TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENEVorlesung am 5. Mai 2006

Thomas Schörner-Sadenius

Universität Hamburg, IExpPhSommersemester 2006

TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II 5.5.2006 - 2

ÜBERBLICK

1. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen2. Feynman-Regeln und –Diagramme3. Lagrange-Formalismus und Eichprinzip4. QED

4.1 Volle Lagrange-Dichte der QED4.2 Höhere Ordnungen und Renormierung4.3 Experimentell: Lamb-Shift, g-2

Einschub: Beschleuniger und Experimente5. Starke Wechselwirkung und QCD

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ANMERKUNGENZur Frage, ob die invariante Theorie (L)

noch das freie Elektron beschreibt:

Antwort: Nein! Aber das ist egal – ein freies Teilchen ist

uninteressant. Wir wollen Prozesse beschreiben (Raten, Wirkungsquerschnitte etc.) – das aber setzt Wechselwirkungen voraus – und damit die Existenz von Photonen.

Die Beschreibung des freien Elektrons bleibt von der Frage der Eichung unberührt.

(In gewisser Umweg mit Dirac etc. nur, um die Form der Spinoren plausibel zu machen!)

Zur Frage, ob das z.B. mit negativer Helizität in HERA einlaufende Elektron nach der “charged current”-Reaktion zu einem linkshändigen Neutrino führt, das kein Eigenzustand der Helizität ist.

Antwort: Das Neutrino ist nach der Wechselwirkung eine Überlagerung aus positiver und negativer Helizität – kein Eigenzustand!(Allerdings ist die Masse des Neutrinos effektiv 0!)

Aqmi

mDiL

)(

)(

0)( mi

e–

W–

e

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WIEDERHOLUNG: LAGRANGE-FORMALISMUSAnalog zur klassischen Mechanik definiert

man (axiomatisch) Lagrange-Dichten. Mithilfe der Euler-Lagrange-Gleichung

leitet man daraus die Bewegungsgleichungen und auch die Feynman-Regeln der Theorie ab.

Beispiel:

Auch im Lagrange-Formalismus kommt man mit dem Postulat der lokalen Eichinvarianz zur Existenz der Eichfelder und zur vorgegebenen Form der Wechselwirkungen.

Lagrange-Dichte der QED:

In lokal eichinvarianten Theorien müssen Eichbosonen masselos sein:

Dieser Ausdruck ist nicht eichinvariant. Da es massive Eichbosonen gibt, muss es eine Lösung geben: Higgs-Mechanismus und “spontan gebrochene” oder “versteckte” Symmetrien!

Man kann eine Eichtransformation durchführen, die die Lorentz-Eichung erhält und zu transversal polarisierten Photonen führt:

0

LL

22

21

21

mLKG

miLDirac

FFAqmiLQED 41)(

jWWMW 2

0

k

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4.1 DIE LAGRANGE-DICHTE DER QEDDie vollständige Lagrange-Dichte der QED

(Elektron, Positron, Photon) lautet:

Dieser Ausdruck ist invariant unter lokalen U(1)-Eichtransformationen (die Phasentrafos exp(iq) bilden die unitäre abelsche Gruppe U(1)).

Noch mal: Nach dem Noether-Theorem impliziert diese Invarianz die Erhaltung eines Stromes, und zwar des Stromes, dessen Ladung q ist!

FFAqmiL41)(

KinetischerTerm derPhotonen

Massen-Term derLeptonen

Wechsel-wirkung,

Kopplung q

KinetischerTerm derLeptonen

1221 UUUU

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4.2 HÖHERE ORDNUNGEN UND RENORMIERUNG

Aus der Diskussion der Feynman-Regeln leiten wir die Formel der nächsten Ordnung ab (“Vakuum-polarisation”):

Effektiv: Modifikation des Propagator-Terms der niedrigsten Ordnung:

Problem: Das Integral divergiert (effektiv nur logarithmisch, nicht wie k3dkk2/k4~k2, wie man erwarten würde)!

Dielektrische Medium Ladung polarisiert: Bei kleineren Abständen mehr von zentraler Ladung sichtbar.

Konzept der “laufenden” Kopplung ist einleuchtend. Aber wie quantifizieren?

Wir nehmen als Beispiel die Elektron-Myon-Streuung:

Bekannt ist die niedrigste Ordnung:

)()(

)()()(

)2(

)()(

24

22224

4

134

4

pupu

mkqmkmkqmkSpkd

pupuqieM

)()()()( 242132 pupu

qg

pupueM

22224

42

422

)()()(

)2(

mkqmkmkqmkSpkdeI

Iqi

qg

qg

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4.2 HÖHERE ORDNUNGEN UND RENORMIERUNG

Da steckt aber immer noch eine Unendlichkeit drin … was tun damit? Idee: Wir saugen sie in der “renormierten” (besser: “reparametrisierten”) Ladung eR auf (e ist die “nackte” Ladung):

Damit wird die Amplitude zu:

Zu beachten: Die letzte Gleichung ist nur korrekt bis Ordnung e4 – man kann also in der Klammer auch e

verwenden. Es gibt keine Unendlichkeiten mehr – es tritt kein M in der Formel auf. Die Verwendung von eR macht Sinn – schliesslich ist eR die Messgröße! Der endliche Term f(q2) hängt von q2 ab! Diese Abhängigkeit kann in die Kopplung absorbiert werden ().

Man kann zeigen:

Um mit der Divergenz um zugehen, wird Cutoff M eingeführt (wird am Ende nach geschickt):

Damit folgt (kleine/grosse q2, q2=-Q2):

… und die Amplitude der Elektron-Myon-Streuung einschliesslich der ersten Korrektur wird:

1

02

2

2

2

2

)1(1ln)1(612

)(

2

dzzzmqzz

xdxeig

qIigI

em

Divergiert!

Endlich, f(q2)!

2

2

ln22 e

M

mm mM

xdx

xdx

ee

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

22

ln12

ln60

ln12)(ln

12)(

qMe

mqe

mMe

qfmMeqI

)()()(ln12

1

)()(

242

2

2

2

2

2132

pupuqfmMe

qg

pupueM

2

2

2

2

ln12

1mMeeeR

)()()(12

1)()( 242

2

2

2132 pupuqfe

qg

pupueM RR

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4.2 HÖHERE ORDNUNGEN UND RENORMIERUNG

(Beachte, dass rechts die nackte Ladung steht!) Auswerten der geometrischen Reihe:

Im Limes grosser q2:

Jetzt stört nur noch die Abhängigkeit von M.

Man kann definieren:

Hier ist die Feinstrukturkonstante =e2/4. Man spricht von der laufenden Kopplungskonstante – was natürlich ein Widerspruch in sich ist ;-) …

Warum wurde dieser Effekt nicht von Coulomb, Milikan, Rutherford beobachtet? Er ist sehr klein: (0)=1/137, (100 GeV)=1/128.

Aber das Spiel geht ja noch weiter:

Jede Loop liefert ein Integral I(q2) – man kann schematisch schreiben:

)(3

)0(1)0()(

)(12

)0(1)0()(

22

22

22

qfq

qfeeqe RRR

...)()()(1)( 232222 qIqIqIeqeR

)(11)( 2

2

qIeqeR

2

2

2

2

2

22 ln

3ln

12)(

qM

qMeqf

2

20

020

2

ln3

1)(1

1)(

MqqI

q

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4.2 HÖHERE ORDNUNGEN UND RENORMIERUNG

Messung der laufenden Kopplung z.B. bei LEP in Bhabha-Streuung (Verbindung zu neuer Übungsaufgabe):

Ausnutzung von Klein-Winkel-Kalorimetern (SiW in OPAL). Da absolute Bestimmung der Kopplung unabhängige Messung der Lumi bräuchte, kann man nur Variation der Kopplung mit t – also mit dem Streuwinkel – messen.

Idee: Berechne Kopplung an einer Referenzskala (zum Beispiel einer bestimmten Masse ) und bilde die Differenz. Ergebnis:

Dieses Ergebnis ist exakt auf 1-Loop-Niveau. Die laufende Kopplung beschreibt, wie die effektive Ladung vom Abstand zweier Ladungen abhängt.

Das Ergebnis ist wie naiv erwartet (charge screening): kleiner Abstand grosses Q2 steigt.grosser Abstand kleines Q2 sinkt.

Man sieht an der Formel, dass der Verlauf der Kopplung mit der Energie (q2) festliegt (Renormierungsgruppengleichung!), dass aber die Normierung experimentell bestimmt werden muss!

2

22

2

2

22

22

ln3

)(1

)(

ln3

)(1

)()(

Qq

q

Zt

dtd

dtd

)1)(1()(

2

0

)0(

Born

Kopplung bei t,Feinstrukturkonst.

Strahlung

/Z-s-Kanal

2cos1

st

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4.2 HÖHERE ORDNUNGEN UND RENORMIERUNG

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4.2 HÖHERE ORDNUNGEN UND RENORMIERUNG

Verschiedene Korrekturen tragen bei zur Berechnung der laufenden Kopplungskonstante:

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4.2 HÖHERE ORDNUNGEN UND RENORMIERUNG

Mit der Ordnung steigt die Anzahl der zu berechnenden Diagramme drastisch an. Das sind Beiträge zur Ordnung 3.

Es gibt aber noch weitere Korrekturen, z.B.:

Mithilfe der Ward-Identität kann man zeigen, dass sich die Effekte dieser Diagramme auf die Kopplung herauskürzen (und zwar Ordnung per Ordnung in der Störungstheorie).

Aber: Die Diagramme haben Einfluss auf die Masse des Elektrons (wird auch renormiert) und auf das magnetische Moment.

Diagramme wie …

… haben endliche Ergebnisse …

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4.3 “g-2”Experimenteller Zugang: Vergleich von Zyklotron-Frequenz des Teilchens im B-Feld …

… und der Larmor-Frequenz der Spin-Präzession im B-Feld:

Zu t=0 seien Spin und Impuls des Teilchens parallel Oszillation des Winkels (t) zwischen Spin und Impuls:

Erinnerung an Pauli-Gleichung (Limes der Dirac-Gleichung im EM-Feld):

Allgemein gilt:

Mit der potentiellen Energie kann man sehen, dass das Elektron den

Lande-Faktor g=2 haben sollte:

Also Vorhersage Dirac: Experiment:

eB

meAei

mi

221 2

BEpot

Sm

e B

2

2 .

2 und

2

Sm

eB

sg B

Lande-Faktor Bohr’schesMagneton

Spin

2g

22

gge

meB

C

2

21 gm

eBL

tmeBgtt CL

22)()(

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4.3 “g-2”

- Einschuss von Pionen in Speicherring mit konstantem B-Feld, das durch NMR an Protonen bestimmt wird. Larmor-Frequenz des Protons:

- Myonen sind polarisiert aufgrund der schwachen Wechselwirkung/P-Verletzung im Pion- Zerfall.

PP

PL m

eBg2

))(cos()(1/0 tEAeN t

Myonen zerfallen in Elektronen und Neutrinos, wobei Elektronen bevorzugt entgegen Spinrichtung des Myons gerichtet sind.- Nachweis des Winkeldifferenz durch Modifikation der Zählrate von Zerfallselektronen ee in Kalorimetern: Überlagerung des Zerfallsspektrums der Myonen mit Oszillation:

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4.3 “g-2”

Anpassung der Erwartung in einem Fit liefert Wert von (g-2)/2:

Erklärung der Abweichung von g=2: Vertex-Korrekturen!

))(cos()(1/0 tEAeN t

010)91165924(2

2

010)8.04.1159652(2

2

9

9

g

g

e

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4.3 LAMB-SHIFTErinnerung: Ladungsrenormierte Amplitude:

Der neue Term entspricht einer WW zwischen Elektron und Target, der zu einer Modifikation des Potentials führt (aufgrund der WW des Elektrons mit der Elektronenwolke um die Ladung Ze):

Dieser Effekt und andere (weitere Ordnungen, Vertex-Korrekturen etc.) modifiziert v.a. nahe am Kern befindliche Orbitale

Lamb-Shift (Aufspaltung von 2s1/2 und 2p1/2)!Gemessen Auf 0.01% extrem genauer Test der Ideen höherer Ordnungen, Renormierung.

Coulomb-Term

I

qi

qg

qg

422

Extra q-2

)(604

)( 22

42

rm

Zer

ZerV RR