Thema

von: Sarah Otto

Überblick

1. Parameterformen

1.1 Punkt - Richtungsform

1.2 Drei - Punkte – Form

2. Die Koordinatenformen

2.1 Achsenabschnittsform

2.2 Normalenform

2.3 Hessesche Normalform

3. Umwandlung

4. Lagebeziehungen / Schnitte

5. Schnittwinkel

1/22

1. Parameterformen

Die beiden Parameterformen:

1.1 Punkt-Richtungs-Form

1.2 Drei-Punkte-Form

2/22

Gegeben:

- Der Punkt A mit dem Ortsvektor a

- Zwei linear unabhängige Richtungsformen u und v

- X sei ein beliebiger Punkt der Ebene

1.1 Punkt-Richtungs-Form

x = a + *u + *v

x

y

z=

a1

a2

a3

+ *u1

u2

u3

+ *v1

v2

v3

A (5/0/1)

u =

v =

2

1

3

1

1

4

3/22

1.2. Drei-Punkte-Form

x = a + *(b-a) + *(c-a)

b1 -

b2 -

b3 -

x

y

z

=

a1

a2

a3

+ * + *

c1 -

c2 -

c3 -

a1

a2

a3

a1

a2

a3Gegeben:

- drei Punkte A,B,C auf der Ebene

- Richtungsvektoren sind jetzt z.B. b-a und c-a

- X sei ein beliebiger Punkt der Ebene

A (1/3/2)

B (-2/2/-1)

C (3/1/5)

4/22

2. Koordinatenformen

Die Koordinatenformen

2.1 Achsenabschnittsform

2.2 Normalenform

2.3 Hessesche Normalenform

5/22

2.1 Achsenabschnittsform

Schneidet die Ebene E die x-Achse im Punkt S (s/0/0), die y-Achse im Punkt T (0/t/0) und die z-Achse im Punkt U (0/0/u), so gilt für einen beliebigen Punkt X (x/y/z) auf der Ebene E: die Achsenabschnittsform

1 = + +x

s

y

t

z

u

Die Ebene E ist durch die Achsenschnittpunkte

S (4/0/0)

T (0/-2/0)

U (0/0/3)

...gegeben

6/22

2.2 Normalenform

0 = n (x – a) 0 = n x – n a

=

n1

n2

n3

°

x -

y -

z -

a1

a2

a3

0

Gegeben:

- ein Punkt A der Ebene

- ein Normalenvektor n der Ebene

- X sei ein beliebiger Punkt der Ebene E

n =

A (-4/5/3)

1

2

3

° ° °

7/22

2.3 Hessesche Normalenform

0 = no ° (x – a)

=

no 1

no 2

no 3

°

x -

y -

z -

a1

a2

a3

0

1

2

2

n =

* no = 1

1² + 2² + 2²

a

b

c

no = 1

3

1

2

2

*

1x + 2y + 2z - 12 = 0

8/22

3. Umwandlung

Umwandeln in andere Darstellungsformen:

3.1 Umwandlung von der Parameterform in

Koordinatenform und – Normalenform

3.2 Umwandlung von der Koordinatenform in die

- Normalenform

- Hessesche Normalenform und

- Parameterform

9/22

3.1 Umwandlung

x

y

z

=

-1

2

3

+ *

8

-3

-1

+ *

4

-1

1

0 = n ° (x – a) =n ° x - n ° aErmittlung der Normalenform:

u=

8

-3

-1

v =

4

-1

1

n =

uy * vz – uz * vy

uz * vz – ux * vz

ux * vy – uy * vx

n =

((-3) * 1) – ((-1) * (-1))

((-1) * 4) – (8 * 1)

(8 * (-1)) – ((-3) * 4)

n =

-4

-12

4

1

3

-1° x - 2 = 0

Umwandlung von der Parameterform in - Koordinatenform und - Normalenform

10/22

x + 3y - z - 2 = 0

1

3

-1

*(-1/4)

n ° a = - 2Berechnung des Normalenvektors mit dem Kreuzprodukt

a =

-1

2

3

3.1 Umwandlung

Ermittlung durch Gauß:

8

-3

-1

4

-1

1

x - (-1)

y - 2

z - 3

8

0

0

4

4

0

x +1

3x+3+8y-16

-9x–9 -24y+48+1x+1+8z-24

-8x - 24y + 8z + 16 = 0

1

3

-1° x - 2 = 0

x

y

z

=

-1

2

3

+ *

8

-3

-1

+ *

4

-1

1

11/22

-8x - 24y + 8z + 16 = 0 :(-8)

x + 3y - z - 2 = 0

3.2 Umwandlung

6x – 4y + 2z – 12 = 0

6

-4

2

° x - 12 = 0

Normalenform: Hessesche Normalenform:

n =

6

-4

2

no =6² + (-4)² + 2² *

6

-4

2

1

0 =56

*

6

-4

2

° x - 12 = 0 1

Umwandlung Koordinatenform in die Normalenform Hessesche Normalen- und Parameterform

12/22

3.2 Umwandlung

I. Wähle drei Punkte die in der Ebene 6x – 4y + 2z – 12 = 0 liegen, z.B.

A (2/0/0) B (0/-3/0) C (0/-2/2)

x

y

z

=

2

0

0

+ *

-2

-3

0

+ *

-2

-2

2

II. Setze x = und y = und setze in die (nach z umgeformte) Gleichung

z = 6 -3 + 2

x = 0 0

y = 0 0

z = 6 - 3 + 2

Parameterform:

0

1

2

x

y

z

=

0

0

6

+ *

1

0

-3

+ *

13/22

4. Lagebeziehungen

Lagebeziehungen:

4.1 Lage von Punkt und Ebene zueinander

4.2 Lage von Gerade und Ebene zueinander

14/22

-5 = 7 = - 1,4

7,5 = -7,5 = -1

Daraus folgt:

P E

4.1 Punkt - Ebene

x

y

z

=

3

1,5

0

+ *

-1

-1,5

2

+ *

-3

3

1

P (5/-3/3)

5

-3

3

=

3

1,5

0

+*

-1

-1,5

2

+ *

-3

3

1

5 = 3 - - 3 = -3 - 2

-3 = 1,5 – 1,5 + 3

3 = 0 + 2 +

II. Ermitteln der Parameter und durch Gauß:

-1

-1,5

2

-3

3

1

-1

0

0

-3

7,5

-5

2

-4,5

3

2

-7,5

7

15/22

4.2 Gerade - Ebene

1

2

4

x

y

z

=

2

-1

0

+ *

-3

1

4

+ *

E:

x

y

z

=

1

2

3

+ *

-1

2

4

G:

=

-1

3

3

*

-3

1

4

+ *

1

2

4

+ *

1

-2

-4

Eine Gerade kann:

- zu einer Ebene echt parallel sein - in der Ebene liegen oder genau einen Schnittpunkt haben

16/22

4.2 Gerade - Ebene

0 4 g || E

es gibt keinen Schnittpunkt

Ebene parallel zu Geraden

-3

1

4

1

2

4

1

-2

-4

0 0 0

-1

3

3

4

17/22

0 = 0 g E

es gibt unendlich viele Schnittpunkte

Gerade liegt in / auf Ebene

-3

1

4

1

2

4

0 0 0

-1

3

3

0

1

-2

-4

4.2 Gerade - Ebene

18/22

3 = 6 = 2

es gibt einen Schnittpunkt

Gerade schneidet Ebene

-3

1

4

1

2

4

1

-2

-4

0 0 3

-1

3

3

6

4.2 Gerade - Ebene

19/22

5. Schnittwinkel

Schnittwinkel bei Ebenen:

5.1 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

5.2 Schnittwinkel zwischen Ebene und Ebene

20/22

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

5.1 Schnittwinkel

x

y

z

=

2

1

3

+ *

2

1

-2

G:3

1

2° x = 0

E: 2

1

3

-

2

1

-2

u =

3

1

2

n =

21/22

Schnittwinkel zwischen Ebene und Ebene

5.2 Schnittwinkel

0

3

2° x = 0

E: 0

0

6

-

4x + 3y + 2z - 12 = 0

E:

0

3

2

n1 =

4

3

2

n2 =

22/22

Ende

Vielen Dank für

Ihre

Aufmerksamkeit =)