Thema:Thema:

Variationsformalismus Variationsformalismus für das freie Teilchenfür das freie Teilchen

Vortragsteile:Vortragsteile:

1. Mathematische Methode für das 1. Mathematische Methode für das Variationsproblem Variationsproblem

2. Physikalische Anwendung der 2. Physikalische Anwendung der VariationsrechnungVariationsrechnung

3. Beispiel für eine Variationsaufgabe3. Beispiel für eine Variationsaufgabe

1. Mathematische Methode für das 1. Mathematische Methode für das VariationsproblemVariationsproblem

Ausgangssituation:Ausgangssituation:Gegeben: Eine integrierbare Funktion F= F(y(x),y´(x))Gegeben: Eine integrierbare Funktion F= F(y(x),y´(x))

Gesucht: Eine Funktion y= y(x), mit der Eigenschaft, daß das WirkungsintegralGesucht: Eine Funktion y= y(x), mit der Eigenschaft, daß das Wirkungsintegral

extremal wird.extremal wird.

2

1

))´(),((x

x

dxxyxyFS

Lösung des Problems:Lösung des Problems:

Wir verfahren so, als würden wir die Lösung bereits kennen.Wir verfahren so, als würden wir die Lösung bereits kennen.

Die Lösung des Problems sei y(x).Die Lösung des Problems sei y(x).

Suche nun eine Gleichung zur Suche nun eine Gleichung zur BestimmungBestimmung von y(x): von y(x):

Ansatz:Ansatz:

Wähle die ParameterdarstellungWähle die Parameterdarstellung

als Gesamtheit aller physikalisch sinnvollen Wege.als Gesamtheit aller physikalisch sinnvollen Wege.

ηη(x) ist hierbei eine stetig differenzierbare Funktion, welche die (x) ist hierbei eine stetig differenzierbare Funktion, welche die RandbedingungRandbedingung

ηη(x1) = (x1) = ηη(x2)(x2)

erfüllterfüllt

)(*)(),( xaxyaxy

Man betrachte die folgende Man betrachte die folgende Skizze:Skizze:

Die gesuchte Kurve ist somit y(x,0).Die gesuchte Kurve ist somit y(x,0).

Die Bedingung für einen Extremwert des Die Bedingung für einen Extremwert des Wirkungsintegrals ist:Wirkungsintegrals ist:

Setze nun die gewählte Parameterdarstellung in das Setze nun die gewählte Parameterdarstellung in das Funktional F ein und werte das Wirkungsintegral Funktional F ein und werte das Wirkungsintegral aus:aus:

00

ada

dS

Man erhält:Man erhält:

Eingesetzt in die Extremwertbedingung Eingesetzt in die Extremwertbedingung

ergibt:ergibt:

y(x,a) ist nach Voraussetzung stetig differenzierbar in beiden Variablen, y(x,a) ist nach Voraussetzung stetig differenzierbar in beiden Variablen, genau wie F(y(x),y`(x)) -> genau wie F(y(x),y`(x)) ->

Differentiation kann in Integral gezogen werden.Differentiation kann in Integral gezogen werden.

2

11

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x

dxaxyaxyFS

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Die ergibt dann:Die ergibt dann:

Man betrachte das Integral Man betrachte das Integral

ziehe dieses auseinanderziehe dieses auseinander

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Partielle Integration des zweiten Integrals Partielle Integration des zweiten Integrals

liefert:liefert:

Mit der obigen Randbedingung verschwindet der Mit der obigen Randbedingung verschwindet der ausintegrierte Termausintegrierte Term

Man erhält somit:Man erhält somit:

dxy

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dx

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Nach Voraussetzung war Nach Voraussetzung war ηη(x) eine beliebige Funktion, also (x) eine beliebige Funktion, also insbesondere nicht immer =0, insbesondere nicht immer =0,

somit muß gelten:somit muß gelten:

Diese Gleichung ist die gesuchte Diese Gleichung ist die gesuchte Bestimmungsgleichung für y(x) (Euler– Lagrange- Bestimmungsgleichung für y(x) (Euler– Lagrange- Gleichung), eine DGL 2.Ordnung.Gleichung), eine DGL 2.Ordnung.

0))`(),((

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y

xyxyF

y

xyxyF

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d

Einfachere Schreibweise:Einfachere Schreibweise:

Definiere Variation einer Funktion y(x):Definiere Variation einer Funktion y(x):

Variation Variation δδy(x) (für lim a -> 0):y(x) (für lim a -> 0):

aa

ya

a

xyaxyxyaxyy

a

**)0,(),(

)0,(),(0

Damit lassen sich Variationsprobleme formulieren Damit lassen sich Variationsprobleme formulieren als:als:

Wobei in F jederzeit Zwangsbedingungen mittels Wobei in F jederzeit Zwangsbedingungen mittels Lagrange- Multiplikatoren miteinbezogen werden Lagrange- Multiplikatoren miteinbezogen werden können.können.

2

1

0))`(),((x

x

dxxyxyF

2. Physikalische Anwendung der 2. Physikalische Anwendung der VariationsrechnungVariationsrechnung

VorbemerkungenVorbemerkungen:: Betrachte freies Teilchen als PunktmasseBetrachte freies Teilchen als Punktmasse Benötige für Beschreibung der Lage von N Benötige für Beschreibung der Lage von N

Massepunkten N Vektoren -> 3 N Koordinaten -> 3 N Massepunkten N Vektoren -> 3 N Koordinaten -> 3 N unabhängige Freiheitsgradeunabhängige Freiheitsgrade

Massepunkte können durch Zwangsbedingungen Massepunkte können durch Zwangsbedingungen „gekoppelt“ sein„gekoppelt“ sein

Reduktion der unabhängigen Freiheitsgrade um Anzahl Reduktion der unabhängigen Freiheitsgrade um Anzahl der Zwangsbedingungen (holonom)der Zwangsbedingungen (holonom)

Unabhängige Freiheitsgrade Unabhängige Freiheitsgrade ≡ verallgemeinerte ≡ verallgemeinerte KoordinatenKoordinaten

Ableitungen der verallgemeinerter Koordinaten ≡ Ableitungen der verallgemeinerter Koordinaten ≡ verallgemeinerte Geschwindigkeitenverallgemeinerte Geschwindigkeiten

Zur Bestimmung der mechanischen Zustandes eines Zur Bestimmung der mechanischen Zustandes eines Systems wird die Angabe sämtlicher verallgemeinerter Systems wird die Angabe sämtlicher verallgemeinerter Koordinaten und Geschwindigkeiten benötigtKoordinaten und Geschwindigkeiten benötigt

Beziehung zwischen Koordinaten und Geschwindigkeiten = Beziehung zwischen Koordinaten und Geschwindigkeiten = Bewegungsgleichung -> Bahngleichungen für MassenpunkteBewegungsgleichung -> Bahngleichungen für Massenpunkte

=> Suche also Methode zum Aufstellen der => Suche also Methode zum Aufstellen der BewegungsgleichungBewegungsgleichung

Ausgangspunkt:Ausgangspunkt:

Hamilton- Prinzip/ Prinzip der kleinsten Wirkung:Hamilton- Prinzip/ Prinzip der kleinsten Wirkung: Jedes mechanische System ist durch bestimmte FunktionJedes mechanische System ist durch bestimmte Funktion

(Lagrange Funktion) charakterisiert.(Lagrange Funktion) charakterisiert. Annahme: System nimmt zu Zeitpunkten t= tAnnahme: System nimmt zu Zeitpunkten t= t¹ und t= t² Zustände ¹ und t= t² Zustände

q¹ bzw. q² ein. q¹ bzw. q² ein.

Bewegung des Systems zwischen den Lagen q¹ u. q² verläuft so, Bewegung des Systems zwischen den Lagen q¹ u. q² verläuft so, daß die Wirkung daß die Wirkung

minimal wirdminimal wird

),,...,,,,...,,( 2

.

121 tqqqqqqL ss

2

1

),,(t

t

dttqqLS

Suche nun mit Variationsrechnung die Bestimmungsgleichung für die Suche nun mit Variationsrechnung die Bestimmungsgleichung für die Bewegungsgleichung:Bewegungsgleichung:

Beim Hamiltonprinzip wird die Zeit nicht variiert, es gilt:Beim Hamiltonprinzip wird die Zeit nicht variiert, es gilt:δδt = 0t = 0

(heißt: System durchläuft Bahnpunkt und variierten Bahnpunkt zur gleichen Zeit)(heißt: System durchläuft Bahnpunkt und variierten Bahnpunkt zur gleichen Zeit)

Man geht nun vom Wirkungsintegral aus und führt die Variation entsprechend Kapitel Man geht nun vom Wirkungsintegral aus und führt die Variation entsprechend Kapitel 1 durch.1 durch.

Als Variation der Wirkung ergibt sich also:Als Variation der Wirkung ergibt sich also:

(„i“ ist hierbei ein Laufindex, der alle Freiheitsgrade durchläuft)(„i“ ist hierbei ein Laufindex, der alle Freiheitsgrade durchläuft)

2

1

)),(),((t

t

ii dtttqtqLS

Für die Variation der verallgemeinerten Koordinaten ergibt sich:Für die Variation der verallgemeinerten Koordinaten ergibt sich:

Wobei wiederum die RandbedingungWobei wiederum die Randbedingung

gelten muß.gelten muß.

(es sei an die Skizze in Kapitel 1 erinnert)(es sei an die Skizze in Kapitel 1 erinnert)

)()()( tqtqtq iii

0)()( 21 tqtq ii

Unter Verwendung der Tatsache, daß die Zeit eine Invariante ist, Unter Verwendung der Tatsache, daß die Zeit eine Invariante ist, erhält man für die Variation der Wirkungerhält man für die Variation der Wirkung

(unter Verwendung der vereinfachten Schreibweise aus Kapitel 1)(unter Verwendung der vereinfachten Schreibweise aus Kapitel 1)

Man ziehe das Integral auseinander und betrachte das zweite Man ziehe das Integral auseinander und betrachte das zweite Integral Integral

(riecht nach partieller Integration)(riecht nach partieller Integration)

2

1

2

1

2

1

)())),(),((()),(),((t

t i ii

i

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t

t

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(im folgenden wird die Integration zur besseren Veranschaulichung nur für (im folgenden wird die Integration zur besseren Veranschaulichung nur für eine verallgemeinerte Koordinate ausgeführt)eine verallgemeinerte Koordinate ausgeführt)

Für die Variation der verallgemeinerten Geschwindigkeiten gilt:Für die Variation der verallgemeinerten Geschwindigkeiten gilt:

Man setzt diese Identität in das zweite Integral ein,Man setzt diese Identität in das zweite Integral ein,

und integriert dieses partiellund integriert dieses partiell

iiiiiii qdt

dtqatq

dt

dtq

dt

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dt

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Die partielle Integration liefert:Die partielle Integration liefert:

Unter Verwendung der alten RandbedingungUnter Verwendung der alten Randbedingung

verschwindet der ausintegrierte Term wiederverschwindet der ausintegrierte Term wieder

2

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2

1

2

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Lq

q

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i

i

i

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t

i

i

Es folgt also für die Variation der Wirkung:Es folgt also für die Variation der Wirkung:

Da die Variation der verallgemeinerten Koordinaten beliebig gewählt werde Da die Variation der verallgemeinerten Koordinaten beliebig gewählt werde kann, muß gelten:kann, muß gelten:

0))((2

1

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ii

dtqq

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Erhalte die Lagrange- GleichungErhalte die Lagrange- Gleichung

Stellt die Bewegungsgleichung des Systems darStellt die Bewegungsgleichung des Systems dar

Ist System von s gewöhnlichen DGL`en 2. OrdnungIst System von s gewöhnlichen DGL`en 2. Ordnung

Allgemeine Lösung enthält 2s frei wählbare Konstanten Allgemeine Lösung enthält 2s frei wählbare Konstanten (Anfangsbedingungen) -> mechanisches Zustand (Anfangsbedingungen) -> mechanisches Zustand dadurch vollständig festgelegtdadurch vollständig festgelegt

Bewegungsgleichungen invariant unter Multiplikation Bewegungsgleichungen invariant unter Multiplikation der Lagrange- Fkt. mit Konstanten (der Lagrange- Fkt. mit Konstanten (↔ Beliebigkeit der ↔ Beliebigkeit der Maßeinheiten)Maßeinheiten)

0)),(),(()),(),((

i

ii

i

ii

q

ttqtqL

q

ttqtqL

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d

Bemerkung zur Lagrange- Fkt. u. Lagrange- Gl.Bemerkung zur Lagrange- Fkt. u. Lagrange- Gl.

Betrachte zwei Lagrange- Fkt.en, L u. L´, die sich nur durch Betrachte zwei Lagrange- Fkt.en, L u. L´, die sich nur durch eine totale zeitliche Ableitung einer beliebigen Funktion eine totale zeitliche Ableitung einer beliebigen Funktion unterscheiden:unterscheiden:

Die Wirkung von L` ist dann:Die Wirkung von L` ist dann:

Man sieht, daß sich beide Wirkungen nur durch ein konstantes Man sieht, daß sich beide Wirkungen nur durch ein konstantes Zusatzglied unterscheiden.Zusatzglied unterscheiden.

)),(()),(),(()),(),(`( ttqfdt

dttqtqLttqtqL iiiii

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1

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2

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2)2(

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t

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t

ii tqftqfSdtdt

dfdtttqtqLdtttqtqLS

Bei Variation der Wirkungen verschwindet das Bei Variation der Wirkungen verschwindet das ZusatzgliedZusatzglied

Es gilt Es gilt δδS´=S´=δδS=0S=0

=> Form der Bewegungsgleichung invariant unter => Form der Bewegungsgleichung invariant unter Addition einer totalen zeitlichen Ableitung einer Addition einer totalen zeitlichen Ableitung einer beliebigen Fkt.beliebigen Fkt.

3. Beispielaufgabe: Kettenlinie3. Beispielaufgabe: Kettenlinie

Eine Kette von konstanter Eine Kette von konstanter Dichte Dichte σσ (Masse pro (Masse pro Längeneinheit: Längeneinheit: σσ= = dm/ ds) und der Länge l dm/ ds) und der Länge l hängt im Schwerefeld hängt im Schwerefeld zwischen zwei Punkten Pzwischen zwei Punkten P¹ ¹ (x(x¹,y¹) und P² (x²,y²). ¹,y¹) und P² (x²,y²). Gesucht ist die Form der Gesucht ist die Form der Kurve unter der Annahme, Kurve unter der Annahme, daß die potentielle Energie daß die potentielle Energie der Kette minimal wird.der Kette minimal wird.

ZusammenfassungZusammenfassung

Mechanisches System durch Lagrange- Fkt. Mechanisches System durch Lagrange- Fkt. L charakterisiertL charakterisiert

Hamilton –Prinzip: Bewegung verläuft so, Hamilton –Prinzip: Bewegung verläuft so, daß Wirkung S extremal wird (Minimum)daß Wirkung S extremal wird (Minimum)

Variation Variation δδS ergibt über partielle S ergibt über partielle Integration, Randbedingungen und Integration, Randbedingungen und Vertauschbarkeit von Variation und Vertauschbarkeit von Variation und Differentiation die Lagrange- GleichungDifferentiation die Lagrange- Gleichung

Lagrange- Gleichung Lagrange- Gleichung ↔ Bewegungsgleichung↔ Bewegungsgleichung