Goldener Schnitt und Fibonacci-Zahlen
Thorsten Rohwedder und Thomas UhlemannHU Berlin
Tag der Mathematik 2013
Quadrat mit Seitenlänge89 cm,
also Flächeninhalt 7921 cm2
Rechteck mit Seitenlängen144 cm und 55 cm,
also Flächeninhalt 7920 cm2
Wo ist der eine Quadratzentimeter hin?
Quadrat mit Seitenlänge89 cm,
also Flächeninhalt 7921 cm2
Rechteck mit Seitenlängen144 cm und 55 cm,
also Flächeninhalt 7920 cm2
Wo ist der eine Quadratzentimeter hin?
Quadrat mit Seitenlänge89 cm,
also Flächeninhalt 7921 cm2
Rechteck mit Seitenlängen144 cm und 55 cm,
also Flächeninhalt 7920 cm2
Wo ist der eine Quadratzentimeter hin?
Hier ist er!
Quadrat mit Seitenlänge55 cm,
also Flächeninhalt 3025 cm2
Rechteck mit Seitenlängen89 cm und 34 cm,
also Flächeninhalt 3026 cm2
Danke für den einen Quadratzentimeter!
Hier ist er!
Quadrat mit Seitenlänge55 cm,
also Flächeninhalt 3025 cm2
Rechteck mit Seitenlängen89 cm und 34 cm,
also Flächeninhalt 3026 cm2
Danke für den einen Quadratzentimeter!
Bei dieser Art von Flächenumwandlungscheint irgend etwas nicht zu stimmen,
aber was??
Und vor allem:Was ist zu tun, um den Fehler zu finden?
Bei dieser Art von Flächenumwandlungscheint irgend etwas nicht zu stimmen,
aber was??
Und vor allem:Was ist zu tun, um den Fehler zu finden?
Erste Idee: Nachrechnen
Strahlensatzfigur:
Es müsste eigentlich
8934
=14455
gelten, es ist aber
8934≈ 2.6176, 144
55= 2,618.
Winkel an geschn. Parallelen:
Es müsste eigentlich α = βgelten, es ist aber
tanα =3489
; α ≈ 20,908◦
undtanβ =
2155
; β ≈ 20,898◦.
Erste Idee: Nachrechnen
Strahlensatzfigur:
Es müsste eigentlich
8934
=14455
gelten, es ist aber
8934≈ 2.6176, 144
55= 2,618.
Winkel an geschn. Parallelen:
Es müsste eigentlich α = βgelten, es ist aber
tanα =3489
; α ≈ 20,908◦
undtanβ =
2155
; β ≈ 20,898◦.
Zweite Idee: Allgemeine Lösung des Problems?
Quadrat mit Seitenlängex+y,
also Flächeninhalt(x + y)2
Rechteck mit Seitenlängenx und 2x+y,
also Flächeninhalt(2x + y) · x
Es muss also (x + y)2 = (2x + y) · x gelten.
Zweite Idee: Allgemeine Lösung des Problems?
Quadrat mit Seitenlängex+y,
also Flächeninhalt(x + y)2
Rechteck mit Seitenlängenx und 2x+y,
also Flächeninhalt(2x + y) · x
Es muss also (x + y)2 = (2x + y) · x gelten.
Zweite Idee: Allgemeine Lösung des Problems?
Quadrat mit Seitenlängex+y,
also Flächeninhalt(x + y)2
Rechteck mit Seitenlängenx und 2x+y,
also Flächeninhalt(2x + y) · x
Es muss also (x + y)2 = (2x + y) · x gelten.
Zweite Idee: Allgemeine Lösung des Problems?
Quadrat mit Seitenlängex+y,
also Flächeninhalt(x + y)2
Rechteck mit Seitenlängenx und 2x+y,
also Flächeninhalt(2x + y) · x
Es muss also (x + y)2 = (2x + y) · x gelten.
(x + y)2 = (2x + y) · x
⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0
⇐⇒ x1,2 =12
y ±√
y2
4+ y2
x1 = (1+√
52 ) · y , also
xy
=1 +√
52
=: Φ
Dies ist der goldene Schnitt Φ ≈ 1,618034!
(x2 = (
1−√
52
) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)
(x + y)2 = (2x + y) · x
⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0
⇐⇒ x1,2 =12
y ±√
y2
4+ y2
x1 = (1+√
52 ) · y , also
xy
=1 +√
52
=: Φ
Dies ist der goldene Schnitt Φ ≈ 1,618034!
(x2 = (
1−√
52
) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)
(x + y)2 = (2x + y) · x
⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0
⇐⇒ x1,2 =12
y ±√
y2
4+ y2
x1 = (1+√
52 ) · y , also
xy
=1 +√
52
=: Φ
Dies ist der goldene Schnitt Φ ≈ 1,618034!
(x2 = (
1−√
52
) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)
(x + y)2 = (2x + y) · x
⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0
⇐⇒ x1,2 =12
y ±√
y2
4+ y2
x1 = (1+√
52 ) · y , also
xy
=1 +√
52
=: Φ
Dies ist der goldene Schnitt Φ ≈ 1,618034!
(x2 = (
1−√
52
) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)
(x + y)2 = (2x + y) · x
⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0
⇐⇒ x1,2 =12
y ±√
y2
4+ y2
x1 = (1+√
52 ) · y , also
xy
=1 +√
52
=: Φ
Dies ist der goldene Schnitt Φ ≈ 1,618034!
(x2 = (
1−√
52
) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)
(x + y)2 = (2x + y) · x
⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0
⇐⇒ x1,2 =12
y ±√
y2
4+ y2
x1 = (1+√
52 ) · y , also
xy
=1 +√
52
=: Φ
Dies ist der goldene Schnitt Φ ≈ 1,618034!
(x2 = (
1−√
52
) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)
Strahlensatz: Φ + 11
!=
2Φ + 1Φ
⇐⇒ Φ + 1 = 2 + 1Φ
⇐⇒ Φ− 1 = 1Φ
Strahlensatz: Φ + 11
!=
2Φ + 1Φ
⇐⇒ Φ + 1 = 2 + 1Φ
⇐⇒ Φ− 1 = 1Φ
Strahlensatz: Φ + 11
!=
2Φ + 1Φ
⇐⇒ Φ + 1 = 2 + 1Φ
⇐⇒ Φ− 1 = 1Φ
Strahlensatz: Φ + 11
!=
2Φ + 1Φ
⇐⇒ Φ + 1 = 2 + 1Φ
⇐⇒ Φ− 1 = 1Φ
Φ− 1 = 1Φ?
Φ =1 +√
52
; Φ− 1 =√
5− 12
≈ 0,62
also
(Φ− 1) · Φ =√
5− 12
·√
5 + 12
=5− 1
4= 1.
Daher:
Φ− 1 = 1Φ
, Φ · 1Φ = 1 und Φ−1Φ = 1
Φ und 1Φ sind die einzigen positiven Zahlen, deren Produkt undDifferenz gleichzeitig 1 ergibt.
Φ− 1 = 1Φ?
Φ =1 +√
52
; Φ− 1 =√
5− 12
≈ 0,62
also
(Φ− 1) · Φ =√
5− 12
·√
5 + 12
=5− 1
4= 1.
Daher:
Φ− 1 = 1Φ
, Φ · 1Φ = 1 und Φ−1Φ = 1
Φ und 1Φ sind die einzigen positiven Zahlen, deren Produkt undDifferenz gleichzeitig 1 ergibt.
Goldener Schnitt in Kunst und Architektur
...und Popkultur
Approximation von Φ durch KettenbrücheWegen Φ = 1 + 1Φ :
Φ = 1 +1Φ
= 1 +1
1 + 1Φ
= 1 +1
1 + 11+ 1
Φ
= . . .
Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + 1x (der einzige mit x > 0).
Fixpunktiteration: φn+1 = 1 + 1φn → Φ für beliebiges φ1 > 0.
Startwert φ1 = 1:
φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .
11
21
32
53
85
138
2113
3421
. . .
Approximation von Φ durch KettenbrücheWegen Φ = 1 + 1Φ :
Φ = 1 +1Φ
= 1 +1
1 + 1Φ
= 1 +1
1 + 11+ 1
Φ
= . . .
Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + 1x (der einzige mit x > 0).
Fixpunktiteration: φn+1 = 1 + 1φn → Φ für beliebiges φ1 > 0.
Startwert φ1 = 1:
φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .
11
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Approximation von Φ durch KettenbrücheWegen Φ = 1 + 1Φ :
Φ = 1 +1Φ
= 1 +1
1 + 1Φ
= 1 +1
1 + 11+ 1
Φ
= . . .
Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + 1x (der einzige mit x > 0).
Fixpunktiteration: φn+1 = 1 + 1φn → Φ für beliebiges φ1 > 0.
Startwert φ1 = 1:
φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .
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Approximation von Φ durch KettenbrücheWegen Φ = 1 + 1Φ :
Φ = 1 +1Φ
= 1 +1
1 + 1Φ
= 1 +1
1 + 11+ 1
Φ
= . . .
Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + 1x (der einzige mit x > 0).
Fixpunktiteration: φn+1 = 1 + 1φn → Φ für beliebiges φ1 > 0.
Startwert φ1 = 1:
φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .
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Approximation von Φ durch KettenbrücheWegen Φ = 1 + 1Φ :
Φ = 1 +1Φ
= 1 +1
1 + 1Φ
= 1 +1
1 + 11+ 1
Φ
= . . .
Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + 1x (der einzige mit x > 0).
Fixpunktiteration: φn+1 = 1 + 1φn → Φ für beliebiges φ1 > 0.
Startwert φ1 = 1:
φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .
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2113
3421
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Approximation von Φ durch KettenbrücheWegen Φ = 1 + 1Φ :
Φ = 1 +1Φ
= 1 +1
1 + 1Φ
= 1 +1
1 + 11+ 1
Φ
= . . .
Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + 1x (der einzige mit x > 0).
Fixpunktiteration: φn+1 = 1 + 1φn → Φ für beliebiges φ1 > 0.
Startwert φ1 = 1:
φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .
11
21
32
53
85
138
2113
3421
. . .
Goldener Schnitt und Fibonacci-Folge
F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1,
; Fibonacci-Folge (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, . . .)
mit
Φ = limn→∞Fn+1Fn
,
umgekehrt
Fn = 1√5 (Φn − (1− Φ)n)
(Formel von Binet)
Goldener Schnitt und Fibonacci-Folge
F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1,
; Fibonacci-Folge (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, . . .)
mit
Φ = limn→∞Fn+1Fn
,
umgekehrt
Fn = 1√5 (Φn − (1− Φ)n)
(Formel von Binet)
Goldener Schnitt und Fibonacci-Folge
F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1,
; Fibonacci-Folge (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, . . .)
mit
Φ = limn→∞Fn+1Fn
,
umgekehrt
Fn = 1√5 (Φn − (1− Φ)n)
(Formel von Binet)
Wo war jetzt der eine Quadratzentimeter?
Quotienten von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Gliedernapproximieren Φ:
Φ = limn→∞
Fn+1Fn
≈ Fn+1Fn
für große n ∈ N.
...deshalb klappt die Quadrat-Rechteck-Umwandlung ”fast“für Teilungsverhältnis 55 : 34 = 1,618 ≈ Φ .
Wo war jetzt der eine Quadratzentimeter?
Quotienten von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Gliedernapproximieren Φ:
Φ = limn→∞
Fn+1Fn
≈ Fn+1Fn
für große n ∈ N.
...deshalb klappt die Quadrat-Rechteck-Umwandlung ”fast“für Teilungsverhältnis 55 : 34 = 1,618 ≈ Φ .
Wo war jetzt der eine Quadratzentimeter?
Quotienten von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Gliedernapproximieren Φ:
Φ = limn→∞
Fn+1Fn
≈ Fn+1Fn
für große n ∈ N.
...deshalb klappt die Quadrat-Rechteck-Umwandlung ”fast“für Teilungsverhältnis 34 : 21 = 1,619 ≈ Φ.
...für den Unterricht:Als Arbeitsauftrag für Schüler klappt das Ganze auch prima mitkleineren Fibonaccizahlen:
Wo kommt die Fibonacci-Folge vor?
� erstmals 1202 im ”Liber abbaci“, Leonardo de Pisa aliasFibonacci:
Quelle: Wikipedia
Der Klassiker: Vermehrung von Kaninchen(nach ”Liber abbaci“, Ficonacci)
Quelle: fibonaccifolge.ch
Fibonacci in: Wie viele Ururur...ahnen hat eineHonigbiene?
I Mensch: 2k Vorfahren in k -ter Vorfahrengeneration
I Honigbiene: ♀→ ♂, ♀+♂→ ♀
Quelle: A. Gruber: Goldener Schnitt - Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Fibonacci in: Wie viele Ururur...ahnen hat eineHonigbiene?
I Mensch: 2k Vorfahren in k -ter VorfahrengenerationI Honigbiene: ♀→ ♂, ♀+♂→ ♀
Quelle: A. Gruber: Goldener Schnitt - Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Fibonacci in: Wie viele Ururur...ahnen hat eineHonigbiene?
I Mensch: 2k Vorfahren in k -ter VorfahrengenerationI Honigbiene: ♀→ ♂, ♀+♂→ ♀
Quelle: A. Gruber: Goldener Schnitt - Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Fibonacci in: Wie viele Ururur...ahnen hat eineHonigbiene?
I Mensch: 2k Vorfahren in k -ter VorfahrengenerationI Honigbiene: ♀→ ♂, ♀+♂→ ♀
� Es ergeben sich 1,2,3,5,8,13,21, . . . Ahnen!Quelle: A. Gruber: Goldener Schnitt - Nur ein Teilungsverhältnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?
Fibonacci in: Potenzen des goldenen Schnitts
Φ = 1ΦΦ2 = 1Φ + 1Φ3 = 2Φ + 1Φ4 = 3Φ + 2Φ5 = 5Φ + 3Φ6 = 8Φ + 5Φ7 = 13Φ + 8Φ8 = 21Φ + 13
...
Fibonacci in: Potenzen des goldenen Schnitts
Φ = 1ΦΦ2 = 1Φ + 1Φ3 = 2Φ + 1Φ4 = 3Φ + 2Φ5 = 5Φ + 3Φ6 = 8Φ + 5Φ7 = 13Φ + 8Φ8 = 21Φ + 13
...
Fibonacci in: Potenzen des goldenen Schnitts
Φ = 1ΦΦ2 = 1Φ + 1Φ3 = 2Φ + 1Φ4 = 3Φ + 2Φ5 = 5Φ + 3Φ6 = 8Φ + 5Φ7 = 13Φ + 8Φ8 = 21Φ + 13
...
Fibonacci im Pascalschen Dreieck
Quelle: hirnwindungen.de
Fibonacci in der Physik
R3 = R ·1
1 + 11+ 1
1+ 11+1
=58· R, allgemein: Rn = F2n−1F2n · R
beide aus: Basin, S. L.: ”The Fibonacci Sequence as it Appears in Nature“, 1963;zit. n. M. Kuhn: ”Die Fibonacci-Zahlen“, Facharbeit am Emil v. Behring-Gymnasium Spardorf, 1990
Fibonacci in der Physik
R3 = R ·1
1 + 11+ 1
1+ 11+1
=58· R, allgemein: Rn = F2n−1F2n · R
beide aus: Basin, S. L.: ”The Fibonacci Sequence as it Appears in Nature“, 1963;zit. n. M. Kuhn: ”Die Fibonacci-Zahlen“, Facharbeit am Emil v. Behring-Gymnasium Spardorf, 1990
Fibonacci in der Physik
R3 = R ·1
1 + 11+ 1
1+ 11+1
=58· R, allgemein: Rn = F2n−1F2n · R
beide aus: Basin, S. L.: ”The Fibonacci Sequence as it Appears in Nature“, 1963;zit. n. M. Kuhn: ”Die Fibonacci-Zahlen“, Facharbeit am Emil v. Behring-Gymnasium Spardorf, 1990
Noch ein paar Merkwürdigkeiten
...eine merkwürdige Summe:
0,1+ 0,01+ 0,002+ 0,0003+ 0,00005+ 0,000013+ 0,0000021+ 0,00000034+ 0,000000055+ 0,0000000089+ . . .
= ?
Noch ein paar Merkwürdigkeiten
...eine merkwürdige Summe:
0,1+ 0,01+ 0,002+ 0,0003+ 0,00005+ 0,000013+ 0,0000021+ 0,00000034+ 0,000000055+ 0,0000000089+ . . .
=1089
!
Noch ein paar Merkwürdigkeiten
Häufigkeit der ersten Ziffer der Fibonacci-Zahlen:(1, 1, 2, 3, 5 ,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. . . )
Noch ein paar Merkwürdigkeiten
...entspricht der Benford-Verteilung p(z) = lg(1 + 1z
).
Jo Niemeyer: Land-Art mit dem Goldenen Schnitt
I insgesamt 20 jeweils 5.50 m hohe Edelstahl-Stelen
I Abstand der ersten beiden Stelen: 45,8 cmI Abstand n + 1 zu n = Φ × Abstand n zu 1
Jo Niemeyer: Land-Art mit dem Goldenen Schnitt
I insgesamt 20 jeweils 5.50 m hohe Edelstahl-StelenI Abstand der ersten beiden Stelen: 45,8 cm
I Abstand n + 1 zu n = Φ × Abstand n zu 1
Jo Niemeyer: Land-Art mit dem Goldenen Schnitt
I insgesamt 20 jeweils 5.50 m hohe Edelstahl-StelenI Abstand der ersten beiden Stelen: 45,8 cmI Abstand n + 1 zu n = Φ × Abstand n zu 1
Standorte der einzelnen Pfähle
Standorte der einzelnen Pfähle
In 20 Stelen um die Welt!
...und zu all dem lächelt die Mona Lisa.
Quelle: de.academic.ru
Wort zum Samstag:
”Dass zwei Dinge sich auf eine schöne Art vereinigen ohne eindrittes, das ist unmöglich. Denn es muss ein Band zwischen
ihnen entstehen, dass sie vereinigt.
Das kann die Proportion am besten vollbringen. Denn wennvon irgend drei Zahlen die mittlere sich zu der kleinsten verhält,
wie die größte zu der mittleren selbst, [. . . ] dann wird dasLetzte und das Erste das Mittlere und das Mittlere Erstes undLetztes, alles wird also mit Notwendigkeit dasselbe, und da es
dasselbe wird, bildet es ein einziges. “
Plato: Timaios, zit. nach Henning/Hartfeld:Goldener Schnitt in der Mathematik
Vielen Dank fürIhre Aufmerksamkeit!