Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure
Ulrich Gabbert, Ingo Raecke
ISBN 3-446-22807-1
Leseprobe
Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/3-446-22807-1 sowie im Buchhandel
2.5
Torsion
173
2.5
Torsion
Das Ziel dieses Kapitels ist die Berechnung der Spannungen und Verfor
mungen in
geraden Stäb
en infolge eines Torsionsmomentes
M
t
.
Bei einer Torsionsbeanspruchung werden die Stäbe um ihre Stabachse
z
verdreht.
Abhängig von der Querschnittsgeometrie kann es dabei auch Verformungen
(Verwölbung
en) in Richtun
g der Stabachse geben. Das folgende
Bild
2
.
60
zeigt drei
typische Fälle der Torsionsverformungen in Abhängigkeit von der Querschnitts
-
ge
o
metrie.
z
B
A
A
BMt
Mt
Kreis- und Kreisringquerschnitte:Querschnitte bleiben eben (Punkt Pvor und nach Verformung in der gleichen Ebene; keine Verwölbung)
Allgemeine offene und geschlossene Querschnitte:Querschnitte verwölben sich im Allgemeinen (Punkte Averschieben sich in z-Richtung; Punkte B entgegen der z-Richtung)
z
Mt
Mt
ϕϕ
P ••••
z
verformte (verwölbte)Profilmittellinie
A
B
Verwölbung verhindert
••••
Mt
••••
• •••
b)a) c)
Bild
2
.
60
a) Torsion e
ines Kreisquerschnitts, b) Torsion eines dünnwandigen offenen Querschnitts
c) Torsion eines Rechteckquerschnitts
Der Aufwand zur Berechnung der Spannungen und Verformungen infolge Torsion
s-
beanspruchung hängt wesentlich von der Querschnittsgeometrie des St
abes ab. Wir
beschränken uns nachfolgend auf den einfachsten Fall der in der Praxis häufig
vorkommenden Kreis
-
und Kreisringque
r
schnitte (z. B. Wellen, Achsen, Rohre).
2.5.1
Torsion von Stäben mit Kreis
-
und Kreisringquerschnitten
2.5.1.1
Annahmen und Voraussetzungen
In diesem Kapitel sollen folgende Annahmen und Voraussetzungen gelten:
•
Die Balkenachse (
z
-
Achse) ist gerade und die Querschnittsgeometrie unabhängig
von
z
.
174
2
Festigkeitslehre
•
Es liegt reine Torsionsbeanspruchung vor. Das To
rsionsmoment
M
t
ist konstant
und die Resultierende der in tangentialer Richtung verlaufenden Schubspannu
n-
gen τ
zϕ
= τ (
siehe auch
Bild
2
.
62
).
•
Die
Querschnittsform bleibt bei der Torsion erhalten.
•
Die Querschnitte verdrehen sich wie starre Scheiben gegeneinander und bleiben
eben.
•
Die Torsionsverformung wird durch den Verdrehwinkel
ϕ
beschrieben, der im
gleichen Drehsinn wie das
Torsionsmoment
M
t
am positiven Schnittufer positiv
gezählt wird (siehe
Bild
2
.
61
).
•
Die Verformungen (Verdrehwinkel ϕ
) sind klein.
differentielles Element aus dem Stab links:
Mt
R
r
verformteMantellinie
z
ϕ(z) + dϕ ϕ(z)
dz
ϕ
dzz
r
dϕϕ(z)
ϕ(z) γ
Bild
2
.
61
Verformungen eines auf Tor
sion beanspruchten Kreisquerschnitts
2.5.1.2
Berechnung der Torsionsspannung
An dem differentiellen Element in
Bild
2
.
61
kann für kleine Verformungen der
folgende Zusamme
n
hang zwischen der Gleitung γ
und dem Verdrehwinkel ϕ
ab
gelesen werden:
( ) zrr dd ⋅=⋅ γϕ
Mit der Drillung ϑ
folgt aus dieser Formel
( )rr
zγϕϑ ==
dd
Drillung
(Verdrehwinkel pro Längenei
n
heit)
(
2
.
57
)
Aus dem
H
OOKE
schen Gesetz (siehe
Gle
ichung
(2.12)
,
Seite
128
) folgt mit γ
(
r
)
=
ϑ⋅
r
nach
Gleichung
(2.57)
für die Torsionsschubspannung
( ) ( ) rGGrr ⋅⋅=⋅= ϑγτ
(
2
.
58
)
Beachte:
Wir erkennen aus
(2.58)
bereits, dass die Schub
spa
n
nung τ
(
r
) linear von
r
abhängig ist. Sie wird bei
r
=
0 Null und hat für
r
=
R
ihren größten Wert (siehe
auch
Bild
2
.
62
)!
2.5
Torsion
175
Die noch
unbekannte Drillung ϑ
kann aus einer
Äquivalenzbedingung zwischen dem Torsionsm
o-
ment
M
t
und dem resultierenden Moment der
Schubspannu
n
gen τ
zϕ
= τ
bestimmt werden. Es muss
gelten (vgl.
Bild
2
.
62
):
( )( ) ( )
∫∫ ⋅=⋅⋅=AA
t ArGArrM dd 2ϑτ
(
2
.
59
)
Mit der Abkürzung
( )∫=A
P ArI d2
polares Flächenträgheitsmoment
(
2
.
60
)
folgt aus
Gleichung (2.59)
Pt GIM ⋅= ϑ
bzw. nach der Drillung aufgelöst
P
t
GIM
=ϑ
(
2
.
61
)
Setzen wir nun
(2.61)
in
(2.58)
ein, so erhalten wir die Torsionsschubspannung für
Kreis und Kreisringquerschni
t
te zu:
( ) rIM
rτP
t=
(
2
.
62
)
Hinweis:
Zum polaren Flächenträgheitsmoment siehe
Kapitel 1.10.1
. Danach gilt:
Kreisquerschnitt (Durchme
s
ser
d
):
32π 4dI P =
(
2
.
63
)
K
reisringquerschnitt (Auße
n
durchmesser
D
,
Innendurchme
s
ser
d
):
( )44
32π dDI P −=
(
2
.
64
)
Die maximalen Torsionsschubspannungen für Kreis und Kreisringquerschnitte
treten am Außenrand auf und betragen (sieh
e dazu auch
Bild
2
.
62
):
t
t
WM
τ =max
(
2
.
65
)
Die Abkürzung
W
t
bezeichnet man als
Torsionswiderstandsmoment
, das sich aus
Gleichung
(2.62)
mit
r
=
r
max
wie folgt erg
ibt:
maxrI
W Pt =
rdA
R
τ(r)⋅dA
τ(r)
Mt
τmax
Bild
2
.
62
Torsionsschubspannung
176
2
Festigkeitslehre
Für Kreis
-
und Kreisrin
g
querschnitte erhalten wir damit:
16π 3dWt =
für Kreisquerschnitt (Durchmesser
d
)
(
2
.
66
)
( )44
16π dD
DWt −
⋅=
für Kreisringquerschnitt
(
2
.
67
)
(Außendurchmesser
D
, Innendurchmesser
d
)
Hinweis:
Man beachte die Analogie zur Berechnung der Biegespannungen (siehe
Kapitel
2.3.2
Gleichungen
(2.32)
und
(2.33)
).
Torsion:
( ) rIM
rτP
t=
Biegung:
( ) ( )y
IzM
y,zσxx
bxz =
t
t
WM
τ =max
( ) ( )min
maxbx
bxz W
zMzσ =
Die Gleichungen zur Berechnung der Torsionsschubspannung
(2.62)
und
(2.65)
gelten streng genommen nur, w
enn gilt:
M
t
=
konst. und
I
P
=
konst. Aber auch bei
einer schwachen Veränderlichkeit dieser Größen können die Gleichungen mit
ausreichender Genauigkeit für praktische Berechnu
n
gen verwendet werden. Es gilt
dann:
( ) ( )( ) rzIzM
z,rτP
t=
bzw.
( ) ( )( )zWzM
zτt
t=max
(
2
.
68
)
2.5.1.3
Berechnung der Verformung (Verdrehwinkel ϕ
)
Aus den
Gleichungen
(2.57)
und
(2.61)
erhalten wir den folgenden Zusammenhang
zwischen der Drillung ϑ
, dem Verdrehwinkel ϕ
und dem Torsionsmoment
M
t
:
P
t
GIM
z==
ddϕϑ
(
2
.
69
)
Das Produkt
GI
P
aus Gleitmodul
G
und polarem Flächenträgheitsmoment
I
P
bezeic
h
net man als
Torsionssteifigkeit
.
Gleichung
(2.69)
ist eine Differentialgleichung
1. Ordnung, aus der wir durch Integration den
Verdrehwinkel ϕ
berechnen können.
Man beachte hier die Analogie zur Verfo
r
mungsb
e
rechnung bei auf Zug/Druck
belasteten Stäben (
Kapitel
2.2.1.2
). Die Integration von
Gleichung
(2.69)
liefert:
( ) CzGIM
CzGIM
zP
t
P
t +=+= ∫ dϕ
(
2
.
70
)
2.5
Torsion
177
Die Integrationskonstante
C
in
(2.70)
kann aus einer
Randbedingung berechnet werden. Beispiele für
mö
gliche Randbedi
n
gungen bei Torsionsproblemen
finden wir in den folgenden drei Aufgaben zur
Torsion.
Häufig wird in der Praxis der
relativen Verdrehwinkel
∆ϕ
zweier Querschni
t
te im Abstand
l
benötigt. Der
relative Verdrehwinkel ist wie folgt definiert (vgl.
Bild
2
.
63
):
( ) ( ) lGIM
zlzP
t=−+=∆ ϕϕϕ
(
2
.
71
)
Die Gleichungen zur Berechnung der Torsionsve
r
formungen
(2.70)
und
(2.71)
gelten
streng genommen nur, wenn gilt:
M
t
=
konst. und
I
P
=
konst. Aber auch bei einer
schwachen Veränderlichkeit dieser Größen können die Gleic
hungen mit ausreiche
n-
der Genauigkeit für praktische Berechnungen verwendet werden (vgl. entspr
e
chende
Bemerkung zur Berechnung der Torsion
s
spannung im
Kapitel
2.5.1.2
). Es gilt dann:
( ) ( )( ) CzzGIzM
zP
t += ∫ dϕ
bzw.
( ) ( ) ∫+=
=
=−+=∆lzz
zz P
t zGIM
zlz dϕϕϕ
(
2
.
72
)
Beispiel
2
.
13
Abgesetzter Torsionsstab
Gegeben:
D
=
60
mm,
d
=
40
mm,
l
1
=
1
m
l
2
= 1,5
m,
M
B
=
3
kN m
M
C
=
0,6
kN m
G
=
0,8·10
5
N/mm
2
Gesucht:
Betragsmäßig größte Torsions
-
schubspannung und Verlauf des
Verdrehwi
n
kels
Torsionsmomentenverlauf:
mkN421 ,MM)(zM CBt =−=
mkN602 ,M)(zM Ct −=−=
Maximale Schubspannungen:
Zur Berechnung der maximalen Schubspa
n-
nung im Torsionsstab muss zunächst in
beiden Bereichen die maximale Torsion
s
schubspannung berechnet werden, um dann aus
dem Vergleich die absolut größte
Tors
i
onsschubspannung angeben zu können. Mit der
∆ϕ
Mt
Mt
lz
ϕ(z)ϕ(z)
Bild
2
.
63
Relativer Verdrehwinkel
Mt -Verlauf+2,4 kN m
-
-1,21º
+1,35º
ϕ -Verlauf
z2z1 l1
∅D∅dBA C
l2
MB MC
0,6 kN m
Bild
2
.
64
Torsionsstab mit Momentenverla
uf
und Verlauf des Torsionswinkels
178
2
Festigkeitslehre
Gleichung (2.66)
für das Torsionswide
r
standsmoment und der Gleichung für die maximale
Torsion
s
spannung
(2.65)
ergeben sich die in den zwei Bereichen auftretenden maximalen
Torsionsschubspannu
n
gen zu:
1. Ber
eich:
Mit
16π 3
1DWt =
folgt
( ) ( )
231
1max1 mm
N56,6
π16
=⋅−
==DMM
WzM
τ CB
t
t
2. Bereich:
Mit
16π 3
2dWt =
folgt
( )
232
2max2 mm
N7,47π
16−=
⋅−==
dM
WzM
τ C
t
t
Damit tritt die vom Betrag größte Torsionsschubspannung im 1. Bereich auf und beträgt
2max1max mmN
56,6== ττ
Verla
uf des Verdrehwinkels:
Mit der
Gleichung
(2.63)
für das polare Flächenträgheitsmoment und der
Gleichung
(2.70)
für den Torsionswinkel erhalten wir für die zwei Bereiche:
1. Bereich:
( ) ( ) ( )11411
1
111 π
32Cz
DGMM
CzGI
zMz CB
P
t +−
=+=ϕ
2. Bereich:
( ) ( )22422
2
222 π
32Cz
dGM
CzGI
zMz C
P
t +−=+=ϕ
Die beiden
Integrationskonstanten können wir aus den folgenden zwei Randbedingungen
bestimmen:
( ) 0011 ==zϕ
01 =⇒ C
( ) ( )022111 === zlz ϕϕ
( )
214π32
ClDG
MM CB =−
⇒
Einsetzen der Integrationskonstanten in die Funktionen für die Torsionswin
kel liefert:
1. Bereich:
( ) ( )1411 π
32z
DGMM
z CB −=ϕ
2. Bereich:
( ) ( )l
DGMM
zdG
Mz CBC
42422 π32
π32 −
+−=ϕ
Die Werte an den B
e
reichsenden ergeben sich zu:
( ) "35102360111 ,,lz ===ϕ
und
( ) "211021200236004480222 ,,,,lz −=−=+−==ϕ
Der Verlauf des Verdre
h
winkels ϕ
ist in
Bild
2
.
64
dargestellt.
2.5
Torsion
179
Beispiel
2
.
14
Vergleich von Voll
-
und Rohrquerschnitt bei Torsionsbelastung
Gegeben:
M
t
=
2 kN m, τ
zul
=
160 N/mm
2
Material und Stablänge sind für
beide Stäbe gleich!
Gesucht:
1.
Durchmesser
D
V
und
D
R
2.
Verhältnis des Material
-
ei
n
satzes
3.
Verhältnis der r
e
lativen
Verdre
h
wi
nkel
1.
Bestimmung von
D
V
und
D
R
(Dimensionierung):
a)
Vollquerschnitt:
Aus
(2.65)
zult,V
t τWM
τ ≤=max
mit
(2.66)
16π 3
Vt,V
DW =
folgt
mm939π16
3zul
,τM
D tV =≥
.
Wir wählen:
mm04=VD
b)
Rohrquerschnitt:
Aus
(2.65)
zult,R
t τWM
τ ≤=max
mit
(2.67)
−=
44
109
16π
RRR
t,R DDD
W
folgt
mm756901π
163 4
zul,
),(τM
D tR =
−≥
.
Wir wählen:
mm57=RD
2.
Verhältnis des Materialeinsatzes:
Das Verhäl
t
nis des Materialeinsatzes ist gleich dem Verhältnis der Querschnittsflächen.
Wir erhalten:
( )
3860901
2
22,
D,D
AA
V
R
V
R =−
=
⇒
Bei dem Rohrquerschnitt werden nur 38,6
% Material gegenüber einem Vol
l-
querschnitt bei gleicher maximaler Torsionsschubspannung b
e
nötigt.
3.
Verhältnis der relativen Verdrehwinkel:
Mit dem relativen Verdrehwinkel nach
Gleichung
(2.
71)
und den polaren Flächenträ
g-
heitsm
o
menten nach den
Gleichungen
(2.63)
und
(2.64)
lGIM
P
t=∆ϕ
32π 4
,V
VPD
I =
und
( )[ ]44, 9,0
32π
RRRP DDI ⋅−=
DV
Mt
RD10
9DR
Mt
Bild
2
.
65
Voll
-
und Rohrquerschnitt
180
2
Festigkeitslehre
erhalten wir für das g
e
suchte Verhältnis der relativen Verdrehwinkel
( )( ) ( ) 705,0
9,019,032π
32π
44
4
44
4
,
,
,
, =−
=⋅−
===∆∆
R
V
RR
V
RP
VP
VP
t
RP
t
V
R
D
D
DD
D
II
lGI
M
lGI
M
ϕϕ
⇒
Bei dem Rohrquerschnitt beträgt der Verdrehwinkel nur 70,5
% des Verdreh
-
wi
n
kels des Vollquerschnitts bei gleicher Länge, gleicher Belastung, gleichem
Material und bei gle
i
cher maximaler Torsionsschubspannung.
Beispiel
2
.
15
Welle
-
Rohr
-
Verbindung (statisch unbestimmt)
Zwei Torsionsstäbe (Welle, Rohr) sind
bei
A
eingespannt und bei
B
mit einer
starren Scheibe, über die das
Gesam
t-
moment
M
C
eingeleitet wird, verbunden.
Gesucht:
1.
Aufteilung des Momentes
M
C
auf Welle und Rohr
2. Verdrehwinkel bei
B
Zunächst führen wir einen Schnitt durch
die Welle und das Rohr. An der Schnit
t-
stelle der Welle wird das Torsionsm
o-
ment mit
M
W
und an der Schnittstelle des
Rohres wird das Torsionsmoment mit
M
R
(siehe
Bild
2
.
66
) bezeichnet. Zur Ermit
t-
lung der Schnittgrößen kann man am Schnittbild die Momentengleichg
e
wichtsbedingung
um die Läng
s
achse aufschre
iben:
:
0=−− RWC MMM
(1)
Beachte:Beachte:Beachte:Beachte:
In der Gleichgewichtsbedingung
(1)
sind die beiden Schnit
t
größen
M
W
und
M
R
unbekannt. Die Aufgabe ist einfach statisch unbestimmt! Zur
L
ö
sung
des Problems
müssen Verformungsbetrachtungen ang
e
stellt werden.
Mi
t dem Tors
i
onsmoment in der Welle
M
W
und im Rohr
M
R
werden die Verdrehwinkel
von Welle und Rohr nach
Gleichung
(2.70)
berechnet. Wir erhalten:
Welle :
( ) 1CzGIM
zP,W
WW +=ϕ
(2)
Rohr:
( ) 2CzGIM
zP,R
RR +=ϕ
(3)
a
∅Da ∅d
BA CMC∅Di
starrRohr
Welle
B C
MC
z
MWMR
Bild
2
.
66
Welle
-
Rohr
-
Verbindung
2.5
Torsion
181
Für die Ermittlung der vier Unbekannten
M
R
,
M
W
,
C
1
und
C
2
benötigen wir neben der
Gleichung
(1)
noch drei weitere Gleichungen, die wir aus den folgenden Randbedingungen
erhalten:
1.
( ) 00 ==zWϕ
01 =⇒ C
2.
( ) 00 ==zRϕ
02 =⇒ C
3.
( ) ( )azaz WR === ϕϕ
WP,W
P,RR M
II
M =⇒
(4)
Mit den
Gleichungen
(1)
und
(4)
haben wir zwei Gleichungen zur Berechnung der unb
e-
kannten Schnittgrößen in der Welle und im Rohr. Die Auflösung der Gleichungen liefert:
44
4
4
44
11
11
ia
C
P,R
P,W
CR
ia
C
P,W
P,R
CW
DDd
M
II
MM
dDD
M
II
MM
−+
=+
=
−+=
+=
Der Verdrehwinkel bei
B
kann mit den jetzt bekannten Schnittgrößen
M
W
bzw.
M
R
aus
(2)
oder
(3)
berechnet werden. Wir erhalten:
( ) ( ) ( ) ( )444π
32
ia
C
P,RP,W
CRWB
DDdG
aMIIGaMazaz
−+
⋅⋅=+⋅===== ϕϕϕ
2.5.2
Hinweise zur Torsion allgemeiner Querschnitte
•
Die im
Kapitel
2.5.1
vorgestellten Formeln für Torsionspannungen und Torsion
s-
verformungen (Verdrehwinkel) gelten nur für Kreis
-
und Kreisringque
r
schnitte.
•
Für andere Querschnittsformen müssen spezielle Formeln hergeleitet werden,
wobei zwischen
SSSS
AINTAINTAINTAINT
----
VVVV
ENANENANENANENAN
TTTT
scherscherscherscher
17171717
Torsion Torsion Torsion Torsion
(Verwölbungen können sich frei
ausbilden) und
Wölbkrafttorsion
(Verwölbungen sind behindert) unterschieden
werden muss.
•
Eine besondere praktische Bedeutung kommt den dünnwandigen offenen
Querschnitten zu. Die Torsionsschubspannungen und die Verformungen sind
hier wesentlich gr
ö
ßer als bei anderen Querschnittsformen. Infolge erheblicher
Querschnittsve
rwölbungen, die bei einer Torsionsbeanspruchung auftr
e
ten (siehe
17
A. J. C. B
ARRÉ DE
S
AINT
V
ENANT
(1797
-
1886), französischer Physiker
182
2
Festigkeitslehre
Bild
2
.
60
,
Seite
173
,
b) Torsion eines dünnwandigen offenen Querschnitts
), erg
e
ben
sich bei einer Behinderung der Verwölbung (z.
B. infolge einer Einspannung) sehr
große Normalspannu
n
gen in
z
-
Richtung.
Unter der Voraussetzung einer
SSSS
AINTAINTAINTAINT
----
VVVV
ENANTENANTENANTENANT
schen Torsion lassen sich die für Kreis
-
und Kreisringquerschnitte hergeleiteten Formeln für die Berechnung der m
a
ximalen
Torsionsschubspannu
ngen und der Verdrehwinkel auch für allgemeine Quer
-
schnitts
formen veral
l
gemeinern:
t
t
WM
τ =max
mit
W
t
-
Torsionswiderstandsmoment
(
2
.
73
)
t
t
GIM
z==
ddϕϑ
m
it
I
t
-
Torsionsträgheitsmoment
(
2
.
74
)
Beachte:
Das Produkt
GI
t
ist die
Torsionssteifigkeit
.
I
t
und
W
t
sind in Abhängi
g
keit
von der Querschnittsgeom
e
trie zu berechnen (siehe
Tabelle
2
.
8
). Nur für Kreis
-
und Kreisringquerschnitte gilt
I
t
≡
I
P
.
Tabelle
2
.
8
Berechnung von
I
t
und
W
t
in Abhängigkeit von der Querschnittsgeome
t
rie
Querschnittsart
Berech
nung von
I
t
und
W
t
allgemeine
I
t
und
W
t
aus einer Torsionsfun
k
tion
Φ
,
für die eine
P
OISSON
sche Differentia
l-
gleichung zu lösen ist.
dünnwandig,
einzellig
s δ
Am
A
m
=
von Profilmittellinie
eingeschloss
e
ne Fläche
B
REDT
sche Formeln:
min
2
2
)(d
4δAW
sδs
AI mt
mt ⋅==
∫
dünnwandig,
mehrzellig
Modifizierte
B
REDT
sche Formeln.
dünnwandig, offen
δi li
Näherungsfo
r
mel:
( ) max
3
31
δI
WδlI tti
iit ≅≅ ∑
dünnwandig, ein
-
oder mehrzellig
und offene Teile
l0l0
Im Allgemeinen Vernachläss
i
gung der
offenen Teilabschnitte
l
0
.
Begrü
n
dung: Siehe folgendes Beispiel.
2.5
Torsion
183
Beispiel
2
.
16
Torsion dünnwandiger offener und geschlossener Querschnitte
Für einen dünnwand
igen Stab mit geschlo
s-
senem bzw. in Längsrichtung aufgeschlit
z-
tem Kreisringquerschnitt (
Bild
2
.
67
) sollen
die maximalen Torsionsschubspannungen
und die relativen Verdrehwinkel der
En
d
que
r
schnitte allgemein ermittelt und
für
R
/δ
=
10 mitei
n
ander vergleichen werden.
a) Geschlossener Kreisringquerschnitt:
Die Berechnung des Torsionsträgheitsm
o-
mente
I
t
und des Torsionswiderstandsm
o-
mentes
W
t
soll hier mit Hilfe der
B
RED
T
schen Formeln (siehe
Tabelle
2
.
8
) erfolgen. Es wird:
( )
( )δR
δR
R
sδdsA
I mt,a
3222
π2π2π44
===
∫
und
δRδAW mt,a2
min π22 =⋅=
Die maximale Schubspannung folgt aus
Gleichung
(2.73)
und der relative Verdrehwinkel
aus
Gle
i
chung
(2.71)
, in die bei Kreisquerschnitten
GI
P
=
GI
t
eingesetzt wird. Wir e
rhalten:
δR
MWM
τ t
t,a
t,a 2max π2
==
und
δRG
lMGI
lM t
t,a
ta 3π2
==∆ϕ
Hinweis:Hinweis:Hinweis:Hinweis:
Die Berechnung für den geschlossenen Kreisring kann natürlich auch wie in
Kapitel
2.5.1
für Kreis
-
und Kreisringquerschnitte durchgeführt we
r
den
. Zur Übung
sollte man die Vergleichsrechnung einmal durchführen. Je geringer die Wandstärke
des Kreisringes wird, um so besser stimmen die Ergebnisse mit den hier nach den
B
REDT
schen Formeln
berechneten Ergebnissen überein.
b) Geschlitzter Kreisringquersc
hnitt:
Die Berechnung des Torsionsträgheitsmomentes
I
t
und des Torsionswiderstandsmome
n-
tes
W
t
erfolgt nach den Näherungsformeln aus
Tabelle
2
.
8
für dünnwandige offene Que
r-
schnitte. Für die maximale Schubspannung und den
relativen Verdrehwinkel erhalten wir:
( )
33 π32
31 RδδlI i
iit,b =≅ ∑
und
2
maxπ
32 Rδ
δI
W t,bt,b =≅
2max π23
RδM
WM
τ t
t,b
t,b ==
und
3π23
RδGlM
GIlM t
t,a
tb ==∆ϕ
lMt Mt
δ
R
δa) b)
R
Bild
2
.
67
Geschlossener und geschlitzter
Kreisringquerschnitt bei Torsion
184
2
Festigkei
tslehre
Wir vergleichen die Ergebnisse am anschaulichsten miteinander, wenn wir das Verhältnis
der max
i
malen Spannung
en und der relativen Verdrehwinkel aufschreiben. Wir erhalten:
303max
max ==δR
ττ
,a
,b
und
3003 2
2==
∆∆
δR
a
b
ϕϕ
Wir erkennen, dass für dieses Beispiel die maximale Spannung im Torsionsstab mit off
e-
nem Querschnitt (ansonsten aber identischen Werten) 30
-
mal größer ist und der Ve
r-
drehwinkel sogar 300
-
mal größer ist als im geschlossenen Kreisringquerschnitt.
Schlussfolgerung:Schlussfolgerung:Schlussfolgerung:Schlussfolgerung:
Das Ergebnis ist typisch und zeigt das geringe Vermögen dünnwa
n
d
i-
ger offener Querschnitte Torsionsmomente zu übertragen.
2.6
Scherbeansp
ruchung
Das Ziel dieses Kapitels ist die Berechnung der Scher
-
oder Abscherspannu
n
gen τ
a
infolge von unendlich dicht nebeneinander liegenden parallelen und entgegeng
e-
setzt gerichteten Querbelastungen, die eine Querschnittsfläche (Sche
r
fläche) auf
Schub belasten (Verformungsberechnungen werden bei Scherbea
n
spruchungen
in der Regel nicht durc
hgeführt).
Scherbeanspruchungen trete bei entsprechender Belastung vorrangig bei Schneidvo
r-
gängen, Niet
-
, Bolzen
-
, Schweiß
-
und Klebeve
r
bindungen auf. Einige typische
Scherbeanspruch
ungen sind in
Bild
2
.
68
dargestellt.
Schneiden, Stanzen NietverbindungSchweiß- bzw.
Klebeverbindung
∅d
h
FS
AS = πdh
∅d
FS
FS
AS = πd214
FS
FS
AS
FS
FS
AS = Schweißnahtflächebzw. Klebefläche
Bild
2
.
68
Beispiele für typische Scherbeanspruchungen
Bevor wir die Ber
echnung der Scherspannung behandeln, soll die Frage geklärt
werden, was die Scherbeanspruchung von der Querkraftschubbea
n
spruchung (vgl.