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T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1- 1


Diese Modul ist Pflicht für alle Studierenden mit Studienziel:Physik (BP), Nanostrukturtechnik (BN), Mathematische Physik (BMP).

Es ist vorgesehen für das vierte Semester und dient der Vorbereitung der höheren Praktikumsmodule.(Bachelor C‐Modul, Master F‐Praktikum)

Die Inhalte des Moduls 11‐P‐FR2 werden für die C‐Praktikumsmodule als beherrscht vorausgesetzt.

Fortgeschrittene Fehlerrechnung

11‐P‐FR2 Fortgeschrittene Fehlerrechnung und computergestütztes Arbeiten

Vorlesung

Übung

Es müssen sechs Übungsblätter erfolgreich bearbeitet werden.


Ankündigung Termine

Zieldatum Thema Worum geht es?

24.04.2019 Verteilungsfunktionen Poissonverteilung, Chi‐Quadrat‐Verteilung

08.05.2019 Hypothesentest Signifikanztests allgemein, Chi‐Quadrat‐Test

15.05.2019 Korrelationen Kovarianz, linearer Korrelationskoeffizient

22.05.2019 Regression I Poissonsche Regression

29.05.2019 Regression II Anpassung mit Polynomen

05.06.2019 Regression III Anpassung mit orthogonalen Funktionen

19.06.2019 Regression IV Nichtlineare Anpassung

26.06.2019 Modellentwicklung Beurteilung der Übereinstimmung von Messung und Modell

03.07.2019 Linienformanpassung Anpassung an Lorentz‐/Gausskurven mit Untergrund

17.07.2019 Weiterführende Themen Einige Überlegungen zur Metrologie


Die Ausgabe der neuen Übungsblätter ist:Freitag, 10:45 – 12:15 Uhr

Studentenbüro

Der Abgabetermin der bearbeiteten Übungsblätter ist:Folgender Freitag, 13:00 Uhr im Fehlerrechnungsbriefkasten

Übungsaufgaben - Organisatorisches


Literatur

J. Hartung: „Statistik: Lehr‐ und Handbuch der angewandten Statistik", 2009P. Bevington: "Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences", 2003

Folien: https://www.physik.uni-wuerzburg.de/studium/bachelor/

grundpraktikum/fortgeschrittene-fehlerrechnung/

Das „Handout“ ist lediglich ein grobes Gerüst. Es ersetzt weder den Besuch der Vorlesung noch die intensive

Beschäftigung mit dem Stoff.

Sorry, das ist offenkundig wenig komfortabel

Die Veranstaltung basiert wesentlich auf folgenden Lehrbüchern


X i Y i

0,20 52,4

1,17 54,6

1,96 57,7

2,98 59,5

4,05 62,7

5,12 65,6

5,93 67,0

7,01 69,0

8,24 72,80,00 2,00 4,00 6,00 8,00

50,0

55,0

60,0

65,0

70,0

75,0

Testmessung zur linearen Regression

Y

X

Zentrale Fragestellungen

Wir führen eine Messung durch und erhalten folgende Werte

1.) Wie können wir objektiv beurteilen, inwieweit die Daten unsere Annahme erfüllen und wirklich einer bestimmten Funktion (hier einer Gerade) folgen?

2.) Angenommen die Beziehung zwischen x und y ist linear, welche Gerade passtam besten zu den Messwerten?


Für jedes Xi gibt es eine Wahrscheinlichkeit Pi den Messwert Yi zu erhalten.

Normalverteilung der Messwerte:

21 1exp

22i i

iii

y y xP

Vorüberlegungen.y a bx


21 1exp

22i i

iii

y y xP

Vorüberlegungen

Die Wahrscheinlichkeit unseren Datensatz bei N Messpunkten genau so zu beobachten ist dann gegeben durch:

0 01 1

11

21 1( , ) exp

22

21 1exp

22

N Ni i

ii i ii

N Ni i

ii ii

y y xP a b P

y y x

Die beste Gerade liegt dann vor, wenn die Wahrscheinlichkeit maximal wird. Dasist der Fall, wenn der Exponent

minimal wird.

2

1 1

2 2N Ni i i i

i ii i

y y x y a bx


21 1exp

22i i

iii

y y xP

Vorüberlegungen

Das gesamte weitere Vorgehen beruht also auf der Annahme, dass unsere Datenpunkte verteilt sind nach:

Wie können wir objektiv beurteilen, inwieweit die Daten unsere Annahme erfüllen und wirklich einer Normalverteilung folgen?

Ist es möglich unsere bisherigen Überlegungen zur Anwendung zu bringen, wenn die Daten einer anderen bekannten Verteilung folgen?


Verteilungsfunktionen III:

Wiederholung

Poissonverteilung

Chi-Quadrat-Verteilung


Was bisher geschah…

1.) Die Binomialverteilung

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

Beschreibt Anzahl der Erfolge bei Serie gleichartiger und unabhängiger Versuche mit

nur zwei möglichen Ergebnissen (Bernoulli - Experiment)

W(m) beschreibt, für gegebene Erfolgswahrscheinlichkeit p, die Wahrscheinlichkeit bei n

Versuchen genau m Erfolge zu erzielen.

Normiert, d. h. Summe über alle W(m) ist eins.

Erwartungswert M = n·p

Varianz: 2 = n·p (1-p) = M (1-p)

mnm ppmn

mW

1


Was bisher geschah…

2.) Die Normalverteilung

Kontinuierliche Verteilung

Symmetrisch um den Erwartungswert M, geht schnell gegen null wen (x - M)2 groß wird

Standardabweichung gegeben durch , Wendepunkt der Verteilungsfunktion

Normiert, d. h.

Fehlerfunktion

Im Grenzfall n konvergiert Binomialverteilung gegen Normalverteilung

2221 1

2

x M

e dx

dzePz

1

12

2

2

11innerhalb

2

2

2exp

21)(

MxxG


Wir machen eine Messung

Die Messwerte xm setzen sich aus einer großen Zahl

von kleinen Elementarfehlern zusammen,

die um den wahren Wert (Mittelwert) verteilt sind.

Die Elementarfehler treten n mal auf,

m mal positiv und n-m mal negativ.

fm = m - (n-m) = 2 m - n

[m = n/2 + fm/ 2 ]

Bernoulli- Verteilungdiskret

Parameter: n=1, p

Binomial-Verteilung

diskretParameter: n, p

Bi (x)

Gauss-Verteilung

Normal-Verteilungkontinuierlich

Parameter: ,

G (x)

n

p const.

Der Fehler fm setzt sich somit zusammen aus (p = 1/2):

Von der Binomial- zur Normalverteilung


Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fehler m mal positiv und n-m mal negativ auftritt wird durch die Binomial-Verteilung

gegeben:

nnmnm

m !mnm!n!

mn

ppmn

P22

11

Die Verteilung ist treppenförmig

Lassen wir immer kleiner werden und n immer größer,

dann wird die Anzahl der Stufen immer größer, die Kurve immer "glatter".

Versuch, eine Funktion zu finden, die den Verlauf beschreibt.

PmPm+1 Pm+2 Pm+3 Pm+4

fm fm+1 fm+2 fm+4fm+3



1

1

mm

mm

ffPP

fP

nmnm mn

Pundmn

P21

121

1

2112 mP

mmn

fP

Die Rechnung soll durchgeführt werden für Fehler, die klein sind gegen den maximalen Fehler, also

fm << n und m >> 1.

21 11

mmmm ffsowiePmmnP

[m = n/2 + fm/ 2 ]

Von der Binomial- zur Normalverteilungfm = m - (n-m) = 2 m - n


2112 mP

mmn

fP

[m = n/2 + fm / 2 ]

dfdP

nfP

nfP

fP mm

22

n - 2 m – 1 n - 2 m = - fm/ und der Nenner

m + 1 m = n/2 + fm/2 n/2

2fP

dfdP

dffPdP

21

Abkürzung : n 2 = 2

constxP 222

1ln

221

d2

2

2x

edP



Was fehlt ?

Wann ist n in der Praxis gut erfüllt?

FAUSTREGEL: n·p > 9

d. h. n hinreichend groß und p nicht zu klein.

je asymmetrischer die Binomialverteilung, desto größer muss n

sein um gut durch Normalverteilung genähert zu sein.

Was passiert, wenn p sehr klein ist?

Betrachten wir den Fall n und p 0,

mit der Nebenbedingung n·p = konstant.


Poissonverteilung


Von der Binomial- zur Poisson-Verteilung

Binomialverteilung mnm ppmn

mW

1

Gesucht: W(m) für n und p = /n

1

!lim lim 1( )! !

( 1)( 2) ( 1) lim 1 1!

1 2 1 lim 1 1!

m n m

n n

n mm

mn

nm

n

nW mn m m n n

n n n n mm n n n

n n n n mm n n n n n

1

lim 1!

m

nm

n

n

m n


lim lim 1!

nm

n nW m

m n

Kurze Erinnerung: Euler‘sche Zahl und Näherungsformel Exponentialfunktion

Damit:

lim 1n

x

n

xen

Dies wird als Poisson`scher Grenzwertsatz oder als Gesetz seltener Ereignisse bezeichnet.

lim !

m

nW m e

m

Von der Binomial- zur Poisson-Verteilung


Poisson-Verteilung

Die Verteilung: .....,3,2,1,0,

xwobeix!exPx

x ist die Anzahl von Ereignissen in einer bestimmten Zeit oder in einem bestimmten Volumen, wobei ein bestimmter Mittelwert solcher Ereignisse

erwartet werden kann.

Die Ereignisse müssen zufällig und unabhängig voneinander sein.

Die Verteilung ist diskret und asymmetrisch.

heißt Poissonverteilung oder Verteilung seltener Ereignisse.


Konsistenz: Wie groß ist der Mittelwert (Erwartungswert)?

e

xxxPxx

x

x

x 00 !Der erste Term der Summe ist Null.

Der Faktor x/x! kann durch 1/(x-1)! ersetzt werden.

e....

!!

x

x

!xex

321

1

1

32

1

Das heißt der Parameter , der die Poisson-Verteilung charakterisiert,

ist gleich der mittleren Anzahl der gezählten Ereignisse, die erwartet wird,

wenn wir das Zählexperiment viele Male wiederholen.

Poisson-Verteilung


Wie groß ist die Standardabweichung ?

Zunächst Berechnung der Varianz

0

22

0

22

2x

x

x

x

x!exx

x!ex

2

0

2

2

0

0

22

2

2

x

x

x

x

x

x

x!e

x!ex

x!ex

Poisson-Verteilung


22

0

2 2

0

x

x

x

x

eσ xx!

exx!

ersetzen von x2 mit (x ( x - 1 ) + x ), führt zu

2

00

2

0

2

1

1

x

x

x

x

x

x

x!ex

x!exx

x!exxx

Ersetzen von x-2 durch , summieren von = 0 ergibt für die Summe den Wert eins und damit wird:

2

2

22

2

0

2

2

1

x

x

x

x

)!(xe

x!exx

222

Poisson-Verteilung

Verschiebungssatz:


Die Standardabweichung ist somit gleich der Wurzel aus dem Mittelwert.

Der relative Fehler der Poisson-Verteilung ist somit:

Der Fehler des Mittelwertes ist gegeben durch:

nnn1

n

wobei n die Anzahl der Messungen ist, die wir verwendet haben, um den Mittelwert zu bestimmen.

Poisson-Verteilung


Die Anwendung der Poisson-Verteilung ist breit gefächert:

Anzahl der Telefongespräche, die in einer bestimmten Zeit bei einer Firma

eintreffen.

Anzahl der Kunden an einem Bankschalter pro Zeiteinheit.

Anzahl der Bakterien pro Liter Nährlösung.

Anzahl der Verkehrsunfälle pro Zeiteinheit an einer Kreuzung.

Anzahl der in einer bestimmten Zeit zerfallenden Atomkerne.

Poisson-Verteilung


Beispiel: An einer Kreuzung finden pro Woche zwei Verkehrsunfälle statt. Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung

mit = 2 beschrieben.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Woche kein Unfall stattfindet ?

13533500

20 220

.e!eP

x!exPx

Poisson-Verteilung


Beispiel: An einer Kreuzung finden pro Woche zwei Verkehrsunfälle statt. Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung mit = 2 beschrieben.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als vier Verkehrsunfälle in zwei Wochen stattfinden ?

P( 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.4335

19536703

43

14652802

42

07326401

41

01831600

40

43

42

41

40

.!eP

.!eP

.!eP

.!eP

Ähnliche Fragen sind z. B. wie viele Kinder werden

pro Tag in einem Krankenhaus geboren ?

(Jahreszeitliche Schwankungen) !!.

Liegt tatsächlich eine Poissonverteilung vor ?

Qualitativer graphischer Vergleich

Quantitativ mittels 2-Test

Poisson-Verteilung


Poisson-Verteilung

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25U

nfal

lwah

rsch

einl

ichk

eit

Anzahl der Unfälle

Poisson-Wahrscheinlichkeit für erwartete zwei Unfälle pro Woche


Poisson-Verteilung

Anzahl Unfälle Häufigkeit Relative Häufigkeit

0 7 0,13462

1 14 0,26923

2 16 0,30769

3 9 0,17308

4 4 0,07692

5 1 0,01923

6 0 0

7 1 0,01923

8 0 0

Betrachte die Anzahl der Unfälle an der Kreuzung über ein Jahr:Poissonverteilt?

Wie groß ist der Mittelwert?


Poisson-VerteilungAnzahl Unfälle Häufigkeit Relative Häufigkeit

0 7 0,13462

1 14 0,26923

2 16 0,30769

3 9 0,17308

4 4 0,07692

5 1 0,01923

6 0 0

7 1 0,01923

8 0 0

(0 7 1 14 2 16 3 9 4 4 5 1 6 0 7 1 8 0) / 52 1,94


Poisson-Verteilung

Anzahl Unfälle Häufigkeit Relative Häufigkeit Poissonwahr.

0 7 0,13462 0,1441 14 0,26923 0,2792 16 0,30769 0,2703 9 0,17308 0,1754 4 0,07692 0,0855 1 0,01923 0,0336 0 0 0,0117 1 0,01923 0,0038 0 0 0,001

Betrachte die Anzahl der Unfälle an der Kreuzung über ein Jahr:Poissonverteilt?


0 1 2 3 4 5 6 7 80,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30U

nfal

lwah

rsch

einl

ichk

eit

Anzahl der Unfälle

Relative Häufigkeit Anzahl Unfälle

Poissonwahrscheinlichkeit für erwartete 1,92 Unfälle

Poisson-Verteilung

Übereinstimmung gut?


29.09.2003 Vorlesung 5 44

Poisson-Verteilung

diskretParameter = 2

P(x)

Gauss-Verteilung

Normal-Verteilungkontinuierlich

Parameter: ,

G (x)

= n p

Zusammenhang der Poisson- und Normalverteilung


Binomial‐Verteilungdiskret

Parameter: n, pBi (x)

Poisson ‐ Verteilung

diskret

Parameter = 2

P(x)

Gauß ‐ VerteilungNormal ‐ Verteilung

kontinuierlichParameter: ,

G (x)

n

p 0

n

p const.

= n p

Bernoulli ‐ Verteilung

diskret

Parameter: n=1, p

Zusammenhang der Verteilungen


Ist die Population endlich ?

Ist n groß ?

Ist n·p > 9 ?

JA

JA

JA

NEIN

NEIN

NEIN

Hypergeometrisch Gauß BinomialPoisson

Zusammenhang der Verteilungen


Chi-Quadrat-Verteilung


Chi-Quadrat in der deskriptiven Statistik

Allgemeine Definition :

n

k k

kk

TTE

1

22

Ek ist die experimentelle HäufigkeitTk ist die theoretisch erwartete Häufigkeit

Wir wiederholen eine Messung viele (N) Male,fassen die Messwerte in n-Klassen zusammen

und ermitteln die Anzahl der Beobachtungen Ek, die in die Klasse k fallen.Beispiel: Siehe Übungsaufgabe zur Poisson-Verteilung

Unter der Voraussetzung, dass die Messwerte der erwarteten Verteilung folgen, berechnen wir die

theoretisch erwartete Zahl von Messwerten in der k-ten Klasse.


Allgemeine Definition :

n

k k

kk

TTE

1

22

Ek ist die experimentelle HäufigkeitTk ist die theoretisch erwartete Häufigkeit

Bei 2 = 0 ist die Übereinstimmung vollkommen.

Dies ist praktisch nie der Fall, also wird 2 > 0 sein.

Wir müssen daher wissen, welche Streuung hier erwartbar ist.

Chi-Quadrat in der deskriptiven Statistik


222

21

2 ... nn ZZZ

Zentrale Chi-Quadrat-Verteilung

Annahme: Wir betrachten Zufallsvariablen Z1,Z2,…..,Zn deren Wahrscheinlichkeitsdichte fi (i = 1,2,…n) gegeben ist durch

2

21exp

21)(

i

i

ii

xxf

Weiterhin:

Für die weiteren Überlegungen nur Zufallsvariablen Zi mit i = 0 und i = 1.Das bezeichnet man als N(0,1)-verteilte Zufallsgröße.

Wie sieht die Verteilung / Wahrscheinlichkeitsdichte dieser Zufallsgröße aus?


Zentrale Chi-Quadrat-VerteilungFür N(0,1)-verteilte Zufallsgrößen vereinfacht sich die Dichte zu:

;2

exp21)(

2

xxfi

Sei nun 2 = Z12,dann ergibt sich für die Verteilungsfunktion :

1)(2)(1)()()()( 12

121

xxxxZxPxZPxF

)(21xF

Erinnerung: Die zugehörige Verteilungsfunktion ist die bekannte Fehlerfunktion:

x z

dzex 2

2

21

und für die zugehörige Dichte:

2exp

21

212)()( 2

1

21

21

xxx

xxFdxdxf



Betrachten wir als nächstes 2 = Z12+Z2

2 :

dyyxfyfxfx

)()()( 21

21

22

0

2exp

21)( 2

1

21

xxxf

dyyxyxyyx

2exp)(

21

2exp

21 2

1

0

21

)1()(

12

exp21 2

0

uxydyyxy

x x

Substitution:

1

0

1

02

0

1222

0

arcsin2)1(

2)1(

2)(

1 uduu

duuux

xudyyxy

x

;2

exp21

x


Betrachten wir weiter 2 = Z12+Z2

2 + Z32:


2exp

21)( 2

1

21

xxxf

2exp

21)(2

2

xxf

dyyxfyfxfx

)()()( 22

21

23

0

dyyxyyx

2exp

21

2exp

21

0

21

dyyx x

0

21

2exp

221

2exp

21 xx



Und noch weiter 2 = Z12+Z2

2 + Z32+Z4

2:

2exp

21)( 2

1

21

xxxf

2exp

21)(2

2

xxf

dyyxfyfxfx

)()()( 22

22

24

0

2exp

21

23

xxf

dyyxyx

2

exp21

2exp

21

0

2exp

41 xx

0,2

exp!1

22

1)(1

2

2

2

xxxn

xfn

nn

Kleine Erinnerung:

!

21

Damit erhält man schließlich für die Dichte nach n Schritten:



0,2

exp!1

22

1)(1

2

2

2

xxxn

xfn

nn

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