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Taller 3 Resuelto (Leider Salcedo).pdf

Date post: 07-Jul-2018
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  • 8/18/2019 Taller 3 Resuelto (Leider Salcedo).pdf

    1/19

    EJERCICIO 1.

    Pruebe que el volumen del solido limitado por los planos y=-2, y=2,x=0, z=1, y x+z=4 es 18

    u2.Luego compruebe el resultado aplicando la geometría.

    SOLUCION:

    = , ; 0 ≤ ≤ 3 , 2 ≤ ≤ 2  = 1 , = 4 , 1 = 4 , = 3  = 4 1

    − = 3 |− = 4 3 = 4 5| 2

     

    = 4 33 0 9 0

    2 = 4 9 92 = 4

    92 = 1 8

     Por Geometría

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    2/19

    = ∗ ℎ = ∗ ∗ 4 = ∗ 4 = 1 8  

    EJERCICIO 2

    Halle el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie z=2x y arriba de la región

    cuadrada D, con vértices en (1,0), (2,1), (1,2) y (0,1).

    SOLUCION

    = −−   = −− = = 1  =  

    1 = 1 0 

    = 1 =   = −−   = −− = = 1  =   0 = 1 

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    = 1 =   = −−   = −− = = 1 

    =  

    1 = 1 2  1 = 2  = 2 =  

    = −−   = −− = = 1 

    =  

    1 = 1 1  = 1 =   =   = , : 0 ≤ ≤ 1 ; ≤ ≤   = , : 1 ≤ ≤ 2 ; ≤ ≤  

    = ∬ , ∬ ,  

    = 2

    2

     

    = 2   −+

    +

      = 2

      = 2 1 1 2 3 1  

    = 22 0 2 2 4  

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    4/19

    = 4 4 8  

    43

    43

    82

     

    43 43 2 1 48 1 43 283 1 2 =  EJERCICIO 3.

    Pruebe que el volumen de la porción del cilindro 4x2 +y2 = a2 comprendida entre los planos z= 0 y

    z= my es 2/3 ma3 u3

    SOLUCION:

    = z=0 z=my

    = ± 

    Si y=0 entonces 

    4 0 =   > 4 =   → =   → = ±  D=

    ,

    :

    ≤ ≤

      ; √

    4

      ≤ ≤ √

    4

     

    = √−−√− =

    − 2 − √

    4√ 4= 42 42 −  

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    = 4 = ⁄− ⁄ 4 3 −

     

    = 2 4 3 2 2 4 3 2 

    = 2 43 ∗ 8 2 43 ∗ 8   = 2 6 2 6 = 3  

    = 3 3 =  

    EJERCICIO 4

    Pruebe que el volumen del solido ubicado arriba de la región D limitada por xy=1 , xy = 2, y = x, y

    y = 4x y debajo de la superficie con ecuación z= x2 + y2 es 7/3 LN2 u2

    .

    SOLUCION

    = 1 = 1 =

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    = 1  = 1 

    = 1 = 41 =44 = 1  = 14 

    =12

     

    = 2 = 2 = = 2  = √ 2 

    = 2 = 42 =4 = 12  = 1√ 2 

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    7/19

    ∬   =  

     

    √ ⁄

      ⁄  

    √   

     

    √ 

    =   √ ⁄   √    √  

    √  √ 

    √   

    √ 

    √   

    √  √  √  √  √  (√ ) (√ )  13 43 1√ 2 16 12 7 1√ 2 8 (√ 2) 43 16 

    73 Ln2 

    ∬   = 73 Ln2 

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    EJERCICIO 5.

    Pruebe que el volumen del sólido que se muestra en la figura 1 es (8/3)-5 u3SOLUCION

    = ∬ , ∬ ,   = , ∈ |0 ≤ ≤ 5 ̂ 0 ≤ ≤ 5   = , ∈ |0 ≤ ≤ 2 ̂ 0 ≤ ≤ 5   = 2 −  4  −  

    = 2 −  4 −   = 2 5 0  4 5 0   = 2 5  4 5  = 10

    2 5

     4

     4  

     

    10 50 22 50 Resolviendo 3

    5 ∫ √ 4 = = 2 s i n ; = 2 c o s

    5 ∫  42sin

     2 cos =

    5 ∫  41sin

     2 cos  

    10  cos  2 cos = 20 cos = 2 0 1 cos 22  10 ∫ 10 ∫ cos2 (2 )= 10 10sin2 = 10sin− 5 sin2 sin−  Resolviendo 4

    4 = ; 2 =  

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    ∫ ⁄ = ∫ ⁄ = √4 ⁄  

    = 1 0 2 5  4  4  

    10 50 22 50 10sin− x2 5 sin2 sin− x2 20 13 4 ⁄ 20 105 25 10sin−1 5 sin2sin−1 0 0   4 2 ⁄ 4 0 ⁄  V = 2 5 1 0 2 0 0 13 4 ⁄  

    = 2 5 5 83 

    =  EJERCICIO 6.

    Aplique las integrales dobles para coordenadas rectangulares para probar que el área de la región

    ubicada en el interior del circulo x2+y2=4 , la recta y= xy, y la recta y = -x en el primer y cuarto

    cuadrante es

     

    Área 1.

    SOLUCION

    La región de D se puede dividir en una región superior y en una inferior, a su vez, la región

    superior estaría definida por una región D1 y D2.

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    = { , ∈ ≤ ≤ √  ^ ≤ ≤ }  = , ∈ √  ≤ ≤ ^ ≤ ≤    

    = ∬ , = ∬ , = ∬ , ∬ ,      = √   −

    √   

      = √   −√   

      =  

    √ √ 

     

    Resolviendo ∫ √  √    ∫ √  √  = = ; = ∫ √    = ∫ √       

    √   =

    √  =

    √  

    ∫ √  ∫ √  (2 )= √  √  = −  − √     = √ +− − √     = = → =  

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    11/19

    EJERCICIO 7.

    Teniendo en cuenta la figura 2. Pruebe que el volumen del solido S que se encuentra debajo de la

    esfera x2+y2+z2= 4 en el primer octante es   u3

    SOLUCION

    =     = → = → = → = /   = , : ≤ ≥ , ≤ ≥   = , : ≤ ≥ , ≤ ≥  

    = → =     = ∬ ,   = ∬    

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    12/19

    = ∬    

    = ∬   ∬    

    =      

     

     

    =   → = →=→=  = → = √  = √  → =  

    = → = √  = √  → = √  

    = → =   = √  → =   = √   

    √ 

     

    = √   

    √ 

     

    = √  √ 

    = (√ ) (√ )

      = (√ ) ( √ ) ∗  

    = √  √   =  

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    8. Pruebe que el volumen del solidó que se encuentra limitado por los paraboloides 2 2 z 3x  3y

    y 2 2 z  4  x  y en el primer octante es /2 u 3 .

    SOLUCION

    Igualamos los z y tenemos que:

    4 → 4 = 4 4 → =14 ∫   ∫ 1 √ −   Pasando a coordenadas polares

    = cos ̂ = sin  

    =   0 ≤ ≤ 1 0 ≤ ≤ 2 4 1 √ −

    → 4 1

     

    4

    4 2

    4

    10

     

    4 12 14 0 0 → →

    |20 =  

    EJERCICIO 9.

    Pruebe que el volumen de la semiesfera con radio a en el primer octante es (1/6)a3 u3.SOLUCION

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    14/19

     

    SOLUCION

    En polares:

    =

    =  

    =   = , : 0 ≤ ≥ , ≤ ≥ 2  = → =     =     = ∬ , = ∬ ,   =  

    ⁄   =   → = → 2 = 2 → → =  

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    15/19

    = 0 → =   0 =   → =   = → =   = √ 0 → = 0 

    = = =

    =

    = |  13

     

    = 2 0 13 − = 2 ∗ 3 → = 16  

    EJERCICIO 10.

    Teniendo en cuenta la figura 3.Pruebe que el área superficial de la parte de la esfera x2 + y2 +z2=4

    Que se encuentra arriba del región R, es√    u2.

    SOLUCION

      1  , =  4  

    = 4    = 4   Reemplazando:

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      4   4  

    1  

     

    →   4 4 1  //  

    →   4 1

     /

    /  

    →   4 1  // →   44  // → 2√ 4 //  → 2 4 −

    // → 2 4 −

    /

    /→ 2 4  // 21 → 0 ( 2√ 3)

    //   → 2√ 3

    //  

    → (2√ 3) /3/6 → 2√ 33 2√ 36 → 2√ 33 √ 33 → √   EJERCICIO 11.

    Pruebe que el área superficial de la parte de la esfera x2+y2= 3x y arriba del plano xy es 9 u2.

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    SOLUCION

    X2+Y2+Z2 =9 X2+Y2=3X X2+Y2=r2

    Z=( 9- X2- Y2)1/2 

    Fz/Fx = − − − /  Fz/Fx = − − − / r2 = 3rcos

    r2 - 3rcos =0

    r( r - 3rcos )=0 x=rcos y=r sen

    r=0 ; r= 3rcos

    D{ TT/2 3TT/2 ; 0 r 3cos }

    As= ( Fx2 + FY2)1/2

    As=(− − − /  + − − − /  + 1 )1/2

    As= TT/2 3TT/2 0 3rcos (− − − /  + − − − /  + 1 )1/2 rdrd

    As= TT/2 3TT/2 0 3rcos ( − − /  + − − /  + 1 )1/2 rdrd

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    As= TT/2 3TT/2 0 3rcos ( − /+ 1 )1/2 rdrd

    As= = TT/2 3TT/2 0 3rcos (+ − − /+ 1 )1/2 rdrd

    As= TT/2 3TT/2 0 3rcos (

    − /  rdrd

    u=   du=-2rdr –du/2 = rdrAs= TT/2 3TT/2[ 0 3rcos  /  ]d As= TT/2 3TT/2[ 0 3rcos     −/  ]d  => TT/2 3TT/2 [-3(u)1/2]0 3rco d As= TT/2 3TT/2 [-3(9 – r2)1/2]0 3rco d 

    As= TT/2 

    3TT/2

    [-3(9 –

     9cos2

    )1/2

     – (-3(9)

    1/2

    )] d 

    As= TT/2 3TT/2 [ – 9(sen2 )1/2 + 9 ] d 

    As= TT/2 3TT/2 9[1 – sen  ] d  => 9[  + 9cos  ] 3TT/2 TT/2

    As= 9[3TT/2] + 9[cos (3TT/2)] – [9[3TT/2] + 9[cos (3TT/2)]]

    As= (27TT/2 + 0 )- (9TT/2 + 0 )= 27TT/2 - 9TT/2 = 9TT

    EJERCICIO 12.

    Una piscina tiene forma de un círculo de 40pies de diámetro. La profundidad es constante a lo

    largo de rectas este-oeste y aumenta linealmente desde 2pies en el centro sur hasta 7 pies en el

    extremo norte. Aplique las integrales triples para hallar el volumen de agua de esta piscina.

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    19/19

    SOLUCION

    m=z−z− −+−−  −−   

    z – z0 = m(

    y y o) => z + 2 = m(

    y 2 0)

    z=   y 2 = > =  y  Rp = { (r , θ) 0≤r≤20 ; 0≤ θ≤2TT}

    V= 02TT 020(  r senθ9/2 )rdrdθ 

    V= 02TT 020(  r2 senθ9/2r )rdrdθ 

    V= 02TT (

     r3 senθ

    9/2r2 )]0 20dθ 

    V= 02TT (  r3 senθ900 )dθ V=(   cosθ900θ]0 20dθ V= (1) – ( ) entonces V=-900(2TT)


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