Das Standardmodell

Max Camenzind

Akademie HD

Mai 2015

Berühmteste Formel Einsteins

E = g m0c²

E = 7 TeV (LHC)

m0c² = 938 MeV g = ?

v = ?

Standard-Modell der Teilchenphysik

• 3 Arten von Elementarteilchen (eigentlich Feldern): Materieteilchen (Spin-1/2), Kraftteilchen (Spin-1) und das Higgs-Feld (skalar);

• Teilchen sind Feldanregungen Quantenfelder.

• Moderne Physik: Wechselwirkungen entstehen durch lokale Eich-Symmetrien – WW = Geometrie UY(1)xSUweak(2)xSUColor(3) sind realisiert; SU(4)? …

• Die Quantenchromodynamik und die Gluonen;

• Die elektroschwache Wechselwirkung, das Higgs-Feld, W- und Z-Bosonen;

• Tests am Standard-Modell und das Higgs-Teilchen

Der lange Weg zum Standard-Modell

Nobelpreise SM Elektromagnetismus: QED

• 1948 Tomonaga, Schwinger, Feynman: QED = Dirac + Maxwell 1965

Schwache Kraft: QFD

• 1934 Fermi: Theorie des Beta-Zerfalles 1938

• 1954 Yang, Lee: Eich-Theorie der Schwachen Wechselwirkung 1957

• 1971 Glashow, Salam, Weinberg: Theorie der Elektroschwachen WW 1979

• 1971 t’Hooft, Veltman: Electroweak Interaction ist “gute Theorie” 1999

• 1964 Englert, Brout, Higgs: Higgs-Theorie der Masse von W und Z 2013

Starke Kraft: QCD

• 1935 Yukawa: Phänomenologische Theorie der Kernkräfte 1949

• 1964 Gell-Mann: Symmetrien der Elementarteilchen: SU(3) 1969

• 1969 Friedman, Kendall, Taylor: Nachweis Quarks in ep Streuung 1990

• 1973 Politzer, Wilczek, Gross: Asymptotische Freiheit der QCD 2004

Gründerväter der schwachen WW 1971 Ladung = schwacher Isospin

Steven Weinberg Sheldon Glashow Abdus Salam

Gründerväter der starken WW 1972/73 Ladung = Farbe QCD

Hideki Yukawa Murray Gell-Mann Heinrich Leutwyler

Heinrich Leutwyler, Uni Bern

Gründerväter der starken WW Harald Fritzsch & Gell-Mann

Materieteilchen Kraftteilchen Masse

Pe

rio

de

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m M

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3 G

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Q

ua

rks:

SU

(3)-

Fa

rb-T

rip

lett

s

Schwacher

Isospin:

+1/2

+1/2

-1/2

-1/2

Farbe

Gene-ration

Lepton Name

Lepton Symbol

Hyper-ladung

Schwache Ladung (I)

Flavour Quantenzahl

Ladung [e]

Masse eV/c²

1 Elektron Neutrino

ne -1 +1/2 Le = 1 0 < 0,01

1 Elektron e -1 -1/2 Le = 1 -1 511 keV

2 Myon Neutrino

nm -1 +1/2 Lµ = 1 0 < 0,01

2 Myon µ -1 -1/2 Lµ = 1 -1 105,6 MeV/c²

3 Tau Neutrino

tn -1 +1/2 Lt = +1 0 < 0,1

3 Tau t -1 -1/2 Lt = +1 -1 1777 MeV/c²

Quantenzahlen der Leptonen s=1/2 Gell-Mann Y: Hyperladung Ladung Q = I3 + Y/2

3 Leptonen Generationen - Dubletten Ladung: Schwacher Isospin

+1/2

-1/2

Gene-ration

Quark Name

Quark Isospin

Hyper-ladung

Schwache Ladung (I)

Flavour Quantenzahl

Ladung [e]

Masse MeV/c²

1 Up u 1/3 +1/2 Iz = 1/2 +2/3 2,3

1 Down d 1/3 -1/2 Iz = -1/2 -1/3 4,8

2 Charm c 1/3 +1/2 C = +1 +2/3 1275

2 Strange s 1/3 -1/2 S = -1 -1/3 95

3 Top t 1/3 +1/2 T = +1 +2/3 173.070

3 Bottom b 1/3 -1/2 B` = -1 -1/3 4660

Quantenzahlen der Quark-Teilchen Gell-Mann Y: Hyperladung Ladung Q = I3 + Y/2

Kraftteilchen Spin = 1

Standardmodell ist nun vollständig

Golden Era

Standardmodell Teilchenphysik

Standardmodell ist eine Lagrangesche

Feldtheorie –

Wechselwirkungen werden durch

Eichsymmetrien erklärt –

Symmetriegruppen:

U(1)Y x SU(2)weak x SU(3)Color

Symmetrie der schwachen Wechselwirk-

ung ist gebrochen Higgs-Mechanismus.

Standardmodell hat 18 freie Parameter!

Was ist eine Symmetrie ?

Symmetrien Transformationsgruppen

R.P. Feynman: „Ein Objekt heißt symmetrisch, wenn

man mit ihm etwas anstellen kann, ohne es am Ende,

wenn man fertig ist mit der Prozedur, geändert zu haben.“

Dreieck

Drehung

Dreieck

Was ist Invarianz?

… eine Eigenschaft (hier Länge des Stabs) eines Objektes, die bei verschiedener Betrachtung (Rotation) unverändert bleibt.

Teilchen sind Feldanregungen

• Die Schrödinger-Theorie ist nicht kausal und damit kein Kandidat für eine korrekte Beschreibung von Teilchen.

• Die Schrödinger-Wellenfunktion ist kein Feld wie etwa das elektromagnetische Feld! – beschreibt also das Elektron nicht korrekt.

• Bereits 1927 wurden die richtigen Feldtheorien gefunden – Klein-Gordon Feld und das Dirac-Feld.

• Eine konsistente Quantenfeldtheorie konnte jedoch erst in den 50er Jahren entwickelt werden.

… Teilchen und Anti-Teilchen

Energie eines Teilchens lässt sich berechnen zu

nach Einstein 1905

positive und negative

Werte

normalerweise wird positive Lösung gewählt

Nach relativistischer Erweiterung von Quantenfeldtheorie

Dirac postuliert 1927 Antiteilchen, die dann

1933 gefunden wurden

(Positron = Anti-Elektron)

4222 cmcpE

Übernahme der Schrödinger-Quantisierung

07.07.2003 Michael Vennemann

Klein-Gordon-Gleichung F(t,x) Spin-0 Teilchen: z.B. Higgs-Feld

Die Klein-Gordon Gleichung beschreibt nur Spin-0 Teilchen.

Zwar ergibt sich aus der Klein-Gordon-Gleichung die

richtige Beziehung zwischen Energie und Impuls,

nicht aber der Spin der untersuchten Teilchen Higgs-Feld.

Ebenso sind die Bindungsenergien im Wasserstoffatom falsch.

Fundamentale Materie (Quarks und Leptonen) besteht

jedoch aus Spin-1/2 Teilchen, sog. Fermionen!

Dirac-Gleichung.

Compton-Wellenlänge Elektron = 2,4x10-12 m 1/Compton-Wellenlänge

Fundamentale Materie wird nicht durch Vektorfelder,

sondern durch sog. Spinoren beschrieben (Dirac 1927).

[Mathematisch sind dies Elemente des sog.

Spin-Bündels einer RaumZeit.]

Die Wellenfunktion Y ist ein Kolonnenvektor von

4 komplexwertigen Funktionen.

Diese Funktionen müssen die Energierelation von

Einstein erfüllen: E² - p²c² = m²c4.

Die Funktionen müssen sich richtig unter Lorentz-

Transformationen verhalten.

Y repräsentiert Fermionen und Anti-Fermionen.

beschreibt freie Fermionen (Spin-1/2)

und Anti-Fermionen zur selben Masse m

( i gm Dm – mc/h ) Y = 0

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -i 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 i 0 0 0 0 -1

0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 i 0 0 -1 0 0 0

0 0 0 -1 -1 0 0 0 -i 0 0 0 0 1 0 0

g0 = g1 = g2 = g3 =

1/c /t

/x

/y

/z

Lagrange-Formalismus der Feldtheorie

Raumzeit: 3210

3210 xx,x,xx,x,x,xr,tx

,txμ μ

x(klassisches) Feld bzw. Feldkomponente:

Kontinuum verallgemeinerter Koordinaten x

zugehörige verallgemeinerte Geschwindigkeiten xμ

μ

3t

t,rdtdS

2

1

L(klassische) Wirkung:

Lagrangedichte

klassiche Lagrangefunktion L

0Sδ Hamiltonsches Prinzip:

Euler-Lagrange-Gl.:

0

xxμ

μ

LL

Bemerkung: L Lorentz-Skalar E.-L.-Gl. automatisch

relativistisch kovariant!

Klein-Gordon-Gl.: 0xm2μ

μ

Beisp. 1: neutrales Teilchen, Spin 0 (Lorentz-Skalar), Masse m

reelles skalares Feld : 22

21μ

μ21 m L

kinetischer Term Massenterm

Beisp.2: Spin-½ Teilchen (Lorentz-Spinor), Masse m

4-komponentiges komplexes Spinorfeld

(physikalisch: Teilchen & Antiteilchen, jeweils Spin up & down)

xψmγixψ μ

μ L

Dirac-Gleichung: 0xψmγi μ

μ

Freiheitsgrade: 4 Komponenten von

4 Komponenten von

ψ0γψψ

44

μννμμννμ Ig2γ,γγγγγ

44 Dirac-Matrizen:

0μ0μ γγγγ

ψqψeQ ψ

Beisp.3: Geladenes Spin-½ Feld in WW mit em-Feld

4-Vektorpotential des e.m.-Feldes A,Aμ

4-komponentiges komplexes Spinorfeld , Ladung q

xψmDγixψ μ

μ L

kovariante Ableitung: μμμ ieQAD

Ladungszahl-Operator

Dirac-Gleichung: 0xψmDγi μ

μ

μ

μ

ψintintfrei Axψγxψq LLLL

e.m.-Dirac-Stromdichte μj

• Die Phase eines Fermionen-Feldes hat

keine Relevanz [Transformation mit

Y exp(-ic(t,x))Y ] : Eichtransformation

• Maxwells Gleichungen bleiben invariant

unter der Transformation des Potenzials

Aµ Aµ - (1/e) ∂µc(t,x)

da der Feldtensor Fmn = ∂µAn - ∂nAµ

invariant bleibt.

• Die simultane Transformation lässt

damit die Lagrangedichte invariant.

Elektrodynamik als Eichtheorie

• Die Invarianz der freien Feldgleichungen

unter lokalen Eichtransformationen

erzwingt die Einführung eines Vektor-

feldes Aµ(t,x), so dass die Feldgleichung

nun kovariant ausfällt.

• Diese Möglichkeit, eine Größe an jedem Ort unabhängig

festzulegen – zu eichen wie einen Maßstab – veranlasste

den deutschen Mathematiker Hermann Weyl in den

1920er Jahren zur Wahl des Namens Eichinvarianz bzw.

Eichsymmetrie, findet sich aber auch schon 1926 von

Wladimir Fock formuliert.

• wurde von Yang & Mills 1954 auf höhere

Gruppen (z.B. SU(2)) verallgemeinert.

Eichprinzip der modernen Physik

Transformation Eichableitung:

Verwende Result in L’

Idee der Hadronen-Symmetrie Hadronen bilden SU(2)-Multipletts Lagrange-Dichte global invariant

SU(2) ist eine innere Symmetrie-Gruppe

Lässt Lagrange- Dichte invariant.

Pauli- Matrizen

SU(N) : „Drehung“ als innere Symmetrie

Teilchen in N Variationen 1 , 2 , , N

1,,N innere

Ladungsquantenzahlen

1ψ2ψ

3ψ

4ψ

5ψ

6ψ7ψ8ψ

9ψ

Nψ

SU(N)

U bleibt normiert

Lagrange-Dichte invariant

U „Drehung” stetig mit

1 verbunden (keine

„Spiegelung”)

Konstruktion einer SU(N) Eichtheorie

Spinor mit N Ladungszuständen, sog. Eich-Ladungen

xψ N

2

1

ψ

ψ

ψ

Jede der N

Komponenten ist ein

Spinor mit 4

Komponenten!

Freies Teilchen: xψmγixψ μ

μ L

Kurzschreibweise für

N

1k

k

μ

μk xψmγixψL

Forderung: Lokale SU(N)-Invarianz bei Komp-Drehung

U(N): Gruppe der komplexen

unitären N x N Matrizen

SU(N): N x N Matrizen mit det U = 1

det U = exp i (trH)

SU(n): det U = 1 tr H = 0

MatrizennnSU )1(:)( 2

U = exp (iH) H: Hermite n x n Matrix

10

01

0

0

01

10321 ttt

i

i

[ t1 , t2 ] = 2i t3 , [ t3 , t1 ] = 2i t2

[ t2 , t3 ] = 2i t1

1

, exp2

U i I

α α τ

000

010

001

000

00

00

000

001

010

321 i

i

010

100

000

00

000

00

001

000

100

654

i

i

200

010

001

3

1

00

00

000

87

i

i

Diagonale Matrizen: su(2) in su(3) Bestimmen die Eigenwerte: Isospin t3 & Hyperladung Y

Isospin su(2) Unter-Algebra

SU(3) Strukturfunktionen

Konsequenz der Symmetrie-Forderung:

U(1)-Symmetrie SU(N)-Symmetrie

1 Photon xAμ

ψDeψD

ψeψ

μ

Qxαi

μ

Qxαi

Eichtransformation:

N2 1 EichBosonen xAa

μ

μμμ ieQAD

Kovariante Ableitung:

a

μ

a

μμ AigTD

Kovariante Ableitung:

Ladungszahl-Operator

Generator der U(1)

Eichtransformation:

ψDeψD

ψeψ

μ

Txαi

μ

Txαi

Kopplungskonstante

Yang-Mills-Eichtheorie zu SU(N)

νμa

νμ41

μ

μ xψγxψ aFFmIDi L

Quanten-Gauge-Dynamik

a

μμμ AigTID a

c

ν

b

μ

a

μν

a

νμ

a

μν AAfgAAF abc

a = 1,…,n=Dim(SU(N)): Eichfreiheitsgrade; SU(N): Mannigfalt.

n 8: Eichladung Farbe QuantenChromoDynamik 8 Gluonen

Eichtheorie der starken Wechselwirkung des Quarks

N x N Matrix

Die vier fundamentalen WW der Natur resultieren aus Eichtheorien

Ladung Innere Symmetrie

• Zu jeder Symmetrie gehört eine

erhaltene Ladung (Noether-Theorem):

• Phasensymmetrie des Dirac-Spinors:

elektrische Ladung (bzw. Hyperladung)

• SU(2) Symmetrie: schwacher Isospin

• SU(3) Farbsymmetrie: starke Ladung

• Gibt es weitere innere Symmetrien?

Wechselwirkung =

lokale Eich-Symmetrie Konstruktion: Lagrangefunktion ist

invariant unter lokalen Eichtrans-

formationen, die eine Gruppe bilden:

Elektromagnetismus : U(1) Phasentrafo

Schwache WW : SU(2) schwacher Isospin

Starke WW : SU(3) Farbtrafo

GUT-WW : SU(8) Grand Unification

Gravitation : Lorentz-Gruppe SO(1,3)

QElektrodynamik: U(1)-Eichtheorie

Y(x´) = exp[ia(x)] Y(x)

x

x´

Camenzind

q1

q2

q3

Y = Y(x) U(x) Y(x) Lokale Eichsymmetrie

(„Natur nur Farb-invariante

Zustände beobachtet“)

Lagrangedichte bleibt

invariant.

q sind Quarkfelder mit

Farbladung SU(3)

spezielle unitäre Gruppe

Rotation im komplexen C³

Starke WW SU(3)-Eichtheorie

x x´

Camenzind

Gell-Mann su(3)-Matrizen: Basis der 3 x 3 spurfreien Matrizen Deshalb existieren 8 Gluonen

Starke WW

Farbe SU(3) Schwache WW

Isospin SU(2)

Hyperladung

Phase U(1)

Starke & schwache Wechselwirkung

g: Kopplungskonstanten

Das QCD Vakuum: Volumen der Box ist 2,4 x 2,4 x 3,6 fm, könnte

gerade einige Protonen fassen. Auch im Vakuum entstehen und

vergehen chromo-elektrische und chromo-magnetische Felder.

Derek Leinweber/Adelaide

Framerate: 1024 fps Box:

2,4x2,4x3,6 fm

The Nobel Prize in Physics 1965 - QED

Richard P. Feynman * 1918 - 1988

The Nobel Prize in Physics 1965 was

awarded to Richard Feynman, Sin-Itiro

Tomonaga & Julian Schwinger

(fundamental paper: 1948!)

"for their fundamental work in quantum

electrodynamics, with deep-ploughing

consequences for the physics

of elementary particles".

The Nobel Prize in Physics 1979 - QFD

Sheldon Glashow, Abdus Salam, Steven Weinberg

The Nobel Prize in Physics 1979 was

awarded

"für die Formulierung der Theorie der

Elektro-Schwachen Wechselwirkung".

The Nobel Prize in Physics 1999 - Eich

Gerardus t’Hooft Martin Veltman

The Nobel Prize in Physics 1999 was

awarded

"for elucidating the quantum structure

of electroweak interactions in physics".

The Nobel Prize in Physics 2004 - QCD

David J. Gross, H. David Politzer und Frank Wilczek

The Nobel Prize in Physics 2004 was

awarded

"für die Entdeckung der asymptotischen

Freiheit in der Theorie der Starken

Wechselwirkung der Quarks (QCD)".

The Nobel Prize in Physics 2013 – Higgs

Francois Englert (1932) & Peter Higgs (1929)

Materieteilchen Kraftteilchen Masse