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EJERCICIO 1.

Pruebe que el volumen del solido limitado por los planos y=-2, y=2,x=0, z=1, y x+z=4 es 18

u2.Luego compruebe el resultado aplicando la geometría.

SOLUCION:

= , ; 0 ≤ ≤ 3 , 2 ≤ ≤ 2  = 1 , = 4 , 1 = 4 , = 3  = 4 1

− = 3 |− = 4 3 = 4 5| 2

 

= 4 33 0 9 0

2 = 4 9 92 = 4

92 = 1 8

 Por Geometría

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= ∗ ℎ = ∗ ∗ 4 = ∗ 4 = 1 8  

EJERCICIO 2

Halle el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie z=2x y arriba de la región

cuadrada D, con vértices en (1,0), (2,1), (1,2) y (0,1).

SOLUCION

= −−   = −− = = 1  =  

1 = 1 0 

= 1 =   = −−   = −− = = 1  =   0 = 1 

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= 1 =   = −−   = −− = = 1 

=  

1 = 1 2  1 = 2  = 2 =  

= −−   = −− = = 1 

=  

1 = 1 1  = 1 =   =   = , : 0 ≤ ≤ 1 ; ≤ ≤   = , : 1 ≤ ≤ 2 ; ≤ ≤  

= ∬ , ∬ ,  

= 2

2

 

= 2   −+

+

  = 2

  = 2 1 1 2 3 1  

= 22 0 2 2 4  

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= 4 4 8  

43

43

82

 

43 43 2 1 48 1 43 283 1 2 =  EJERCICIO 3.

Pruebe que el volumen de la porción del cilindro 4x2 +y2 = a2 comprendida entre los planos z= 0 y

z= my es 2/3 ma3 u3

SOLUCION:

= z=0 z=my

= ± 

4 

Si y=0 entonces 

4 0 =   > 4 =   → =   → = ±  D=

,

∈

:

≤ ≤

  ; √

4

  ≤ ≤ √

4

 

= √−−√− =

− 2 − √

4√ 4= 42 42 −  

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= 4 = ⁄− ⁄ 4 3 −

 

= 2 4 3 2 2 4 3 2 

= 2 43 ∗ 8 2 43 ∗ 8   = 2 6 2 6 = 3  

= 3 3 =  

EJERCICIO 4

Pruebe que el volumen del solido ubicado arriba de la región D limitada por xy=1 , xy = 2, y = x, y

y = 4x y debajo de la superficie con ecuación z= x2 + y2 es 7/3 LN2 u2

.

SOLUCION

= 1 = 1 =

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= 1  = 1 

= 1 = 41 =44 = 1  = 14 

=12

 

= 2 = 2 = = 2  = √ 2 

= 2 = 42 =4 = 12  = 1√ 2 

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∬   =  

 

√ ⁄

  ⁄  

√   

 

√ 

=   √ ⁄   √    √  

√  √ 

√   

√ 

√   

√  √  √  √  √  (√ ) (√ )  13 43 1√ 2 16 12 7 1√ 2 8 (√ 2) 43 16 

73 Ln2 

∬   = 73 Ln2 

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EJERCICIO 5.

Pruebe que el volumen del sólido que se muestra en la figura 1 es (8/3)-5 u3SOLUCION

= ∬ , ∬ ,   = , ∈ |0 ≤ ≤ 5 ̂ 0 ≤ ≤ 5   = , ∈ |0 ≤ ≤ 2 ̂ 0 ≤ ≤ 5   = 2 −  4  −  

= 2 −  4 −   = 2 5 0  4 5 0   = 2 5  4 5  = 10

2 5

 4

 4  

 

10 50 22 50 Resolviendo 3

5 ∫ √ 4 = = 2 s i n ; = 2 c o s

5 ∫  42sin

 2 cos =

5 ∫  41sin

 2 cos  

10  cos  2 cos = 20 cos = 2 0 1 cos 22  10 ∫ 10 ∫ cos2 (2 )= 10 10sin2 = 10sin− 5 sin2 sin−  Resolviendo 4

4 = ; 2 =  

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∫ ⁄ = ∫ ⁄ = √4 ⁄  

= 1 0 2 5  4  4  

10 50 22 50 10sin− x2 5 sin2 sin− x2 20 13 4 ⁄ 20 105 25 10sin−1 5 sin2sin−1 0 0   4 2 ⁄ 4 0 ⁄  V = 2 5 1 0 2 0 0 13 4 ⁄  

= 2 5 5 83 

=  EJERCICIO 6.

Aplique las integrales dobles para coordenadas rectangulares para probar que el área de la región

ubicada en el interior del circulo x2+y2=4 , la recta y= xy, y la recta y = -x en el primer y cuarto

cuadrante es

 

Área 1.

SOLUCION

La región de D se puede dividir en una región superior y en una inferior, a su vez, la región

superior estaría definida por una región D1 y D2.

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= { , ∈ ≤ ≤ √  ^ ≤ ≤ }  = , ∈ √  ≤ ≤ ^ ≤ ≤    

= ∬ , = ∬ , = ∬ , ∬ ,      = √   −

√   

  = √   −√   

  =  

√ √ 

 

Resolviendo ∫ √  √    ∫ √  √  = = ; = ∫ √    = ∫ √       

√   =

√  =

√  

∫ √  ∫ √  (2 )= √  √  = −  − √     = √ +− − √     = = → =  

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EJERCICIO 7.

Teniendo en cuenta la figura 2. Pruebe que el volumen del solido S que se encuentra debajo de la

esfera x2+y2+z2= 4 en el primer octante es   u3

SOLUCION

=     = → = → = → = /   = , : ≤ ≥ , ≤ ≥   = , : ≤ ≥ , ≤ ≥  

= → =     = ∬ ,   = ∬    

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= ∬    

= ∬   ∬    

=      

 

 

=   → = →=→=  = → = √  = √  → =  

= → = √  = √  → = √  

= → =   = √  → =   = √   

√ 

 

= √   

√ 

 

= √  √ 

= (√ ) (√ )

  = (√ ) ( √ ) ∗  

= √  √   =  

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8. Pruebe que el volumen del solidó que se encuentra limitado por los paraboloides 2 2 z 3x  3y

y 2 2 z  4  x  y en el primer octante es /2 u 3 .

SOLUCION

Igualamos los z y tenemos que:

4 → 4 = 4 4 → =14 ∫   ∫ 1 √ −   Pasando a coordenadas polares

= cos ̂ = sin  

=   0 ≤ ≤ 1 0 ≤ ≤ 2 4 1 √ −

→ 4 1

 

4

→

4 2

4

10

 

4 12 14 0 0 → →

|20 =  

EJERCICIO 9.

Pruebe que el volumen de la semiesfera con radio a en el primer octante es (1/6)a3 u3.SOLUCION

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SOLUCION

En polares:

=

→

=  

=   = , : 0 ≤ ≥ , ≤ ≥ 2  = → =     =     = ∬ , = ∬ ,   =  

⁄   =   → = → 2 = 2 → → =  

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= 0 → =   0 =   → =   = → =   = √ 0 → = 0 

= = =

=

= |  13

 

= 2 0 13 − = 2 ∗ 3 → = 16  

EJERCICIO 10.

Teniendo en cuenta la figura 3.Pruebe que el área superficial de la parte de la esfera x2 + y2 +z2=4

Que se encuentra arriba del región R, es√    u2.

SOLUCION

  1  , =  4  

= 4    = 4   Reemplazando:

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  4   4  

1  

 

→   4 4 1  //  

→   4 1

 /

/  

→   4 1  // →   44  // → 2√ 4 //  → 2 4 −

// → 2 4 −

/

/→ 2 4  // 21 → 0 ( 2√ 3)

//   → 2√ 3

//  

→ (2√ 3) /3/6 → 2√ 33 2√ 36 → 2√ 33 √ 33 → √   EJERCICIO 11.

Pruebe que el área superficial de la parte de la esfera x2+y2= 3x y arriba del plano xy es 9 u2.

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SOLUCION

X2+Y2+Z2 =9 X2+Y2=3X X2+Y2=r2

Z=( 9- X2- Y2)1/2 

Fz/Fx = − − − /  Fz/Fx = − − − / r2 = 3rcos

r2 - 3rcos =0

r( r - 3rcos )=0 x=rcos y=r sen

r=0 ; r= 3rcos

D{ TT/2 3TT/2 ; 0 r 3cos }

As= ( Fx2 + FY2)1/2

As=(− − − /  + − − − /  + 1 )1/2

As= TT/2 3TT/2 0 3rcos (− − − /  + − − − /  + 1 )1/2 rdrd

As= TT/2 3TT/2 0 3rcos ( − − /  + − − /  + 1 )1/2 rdrd

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18/19

As= TT/2 3TT/2 0 3rcos ( − /+ 1 )1/2 rdrd

As= = TT/2 3TT/2 0 3rcos (+ − − /+ 1 )1/2 rdrd

As= TT/2 3TT/2 0 3rcos (

− /  rdrd

u=   du=-2rdr –du/2 = rdrAs= TT/2 3TT/2[ 0 3rcos  /  ]d As= TT/2 3TT/2[ 0 3rcos     −/  ]d  => TT/2 3TT/2 [-3(u)1/2]0 3rco d As= TT/2 3TT/2 [-3(9 – r2)1/2]0 3rco d 

As= TT/2 

3TT/2

[-3(9 –

 9cos2

)1/2

 – (-3(9)

1/2

)] d 

As= TT/2 3TT/2 [ – 9(sen2 )1/2 + 9 ] d 

As= TT/2 3TT/2 9[1 – sen  ] d  => 9[  + 9cos  ] 3TT/2 TT/2

As= 9[3TT/2] + 9[cos (3TT/2)] – [9[3TT/2] + 9[cos (3TT/2)]]

As= (27TT/2 + 0 )- (9TT/2 + 0 )= 27TT/2 - 9TT/2 = 9TT

EJERCICIO 12.

Una piscina tiene forma de un círculo de 40pies de diámetro. La profundidad es constante a lo

largo de rectas este-oeste y aumenta linealmente desde 2pies en el centro sur hasta 7 pies en el

extremo norte. Aplique las integrales triples para hallar el volumen de agua de esta piscina.

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SOLUCION

m=z−z− −+−−  −−   

z – z0 = m(

y y o) => z + 2 = m(

y 2 0)

z=   y 2 = > =  y  Rp = { (r , θ) 0≤r≤20 ; 0≤ θ≤2TT}

V= 02TT 020(  r senθ9/2 )rdrdθ 

V= 02TT 020(  r2 senθ9/2r )rdrdθ 

V= 02TT (

 r3 senθ

9/2r2 )]0 20dθ 

V= 02TT (  r3 senθ900 )dθ V=(   cosθ900θ]0 20dθ V= (1) – ( ) entonces V=-900(2TT)