���f���fMp<Rmfg�'�\���g�l�fl[]��bV`_ft���'�g^�p��U_fl�`ýcmb¥��^_�fgUV�ld��OL��O Q U_�_�lcT�}^j\�5p<Ry�5ò��<�<�V� õ �

z¤�¡S{p�O��2�k������^�b_�<�gcTb_�Y��^_p�����^_\�g-cTf�p<Rmfg�5p<b_����^_\�¡�<�g��U_[��<qr��\fl��f��M^_cm�}^Ccmf8p�[_[_RTcm�`�qw�g\öPU_�b���ReOcTb [_�gp<�\�gcT�\<�AuY^_\O p<flfgU_SA¨��^�p����g^_¨d<p��gcîp��_RT\f�S{p�O�^�p�d<=`_���\�gSAcTb_cmfl��cm�¨RTcmb_�p<�����g\b_`_f��M^_��l�p<fp÷�g�g\b_` cTb ��^Vý���<cTb���\����p��gcTb_� �l�Rîp~��cT�<b_f"cTfA� ���RmU_`_�`£� uY^_\fgý�g�f���f%p��gj`_cTfl��U_flfg�` cmb `_��}p<cmRYcTboVp<cmZPZ<��b_\b � WYXUV��Z��[��^_R8ò��<�<���<� õ �2�B�fl[_cm�g5�g^_�cm��[��[_UVRîp<�lcm�hO¨cmb=[_�gp<�\�gcT�\<�rcm��cTf�öPU_�f���cT�<b�p<�_Rm5�g^�p��

Page 8: Trace vs Maximum Eigenvalue

Ú �V�)Û$Ü/Ý�Þ § �r`_\RTf5p<b_`jW ô �hOr[]���\fl�gf��

æ¡Á�Á ¹ »t¾�®yÆ¿¼�±~Á£µ½¼\·Â�­�®y­�·�»tÆDZ~Æ¿Áå®yÆÐÀ ßr³�®wÔ�¾�­®y­l·y»YÁ Ò�¼�Â�­l´ Áw®¤°}®yÆÐÁå®yÆÐÀ ³�­�µ½­�·�­�±�À�­à�á�âoàmãeâ Ý ä�åÍæ â=ç åÍæ�è ãpé�ê ä8ë æ�è}ìVí ãæ�è ã é�î æ ï�ð á ä\¼�¯�°|±~Áy­�± × ßgÛ�Ü�Ü~Ê�ßlÛ�Ûañ�àà á °|·�Ó�ÆÇ®y·¤°|·�Ô ä�å æ âoò á é ç å æ�è ã é�ê ä8ë æ�è�ìVí ãæ�è ã é î æ ï�ðró á ä\¼�¯�°|±~Áy­�± × ßgÛ�Û�ß\Ê�ßlÛ�Ûañ�ààmãeâ Ý ä�åÍæ â7ô ò�áqõ�çsö�÷ ßå æ�è ãø é ê ä8ë æ�è}ìVí ãæ�è ã é�î æ ï�ð « ä\¼�¯�°|±~Áy­�±5ù÷ä ¹ Áy­�´¿Æ ¹ Á × ßlÛ\Û�Ý\àä�å æ â=ç × å æ�è ãnú à á à é�ê ä8ë æ�è�ì+í ãæ�è ã é�î æ ï�ðlûaü Ë�°|Æ¿²�²\¼�±�­l±ù�ß ¹�¹ ²�²\¼�±�­l± × ßlÛ\Û�Í|à

Ë�°|Æ¿²�²\¼�±�­l±ù�ß�¸¹ ®�²�­l¾�¼\¯�´ × Þ�Ý�Ý\Ý�°\àà�á�ýºàmã °|·�Ó�ÆÇ®y·¤°|·�Ô ä�åÍæ âoòqé6ô ò?ã�õ?çeön÷Õþ ú ßå æ�è ãXø é�ê ä8ë æ�è�ì+í ãæ�è ã é�î æ ï�ð í ä\¼�¯�°|±~Áy­�± × ßgÛ�Û\Þ�Ê�ßlÛ�Û�ÿ~Ê�ßlÛ\Û?ñ\àä�å æ âoò á é�ò ã þ é ç å æ�è ã é�ê ä8ë æ�è�ìVí ãæ�è ã é î æ ï�ð���� Ö_­l·y·�¼�±ùúÏ£°�»k¾~Ó�­l´Ç´ × ßlÛ\Û�Ì\àä�å æ ú à ã â6ç × å æ�è ã_ú à ású à ã × þ ú ß�àåà ï�ð��Zü�û Ë�°|Æ¿²�²\¼�±�­l±ù�ß�¸¹ ®�²�­l¾�¼\¯�´ × Þ�Ý�Ý\Ý�°\àé�� ì�è ã�� ã ê � × ä�å æ�è � ú à ã à é î æ ß�¸¹ ®y²\­�¾<¼�¯�´mù Ë�°�ÆDz�²�¼\±�­�± × Þ�Ý�Ý\Ý\à��^V'b_��\�flf�p<��O�p<flfgU_SA[V��cm��b_f���p<b��MðlU_f���ceÿ��`(�p<fgcmRmOjcTb�S{p�bPOjflcm��U_p���cm��b_f��5uY^_\�g\qw�<�g<�]�k¨`_�{b_�<�cTbV��RTUV`_B��^_\S cTb¥�g^_�[_�g\fg�b�������SA[�p<�lcTfl��b��

uY^_¥RTcmS=ce��cmb_�¥`_cTf����lcT�_UV�gcT��bVfC�<qY�g^_%W ô fl��p���cmfl��cm��fCRTcTf���\`øcTbøu8p<�_Rmý����U_b_`_\�4��^_{RT�r��p<R�p<Re������b�p��gcmd<�f�òy����� õ �Y^�p�d<(�]\�b `_\�gced��` qw�<�{��� n f=�Mcm�g^ ���l`_����£� ����b_RmO<�Fa5b_`_\� ¹�Á ò�·^i õ �YS=�<fl����gp<���p<b_`1S{p� VcmS'U_S �cT�<�b�d�p<RTU_Lf��}p��gcTfl�gcT�\fA^_p�d<ýRmcTSAcm��cmb_�ý`VcTfl�g�gcm�_UV��cm��b_f Ï Ç:ÑÐ~(VÒ$Ó�ò$·^i õ ! ����ò� õp<b_` Ï Ç:&)(+*�ò�·ai õ� ! %'&�(V*�ò� õ ���g\fg[�����cmd<�ReO����M^_��l Ø����� �i�� `�� 9�� 9 ��� �i���� 9 `�� � ��� ��� �i�� `�� 9�� �� ò�� õ cmfMp<b ò�,À�/·ai õ �¤`_cTSA�b_flcT��b_p<R]f����r�}^�p<f���cT��[_�l���\�flf�p�b_`��øò�� õ cmfk��^_C�B�gbVfl��\cTb��ha�^_Rm�bP���}Z%[_�l�����\fgf�`_�ÿ�b_�`÷��O�� ò�� õ ���¥ò� õ j! �"�9 �$#i �úò�� õ `m���£�M^_��l%�Lò�� õ cTfBp%fl�}p�b_`�p<�l` i��g���Mb_cîp�b�S=�<�gcT��b£� �*òº½s94 �Õ½T4 õ ���&\ª ½s94 ½r�Yp<bV`'"v� òº½s94 �Õ½T4 õ �&\ª ò$¾s94 ½�4 õ ��� ¾e94 ¾n����uY^_�fg[���ceÿ���qw���gS ��q � ò�� õ d�p<�gcm�f�Mcm�g^ ��^_�p<fgflU_SA[V��cm��b_f¨�g\��p<�l`_cTb_���g^_L`_\�g��gSAcTbVcTfl�gcT�{�g��lS�� uY^_j`_cm¢]��l�b�� � ò�� õ [_�g�r��\fgfl�f%p��g��ced��bjcTbLu8p<�_Rm���� � ���Y� Vp<SA[_RT�� Ï Ç iÑÐ~(VÒ$Ó ò�·ai õ ! �g��ò� i õ p<b_` Ï Ç i&)(+* ò�·^i õ ! %�&�(+*rò� i õ �M^_\�g i �)(+* �i ��`�� 9-, 9 (+* �i �.� 9 `/� , ��� (/* �i �j`�� 90,U_b_`V��¨��^_LRm����p<Rtp<Re��\�gb�p��gcmd<�f�ò������ õ � �B�Pdrcm��U_fgReO��-��^_LRm����p<Rk[���k\�=`_\[]\b_`_fA��b ��^_LbPU_S'���"�<q���<S=SA��b��g�g\b_`_f��e,���·^i��£U_bV`_��B�g^_'bPU_RTR¡^�Or[]�<�g^_�flcTf�p<bV`��£drcîp1 jp<b_`�"����<bý��^_12Ç`_cmfl�}p�b_��43]qw�g�<S��^V�bPU_RmR�^�Or[]�<�g^_�flcTf\��uY^_�bPU_RTR£`_cTf����gcm�_UV�gcT��b¥�l�fgUVRm��fM��O¥fl\�g�gcTb_�% �� �V�

uY^_=p<flOrSA[V���<�gcT�"`_cmfl���lcT�_U���cT�<b_fB�<q���^_"�<�g^_���fl��p���cmfl�gcT��f\��� ���\[V� Ï Ç6587:9��8p<�g"�����}p<cmb_�` cTb p<bp<b�p�RT�����<U_f'�tp�O<� § ��fl�=�<q���^_jRTcmS=ce��cTbV�ý`_cmfl���lcT�_U���cT�<b_f¨cTb6u�p��_RT��(�k\�gý`V��gced�\` ��O oVp<cTZPZ���b_�b� WYXUV��Z��[��^_R�ò���û<û�û õ �¥uY^V{�<�g^_���RTcmS=ce��cTbV�%`_cTf����lcT�_UV�gcT��bVf�qw�<���g��p<�\{f��}p��gcTfl�gcT�\f4p<�l{p�RTfg�j��ced��b cTb�

Page 9: Trace vs Maximum Eigenvalue

Ú �V�)Û$Ü<;_Þ WÕcTSAcm�gcTb_�4�BcTf����gcm�_UV�gcT��b_f��<q.u¡�f���f�itp<fl�`j��b=� � �i � `�� 90� 9 � � �i �>� 9 `+� � ��� � � �i � `�� 9-�u¡�fl��fl��p���cmfl�gcT� � ò�� õ � Ï Ç i �úò� õ �o����Ï Ç ÉÑi �úò� õ �?� �i �øò$� õ `�� �o����)�/f ��� ¢ Á z � �o����Ï Ç6@ �A� ò�� õ 9x��a�§9 �A� 9���� x��?� 9Ï Ç 9B7 �úò� õ �o����Ï Ç � �mòC�úò� õ � � �i �øò$� õ `�� õ 9]xD��� �ª � 9 �mòC�o����)�/f ��� ¢ Á z � �o���� õ 9xD��� �ª � 9Ï ÇFE+G ���g\b_`�p<`~ðlU_f����`H�øò� õ ���l�b_`�p<`~ðlU_f���\`.�o����

��^V��l\qw\�g�bV���f�[_�g\fg\bP�g�`(cmbLu�p<�VRT¨���2uY^_����<�g�g\fg[��b_`_cmb_�A�g�flU_Rm�gfYqw���t��^_�S=p~ �cTS'UVSª\cT��\bPd�p<RmU_fl��p���cmfl�gcT��f�^�p�d�BbV�<�t��\b%`_��lcmd<�`¥� �[_RmcT�\cm��ReO'���C��^_B��f��t�<q��<U_�kZPb_���MRT\`_����2uY^_��l\qw���l�p4[_�l���<q�cTf��ced��bjcTb¥�g^_ v [_[�b_`Vce ]�� ���t��^_ Ï Ç 587:9 ���f���f\���g^_�p<flOrSA[V������cT��`_cTf����gcm�_UV�gcT��b_fMp��g���p<fl�`���b( * �i � @ `�� 9 @ , 9 ( * �i � @ � 9 @ `+� , ��� ( * �i � @ `�� 9 @ , [�M^_\�gI� @ ò� õ �J�øò� õ �F�K�úò�� õ p�b_` � �i � @ `+� 9 @ p<�V�_�g�d�cTp���\f � �i �j`�� 9 � � �i �j`+�K�úò�� õ 9��L�øò�� õ � �i ��`�� 9 j� �i ��`/�K� ò�� õ �úò�� õ 9T�-uY^_cTfMRTcmS=ce��cmb_�C`VcTfl�g�gcm�_UV��cm��b%cmfY��cmd<�bjcTbjWYXU���Z<\[]�<^_R � oVp�cTZPZ<��bV�búò��<���<� õ �M N ;L3M�'& JF;�O !�+ @ ;=� F(�4+-��,�;A#� �g��S ��^_MRmcTSAcm��cmb_�5`_cTf����gcm�_UV�gcT��b_f�cTb¨u8p<�_RT5�Bce�2qw��RTRm���Mf8��^�p��2�g^_MRT�r��p<R�[]������\�P�g^�p��-cmf�����^_Y�l�RTp���ced��ghðl�����cT�<b=qw�g\öPU_�b_��O{ceq ¹ ò�·^i õ cTf2�g�fl�g�`¥p�b_` ¹�Á ò�·ai õ cmf��g�gU_���`V�[�b_`_f���bÀ½��µ¾��Z�B��½l�2p<b_`X¾n�.��b_ReO��^V�g��U_�<^P (p�b_`P"��=uY^_cTf�cTSA[_RmcT�f\�£qw����cTbVfl�}p�b_����¡qw���B�g^_A��p<fl�·Æ��·^i��ñ�<���M^V��g�½r��p<b_`#¾n��p��gò�,3-ø� õ d���������lf�����^_p��M��^_�RTcmS=ce��cmb_�C`VcTfl�g�gcm�_UV��cm��b_ft�<b_RmO{`_�[�b_`���b¥��^_��h���{[�p���p<SA\�g��gfQ ª �R 9 �" 9 " p<bV` � ª �Kò" 9 õ ª Â_ò 9 �" 9 " õ ]v `Vcm¢]��g\b��t[�p<�gp<SA\��\�gcm©�p��gcT��b"cTf�U_fg\`¥cTb%ù<��^�p<b_fl�b÷ò���û�û� õ p<bV`LoVp<cmZrZ���b_\b � WtXUV�gZ<�[��^_R�ò���û�û�û õ �uY^_¨[_�l�fl�b�����b_'cmf�U_fl�` cTb Q U_�_�gcm�}^�\��p�R��"òy�<���V� õ �]\��p<UVfg"cm��fgcTSA[_Rmcmÿ�\f5�g^_'cTb��g��g[V�g\��p���cm��b(�<q��^V'�g\fgU_Re��f�� S�����4�g^�p�� Q ª � �%cmq�p<b_`��<b_RmO�cmq2�g^_'bPU_RTR8^�O�[�<�g^_�flcTf�^_��Rm`_f�� Q �b_�\<� Q �UT Q ª S=p�O�"�g^_��U_�<^P�C�<qtp<f���^_A`_cTf��}p<bV��A�<q��g^_ART�r��p<R2p�Rm��\�gb�p~��cmd<'qw�g��S0��^_AbPU_RTR2^�Or[]����^_\fgcTf\� § ���l���d�\����WV�� ªHX �<�-�M^V��go� ª �>�(cTSA[_RmcT�fCp([_�l���\�fgf'�Mce��^<�]ò�� õ ����SA[��b_�b��gf'�M^_cT�}^ cTf4� ���RmU_`_�`6��O��U_�Bp<fgflU_S=[���cT�<b_f���uY^_¨öPU�p<b��gcm�hO7�o� T � ª S{p�O��]'cmb�����l[_�g���\` p�f���^_¨`VcTfl��p<b_�\'qw�g��S:��^_��£òy� õ

Page 10: Trace vs Maximum Eigenvalue

[�p<�gp<SA\��\�4fl[�p<����W¸ {�McTRmR�UVfg{�g^_{öPU�p<b��gcm��cm�f Q p<bV`<��cTbú�\��SA[�p<�gcmb_���g^_{Rm����p<R-[]������'��qY��^_��\fl�gf��� ����p5RT�r��p<R�[���k\���\��S=[_p<�gcmfg��b��k�����b_flcT`_\�8ÿ��lfl�8��^_���p<flk�M^_\�gI½r�¡p<bV`�¾n�¡p<�l�ò$,5-�� õ d<��\�g���gfp<b_`�fgcmS'U_Rîp~��B��^VC`_cmfg�\�g\�gC�gcTSA�����U_b��g��g[_p<�l���<q.�g^_%ò$,o�<·^i õ �¤`_cTSA�b_flcT��b_p<RÕ�B�gbVfl��\cTb��ha�^_Rm�bP���}Z[_�l���\�fgf��øò�� õ p<fr�Y�6e� �Á �"�9-�6����^j[ZV8ò$bq� �d[^]^]^]�[`f1� ������� õ �Mce��^\ZKe� cmcT`��úòy��[`�?>��µÐ Ô õ �:�6iI� �V�" 9 � ]^`_ ò��d[}� õ qw���Ö,o�/·^iI�F�

ò��d[}��[�� õ qw���Ö,o�/·^iI�¼�p<b_` 9 � ]^ _ � � T Q ª � ª [4a Q ª ò��v��� ª õ � qw���Ö,o�/·^i8���� � T Q ª � ª [4a Q ª ò��v��� ª õ [}� � qw���Ö,o�/·^i8��� ]� �g��S ��^V��o��������SA[_UV�g7" Á � f �Zª ¢ Á z � � � 9 p<b_`Jb Á � f ��� ¢ Á z � � $�Y� 9 �M�M^_��l(��^_� Yp��g=p<RTfl�j�<cmd�\búcmb u8p<�_Rm{�r�{uY^_ARTcmS=ce��cTbV�{`_cmfl���lcT�_U���cT�<b_f��<qk�g^_"����p���=p<b_`÷S{p~ �cmS'U_S>\cT��\b��d�p<RTUV��g�fl��fl��p���cmfl��cm��f�p<�g���^_\b(fgcmS'U_RTp���\`(p<fM����òb 9Á " ���Á b Á õ p�b_`3%'&)(+*�òb 9Á " ���Á b Á õ �£�g\fg[�����cmd<�ReO��� U_�l�g^_��lS=�<�g<�VU_fgcmb_�

" Á � �f ª Áx z �.c ����x d z � òº�Y� d � �%� õfe c ����x d z � òº�Y� d � �%� õfe 9p<b_` b Á � �f Áx z �.c ����x d z � òº�Y� d � �Y� õfe ò��Y�o�� �Y� õ 9 [�Mcm�g^ �Y� � f ��� ¢ Á z � �Y�6B�<cmd�\f¨��^_LRTcmS=ce��cmb_�ý`_cmfl�g�gcT�VUV��cm��b_f'�<q���^_ Ï Ç 587:9 fl�}p~��cTf���cm��f"cTb6p<bp<b�p�RT�����<U_f�qåp<fl^_cT��b£��uY^_5�g\fgU_Re��cTbV���g�ðl\�\�gcT��b¨qw�g\öPU_�b_�\cT\f�qw���.�g^_M��p<fl�f²,A�À·^i8����p<b_` ,A�À·^i8���qw���-`_ce¢£\�g�b��-d�p<RTUV�f-�<qn�'p<b_` Q p<�l5[VRT�<�l���`AcTb � cm��U_�l�fM�5p<b_`¥�r��S�����Y��^�p~���g^_M�h�k���hOr[]\fk�<q��\fl��fp<�l4cT`V�b���cm��p<RÕqw���v,���·^i:�*�'p<bV`��£^_\b_����Õp=�\��SA[�p<�gcmfg��b�cTf5b_�<��S=�p<b_cmb_�<qwU_RÕqw���M��^_cmf���p<fg��gS5�<��p<Rmfg�{�g^�p�� Ï Ç i p<b_` Ï Ç69�7ý^_p�d<'��^_4f�p<SA¨p<f�O�SA[V�g�<��cm�4`_cmfl���lcT�_U���cT�<b_f���uY^_��l\qw���l¨��b_RmOL�g^_'RT�r��p�R[������5��UV�ld�\f5qw�<�t��^_�Rîp~�g��\�t��\fl��f5p<�l�`_�[_cm�\�g�`jcTb¥��^_�ÿ��<U_�g\f��� cT�<U_�g\ft�Mp<b_`A���l\d��p<R_��^_p��.��^Vt�g\fgU_Re��f.qw�����g^_k�g��p<�\Mp<b_`'��^VYS{p~ �cmS'U_SH�cm���b�d�p<RTUVkd�\�gfgcm��b_f�<q���^_¨�g�fl�gf4p��g"öPU_cm�gAflcTSAcTRTp<���4skRT�p<�gReO��Õ��^_cmf��g\fgU_Re�Ccmf�b_�<��flU_�g[_�lcTflcTb_�L����p�U_fg���cmq���^V��g"cmf�ðlU_fl���b_{p<`_`_ce��cm��b�p<R-���<cTb���\����p��gcT��b÷�g\Rîp��gcT��b£����<��^ú�g�f���f'�}^_\�}Zøp<��p<cTb_f��C�g^_¥p<[V[_�g��[V�gcîp~��=p<Rm�g��gb_p���ced�^�Or[]�<�g^_�flcTf\�

sk��SA[�p<�gcmb_�ý�g^_%`_ce¢£\�g�b��"[_�l��[��f�p<RmfCqw���C���g�p���cmb_�ý�g^_%`_�����lS=cmb_cTf���cm�A�g��gSAf��-ce�'��p�b �]%fl�\b��^_p��Y��^_��g�fl�gf5p<fgflU_S=cmb_�¨b_�ARTcmb_�p<�����l�b_`j��UV�g[]\�lqw���lSª��^V��g�f���f5p<RTRm���McTb_�4qw�<�Yp'���g\b_`�� Q ����\d<����

Page 11: Trace vs Maximum Eigenvalue

��^V5�l�RTp���ced�M[]\�lqw���lS{p�b_��M�<q��^_M��\fl�-d�p<�gcTp<b���f-cTf2bV�<��cTbih�UV�b_�\�`%��O¨��^V5cmb_��RmU_fgcm��b"�<q£p��g�g�bV`�òåfl�n p�b_�Rmf v p<bV`{i cTb � cm��U_�g\fY�5p<b_`{� õ �.uY^V�fgp<S=Y��p<bA�]Mf�p�cT`Ap<���UV�-��^_M[�p���p<SA\�g��q�4SA�p<flU_�gcmb_���^V�`_cTf��}p<b_�\ýqw�g�<S �g^_7�]ò�� õ �g��<cT��b��HuY^_\fg �g\fgU_Re��fLp<�l(cTb RTcTbV��Mcm�g^ ��^_�<fg��<q4oVp<cmZPZ<��b_\b �WYXUV��Z��[��^_R�ò���û�û�û õ p�b_` Q U_�_�lcT�}^j\��p<R��Yò��<����� õ �

uY^_Yqw���gSA���fg\�gU_["�Mcm��^�ðlU_f��-��b_Mp<`V`_cm�gcT��b�p�R��\��cTb���\����p~��cTbV���g�RTp���cm��b'S=p�OCqåp�d��<�-�g^_YS=p~ �cTS'U_S�cm���b�d�p<RmU_���\fl�gf��-uY^_�fl��g�f���fY���<b_fgcm`_��t�g^_�p<Rm�g��lb�p���ced�B^�Or[�<��^_\fgcmfM�g^�p��t�g^_��l�cTf¡ðlUVfl�M��b_�| r����p���<cTb���\����p��gcT��b6�g\Rîp��gcT��b �M^_\�g�p�f{��^_j���gp<��Ld�p<�gcTp<b���f=�g�f��¥p<��p�cTb_f��{p÷S=�<�gj���b_\��p<R�p<Re����lb�p��gcmd���uY^_\�g\qw�<�g<�Õ��¨^�p�d�Ap<Rmfg�¥`_�����lS=cmb_�`(�g^_¨RT�r��p�R8[���k\��qw�<����^_¨��p<fg�·Æ��·^i��*���£�g^�p���cmf���U_bV`_����^V�Rm����p<R�p�Rm��\�gb�p~��cmd<<�V�g^_�[_�g�r��\fgf5^�p<fY�h���=| ��g��p"����cmb�����<��p��gcT��b¥�l�Rîp~��cT�<b_f��.zhbL��^VcTfY��p�fg��k�U_fg" 9 � ]^ _ �?ª qw��� ,=�<·^i8�F��¦�aª5xP���*qw��� ,=�<·^i8�¼�p<b_`

9 � ]jjjjjjjj^ jjjjjjjj_klm � T Q ª � ª a Q ª ò��Õ��� ª õn � oqpr qw���Õ,=�<·aiI� �klm � T Q ª � ª a Q ª ò��Õ��� ª õ �n � � o pr qw���Õ,=�<·aiI�u��]

uY^_��l�fgUVRm��cmb_�'Rm����p<R][���k\�Y�<q���^_B�g�f���ftqw���Õ���F��]¿�� 4p<bV`¥`_cm¢]��l�b��Yd�p<RTU_\ft�<q n p�b_` Q cmft`_\[_cT�����`cTb � cm��U_�l�f��"p<b_`jþ_�

z¤�{��p<b6�]Lfg\�b �g^�p��"��^VL�g��p<�\ýp�b_`6�g^_jS{p~ �cmS'U_S \cT��\b�d<p�RTU_%�g�fl�gf{[���qw���gS p���p<cTb öPU_ce��fgcmS=cmRîp<�lRmO<����b(�g^_"�<��^V���^�p<bV`�����^_¨`Vcm¢]��g\b_��\f��]��h�k\�b �g^_Ap<Rm�g��lb�p���cedj[_�g��[��fgp<RTf�qw�<�B���g�p���cmb_�`_�����lS=cmb_cTf���cm�M�g��lS=f�p<�g5SA���g5[_�g�<b_��U_b_�\�`%bV����� Ï Ç � p�b_` Ï Ç69�7=^�p�d<���^_5^_cm��^_�f��tRm����p<R�[]������p<SA��b_�¥��^VA�g�fl�gf4cmb÷�g^_�cm���l�fl[]\�\��ced�=���g��UV[_f����M^_��l�p<f Ï Ç ÉÊi cTf���\b_��gp<RTReO���UV�g[]\�lqw���lS=\` ��O ce��f���<S=[\�gcm���<�gf�� v f%cmb ��^_ý��p<fl��<q���b_(| r����p �\��cTb���\����p~��cTbV�ú�g\Rîp��gcT��b6��^_ý[�p<��p�S=�����X�6^_p<f%b_�cTSA[���l��p<b��t\¢]����5��b¥��^_��l�Rîp~��cmd<�[_�g�<[]\�l��cm�fY�<q��g^_����f��Yd�\�gfgcm��b_f\��uY^_\�g�qw���g����`V�AbV�<�M[_�g\fg\bP���^V��l�flU_Rm�gfMqw�<�Y�<��^_\�Yd<p�RTU_\fY�<qr�A��^�p<bj��]¿�� ��

zhbLfgU_SAS{p��lO�����p<fl�`L��b¥RT�r��p�R][���k\���_b_�"�\RT�p��k�g\����SASA�b_`�p~��cT�<b_ftp<���UV�k��^_�[_�l\qw\�g�g\`LU_fg��<q�ce��^_\�Y��^_����gp<������Y�g^_�S{p~ �cmS'U_S \cT��\b�d<p�RTU_B�g�fl�gf���p<bj�]���ced��b£� Q ����\d<��\�£RT�r��p�R£[������5[_�l��[�������cm�fYp<�lBcTb�qw���gS=p���ced��p<���UV�k�g^_�[��lqw�<�gS=p<b_����<q���^_����f���fYcmb%Rîp<�l���fgp<SA[_RT\fk�M^_�bjp<Re��\�gb�p��gcmd<�f��Rm��fgt�g����^_MbPU_RTR�^�Or[�<��^_\fgcmf�p��gM����bVfgcT`V��g\`��.uY^_\�g�qw���g�p�fgS=p<RTR�f�p<SA[_RTk����SA[�p<�lcTfg�<bA��q]�g^_t��\fl��fcTf�[]\�lqw���lS=\`%cTb=��^_�b_| r�Yfg\�\��cm��b¥cTb{���g`_\�k���4��\�tqwUV�l��^V��tcmb_fgcm��^��tcTb��g�4��^_��g�RTp���ced��[]\�lqw���lS{p<bV���<q¡��^_��h���=`Vcm¢]��g\b��5�g�f��5d<��lfgcT�<b_f��

û

Page 12: Trace vs Maximum Eigenvalue

s t � �'&�& t �4� F�&�! @ ;A� F(�'+-��,�;A# ;"9H/6!�,¡72,

¸ 5UVfgM��^_Yqw��RmRT���McTb_��[_�g�r��\fgfqk�]�g�C�\��S=[_p<�gt�g^_MS{p~ �cmS'U_S �cT�<�b�d�p<RTU_Mp�b_`A�g��p<�\Y���f���f�cTb"fgS=p<RmRf�p�S=[_Rm�f\x k�_� ��Yu �

� �?>��µÐ �� k�����ej�|}+[ |}6� cmcT` � km �� ��

�� [ �� ��Ð vv9 �?>��µÐ �� or [ ò� m]e� õ�M^_\�g u �>`_cîp���òCwq�Í[^]^]^]�[xwTÐ õ cTf=p<b ò$·�-�· õ `_cTp<����b_p<RYS{p~���gc½  p<bV`!v>cTfýò�·6-Fò�,«�u· õgõ � uY^_cTf[_�l���\�fgfB�kp<f�p�RTfg�=U_fg\` cTb(flcTS'U_RTp���cm��b_fM��Oýu¡�r`�p�ò���û�û<þ_�¡��û�û� õ p<bV` p{bPU_S'���B�<q-����^_\�Bp<UV�g^_���lf��ikced<p��gcîp~��<�8��^_�l���Cp�b_`øqw��U_���h`_cmS=\b_fgcm��b�p<R�[_�g�r��\fgfl�f¨�McTRmR��¥����bVfgcT`V��g\`�� v f¨S=\b���cT�<b_�` cmbø��^_cTb��g�g�r`_U_�\�gcT��b£�_u8�r`�pjò���û�û<þ õ �l�[���l�gf5�l�flU_Rm�gfMqw�<�Y�_cmd�p<�lcîp��gB[_�g�r��\fgfl�f��<b_RmO<�2zhbj�g^_C�Vcmd�p<�gcTp������p<fl<�cmq:·�� �V� u p<b_`yvñd�p<b_cTfl^6p<b_` ��^_L[_�l���\�fgfA���<b_fgcmfl��fA�<q5�h�k� b_��b_f��}p��gcT��b_p<�lOú����SA[]�<b_�b���f\�1z¤q��^V=�\��cTb���\����p~��cTbV�¥��p<b_Z�cmf¨��� u �Uw²�B�Mce��^{z wq��z|V �=p<b_`Pv �~}jcmf�pjfl��p<RTp<�B�M^_cT�}^ �g\[_�g\fg�b��gf��^V�cTbVfl�}p�bP��p<b_\��U_f������l�g�RTp���cm��bA�]��h�k\�b%��^V5�h���'���<S=[��b_\bP�gf�� � ���2��^V�g�|�-p<bV`=qw��U_���h`_cmS=\b_fgcm��b�p<R[_�l���\�fgfl�f5��^_�S=p����lcT��\f u p<bV`.v ^�p�d�Cp<b�p<Rm������U_fkcTb���\�g[_�l\�}p~��cT�<b_f��

zhb6�g^_jfgcTS4U_Rîp��gcT��bVfC��^Vj[_p<��p<SA\�g��¨d�p<RTUV�f"�<q5��^_L`_�����lS=cmb_cTf���cm�%����SA[��b_�b��gf{p<�lLp<RTRk©���l�_�c���<�e�TgnÉ8� �úò$Ë5� �m[�� õ ��^_�l��U_��^V��UV���{zhbø�<��^V����k���l`_f��¡��^_A`_�����lS=cmb_cTf���cm�A[_p<�l��cTfCp<����U�p<RmRmOý©���l�_�ik\��p<U_fl4��^VcTf5��p<fl4cTf5b_�<��� ��\RTU_`_\`(��O��g^_����f���f�p�RTRT���Mcmb_�_�Vqw���5� Vp<SA[_Rm<��qw����p=RTcmb_�p��M�g�g\b_`�����^_f�p�S=B�<�b_\��p��g�`¥��cmS=�fg��lcT\fY��p<bL�BU_fg\`¥qw���t���<S=[�p��gcTbV�¨p<RTR���^VB���f���f\��uY^V�f�p<SA[_RT�fgcm©��U_fl�`LcTb��^V4fgcmS'U_RTp���cm��b_fYcTf�f��¦���<�V�Yzhb�p<`_`Vcm��cm��b�� <�A[_�g\f�p<SA[_Rm�d�p<RmU_�f5�k\�g'��\b_��gp���\`��fl�}p��l��cmb_�=�Mce��^p<bjcTb_ce��cTp<Rd�p<RmU_��<q8©�\�g�_�-uY^_�bPU_S'���M�<q8�g�[VRTcT��p���cm��b_ftcmf����������2uY^_C�l�ðl\�\��cm��b¥qw�g\örUV�b_�\cT�f5��ced��bcTb�u8p<�_Rm�fA�{�M Lp�b_` � cT�<U_�g\f� A�5�¥p<�l¨��p<fg\` ��b÷p<flOrSA[V���<�gcT�C���gce��cm��p<R�d�p<RTU_\fBqw����p{�g�fl��Rm\d<�R.�<q :�%�%uY^_=�ghðl��\�gcT��b qw�g\öPU_�b_�\cT\f¨p<�gAb_�<��flcT©�A���<�g�g\�\�g�`ø����p<U_fg{p�flcT©�A���<�g�g\�\�gcT��b÷cTf����bV���p�RTRmOb_�<�5p�d�p<cmRîp<�_Rm�cmbj[V��p<����cT�\<�� ���%pú�<cmd�\b fg��¥�<q�[_p<��p<SA\�g��Ad<p�RTU_\f%p<b_` pú��cmd<�b fgp<S=[VRTjfgcT©\<�Y��^Vý�g\fgU_Re��f{qw�<�A�g^_ý��\fl�fl��p���cmfl�gcT��f�p<�gC��p<fl�`(��b���^_'fgp<SA4��\b_��gp���\`ý��cmS=�fg\�gcT\f�� Q �bV��<�]��^_'�\���g�l�fl[]��bV`_cTb_�{�b����lcT�f�cTb��^V"��p<�_Rm�f�p<b_` ��^_¨ÿ��<U_�g\f4p<�l¨b_�<��cTbV`_�[�b_`V�b����{��ced�\b ��UV�A�������¥�g\[_RTcm��p��gcT��b_f\�£��^VAf��}p<bV`�p<�g`��l�g���Y��q�p�bj\fl�gcTS=p��������<q�p4���gUV��l�ðl\�\��cm��b¥[_�l����p<�_cmRTce�hO�� cTf�� E �Ua �=ò��Õ��� õ Â��������4fl�"�g^�p����Vqw���� Vp<SA[_Rm<�/�^i�� if���F��]Ç���d�<ûAp�b_`���^_�bV��<����^V��h�����hf��}p<bV`�p<�g`r�h��l�g���M�\��bVÿ�`_\b_��CcTb���\�ld�p<R�qw�����P����]Ç�� cTfÆ� �V�Ç�d�d�V�����¿�d��þ����$S5�<���p<Rmfg�¨��^_p��Y��^_��g\fgU_Re��fYqw���t�g�fl�gcTb_� ¹ ò�� õ x��gZ]òºt õ �H�4p��g�b_�<�M�\��b_`_ce��cT�<b_�`��bj��^_���UV�g����SA��<q��g^_��g�f����<q ¹ òy� õ xr�gZ]òºt õ ���A\�����m�kzhbý�<�g^_��M�k�<�g`_f\��g^_��g�f����l�fgUVRm��f5`_�=b_�<��g�qw������Lfl�öPU_�b��gcîp<R2��\fl��[_�l���\�`_U_�l�f\�=uY^_"flS{p<RmR�fgp<S=[VRT¨[_�l��[]\�l�gcT�f���q Ï Ç i p��g¨b_�<��[V�g�fl�b���\`^_\�g��]\��p<U_fl��g^_����f���3�f�p�fgfgUVS=[V�gcT��bVf5�l���p��g`_cmb_�A�g^_�`_\�g��lS=cmb_cTf���cT�B�g��lS=f5p<�l�bV�<�Md����Oj�g�p�RTcTf���cm�

���

Page 13: Trace vs Maximum Eigenvalue

Ú �_��Û$Ü��_Þ ô �Rîp~��cmd< ô hðl�����cT�<b � �g\öPU_�b_�\cT\f��<q8u8\fl�gf�qw��� ¹ òå� õ xµ·Æ�F�=ikp<fg\`ý��b�ikcmd�p<�lcîp��g���� n�Mcm�g^÷sk��cTb��g����gp���cmb_� ô p�b_ZW·��*�V�£ó vBô �B�l`_��I�#� ����}À�*�V�¡oVp<SA[_Rm¨o�cm©�Yf�� �����V��S���SAcTb�p�Ro�cm��b_cmÿ_��p<b_�\�WÕ\d�\R¡�V�¿�� ��

u8\fl� u8\fl�or�}p~��cTf���cm� or�}p��gcTf���cT�Ï Ç ÉÑi&)(+* �V�Ç�d�� Ï Ç �&)(+* �V�Ç�d�V�Ï Ç ÉÑiÑÐ~(VÒ�Ó �V�Ç�d��� Ï Ç �ÑÐ~(KÒ$Ó �V�Ç�d���Ï Ç @&)(+* �V�Ç�� �� Ï Ç E+G&)(+* �V�Ç�d���Ï Ç6@ÑÐ~(VÒ�Ó �V�Ç�d��û Ï ÇFE+GÑÐ~(KÒ$Ó �V�Ç�d���Ï Ç69B7&)(+* �V�Ç�d�d� Ï Ç6587�9&)(+* �V�Ç�� �þÏ Ç69B7ÑÐ~(VÒ�Ó �V�Ç�d��� Ï Ç6587�9ÑÐ~(KÒ$Ó �V�Ç�� ��

qw���Mp<[V[_RTcm�`%�����gZLp<bV`ýp<�lB��^_\�g�qw���g�b_�<�5�<q8S'U_�}^jcTb��g��g\fl�Mqw�g�<Sª��^_p��5[]\�gfg[�����ced�<�uY^_"fgcm©��f��<q-��^_'�g�fl�gfBqw�����g^_¨�_cmd�p<�lcîp��g4��� n �Mcm��^W·X� �%cmfBfg^V���Mb cmb�u�p<�VRT��V�Co�cmb_��C��^_

���gp<��Mp�b_`¨��^_YS=p~ �cTS'UVS \cT��\b�d<p�RTU_k�g�f���f�p<�gYcm`_�b��gcT��p�R�qw�����g�f���cTbV� ¹ ò�� õ x�·A� �t�k�ðlU_f��-[_�g\fg\bP���^VC�l�fgUVRm��fMqw��� ¹ òå� õ xm·����V� v RTR��g�f���f5^�p�d�4�l��U_��^VRmOLp"�����l�g\�\�BflcT©\<�Y�B��drcT��UVfgRmO<����^_����bV���p~���`fgcm©�\f�qw������<��^ ��^VA�g��p<�\{p<bV`÷�g^_=S=p~ �cTS4U_S>\cT��\bPd�p<RmU_¨��\fl��f4p<�g¨d<��lO÷flcTSAcTRîp���cT�l�g\fg[��\�gcmd<=�<q��^V÷fl[]\��ceÿ��(��\fl�j[_�g�<[]��fgp<R�� uY^_ f�p<SA��g\fgU_Re�L�tp<fjp<Rmfg�øqw��UVb_` qw���%��^_�l�|�h`_cmS=\b_fgcm��b�p<R���� n f�M^_\b ¹ òå� õ xA·h� � ��� ¹ ò�� õ xA·h� �÷p<�g���\fl�g�`Kòåfg\ u8p<�_Rm(þ õ �US�\d<�����^_\RT�flf��B�g^_ fgcT©\�f�<q���^V(����p���(d�p<�gcTp<b���f%��qC�g^_ Ï Ç � p�b_` Ï Ç E+G �g�f���fL� ���\�` ��^_�flcT©�\f¥�<q���^_��\���g�l�fg[��b_`VcTb_�S=p~ �cTS'U_S>�cT�<�b�d�p<RTU_"d�\�gflcT��b_f'p��_ce�Cqw����w²�Æ�:�m]¿û�p<b_`�wq��� ��]Ç��cTb ��p<fl%�<qYRTp<�g�<Acmb_b_��d�p���cm��b���<�g�g\Rîp��gcT��b�ò�v � òå��]�þ'[}��]Ç� õgõ � � �<��v � òå��]Çþ�[}��]Ç� õ �� p<RTfl� ���_fl��ld<���^�p��{��^_(�g��p<�\ýd�p<�gcTp<b���f�<q Ï Ç � p�b_` Ï ÇFE+G �l�ðl����'flRTcT�<^P�gRmO(�g���j�<qï�g�b���ik�<�g^ ��^V=���gp<��{p<b_`÷��^_=S{p~ �cmS'U_S \cT��\bPd�p<RmU_d�\�gflcT��b_f��<q Ï Ç ÉÑi p�b_` Ï Ç6@tp<�l�p�¢]�����\`¥�PO"�g^_cTf�[_�g�<�_RT\S¦p<f����RmR���zhb{����b����gp<fl���VcmbA�g^_Bp<�Vfg�bV��B�<qcTbVb_��d<p~��cT�<b%�����l�g\Rîp��gcT��b(ò�v��Kòy��[}� õgõ �g^_B��\fl�gfMp<�gBöPU_ce����\��b_fg\�ld�p��gcmd���_�fl[]\��cTp<RTReOA�g^_�S=p~ �cTS'U_S�cm���b�d�p<RmU_�d�p<�gcTp<b���f\� Q ����\d�\������^V Ï Ç69�7=�g�f���fY^�p�d���l�p<fl��b�p<�_RmBfgcm©�B[V�g��[�����cT\ftqw���k��<�g^¥Zrcmb_`_f�<q8cTb_bV��d�p��gcT��b¥�\���g�l�RTp���cm��bLp<b_`¥��^V��g�qw���g���UV�g[]\�lqw���lSª�g^_��<��^_\�Y���f���fMcTb¥�g^_cTfY�l�fg[������

zhb%��^_�p��_fg\b_����<q�cmb_b_��d�p���cm��b%�\���g�l�Rîp~��cT�<b(òv��Kòå��[}��[}� õgõ ������_fl���d��fgcmS=cmRîp<�-flcT©��[_�g��[�����cm�f�<q.�g^_C�g�f���f�qw�<�5qw��UV���h`VcTSA�b_flcT��b�p�R���� n fM�Mcm��^�·�� �'p�f�qw���M��^_�l�|�h`_cmS=\b_fgcm��b�p<RÕ��bV�f�� Q ����\d<����cTb ��p<fg"�<q�^_cT�<^÷cmb_b_��d�p���cm��b����<�g�g\Rîp��gcT��b ò�vØ�0òå��]Çþ�[}��]�þ'[}��]Ç� õgõ ��^_"[_�l���_RT\S>�<qkp<b � ��\�fgflcmd<{fgcm©�`_cmfl���<�l��cm��b cTf"S'UV�}^ SA���g¥fl\d�\�g�p�fAfl^_���Mb cmb1u8p<�_Rmj �� v RTRt�g�fl�gf��t| ����[�� Ï Ç6587:9����g�ðl\�\�Aqåp<����r�%�<qï�g�b�������b_©�p<RT� � n ce�}p<�gp<ZPcTf¨ò���û�û�û õ ^�p�d�¨[��cmbP�g�`���U�����^_p��B��^VcTfBZPcTbV`(�<q�fgcm©�'`_cmfl�g���l�gcT��b�cTf

���

Page 14: Trace vs Maximum Eigenvalue

Ú �_��Û$ÜW�TÞ ô \Rîp��gcmd< ô �ðl\�\�gcT��b � �g�öPU_\b_��cm�fC�<qtu¡�f���fCqw�<��uY^V�g�|�h`_cmS=\b_fgcm��b�p<R.��� n f��Mcm��^úsk��cmb����\����p~��cTbV� ô p�b_Z�·�� �{�<�'���£ó vBô �B�l`_��8�7� ����oVp�S=[_Rm¨o�cm©��fP� �����V�|S5��SAcTb�p<R8o�cm��b_ceÿ���p<bV��WÕ\d<�R¡�V�Ç�� ��

u¡�fl� ·Æ� ��� ·�� �=ò ¹ ò�� õ xd·Æ�H� õ ·Æ� �=ò ¹ ò�� õ x�·�� � õor��p���cmfl��cm� ò ¹ òå� õ x�·��F� õw²�l� � w²�l�F��]Çû w²�q� ��]Ç� wq�²� ��]Ð� wq�²� ��]¿û w²�l�F��]Ç� w²�l�F��]¿�v��Kòå��[}� õ v��Kòy�m]Çþ'[���]¿� õÏ Ç ÉÑi&�(V* �V�Ç�� �� �V�Ç�V��� ���¿����� �V�¿��þ�� �V�¿����� �V�Ç����� ���¿�d�<�Ï Ç ÉÑiÑÐ~(VÒ$Ó �V�Ç���� �V�Ç����� ���¿�d��� �V�¿��þP �V�¿���� �V�Ç����� ���¿���<�Ï Ç6@&�(V* �V�Ç�d�d� �V�Ç����� ���¿�V��û �V�¿���d� �V�¿����û �V�Ç����� ���¿�d���Ï Ç6@ÑÐ~(VÒ$Ó �V�Ç����� �V�Ç�V�� ���¿���<� �V�¿��þ�� �V�¿����� �V�Ç����� ���¿���<�Ï Ç 9B7&�(V* �V�Ç�� <û �V�Ç�V�� ���¿�d�� �V�¿��þP �V�¿�� �� �V�Ç�� � ���¿�<þ��Ï Ç69B7ÑÐ~(VÒ$Ó �V�Ç�d�d� �V�Ç�V��� ���¿�<þ�� �V�¿�� <� �V�¿����û �V�Ç�� �� ���¿�� < Ï Ç �&�(V* �V�Ç�� <û �V�Ç���� ���¿���<� �V�¿����þ �V�¿�� �� �V�Ç�d�<þ ���¿�d���Ï Ç �ÑÐ~(VÒ$Ó �V�Ç�d�� �V�Ç����û ���¿�V��� �V�¿���<þ �V�¿���� �V�Ç����� ���¿���~þÏ Ç E+G&�(V* �V�Ç�� <� �V�Ç���<þ ���¿����� �V�¿����þ �V�¿��þ�þ �V�Ç�� � ���¿�� ��Ï Ç E+GÑÐ~(VÒ$Ó �V�Ç�� �þ �V�Ç�V��� ���¿�V��û �V�¿���d� �V�¿���<þ �V�Ç����þ ���¿�d���Ï Ç6587:9&�(V* �V�Ç�d��� �V�Ç����û ���¿����� �V�¿���d� �V�¿���� �V�Ç�d�� ���¿�<þ� Ï Ç6587:9ÑÐ~(VÒ$Ó �V�Ç�� <� �V�Ç����� ���¿�V��� �V�¿���� �V�¿����� �V�Ç�<þ�� ���¿�� ��� Ñ�¯�­.·y­gÁ ¹ ´Ç®�Á£µ½¼\·|� â Ýt°|·�­.ÆDZ~Â�­�¾<­�±~Â�­l±�®�¼|µV®y¯�­2Æ¿±�±�¼}è}°}®�ÆǼ\±�À�¼�·�·y­l´¿°|®yÆ¿¼�±PÙp%�hOr[_cT��p<R.[_�l���_RT\S>�<q�W ô �hOr["�g�f���f��SA��l��cTb_�¥cmb�Rîp<�l��'f�O�f���\S=f\� Q ���k�d���\�¡�g^_"� ���\fgflcmd�Afgcm©�`_cmfl���<�l��cm��bLcTf5RT\fgf5[_�g��bV��U_b_�\�`(qw���Y��^V4S=p~ �cTS'U_Sª�cm���b�d�p<RTUV��g�fl�gf��g^�p<b�qw�<�5�g^_��g��p<�\C�g�fl�gf���o����^V�qw�<�gSA��Y^�p�d�Cp¨fgRmcT��^��Mp<`�d<p�bP��p<���cTb¥�g^_cTfY�l�fg[������

uY^_ýqw��UV���h`VcTSA�b_flcT��b�p�RY��p<fl�p<RTfl�øp<RmRT���MfAU_f{���ú����SA[�p<�l���^Výfgcm©�(��qB��^_����f��%d�p<�gcTp<b���f"qw���[_�l���\�fgfl�fj�Mcm��^ �h��� �\��cTb���\����p~��cT�<b �g�RTp���cm��b_f ò$·u� � õ � v f¥��^_÷�g\Rîp��gcmd��[���qw���gS=p<b_�\��<q���^_���gp<��{p<b_`øS=p~ �cTS4U_S �cm���b�d�p<RmU_=�g�fl�gf'cTfCp<RmS=��f���cT`_\bP�gcT��p<R����k{`_�(b_�<�Cfg^V���¦�g^_{�l�fgUVRm��f4^_��l<�S��d�\�l��^V�RT\fgf\����jSA�b��gcT��bø�g^�p��"p<RmR��g�fl�gf"p<�g%d<���O ����bVfg���d�p���ced�LcTbø�g^_cTf'��p<fg�� ���b_\��p<RmRmO��8��^_fgcm©�\f��<q.�g^_C�g�f���fB`_�{b_�<��� ���\�`���^_�d�p<RTU_��<q-���¿���Ap<b_`�p��g��<qï��\b(�]\RT���H�V�Ç�V�����Bb_ReO¥��^_ Ï Ç69�7��\fl�gf�p<�l�pA�Vcm�YRm�fgfM�\��b_fg\�ld�p��gcmd���

u8�AfgUVSüU_[�����^_�flcT©��[_�l��[]\�l�gcT�fM�<q¡��^V��g��p<�\Cp�b_`j�g^_�S{p~ �cmS'U_S �cT�<�b�d�p<RTU_�d�p<�lcîp<b���fMp��g�cTb��\b_��gp<R2��p��g^_���flcTSAcTRîp��5qw����p�RTR��g�fl��[_�l��[��f�p<Rmf�� Q ����\d<��\�.cTb fg[��\cmÿ��"flcm��U_p���cm��b_f��g^_¨����p���¨��\fl��ffgU�¢£\�5SA���lBqw�g��Süp�bj| ����flfgced�4flcT©\�`VcTfl�g���l�gcT��b%�g^�p<bL��^_�S=p~ �cTS'UVSª\cT��\bPd�p<RmU_B��\fl�gf��

���

Page 15: Trace vs Maximum Eigenvalue

Ú �_��Û$Ü\�_Þ ô �Rîp~��cmd< ô hðl��\�gcT��b � �g\örUV�b_�\cT�f8�<q�u¡�f���f8qw�<� ¹ ò�� õ x�·�� �titp<fl�`C��b � ��U_���h`_cmS=\b_fgcm��b�p<R��� n fB�Mce��^ sk��cmbP�g����gp���cmb_� ô p�b_ZW·À�:����vØ�ñòy��]�þ'[}��]�þ'[}�m]¿� õ �£ó vBô �B�g`_\�Õ���:���¡o�p<S=[VRTAo�cm©�fh� �����V��S5��SAcTb�p<R�o�cT�<b_cmÿ���p<b_�\�W��d�\R8���¿�� r�

u¡�f�� ·�� � u8\fl� ·�� �oP�}p��gcTfl�gcT� w²�q� ��]Çû wq�q�F�m]¿� w²�²� ��]¿� or�}p��gcTf���cT� wq�²� �m]¿û wq�q� ��]¿� w²�q� ��]¿�Ï Ç ÉÑi&�(+* �V�e����� �V�¿�<��� �V�Ç����� Ï Ç �&)(+* ���m����� �V�Ç����� �V�Ç����þÏ Ç ÉÑiÑÐ\(KÒ$Ó �V�e�©�V� �V�m���V� �V�Ç��û�� Ï Ç �ÑÐ~(KÒ$Ó ���m��þd� �V�e����� �V�e���<þÏ Ç @&�(+* �V�e���<þ �V�¿�<��� �V�Ç����� Ï Ç E+G&)(+* ���m���<� �V�Ç���<þ �V�Ç�����Ï Ç6@ÑÐ\(KÒ$Ó �V�e�©��� �V�m����� �V�Ç��ûd� Ï ÇFE+GÑÐ~(KÒ$Ó ���m���r� �V�e����� �V�Ç���d�Ï Ç69�7&�(+* �V�Ç��û� �V�¿���<� �V�Ç����� Ï Ç6587�9&)(+* ���¿�d��� �V�Ç�d��� �V�Ç�d���Ï Ç69�7ÑÐ\(KÒ$Ó �V�e����û �V�¿�<�<þ �V�Ç���<� Ï Ç6587�9ÑÐ~(KÒ$Ó ���¿�d�� �V�Ç�� <û �V�Ç�d�V�uY^_BflS{p<RmR�f�p<SA[_Rm�[���k\�k�<q��g^_��g�f���ftcmf�`_\[_cT����\`%cTbA��^_ � cT��UV�g�fk ��.�V� � cm��U_�l� �fg^_���Mfk�g^�p��

��^V'����p���"p<b_`�S=p~ �cTS4U_S:�cT�<�b�d�p<RTU_C���f���f�[��lqw�<�gSñörUVcm��¨flcTSAcTRTp<�gReO%cTb(�g^_¨�_ced<p��gcîp~��4��p<fg'�Mce��^·Æ���"�������M^_\b ¹ òå� õ xµ·����"cTft�g�f����`£�tzhb(p<�\�����l`�p<b_�\��Mce��^j�g\fgU_Re��fM��O�u¡�r`�pýò���û�û<þ õ qw���t��\fl��f�M^_cm�}^�p<RTRm���Fqw���5pA�gcTSA����g\b_`����^_����gp<������f���f�p<�gCfgRTcm��^���ReO%�\�g�g��5qw����p�Rm��\�gb�p~��cmd<�f5��Rm��fg����A��^_bPU_RTR8^�O�[�<�g^_�flcTf�p<b_`(�g^_'S=p~ �cTS'UVSñ\cT��\b�d<p�RTU_4�g�f���f�^�p�d�"p�b p<`Vd�p<b��}p<�<'cTb(flcm�gU�p���cm��b_f5qwU_�l�g^_��p��tp�O qw�g��S ��^_{brUVRTRk^�Or[�<��^_\fgcmf�� zhb�����l�f���cTbV��RmO<�.��^_cmf'[�p��l����lb ��p<b �%���Vfg���d�\`1cmb_`_�[�bV`_�b���ReO�<qt�g^_AcTb_b_��d�p��gcT��b ���<�g�g\Rîp��gcT��b p<b_`÷��^_"��\fl�gfq38p<fgflU_S=[���cT�<bú�g\��p<�l`_cTb_�L��^V=`_���\�gSAcTb_cmfl��cm�¨����lS=f\��B��d�cm��U_flRmO����g^_M`_cm¢]��l�b_�\�ftp��gMöPU_cm�g5flS{p�RTR_p�b_`{S=p�O¨�]M`_UV5�g��fgp<SA[_RTcmb_�Bd�p<�gcTp<�_cTRmcm�hO�cTb"��UV��flcTS¨�U_RTp���cm��b_f��¡z¤��cTf.�����l�g^{b_�<�gcTb_���g^�p��2��^V5�g�fl�gfkp�fgfgUVS=cmb_��b_�CRmcTb_�p<���g�g�bV`{^�p�d�5^_cm��^_��-flS{p<RmRVfgp<S=[VRT[������¨�g^�p<bø��^V��fgjp<RmRT���McTb_�jqw���¨pý�g�g�bV`�� Q \b_�����ce�'[�p�Orf¨��� fg[��\cmqïO ��^_¥`_���\�gSAcTb_cmfl��cm�=�g��gSAf[_�l��[]\�gReO�� �Bb ��^_L�<�g^_��¨^�p�b_`�������SA[�p<�lcTb_�(�g^_L`_cm¢]��l�b��"���f��"d���lfgcm��b_f¨�Mcm�g^_cTbø�g^_L�g�fl[]\�\�gcmd����l��U_[_fCò�gT�q� �"�<�vgT�F�� � õ ��p"��Rm�p<�t�Mcmb_b_\�tqw���Mp<RTR£fgcm�gU�p��gcT��b_fkcTfMb_�<�Yqw��UVb_`��

sk��SA[�p<�g\`1�g� ��^V�qw���l�����cmb_� �_cmd�p<�lcîp��gLfg\�gU_[ p<RmRt��\fl��f=^�p�d�ýp RT������=fgS=p<RTRtfgp<SA[_RTj[]�������M^_\b(��^_C�����l�g�fl[]�<b_`_cTbV�=��^V�g�|�Mp<bV`ýqw��U_���h`_cmS=\b_fgcm��b�p<RÕ��� n f��Mce��^W·Y� �A���4�4p<�gC����bVfgcT`V��g\`��S��d�\�l��^V�RT\fgf\����^V��l�Rîp~��cmd<Y�}^�p<�gp<�\�g��gcmfl�gcT��f-�<q��^VM�g�f���d�p<�lcîp<b���f2�l�S=p<cTb"U_bV�}^�p<b_��\`��rfg���k5`_��b_�<�[_�l�fg\b����g^_��g�fl[]\�\�gcmd�����gp<[_^_fM^_\�g<�¸úM^�p�d<�p<Rmfg��flcTS'U_RTp���\`'��^_MflS{p<RmRVfgp<S=[VRTt[���k\��qw���8��^_�l����p<bV`"qw�<U_���¤`_cTSA�b_flcT��b_p<RV[_�l���\�flfg�f�Mcm�g^÷�h���(�\��cTb���\����p~��cT�<b÷�l�RTp���cm��b_f��M^_�b ���f���cmb_� ¹ òy� õ p<b_` ¹ ò�� õ �{uY^V{öPU�p<Rmcm�}p~��cmd<¨�g\fgU_Re��f'p��gRîp��g��\RmO¨��^VBf�p<SA�qw�<�k��<��^%`VcTSA�b_flcT��b_f\�.uY^_\�g\qw�<�g����ðlU_fl�t�g\qw\���g�'��^_5��^_�l���¤`_cTSA�bVfgcT�<b�p<R��p<fl<�zhb � cm��U_�l8�V�~��^_k[]������8qw�<�8��^Vk��p�fgt�<qV���f���cmb_� ¹ òå� õ cmf8`V�[_cm�\��\`��.zhb4�g^_cTf¡��p�fg<��qw�<��z w²��z�V����~��^_\�g

�©�

Page 16: Trace vs Maximum Eigenvalue

p<�l��h���%SA���g�����cmb�����<��p��gcTb_�"�g\Rîp��gcT��bVfM�g^�p<b�fg[���ceÿ��`ýcTb��g^_�brUVRTR�^�O�[�<�g^_�flcTf"òwc���<�e��·A��·^iv�H� õ �Q \b_�����qw�����g^_'S=p~ �cTS'U_S:\cT��\bPd�p<RmU_C�g�f���f���^_4brUVRTR.p�b_` p<Rm�g��lb�p���ced�C^POr[�<��^V�fg\f4p��g'cmb_�����l�g\�\�p<b_`£���g^rUVf����g^_¥���gp<��¥��\fl�gfAS=p�Oø^�p�d<ýp<b6p<`�d<p�bP��p<���� uY^_cTf"cTf¨�\RT�p<�gReOú�l�h�\�\��\` cmb �g^_L[]��������UV�ld�\f���zhbj�g^_�p<�_fg\b_����<q8cTb_bV��d�p��gcT��b¥�\���g�l�RTp���cm��b÷ò�v�� òy��[�� õ 9 õ ��^_�fgS=p<RmR�f�p<SA[_RmB[]������5�<q¡��^_���gp<��Y�g�fl�gfk| V�\�\`_f��g^_�[���k\����q£��^V5S=p~ �cTS4U_SK\cT��\bPd�p<RmU_Y��\fl��f���O"U_["���Cp<�]�<UV�k�<��[]\�g��\b��}p<��[��cTb���f\�Bzhb�fg�<S='��p<fg\f����g^_'[���������U_��d��f��<q2�g^_4�g��p<�\4��\fl��f�p��g4�\RT�p<�gReO�f���\�[��B��^_p<b(��^_�<fg'�<q��^V�S{p~ �cmS'U_S¦�cm���b�d�p<RTUV���\fl��fMfl�'��^�p��Y�g^_�fgUV[]\�gcT�<�t[]\�lqw���lS{p�b_��B��q¡�g^_Bqw���lS=\�kcTfk��b_RmO=[�p<����ReOp��l���gcm�_UV��p<�_RT����¨��^_\cT�YRTp<�g��\�Yfgcm©�<�¸ ^_�b(�g�f���cTbV� ¹ ò�� õ ����^V��gCcTf�p<��p<cmb¨ðlUVfl�B�<b_4| ��g��pA����cmbP�g����gp���cm��bj�g�RTp���cm��bjU_b_`_\����^V'p<Re������b�p��gcmd<Lò�·���·^iA� � õ p<b_`���^V'[]��������<q�p<RmR¡�g�f���f�cTf���p��g^_���RT���Hqw���Fw)ª5� ��]ÇûV��p<f���p<b �'fg\�b cTb� cm��U_�g'�����B��d�cm��U_flRmO��£cTb(fl��S=4fgcm�gU�p��gcT��b_f�cm��cTf�bV�<�Bd�\�lO�RmcTZ��RmOL�g�{ÿ�b_`÷p{�\��cTb���\����p~��cTbV�%��p<bVZ��<q�h���_� o���g��cmb_�ý�g^_%fg\����bV` p<UV���<�g��<�g�flfgced�¥�cm���b�d�p<RmU_A�g�'w)ª��:��]¿��cTb_�\�g�p<fg\f4��^_=fgS=p<RTR-fgp<S=[VRT[��������<q.��^VC��\fl�gf�qw���gv�� òy��[�� õ 9]�g\S{p<�lZ~p<�_RmO òwfg\ � cT�<U_�gC� õ �Mzhbý�g^_4��p<fg4�<q.��\fl�gcTb_� ¹ òy� õ fg���^_p��Õ·���·aiÕ�F�¥ò n p<bV�RTf v p<b_`ji õ �r��^_�p�`Vd�p<b��}p<����<q���^_B�g��p<�\B���f���fYcmft\d<�bjS=���l�[_�l��b_��UVb_��\`��^_p<b%qw�����g^_���� n fk�Mcm�g^1w)ªI�F��]ÇûV�)¸ ^_\bL�g^_BbPU_RmR£^�Or[]�<�g^_�flcTfYcmf ¹ ò�� õ p<bV`��V^_\b_�����·Õ�3·^iI� �����<��^¥��\fl�5d�\�gfgcm��b_f5p<�l��<b_���SA���g��gp���^_\�YfgcmS=cmRîp<�Bò n p�b_�Rmf�s p<b_`j� õ �

zhb{flU_S=S=p<��O��������p<b=�\��b_�\RTU_`_Y�g^�p��-�Mcm�g^=�l�fg[������g����^_5fgS=p<RTR�f�p<SA[_RmY[]��������]�<�g^A�g^_Y���gp<��p<b_`���^_�S=p~ �cTS'U_SF�cT�<�b�d�p<RTU_2�g�fl�gf�^�p�d<kfgcmS=cmRîp<�£[_�g��[�����cm�f8p<f¡���RmR��~cTb�RTcmb_.�Mcm�g^C��^V�Rm����p<R�[]�������g\fgU_Re��f\� Q ���k�d�\���kcmbúfl��S={��p<fl�f��2�g^_{���gp<��=���f���f"p<�l%��Rm�p<�lRmO÷fgUV[]\�gcT�<�C���(�g^_%�\���g�l�fg[��b_`VcTb_�S=p~ �cTS'U_S �cm���b�d�p<RmU_td�\�gfgcm��b_f�cTb'�g��gSAf-�<q][]���������S��<��fgUV�g[_�lcTfgcmb_��ReO��<�g^_cTf2^�p�[_[]\b_f�cTb¨[�p<����cm��U_RTp<�cmq���^_�p��\��U_p<R��gp<b_Z�·÷� ���\�`_f¥��^Vý��p�b_Z1fl[]\��ceÿ��` cmb1��^V(bPU_RTR5^�O�[�<�g^_�flcTf���·^i��Y��O1S=�<�g��g^�p<b��b_���·��·aiA0 ���Yzhb��g^_��fgC��p<fl�f5�M^_��l4��^_�S=p~ �cTS'U_S �cT�<�b�d�p<RTU_��g�fl�gf�`_�<S=cmb�p�����_��^_\cT�5[]������p<`Vd�p<b���p<��ýcmf{��bVRmO SAcTb_���\� ��b1��^_(����^_\�{^�p<bV`��t��^_ýRîp��l����"��\fl�gf%fg\�S ���ø^�p�d<(fgS=p<RTRm��"fgcm©�`_cmfl���<�l��cm��b_f-��^�p�b%��^_��g��p<�\��g�fl�gf���or�gcTRTRy�P��U_�k��d<���p�RTR�g��\��SAS=\b_`�p��gcT��b=cTf��g�'U_flB��^_5����p�����g�fl�gfYcmq��b_t�kp<b���f2�g�Cp�[_[_RmOYðlU_f����<b_t��\fl�2d�\�gflcT��b�����q���<U_�gfl<����^_\�gMcTf�b_�<��^VcTb_�B�M�l��b_���Mcm�g^"�g^_Y���<S=SA��b[_�gp<�\�gcT����g�AUVfg��]����^Ld���lfgcm��b_fMfgcmS'U_Rm��p<b_\��U_fgReO��� @ ;A#�35&���,.��;A#�,

zhb���^_cmf�f���U_`VOý�k¨^�p�d<A�\��SA[�p<�g\`�S{p� VcmS'U_S:�cm���b�d�p<RmU_¨p<b_`(�g��p<�\4��\fl�gf�qw�<����^V¨����cmbP�g����gp���cmb_���p�b_Z¥�<q�p"ó vBô [_�l���\�flf��tuY^_����<S=[�p��gcTfl��bLcTfM[��lqw�<�gSA�`¥qw���Y��\fl�5d<p��gcîp�bP�gfMfgU_ce�}p<�_RmBqw���Y`_ce¢£\�g�b���hOr[]\fB�<q2`V\��\�gSAcTb_cmfl�gcT������lS=f\� § ���gC[_�g\��cTfl�ReO��]p{����UV[_RTC�<q.��\fl�gf�p<RTRm���McTb_�¨qw����p{b_��bV©���l�%SA�p<b

��þ

Page 17: Trace vs Maximum Eigenvalue

p<b_`=p����g��UV[=�<q]��\fl��f�p<RmRT���McTb_��cmbAp<`_`_ce��cT�<b'qw����p�`_���\�gSAcTb_cmfl��cm�tRTcmb_�p��.���g\b_`%p��gM����bVfgcT`V��g\`��2uY^_p<f�O�SA[V�g�<��cm�¥`_cTf����gcm�_UV�gcT��b_fCU_b_`_\�"RT�r��p<Rkp<Rm�g��gb_p���ced��f"p��gL��cmd<�b6p<b_`1p�RT�r��p<R�[]������"���<S=[�p��gcTfl��bcTf=[_�g\fg\bP�g�`�� zhb ��^_p��%�\��S=[_p<�gcmfg��b1b_� S{p�ðl���=`Vcm¢]��g\b_��\f¥�]��h�k\�b ���<�g�g\fg[��b_`_cmb_� S=p~ �cTS'U_S�cm���b�d�p<RmU_÷p<b_` �g��p<�\÷�g�f���f(p��g `_\�g������`£�ñzhbFp6flS{p�RTRBfgp<S=[VRT fgcmS'U_Rîp~��cT�<b ����SA[�p<�lcTfg�<b ce�jcTfqw��U_bV`��V^_����\d<�������^�p��kcTb=fg��SA�flcm�gU�p���cm��b_f-���gp<��5���f���fk�g�b_`=���'^�p�d<BS=�<�g5^_�p�drcTReO"`_cTf����������`{fgcT©\�f�M^_\�g�p�f.��^_\cT��[���k\�2[]\�lqw���lS{p�b_���cTf.flU_[]\�gcm���8�g����^�p~�2�<q���^VtS{p� VcmS'U_S \cT��\bPd�p<RmU_t�\��S=[\�gcm�g���gf\�zhb [�p<����cT�\U_Rîp����]�g^_¨���gp<��'�g�fl�gf�p<�g"p<`�d<p�bP��p<��\��U_f�cmq-�g^_��l=p��g¨p���Rm�p<f��B�h����SA���g4����cmbP�g����gp���cmb_��g\Rîp��gcT��bVf5cmb��g^_C[V�g�r���flf���^_p<b(fg[��\cmÿ�\`(U_b_`V����g^_4bPU_RmR�^POr[�<��^V�fgcmf���itp<fl�`(��bý��U_�5fgcTS4U_Rîp��gcT��bVf��k^�p�d�kp�[_�l\qw\�g�bV��kqw���Õ�g^_��g��p<�\��g�f���f���uY^_cTf¡�g\fgU_Re��ðlU_f���ceÿ��f¡��^_�����SASA��b�[_��p<����cm���cTb��SA[_cT�lcT��p�R�����gZ{�g�=UVfg��ce��^_\�5��<�g^L�hOr[�f5�<q¡���f���f5fgcmS'U_Rm��p<b_\��U_fgReO{�<�Mp<[_[_ReO{��^V��g��p<�\����f���f5� ���RmU_fgced�\RmO��

zhb p<�\�����l`�p<b_�\=�Mcm�g^ ����^_\�4p<U���^_���lf%òwfg\<�.��Ç�_�e� Q U_�_�lcT�}^ú��'p�R�� òy�<���V� õlõ �k{p<RTfl�jqw��UVb_` �g^�p����^V�p<Rm�g��lb�p���ced��W ô �hOr[]����f��td�\�gflcT��b_ftqw�<�tp4fl[]\��cmÿ_�B`_\�g��lS=cmb_cTf���cT�M��\�gS fg��SA\�gcTSA�f�`_cm¢]���S=�<�gfgUV�_fl��p<b���cîp�RTRmO4��^�p<b=��^_������l�g�fl[]�<b_`_cTbV�4S=p~ �cTS'U_SK�cT�<�b�d�p<RTU_�p<b_`A���gp<��5���f���f\�2uY^_��l\qw���l<�_��p�fg�`��b ��U_�4fgcTS4U_Rîp��gcT��b �g\fgU_Re��f���cm�¨p<[_[�p<�lf'��� �]¥SA���l%fg\b_fgcm�_RT%�g� p<[_[_ReOø`_ce¢£\�g�b��¨d<��gflcT��bVf"�Mce��^�g\fg[����'���ý�g^_=�g�g�p���SA�b��'��qM`_\�g��gSAcTbVcTfl�gcT�¨��\�gSAf4�gp���^_\�C�g^�p<bú�g^_{S=p~ �cTS'UVS �cT�<�b�d�p<RTU_=p<b_`��^V��g��p<�\�d<p��gcîp�bP�t�<q.��bV�fg[���ceÿ������f��Md���lfgcm��b��

G F7Fú!�#�í����W� � !B+���$C��72��;A# ;A96G ,�Dj� Fý7.;¨7.��3�� ��,872+-�����ý7.��;A#�,¦;"9/6!�,¡7 t 7��C7.��,872��3�,u¡�¥`_��lcmd�C��^_'RmcTSAcm�gcTb_�¨`_cmfl�g�gcT�VUV��cm��b_f5�<q2��^_4S{p~ �cmS'U_S:�cm���b�d�p<RTUVC��\fl�gfB����bVfgcT`V��g\` cTb o�\�\�gcT��b�V�P�k�fg^_��� ��^_p����g^_��<�b_\��p<R�qw��p�S=��k���lZ"U_fg\`%��O¥oVp�cTZPZ<��bV�b � WYXUV��Z��[��^_R�ò���û<û�û õ ���C���V�}p�cTb"��^_RTcmS=ce��cmb_�'`_cmfl���lcT�_U���cT�<b��<q���^_4W ô �g�fl�BcTb(pA�g\`_U_��\`���p<bVZj�l����l�flfgcT�<b(S=�r`_\R¡��p<b�p<Rmfg�=�]CU_fg\`(cTb��^V{��p�fg%�<qY�g^_{S=p~ �cTS4U_S �cm���b�d�p<RTUV=��\fl���ýuY^_cmf'�g\fgU_Re�'`_�r�fCb_�<�4qw�<RTRT��� p<UV���<S{p��gcT��p<RTReOýqw�g�<SoVp<cmZPZ<��b_\b � WYXUV�gZ<\[]��^VR�ò���û<û�û õ ����p�U_fgM��^_MSA\�g^_��`"�<q][_�l���<qU_fl�`=cTb¨��^�p~�-[�p<[��2�tp�f��_p<fg\`{��bp<b"cT`V�p�cTb¨�M^_cm�}^=��bVRmO4�g^_MRTcmS=ce��cTbV��`_cmfl�g�gcT�VUV��cm��b'�<q��^_MflU_S �<q��^_M�l�RT�d�p<b���\cT��\b�d<p�RTU_\f-p<b_`Ab_�<���^V=RmcTSAcm��cmb_�A`_cTf����gcm�_UV�gcT��b��<qkcTb_`VcmdrcT`_U_p<R.�cm���b�d�p<RmU_�f��kp<fC`V��gced�\`��{uY^_"qw��RmRT���McTb_�{� r��\b_fgcm��bú�<quY^_\���g\Sü�Y�<qÕo�p<cTZPZ<�<b_�b � WYXUV��Z��[��^_R¡ò���û�û�û õ fg^_���Mf2��^�p~�2��^_�ðl��cmbP�.RTcTSAcm�gcTb_�5`_cmfl���lcT�_U���cT�<b'�<q��^_�g\RT�d<p�bP���cm���b�d�p<RTUV�f.��p<b¨�]����V��p<cTb_\`4�Mcm�g^_��UV�.fl���l�b_����^_\b_cTb_����^_t[V�g\drcm��U_fgReO4UVfg�`Ap<flfgU_SA[V�gcT��b_f\�

uY^PU_f������bVfgcT`V��t��^V��l�`_UV���`ý��p<b_Z=�g\���g\fgfgcm��bjS=�r`_�R�p_�¼"gb 9�� 'jy�r~[ bq� �d[^]^]^]�[`f�[ ò$"�]e� õ�M^_\�g��p�p<b_`H�r.p<�l=ò�,#-ú� õ d<��\�g���gf\� � 8cTfMp<búò�. -ø� õ d<��\�g���M�Mcm��^o. Îu,8��p<b_`o" p<b_`Hbªp��g

��

Page 18: Trace vs Maximum Eigenvalue

ò�,#-¤·^i õ p<bV`øò$. -7·^i õ ���r��A�\cT�b���S{p��g�gcm���fY��q�qwU_RmRÕ����RmU_S=bL�gp<b_Z����g�fl[]\�\�gcmd�\RmO<�tuY^_4\�g�l���Y����lS�r�cmfMp<fgflU_S=\`j�g�=���<q¡��^_�qw���lS �re�hf ��� "Æ��b 9� � 'j��m~[ ò$"�]¿� õ�M^_\�g5"���p<b_`�bÆ��p<�l'ò$,=-(ò$·���·^i õgõ p<b_` ò$.Ø-(ò�·²�W·ai õgõ S{p~���gcm��\f��r�g�fl[]\�\�gcmd�\RmO<���Mcm�g^X·²�W·^iv0 �p<b_` ��8cTfY�g^_C\�g�l���Y����lS U_b_`V��M��^_�bPU_RTR�^�Or[�<��^_\fgcmf���^_p��4ò�"�]e� õ cmf�p"���<�g�g\�\�gRmO¥fl[]\��cmÿ_�`ýSA�r`_�Ry�uY^_"S=p����lcT��\f �¦" xn"��~�-p<b_`��`b>x�bÆ�+�2p<�g¨flU_[_[��fg\` ���¥�"�<q-qwU_RTR�����RmU_S=b��gp<b_Z�U_b_RT\fgf���^VAbPU_RmR^�Or[]�<�g^_�flcTf5^_��Rm`_f��_cmb¥�M^_cT�}^j��p<fl�"Æ�²� �=p�b_`�bÆ�tS=p�OLp<Rmfg�¨��©\��l�_�

z¤��cTfB���RTR�ZrbV���Mb÷��^�p~��cmqI���cTf���p<U_flfgcîp�b �M^Vcm��¨bV��cTfl=p�b_` � �cTf�f����lcT�\�gRmOý� �����\b_��U_f�����[_�l��`_�����lS=cmb_�`¥�g^_�fl��p���cmfl��cm��p<R]p<b�p�RmOrfgcmfY�<q���^_��l�`_U_�\�`j��p<bVZ{�g\���g\fgflcT��bjS=�r`_\R2ò�"�]m� õ cTft�_p<fg\`���bjp��\b_��gp<RTcm©��`L\cT��\bPd�p<RmU_�[_�l���_RT\S cmbL�M^VcT�}^j��b_�fg��Red�\f5�g^_�`_\�g��gSAcTb_p<b��}p<R�\öPU�p���cm��b

`_\��ò�¡£¢¥¤¥¡ ���¤¦¤ ¡§¤+¢<� Q ¡£¢¥¢ õ � ��[ ò$"�]�� õ�M^_\�g\¡�¢¥¢°�¼f ��� ¢ Á z � � � 9 �¦¡£¢¥¤#�¨¡ 9¤+¢ �¼f ��� ¢ Á z � � �� 9 p�b_`'¡£¤¦¤#��f ��� ¢ Á z � ��$� 9 �zhb¥[�p<����cm��U_RTp<���Pcmqª©Q �IΣ¨©¨©¨'Ϋ©Q >¨p<�l���^VB���g`V��g\`Lfg��RmUV��cm��b_f��<q�ò�"�];� õ ��^_\b%��^_�W ô ��\fl�Yqw������^_BbPU_RmR^�Or[]�<�g^_�flcTf5��^�p��M�g^_4�gp<b_Z¥fg[��\cmÿ���p���cm��bjcTbúò�"�]e� õ cTfM���<�g�g\�\��cTfM��p<fl�`(�<b���^V��g��p<�\��g�fl��fl��p���cmfl��cm�p<b�p�RT�����<U_fA�g� �g^�p��=��cmd<�b cmb òº���m� õ � uY^V(p<Re����lb�p��gcmd�j^�Or[]�<�g^_�flcTf%��qB��^_cmf%W ô ��\fl�%cmf=�g^�p��A��^_���<RTU_SAb¨��p<bVZ'�<q�" p<b_`[bHcmf2Rîp<�l����.�g^�p<b ·^i���z¤q]�g^_5p<Rm�g��gb_p���ced�YcTf2�\��b_flcT`_\�g�`"��^_p��2��^_M[�p���p<SA\�g��S=p����lce A^�p<fk��p<b_Z�·^i_j �����g^_B���<�g�g\fg[��b_`_cmb_�¨W ô �g�f��YcTft�_p<fg\`¥��b%��^_�S{p~ �cmS'U_S¦�cm���b�d�p<RTUV���\fl�fl��p���cmfl�gcT��p<b�p�RT�����<U_fk����ò��V�Ð� õ �

oVp<cmZrZ���b_\b � WYXUV��Z��[��^_R�ò���û<û�û õ ���V�}p�cTb{�g^_�RmcTSAcm��cmb_��`_cmfl���lcT�_U���cT�<b{�<q��g^_��g��p<�\Bfl��p���cmfl��cm��f�U_b��`_\�M�g^_�qw��RTRm���McTb_�'�<�b_\��p<R�p<flfgU_SA[V�gcT��b_f\�

�¥����¬�­P®���¯�°¦±¼Ý�Þòåc õ f ��� ¢ Á z � b�9 � � 9 b w! ²´³+³ 0 �

òåcmc õ f ��� ¢ Á z � b 94 � � 9 b��=µ w ò�� õòwcTcmc õ f �Zª ¢ Á z � � � 9 ! ¶ qw���8fg��SA�òw���b_\��p<RmRmO õ �gp<b_`_�<S ò$.�-5. õ S=p��g�gce  ¶ �Mcm�g^\b�94 ¶ b5430

�"p<b_`Hb�9 ¶ � ��òypV��f�� õ

òåced õ f ���&\ª ¢ Á z � �m � 9 b2�Jµ w ò�� õòïd õ f ��� ¢ Á z � �� � 9 b54 ! È qw���Yfl��S=��gp<b_`_��S ò�,3- ò$. �/·^i õlõ S{p~���gc½ oÈ

�©�

Page 19: Trace vs Maximum Eigenvalue

òwdrc õ f ��� ¢ Á z � ��·� 9 � ²ª¸q¸ j?µ w ò$f ���&\ª õ qw���Yfg��SABÿV ��`�S{p~���gc½  ²ª¸�¸ 0 �� U_�l�g^_��lS=�<�g<����^_�fg\öPU_�b_�\�fBcmb òåcTcmc õ p<b_`úòwd õ ����b�d<��g�<Yðl��cmb���RmO=cTbL`_cmfl�g�gcT�VUV��cm��b�� ¹a�flcTb_� v flfgU_SA[V��cm��b ���k���p<bjb_����[V�g��d����^_�qw��RmRT���McTbV�C��^V����l�Sj�

Ú»º Ü�°���ÜD­ �¤Þ�Ýz¤q v flfgU_SA[V�gcT��b �{^_��RT`Vf����g^_%��p�b_`_��S d�p<�gcTp<�_Rm�f�f�©Q y �_Ì«��·^i�j �d[^]a]^]?[`,��.�\��b�d���l��%���p<ZPRmOúp<b_`ðl��cmbP�gRmOA���¨��^V�fl��RTU���cT�<b_fY�<q¡��^_��öPU�p~��cT�<b

`_����mòC¼ b 94 ¶ b4�j�" 94 È õ 9 ò�" 9 4 ²ª¸q¸ "54 õ ��� ò¼�b 94 ¶ b54�j�"4eÈ õ �W½òb 94 ¶ b54 õ ���F�

�M^_\�g ¼£�¼":94 "Æ�¾b�9� b42òb�94 b54 õ ��� � ¹¿ �B°À°/Á� � �l��S ��^_A[_�l���<q��<qMWÕ\S=S=p��=�<qYoVp<cmZrZ���b_\b � WYXUV��Z��[��^_R�ò���û<û�û õ �k"ÿ��lfl�'�<�V�}p<cmb���^_qw��RmRT���McTb_�4fgcTSA[_RmB����bVfg�öPU_\b_��\fB�<q v flfgU_SA[V��cm��b ��x¡§¤+¢´b��¼" ²´³+³ j?à w ò�� õ ÓÅÄ� ² ¤ ³ jÆà w ò�� õ ò$"�]�þ õp<b_` ¡§¤¦¤¤�¼" ²´³+³ " 9 j ²ª¸q¸ jÆà w ò�� õ Ó�Ä� ² ¤/¤=jÆà w ò�� õ ] ò$"�]¿ õa�flcTb_�¨�g^_�b_�<�}p~��cT�<b ²´³ ¤#� ² 9 ¤ ³ � ²´³+³ "v9î�_�����^_\b(p<Rmfg�¨^�p�d�² ¤/¤7�¼" ²´³ ¤=j ²ª¸q¸ ] ò$"�]�� õv qwU_�l�g^_��Mf�����p�cT��^��gqw�<�l�kp<�g`L���<b_fg\örUV�b_�\4�<q v flfgU_SA[V��cm��b÷���g�"�]�U_fl�`ý��Rm���Fcmf¡§¤+¢��Rµ w ò�� õ ] ò$"�]¿� õS����:�\��b_fgcm`_��"��^Výfg�<RTUV�gcT��b_f"�<q���^_����bV���p�RTcT©\�`6�cm���b�d�p<RTUV�[_�l���_Rm�S ò�"�];� õ � zhb1�g^_ý[V�g�r�<qB�<qWÕ�SAS{p"����q¡oVp<cmZrZ���b_\b � WYXU���Z<\[]�<^_R8ò���û�û<û õ cm��cTf�fg^_���Mb%�g^�p�����^_5�cm���b�d�p<RTUV�fk�\��b�d�\�g������p�ZrReO���¨�g^_��fg��<q8��^_�\örU_p���cm��b

`_\��ò ²´³ ¤ ² ���¤/¤ ² ¤ ³ � Q ²´³+³ õ `_���ò Q b 94 ¶ b4 õ � ��]uY^_cmfYcTSA[_RTcm�f��g^�p��t�g^_�·^iMRîp<�l���f��Y�cm���b�d�p<RmU_�fY�<qkò$"�]�� õ ����b�d<��g�<Ccmb¥[_�g���_p<�_cTRmcm�hO"���"[��fgce��ced�B�\��b��fl��p<b���f8p<b_`���^_q,q�A·^i�flS{p�RTRT\fl��\cT��\bPd�p<RmU_�f��\��b�d���l��kcmbC[V�g����p��_cTRmcm�hO5���5©���l�_��o�cTb_�\ÇbÆ94 ¡£¢¥¢´b54��

���

Page 20: Trace vs Maximum Eigenvalue

µ w òcf õ cm��cTf�b_�<�B`VcÈ�A��U_Re���g�%�}^_��}Zj��^�p~� ©Q y �«µ w ò$f ��� õ qw���8ÌÀ� ·^irjF�d[^]^]^]?[�,���uY^PU_f����g�¥p<b�p<ReOr©���^VCp�flOrS=[����<�gcT����^�p�drcT��UV�Y�<q8�g^_�flC\cT��\b�d<p�RTU_\f��_��CU_fl���^_��öPU�p~��cT�<b

`_���òºÈ5ò�½ õgõ � �m[ ò$"�]Ç� õ�M^_\�g�ÈMòC½ õ �É¡�¢�¤Ê¡ ���¤/¤ ¡£¤/¢��?½ò$f ��� ¡£¢Ê¢ õ p�b_`��£ceq ©½��5Î¥¨©¨©¨nÎ ©½d>%p<�l4��^V'fg��RmUV��cm��b_f5�<q2��^VcTf�öPU�p~��cT�<b��V��^V�b ©½ y �Rµ w ò�� õ ��Ì��h·^i)j �d[^]a]^]?[`,�����p�b���p<fgflU_S=\`��

uY^_Bfl��RTUV�gcT��bVf���q�ò�"�]¿� õ `_�Cb_�<���}^�p<b_���cmqeÈ5ò�½ õ cmf�[V�g�S4U_Rm�gcT[_RmcT�`"��O"��^_5S=p����lce ��`b x�b4�� 9Vp<b_`[��fl�gS'U_Rm�gcT[_RmcT\`4��O6�`b x�b54����.uY^PU_f\��cmb¨��^_Yfgp<S=t�kp�OAp<f-cTbAù<��^_p<b_fg\b(ò���û�û� r��[��_�� <û õ �kM���<b_fgcm`_����^V�`V����<S=[��fgce��cm��b

`_\��ò`�`b x�b54�� 9ÑÈ5ò�½ õ �`b x�b4�� õ � `_\�~òCb�9 ÈMò�½ õ b õ `_���òCb�94ÊË ÈMòC½ õ ��ÈMòC½ õ b=�`b�9§ÈMòC½ õ b�� ��� b�9§ÈMòC½ õÍÌ b54 õ ÓÅÄ� `_\�~òºÈT�\òC½ õlõ `_\��ò�Ènª~ò�½ õgõ� ���qÌY�u·^i�j �d[^]a]^]a[�,8�_�k�^�p�d<ÈT��ò ©½ y õ �Rb 9 ¡£¢�¤Ê¡ ���¤/¤ ¡§¤+¢´bP� ©½ y ò$f ��� b 9 ¡�¢¥¢�b õ � ²´³ ¤ ² ���¤/¤ ² ¤ ³ jÆà w ò�� õ [ ò$"�]Çû õ�M^_\�g'��^V¨Rîp��l������öPU�p<Rmcm�hO�cTf���p<fg\` ��b6ò�"�]Çþ õ �-ò�"�]Ð õ � v fgfgUVS=[V�gcT��b ��òåc õ p<b_`(�g^_4qåp<���B��^�p~� ©½ y �µ w ò�� õ �MuY^_cmf�fl^_���Mf���^�p~�Bp<f�OrS=[V�g�<��cm��p<RmRmO ©½dÐ Ô � �Í[a]^]^]a[ ©½d>{p��g4bV�<���l������f5�<q2`_���ò�ÈT��òC½ õgõ � Q �bV��<�]�k��p�b��\��b_fgcm`_��:Ènª�ò�½ õ �� ���qÌ��u·airj �d[^]^]^]�[�,8�b�94 ÈMòC½ õ b � bÆ94 ¡£¢�¤¥¡ ���¤/¤ ¡§¤+¢�b£� ©½ y ò$f ��� b�94 ¡£¢Ê¢�b õ� bÆ94 ¡£¢�¤ ² ���¤/¤ ² ¤ ³ jÆà w ò�� õ ] ò$"�]e��� õo�cmb_���^_\�g ©½ y � µ w ò�� õ �Y�g^_�Rîp��l��\�%�öPU�p<Rmcm�hO1cTf%�<�V�}p<cmb_�` �PO U_fgcmb_� ò�"�]Çþ õ �'ò$"�]¿ õ �Cò$"�]¿� õ p<b_`v flfgU_SA[V�gcT��b �PòwcTc õ �2i�O%�g^_�f�p<SA�p<�l��U_SA�b���fY��Cp�RTfg�¨ÿ�bV`j�g^�p����_qw�<�qÌY�¼·^i�j �d[^]^]^]?[�,��b 94 ÈMòC½ õ b54 � b 94 ¡£¢¥¤�¡ ���¤/¤ ¡§¤+¢�b54=� ©½ y ò$f ��� b 94 ¡£¢¥¢´b54 õ� b�94 ¡£¢¥¤ ² ���¤/¤ ¡§¤+¢�b54=� ©½ y ò$f ��� b�94 ¡�¢¥¢�b4 õ jÆà w ò�� õ ] ò$"�]e��� õ� �g��S ò�"�]¿û õ ��ò$"�]e��� õ cm�kqw��RTRm���Mf���^�p��Ènª~ò ©½ y õ �Rb 94 ¡£¢¥¤��»¡§¤�¢´b54=� ©½ y òcf ��� b 94 ¡£¢Ê¢�b54 õ j?à w ò�� õ [ ÌY�¼·^i�j �d[a]^]^]a[`,)[ ò$"�]e��� õ�M^_\�g � � ² ���¤¦¤ � ² ���¤¦¤ ² ¤ ³ ò ²´³ ¤ ² ���¤¦¤ ² ¤ ³ õ ��� ²´³ ¤ ² ���¤¦¤� ² ���¤¦¤ � ² ���¤¦¤ "'ò�"v9 ² ���¤¦¤ " õ ��� "v9 ² ���¤/¤� "542ò$":94 ²ª¸�¸ "4 õ ��� "v94 ]

���

Page 21: Trace vs Maximum Eigenvalue

Q \�g���^_Cfg��\��b_`�\örU_p<RTce�hOLcTf5���V�}p�cTb_\`�qw�g�<S:�g^_4`V\ÿ�b_ce��cm��b���q ² ¤ ³ cmbøò$"�]�þ õ p<bV`���^VC��^VcT�g`���b_��p�bý�YðlU_f���ceÿ��`��POjU_flcTb_�A��^_�cT`V�b���ce�hOo" 94 ² ¤/¤���" 94 ²ª¸q¸ �����}p<cmb_�`Lqw�g��S ò$"�]�� õ cTbj����b~ðlUVb_�\�gcT��b�Mcm�g^��g^_4p��g��U_SA�b���U_fg\`(��Oýù<��^�p<b_fl�b ò���û�û� r��[�����þP� õ ���A[_�g��d<4^_cmf��l�fgUVRm�'ò����V��� õ � Q \b_����]qw�g�<S�öPU�p~��cT�<búò$"�]e� õ p<b_`¥��^V�`V\ÿ�b_ce��cm��b_fYcm�Yqw�<RTRT���Mfk�g^�p��b 94 ¡£¢¥¤��»¡§¤�¢´b54 � b 94 f ��� ¢ Á z � � � 9 �Af ��� ¢ Á z � �r � 9 b4 ! ò�"��¾b�9� ¶ b54�j�È õ 9��{ò$"Æ�¾b�9� ¶ b54�j�È õ ÓÅÄ� ¹ [�M^_\�g{�g^_=���p<Z÷���<bPd<��l���b_�\LcTf�`_U_{�g����^V%`_\ÿ_b_cm�gcT��b÷�<qL�rMp<b_` v fgflU_S=[���cT�<b �PòåcmcTc õ p<b_` òïd õ �� �g��S �g^_cTf��g\fgU_Re���tò�"�]e��� õ � v fgfgUVS=[V�gcT��b1�PòåcmcTc õ �¡p<b_`÷��^_=����b���cmbPU_cm�hO÷�<qY�<�b_\��p<RmcT©�\`ú\cT��\bPd�p<RmU_�f\���C��p<bL����b_�\RTU_`V��g^�p�� ©½dÐ Ô � �Í[^]^]^]?[ ©½d>¨�\��b�d���l��C���p�ZrReO%���¨�g^_�fg��RmUV��cm��b_fY�<q¡��^_�\örU_p���cm��b

`_��}� ¹ �P½òb 94 ¶ b54���� ��] ò$"�]e�©� õ�B�_fg\�ldrcTbV���g^�p��Ib�9� ¶ b546�Rb�9� b54-òb�94 b54 õ ��� b�94 ¶ b54÷òåfg\Y��^_M[_�l���<q�<quY^_\���g\Sü�Y�<q�oVp<cTZPZ���b_�b� WYXUV�gZ<\[]��^VR2ò���û�û�û õlõ p<b_`¥UVfgcTbV�'��^_�`_�ÿ�b_ce��cT�<b_ftcm�k��p<b¥�B�l�p<`_cmRmOAfg\�bL��^�p~��ò�"�]m�©� õ cTf�cT`_\bP�gcT��p<R���¨�g^_��öPU�p��gcT��bjcTb%�g^_���^_\���g\S��-uY^_cmfY����SA[_RT���\fM�g^_�[_�g�r�<q�� ¹

a�flcTb_�%uY^V����l�S v �e�¨p<b_`ý�g^_'�l�fgUVRm��f�cTb o�p<cTZPZ<�<b_�b � WYXUV��Z��[��^_Rkò���û<û�û õ p<b_` WYXUV��Z��[��^_R �oVp<cmZPZ<��b_\b1ò��<���<� õ ��ce��cTf�b_��� p%flcTSA[_RTCS{p��l��\�����L`_\S=��bVfl���gp���C��^�p����g^_¨S=p~ �cTS'U_S:\cT��\bPd�p<RmU_��\fl�gft����bVfgcT`V��g\`LcTb=�g^_cTf�[�p<[��t^_p�d<B��^_�RTcmS=ce��cTbV��`_cTf����gcm�_UV�gcT��b_f�fl��p���\`¥cTbLor��\�gcT��bÀ�V� � cm�gfl����bV�<����^_p��"cmqL½��oÎ ¨©¨©¨ÕÎνd>÷p<�l%��^_Lfl��RTUV�gcT��bVf¨�<q��g^_L�öPU�p��gcT��b cmb uY^_����l�S v �m�j�����-\örUVcmd�p<RT\b���RmO<�ò�"�]m�^� õ �V�g^_�b Ï ÇvÑÐ~(KÒ$Ó�ò�·^i õ � >xy z Ð Ô � � ©½ y jÆà w ò�� õ � ! >xy z Ð Ô � � ½ y � ��� Ë ¹ òb 94 ¶ b4 õ ��� Ì ]S�����cT�\���^�p��M�g^_CRTp<fl�5| V[V�g�flfgcm��b(cTfMcm`_�b���cm��p<R��g�A�g^�p��5cTbjuY^_\���g\S ���<q2oVp<cTZPZ���b_�b � WYXUV��Z��[��^_Rò���û�û�û õ ��O¥�g^_�`_\ÿ�bVcm��cm��b_fMp<bV`j���RmRe�hZPb_���MbL�g\fgU_Re��fM�<q8S{p~���gc½ Lp<Rm����V��pV�-orcTSAcTRîp��gRmO<�Ï Ç:&)(+*Vò�·^i õ � ©½dÐ Ô � �_jyà w ò�� õ � ! ½dÐ Ô � �q��%�&�(V* Ë ¹ òb 94 ¶ b54 õ ��� Ì ]ik\��p<U_flýce�=^_p<f=��\b fg^V���Mb cTb ��^_ýp�qw���g\S=\b���cT�<b_�`6[_�g�drcT��U_f"�����gZ ��^_p��"��^_����b_\��p<RYqw�gp<S=|������gZ6�<q��öPU�p~��cT�<b_f�ò$"�]e� õ ��ò$"�]¿� õ p<bV` v flfgU_SA[V��cm��b��(��p<b �(p<[V[_RTcm�`1qw�<�{`_\�gcmdrcmb_� �g^_(RTcmS=ce�l�cTbV��`_cmfl�g�gcT�VUV��cm��b_f��<q���^_=W ô �g��p<�\A�g�f���f4�\��b_flcT`_\�g�` cTbúo������cm��b/�V�¡cm��qw�<RTRT���Mf���^_p�����^_=f�p<SA"cTf���lU_4qw������^_'�\���g�l�fl[]��bV`_cTb_�¥S=p~ �cTS4U_Sü�cm���b�d�p<RTUV4��\fl��f\� § ���g\��d���\�Õcm��qw��RTRm���Mf5��^�p~��cmq.��¨^�p�d�Ï Ç:ÑÐ~(VÒ$Ó�ò�·ai õ ! �g��ò� õ �g^_�b Ï Ç:&�(V*Vò�·ai õ ! %'&)(+*rò� õ �<�V�}p<cmb_f��

��û

Page 22: Trace vs Maximum Eigenvalue

u8��cTRmRTU_f�����p~��'��^VcTf��g�flU_Rm���8�\��b_flcT`_\�C��^VA�g�fl�Cfl��p���cmfl�gcT��f Ï Ç 9B7ÑÐ~(VÒ$Ó ò�·ai õ p�b_` Ï Ç 9�7&�(V* ò$·^i õ p<b_`ú`V��ÿ�b_.Ï ò�� õ � òº½ 94 �Õ½�4 õ �&\ª �øò� õ � � �g��S or��\�gcT��b v ��þ_��þú�<q�oVp<cmZrZ���b_\b � WYXU���Z<\[]�<^_RCò���û�û<û õ �k��p�bú���<b_��RmU_`_"��^�p��CuY^_\���g\S v �m�{p<[_[_RmcT\f��Mce��^ ��^_=����UVbP�g��l[�p<�l�gf4�<q���^_AS=p����lcT��\f�b�94 ¶ bñp<b_`ò¼�b�94 ¶ b54 j/":94 È õ 9���cmd<�bL��O � �i Ï ò�� õ Ï ò� õ 9É`+��p<b_` � �i Ï ò� õ `�Ï ò� õ 9î���l�fg[�����ced��ReO���ik\��p<U_fl���^_���<U_b�����l[�p<���'�<qÕ"v94 ²ª¸q¸ "54 cmf�½s94 �Õ½T4���ce�Cqw�<RTRT���Mf�qw�g�<S uY^_����l�S v �e�=�g^�p��4�g^_ARTcTSAcm�gcTb_�{`_cTf����gc½��_UV�gcT��bVfB�<q2��^V4��\fl��fl��p���cmfl�gcT��f Ï Ç69B7ÑÐ~(VÒ�Ó ò�·^i õ p<b_` Ï Ç69�7&�(V* ò$·^i õ p��g'��ced�\b��POj����ò� i õ p<b_`#%'&)(+*�ò� i õ ��g\fg[�����cmd<�ReO��]�M^V��g»Ð i cmf�p<f5`_�ÿ�b_�`�cmb�o�\�\�gcT��bW�V�M�B\��p<cTRmf5��q.��^_C�<��^V��5S{p~ �cmS'U_S \cT��\bPd�p<RmU_��\fl�gf���p<b��B�����gZ��`(��U��MfgcTSAcTRTp<�gReO��

D0!B9�!B+-!B#�35!�,

����b_©�p<RT�_�_ùV� � ùV� ��Ñ'� n cm��p<��p<ZPcmf�ò���û�û<û õ �V�BcTSA�b_flcT��b�p�RTcm�hO"�¢£\�\�5cTbL�\��cTb���\����p~��cT�<b¥p<b�p<ReOrfgcTf\�_cTb ô �@2b_��Rm � Q ��¸ ^_cm�g¥òå\`_f�� õ �>ÒªÓBÔ�Õ�Öf×�Ø�Ù�Ú�ÖÔ�ÓBÕiÛ6Ò$Ú�Ü�ÝqÚ�Þ0Ô�ÖCßKÛ�Ú�Õ/à�áÊÓBÙx×Íâ�ÚBÝãÖCÔ�ÕDØåä æ~á�×ÍÝãÖ�ÝKâÍçDÙèÔ éèÖ´Ô�Õê ÓBÕÀÓBÜëÙ�Óìé%Ò�Þ0Ô�í�×Hî�äÈïiä´ð´Ù�Ú�ÕDØD×ãÙ����� rqw���l`�x��� �qw�<�g`ja�b_ced�\�gfgce�hO n �g�flf���[_[���������������ûV�Q U_�_�gcm�}^��8ñ¨�e� Q �VWYXUV��Z��[��^_R � n �_o�p<cTZPZ<�<b_�b÷òy�<���V� õ � v �g�d�cm\� �<q�f�O�f���\S=fY�\��cTb���\����p~��cT�<bA�g�fl�gf��ò âÍÓBÕÀÓBó�×ãÖCÙãÔ�âgô�×ãíKÔ�×ãõ¥Ý���qw���l�g^_����SAcTbV�_�ù<��^_p<b_fg\b��o]��ò���û��<� õ �_or�}p��gcTf���cT��p<R]p<b�p<ReO�flcTft��q8�\��cTb��g����gp���cm��b{d�\�\�g���gf\��ï+ÓBÜDÙèÕ/Ú�ÞÊÓìé ò âÍÓBÕÀÓBó\Ô�âLö�ß4÷Õ/Ú�ó\Ô�âÍÝ Ú�Õ/àHÒªÓBÕ�ÖÙxÓBÞÉ�����r�����V�\���� �þ_�ù<��^_p<b_fg\b��ro]��ò���û�ûV� õ �d@2f���cTS=p��gcT��b4p<b_`¨^�Or[]�<�g^_�flcTf.�g�fl�gcTb_����q]�\��cTb��g����gp���cm��bCd<��\�g���gf-cmb"��p�U_fgflcîp<b

d<��\�g����p<UV���<�g��<�g�flfgced��S=�r`_\RTf�� ò âÍÓBÕÀÓBó�×ãÖCÙèÔ�â�Ú<�� <û����� � ����}�� <�<�V�ù<��^_p<b_fg\b��o]��ò���û�û�� õ �_�B���\�gSAcTb�p��gcT��b=�<q¡����cmb�����<��p��gcT��b%�gp<b_Z=cTb%��^V�[_�g\fg�bV����<q8p"RmcTb_�p<���g�g\b_`��øúù�é�ÓBÙ�àYû>ÜDÞ�Þü×ãÖCÔ�Õ§Óìé ò âÍÓBÕÀÓBó\Ô�âÍÝ�Ú�Õ/à[ý+Ö�Ú�ÖÔüÝãÖCÔ�âÍÝ��� �þ_�p�<�d�~�+�<û����ù<��^_p<b_fg\b��]o]�8ò���û<û<þ õ �VuY^_4�l��RT��<q8��^_����<b_fl��p<b��Bp<bV`�RmcTb_�p<�t��\�gSAf5cmb��\��cTb��g����gp���cm��bLp<b�p<ReOrfgcTfM�<q

b_�<b_fl��p���cm��b�p<��O{��cmS=�fg��lcT\f�� ò âÍÓBÕÀÓBó�×ãÖÙèÔ�âFô>×ãíKÔ�×ãõ¥Ý����^�V���<�� ������V�<�ù<��^_p<b_fg\b��ro]�_ò���û�û� õ ��þ¥Ôüÿå×ãÞ0Ôüç�ÓKÓqàFûLÚBÝK×�à��ãÕ�é�×ãÙx×ãÕÀâÍ×�Ô�Õ.ÒªÓBÔ�Õ�Öì×�Ø�Ù�Ú�Öf×�à��/×ÍâãÖfÓBÙIægÜëÖfÓBÙx×�Ø�ÙÍ×ÍÝÍÝãÔ�í�×��§Óqà�÷×ãÞ�Ý����� rqw���l`�x��� rqw���l`ja�b_ced���lfgce�hO n �g�flf��ù<��^_p<b_fg\b��£o]� � ñ"�]ù<U_fl�RmcTU_f4ò���û<û�� õ � § p� VcmS'U_S RmcTZ��RTcm^_�r��`¥\fl��cmS{p~��cT�<b�p�b_`ýcmbVqw��l�b_�\4��b�����cmb��

�g����gp���cm��b%���Mce��^�p<[_[_RmcT��p���cm��b_fk�g�A�g^_C`V�S=p<b_`Lqw���MS=��bV\O��Iøúù�é�ÓBÙ�àYû>ÜDÞ�Þü×ãÖCÔ�ÕWÓìé ò âÍÓBÕÀÓBó\Ô�âÍÝÚ�Õ/à%ý+Ö�Ú�ÖCÔüÝãÖÔ�âÍÝ�� ��r���©��û~�������V��<�

Page 23: Trace vs Maximum Eigenvalue

WYXUV��Z��[��^_Ry� Q � � n ��oVp<cTZPZ���b_�b òy�<����� õ �Vu¡�f���cTbV�"qw�<�t��^_��\��cTb���\����p~��cTbV�'��p<bVZ{�<q�p4ó v�ô [_�l���\�fgf�Mce��^jp'��cTSAB���l�b_`£��ï+ÓBÜDÙèÕ/Ú�Þ¥Óìé ò âÍÓBÕÀÓBó�×ãÖÙèÔ�âÍÝ���û� ����������}��û����

n ��g�l��b�� n � � ùV�`Ñ'�.stp<SA[_��RmR5ò���û�û�� õ � v b_����A��b ù<��^�p�b_fg\b�3ÇfC����cmb�����<��p��gcT��b÷[_�g�r��\`_U_�l=�M^_\b�g�g�bV`_f5p<�g�[_�l�fg\b���� ò ó��/Ô�ÙãÔ�â�Ú�Þ ò âÍÓBÕÀÓBó\Ô�âÍÝ��£���V�����<�����<�<ûV�

oVp�cTZPZ<��bV�b�� n � � Q �£WYXUV��Z��[��^_Rkò���û<û�û õ �]WÕ����p<R¡[]������B�<q.RTcTZ��RmcT^_�r��`L�gp���cm�=��\fl�gf�qw�����g^_4�\��cTb��g�����gp���cmb_�¨��p�b_Z%�<q�p'ó v�ô [_�g�r��\fgf�� ò âÍÓBÕÀÓBó�×ãÖCÙãÔ�â��ç�×ÍÓBÙãß~���� r�� <�4�k�<�V�

oVp�cTZPZ<��bV�b�� n � � Q �¡WYXUV��Z��[��^_R�ò���������p õ �Õu8�l�b_`øp<`~ðlU_f���SA�b��4[V�gcT�<�B�����g�f���cTbV�jqw�����g^_=�\��cTb��g�����gp���cmb_�%�gp<b_Zý��qkp{d<���������p<UV�g���g\���g\fgflcmd�¨[V�g�r���flf��úï�ÓBÜëÙèÕ/Ú�Þ$Óìé� Ô�ó�×»ý�×ãÙèÔ�×ÍÝ�ægÕ/Ú�Þ0ß�ÝãÔüÝ����r���þ��� 4��þ� ��V�

oVp�cTZPZ<��bV�b�� n � � Q �PWYXUV��Z��[��^_R¡ò��������<� õ ��u8\fl�gcTb_��qw���2��^_M�\��cTb���\����p~��cTbV����p<b_Z4�<qÕpBó vBô [_�l���\�fgf�Mce��^jp<bjcTb���\�g��\[V��� ò âÍÓBÕÀÓBó�×ãÖCÙèÔ�â���ç�×ÍÓBÙèß����^�V�������4��þ����V�

oVp�cTZPZ<��bV�b�� n � � ô � WÕU_U_ZPZ���b_�b ò���û�û�� õ �Õu¡�f���cTbV�ý���<cTb���\����p��gcT��b�cmb cmbVÿ�b_ce��¨���l`_���d<��\�g���Cp<U���g���g\���g\fgfgced��[_�g�r��\fgfl�f��|ï�ÓBÜDÙãÕ/Ú�Þ¥Óìé ò âÍÓBÕÀÓBó�×ãÖCÙèÔ�âÍÝ��_�V���_ûd�4�������V�

u¡��`_pV� Q � Ѩ�]ò���û<û<þ õ � � cTb_ce��Yf�p�S=[_RmM[_�g��[�����cm�f-�<qÕRmcTZ<\RTcm^_���r`'�gp���cm���g�f���f�qw�<���\��cTb��g����gp���cmb_����p<b_ZPf�M^_\býRmcTb_�p<�k���l�b_`Vf�p��g�[_�g\fg\bP����ô�×ãíKÔ�×ãõJÓìé ò âÍÓBÕÀÓBó\Ô�âÍÝ�Ú�Õ/à[ý+ÖÅÚ�ÖCÔüÝãÖCÔ�âÍÝ������V�����'�t�<û��

u¡��`_pV� Q �`Ñ'�5ò���û<û� õ � � cmb_cm�g¥f�p<SA[_Rm%[]\�lqw���lS{p�b_��L�<q�RTcmZ<�RmcT^_�r�r`ø��p��gcT�(�g�fl�gfAqw�<�¨����cmbP�g����gp���cmb_��gp<b_ZPfMcTb¥d�\�\���<��p<U������l����l�fgflcT��bVf�� ò âÍÓBÕÀÓBó�×ãÖÙèÔ�â���ç�×ÍÓBÙèß~�������£���V�� C�5���d�����

���

Page 24: Trace vs Maximum Eigenvalue

P

anel

A:

Tes

t w

ith

a ti

me

tren

d

P

anel

B:

Tes

ts w

itho

ut a

tim

e tr

end

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60l

d = 0.25

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60

l

d = 0.50

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60l

d = 0.75

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60

l

d = 0.25

L

RP

Cm

ax

LR

PC

trac

e

LR

+ max

LR

+ trac

e

LR

GLS

max

LR

GLS

trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60

l

d = 0.50

LR

PC

max

LR

PC

trac

e

LR

+ max

LR

+ trac

e

LR

GLS

max

LR

GLS

trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60

l

d = 0.75

LR

PC

max

LR

PC

trac

e

LR

+ max

LR

+ trac

e

LR

GLS

max

LR

GLS

trac

e

� ������������������� �� �!" #��"�$" $ � �%&' ()*,+

���

Page 25: Trace vs Maximum Eigenvalue

Pan

el A

: T

est

wit

h a

tim

e tr

end

Pan

el B

: T

ests

wit

hout

a t

ime

tren

d

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60l

d = 0.25

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60

l

d = 0.50

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60l

d = 0.75

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60

l

d = 0.25

L

RP

Cm

ax

LR

PC

trac

e

LR

+ max

LR

+ trac

e

LR

GLS

max

LR

GLS

trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60

l

d = 0.50

LR

PC

max

LR

PC

trac

e

LR

+ max

LR

+ trac

e

LR

GLS

max

LR

GLS

trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60

l

d = 0.75

LR

PC

max

LR

PC

trac

e

LR

+ max

LR

+ trac

e

LR

GLS

max

LR

GLS

trac

e

� �����- ������������ �� �!" #��"�$" $ � �%&' (). +

���

Page 26: Trace vs Maximum Eigenvalue

P

anel

A:

Tes

t w

ith

a ti

me

tren

d

P

anel

B:

Tes

ts w

itho

ut a

tim

e tr

end

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60l

c = 2.5

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60

l

c = 5.0

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60l

c = 7.5

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60

l

c= 2.5

LR

PC

max

LR

PC

trac

e

LR

+ max

LR

+ trac

e

LR

GLS

max

LR

GLS

trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60

l

c = 5.0

LR

PC

max

LR

PC

trac

e

LR

+ max

LR

+ trac

e

LR

GLS

max

LR

GLS

trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60

l

c = 7.5

LR

PC

max

LR

PC

trac

e

LR

+ max

LR

+ trac

e

LR

GLS

max

LR

GLS

trac

e

� �����/ ������� ���� �� �!" #��"�$" $ � �%&' ()*�012)3,4*5 +

��þ

Page 27: Trace vs Maximum Eigenvalue

P

anel

A:

Tes

t w

ith

a ti

me

tren

d

P

anel

B:

Tes

ts w

itho

ut a

tim

e tr

end

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60l

c = 2.5

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60

l

c = 5.0

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60l

c = 7.5

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60

l

c= 2.5

LR

PC

max

LR

PC

trac

e

LR

+ max

LR

+ trac

e

LR

GLS

max

LR

GLS

trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60

l

c = 5.0

LR

PC

max

LR

PC

trac

e

LR

+ max

LR

+ trac

e

LR

GLS

max

LR

GLS

trac

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

03

69

1215

1821

2427

3033

3639

4245

4851

5457

60

l

c = 7.5

LR

PC

max

LR

PC

trac

e

LR

+ max

LR

+ trac

e

LR

GLS

max

LR

GLS

trac

e

� �����6 ������� ���� �� �!" #��"�$" $ � �%&' ().�012)3,4*5 +

��

Page 28: Trace vs Maximum Eigenvalue

Pan

el A

: θ =

0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.9

0.8

0.7

ψ1

L

RP

Cm

ax

L

RP

Ctr

ace

L

R+ m

ax

L

R+ tr

ace

L

RG

LSm

ax

L

RG

LStr

ace

Pan

el B

: θ

= 0

.8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.9

0.8

0.7

ψ1

L

RP

Cm

ax

L

RP

Ctr

ace

L

R+ m

ax

L

R+ tr

ace

L

RG

LSm

ax

L

RG

LStr

ace

Pan

el C

: θ

= 0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.9

0.8

0.7

ψ1

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

Pan

el D

: θ

= 0

.8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.9

0.8

0.7

ψ1

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

� �����7 �8:9��� $� 9�� � ��� �� �"; �$� " �$" $ � �<= 3>@?')3A �$�1 �0A;CB��;D�" �EF G$�; "H ')3� �')I,JK)I33 +

���

Page 29: Trace vs Maximum Eigenvalue

Pan

el A

: Θ =

(0

0)’

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.9

0.8

0.7

ψ1

L

RP

Cm

ax

L

RP

Ctr

ace

L

R+ m

ax

L

R+ tr

ace

L

RG

LSm

ax

L

RG

LStr

ace

Pan

el B

: Θ

= (

0.4

0.8)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.9

0.8

0.7

ψ1

L

RP

Cm

ax

L

RP

Ctr

ace

L

R+ m

ax

L

R+ tr

ace

L

RG

LSm

ax

L

RG

LStr

ace

Pan

el C

: Θ

= (

0 0)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.9

0.8

0.7

ψ1

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

Pan

el D

: Θ

= (

0.4

0.8)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.9

0.8

0.7

ψ1

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

� �����L �8:9��� $�9�� � ��� �� �"; �$� " �$" $ � �<= 3>@?')3A �$�1 �0"H����NM1; 9� 0$; �0��EF G$�; "H ')I� �')* JOQP)3,4R JK)I33 +

���

Page 30: Trace vs Maximum Eigenvalue

Pan

el A

: Θ =

(0

0)’

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.9

0.8

0.7

ψ1

L

RP

Cm

ax

L

RP

Ctr

ace

L

R+ m

ax

L

R+ tr

ace

L

RG

LSm

ax

L

RG

LStr

ace

Pan

el B

: Θ

= (

0.4

0.8)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.9

0.8

0.7

ψ1

L

RP

Cm

ax

L

RP

Ctr

ace

L

R+ m

ax

L

R+ tr

ace

L

RG

LSm

ax

L

RG

LStr

ace

Pan

el C

: Θ

= (

0 0)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.9

0.8

0.7

ψ1

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

Pan

el D

: Θ

= (

0.4

0.8)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.9

0.8

0.7

ψ1

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

� �����S �8:9��� $�9�� � ��� �� �"; �$� " �$" $ � �<= I>@?')IA �$�1 �0"H����NM1; 9� 0$; �0��EF G$�; "H ')I� �')* JOQP)3,4R JK)I33 +

�<�

Page 31: Trace vs Maximum Eigenvalue

Pan

el A

: H

(0):

r =

0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.9

0.8

0.7

ψ1

L

RP

Cm

ax

L

RP

Ctr

ace

L

R+ m

ax

L

R+ tr

ace

L

RG

LSm

ax

L

RG

LStr

ace

Pan

el B

: H

(0):

r =

0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.9

0.8

0.7

ψ1

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

Pan

el C

: H

(1):

r =

1

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.9

0.8

0.7

ψ1

L

RP

Cm

ax

L

RP

Ctr

ace

L

R+ m

ax

L

R+ tr

ace

L

RG

LSm

ax

L

RG

LStr

ace

Pan

el D

: H

(1):

r =

1

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.0

0.9

0.8

0.7

ψ1

L

Rio

max

L

Rio

trac

e

L

R* m

ax

L

R* tr

ace

L

RS

L max

L

RS

L trac

e

� ����T �8:9��� $� 9�� � ��� �� �"; �$� " �$" $ � �"H ��� M1 ; 9� 0$; �0��EF G$�; "H ')I� �')* JOQP)3,4U JV)=3,W3> X JK)I33 +

Y[Z


Recommended