THERMODYNAMIK Alles begann mit einem Arzt aus Heilbronn …

Durch seine Beobachtung, dass die Farbe des Blutes wärme- und arbeitsabhängig ist, erkannte er als erster Wissenschaftler den Zusammenhang zwischen Energie, Wärme und Arbeit (damals: Kraft).

JULIUS ROBERT von MAYER

1814 - 1878

Auch im Wort „Thermodynamik“ verbirgt sich diese Erkenntnis …

Übersetzt aus dem Griechischem heißt es? Wärme-Kraft

Er war überzeugt, dass die Umwandlung von Wärme in „Kraft“, wie bei der Dampfmaschine, auch umkehrbar ist, in dem man durch Reibung Wärme erzeugt.

Fast zeitgleich mit dem englischen Physiker JAMES PERSCOTT JOULE …

... mit der sie in einem wärmeisolierten Gefäß Wasser warm quirlten.

JOULE verwendete: mG = 772 lb & mw = 1 lb

Seine Messergebnisse: Dh = 1 ft & DT = 1 °F

1 lb (libra) = 0,454 kg DT°F / DTK = 1,81 ft = 0,30 m

… entwickelten beide unabhängig voneinander 1842 eine Maschine …

Rechnen Sie um in SI-Einheiten! BRU

DAS MECHANISCHE WÄRMEÄQUIVALENT

Berechne daraus die spezifische Wärmekapazität cW von Wasser in 𝐽

𝑘𝑔 𝐾

und bestimmen Sie die prozentuale Abweichung vom exakten Wert bei 20°C und Normaldruck!

Die spezifische Wärmekapazität cW von Wasser war damals noch nicht bekannt !

𝑚𝐺 ∙ ∆ℎ

𝑚𝑊 ∙ ∆𝑇= 𝑐𝑊

𝑔= const

772 𝑙𝑏 ∙ 0,305 𝑚

1 𝑙𝑏 ∙ 5/9= 424 m/K

𝑐𝑤 = g const = 9,81 𝑚

𝑠² 424

𝑚

𝐾= 4160

𝑚²

𝑠² 𝐾

Einheitenbetrachtung: 1 J = 1 Nm = 𝑘𝑔 𝑚2 𝑠−2 𝑐𝑤 = 4160 𝐽

𝑘𝑔 𝐾

mG g Dh = mW cW DTEnergieerhaltung: Epot = Q

Berechnen Sie aus den historische Messwerten das Wärmeäquivalent für Wasser in m/K!

cwo (101 kPa, 293 K) = 4182 𝐽

𝑘𝑔 𝐾

D𝑐𝑤(%) = - 0,53%

James Prescott Joule

1818 - 1889

BRU

Grundgleichung der WL

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik nach J. R. v. Mayer

Die innere Energie eines Systems U ist durch die Temperatur T, die Teilchenart und die inhärenten Bindungsenergien charakterisiert.

Bei einem idealen Gas ist die innere Energie die Gesamtheit aller kinetischen Energien des Systems i. e. Translation, Rotation, Schwingung. Bindungsenergien treten nicht auf.

1. HS im Laborsystem: Die einem System (Gas) zugeführte Wärme Q führt zur Erhöhung der innerer Energie U im Systems und/oder zur Verrichtung von mechanischer Arbeit vom System: Q = DU + W

1. HS im BZ Gas?

Die Erhöhung der inneren Energie U eines Systems (Gases) ist die Summe aus zugeführter Wärme Q und/oder der am System verrichteten mechanischen Arbeit: DU = Q + W bzw. dU = dQ + pdV

Qzu

U+ Wab

BRU

W =def 𝐹 𝑑ℎ = 𝑝 𝐴 𝑑ℎ = 𝑝 𝑑𝑉

Qauf

U+ Wauf

Die isochore Zustandsänderung V = const

dQ =

dW =

dU =

1. HS:

m cV dT

0 , dV = 0

m cV dT

dQ = dU

Gib für diese Zustandsänderung den 1. HS in differenzieller Form an:

Zeichnen Sie das Druck-Volumen-Diagramm p(V) für diese Zustandsänderung!

cV ist die spezifische Wärmekapazität des Gases bei isochorererErwärmung.

Qzu

U+

BRU

Berechnen Sie den Innendruck vor dem Einschalten und die Wärmeaufnahme des Schutzgases!

AMONTONS: 𝑝1𝑇1=𝑝2

𝑇2𝑝1 =

𝑇1

𝑇2 𝑝2 =

293

423 400 Pa =

1. HS: Q = DU Q = m cV DT = 17,6 µg 0,74 µ𝐽

µ𝑔 𝐾 130 K =

Gasmasse unter Normalbedingungen: mo = 28 g 55

22400= 6,88 mg

277 Pa

Allgemeine Zustandsgleichung für ideale Gase: p V = m R* T p/T m

m = mo 0,4 𝑘𝑃𝑎

101 𝑘𝑃𝑎273 𝐾

423 𝐾= 17,6 µg

1,7 mJ

Übungsaufgabe: Eine E27-Glühlampe (V = 55 cm³) erwärmt die Schutzgasfüllung (N2) im Nennbetrieb von 20°C auf 150 °C und erzeugt dabei einen Innendruck von 400 Pa. BRU

Die isobare Zustandsänderung p = const

dQ =

dW =

dU =

1. HS:

m cp dT

p dV

m cV dT

dQ = dU + pdV

Gib für diese Zustandsänderung den 1. HS in differenzieller Form an:

Zeichnen Sie das Druck-Volumen-Diagramm p(V) für diese Zustandsänderung. Kennzeichnen Sie im Diagramm die vom Gas verrichtete mechanische Arbeit.Geben Sie die zugehörige Berechnungsgleichung an!

cp ist die spezifische Wärmekapazität des Gases bei isobarerErwärmung.

Wab = p (V2 – V1)

BRU

Wab

Qzu

U+ Wab

B

RU

Es gibt einen fundamentalen Zusammenhang zwischen den spezifischen Wärmekapazitäten cV und cp bei isochorer bzw. isobarer Erwärmung und der speziellen Gaskonstanten R* eines Gases …

R∗= cp − cV

Leiten Sie diesen Zusammenhang mit Hilfe der allgemeinen Zustandsgleichung für ideale Gase (ZG) und dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik (1.HS) her!

1.HS: dQ = dU + pdV ZG: p dV = m R∗dT

Einsetzen von ZG in 1.HS: dQ = dU + m R∗dT

Betrachten wir o. B. d. A. einen isobaren Vorgang …

Änderung der innere Energie: dU = m cV dT

Zugeführte Wärme: dQ = m cp dT

Die Änderung der inneren Energie lässt sich immer mit der GleichungDer isochoren Wärme berechnen, dadabei stets dU = dQ ist.

Einsetzen in den 1.HS: m cp dT = m cV dT + m R∗ dT :𝑚 : dT

cp = cV + R∗ q. e. d.

Die MAYERsche Gleichung

*

Wichtige Konstanten*

BRU

T = constDie isotherme Zustandsänderung

dQ =

dW =

dU =

1. HS:

m c? dT

p dV

0 , da dT = 0

dQ = p dV

Gib für diese Zustandsänderung den 1. HS in differenzieller Form an:

Zeichnen Sie das Druck-Volumen-Diagramm p(V) für diese Zustandsänderung. Kennzeichnen Sie im Diagramm die vom Gas verrichtete mechanische Arbeit.Um welchen Funktionstyp handelt es sich bei dem Graphen p(V)?

Hier – isotherme Expansion z. B. Dampfmaschine

Qzu

Wab

BRU

Wab

Hyperbel p 1/V

Die isothermen Arbeit

Um die isotherme Arbeit zu berechnen, müssen wir die Fläche unter der p(V)-Kurve bestimmen.

W = 𝑝 𝑑𝑉 # 𝑝 ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

Um integrieren zu können benötigen wir die Funktionsgleichung p(V).

ZG : p V = m R∗ T p = m R∗ T 1

𝑉m R∗ T = const

Woher bekommen wir diese Gleichung ?

Einsetzen in (#): W = 𝑝 𝑑V = m R∗T 12 1

𝑉𝑑V = m R∗ T ln 𝑉2 − 𝑙𝑛 𝑉1

W = m R∗ T 𝑙𝑛𝑝1𝑝2

bzw. mitp 1/VW = m R∗ T 𝑙𝑛

𝑉2𝑉1 BRU

dQ = 0Die adiabatische Zustandsänderung

U+

Wzu

dQ =

dW =

dU =

1. HS:

0

p dV

m cV dT

dU = - p dV

Gib für diese Zustandsänderung den 1. HS in differenzieller Form an:

Hier – adiabatische Kompressionz. B. Alpenföhn

Zeichnen Sie das Druck-Volumen-Diagramm p(V) für diese Zustandsänderung. Kennzeichnen Sie im Diagramm die vom Gas verrichtete mechanische Arbeit.Vergleichen Sie den Graph mit der isothermen Hyperbel.

Wab BRU

Steilere Hyperbel

p 1 𝑉𝜅mit 1 < k < 2

Eine anderes Wort für „adiabatisch“ ist „isentropisch“ d. h. „ohne Änderung der Entropie S“ dS = dQ/T = 0

Die POISSONsche Gleichung BRU

Für einen adiabatische Vorgang gilt dQ = 0 1. HS

dU = - p dV

m cV dT = - p dVGemäß Betrachtung zur isochoren ZÄ dU = ? GWL

Substitution von p = f(V,T) = ? ZGm cV dT = -

mR∗ T

VdV

Trennen der Variablenlineare DGL 0. Ordnung CV

TdT = -

R∗

VdV

Substitution von R* = ? MAYER CV

TdT = -

Cp− CV

VdV

Simeon Denis Poisson

1781 - 1840

Poisson konnte als

Bürgerlicher Dank der

französischen

Revolution

Mathematik an der

École Polytechnique in

Paris studieren …Adiabaten-Koeffizienten k = ?

k =def cp /cV-

dT

T= (κ − 1)

dV

V 1

2

Seitenweise Integration Logarithmen-Gesetze lnT1

T2= (κ − 1) ln

V2

V1

Umkehrfunktion e-Funktion T1

T2=

V2

V1

κ −1

Umformung mit T = f(p;V) ZG: pV T p1 V1

p2 V2=

V2

V1

κ −1p1 V1

κ = p2 V2κ

Die adiabatische Arbeit

Allgemein gilt für die Arbeit in thermodynamischen System … W = 𝟏

𝟐𝒑 𝒅𝑽

Da es sich hier um eine Kompression handelt, wird das Volumen kleiner und die verrichtete Arbeit wird von außen am Gas verrichtet.Das heißt das Ergebnis der Integration wird negativ sein.

Nach POISSON folgt mit p1 ∙ V1κ= p ∙ V

κfür beliebiges

oberen Druck p:

W =

1

2𝑝1𝑉1

𝜅

𝑉𝜅𝑑𝑉 = 𝑝1𝑉1

𝜅

1

2

𝑉−𝜅𝑑𝑉 =𝑝1𝑉1

𝜅

1 − 𝜅𝑉1−𝜅 1

2

W =𝑝1𝑉1

𝜅

1 − 𝜅𝑉21−𝜅 − 𝑉1

1−𝜅 = −𝑝1𝑉1𝑉1

𝜅−1

𝜅 − 1

1

𝑉2𝜅−1 −

1

𝑉1𝜅−1

W = −p1V1κ − 1

𝑉1𝑉2

𝜅−1

− 1 =p1V1κ − 1

1 −𝑉1𝑉2

𝜅−1

W =𝑚 R∗ T1κ − 1

1 −𝑉1𝑉2

𝜅−1

< 0ZG

aufzuwendende Arbeit

Adiabate

Isothermen

2

1 BRU

Übungen zum 1. Hauptsatz1. Übung:

Komprimiert man 3 m³ 27°C warme Luft von 110 kPa

auf 500 kPa ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung,

so besitzt die Luft nach der Verdichtung ein Volumen von

1 m³ und erreicht eine Temperatur von 189 °C (Prinzip

„pneumatisches Feuerzeug“).

Der Betrag der Verdichtungsarbeit beträgt 446 kJ.

Freiheits-grade der Moleküle f

Adiabaten-koeffizient

k = 𝑓+2

𝑓

Einatomig(He, Ar, Kr) 3 1,67

Zweiatomig(H2, N2, O2) 5 1,4

Dreiatomig(H2O, CO2) 6 1,33

2. Übung: Luftpumpe 3. Übung: Zylinder