Vorlesungsskript zur Strömungsmaschinen, Prof. Dr.-Ing. Janusz A. Szymczyk
04.03.2013
1
Vorlesungsskript
zum Selbststudium
der Vorlesung
Strömungsmaschinen
Prof. Dr.-Ing. J. A. Szymczyk
Dipl.-Ing. (FH) T. Panten
Fachgebiet für Strömungslehre und Strömungsmaschinen
FH Stralsund, FB Maschinenbau
Stand: 04.03.2013
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Inhaltsverzeichnis
1. EULER-TURBINENGLEICHUNG ................................................................. 7
1.1. Radiallaufrad ................................................................................................. 7
1.2. Herleitung ...................................................................................................... 9
1.3. Die EULERsche Turbinengleichung (gilt für alle STM) ...................................10
1.4. Diskussion der EULER-Gleichung an Hand des Laufrades einer Radialmaschine .....................................................................................................18
1.5. Dissipationseffekte und Verluste in Strömungsmaschinen ...........................22
1.6. Kennlinien von Strömungsmaschinen ..........................................................24
1.6.1. Kennlinienänderung für unterschiedliche Drehzahlen, n ......................27
1.6.2. Kennlinienänderung für unterschiedliche Dichten, ρ ............................28
1.7. Die Verbraucherkennlinie und der Arbeitspunkt ...........................................29
1.8. Kavitation und Maßnahmen zu ihrer Vermeidung ........................................32
2. GASTURBINEN .......................................................................................... 37
2.1. Thermodynamische Grundlagen ..................................................................37
2.1.1. Arbeit am geschlossenen System, Energieform „Arbeit“, Volumenänderungsarbeit ..................................................................................37
2.1.2. Innere Energie ......................................................................................41
2.1.3. Energieform „Wärme“ ...........................................................................41
2.1.4. Technische Arbeit ................................................................................44
2.2. Erster Hauptsatz für geschlossene Systeme................................................48
2.3. Erster HS für offene Systeme, stationärer Fließprozess ..............................49
2.4. Entropie ........................................................................................................52
2.5. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik ..................................................56
2.5.1. Reversible und irreversible ZÄ .............................................................56
2.5.2. Diagramme für Zustandsänderungen idealer Gase .............................57
2.6. Thermische Kreisprozesse für Gasturbinen .................................................61
2.6.1. Rechtslauf der Kreisprozesse ..............................................................62
2.6.2. Linkslauf der Kreisprozesse .................................................................64
2.6.3. Reversibler Vergleichsprozess, Thermischer Wirkungsgrad ................66
2.6.4. Irreversibler Prozess ............................................................................69
2.6.5. Der mechanische Wirkungsgrad , ηm ...................................................71
2.6.6. Der exergetische Wirkungsgrad ...........................................................74
2.7. Der wirkliche Prozess in der Gasturbinenanlage ..........................................75
3. HYDRAULISCHE STRÖMUNGSMASCHINEN .......................................... 83
3.1. Einführung ....................................................................................................83
3.2. PELTON-Turbine ............................................................................................85
3.3. Strömungstechnische Auslegung der PELTON-Turbine .................................90
3.3.1. Geschwindigkeitsplan ..........................................................................90
3.3.2. Ideale Düsenaustrittsgeschwindigkeit, c1ideal ........................................91
3.3.3. Reale Düsenaustrittsgeschwindigkeit, c1real ..........................................91
3.3.4. Spezifische Dissipationsarbeit ϕ01 in der Düse ....................................92
3.3.5. Umfangsgeschwindigkeit, u .................................................................94
3.3.6. Relativgeschwindigkeit am Laufradeintritt, w1 ......................................94
3.3.7. Relativgeschwindigkeit am Laufradaustritt, w2 .....................................94
3.3.8. Umfangskomponente der Relativgeschwindigkeit am Austritt, wu2 ......95
3.3.9. Axialkomponente der Absolutgeschwindigkeit am Austritt, ca2 .............95
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3.3.10. Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit am Laufradaustritt, cu2 95
3.3.11. Absolutgeschwindigkeit am Laufradaustritt, c2 .....................................95
3.3.12. Spezifische Dissipationsarbeit im Laufrad ϕ12 und Laufrad-Verlustbeiwert ζ .................................................................................................96
3.3.13. Spezifische Dissipationsarbeit nach dem Laufrad, ϕ2 ..........................97
3.3.14. Umfangskraft am Laufrad, FU ...............................................................97
3.3.15. Spezifische Schaufelarbeit, wt ..............................................................99
3.3.16. Totale Druckänderungsarbeit, Yt ........................................................100
3.3.17. Massenstrom, m& ...............................................................................100
3.3.18. Turbinenleistung, Pm ..........................................................................101
3.3.19. Kupplungsleistung, PK ........................................................................101
3.3.20. Exergetischer Wirkungsgrad, ηxt ........................................................101
3.3.21. 101
3.3.22. Optimale Umfangsgeschwindigkeit, uopt .............................................102
3.3.23. Totaler Wirkungsgrad, ηtT ...................................................................104
3.3.24. Statischer Wirkungsgrad, ηT ..............................................................104
3.3.25. Kupplungswirkungsgrad, ηkT ..............................................................105
3.4. KAPLAN-Turbine ..........................................................................................106
3.5. Strömungstechnische Berechnung der KAPLAN-Turbine ............................108
3.5.1. Geschwindigkeitsplan ........................................................................109
3.5.2. Erhaltungssätze für den Energiefluss .................................................108
3.5.3. Strömung durch Leitrad (0) → (1’) ......................................................110
3.5.4. Strömung von Leitradaustritt zu Laufradeintritt (1’) → (1) ..................112
3.5.5. Strömung von Laufradeintritt zu Laufradaustritt (1) → (2) .................114
3.5.6. Umfangskraft, Fu ................................................................................115
3.5.7. Drehmoment, Md ................................................................................115
3.5.8. Leistung, Pm .......................................................................................115
3.5.9. spezifische technische Schaufelarbeit, wt ..........................................115
3.5.10. Axiale Schaufelkraft, Fa ......................................................................116
3.5.11. Druck vor dem Laufrad p1 über den Energiefluss (0) → (1) ..............116
3.5.12. Berechnung des Druckes p1 über Energiefluss (1) → (2) ..................118
3.5.13. Totale Druckänderungsarbeit, Yt ........................................................121
3.5.14. Exergetischer Wirkungsgrad, ηxt ........................................................121
3.5.15. Statischer Wirkungsgrad, ηT ..............................................................122
3.5.16. Totaler Wirkungsgrad, ηtT ...................................................................122
3.5.17. Kupplungs Wirkungsgrad, ηKT ............................................................122
3.5.18. Kupplungsleistung, PK ........................................................................122
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Verwendete Formelzeichen und Symbole A Querschnittsfläche [m2]
c Absolutgeschwindigkeit [m/s]
cp spezifische isobare Wärmekapazität [J/(kg·K)]
cV spezifische isochore Wärmekapazität [J/(kg·K)]
d Durchmesser [m]
e Energiedichte [m²/s²]
g Erdbeschleunigung [m/s²]
h spezifische Enthalpie [J/kg]
H Enthalpie [J]
H Fallhöhe [m]
I· Impulsstrom [N]
Ma Mach-Zahl [-]
m Masse [kg]
m· Massenstrom [kg/s]
p Druck [Pa]
P Leistung [W]
∆pv Druckverluste [Pa]
q dynamischer Druck [Pa]
q spezifische Wärme [J/kg]
Q Wärmemenge [J]
Q& Wärmestrom [J/s]
r Radius [m]
R spezielle Gaskonstante [J/(kg·K)]
s spezifische Entropie [J]
T Temperatur [K]
u spezifische Innere Energie [J/kg]
u Umfangsgeschwindigkeit [m/s]
U Innere Energie [J]
V Volumen [m3]
V· Volumenstrom [m3/s]
w Geschwindigkeit [m/s]
w Relativgeschwindigkeit [m/s]
wt spezifische technische Arbeit [m2/s2]
W Arbeit [J]
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z geodätische Höhe [m]
α Winkel zw. ur
und cr
im Geschwindigkeitsplan [°]
β Winkel zw. ur
und wr
im Geschwindigkeitsplan [°]
ϕ Dissipation im Laufrad [m²/s²]
η Wirkungsgrad [-]
ρ Dichte [kg/m³]
κ Isentropenexponent [-]
ω Winkelgeschwindigkeit [1/s]
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Literaturhinweise
BOHL, W,: Strömungsmaschinen 1 und 2
FISTER, W. Fluidenergiemaschinen Band 1 und 2
KÄPPELI, E.: Strömungslehre und Strömungsmaschinen
WAGNER, K. Strömungs- und Kolbenmaschinen
FISCHER. K.J.
V. FROMMANN, J.-D.
SIGLOCH, H. Strömungsmaschinen, Grundlagen und Anwendungen
MENNY, K. Strömungsmaschinen
KALIDE, W. Energieumwandlung in Kraft und Arbeitsmaschinen
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1. EULER-Turbinengleichung Dieser kurze Abriss der Strömungsmaschinen in diesem Kapitel zielt darauf ab, die
Studierenden mit dem Verhalten von Kreiselpumpen und Gebläsen ein wenig
vertraut zu machen. Diese Auswahl aus den hinsichtlich ihrer Wirkweise und
Bauform sehr vielfältigen Energiewandlungsmaschinen begründet sich zunächst
schlicht darin, dass letztere in dieser Vorlesung ohnehin nicht vollständig behandelt
werden können. Überdies spielen Kreiselpumpen zum Transport von flüssigen
Medien in der Getränke- und Lebensmitteltechnologie eine überragende Rolle:
Suppen, Milch, Milchprodukte, Bierwürze, Säfte u.v.m.
Um die Strömungsmaschinen detaillierter zu besprechen, scheinen noch einige
Bemerkungen und Definitionen angebracht. Alle folgenden Ausführungen beziehen
sich auf newtonsche und näherungsweise inkompressible Fluide.
1.1. Radiallaufrad
Es gibt Radialmaschinen, Axialmaschinen (Hauptströmungsrichtung ist axial) und
Mischformen (halbaxial). Die eulersche Gleichung gilt unabhängig von der
Maschinenform. Am Beispiel der Radialmaschinen werden die sog.
Geschwindigkeitsdreiecke und die sie erzeugende Geschwindigkeitskomponenten
noch näher erklärt.
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In Abbildung 1.1-1 ist das Laufrad eines Radialgebläses oder einer
Radialkreiselpumpe skizziert. Weiterhin sind diverse Geschwindigkeitsvektoren
eingetragen. Der Index "1" bezieht sich auf den Eintritt in das Laufrad, der Index "2"
auf den Austritt.
Abbildung 1.1-1: Geschwindigkeitsdreiecke am Ein- und Austritt eines Radiallaufrades
Die drei Geschwindigkeitsvektoren ur
, cr
und wr
haben folgende Bedeutungen:
a) Der Vektor ur
stellt die Umfangsgeschwindigkeit des Laufrades am jeweiligen
Radius r dar, d. h.
ωru ⋅= (1.1-1)
wobei ω die Winkelgeschwindigkeit darstellt. ur
ist also stets tangential zu dem Kreis,
den der betrachtete Laufradpunkt beschreibt.
b) Der Vektor cr
ist die Fluidgeschwindigkeit in einem ortsfesten Koordinatensystem
("Absolutgeschwindigkeit").
c) Der Vektor wr
ist die Relativgeschwindigkeit zwischen Fluid und Laufrad (an der
betrachteten Stelle 1 oder 2) in einem mitrotierenden Koordinatensystem
d) Ein "stoßfreier Eintritt" ist dann gegeben, wenn die Richtung des
Geschwindigkeitsvektors 1wr
mit der Tangente der Schaufel am Laufradeintritt
zusammenfällt.
ω
w1
u1
u2c2
w2
c1
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e) Die Relativströmung ist "schaufelkongruent", wenn die Stromlinien der
Schaufelkontur folgen, g. h. die Strömungswinkel sind gleich den geometrischen
Schaufelwinkel
In der Lebensmittel- /Getränketechnologie werden vorrangig Radialmaschinen
eingesetzt.
1.2. Herleitung
Voraussetzungen:
1. NEWTONsche und näherungsweise inkompressible Fluide
2. Radialmaschinen, Halbaxialmaschinen und Axialmaschinen
3. am Bespiel der Radialmaschinen werden die sog. Geschwindigkeitsdreiecke
und die sie erzeugenden Geschwindigkeitskomponenten erklärt.
ω
Abbildung 1.2-1: Laufrad mit Geschwindigkeitsplänen
Die Abbildung zeigt das Laufrad eines Radialgebläses oder einer
Radialkreiselpumpe. Weiterhin sind diverse Geschwindigkeitsvektoren eingetragen.
Der Index „1” bezieht sich auf den Eintritt in das Laufrad, der Index „2” auf den
Austritt.
Den Geschwindigkeitsvektor cr
misst nach Große und Richtung ein im ortsfesten
Laborsystem stehender Beobachter. Ein auf Laufrad befindlicher, also mitrotierender
zweiter Beobachter misst hingegen die relative Geschwindigkeit wr
(zur
Verdeutlichung: Flussüberquerung in einem Boot).
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βα
Abbildung 1.2-2: Beispiel zur Verdeutlichung der drei Geschwindigkeitsvektoren.
1.3. Die EULERsche Turbinengleichung (gilt für alle STM)
Die EULERsche Turbinengleichung ist die grundlegende Beziehung für die
Energieumsetzung zwischen Maschine und Fluid bei inkompressiblen und
newtonschen Fluiden.
Im Gegensatz zum Verdichter werden hier nur isotherme, rein
strömungsmechanische Vorgänge behandelt. Das Wort „Turbinengleichung” soll
keine Einschränkung bedeuten:
Der abzuleitende Zusammenhang zwischen Energie - Zu- oder Abfuhr und den
Beträgen der sechs Geschwindigkeiten
)w,w,u,u,c,c(fpe 212121g =∆= (1.3-1)
gilt gleichermaßen für die hier im Vordergrund stehenden Arbeitsmaschinen Gebläse
und Kreiselpumpe (für Axial- und Radialmaschinen).
Gesucht: Zusammenhang zwischen der zu- (oder ab- ) geführten Energiedichte
e = ∆pg= ρ . wt [N/m2]
und den Beträgen der Geschwindigkeitsvektore unter der Voraussetzung der
Verlustfreiheit.
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Abbildung 1.3-1: Definition der Kräfte am rotierenden Fluidelement
Das Koordinatensystem x, y, z rotiert mit ω = konst. um die z-Achse.
Mit Hilfe der BERNOULLI-Gleichung wird der Energiefluss zwischen (1) und (2)
beschrieben. Energiedichten am Eingang („1”) und Ausgang („2”) in einem ortsfesten
Koordinatensystem lauten:
21111 c
2zgpe ⋅
ρ+⋅⋅ρ+= (1.3-2)
22222 c
2zgpe ⋅
ρ+⋅⋅ρ+= (1.3-3)
Energieumsatz in einem ortsfesten Koordinatensystem lautet:
1
1’
2’
2
x
y
z
ZdF
GdF
ds
ω s
t
t
S
ϑϕ
r
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12g eeep −==∆ (1.3-4)
( ) epcc2
)zz(gpp g21
221212 =∆=−⋅
ρ+−⋅⋅ρ+− (1.3-5)
Die Gl. 1.3-5 muss so modifiziert werden, dass sie in Gl. 1.3-1 übergeht. Das heißt,
sie darf nur eine Funktion der Geschwindigkeitskomponenten sein. Die Druck- und
Höhendifferenz müssen somit aus der Gleichung 1.3-5 verschwinden.
Dies wird mit dem NEWTON Gesetz in einem mitrotierenden Koordinatensystem
erreicht.
Für den mitrotierenden Beobachter ergibt sich zweierlei:
1. die Strömung wird in diesem rotierenden System stationär
2. die beobachtete Geschwindigkeit des Fluides ist w, nämlich die
Relativgeschwindigkeit zwischen Laufrad und Fluid
NEWTON-Gleichung:
admdFs ⋅= und dVfdF SS ⋅=
dt
dwdmdVfs ⋅=⋅ (1.3-6)
und man erhält die Ausgangsgleichung:
0dt
dw
dV
dmfs =⋅− (1.3-7)
dFs ist die in Stromlinienrichtung wirkende resultierende äußere Kraft auf das
Fluidelement dm in s-Richtung. Sie beinhaltet die Druckkraft, die Gewichtskraft und
die Zentrifugalkraft.
dFp = ∆p . dA = dAds
s
pdApdAp ⋅⋅
∂∂
−⋅−⋅
dFG = dm . g
dFZ = dm . aZ
. mit aZ als Zentrifugalbeschleunigung aZ = ω2.
r
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Somit gilt:
44 344 21444 3444 21ϕ⋅ϑ⋅
ϕ⋅⋅⋅ρ+ϑ⋅ω⋅⋅⋅ρ+⋅⋅∂∂
−⋅−⋅=cosdFcosdZ
2s
g
cosgdVcosrdVdAdss
pdApdApdF (1.3-8)
Diese Gleichung wird durch dA . ds (= dV) geteilt und man erhält die Kraft fs.
ϕ⋅⋅ρ+ϑ⋅ω⋅⋅ρ+∂
∂−= cosgcosr
s
pf 2s (1.3-9)
mit der Definition von:
s
zcos
∂∂
−=ϕ (1.3-10)
s
rcos
∂∂
=ϑ (1.3-11)
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Abbildung 1.3-2: Definition von cosϕ und cosϑ
erhalten wir
s
zg
s
rr
s
pf 2s ∂
∂⋅⋅ρ−
∂∂
⋅ω⋅⋅ρ+∂∂
−= (1.3-12)
Damit in die Gl. (1.3-7):
0dt
dw
dV
dm
s
zg
s
rr
s
p 2 =⋅−∂∂
⋅⋅ρ−∂∂
⋅ω⋅ρ+∂∂
− (1.3-13)
Für stationäre Vorgänge kann ∂ durch d ersetzt werden:
1
1’
2’
2
x
y
z
r∂
z∂s∂
ω s
t
t
S
ϑ
ϕ
r
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Aus dem gleichen Grund gilt:
{.
2
w
ds
d
t
w
s
ww
dt
dw 2
0
=
∂∂
+∂∂
=
=
(1.3-14)
Aus den obigen Gleichungen folgt:
0dt
dw
dV
dm
s
zg
s
rr
s
p 2 =⋅−∂∂
⋅⋅ρ−∂∂
⋅ω⋅ρ+∂∂
− (1.3-15)
02
w
ds
d
s
zg
2
r
ds
d
s
p 222 =
ρ−
∂∂
⋅⋅ρ−
⋅ω⋅ρ+
∂∂
− (1.3-16)
oder
02
w
ds
d
ds
dzg
2
r
ds
d
ds
dp 222 =
⋅ρ+⋅⋅ρ+
⋅ω⋅ρ− (1.3-17)
Diese Gleichung kann umgeschrieben werden zu:
0r2
1w
2zgp
ds
d 222 =
⋅ω⋅ρ−⋅
ρ+⋅⋅ρ+ (1.3-18)
Durch Integration dieser Gleichung längst der Stromlinie zwischen (1) und (2), ergibt
sich die von einem mitrotierenden Beobachter festgestellte modifizierte Bernoulli-
Gleichung für verlustfreie Strömung in einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
rotierenden Kanal:
( ) ( ) 0rr2
ww2
)zz(gpp 21
22
221
221212 =−⋅ω⋅
ρ−−⋅
ρ+−⋅⋅ρ+− (1.3-19)
Mit der Umfangsgeschwindigkeit u = rω ergibt sich für die Differenz des statischen
Druckes zwischen 1 und 2. Aus dieser Gleichung kann man die Druck- und
Höhendifferenz als Funktion von Geschwindigkeitskomponenten ausdrücken:
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( ) ( ) ( )21
22
21
221212 uu
2ww
2zzgpp −⋅
ρ+−⋅
ρ−=−⋅⋅ρ+− (1.3-20)
Damit gehen wir in die Gleichung für den Energieumsatz:
( ) ( )21
22121212g cc
2zzgppeep −⋅
ρ+−⋅⋅ρ+−=−=∆ (1.3-21)
Wird hier die vorletzte Gleichung für die Druck- und Höhendifferenz eingesetzt, so
ergibt sich die EULERsche Turbinengleichung in der 1. Form:
( ) ( ) ( )( )21
22
21
22
21
22g wwuucc
2pe −−−+−
ρ=∆= (1.3-22)
Diese Gleichung gilt für die verlustfreie Energieumsetzung Fluid ↔ Maschine. In der
Gleichung werden keine Reibungsverluste oder durch Grenzschichteffekte bedingte
Ablösungen an den Schaufeln berücksichtigt. Außerdem ist sie nur für eine
schaufelkongruente Strömung gültig.
Die 2. Form der EULER-Gleichung erreicht man durch Umstellung der 1. Form:
( )[ ]21
21
21
22
22
22g wuc)wuc(
2pe −+−−+
ρ=∆= (1.3-23)
Nach dem Kosinus-Satz
α
Abbildung 1.3-3: Vektoransicht Kosinus - Satz
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α⋅⋅⋅−+= coscu2cuw 222 (1.3-24)
α⋅= cosccu (1.3-25)
u222 cu2coscu2wuc ⋅⋅=α⋅⋅⋅=−+ (1.3-26)
Daraus ergibt sich die EULER-Gleichung in der 2. Form
[ ]1u12u2g cucupe ⋅−⋅⋅ρ=∆= (1.3-27)
Welche der beiden Formen verwenden wird, entscheidet allein die Zweckmäßigkeit.
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1.4. Diskussion der EULER-Gleichung an Hand des Laufrades
einer Radialmaschine
Die Überlegung zu Axialmaschinen werden in den Übungen - soweit zeitlich möglich
und erforderlich - angestellt werden. Abbildung 1.4-1 illustriert indessen die
Geschwindigkeitsverhältnisse am Laufrad einer radialen Strömungsmaschine
Abbildung 1.4-1: Ein- und Austritts- Geschwindigkeitsdreiecke am Laufrad einer Radialmaschine.
Für die nachfolgenden Betrachtungen sei an die beiden, schon gemachten
Voraussetzungen, wie der schaufelkongruente Strömung und dem stoßfreier Eintritt,
erinnert.
Der allgemeine Fall einer durchströmten Radialmaschine besteht darin, dass 01 ≠uc
ist. Dies bedeutet aber, dass die Eintrittsströmung einen Drall besitzt, was nach
Möglichkeit zu vermeiden ist. Die meisten Radialmaschinen haben also einen rein
radialen Eintritt, welches 01 =uc , oder zumindest 01 ≈uc bedeutet.
Damit vereinfacht sich die EULER-Gleichung für einen rein radialen Eintritt in ihrer 2.
Form zu
r1 r2
ω
w1Cm1
u1
u2
c2
w2
Cm2
Cu1
C1
β1α1
β2
α2
Cu2
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u22g cup ⋅⋅ρ=∆ (1.4-28)
Die einzelnen Terme der rechten Seiten der 1. Form der Eulerschen Gleichung
stellen, jeder für sich Energiedichten dar:
)cc(2
)ww(2
)uu(2
ep 21
22
22
21
21
22g −⋅
ρ+−⋅
ρ+−⋅
ρ==∆ (1.4-29)
Zur besseren Interpretation führen wir folgende Abkürzungen ein:
);uu(2
I 21
22 −⋅
ρ=
);ww(2
II 22
21 −⋅
ρ=
).cc(2
III 21
22 −⋅
ρ=
(1.4-30)
Hierin beschreiben:
Term I und II die Erhöhung des statischen Druckes ∆pstat,
Term III des kinetischen Druckes q
Term I bedeutet den "wertvollsten" Energieanteil: )( 21
22 uu − entsteht nämlich
mechanisch zwangsläufig wegen ω⋅= ru ohne Verluste und produziert einen Teil der
Erhöhung des statischen Druckes. Außerdem ist es stets einfacher möglich,
statischen in kinetischen Druck umzuwandeln als umgekehrt (vgl. Diffusoren!).
Term II beschreibt den zweiten Teil der Erhöhung des statischen Druckes, aber -
man beachte die Indizes bei w1und w2 - durch Verzögerung der
Relativgeschwindigkeit in den Schaufelkanälen. Hier treten Verluste auf, die denen
im Diffusor ähnlich sind.
Term III ist die Erhöhung des kinetischen Druckes, der - falls dies erforderlich ist- nur
verlustbehaftet in statischen Druck verwandelt werden kann.
Ohne dies hier näher zu begründen sei mitgeteilt, dass bei Axialmaschinen Term I
fehlt oder zumindest sehr klein ist. Hiermit kann plausibel gemacht werden, dass für
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die Erzeugung großer ∆pstat die Radialmaschine bei gleicher Förderleistung Vpg&⋅∆
geeigneter ist als die vergleichbare Axialmaschine in einer Stufe.
Man kann zeigen, vgl. auch Abbildung 1.2.2, dass die Schaufelform, der
Eintrittswinkel α, (Winkel zwischen u und c) aber insbesondere der Austrittswinkel β
maßgebend sind für die Erhöhung von ∆pg und - den Anteil von ∆pstat und q zu ∆pg .
Abbildung 1.4-2 illustriert verschiedene Werte von β bei vorwärts und rückwärts
gekrümmten, sowie bei radial endenden Schaufeln mit rein radialem Zulauf.
spezieller Wert spezieller Wert
Abbildung 1.4-2: Vorwärts und rückwärts gekrümmte sowie radial endende (mittleres Bild) Schaufeln mit rein radialem Zulauf
Beispielhaft für den Einfluss von β werden drei Spezialfälle aufgezählt (drallfreie
Zuströmung):
- Bei β2 = 90° (radial endende Schaufel) erreicht der Anteil der statischen
Druckerhöhung ∆pstat einen höchstmöglichen Wert.
Das Ziel ist es den Reaktionsgrad r aufzustellen:
22u22g ucuep ⋅ρ=⋅⋅ρ==∆ (1.4-31)
β2w2
u2
c2
c2u= 2u2
ββββ2222 > 90°
β2
c1
w2
ββββ2222 = 90°
β2
c1
w2
β2
w2
c2u= u2
c2
2
2
2
2
2
2 uwc ++++====
β2
c1
w2
ββββ2222 < 90°
β2
w2
u2
c2
c2u= 0
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)cc(2
uqpp 21
22
22gstat −⋅
ρ−⋅ρ=−∆=∆ (1.4-32)
Mit
)cc(cccc 2m1
2u1
2m2
2u2
21
22 +−+=− (1.4-33)
und c1u = 0; c2m = c1m; c2u = u2 .
gilt
,u2
1)u
2
1u(
2p 2
222
22stat ⋅ρ⋅=−⋅
ρ=∆ (1.4-34)
bzw. für den Reaktionsgrad
5.0p
pr
g
stat =∆
∆= (1.4-35)
Bei einem speziellen Wert β2 > 90° (gegeben durch c2u = 2u2) verschwindet die
statische Druckerhöhung ∆pstat. Es liegt das sog. "Gleichdruckrad" vor, das nur eine
Erhöhung des kinetischen Druckes q produziert:
gu22 pcue ∆=⋅⋅ρ= (1.4-36)
22g u2p ⋅ρ⋅=∆ (1.4-37)
)cc(2
u2qpp 21
22
22gstat −
ρ−⋅ρ⋅=−∆=∆ (1.4-38)
0c2
u2p 2u2
22stat =
ρ−⋅ρ⋅=∆ (1.4-39)
bzw. 0=r .
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Bei einem speziellen Wert β < 90° (einer sehr lang gestreckten, rückwärts
gekrümmten Schaufelform) entsteht ∆p = 0 (gegeben durch c2u = 0), d. h. die
wirkungslose Schaufelform. Dies bedeutet keinerlei Energieübertragung vom Laufrad
auf das Fluid, mit Ausnahme nutzloser Dissipationsenergie.
0cup u22g =⋅⋅ρ=∆ (1.4-40)
0c2
0qpp 2u2gstat =
ρ−=−∆=∆ (1.4-41)
Aus einer Grenzwertbetrachtung ergibt sich r = 1
1.5. Dissipationseffekte und Verluste in Strömungsmaschinen
Die Leistung einer Strömungsmaschine errechnet aus dem Produkt des geförderten
Volumenstroms und der erzeugten Druckdifferenz ∆p.
Um diese Leistung zu erhalten, muss eine Wellenleistung PW aufgebracht werden
(Arbeitsmaschine). Zur Bilanzierung des Verhältnisses Aufwand/Nutzen lässt sich der
Wirkungsgrad
WP
pV ∆⋅=η
&
( 1.5-1 )
heranziehen. Alle Prozesse in Natur und Technik sind irreversibel, demgemäß nimmt
η stets Werte kleiner als Eins an.
In diesem Abschnitt soll kurz auf die Dissipationseffekte und Verluste in
Strömungsmaschinen eingegangen werden. Bild 1.3.1 dient ihrer Diskussion.Die
ersten Betrachtungen betreffen die durch strömungsmechanische Effekte bedingte
Dissipation. Diese können vielfältiger Natur sein.
Zum Beispiel:
• Lokale Beschleunigungen (Stöße, Umlenkungen) im Laufrad,
• Strömungsablösungen im Laufrad sowie im Diffusor,
• Lokale Beschleunigungen (Umlenkungen) und Ablösungen im Diffusor.
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Abbildung 1.5-1: Die Dissipationquellen einer Strömungsmaschine.
Gegenüber einer idealen, dissipationsfreien Maschine (Index i) ergibt sich eine um
den hydrodynamischen Teilwirkungsgrad ηΗ verringerte Druckdifferenz
.pp iH ∆⋅η=∆ ( 1.5-2 )
damit das Laufrad relativ zum Gehäuse frei drehen kann, ist ein Spalt notwendig, in
dem ein Massenstrom bzw. Volumenstrom fließt. Im Vergleich zum idealen Fall ohne
Spaltvolumenstrom nimmt der Volumenstrom einen um den Teilwirkungsgrad ηΝ
verminderten Betrag an:
ViVV η⋅= && ( 1.5-3 )
Da die Leistungsbilanz von der Wellenleistung ausgeht, müssen zusätzliche
Dissipationseffekte zufolge Reibung am Wellenlager Berücksichtigung finden. Der
mechanische Wirkungsgrad ηΜ bilanziert diese Effekte:
MiiW /VpP η⋅∆= & ( 1.5-4 )
Setzt man die gefundenen Ausdrücke in die Definitionsgleichung des
Gesamtwirkungsgrades ein, so ergibt sich
ω
Fluid
Fluidω
WP
Lager
Laufrad
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.MVH η⋅η⋅η=η ( 1.5-5 )
Hier soll noch bemerkt werden, dass die in der Literatur angesprochene
Minderleistung zu keiner Wirkungsgradverschlechterung führt. Sekundärbewegungen
infolge einer Abweichung von der schaufelkongruenten Strömung (vgl. Abschnitt 1.1)
verringern zwar die Leistung gegenüber dem idealen Fall, aber sie fordern zugleich
auch eine geringere Wellenleistung.
1.6. Kennlinien von Strömungsmaschinen
Wie im Abschnitt 1.1 dargelegt, sollen hier ausschließlich Gebläse und
Kreiselpumpen betrachtet werden. Zur Charakterisierung von ihrem
Betriebsverhalten dienen Kennlinien, welche einen funktionellen Zusammenhang
zwischen charakteristischen Größen graphisch illustrieren. Letztere lassen sich aus
einfachen Überlegungen gewinnen. Dazu soll an die Überlegungen im Abschnitt 1.2
bezüglich der Euler- Gleichung angeknüpft werden:
[ ]1u12u2g cucup ⋅−⋅⋅ρ=∆ ( 1.6-1 )
Um diese Beziehung zu deuten, soll das Geschwindigkeitsdreieck noch einmal
gezeigt werden:
Abbildung 1.6-1: Darstellung eines Geschwindigkeitsdreiecks
Es ist offensichtlich, dass bei gegebenem Winkel β die Umfangsgeschwindigkeiten u
proportional zu der Winkelgeschwindigkeit ω bzw. Drehzahl n:
n~c;c;u;u 2u1u21 ( 1.6-2 )
Aus der EULER-Gleichung folgt daher unmittelbar:
w
β α
cm
c
cu u
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2n~p ⋅ρ∆ ( 1.6-3 )
Des Weiteren lässt sich aus dem Geschwindigkeitsdreieck auf die Beziehung
n~cm ( 1.6-4 )
schließen.
Die Massenerhaltung beim Durchströmen des Laufrades fordert:
n~c~V m&
( 1.6-5 )
Diese Ergebnisse bedeuten, dass sowohl ∆p als auch V& von n abhängen.
Wegen VpP g&⋅∆= gilt des Weiteren
32 nnn~P ⋅ρ=⋅ρ ( 1.6-6 )
Aus der Definition des Wirkungsgrades ergibt sich schließlich
3W n~
PP ⋅ρ
η= ( 1.6-7 )
Offensichtlich lauten die gesuchten charakteristischen Größen nVpP g ,,, &∆ und η.
Hieraus lassen sich verschiedene Kennlinien definieren. In der Praxis interessiert
häufig die Abhängigkeit ( )Vpg&∆ für verschiedene Drehzahlen n. Abbildung 1.6-2
illustriert eine solche Kennlinie, wobei die Drehzahl als Kurvenparameter auftritt.
Bei Kreiselpumpen ist es üblich, die Abhängigkeit der Förderhöhe
g
pH g
⋅ρ
∆= ( 1.6-8 )
oder der spezifischen Förderarbeit
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ρ
∆= g
t
pY ( 1.6-9 )
vom Volumenstrom aufzutragen.
Für die Auslegung des Antriebes der Energiewandlungsmaschinen interessiert die
Leistung als Funktion des Volumenstromes ( )VPW& (vgl. Abbildung 1.6-2).
Abbildung 1.6-2: Kennlinien von Strömungsmaschinen und ihre typischen Verläufe.
Zur Beurteilung von dissipativen Effekten und sonstigen Verlusten wird darüber
hinaus häufig die Abhängigkeit des Wirkungsgrades η vom Volumenstrom V&
graphisch dargestellt.
Die besprochenen Kennlinien lassen sich auch in dimensionsloser Form
beschreiben.
V&V&[ ]m³/sV&
n3 > n2 > n1
n1
n2
n3
P[W]∆p
[N/m²]
n1
n2
n3
n2
η
n1
AVV && < AVV && >
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1.6.1. Kennlinienänderung für unterschiedliche Drehzahlen, n
Abbildung 1.6-3 zeigt die −−∆ Vpg& Kennlinie (KL).
Hier soll der Frage nachgegangen werden, wie sich diese Kennlinie ändert unter der
Vorraussetzung, dass der Wirkungsgrad konstant ist.
Abbildung 1.6-3: Die Auswirkung der Drehzahländerung auf die ,gp∆ −V& KL
Die oben angesprochenen Proportionalitäten erlauben folgende Aussage:
22g V~n~p &∆ ( 1.6-10 )
(Linie gleichen Betriebszustandes)
Bei vorgegebener Geometrie (Laufraddurchmesser d2) verbindet die Linie gleichen
Betriebszustands diejenigen Punkte der −−∆ Vpg& Kennlinie, die bei einer
Drehzahländerung auseinander gehen.
Bei einem Vergleich von Strömungsmaschinen unterschiedlichem
Laufraddurchmesser d2 = 2r2 sind folgende Proportionalitäten zu berücksichtigen:
22g d~p∆ ( 1.6-11 )
.
oV.
V
p∆
gp∆
2
.
oV
0gp∆
4
0gp∆n
n/2
Kurve
gleichen
Betriebs-
zustandes
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32d~V& ( 1.6-12 )
d.h., dass hier
3
2
g V~p &∆ ( 1.6-13 )
ist.
1.6.2. Kennlinienänderung für unterschiedliche Dichten, ρρρρ
Abbildung 1.6-4 dient der Diskussion einer Änderung der −−∆ Vp & Kennlinie für
unterschiedliche Dichten ρ (n = konstant).
Abbildung 1.6-4:Die Auswirkung der Dichteänderung auf die −−∆ Vp & KL
Um dieses Bild richtig zu interpretieren, sei zunächst noch einmal betont, dass hier
ausschließlich inkompressible Medien betrachtet werden. Dies heißt, dass
unterschiedliche Dichten entweder verschiedene Gase oder aber eine Änderung der
Dichte zufolge Zufuhr thermischer Energie bedeuten.
Bei konstanter Drehzahl ergibt sich für unterschiedliche Dichten:
2
1
2g
1g
p
p
ρ
ρ=
∆
∆ ( 1.6-14 )
.
V
p∆
0gp∆
2
0gp∆
Kurve gleichen
Betriebszustandes
ρ
ρ /2
n = konst.
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1V
V
2
1 =&
&
( 1.6-15 )
Natürlich hängt V& nicht von ρ ab. Die Linien gleichen Betriebszustandes bezüglich
der Dichte sind zur ∆pg Achse parallel, vgl. Bild 1.4.4.
Strömungsmaschinen können instabile Zustände annehmen. Dieser Zustand lässt
sich auch in der Kennlinie erkennen, etwa dadurch, dass zu einem Wert von ∆p zwei
Werte von V& gehören.
1.7. Die Verbraucherkennlinie und der Arbeitspunkt
Abbildung 1.7-1: Anordnung von Strömungsmaschinen in einfachen Anlagen
Die Strömungsarbeitsmaschine ist im Anwendungsfall mit einem oder mehreren
„Verbrauchern“ verbunden, in die sie das Arbeitsfluid mit einem bestimmten
Gesamtdruck und zugehörigem Volumenstrom fördert. Die Strömungsmaschine gibt
an das Fluid eine fluidmechanische Leistung Vp &⋅∆ ab, die von einem oder mehreren
Verbrauchern dem Fluid entnommen wird. Zwei einfache Beispiele sind in Bild 1.5.1
angedeutet.
Das strömungsmechanische Verhalten eines Verbrauchers lässt sich indessen durch
eine Kennlinie (KL) beschreiben. Charakteristisch für die Verbraucher- KL ist, dass
der Druck- "Verbrauch", Also der Druckverlust im Verbraucher mit steigendem
Volumenstrom V& ansteigt.
Bild 1.5.2 zeigt schematisch Strömungsmaschinen- und Verbraucher- KL. Am
Schnittpunkt A beider KL sind sowohl die Volumenströme V& und VerbrV& als auch die
erzeugte Gesamtdruckhöhe ∆pv im Verbraucher gleich, also:
VerbraucherVerbraucher
atpatp
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rVerbraucheSM VV && = ( 1.7-1 )
Vg pp ∆=∆ ( 1.7-2 )
Beim Punkt A, dem Arbeitspunkt, stellt sich also ein Gleichgewicht des Systems
Strömungsmaschine- Verbraucher ein. Um diesen Arbeitspunkt und das
Systemverhalten bei A besser verstehen zu können, werden zunächst zwei typische
Verbraucher- KL erklärt.
.
oV.
V
p∆
gp∆
Maschine-KL
A
Ver
brauch
er-K
L
( )Vp∆∆
Vp∆
( )gp∆∆
.
V∆
Abbildung 1.7-2:Zum Arbeitspunkt eines Strömungsmaschine- Verbraucher- Systems
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Abbildung 1.7-3:Typische Verbraucherkennlinien.
Die dargestellten Verläufe unterscheiden sich grundsätzlich. Beim Typ I gilt wegen
der Linearität
V~p &∆ ( 1.7-3 )
bzw. bei vorgegebenem Querschnitt A
mu~p∆ ( 1.7-4 )
In dieser Lehrveranstaltung sind bereits einige Strömungen behandelt worden,
welche diese Abhängigkeit zumindest in guter Näherung erfüllen. Besonders wichtig
sind die Innenströmungen. So gilt für die ausgebildete Rohrströmung
2mu~p ⋅λ∆ ( 1.7-5 )
d.h. mit
1mu~
Re
1~ −λ ( 1.7-6 )
V&
∆pV
III
II
2~ VpV&∆
VpV&~∆
I
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V~u~p m&∆ ( 1.7-7 )
Beim Typ I wird daher von einem laminaren Verbraucher gesprochen. Dieser Typ
kommt in der Technik nur relativ selten vor (etwa bei Filtern). Turbulente
Innenströmungen sind indessen charakterisiert durch nicht lineare
−−∆ Vp & Kennlinien. Analog zu oben gilt für eine glatte, hydrodynamische
Rohrströmung nach der Blasius- Beziehung
1m25,0
e
u~R
1~ −
−λ ( 1.7-8 )
und somit
25,1m
2m u~u~p ⋅λ∆ ( 1.7-9 )
Hieraus resultiert eine nichtlineare Kennlinie vom Typ II. Weitere Beispiele sind etwa
Krümmer und Düsen sowie turbulente Strömungen in Kanälen großer
Wandrauhigkeit, bei welchen näherungsweise für verschiedene Reynolds- Zahlen
gelten.
2mu~p∆ ( 1.7-10 )
Verbraucherkennlinien hängen stark von der Anordnung der Strömungselemente ab.
Bezüglich des Volumenstromes aber auch des Druckes können die Elemente in
Reihe oder parallel geschaltet werden.
1.8. Kavitation und Maßnahmen zu ihrer Vermeidung
Der Begriff "Kavitation" (lat. Cavus: = hohl) beschreibt eine Hohlraumbildung bei
Flüssigkeiten. Diese Hohlräume sind beispielsweise Blasen unterschiedlicher Größe
und Gestalt.
Man unterscheidet
die Gaskavitation und
die Dampfkavitation.
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Die Gaskavitation ist das (meist unerwünschte) Freiwerden von in der Flüssigkeit
gelösten Gasen infolge einer Druckabsenkung. Unterschreitet der statische Druck
den Lösungsdruck, z.B. infolge einer unzulässigen Erhöhung des kinetischen
Druckes, so kann die dann einsetzende Gaskavitation von starker Blasenbildung bis
hin zu einer Schaumentwicklung und dadurch zu einer Fehlfunktion des Systems
führen. Beispiel: CO2- haltige Getränke in fehlerhaften Schankanlagen. Die
Gaskavitation ist in Bezug auf Materialerosion harmlos, in Bezug auf die
Funktionsfähigkeit von Anlagen, die Flüssigkeiten mit hohem, gelösten Gasanteil
führen, aber durchaus eine potentielle Ursache für Funktionsstörungen.
Die Dampfkavitation, der Inhalt der jetzt folgenden Ausführungen, hat ihren Namen in
der Hohlraumbildung (Kavitationsblasen) infolge eines statischen Druckes p , der
gleich oder kleiner ist als der jeweilige Dampfdruck pD der Flüssigkeit
.pp D≤ ( 1.8-1 )
Die entstehenden Kavitationsblasen (Hohlräume) sind mit dem Dampf der
Flüssigkeit, nicht aber mit dem Fremdgas, erfüllt. Steigt der Druck in der Flüssigkeit
wieder über den Dampfdruck pD an, so wird der Dampf wieder flüssig und die
Dampfblasen, - genauer: die sie begrenzenden Flüssigkeitsoberflächen – brechen
schlagartig zusammen. Man spricht von Implosion. Dies ist die Wurzel der
Schädlichkeit und der Gefährlichkeit der Dampfkavitation. Im Folgenden wird der
Kürze halber nur noch von Kavitation, anstelle von Dampfkavitation, gesprochen.
Die Kavitation hat zwei Aspekte, nämlich den hydrodynamischen und den erosiven
Aspekt.
Der hydrodynamische Aspekt bezieht sich im Wesentlichen auf eine Erhöhung von
Stromverlusten, beispielsweise einer Verschlechterung des Wirkungsgrades von
Kreiselpumpen, den von Kavitation im Allgemeinen am meisten betroffenen
Bauelementen der hier interessierenden Industrieanlagen.
Das Auftreten von Kavitation bewirkt üblicherweise zuerst nur diese
Wirkungsgradverschlechterung (es gibt Kavitation ohne Erosion), aber bei weiterer
Zunahme kavitationsfördernder Umstände tritt Materialerosion (Zerstören des die
Flüssigkeit begrenzenden oder führenden Materials) auf. Diese Materialabtragung
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04.03.2013 34
wiederum ist eine Zeitfrage: sie kann in Minuten erfolgen oder sich über lange
Zeiträume erstrecken.
Bild 1.6.1 zeigt Aufnahmen von Bauteilen, welche durch Kavitation stark beschädigt
wurden.
Abbildung 1.8-1: Schäden durch Strömungskavitation.
Natürlich soll hier nicht die Materialfrage behandelt werden. Vielmehr soll die
strömungsmechanische Ursache betrachtet werden.
Nach den obigen Erläuterungen kann Kavitation an irgendeinem Punkt 1 der Anlage
erfolgen, wenn
( )Tpc2
pp D21g1 ≤
ρ−= ( 1.8-2 )
wird. Darin ist pD der von der Temperatur T abhängige Dampfdruck der Flüssigkeit
(Beispiel: Der Dampfdruck pD für Wasser beträgt bei 20°C ca. 0,02 bar, bei 100°C ca.
1 bar). Erreicht oder unterschreitet der statische Druck p1 den Dampfdruck pD, so
kann es zu der gefürchteten Dampfblasenbildung kommen. Diese
Dampfblasenbildung erfolgt aber nur an so genannten Phasengrenzflächen (z.B.
Flüssigkeit- Gas oder Flüssigkeit- Feststoff). Es bedarf also so genannter
Kavitationskeime (kleine, feste Partikel oder sehr kleine Gasblasen), damit
Dampfblasen entstehen. Der Eintritt der Kavitation hängt also vom Grad der
„Sauberkeit“ (Keimfreiheit) und somit von der Vorgeschichte des Fluides ab. Die
Gasbläschen, die als Keime zur Kavitation führen, haben Abmessungen in der
Größenordnung von 1- 20 mµ .
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04.03.2013 35
Der Grund für das notwendige Vorhandensein von Keimen liegt im Kapillardruck. Für
eine Kugelförmige Blase oder Tropfen ist der Kapillardruck, d.h. der
Druckunterschied p1 – p2 zwischen dem Inneren der Kugel (p1) und der Umgebung
(p2)
r
2pp o
21
σ=− ( 1.8-3 )
mit σo als Oberflächenspannung in N/m und r dem Kugelradius. Die
Oberflächenspannung σo ist eine Konstante, die von der Materialpaarung (z.B.
Flüssigkeit- Luft oder Flüssigkeit- ihr eigener Dampf) abhängt. Der Kavitationskeim
sorgt dafür, dass sich die Dampfblase mit endlichem Radius r, also auch relativ
geringem Kapillardruck bilden kann.
Setzen wir realistisch das Vorhandensein von Kavitationskeimen voraus, so ist die
Kavitation noch in hohem Maße vom Dampfdruck pD abhängig, der seinerseits
wiederum abhängt von der Art der Flüssigkeit (Materialeigenschaft) und der
Temperatur.
Um Kavitation auch bei Anwesenheit von Keimen, sicher zu vermeiden, wird man
sich bemühen, den in einer Maschine oder Anlage Vorkommenden niedrigsten
statischen Druck p nicht unter den Dampfdruck pD oder einen durch das Experiment
festgestellten Druck sinken zu lassen.
Die Materialerosion durch Kavitation wird durch die schematische Darstellung der
Implosion einer Dampfblase erklärt, vgl. Abbildung 1.8-2.
Abbildung 1.8-2: Zum Mechanismus der Materialerosion durch die Implosion von Kavitationsblasen.
Im linken Bildteil ist das Beispiel eines Strömungsfeldes mit Druckgradienten – aber
auch senkrecht – zur Strömungsrichtung dargestellt, in das stark vergrößert eine
Kavitationsblase eingezeichnet ist. Im rechten Bildteil wird der Zeitablauf der
Implosion dieser Blase skizziert. (Solche Zeitabläufe werden mit
steigender
Drucksteigender
Druck
Flüssigkeits-
strahl
Zeit t1 t2 t3
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04.03.2013 36
Hochgeschwindigkeitsfotografie bei einer Bildfrequenz von ca. 106 Bilder/sec.
gewonnen). Die Dampfblase beginnt sich auf der Seite des höheren Druckes im
Geschwindigkeitsfeld zu verformen. Der Kollaps der Blase beginnt, wenn der
Außendruck den Dampfdruck, bzw. den Druck in der Blase übersteigt.
Der bei der Implosion entstehende Flüssigkeitsstrahl (Microjet) erhält eine so hohe
Geschwindigkeit, dass bei seinem Auftreffen auf eine materielle Wand punktuelle
Drücke von 104 - 105 bar und Temperaturen von 104 K entstehen können. Diese
Werte legen es nahe, dass es neben mechanischer auch wahrscheinlich zu
chemischer Erosion kommt. Es sind häufig Luminiszenserscheinungen zu
beobachten. Die Implosionszeit liegt in der Größenordnung von 10-7s, d.h. einer Zeit,
in der Licht im Vakuum eine Strecke von 30m zurücklegt. Akustisch kann die
Kavitation in einer Kreiselpumpe durch Geräusche wahrgenommen werden. Wie
bereits erwähnt sind Kreiselpumpen besonders durch Kavitation gefährdet. Um den
Druck an jeder Stelle der Anlage oberhalb des Dampfdruckes zu halten, liegt es also
gemäß der Bernoulli- Gleichung an der Hand durch Vergrößerung des
Eintrittsdruckes pe (und damit des gesamten Druckniveaus), Tiefersetzen der
Kreiselpumpe Verringerung der Strömungsverluste HVS (z.B.
Rohrleitungsdurchmesser, Zahl der Krümmer etc.) die Sicherheit gegenüber
Kavitation zu erhöhen.
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2. Gasturbinen
2.1. Thermodynamische Grundlagen
2.1.1. Arbeit am geschlossenen System, Energieform „Arbeit“,
Volumenänderungsarbeit
Aus Wärme, die ein Gas enthält, das sich im Zylinder einer Kolbenmaschine
befindet, soll Arbeit vom System an die Umgebung abgegeben (gewonnen) werden.
Bei der Expansion ist U2 < U1, T2 < T1 und WV12 negativ
Bei der Kompression ist U2 > U1, T2 > T1 und WV12 positiv
Abbildung 2.1-1: p,V - Diagramm Expansion. Volumenänderungsarbeit
In der linken Totlage mit dem Raumvolumen V1 herrscht der Druck p1. Das hier
eingeschlossene Gas enthält bei der Temperatur T1 eine bereits vorhandene, aus
zugeführter Wärme Q stammende „Innere Energie U1“.
Die der Maschine zugeführte Wärmemenge Q kann aus den Daten der Gaszustände
und aus dem Brennstoffverbrauch bestimmt werden.
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Der Arbeitsvorgang wird so verlaufen, dass am Ende des Kolbenhubes Wärme
verschwunden und Arbeit entstanden ist und das Abgas einen niedrigeren Druck und
eine niedrigere Temperatur haben wird als das Frischgas.
p2 < p1
T2 < T1
U2 < U1
Nach der Wärmezufuhr (Verbrennung) hat sich das Zylindervolumen auf V2
vergrößert, während der Druck auf p2 gefallen ist.
Die gewonnene (abgegebene) Arbeit
(Raumänderungsarbeit/Volumenänderungsarbeit) ist nach den Gesetzen der
Mechanik:
Arbeit = Kraft x Weg
dsFdWV ⋅= ( 2.1-1 )
Die abgegebene bei der Expansion (gewonnene) Arbeit wird bei diesem Ansatz
negativ.
Die Kolbenkraft F entspricht der entgegengerichteten Kraft die durch den Gasdruck p
auf die Kolbenfläche A ausgeübt wird:
ApF ⋅−= ( 2.1-2 )
Damit ergibt sich
dsApdWV ⋅⋅−= ( 2.1-3 )
dVpdWV ⋅−= ( 2.1-4 )
Das negative Vorzeichen berücksichtigt die in der Thermodynamik vereinbarte
Vorzeichenkonvention, nach der die zugeführte Energie (Arbeit) positiv und die
abgegebene (gewonnene) negativ anzusetzen ist. Sie gilt für alle Energiearten.
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Die Volumenänderungsarbeit bei einer Volumenänderung von V1 nach V2 ergibt sich
durch die Integration der Gleichung 2.1-4.
dVpdW2
1
12
V
V
V ⋅−= ∫ ( 2.1-5 )
Als Volumenänderungsarbeit bezeichnen wir die in einem geschlossenen System
über die Systemgrenzen zu- oder abgeführte Arbeit.
Die Volumenänderungsarbeit WV12 ist aufgrund des oben gemachten Ansatzes bei
der abgeführten Arbeit (Expansion) negativ, da dVp2
1
V
V
⋅∫ bei Volumenvergrößerung
positiv wird. Wird die Volumenänderungsarbeit von der Umgebung an das System
zurückgeführt (Verdichtung) so sind die Zustandspunkte 1 und 2 gegenüber der
Darstellung in Abb.2.3-1 vertauscht, wodurch dVp2
1
V
V
⋅∫ negativ und damit Wv12 positiv
werden.
p2, V2 p1, V1
p2
V2 V1
p1
2
1
2 1
V
p
WV12
Verdichtung
WV12
p2, V2 p1, V1
p2
V2 V1
p1
2
1
2 1
V
p
WV12
Verdichtung
WV12
p2, V2 p1, V1
p2
V2 V1
p1
2
1
2 1
V
p
WV12
Verdichtung
WV12
p2, V2 p1, V1
p2
V2 V1
p1
2
1
2 1
V
p
WV12
Verdichtung
WV12
Abbildung 2.1-2:p,V-Diagramm Kompression
Die Volumenänderungsarbeit hängt nicht nur vom Anfangs- und Endzustand,
sondern auch von dem Weg, den das System zwischen den beiden Zuständen
durchläuft ab. Sie ist demnach auch vom Verlauf der Zustandsänderung abhängig.
Sie ist eine Prozessgröße und keine Zustandsgröße. Die Volumenänderungsarbeit
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04.03.2013 40
ist eine extensive Größe. Bezieht man sie auf die Systemmasse dann erhält man die
spezifische Volumenänderungsarbeit wV12:
dVpM
Ww
2
1
12V
12V ⋅−== ∫ ( 2.1-6 )
Nutzarbeit an der Kolbenstange
Befindet sich das System wie in der Abbildung 2.1-1 in einer unter konstantem
Druck pB befindlichen Umgebung (z.B.: auf der Erde), dann wird bei einer
Bewegung des Kolbens auch Arbeit an die Umgebung abgegeben Diese Arbeit,
die von der Umgebung geleistet wird, ist die Verschiebearbeit WU12.
dVp)VV(pW2
1
12BU12⋅−=−⋅−= ∫ Expansion (negativ) ( 2.1-7 )
dVp)VV(p)VV(pW2
1
B12B12B12U ⋅=−⋅=−⋅= ∫ Kompression (positiv) ( 2.1-8 )
Die Volumenänderungsarbeit WV12 teilt sich auf die Verschiebearbeit WU12 und
auf die an der Kolbenstange übertragenen Nutzarbeit WN12 auf.
p1
V1 V2
p2
1
2
V
p
pb
Expansion
Wu12
p1
V1 V2
p2
1
2
V
p
pb
Expansion
Wu12
)VV(pW 12B12U −⋅−= (negativ)
dVpW2
1
12V ⋅−= ∫ (negativ)
p2
V2 V1
p1
2
1
V
p
pb
Kompression
Wu12
p2
V2 V1
p1
2
1
V
p
pb
Kompression
Wu12
)VV(pW 21B12U −⋅= (positiv)
dVpW2
1
12V ⋅−= ∫ (positiv)
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12N12U12V WWW += 12N12U12V WWW +=
Die Nutzarbeit an der Kolbenstange für ein geschlossenes System
Expansion:
12U12V12N WWW −=
)VV(pdVpW 12B
2
1
12N −⋅+⋅−= ∫
)VV(pdVpW 12
2
1
B
2
1
12N −⋅+⋅−= ∫∫
∫∫ −−⋅−=2
1
B
2
1
12N dV)p(dVpW
dV)pp(W B
2
1
12N ⋅−−= ∫
Kompression:
12U12V12N WWW −=
)VV(pdVpW 21B
2
1
12N −⋅−⋅−= ∫
)VV(pdVpW 12B
2
1
12N −⋅+⋅−= ∫
∫∫ ⋅+⋅−=2
1
B
2
1
12N dVpdVpW
dV)pp(W B
2
1
12N ⋅+−= ∫
dV)pp(W B
2
1
12N ⋅−−= ∫
2.1.2. Innere Energie
Die von einem adiabat geschlossenen System abgeführte Arbeit verkleinert die
innere Energie U des Systems.
Da diese Verminderung nur von dem Betrag, nicht von der Art der Arbeit abhängt, ist
die Innere Energie eine extensive Zustandsgröße. Sie gehört zur Gruppe der
kalorischen Zustandsgrößen.
Die Innere Energie U stellt den Energievorrat eines Systems dar.
Bezogen auf die Masse ergibt sich die spezifische Innere Energie u.
2.1.3. Energieform „Wärme“
Wärme ist die Energie, die bei einem System mit nicht-adiabater Grenze allein
aufgrund eines Temperaturunterschiedes zu seiner Umgebung über die
Systemgrenze tritt.
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Den Übergang dieser Energie über die Systemgrenzen nennen wir Wärmezufuhr und
Wärmeabfuhr. Wärme und Arbeit bewirken demnach gemeinsam eine Änderung der
inneren Energie.
12V1212 WQUU +=− ( 2.1-9 )
→ Die Änderung der inneren Energie ist die Summe der transferierten Wärme und
Arbeit. Dabei gelten in der Gleichung ein Plus bei zugeführter Arbeit und ein Minus
bei abgeführter Arbeit.
1.HS (Allgemeine Wärmegleichung):
12
2
1
12
12V12
12V1212
UUpdVQ
WUQ
WUUQ
−=−
−∆=
−−=
∫
( 2.1-10 )
Wärme ist die Differenz aus der Änderung der inneren Energie und der verrichteten
Arbeit, wenn das betrachtete System geschlossen ist. Die zugeführte Wärme ist nur
positiv, abgeführte Wärme negativ. Die Wärme Q12 ist wie die Arbeit eine Prozess-
größe und damit vom Prozessverlauf abhängig. Das ist aus der Gleichung 2.1-8
erkennbar, nach der eine bestimmte Änderung der Zustandsgröße U durch unter-
schiedliche Anteile der Prozessgrößen Q12 und WV12 bewirkt werden kann. Wärme
und Arbeit sind Formen der Energieübertragung. Beide treten nur beim Überschrei-
ten der Systemgrenze auf, im Inneren des Systems existieren diese Größen nicht.
Für das Innere des Systems muss der Begriff innere Energie verwendet werden.
Um zu einer Klärung darüber zu kommen, welcher Anteil der zugeführten Wärme Q
zu einer
(i) Zunahme der inneren Energie U∆ des Gases führt und welcher Anteil an die
(ii) Raumänderungsarbeit WV
übergeht, trennen wir die Vorgänge, an denen die drei energiemäßig gleichwertigen
Größen Q, U, WV beteiligt sind.
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Zwei Grenzfälle
1. Fall:
In 1212V12 UUWQ −=+ soll WV = 0 sein.
Die Temperatur des Gases steigt von T1 auf T2.
Der Anteil WV entfällt und die Allgemeine Wärmegleichung lautet jetzt:
1212 UUQ −= ( 2.1-11 )
Die zugeführte Wärme wird vom Gas gespeichert, dessen „Innere Energie“ um ∆U
von U1 auf U2 zunimmt.
Die Größe der zugeführten Wärmemenge Q wird berechnet über eine spezifische
Wärmekapazität cv, die wie folgt definiert wird:
Es ist die Wärmemenge, die benötigt wird, um 1 kg des betreffenden Gases um 1K
von T1 auf T2 zu erwärmen, wenn sich dieses Gas in einem geschlossenen Raum
(bei V=const.) befindet – so dass eine Volumenänderungsarbeit aus der
entstandenen Energie nicht stattfinden kann.
Vc )]Kkg/(Nm[ ⋅
Mit WV = 0 erhält dann die Allgemeine Wärmegleichung der Gase die Form
1212V12 UU)TT(cMQ −=−⋅⋅= ( 2.1-12 )
2.Fall
In 12 12 2 1VQ W U U+ = − soll Q12 = 0 sein.
Bei diesem Vorgang soll dem Gas keinerlei Wärme mitgeteilt werden. Wärmetausch
mit der Umgebung über die Zylinderwand findet ebenfalls nicht statt.
Einen solchen Vorgang bezeichnet man als eine „adiabate Zustandsänderung“.
1212V UUW −= ( 2.1-13 )
Wärme Q wird zugeführt. Der Kolben wird in Lage 1 festgehalten.
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2.1.4. Technische Arbeit
Die bisher behandelten Prozesse liefen in geschlossenen Systemen ab.
In der Technik sind jedoch die offenen Systeme wichtiger, weil die meisten Prozesse
mit Stoffdurchfluss verlaufen und hierbei in einer Maschine stetig Arbeit verrichtet
werden kann. Diese an einem offenen System verlustfrei verrichtete Arbeit nennen
wir technische Arbeit Wt.
Wir betrachten einen Expansionsvorgang in einer verlustfreien Kolbenmaschine bei
vernachlässigter Änderung der kinetischen und potentiellen Energie.
Abbildung 2.1-3: verlustfreie Kolbenmaschine
∫ ⋅−=2
1
12t dpVW ( 2.1-14 )
(bei einer Expansion von 1 nach 2 ist Wt12 ein positiver Wert, weil dp abnimmt)
p1 a
b
V1
c
V2
p2 d
1
2
V
p Expansion
0
Fla1b0
p1 a
b
V1
c
V2
p2 d
1
2
V
p Expansion
0
Fla1b0
p1 a
b
V1
c
V2
p2 d
1
2
V
p Expansion
0
Fl12cb
p1 a
b
V1
c
V2
p2 d
1
2
V
p Expansion
0
Fl12cb
p1 a
b
V1
c
V2
p2 d
1
2
V
pExpansion
0
Fla12c0
p1 a
b
V1
c
V2
p2 d
1
2
V
pExpansion
0
Fla12c0
a) b) c)
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p1 a
b
V1
c
V2
p2 d
1
2
V
p Expansion
0
Fld2c0
p1 a
b
V1
c
V2
p2 d
1
2
V
p Expansion
0
Fld2c0
p1 a
b
V1
c
V2
p2 d
1
2
V
pExpansion
0
Fla12d
p1 a
b
V1
c
V2
p2 d
1
2
V
pExpansion
0
Fla12d
d) e)
Abbildung 2.1-4: Arbeit am offenen System, Enthalpie
• Linie „a1“: Linie der Wärmezufuhr. Die Frischwärme kommt am Punkt 1, nach
einer Wärmezufuhr bei p1=konst. an.
• Fläche „a1b0“: Wärmezufuhr (grün) siehe Abb.2.1-3 a) auf p1=konst.-Linie „a1“
als Verbrennungswärme innerhalb des Zylinders.
• Linie „12“: Expansionslinie. Der Kolben macht die Bewegung von 1 nach 2. U2 <
U1 → Wv12 negativ, da Nutzen.
• Fläche „12cb“: Volumenänderungsarbeit (rot) siehe Abb.2.1-3 b). Da der Prozess
verlustfrei erfolgt, entsteht sie aus der adiabaten Expansion mit den Bedingungen
T2 < T1 und p2 < p1
• Fläche „a12c0“: Arbeitsgewinn Wv12 + p1V1(blau) siehe Abb.2.1-3 c)
• Fläche „2c0d“: Ausschiebearbeit p2V2 (gelb) siehe Abb.2.1-3 d)
• Fläche „a12d“: Technische Arbeit Wt (grau) siehe Abb.2.1-3 e). (Differenz
zwischen Arbeitsgewinn und Ausschiebearbeit)
Nach der Abbildung:
)VpVp(WVpVpWW 112212V221112V12t ⋅−⋅−=⋅−⋅+=
Aus
12V1212 WUUQ +−= ( 2.1-15 )
mit Q12=0 (da adiabate Raumänderung) folgt:
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2121V12V UU)TT(cMW −=−⋅⋅= ( 2.1-16 )
da T2 < T1
Damit ergibt sich
22211112t VpUUVpW ⋅−−+⋅= ( 2.1-17 )
)UVp()UVp(W 22211112t +⋅−+⋅= ( 2.1-18 )
Die Klammerausdrücke enthalten nur Zustandsgrößen, die zu einer neuen
Zustandsgröße, der Enthalpie, zusammengefasst werden:
UVpH +⋅= ( 2.1-19 )
Auf die Masse bezogen ergibt sich die spezifische Enthalpie
uvpM
Hh +⋅== ( 2.1-20 )
Die technische Arbeit bei adiabaten Systemen ergibt sich zu
2112t HHW −= ( 2.1-21 )
bei Q12 = 0
Die Enthalpie H ist eine neue extensive Zustandsgröße. Sie ist eine
Zusammenfassung der Inneren Energie U und der Volumenänderungsarbeit WV des
Stoffes. Sie kennzeichnet den Energieinhalt thermodynamischer Systeme.
Mithilfe der Enthalpie kann eine weitere Form des 1.HS gewonnen werden:
vpuh ⋅+= ()d diese Gleichung wird differenziert ( 2.1-22 )
dpvdvpdudh ⋅+⋅+= ( 2.1-23 )
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dpvdhdvpdu ⋅−=⋅+ ( 2.1-24 )
dpvdhdq ⋅−=
mit
dvpdudq ⋅+= (1.HS)
dpvdqdh ⋅+= ( 2.1-25 )
Zur Berechnung der Enthalpieänderung dient häufig der Ansatz
)p,T(cdh p=
mit cp als spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck
Zusammenfassung aus 2.1.1 – 2.1.4
dVpdW2
1
12
V
V
V ⋅= ∫ 2.1-5)
Volumenänderungsarbeit (Expansion: V2 > V1, d.h. Wv12 > 0)
12V1212 WUUQ +−= ( 2.1-26 )
Wärme = Zunahme Innere Energie + Volumenänderungsarbeit p1V1 Wärmezufuhr Wv12 + p1V1 Arbeitsgewinn p2V2 Ausschiebearbeit
∫ ⋅−=2
1
12t dpVW ( 2.1-27 )
Technische Arbeit (Expansion: p2 < p1 d.h. Wt12 > 0)
221112V12t V)p(VpWW ⋅−+⋅+= ( 2.1-28 )
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2.2. Erster Hauptsatz für geschlossene Systeme
Jedes geschlossene System besitzt eine Zustandsgröße U mit folgenden
Eigenschaften:
Beim nicht-adiabaten geschlossenen System wandelt sich die als Wärme dem
System zugeführte Energie in Innere Energie und Arbeit um:
121212 UUWQ −=+
121212 uuwq −=+ ( 2.2-1 )
12
2
1
12 uudvpq −=⋅− ∫ ( 2.2-2 )
In einem adiabaten geschlossenem System wandelt sich die als Arbeit zugeführte
Energie in Innere Energie um.
2112 UUW −= , da Qad = 0
Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden.
dudvpdq +⋅= ( 2.2-3 )
Wird dem System bei v = konst. (dv = 0) die Wärme zugeführt, dann folgt
dudq = bzw.
1212 uuq −= mit v = konst.
Die einem geschlossenem thermodynamischen System bei v = konst. zugeführte
Wärme dient zur Erhöhung der Inneren Energie.
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2.3. Erster HS für offene Systeme, stationärer Fließprozess
Der stationäre Fließprozess hat eine sehr große technische Bedeutung.
Masse und Substanzen können die Systemgrenze überschreiten.
Massenstrom:
dt
dMMd =&
( 2.3-1 )
Wärmestrom:
dt
dQQd =&
( 2.3-2 )
Leistung:
t
WP t= t
WW t
t =& 1212t PW =&
( 2.3-3 )
Wasserrad wird durch fließendes Wasser angetrieben.
Abbildung 2.3-1: Schematische Darstellung Wasserturbine
Technische Arbeit entspricht der Arbeit, die beim stationären Fließprozess die
Systemgrenzen überschreitet.
α∆⋅= dt MW ( 2.3-4 )
ω⋅=∆α∆
⋅=∆ dd
t Mt
Mt
W ( 2.3-5 )
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ω⋅=∆
= dt Mt
WP ( 2.3-6 )
Offenes System (Massen- und Energietransport)
Abbildung 2.3-2: Schematischer Vergleich von offenen Systemen
PotKin EEUE ∆+∆+∆=∆
)EE()EE(UUE 1Pot2Pot1Kin2Kin12 −+−+−=∆
)EEU()EEU(EE 1Pot1Kin12Pot2Kin212 ++−++=−
( 2.3-7 )
( )]zzg)ww(2
1)uu[(MEE 12
21
22112 2
−⋅+−⋅+−⋅∆=− ( 2.3-8 )
Allgemein gilt 121212 WQEEE +=−=∆
Die Arbeit W12 besteht aus )vpvp(MWW 112212t12 ⋅−⋅⋅∆−=
)vpvp(MWQEE 112212t1212 ⋅−⋅⋅∆−+=− (*)
( )]zzg)ww(2
1)uu[(M)vpvp(MWQ 12
21
221112212t12 2
−⋅+−⋅+−⋅∆+⋅−⋅⋅∆=+
( )1221
2211122212t12 zzgM)ww(
2
M)vpu(M)vpu(MWQ −⋅⋅∆+−⋅
∆+⋅+⋅∆−⋅+⋅∆=+
mit der Enthalpie vpuh ⋅+= ergibt sich
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( )1221
22112t12 zzgM)ww(
2
M)hh(MWQ
2−⋅⋅∆+−⋅
∆+−⋅∆=− M∆: ( 2.3-9 )
1.HS für offene Systeme:
( )1221
22112t12 zzg)ww(
2
1)hh(wq
2−⋅+−⋅+−=− ( 2.3-10 )
spez. Wärme - spez. techn. Arbeit = Enthalpie + kin.En. + pot.En.
( )]zzg)ww(2
1)hh[(MPQ 12
21
22112t12 2
−⋅+−⋅+−⋅=− & ( 2.3-11 )
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2.4. Entropie
Die Entropie ist eine Zustandsgröße. Sie wurde von R.J.E. Claussius eingeführt uns
ist ein Maß für die Irreversibilität thermodynamischer Prozesse.
Claussius definierte die Entropie als Verhältnis von reversibel zugeführter
Wärmemenge und der absoluten Temperatur T an der Stelle des Wärmeüberganges.
T
dQdS =
K
J ( 2.4-1 )
zugeführte Wärme: dQ > 0 d.h. dS > 0
abgeführte Wärme: dQ < 0 d.h. dS < 0
Die Entropie ist wie die Wärmemenge Q eine extensive Größe.
Reversible Prozesse:
Aus dem 1. Hauptsatz:
dVpdQdU ⋅−= dVpdUdQ ⋅+=
Durch Umformung erhält man
dVpdUdQ ⋅+=
mit Gleichung ( 2.4-1 ) ergibt sich
dVT
p
T
dUdS ⋅−=
und mit
dpVdHdQ ⋅−=
dpT
V
T
dHdS ⋅−=
mit spezifischen Größen
dvT
p
T
duds ⋅+= /*T
ergeben: dVpduTds ⋅+=
dpvdhTds ⋅−=
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dpT
v
T
dhds ⋅−= / *T
Die Gibb´schen Fundamentalgleichungen erfolgen aus der Verknüpfung der
kalorischen Zustandsgrößen u und h mit den thermischen Zustandgrößen p, T und v
dVpduTds ⋅+=
dpvdhTds ⋅−=
( 2.4-2 )
Entropie als Zustandsgröße
Abbildung 2.4-1: T, s – Diagramm mit Isochoren und Isobaren
Das Verhalten der Isochore und Isobare wird in einem T,s-Diagramm dargestellt.
Die Wärmemengen lassen sich im T, s-Diagramm („Wärmediagramm“) als Fläche
unter den Kurven darstellen. Die Isochoren verlaufen steiler als die Isobaren.
Es gilt
v
p
c
c=κ ( 2.4-3 )
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vp cc ⋅κ= ( 2.4-4 )
)TT(cq 12vv −⋅=
)TT(cq 12pp −⋅=
( 2.4-5 )
qp > qv, da T2-T1=konst. und cp > cv.
Ermittlung der Entropieänderung
1.) wenn T und v gegeben sind folgt nach dem 1.HS:
12dq du w du p dv= + = + ⋅
vdq c dT p dv= ⋅ + ⋅ mit dq Tds=
vT ds c dT p dv⋅ = + ⋅
( 2.4-6 )
dvpdTcdq V ⋅+⋅= mit dsTdq ⋅=
dvpdTcdsT V ⋅+⋅=⋅
T
dvp
T
dTcds V ⋅+⋅= mit
v
R
T
pTRvp =⇒⋅=⋅
∫⋅+⋅=v
dvR
T
dTcds V
1
2
1
2v12
v
vlnR
T
Tlncsss ⋅+⋅=−=∆
wenn T und v gegeben ( 2.4-7 )
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2.) wenn p und v gegeben sind:
Mit 1
2
11
22
2
22
1
11
T
T
vp
vp
T
vp
T
vp=
⋅
⋅⇒
⋅=
⋅ und vp ccR −= folgt aus
1
2
1
2v12
v
vlnR
T
Tlncss ⋅+⋅=−
1
2vp
11
22v12
v
vln)cc(
vp
vplncss ⋅−+
⋅
⋅⋅=−
1
2v
1
2p11v22v12
v
vlnc
v
vlncvplncvplncss ⋅−+⋅⋅−⋅⋅=−
1v2v1p2p1v1v2v2v12 vlncvlncvlncvlncvlncplncvlncplncss ⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=−
1p2p1v2v12 vlncvlncplncplncss ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅=−
1
2p
1
2v12
v
vlnc
p
plncss ⋅+⋅=−
wenn p und v gegeben ( 2.4-8 )
3.) wenn p und T gegeben sind:
Mit 1
2
21
12
v
v
pT
pT=
⋅
⋅ folgt
21
12vp
1
2v12
pT
pTln)cc(
pT
Tlncss
⋅
⋅⋅−+⋅=−
21
12v
21
12p1v2v12
pT
pTlnc
pT
pTlncTlncTlncss
⋅
⋅⋅−
⋅
⋅+⋅−⋅=−
21v12v21p12p1v2v12 pTlncpTlncpTlncpTlncTlncTlncss ⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=−
2v1v1v2v2p
1p1p2p1v2v12
plncTlncplncTlncplnc
TlncplncTlncTlncTlncss
⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅−
⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=−
2v1v2p1p1p2p12 plncplncplncTlncplncTlncss ⋅+⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅=−
2vp1vp
1
2p12 pln)cc(pln)cc(
T
Tlncss ⋅⋅−−⋅−+⋅⋅=−
1
2
1
2v12
p
plnR
T
Tlncss ⋅−⋅=−
wenn T und p gegeben ( 2.4-9 )
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2.5. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
2.5.1. Reversible und irreversible ZÄ
Es gibt zwei Arten von Zustandsänderungen:
A.) Irreversible
Spontane irreversible ZÄ Erzwungene irreversible ZÄ
1. Abkühlung 1. Joulerscher Rührversuch
2. Vermischung 2. Strömung mit Reibung
3. Verbrennung, Explosion 3. Stromdurchgang
4. Chemische Reaktionen 4. Plastische Verformung
5. Druckausgleich, 5. Drosselung,
Alle Natürlichen Vorgänge sind irreversibel.
B.) Reversible
Der reversible Prozess ist nur ein Sonderfall des irreversiblen.
Formulierung des zweiten Hauptsatzes
Wärme kann nur dann in Arbeit umgewandelt werden, wenn ein Temperaturgefälle
vorhanden ist. Von der gesamten zugeführten Wärme Qzu wird nur ein Teilbetrag in
Arbeit umgewandelt. Der Rest Qab geht unverbraucht durch die Maschine.
1. Alle natürlichen Vorgänge sind irreversibel. Der reversible Prozess ist nur ein
Sonderfall des irreversiblen Prozesses (Prinzip der Irreversibilität).
2. Es ist nicht möglich, eine Maschine zu bauen, die nichts anderes vollbringt, als
fortwährend Wärme aufzunehmen und diese gänzlich in mechanische Arbeit
umzuwandeln (ein Perpetuum Mobile zweiter Art ist nicht möglich).
3. Wärme lässt sich nicht in Arbeit umwandeln, ohne dass gleichzeitig Wärme
von einem höheren auf ein tieferes Temperaturniveau sinkt.
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4. Wärme geht von selbst von einem System höherer Temperatur auf das
System niederer Temperatur über. Wärme kann nicht von selbst von einem
System tieferer Temperatur auf das System höherer Temperatur übergehen.
5. Bei allen natürlichen Prozessen nimmt die in Arbeit umwandelbare Energie
ab.
Zwischen der
1. Umwandlung von mechanischer Arbeit in Wärme
Umwandlung von mechanischer Energie in Wärmeenergie ist stets möglich.
und
2. Umwandlung von Wärme in mechanische Arbeit
Dagegen ergibt sich bei der Messung jeder Wärmekraftmaschine, wenn sie mit
Dampf oder Gas als Kolben- oder Strömungsmaschine betrieben wird:
Nutzarbeit der Maschine < vom Dampf/Gas mitgebrachte Wärmezufuhr
besteht ein grundlegender und bedeutender Unterschied.
2.5.2. Diagramme für Zustandsänderungen idealer Gase
- isotherme Zustandsänderung
Wenn die Temperatur bei Expansion und Kompression eines Gases konstant bleiben
soll, muss Wärme zu- bzw. abgeführt werden.
Im T,s-Diagramm verläuft die ZÄ als horizontale Gerade zwischen zwei Drucklinien.
2
112
p
plnRss ⋅=− ( 2.5-1 )
2
112
v
vlnRss ⋅=− ( 2.5-2 )
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Kompression p2 > p1 Expansion p2<p1
Abbildung 2.5-1: Kompression und Expansion im T, s – Diagramm
- polytrope Zustandsänderung
Die Polytrope liegt zwischen der Isotherme und der Isentrope. Während der ZÄ findet
eine Wärmeeinwirkung statt:
Bei einer Kompression wird das Gas gekühlt, aber nur so, dass T=konst. bleibt
Bei einer Expansion wird Wärme zugeführt.
( )12vn TT1
ncq −⋅
−κκ−
⋅= mit T
dQdsdsTdq =⇒⋅= ( 2.5-3 )
Abbildung 2.5-2: isochore und isobare Zustandsänderung im T, s – Diagramm
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T
)TT(d
1
ncds 12
v
−−
−κκ−
⋅= ( 2.5-4 )
1
2v21 T
Tln
1
ncss
−κκ−
⋅=−
1
2
1
2v21
v
vlnR
T
Tlncss ⋅+⋅=−
1
2p
1
2v21
v
vlnc
p
plncss ⋅+⋅=−
( 2.5-5 )
1
2
1
2p21
p
plnR
T
Tlncss ⋅+⋅=− ( 2.5-6 )
Abbildung 2.5-3: polytrope Zustandsänderung im T, s – Diagramm
Die Polytrope erscheint im T,s-Diagramm als logarithmische Kurve. Die Fläche unter
der Kurve der Polytrope ist die während der ZÄ zu- oder abgeführte Wärme.
Die Neigung der Polytrope zeigt, ob sie sich mehr der Adiabate oder mehr der
Isotherme nähert.
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- Isentrope (reversible adiabate) ZÄ
Diese ZÄ vollzieht sich als Expansion aus der Inneren Energie des Gases oder führt
nach einem Aufwand an mechanischer Energie zur Erhöhung der Inneren Energie
des Gases. Es findet keine Wärmeeinwirkung auf das Gas statt.
Mit q = 0 wird 0sss 12 =∆=− und die ZÄ erscheint im T,s-Diagramm als senkrechte
Gerade. (dq = Tds)
Isentrope: 0ss 12 =− ( 2.5-7 )
Beispiel:
Geg: 1kg Luft von 8bar und 150°C expandiert isentrop auf 1bar
Ges: Endtemperatur, gewonnene Raumänderungsarbeit, Darstellung im T,s-
Diagramm
Endtemperatur:
κ−κ
=
1
1
2
1
2
p
p
T
T
CKbar
barK
p
pTT °−==
⋅=
⋅=
−−
406,2338
115,423
4,1
14,1
1
1
1
212
κκ
Raumänderungsarbeit:
)TT(cl 12v −⋅=
( ) ( )kg
kJKK
Kkg
kJTTcl v 13615,4236,233716,012 =−⋅
⋅=−⋅=
Die Arbeit entsteht vor Beginn der Expansion aus der Inneren Energie des Gases.
( )kg
kJTTcl v 13612 =−⋅=
( )kg
kJlTTcl vpt 19012 =⋅=−⋅= κ
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Abbildung 2.5-4: isentrope Zustandsänderung im T, s – Diagramm
2.6. Thermische Kreisprozesse für Gasturbinen
Wir haben bisher Prozesse betrachtet, die die ZÄ eines Stoffes vom Zustand 1 zum
Zustand 2 bewirkten, und damit abgeschlossen waren, z.B.
Abbildung 2.6-1: Zustandsänderung im p, V – Diagramm von 1 nach 2
Ein geschlossenes System kann eine solche ZÄ nur einmal durchlaufen.
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Ein offenes System kann eine solche ZÄ nur so lange durchlaufen, wie Stoff vom
Zustand 1 nachgeliefert wird.
Unter einem Maschinenprozess (Kreisprozess) versteht man die Zusammenfassung
verschiedener, hintereinander ablaufender ZÄ, die vom Anfangszustand eines
Gases/Dampfes über Wärmezu- und abfuhr, über Verdichtung und Entspannung, in
den Anfangszustand des Gases zurückführen.
In den Kraftmaschinen wird Wärmeenergie aus Brennstoffen mit den über Kolben-
und Strömungsmaschinen durchgeführten Prozessen in mechanische Energie
umgewandelt.
Beispiel: Otto-Motor, Turbine
In den Arbeitsmaschinen wird aus aufgewendeter mechanischer Arbeit ebenfalls
über Kolben- oder Strömungsmaschinen das Niveau eines Gases vom
Anfangszustand auf einen höheren Endzustand gebraucht.
Beispiel: Verdichter, Pumpe
Abbildung 2.6-2: Beispiel für einen Kreisprozess
2.6.1. Rechtslauf der Kreisprozesse
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Abbildung 2.6-3: rechtslaufender Kreisprozess im p,V – Diagramm
Bei diesem Kreisprozess ist die bei Expansion abgeführte Volumenänderungsarbeit
größer als die bei Kompression zuzuführende, so dass bei dem gesamten
Kreisprozess ein Betrag für die Arbeit übrig bleibt, die vom System abgegeben wird.
Arbeitsabgabe durch Wärmezufuhr
Expansion T2<T1 Kompression T2>T1
2112 QQ >
Wärmezufuhr Wärmeabgabe ( 2.6-1 )
Dieser Prozess ist ein rechtslaufender Kreisprozess, weil in der Darstellung des
Diagramms die aufeinander folgenden ZÄ im Uhrzeigersinn verlaufen.
Die Arbeit, die im rechtslaufenden Kreisprozess abgegeben wird, nennt man
Nutzarbeit des Kreisprozesses
Dann muss mehr Wärme zu- als abgeführt, insgesamt also Wärme aufgenommen
werden.
Die Maschine/Anlage in der dieser Kreisprozess abläuft, bei dem Wärme
aufgenommen und Arbeit abgegeben wird, ist eine Wärmekraftmaschine.
Die Umformung von Wärme in Arbeit ist nur möglich, wenn die Wärmezufuhr Q12 bei
höherer Temperatur als die Wärmeabfuhr Q21 vor sich geht.
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Abbildung 2.6-4: Umformung der Wärme im p,V – Diagramm
( ) ( )zuKom21vabExp12v ll > ( 2.6-2 )
2.6.2. Linkslauf der Kreisprozesse
Abbildung 2.6-5: linkslaufender Kreisprozess im p,V – Diagramm
Bei diesem Prozess ist die bei Expansion abgeführte Volumenänderungsarbeit
kleiner als die bei der Kompression zuzuführende, so dass bei dem gesamten
Kreisprozess mehr Wärme ab- als zugeführt wird. (Insgesamt wird Wärme
abgegeben).
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1221 QQ >
Wärmeabgabe Wärmezufuhr ( 2.6-3 )
Die Arbeit muss zur Nutzung der Wärme investiert werden.
Die Maschine, in der dieser Kreisprozess abläuft, bei dem Wärme abgegeben
und Arbeit aufgenommen wird, heißt Wärmepumpe oder Kältemaschine.
Wärmepumpe:
Die bei dem Prozess abgeführte Wärme dient zur Beheizung eines Gebäudes oder
Stoffes.
Kältemaschine:
Die Arbeit wird einem System zugeführt, im daraus die Wärme zu entziehen, um
somit ein niedrigeres Temperaturniveau zu erreichen bzw. zu stabilisieren. z.B.
Kühlschrank
Kältemaschinen und Wärmepumpen werden in der Praxis überwiegend mit Dämpfen
und weniger mit Gasen betrieben.
Def.: bei Kreisprozessen mit idealen Gasen
Schema der Apparatezeichen
1. Wärmeübertrager
2. Pumpe
3. Verdichter
4. Expansionsmaschine
Abbildung 2.6-6: Schaltbilder der verschiedenen Maschinen
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Wärmekraftmaschine:
Wärme (aus Brennstoff-, Nuklear-, Solarenergie, Geothermik; -> Kap.
Heißgasmaschinen) wird in Arbeit umgewandelt. Die Wärmekraftmaschine ist ein
geschlossenes System, in dem das Fluid nach mehreren Einzelvorgängen wieder zu
seinem Ausgangszustand zurückgeführt wird. Die Energie wird bei möglichst hoher
Temperatur dem in der Anlage im Kreisprozess strömenden Fluid zugeführt.
Verbrennungsmaschine:
Chemisch gebundene Brennstoffenergie wird durch Reaktion mit Luftsauerstoff
innerhalb der Maschine freigesetzt. Die Verbrennungsmaschine ist in offenes
System, dem Brennstoff und Luft zugeführt und von dem Abgas abgegeben wird.
2.6.3. Reversibler Vergleichsprozess, Thermischer Wirkungsgrad
Soll in einer Gasturbinenanlage im Kreislauf Arbeit durch Gasentspannung
gewonnen werden, so muss diese Anlage einen Verdichter und eine Turbine
enthalten.
Schaltet man einen Turboverdichter und eine Gasturbine hintereinander, so würde
bei reversiblen Prozessen und adiabatem Abschluss der Anlage die von der
Gasturbine abgegebene Arbeit gerade ausreichen, um den Verdichter anzutreiben.
Da die Anlage aber Arbeit nach außen abgeben soll, muss auf dem Wege vom
Verdichter zur Turbine Wärme zugeführt werden. Dieser Prozess ergibt aber keinen
Kreisprozess, da sich die Entropie und die Temperatur des Arbeitsmittels
fortwährend erhöhen.
Zur Verwirklichung eines Kreisprozesses muss zusätzlich auf dem Wege von der
Turbine zum Verdichter Wärme abgeführt werden, damit vor der Verdichtung der
Ausgangszustand wieder erreicht wird. Die Wärmezu- und –abfuhr zwischen den
Maschinen verlaufen in der Praxis etwa isobar; die Kompression und die Expansion
können sich der Isentropen oder der Isothermen nähern. Statt der Turbomaschinen
sind auch Kolbenmaschinen möglich, jedoch hat diese Ausführungsart kaum
praktische Bedeutung.
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Abbildung 2.6-7: Schematische Darstellung der verschiedenen Gasturbinenanlagen
Ein Prozess mit isentroper Kompression und Expansion in adiabaten Maschinen und
isobarer Wärmezu- und –abfuhr zwischen den Maschinen heißt Joule-Prozess.
1 →2 Isentrope Kompression der Luft (oder eines anderen Arbeitsfluids) im
Verdichter (wt12´>0)
2 →3 Isobare Wärmezufuhr, entweder über Heizflächen oder durch Verbrennung,
auch innere Wärmezufuhr genannt. Die Veränderung der chemischen
Zusammensetzung des Arbeitsfluids bei der Verbrennung wird nicht
berücksichtigt (q2´3>0)
3 →4 Isentrope Expansion der Luft in der Turbine; im offenen Kreislauf mit innerer
Wärmezufuhr ersetzt diese Zustandsänderung die isentrope Expansion der
Verbrennungsgase (wt34´<0)
4 →1 Isobare Wärmeabfuhr, die entweder die Wärmeabfuhr über Kühlflächen
darstellt oder das Ausstoßen der heißen Abgase in die Umgebung und das
Ansaugen der Außenluft ersetzt (q4´1>0)
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Abbildung 2.6-8: reversibler und irreversibler Prozess
Reversibler Prozess = Vergleichsprozess = Joule-Prozess
Bei dem hier besprochenen Kreisprozess handelt es sich um einen reversiblen
Vergleichsprozess. Dabei sind alle Punkte der Zustandsänderungen als 1’, 2’, 3’, 4’
anzusehen („ ’ “ bedeutet: reversibler idealer Prozess, 1’ =1rev)
Beim rechtslaufenden Kreisprozess wird einer Maschine Wärme zugeführt und durch
sie in Arbeit verwandelt.
Wünschenswert ist ein Kreisprozess, bei dem ein möglichst großer Teil der
zugeführten Wärme von der Maschine in Form von Arbeit abgegeben wird.
Das Verhältnis des Betrages der abgegebenen Nutzarbeit des Kreisprozesses
zur zugeführten Wärme wird als thermischer Wirkungsgrad bezeichnet.
zu
K
zu
thQ
W
Q
L
Aufwand
Nutzen===η *
* In der Literatur werden sowohl L als auch WK zur Beschreibung benutzt.
abzuNutzKK QQQLW +=== ( 2.6-4 )
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zu
ab
zu
abzuth
Q
Q1
Q
QQ+=
−=η , abQ ist negativ ( 2.6-5 )
Für den reversiblen Kreisprozess (Vergleichsprozess) gilt:
revzu
revK
revzu
rev
revth
Q
W
Q
L==η * ( 2.6-6 )
Der bestmögliche Wert für rev
thη ergibt sich bei einem Vergleichsprozess mit jeweils
konstanter Temperatur bei der Wärmezu- und Wärmeabfuhr.
2.6.4. Irreversibler Prozess
Die vom Arbeitsfluid bei einem wirklichen, irreversiblen Prozess in den Maschinen
insgesamt verrichtete Arbeit, die Nutzarbeit des Kreisprozesses WK, kann als Summe
aller am Prozess beteiligten irreversiblen Arbeiten ermittelt werden:
∑= tK WW
Ist der wirkliche irreversible Prozess ein Kreisprozess, dann gilt:
)QQ()QQ(WW 4123abzuKK +−=+−=−= ( 2.6-7 )
Läuft der wirkliche Prozess dagegen in einem offenen System ab, dann muss auch
die Enthalpie des ein- und austretenden Arbeitsfluids berücksichtigt werden. Bei
vernachlässigter Änderung der kinetischen und potenziellen Energie gilt dann:
auseinabzuKK HHQQWW −++=−= ( 2.6-8 )
Darin sind:
Qzu und Qab die dem wirklichen (irreversiblen) Prozess zu- bzw. abgeführte Wärme
Hein und Haus die Enthalpien des ein- und austretenden Arbeitsfluids.
Die Arbeit ist als abgegebene Arbeit bei den hier behandelten rechtslaufenden
Kreisprozessen immer negativ. Wir nennen sie Nutzarbeit des Kreisprozesses. Sie
wird auch als innere Arbeit bezeichnet.
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Die innere Arbeit (Nutzarbeit) WK ist infolge der inneren Verluste und anderen
Abweichungen des wirklichen irreversiblen Prozesses kleiner als die Arbeit des
idealisierten Vergleichsprozesses rev
KW . Die inneren Verluste sind u.a.
Reibungsarbeiten bei der Kompression oder Expansion und die Strömungsverluste
an den Schaufeln.
revKK WW <
Vereinbarungen:
Für einen direkten Vergleich zwischen dem wirklichen (irreversiblen) Prozess und
dem (reversiblen) Vergleichsprozess verabreden wir, dass beim wirklichen
Kreisprozess und dem zugehörenden Vergleichsprozess neben sinnvoller
Anpassungen der Einzelvorgänge (1=1’ und 3=3’, wird später erläutert) die
zugeführte Wärme gleich sein soll:
revzuzu QQ =
Die Vereinbarung gestattet die Definition des inneren Wirkungsgrades des
irreversiblen Kreisprozesses:
revK
Ki
W
W=η ( 2.6-9 )
Zusammenhang mit dem thermischen Wirkungsgrad
revzu
abrevzu
revzu
abzu
revzu
K
zu
Kth
Q
Q
Q
W
Q
W +=
+===η <1
revzu
revab
revzu
revzu
revKrev
thQ
Q
W +==η
revab
revzu
abrevzu
revab
revzu
abzu
revK
Ki
W
W
+
+=
+
+==η
revzu
K
revK
K
revzu
revK
irevthth
Q
W
W
W
Q
W=⋅=η⋅η=η
( 2.6-10 )
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Nachteile der Vereinbarung:
Durch die irreversible Kompression in adiabaten Systemen beginnt die Wärmezufuhr
in der Brennkammer bei höherer Temperatur T2 als nach der reversiblen
Kompression T2 > T2´. Soll nun die Endtemperatur des reversiblen
Vergleichsprozesses erreicht werden, so muss bei gleichem Betrag der zugeführten
Wärme die Masse des Arbeitsmittels beim wirklichen irreversiblen Prozess m größer
als beim reversiblen Prozess m’ sein m > m’.
Ferner wird die Wärme, außer isothermen ZÄ in den Maschinen, beim reversiblen
Vergleichsprozess bzw. irreversiblen wirklichen Prozess bei unterschiedlichen
Temperaturen zu- und abgeführt. Daher sind die Exergien (Eq) der zu- und auch der
abgeführten Wärme nicht gleich:
revqzuqzu EE >
Bei der getroffenen Vereinbarung muss beim irreversiblen wirklichen Prozess mehr
Wärme als beim reversiblen Vergleichsprozess an das Kühlsystem abgeführt
werden, damit nach einem Arbeitsspiel der Ausgangszustand wieder erreicht wird.
revabab QQ >
rev1´441 QQ && >
2.6.5. Der mechanische Wirkungsgrad , ηηηηm
Die Arbeit, die an der Kupplung der Wärme- oder Verbrennungskraftanlage auf die
angetriebene Maschine, z.B. Generator, Propeller, übertragen wird, nennen wir die
Kupplungsarbeit WeK. Sie ist um die äußeren Reibungsverluste, z.B. Kolben-,
Lagerreibung u.a.m., kleiner als die innere Arbeit (Nutzarbeit) WK des
Kreisprozesses.
WeK < WK
Die äußeren Verluste sind die Reibungsarbeiten, durch die die Temperatur der
äußeren Teile, das sind die Teile, die nicht in Wärmeübertragung mit dem
Arbeitsfluid stehen, erhöht wird.
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K
eKm
W
W=η ( 2.6-11 )
Der Nutzwirkungsgrad eη ist das Verhältnis der Kupplungsarbeit zur zugeführten
Wärme; er kann folglich auch als Gesamtwirkungsgrad der Wärme- oder
Verbrennungskraftanlage bezeichnet werden.
mthmirevth
zu
eKe
Q
Wη⋅η=η⋅η⋅η==η ( 2.6-12 )
mT34tT
mV
12tVeK W
WW η⋅+
η= ( 2.6-13 )
mit 34tT12tVeKmTmV WWW1 +=⇒=η=η
Die Nutzarbeit des Joule-Prozesses Wj = rev
KW− kann als Summe der zu- und
abgeführten Wärme berechnet werden:
)QQ()QQ(WW 1´43´2rev41
rev23
revKj +−=+−=−= , sie ist negativ ( 2.6-14 )
0)TT(cmQ ´23
T
Tpj3´2
3
´2
>−⋅⋅= & , die zugeführte Wärme ist positiv ( 2.6-15 )
0)TT(cmQ ´41
T
Tpj1´4
1
´4
<−⋅⋅= & , die abgeführte Wärme ist negativ ( 2.6-16 )
Für die genaue Zahlenrechnung ist bei der Nutzarbeit die die
temperaturveränderliche spezifische Wärmekapazität einzusetzen. Zur Ableitung der
vereinfachten Gesetzmäßigkeiten wird jedoch mit einer während des ganzen
Vergleichsprozess konstanten spezifischen Wärmekapazität gerechnet:
)TTTT(cmWW ´43´21pjrev
kj −+−⋅⋅−=−= & , sie ist negativ ( 2.6-17 )
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)TT(cm
)TT(cm1
Q
Q1
Q
Q
W
´23pj
´41pj
3´2
1´4
3´2
1´43´2rev
3´2
jrevth −⋅⋅
−⋅⋅+=+=
+==η
&
&
( 2.6-18 )
mit cp = konst. folgt:
)TT(
)TT(1
)TT(
)TT()TT(
´23
1´4
´23
1´4´23revth −
−−=
−−−−
=η ( 2.6-19 )
Die Punkte 1 und 2 sowie 3 und 4 sind durch Isentropen zwischen den gleichen
Drücken verbunden:
κ−κ
=
1
´2
1
´2
1
p
p
T
Tund
κ−κ
=
1
3
´4
3
´4
p
p
T
T ( 2.6-20 )
mit p1 = p4’ und p2’ = p3 folgt
´2
13´4
3
´4
´2
1
T
TTT
T
T
T
T⋅=⇒=
´2
1
´23
´23´2
1
´23
´2´2
1
´2
13
revth
T
T1
)TT(
)TT(T
T
1)TT(
TT
T
T
TT
1 −=−
−⋅−=
−
⋅−⋅−=η
( 2.6-21 )
κ−κ
−=−=η
1
2
1
´2
1revth p
p1
T
T1 ( 2.6-22 )
Der thermische Wirkungsgrad des Joule-Prozesses rev
thη hängt für ein bestimmtes
Gas nur vom Temperatur- bzw. Druckverhältnis bei der isentropen Kompression oder
Expansion ab. Die Wärmezufuhr beeinflusst den thermischen Wirkungsgrad nicht.
Zur Steigerung von rev
thη muss also das Druckverhältnis p2 / p1 vergrößert werden.
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Abbildung 2.6-9: Verlauf von rev
exη über dem Druckverhältnis bei konstantem κ
Der Einfluss des Druckverhältnisses auf den thermischen Wirkungsgrad ist aus dem
p,V - Diagramm zu erkennen. Da die Isentropen 1-2 und 3-4 zwischen zwei Isobaren
2-3 und 4-1 liegen, ist (bei cp=konst.) das Verhältnis der Strecken 1a:2a immer gleich
dem Verhältnis der Strecken 4b:3b. Der thermische Wirkungsgrad ist also von der
Lage der Isentropen 3-4 und damit vom Betrag der zugeführten Wärme Q23
unabhängig.
2.6.6. Der exergetische Wirkungsgrad
3´2,q
revK
3´2,q
j
revzu,q
jrevex
E
W
E
W
E
W===ϕ ( 2.6-23 )
3'2qE ist die Exergie der isobar zugeführten Wärme bei Wdiss = 0.
)SS(TQE ´23b3´23´2,q −⋅−= ( 2.6-24 )
dabei ist Tb eine Bezugstemperatur
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04.03.2013 75
´2
3pjb´23pj3´2,q
T
TlncmT)TT(cmE ⋅⋅⋅−−⋅⋅= && ( 2.6-25 )
⋅−−⋅⋅
−+−⋅⋅=ϕ
´2
3b´23pj
´43´21pjrevex
T
TlnT)TT(cm
)TTTT(cm
&
&
´2
3b´23
1´4´23
´2
3b´23
´43´21revex
T
TlnT)TT(
)TT()TT(
T
TlnT)TT(
)TTTT(
⋅−−
−−−=
⋅−−
−+−=ϕ
−
⋅−⋅−
−−
−⋅−
=ϕ
)TT(
T
TlnT
1)TT(
)TT(
)TT(1)TT(
´23
´2
3b
´23
´23
1´4´23
revex
´2
3
´23
b
´23
1´4
revex
T
Tln
)TT(
T1
)TT(
)TT(1
⋅−
−
−−
−=ϕ
( 2.6-26 )
´2
3
´23
b
revth
´2
3
´23
b
´2
1
revex
T
Tln
)TT(
T1
T
Tln
)TT(
T1
T
T1
⋅−
−
η=
⋅−
−
−=ϕ ( 2.6-27 )
Der exergetische Wirkungsgrad ist also nicht nur, wie der thermische Wirkungsgrad,
von T1/T2 abhängig, sondern neben der nicht beeinflussbaren Umgebungstemperatur
Tb auch von der Temperatursteigerung von T2 nach T3.
2.7. Der wirkliche Prozess in der Gasturbinenanlage
Prozessverlauf und Anlagenarten
Der wirkliche Prozess in der Gasturbinenanlage hat gegenüber dem
Vergleichsprozess folgende Abweichungen:
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04.03.2013 76
a.) Wegen der reibungsbehafteten Strömung fällt der Druck in den
Rohrleitungen und Wärmeübertragern.
b.) Beim Joule-Prozess verlaufen auch bei reibungsfreien Vorgängen die
Kompression im ungekühlten Verdichter und die Expansion in der isolierten
Turbine wegen des nicht vollständig adiabaten Abschlusses nicht isentrop,
sondern auf etwas davon abweichenden Polytropen, wobei sich – streng
genommen – der Polytropenexponent während des Vorganges ändert.
c.) Durch Dissipation in den Maschinen treten beim Joule-Prozess größere
Abweichungen von den Isentropen auf: Die Entropie steigt bei der
Kompression und Expansion.
d.) Beim Ericsson-Prozess nähern sich Kompression und Expansion wegen
der stufenweisen Zwischenkühlung bzw. Zwischenerwärmung (Isex-
Prozess) nur stufenweise der Isothermen.
e.) Bei der Gasturbinenanlage mit offenem Kreislauf sind die Zu- und
Abströmgeschwindigkeit ungleich; damit ändert sich die kinetische Energie.
Prinzipiell lässt sich eine Gasturbinenanlage in zwei Anlagearten ausführen:
Als Verbrennungskraftanlage mit offenem Kreislauf und innerer Wärmezufuhr und als
Wärmekraftanlage mit geschlossenem Kreislauf und äußerer Wärmezufuhr. Bei der
inneren Wärmezufuhr erfolgt die Erwärmung des Arbeitsfluids durch Verbrennen von
Brennstoffen in dem offenen Kreislauf, wodurch sich die chemische
Zusammensetzung des Arbeitsfluids ändert. Bei der äußeren Wärmezufuhr wird die
Wärme über Heizflächen dem Arbeitsfluid zugeführt. Bei dem offenen Kreislauf saugt
der Verdichter Luft aus dem Freien an, die Turbine lässt die Abgase nach der
Arbeitsabgabe mit höherer Temperatur wieder ins Freie treten. Bei dem
geschlossenen Kreislauf läuft immer dasselbe Arbeitsfluid um.
Die neben der Brennkammer und dem Kühler angeordneten Wärmeübertrager
haben die Aufgabe, den Wirkungsgrad der Anlagen zu verbessern.
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04.03.2013 77
Abbildung 2.7-1: Gasturbinenanlage mit offenem Kreislauf und innerer Wärmezufuhr
Die offene Anlage ist die einzige Möglichkeit für mobile Gasturbinen; sie hat sich
auch für stationäre Anlagen durchgesetzt. Gegenüber der geschlossenen Anlage hat
sie folgende Vorteile: kleinere Heizflächen, geringeres Gewicht, schnelleres
Anfahren, geringere Investitionskosten.
Abbildung 2.7-2: Gasturbinenanlage mit geschlossenen Kreislauf und äußerer Wärmezufuhr
Die Vorteile der geschlossenen Anlage, wie die Verwendbarkeit billigerer
Brennstoffe, besserer Teillastwirkungsgrad durch Veränderung des Druckniveaus,
Betrieb mit beliebigen Gasen (z.B. Helium oder in ORC-Anlagen organische
Arbeitsmittel) gleichen die wirtschaftliche Überlegenheit der offenen Anlage nicht
aus. Geschlossene Gasturbinenanlagen werden daher zurzeit nicht gebaut.
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.
Abbildung 2.7-3: Schnittbild einer offenen Gasturbinenanlage ohne Abwärmenutzung
Berechnung des wirklichen irreversiblen (realen) Prozesses
1 →2 polytrope adiabate Verdichtung im Verdichter (wt12 > 0)
2 →3 fast isobare Wärmezufuhr, wg. Druckverlusten, nur Annahme p2=p3 (qt23 > 0)
3 →4 polytrope adiabate Entspannung in der Turbine (wt34 < 0)
4 →1 fast isobare Wärmeabfuhr (p4 annähernd gleich p1) (qt23 < 0)
Abbildung 2.7-4: T-s Diagramm des wirklichen Prozesses
Für jeden wirklichen Prozess ist der Verlauf des Vergleichsprozesses festzulegen. Es
ist sinnvoll, für den wirklichen Prozess und den Vergleichsprozess als gemeinsame
Eckwerte die Zustandspunkte 1 und 3 zu wählen, denn in der Praxis sind der
Zustandspunkt 1 durch die Umgebung, der Zustandspunkt 3 mit höchster
Temperatur und höchstem Druck durch die Materialbelastung bestimmt.
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04.03.2013 79
Die Nutzarbeit des wirklichen irreversiblen Gesamtturbinenprozesses WK kann nach
dem beschriebenen Verfahren aus den technischen Arbeiten des Verdichters WtV
und der Turbine WtT ermittelt werden:
tTtVK WWW += ( 2.7-1 )
Die technische Arbeit des Verdichters WtV und der Turbine WtT sind über die
isentropen Maschinenwirkungsgrade ( isenVη und isenTη ) mit der technischen Arbeit des
Verdichters rev
tVW und der Turbine rev
tTW verknüpft. Bei isentropen
Maschinenwirkungsraden werden Änderungen der kinetischen und potentiellen
Energie beim Zu- und Abströmen vernachlässigt. Technische Arbeit und reversible
technische Arbeit sind mit den gleichen Massen (Massenströmen) zu berechnen.
Der Vergleichsprozess liegt mit den Zustandspunkten 12’34’ und den
Zustandsänderungen (2 Isentropen und 2 Isobaren) mit der Masse mj’ fest.
Isentroper Verdichterwirkungsgrad ηisenV
isenV
rev´12tV
12tV
12tV
rev´12tV
isenV
WW
W
W
η=⇒=η ( 2.7-2 )
Isentroper Turbinenwirkungsgrad ηisenT
isenTrev
´34tT34tTrev´34tT
34tTisenT WW
W
Wη⋅=⇒=η ( 2.7-3 )
Damit gilt für WK:
rev´34tTisenT
isenV
rev´12tV
K WW
W ⋅η+η
= ( 2.7-4 )
Für den Joule-Prozess können bei vernachlässigter Änderung der kinetischen und
potentiellen Energie und der Annahme adiabater Maschinen die technischen
Arbeiten aus der Enthalpie- oder Temperaturdifferenz des Fluids ermittelt werden:
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04.03.2013 80
)TT(cmHHW 12
T
Tp1212tV
2
1
−⋅⋅=−= & ist positiv ( 2.7-5 )
technische Verdichterarbeit
)TT(cmHHW 1´2
T
Tp1´2rev
12tV
´2
1
−⋅⋅=−= & ist positiv ( 2.7-6 )
isentrope reversible technische Vergleichsarbeit des Verdichters
)TT(cmHHW 34
T
Tp3434tT
4
3
−⋅⋅=−= & ist negativ ( 2.7-7 )
technische Turbinenarbeit
)TT(cmHHW 3´4
T
Tp3´4rev
34tT
´4
3
−⋅⋅=−= & ist negativ ( 2.7-8 )
isentrope reversible technische Vergleichsarbeit der Turbine
Massenströme m& bei irreversiblem wirklichem Kreisprozess und jm& bei reversiblem
Vergleichsprozess.
Die Bedingung, durch die der irreversible Prozess mit dem Vergleichsprozess (Joule-
Prozess) vergleichbar wird, lautet (Vereinbarung):
revzuzu QQ && = ( 2.7-9 )
3´223 QQ && =
)TT(cmQ 23
T
Tp23
3
2
−⋅⋅= &&
)TT(cmQ ´23
T
Tpj3´2
3
´2
−⋅⋅= &
( 2.7-10 )
Da T2’ kleiner als T2 ist und damit ( ) ( )23´23 TTTT −>− , ist mm j&& <
Die isentropen Wirkungsgrade ηisenV und ηisenT berücksichtigen sämtliche „inneren“
Verluste, wie z.B. Radreibungsverluste zwischen Laufrad und Fluid, Spaltverluste
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04.03.2013 81
infolge Rückströmung eines Teilstromes des geförderten Fluids, hydraulische
Verluste außerhalb der Laufschaufeln durch Reibung, Strömungsablösung, Stoß.
Bei der Definition der isentropen Wirkungsgrade weichen demnach die
Zustandsänderungen für die wirkliche technische Arbeit und die Vergleichsarbeit
voneinander ab:
Für die Vergleichsarbeiten verlaufen sie isentrop, für die wirklichen technischen
Arbeite infolge der Dissipationsverluste polytrop.
Es werden aber – neben den hier definierten isentropen Wirkungsgraden – auch
Wirkungsgrade definiert, die für die reversible technische Arbeit den gleichen
Zustandsverlauf wie für die wirkliche technische Arbeit voraussetzen. Diese
Wirkungsgrade werden polytrope oder hydraulische Wirkungsgrade genannt. Wir
verwenden sie hier nicht.
Die Nutzarbeit des wirklichen irreversiblen Gesamtturbinenprozesses WK kann – statt
aus den Einzelarbeiten – auch aus der zu- und abgeführten Wärme ermittelt werden.
Dann ist die dem wirklichen Prozess zugeführte Wärme gleich der dem
Vergleichsprozess zugeführten Wärme )( rev
zuzu QQ && = zu setzen, dagegen wird die
abgeführte Wärme des wirklichen Prozesses größer als die des Vergleichsprozesses
)QQ( revabab
&& = . Wirklicher Prozess und Vergleichsprozess sind dann mit
unterschiedlichen Massen zu berechnen.
Die Kupplungsarbeit der Gasturbinenanlage WeK wird aus der Kupplungsarbeit der
Turbine WeT und des Verdichters WeV ermittelt:
eVeTeK WWW += ( 2.7-11 )
mV
tVtTmTeK
WWW
η+⋅η= ( 2.7-12 )
Darin sind
eV
tVmV
W
W=η
mechanischer Verdichterwirkungsgrad
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04.03.2013 82
tT
eTmT W
W=η
mechanischer Turbinenwirkungsgrad
K
eKm
W
W=η mechanischer Gasturbinenanlagenwirkungsgrad
Der Nutzwirkungsgrad eη ist das Verhältnis der Kupplungsarbeit zur zugeführten
Wärme; er kann folglich auch als Gesamtwirkungsgrad der Wärme- oder
Verbrennungskraftanlage bezeichnet werden.
mthmirevth
zu
eKe
Q
Wη⋅η=η⋅η⋅η==η ( 2.7-13 )
mT34tT
mV
12tVeK W
WW η⋅+
η= ( 2.7-14 )
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04.03.2013 83
3. Hydraulische Strömungsmaschinen
3.1. Einführung
In Wasserkraftwerken wird die potentielle Energie von in Stauseen und Flussläufen
gestautem Wasser in Turbinen in Strömungsenergie umgesetzt und in mechanische
Antriebsenergie, meist zum Antrieb elektrischer Generatoren, umgewandelt.
Asien Afrika Südamerika Nord- und
Mittelamerka
Europa
1350
4,5
1100
1,3
690
1,5
375
105
290
190
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Asien Afrika Südamerika Nord- und
Mittelamerka
Europa
Leistung in MW x 1000
= vorhanden
= ausgebaut
Abbildung 3.1-1: Wasserkräfte der Welt (Fa. Voith)
Von den geschätzten 3,8 Millionen MW wirtschaftlich ausbauwürdigen Wasserkräften
der Erde sind z.Zt. nur etwa 0,37 Millionen MW, d.h. nicht einmal 10 % ausgebaut.
Die meisten noch ungenutzten Wasserkraftreserven liegen allerdings in Asien, Afrika
und im Süden und Norden Amerikas. In Europa ist schon ein hoher Anteil der
vorhandenen Wasserkräfte ausgebaut, allerdings besteht noch ein relativ großer
Bedarf an Pumpspeicherwerken, die zur Deckung von Energieverbrauchsspitzen
eingesetzt werden.
Ein großer Nachteil ist die hohe Investitionssumme, die zum Bau eines
Wasserkraftwerkes benötigt wird. Deshalb sind solche Anlagen, trotz Verteuerung
von Mineralöl und Kohle, meist nur in Verbindung mit Flusssanierungen und
Bewässerungsprojekten wirtschaftlich sinnvoll. Allerdings sollten angesichts der
fortschreitenden Zerstörung der Ozonschicht und der Wälder der Erde, den
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04.03.2013 84
alternativen und erneuerbaren Energiequellen doch mehr Beachtung geschenkt
werden. Dieser ökologisch unbestreitbar große Vorteil muss natürlich mit
energiewirtschaftlichen Betrachtungen im Zusammenhang gesehen werden.
Die Wasserturbinen ordnen sich dem großen Bereich der dynamischen
Fluidenergiemaschinen ein. In diesen Strömungsmaschinen erfolgt die
Energieumsetzung zwischen einem mehr oder weniger kontinuierlich strömenden
Fluid (Flüssigkeit, Dampf, Gas) und einem mit Schaufeln besetzten, gleichförmig
umlaufendem Motor. Bei Strömungskraftmaschinen (Turbinen) entsteht durch die
Wirkung von Druck und Geschwindigkeit des Arbeitsmediums auf die Schaufeln des
Rotors oder Laufrades ein Drehmoment an der Welle, das beispielsweise zum
Antrieb eines Generators genutzt werden kann.
Die Wasserturbine ist eine Strömungsmaschine mit flüssigem Arbeitsmedium, mit
nahezu unveränderlicher Dichte (inkompressibel � ∆p = 0). Die für die Umwandlung
in Arbeit notwendige Exergie ist die potentielle Energie oder die kinetische Energie
der Flüssigkeit. Der historische Vorgänger der heutigen Wasserturbinen ist das
Wasserrad, bei dem die Arbeit hauptsächlich durch die Lageenergie, d.h. das
Wassergewicht geleistet wurde.
Die Auswahl der Turbinen eines Wasserkraftwerkes ist vorrangig von der Fallhöhe H
und dem vorhandenem Volumenstrom abhängig. Durch die Fallhöhe werden
folgende Typen von Kraftwerken unterschieden:
- Hochdruckkraftwerke mit H > 300 m
- Mitteldruckkraftwerke mit 400 m > H > 20 m und
- Niederdruckkraftwerke mit H < 50 m
Für jede Kombination von Fallhöhe und Volumenstrom ist eine der Turbinenarten
optimal geeignet, d.h. sie setzt die Energie bei höchstmöglichen Wirkungsgraden um.
Weitere Gesichtspunkte zur Unterteilung der Wasserturbinen:
- Wirkungsweise
- Äußere Bauweise
- Betriebsart
- Regelung
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04.03.2013 85
Abbildung 3.1-2: Einsatzbereiche von Wasserturbinen
3.2. PELTON-Turbine
Aufbau und Wirkungsweise einer PELTON-Turbine
Die PELTON-Turbine oder Freistrahlturbine eignet sich für den Einsatz bei Fallhöhen
von 50 m - 2000 m und bis zu einem Volumenstrom von 50 m³/s. Sie ordnet sich
dabei in die Kategorie der Hochdruckturbinen ein. Die Einsatzgebiete liegen im
Gebirge. Die maximalen Leistungen liegen heute etwa bei 200 MW.
Sie wurde 1884 vom amerikanischen Ingenieur LESTER ALLEN PELTON (1829-
1908) erfunden, seitdem mehrfach verbessert und die Leistung gesteigert.
Abbildung 3.2-1: Ansicht einer PELTON-Turbine (Voith)
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04.03.2013 86
Abbildung 3.2-2: PELTON-Turbine mit mehreren Düsen (Voith)
Je nach Größe des Wasserstromes, des Gefälles und der Wasserqualität wird die
Turbine mit horizontaler Wellenlage mit 1 bis 2 Düsen je Rad oder mit vertikaler
Wellenlage mit bis zu 6 Düsen ausgeführt. Die Welle ist normalerweise direkt mit
dem elektrischen Generator gekoppelt. Größere Laufräder besitzen einen
Durchmesser von mehr als 5 m und haben eine Masse von ca. 40 t.
Der wesentliche Aufbau der Freistrahlturbine besteht aus den Bauteilsystemen
Laufrad, Düsen und dem Gehäuse. Das Laufrad wird heute mit den Becherschaufeln
in einem Stück gegossen.
Abbildung 3.2-3: PELTON-Turbinen Schaufel
Die Düse, deren geometrische Form in Versuchen ermittelt wird, besteht aus einem
Rohrstück mit angeflanschtem Mundstück und einer im Rohr verschiebbaren Nadel.
Die der Abnutzung besonders unterworfenen Teile - Nadelspitze und Mundstück -
sind aus hochfestem Werkstoff und lassen sich leicht auswechseln.
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04.03.2013 87
Abbildung 3.2-4: Düse einer PELTON-Turbine
Die Nadel wird bei kleineren Turbinen durch einen außerhalb des Düsenrohres
sitzenden Servomotor, bei größeren durch einen innen liegenden Servomotor
verschoben. Zur Vermeidung von Druckstößen in der Druckleitung und zum
Verhindern des Durchgehens der Turbine wird bei größeren Regeleingriffen nicht nur
die Nadeldüse verschoben, sondern auch zusätzlich ein Strahlabschneider in den
Freistrahl eingeschwenkt, der dadurch während der Dauer der Regelung ganz oder
teilweise vom Laufrad abgelenkt wird.
Abbildung 3.2-5: Arbeitsweise des Strahlablenkers
Zum Abbremsen des Rotors dient eine kleinere Bremsdüse, deren Strahl auf die
Rückseite der Laufschaufeln trifft und dadurch das Laufrad abbremst.
Das Gehäuse verhindert das Austreten von Spritzwasser in die Kraftwerkshalle. Der
untere Teil des Gehäusekastens wird mit dem Krafthaus fest verbunden. Die
Gehäuse moderner Freistrahlturbinen werden als Schweißkonstruktionen ausgeführt.
Die Freistrahlturbine ist eine teilbeaufschlagte Gleichdruckturbine, bei der das
Drehmoment durch die Umlenkung des aus der Düse kommenden Freistrahls in den
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04.03.2013 88
Doppelbechern des Laufrades entsteht. Das gesamte Nutzgefälle wird in der Düse in
Nutzenergie umgesetzt. Die Schaufeln sind so geformt, dass der Freistrahl von der
Mittelschneide in gleiche Teile geschnitten wird und in den Becherschalen um
nahezu 180° abgelenkt wird. Durch diese Umlenkung wird fast die gesamte
kinetische Energie des Wasserstrahls in Impulskraft am Radumfang umgesetzt.
Wegen der Strömungssymmetrie tritt praktisch keine Strömungs-Axialkraft am Rotor
auf.
Abbildung 3.2-6: Aufteilung des Strahls aufeinander folgende Schaufeln
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Abbildung 3.2-7: PELTON-Turbine, horizontale Wellenlage mit zwei Düsen
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3.3. Strömungstechnische Auslegung der PELTON-Turbine
3.3.1. Geschwindigkeitsplan
βU
β2
0 1
2a
u
cu2
ca2
Legende: a - Axialrichtung u . Umfangsrichtung c - Absolutgeschwindigkeit des Strahls
u - Umfangsgeschwindigkeit des Laufrades uuu 21 ==
w - Relativgeschwindigkeit des Strahls β2 – Abströmwinkel βU – Umlenkwinkel Indizes: 0 – im Rohr vor der Düse 1 - nach der Düse bzw. vor dem Laufrad 2 - nach dem Laufrad
Abbildung 3.3-1:Geschwindigkeitsplan am Schaufel einer PELTON-Turbine
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04.03.2013 91
3.3.2. Ideale Düsenaustrittsgeschwindigkeit, c1ideal
In einem Leitapparat, der aus mehreren Düsen besteht, wird ein Wasserstrahl mit
hoher Geschwindigkeit erzeugt, der durch seine Impulsänderung beim Auftreten auf
die Schaufeln eine Kraft ausübt und das Laufrad in Bewegung versetzt.
Nach dem Energiesatz für offene Systeme bei Vernachlässigung von Verlusten (und
Höhenunterschieden) in der Düse bei einem Düsenaustrittsdruck p1, der gleich dem
Umgebungsdruck ist, folgt:
11
2
max10
0
2
0 zgp
2
czg
p
2
c⋅+
ρ+=⋅+
ρ+ (3.3-1)
c0 Düseneintrittsgeschwindigkeit p0 - Druck am Düseneintritt z0 - geodätische Höhe des Düseneintritts c1max – Düsenaustrittsgeschwindigkeit (ideal) p1 - Druck am Düsenaustritt (Umgebungsdruck) z1 - geodätische Höhe des Düsenaustritts ρ - Dichte des Mediums (Wasser) g - Erdbeschleunigung
Damit ergibt sich für eine ideale Düsenaustrittsgeschwindigkeit unter den
Voraussetzungen eines adiabaten offenen Systems (q01=0; Temperatur = konst) und
eines inkompressiblen Mediums (∆ρ=0) folgende Gleichung:
max10102
0ideal1 c)zz(gpp
2cc =
−+
ρ−
+= (3.3-2)
3.3.3. Reale Düsenaustrittsgeschwindigkeit, c1real
In Wirklichkeit treten beim Durchströmen der Düse Reibungsverluste auf
(ϕ01 - Spezifische Dissipationsarbeit in der Düse), die zu einer
Strahlaustrittsgeschwindigkeit c1real
c1real < c1ideal
führen und die am einfachsten durch den Düsenwirkungsgrad ηD oder die spezifische
Dissipation ϕ01 erfasst werden. Die spezifischen Dissipationen sind immer als positiv
zu betrachten.
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Die spezifischen Verluste in der Düse lassen sich in die Bernoulligleichung zwischen
Düsenein- und -austritt (0) → (1) einbeziehen:
0111
2
10
0
2
0 zgp
2
czg
p
2
cϕ+⋅+
ρ+=⋅+
ρ+ (3.3-3)
Daraus folgt:
ϕ−−+
ρ−
+= 0110102
0real1 )zz(gpp
2cc (3.3-4)
3.3.4. Spezifische Dissipationsarbeit ϕϕϕϕ01 in der Düse
Dissipation ist die Umwandlung einer Energieform in Wärmeenergie, d.h. in diesem
Fall die Umwandlung der kinetischen Energie in Reibungswärme an der Wandung
der Düse. Für den Wirkungsgrad der Düse ηD ergibt sich nach der allgemeinen
Wirkungsgradgleichung:
Aufwand
NutzenD =η
Die Aufgabe der Düse bei der Peltonturbine besteht darin das vorhandene Gefälle
möglichst vollständig in Geschwindigkeit umzusetzen. Das heißt die
Geschwindigkeitsdifferenz entspricht dem Nutzen.
Dazu noch einmal die Bernoulligleichung zwischen Düsenein- und -austritt ohne
Verlustbetrachtung mit c1ideal:
11
2
ideal10
0
2
0 zgp
2
czg
p
2
c⋅+
ρ+=⋅+
ρ+
Beim Wirkungsgrad ηD = 1 würde folgende Beziehung entstehen:
2
cc)zz(g
pp2
0
2
ideal110
10 −=−⋅+
ρ
−
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Für einen realen Wirkungsgrad ηD ergibt sich der Quotient:
−⋅+ρ−
−
=ηAufwand
Nutzen.......
)zz(gpp
2
cc
1010
2
0
2
real1
D (3.3-5)
Allgemein sind die Düsenverluste sehr gering, so dass c1real annährend so groß wie
c1ideal wird. Bei bekanntem Düsenwirkungsgrad ηD der Peltonturbine ηD = 0,95
(Erfahrungswert) lässt sich bei bekannter Düseneintrittsgeschwindigkeit c0 die
Düsenaustrittsgeschwindigkeit c1real in Abhängigkeit vom Düsenwirkungsgrad ηD
berechnen:
D10102
0real1 )zz(gpp
2cc η
−+
ρ−
+= (3.3-6)
Bei üblichen relevanten Werten für Drücke p0 (p0 = 60 bis 100 bar) und p1 (1 bar) und
Eintrittsgeschwindigkeit c0 (um 6 m/s) sieht man sofort, dass der Druck p0 wesentlich
wichtiger für c1real ist.
Gl. (3.3-4) mit Gl. (3.3-6) verglichen, ergibt für die spezifische Dissipation in der Düse
ϕ01:
( ) ( )
−+
ρ
−η−=ϕ 10
10D01 zzg
pp1 (3.3-7)
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3.3.5. Umfangsgeschwindigkeit, u
Unter der Umfangsgeschwindigkeit versteht man die Punktgeschwindigkeit auf dem
Strahlkreisdurchmesser am Laufrad.
nr2ru ⋅⋅π⋅=ω⋅= (3.3-5)
ω - Winkelgeschwindigkeit r - Strahlkreisradius n – Drehzahl
3.3.6. Relativgeschwindigkeit am Laufradeintritt, w1
Für einen Beobachter, der sich auf dem Laufrad befindet, hat der Wasserstrahl eine
Relativgeschwindigkeit w1. Weil sich das Laufrad mit der Umfangsgeschwindigkeit u
in die gleiche Richtung wie der Wasserstrahl bewegt, trifft der Wasserstrahl auf die
Laufschaufeln nur mit der Relativgeschwindigkeit w1. Die relative Laufradeintrittsge-
schwindigkeit ist die Differenz der Absolutgeschwindigkeit des Strahls und der Um-
fangsgeschwindigkeit, d.h. sie ist der Teil der Absolutgeschwindigkeit der "schneller"
ist als das Laufrad und den eigentlichen Impuls (die Umfangskomponente) erzeugt.
ucw 11 −= (3.3-6)
ca1 = 0 wa1 = 0
3.3.7. Relativgeschwindigkeit am Laufradaustritt, w2
Die Schaufeln sind auf der Frontseite so geformt, dass der Wasserstrahl nach beiden
Seiten umgelenkt wird und das Laufrad mit der Geschwindigkeit w2 verlässt.
Verständlicherweise treten bei dieser Umlenkung Verluste auf, so dass wegen des
gleichen Druckes p2 = p1 die Geschwindigkeit w2 etwas kleiner als w1 ist (Bernoulli
mit Verlusten). Dieses Geschwindigkeitsverhältnis wird mit dem Beiwert ξ erfasst.
Der Druck ist im Laufradeintritt gleich dem Druck im Laufradaustritt.
Die relative Geschwindigkeit nach dem Laufrad w2 ist gleich:
12 ww ⋅ξ= (3.3-7)
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3.3.8. Umfangskomponente der Relativgeschwindigkeit am Austritt, wu2
Mit dieser Geschwindigkeitskomponente wird der Teil der relativen Laufradgeschwin-
digkeit erfasst, der auf dem Umfang entgegen der Laufradbewegungsrichtung wirkt.
Die trigonometrische Beziehung wird aus dem Geschwindigkeitsplan (Abb. 3.3-1)
ersichtlich.
222u
2
2u2 wcosw
w
wcos ⋅β−=⇒
−=β (3.3-8)
wu2 - Umfangskomponente der relativen Laufradaustrittsgeschwindigkeit des Strahles. Minus bedeutet eine Gegenrichtung zu u β2 - Laufradabströmwinkel, Strömungswinkel der Relativgeschwindigkeit w2. Er wird nach CORDES als "innerer" Winkel des Geschwindigkeitsdreiecks definiert.
3.3.9. Axialkomponente der Absolutgeschwindigkeit am Austritt, ca2
Geschwindigkeitskomponente die sich durch Symmetrie des Laufradbechers
gegeneinander aufheben und somit auch keine Axialkraft erzeugen. Durch die
Geschwindigkeit ca2 wird das Wasser von der Schaufel abgeführt.
222a
2
2a2
222a
2
2a2
wsincw
csin
wsinww
wsin
⋅β=⇒=β
⋅β=⇒=β
(3.3-9)
3.3.10. Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit am
Laufradaustritt, cu2
Es gilt allgemein aus dem Geschwindigkeitsdreieck:
2u2u cwu =+ (3.3-10)
3.3.11. Absolutgeschwindigkeit am Laufradaustritt, c2
Die absolute Laufradaustrittsgeschwindigkeit des Strahls errechnet sich mit dem Satz
des PYTHAGORAS aus dem Geschwindigkeitsplan:
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2
2u
2
2a2 ccc += (3.3-11)
3.3.12. Spezifische Dissipationsarbeit im Laufrad ϕϕϕϕ12 und Laufrad-
Verlustbeiwert ζζζζ
Die spezifische Dissipationsarbeit im Laufrad kann entweder mittels eines
Verlustfaktors oder als Differenz der kinetischen Energie der Relativgeschwindig-
keiten beschrieben werden. Dazu lautet die Bernoulli-Gleichung zwischen
Laufradein- und -austritt unter Beachtung der Verluste:
1222
2
21
1
2
1 zgp
2
wzg
p
2
wϕ+⋅+
ρ+=⋅+
ρ+ (3.3-12)
mit p1=p2 und z1=z2 folgt daraus:
2
w
2
w 2
2
2
112 −=ϕ (3.3-13)
Als Anteil an der kinetischen Energie ergibt sich wiederum für die spezifische
Dissipationsarbeit im Laufrad mit dem Laufrad-Verlustbeiwert ζ (z. B. ζ = 0,2):
2
w2
112 ⋅ζ=ϕ (3.3-14)
ζ- Laufrad-Verlustbeiwert
Mit den Gleichungen (3.3-7), (3.3-13) und (3.3-14) erhält man ein Gleichungssystem:
12 ww ⋅ξ= (3.3-7)
2
w
2
w 2
2
2
112 −=ϕ (3.3-13)
2
w2
112 ⋅ζ=ϕ (3.3-14)
und nach dem Einsetzen von (3.3-7) und (3.3-14) in (3.1-13), erhält man:
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21
22
1
2
1 w22
w
2
w⋅
ζ−=⋅ζ (3.3-15)
und Division durch w12
lautet die Beziehung zwischen ζ und ξ:
21 ξ−=ζ (3.3-16)
3.3.13. Spezifische Dissipationsarbeit nach dem Laufrad, ϕϕϕϕ2
Die Differenz (z2 – zUWS) entspricht dem Abstand zwischen dem Austritt des Wassers
aus dem Laufrad und dem Unterwasserspiegel (UWS). Sie stellt ein ausgefallenes
Nutzgefälle dar und muss deshalb so klein wie möglich gehalten werden.
Die Herleitung der spezifischen Dissipationsarbeit nach dem Laufrad aus der
Bernoulli-Gleichung:
2UWSUWS
2
UWS2
2
2
2 zgp
2
czg
p
2
cϕ+⋅+
ρ+=⋅+
ρ+ (3.3-17)
c2 - Absolute Laufradaustrittsgeschwindigkeit p2 - Druck am Laufradaustritt z2 - geodätische Höhe des Laufradaustritts cUWS - Geschwindigkeit des Unterwasserspiegels pUWS - Druck am Unterwasserspiegel zUWS - geodätische Höhe des Unterwasserspiegels ϕ2 - Spezifische Dissipationsarbeit nach dem Laufrad
mit UWS2 pp = und 0cUWS = folgt daraus:
)zz(g2
cUWS2
2
22 −⋅+=ϕ (3.3-18)
3.3.14. Umfangskraft am Laufrad, FU
Der Freistrahl aus der Düse trifft mit der Relativgeschwindigkeit w1 auf das Laufrad
und wird entlang der Schaufelkontur abgelenkt. Die Richtungsänderung der
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04.03.2013 98
Geschwindigkeit im Laufrad von w1 auf w2 bewirkt eine Änderung des Impulses und
erzeugt eine Kraft in Umfangsrichtung.
Die Anwendung des Impulssatzes in Axialrichtung a:
0F2
wm
2
wmFI a
2a2aaa =⇒⋅−⋅== &&&
(3.3-19)
aI&
- Impulsstrom in axialer Richtung Fa - Axialkraft, hervorgerufen durch Impuls wa1- Axialkomponente der relativen Laufradeintrittsgeschwindigkeit des Strahles wa2- Axialkomponente der relative Laufradaustrittsgeschwindigkeit des Strahles m& - Massenstrom
Hier gilt c1 = c1u.
Desgleichen für die Umfangsrichtung u:
2u1uuu wmwmFI ⋅−⋅== &&& (3.3-20)
uI&
- Impulsstrom in Umfangsrichtung Fu - Umfangskraft, hervorgerufen durch Impuls wu- Umfangskomponenten der relativen Laufradeintrittsgeschwindigkeit des Strahles (Wichtig: Richtung von wu2 berücksichtigt)
Es folgt für Fu:
21 uuu wmwmF ⋅−⋅= && (3.3-21)
Aus
ucww 111u −== (3.3-6)
Aus
ucw 2u2u −= (3.3-10)
und damit in
)ucuc(mF u21u +−+⋅= & (3.3-22)
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)cc(mF u21u −⋅= &
3.3.15. Spezifische Schaufelarbeit, wt
Allgemein lautet die Gleichung zur Bestimmung der spezifischen Schaufelarbeit:
m
Pw t &
−= (3.3-23)
Für die Leistung folgt nach den Grundgesetzen der Mechanik:
ω⋅= MP (3.3-24)
M [Nm] – Drehmoment ω [1/s] - Winkelgeschwindigkeit
mit
r
unr2 =⋅⋅π⋅=ω (3.3-25)
und
rFM u ⋅= (3.3-26)
)cc(mF u21u −⋅= & (3.3-22)
wird
uFr
urFrFMP uuu ⋅=⋅⋅=ω⋅⋅=ω⋅=
)cc(umP u21 −⋅⋅= & (3.3-27)
Nach dem Einsetzen in die Gleichung der spezifischen Schaufelarbeit:
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04.03.2013 100
0)cc(uw 12ut <−⋅= (3.3-28)
3.3.16. Totale Druckänderungsarbeit, Yt
Die totale Druckänderungsarbeit Yt ist die einer Turbine zwischen Eingangs- und
Ausgangsstutzen entzogene spezifische technische Arbeit.
Der "Eingangsstutzen" der PELTON-Turbine ist der Düseneintritt, als
"Ausgangsstutzen" ist der Unterwasserspiegel im Kraftwerkshaus zu sehen.
Bernoulli-Gleichung (0) ⇒ UWS mit Verlusten:
WsUWS
2
Wst0
0
2
0 zgp
2
cYzg
p
2
c⋅+
ρ+=−⋅+
ρ+ (3.3-29)
Yt - Totale Druckänderungsarbeit muss als negativ "gesetzt" werden:
)zz(gpp
2
cY UWS0
UWS0
2
0t −⋅−
ρ
−−−= mit ( ) 0wY 21201tt <ϕ+ϕ+ϕ−= (3.3-30)
Aus der Definition von Yt gilt auch: Ht = Yt / g (Fallhöhe der Turbine Ht = zOWS - zUWS).
3.3.17. Massenstrom, m&
V
m=ρ (3.3-31)
Auf die Zeit bezogener Massenstrom:
tVm ÷ρ⋅= (3.3-32)
m - Masse V - Volumen t - Zeit
ρ⋅= Vm && (3.3-33)
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04.03.2013 101
3.3.18. Turbinenleistung, Pm
tm wmP ⋅= & (3.3-34)
3.3.19. Kupplungsleistung, PK
mwP tmK&⋅⋅η= (3.3-35)
KP - Kupplungsleistung mη - Mechanischer Wirkungsgrad
3.3.20. Exergetischer Wirkungsgrad, ηηηηxt
Der exergetische Wirkungsgrad drückt aus, welcher Anteil der zur Verfügung
stehenden Exergie tatsächlich in nutzbare Arbeit umgewandelt worden ist.
( )Exergie
w txT =η (3.3-36)
Sowohl wt als auch Exergie haben negatives Vorzeichen. Hier noch:
Mit
tUWS2 Hgzgc
2
1Exergie
ideal1⋅=⋅+⋅= (3.3-37)
)cc(uw 1u2t −⋅= (3.3-38)
Für c1ideal² siehe (Gl. 3.3.2), Bernoulli-Gleichung zwischen Düseneintritt (0) und
Laufradeintritt (1) und xTη lautet:
)zz(gpp
2
c
)cc(u
UWS0UWS0
2
0
2u1xT
−⋅+ρ
−+
−⋅=η
(3.3-39)
3.3.21.
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04.03.2013 102
3.3.22. Optimale Umfangsgeschwindigkeit, uopt
Die Umfangsgeschwindigkeit ist dann optimal, wenn der exergetische Wirkungsgrad
am größten ist. Mathematisch heißt das, dass die Funktion ( )optxt uf=η in der 1.
Ableitung gleich 0 zu setzen ist, um ein Maximum zu ermitteln:
0uXT =
∂η∂
(3.3-40)
In Gl. (3.3-41) werden jetzt die Variablen und Konstanten festgelegt. Man kann
feststellen, dass der gesamte Nenner von (u) unabhängig ist. Deshalb wird der
gesamte Nenner als Konstante definiert.
K
)cc(u)zz(g
pp
2
cK 2u1
xT1010
2
0 −⋅=η⇒−⋅+
ρ
−+= (3.3-42)
Der Zähler ist eine Funktion von (u) da (c1 und cu2) von (u) abhängen
[ ])cc(uuK
1
K
)cc(u
uu 2u12u1XT −⋅
∂∂
=
−⋅∂∂
=∂η∂
(3.3-43)
Der Ausdruck ( )[ ]21 uccu −⋅ wird im Folgenden so lange umgestellt bis er
differenzierbar ist:
Für die Geschwindigkeit cu2 gilt:
uwc 2u2u += (3.3-10)
222u wcosw ⋅β−= , folgt für cu2, 222u wcosuc ⋅β−= (3.3-8)
[ ]
[ ])uwcosc(uuK
1
u
)uwcos(c(uuK
1
u
221XT
221XT
−⋅β+⋅∂∂
=∂η∂
+⋅β−−⋅∂∂
=∂η∂
(3.3-44)
Durch weiteres Einsetzen von:
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04.03.2013 103
12 ww ⋅ζ= (3.3-7)
ucw 11 −= (3.3-6)
)uc(w 12 −⋅ξ= (3.3-45)
erhält man mit für Gl. (3.3.-8)
)uc(cosuc 122u −⋅ξ⋅β−=
ξ⋅β⋅−ξ⋅β⋅+= 2122u cosccosuuc
ξ⋅β⋅−ξ⋅β+⋅= 2122u cosc)cos1(uc
(3.3-46)
Dies bedeutet für den Zähler in der Gleichung 3.3-43 ( )[ ]2u1 ccu −⋅ :
( ) ( )[ ]( )
( )( ) ( )2
12
21122
2122
1
21212u1
ucucos1
coscucucos1u
coscucos1ucu
cosccos1ucuccu
−⋅⋅ξ⋅β+=
ξ⋅β⋅⋅+⋅+ξ⋅β+⋅−=
ξ⋅β⋅⋅+ξ⋅β+⋅−⋅=
ξ⋅β⋅+ξ⋅β+⋅−⋅=−⋅
(3.3-47)
⇒ damit zurück in Formel (3.3-44) für den exergetischen Wirkungsgrad.
Der Term )cos1( 2 ξβ ⋅+ kann als Konstante ausgeklammert werden. Es verbleibt
nunmehr zur eigentlichen Differenzierung nur:
)ucu(uK
)cos1(
K
)ucu()cos1(
uu
2
12
2
12XT
−∂∂ξ⋅β+
=
−⋅ξ⋅β+
∂∂
=∂η∂
(3.3-48)
damit folgt für die Ableitung:
)u2c(K
)cos1(
u 12XT ⋅−
ξ⋅β+=
∂η∂
und
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04.03.2013 104
0u
XT =∂η∂
K
)cos1()u2c(
K
)cos1(0 2
opt12 ξ⋅β+
÷⋅−ξ⋅β+
=
2
cu 1
opt = (3.3-49)
uopt - Optimale Umfangsgeschwindigkeit
Auswertung: Die optimale Umfangsgeschwindigkeit liegt bei der halben realen
Düsenaustrittsgeschwindigkeit. Beim Abweichen von der optimalen
Umfangsgeschwindigkeit sinkt der exergetische Wirkungsgrad. Da die
Umfangsgeschwindigkeit aber in die Umfangskraft eingeht, sind ihr aus
Festigkeitsgründen Grenzen gesetzt.
3.3.23. Totaler Wirkungsgrad, ηηηηtT
Der totale Wirkungsgrad berücksichtigt vor allem die in der Turbine auftretenden
Reibungsverluste der Strömung. Dabei gilt als Bezug die technische Arbeit wt. So ist
der totale Wirkungsgrad sehr gut zum Vergleich der verschiedenen Turbinen
geeignet, da nur die strömungstechnischen Verluste einbezogen werden. Bei
inkompressiblen Flüssigkeiten, gilt mit der Beziehung ρ∆= /pY :
( )21201t
ttT
tt
t
t
ttT
tTxt
w
w
Ym
P
Y
w
w
w
ϕ+ϕ+ϕ−=η
⋅==
ϕ−=η
η=η
∑ & (3.3-50)
ηtT- Totaler Wirkungsgrad Yt – totale Strömungsarbeit (totale Druckänderungsarbeit)
3.3.24. Statischer Wirkungsgrad, ηηηηT
Der statische Wirkungsgrad unterscheidet sich von dem totalen lediglich dadurch,
dass die kinetischen Energien des Arbeitsmediums bei der Zu- und Abströmung nicht
berücksichtigt werden. Der statische Wirkungsgrad kann auch bei Teilprozessen
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04.03.2013 105
innerhalb einer Turbine verwendet werden, bei denen keine Arbeit abgeführt wird (z.
B. bei der Düse).
)2/c(Y
)2/c(w2
t
2t
T ∆−
∆−=η (3.3-51)
3.3.25. Kupplungswirkungsgrad, ηηηηkT
Der Kupplungswirkungsgrad beinhaltet die mechanischen und strömungstechnischen
Verluste und beinhaltet den Teil der Leistung die an einem angeschlossenen
Generator direkt zur Verfügung stehen.
tTmkT η⋅η=η (3.3-52)
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04.03.2013 106
3.4. KAPLAN-Turbine
Eine völlig anders konzipierte Turbinenart zeigt Abbildung 3.4-1. Es handelt sich um
eine nach ihrem Erfinder benannte KAPLAN-Turbine.
Abbildung 3.4-1:Schematischer Aufbau einer KAPLAN-Turbine (Voith)
Einsatzbereiche der KAPLAN Turbine sind große Wasserströme bei kleinen bis
mittleren Fallhöhen bis 80 m. Die Leistung die daraus gewonnen werden kann
beträgt bis zu 100 MW pro Turbine. Für die großen Kraftwerke werden meisten
mehrerer Turbinen kombiniert. Die Durchmesser der Laufräder der Turbinen
betragen bis zu 10 m. Die KAPLAN Turbine gehört zu der Gruppe der Axialturbinen
und kann in verschiedenen Ausführungen gebaut werden. Zu der Gruppe gehören
die einfach geregelten Propeller- oder Rohrturbinen die nur über einen verstellbaren
Leitapperat verfügen. Die KAPLAN Turbine gehört zu den doppelt geregelten Turbinen
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04.03.2013 107
bei denen sich die Schaufeln des Laufrades sowie die Schaufeln des Leitrades
verstellen lassen. Sie kann dadurch in einem sehr weiten Spektrum geregelt werden.
Der Leitapparat besteht hier aus über dem Umfang verteilten feststehenden oder
beweglichen Leitschaufeln, so dass man von einem Leitrad spricht (Abbildung
3.4-2). Das Leitrad hat die Aufgabe, die Zuströmgeschwindigkeit zum Laufrad in
Richtung und Größe zu verändern.
Abbildung 3.4-2: Ansicht des Leitapparates einer KAPLAN Turbine (Voith)
Weitere Unterschiede zu der vorher besprochenen PELTON-Turbine sind die über
dem ganzen Umfang gleichmäßige Beaufschlagung aller Schaufeln des Laufrades.
Damit gehört die KAPLAN-Turbine zur Gruppe der voll beaufschlagten Turbine. Da im
Laufrad ein Druckgefälle in Geschwindigkeitsenergie umgewandelt wird gehört sie zu
der Gruppe der Überdruckturbinen.
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3.5. Strömungstechnische Berechnung der KAPLAN-Turbine
3.5.1. Erhaltungssätze für den Energiefluss
Abbildung der Kaplan-Turbine
(0) → (1’) Massenerhaltungssatz
'10 mm && = ,→ '
1'1
'1000 cAcA ⋅⋅ρ=⋅⋅ρ (3.5-1)
Kontinuitäts-Gleichung:
'1
'100 cAcA ⋅=⋅ (3.5-2)
(1’) → (1) Drallerhaltungssatz
ωru ⋅= (3.5-3)
'1/1'u1/u11u11'1
'u1
'1 rcrcmrcm ⊥⇒⋅⋅=⋅⋅ && (3.5-4)
(1) → (2) Massenerhaltungssatz
Kontinuitäts-Gleichung:
⇒= 21 mm &&2/1a2/a1a22a11 AccAcA ⊥⇒⋅=⋅ (3.5-5)
A1 = A2, da r1 = r2
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04.03.2013 109
3.5.2. Geschwindigkeitsplan
a
u
β2
1
2=c2a
c1a
c1u
Leitrad 0 -1´
Laufrad 1-2
r
u
0
1´
r0
r1´
β1 α1
α2
α1’.
α1’
α1’
1´
0r0
r1´
α1´=90° α1´<90°
Abbildung 3.5-1: Geschwindigkeitsplan einer KAPLAN Turbine uuu 21 ==
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04.03.2013 110
3.5.3. Strömung durch Leitrad (0) →→→→ (1’)
Die Beschleunigung der Strömung im Leitrad wird bewirkt durch Verengung des
Strömungsquerschnittes bei der Durchströmung vom größeren Eintrittsradius r0
außen zum kleineren Austrittsradius '1r innen und durch die Umlenkung der
Strömung. von einer nahezu radialen Zuströmung (α0 = 90°) in eine in
Umfangsrichtung gerichtete Abströmung aus dem Leitrad mit einem
Strömungswinkel '1α < 90° mit c1’ bestehend aus den Komponenten c1u’ und c1m’ =
c1r’.
Abbildung 3.5-2:Kanalquerschnitt beim Eintritt in eine Kaplan - Turbine
0000000 lr2Asinlr2A ⋅⋅π⋅==α⋅⋅π⋅= (3.5-6)
000000 clr2cAV ⋅⋅⋅π⋅=⋅=& (3.5-7)
00
00
lr2
Vc
⋅⋅π⋅=
&
(3.5-8)
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Berechnung der Strömungsgeschwindigkeit c1’ mit Kontinuitätsgleichung (0) → (1’):
'10 mm && = ⇒ '
1'1
'1000 cAcA ⋅⋅ρ=⋅⋅ρ (3.5-9)
0'1
00
'1 c
A
Acc >⋅= (3.5-10)
Da die Fläche A1’ < A0 ist, ist c1’ > c0 (durch die Verengung des
Strömungsquerschnittes während der Durchströmung kommt es zu Beschleunigung).
'1
'1
'10 AcVV ⋅== &&
(3.5-11)
'1
'1
00'
1
00'1
0'1
sinr
rc
A
Ac
A
Vc
α⋅⋅=
⋅==
&
(3.5-12)
'1
'1
'1
'1 sinlr2A α⋅⋅⋅π⋅= (3.5-13)
Abbildung 3.5-3: Geschwindigkeitsplan am Austritt aus dem Leitrad
mit sin '1α < 1, da '1α < 90°
Aus dem Geschwindigkeitsdreieck folgt:
'1
00
'1
'1
'1r
r
rcsincc ⋅=α⋅= (3.5-14)
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'1
'1
'1u coscc α⋅= (3.5-15)
2'r1
2'u1
'1 ccc += (3.5-16)
=⋅== '1
'1
'10 AcVV && ⋅⋅⋅π⋅=α⋅⋅⋅π⋅ '
1'1
'1r
'1
'1
'1
'1 lr2csinlr2c
3.5.4. Strömung von Leitradaustritt zu Laufradeintritt (1’) → (1)
Bei der Strömung vom Leitradaustritt (1´) bis zum Eintritt in das Laufrad (1) bleibt der
Drall rcu ⋅ erhalten, so dass für die Umfangskomponente c1u am mittleren Radius r1
des Laufrades gilt:
1u11'
1'u1
'1 rcmrcm ⋅⋅=⋅⋅ && (3.5-17)
Bei der Drallerhaltung wird die Umfangskomponente zur Definition des Dralles
herangezogen. ( 1́´u1 rc ⊥ und 1u1 rc ⊥ )
1
'1'
u1u1r
rcc ⋅= mit
2
rrr ia1
+= (3.5-18)
Abbildung 3.5-4: Geometrie am Laufrad einer Kaplan – Turbine
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Bestimmung der Strömungsfläche am Laufrad
( ) ( ) ( ) ( ) 1iaiaia2i
2a1 lrrrrrrrrA ⋅+⋅π=−⋅+⋅π=−⋅π= (3.5-19)
Abbildung 3.5-5: Geschwindigkeitsplan am Eintritt einer Kaplan - Turbine
111 wucrrr
+= (3.5-20)
a1a1 wc = (3.5-21)
u1u1 wuc += (3.5-22)
u1
a1
u1
a11
c
w
c
ctan ==α (3.5-23)
u1
a1
u1
a11
w
c
w
wtan
−=
−=β (3.5-24)
2
a1
2
u11 ccc += (3.5-25)
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3.5.5. Strömung von Laufradeintritt zu Laufradaustritt (1) → (2)
Kontinuitätsgleichung
2a1aAA
2a21a1.konst
21 ccAcAcmm 21 = →⋅=⋅ →= ==ρ&& (3.5-26)
Abbildung 3.5-6: Geschwindigkeitsplan am Austritt einer Kaplan - Turbine
22 wucrrr
+= (3.5-27)
u2u2 wuc += (3.5-28)
2
a2
2
u22 www += (3.5-29)
a1a1a2a2 wcwc === (3.5-30)
u2
a22
c
ctan =α (3.5-31)
u2
a22
w
ctan
−=β (3.5-32)
ω⋅= 1ru (3.5-33)
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3.5.6. Umfangskraft, Fu
Impulsgleichung:
t:cmtF ∆∆⋅=∆⋅rr
cmF && ∆⋅=
( )u2u1u ccmF −⋅= & (3.5-34)
3.5.7. Drehmoment, Md
( ) rccmrFM u2u1ud ⋅−⋅=⋅= & (3.5-35)
3.5.8. Leistung, Pm
( ) ( )u2u11u2u1dLam ccumrccmMPP −⋅⋅=ω⋅⋅−⋅=ω⋅== && (3.5-36)
3.5.9. spezifische technische Schaufelarbeit, wt
m
PwwmP La
ttLa && =⇒⋅=
( ) ( ) 0ccum
ccumw u1u2
u1u2t <−⋅=
−⋅⋅=
&
&
Bei der spezifischen technischen Arbeit wurde das Minus-Vorzeichen festgelegt und wt ist somit negativ. Das hat die Konsequenz bei der Definition der Bernoulli-Gleichung zw. (1)→(2)!!
(3.5-37)
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04.03.2013 116
3.5.10. Axiale Schaufelkraft, Fa
Im Gegensatz zur Pelton-Turbine tritteeeee.
( ) ( ) ( ) ( )21a1a221aaaa ppAccmpFcFF −⋅+−⋅=∆⋅+⋅= &rrr
(3.5-38)
mit ( ) 0ccm a1a2 =−⋅& , da a1a2 cc = und ( )21 pp − als „Spaltdruck“
Abbildung 3.5-7: Darstellung des Druckes am Laufrad
( )21a ppAF −⋅= (3.5-39)
3.5.11. Druck vor dem Laufrad p1 über den Energiefluss (0) → (1)
Abbildung 3.5-8: Kanalgeometrie zwischen Leitrad und Laufrad
Der Druck p1 ist unbekannt und wird über die Zustandsänderung im Leitrad
berechnet:
Le11
2
10
0
2
0 zgp
2
czg
p
2
cϕ+⋅+
ρ+=⋅+
ρ+
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04.03.2013 117
Es findet keine Arbeitsabgabe am Leitrad statt. Es entstehen dort Verluste
mit ϕ01 in
²
²
s
m ,die mit Hilfe des statischen Wirkungsgrades des Leitrades bestimmt
werden können:
∆−
∆−
=η
2
cY
2
cw
2
tLe
2
t
Le (3.5-40)
Yte totale Druckänderungsarbeit am Leitrad
Es gilt:
Le
2
t 2
czgYw ϕ+
∆+∆⋅+= mit ρ
∆=
pY (3.5-41)
( ) Le
20
21
0101
t2
cczzg
ppw ϕ+
−+−⋅+
ρ
−= mit Le01 ϕ=ϕ (3.5-42)
Mit Lett wY ϕ−= ergibt sich somit:
( )
( )2
cc
2
cczzg
pp
2
cc
2
cczzg
pp
20
21
LeLe
20
21
0101
20
21
Le
20
21
0101
Le −−ϕ−ϕ+
−+−⋅+
ρ−
−−ϕ+
−+−⋅+
ρ−
=η (3.5-43)
( )
( )0101
Le0101
Le
zzgpp
zzgpp
−⋅+ρ−
ϕ+−⋅+ρ−
=η oder( )01
01
21
20
Le
zzgpp
2
cc
−⋅+ρ−
−
=η (3.5-44)
ηLe ist als Erfahrungswert bekannt. Somit kann ϕLe mit ηLe bestimmt werden:
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( ) ( ) Le0101
0101
Le zzgpp
zzgpp
ϕ+−⋅+ρ
−=
−⋅+
ρ
−⋅η (3.5-45)
−⋅+
ρ−
⋅−η=ϕ )zz(gpp
)1( 0101
LeLe (3.5-46)
Um den Druck p1 zu berechnen, wird ϕLe in die Bernoulli-Gleichung (0) → (1)
eingesetzt:
−⋅+
ρ
−⋅−η+⋅+
ρ+=⋅+
ρ+ )zz(g
pp)1(zg
p
2
czg
p
2
c01
01Le1
1
2
10
0
2
0 (3.5-47)
( )01
2
0
2
1
Le
01 zzg2
cc1pp −⋅ρ⋅−
−⋅ρ⋅
η−= (3.5-48)
3.5.12. Berechnung des Druckes p1 über Energiefluss (1) → (2)
Der Druck p1 kann allerdings auch über die Zustandsänderung im Laufrad berechnet
werden.
La22
2
2t1
1
2
1 zgp
2
cwzg
p
2
cϕ+⋅+
ρ+=+⋅+
ρ+
Konvention: In der Bernoulli-Gleichung wurde die spezifische technische Arbeit wt auf
der linken Seite "addiert", obwohl die Arbeit dem Wasser entzogen wird. Da wt
negativ "festgelegt" wurde ist diese Konvention korrekt.
Abbildung 3.5-9: Druckverteilung am Laufrad
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04.03.2013 119
Am Laufrad erfolgt die Arbeitsabgabe mit dem Verlust ϕLa. Diese Verluste werden
durch den statischen Laufradwirkungsgrad bestimmt:
( )
( )1212
La1212
La
zzgpp
zzgpp
−⋅+ρ−
ϕ+−⋅+ρ−
=η (3.5-49)
−⋅+
ρ
−⋅−η=ϕ )zz(g
pp)1( 12
12LaLa (3.5-50)
Um den Druck p1 zu berechnen, wird ϕLa in die Bernoulli-Gleichung (1) → (2)
eingesetzt:
La22
2
2t1
1
2
1 zgp
2
cwzg
p
2
cϕ+⋅+
ρ+=+⋅+
ρ+ mit ( )u1u2t ccuw −⋅=
( )
−⋅+
ρ−
⋅−η+⋅+ρ
+=−⋅−⋅+ρ
+ )zz(gpp
)1(zgp
2
cccuzg
p
2
c12
12La2
2
2
2u1u21
1
2
1
( ) ( )12
2
2
2
1u2u1
La
21 zzg2
ccccu
1pp −⋅ρ⋅+
−−−⋅⋅ρ⋅
η+= (3.5-51)
Der zweite Weg für die Herleitung des Druckes p2 unter Berücksichtigung c1a = c2a
und c2u = 0. Die Bernoulli-Gleichung wird zuerst umgestellt:
La22
2
2t1
1
2
1 zgp
2
cwzg
p
2
cϕ+⋅+
ρ+=+⋅+
ρ+
La1212
t
2
2
2
1 zgzgpp
w2
c
2
cϕ+⋅−⋅+
ρ−
ρ=+−
La1212
t
2
u2
2
a2
2
u1
2
a1 )zz(gpp
w2
c
2
c
2
c
2
cϕ+−⋅+
ρ−
ρ=+−−+
La1212
t
2
u1 )zz(gpp
w2
cϕ+−⋅+
ρ−
ρ=+
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Die rechte Seite der Gleichung wird in den Zähler des statischen Wirkungsgrades
des Laufrades eingesetzt:
( )
( )1212
La1212
La
zzgpp
zzgpp
−⋅+ρ−
ϕ+−⋅+ρ−
=η
( )1212
t
2
u1
La
zzgpp
w2
c
−⋅+ρ−
+=η
( )12
2
u1t
La
21 zzg2
cw
1pp −⋅ρ⋅+
+⋅ρ⋅
η−= mit ( ) ( )u1u1u2t cuccuw −⋅=−⋅=
( )21
2
u1
u1La
21 zzg2
ccu
1pp −⋅ρ⋅−
−⋅⋅ρ⋅
η+= (3.5-52)
Man kann zeigen, dass die Gl. 3.5-51 in die Gl. 3.5-52 überführt werden kann.
Die zweifache, scheinbar unabhängige Berechnungsmöglichkeit für ein und dieselbe
Größe zeigt, dass die in den vorgehenden Beziehungen auftretenden
Geschwindigkeiten und Strömungswinkel nicht unabhängig voneinander gewählt
werden dürfen, sondern bei der Wahl der Auslegungsgrößen die insgesamt zur
Verfügung stehende Druck- und Höhendifferenz berücksichtigt werden muss.
Wir haben p1 durch die Betrachtung des Energieflusses von (0) → (1) und von
(1) → (2) ermittelt. Wird die Umfangskomponente c1u der Absolutgeschwindigkeit vor
dem Laufrad als freie Variable gewählt, so erhält man durch Gleichsetzen des
Druckes aus der Leit- und Laufradrechnung und nach Auflösung nach c1u:
−⋅
η−−⋅+
ρ
−⋅
η−
η
−
ηη
−
−
ηη
−
=2
)cc(1)zz(g
pp11
2
1
u
1
uc
20
2a1
Le
2020
LeLaLe
La
2
Le
La
u1 (3.5-53)
Im Sonderfall gleicher Zahlenwerte für den Leit- und Laufradwirkungsgrad ηLe = ηLa
vereinfacht sich die Beziehung erheblich:
Vorlesungsskript zur Strömungsmaschinen, Prof. Dr.-Ing. Janusz A. Szymczyk
04.03.2013 121
−⋅
η−−⋅+
ρ
−⋅
η=
2
)cc(1)zz(g
pp
uc
20
2a1
La
2020La
u1 (3.5-54)
Bei der Auslegungsrechnung einer Kaplan-Turbine kann der Leitradabströmwinkel '
1α
nicht vorgegeben werden, sondern muss "stromaufwärts" berechnet werden.
3.5.13. Totale Druckänderungsarbeit, Yt
Die totale Druckänderungsarbeit Yt ist die einer Turbine zwischen Eingangs- und
Ausgangsstutzen entzogene spezifische technische Arbeit.
Der "Eingangsstutzen" der Kaplan-Turbine ist der Leitradeintritt (0), als
"Ausgangsstutzen" ist der Laufradaustritt (2) zu sehen. Bernoulli-Gleichung (0) ⇒ (2)
mit Verlusten:
22
2
2t0
0
2
0 zgp
2
cYzg
p
2
c⋅+
ρ+=+⋅+
ρ+ (3.5-55)
Yt - Totale Druckänderungsarbeit muss als negativ "gesetzt" werden:
)zz(gpp
2
ccY 02
02
2
0
2
2t −⋅+
ρ
−+
−= mit ( ) 0wY 21201tt <Φ+Φ+Φ−= (3.5-56)
3.5.14. Exergetischer Wirkungsgrad, ηηηηxt
Exergetischer Wirkungsgrad
)zz(gpp
2
cc
)cc(u
2020
2
2
2
0
u2u1xT
−⋅+ρ−
+−
−⋅=η
(3.5-57)
Vorlesungsskript zur Strömungsmaschinen, Prof. Dr.-Ing. Janusz A. Szymczyk
04.03.2013 122
3.5.15. Statischer Wirkungsgrad, ηηηηT
Statischer Wirkungsgrad
−−
−−
=η
2
)cc(Y
2
)cc(w
20
22
t
20
22
t
T (3.5-58)
3.5.16. Totaler Wirkungsgrad, ηηηηtT
Totaler Wirkungsgrad
( )LaLet
t
t
ttT
w
w
Y
w
ϕ+ϕ−==η (3.5-59)
3.5.17. Kupplungs Wirkungsgrad, ηηηηKT
Kupplungswirkungsgrad
tTmKT η⋅η=η (3.5-60)
3.5.18. Kupplungsleistung, PK
Kupplungsleistung
mtmmK wmPP η⋅⋅=η⋅= & (3.5-61)