3 Platten
Vertiefung und Ergänzungen zu Stahlbeton II
3.5 Einfluss von Querkräften
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 1
Platten – Einfluss von Querkräften
Querkraftwiderstand von Platten – Allgemeine Bemerkungen ( Stahlbeton I)
• Platten, insbesondere solche mit Schubbewehrung (dreidimensional bewehrt), sind grundsätzlich sehr duktile Tragwerke.
• Ein Querkraftversagen von Platten ohne Schubbewehrung ist jedoch sehr spröd praktisch keine
Schnittgrössenumlagerung (Entlastung der betroffenen Bereiche) möglich!
• Bei nach dem unteren Grenzwertsatz der Plastizitätstheorie bemessenen Platten (*) können die im Verlauf der
Belastungsgeschichte auftretenden maximalen Querkräfte relativ stark von der Schubbeanspruchung im rechnerischen
(Biege-)Bruchzustand abweichen
für eine sichere Bemessung müsste grundsätzlich die Querkraftbeanspruchung an jeder Stelle der Platte während der
gesamten Belastungsgeschichte überprüft werden.
• In der Praxis wird die Schubtragsicherheit in der Regel nur im Zustand der maximalen Schnittgrössenumlagerung, welcher
auch der Biegebemessung zugrunde gelegt wird, überprüft. Dies ist mit nicht unbeträchtlichen Unsicherheiten verbunden,
zumal die Querkräfte, welche aus FE-Berechnungen resultieren, stark streuen (Ableitung der Biegemomente, eine
Grössenordnung weniger genau).
Im Zweifelsfall ist durch Anordnung einer Schubbewehrung ein duktiles Verhalten zu gewährleisten!
(*) gilt auch bei einer Bemessung aufgrund linear elastischer FE-Berechnungen (= Gleichgewichtszustand), da die
Rissbildung, Eigenspannungszustände infolge Setzungen, Bauvorgang etc. nie vollständig erfasst werden können!
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sin cost x yv v v cos sinn x yv v v
cosyv
tv
1
y
t
n
xsinyv
cosxv nv
2 2
0 x yv v v 0tany
x
v
v
sinxv
ty
1
x
n
xv
02
0v yv
3
2
2
nv
0v yvtv
nvxv
0
Platten – Einfluss von Querkräften
Querkraftwiderstand von Platten – Allgemeine Bemerkungen
• In einer Platte wird an jeder Stelle die Hauptquerkraft v(0) v0 in Richtung 0 abgetragen; senkrecht dazu ist
v v(0 ± /2) 0.
Mass für die Schubbeanspruchung: nominelle Schubbeanspruchung tnom v0 /z(mit z Hebelarm der inneren Kräfte).
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Platten – Einfluss von Querkräften
Querkraftwiderstand von Platten ohne Schubbewehrung
• Schubspannungen entsprechen im ungerissenen Zustand einer Hauptzugspannung gleichen Betrags, sc1 |tzx | (elastischer Schubfluss: tmax 1.5·tnom 1.5·v0 /z)
• Bei dünnen Platten, welche gemäss SIA 262 ohne Schubbewehrung ausgeführt werden dürfen, wird somit implizit die Zugfestigkeit des
Betons berücksichtigt (die in der Regel sogar etwas über dem für unbedeutende Bauteile zulässigen Wert liegt). Dies kann mit folgenden
Gründen gerechtfertigt werden:
• Höhere Redundanz als Stabtragwerke (zweiachsige Tragwirkung)
• Schubbeanspruchung i.d.R. geringer (ausser in der Umgebung konzentrierter Krafteinleitungen)
• Bei Erstrissbildung unter moderater Schubbeanspruchung kein Versagen (sofern Rissrauigkeit ausreicht und Längsbewehrung Reserven
aufweist)
→ Im Gegensatz zu Stabtragwerken (Mindestbügelbewehrung zwingend) kann daher bei dünnen Platten oft auf eine Schubbewehrung
verzichtet werden
x
z
s
X
Z, Pol
1d
xz
w
v
b zs t
1c zx ctdfs t
• NB: Längsdruckspannungen bewirken eine Reduktion der Hauptzugspannung. In früheren Ausgaben der SIA 262 (damals SIA 162) wurde
der Schubwiderstand vorgespannter Träger auf dieser Basis überprüft.
1s2s
zxt
zxt
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In dünnen Platten tritt bei Erstrissbildung unter
moderater Schubbeanspruchung kein Versagen
auf, sofern die Rissrauigkeit ausreicht und die
Längsbewehrung Reserven aufweist.
(Beanspruchung der Längsbewehrung infolge
Querkraft: Doppelt so gross wie mit Bügeln!)
Platten – Einfluss von Querkräften
Stegzugbruch (Bauteil ohne Schubbewehrung)
dV
dM
U
: dU
MM
z
, : cotdO x d r
MM F V
z
O
r
r
cotd rV
dVdV
dM
U
: dO
MM
z
, : cotdU x d r
MM F V
z
O
r
rcotd rV
dV
2r
r
3s
1s
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O
U
r
cot rz
z
Querkraftwiderstand von Platten ohne Schubbewehrung
• Einfaches Modell für Schubübertragung durch Rissverzahnung in Erstrissen unter 45° (mit reiner Schubbeanspruchung in
Erstrissen; für Längsbewehrung resultiert doppelte Zugkraft infolge V):
Einfluss von Querkräften
≤ rx fsd
Beanspruchung
(reiner Schub)
Bruchbedingung Beton
Bruchbedingung Rissebene
Beanspruchung bei Erstrissbildung
NB1: Rissverzahnung von Rissöffnung abhängig, nicht Verzerrungen Massstabseffekt
NB2: Tragwirkung durch Rissverzahnung reicht bei stark schubbeanspruchten Bauteilen ( Platten im Stützenbereich) nicht aus, um ein
sprödes Versagen bei Erstrissbildung zu vermeiden!
x
xs
zxt
xzt
0zs z
1
r
3
1
4r F
1
3
2 1
2 1
c xz
c xz
s t
s t
s
3
t
Spannungen in der Längsbewehrung (rx ssx = 2txz) doppelt so gross wie mit vertikalen Bügeln bei =45°
Z = ZF = QF
Spannungen
im Beton
Legende:
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XF
Rissebene
XF = RXc
Qc Z = ZF = QF = Zc
Einfluss von Querkräften
Querkraftwiderstand von Platten ohne Schubbewehrung
• Berücksichtigung realistischerer Bruchkriterien für die Schubübertragung durch Rissverzahnung, d.h. Mohrsche Hüllkurve,
Schub nur mit Druckspannung übertragbar (noch mehr Längsbewehrung nötig!):
≤ rx fsdSpannungen in der Längs-bewehrung (rx ssx > 2txz)(mehr als 2x so gross wiebei 45° mit vertikalen Bügeln)
Beanspruchung(reiner Schub)
Spannungenim Beton
Bruchbedingung Beton
Bruchbedingung Rissebene
Beanspruchung bei Erstrissbildung
Spannungenim Beton
Beanspruchung(Schub & Zug)
RissebeneRissebene
QF
NB: Auch hier Massstabseffekt und Begrenzung der Gültigkeit auf moderate Schubbeanspruchung!
r F 4r F
1s
XFX
3
Q
t
1
3
X
Q
FF s
XF
QF
R
Z Z QF F Z ZF
R
≤ rx fsd
2 r
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Sandwichmodell
Platten – Einfluss von Querkräften
xv xm
xymyxn
xn
xynyn
yv
xym
ym
z
Gleichgewichtslösung (allgemeine Schalenbeanspruchung):
• Sandwichdeckel übernehmen Biege- und Drillmomente sowie allfällige Membrankräfte
→ ebene Beanspruchung, Behandlung als Scheibenelemente mit entsprechender Bewehrung
( siehe Fliessbedingungen für Scheibenelemente)
• Sandwichkern übernimmt Querkräfte
→ Sandwichkern trägt Hauptquerkraft v0 in der Richtung 0 ab und kann in dieser Richtung wie der Steg eines Trägers behandelt werden
NB: Hohe Membran(druck)kräfte: Kern auch dafür nutzbar (Interaktion mit v beachten)
yvxv
2
xy xym n
z
2
x xm n
z
z
2
y ym n
z
2
y ym n
z
2
xy xym n
z
2
x xm n
z
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0
cotz
sd
v
f zr
Sandwichmodell – Kern
ungerissen (homogen) gerissen unbewehrt gerissen bewehrt
Platten – Einfluss von Querkräften
• Sandwichkern übernimmt Querkräfte
→ Sandwichkern trägt Hauptquerkraft v0 in der Richtung 0 ab und kann in dieser Richtung wie der Steg eines Trägers behandelt werden;
Zugkräfte in der Plattenebene sind durch die Sandwichdeckel aufzunehmen (zusätzliche Membranbeanspruchung)
2 2
0 x yv v v
1
0 tan ( )y xv v
x
y z
0v
0 cotv
0 cot
2
v cotz
0 cot
2
v
z
Erforderliche
Schubbewehrung:
2 2
0 x yv v v
1
0 tan ( )y xv v
xy z
r
0v02 cot rv
0 cot rv
cot rz
0 cot rv
z
2 2
0 x yv v v
1
0 tan ( )y xv v
xy z
0v
cotz
z
reiner Schub
0
siehe vorher-
gehende Folien
0
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xv xm
xymyxn
xn
xynyn
yv
xym
ym
z
yvxv
2 2 tan
xy xy x y
o
m n v v
z v
2
x xm n
z 2
02 tan
xv
v
z
2
02 tan
yv
v
2
y ym n
z
2
2 2 tan
y y y
o
m n v
z v
2 2 tan
xy xy x y
o
m n v v
z v
2
2 2 tan
x x x
o
m n v
z v
2 2
0 x yv v v
1
0 tan ( )y xv v
xy z
0v
0 cotv
0 cot
2
v cotz
0 cot
2
v
z
Platten – Einfluss von Querkräften
Sandwichmodell – Kern gerissen, bewehrt
Bewehrung der Sandwichdeckel:
2 2
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
2 2 tan 2 2 tan 2 2 tan 2 2 tan
1 1
2 2 tan 2 2 tan 2 2 tan 2 2 tan
xy xy x y xy xy x yx x x x x xsx sd sx sd
y y y xy xy x y y y y xy xy x y
sy sd sy sd
m n v v m n v vm n v m n va f k a f k
z v z v z v z v
m n v m n v v m n v m n v va f a f
z v k z v z v k z v
0
cotz
sd
v
f zr
Erforderliche
Schubbewehrung:
(Faktoren k, k’ können im Prinzip an jeder Stelle der Platte unterschiedlich gewählt werden (abrupte Wechsel vermeiden oder differentielle
Bewehrungskräfte verankern. Wahl der Druckfeldneigung : Analoge Überlegungen wie bei Trägern. Oft wird k = k’ = cot = 1 gewählt)
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Platten – Einfluss von Querkräften
Platten unter reiner Biegebeanspruchung ohne Schubbewehrung:
nx = ny = nxy = 0, v0d ≤ vRd = kd tcd dv
Terme mit nx, ny, nxy entfallen
Terme mit vx, vy entfallen bei Annahme eines ungerissenen Kerns.
Mit Rissverzahnung gem. Folie 4 ist dagegen mindestens die doppelte Längsbewehrung (2·Terme mit vx, vy) infolge
Querkraft erforderlich Bewehrung in Platten ohne Bügel nicht zu früh abstufen!
yvxym
ym
z
xv xmxym
yvxv
xym
z
xm
z
ym
z
xym
z
ym
z
xm
z
z
Sandwichmodell – reine Biegebeanspruchung, ungerissener Kern
2 2
0 x yv v v
1
0 tan ( )y xv v
x
y z
z
SIA 262: dv statt z
0d Rd d cd vv v k d t
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yvxym
ym
z
xv xmxym
yvxv
xym
z
xm
z
ym
z
xym
z
ym
z
xm
z
z
Platten – Einfluss von Querkräften
Querkraftwiderstand von Platten ohne Schubbewehrung nach SIA 262
Nomineller Schubwiderstand ohne Schubbewehrung
2 2
0 x yv v v
1
0 tan ( )y xv v
xy z
z
0.3mit t ck
Rd d cd v cd
c
fv k d
t t
max
1 48
1 16mitd g
v g
k kd k D
1.5resp.sd d sdv v
s Rd s
f m f
E m E
kd: Abminderungsfaktor für Bauteilabmessung, Ausnutzung der
Längsbewehrung und Maximalkorn (Rissverzahnung)
dv: Wirksame stat. Höhe unter Berücksichtigung von Querschnitts-
unstetigkeiten
v: Dehnung der Biegebewehrung (1.5 fsd /Es gilt für plastische
Verformungen, +50% bei Abstufung der Längsbewehrung)
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yvxym
ym
z
xv xmxym
yvxv
xym
z
xm
z
ym
z
xym
z
ym
z
xm
z
z
2 2
0 x yv v v
1
0 tan ( )y xv v
xy z
z
Platten – Einfluss von Querkräften
Querkraftwiderstand von Platten ohne Schubbewehrung nach SIA 262
Nomineller Schubwiderstand ohne Schubbewehrung
(Vor-)Bemessung, B500B, Dmax = 32 mm:
kg = 1.0; md /mRd = 1.0 (keine plast. Umlagerungen)
v = fsd /Es = 2.12‰
1471 mm
cd vRd
dv
d
t
0.3mit t ck
Rd d cd v cd
c
fv k d
t t
max
1 48
1 16mitd g
v g
k kd k D
1.5resp.sd d sdv v
s Rd s
f m f
E m E
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 13
Platten – Einfluss von Querkräften
Querkraftwiderstand von Platten ohne Schubbewehrung nach SIA 262
Nomineller Schubwiderstand ohne Schubbewehrung
h
b
d
Hier d = dv
dv/2
2d
• Nachweis im Abstand dv /2 vom Auflagerrand resp. Rand der
Last, ggf. bei Bewehrungsabstufungen
• Abminderung von Einzellasten im Abstand a < 2d vom
Auflagerrand mit Faktor a/(2d) zulässig
• Einlagen, Leitungen:
Durchmesser / Breite / Höhe > d/6
(bei Leitungsbündeln: Abmessung des gesamten Bündels)
Reduktion von dv um grösste Abmessung der Einlage
resp. Leitung (dv = d – max(b;h))
a
Nachweisschnitt
d = (dx + dy)/20.3mit t ck
Rd d cd v cd
c
fv k d
t t
max
1 48
1 16mitd g
v g
k kd k D
1.5resp.sd d sdv v
s Rd s
f m f
E m E
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 14
Platten – Einfluss von Querkräften
Querkraftwiderstand von Platten ohne Schubbewehrung nach SIA 262
Nomineller Schubwiderstand ohne Schubbewehrung
• Platte mit Vorspannung oder Normalkraft, mit Dekompressionsmoment mDd :
… mDd = Langzeitwert des Dekompressionsmoments (siehe auch Kapitel
Durchstanzen) unter Berücksichtigung von Normalkraftzwängungen
… md = inkl. Zwangsschnittgrössen (u.a. Sekundärmomente aus Vorspannung)
• Betondruckfestigkeit fck > 70 MPa: Dmax 0, d.h. kg 3 ( vRd (fck) bei 70 MPa unstetig )
• Deutliche Abweichung der Hauptrichtung 0 der Querkraft von der Richtung
der Hauptbewehrung um Winkel J: Vergrösserung der Dehnung v mit Faktor
(d.h. im schlimmsten Fall, J = 45°: Faktor 2)
4 4
1
sin cosJ J
sd d Ddv
s Rd Dd
f m m
E m m
0.3mit t ck
Rd d cd v cd
c
fv k d
t t
max
1 48
1 16mitd g
v g
k kd k D
1.5resp.sd d sdv v
s Rd s
f m f
E m E
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x
n3 sx
tzx
txzszz
r
Einfluss von Querkräften
Herleitung Faktor für Abweichung der Hauptrichtung 0 der Querkraft von der Richtung der Hauptbewehrung
(Druckfeldmodell für Sandwichdeckel)
1F
rz sszr
Spannungen
im Beton
(am Riss)
Spannungen in
der Bewehrung
äussere
Beanspruchung
rx ssxr
1
1F
mittlere
Verzerrungen
1 1c
1c
rr
1 3
X
2
ZQ
r
r
1r3r
Xr
F
ZrQrZF
QF
s
XF
1c
Spannungen in
der Bewehrung
1c
1 1 1 1
2 2
3 1 3 3 1 3 1
2 2
3 1 3 3 1 3 1
2
( ) sin ( ) cos
( ) cos ( ) sin
c r
x r
z r
sxr E
s
Verträglichkeit: linear elastisches Verhalten, Risse spannungsfreiHauptverzerrungsrichtung, resp.
0 0
2 2
1 1 1 1cos sin
b rmx b rmzs x szr s z
sxr s szr s
s sE
E E
t t s
s s
Druckstauchung Beton & Zugversteifung vernachlässigt
Einsetzen in Gleichgewicht am Rissquerschnitt(Risse spannungsfrei nur Bewehrung; all
1 1
1 1
1 1
2 2
2
4 4
1
1
1 1 1 1 1
1
1
1
4
1
2
4
(
( ) sin cos
cos s
) cos s
i
( )
in
1
cos s
n
in
x sxr r z szr r
x sxr z s
c F r F
F c
F c
s x
F c x
z
s s
zr
zE E
E
s r
r s r s
r s
s
s
r
r
r
s
r
gemein ist resp. )
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3 Platten
Vertiefung und Ergänzungen zu Stahlbeton II
3.6 Durchstanzen
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Platten – Einfluss von Querkräften
Platten ohne Schubbewehrung – Versagensmechanismen
• Auftreten von Versagensmechanismen gemäss Abbildung links ist bei dünnen Platten wenig wahrscheinlich. Kritisch können jedoch hoch beanspruchte und primär in eine Richtung tragende Platten(streifen) sein, beispielsweise Tagbautunnel-Decken.
• Im Bereich von Krafteinleitungen, namentlich im Stützenbereich von Flachdecken, treten im allgemeinen hohe Schubbeanspruchungen auf. Bei fehlender Schubbewehrung kann dies zu schlagartigem, sprödem Versagen des Krafteinleitungsbereiches führen (Durchstanzen).
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Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzen
• Flachdecken: Lastkonzentration bei den Stützen, v0 und (mx, my) maximal,
Biegemomente mit grossem Gradienten (elastisch: bei Punktstützung mx, my ∞)
• Pilzdecken aus Sicht des Kraftflusses deutlich besser
• Pionierzeit des Betonbaus: Flachdecken als neue Konstruktionsart Pilzdecken-
Systeme Maillart / Turner
Belastungsversuch R. Maillart (1908) Patentschrift C.A.P. Turner (1911)
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 19
Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzen
- Flachdecken ohne Schubbewehrung: sehr spröder Bruch,
Kettenreaktion
- Einstellhallen besonders gefährdet: Fahrzeugbrand,
Korrosion, unplanmässig hohe Erdüberdeckung
- Durchstanzwiderstand nach SIA 262 (2003) deutlich
geringer als früher, in Teilrevision 2013 noch detaillierter
viele alte Bauwerke ungenügend
Wolverhampton (1997) Bluche (1981)
Gretzenbach (2004)
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 20
Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzen
Schon früh viele experimentelle Untersuchungen weltweit, u.a. ETH Zürich, EMPA
[Thürlimann/Pralong 1979-1984]
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 21
Platten – Einfluss von Querkräften
Konzeptionelle Lösung des Problems: Durchstanzbewehrung
Bügelkorb aufgebogene Bewehrung Stahlpilze
Dübelleisten Verstärkungsanker
Muttoni et al. (2008)
Aschwanden (2014)
http://www.peikko.com
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 22
Durchstanzen: Versagensarten Beispiel: Versuche von Etter, Heinzmann, Jäger, Marti (2009)
IBK-Bericht 324
• Versagen im «inneren Rundschnitt»
(hier ohne Durchstanzbewehrung)
• Versagen im «äusseren Rundschnitt»
(innerer Bereich mit Durchstanzberwhrung)
• Druckstrebenversagen
(mit Durchstanzbewehrung)
Platten – Einfluss von Querkräften
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 23
Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzen: Modellvorstellung
• Forschungsschwerpunkt u.a. von Prof. Muttoni in Lausanne, seit 2000 diverse Versuchsreihen
(u.a. mit Fernández Ruiz, Guandalini, Guidotti, Lips, Kunz)
Krümmungen infolge Biegung vernachlässigt Rissöffnung Plattenrotation y · stat. Höhe d
y
kritischer Schubriss
[EPFL - ibeton]
Massgebender Einfluss: Verzerrungszustand im Stützenbereich ( Biegeverformungen, wurde z. Bsp. bereits 1960 von
Kinnunen / Nylander erkannt und war auch in SIA 162/1968 («Richtlinie 18») berücksichtigt, aber in Norm SIA 162/1989
nicht enthalten).
Modellvorstellung für Platten ohne Schubbewehrung (Basis der Bemessung nach SIA 262 und fib Model Code 2010):
Versagen, wenn massgebender diagonaler Riss («kritischer Schubriss») sich so weit geöffnet hat, dass Schub nicht mehr
übertragen werden kann (Versagenskriterium eng verwandt mit Beziehungen für «compression softening»):
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 24
Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzwiderstand von Platten nach SIA 262
Konzeptionelle Bestimmungen
• Das Verformungsvermögen von durch konzentrierte Kräfte belasteten Platten kann mit folgenden Massnahmen
gewährleistet werden:
→ entweder rechnerische Plattenrotation(skapazität) y > 0.02 bei Erreichen der Durchstanzlast sicherstellen
(Biegebewehrung nicht überdimensionieren, genügend grosse gestützte Fläche und Plattendicke wählen)
→ oder Anordnung einer Durchstanzbewehrung mit VRd,s ≥ Vd /2 (*)
Andernfalls sind die aufgezwungenen Verformungen bei der Bemessung zu berücksichtigen (Zwangsschnittkräfte infolge
Temperaturänderungen, differentiellen Setzungen, Schwinden etc.)
in der Regel starke Vergrösserung der Beanspruchung, sehr schwierig zu quantifizieren: vermeiden!
(*) nach fib Model Code 2010: VRd,s ≥ Vd /2 mit ssd = fsd (SIA 262: nicht angegeben)
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Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzwiderstand von Platten nach SIA 262
Konzeptionelle Bestimmungen
• Um einen progressiven Kollaps (durch unvorhersehbares Durchstanzen) zu vermeiden, ist mindestens eine der folgenden
Massnahmen zu treffen:
Anordnung einer Durchstanzbewehrung mit Vd,s ≥ Vd /2 (*)
Anordnung einer Sicherung gegen Totaleinsturz (Details siehe SIA 262, 4.3.6.7)
(*) nach fib Model Code 2010: VRd,s ≥ Vd /2 mit ssd = fsd (SIA 262: nicht angegeben)
Bewehrung zur
Sicherung gegen
Totaleinsturz
Bewehrung zur Sicherung gegen
Totaleinsturz
sint
Bewehrung zur
Sicherung gegen
Totaleinsturz
dint
dintb
sint
sint
dint/2
sint
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Platten – Einfluss von Querkräften
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton II 27
Durchstanzwiderstand von Platten nach SIA 262
Nachweisformat
Der Durchstanzwiderstand wird auf Basis der nominellen Schubbeanspruchung wie folgt ermittelt:
Der Beiwert kr hängt in erster Linie von der Ausnützung der Biegebewehrung über der Stütze, auf der Breite bs des nominellen
«Stützstreifens», ab.
Nachfolgend werden zuerst die geometrischen Grössen (wirksame statische Höhe dv, Nachweisschnitt u , Breite des
Stützstreifens bs ) und anschliessend der Beiwert kr erläutert.
,
0.3mit t ck
Rd c r cd v cd
c
fV k d u
t t
kr Beiwert für Bauteilabmessung,
Plattenrotation und Maximalkorn
dv Wirksame stat. Höhe in mm
u Nachweisschnitt
Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzen: Nachweisschnitt und Stützstreifen
dv/2
dv dv
• Wirksame stat. Höhe dv gem. Abbildungen unten
• Wirksame stat. Höhe dv bei der Festlegung des Nachweisschnitts zu beachten
d = dv
dv/2
d
dv/2
dv
dv
d
dv/2
dv/2
dv
dv/2
dv
≤ 3 dv
d = (dx + dy)/2
dv/2
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 28
Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzen: Nachweisschnitt und Stützstreifen
1,5s sx sy minb r r l
0.5 dv 0.5 dv
0.5 dv
0.5 dv
0.5 dv
0.5 dv
Plattenrand
x
ybs
lx
lybs
bs/2
≤ bs/2
bsr ≤ bs
45°45°
≤ bsr/2 bsr/2 ≤ bs/2
Nachweisschnitt (Länge u)
NB: Einwirkungen innerhalb des Nachweisschnitts
dürfen vom Bemessungswert der Querkraft
in Abzug gebracht werden (Eigengewicht,
Sohldruckspannungen, Umlenkkräfte aus
Vorspannung etc.)
Stützstreifen (Breite bs)
NB: Massgebende Biegebeanspruchung und
Biegewiderstand: Mittelwert über Breite des
Stützstreifens
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 29
Durchstanzen: Nachweisschnitt
Abminderung der Länge des Nachweisschnitts zur Berücksichtigung nicht konstanter Verteilung der Querkraftbeanspruchung
• Berücksichtigung der Lastkonzentrationen in Ecken, Aussparungen, Leitungen etc.
(Leitungen im Abstand < 5dv nur in radialer Richtung zulässig)!
Resultierende der Auflagerkraft
(Exzentrizität bez. Stützenachse:
MRdx /Ved ,MRdy /Ved)
Platten – Einfluss von Querkräften
2 2
1
1
u u u
u
y
e
xe e
ke
e
b
Näherung für regelmässig gestützte Flachdecken,
Stützen biegesteif angeschlossen, keine Aufnahme
horizontaler Einwirkungen durch Stützen:
- ke = 0.90 Innenstützen
- ke = 0.75 Wandenden, Wandecken
- ke = 0.70 Randstützen, Innenstützen mit
grossen Aussparungen in Stützennähe
- ke = 0.65 Eckstützen
• Zusätzliche Abminderung des Nachweisschnitts bei Momentenübertragung Stütze-Platte durch
Beiwert ke (Ausrundungen des Nachweisschnitts vereinfachend als Ecken):
0.5 dv
1.5 dv1.5 dv
0.5 dv
1.5 dv
Nachweisschnitt
Nachweisschnitt
Nachweisschnitt
1.5
dv
1.5 dv
Nachweisschnitt
0.5 dv≤ 5 dv
Nachweisschnitt
Schwerpunkt des
(vereinfachten)
Nachweisschnittsuye
uxe
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 30
3 Platten
Vertiefung und Ergänzungen zu Stahlbeton II
3.6.1 Verhalten ohne Durchstanzbewehrung
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 31
V
kritischer Schubriss
Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzen von Platten ohne Durchstanzbewehrung nach SIA 262
• Modellvorstellung: kritischer Schubriss versagt, wenn er sich so weit geöffnet hat, dass er die Beanspruchung nicht mehr
übertragen kann
• Öffnung des kritischen Schubrisses resp. Bruchwiderstand wird über eine an Versuchen kalibrierte Beziehung mit der
Plattenrotation y verknüpft Bruchkriterium VRd VRd (y)
• Herleitung einer analytischen Beziehung y y(msd /mRd) zwischen Plattenrotation y und Biegebeanspruchung des
Stützstreifens (msd /mRd) mit mechanischem Modell, Verknüpfung von msd mit Stützenreaktion Vd Last-
Verformungsbeziehung Vd Vd (y)
Plattenrotation y
V
VRd
yRd
Last-Verformungs-
beziehung Vd(y)
Bruchkriterium VRd,c(y)
Durchstanzversagen
md = mRd
→ Vd = Vd,flex
Vd,flexy
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 32
Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzwiderstand von Platten ohne Durchstanzbewehrung nach SIA 262
kr Beiwert für Bauteilabmessung, Plattenrotation und
Maximalkorn
dv Wirksame stat. Höhe in mm
u Nachweisschnitt
y Plattenrotation
rs Distanz Momentennullpunkt (radiales Moment = 0) ab
Stützenachse
msd Mittelwert der Biegemomente im Stützstreifen
,
0.3( ) mit t ck
Rd c r cd v cd
c
fV k d u
y t t
max
1 482
0.45 0.18 16mitr g
g
k kd k D
y
3 2
1.5 s sd sd
s Rd
r f m
d E m
y
Bemerkung: Die Last-Verformungsbeziehung muss bei der
Bemessung (Kontrolle, ob für eine gegebene Einwirkung Vd eine
Durchstanzbewehrung erforderlich ist) nicht ermittelt werden.
Für die Berechnung des tatsächlich vorhandenen
Durchstanzwiderstands wird sie jedoch benötigt.
Nähere Angaben siehe folgende Seiten.
(msd, mRd und rs für Richtungen x,
y separat ermitteln, grösserer Wert
von y ist massgebend)
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 33
Plattenrotation y
V
VRd
yRd
Last-Verformungs-
beziehung Vd(y)
Bruchkriterium VRd,c(y)
Durchstanzversagen
md = mRd
→ Vd = Vd,flex
Vd,flex
yd
Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzwiderstand von Platten ohne Durchstanzbewehrung nach SIA 262
Bemessung (nur massg. Richtung dargestellt (yd für msd, mRd und rs pro Richtungen x, y ermitteln, kleinerer Wert von VRd ist massgebend)
Gegeben: Vd, Stützenabmessung (und damit u)
Frage: Ist die Durchstanzsicherheit ohne Schubbewehrung gewährleistet / ist die Plattendicke resp. Biegebewehrung ausreichend?
Vorgehen
1. Annahme von d und mRd
2. Ermittlung von rs und msd (Vd) yd VRd (yd) pro Richtung x, y
3. Vergrösserung von d und ev. mRd, bis VRd (yd) > Vd
(oder Entscheid: Durchstanzbewehrung anordnen)
NB: Der resultierende Wert von VRd (yd) ist grösser als
der tatsächliche Durchstanzwiderstand VRd .
Der genaue Wert von VRd müsste iterativ ermittelt
werden (Schnittpunkt der Kurven VRd (y) und Vd (y)).
Dies ist aber bei der Bemessung unnötig; diese kann ohne
Ermittlung der Last-Verformungsbeziehung Vd (y) erfolgen.
Die Ermittlung des effektiv vorhandenen Durchstanzwiderstands
wird in der Vorlesung Stahlbeton III näher erläutert.Plattenrotation y
V
Last-Verformungsbeziehung Vd (y)
Bruchkriterium VRd,c(y)
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 34
Vd
VRd(yd)Durchstanzwiderstand
ysdyRd
Durchstanzwiderstand von Platten ohne Durchstanzbewehrung nach SIA 262
Kontrolle / Nachweis bestehender Tragwerke (nur massgebende Richtung dargestellt!)
Gegeben: Stützenabmessung (und damit u), d, mRd
Frage: Wie gross ist der Durchstanzwiderstand (ohne Schubbewehrung)?
Vorgehen
1. Ermittlung der Last-Verformungsbeziehung Vd (y) pro Richtung x, y
(in Näherungsstufe 3 Faktor 1.5 durch 1.2 ersetzen)
2. Gleichsetzen von VRd,c (y) Vd (y) yRd , VRd (yRd) Vd (yRd)
(Richtung mit kleinerem Wert von VRd ist massgebend)
Platten – Einfluss von Querkräften
Plattenrotation y
V
Last-Verformungsbeziehung Vd (y)
Bruchkriterium VRd,c(y)
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 35
Durchstanzwiderstand
, ( )Rd c r cd vV k d uy t
2 3
, ,( )d flex sd sd flex sdV V Vy y y
,flex sdV
VRd
Vflex, sd Stützenreaktion, bei welcher die
Biegebewehrung (der betrachteten
Richtung) fliesst
ysd Plattenrotation beim Erreichen von Vflex, sd
3 3
2 2
,
,
3
2
,
,
( )1.5 1.5
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
mit
mit aus Plattenberechnung
s sd sd sd s sdsd sd
s Rd Rd s
d sd d dflex sd Rd
sd Rd flex sd sd
dsd d flex sd
flex sd sd
r f m m r f
d E m m d E
V m V VV m
m m V m
VV V
V
yy y y
y y y y
y y
y y y y y y
2
3
,flex sdV
Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzwiderstand von Platten ohne Durchstanzbewehrung nach SIA 262: Näherungsstufen
(a) Regelmässig gestützte Flachdecken 0.5 ≤ lx / ly ≤ 2, k(l)eine plastische Umlagerungen
(«normale» Hochbaudecke):
• Näherungsstufe 1: rsx = 0.22·lx , rsy = 0.22· ly und msd / mRd = 1.0
• Näherungsstufe 2: rsx = 0.22·lx , rsy = 0.22· ly, Abschätzung der Biegebeanspruchung:
, ,
, ,
1 1
8 2 8 2 4
1 1
8 2 8
Innenstützen Randstützen Rand
Eckstützen Randstützen Rand
u i u i dsd d sd d
s s
u i u idsd d sd d
s s
e e Vm V m V
b b
e eVm V m V
b b
8 um
4 um
2 um
2 um
2 um 2 um
2 um
2 um
III
xy um m
III
2 um
IV
xy um m
IV
II
xy um m
2 um
II
2 um
I
x
y
I
xy um m
Die entsprechenden Minimalwerte folgen direkt aus
der Betrachtung der Zusammenfügung einzelner
Plattensegmente mit diskontinuierlichen
Drillmomentenfeldern.
NB: Erklärung für Innenstützen über das
Momentenfeld (Lasteinleitung) einfacher
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 36
Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzwiderstand von Platten ohne Durchstanzbewehrung nach SIA 262:
Näherungsstufen
(b) Flachdecken mit lx / ly < 0.5 oder lx / ly > 2, Platten mit komplexer Geometrie oder detaillierte Untersuchung nötig:
• Näherungsstufe 3: Ermittlung von rs (Distanz des Nullpunktes der radialen Momente von der Stützenachse) und msd (Mittelwert der
Biegemomente im Stützstreifen) aus elastischer Plattenberechnung; Faktor 1.2 statt 1.5 in Formel für y:
3 2
1.5 1.2 s sd sd
s Rd
r f m
d E m
y
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 37
Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzwiderstand von Platten ohne Durchstanzbewehrung nach SIA 262:
Auswahl weiterer Bestimmungen (konstruktive Details siehe SIA 262, 5.5.3)
• Biegewiderstand mRd = Mittelwert über Stützstreifen, mit Berücksichtigung Vorspannung.(Bewehrung muss generell im Abstand 2.5·dv vom Nachweisschnitt vollständig verankert sein, höchstens aber im Nullpunkt
des zugehörigen Biegemoments. Bei Rand- und Eckstützen ist die Bewehrung quer zum Rand vollständig zu verankern).
• Vorgespannte Platten mit Dekompressionsmoment mDd:
… mDd = Langzeitwert (Schwinden, Kriechen, Relaxation) unter Berücksichtigung von Zwangsnormalkräften
(für mDd darf nur der Anteil der Druckkraft berücksichtigt werden, der effektiv im Stützstreifen wirksam ist)
… msd = inkl. Zwangsschnittgrössen (u.a. Sekundärmomente aus Vorspannung)
… Vorspannung mit ungünstiger Wirkung ist zu berücksichtigen
… Vorzeichen von msd , mRd und mDd konsequent einsetzen, sonst resultieren komplett falsche Resultate!
3 2
1.5 1.2 oder s sd sd Dd
s Rd Dd
r f m m
d E m m
y
NB1: Das Dekompressionsmoment beträgt allgemein: mDd = P·(ep+k). Wird die Vorspannung als Anker- und Umlenkkräfte
(«auf der Lastseite») berücksichtigt, ist der Beitrag P·ep an mDd bereits in der entsprechend reduzierten
Biegebeanspruchung msd berücksichtigt, der Biegewiderstand mRd ist ebenfalls um den Betrag P·ep kleiner (nur
Spannkraftzuwachs als Widerstand) in Zähler und Nenner nur Anteil P·k subtrahieren, dabei Ausbreitung von P
über Plattenbreite und ggf. Reduktion von P durch Zwangsnormalkräfte beachten.
NB2: Zusätzlich darf der Anteil geneigter Vorspannkräfte an den Durchstanzwiderstand berücksichtigt werden
ep
k
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 38
ysdyRd
Durchstanzwiderstand von vorgespannten Platten ohne Durchstanzbewehrung nach SIA 262
Kontrolle / Nachweis bestehender Tragwerke (nur massgebende Richtung dargestellt!)
Gegeben: Stützenabmessung (und damit u), d, mRd
Frage: Wie gross ist der Durchstanzwiderstand (ohne Schubbewehrung)?
Vorgehen
1. Ermittlung der Last-Verformungsbeziehung Vd (y) pro Richtung x, y
(in Näherungsstufe 3 Faktor 1.5 durch 1.2 ersetzen)
2. Gleichsetzen von VRd,c (y) Vd (y) yRd , VRd (yRd) Vd (yRd)
(Richtung mit kleinerem Wert von VRd ist massgebend)
Platten – Einfluss von Querkräften
Plattenrotation y
V
Last-Verformungsbeziehung Vd (y)
Bruchkriterium VRd,c(y)
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 39
, ( )Rd c r cd vV k d uy t
( ) mit VorspannungdV y
,flex sdV
, ,
,
,
3 2 3
,
2
,
,
,
( )1.5 1.5
( ) ( ) ( ),
( )
( )( )
mit
(mit
dec dec
dec dec
g
s sd sd sd s sdsd sd
s Rd
q d gq dec decdec sd dec
gq sd gq dec dec
g
Rd s
d sd dflex sd Rd
sd Rd flex sd
d
r f m m r f
d E m m d E
V m VV
m m
m m
V m VV m
m m Vm
m m V
V
yy y y
y y y
y
y
y
3 2 2 3
, ,
,
,
( )
( )
( )( ) ( )
aus Plattenberechnung)q
gq
decdec dec
sd
dsd d flex sd flex sd
flex sd dec sd
VV V
V
m
VV V V
V
y
y
y y y y y y
Vflex, sd Stützenreaktion, bei welcher die
Biegebewehrung (der betrachteten
Richtung) fliesst
ysd Plattenrotation beim Erreichen von Vflex, sd
mdec Dekompressionsmoment
(siehe Folie 37 und 39)
RdV
decV
Durchstanzwiderstand
( ) schlaff bew.dV y
Durchstanzwiderstand von vorgespannten Platten ohne Durchstanzbewehrung nach SIA 262
Vorspannung auf der Widerstandsseite berücksichtigt:
Wenn die Vorspannung auf der Widerstandseite einführt wird, kann der Anteil der geneigten Vorspannkraft (Summe der
Vertikalkomponenten am massgebenden Umfang) zum Durchstanzwiderstand addiert (resp. der Bemessungswert der
Stützenreaktion = Durchstanzeinwirkung reduziert) werden: Vd,red Vd DVd (P), DVd (P) SP sinp
Platten – Einfluss von Querkräften
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 40
3 2
,
,
1.5
:
:
:
mit Bemessungswert des Biegemoments im Stützenstreifen (negativ)
Bemessungswert des Biegemoments infolge vertikaler Lasten (negativ)
Zwangsmom
s sd sd dec
s Rd dec
sd gq d ps
gq d
ps
r f m m
d E m m
m m m
m
m
y
( ) :
:
:
ent infolge Vorspannung (i.d.R. positiv)
Dekompressionsmoment (negativ)
Vorspannkraft bei t= (positiv) (Wert abzumindern, wenn Normalkraft nicht im Stützenstreifen wirkt!)
Exzentriz
dec p
p
m P e k
P
e
:
: (
ität der Vorspannung (im Stützenstreifen), hier positiv nach oben
Kernweite (positiv, i.d.R. = /6)
Bemessungswert des Biegewiderstands + ) (negativ)
(Alle Momente mit üblicher Vo
Rd s sd s p pd p
k h
m A f z A f z
rzeichenkonvention eingesetzt, d.h. Zug unten = positiv -> Stützmomente negativ)
Durchstanzwiderstand von vorgespannten Platten ohne Durchstanzbewehrung nach SIA 262
Vorspannung auf Lastseite (als Anker- und Umlenkkräfte) berücksichtigt:
msd, mRd und mdec sind alle um den Wert P ep anders als bei Vorspannung auf Widerstandsseite gleiches Resultat!
Auch wenn die Vorspannung auf der Lastseite eingeführt wird, kann der Anteil der geneigten Vorspannkraft zum
Durchstanzwiderstand berücksichtigt werden, da als Einwirkung die Stützenreaktion – welche durch die Vorspannung nur
über die Zwangsmomente beeinflusst wird – betrachtet wird (nicht das Integral der Plattenquerkräfte am massg.Umfang).
Platten – Einfluss von Querkräften
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 41
3 2
,
,
1.5
:
:
:
mit Bemessungswert des Biegemoments im Stützenstreifen (negativ)
Bemessungswert des Biegemoments infolge vertikaler Lasten (negativ)
Biegemoment
s sd sd dec
s Rd dec
sd gq d p
gq d
p
r f m m
d E m m
m m m
m
m
y
:
:
e infolge Vorspannung (Eigenspannungszustand und Zwangsmomente, positiv)
Dekompressionsmoment (negativ)
Vorspannkraft bei t= (positiv) (Wert abzumindern, wenn Normalkraft nicht im Stü
p
dec
P e
m P k
P
:
: (
tzenstreifen wirkt!)
Kernweite (positiv, i.d.R. = /6)
(Anteil ist in bereits enthalten, hier nicht nochmals berüsichtigen!)
Bemessungswert des Biegewiderstands )
p sd
Rd s sd s p pd p p
k h
P e m
m A f z A f z P e
(negativ)
(Vorspannung: ohne Anteil , da bereits in berücksichtigt ist)
(Alle Momente mit üblicher Vorzeichenkonvention eingesetzt, d.h. Zug unten = positiv -> Stützmomente negativ
p p p p p pP e A e P e m s
)
3 Platten
Vertiefung und Ergänzungen zu Stahlbeton II
3.6.2 Verhalten mit Durchstanzbewehrung
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 42
Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzwiderstand von Platten mit Durchstanzbewehrung nach SIA 262
Bei Platten mit Durchstanzbewehrung sind folgende Nachweise zu führen:
• Widerstand der ersten Betondruckdiagonalen an der gestützten Fläche
• Widerstand der Durchstanzbewehrung (verstärkte Zone)
• Durchstanznachweis (ohne Durchstanzbewehrung) ausserhalb der verstärkten Zone
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 43
Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzwiderstand von Platten mit Durchstanzbewehrung nach SIA 262
, ,cd s d RdV V V
, sinRd s sw e sdV A k s b
16
s bdsd sd
sd sw
E f df
f
ys
,max
,c
2 3.5
2 1.75 mit
Rd r cd v cd v
Rd r
V k d u d u
V k
t t
,c
, max2
d Rd
d s
d
V VV
V
Minimal erforderlicher Widerstand Durchstanzbewehrung:
… resp. damit eine Vernachlässigung von Zwängungen
beim Nachweis der Tragsicherheit zulässig ist oder
wenn keine Einsturzsicherung angeordnet werden soll:
Widerstand Durchstanzbewehrung (normal: Neigung b = 90°):
(Asw: nur Durchstanzbewehrung im Abstand
0.35…1.0·dv von der gestützten Fläche zählt)
Rechnerische Spannung in der Durchstanzbewehrung:
(fbd: Bemessungswert der Verbundspannung)
(NB: nach fib Model Code 2010: Vd,s ≥ Vd /2 mit ssd = fsd)
Widerstand der ersten Betondruckdiagonale:
(Faktoren > 2 und nach SIA 262 > 3.5 zulässig, sofern die
Wirksamkeit der Bewehrung experimentell nachgewiesen ist)
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 44
sx
d
dv
s0 ≥ 0.35dv
sy
s1
≤ 1.5·dv
≤ 3 dv
dv
Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzwiderstand von Platten mit Durchstanzbewehrung nach SIA 262:
Auswahl weiterer Bestimmungen (konstruktive Details siehe SIA 262, 5.5.3)
, sinRd s sw e sdV A k s b
Widerstand der Durchstanzbewehrung:
(Asw: nur Durchstanzbewehrung im Abstand 0.35…1.0·dv von der gestützten
Fläche)
SIA 262 5.5.3.8: Mindestens zwei
Schenkel in Radialrichtung
SIA 262 5.5.3.10: vollständige Verankerung in
Druck- und Zugzone
Anordnung der Durchstanzbewehrung im
Abstand > dv von der gestützten Fläche:
• radialer Abstand und maximale Ø, siehe SIA 262, Tab. 20
• tangentialer Abstand im 2. Ring ≤ 1.5·dv
Generell gleichen Querschnitt Asw pro Ring (affin zu Nachweisschnitt)
vorsehen
Durchstanzbewehrung in Reihen: gleicher rad. Abstand der Dübel / Bügel
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 45
Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzwiderstand von Platten mit Durchstanzbewehrung nach SIA 262
Bemessung (nur massg. Richtung dargestellt (yd für msd, mRd und rs pro Richtungen x, y ermitteln, kleinerer Wert von VRd ist massgebend)
1. Ermittlung VRd,c (= wie Ermittlung VRd ohne Durchstanzbewehrung, siehe vorne)
2. Erforderlicher Widerstand VRd,s ≥ Vd,s=Vd VRd,c (≥ Vd /2 falls Zwängungen vernachlässigt werden sollen)
3. Kontrolle, dass Versagen der ersten Druckdiagonalen nicht massgebend wird VRd 2·VRd,c
4. Festlegung Grösse des verstärkten Bereichs (so, dass ausserhalb VRd,c allein ausreicht)
Plattenrotation y
V
yd
Last-Verformungsbeziehung Vd (y)
(Verlauf muss für Bemessung nicht
ermittelt werden)
Bruchkriterium VRd,c(y)
Vd
VRd,c
Minimal erforderlicher Widerstand der Durchstanzbewehrung VRd,s
(falls Zwängungen vernachlässigt werden sollen: VRd,s ≥ Vd /2)
Versagen der ersten Betondruckdiagonalen:
(obere Grenze des Durchstanzwiderstands)
2 3.5r cd v cd vk d u d u t t
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 46
NB: Die Ermittlung des effektiv vorhandenen Durchstanzwiderstandswird in der Vorlesung Stahlbeton III näher erläutert.
Platten – Einfluss von Querkräften
Durchstanzwiderstand von Platten mit Durchstanzbewehrung nach SIA 262
Kontrolle / Nachweis bestehender Tragwerke
1. Ermittlung Last-Verformungsbeziehung Vd (y) und Durchstanzwiderstand VRd (y) VRd,c VRd,s Gleichsetzen, Schnittpunkt = VRd
2. Kontrolle VRd ≥ Vd (Vd inkl. Zwängungen, falls Vd > 2·VRd,s)
3. Kontrolle, dass Versagen der ersten Druckdiagonalen nicht massgebend wird VRd 2·VRd,c
4. Überprüfung der Grösse des verstärkten Bereichs mit separatem Nachweis
VRd,c(y)
VRd,s(y) (Achtung: proportional zu y, daher bei kleinem y nur
geringe Spannungen in der Durchstanzbewehrung aktivierbar)
VRd VRd,c VRd,s
Plattenrotation y
Versagen der ersten Betondruckdiagonalen:
(obere Grenze des Durchstanzwiderstands)
Last-Verformungsbeziehung Vd (y)
2 3.5r cd v cd vk d u d u t t
VRd
yRd
V
2·VRd,s(y) (Zwängungen berücksichtigen falls Vd > 2·VRd,s)
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 47
NB: Vorgehen bei der
Ermittlung von Vd (y) und
VRd,c analog wie ohne
Durchstanzbewehrung;
VRd,s proportional zu y)
3 Platten
Vertiefung und Ergänzungen zu Stahlbeton II
3.7 Ergänzungen
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 48
Ergänzungen – Elastische Platten
Kirchhoffsche Plattentheorie
(schubstarre linear elastische Platten mit kleinen Durchbiegungen)
Aus den Gleichgewichts- und Verträglichkeitsbedingungen folgt für linear elastisches Verhalten die Differentialgleichung vierter
Ordnung (inhomogene Bipotentialgleichung):
Nur zwei Randbedingungen an Lösung anpassbar, am Rand greifen aber drei Grössen an (Momente mn, mtn und Querkraft vt)
Stützkraft (siehe Platten Teil 1), somit folgende Randbedingungen:
• eingespannter Plattenrand: , folglich und somit . und ergeben sich aus den Lagerreationen
• einfach gelagerter Plattenrand: , , resultierende Stützkraft
• freier Plattenrand: , verschwindende Stützkraft
Balken in
Richtung x
Balken in
Richtung x
Zusatz-
term
4 4 4 3
4 2 2 4 22
12(1 )
w w w q Ehw mit D
x x y y D
DD
30.11.2018 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 49
0w 0w
x
2
0w
x y
0xym nm nv
0xm 0wD , , ,2n tn t n n nt tv m m m
0nm , , ,2 0n tn t n n nt tv m m m
maxm
m
n
Ergänzungen – Membranwirkung
Entstehung von Membrankräften
• Rissbildung führt bereits im Gebrauchszustand zu Dehnungen in der Plattenmittelebene (Dilatanz)
• Resultierende Verformungen sind selten ohne Behinderung möglich Membrandruckkräfte in gerissenen Bereichen In der Regel Erhöhung des Biegewiderstands
• Membrankraft kann in der Regel nur grob abgeschätzt werden (abhängig von Geometrie, Verformungen der Plattenmittelfläche, Steifigkeit der Membranstützung)
n
mcf s sa f
s sa fm
c
h
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 50
Q
0
A
B
C
D
w0
Druck Zug
Versuch, verformungsgesteuert
starr -plastisch1. Ordnung
linear elastisch1. Ordnung
Ergänzungen – Membranwirkung
Entstehung von Membrankräften
Verhalten (qualitativ)
1. Linear elastisch (OA)
2. Rissbildung, Aufbau von Membrandruckkräften (AB)
3. Maximallast (B) > Traglast für starr-ideal plastisches Verhalten ohne Membranwirkung (Interaktion m-n)
4. Belastung nimmt bei Verformungssteuerung ab, Membrandruckkräfte werden abgebaut (BC);(Laststeuerung: «Durchschlagen» der Platte)
5. Bei äusserer Membranstützung Aufbau von Membranzugkräften bei zunehmender Durchbiegung, Bruchlast oft >> erstes Maximum (bei grossen Verformungen, nur mit entspr. Berechnung erfassbar)
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 51
Räumliches Modell für Tragwirkung
Ergänzungen – Membranwirkung
BetonmembranStahlmembranZugring
• Membranstützung nicht durch Lagerung, sondern durch
Zugring (ungerissener Bereich)
• Lastabtrag: Druckmembran aus Beton und Zugmembran
aus Stahl (zum Beispiel Vorspannung ohne Verbund)
• Ohne (äussere) Membranstützung sind die
Membrankräfte der Beton- und der Stahlmembran im
Gleichgewicht keine eigentliche Membranwirkung
• Mit Membranstützung kann das Tragverhalten einer
unbewehrten Platte erklärt werden (am Ort der
Membranstützung Horizontal- und Vertikalkomponenten
der Membrankräfte aufzunehmen!)
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 52
Ergänzungen – Membranwirkung
Modell für das Tragverhalten (Ritz, 1978)
• Modell für Tragverhalten von Plattenstreifen mit Vorspannung ohne Verbund mit Membranwirkung
• Belastung je nach Steifigkeitsverhältnissen durch Biegeträger resp. Membranwirkung der Beton- und der Stahlmembran
abgetragen (bei fehlender Membranstützung keine eig. Membranwirkung)
Betondruckstrebe Membranstützung
Spannstahl ohneVerbundw
schlaffeBewehrung
Betonmembran
Stahlmembran
Biegeträger
w
Q
Q
28.08.2017 ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 53