Statistik I - leuphana.de · Vorwort Für das 'aktive Lernen' des Stoffes aus der Vorlesung...

Leuphana Universität Lüneburg

Statistik I Deskription

Fakultät W Wirtschaftswissenschaften

Professur 'Statistik und Freie Berufe' Univ.-Prof. Dr. Joachim Merz

Übungs- und Klausuraufgaben

mit Lösungen

Zwölfte Auflage 2014

Impressum: Statistik I - Deskription, Übungs- und Klausuraufgaben

herausgegeben von der Leuphana Universität Lüneburg,

Fakultät W - Wirtschaftswissenschaften.

Univ.-Prof. Dr. Joachim Merz, Forschungsinstitut Freie Berufe,

Professur 'Statistik und Freie Berufe'.

Campus, Scharnhorststraße 1, Gebäude 5, 21335 Lüneburg

E-Mail: [email protected]

www.leuphana.de/ffb

Gedruckt auf 100 % Altpapier, chlorfrei gebleicht.

Copyright 2014

Vorwort Für das 'aktive Lernen' des Stoffes aus der Vorlesung 'Statistik I – Deskription' sind in diesem Übungsbuch neue vorlesungsbegleitende Übungsaufgaben sowie neue Klau-suren jeweils mit Lösungen zusammengestellt. Grundlage für dieses Skriptum ist meine Vorlesung 'Statistik I – Deskription' an der Universität Lüneburg mit den zugehörigen Plenarübungen. Es empfiehlt sich, die Klausuren unter Examensbedingungen (Zeitvorgabe!) selbständig zu lösen. Bei der Erstellung der Übungsaufgaben waren meine Tutorinnen und Tutoren tatkräftig und selbständig beteiligt. Mein herzlicher Dank für die neue Auflage gilt Katja Bergstedt und besonders Lena Krüger, die schließlich auch die redaktionelle Arbeit getan hat. Danken möchte ich aber auch den Tutorinnen und Tutoren der voran-gegangenen Semester, die für dieses Übungsbuch Grundsteine gelegt haben, sowie Herrn Dipl.-Volksw. Paul Böhm für die generelle Unterstützung. Viel Spaß und Erfolg! Lüneburg, im August 2014 Univ.-Prof. Dr. Joachim Merz

STATISTIK I - Deskription

A ÜBUNGSAUFGABEN MIT LÖSUNGEN

1 Allgemeine Grundlagen und Wirtschafts- und Sozialstatistik ........................ 1

2 Statistische Analyse eines einzelnen Merkmals ............................................. 6

3 Konzentration einer Verteilung und statistische Analyse mehrerer Merkmale ...................................................................................................... 12

4 Regressionsrechnung .................................................................................... 18

5 Verhältnis- und Indexzahlen und Hochrechnung ......................................... 26

6 Zeitreihen- und Querschnittsanalyse............................................................. 31

B KLAUSUREN MIT LÖSUNGEN

Klausur WS 2005/06 (erster Termin) ........................................................... 37

Lösung der Klausur ....................................................................................... 45

Klausur WS 2004/05 (erster Termin) ........................................................... 50

Lösung der Klausur ....................................................................................... 56

ANHANG: FORMELSAMMLUNG ....................................................... 67

LITERATUR ............................................................................................. 84

Merz: Statistik I - Deskription 1

A Übungsaufgaben mit Lösungen

Aufgabenblatt 1: Allgemeine Grundlagen und Wirtschafts- und Sozialstatistik

1 Im Rahmen der Statistik I-Vorlesung findet seit letztem Semester regelmäßig eine Umfrage zu Wohnsituation der Studierenden statt. In dieser werden die Teilnehmer der Vorlesung zu Themen wie ihrer Wohnform, der Größe ihrer Wohnung und ähnlichem befragt. Klären Sie für diese Analyse die folgenden Begriffe:

- statistische Einheit (bzw. Merkmalsträger) - Merkmal (beispielhaft) - Merkmalsausprägung (beispielhaft)

2 Geben Sie die Skalierung der folgenden Merkmale an:

a) Geschlecht b) Studiengang (BWL, Uwi, Kuwi etc.) c) Wohnform (bspw. WG, Einzelwohnung) d) Entfernung der Wohnung von der Universität (drei Ausprägungen:

„nah“, „weit“, „sehr weit“) e) Wohnungsgröße (in m²) f) Zahl der Zimmer g) Miete (in €) h) Miete (drei Ausprägungen: „niedriger als die Durchschnittsmiete“,

„gleich der Durchschnittsmiete“, „höher als die Durchschnittsmiete“) i) Miete pro m² Wohnfläche j) Durchschnittliche Zimmergröße k) Zahl der Mitbewohner l) Zufriedenheit mit der Wohnung (drei Ausprägungen „sehr zufrieden“,

„geht so“, „bin weg, sobald ich irgendetwas anderes finde“) m) Durchschnittliche Temperatur im Sommer (in °C)

3 Welche der in Aufgabe 2 genannten Merkmale sind stetig bzw. diskret? 4 Üben Sie den Umgang mit Summenzeichen anhand folgender Beispiele:

i 1 2 3 4 5

ix 2 4 6 8 10

iy 20 40 80 160 320

2 Merz: Statistik I - Deskription

a) 5

1i

i

x=∑ b)

4

2j

j

y=∑

c) 21

n

jj

x y=∑ d)

5

21

ii

x y=

+∑

e) ( )5

1

2 2ii

x=

+∑ f) 5 2

1 1i j

i j

x y= =∑∑

5 Im Folgenden finden Sie wirtschaftliche Daten eines fiktiven Landes geteilt

nach Männern und Frauen sowie nach den beiden Regierungsbezirken Norden und Süden.

Erwerbstätige; In Klammern: abhängige Erwerbstätige

Männer (Bevölkerung: 40,0 Mio.)

Frauen (Bevölkerung: 44,0 Mio.)

Norden (Fläche: 0,9 Mio. km²) 13,0 Mio. (80%) 8,0 Mio. (90%) Süden (Fläche: 1,2 Mio. km²) 17,0 Mio. (85%) 9,2 Mio. (95%)

Erwerbslose; In Klammern: davon Arbeitslose

Männer Frauen

Norden 1,3 Mio. (75%) 0,75 Mio. (30%) Süden 1,36 Mio. (85%) 1,0 Mio. (40%)

a) Berechnen und interpretieren Sie das Geschlechterverhältnis. b) Berechnen und interpretieren Sie die Bevölkerungsdichte. c) Berechnen und interpretieren Sie die allgemeine Erwerbsquote für die

Männer.1 d) Wie viele abhängige Erwerbstätige gibt es im Süden?

1 Erwerbsquote = Erwerbspersonen / Wohnbevölkerung Erwerbspersonen = Erwerbstätige + Erwerbslose


6 Ordnen Sie folgende Personen in das Erwerbskonzept ein:

a) Peter Neururer, 50 Jahre, bis Ende Mai 2005 Trainer des Vfl Bochum, sucht eine neue Stelle als Bundesligatrainer, nicht bei der Agentur für Arbeit gemeldet

b) Stefan M., 27, nach abgeschlossenem Philosophie und Anthropologiestudium mit einem Zeitvertrag über drei Jahre bei einer Tageszeitung als Sportreporter beschäftigt

c) Herrmann K., 41, Angestellter der Stadt Hamburg, seit 4 Monaten mit schwerer Grippe im Krankenhaus, angeblich kein Simulant

d) Josef Ackermann, 57, Sprecher des Vorstands der Deutschen Bank AG e) Paul R, 40, ehemaliger Bäcker, wegen einer Mehlstauballergie

berufsunfähig, bezieht Arbeitslosengeld II und sucht über die Agentur für Arbeit eine Stelle als Lagerarbeiter

f) Peter R, 40, Bäcker in einer Großbäckerei, möchte sich beruflich verändern und sucht privat und über die Agentur für Arbeit eine Stelle als Lagerarbeiter

g) Hannelore B., 34, Hausfrau, macht in der Abendschule ihr Abitur nach


Lösungen zu Aufgabenblatt 1:

Allgemeine Grundlagen und Wirtschafts- und Sozialstatistik

1 • statistische Einheit/Merkmalsträger: der einzelne (befragte) Student • Merkmal: bspw. die Wohnform • Ausprägungen (gleiches Beispiel): WG, Einzelwohnung,

Wohnheimzimmer, bei Eltern… 2 und 3

a) Geschlecht ⇒ männlich, weiblich ⇒ NOMINAL (diskret)

b) Studiengang ⇒ NOMINAL (diskret) c) Wohnform ⇒ WG etc. ⇒NOMINAL (diskret) d) Entfernung zu Uni ⇒ 3 Kategorien ⇒ ORDINAL (diskret) e) Wohnungsgröße ⇒ VERHÄLTNIS (stetig) f) Zahl der Zimmer ⇒ ABSOLUT (diskret) natürliche Einheit und Nullpunkt g) Miete (in €) ⇒ VERHÄLTNIS (appr. stetig), natürlicher Nullpunkt h) Miete (3 Ausprägungen) ⇒ ORDINAL (diskret) i) Miete pro m² ⇒ VERHÄLTNIS (approximativ stetig) j) Durchschnittliche Zimmergröße ⇒ VERHÄLTNIS (stetig) k) Zahl der Mitbewohner ⇒ ABSOLUT (diskret) l) Zufriedenheit ⇒ ORDINAL (diskret) m) Durschnittstemperatur ⇒ INTERVALL (stetig)

4 Summenzeichen

i/j 1 2 3 4 5

ix 2 4 6 8 10

j

y 20 40 80 160 320

a) 2 4 6 8 10 30+ + + + =

b) 40 80 160 280+ + = c) 4 20 4 40 4 80 4 160 4 320 4 (20 40 80 160 320) 2480⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + + + = d) 30 40 70+ = (Hinweis: 30 ist das Ergebnis aus a) ) e) 6 10 14 18 22 70+ + + + =

f) (2 20 2 40) (4 20 4 40) (6 20 6 40) (8 20 8 40) (10 20 10 40) 1800⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =


5

a) GV = 44 .

1,140 .

Anzahl Frauen Mio

Anzahl Männer Mio= =

⇒ auf 1000 Männer kommen 1100 Frauen

b) BD = 84 .ker

401, 2 . ² 0,9 . ²

MioBevöl ung

Fläche Mio km Mio km= =

+Personen/km²

⇒ auf einem km² leben durchschnittlich 40 Personen c) EQ =

8165,040

)36,13,1()1713(

ungkerWohnbevöl

eErwerbslosigeErwerbstät

ungkerWohnbevöl

sonenErwerbsper =+++=+=

⇒ Von 1000 Männern sind 817 Erwerbspersonen

d) Abh. EW-Tätige = 0,85 17 . 0,95 9, 2 . 23,19 .Mio Mio Mio⋅ + ⋅ = 6 a) stille Reserve b) Erwerbstätig c) Erwerbstätig d) Erwerbstätig e) Arbeitslos f) Erwerbstätig g) Nicht-Erwerbsperson


Aufgabenblatt 2: Statistische Analyse eines einzelnen Merkmals

1 In der autofreien Stadt Klauingen steigt die Fahrraddiebstahlquote immer

weiter an. Die Arbeitsgruppe „Statistik“ der Klauinger Gesamtschule, die sich seit je her mit dem Fahrverhalten der Einwohner beschäftigt, nahm dieses zum Anlass für eine neue Umfrage. Sie befragten 20 Bewohner nach der Anzahl der ihnen gestohlener Fahrräder in den letzten 5 Jahren. Die Gruppe kam zu folgendem Ergebnis:

0 8 5 6 1 5 2 7 4 6 4 3 1 5 4 7 5 3 6 5

a) Auf welcher Skala wird dieses Merkmal gemessen? Handelt es sich um

ein stetiges oder diskretes Merkmal? b) Ermitteln sie die absoluten und relativen Häufigkeiten und die

Verteilungsfunktion anhand einer Tabelle. c) Wie vielen der Befragten wurden weniger als 5 Räder entwendet? d) Berechnen Sie den Median (Z) und den Modus (D). e) Bestimmen Sie die Spannweite (R).

2 Des Weiteren interessierte sich die Statistikgruppe für die im letzten Jahr zurückgelegten Kilometer der Stadtbewohner. Sie kamen zu folgenden erstaunlichen Ergebnissen:

a) Bestimmen Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten unter

Berücksichtigung folgender Klassen: 0 200; 200 400; 400 600; 600 800.x x x x≤ < ≤ < ≤ < ≤ <

b) Ermitteln Sie des Weiteren die Verteilungs- und die Dichtefunktion. c) Errechnen Sie die modale Klasse, den Median sowie das arithmetische Mittel. d) Errechnen Sie das obere und untere Quartil, sowie die

Quartilsabweichung und zeichnen sie ein “Box and Whiskers“ Plot. e) Ermitteln Sie außerdem die Varianz und die Standardabweichung. f) Errechnen und interpretieren sie die standarisierte Schiefe und die

standarisierte Wölbung.

50 107 590 690 745 498 345 93 444 203 655 765 277 480 455 561 401 132 540 478


3 Wahr oder Falsch?

a) Der Fechnerschen Lageregel zur Folge gilt für eine asymmetrische Verteilung: Arithmetisches Mittel = Median = Modus.

b) Ein Merkmal des arithmetischen Mittels ist es, dass die Summe der quadrierten Abweichungen der Merkmalswerte vom arithmetischen Mittel gleich 0 ist.

c) Das geometrische Mittel wird zur Berechnung von Durchschnittsgeschwindigkeiten herangezogen, da es in diesem Zusammenhang genauer ist, als das arithmetische Mittel.

d) Bei gruppiertem Datenmaterial ist der Modus immer gleich dem Mittelwert.

e) Eine Verteilungsfunktion kann auch einen Wert größer 1 annehmen. f) Je größer der Exzess, desto flacher ist die Verteilung. g) Je stärker negativ das dritte Moment ( Schiefe ) ist, desto linkssteiler ist

die Verteilung.


Lösungen zu Aufgabenblatt 2: Statistische Analyse eines einzelnen Merkmals

1

a) Metrische Absolutskala / diskretes Merkmal b)

i ix in ih iF x( )

1 0 1 0,05 0,05 2 1 2 0,10 0,15 3 2 1 0,05 0,20 4 3 2 0,10 0,30 5 4 3 0,15 0,45 6 5 5 0,25 0,70 7 6 3 0,15 0,85 8 7 2 0,10 0,95 9 8 1 0,05 1,00 n = 20

c) gesucht: ( ) ( 5) ( 4) 4 0, 45 45%h x h x F< = ≤ = = =

d) Modus (D): Bei metrisch skalierten, ungruppierten Merkmalen, ist der Modus der Merkmalswert x, bei dem die relative Häufigkeit ihr Maximum annimmt.

5D = Median (Z): Der Median halbiert das Datenmaterial, so dass 50% darüber und 50% darunter liegen. hier ist n = 20 (wichtig: 20 ist eine gerade Zahl)

[ ]

n n 12 2

n 102

n 1 112

1Z x x

2

x x 5

x x 5

1Z 5 5 5

2

+

+

= +

= =

= =

= + =

( ) ( )

( )( )

( )( )

e) max min - 8 - 0 8R x x= = =


2 a) und b) Klasse Kilometer

∆xi ni h(xi) F( oix ) f(x i) xi* I

u o

i i ix x x≤ <

1 0 200x≤ < 200 4 0,2 0,2 0,001 100 2 200 400x≤ < 200 3 0,15 0,35 0,00075 300 3 400 600x≤ < 200 9 0,45 0,8 0,00225 500 4 600 800x≤ < 200 4 0,2 1 0,001 700

c) Modale Klasse:

ist gleich der Klasse mit der größten Häufigkeitsdichte: Klasse 3 (400 600)i x= ≤ <

Median: halbiert das Datenmaterial:

( ) ( )( )

0,5 0,35400 200 466, 67

0, 45

u

iu

i i

i

F z F xZ x x

h x

−= + ⋅ ∆

−= + ⋅ =

Arithmetisches Mittel

( )*

1

k

i i

i

x x h x=

= ⋅∑

100 0, 2 300 0,15 500 0, 45 700 0, 2 430 x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

d) Unteres Quartil:

( ) ( )

0,75

0, 75 0,35400 200 577, 78

( ) 0, 45

u

iu

i i

i

F z F xx x x

h x

− −= + ⋅ ∆ = + ⋅ =

Oberes Quartil:

( ) ( )

0,25

0, 25 0, 2200 200 266, 67

( ) 0,15

u

iu

i i

i

F z F xx x x

h x

− −= + ⋅ ∆ = + ⋅ =

Quartilsabweichung:

0,75 0,25

1 1( - ) = (577, 78 - 266,67) 155,56

2 2QA x x= ⋅ ⋅ =

Box and Whisker Plot:

(-199,9) 50 266,7 466,67 577,7 765 (1044,4)


e) Varianz (vereinfachte Formel)

( )22

1

( )n

i i

i

s x x h x=

= − ⋅∑

Klasse i ( )i

h x *ix ( )i

x x− ( )2

ix x− ( ) ( )2

i ix x h x− ⋅

1 0,2 100 -330 108900 21780 2 0,15 300 -130 16900 2535 3 0,45 500 70 4900 2205 4 0,2 700 270 72900 14580 41100

² 41.100s = 202, 731s =

Die gefahrenen Kilometer weichen im Durchschnitt 202,731 km von Mittelwert 430 km ab.

f) Standardisierte Schiefe = m3/s³ (Asymmetriemaß)

Standardisierte Wölbung = m4/s4 (Wölbungsmaß)

3 202, 731³ 8.332.258,385s = =

4 202, 7314 1.689.198.357s = =

( ) ( )3

3 *

1

3.426.000n

i i

i

m x x h x=

= − ⋅ = −∑

( ) ( )4

4 *

1

3.488.370.000n

i i

i

m x x h x=

= − ⋅ =∑

Standardisierte Schiefe: - 3.426.000

0, 41128.332.215,385

= −

Standardisierte Wölbung:3.488.370.000

2, 06511.689.198.357

=

Da die standardisierte Schiefe kleiner 0 ist, handelt es sich um eine rechtssteile bzw. um eine linksschiefe Verteilung. Die standardisierte Wölbung ist gleich 2,0651. Dieser Wert lässt sich normieren sm4= m4/s

4 - 3 = -0,9349. Damit lässt sich nun sagen, dass die hier vorliegende Verteilung spitzer ist, als die Normalverteilung.


3

a) Falsch. Der Fechnerschen Lageregel zur Folge gilt für eine asymmetrische Verteilung: arithmetisches Mittel ≠ Z ≠ D . D < Z < arithmetisches Mittel = linkssteile Verteilung und arithmetisches Mittel < Z< D. (nur bei einer Uni-modalen Verteilung sinnvoll).

b) Falsch. Die Summe der quadrierten Abweichungen der Merkmalswerte vom arithm. Mittel ist ein Minimum.

c) Falsch. Das geometrische Mittel wird bei Wachstumsraten herangezogen, bei der

Berechnung von Durchschnittsgeschwindigkeiten hilft das harmonische Mittel.

d) Falsch. e) Falsch.

Die Verteilungsfunktion besteht aus den aufsummierten Wahrscheinlichkeiten und kann somit nicht über 1 steigen.

f) Richtig. g) Falsch.

Je stärker negativ das dritte Moment ist, desto rechtssteiler ist die Verteilung.


Aufgabenblatt 3: Konzentration einer Verteilung und statistische Analyse mehrerer

Merkmale

1 Sie wollen das Nettoeinkommen der Deutschen analysieren. Eine Befragung (Quelle: Allbus 2004) ergab folgende Einkommensverteilung:

Monatliches Nettoeinkommen in € 0-500 500-1000 1000-2000 2000-10000

Anzahl der Personen 440 735 1000 325

a) Ermitteln Sie die kumulierte relative Merkmalssumme und tragen Sie

diese mit der kumulierten Häufigkeit zusammen in einem Diagramm (Lorenzkurve) ab.

b) Beurteilen Sie, ob die deutsche Einkommensverteilung gleichverteilt ist. Berechnen Sie hierzu ein geeignetes statistisches Maß.

2 Ihr Kommilitone ist Politikstudent und soll den Zusammenhang zwischen dem

politischen Interesse und der Wahlabsicht analysieren. Das politische Interesse x wurde als ordinales Merkmal erfasst (1:sehr stark; 2:stark; 3:mittel; 4:wenig; 5:überhaupt nicht). Bei der Wahlabsicht y wurde nach folgenden Parteien gefragt:

1: CDU/CSU 2: SPD 3: FDP 4: Die Grünen 5: Sonstige/Nichtwähler

y1 y2 y3 y4 y5 ni• x1 59 41 16 27 41 184 x2 146 77 33 56 93 x3 295 143 44 69 171 722 x4 135 62 14 24 131 366 x5 38 4 4 76 142 n•j 673 343 111 510 1819

a) Ermitteln Sie die fehlenden Werte in der Tabelle sowie die

Randverteilungen. b) Berechnen und interpretieren Sie die Ausdrücke n4•, h•5, h(y3 | x2), h(y2),

h(x4 , y3)

3 Da Sie völlig begeistert über die im „Allbus 2004“ erhobenen Daten sind, wollen Sie den Zusammenhang zwischen einigen Merkmalen analysieren. Welches Zusammenhangsmaß wählen Sie?

a) Wahlabsicht – Politisches Interesse b) Wahlabsicht – Nettoeinkommen c) Politisches Interesse – Nettoeinkommen d) Nettoeinkommen – Alter in Jahren


4 Sie interessieren sich für den Zusammenhang zwischen dem Alter und dem Nettoeinkommen in Deutschland. Aus dem Allbus-Datenmaterial nehmen Sie eine zufällige Stichprobe von sechs Personen. Die Angaben für das Alter und das Nettoeinkommen dieser sechs Personen sind in folgender Tabelle dargestellt:

Person 1 2 3 4 5 6 Alter in Jahren (X) 19 20 33 47 69 76 Nettoeinkommen in € (Y) 450 500 250 2600 950 400

a) Berechnen und interpretieren Sie den Korrelationskoeffizienten nach

Bravais-Pearson. Warum ist dieser am besten für dieses Datenmaterial geeignet?

b) Berechnen und interpretieren Sie nun den Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman. Warum ist dieser Koeffizient nicht für dieses Datenmaterial geeignet?

5 In einer weiteren Analyse wollen Sie nun analysieren, ob sich das

Wahlverhalten zwischen Männern und Frauen unterscheidet. Folgende Daten liegen Ihnen vor:

BeBesteht ein Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und dem Wahlverhalten? Berechnen Sie hierzu einen geeigneten Korrelationskoeffizienten und interpretieren Sie das Ergebnis.

Lösungshinweise: 1b) Gini = 0,46725 4a) Kovarianz = 2.850 Standardabweichung(X) = 22,286 Standardabweichung(Y) = 807,259 4b) Transformieren Sie die Daten zunächst in Ränge. r(Spearman) = 0,0857 5) Hier ist nach dem Kontingenzkoeffizienten gefragt. Zunächst müssen die Häufigkeiten bei Unabhängigkeit ermittelt

werden. Das M der Formeln aus S.174 im Skript ist das Minimum aus der Anzahl der Zeilen und der Anzahl der

CDU/CSU SPD FDP Die

Grünen Sonstige/

Nichtwähler Summe

männlich 390 210 100 120 280 1100

weiblich 320 170 50 100 260 900

Summe 710 380 150 220 540 2000


Spalten. Da es hier 2 Zeilen und 5 Spalten gibt, ist M = 2. Als Ergebnis erhält man K = 0,1019: Der Zusammenhang ist also schwach.


Konzentration einer Verteilung und die statistische Analyse mehrerer Merkmale

1 a)

i in *

ix ih ( )iF x *i ix n⋅ * / i ix n n x⋅ ⋅ ( )iMS x

1: 0-500 440 250 0,176 0,176 110000 0,0268 0,0268 2: 500-1000 735 750 0,294 0,470 551250 0,1341 0,1609 3: 1000-2000 1000 1500 0,400 0,870 1500000 0,3649 0,5257 4: 2000-10000 325 6000 0,130 1,000 1950000 0,4743 1,0000 Summe 2500 1,000 4111250 1,0000

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Lorenzkurve

Gleichverteilung

b)

Gini berechnen:

( )*

11

( ) ( ) 1

(0 0,176) 0,0268

(0,176 0,470) 0,1341

(0,470 0,870) 0,3649

(0,870 1,00) 0,4743

1

0,46725

−=

⋅= + ⋅ −⋅

= + ⋅+ + ⋅+ + ⋅+ + ⋅−=

∑k

i ii i

i

x nG F x F x

n x


2

y1 y2 y3 y4 y5 ni• x1 59 41 16 27 41 184 x2 146 77 33 56 93 405 x3 295 143 44 69 171 722 x4 135 62 14 24 131 366 x5 38 20 4 4 76 142 n•j 673 343 111 180 512 1819

n4• = 366 (366 Personen haben wenig politisches Interesse) h•5 = 510/1819 = 0,2804 (28,04 Prozent aller Personen wählen Sonstige/sind

Nichtwähler) h(y3 | x2) = 33/405 = 0,0815 (8,15 Prozent mit starkem politischen Interesse

wählen die FDP) h(y2) = 343/1819 = 0,1886 (18,86 Prozent aller Personen wählen die SPD) h(x4 , y3) = 14/1819 = 0,0077 (0,77 Prozent haben wenig politisches Interesse

und wählen die FDP) 3

a) Wahlabsicht (nominal) – Politisches Interesse (ordinal) Kontingenzkoeffizient

b) Wahlabsicht (nominal) – Nettoeinkommen (metrisch) Kontingenzkoeffizient

c) Politisches Interesse (ordinal) – Nettoeinkommen (metrisch) Spearman Rangkorr.koeff.

d) Nettoeinkommen (metrisch) – Alter in Jahren (metrisch) Bravais-Pearson

4

a) dazu Berechnung der Kovarianz:

1

1 n

xy i ii

s x y x yn =

= ⋅ − ⋅∑

Tabelle mit Hilfswerten:

Monat x y x y⋅ ²x ²y

1 19 450 8.550 361 202.500 2 20 500 10.000 400 250.000 3 33 250 8.250 1.089 62.500 4 47 2.600 122.200 2.209 6.760.000 5 69 900 62.100 4.761 810.000 6 76 400 30.400 5.776 160.000

Summe: 264 5.100 241.500 14.596 8.245.000

1264 44

61

5.100 8506

= ⋅ =

= ⋅ =

x

y


1

1

1241.500 44 850 2.850

6

=

= ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅ =

∑n

xy i ii

s x y x yn

Die Kovarianz misst, ob ein linearer Zusammenhang zwischen Variablen besteht. Das Vorzeichen gibt die Richtung des Zusammenhangs an: es besteht also ein positiver Zusammenhang. Die Stärke des Zusammenhangs lässt sich anhand der Kovarianz allerdings nicht bemessen, da ihr Wertebereich nicht normiert ist. Hierfür benötigt man den Bravais-Pearson-

Korrelationskoeffizienten.

2 2 2

1

2 2 2

1

1 114596 44 22,286

6

1 18.245.000 850 807,259

6

28500,1584

22,286 807,259

=

=

=⋅

= ⋅ − = ⋅ − =

= ⋅ − = ⋅ − =

= =⋅

∑

∑

xy

x y

n

x ii

n

y ii

sr

s s

s x xn

s y yn

r

Es liegt also ein schwacher positiver Zusammenhang vor.

b) Umwandlung des Datensatzes in Ränge:

Person 1 2 3 4 5 6 Alter in Jahren (X) 19 20 33 47 69 76 Nettoeinkommen in € (Y) 450 500 250 2600 900 400 R(X) 1 2 3 4 5 6 R(Y) 3 4 1 6 5 2 R(X)-R(Y) -2 -2 2 -2 0 4 [R(X)-R(Y)]² 4 4 4 4 0 16

r(Spearman) =

2

1

6 [ ( ) ( )]6 (4 4 4 4 0 16)

1 1 0, 0857( 1) ( 1) 5 6 7

=

−⋅ + + + + +

− = − =− + ⋅ ⋅

∑n

i

R x R y

n n n

Es liegt also ebenfalls ein schwacher positiver Zusammenhang vor. Allerdings sollte man den BP-Koeffizienten berechnen, weil bei der Spearman–Methode durch die Transformation in Ränge Informationen verloren gehen.

5

Zunächst Berechnung der Häufigkeiten bei Unabhängigkeit (in Klammern)

CDU/CSU SPD FDP Die Grünen

Sonstige/ Nichtwähler

Summe

männlich 390 (390,5) 210 (209) 100 (82,5) 120 (121) 280 (297) 1100 weiblich 320 (319,5) 170 (171) 50 (67,5) 100 (109) 260 (243) 900

Summe 710 380 150 220 540 2000


Berechnung von CHI-QUADRAT:

1 1

( )² 0,5² 0,5² 1² 1² 17,5² 17,5² 1² 1² 17² 17²² 10, 441

390,5 319,5 209 171 82,5 67,5 121 109 297 243= =

−= = + + + + + + + + + =∑∑

ɶ

ɶ

k mij ij

i j ij

n n

nχ

Kontingenzkoeffizient:

² 10, 441 20,1019

² 1 2000 10, 441 2 1= ⋅ = ⋅ =

+ − + −

MK

n M

χχ

M: Minimum aus [Anzahl der Zeilen & Anzahl der Spalten] Es besteht also nur ein schwacher Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und der Wahlabsicht.


Aufgabenblatt 4: Regressionsrechnung

1 Einfachregression

Die folgende Tabelle enthält eine Zufallsauswahl von 10 Fällen aus der im lezten Semester stattgefundenen Umfrage „Wohnst du noch oder studierst du schon?“. Anhand dieser Daten soll die übliche Vermutung, dass größere Wohnungen teurer sind als kleine (dass es also einen kausalen Zusammenhang zwischen Wohnfläche und Monatsmiete gibt) überprüft werden.

Fall Nr.

i Wohnungsgröße Monatliche

Miete 1 30 200 2 30 320 3 14 191 4 15 209 5 35 320 6 68 465 7 13 185 8 27 300 9 25 250 10 35 270

a) Erstellen Sie einen geeigneten und sinnvollen Regressionsansatz nach dem Schema 0 1= + +y xi i iβ β ε . Achten Sie dabei vor allem auf die Wahl

der abhängigen und der unabhängigen Variablen. b) Ermitteln und interpretieren Sie die lineare Regressionsfunktion des Typs

i iy = b b x0 1+ ⋅ nach der Methode der kleinsten Quadrate unter Verwendung

der Summenformeln (S. 185 Skript). c) Ermitteln und interpretieren Sie die lineare Regressionsfunktion des Typs

i iy = b b x0 1+ ⋅ nach der Methode der kleinsten Quadrate. Verwenden Sie

diesmal die Matrizenrechnung. - Erstellen und interpretieren Sie X'X und X'y.

- Berechnen und interpretieren Sie ( ) 1'X X

− und ( ) 1

' 'b X X X y−= ⋅ .

d) Berechnen und interpretieren Sie das Bestimmtheitsmaß R². e) Prognostizieren Sie mit ihrer Regressionsfunktion aus c) den Mietpreis

für Wohnungen mit 29 bzw. 110 m² Wohnfläche und nehmen Sie zu Ihrer Prognose kritisch Stellung.


2 Regressionsanalyse mit Hilfe von SPSS

Gemäß einer alten Faustregel von Immobilienmaklern ist das herausragende Merkmal einer jeden Immobilie ihre Lage. Um diesen Sachverhalt zu berücksichtigen, haben Sie sich entschieden, eine weitere Variable einzuführen (Innenstadtlage), die den Wert „1“ annimmt, wenn eine Wohnung in der Innenstadt liegt („0“ bei allen anderen Lagen, wie Stadtrand, Vorort, etc.). Sie vermuten außerdem, dass sich sowohl das Vorhandensein einer Einbauküche (Variable „07d Einbauküche“, „1“ wenn vorhanden) als auch eine eventuelle Möblierung (Variable „07c möbliert “, „1“ wenn möbliert) auf den Preis der Wohnung auswirken können. Da Sie ein „wenig“ unwillig sind eine Regression für 147 Fälle per Hand durchzuführen (und außerdem in diesem Leben noch anderes vorhaben), entschließen Sie sich, auf SPSS zurückzugreifen.

Die nachstehenden Tabellen enthalten die von SPSS gelieferten Informationen. ACHTUNG: Die Unterschiede von Mittelwerten, Koeffizienten etc. im Vergleich zu Aufgabe 1 erklären sich dadurch, dass in dieser Aufgabe mit dem gesamten Datensatz (147 gültige Fälle = N) gerechnet wurde und nicht nur mit den 10 in Aufgabe 1 ausgewählten Fällen.

Deskriptive Statistiken

Mittelwert Standardabweichung N

06 Miete (alles inkl.) € 316,44 129,583 147

04 Wohnfläche 33,298 23,8391 147

07c möbliert 0,31 0,462 147

07d Einbauküche 0,82 0,389 147

Innenstadtlage ("1" wenn Innenstadt; "0" andere Lagen) 0,40 0,492 147

Modellzusammenfassung

Modell R R-Quadrat Korrigiertes R-

Quadrat Standardfehler des

Schätzers 1 0,359(a) 0,129 0,104 122,645

a Einflussvariablen: (Konstante), Innenstadtlage ("1" wenn Innenstadt; "0" andere Lagen), 07d Einbauküche, 04 Wohnfläche, 07c möbliert

Koeffizienten

Modell Nicht standardisierte Koeffizienten

B Standardfehler 1 (Konstante) 226,884 28,316 04 Wohnfläche 1,761 0,436 07c möbliert 1,455 22,559 07d Einbauküche 37,078 26,573 Innenstadtlage ("1" wenn Innenstadt;

"0" andere Lagen) 0,540 20,949


a) Erläutern Sie die vorliegenden deskriptiven Informationen zu den einzelnen Variablen.

b) Formulieren Sie den zugrunde liegenden Regressionsansatz. c) Interpretieren Sie die gefundenen Koeffizienten und das

Bestimmtheitsmaß.


Lösungen Aufgabenblatt 4:

Regressionsrechnung 1 Einfachregression a) Ansatz:

0 1

0 1

wobei:

(abhängige Variable/endogene Variable/Regressant) = monatliche Miete

(unabhängige Variable/exogene Variable/Regressor) = Wohnungröße

monatliche Miete = Wohnungsgröße +

i i

i

i

y x

y

x

β β ε

β β

= + ⋅ +

→ + ⋅

i iˆ Residuum, die Abweichung von dem geschätzten y vom wahren y

ε

ε =

b) Hilfstabelle:

i ix iy ²ix 2

iy i ix y⋅

1 30 200 900 40.000 6.000 2 30 320 900 102.400 9.600 3 14 191 196 36.481 2.674 4 15 209 225 43.681 3.135 5 35 320 1.225 102.400 11.200 6 68 465 4.624 216.225 31.620 7 13 185 169 34.225 2.405 8 27 300 729 90.000 8.100 9 25 250 625 62.500 6.250 10 35 270 1.225 72.900 9.450

Summen 292 2.710 10.818 800.812 90.434

Berechnung mit Hilfe der Summenformeln

1

1 1

10

1 1

10

90.434 271 29, 29.043, 4 7.913 1.130, 4

1081, 8 852, 64 229,1610.818 29, 2²

4, 9328

² ²

i iy

xi

n

n

y x y xsb r

sx x

⋅

=

⋅

− ⋅−

−−

−= ⋅ = = = =

−

∑

∑

0 1 1

1 1271 4,9328 29, 2 126,96224

i in n

b y b x y b x= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ =∑ ∑

Geschätzte monatliche Miete = 126,96 4,93 Wohnungsgröße+ ⋅


c) Berechnung mit Hilfe der Matrizenrechnung 1 30

1 30

1 14

1 15

1 35 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 68 30 30 14 15 35 68 13 27 25 35

1 13

1 27

1 25

1 35

X X ′= =

(10/2)

(2/10)

1 30

1 30

1 14

1 15

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 35

30 30 14 15 35 68 13 27 25 35 1 68

1 13

1 27

1 25

1 35

10 292

292 X X

′ = =(2 / 2)

11

12 21

22

10 Anzahl der Werte

292

Summe aller Wohnungsgrößen

10.818

² Quadratsumme Wohnungsgrößen

10.818

i

i

a n

a a

x

a

x

→

= = =

= =

=

=

=

→

→

∑

∑


(2/10) (2/1)

11

200320191209320

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2.710465

30 30 14 15 35 68 13 27 25 35 90.434185300250270

a y

X y

= = →

=

′

22 90.434

Kreuzprodukt aus Miete und Wohnungsgröße

2.710

Summe der monatlichen Miete

i

i

ia x y =

→

=→

=

∑

∑

Berechnung der Inversen

( 2 / 2 )

22 121

11 22 12 21

21 11

1

10 292 wobei

292 10.818

10 10.818 292 292 108.180 85.264 22.916

-1

A

a aA X X A A a a a a

a aAX X − −

= ⋅ − ⋅ = − =

′= = = = −−

′ =

110.818 292 10.818 292 0, 461138886 0, 0124470841

0, 000042627 292 10 292 10 0, 012447084 0,0004262722.916

A−− − −

=− − −

= =

Berechnung von b

( ) 1

(2 / 2) (2 / 1) (2 / 1)

0, 461138886 0, 012447084 2.710

0, 012447084 0,00042627 90.434

124, 0467866

4,81770354b X X X y b

− −

−′ ′= = =

Die Regressionsfunktion lautet:ˆ 124, 0457866 4,81770354y x= + ⋅

Der Koeffizient 1b sagt aus, wie sich eine Veränderung von x auf y aus-wirkt: pro Quadratmeter Wohnfläche steigt der durschnittliche Wohnungspreis um 4,82 €

Der Koeffizient 0b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an, in diesem Fall eine "Basismiete" bei einer Wohnungsgröße von 0 m². Für das Beispiel ist der Wert jedoch nicht interpretierbar, da er weit außerhalb des Stützbereichs für die Regressionsfunktion liegt.


d) Berechnung des Bestimmtheitsmaßes:

ˆerklärte Varianz von y (Varianz von y)

Gesamtvarianz (Varianz von y)

ˆ% der Varianz von Merkmal y werden erklärt duch die Varianz der geschätzten Merkmalswerte y

0 B 1

B

x

=

→ ≤ ≤→

2

1

2 2 2 2

1 1

2

2

1

1 1

n

i i

i

n n

i i

i i

xy

x y

x y x yn

B

x x y yn n

sr

s s=

= =

⋅ ⋅ − ⋅= =

⋅ − ⋅ ⋅ −

=

∑

∑ ∑

2

2

190.434 29,9 271

10

1 110.818 29, 2 800.812 271²

10 10

B

⋅ − ⋅=

⋅ − ⋅ ⋅ −

20, 762428 0,581296B = =

Durch die Regressionsfunktion werden 58,13 % der Gesamtstreuung der

Wohnungsmieten erklärt, es liegt eine (für ein derart einfaches Modell) recht hohe Anpassung vor, allerdings bleibt genug nicht erklärte Varianz um die Aufnahme zusätzlicher Variablen zu erwägen

e) Prognose:

( 29 )ˆ 124, 0457866 4,81770354 29 263, 759y = + ⋅ =

(110)ˆ 124, 0457866 4,81770354 110 653, 99y = + ⋅ =

Die Prognose für eine Wohnung mit 110 m² ist mit einer gewissen

Vorsicht zu genießen. Die größte Wohnung im Datensatz hat eine Größe von 68 m², so dass 110 m² recht weit ausserhalb des Datenmaterials liegt und eigentlich nicht zu interpretieren ist. Zudem hängt die Prognose ja nicht ausschließlich von der Größe ab (vergl. Aufgabenteil d).

2 Regressionsanalyse mit Hilfe von SPSS a) Deskriptive Informationen = Mittelwert und Standardabweichung

- abhängige Variable: y (Miete):

316, 44 316,44 €

129, 583 129,58 € 316,44 €

Wohnungen kosten im Durchschnitt

Die Miete weicht durchschnittlich um vom Mittelwert ab

y

y

s

=

= →

→


- unabhängige Variablen: -

1

x (Wohnungsgröße): 11

33, 289; 23,8391 xx s= =

2

x (Wohnung möbliert/Dummy): 22 0, 31 0, 462; xx s= = → 31% der

Wohnungen sind möbliert

3x (Einbauküche/Dummy):

33 0, 82 0, 389; xx s= = → 82 % der Wohnungen

haben eine EBK 4x (Innenstadtlage):

34 0, 4 0, 492; xx s= = → 40% der Befragten haben eine

Innenstadtwohnung

b) Regressionsansatz:

0

1

2

3

4

( / )

( / )

( / )

i

i

i

i

i i

Wohnungsmiete

Wohnungsgröße

möbliert ja nein

EBK ja nein

Innenstadtlage ja nein

β

β

β

β

β ε

=

+ ⋅

+ ⋅

+ ⋅

+ ⋅ +

c) Regressionsfunktion:

1 2 3 4ˆ 266,884 1, 761 1, 455 37, 078 0,540

i i i i iy x x x x= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Die „Basismiete“ beträgt 266,884 €.

Die Miete erhöht sich um durchschnittlich 1,761 € pro zusätzlichem m² Wohnfläche; sie erhöht sich um 1,455 €, wenn die Wohnung möbliert ist und um 37,078 € wenn es eine EBK gibt. Eine Innenstadtlage erhöht die Miete um 0,540 €.

Die Anpassungsgüte der Regressionsfunktion an die gegebenen y-Werte

ist nicht sonderlich gut: Nur 12,9 % der Varianz der Wohnungsmieten werden durch das Modell erklärt.

Bei der Interpretation des etwas „seltsamen“ Koeffizienten

(Innenstadtlage) sollte man auf andere relevante erklärende Variablen hinweisen:

Straßennähe der Wohnung, Wohnort (HH versus LG). Vielleicht gibt es aber auch andere inhaltliche Erklärungen.


Aufgabenblatt 5:

Verhältnis- und Indexzahlen und Hochrechnung

1 Als Referent im Verbraucherschutz- und Agrarministerium bereiten Sie die demnächst stattfindenden Verhandlungen über die EU-Agrarzuschüsse vor. Der zuständige Minister (der je bekanntlich neu im Amt und zudem im Agrarbereich eher fachfremd ist) beauftragt Sie, die Veränderungen der Nachfrage des In- und Auslands nach norddeutschen Zuckerrüben genauer zu analysieren. Hierzu stehen Ihnen folgende Daten der letzten vier Jahre zur Verfügung:

Jahr Export (in 1000 t)

Verbrauch in Deutschland (in 1000 t)

2001 3000 2500 2002 3500 2700 2003 3850 2400 2004 3080 2320

a) Ermitteln Sie die jeweiligen Messziffern und Kettenmessziffern für die Jahre 2001 bis 200 und interpretieren Sie die Werte. b) Berechnen Sie die durchschnittlichen Wachstumsraten für diesen Zeitraum.

2 Nachdem der Minister sich auf den EU-Verhandlungen nicht durchsetzen konnte, werden Sie trotz der Tatsache, dass er Ihr Gutachten nie gelesen hatte, für das Scheitern verantwortlich gemacht und müssen Ihren Hut nehmen. Durch Kontakte in die Privatwirtschaft, die Sie während Ihrer Amtszeit pflegen konnten, erhalten Sie die Chance bei einem großen Eisenbahnunternehmen anzuheuern. Der Vorstand dieses Unternehmens ist angesichts der vermeintlich immer stärkeren Konkurrenz durch den Individualverkehr besorgt, und bittet Sie die Preis- und Verkaufsmengenentwicklung der fünf größten deutschen Automobilhersteller zu untersuchen. Auch wenn Sie angesichts der völligen Ignoranz gegenüber ausländischen Herstellern etwas irritiert sind (Sie vermuten, dass Ihre Chefs mit dem Prinzip von „Import“ wenig anfangen können), machen Sie sich an die Arbeit. Die fünf wichtigsten Automobilhersteller erzielten in Deutschland in den Jahren 2003 und 2004 folgende Preise und Absatzmengen:

Firma Durchschnittspreis

(in 1000 €) Mengen (in 1000)

2003 2004 2003 2004

VW 15 16 200 150 Daimler-Chrysler 25 26 150 200 BMW 35 36 100 150 Opel 20 21 150 100 Audi 30 31 100 150

a) Berechnen und interpretieren Sie den Preisindex nach Laspeyres. b) Berechnen und interpretieren Sie den Preisindex nach Paasche. c) Berechnen und interpretieren Sie den Mengenindex nach Laspeyres.


d) Berechnen und interpretieren Sie den Umsatzindex. e) Gehen Sie davon aus, dass im Jahr 2003 genauso viele Autos im Inland wie in

den USA abgesetzt wurden und der Gesamterlös der fünf deutschen Automobilhersteller in den USA bei 15 Mrd. US$ lag. Berechnen Sie die Verbrauchergeldparität. Beurteilen Sie das Ergebnis auch im Hinblick auf den offiziellen Wechselkurs.

3 Erschüttert von den steigenden Verkaufszahlen der automobilen Konkurrenz entscheidet sich der Vorstand ihre Abteilung zu schließen, da diese „ohnehin nur für schlechte Nachrichten sorgt“. (Sollten Sie sich in Aufgabe 2c verrechnet und sinkende Verkaufszahlen errechnet haben, stellen Sie sich einfach vor, dass Sie deswegen entlassen werden). Da Sie derartiges schon geahnt hatten, haben Sie erfreulicherweise (für Sie) vorgesorgt und kommen bei einem großen Kaufhaus unter. Dieses hat die Verkaufszahlen seines beliebtesten Produktes (eines singenden Teddybären für Kinder im Vorschulalter) bisher als Index mit Basisjahr 1986 (dem Jahr der Einführung) erfasst. Da im Jahr 1999 ein Wechsel des Produktmanagers stattgefunden hat, dessen Beurteilung vereinfacht werden sollte), wurde in diesem Jahr ein neuer Index begonnen.

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 Basisjahr 1986 120,0 123,9 126,6 121,1 127,1 122,1 - - - - Basisjahr 1999 - - - - - 100,0 87,3 111,3 98,4 102,2

a) Berechnen und interpretieren Sie die Werte des gemeinsamen Indexes

mit dem Basisjahr 1986 (Fortführung). b) Berechnen und interpretieren Sie die Werte des gemeinsamen Indexes

mit dem Basisjahr 1999 (Rückrechnung) 4 Für die repräsentative Gewichtung einer Stichprobe wird eine simultane

Hochrechnung z.B. nach dem Minimum Information Loss (MIL)-Prinzip durchgeführt. Erstellen Sie für n=6 Haushalte eine sinnvolle S-Matrix bei einem gegebenen Vektor der anzustrebenden Rahmenbedingung:

R1: 100000 Einpersonenhaushalte R2: 85000 Zweipersonenhaushalte R3: 60000 Mehr als Zweipersonenhaushalte R4: 250000 Familien R5 60000 Erwerbstätige Frauen R6: 120000 Erwerbstätige Männer R7: 40000 Frauen älter als 40 Jahre R8: 35000 Männer älter als 40 Jahre R9: 25000 Kinder



Verhältnis- und Indexzahlen und Hochrechnung

1 a) Export Meßziffern Kettenmeß

ziffern Verbrauch Inland

Meßziffern Kettenmeß ziffern

2001 3000 1,00 1,00 2500 1,00 1,00 2002 3500 1,1667 1,1667 2700 1,08 1,08 2003 3850 1,2833 1,1 2400 0,96 0,8889 2004 3080 1,0267 0,8 2320 0,928 0,9667

Interpretation: - Export 2002 auf 2003: Der Export stieg zwischen 2002 und 2003 um

10%. - Verbrauch 2001 auf 2004: Verbrauch nahm von 2001 bis 2004 um

7% ab

b) Wiederholung: Geometrisches Mittel Export:

3 1,17 1,1 0,8 1, 00977 1 0, 00977 100 0, 977%⋅ ⋅ = → − = ⋅ =

Inlandsverbrauch:

3 1, 08 0,8889 0,9667 0,9754 1 0, 02458 100 2, 46%⋅ ⋅ = → − = − ⋅ = −

2

a) Preisindex nach Laspeyres: Gewichtung der Preise mit alten Mengen.

0

1

0,

0 0

1

.16 200 26 150 36 100 21 150 31 100 16950

( ) .100 100 104,30815 200 25 150 35 100 20 150 30 100 16250

.

=

=

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = ⋅ = =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

∑

∑

ni i

t

L i

t ni i

i

p q

I p

p q

b) Preisindex nach Paasche:

Gewichtung der Preise mit neuen Mengen.

1

0,

0

1

.16 150 26 200 36 150 21 100 31 150 19750

( ) .100 100 103,94715 150 25 200 35 150 20 100 30 150 19000

.

=

=

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = ⋅ = =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

∑

∑

ni i

t t

L i

t ni i

t

i

p q

I p

p q


Vor- und Nachteile Laspeyres und Paasche:

Laspeyres: Der Warenkorb der Basisperiode ist in der Berichtsperiode veraltet (Substitution von Produkten) und muss regelmäßig aktualisiert werden, was einen Bruch in der Vergleichbarkeit zu den Vorperiodenwerten darstellt. Paasche: Das Problem des veralteten Warenkorbes besteht hier nicht. Aber: - Bestimmte Waren, auf die man den Index zurückrechnet gab es, oftmals

in früheren Perioden noch gar nicht. - hoher zeitlicher und kostenmäßiger Aufwand zur Bestimmung des neuen

Warenkorbes in jeder Periode. c) Mengenindex nach Laspeyres

Der Mengenindex hat die Aufgabe, die Mengenentwicklung der Gesamtheit von Gütern zwischen der Berichts- und Basisperiode anzugeben. Die Gewichtung erfolgt über die alten Preise.

0

1

0,

0 0

1

.15 200 25 150 35 100 20 150 30 100 19000

( ) .100 100 116,92315 150 25 200 35 150 20 100 30 150 16250

.

=

=

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = ⋅ = =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

∑

∑

ni i

t

L i

t ni i

i

p q

I q

p q

d) Umsatzindex

1

0,

0 0

1

.16 150 26 200 36 150 21 100 31 150 19750

( , ) .100 100 121,53815 200 25 150 35 100 20 150 30 100 16250

.

=

=

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = ⋅ = =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

∑

∑

ni i

t t

L i

t ni i

i

p q

I p q

p q

Es wurden von allen Herstellern 21,53% mehr Umsatz gemacht

e) Gesamterlös Deutschland 2003: 16,25 Mrd. € → Angaben in Tabelle in

1000 € ( 0 01

.=∑

ni i

i

p q )

Gesamterlös USA 2003:15,00 Mrd. US$

$,

,$

15, 00 . $ $0,92308

16, 25 .

16, 25 .1, 08333

15, 00 . $ $

= =

= =

EUR

EUR

Mrd US USVG

Mrd EUR EUR

Mrd EUR EURVG

Mrd US US

Man braucht 1,083 € um sich den Gegenwert von 1 $ kaufen zu können → Kaufkraft der Währung. Offizieller Wechselkurs = Marktpreis von Währungen, spiegelt aber nicht wieder, wie viel das wirklich in dem Land der anderen Währung wert ist


Wechselkurse bilden sich auf Devisenmärkten und sagen nichts darüber aus, wie viel man sich damit vor Ort jeweils kaufen könnte. Das ist aber entscheidend für z.B. Wohlfahrtsvergleiche.

3

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Basisjahr 1986 120 123,9 126,6 121,1 127,1 122,1 - - - -

Basisjahr 1999 - - - - - 100 87,3 111,3 98,4 102,2

Fortführung (BJ:1986)

120,0 123,9 126,6 121,1 127,1 122,1 106,59 135,89 120,15 124,79

Rückrechnung (BJ:1999)

98,28 101,47 103,69 99,18 104,09 100,0 87,3 111,3 98,4 102,2

4

Bei einer Hochrechnung soll für jede Mikroeinheit (hier: für jeden Haushalt, dargestellt in jeweils einer Spalte der S-Matrix) ein Gewichtungsfaktor gefunden werden. Für alle Berechnungen wird das jeweilige Merkmal mit dem Gewicht multipliziert. Dies können Werte - aus der S-Matrix sein (Z.B. kann in der S-Matrix für einen Haushalt 1

Kind eingetragen sein – dieses steht bei einem Gewichtungsfaktor von 5,3 dann für 5,3 Kinder, ‚diesen Typs’)

- oder auch Werte, die bislang nicht in der S-Matrix vorkommen und nicht zur Hochrechnung verwendet wurden (Z.B. würde bei einem Einkommensvergleich das Einkommen dieses Haushalts mit 5,3 gewichtet werden).

Die Gewichte werden von einem Computerprogramm gewählt, so dass gewünschte Rahmendaten erreicht werden. Bsp: Bei einer Befragung könnte eine Frauenquote von 65% in der Stichprobe vorliegen. Da man aber weiß, dass der Frauenanteil in der Gesamtbevölkerung nur bei 52% liegt, wäre das ungewichtete Ergebnis verzerrt. Daher erfolgt die Berechung von Gewichten, um dies zu korrigieren.

Beispiel für eine Matrix, wie in Aufgabe 4 gefordert:

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 1 0

0 0 1 0 0 0

1 1 0 0 2 2

0

S = 1 1 1 1 0

1 0 1 0 0 2

0 0 1 1 0 0

0 0 3 0 0 0


Aufgabenblatt 6: Zeitreihen- und Querschnittsanalyse

1 Als Mitarbeiter in dem Stahlunternehmen HEAVY METAL gelangen Sie

zufällig an Informationen über die Gewinnsituation eines Konkurrenten und untersuchen diese neugierig.

Quartal

Y

Quartal

Y

I/02 5.500 III/03 10.858 II/02 6.960 IV/03 6.396 III/02 9.430 I/04 7.982 IV/02 4.846 II/04 8.203 I/03 6.525 III/04 10.536 II/03 7.867 IV/04 7.993

Beurteilen und interpretieren Sie die Gewinnsituation des Konkurrenten anhand der folgenden Instrumente

a) Bestimmen Sie die glatte Komponente mit Hilfe der Methode der

gleitenden Durchschnitte (beachten Sie die Quartalseinteilung). b) Bereinigen Sie die Zeitreihe ausgehend von einer konstanten Saisonfigur

um den saisonalen Einfluss.

2 Die Kosten Ihrer Rechtsabteilung werden von Jahr zu Jahr höher. Treffen Sie eine Prognose für die Höhe der Kosten für das Jahr 2007 mit Hilfe der exponentiellen Glättung 2. Ordnung. Für den Glättungsfaktor a gelte: a = 0,4.

Jahr Kosten in Mio 1999 8,6 2000 9,1 2001 9,2 2002 10,4 2003 11,3 2004 12,9

3 Traditionell rodeln die Lüneburger jedes Jahr am 1. Januar den Kalkberg hinab. Der Gewinner darf dann (als Zuschauer) die deutschen Rodelmeisterschaften besuchen.

Obwohl es sich bei dem Turnier um ein Freizeitsportereignis handelt, strengen sich die Lüneburger sehr an. Seit 2001 werden nun auch die Jahresbestzeiten dokumentiert. Es ist zu beobachten, dass sich die Zeiten jährlich verbessern.


Jahr Zeit(in Minuten) 2001 2:59,22 2002 2:38,44 2003 2:23,33 2004 2:19,99 2005 2:16,38

a) Sie möchten in den nächsten Jahren in diesen Sport einsteigen und

interessieren sich deshalb für die zukünftige Entwicklung der Zeiten, um ihr Trainingsprogramm darauf abzustimmen. Berechnen Sie die lineare Trendfunktion der Zeitreihe nach der Methode der kleinsten Quadrate.

b) Ein Insider und mehrfacher Gewinner dieses Events will mit ihnen wetten, dass die Bestzeit im Jahr 2008 unter 2 Minuten liegt. Wetten sie dagegen?

Lösungshinweise:

1a) y’III/02 = 1

4 (0,5 . 5.500+ 6.960 + 9.430 + 4.846 + 0,5 . 6525)

2) a = 0,4; (1-a) = 0,6 y’t = a . yt + (1-a) . y’ t-1; y’’ t = a . y’’ t + (1-a) . y’’ t-1

3a) Zuerst Umrechnung in Sekundenangaben. b’0 = 151,47 b’1 = -10,41

3b) tx = 6,02~7(da nur volle Jahre zählen)=2007


Lösungen zu Aufgabenblatt 6: Zeitreihen- und Querschnittsanalyse

1 a) 1.Schritt 2002 2003 2004 4-Ø 4-Ø 4-Ø Quartal ty 'ty ty 'ty ty 'ty

I 5.500 - 6.525 7.345,5 7.982 8.319,5 II 6.960 - 7.867 7.717,75 8.203 8.478,875 III 9.430 6.812,125 10.858 8.093,625 10.536 - IV 4.846 7.053,625 6.396 8.317,75 7.993 -

Hinweis zur Berechnung: 1

2 2

1

1' (0,5 0,5

4

t

t t t

t

y y y yτ

τ+

− +

= −

= + +∑ )

b)

2.Schritt mj Quartal j I II III IV 1 * 't ty y y= − -820,5 149,25 2.617,875 -2.207,625 2 * 't ty y y= − -337,5 -275,875 2.764,375 -1.921,75

3.Schritt jS~

∑=

−=2

1

,, )'(2

1

i

jiji yy -579 -63,3125 2.691,125 -2.064,688

4.Schritt jS 1

1

4j j

j

S Sλ

=

= − ∑ɶ ɶ -575,031 -59,3435 2.695,094 -2060,719

, ,

1

1( ' )

j

j i j i j

j i

mS y y

m =

= −∑ɶ

4

1 1

1 1ˆ ( 3,969)4

j j j j j j

j j

S S S S S Sλ

λ− −

= =

= = = − −∑ ∑ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ

5. Schritt Saisonbereinigte Zeitreihe t j

ˆy S−

Quartal 2002 2003 2004 y

t jˆy S− y

t jˆy S− y

t jˆy S−

I 5.500 6.075,031 6.525 7.100,031 7.982 8.557,031 II 6.960 7.019,3435 7.867 7.926,3435 8.203 8.262,3435 III 9.430 6.734,906 10.858 8.162,906 10.536 7.840,906 IV 4.846 6.906,719 6.396 8456,719 7.993 10.053,719

2


y y’ y’’ 1999 1 8,6 8,60 8,60 2000 2 9,1 8,80 8,68 2001 3 9,2 8,96 8,79 2002 4 10,4 9,54 9,09 2003 5 11,3 10,24 9,55 2004 6 12,9 11,30 10,25

Ziel : Berechnung von tα und tβ

ˆt r t ty rα β+ = + ⋅ a 0, 4= 1. 1' (1 ) 't t ty a y a y −= ⋅ + −

2. 1'' ' (1 ) ''t t ty a y a y −= ⋅ + − Prognoseansatz :

' ''

1

t t

t

y ya

aβ

−= ⋅

− 2 ' ''t t ty yα = ⋅ −

6 66

y '- y ''0, 4 0, 7

0, 6β == ⋅ 6 6 6

2 ' '' 12,35y yα = ⋅ − =

6 r

6 3

y 12,35 0, 7 r

y 12,35 0, 7 3 14, 45+

+

= + ⋅= + ⋅ =

3 a)

Jahr

ti iy i iy t⋅ ²it

3

( )i i

mit t

t t t

=

′ = −

²it ′ i it y′ ⋅

2001 1 2:59,22 179,22 179,22 1 -2 4 -358,44 2002 2 2:38,44 158,44 316,88 4 -1 1 -158,44 2003 3 2:23,33 143,33 429,99 9 0 0 0 2004 4 2:19,99 139,99 559,96 16 1 1 139,99 2005 5 2:16,38 136,38 681,9 25 2 4 272,76 ∑ 15 757,36 2167,95 55 10 -104,1


ohne Transformation

0 1b y b t⋅= −

i i

i

1

ii

112167,95 151, 47 3y t y t

433,59 454, 415nb 10, 411 1 2t ² t² 55 3²n 5

⋅ − ⋅⋅ − ⋅ −= = = = −− ⋅ −

∑

∑

1

757,36 151, 4725

y = ⋅ =

1

15 35

t = ⋅ =

1

i ii

ii

11 2167,95 151,47 3y t y t 433,59 454,415nb 10,411 1 2t ² t² 55 3²n 5

⋅ − ⋅⋅ − ⋅ −= = = = −− ⋅ −

∑

∑

0 1

151, 47 ( 10, 41) 3 182, 7b y b t⋅= − = − − ⋅ =

ˆ 182, 7 ( 10, 41)y t= + − ⋅

mit Transformation

0 1

weil t ungerade (5 Jahre)

ˆRegressionsfunktion ist dann ist dann

: 0

i i

i

i

t t t

y b b t

Ansatz t

′ = −

′ ′ ′= + ⋅

′ =∑

0 ' 151, 47b y= =

1

' 104,1' 10, 41

( ')² 10

i ii

ii

y tb

t

⋅ −= = =∑∑

Rücktransformation für n = 5 ist ungerade

0 0 1

1 1

151, 47 ( 10, 41) 3 182,7

10, 41

b b b t

b b

′ ′= − ⋅ = + − ⋅ =

′= =

ˆ 182, 7 ( 10, 41)y t= + − ⋅

Interpretation: Man startet im Modell mit einer Zeit von 3Min. 2,7 Sek. Im Jahr 2000 ( 0t ) und jedes Jahr sinkt die Bestzeit um 10,41 Sek.


b) ˆ 182, 7 ( 10, 41)y t= + − ⋅

120 182, 7 10, 41

62, 7 10, 41

6, 023

t

t

t

= − ⋅

− = − ⋅

=

In t = 7 wird zum ersten Mal eine Bestzeit von unter 2 Min. erreicht.

Dieses ist im Jahr 2007. Man sollte die Wette also nicht annehmen, da die Bestzeit ein Jahr

später auf jeden Fall unter 2 Minuten liegt.


B Klausuren mit Lösungen

Univ.-Prof. Dr. Joachim Merz

Statistik I – Deskription Klausur zum Wintersemester 2005 / 2006

25.1.2006

Aufgabe 1: Allgemeines, Wirtschafts- und Sozialstatistik 15 P.

a) ⌦ Bei welcher/ welchen der folgenden Aussagen wurde die Einordnung in das

Erwerbskonzept richtig vorgenommen?

A: Mithelfende Haushaltsangehörige sind Erwerbspersonen.

B: Ein Mitarbeiter der OELGEMOELLER ENERGIE AG, dessen Arbeitsvertrag zum

31.3.06 ausläuft, ist ein Erwerbsloser.

C: Ein gemeldeter Arbeitsloser ist eine Erwerbsperson.

D: Ein selbständiger Wirtschaftsberater mit einem Nettoeinkommen von monatlich

339€ ist erwerbstätig.

b) ⌦ Welche der folgenden Aussagen ist/ sind richtig?

A: Das Adäquationsproblem beschreibt die Diskrepanz zwischen dem theoretischen

Begriff in der Fragestellung und dem statistischen Begriff in der empirischen

Auswertung.

B: Die Volkszählung erfasst alle im Inland lebenden Personen. C: Ein Geschlechterverhältnis 1,05

FrauenGV

Männer= = besagt, dass es 5 % mehr Frauen als

Männer gibt.

D: Das Bundesland Berlin (3,4 Mio. Einwohner) hat eine geringere

Bevölkerungsdichte als Niedersachsen (8,0 Mio. Einwohner).

c) ⌦ Welche der folgenden Aussagen ist/ sind richtig?

A: Der Nettoproduktionswert entspricht dem Bruttoproduktionswert ohne

Vorleistungen.

B: Die Produktivität misst das Produktionsergebnis (Output) im Verhältnis zum Mitteleinsatz (Input).

C: Im tertiären Sektor sind in Deutschland mit ca. 12% im Gegensatz zum primären

(ca. 67%) und sekundären Sektor (ca. 21%) nur wenige Personen beschäftigt.

D: Ein Preisindex beantwortet die Frage, in welchem Maße Änderungen des Preises

für den Wert einer Gütergesamtheit verantwortlich sind.


d) ⌦ Welche der folgenden Aussagen ist/ sind richtig?

A: Der Abteilungscode für Mitarbeiter in der Personaldatei (1=Einkauf, 2=Verkauf,

3=Marketing …) ist metrisch skaliert.

B: Die Anzahl der befragten Personen in einer Periode entspricht einer

Absolutskala.

C: Die „Energieeffizienzklasse D“ eines wasserdichten Toasters wird nominal

gemessen.

D: Die Personenkennziffer im Sozioökonomischen Panel (SOEP) ist nominal

skaliert.

e) ⌦ Welche der folgenden Aussagen ist/ sind richtig?

A: Das arithmetische Mittel kann als Lageparameter für ordinalskalierte Merkmale

herangezogen werden.

B: Für die Aussage „Die Waschkraft ist 3 mal größer als bei einem herkömmlichen

Waschmittel“ ist mindestens eine Verhältnisskala nötig.

C: Falls für vergebene ‚Beliebtheitspunkte’ ein konstanter Wertabstand gilt, handelt

es sich hierbei um eine Ordinalskala.

D: Der Gini-Koeffizient setzt mindestens ein ordinales Skalenniveau voraus.

Aufgabe 2: Eindimensionale Häufigkeitsverteilung 18 P.

Sie untersuchen für die Marktforschungsabteilung der OELGEMOELLER ENERGIE AG die

maximale Zahlungsbereitschaft für Ökostrom aus Solar- und Windkraftanlagen.

Folgende Verteilung wurde ermittelt:

20

40

100

60

10

0

20

40

60

80

100

120

Anz

ahl

Beo

bach

tung

en

15 bis<17,5

17,5 bis<18,5

18,5 bis<19,5

19,5 bis<21

21 bis<24

Zahlungsbereitschaft prokWh Ökostrom [Eurocent]


a) ⌦ Das arithmetische Mittel für diese Verteilung beträgt:

A: 19,065 cent B: 18,39 cent C: 19,2 cent D: 20,140 cent

b) ⌦ Die Standardabweichung dieser Verteilung beträgt:

A: 3,122 cent B: 1,767 cent C: 1,329 cent D: 18,903 cent

c) Erstellen Sie ein Box-and-Whisker-Diagramm für die vorliegenden Daten.

Berechnen Sie hierfür zunächst alle notwendigen Parameter und beschriften Sie

Ihren Plot mit diesen.

d) Berechnen Sie die Schiefe für die Verteilung der Zahlungsbereitschaft. Im Vorjahr

betrug die Schiefe m3=-0,52. Welche Schlüsse können Sie aus dem vergleich der

aktuellen Schiefe mit der des Vorjahres ziehen?


A: Ein p-Quantil ist die relative Häufigkeit eines bestimmten Merkmals.

B: Das harmonische Mittel wird zur Mittelung von Wachstumsraten herangezogen.

C: Zwischen x0,25 und x0,75 liegen 50% aller Merkmalsträger.

D: Bei einer symmetrischen Verteilung sind Modus und Median gleich groß.

Aufgabe 3: Konzentration 18 P.

Sie möchten die Informationen über die Zahlungsbereitschaft für Ökostrom der

OELGEMOELLER ENERGIE AG (Siehe Aufgabe 2) hinsichtlich der Verteilung und

Konzentration genauer analysieren.

a) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion der Stromkunden sowie die kumulierte

relative Merkmalssumme für die Zahlungsbereitschaft und stellen Sie Ihre

Ergebnisse in einer passenden Grafik dar.

b) Berechnen Sie den Gini-Koeffizienten für die Verteilung der Zahlungsbereitschaft.

Welche Aussagen können Sie aufgrund Ihres Ergebnisses machen?

c) ⌦ Welchen Wert könnte der Gini-Koeffizient maximal annehmen, wenn bei der

vorliegenden Stichprobe die Konzentration immer weiter zunehmen würde?

A: 0,500 B: 0,824 C: 0,996 D: 1,000


A: Die Lorenzkurve kann niemals über der Gleichverteilungsgeraden liegen.

B: Zwei Lorenzkurven verschiedener Verteilungen lassen sich nur vergleichen,

wenn sich diese nicht schneiden.

C: Der Gini-Koeffizient ist die Fläche unterhalb der Lorenzkurve.


D: Das erste Dezil ist betragsmäßig immer kleiner (oder höchstens gleich groß) als

das letzte Dezil.

Aufgabe 4: Zweidimensionale Häufigkeiten und Korrelation 20 P.

In einer weiteren Umfrage unter den Kunden der OELGEMOELLER ENERGIE AG über die

Zahlungsbereitschaft für Ökostrom haben Sie Einzeldaten erhoben. Ihnen liegen

Informationen über die Zahlungsbereitschaft und über zusätzliche soziodemografische

Merkmale vor:

Zahlungs-bereitschaft [Eurocent]

Monatliches Netto-

einkommen [€]

Kinder im Haushalt

Alter Wohngegend

15,5 1.400 Nein 35 Ländlich

21,0 2.500 Ja 48 Kleinstadt

20,0 2.600 Ja 42 Stadt

19,5 2.100 Nein 39 Ländlich

16,5 1.200 Ja 32 Ländlich

17,5 1.600 Ja 24 Stadt

17,0 1.100 Nein 21 Stadt

21,5 2.000 Nein 50 Kleinstadt

16,0 2.000 Nein 32 Stadt

a) Erstellen Sie auf Grundlage des Datenmaterials eine Kreuztabelle, die die Verteilung

der absoluten Häufigkeiten der Stromkunden zwischen Altersgruppen („Personen

bis 40 Jahren“ und „Personen über 40 Jahren“) und dem Wohnort darstellt.

Berechnen Sie hierfür die Randverteilungen.

b) Berechnen und interpretieren Sie die Werte h(Stadt, alt), h(Stadt | jung) und h(alt).


A: Die Korrelation zwischen Alter und Zahlungsbereitschaft ist mit dem Bravais-

Pearson Korrelationskoeffizienten zu berechnen.

B: Im Gegensatz zur quadratischen Kontingenz (χ²) kann der normierte

Kontingenzkoeffizient K* die Richtung eines Zusammenhangs bestimmen.

C: Der Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient ist grundsätzlich höher als der

Spearman’sche Rangkorrelationskoeffizient.

D: Der Zusammenhang zwischen der Wohngegend und der Zahlungsbereitschaft

kann mit dem Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman berechnet werden.


d) Berechnen und interpretieren Sie auf der Grundlage des gegebenen Datenmaterials

ein geeignetes Korrelationsmaß für die Zahlungsbereitschaft und das Einkommen

der befragten Kunden.

Aufgabe 5: Regression 21 P.

Führen Sie auf der Basis der Daten aus Aufgabe 4 eine Regression mit der Methode der

kleinsten Quadrate durch, um eine Aussage darüber machen zu können, inwieweit die

Zahlungsbereitschaft für Ökostrom von dem Alter der Kunden der OELGEMOELLER

ENERGIE AG abhängt. Verwenden Sie hierfür die Matrixrechnung, um folgende

Teilaufgaben beantworten zu können:

a) ⌦ Welche Aussage über X’X ist richtig?

A:

⋅= 4102379,1323

3239' XX B:

=

3239

12379323' XX

C:

=

25,30475,164

5,1649' XX D:

=

25,30475,164

5,1649' XX

b) ⌦ Welche Aussage(n) kann/ können auf der Grundlage von X’X und X’y im

vorliegenden Fall gemacht werden?

A: Insgesamt würden alle Kunden der Stichprobe zusammen 12.379 Euro im Jahr

für Strom ausgeben.

B: Sie Summe der quadrierten Zahlungsbereitschaften beläuft sich auf 3047,25.

C: Das durchschnittliche Alter kann man berechnen aus (X’X)1,2 : (X’X) 1,1

D: Die durchschnittliche Zahlungsbereitschaft berechnet sich aus (X’y)1 : (X’X) 1,1

c) ⌦ Welches ist die Inverse von X’X zur Berechnung der Regressionsgeraden?

A:

−−

025,0451,0

451,0349,8 B:

−−

0013,0046,0

046,0748,1

C:

−−⋅ −

784,1046,0

046,010271,1 3

D:

−−⋅ −

0025,0451,0

451,010349,8 3



A: xy ⋅+= 093,024,20ˆ

B: Mit jedem zusätzlichen Euro Netto-Monatseinkommen steigt die

Zahlungsbereitschaft um ca. 0,0018 €.

C: Bei einem 35-jährigen Kunden wird die Zahlungsbereitschaft auf ca. 18 Eurocent

geschätzt .

D: Bei einem ca. 12-jährigen (genauer: 11,926-jährigen) beträgt die

Zahlungsbereitschaft 0 Euro.

Für die folgenden Teilaufgaben wurde die Regressionsanalyse auf weitere Merkmale

und zusätzliche Beobachtungen ausgeweitet und mit Hilfe des Computerprogramms ET

(Econometric Toolkit) ausgewertet. Neben der Zahlungsbereitschaft für Ökostrom [ZB;

in Euro pro kWh] als abhängige Größe sind die Variablen Alter [ALTER; in Jahren],

Geschlecht [MANN; 1=Mann, 0=Frau] und Wohnort [STADT; 1=Stadt, 0=Land] sowie

das monatliche Bruttoeinkommen [EINKOMM; in Euro] als erklärende Größen in das

Modell aufgenommen worden.

Ordinary Least Squares --------------------------------------------------- --------------------------- Dependent Variable ZB Number of O bservations 15 Mean of Dep. Variable 19.000 Std. Dev. o f Dep. Var. 2.236068 Std. Error of Regr. .4754 Sum of Squa red Residuals 2.26089 R - squared .96770 Adjusted R - squared .95478 F( 4, 10) 74.900 Prob. Value for F .00000 --------------------------------------------------- --------------------------- Variable Coefficient Std. Error t-ratio Prob•t•> x Mean of X Std.Dev.of X --------------------------------------------------- --------------------------- Constant 21.2215 2.1952 9.667 .0000 0 ALTER -.184211 .4289E-01 -4.294 .0016 30.866667 2.23607 MANN .785619E-01 .2566 .306 .7657 .60000000 .50709 STADT .183516 .2740 .670 .5182 .53333333 .51640 EINKOMM .183056e-02 .5424E-03 3.375 .0071 1813.3333 551.44831


A: Die Regressionsebene beschreibt die Punktwolke recht gut, da über 96% der

Varianzen erklärt werden können.

B: Das „adjustet R-squared“ ist immer kleiner als das unkorrigierte „R-squared“.

C: Grundlage dieser Regressionsschätzung ist eine Stichprobe mit n=15.

D: „Sum of Squared Residuals“ besagt, dass sich alle quadrierten Abweichungen

zwischen beobachteten und geschätzten Zahlungsbereitschaften auf 2,26

Eurocent² aufsummieren.


f) ⌦ Welche der folgenden Aussagen ist/ sind richtig?

A: Wären alle unabhängigen Variablen der Regressionsgleichung Null, so läge rein

rechnerisch die Zahlungsbereitschaft bei 21,2 Eurocent pro kWh Ökostrom.

B: Sinkt das Alter eines Stromkunden um gerundet 0,18 Jahre, so steigt die

Zahlungsbereitschaft um 1 Eurocent.

C: Ein Mann ist bereit 0,0786 Eurocent mehr pro kWh zu bezahlen als eine Frau.

D: Eine 30-jährige, in einer Stadt lebende Frau mit einem Monatseinkommen von

2.000 Euro wäre nach dieser Schätzung bereit ca. 19,5 Eurocent pro kWh

Ökostrom zu bezahlen.

g) ⌦ Welche der folgenden Aussagen ist/ sind richtig?

A: Das Monatseinkommen in der Stichprobe betrug durchschnittlich 1813 €.

B: In der Stichprobe betrug der Anteil der Stadtbevölkerung 51,6%.

C: Bezüglich des Wohnortes und des Geschlechts kann keine sichere Aussage

gemacht werden, da dieser Koeffizient nicht signifikant ist. Hierfür muss nach

der ‚Daumenregel’ der t-Wert betragsmäßig über 3 liegen.

D: Die durchschnittliche Zahlungsbereitschaft in der Stichprobe lag bei 21,2215

(siehe „Constant“) Eurocent pro kWh.

Aufgabe 6: Indizes und Hochrechnung 15 P.

Die OELGEMOELLER ENERGIE AG hat Ihnen die Absatzzahlen der letzten Jahre für die

erfolgreiche Ökostromsparte und die neue Produktlinie „Erdgas“ zur Verfügung gestellt

und bittet nun um eine Analyse der Daten.

Jahr 2000 2001 2002 2003 2004 Absatz Ökostrom [Mio. kWh]

350 380 390 435 450

Verkaufspreis Ökostrom [Eurocent / kWh]

22,3 21,2 21,1 20,9 20,8

Absatz Erdgas [Mio. kWh]

3,6 5,2 7,5 10,6 21,0

Verkaufspreis Erdgas [Eurocent / kWh]

18,5 18,3 18,5 19,0 19,3

Verbraucherpreisindex des statistischen Bundesamtes [%]

100,0 102,0 103,4 104,5 106,2

a) Fertigen Sie auf der Grundlage der oben stehenden Daten eine Tabelle an, die

folgende Zeilen enthält. Interpretieren Sie jeweils Ihr Ergebnis:

• Index für den Verkaufspreis von Ökostrom (Basisjahr = 2000)

• Preisbereinigung des o.g. Indexes.

b) Berechnen und interpretieren Sie ausgehend von den beiden Gütern den Preisindex

nach Laspeyres für das Jahr 2004. Wählen Sie als Basisperiode das Jahr 2000.


c) Berechnen und interpretieren Sie ausgehend von den beiden Gütern den

Mengenindex nach Paasche für das Jahr 2004. Wählen Sie als Basisperiode das Jahr

2000.

d) ⌦ Ausgehend vom Jahr 2004 hätte die gleiche Menge Erdgas zum

Endverbraucherpreis in den USA 4,46 Mio. US$ gekostet. Welche der folgenden

Aussagen trifft auf die Verbrauchergeldparität VGD,US zu?

A: VGD,US = 1,20 $/€

B: VGD,US = 0,83 $/€

C: VGD,US = 1,10 $/€

D: Keine der oben genannten.

Aufgabe 7: Zeitreihenanalyse 13 P.

Die OELGEMOELLER ENERGIE AG beliefert die PICKENPACK-GEDÄCHTNISUNIVERSITÄT in

Uelzen mit Erdgas. Folgender Tabelle können Sie die Absatzmengen der letzten

Semester entnehmen:

Quartal Winter 03

Sommer 03

Winter 04

Sommer 04

Winter 05

Sommer 05

Erdgaslieferung [1.000 kWh]

65,2 31,0 60,1 30,2 58,6 29,3

Führen Sie eine Saisonbereinigung dieser Zahlen durch. Bestimmen Sie hierfür zunächst

die Glatte Komponente mit Hilfe der Methode der exponentiellen Glättung 1. Ordnung

und einem Glättungsfaktor von 0,2. Unterstellen Sie aus Mangel an Daten für y’Sommer 02

= 48,1. Berechnen Sie die Saisonindexziffer mit einer konstanten Saisonfigur.


Lösung der Klausur WS 05/06

Aufgabe 1: Allgemeines, Wirtschafts- und Sozialstatistik a) A: richtig

B: falsch C: richtig D: richtig

b) A: richtig

B: richtig C: richtig D: falsch

c) A: richtig (S.64)

B: richtig (S.69) C: falsch (S.70) D: richtig (S.94)

d) A: falsch (S.23)

B: richtig (S.23) C: falsch (S.23) D: richtig

e) A: falsch

B: richtig C: falsch D: falsch

Aufgabe 2: Ordinale Häufigkeitsskala a) 16, 25 0, 087 18 0,174 19 0, 435 20, 25 0, 261 22, 5 0,043 19, 065⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = b)

*

i is s x h - x ²

s 264, 06 0, 087 324 0,174 361 0, 435 0, 261 506, 25 0, 043 19,065² 1,31

² == ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ − =

∑

c) 0,25

0, 25 0, 08696x 17,5 1 18, 4375

0,1739

−= ⋅ ⋅ =

0,50

0,5 0, 26087x 18,5 1 19, 05

0, 434

−= ⋅ ⋅ =

0,75

0, 75 0, 69565x 19,5 1,5 19,8125

0, 2609

−= ⋅ ⋅ =

16,34 18,437 19,05 19,81 21,87 (Zusatzinfo: 1,5 Boxbreite 1,5 1,375 2,06⋅ = ⋅ = )


d) ( ) 3*

i i3

1m x x n

n⋅ − ⋅= ∑

( ) ( )3 3

3

1 1m 16,25 19,065 20 18 19,065 40 ... 10,4 0,045

230 230= ⋅ − ⋅ + − ⋅ + = ⋅ =

0, 045 0,52> − jetzt linkssteil, früher rechssteil e) A: falsch

B: falsch C: richtig D: richtig

Aufgabe 3: Konzentration a)

x∆ *x n h ( )F x *x n⋅ *x n

n x

⋅

⋅

( )MS x

1 2,5 16,25 20 0,087 0,087 325 0,0741 0,0741 2 1 18 40 0,174 0,261 720 0,1642 0,2383 3 1 19 100 0,435 0,696 1.900 0,4333 0,6716 4 1,5 20,25 60 0,261 0,957 1.215 0,2771 0,9487 5 3 22,5 10 0,043 1 225 0,0513 1 230 1 4.385

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Lorenzkurve

Gleichverteilung

b) ( ) ( )*

i 1 i

x nG F x F x 1

n x−

⋅= + ⋅ −

⋅

∑

( ) ( )[ ]G 0 0, 087 0, 0741 0, 087 0, 261 0,1642 ... 1 0, 0367= + ⋅ + + ⋅ + − =

Der Gini ist nahe 0 und daher ist die Verteilung ziemlich eng an der Gleichverteilung

c) C


d) A: richtig B: richtig C: falsch D: richtig

Aufgabe 4: Zweidimensionale Häufigkeiten und Korrelation

a) X = Alter der Personen Y = Wohnort

Ländlich Kleinstadt Stadt ≤ 40 Jahre 3 0 3 6 > 40 Jahre 0 2 1 3

3 2 4 9

b) h(Stadt, alt) = 1

0,119

= aller Befragten sind > 40 und leben in der Stadt.

h(Stadt | jung) = 3

0,56

= der jungen Leute leben in einer Stadt

h(alt) = 3

0,339

= sind über 40 Jahre alt.

c) A: richtig B: falsch C: falsch D: richtig

d) Beide metrisch skaliert – Bravais-Pearson

785,19

0,7251082,41

r = =

18,278x = 2,12xs =

1833,33y = 509,9ys =

785,19

0,7251082,41

r = =

Aufgabe 5: Regression

a)

1 35

1 481 1 1 ... 1 9 323

X ' X 1 4235 48 42 32 323 12.379

...

1 32

= =


b) A: falsch B: richtig C: richtig D: richtig

c)

1

1

A

12.379 -3231A

-323 9A

111.411 104.329 7082

12.379 -323 1, 748 -0,0461A

-323 9 -0,046 0,00167082

−

−

= ⋅

= − =

= ⋅ =

d) A: falsch B: richtig C: richtig D: falsch e) A: richtig B: richtig C: richtig D: richtig f) A: richtig B: falsch C: richtig D: richtig g) A: richtig B: falsch C: richtig D: falsch

Aufgabe 6: Indizes und Hochrechnung a)

2000 2001 2002 2003 2004

Index 100 95,07 94,62 93,72 93,27 Preisbereinigt 100 93,21 91,51 89,68 87,82

- realer Index fällt - preisbereinigter Indes fällt nur von 2000 auf 2001, danach steigt er

b) ( )i i

t 0

i

i i

0 0

i

L00,04I

p q20,8 350 19,3 3, 6 7.349, 48

p 0,933722,3 350 18,5 3, 6 7.871, 6p q

⋅⋅ + ⋅

= = = =⋅ + ⋅⋅

∑

∑

Warenkorb von „damals“ ist mit heutigen Preisen nur 93 % wert.


c) ( )i i

t t

i

i i

t 0

i

P00,04I

p q20,8 450 19,3 21 9.765,3

q 1,32920,8 350 19,3 3, 6 7.349, 48p q

⋅⋅ + ⋅

= = = =⋅ + ⋅⋅

∑

∑

Die Menge ist – bewertet mit heutigen Preisen – um fast 33 % im Vergleich zu 2000 gestiegen.

d) D,USVG4, 46$ $

1,104, 053€ €

= =

Aufgabe 7: Zeitreihenanalyse

a = 0,2 ( )t t t 1

y ' a y 1 a y '−= ⋅ + − ⋅

2003 2004 2005 ty

ty ' ty

ty ' ty

ty '

W 65,2 51,52 60,1 49,953 58,6 48,52192 S 31 47.416 30,2 46,002 29,3 44,6775

y* y y '= − y * y *

W 13,68 10,147 10,07808 S -16,416 -15,8024 -15,3775

( )W

1S 11,3 13, 68 10,147 10, 07808

3= → ⋅ + +ɶ

( )S

1S 15,87 16, 416 15,8024 15,3775

3= − → ⋅ − − −ɶ

S S 2, 285= +ɶ

S 11,3 2, 285 13,585= + =

S 15,87 2, 285 13,585= − + = − 2003 2004 2005

W 51,615 46,515 45,015 S 44,585 43,785 42,885


Univ.-Prof. Dr. Joachim Merz

Statistik I – Deskription Klausur zum Wintersemester 2004 / 2005

16. Februar 2005

Aufgabe 1: Allgemeines, Wirtschafts- und Sozialstatistik 12 P.

a) ⌦ Welche der folgenden Aussagen ist/ sind richtig?

A: Das BIP in Deutschland im Jahr 2004 lag bei 2178 Milliarden €. B: Das BIP in Deutschland im Jahr 2004 lag bei 2178 Billionen €.

C: Das BIP gibt an, wie viel Einkommen im Inland erwirtschaftet wurde. D: Das BIP gibt an, wie viel Einkommen von ‚Inländern’ erwirtschaftet wurde.

b) ⌦ Welche der folgenden Aussagen ist/ sind richtig?

A: Die Telefonnummer ist verhältnisskaliert.

B: Die Note in dieser Statistik-Klausur ist ordinal skaliert.

C: Die Anzahl der Klausuren je Semester ist absolut skaliert. D: Das Nettoeinkommen ist absolut skaliert.


A: Je kleiner die allgemeine Fertilitätsrate, desto größer ist die allgemeine

Bevölkerungsdichte.

B: Eine Nettoreproduktionsrate, die kleiner als Eins ist, führt zum Schrumpfen der Bevölkerung. C: Die Fertilitätsrate entspricht der durchschnittlichen Kinderanzahl einer Frau.

D: Liegt das Geschlechterverhältnis bei 962, so gibt es 3,8 Prozent mehr Männer

als Frauen.


A: Ein Zivildienstleistender gehört zur Gruppe der Nichterwerbspersonen.

B: Ein selbständiger Wirtschaftsberater mit einem Nettoeinkommen von monatlich 339€ ist erwerbstätig. C: Ein Wehrdienstleistender im Auslandseinsatz ist eine Erwerbsperson. D: Ein Arbeitsloser gehört zur Gruppe der Nichterwerbspersonen.


Aufgabe 2: Eindimensionale Häufigkeitsverteilung 24 P.

Als Marketingchef der Deutschen Eisenbahn führen Sie eine Umfrage zur

Kundenzufriedenheit unter zehn zufällig ausgewählten Bahnkunden durch. Die

Befragung ergab folgenden Datensatz. (Beachten Sie bei der Beantwortung der

folgenden Fragen, dass das Jahresnettoeinkommen in 1.000€ angegeben ist!!!)

Person

ennum

mer

Jährliche

Ausgaben

für Bahnfahrten

(in €)

Jahresnettoein

kom-men (in

1.000 €)

Qualität des

Zugpersonals (1:

sehr gut/....../6: sehr

schlecht)

Wohnort

(1: Ost/0:

West)

1 900 15 1 1

2 600 20 3 0

3 2500 40 4 0

4 200 10 6 1

5 600 5 2 1

6 600 13 4 0

7 5000 17 3 0

8 2000 24 2 0

9 1500 22 4 0

10 100 14 2 1

a) ⌦ Das arithmetische Mittel des Jahresnettoeinkommens beträgt:

A: 180000€ B: 18000€ C: 17000€ D: 18€

b) ⌦ Die Standardabweichung des Jahresnettoeinkommens beträgt:

A: 82400000€ B: 9077,44€ C: 82,40€ D: 9,08€


A: Der Variationskoeffizient beinhaltet Informationen über die Schiefe einer

Verteilung.

B: Ist der Variationskoeffizient größer als 3, so spricht man von der Wölbung

einer Verteilung.

C: Der Variationskoeffizient dient dem Vergleich der Streuung zweier

Verteilungen.

D: Um den Variationskoeffizienten berechnen zu können, wird die

Quartilsabweichung benötigt.

d) Erstellen Sie ein Box-and-Whisker-Diagramm für die „jährlichen Ausgaben für

Bahnfahrten“ Berechnen Sie hierfür zunächst alle notwendigen Parameter und

beschriften Sie Ihren Plot mit diesen.


e) ⌦ Welche der folgenden Aussagen ist/sind richtig?

A: Die Verteilung aller Einkommen in Deutschland ist rechtssteil.

B: Die Verteilung aller Einkommen in Deutschland ist linkssteil.

C: 50% aller Merkmalswerte liegen unterhalb des Modus.

D: Der Median entspricht dem arithmetischen Mittel aus dem unteren und oberen

Quartil.

f) ⌦ Der Umsatz der Deutschen Eisenbahn nahm vom 2000 bis 2003 um jeweils

10 Prozent pro Jahr zu, von 2003 bis 2004 betrug die Wachstumsrate nur noch 5

Prozent. Wie groß ist die durchschnittliche Wachstumsrate des Umsatzes von

2000-2004?

A: 1,0875% B: 8,750% C: 7,471% D: 8,728%

g) ⌦ Welche der folgenden Aussagen ist/sind richtig?

A: Das dritte Moment ist ein Maß für die Schiefe.

B: Das dritte Moment ist ein Moment für die Wölbung.

C: Ist das vierte Moment negativ, so ist die Verteilung ‚gewölbter’ als die

Normalverteilung.

D: Ist das vierte Moment positiv, so ist die Verteilung flacher als die

Normalverteilung.

Aufgabe 3: Konzentration 17 P.

a) Berechnen Sie - ausgehend von der Datentabelle in Aufgabe 2 - die

Verteilungsfunktion der „jährlichen Ausgaben für Bahnfahrten“ sowie die

kumulierte relative Merkmalssumme und stellen Sie Ihre Ergebnisse in einer

passenden Grafik dar. Runden Sie gegebenenfalls auf 3 Dezimalstellen.

b) Berechnen und interpretieren Sie die 90/10-Relation für die „jährlichen

Ausgaben für Bahnfahrten“.

c) Berechnen Sie den Gini-Koeffizienten für die Verteilung der „jährlichen

Ausgaben für Bahnfahrten“. Welche Aussagen können Sie aufgrund Ihres

Ergebnisses machen?



A: Es gilt immer, dass F(x) MS(x)≥ .

B: Bei vollständiger Gleichverteilung ist der Ginikoeffizient gleich Eins.

C: Zwei Lorenzkurven verschiedener Verteilungen lassen sich nur vergleichen, wenn sich diese nicht schneiden.

D: Die 90/10-Relation ist immer größer als 9.

Aufgabe 4: Zweidimensionale Häufigkeiten und Korrelation 17 P.

a) Erstellen Sie auf Grundlage des Datenmaterials aus Aufgabe 2 eine Kreuztabelle,

die die absoluten Häufigkeiten der 10 Personen nach ihrem Wohnort (X) und

ihrer Bewertungsnote des Zugpersonals (Y:„Qualität des Zugpersonals“)

darstellt.

b) Berechnen und interpretieren Sie die Werte h(X=1, Y=2), h(X=1|Y=2),

h(Y=2|X=1) und F(X=0, Y=4).


A: Die Korrelation zwischen dem Wohnort und dem Jahresnettoeinkommen wird

mit dem Kontingenzkoeffizienten berechnet.

B: Der normierte Kontingenzkoeffizient gibt Auskunft über Richtung und Stärke

eines Zusammenhangs.

C: Ein sehr starker Zusammenhang zwischen zwei Variablen liegt vor, wenn der

Kontingenzkoeffizient gleich –1 ist

D: Ist der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman gleich Eins, so liegt ein

starker positiver Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen vor.

d) Berechnen und interpretieren Sie auf der Grundlage des Datenmaterials aus

Aufgabe 2 ein geeignetes Korrelationsmaß, um den Zusammenhang zwischen

dem „Jahresnettoeinkommen“ und den „jährlichen Ausgaben für Bahnfahrten“

zu bewerten.


Aufgabe 5: Regression 22 P.

Sie vermuten, dass die „jährlichen Ausgaben für Bahnfahrten (in €)“ (Y) zum einen vom

„Jahresnettoeinkommen (in 1000€)“ (X1) und zum anderen vom Wohnort (X2)

abhängen. Hierzu stehen Ihnen folgende Informationen zur Verfügung:

10 180 4

X 'X 180 4064 44

4 44 4

=

( ) 1

1,200 -0,046 -0,698

X 'X -0,046 0,002 0,023

-0,698 0,023 0,690

− =

a) Berechnen Sie X’y mit Hilfe der Angaben der Datentabelle aus Aufgabe 2.

b) Ermitteln Sie aufgrund der obigen Matrizen das durchschnittliche

Nettoeinkommen der Ostdeutschen. Wie kann man den Wert „4064“ in X’X

interpretieren?

c) Berechnen und interpretieren Sie die geschätzten Regressionskoeffizienten.

d) Ihre Tante arbeitet und wohnt seit drei Monaten in Dresden und verdient dort

1.500€ im Monat. Was erwarten Sie aufgrund der Regressionsergebnisse, wie

viele Euros Ihre Tante jährlich für Bahnfahrten ausgibt?

Es interessiert Sie nun, wie das Regressionsergebnis aussieht, wenn die „jährlichen

Ausgaben für Bahnfahrten (in €)“ (Y) nur noch vom „Jahresnettoeinkommen (in

1000€)“ (X) abhängen und nicht mehr vom Wohnort.

e) Ermitteln Sie X’X und die Inverse von X’X.

f) Was besagt das Bestimmtheitsmaß? Beurteilen Sie das Bestimmtheitsmaß der

Regression im unten dargestellten ET-Ausdruck.

Ordinary Least Squares ------------------------------------------------------------------------------ Dependent Variable AUSGABEN Number of Observations 10 Mean of Dep. Variable 1400 Std. Dev. of Dep. Var. 1484.737 Std. Error of Regr. 1429,177 Sum of Squared Residuals 16340376.2 R - squared 0.176 Adjusted R - squared .073 F( 1, 8) 1.713 Prob. Value for F .227 ------------------------------------------------------------------------------ Variable Coefficient Std. Error t-ratio Prob5t5>x Mean of X Std.Dev.of X ------------------------------------------------------------------------------ Constant 226.942 1003.689 0.226 0.827 EINK 65.170 49.788 1.309 0.227


Aufgabe 6: Indizes 12 P.

Die Verkaufszahlen in den Speisewagen der Deutschen Eisenbahn stagnieren. Sie erhalten den Auftrag, die Ursachen dafür eingehender zu analysieren. Hierzu stehen Ihnen folgende Daten zur Verfügung.


Jahr 2000 2001 2002 2003 2004

Preis in € (Schnitzel mit Brot) 2,90 3,30 4,00 4,10 4,20 Absatz in Mio. (Schnitzel mit Brot)

30 25 20 18 16

Preis in € (Tasse Kaffee) 1,00 1,10 1,50 1,60 2,00 Absatz in Mio. (Tasse Kaffee) 50 50 20 30 10

a) Erstellen Sie jeweils einen Index für die Absatzentwicklung von Kaffee und

‚Schnitzel mit Brot’ (Basisjahr = 2002)

b) Berechnen und interpretieren Sie ausgehend von den beiden Gütern den

Preisindex nach Laspeyres für das Jahr 2004. Wählen Sie als Basisperiode das

Jahr 2002.

c) Berechnen und interpretieren Sie ausgehend von den beiden Gütern den

Mengenindex nach Paasche für das Jahr 2004. Wählen Sie als Basisperiode das

Jahr 2002.

d) ⌦ Wie hoch war die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate des

Gesamtumsatzes aus beiden Gütern von 2000 bis 2004?

A: +91,3607%.

B: -8,6393%.

C: -36,3504%.

D: -10,6799%.

Aufgabe 7: Zeitreihenanalyse 16 P.

Ihnen liegen folgende Umsatzzahlen des Gesamtkonzerns vor:

Jahr 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Umsatz in Mio. € 840 950 1120 1250 1350 1450

a) Bestimmen Sie die lineare Trendfunktion der Zeitreihe nach der Methode der

kleinsten Quadrate. Prognostizieren Sie auf dieser Basis den Umsatz des Jahres

2012.

b) Führen Sie eine exponentielle Glättung 1. Ordnung des Datenmaterials durch. Für

den Glättungsfaktor a gelte a = 0,2. Gehen Sie davon aus, dass y’1998 = 840 Mio. €.

c) Berechnen Sie die Zykluskomponente für das Jahr 2003.


Lösung Klausur WS 04/05 1) Allgemeines, Wirtschafts- und Sozialstatistik a) richtig sind A,C b) richtig sind C,B c) richtig ist B d) richtig sind B,C 2) Eindimensionale Häufigkeitsverteilung

a) richtig ist B (18.000,- €)

1

1 n

ii

X Xn =

= ∑ = 1

(15 ...14)10

+ = 18 (in Tausend)

b) richtig ist B (9077,44 €)

2 2

1

1( )

n

ii

s s X Xn =

= = −∑ = 2 21((15 18) ... (14 18) )

10− + + −

c) richtig ist C

d) Box-and-whisker-plot für die „jährlichen Aufgaben für Bahnfahrten“

F ( 25 ) = 10 * 0,25 = 2,5 (X3 = 600, da 2,5 ungerader Wert) F ( 50 ) = 10 * 0,5 = 5 (½ X5 + ½ X6 = ½ (600 + 900) = 750) F ( 75 ) = 10 * 0,75 = 7,5 (X8 = 2000, da 7,5 ungerader Wert)

Die Whisker enden beim 1,5-fachen der Boxbreite, jedoch keine Werte < 0

e) richtig ist B

f) richtig ist D ( 8,728%) 1 2 ...nnGM x x x= ⋅ ⋅ ⋅ = 4 1,1 1,1 1,1 1,05⋅ ⋅ ⋅

g) richtig ist A


3) Konzentration a) Ungruppierte Daten (Einzeldaten liegen vor, ordnen)

i xi F(xi) rel. Mermalssum. MS(xi) 1 100 0,1 0,01 0,01 2 200 0,2 0,01 0,02 3 600 0,3 0,05 0,06 4 600 0,4 0,05 0,10 5 600 0,5 0,05 0,15 6 900 0,6 0,06 0,21 7 1.500 0,7 0,11 0,32 8 2.000 0,8 0,14 0,46 9 2.500 0,9 0,18 0,64 10 5.000 1,0 0,37 1,00

Summe 14.000 1,00 Die Lorenzkurve als Grafik zur Darstellung der Gleichverteilung

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

F(Xi)

MS

(Xi)

b) 90/10-Relation

Bei Einzeldaten (10): Oberstes Zehntel/ unterstes Zehntel = 5000 / 100 = 50

Die 10% der Fahrer, die am meisten für Bahnfahrten ausgeben, geben 50-mal soviel aus wie die 10% der Fahrer, die am wenigsten ausgeben.


c) Berechnung des Gini-Koeffizienten

Formel für ungruppierte Daten (Einzeldaten), xi geordnet:

1 1

1

2 ( 1)n n

i ii i

n

ii

X i n XG

n X

= =

=

⋅ − + ⋅=

⋅

∑ ∑

∑ n = 10

2 (1 100 2 200 ... 10 5.000) 11 (100 200 ... 5.000)

10 14.000G

⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ − ⋅ + + +=⋅

2 112.100 11 14.000

10 14.000

⋅ − ⋅=⋅

= 0,5014

G ist relativ groß, ungleiche Verteilung der Ausgaben d) richtig sind A,C 4) Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung und Korrelation a) Kreuztabelle der absoluten Häufigkeiten: Wohnort West (0) Wohnort Ost (1) Randverteilungen

Note 1 0 1 1 Note 2 1 2 3 Note 3 2 0 2 Note 4 3 0 3 Note 5 0 0 0 Note 6 0 1 1

Randverteilungen 6 4 10 b) h (X = 1, Y = 2) = 2/10 (20 % von allen wohnen im Osten und geben die Note 2)

h (X = 1/ Y = 2) = 2/3 (66,67 % der Leute, die die Note 2 geben, wohnen im Osten)

h (Y = 2/ X = 1) = 2/4 (50 % der Leute, die im Osten wohnen, geben die Note 2)


F (X = 0, Y = 4) = 60 % haben höchstens eine 4 (oder besser) gegeben und wohnen (höchstens) in Ostedeutschland

c) richtig sind A,D d) Berechnung eines geeigneten Korrelationsmaßes zwischen

„Jahresnettoeinkommen“ und den „jährlichen Ausgaben für Bahnfahrten“ Jahresnettoeinkommen (metrisch), Jährliche Ausgaben für Bahnfahrten

(metrisch). Bei zwei metrischen Merkmalen wird der „Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient“ verwendet. Hilfstabelle:

i xi yi xi*y i

1 900 15.000 13.500.000

2 600 20.000 12.000.000

3 2.500 40.000 100.000.000

4 200 10.000 2.000.000

5 600 50.000 3.000.000

6 600 13.000 7.800.000

7 5.000 17.000 85.000.000

8 2.000 24.000 48.000.000

9 1.500 22.000 33.000.000

10 100 14.000 1.400.000

Summe 14.000 180.000 305.700.000

2

1

1( ) 1.408,55

n

x ii

s X Xn =

= − =∑ 1

1 1(900 ... 100)

10

n

ii

X Xn =

= = + +∑ = 1.400

2

1

1( ) 9.077,44

n

y ii

s y yn =

= − =∑ 1

1 1(15000 ... 14000)

10

n

ii

Y yn =

= = + +∑ =

18.000

1

1305.700.000 1.400 18.000 5.370.000

10

n

xy i ii

S X Y XY=

= − = ⋅ − ⋅ =∑

5.370.000

1.408,55 9077,44xy

x y

sr

s s= =

⋅ ⋅= 0,42 1 1r− ≤ ≤

Hier liegt ein positiver Zusammenhang vor.


5) Regression a) x1 = Jahreseinkommen, x2 = Wohnort, y = Ausgaben für Bahnfahrten

X’y =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

15 20 40 10 5 13 17 24 22 14

0 0 0 0 0 01 1 1 1

900

600

2.500

200

600

600

5.000

2.000

1.500

100

=

14.000

305.700

1.800

b) Durchschnittliches Einkommen = 44.000

4= € 11.000,-

4064 = 21

1

n

i

X=∑ = Summe der Quadrate der Einkommen der Ostdeutschen

c) Bestimmung der Regressionskoeffizienten b = (X’X)-1X’y

b =

1,200 0,046 0,698 14.000 1.481,4

0,046 0,002 0,023 305.700 8,8

0,698 0,023 0,690 1.800 1.498,9

− − − = − −

=0

1

2

b

b

b

y = 1.481,4 + 8,8 x1 – 1498,9 x2

- Grundsätzlich gibt jeder € 1.481,40 für Bahnfahrten p.a. aus - Steigt das Einkommen um € 1.000,-, steigen die Ausgaben um € 8,80 - Die Ostdeutschen geben durchschnittlich € 1.489,90 p.a. weniger aus

d) y = 1.481,40 + 8,8 * 18 – 1.498,90 * 1 = 140,90 Hinweis: Einkommen = € 18.000,- p.a.


e)

151

201

401

101

51 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1'15 20 40 10 5 13 17 1324 22 14 1

171

1 24

1 22

1 14

X X

=

= 10 180

180 4064

03 1.350 1.347,71 2,29Z = − =

f) B = r2 = Anteil der durch die Regression erklärte Varianz der y-Werte. Je höher

B, desto besser. 0 ≤ B ≤ 1. B im Ausdruck beträgt 0,176, d.h. 17,6 % der der Gesamtstreuung wird durch die Regression erklärt. Dies ist ein relativ schwacher Wert.


6) Indizes a) Kaffee: 2000 250 2001 250 2002 100 Basisjahr 2003 150 2004 50 Schnitzel: 2000 150

2001 125 2002 100 Basisjahr 2003 90 2004 80

b) Preisindex nach Laspeyres: (immer mit Werten des Basisjahres)

00,

0 0

( ) 100tLt

p qI p

p q⋅= ⋅⋅

∑∑

02,04

4,20 20 2,00 20( ) 100 112,73

4,00 20 1,50 20LI p

⋅ + ⋅= ⋅ =⋅ + ⋅

Die „alten“ Mengen sind um 12,73% teurer geworden. c) Mengenindex nach Paasche: (immer mit aktuellen Werten)

0,0

( ) 100t tPt

t

p qI q

p q

⋅= ⋅

⋅∑∑

02,04

4,20 16 2,00 10( ) 100 70,32

4,20 20 2,00 20PI q

⋅ + ⋅= ⋅ =⋅ + ⋅

Auf Basis heutiger Preise wird heute nur noch 70,32% von dem konsumiert, was

im Jahr 2002 konsumiert wurde.


d) richtig ist: D Umsatzindex:

0,0 0

( , ) 100t tt

p qI p q

p q

⋅= ⋅

⋅∑∑

00,04

4,20 16 2,00 10( , ) 100 63,65

2,90 30 1,00 50I p q

⋅ + ⋅= ⋅ =⋅ + ⋅

In vier Jahren ist der Umsatz auf das 0,6365-fache geschrumpft.

4 0,6365 0,8932= ist der durchschnittliche Rüchgang p.a.. Daraus folgt ein durchschnittlicher jährlicher Rückgang von 10,6799%


7) Zeitreihenanalyse a) Ansatz: 0 1ty b b t= + ⋅ Vereinfachung: Umwandlung in 'it

n = 6, daraus folgt: ' 2( )i it t t= −

i

it iy 'it 2( ')it 'i iy t⋅

1 1999 840 -5 25 -4.200 2 2000 950 -3 9 -2.850 3 2001 1.120 -1 1 -1.120 4 2002 1.250 1 1 1.250 5 2003 1.350 3 9 4.050 6 2004 1.450 5 25 7.250

∑ 70 4.380

2.001,5

1.160

t

y

=

=

Ansatz nach Transformation: � 0 1' ' 'i iy b b t= + ⋅

0 ' 1.160b y= =

1 2

' 4.380' 62,57

70i i

i

y tb

t

⋅= = =∑∑

Rücktransformation: n = 6

0 0 1' 2 ' 1.160 2 62,57 2001,5 249.307,71b b b t= − ⋅ = − ⋅ ⋅ = − (Jahr 0, Christi Geburt)

1 12 ' 2 62,57 125,14b b= = ⋅ =

12 249.307,71 2012 125,14 2.473,97y = − + ⋅ =

b) Exponentielle Glättung 1. Ordnung (a = 0,2) '(1998) 840y =

t ty 'ty

1999 840 840 (0,2 840 0,8 840)⋅ + ⋅

2000 862 862 (0,2 950 0,8 840)⋅ + ⋅

2001 1.120 913,6 (0,2 1120 0,8 862)⋅ + ⋅

2002 1.250 980,9 (0,2 1250 0,8 913,6)⋅ + ⋅

2003 1.350 1.054,7 (0,2 1350 0,8 980,9)⋅ + ⋅

2004 1.450 1.133,8 (0,2 1450 0,8 1054,7)⋅ + ⋅


c) Zykluskomponente für das Jahr 2003 Glatte Komponente t t t t t tG T Z Z G T= + → = −

Berechnung von tG nach der Methode der gleitenden Durchschnitte (3-gliedrig)

1

'2 1

t k

tt k

y yk τ

τ

+

= −=

+ ∑

k=1, d.h. der ∅ -Wert aus yτ und jeweils einem Wert davor und dahinter

1999 2000 2001 2002 2003 2004

ty 840 950 1.120 1.250 1.350 1.450

'ty bzw.

Gt

- 970 1.106,67 1.240 1.350 -

03 03 03Z G T= − 03 249.307,71 2003 125,14 1.347,71T = − + ⋅ =

03 1.350 1.347,71 2,29Z = − =


Anhang: Formelsammlung

Formelsammlung Statistik I – Deskription I Wirtschafts- und Sozialstatistik Bevölkerung und Fläche

allg.BevölkerungsdichteBevölkerung

Fläche inQuadratkilometern=

Allgemeine Geburten- und Sterbeziffer

( )( )

Zahl der Lebendgeborenen im Jahr i Allg.Geburtenziffer 1000

Mittlerer Bevölkerungsbestand im Jahr i

G

B= ⋅

Besondere Geburten- und Sterbeziffer

allg. Fertilitätsrate =Lebendgeborene im Jahr i 1000

Anzahl der Frauen zw. 15 u.45 Jahren im Jahr i⋅

Erwerbstätigkeit Gliederung der Wohnbevölkerung nach der Beteiligung am Erwerbsleben (Erwerbskonzept)

Wohnbevölkerung

Erwerbspersonen

Erwerbslose

sonst. Erwerbslose(stille Reserve)

Arbeitslose

Erwerbstätige

Nicht-erwerbspersonen


Allgemeine ErwerbsquoteErwerbspersonenWohnbevölkerung

=

spezifische ErwerbsquoteZahl der Erwerbspersonen

Bevölkerung im Alter von 15- 65 Jahren=

ArbeitslosenquoteArbeitslose

abhängige (!) Erwerbspersonen=

Abhängige, zivile Erwerbspersonen = Sozialversicherungspflichtige Beschäftigte

(Arbeiter, Angestellte)

+ Geringfügig Beschäftigte

+ Beamte

+ Arbeitslose

Exkurs: Summen, Doppelsummen Häufig hat man es mit Summen endlich vieler Sumanden zu tun. Um die Schreibweise

zu vereinfachen, können sie mit dem griechischen Sigma ∑ abgekürzt werden.

Definition: Das Summenzeichen steht als als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Addition:

1 ...m

i k k mi k

a a a a+=

= + + +∑ , , ,i k m N

k m

∈<

wobei: i = Summationsindex k = untere Summationsgrenze m= obere Summationsgrenze

ia = allg. Summationsglied


Beispiele:

a) 3

2 2 2 2

1

1 2 3i

i=

= + +∑

b) 4

1

4c c c c c c= + + + =∑

c) 4

1 2 3 4

1

i

i

x x x x x=

= + + +∑

Zerlegungsregeln für einfache Summen 1. Summe gleicher Summanden

( 1)m

i k

a m k a=

= − +∑ , 1

n

i

a na=

=∑

2. Summen mit gleicher Summationsvorschrift

( )m m m

i i i ii k i k i k

a b a b= = =

+ = +∑ ∑ ∑

3. Summen mit additiven Konstanten

( ) ( 1)m m

i ii k i k

a c a m k c= =

+ = + − +∑ ∑

4. Summen mit multiplikativen Konstanten

m m

i ii k i k

ca c a= =

=∑ ∑

5. Summenzerlegung

1

m l m

i i ii k i k i l

a a a= = = +

= +∑ ∑ ∑ , k ≤ l ≤ m


II Eindimensionale Häufigkeitsverteilungen

Qualitative (nominalskalierte) Merkmale

Ausprägung eines qualitativen Merkmals A i

absolute Häufigkeit eines Merkmals n Ai i= n( )

Anzahl der verschiedenen Ausprägungen k

Anzahl der Beobachtungen n nii

k

==∑

1

relative Häufigkeit eines Merkmales h Anni

i( ) =

(Häufigkeitsverteilung)

Quantitative (metrisch skalierte) Merkmale

Diskrete Merkmale

Merkmalswert x i

absolute Häufigkeit eines Merkmals n n xi i= ( )

Anzahl der verschiedenen Merkmalswerte k

Anzahl der Beobachtungen n nii

k

==∑

1

relative Häufigkeit eines Merkmalswertes(Häufigkeitsfunktion, - verteilung) h x

nni

i( ) =

kumulierte absolute Häufigkeit n x x ni jj

i

( )≤ ==∑

1

kumulierte relative Häufigkeit h x x h xi jj

i

( ) ( )≤ ==∑

1

Verteilungsfunktion

F x h x x h x ii i jj

i

( ) ( ) ( ), ,= ≤ = ==∑

1

1 ... , k

Stetige Merkmale

Merkmalswert x

Klassenuntergrenze der Merkmalsklasse i x iu

Klassenobergrenze der Merkmalsklasse i x io

Klassenbreite ∆x x xi io

iu= −


absolute Häufigkeit der in der Klasse iliegenden Merkmalswerte n n x xi i

u= ≤( <x io )

Anzahl der Klassen k

Anzahl der Beoachtungen n nii

k

==∑

1

relative Häufigkeit der in der Klasse iliegenden Merkmalswerte(Häufigkeitsverteilung, i = 1,..., k)

h x h x xi iu( ) (= ≤ <x

nni

o i) =

normierte relative Häufigkeit(Dichtefunktion, i = 1, ... , k) f x

n

n xii

i

( ) =∆

kumulierte relative Häufigkeit h x x h xio

jj

i

( ) ( )≤ ==∑

1

Interpolation innerhalb der Klasse i F x F xx x

xh xi

u iu

ii( ) ( ) ( )= + − ⋅

∆


III Lageparameter

Mittelwerte

Häufigster Wert (Modus)

- ungruppiertes Datenmaterial

D xn x

nii= =( )

max

- gruppiertes Datenmaterial

D xn

n xii

i

= =* max∆

Median (Zentralwert)


falls n ungerade Z x n= +1

2

falls n gerade Z x xn n= ++

1

22 2

1( )

- gruppiertes Datenmaterial: Der Median ist nur approximativ mit Hilfe der Verteilungsfunktion erhältlich. Es gilt: h x Z F Z( ) ( ) ,≤ = = 0 5

lineare Interpolation bei metrisch skalierten, stetigen Merkmalen:

Z xF Z F x

hxi

u iu

ii= + −( ) ( ) ∆

Arithmetisches Mittel


xn

x ii

n

==∑

1

1


bekannte Gruppenmittel ( )* *

1 1

1 k k

i i i ii i

x x n x h xn = =

= = ⋅∑ ∑

unbekannte Gruppenmittel xn

x nii

k

i==∑

1

1

* mit x x xi iu

io* ( )= +1

2


Geometrisches Mittel

GM x xii

n

n i==

∏1

, ( >0)

log log GMn

x ii

n

==∑

1

1

Harmonisches Mittel

HMn

x ii

n=

=∑

1

1

Streuungsmaße

Spannweite (range) R

R x x x xn= − = −max min ( ) ( )1

Quartilsabweichung

QA x x= −12 0 75 0 25 ( ), ,

p-Quantile

Interpolationsformel bei gruppiertem Datenmaterial:

x xF x F x

nn

xp iu p i

u

ii= +

−⋅

( ) ( )∆

Mittlere absolute Abweichung


dn

x xii

n

= −=∑

1

1


dn

x x n x x h xii

k

i ii

k

i i= − ⋅ = − ⋅= =∑ ∑

1

1 1

* * *, = Klassenmitte der Klasse i


Varianz


sn

x xn

x xii

n

ii

n2 2

1

2 2

1

1 1= − = −= =∑ ∑( )


sn

x x n x n x xii

k

i ii

k

i i2 2

1

2

1

21 1= − ⋅ = ⋅ −= =∑ ∑( ) ( )* * *

n = Klassenmitte der Klasse i

Standardabweichung

s s= 2

Variationskoeffizient

Vsx

= ⋅100(%)

Konzept der Momente

Durchschnittliche potenzierte Abweichungen der Merkmalswerte um einen Bezugspunkt a: Bezugspunkt Null ( )a = 0 Momente um Null Bezugspunkt arithmetisches Mittel ( )a x= Momente um das arithmetische Mittel


mn

x ara

ir

i

n

= −=∑

1

1

( )


mn

x a n xra

ir

ii

k

i= − ⋅=∑

1

1

( ) ,* * = Klassenmitte der Klasse i

Standardisierte Schiefe

Momente 3. Ordnung (r=3) ergeben die Schiefe. Die Schiefe (skewness) ist ein Asymmetriemaß

( )

( )

3

3 13 33

2

1

1

1

n

ii

n

ii

x xm n

sms

x xn

=

=

−= =

−

∑

∑


Exzeß (Kurtosis, Wölbung)

Momente 4. Ordnung (r=4) ergeben die Wölbung

( )

( )

4

144 44

2

1

1

1

n

ii

n

ii

x xm n

sms

x xn

=

=

−= =

−

∑

∑

Konzentration einer Verteilung

Die Merkmale werden für Konzentrationsanalysen grundsätzlich nach ihrer Größe geordnet

erteilungsfunktion:

Abszissenwerte der Lorenzkurve

V F x

n

nji

i

j

( ) ==∑

1

kumulierte relative Merkmalssumme:Ordinatenwerte der Lorenzkurve MS x

x n

nxj

i ii

j

( )

*

=⋅

=∑

1

Gini Koeffizient:

Gruppiert: ( ) ( )*

11

1k

i ii i

i

n xG F x F x

n x−=

⋅= + ⋅ − ⋅ ∑

Ungruppiert (xi geordnet!) ( )

1 1

1

2 1n n

i ii i

n

ii

i x n xG

n x

= =

=

⋅ ⋅ − + ⋅=

⋅

∑ ∑

∑


IV Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung

Darstellung

Ausprägung des 1. Merkmals (x) x i ki = 1,...,

Ausprägung des 2. Merkmals (y) y j mj = 1,...,

absolute Häufigkeit des Merkmalspaares ( , )x yi j

n n x yij i j= ( , )

Anzahl der Beobachtungen

n nijj

m

i

k

===∑∑

11 relative Häufigkeit des Merkmalspaares ( , )x yi j

h x yn

ni jij( , ) =

Randverteilung des 1. Merkmals (x) (Zeilensumme)

marginale absolute Häufigkeiten n ni ijj

m

⋅=

=∑1

marginale relative Häufigkeiten hnni

i⋅

⋅=

Randverteilung des 2. Merkmals (y) (Spaltensummen)

marginale absolute Häufigkeiten n nj iji

k

⋅=

=∑1

marginale relative Häufigkeiten hn

njj

⋅⋅=

Häufigkeitsverteilung von x bei gegebenem y (bedingte Verteilung)

h x yi j( ) =n

nij

j⋅

Häufigkeitsverteilung von y bei gegebenem x (bedingte Verteilung)

h y xj i( ) =n

nij

i ⋅


Korrelationsrechnung

Häufigkeit bei Unabhängigkeit

i jij

n nn

n⋅ ⋅⋅

=ɶ

Quadratische Kontingenz

22

1 1

( )k mij ij

i j ij

n n

nχ

= =

−=∑∑

ɶ

ɶ

Kontingenzkoeffizient

Kn

M

MM* min=

+⋅

−=χ

χ

2

2 1 (k, m)

Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman

R Rangnummer

R R

n n nr

i

i ii

n

sp

des 1. Merkmals (ordinalskaliert)

R Rangnummer des 2. Merkmals (ordinalskaliert)

r

i'

sp = −⋅ −

− +− ≤ ≤ +=

∑1

6

1 11 1

2

1

( )

( ) ( ), ( )

'

Kovarianz


sn

x x y yn

x y x yxy i ii

n

i ii

n

= − ⋅ − = ⋅ − ⋅= =∑ ∑

1 1

1 1

( ) ( )


( )* * * *

1 1

1 1( )

k k

xy i i i i i ii i

s x x y y n x y n xyn n⋅ ⋅

= == − − ⋅ = ⋅ −∑ ∑

Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient

rs

s srxy

x y

= − ≤ ≤ +, ( )1 1


Regressionsrechnung

beobachtete Werte y x xi i i, , , ...1 2

unterstellte funktionale Abhängigkeit y f x x= ( , ,1 2 ...)

Regressionskoeffizienten β β β0 1 2, , , ...

Schätzwerte für 0 1 2,, , ...β β β b b b0 1 2, , , ...

Modell der linearen Regression (stochastischer Ansatz)

y x x xK K= + + + + +β β β β ε0 1 1 2 2 ... Deterministischer Ansatz

0 1 1 2 2ˆ ... K Ky b b x b x b x= + + + +

Methode der kleinsten Quadrate (Ordinary Least Squares -OLS)

n2 2

0 1 1 2 21 1

ˆ( ) ( ...) min!n

i i i i ii i

Q y y y b b x b x= =

= − = − − − − =∑ ∑

⇒ = = =∂∂

∂∂

∂∂

Qb

Qb

Qb0 1 2

0 0 0, , , ...

Schätzwerte bei einfacher linearer Regression

b y b x0 1= −

bn

x y x y

nx x

s

sr

s

s

i ii

n

ii

nxy

x

y

x1

1

2 2

1

2

1

1=

− ⋅

−= = ⋅=

=

∑

∑

OLS-Schätzer bei multipler Regression

b X X X y= −( ' ) '1 Bestimmtheitsmaß bei einfacher linearer Regression

Bs

s

y y

y y

ry

y

ii

n

ii

n= =−

−==

=

∑

∑

ɵ

( ɵ )

( )

2

2

2

1

2

1

2


V Indexzahlen

Preis des Gutes i zur Basiszeit pi

0

Preis des Gutes i zur Berichtszeit pti

Menge des Gutes i zur Basiszeit q i0

Menge des Gutes i zur Berichtszeit q ti

Preisindex

- nach Laspeyres

( ) 10,

01

100

ni it

it n

i i

i

p qI p

p q

=

=

⋅= ⋅

⋅

∑

∑

0L

0

- nach Paasche

10,

01

( ) 100

ni it t

it n

i i

i

p qI p

p q

=

=

⋅= ⋅

⋅

∑

∑

P

t

Mengenindex

- nach Laspeyres

10,

01

( ) 100

ni i

ti

t ni i

i

p qI q

p q

=

=

⋅= ⋅

⋅

∑

∑

0L

0

- nach Paasche

10,

01

( ) 100

ni i

ti

t ni i

i

p qI q

p q

=

=

⋅= ⋅

⋅

∑

∑

tP

t


Umsatzindex (Wertindex)

I p q

p q

p qt

ti

ti

i

n

i i

i

n01

0 01

100, ( , ) =⋅

⋅⋅=

=

∑

∑

Umbasierung von Basisjahr 1 auf Basisjahr 2

Basisjahr 1 01 Basisjahr 2 02

II

Itt

0201

01 02

100,,

,

= ⋅


VI Zeitreihenanalyse

Zeitreihenwerte yi

Zeitpunkte t i

Trendgerade

y t= + +β β ε0 1 Ermittlung der Trendgeraden nach der Methode der kleinsten Quadrate

0 1

0 1

y b b t

b y b t

= +

= −

bn

t y ty

nt t

i ii

n

ii

n11

2 2

1

1

1=

−

−

=

=

∑

∑

transformierte Zeitwerte

bei ungeradem n t t ti i' = −

bei geradem n t t ti i' ( )= −2

wenn t ii

n'

=∑ =

1

0 gilt, folgt die Vereinfachung für die Ermittlung der Trendgeraden:

0'b y=

'

11

'2

1

'

n

i ii

n

ii

y tb

t

=

=

=∑

∑

Methode der gleitenden Durchschnitte

geschätzter Trendwert zum Zeitpunkt t yt'

Anzahl der Zeitreihenwerte vor und nach k dem Zeitpunkt t, die in die Berechnung von yt

' einbezogen werden.

- ungerade Ordnung

yk

y t k k n ktt k

t k' , , , ... ,=

+= + + −

= −

+

∑1

2 11 2τ

τ


- gerade Ordnung

( 1)'

( 1)

1 1 1, 1, 2, ... ,

2 2 2

t k

t t k t kt k

y y y y t k k n kk τ

τ

+ −

− += − −

= + + = + + −

∑

Exponentielle Glättung

Glättungsfaktor a a; 0 1≤ ≤

- 1. Ordnung

y ay a yt t t' '( )= + − −1 1

- 2. Ordnung

y ay a yt t t" ' "( )= + − −1 1

Prognose mit exponentieller Glättung

- 1. Ordnung

ɵ'y yt t+ =1

- 2. Ordnung

ɵy r mitt r t t+ = +α β ta

ay y

ty yt

t tt t t= − = − = −1

2, ,' "

' " β α

Saisonbereinigung bei konstanter Saisonfigur

um die glatte Komponente bereinigte Zeitreihe y y i Jahr j Monati j i j, ,' ,− = =

Saisonindexziffer ( )'j , i,j

1

1S - y

jm

i jij

ym =

= ∑ɶ

normierte Saisonindexziffer ɵ ɶ ɶS S S mitj j ji

= −=∑

1

1λ

λ

λ = Ordnungder gleitenden Durchschnitte

saisonbereinigte Zeitreihe y Si j j,ɵ−


Saisonbereinigung bei variabler Zeitreihe

um die glatte Komponente bereinigte Zeitreihe y

yi j

i j

,

,'

Saisonindexziffer ɶ ,

,'I

m

y

yj

j

i j

i ji

mj

==∑

1

1

normierte Saisonindexziffern ɵ ɶ

ɶ

I I

Ij j

jj

= ⋅

=∑

λλ

1

saisonbereinigte Zeitreihe y

Ii j

j

,

ɵ


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Statistik I - leuphana.de · Vorwort Für das 'aktive Lernen' des Stoffes aus der Vorlesung...

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