The Chain Ladder reserve uncertainties revisited DAV · PDF fileEinführung Bayes-Modell...

The Chain Ladder reserve uncertainties revisited

DAV ASTIN TagungBerlin

A. Gisler, ETH Zurich

26. April 2017

A. Gisler, DAV ASTIN Tagung, Berlin () CL reserve uncertanties revisited 26. April 2017 1 / 36

Einführung

chain ladder (CL)immer noch eine der meist verwendeten Rückstellungsmethoden in der Versicherungspraxis

Mass für Unsicherheit in den SchadenrückstellungenI mean square error of prediction (msep) bezüglich des Abwicklungsrisikos

F Gesamtabwicklungsrisiko (Abwicklungsergebnis, nachdem alle Schäden erledigt sind)F einjähriges Abwicklungsrisiko (Abwicklungsergebnis innerhalb eines Geschäftsjahres)

Bekannte ResultateI Mack (1993)Schätzformel für msep bezüglich des Gesamtabwicklungsrisikos

I Merz-Wüthrich (2008)Schätzformel für msep des einjährigen Abwicklungsrisiko im nächsten Kalenderjahr(wird benötigt für Reserverisiko in Solvency II)

I Merz-Wüthrich (2015)Formeln für alle Abwicklungsrisiken- Gesamtabw.risiko- einjähriges Abw.risiko für nächstes Geschäftsjahr- einjährige Abw.risiken in zukünftigen Geschäftsjahren

(wird benötigt für market value margin in Solvency II)

I Ancus Röhr (2016)derivation of the prediction uncertainties by error propagationHerleitung der Schätzformeln für die Reserveunsicherheiten mit dem Feherfortp�anzungsgesetz


EinführungNotation

wi ,j :=

8<:Ci ,j , if Ci ,j 2 DI

bCCLi ,j , if Ci ,j 2 DcIMack (für Total über alle Schadenjahre)

[msepZulttot

��DI (0) =I

∑i=iJ+1

w 2i ,J

8><>:J�1∑j=ji

bσ2j�bf CLj �20B@ 1wi ,j

+1

∑ij�1k=i0

wk ,j

1CA9>=>;

+2I

∑i=iJ+1

wi ,J

I

∑k=i+1

wk ,J

!8><>:J�1∑

j=ji+1

bσ2j�bf CL(I )j

�2 1

∑ij�1m=i0

wm,j

9>=>; .Merz-Wüthrich, nächstes Geschäftsjahr (für Total über alle Schadenjahre)

[msepZ (I+1)tot ,J

��DI (0) =I

∑i=iJ+1

w 2i ,J

8><>:bσ2ji�bf CLj �2

0@ 1wi ,ji

+1

∑i�1k=i0wk ,ji

1A+ J�1∑

j=ji+1

bσ2j�bf CLj �20B@α

(I )j

1

∑ij�1k=i0

wk ,j

1CA9>=>;

+ 2I

∑i=iJ+1

wi ,J

I

∑m=i+1

wm,J

!0B@ bσ2j�bf CLj �2 1

∑i�1k=i0wk ,ji

+J�1∑

j=ji+1

bσ2j�bf CL(I )j

�2 α(I )j

1

∑ij�1k=i0

wk ,j

1CA ,wobei

α(I )j =

wij ,j

∑ijk=0 wk ,j


EinführungMerz-Wüthrich, zukünftige Geschäftsjahre (für Total über alle Schadenjahre)

[msepZ (I+k+1)tot

��DI (0) =I

∑i=iJ+k+1

8><>:w 2i ,Jbσ2ji+k�bf CLji+k �2

0@ 1wi ,ji+k

+k

∏m=1

�1� α

(I )ji+m

� 1

∑i�k�1n=i0wn,ji+k

1A9>=>;

+I

∑i=iJ+k+1

8><>:w 2i ,JJ�1∑

j=ji+k+1


(I )j�k

k�1∏m=0

�1� α

(I )j�m

� 1

∑ij�1n=i0

wn,j

1CA9>=>;

+2I

∑i=iJ+k+1

I

∑m=i+1

wi ,J wm,Jbσ2ji+k�bf CLji+k �2

k

∏n=1

�1� α

(I )ji+n

� 1

∑i�k�1l=i0wl ,ji+k

+2I

∑i=iJ+k+1

I

∑m=i+1

wi ,J wm,JJ�1∑

j=ji+k+1


(I )j�k

k�1∏n=0

�1� α

(I )j�n

� 1

∑ij�1l=i0

wl ,j

1CA ,wobei

α(I )j =

wij ,j

∑ijk=i0

wk ,j

.


Einführung

Merz-Wüthrich (2015)I Schätzformeln hergeleitet im Rahmen eines Bayes-CL Modells

I Bayes-CL und verteilungsfreies CL-Modell von Mack sind zwei Paar verschiedeneSchuhe

I => Frage: Formeln auch "richtig" für das Mack Modell ?

Inhalt dieses VortragsI leiten die Schätzformeln für die Reserve Unsicherheiten strikt innerhalb desverteilungsfreien CL-Modells von Mack her.

I Nebenschauplatz: Neubetrachtung der Diskussionen in 2006, wie der "Schätzfehler" imMack-Modell geschätzt werden soll.

HaupresultateI die erhaltenen Schätzer für die einjährigen Reserveunsicherheiten sind verschieden vonden Merz-Wüthrich Formeln

I zu den Merz-Wüthrich Formeln äquivalente Schätzer werden erhalten durch eineTaylor-Approximation

I für das Total über alle Schadenjahre sind diese äquivalenten Schätzer viel einfacher alsdie Merz-Wüthrich Formeln


Einführung

HaupresultateI wir können "hinter die Formeln" sehen; Formeln werden intuitiv verständlich undzugänglich

I Nebenschauplatz: Diskussionen in 2006 um den estimation errorResultat: Mack hatte recht (Mack-Schätzformel passend zu Mack-Modell)

MathematikI einfach und leicht verständlich

Bayes-Modell versus klassisches ModellI klassisches Modell

F fj unbekannte KonstanteF msep abhängig von den fjF um einen Schätzer zu �nden, müssen die dort auftretenden fj ersetzt werden durchSchätzwerte

F unser Vorgehen: Verwendung eines natürlichen Schätzprinizips


Einführung

Bayes-Modell versus klassisches ModellI Bayes Modell

F Vektor f der "wahren" CL-Faktoren ist Realisation eines ZV-Vektors FF msep genau de�niert und nur abhängig von DIF Schätzung des msep für das verteilungsfreie Modell in Merz-Wüthrich:Gamma-Gamma Bayes CL-Modell, nicht informativer Prior, Vernachlässigung von Termenzweiter Ordnung

I wesentlicher Punktmsep ist im klassischen Modell immer endlich, im Bayes Modell kann er ∞ werden=> zeigt deutlich, dass Mack-Modell und Bayes-Modell fundamental unterschiedlichsind.

I Paper von Ancus RöhrF Herleitungen im Rahmen des klassischen ModellsF betrachtet nicht msep, sondern approximiert msep mit Taylor-Entwicklunge erster Ordnungsomit weniger stringent als unser Ansatz


Einführung

Abwicklungsdreieck

j 0 j j i J

i 0

i

i j

I

claims development triangle

development year

acci

dent

yea

r

Ci,j : already observed(realisations of r.v.)

Ci,j : not yet observed(r.v. to be predicted)

I NotationenF Diagonal-Funktionen

ji := maxfj so dass Ci ,j 2 DI g,ij := maxfi so dass Ci ,j 2 DI g.

F Daten bis und mit Abwicklungsjahr j

Bj := fCi ,k : Ci ,k 2 DI , k � jg.... beobachtete Daten bis und mit Abwicklungsjahr j (zur Zeit I )


Chain Ladder

Chain Ladder MethodeI Grundidee hinter CL:

F Spalten bis auf Zufallsschwankung proportional zueinander:d.h. es existieren Konstanten fj , j = j0 , . . . , J � 1 (CL Faktoren), so dass Ci ,j+1 � fj � Ci ,j

I CL algorithm

bf CLj =∑ij�1i=i0

Ci ,j+1

∑ij�1i=i0

Ci ,j; bC CLi ,J = Ci ,ji ∏J�1

j=jibf CLj ;

indidviduelle CL-Faktoren (ZV): Fi ,j :=Ci ,j+1Ci ,j

; bf CLj = ∑ij�1i=i0

wi ,jw�,j

Fi ,j , wi ,j = Ci ,j


Chain Ladder

numerisches Beispielkumulierte Zahlungen , CL-Vorhersagen und CL-Reserven in CHF 1�000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Reserves1984 1'324 2'230 2'373 2'465 2'505 2'559 2'593 2'683 2'755 2'849 2'968 2'999 3'096 3'333 3'420 3'532 3'678 3'724 3'797 3'875 3'9661985 1'430 2'796 3'042 3'136 3'231 3'400 3'526 3'582 3'872 3'905 3'966 4'064 4'388 4'586 4'914 5'394 5'495 5'597 5'719 5'824 6'0031986 1'612 2'970 3'244 3'352 3'412 3'469 3'568 3'618 3'659 3'680 3'698 3'729 3'751 3'787 3'793 3'799 3'815 3'824 3'837 3'851 3'8581987 2'075 3'458 3'724 3'820 3'864 3'938 3'974 3'997 4'017 4'048 4'059 4'100 4'120 4'127 4'144 4'157 4'201 4'222 4'233 4'246 4'2531988 2'673 4'457 4'866 4'960 5'055 5'087 5'135 5'171 5'258 5'407 5'431 5'451 5'465 5'485 5'497 5'507 5'519 5'541 5'568 5'582 5'6041989 2'918 4'730 5'138 5'302 5'359 5'437 5'501 5'550 5'569 5'600 5'605 5'608 5'610 5'653 5'672 5'703 5'742 5'771 5'776 5'794 5'8041990 3'052 4'900 5'371 5'600 5'734 5'812 5'865 5'932 5'980 6'058 6'118 6'141 6'217 6'264 6'309 6'354 6'391 6'408 6'429 6'447 6'5011991 2'649 4'340 4'805 4'995 5'097 5'163 5'315 5'375 5'500 5'586 5'635 5'697 5'731 5'758 5'804 5'834 5'859 5'880 5'893 5'900 5'961 611992 2'779 4'834 5'283 5'498 5'629 5'670 5'738 5'808 5'835 5'935 6'028 6'059 6'092 6'111 6'143 6'169 6'186 6'200 6'216 6'256 6'321 1051993 2'492 4'344 4'782 4'968 5'033 5'107 5'191 5'230 5'266 5'349 5'388 5'399 5'431 5'459 5'466 5'471 5'475 5'477 5'512 5'548 5'605 1281994 3'026 5'403 5'820 6'063 6'137 6'197 6'254 6'512 6'610 6'750 6'851 6'910 6'977 7'059 7'156 7'217 7'263 7'302 7'348 7'396 7'473 2101995 4'154 7'574 8'418 8'836 9'099 9'276 9'440 9'591 9'825 10'038 10'187 10'361 10'479 10'564 10'647 10'776 10'865 10'923 10'993 11'065 11'179 4031996 3'490 6'266 7'052 7'375 7'505 7'646 7'746 7'809 7'860 7'894 7'922 7'947 7'976 8'046 8'110 8'221 8'289 8'334 8'387 8'442 8'529 4191997 3'557 7'089 7'812 8'065 8'303 8'445 8'542 8'616 8'697 8'744 8'816 8'874 8'946 9'008 9'108 9'233 9'309 9'359 9'419 9'481 9'579 5701998 4'742 8'819 9'821 10'355 10'662 11'000 11'288 11'509 11'650 11'771 11'890 11'983 12'087 12'225 12'361 12'530 12'633 12'701 12'783 12'866 12'999 9121999 6'508 11'826 13'199 13'889 14'277 14'574 14'855 15'140 15'332 15'469 15'628 15'758 15'930 16'112 16'291 16'514 16'650 16'740 16'847 16'956 17'132 1'3742000 6'708 13'382 15'155 15'797 16'130 16'389 16'658 16'865 17'040 17'205 17'321 17'461 17'652 17'853 18'051 18'299 18'450 18'549 18'668 18'789 18'983 1'6622001 6'283 11'983 13'552 14'280 14'625 14'956 15'180 15'281 15'364 15'474 15'624 15'750 15'922 16'104 16'283 16'506 16'642 16'732 16'839 16'948 17'123 1'6492002 6'297 12'810 14'166 14'883 15'326 15'568 15'731 15'973 16'062 16'253 16'411 16'543 16'724 16'915 17'103 17'337 17'480 17'574 17'687 17'802 17'986 1'9242003 6'369 12'594 14'450 15'191 15'561 15'902 16'050 16'186 16'386 16'581 16'742 16'878 17'062 17'257 17'448 17'687 17'833 17'929 18'044 18'161 18'349 2'1632004 7'735 15'339 17'274 18'177 18'783 19'247 19'584 19'850 20'096 20'335 20'532 20'698 20'925 21'163 21'398 21'691 21'870 21'988 22'129 22'272 22'503 2'9182005 9'022 17'415 19'896 21'148 22'027 22'522 22'874 23'184 23'471 23'751 23'981 24'175 24'439 24'718 24'992 25'335 25'544 25'681 25'846 26'014 26'283 3'7612006 10'311 21'215 24'530 26'123 27'200 27'736 28'170 28'551 28'905 29'250 29'533 29'772 30'098 30'441 30'778 31'201 31'458 31'627 31'829 32'036 32'368 5'1682007 10'945 21'346 23'646 24'651 25'341 25'841 26'245 26'600 26'930 27'251 27'515 27'738 28'041 28'361 28'675 29'069 29'308 29'466 29'654 29'847 30'156 5'5052008 12'073 22'274 25'170 26'390 27'129 27'664 28'096 28'477 28'830 29'173 29'456 29'694 30'019 30'361 30'698 31'119 31'376 31'544 31'746 31'953 32'283 7'1132009 10'667 21'295 23'857 25'013 25'714 26'221 26'631 26'991 27'326 27'652 27'920 28'145 28'453 28'778 29'097 29'496 29'739 29'899 30'090 30'286 30'599 9'3042010 12'385 23'476 26'299 27'574 28'346 28'905 29'357 29'755 30'123 30'483 30'778 31'027 31'366 31'724 32'076 32'516 32'784 32'960 33'171 33'387 33'732 21'347

Total 66'697

fjCL 1.896 1.120 1.048 1.028 1.020 1.016 1.014 1.012 1.012 1.010 1.008 1.011 1.011 1.011 1.014 1.008 1.005 1.006 1.007 1.010

wie zuverlässig sind diese Reserve-Schätzungen ?unmöglich, aus diesem ergänzten Dreieck ein "Gefühl" für die Schätzunsicherheit zuentwickeln.


Chain Ladder

Dreieck der beobachteten individuellen CL-Faktoren Fi ,j = Ci ,j+1/Ci ,j

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 191984 1.684 1.064 1.039 1.016 1.022 1.013 1.034 1.027 1.034 1.042 1.010 1.032 1.077 1.026 1.033 1.041 1.013 1.020 1.021 1.0231985 1.955 1.088 1.031 1.030 1.052 1.037 1.016 1.081 1.008 1.016 1.025 1.080 1.045 1.072 1.098 1.019 1.018 1.022 1.018 1.0311986 1.842 1.092 1.033 1.018 1.017 1.028 1.014 1.011 1.006 1.005 1.008 1.006 1.010 1.002 1.002 1.004 1.002 1.003 1.004 1.0021987 1.666 1.077 1.026 1.011 1.019 1.009 1.006 1.005 1.008 1.003 1.010 1.005 1.002 1.004 1.003 1.011 1.005 1.003 1.003 1.0021988 1.668 1.092 1.019 1.019 1.006 1.010 1.007 1.017 1.028 1.004 1.004 1.003 1.004 1.002 1.002 1.002 1.004 1.005 1.003 1.0041989 1.621 1.086 1.032 1.011 1.015 1.012 1.009 1.003 1.006 1.001 1.001 1.000 1.008 1.003 1.005 1.007 1.005 1.001 1.003 1.0021990 1.605 1.096 1.043 1.024 1.013 1.009 1.011 1.008 1.013 1.010 1.004 1.012 1.007 1.007 1.007 1.006 1.003 1.003 1.003 1.0081991 1.638 1.107 1.039 1.021 1.013 1.029 1.011 1.023 1.016 1.009 1.011 1.006 1.005 1.008 1.005 1.004 1.004 1.002 1.0011992 1.740 1.093 1.041 1.024 1.007 1.012 1.012 1.005 1.017 1.016 1.005 1.005 1.003 1.005 1.004 1.003 1.002 1.0031993 1.743 1.101 1.039 1.013 1.015 1.016 1.007 1.007 1.016 1.007 1.002 1.006 1.005 1.001 1.001 1.001 1.0001994 1.786 1.077 1.042 1.012 1.010 1.009 1.041 1.015 1.021 1.015 1.009 1.010 1.012 1.014 1.009 1.0061995 1.823 1.111 1.050 1.030 1.019 1.018 1.016 1.024 1.022 1.015 1.017 1.011 1.008 1.008 1.0121996 1.796 1.125 1.046 1.018 1.019 1.013 1.008 1.006 1.004 1.003 1.003 1.004 1.009 1.0081997 1.993 1.102 1.032 1.030 1.017 1.011 1.009 1.009 1.005 1.008 1.007 1.008 1.0071998 1.860 1.114 1.054 1.030 1.032 1.026 1.020 1.012 1.010 1.010 1.008 1.0091999 1.817 1.116 1.052 1.028 1.021 1.019 1.019 1.013 1.009 1.010 1.0082000 1.995 1.133 1.042 1.021 1.016 1.016 1.012 1.010 1.010 1.0072001 1.907 1.131 1.054 1.024 1.023 1.015 1.007 1.005 1.0072002 2.034 1.106 1.051 1.030 1.016 1.010 1.015 1.0062003 1.977 1.147 1.051 1.024 1.022 1.009 1.0082004 1.983 1.126 1.052 1.033 1.025 1.0182005 1.930 1.142 1.063 1.042 1.0222006 2.057 1.156 1.065 1.0412007 1.950 1.108 1.0432008 1.845 1.1302009 1.996

fjCL 1.896 1.120 1.048 1.028 1.020 1.016 1.014 1.012 1.012 1.010 1.008 1.011 1.011 1.011 1.014 1.008 1.005 1.006 1.007 1.010

kann intuitiv die Schwankungsbreite der zukünftigen Fi ,j abschätzen


Chain Ladder

Modell Annahmen (Mack,1993) (ausgedrückt in den Fi ,j )

M1 Fi ,j , die zu verschiedenen Schadenjahren gehören, sind unabhängigM2 Es existieren Konstanten fj > 0 und σ2j > 0 so dass

E [Fi ,j jCi ,0,Ci ,1 . . . ,Ci ,j ,Ci ,j ] = fj ,

Var (Fi ,j jCi ,0,Ci ,1 . . . ,Ci ,j ) =σ2jwi ,j

, wobei wi ,j = Ci ,j .

Gesamtabwicklungsrisiko

Z ulti = Ci ,J � bC CLi ,J = wi ,ji J�1∏j=ji

Fi ,j �J�1∏j=ji

bf CLj!.

Die Reserve-Unsicherheiten stammen ausschliesslich von den Zufallsschwankungen derzukünftigen Fi ,j und von den Unsicherheiten in den bf CLj .

(die Bebachtungen Ci ,j 2 DI spielen lediglich die Rolle von Volumenmassen)


Teleskop-Formel und Schätzprinzip

Teleskop-FormelFür jegliche reelle Zahlen xj und yj , j = 1, 2, . . . , J , gilt

∏Ji=1 xi �∏J

i=1 yi = ∑Jj=1

�∏j�1

k=1 xk� �xj � yj

� �∏I

m=i+1 ym�.

Beispiel: x1x2x3 � y1y2y3 = (x1 � y1) y2y3 + x1 (x2 � y2) y3 + x1x2 (x3 � y3) .

SchätzprinzipI msep hängt ab von den unbekannten CL Faktoren fj

I Schätzprinzip

F ersetze die unbekannten fj durch bf CLj , ausser bei�bf CLj � fj

�2;

F schätze�bf CLj � fj

�2durch bσ2j / ∑

ij�1i=i0

wi ,j

Hintergrund: E� �bf CLj � fj

�2 ��Bj � = σ2j

∑ij�1i=i0

wi ,j.

Variationskoe¢ zienten der Fi ,j und bf CLj(intuitiv zugängliches Mass für Zufallsschwankung der Fi ,j / Unsicherheiten in den bf CLj )

dVko�Fi ,j��Ci ,j � = bσjbf CLj

s1wi ,j

, dVko�bf CLj ��Bj� = bσjbf CLj

s1

∑ij�1i=i0

wi ,j.



GesamtabwicklungsrisikoI De�nition

Z ulti := Ci ,J � bC CLi ,j für Schadenjahr iI Notation

µi ,j := E [Ci ,j j DI ] = wi ,jij�1∏k=ji

fk , j > ji .

I msep

msepZulti

��DI (0) = E� �Z ulti

�2 ��DI � = Eh �Ci ,J � µi ,J

�2 ��DI i| {z }Prozess-Varianz PVi

+�bC CLi ,J � µi ,J

�2| {z }Schätzfehler EEi

.

I Prozess-Varianz

Ci ,J � µi ,J = wi ,ji

�∏J�1

j=jiFi ,j �∏J�1

j=jifj�

= ∑J�1j=ji

Ci ,j (Fi ,j � fj )∏J�1k=j+1 fk .

PVi = µ2i ,J

J�1∑j=ji

σ2jfj

1µi ,j

.

PVtot =I

∑i=iJ+1

PVi =J�1∑j=0

I

∑i=ij

µ2i ,Jσ2jfj

1µi ,j

.



GesamtabwicklungsrisikoI Schätzfehler bC CLi ,J � µi ,J = wi ,ji

�∏J�1

j=jibf CLj �∏J�1

j=jifj�

=J�1∑j=ji

bC CLi ,j �∏J�1k=j+1 fk

� �bf CLj � fj�;

EEi =

J�1∑j=ji


� �bf CLj � fj�!2

;

bC CLtot ,J � µtot ,J =J�1∑j=0

0@ I

∑i=ij


�1A�bf CLj � fj�;

EEtot =

0@J�1∑j=0

0@ I

∑i=ij


�1A�bf CLj � fj�1A2

I Anwendung des Schätzprinzips => Schätzformel für msep



Schätzformel für msep für Total über alle SchadenjahreI Satz

[msepZulttot

��DI (0) =J�1∑j=j0

8><>: bσ2j�bf CLj �20B@ I

∑i=ij

w 2i ,Jwi ,j

+

�∑Ii=ij

wi ,J�2

∑ij�1i=i0

wi ,j

1CA9>=>; (1)

oder in intuitiv zugänglicher Form

[msepZulttot

��DI (0) =J�1∑j=j0

(∑Ii=ij

�wi ,J dVko ( Fi ,j j Bj )

�2+

��∑Ii=ij

wi ,J

� dVko� bf CLj ��Bj��2

).

Ein�uss der Zufallsschwankungen in den Fi ,j und der Schätzunsicherheiten in den bf CLj klarersichtlich

I Mack Formel (zum Vergleich)und in den

[msepZulttot

��DI (0) =I

∑i=iJ+1

w 2i ,J

8><>:J�1∑j=ji

bσ2j�bf CLj �20@ 1wi ,j

+1

∑ij�1i=i0

wi ,j

1A9>=>;

+ 2I

∑i=iJ+1

wi ,J

I

∑k=i+1

wk ,J

!J�1∑j=ji

0B@ bσ2j�bf CLj �2 1

∑ij�1m=i0

wm,j

1CA .



weitere mögliche UmformungI Die Schätzformel

[msepZulttot

��DI (0) =J�1∑j=j0

(∑Ii=ij

�wi ,J dVko ( Fi ,j j DI )

�2+

��∑Ii=ij

wi ,J

� dVko� bf CLj ��Bj��2

)(2)

kann man weiter umformen zu

[msepZulttot

��DI (0) = w 2tot ,J

(J�1∑j=j0

qj�dVko

� bf CLj ��Bj��2), (3)

wobei

qj =∑Ii=ij

wi ,J

wtot ,JI Bemerkungen:

F (3) ist bereits im Paper von Ancus Röhr zu �ndenF obwohl (3) einfacher aussieht, gefällt mir (2) besser, da man dort den Ein�uss der Schätzunsicherheiten in

den Fi ,j und in den bf CLj (3) sieht und die Formel intuitiv verständlich ist. (3) hingegen gibt den Eindruck,

dass der msep nur von den Schätzunsicherheiten in den bf CLj abhängt.



GesamtabwicklungsrisikoI pragmatische Herleitung

F Gesamtabwicklungsrisiko des Jahres i

Z ulti = Ci ,J � bC CLi ,J Teleskop=

J�1∑j=ji

(Ci ,j

�Fi ,j � bf CLj � J�1

∏m=j+1

bf CLm)

=J�1∑j=ji

Ci ,j (Fi ,j � fj )J�1∏

m=j+1

bf CLm| {z }Ai

+J�1∑j=ji

Ci ,j�fj�bf CLj � J�1

∏m=j+1

bf CLm| {z }Bi

.

F msep

Eh �Z ulti

�2 ��DI i = E h (Ai + Bi )2 ��DI i = ?

hässlich, da Summanden korreliert;

heurisitische und pragmatische Überlegungen:- Abwicklungsrisiko bedingt durch ZV Fi ,j und Schätzunsicherheiten in den bf CLm- Ci ,j spielen die Rolle von Gewichten- ersetze die noch "nicht bekannten Gewichte" durch die CL-Vorhersage wi ,j = bC CLi ,j- damit bekommen wir unmittelbar die richtigen Resultate (= Mack-Schätzer)

F werden dieses Vorgehen später nochmals anwenden


Ein-Jahres Abwicklungsrisiko des nächsten Geschäftsjahres

Ein-Jahres AbwicklungsrisikoI wird benötigt für Solvency III Visualisierung

j 0 j i j i +1 J

i 0

i

I

acci

dent

yea

r

claims development triangle at time at time I

development yearj 0 j i j i +1 J

development year

claims development triangle at time at time I+1

I Notationen:

bf CLj , bC CLi ,j CL Faktoren und CL Vorhersagen zur Zeit I ,

DI+k Abw.dreieck verfügbar am Ende des Kalendejahres I + k ,

bf CL(I+k)j , bC CL(I+k)i ,J CL Faktoren und CL Vorhersagen zur Zeit I + k .



ein-Jahres Abwicklungsrisiko

einzelnes Schadenjahr i : Z (I+1)i = bC CL(I+1)i ,J � bC CLi ,J ,Total über alle Schadenjahre: Z (I+1)tot = bC CL(I+1)tot ,J � bC CLtot ,J

Total über alle SchadenjahreI Notationen:bC CLtot ,j := wtot ,j = ∑I

i=i0wi ,j ,

bC CL(I+1)tot ,j := ∑Ii=i0

w (I+1)i ,j , wobei w (I+1)i ,j =

8<:Ci ,j wenn Ci ,j 2 DI+1

bC CL(I+1)i ,j sonst.

I Abwicklungsrisiko

Z (I+1)tot = bC CL(I+1)tot ,j � bC CLtot ,j= wtot ,j0

J�1∏j=j0

bf CL(I+1)j �J�1∏j=j0

bf CLj!.

I Schätzer für msep

bE � �Z (I+1)tot

�2 ��DI � = w 2tot ,j0 bE "J�1∏

j=j0

�bf CL(I+1)j

�2 ��DI#�J�1∏j=j0

�bf CLj �2!.



Total über alle Schadenjahre

I CL-Faktoren bf CL(I+1)j bf CL(I+1)j = bf CLj + aj�Fij ,j � bf CLj �

.

wobei

aj =wij ,j

∑iji=i0

wi ,j.

=> nbf CL(I+1)j0, bf CL(I+1)j0+1

, . . . , f CL(I+1)J�1

osind unabhängig.

=>

Eh bf CL(I+1)j

��DI i = bf CLj + aj�fj � bf CLj �

,

Var� bf CL(I+1)j

��DI � = a2jσ2jiwi ,ji

,

E� �bf CL(I+1)j

�2 ��DI � =�bf CLj + aj

�fj � bf CLj ��2

+ a2jσ2jwi ,ji

=> bE � �bf CL(I+1)j

�2 ��DI � = �bf CLj �2+ bj bσ2j ,

wobei

bj =wij ,j�

∑ij�1i=i0

wi ,j� �

∑iji=i0

wi ,j� .



Total über alle Schadenjahre

I SatzDer msep des Ein-Jahres Abwicklungsrisikos im nächsten Geschäftsjahr für das Total über alleSchadenjahre kann geschätzt werden durch

[msepZ (I+1)tot

��DI (0) = w 2tot ,J8><>:J�1∏j=j0

0B@1+ bj bσ2j�bf CLj �21CA� 1

9>=>; (4)

Interpretation:

bjbσ2j�bf CLj �2 = bE

240@bf CL(I+1)j � bf CLjbf CLj1A2 ��DI

35

I BemerkungenF Die Formel ist verschieden von der Merz-Wüthrich Formel.F Die resultierenden numerischen Schätzwerte sind strikt grösser als in Merz-WüthrichF Die Formel (4) ist sehr einfach und bedeutend einfacher als Merz-Wüthrich.

Wenn man es noch einfacher haben will, so kann man eine Taylor-Entwicklung ersterOrdnung darauf anwenden (siehe nächste Folie)



Total über alle SchadenjahreI Satz ("Taylor approximation")

i) Mit einer Taylor Entwicklung erster Ordnung erhält man (Total über alle Schadenjahre):

[msepZ(I+1)tot

��DI (0) = w2tot ,J

8><>:J�1∑j=j0

bjbσ2j�bf CLj �2

9>=>; (5)

wobei

bj =wij ,j�

∑ij�1i=i0

wi ,j� �

∑iji=i0

wi ,j� .

interpretation

[msepZ(I+1)tot

��DI (0) = w2tot ,J

8<:J�1∑j=j0

bE240@bf CL(I+1)j � bf CLjbf CLj

1A2 ��DI359=;

ii) Die Formel (5) ist äquivalent zu Merz-Wüthrich

I BemerkungenF Die Äquivalenz mit der Merz-Wüthrich Formel habe ich noch nicht formal bewiesen. Doch die damit

erhaltenen numerischen Resultate waren jeweils dieselben. Das kann kein Zufall sein.F In den meisten praktischen Anwendungen liefern (5) und (4) die "fast identische numerische" Resultate. Die

Unterschiede sind meistens derart klein, dass sie für praktische Zwecke vernachlässigbar sind.F Die Formel (5) ist bedeutend einfacher als diejenige von Merz-Wüthrich (siehe nächste Folie).



Vergleich mit Merz-Wüthrich FormelI neue Formel (5) aus vorheriger Folie, Total über alle Schadenjahre :

[msepCDR (I+1)tot

��DI (0) = w 2tot ,J8><>:J�1∑j=j0

bjbσ2j�bf CLj �2

9>=>;wobei

bj =wij ,j�

∑ij�1i=i0

wi ,j� �

∑iji=i0

wi ,j� .

I Merz Wüthrich Formel, Total über alle Schadenjahre

[msepZ (I+1)tot ,J

��DI (0) =I

∑i=iJ+1

w 2i ,J

8><>:bσ2ji�bf CLj �2

0@ 1

wi ,ji+

1

∑i�1k=i0wk ,ji

1A+ J�1∑

j=ji+1


(I )j

1

∑ij�1k=i0

wk ,j

1CA9>=>;

+ 2I

∑i=iJ+1

wi ,J

I

∑m=i+1

wm,J

!0B@ bσ2j�bf CLj �2 1

∑i�1k=i0wk ,ji

+J�1∑

j=ji+1

bσ2j�bf CL(I )j

�2 α(I )j

1

∑ij�1k=i0

wk ,j

1CA ,wobei

α(I )j =

wij ,j

∑ijk=0 wk ,j


Ein-Jahres Abwicklungsrisiko in zukünftigen Geschäftsjahren

Ein-Jahres Abwicklungsergebnis in zukünftigen GeschäftsjahrenI relevant in Solvency II für marktnahe Bewertung Schadenrückst (market value margin)I Visualisierung

j 0 j i j J

i 0

i

I

I I+k I+Jaccounting year

acci

dent

yea

r

development year

I Ein-Jahres Abwicklungsrisiko in den Geschäftsjahren I + k + 1, k = 0, . . . , J � j0 � 1

Z (I+k+1)i = bC CL(I+k+1)i ,J � bC CL(I+k )i ,J ,

Z (I+k)tot = bC CL(I+k+1)tot ,J � bC CL(I+k )tot ,J .



msepI

msepZ (I+k+1)tot

��DI (0) = E� �Z (I+k+1)tot

�2 ��DI �= E

�E� �Z (I+k+1)tot

�2 ��DI+k ��DI � .I

bE � �Z (I+k+1)tot

�2 ��DI+k � = �w (I+k)tot ,J

�2 8><>:J�1∏j=j0

0B@1+ b(I+k )j

bσ2j�bf CL(I+k)j

�21CA� 1

9>=>; , (6)

wobei

w (I+k)i ,j =

8<:Ci ,j wenn Ci ,j 2 DI+k

bC CL(I+k )i ,j sonst,

b(I+k)j =w (I+k)ij+k ,j�

∑ij+k�1i=i0

w (I+k)i ,j

� �∑ij+ki=i0

w (I+k)i ,j

� ,

bf CL(I+k)j =

ij+k�1

∑i=i0

w (I+k )i ,j

w (I+k)�,jFi ,j , wobei w (I+k )�,j =

ij+k�1

∑i=i0

w (I+k)i ,j .



SchätzformelI ersetze die noch nicht bekanneten Gewichte w (I+k )i ,j in (6) durch die CL-Vorhersagenzur Zeit I .

I SatzDer msep des Ein-Jahres Abwicklungsrisikos in zukünftigen Jahren für das Total über alleSchadenjahre kann geschätzt werden durch

[msepZ (I+k+1)tot

��DI (0) = w 2tot ,J8><>:

J�1∏

j=ji+k

0B@1+ bb(I+k)j

bσ2j�bf CLj �21CA� 1

9>=>; . (7)

wobei bb(I+k)j =wij+k ,j�

∑ij+k�1i=i0

wi ,j� �

∑ij+ki=i0

wi ,j� .

I Interpretation

bb(I+k)j

bσ2j�bf CLj �2 = bE240@bf CL(I+k+1)j � bf CL(I+k)jbf CL(I+k)j

1A2 ��DI+k35 .

I Bemerkung:Die Formel (7) ist sehr einfach mit einer intuitiv zugänglichen Interpreation.

Wenn man es noch einfacher haben will, so kann man wiederum eine Taylor-Approximation ersterOrdnung darauf vornehmen.



Satz ("Taylor Approximation")

i) Mit einer Taylor Entwicklung erster Ordnung erhält man (Total über alle Schadenjahre):

[msepZ (I+k+1)tot

��DI (0) = w 2tot ,J8><>:

J�1∑

j=j0+k

bb(I+k)j

bσ2j�bf CLj �29>=>; (8)

ii) (8) ist äquivalent zur nachfolgenden Merz-Wüthrich Formel.

Merz-Wüthrich Formel

[msepZ(I+k+1)tot

��DI (0) =I

∑i=iJ+k+1

8><>:w 2i ,Jbσ2ji+k�bf CLji+k �2

0@ 1wi ,ji+k

+k

∏m=1

�1� α

(I )ji+m

� 1

∑i�k�1n=i0wn,ji+k

1A9>=>;

+I

∑i=iJ+k+1

8><>:w 2i ,JJ�1∑

j=ji+k+1


(I )j�k

k�1∏m=0

�1� α

(I )j�m

� 1

∑ij�1n=i0

wn,j

1CA9>=>;

+2I

∑i=iJ+k+1

I

∑m=i+1

wi ,J wm,Jbσ2ji+k�bf CLji+k �2

k

∏n=1

�1� α

(I )ji+n

� 1

∑i�k�1l=i0wl ,ji+k

+2I

∑i=iJ+k+1

I

∑m=i+1

wi ,J wm,JJ�1∑

j=ji+k+1


(I )j�k

k�1∏n=0

�1� α

(I )j�n

� 1

∑ij�1l=i0

wl ,j

1CA ,wobei α

(I )j = wij ,j/ ∑

ijk=i0

wk ,j .


Zusammenfassung

ZusammenfassungI Die zum klassischen Modell von Mack "passenden" Formeln zur Schätzung des msepder Ein-Jahre Abwicklungsrisiken sind verschieden von den Merz-Wüthrich Formel.

I Zu Merz Wüthrich äquivalente Formeln werden daraus durch eineTaylor-Approximation erhalten. Die Taylor-Approximation ist in den meistenpraktischen Fällen so gut, dass die Unterschiede in den numerischen Resultatenvernachlässigbar sind.

I Die Merz-Wüthrich Formeln kann man dennoch vergessen, da sie in einer vieleinfacheren Form geschrieben werden können.

I Wir können hinter die Formeln sehen, da diese eine einfache und intuitiv zugänglicheInterpration haben.

I Und das alles konnte in einer einfachen und leicht nachvollziebaren Weise hergeleitetwerden.


Schätzung des Schätzfehlers im Mack ModellSchätzfehler (für Schadenjahr i)

EEi :=�bC CLi ,j � µi ,J

�2, wobei µi ,J = E [Ci ,J j Bj ] ,

Mack-Schätzer

dEEMacki = w 2i ,J

0B@J�1∑j=ji

bσ2j�bf CLj �2 1

∑ij�1i=i0

wi ,j

1CADiskussionen in 2006

I BBMW-SchätzerBuchwalder, M., H. Bühlmann, M. Merz and M.V. Wüthrich (2006). The msep in the CL reserving method (Mack and Murphy revisited)

cEE BBMWi = w 2i ,ji

0@J�1∏j=ji

0@�bf CLj �2+

bσ2j∑ij�1i=i0

wi ,j

1A� J�1∏j=ji

�bf CLj �21AI Diskussionen zwischen "München" und "Zürich"

F Mack, T., Quarg, G., Braun, C. (2006). The msep in the CL reserving method - a comment.

Buchwalder, M., H. Bühlmann, M. Merz and M.V. Wüthrich (2006). The msep in the CL reserving method - Final Remark

Frage, welcher der beiden Schätzer vorzuziehen ist, bleibt unbeantwortet

I Bayes-Betrachtung

F Gisler A. (2006). The estimation error in the chain-ladder reserving method: a Bayesian approach

Resultate:

Normal-Normal Modell, nicht informativer prior => BBMW Schätzformel

Gamma-Gamma Modell, nicht informativer prior => BBMW Schätzformel, wenn die ersten beiden Momente der a posteriori

Verteilung existieren


Schätzung des Schätzfehlers im Mack Modell

NeubeurteilungI Schätzfehler nach Anwendung der Teleskop-Formel

EEi =

J�1∑j=ji

bC CLi ,j �bf CLj � fj� �

∏J�1k=j+1 fk

�!2. (9)

I Schätzung von EEi , "klassisches" VorgehenF bf CLj sind Realisationen von ZV bF CLj = ∑

ij�1i=i0

wi ,jw�,j

Fi ,j

(mit bekannten Gewichten wi ,j = Ci ,j 2 DI )

F Betrachten die ZV fEE i = J�1∑j=ji

bC CLi ,j �bF CLj � fj� �

∏J�1k=j+1

fk�!2

(10)

FnbF CLj : j = 0, . . . , J � 1

osind unkorreliert

F

EhfEE i i = J�1

∑j=ji

�bC CLi ,j �2 �∏J�1k=j+1

fk�2 σ2j

∑ij�1i=i0

wi ,jF Schätzung von EEi

cEE i = �bC CLi ,J �20B@J�1

∑j=ji

bσ2j�bf CLj �2 1

∑ij�1i=i0

wi ,j

1CA = Mack-Formel


Schätzung des Schätzfehlers im Mack Modell

NeubeurteilungI Schätzung von EEi , "Vorgehen" in BBMW

F BBMW Vorgehenübeträgt man dieses auf (9) , d.h. die Formel des EEi nach Anwendung der Teleskop-Formel,so betrachten BBMW die ZV

fEE �i = J�1∑j=ji

eCi ,j �bF CLj � fj� �

∏J�1k=j+1

fk�!2

, wobei eCi ,j = wi ,jj ∏j�1k=ji

bF CLk . (11)

F Die zum Zeitpunkt I bekannten Grössen bC CLi ,j in (10) werden in (11) ersetzt durch ZV eCi ,j .Das macht bei der bedingten Betrachtungsweise m.E. keinen Sinn.

I Schlussfolgerung:

F Der Mack-Schätzer ist der zum Mack-Modell passende Schätzernicht aber der BBMW-Schätzer.

F Der BBMW Schätzer ist der zum Bayes-CL Modell passende Schätzerresultierender Schätzer bei einem nicht informativen Prior, wenn die ersten beiden Momente der aposteri Verteilung existieren;

(siehe Gisler (2006), Merz-Wüthrich (2015))


numerisches Beispiel

Abwicklungsdreieck und CL-Vorhersagenkumulierte Zahlungen, Kollektiv-Unfall, Heilungskosten, in CHF 10000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Reserves1984 1'324 2'230 2'373 2'465 2'505 2'559 2'593 2'683 2'755 2'849 2'968 2'999 3'096 3'333 3'420 3'532 3'678 3'724 3'797 3'875 3'9661985 1'430 2'796 3'042 3'136 3'231 3'400 3'526 3'582 3'872 3'905 3'966 4'064 4'388 4'586 4'914 5'394 5'495 5'597 5'719 5'824 6'0031986 1'612 2'970 3'244 3'352 3'412 3'469 3'568 3'618 3'659 3'680 3'698 3'729 3'751 3'787 3'793 3'799 3'815 3'824 3'837 3'851 3'8581987 2'075 3'458 3'724 3'820 3'864 3'938 3'974 3'997 4'017 4'048 4'059 4'100 4'120 4'127 4'144 4'157 4'201 4'222 4'233 4'246 4'2531988 2'673 4'457 4'866 4'960 5'055 5'087 5'135 5'171 5'258 5'407 5'431 5'451 5'465 5'485 5'497 5'507 5'519 5'541 5'568 5'582 5'6041989 2'918 4'730 5'138 5'302 5'359 5'437 5'501 5'550 5'569 5'600 5'605 5'608 5'610 5'653 5'672 5'703 5'742 5'771 5'776 5'794 5'8041990 3'052 4'900 5'371 5'600 5'734 5'812 5'865 5'932 5'980 6'058 6'118 6'141 6'217 6'264 6'309 6'354 6'391 6'408 6'429 6'447 6'5011991 2'649 4'340 4'805 4'995 5'097 5'163 5'315 5'375 5'500 5'586 5'635 5'697 5'731 5'758 5'804 5'834 5'859 5'880 5'893 5'900 5'961 611992 2'779 4'834 5'283 5'498 5'629 5'670 5'738 5'808 5'835 5'935 6'028 6'059 6'092 6'111 6'143 6'169 6'186 6'200 6'216 6'256 6'321 1051993 2'492 4'344 4'782 4'968 5'033 5'107 5'191 5'230 5'266 5'349 5'388 5'399 5'431 5'459 5'466 5'471 5'475 5'477 5'512 5'548 5'605 1281994 3'026 5'403 5'820 6'063 6'137 6'197 6'254 6'512 6'610 6'750 6'851 6'910 6'977 7'059 7'156 7'217 7'263 7'302 7'348 7'396 7'473 2101995 4'154 7'574 8'418 8'836 9'099 9'276 9'440 9'591 9'825 10'038 10'187 10'361 10'479 10'564 10'647 10'776 10'865 10'923 10'993 11'065 11'179 4031996 3'490 6'266 7'052 7'375 7'505 7'646 7'746 7'809 7'860 7'894 7'922 7'947 7'976 8'046 8'110 8'221 8'289 8'334 8'387 8'442 8'529 4191997 3'557 7'089 7'812 8'065 8'303 8'445 8'542 8'616 8'697 8'744 8'816 8'874 8'946 9'008 9'108 9'233 9'309 9'359 9'419 9'481 9'579 5701998 4'742 8'819 9'821 10'355 10'662 11'000 11'288 11'509 11'650 11'771 11'890 11'983 12'087 12'225 12'361 12'530 12'633 12'701 12'783 12'866 12'999 9121999 6'508 11'826 13'199 13'889 14'277 14'574 14'855 15'140 15'332 15'469 15'628 15'758 15'930 16'112 16'291 16'514 16'650 16'740 16'847 16'956 17'132 1'3742000 6'708 13'382 15'155 15'797 16'130 16'389 16'658 16'865 17'040 17'205 17'321 17'461 17'652 17'853 18'051 18'299 18'450 18'549 18'668 18'789 18'983 1'6622001 6'283 11'983 13'552 14'280 14'625 14'956 15'180 15'281 15'364 15'474 15'624 15'750 15'922 16'104 16'283 16'506 16'642 16'732 16'839 16'948 17'123 1'6492002 6'297 12'810 14'166 14'883 15'326 15'568 15'731 15'973 16'062 16'253 16'411 16'543 16'724 16'915 17'103 17'337 17'480 17'574 17'687 17'802 17'986 1'9242003 6'369 12'594 14'450 15'191 15'561 15'902 16'050 16'186 16'386 16'581 16'742 16'878 17'062 17'257 17'448 17'687 17'833 17'929 18'044 18'161 18'349 2'1632004 7'735 15'339 17'274 18'177 18'783 19'247 19'584 19'850 20'096 20'335 20'532 20'698 20'925 21'163 21'398 21'691 21'870 21'988 22'129 22'272 22'503 2'9182005 9'022 17'415 19'896 21'148 22'027 22'522 22'874 23'184 23'471 23'751 23'981 24'175 24'439 24'718 24'992 25'335 25'544 25'681 25'846 26'014 26'283 3'7612006 10'311 21'215 24'530 26'123 27'200 27'736 28'170 28'551 28'905 29'250 29'533 29'772 30'098 30'441 30'778 31'201 31'458 31'627 31'829 32'036 32'368 5'1682007 10'945 21'346 23'646 24'651 25'341 25'841 26'245 26'600 26'930 27'251 27'515 27'738 28'041 28'361 28'675 29'069 29'308 29'466 29'654 29'847 30'156 5'5052008 12'073 22'274 25'170 26'390 27'129 27'664 28'096 28'477 28'830 29'173 29'456 29'694 30'019 30'361 30'698 31'119 31'376 31'544 31'746 31'953 32'283 7'1132009 10'667 21'295 23'857 25'013 25'714 26'221 26'631 26'991 27'326 27'652 27'920 28'145 28'453 28'778 29'097 29'496 29'739 29'899 30'090 30'286 30'599 9'3042010 12'385 23'476 26'299 27'574 28'346 28'905 29'357 29'755 30'123 30'483 30'778 31'027 31'366 31'724 32'076 32'516 32'784 32'960 33'171 33'387 33'732 21'347

Total 66'697

fjCL 1.896 1.120 1.048 1.028 1.020 1.016 1.014 1.012 1.012 1.010 1.008 1.011 1.011 1.011 1.014 1.008 1.005 1.006 1.007 1.010



Reservesmsep1/2 in % reserves

in % reservesexact Taylor appr

1991 61 71 116% 70.74 70.74 116%1992 105 87 82% 47.58 47.58 45%1993 128 92 72% 45.87 45.87 36%1994 210 115 55% 40.51 40.51 19%1995 403 169 42% 88.48 88.48 22%1996 419 238 57% 190.98 190.98 46%1997 570 289 51% 139.94 139.94 25%1998 912 378 41% 163.51 163.51 18%1999 1'374 482 35% 198.78 198.78 14%2000 1'662 517 31% 106.76 106.76 6%2001 1'649 493 30% 110.51 110.51 7%2002 1'924 516 27% 120.35 120.35 6%2003 2'163 549 25% 187.36 187.36 9%2004 2'918 632 22% 155.02 155.02 5%2005 3'761 703 19% 160.31 160.31 4%2006 5'168 814 16% 201.54 201.54 4%2007 5'505 798 14% 224.48 224.48 4%2008 7'113 862 12% 265.29 265.29 4%2009 9'304 930 10% 437.82 437.81 5%2010 21'347 1'795 8% 1'507.37 1'507.36 7%Total 66'697 5'033 8% 2'435.88 2'435.86 4%

Table 2

acci

dent

yea

r

ultimate runoff one year runoff

msep1/2next accounting year



in 1'000 dev. patterndev.pattern

"exact" Taylor appr.

2011 66'697 100% 2'435.88 2'435.86 100%2'012 48'513 73% 1'801.67 1'801.67 74%2'013 40'919 61% 1'661.06 1'661.05 68%2'014 35'786 54% 1'564.28 1'564.27 64%2'015 31'614 47% 1'426.15 1'426.14 59%2'016 27'960 42% 1'250.72 1'250.71 51%2'017 24'694 37% 1'163.14 1'163.14 48%2'018 21'662 32% 1'099.81 1'099.81 45%2'019 18'791 28% 1'027.23 1'027.23 42%2'020 16'067 24% 953.60 953.60 39%2'021 13'531 20% 874.67 874.67 36%2'022 11'164 17% 788.65 788.65 32%2'023 8'933 13% 692.48 692.48 28%2'024 6'930 10% 602.20 602.20 25%2'025 5'164 7.7% 518.85 518.85 21%2'026 3'648 5.5% 341.16 341.16 14%2'027 2'494 3.7% 274.70 274.70 11%2'028 1'611 2.4% 244.81 244.81 10%2'029 874 1.3% 198.87 198.87 8%2'030 345 0.5% 162.87 162.87 7%

sum 1year msep 25'326'904ultimate msep 25'326'904

ingoing Reserves one year runoff

development pattern reserves and mseptotal over all accident years

msep1/2

Table 3ac

coun

ting

yea

r

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

dev. Pattern ingoing reservs dev. pattern msep


Literatur:

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