[Springer-Lehrbuch] Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler || Funktionenfolgen und...

Kapitel 8

Funktionenfolgen und Funktionenreihen

8.1 Potenzreihen

Wie in Abschnitt 6.9 ausführlich erörtert wurde, kann eine Funktion f ∈Abb (R,R) unter bestimmten Voraussetzungen in Punkten x0 ∈ Df in eineTaylor–Reihe entwickelt werden:

f(x) =

∞∑k=0

1

k!f (k)(x0) (x − x0)

k.

Diese Reihe ist ein Spezialfall von allgemeineren Reihen der Form

P (x) :=

∞∑k=0

ak (x− x0)k, ak ∈ K gegeben. (8.1)

Hier bezeichnt K wieder den Körper der reellen (K := R) bzw. der komplexen(K := C) Zahlen.

Definition 8.1 Eine Reihe der Form (8.1) heißt eine Potenzreihe mitEntwicklungspunkt oder Mittelpunkt x0 und den Koeffizienten ak. Insbe-sondere hat eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x0 = 0 die Form

P (x) :=∞∑k=0

ak xk = a0 + a1x+ a2x

2 + · · · (8.2)

Bemerkung 8.2 Die Substitution ξ := x− x0 führt die letztgenannten Po-tenzreihen in Reihen der Form (8.1) über. Es genügt daher, sich ausschließlichmit Potenzreihen vom Typ (8.2) zu befassen.

667W. Merz, P. Knabner, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-29980-3_8, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

668 8 Funktionenfolgen und Funktionenreihen

Setzen wir in (8.2) neue Koeffizienten

Ak := akxk

an, so entscheidet das Wurzelkriterium aus Satz 3.47 darüber, ob die Reihe∞∑k=0

Ak absolut konvergent oder divergiert, je nach Größe des Grenzwertes

q := lim supk→∞

k√|Ak| = lim sup

k→∞k

√|ak||x|k = |x| lim sup

k→∞k√|ak|.

Wir führen die von x unabhängige Größe

ρ :=1

lim supk→∞

k√|ak| (8.3)

ein. Dann folgen aus der Konvergenzaussage des Satzes 3.47 die Beziehungen:

q < 1 ⇐⇒ |x| < ρ : Reihe (8.1) ist absolut konvergent,

q > 1 ⇐⇒ |x| > ρ : Reihe (8.1) ist divergent.

Der Fall q = 1 bleibt nach wie vor mit dem Wurzelkriterium unentscheidbar.Offensichtlich ist es völlig ohne Belang, ob die Variable x reell oder komplexist. Die Zahl ρ legt im Reellen wie im Komplexen in gleicher Weise denKonvergenz– und Divergenzbereich der Reihe (8.2) fest.

Definition 8.3 Die der Potenzreihe (8.2) durch die Vorschrift (8.3) zu-geordnete Größe ρ ≥ 0 heißt der Konvergenzradius der Reihe (8.2).Dabei seien die Fälle 1

0 := +∞ und 1∞ := 0 mit einbezogen. Im Fall

ρ = +∞ heißt die Potenzreihe (8.2) beständig konvergent.

Es ergeben sich die folgenden Aussagen:

Satz 8.4 Es sei ρ der Konvergenzradius der Potenzreihe (8.2). Dannkonvergiert die Potenzreihe in jedem Punkt x innerhalb des Konver-genzkreisesKρ(0) := {x ∈ C : |x| < ρ}, und sie divergiert für |x| > ρ,also außerhalb Kρ(0). Im Fall ρ = 0 konvergiert die Reihe nur im Punktx = 0 zum Summenwert a0. Auf der Kreislinie |x| = ρ ist keine allge-meine Konvergenzaussage möglich.

Existieren die Grenzwerte

8.1 Potenzreihen 669

ρ1 :=1

limk→∞

k√|ak| und/oder ρ2 := lim

k→∞

∣∣∣ akak+1

∣∣∣,so gilt ρ1 = ρ = ρ2.

Dieser Satz reflektiert lediglich die Konvergenz– und Divergenzaussagen derbeiden Sätze 3.47 und 3.50.

Re

ImDivergenz-bereich

keine allg.Konvergenz-aussage

Bereich absoluterKonvergenz

Konvergenzkreis einer Potenzreihe

Beispiel 8.5 Wir betrachten die Potenzreihe P (x) :=∞∑k=1

xk

kα . Es gilt hier

ρ := limk→∞

kα/k = limk→∞

e(α lnk)/k = e0 = 1 ∀ α ∈ R.

Deshalb resultiert für jedes α ∈ R:

P (x) :=

∞∑k=1

xk

kα

⎧⎨⎩ |x| < 1 : absolut konvergent,

|x| > 1 : divergent.

Für x ∈ R lassen sich in den Randpunkten x = ±1 auch noch Konvergenzaus-sagen treffen:

P (1) :=

∞∑k=1

1

kαkonvergiert ∀ α > 1 (Integralvergleichskriterium),

P (−1) :=∞∑k=1

(−1)kkα

konvergiert ∀ α > 0 (Leibniz–Kriterium).



ak2

xk für a ∈ R.Es gilt hier

ρ := limk→∞

|a|−k = limk→∞

e−k ln |a| =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩0 : |a| > 1,

1 : |a| = 1,

+∞ : |a| < 1.

Dementsprechend ist der Konvergenzkreis Kρ(0) leer für |a| > 1, der Ein-heitskreis für |a| = 1 oder die ganze komplexe Ebene für |a| < 1.


akxk mit ak :=

coshk. Es gilt hier

ρ := limk→∞

∣∣∣ akak+1

∣∣∣ = limk→∞

ek + e−k

ek+1 + e−(k+1)= lim

k→∞1 + e−2k

e+ e−(2k+1)=

1

e.

Bemerkung 8.8

1. Über das Verhalten der Potenzreihe auf dem Rand |x| = ρ des Konver-genzkreises Kρ(0) wird in Satz 8.4 keine Aussage getroffen. Eine Analysedes Konvergenzverhaltens auf diesem Rand ist Sache der Funktionentheo-rie, und wird hier nicht weiter behandelt. Die reellen Randpunkte x = ±ρmüssen – sofern dies möglich ist – einer gesonderten Betrachtung unter-zogen werden.

2. Die Funktionen fk(x) := akxk, k ∈ N0, sind besonders gutartig hin-

sichtlich der Differenzierbarkeitseigenschaft fk ∈ C∞(R). Wir werden imnächsten Abschnitt die Frage diskutieren, wie sich diese Eigenschaften

von fk auf die Reihe∞∑k=0

fk(x) übertragen.

Aufgaben

Aufgabe 8.1. Bestimmen Sie die Konvergenzradien nachstehender Potenz-reihen und damit die offenen Intervalle (a, b), in denen die Reihen konvergie-ren.

a) s1(x) =

∞∑k=1

(−1)k+1 (x− 1)k

k.

b) s2(x) =

∞∑k=1

xk

k2 · 2k .

c) s3(x) =∞∑k=1

k! (x+ 2)k.

8.1 Potenzreihen 671

Zusätzliche Information. Zu Aufgabe 8.1 ist bei der Online-Version diesesKapitels (doi:10.1007/978-3-642-29980-3_8) ein Video enthalten.

Aufgabe 8.2. Sei an =n+ 1

nund bn = an

2

n .

a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius von f(x) =

∞∑n=1

bnxn.

b) Summieren Sie g(x) =

∞∑n=1

anxn für |x| < 1.

Aufgabe 8.3. Bestimmen Sie die Konvergenzradien nachstehender Potenz-reihen und damit die offenen Bereiche, in denen die Reihen konvergieren.

a) S(x) =

∞∑n=1

xn

lnnn.

b) K(z) =

∞∑n=1

zn

(n+ 1)3(1 + i)n, z ∈ C und i bezeichne die komplexe Ein-

heit.

Aufgabe 8.4. Bestimmen Sie die Potenzreihe um x0 = 0 für die Funktion

f(x) = 22x2

.

Wie groß ist der Konvergenzradius?

Aufgabe 8.5. Bestimmen Sie die Potenzreihen um den Entwicklungspunktx = 0 für

a) f(x) =1

1− xln(1− x),

b) g(x) =[ln(1− x)

]2.

Aufgabe 8.6. Entwickeln Sie die Potenzreihen für sinhx und coshx. Wielautet der Konvergenzradius?

Aufgabe 8.7. Bestimmen Sie die Potenzreihe um den Entwicklungspunktx = 0 für

h(x) =x

(1 − x) ln(1− x).


8.2 Gleichmäßige Konvergenz

Wir betrachten in diesem Abschnitt Funktionenfolgen (fk)k∈N0unter der

Voraussetzung, dass die Funktionenfamilie fk : Dfk → K einen nichtleerengemeinsamen Definitionsbereich

∅ �= D :=⋂

k∈N0

Dfk ⊂ R

hat.

Definition 8.9 Wir legen die Konvergenzbereiche folgendermaßen fest:

1. Die Menge K := {x ∈ D : limk→∞

fk existiert } heißt der Konver-

genzbereich der Funktionenfolge (fk)k∈N0.

2. Wir definieren die Folge der Partialsummen

sn(x) :=

n∑k=0

fk(x), n ∈ N, x ∈ D.

Die Menge K := {x ∈ D : limn→∞ sn existiert } heißt der Konver-

genzbereich der Funktionenreihe∞∑k=0

fk(x).

Beispiel 8.10 Es sei fk(x) := xk ∀ x ∈ D := R, k ∈ N0. Wir habenoffenbar

limk→∞

fk(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩1 : x = 1,

0 : |x| < 1,

divergent : x /∈ (−1,+1].

Der Konvergenzbereich der Funktionenfolge (fk)k∈N0ist das Intervall K :=

(−1,+1].

8.2 Gleichmäßige Konvergenz 673

f1

f0

f2

f3

x1

1

-1

y

Konvergenzbereich der Folge (xk)k≥0

Beispiel 8.11 Es sei fk(x) :=sin kx

k2∀ x ∈ D := R, k ∈ N. Wegen∣∣∣∣∣

∞∑k=1

sin kx

k2

∣∣∣∣∣ ≤∞∑k=1

1

k2< +∞

konvergiert die Funktionenreihe∞∑k=1

fk(x) für alle x ∈ R sogar absolut. Der

Konvergenzbereich der Funktionenreihe ist K := R.

Auf dem Konvergenzbereich K wird durch die Zuordnungen

F (x) := limk→∞

fk(x) bzw. F (x) :=

∞∑k=0

fk(x), x ∈ K,

eine Funktion F : K → K erklärt. Wir fragen nach den Stetigkeits- undDifferenzierbarkeitseigenschaften, die von den Funktionen fk auf die Grenz-funktion F vererbt werden.

Das obige Beispiel 8.10 zeigt schon die Problematik auf. Obwohl jede Funk-tion fk(x) = xk zur Klasse C∞(R) gehört, ist die Grenzfunktion F unstetig.Ähnliche Beispiele lassen sich auch für Funktionenreihen angeben. Wir wol-len nun den Konvergenzbegriff so abändern, dass eine konvergente Folge oderReihe stetiger Funktionen auch eine stetige Grenzfunktion besitzt.

Definition 8.12 Die Funktionenfolge (fk)k∈N0nennen wir auf der Men-

ge K ⊂ R gleichmäßig konvergent gegen die Grenzfunktion F , wenn

∀ ε > 0 ∃ N = N(ε) : supx∈K

|F (x)− fk(x)| ≤ ε ∀ k ≥ N. (8.4)


Die Funktionenreihe∞∑k=0

fk heißt auf der Menge K gleichmäßig kon-

vergent gegen die Grenzfunktion F , wenn die Folge der Partialsummen

sn(x) :=n∑

k=0

fk(x) dies tut.

Bemerkung 8.13 Im Unterschied zur gewöhnlichen oder punktweisen Kon-vergenz fk(x)→ F (x) hängt die Zahl N(ε) in der Bedingung (8.4) nicht vonder Stelle x ∈ K ab. N(ε) kann eben gleichmäßig bezüglich x ∈ K gewähltwerden. Geometrisch bedeutet diese Bedingung, dass alle FunktionsgraphenG(fk) ab dem Index k = N(ε) in einem ε–Schlauch um den Funktionsgra-phen G(F ) verlaufen.

fk F(x)

xba K:=[a,b]

y

F+

F-

ε–Schlauch der gleichmäßigenKonvergenz

fk

1

1

x

y

F

F+x= 1/k

F+

F-

F-

F

Nicht gleichmäßige Konvergenzder Folge fk(x) := xk


Beispiel 8.14 Wir behaupten, dass die Folge

fk(x) := x1+ 1k auf K := [0, 1]

gleichmäßig gegen die Grenzfunktion F (x) := x konvergiert. Denn mit Hilfeder Differentialrechnung bestimmt man das Maximum der Funktion g(x) :=x− x1+1/k. Daraus folgt

supx∈K

|fk(x) − F (x)| = g(x̄) =

(k

k + 1

)k (1− k

k + 1

)

≤(1− k

k + 1

)=

1

k + 1≤ ε ∀ k ≥ N(ε) :=

1

ε.

Beispiel 8.15 Wir hatten gezeigt, dass die Funktionenfolge fk(x) := xk aufdem Teilintervall K := [0, 1] punktweise gegen die Grenzfunktion

F (x) :=

⎧⎨⎩0 : x ∈ [0, 1),

1 : x = 1

konvergiert.

Die Konvergenz ist jedoch nicht gleichmäßig. Die obige Skizze zeigt, dassjede Funktion fk den ε–Schlauch um die Grenzfunktion F an der Stelle x :=ε1/k ∈ K verlässt, sofern 0 < ε < 1 gilt.

Für Funktionenreihen existiert ein einfaches Kriterium, mit dessen Hilfe diegleichmäßige Konvergenz nachgeprüft werden kann:

Satz 8.16 (Weierstrass–Kriterium) Die Reihe∑∞

k=0 fk konver-giert gleichmäßig auf der Menge K gegen die Grenzfunktion F , wennes eine Zahlenfolge (ak)k∈N0 gibt mit den Eigenschaften

1. |fk(x)| ≤ ak ∀ x ∈ K ∀ k ∈ N0,

2.∞∑k=0

ak konvergiert.

Beweis. Wegen 2. existiert zu jedem ε > 0 eine Zahl N(ε) mit∞∑

k=N+1

ak ≤ ε.

Hieraus folgt für alle n ≥ N(ε):


supx∈K

|F (x)−sn(x)| = supx∈K

∣∣∣ ∞∑k=n+1

fk(x)∣∣∣ ≤ ∞∑

k=n+1

supx∈K

|fk(x)| ≤∞∑

k=N+1

ak ≤ ε.

Dies ist aber gerade die Bedingung der gleichmäßigen Konvergenz. qed

Beispiel 8.17 Wir setzen

fk(x) :=cos(2k + 1)πx

(2k + 1)2, x ∈ R, k ≥ 0.

Dann gilt |fk(x)| ≤ (2k+1)−2 =: ak ∀ x ∈ R. Die Reihe∞∑k=0

ak ist konvergent.

Also sind die Bedingungen des Weierstrass–Kriteriums erfüllt, welches diegleichmäßige Konvergenz der Funktionenreihe

F (x) :=1

2− 4

π2

∞∑k=0

cos(2k + 1)πx

(2k + 1)2, x ∈ R,

garantiert.

Mit Hilfe der sog. Theorie der Fourier–Reihen kann gezeigt werden, dassdie Grenzfunktion F folgende stetige, periodische Funktion ist:

F (x) = |x| ∀ x ∈ [−1,+1], F (x+ 2) = F (x) ∀ x ∈ R,

F(x)

-1-2 0 1 2

Funktion F(x) := |x|, x ∈ [−1,+1],mit periodischer Fortsetzung

F(x+ 2) = F(x) ∀ x ∈ R.


r

Kr

Zur gleichmäßigen Konvergenzvon Potenzreihen

Mit dieser Kenntnis kann F insbesondere an der Stelle x = 1 ausgewertetwerden. Es gilt F (1) = 1. Mit cos(2k + 1)π = −1 resultiert

∞∑k=0

1

(2k + 1)2=

π2

8.

Nun sind Potenzreihen natürlich spezielle Funktionenreihen. Mit Hilfe desWeierstrass-Kriteriums lässt sich folgende Aussage über die gleichmäßigeKonvergenz zeigen:

Satz 8.18 Eine Potenzreihe P (x) :=∞∑k=0

akxk konvergiert gleichmäßig

auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe Kr(0) := {x ∈ C : |x| ≤ r} vomRadius r < ρ, wobei ρ den Konvergenzradius der Potenzreihe P angibt.

Beweis. Wir haben im letzten Abschnitt gezeigt, dass die Potenzreihe P für

|x| = r < ρ absolut konvergiert. Also ist die Reihe∞∑k=0

|ak|rk konvergent,

und wegen |akxk| ≤ |ak|rk ∀ x ∈ Kr(0), k ∈ N0, sind die VoraussetzungenSatzes 8.16 erfüllt. qed

Wir zeigen, dass bei gleichmäßiger Konvergenz Stetigkeitseigenschaften derFunktionen fk auf die Grenzfunktion F vererbt werden. In diesem Sachverhaltliegt die besondere Bedeutung der gleichmäßigen Konvergenz.


Satz 8.19 Es gelten folgende Aussagen:

1. Konvergiert die Folge stetiger Funktionen fk : K → K auf dem In-tervall K := [a, b] gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion F , so istF : K → K stetig.

2. Für eine Folge stetiger Funktionen fk : K → K konvergiere die Funk-

tionenreihe∞∑k=0

fk auf dem Intervall K := [a, b] gleichmäßig gegen

eine Grenzfunktion F . Dann ist F : K → K stetig.

3. Die Grenzfunktion P (x) :=∞∑k=0

akxk einer Potenzreihe ist auf dem

gesamten Konvergenzkreis Kρ(0) = {x ∈ C : |x| < ρ} stetig.

Beweis.

1. Wir fixieren x0 ∈ K und beachten, dass auf Grund der Stetigkeit von fkdie Relation lim

x→x0

|fk(x) − fk(x0)| = 0 ∀ k ∈ N0 gilt. Wir wählen nun zu

ε > 0 eine Zahl N(ε), dann gilt für alle k ≥ N(ε):

|F (x) − F (x0)| ≤ |F (x)− fk(x)|︸︷︷︸≤ε

+|fk(x)− fk(x0)|+ |fk(x0)− F (x0)|︸︷︷︸≤ε

.

Hieraus erhält man 0 ≤ lim supx→x0

|F (x) − F (x0)| ≤ 2ε ∀ ε > 0. Dies ist

bereits die behauptete Stetigkeit der Funktion F .

2. Da die n–te Partialsumme sn(x) :=n∑

k=0

fk(x) auf dem Intervall K ste-

tig ist, folgt aus der gleichmäßigen Konvergenz sn → F gemäß 1.) dieStetigkeit der Grenzfunktion F .

3. Es sei x0 ∈ Kρ(0) fest gewählt. Setzt man r := (|x0|+ρ)/2 < ρ, so konver-giert die Potenzreihe P gleichmäßig auf der abgeschlossenen KreisscheibeKr(0). Wegen 2.) ist die Grenzfunktion P dort stetig, also insbesonderestetig im Punkt x0 ∈ Kr(0).

qed

Beispiel 8.20 Die gleichmäßige Konvergenz verbessert sogar die Qualität.Dazu betrachten wir die an keinem Punkt stetige Funktionenfolge

fn(x) :=

⎧⎨⎩1n : x ∈ Q,

0 : x ∈ R \Q.


Diese Folge konvergiert sogar gleichmäßig gegen die stetige GrenzfunktionF (x) ≡ 0.

Bei gleichmäßiger Konvergenz übertragen sich auch die Eigenschaften derR–Integrierbarkeit und der Differenzierbarkeit von fk auf die GrenzfunktionF .

Satz 8.21 Die Funktionen fk : K → K seien auf dem Intervall K :=

[a, b] R-integrierbar, und die Funktionenreihe∞∑k=0

fk konvergiere auf K

gleichmäßig gegen die Grenzfunktion F . Dann ist auch F auf K R-integrierbar, und es gilt

b∫a

F (x) dx =

b∫a

( ∞∑k=0

fk(x))dx =

∞∑k=0

b∫a

fk(x) dx. (8.5)

Das heißt, eine gleichmäßig konvergente Funktionenreihe darf glied-weise bestimmt integriert werden.

Beweis. Da die Folge der Partialsummen sn(x) :=n∑

k=0

fk(x) nach Voraus-

setzung auf K gleichmäßig gegen die Grenzfunktion F konvergiert, existiert∀ ε > 0 ein N = N(ε) mit der Eigenschaft

supx∈K

|sn(x)−sm(x)| ≤ supx∈K

|sn(x)−F (x)|+supx∈K

|F (x)−sm(x)| ≤ 2ε ∀ n,m ≥ N.

(8.6)

Wir setzen:

Sn :=

b∫a

sn(x) dx =

n∑k=0

b∫a

fk(x) dx, n ∈ N.

Dann folgt aus (8.6) für n,m ≥ N(ε):

|Sn − Sm| ≤b∫

a

supt∈K

|sn(t)− sm(t)| dx ≤ 2ε(b− a).

Das heißt, die Zahlenfolge (Sn)n∈N⊂ K ist eine Cauchy–Folge und ihr

Grenzwert

S :=

∞∑k=0

b∫a

fk(x) dx ∈ K


existiert.

Darüber hinaus gilt wegen (8.6) noch |S − Sm| ≤ 2ε(b− a) ∀ m ≥ N(ε). Wir

zeigen hiermit S =b∫a

F (x) dx. In der Tat gilt für m ≥ N(ε):

∣∣∣ b∫a

F (x) dx − S∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∣ b∫

a

F (x) dx − Sm

∣∣∣∣∣+ |Sm − S|

≤b∫a

supt∈K |F (t)− sm(t)| dx+ 2ε(b− a) ≤ 3ε(b− a).

Im Limes ε→ 0+ folgt hieraus, dass

S =

b∫a

F (x) dx =

b∫a

( ∞∑k=0

fk(x))dx =

∞∑k=0

b∫a

fk(x) dx.

qed

Bemerkung 8.22 Da sich die Funktionenfolge (fk)k∈N0als Folge der Par-

tialsummen sn(x) :=∑n

k=0

(fk(x) − fk−1(x)

)mit f−1 = 0 schreiben lässt,

gilt der obige Satz auch für Funktionenfolgen:

Falls unter den Voraussetzungen des letzten Satzes die Konvergenz fk →F auf dem Intervall K gleichmäßig erfolgt, so ist die Grenzfunktion F R–integrierbar, und es gilt

limk→∞

b∫a

fk(x) dx =

b∫a

F (x) dx.

Beispiel 8.23 Die Funktionenreihe∑∞

k=11k2 sin x

k4 konvergiert gemäß demWeierstrass–Kriterium gleichmäßig für alle x ∈ R. Wir können Satz 8.21anwenden und erhalten

x∫0

( ∞∑k=1

1

k2sin

t

k4

)dt =

∞∑k=1

k2(1− cos

x

k4

).

Die Konvergenz dieser Reihe erschließt man aus dem asymptotischen Ver-halten

k2(1− cos

x

k4

)∼ x2

2k6, k , 1.


Hätte man hingegen die Funktionenreihe unbestimmt integriert unter Ver-wendung der Stammfunktion −k4 cos x

k4 =∫sin x

k4 dx, so wäre die resultie-rende Reihe −∑∞

k=1 k2 cos x

k4 für kein x ∈ R konvergent.In diesem Sinne merken wir uns:

Satz 8.21 gilt i. Allg. nicht mehr bei unbestimmter Integration.

Satz 8.24 Die Funktionen fk : K → K seien auf dem Intervall K :=[a, b] differenzierbar, und die Ableitungen f ′

k seien auf K R–integrierbar.

Falls die Funktionenreihe∞∑k=0

f ′k auf K gleichmäßig konvergiert und

falls die Reihe∞∑k=0

fk(x0) wenigstens für ein x0 ∈ K konvergent ist, so

ist die Grenzfunktion F (x) :=∞∑k=0

fk(x) auf K differenzierbar, und es

gilt

F ′(x) =( ∞∑

k=0

fk(x))′

=

∞∑k=0

f ′k(x) ∀ x ∈ K. (8.7)

Das heißt, die Funktionenreihe darf gliedweise differenziert werden.

Eine entsprechende Aussage gilt auch für die Grenzfunktion F der Funk-tionenfolge (fk)k∈N0

. Falls die Ableitungen f ′k auf K R–integrierbar

sind und eine gleichmäßig konvergente Folge bilden, falls fernerlimk→∞

fk(x0) = F (x0) für wenigstens ein x0 ∈ K gilt, so existiert die

differenzierbare Grenzfunktion F (x) = limk→∞

fk(x), und es gilt

F ′(x) = limk→∞

f ′k(x) ∀ x ∈ K.

Beweis. Die Funktionenreihe∞∑k=0

f ′k darf wegen Satz 8.21 gliedweise integriert

werdenx∫

x0

( ∞∑k=0

f ′k(t)

)dt =

∞∑k=0

(fk(x)− fk(x0)

), x ∈ K.

Die Funktionenreihe∞∑k=0

fk ist konvergent, da dies nach Voraussetzung auf

die obige Reihe und die Reihe∞∑k=0

fk(x0) zutrifft. Darüber hinaus gilt


F (x) :=

∞∑k=0

fk(x) =

∞∑k=0

fk(x0) +

x∫x0

( ∞∑k=0

f ′k(t)

)dt, x ∈ K,

und durch Differentiation erhält man daraus die Relation (8.7). qed

Beispiel 8.25 Es seien fk und F die Funktionen aus Beispiel 8.17. Durchgliedweise Differentiation erhalten wir

− 4

π2

∞∑k=0

f ′k(x) =

4

π

∞∑k=0

sin(2k + 1)πx

2k + 1.

Für diese Reihe kann die gleichmäßige Konvergenz auf K := [−1,+1]nicht nachgewiesen werden. Deshalb darf die Funktion F (x) := |x| = 1

2 −4π2

∞∑k=0

fk(x) auf K nicht differenziert werden. In der Tat, im Punkt x = 0

existiert keine Ableitung F ′, während − 4π2

∞∑k=0

f ′k(0) = 0 liefert. Betrachten

wir hingegen die Funktionenreihe

F (x) =

∞∑k=1

fk(x) :=

∞∑k=1

(−1)k√k

e−x/k, x ∈ K := [0,+∞),

so konvergiert nach dem Leibniz–Kriterium die Reihe∞∑k=1

fk(0) =

∞∑k=1

(−1)k√k

.

Wegen∞∑k=1

|f ′k(x)| ≤

∞∑k=1

1k3/2 < +∞ erhalten wir überdies auf K die gleich-

mäßige Konvergenz der Funktionenreihe∞∑k=1

f ′k. Aus Satz 8.24 folgt deshalb

F ′(x) =∞∑k=1

f ′k(x) = −

∞∑k=1

(−1)kk√ke−x/k, x ∈ K.

Liegt speziell eine Potenzreihe P (x) :=∞∑k=0

akxk vor, so sind die Funktio-

nen fk(x) := akxk von jeder Ordnung stetig differenzierbar. Die gliedweise

differenzierte Potenzreihe∞∑k=1

akkxk−1 =

∞∑k=0

ak+1(k + 1)xk

ist wiederum eine Potenzreihe, und deren Konvergenzradius

8.2 Gleichmäßige Konvergenz 683(lim supk→∞

k√|ak+1|(k + 1)

)−1

=(lim supk→∞

k√|ak+1|

)−1

= ρ

ist derselbe wie der Konvergenzradius der Ausgangsreihe P .

Wegen Satz 8.18 konvergiert nun die gliedweise differenzierte Potenzreihegleichmäßig auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe Kr(0) vom Radius r < ρ.Somit ist Satz 8.24 anwendbar:

P ′(x) =( ∞∑

k=0

akxk)′

=

∞∑k=0

akkxk−1.

Wenden wir diese Überlegungen nochmals auf P ′(x) an, danach auf weitereAbleitungen, so erhalten wir die folgende Aussage:

Satz 8.26 Die Grenzfunktion P einer Potenzreihe∞∑k=0

akxk ist inner-

halb des Konvergenzkreises Kρ(0) beliebig oft stetig differenzierbar. IhreAbleitungen P (n) lassen sich durch gliedweise Differentiation bestimmen.Zusammenfassend gilt:

P ′(x) =

∞∑k=1

akkxk−1,

P ′′(x) =∞∑k=2

akk(k − 1)xk−2,

...

P (n)(x) =

∞∑k=n

ak

(k

n

)n!xk−n, n ∈ N.

(8.8)

Jede dieser Reihen hat denselben Konvergenzkreis Kρ(0).

Aus der Beziehung (8.8) ergibt sich speziell P (n)(0) = n!an, und somit an =1n! P

(n)(0) ∀ n ∈ N0. Es gilt also

P (x) =∞∑k=0

1

k!P (k)(0)xk ∀ x ∈ Kρ(0)

und folglich:


Satz 8.27 Jede Potenzreihe ist auf dem Konvergenzkreis die Taylor–Reihe ihrer Grenzfunktion.

In Erweiterung des Integrationssatzes 8.21 für allgemeine Funktionenreihendürfen Potenzreihen auch unbestimmt integriert werden.

Satz 8.28 Die Grenzfunktion P der Potenzreihe∞∑k=0

akxk hat auf dem

Konvergenzkreis Kρ(0) eine Stammfunktion F (x) :=∫P (x) dx. Diese

kann durch gliedweise Integration aus der Ausgangsreihe gewonnen wer-den:

F (x) :=

∫P (x) dx =

∞∑k=0

ak

∫xk dx =

∞∑k=0

akk + 1

xk+1. (8.9)

Der Konvergenzkreis der Potenzreihe (8.9) ist wiederum Kρ(0).

Beweis. Die Potenzreihe (8.9) hat den Konvergenzradius

(lim supk→∞

k

√|ak|k + 1

)−1

=(

limk→∞

k

√1

k + 1︸︷︷︸=1

lim supk→∞

k√|ak|

)−1

= ρ.

Wir können Satz 8.26 auf diese Potenzreihe anwenden. Durch gliedweisesDifferenzieren erhält man F ′(x) = P (x) ∀ x ∈ Kρ(0). qed

Der Satz 8.19 trifft eine Aussage über die Stetigkeit der Grenzfunktion

P (x) :=∞∑k=0

akxk nur im Inneren der Kreisscheibe Kρ(0). Hinsichtlich der

Stetigkeit in den Randpunkten x = ±ρ formulieren wir ohne Beweis denfolgenden

Satz 8.29 (Abelscher Grenzwertsatz) Ist die Potenzreihe P (x) :=∞∑k=0

akxk auch noch für x = +ρ oder x = −ρ konvergent, so ist die

Grenzfunktion P in dem betreffenden Punkt x = ±ρ stetig:

P (±ρ) = limx→±ρ

∞∑k=0

akxk.


Mit den hier angegebenen Sätzen können in einfacher Weise die Taylor–Reihen zahlreicher Elementarfunktionen berechnet werden. Wir werden diesin einer Reihe von Beispielen aufzeigen und sehen, dass dies bei allen nach-folgenden Beispiel vollkommen nach „Schema F abläuft“.

Beispiel 8.30 Wir bestimmen die Taylor–Reihe der Funktion F (x) :=ln(1 + x) im Entwicklungspunkt x0 = 0. Es gilt F (0) = 0 sowie

(ln(1 + x))′=

1

1 + x=

∞∑k=0

(−1)kxk ∀ |x| < 1.

Unter Verwendung von Satz 8.28 erhält man daraus

ln(1 + x) = F (x) − F (0) =∞∑k=0

(−1)kx∫

0

tk dt =∞∑k=0

(−1)kk + 1

xk+1 ∀ |x| < 1.

Nach dem Leibniz–Kriterium ist auch die Reihe∞∑k=0

(−1)k

k+1 konvergent, so

dass wir aus dem Abelschen Grenzwertsatz die Stetigkeit der GrenzfunktionF (x) im Punkt x = 1 erschließen. Wir folgern

F (1) = ln 2 =

∞∑k=0

(−1)kk + 1

.

Beispiel 8.31 Wir bestimmen die Taylor–Reihe der Funktion F (x) :=arc tanH x im Entwicklungspunkt x0 = 0. Es gilt F (0) = 0 sowie

(arc tanH x

)′=

1

1 + x2=

∞∑k=0

(−1)kx2k ∀ |x| < 1.


arc tanH x = F (x) − F (0) =∑∞

k=0(−1)kx∫0

t2k dt

=∞∑k=0

(−1)k2k + 1

x2k+1 ∀ |x| < 1.

In den Punkten x = ±1 ist wiederum der Abelsche Grenzwertsatz anwend-bar:


F (1) = arc tanH 1 =π

4=

∞∑k=0

(−1)k2k + 1

= −arc tanH(−1).

Beispiel 8.32 Wir bestimmen die Taylor–Reihe der Gauss–Fehlerfunktion

F (x) := erf x = 2√π

x∫0

e−t2 dt im Entwicklungspunkt x0 = 0. Es gilt F (0) = 0

sowie (erf x

)′=

2√πe−x2

=2√π

∞∑k=0

(−1)kk!

x2k ∀ x ∈ R.


erf x = F (x)− F (0) =2√π

∞∑k=0

(−1)kk!

x∫0

t2k dt

=2√π

∞∑k=0

(−1)kk!(2k + 1)

x2k+1 ∀ x ∈ R.

Beispiel 8.33 Wir bestimmen die Taylor–Reihe des Integralsinus F (x) :=

Si(x) :=x∫0

sin tt dt im Entwicklungspunkt x0 = 0. Es gilt F (0) = 0 sowie

(Si(x)

)′=

sinx

x=

∞∑k=0

(−1)k(2k + 1)!

x2k ∀ x ∈ R.


Si(x) = F (x) − F (0) =

∞∑k=0

(−1)k(2k + 1)!

x∫0

t2k dt

=∞∑k=0

(−1)k(2k + 1)!(2k + 1)

x2k+1 ∀ x ∈ R.

Die Frage, ob verschiedene Potenzreihen auf demselben Konvergenzkreis die-selbe Grenzfunktion haben können, beantworten wir in dem folgenden

Satz 8.34 (Identitätssatz für Potenzreihen) Die beiden Potenzrei-hen P (x) :=

∑∞k=0 akx

k und Q(x) :=∑∞

k=0 bkxk seien konvergent in

Kρ(0), ρ > 0. Genau dann haben wir Gleichheit P (x) = Q(x) ∀ x ∈Kρ(0), wenn ak = bk ∀ k ≥ 0 gilt.


Beweis. Gilt ak = bk ∀ k ≥ 0, so ist trivialerweise P = Q. Gilt umgekehrtP (x) = Q(x) ∀ x ∈ Kρ(0), so nehmen wir an, es sei N ∈ N0 der kleinsteIndex, für den aN �= bN erfüllt ist. Dann folgt

P (x) −Q(x) = 0 =

∞∑k=N

(ak − bk)xk ∀ x ∈ Kρ(0).

Wird diese Identität durch xN dividiert, so folgt danach im Limes x→ 0 dieBedingung aN = bN , entgegen der Annahme aN �= bN . qed

Auf dem Identitätssatz beruht die Methode des Koeffizientenvergleichs:Gelten für dieselbe Funktion P zwei Potenzreihenentwicklungen

∞∑k=0

akxk = P (x) =

∞∑k=0

bkxk,

so folgt stets ak = bk ∀ k ≥ 0.

Beispiel 8.35 Wir bestimmen die Taylor–Reihe der Funktion F (x) :=tanx im Entwicklungspunkt x0 = 0 mit der Methode der unbestimmtenKoeffizienten. Da F eine ungerade Funktion ist, setzt man eine Potenzreihemit unbestimmten Koeffizienten in der folgenden Form an:

P (x) := tanx =

∞∑k=0

akx2k+1 =

sinx

cosx.

Unter Verwendung der bekannten Potenzreihenentwicklungen von sin und coserhält man mit Hilfe des Cauchy–Produktes zweier Reihen:

sinx =

∞∑k=0

(−1)k(2k + 1)!

x2k+1 = cosx ·∞∑k=0

akx2k+1

=( ∞∑

k=0

(−1)k(2k)!

x2k)·( ∞∑

k=0

akx2k+1

)

=

∞∑k=0

k∑n=0

(−1)nx2nx2k−2n+1

(2n)!ak−n =

∞∑k=0

x2k+1k∑

n=0

(−1)n(2n)!

ak−n.

Durch Koeffizientenvergleich resultiert nun die folgende Rekursionsformel:

(−1)k(2k + 1)!

=

k∑n=0

(−1)n(2n)!

ak−n ∀ k ∈ N0.


Aus dieser Formel können die unbestimmten Koeffizienten ak sukzessive be-rechnet werden. Man verifiziert mit einigem elementaren Rechenaufwand diefolgenden Zahlen:

a0 = 1, a1 =1

3, a2 =

2

3 · 5 , a3 =17

32 · 5 · 7 ,

Hieraus folgt

tanx = x+x3

3+

2x5

15+

17x7

315+ · · ·+ (−1)n22n(22n − 1)B2n

(2n)!x2n−1 + · · ·

Die hier verwendeten Zahlen B2n sind die Bernoulli–Zahlen:

Definition 8.36 Gegeben seien Zahlen t ∈ R und z ∈ C mit |z| < 2π.Die in der Potenzreihenentwicklung

zetz

ez − 1=

+∞∑j=0

Bj(t)zj

j!(8.10)

auftretenden Polynome Bj(t) mit GradBj = j heißen Bernoulli–Polynome. Die Zahlen

Bj := Bj(0) ∀ j = 0, 1, . . . , (8.11)

heißen Bernoulli–Zahlen.

Bemerkung 8.37 Die ersten Bernoulli–Zahlen lauten:

B0 = 1, B1 = − 12 , B2 = 1

6 , B3 = 0, B4 = − 130 , B5 = 0,

B6 = 142 , B7 = 0, B8 = − 1

30 , B9 = 0, B10 = 566 , B11 = 0.

Stets gilt B2n+1 = 0 ∀ n ∈ N.

Der Konvergenzradius der nach der Methode der unbestimmten Koeffizientenberechneten Potenzreihe ist i. Allg. schwierig zu bestimmen. Sicher wird derKonvergenzradius ρ im Fall der Reihe

∞∑k=0

akxk =

P (x)

Q(x), Q(0) �= 0,

höchstens bis zur betragskleinsten Nullstelle der Funktion Q(x) reichen. ImBeispiel der Tangens–Reihe gilt also sicher ρ ≤ π/2.


Aus Satz 8.26 folgt unmittelbar, dass die Grenzfunktion P einer Potenzreiheauf dem Konvergenzkreis Kρ(0) eine C∞–Funktion ist. Es wäre umgekehrtfalsch zu glauben, dass jede C∞–Funktion f(x) auch eine Potenzreihenent-wicklung zulässt. Formal darf man in jedem C∞–Punkt x0 die Taylor–Reihe

∞∑k=0

1

k!f (k)(x0) (x− x0)

k

der Funktion f hinschreiben, jedoch braucht diese Reihe für keinen Wertx �= x0 die Funktion f darzustellen. Wir hatten diese Tatsache bereits imAbschnitt über Taylor–Reihen diskutiert.

Dort wurde die Funktion

f(x) :=

⎧⎪⎨⎪⎩0 : x = 0,

exp(− 1

x2

): x �= 0

genannt mit den Eigenschaften f ∈ C∞(R) sowie f (k)(0) = 0 ∀k ∈ N0. Die

formale Taylor–Reihe∞∑k=0

1k! f

(k)(0)xk = 0 stellt die gegebene Funktion f

nur im Punkt x0 = 0 dar.

Wir erinnern an Satz 6.86. Dieser besagt, dass die C∞–Funktion f genaudann an der Stelle x0 in eine Taylor–Reihe entwickelbar ist, wenn für allex in einer Umgebung des Punktes x0 folgende Eigenschaft gilt:

limn→∞Rn(x;x0) := lim

n→∞(x− x0)

n+1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ) = 0. (8.12)

Im obigen Beispiel ist diese Bedingung nur im Punkt x0 = 0 erfüllt. Es giltnun ganz allgemein:

Satz 8.38 Zu gegebener Funktion f ∈ C∞([a, b]) existiere eine ZahlM > 0 mit der Eigenschaft |f (k)(x)| ≤ M < +∞ ∀ x ∈ [a, b] ∀ k ∈ N0.Dann gilt an jeder Stelle x0 ∈ (a, b) die Taylor–Entwicklung

f(x) =

∞∑k=0

1

k!f (k)(x0) (x− x0)

k ∀ x ∈ [a, b].

Beweis. Wir zeigen, dass das Lagrange–Restglied die Bedingung (8.12) er-füllt. Es gilt


0 ≤ limn→∞ |Rn(x;x0)| = lim

n→∞|x− x0|n+1

(n+ 1)!|f (n+1)(ξ)| ≤M lim

n→∞|x− x0|n+1

(n+ 1)!= 0.

qed

Wir treffen in diesem Zusammenhang folgende

Definition 8.39 Eine Funktion f heißt im Intervall [a, b] analytisch,wenn f in jedem Punkt x0 ∈ (a, b) in eine Potenzreihe entwickelbar ist.Die Klasse der über dem Intervall [a, b] analytischen Funktionen bezeich-nen wir mit Cω(a, b).

Beispiel 8.40 Die Funktion f(x) := sinx gehört zur Klasse Cω(R). Dennwegen

|f (k)(x)| =

⎧⎪⎨⎪⎩| cosx| ≤ 1 : k gerade,

| sinx| ≤ 1 : k ungerade,

sind die Voraussetzungen von Satz 8.38 mit M = 1 erfüllt.

Aufgaben

Aufgabe 8.8. Berechnen Sie zu den angegebenen Funktionenfolgen (fn)n∈N

den punktweisen Limes und entscheiden Sie jeweils, ob die Folge auf demangegebenen Intervall I gleichmäßig konvergiert.

a) fn(x) =1

1 + |x|n , I = R.

b) fn(x) = sin(xn

), I = [−1, 1].

c) fn(x) =1

(1 + x)n, I = R.

Aufgabe 8.9. Die Funktionenfolge {fn}n∈N sei definiert durch

fn(x) :=x

1 + nx2, x ∈ R, n ∈ N.

Zeigen Sie, dass {fn}n∈N gleichmäßig gegen eine stetige Funktion f konver-giert.


Aufgabe 8.10. Die Funktionenfolge {fn}n∈N sei auf R definiert durch

fn(x) :=

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩0 : x < 1

n+1 ,

sin2 πn : 1

n+1 ≤ x ≤ 1n ,

0 : 1n < x.

Zeigen Sie, dass {fn}n∈N punktweise und nicht gleichmäßig gegen eine stetigeFunktion konvergiert.

Aufgabe 8.11. Untersuchen Sie die Funktionenreihe

∞∑k=0

x2 1

(1 + x2)k, x ∈ R,

auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. Falls eine Grenzfunktion exis-tiert, untersuchen Sie diese auf Stetigkeit.

Aufgabe 8.12. Untersuchen Sie die Funktionenreihen

a)∞∑

n=0x(1 − x2)n, |x| < √2,

b)∞∑

n=1

1

2n−1√1 + nx

, x ≥ 0

auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. Falls Grenzfunktionen existie-ren, untersuchen Sie diese auf Stetigkeit.

Aufgabe 8.13. Sei F (x) =

∞∑n=1

an2n

sin(xn

). Warum gilt

F ′(x) =∞∑n=1

an2nn

cos(xn

)?

Aufgabe 8.14. Gegeben sei die Potenzreihe

P (x) :=

∞∑k=1

1√k

(x2

)k

, x ∈ R.

Bestimmen Sie alle Punkte x ∈ R der Konvergenz und der Divergenz derReihe.

Aufgabe 8.15. Nun sei


F (x) :=∞∑k=1

fk(x) :=∞∑k=1

1√ktanh

( x

2k

).

a) Zeigen Sie, dass die Reihe∞∑k=1

f ′k(x) auf ganz R gleichmäßig konvergiert.

b) Zeigen Sie, dass F auf ganz R definiert und dort stetig ist.

c) Begründen Sie den Zusammenhang P (1) = F ′(0).

Aufgabe 8.16. Gegeben sei

ak :=

√k

(2k + 1)(2k + 3), k ∈ N.

a) Zeigen Sie mit dem Majorantenkriterium die Konvergenz der Reihe∞∑k=1

ak.

b) Zeigen Sie, dass die Funktion y = f(x) :=∞∑k=1

ak arctan(

x√k

)für alle

x ∈ R stetig und stetig differenzierbar ist. (Weierstraß-Kriterium!)

c) Zeigen Sie die Existenz der Umkehrfunktion x = f−1(y).

d) Berechnen Sie die Ableitung von f−1 und zeigen Sie f−1(y0) = 6 imPunkt y0 := f(0).

Hinweis: Teleskop-Reihe.

Aufgabe 8.17. || : Mathematik : ||1

1 Lösung: Die Musiker unter Ihnen erkennen hier sofort die Wiederholungszeichen, undwissen, dass jede Wiederholung beser und besser und bessser macht!

Date post:	08-Dec-2016
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[Springer-Lehrbuch] Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler || Funktionenfolgen und...

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