Date post: | 05-Apr-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | alfihar-schilt |
View: | 106 times |
Download: | 3 times |
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
Seminar Seminar Stringtheorie und Geometrische Stringtheorie und Geometrische
Methoden der PhysikMethoden der Physik
Elliptische FunktionenElliptische Funktionen
Bayrischzell, 07.03.2005 – 11.03.2005Bayrischzell, 07.03.2005 – 11.03.2005
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
GliederungGliederung
1.1.EinführungEinführung
2.2.Elliptische FunktionenElliptische Funktionen
3.3.Die Weierstrass‘sche -FunktionDie Weierstrass‘sche -Funktion
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
Ausgangspunkt: Ausgangspunkt: Elliptische IntegraleElliptische Integrale
Berechnung der Länge von Berechnung der Länge von EllipsenbögenEllipsenbögen
Spezielles elliptisches Integral (seit 1718, Spezielles elliptisches Integral (seit 1718, G.C. FagnanoG.C. Fagnano):):
x
t
dtxE
041
:)(
Abel: Abel: UmkehrfunktionUmkehrfunktion f ist meromorph fortsetzbar in ganz mit f ist meromorph fortsetzbar in ganz mitCC
Offensichtlicher Offensichtlicher reeller Periodereeller Periode
Verborgener Verborgener komplexer Periodekomplexer Periode
Doppelt Doppelt periodisch!periodisch!
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
Neuer Zugang zu elliptischen Integralen:Neuer Zugang zu elliptischen Integralen:
Deren Eigenschaften lassen sich einfach aus Deren Eigenschaften lassen sich einfach aus funktionentheoretischen Eigenschaften der elliptischen Funktionen funktionentheoretischen Eigenschaften der elliptischen Funktionen ableitenableiten
Weierstrass (1862/1863):Weierstrass (1862/1863):
Vorlesung mit rein Vorlesung mit rein funktionentheoretischerfunktionentheoretischer Einführung in die Einführung in die Theorie der elliptischen FunktionenTheorie der elliptischen Funktionen
Ausgangspunkt: Ausgangspunkt: -Funktion-Funktion (spezielle elliptische Funktion) (spezielle elliptische Funktion)
• Genügt DifferentialgleichungGenügt Differentialgleichung
• Jede elliptische Funktion Jede elliptische Funktion darstellbar als rationale Funktion darstellbar als rationale Funktion in und in und '
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
Elliptische FunktionenElliptische Funktionen
Elliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
Definition:Definition: Eine Teilmenge L Eine Teilmenge L сс heißt heißt GitterGitter, wenn es zwei R-, wenn es zwei R-linear unabhängige „Vektoren“ linear unabhängige „Vektoren“ ωω11 und und ωω22 in gibt, so dass gilt: in gibt, so dass gilt:
CCCC
nmnmL , ;2121
ReRe
ImIm
ωω11
ωω22
ωω11++ωω22
--ωω11
--ωω22
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
CCCf :
CzLzfzf und für )()(
Definition:Definition: Eine Eine elliptische Funktion elliptische Funktion zum Gitter L ist eine zum Gitter L ist eine meromorphe Funktionmeromorphe Funktion
mit der Eigenschaftmit der Eigenschaft
• Bezeichnung: doppelt periodischBezeichnung: doppelt periodisch
• Mengen der Null- und Polstellen sind selbst „periodisch“: Mengen der Null- und Polstellen sind selbst „periodisch“:
MaMa
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
ReRe
ImIm
ωω11
ωω22
ωω11++ωω22
Der PeriodentorusDer Periodentorus
Gesamte Information über Gesamte Information über eine elliptische Funktion ist eine elliptische Funktion ist in der „Grundmasche“ in der „Grundmasche“ codiertcodiert
1,0 ; 212211 ttttzF
Geometrisches Modell:Geometrisches Modell:
ωω11
ωω22
ωω11++ωω22
00
aa
aa
bbbb aa
bbbb
aa
bb
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
a
afordfOrd );()(
Definition:Definition: Die Die Ordnung Ordnung einer elliptischen Funktion ist die Anzahl einer elliptischen Funktion ist die Anzahl aller Pole auf dem Periodentorus, wobei jeder Pol so oft gezählt aller Pole auf dem Periodentorus, wobei jeder Pol so oft gezählt wird, wie seine Vielfachheit angibtwird, wie seine Vielfachheit angibt
Dabei:Dabei: );( naford f hat in a einen Pol der Vielfachheit nf hat in a einen Pol der Vielfachheit n
Satz:Satz: Es gibt keine elliptische Funktion der Ordnung 1 Es gibt keine elliptische Funktion der Ordnung 1
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
Die Weierstrass‘sche -FunktionDie Weierstrass‘sche -Funktion
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - -Funktion - -Funktion
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
Gesucht: Gesucht: Möglichst einfaches Beispiel einer elliptischen Möglichst einfaches Beispiel einer elliptischen FunktionFunktion
Ord(f) = 1Ord(f) = 1 Ord(f)= 2Ord(f)= 2
Einen Pol 2. Einen Pol 2. OrdnungOrdnung
Zwei Pole Zwei Pole 1.Ordnung1.Ordnung
Konstruiere elliptische Funktion zweiter Ordnung, die Konstruiere elliptische Funktion zweiter Ordnung, die in 0 einen Pol zweiter Ordnung besitzt!in 0 einen Pol zweiter Ordnung besitzt!
Folgerung: Folgerung: Auch jeder andere Pol muss dann Auch jeder andere Pol muss dann Gitterpunkt sein!Gitterpunkt sein!
a
afordfOrd );()(
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
Lz
2)(1
Denkbarer Ansatz: Denkbarer Ansatz:
2222
11
)(
1
nmnimz
Problem: Problem: Keine absolute Konvergenz!Keine absolute Konvergenz!
Beweis:Beweis: Für Für z=0, L=Z+Ziz=0, L=Z+Zi, gilt für , gilt für ωω=m+ni=m+ni::
1. Hilfssatz:1. Hilfssatz: Die Reihe Die Reihe
konvergiert dann und nur dann, wenn konvergiert dann und nur dann, wenn > 1 ist> 1 ist
)0,0(),(),(
22 ,
)(
1
nmZZnm
Rnm
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
3. Hilfssatz:3. Hilfssatz: Sei M Sei M сс L\ L\{0} eine Menge von {0} eine Menge von Gitterpunkten. Die ReiheGitterpunkten. Die Reihe
konvergiert in C\M normal und stellt dort eine konvergiert in C\M normal und stellt dort eine analytische Funktion dar.analytische Funktion dar.
Mz
221
)(1
2. Hilfssatz:2. Hilfssatz: Sei L Sei L сс C ein Gitter. Die Reihe C ein Gitter. Die Reihe
konvergiert für s>2.konvergiert für s>2.
s
L
}0\{
Idee (Weierstrass):Idee (Weierstrass):
Einführung von konvergenzerzeugenden SummandenEinführung von konvergenzerzeugenden Summanden
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
definierte Funktion heißt definierte Funktion heißt Weierstrass‘sche -Funktion Weierstrass‘sche -Funktion zum zum Gitter LGitter L
Definition (K.Weierstrass 1862/63):Definition (K.Weierstrass 1862/63): Die durch Die durch
Lzz
Lzzz
zLzL
für )(
für 1
)(
11)();(
}0\{222
Abbildung:Abbildung:
Die Weierstrass‘sche Die Weierstrass‘sche -Funktion und ihre -Funktion und ihre
AbleitungAbleitung
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
Satz:Satz: Eigenschaften der -Funktion zum Gitter L Eigenschaften der -Funktion zum Gitter L
• In ganz C meromorphIn ganz C meromorph
• Pole zweiter Ordnung in den GitterpunktenPole zweiter Ordnung in den Gitterpunkten
• Außerhalb von L analytischAußerhalb von L analytisch
• Gerade, alsoGerade, also
• Laurententwicklung um zLaurententwicklung um z00=0: =0:
)()( zz
...)( 44
22
12 zazazz
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
Satz:Satz: Charakterisierung der -Funktion Charakterisierung der -Funktion
Die Weierstraßsche -Funktion ist eine elliptische Die Weierstraßsche -Funktion ist eine elliptische Funktion der Ordnung 2Funktion der Ordnung 2
Ihre Ableitung ist eine elliptische Funktion der Ihre Ableitung ist eine elliptische Funktion der Ordnung 3Ordnung 3
L z
z 3)(
12)(' Ungerade: Ungerade: )(')(' zz
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
Satz:Satz: Nullstellen von : Nullstellen von :
Ein Punkt a Ein Punkt a ЄЄ C ist genau dann eine Nullstelle von , falls gilt: C ist genau dann eine Nullstelle von , falls gilt:
Es gibt genau drei einfache Nullstellen auf C/LEs gibt genau drei einfache Nullstellen auf C/L
''
LaLa 2 ,
'Nullstellen von :Nullstellen von :2
,2
,2
2121
Halbwerte der -Funktion:Halbwerte der -Funktion:
2 ,
2: ,
2: 21
32
21
1
eee
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
Aussage: Die Umkehrung der -Funktion ist ein elliptisches IntegralAussage: Die Umkehrung der -Funktion ist ein elliptisches Integral
Theorie der elliptischen Integrale „mitgeliefert“Theorie der elliptischen Integrale „mitgeliefert“
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
Herleitung der Differentialgleichung für die -FunktionHerleitung der Differentialgleichung für die -Funktion
Erinnerung: Laurentreihe der -FunktionErinnerung: Laurentreihe der -Funktion
0mit 1
...1
)(0
222
44
222
o
n
nn aza
zzaza
zz
Bestimmung der Koeffizienten mit Hilfe der Taylorschen Formel: Bestimmung der Koeffizienten mit Hilfe der Taylorschen Formel:
)!2(
)0( ,
1)(:)(
)2(
20
222 n
faza
zzzf
n
nn
nn
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
Induktion nach n liefert für n>1: Induktion nach n liefert für n>1:
}0\{2
)()(
)(
1)!1()1()(
Ln
nn
znzf
Und damit: Und damit:
}0\{)1(2
)2(
2
1
)!2(
)!12(
)!2(
)0(
Ln
n
n n
n
n
fa
L z
z 3)(
12)('
2
1)(:)(z
zzf
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
n
n Ln
n
nn zn
zza
zz 2
1 }0\{)1(22
0
222
1)12(
11)(
Satz:Satz: Die Reihe Die Reihe
konvergiert absolut, und es gilt:konvergiert absolut, und es gilt:
3, ,}0\{
nNnGL
nn
nn
n
zGnz
z 2)1(2
12
)12(1
)(
Eisenstein-Eisenstein-reihenreihen
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
Zurück zur Differentialgleichung für die -FunktionZurück zur Differentialgleichung für die -Funktion
Ziel: Stelle als Polynom in darZiel: Stelle als Polynom in dar
2)(' z
...53)( 46
24
2 zGzGzz
...106)( 264
42 zGGzz
...159)( 62
463 GzGzz
...2062)(' 364
3 zGzGzz
...80244)(' 62
462 GzGzz
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
...14060)(4)(' 62
432 GzGzz
...140)(60)(4)(' 6432 GzGzz
)(60 4 zG
Elliptische Funktion ohne PoleElliptische Funktion ohne Pole
Elliptische Funktionen ohne Pole sind Konstanten, diese muss in Elliptische Funktionen ohne Pole sind Konstanten, diese muss in diesem Fall -140Gdiesem Fall -140G66 sein. sein.
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
Theorem: Theorem: Algebraische Differentialgleichung der -FunktionAlgebraische Differentialgleichung der -Funktion
}0\{
663
}0\{
442
3232
140140
6060g
mit
)()(4)('
L
L
Gg
G
gzgzz
Stringtheorie – Elliptische FunktionenStringtheorie – Elliptische FunktionenSabine PallasSabine Pallas
EinführungEinführungElliptische Elliptische FunktionenFunktionen
Die Die Weierstrass‘sche Weierstrass‘sche - - - -FunktionFunktion
Vielen Dank für die Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Aufmerksamkeit!