Date post: | 05-Dec-2014 |
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4. Aufbau der Steifigkeitsmatrizen
Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier
Finite-Elemente Methoden (FEM) Prof. Dr.-Ing. T. Preußler
4. Steifigkeit 1
Da die Steifigkeit eines Bauteils in der FEM von grundlegender Bedeutung ist, wird der Aufbau der Steifigkeitsmatrizen anhand einer einfachen Struktur mit Federn als Elemente exemplarisch dargestellt.
In der FEM unterscheidet man:
• Elementsteifigkeitsmatrix [Ke]Die Steifigkeit eines Elements ergibt sich aus dem gewählten Verschie-bungsansatz unter Berücksichtigung der Elastizitätsgesetze
• Gesamtsteifigkeitsmatrix [K]Die Gesamtsteifigkeit eines Bauteils wird aus den Elementsteifigkeits-matrizen unter Berücksichtigung der Lage, der Randbedingungen und der strukturellen Verknüpfung der Elemente aufgebaut
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2
4.1 Steifigkeitsmatrix eines FederelementsDie Steifigkeitsmatrix eines Federelements lässt sich elementar mit der direkten Steifigkeitsmethode ableiten.
4. Steifigkeit
- Knoten k - Federsteifigkeit
F1, F2 - Knotenkräfte u1, u2 - Knotenverschiebungen
1 2
k
u1 u2
F1 F2
1 2
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3
Linker Rand wird festgehalten (u1=0):
4. Steifigkeit
k
u2
F1 F2
1 2
2)1(
2 ukF ⋅=
2)1(
2)1(
1 ukFF ⋅−=−=
Rechter Rand wird festgehalten (u2=0):
1)2(
1 ukF ⋅=
1)2(
1)2(
2 ukFF ⋅−=−=
k
u1
F1 F2
1 2
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4
Überlagerung (Superposition) der Lastfälle liefert die Beziehung zwischen den Knotenverschiebungen und den Knotenkräften.
4. Steifigkeit
)( 2112)2(
1)1(
11 uukukukFFF −⋅=⋅+⋅−=+=)( 2112
)2(2
)1(22 uukukukFFF +−⋅=⋅−⋅=+=
In Matrizenschreibweise erhält man:
1-1
-11
F2
F1= k ⋅ ⋅
u2
u1
eK ⋅ eu=eF
Knoten-kräfte
Knotenver-schiebungen
Element-steifigkeits-matrix
Durch den Querstrich wird ausgedrückt, dass sich die Größen auf ein lokales Elementkoordinaten-system beziehen.
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5
Da die Elemente einer Struktur i. allg. unterschiedlich ausgerichtet sind, müssen die im lokalen Elementkoordinatensystem definierten Größen in ein gemeinsames globales Koordinatensystem transformiert werden.
4. Steifigkeit
4.2 Koordinatentransformation
k11 2
u1 u2
F2F16
5
k3
F5
u5
F6
u6
y
x
F4
3
4
k2
u3F3
u4
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6
Der Zusammenhang zwischen den lokalen Verschiebungen u und den globalen Verschiebungen x und y ergibt sich für kleine Verschiebungen
4. Steifigkeit
4.2.1 Transformation der Verschiebungen
1
y
x
2
∆α<<1
α x1
y1u1 = x1·cos α + y1·sin α
2´
u 1
1´
u 2
y2
x2
u2 = x2·cos α + y2·sin α
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74. Steifigkeit
In Matrizenschreibweise erhält man mit den Abkürzungen c = cos α und s = sin α die Transformationsmatrix [T], die den Zusammenhang zwischen den lokalen { } und den globalen Elementverschiebungen {ue} herstellt.
0
s
c
0
s0
0c
u2
u1= ⋅
y1
x2
y2
x1
eu
eu =
Trans-forma-tions-matrix
Globale Ver-schiebungen
Lokale Ver-schiebungen
T ⋅ ue
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Die Knotenkräfte F1 und F2 lassen sich einfach in Richtung des globalen Koordinatensystems zerlegen.
4. Steifigkeit
4.2.2 Transformation der Kräfte
1
y
x
2
F2
Fx1 = F1· cos αFy1 = F1· sin α
αFy1
Fx1
F1
Fx2
Fy2
Fx2 = F2· cos αFy2 = F2· sin α
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94. Steifigkeit
In Matrizenschreibweise erhält man mit den Abkürzungen c = cos α und s = sin α
0s
0c
s
c
0
0 F2
F1= ⋅Fy1
Fx2
Fy2
Fx1
eF=
Globale Kräfte
Lokale Kräfte
T ⋅Fe
Den Zusammenhang zwischen den lokalen und den globalen Knoten-kräften stellt die transponierte Transformationsmatrix [T]T her.
T
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Die Transformation der Steifigkeitsmatrix auf das globale Koordinaten-system erfolgt mit Hilfe der zuvor abgeleiteten Beziehungen für die Verschiebungen und die Kräfte:
4. Steifigkeit
4.2.3 Transformation der Elementsteifigkeitsmatrix
Fx1 = F1· cos α
Einsetzen der Verschiebungen u1 = x1·cos α + y1·sin α und u2 = x2·cos α + y2·sin α liefert
Fx2 = k· (–x1 cos2α – y1 cos α sin α + x2 cos2α + y2 cos α sin α) Fy2 = k· (–x1 cosα sin α – y1 sin2α + x2 cos α sin α + y2 sin2α)
Fx2 = F2· cos α = k · (– u1 + u2) cos αFy2 = F2· sin α = k · (– u1 + u2) sin α
= k · (u1 – u2) cos αFy1 = F1· sin α = k · (u1 – u2) sin α
Fx1 = k · (x1 cos2α + y1 cos α sin α – x2 cos2α – y2 cos α sin α)Fy1 = k · (x1 cosα sin α + y1 sin2α – x2 cos α sin α – y2 sin2α)
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114. Steifigkeit
In Matrizenschreibweise erhält man mit den Abkürzungen c = cos α und s = sin α
-sc
-c2
sc
c2
-s2
-sc
s2
sc
-s2-sc
-sc-c2
s2
sc
sc
c2= k ⋅Fy1
Fx2
Fy2
Fx1
⋅y1
x2
y2
x1
=Globale Kräfte
Globale Ver-schiebungen
Ke ⋅Fe
Die Steifigkeitsmatrix [Ke] ist symmetrisch und stellt den Zusammenhang zwischen den Knotenverschiebungen {ue} und den Knotenkräften {Fe} eines Federelements in beliebiger Lage bezüglich eines globalen Koordinaten-systems her.
ue
Globale Steifig-keitsmatrix
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124. Steifigkeit
Die globale Steifigkeitsmatrix lässt sich einfacher durch Matrizen-multiplikation ableiten. Allgemein gilt:
Transformation der Kräfte:
}{][][][][}{ eeT
eT
e uKTFTF ⋅⋅=⋅=
Transformation der Verschiebungen:
}{][}{ ee uTu ⋅=
Einsetzen: }{][}{][][][}{ eeeeT
e uKuTKTF ⋅=⋅⋅⋅=
Globale Steifig-keitsmatrix: ][][][][ TKTK e
Te ⋅⋅=
][][][ TKT eT ⋅⋅
Falk sche Schema:
TT ][
][ eK
][][ eT KT ⋅
][T
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Das FE-Modell einer Struktur besteht aus Elementen, die durch Knoten miteinander Verbunden sind. Das Schema wird an einer einfachen Struktur aus drei miteinander verbundenen Federelementen erläutert.
4. Steifigkeit
4.3 Gesamtsteifigkeitsmatrix
1 k1
y
x
2
Federkonstanten:k1 = k = 10 N/mmk2 = k3 = 2k = 20 N/mm
3
k2
45°
k3
135°
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Der Aufbau der Steifigkeitsmatrix erfolgt in vier Schritten:
4. Steifigkeit
a) Aufstellen der Elementsteifigkeitsmatrizen im lokalen System
1
k2
3
1 k1 2
3
2
k3
1-1-11
= k ⋅K1¯ =10-10-1010
Element 1:
K2 1-1-11
= 2k ⋅ =20-20-2020
Element 3:
K3 1-1-11
= 2k ⋅ =20-20-2020
Element 2:
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154. Steifigkeit
b) Transformation auf globale Koordinaten [Ke] = [T]T ⋅ [ ] ⋅ [T]:
0-101
0000
000-1
00
01= k ⋅k1
Element 1:α= 0°c = 1;s = 0
=
0-10010
0000
000-10
00
010
eK
-0,5-0,50,50,5
-0,5-0,50,50,5
-0,5-0,5-0,5-0,5
0,50,5
0,50,5= 2k ⋅k2
Element 2:α= 45°c2 = s2 = 0,5;sc = 0,5
=
-10-101010
-10-101010
-10-10-10-10
1010
1010
0,5-0,5-0,50,5
-0,50,50,5-0,5
-0,50,50,5-0,5
0,5-0,5
-0,50,5= 2k ⋅k3
Element 3:α= 135°c2 = s2 = 0,5;sc = -0,5
=
10-10-1010
-101010-10
-101010-10
10-10
-1010
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164. Steifigkeit
c) Aufstellen der Kraft-Verschiebungs-Relation im globalen System
1 k1 2 x2
Fx2
Fy2 y2Fy1 y1
x1
Fx1
=
y2x2y1x1
0-10010
0000
000-10
00
010 ⋅
y1
x2
y2
x1
Fx2
Fy1
Fx1
Fy2
Element 1:1 → 2
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174. Steifigkeit
1
k23
x1
Fx1
Fy1 y1
x3
Fx3
Fy3 y3
=
y3x3y1x1
-10-101010
-10-101010
-10-10-10-10
1010
1010 ⋅
y1
x3
y3
x1
Fx3
Fy1
Fx1
Fy3
Element 2:1 → 3
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184. Steifigkeit
3
2
k3y3
Fx3
Fy1 y1
x2
Fx2Fy2 y2
=
y3x3y2x2
10-10-1010
-101010-10
-101010-10
10-10
-1010 ⋅
y2
x3
y3
x2
Fx3
Fy2
Fx2
Fy3
Element 3:2 → 3
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194. Steifigkeit
d) Aufbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix
Die Gesamtsteifigkeitsmatrix der Struktur wird aus den transformierten Elementsteifigkeitsmatrizen aufgebaut, indem die Koeffizienten mit gleichem Index addiert werden (Koinzidenz).
=Fy2
Fx3
Fx2
Fy1
Fx1
Fy3
⋅x3
y2
y1
x2
y3
x1
x1 y1 y3x3y2x2
-10
-10
0
-10
0+10
10+10
-10
-10
0
0
0+10
0+10
-10-1000
-10-100-10
10
-10
0–10
10+10
-10
10
0+10
0–10
-1010
-10-10
10+10
10–10
10–10
10+10
-10
-10
0
-10
0+10
10+10
-10
-10
0
0
0+10
0+10
-10-1000
-10-100-10
10
-10
0–10
10+10
-10
10
0+10
0–10
-1010
-10-10
10+10
10–10
10–10
10+10
-10
-10
0
-10
0+10
10+10
-10
-10
0
0
0+10
0+10
-10-1000
-10-100-10
10
-10
0–10
10+10
-10
10
0+10
0–10
-1010
10-10
10+10
10–10
10–10
10+10
Durch die Addition wird der Zusammenhang der Struktur hergestellt.
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204. Steifigkeit
4.4 Eigenschaften der Gesamtsteifigkeitsmatrix
-10-100
-101020
-10-10001010
-10-1000-10-100-10
10-10-1020
-101010-10
-101010-10
200
020
=K
Die Gesamtsteifigkeitsmatrix einer Struktur ist symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen. Die Koeffizienten der Hauptdiagonalen (Pivot-koeffizienten) müssen bei statischen Problemen stets größer Null sein.
Bei verschwindenden Pivotkoeffizienten (z. B. infolge unvollständiger Lagerung oder schlechter Konditionierung) bricht der Lösungsalgorithmus mit einer Fehlermeldung ab.
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Für größere Systeme ergibt sich i. allg. eine sog. Bandmatrix, da die Elemente jeweils nur mit ihren Nachbarelementen verknüpft sind.
4. Steifigkeit
=Ke
Die Bandbreite m ist die Anzahl der Nebendiagonalen, die von Null verschiedene Matrixkoeffizienten enthalten. Für die direkten Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen müssen nur die im schraffierten Teil enthaltenen Koeffizienten gespeichert werden
mxxxx00
x0x0000
xsym.
0000xxx
00xx0x0x
x0x0x
x
x
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Die Bandbreite m ist abhängig von der Knotennummerierung
4. Steifigkeit
1 2 3 4
567
m = 13
x xx
x xx x
0
x xx x
x xx x
0
x xx
x xx x
000
x xx x
x xx x000x x
x xx x
x
sym.
x xx
x xx x
x xx x
x xx
0x xx x0
x xx
x xx
x xx x
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
1 3 5 7
642
m = 5
x xx
x xx x
x xx x
000
x xx
x xx x
x xx x
000000x x
x xx xx x
x xx
sym.
x xx
x xx x
x xx x
x xx
0x xx x
x xx x
x xx
x xx
x xx x
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
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Durch Ausnutzung der Symmetrie der Koeffizientenmatrix und Opti-mierung der Knotennummerierung lässt sich der Speicherbedarf und damit die Rechenzeit drastisch reduzieren.
4. Steifigkeit
Für ein Problem mit n = 1000 FHG s ergibt sich danach bei doppelgenauer Darstellung ein Speichebedarf für alle Matrixkoeffizienten von
sMatrix = 8 · n2 = 8 · 10002 = 8 000 000 Byte = 8 MByte
Lässt sich die Knotennummerierung des Problems auf eine Bandbreite von z. B. m = 50 optimieren, ergibt sich unter Ausnutzung der Symmetrie ein Speicherbedarf von
sBand = 8 · (m+1)·(n-m/2) = 8 · 51 · (1000-25) = 397800 Byte = 398 kByte,
was nur noch 5% des ursprünglichen Bedarfs darstellt.
Für n Unbekannte werden für eine vollbesetzte Koeffizientenmatrix p = n2
Speicherplätze, während für eine Bandmatrix nur p = (m+1)·(n-m/2) Plätze benötigt werden.
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244. Steifigkeit
Die Rechenzeit bei Bandmatrizen ist proportional zu n · m2 gegenüber n3
bei einer voll besetzen Matrix. Für das Beispiel reduziert sich damit die Rechenzeit auf nur noch 0,25%.
Ringförmige Strukturen sind für eine Bandbreitenoptimierung ungünstig. Hier sollte, wenn möglich, die Symmetrie des Modells ausgenutzt werden.
Alle kommerziellen FE-Programme verfügen daher über entsprechendeBandbreitenoptimierer, wobei eine programminterne Umnummerierung der Knoten durch ein geeignetes Verfahren, z. B. dem Algorithmus vonCuthill-McKnee, erfolgt.
m = 5
1 3 5 7 9 11 13
2 4 6 8 10 12 14
1
7
4
10
2
35
612
11
8
9m = 9
xxxx00
x0x0000
xsym.
0000xxx
00xx0x0x
x0x0x
x
x
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Eine weitere Möglichkeit zur Reduzierung des Speicherbedarfs und der Rechenzeit stellt die sog. Hüllenspeicherung dar.
4. Steifigkeit
=Ke
Hierbei werden nur die Koeffizienten innerhalb der „Skyline“ in einem Vektor abgespeichert
x x xx 0 xx x x xx x 0 xx xx xx xx
19161286421
, wobei ein Zeiger auf die Diagonalelemente verweist.
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26
Aufbau und Besetzungsstruktur eines Hochspannungsmastes (nach H. R. Schwarz)
4. Steifigkeit
Problemgröße:
499 Balken-elemente
167 Knoten1002 Freiheits-
grade50343 Skyline-
Speicher-plätze