[Springer-Lehrbuch] Lineare Algebra || Bilinearformen und Quadriken

Kapitel 5

Bilinearformen und Quadriken

5.1 α-Bilinearformen

5.1.1 Der Vektorraum derα-Bilinearformen

Es sei V ein Vektorraum über dem Körper K. In Abschnitt 3.5 definierten wir, dass eineLinearform auf V eine lineare Abbildung

f : V → K

ist und mit f ∈ V∗ bezeichnet wird. In diesem Kapitel sollen (α-)Bilinearformen und dar-auf aufbauend, als klassisches Teilgebiet der Geometrie, Quadriken untersucht werden.Bilinearformen sind schon als Skalarprodukte auf R-Vektorraum aufgetreten. Um auchinnere Produkte auf C-Vektorräumen zu erfassen, wird die Bedingung der Bilinearität er-weitert zu:

Definition 5.1

Sei V ein K-Vektorraum, α ein Automorphismus auf K. Eine α-Bilinearform auf Vist eine Abbildung

ϕ : V × V → K , (u,w) �→ ϕ(u,w)

von zwei Argumenten u,w ∈ V , die im ersten Argument linear, im zweiten Argumentα-linear ist. Das heißt, für alle c, c′ ∈ K und u, u′,w,w′ ∈ V gelten die Rechenregeln

ϕ(c · u + c′ · u′,w) = c · ϕ(u,w) + c′ · ϕ(u′,w) (Linearität im 1. Argument) ,ϕ(u, c · w + c′ · w′) = α(c) · ϕ(u,w) + α(c′) · ϕ(u,w′) (α-Linearität im 2. Argument) .

Für α = id (Identität) heißt ϕ Bilinearform.

561P. Knabner, W. Barth, Lineare Algebra, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-32186-3_5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

562 5 Bilinearformen und Quadriken

Manchmal wird für α � id auch der Begriff Sesquilinearform verwendet. Skalarprodukteauf R-Vektorräumen (nach Definition 1.89) sind demnach Bilinearformen, innere Produk-te auf C-Vektorräumen (nach Definition 3.19) sind α-Bilinearformen mit α(c) = c fürc ∈ C. Ohne Beweis bemerken wir, dass α = id der einzige Automorphismus auf R ist,und auf C nur die Automorphismen α = id und α(c) = c die Eigenschaft α|R = id haben.Die inneren Produkte haben als weitere Eigenschaften:

• (Hermite-) Symmetrie (siehe (3.17)),• Definitheit (3.18).

Der Wegfall dieser Eigenschaften gibt mehr Flexibilität wie die folgenden Beispiele zei-gen. Im Folgenden wird zur mnemotechnischen Erleichterung wieder die Schreibweiseaus Abschnitt 4.1 verwendet. Das heißt, die Indizes der Koordinaten der Vektoren werdenhochgestellt.

Bemerkungen 5.2 Sei V ein K-Vektorraum und α : K → K ein Automorphismus auf K.

1) Es gilt: ϕ(0, u) = ϕ(u, 0) = 0 für alle u ∈ V .

2)

Jede quadratische n × n-Matrix G = (gk,l)k,l ∈ K(n,n) definiert auf V = Kn dieα-Bilinearform

ϕ(u,w) = utGtα(w) =n∑

k,l=1

vk · gl,k · α(wl) . (5.1)

Dabei ist α(w) :=(α(wi)

)i für w = (wi)i ∈ Kn. Bei einem inneren Produkt auf V = Kn

und α(c) = c muss G hermitesch und positiv definit sein (siehe Bemerkungen 4.134, 2)).Für G = 1 und K = R (α = id), erhält man somit das reelle euklidische SKP, für K = C

und α(c) = c das komplexe euklidische innere Produkt, für K = C und α = id eineBilinearform, die aber nicht definit ist, da zum Beispiel bei n = 2

ϕ(a, a) = 0 für a = (1, i)t .

3) Es sei α = id. Die Matrix Gt erzeugt ebenfalls eine Bilinearform, welche mit ϕt be-zeichnet wird. Für diese gilt

ϕ(u,w) = ϕt(w, u) für alle u,w ∈ Kn

und folgende Äquivalenz: ϕ = ϕt ⇔ G ist symmetrisch.

4)∗ Es sei V = C([a, b],K) und

k : [a, b] × [a, b]→ K

eine stetige Funktion von zwei Variablen. Dann ist das Doppelintegral mit Integralkern k

5.1 α-Bilinearformen 563

ϕ(v, w) =∫ b

a

∫ b

av(x)k(x, y)w(y)dxdy

eine α-Bilinearform auf V .

a) ϕ ist (hermite-)symmetrisch, falls k(x, y) = k(y, x) für x, y ∈ [a, b].

b) Die Definitheit lässt sich nicht so einfach charakterisieren. Ist etwa k(x, y) = 1,dann folgt

ϕ(v, v) =(∫ b

av(x)dx

)2

,

d. h. ϕ ist nicht definit. Nur bei der eingeschränkten („diagonalen“) Bilinearform

ϕ(v, w) :=∫ b

av(x)k(x)w(x)dx

mit k ∈ C([a, b],K) ist für Definitheit folgendes Kriterium hinreichend: k(x) > 0für x ∈ [a, b] (bzw. äquivalent: k(x) ≥ k > 0 für x ∈ [a, b] und ein k ∈ R+).

5)

Auf dem Vektorraum V = K(r,s) der r × s–Matrizen wird durch

ϕ(A, B) = sp(Atα(B)) =s∑

k=1

r∑l=1

al,kα(bl,k)

eine α-Bilinearform definiert.

Dabei sind A = (al,k)l,k, B = (bl,k)l,k und α(B) := (α(bl,k))l,k ∈ V . Für α = id ist dieBilinearform symmetrisch, und für K = K und α(c) = c ist ϕ das aus (3.22) bekannteinnere Produkt.

6) Sind f , g ∈ V∗ Linearformen auf einem Vektorraum V , so heißt

f ⊗ g :{

V × V → K(u,w) �→ f (u)α(g(w))

das Tensorprodukt der Linearformen f und g und ist eine α-Bilinearform. Ein Tensorpro-dukt zweier Linearformen heißt auch zerfallende α-Bilinearform auf V . f ⊗ g ist symme-trisch für α = id und f = g, aber nur definit, falls zusätzlich Kern f = {0}, was i. Allg.falsch ist.

7) Der Körperautomorphismus α erfüllt für A ∈ K(n,n)

α(At) = α(A)t und α(det(A)) = det(α(A))


nach der Leibnizschen Formel (Definition 2.105). Für A ∈ K(m,n), B ∈ K(n,p) gilt nachDefinition der Multiplikation

α(AB) = α(A)α(B)

und daher für invertierbares A

α(A−1) = α(A)−1 .

Denn es ist α(A)α(A−1) = α(AA−1) = α(1) = 1. �

Satz 5.3: Vektorraum der Bilinearformen

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K, α ein Automorphismus auf K, ϕ, ψ seienα-Bilinearformen. Sei

(ϕ + ψ)(u,w) := ϕ(u,w) + ψ(u,w) für u,w ∈ V ,

(c · ϕ)(u,w) := c · ϕ(u,w) für c ∈ K und u,w ∈ V .

1) Die α-Bilinearformen auf einem K-Vektorraum V bilden mit + und ·wieder einenK-Vektorraum.

Sei V zusätzlich endlichdimensional.

2) Ist u1, . . . , un ∈ V eine Basis von V , so entspricht jede α-Bilinearform ϕ auf Vdurch Übergang zu den Koordinatenvektoren einer α-Bilinearform auf Kn von derGestalt (5.1) für die Matrix

G := (gk,l)k,l ∈ K(n,n) mit gk,l = ϕ(ul, uk) . (5.2)

3) Zu jeder Wahl einer n × n-Matrix G = (gk,l)k,l ∈ K(n,n) gibt es bei fixierter Basis{u1, . . . , un} ∈ V genau eine α-Bilinearform ϕ auf V mit ϕ(ul, uk) = gk,l.

4) Sei ϕ eine α-Bilinearform auf V , G ∈ K(n,n), definiert nach (5.1), dann wird durchdie Beziehung

ϕ

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ n∑k=1

xkuk,n∑

l=1

ylul

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = (x1, . . . , xn)Gt

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝α(y1)

...α(yn)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ (5.3)

ein K-Vektorraum-Isomorphismus

{Raum der α-Bilinearformen auf V} → K(n,n)

ϕ �→ G

definiert.


5) Ist dim V = n, dann gilt

dim{Raum der α-Bilinearform auf V} = dim K(n,n) = n2 .

Beweis: Zu 1): Klar.Zu 2): Sind

x =n∑

k=1

xkuk, y =n∑

k=1

ykuk

die Darstellungen zweier Vektoren x, y ∈ V in der Basis so ist

ϕ(x, y) = ϕ

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ n∑k=1

xkuk,n∑

l=1

ylul

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = n∑k=1

n∑l=1

xkϕ(uk, ul)α(yl) . (5.4)

Zu 3): Bei gegebener Matrix (gk,l) wird die Bilinearform ϕ definiert durch bilineare Aus-dehnung von der Form (5.1):

ϕ

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ n∑k=1

xkuk,n∑

l=1

ylul

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ :=n∑

k,l=1

xkgl,kα(yl) .

Man beachte dabei α(1) = 1, so dass ϕ(uk, ul) = 1gl,kα(1) = gl,k.Zu 4): Die Wohldefinition der Abbildung ist klar, die Surjektivität ist Inhalt von 3), dieInjektivität ist aus (5.4) ersichtlich. Um die Linearität der Abbildung zu zeigen, kann auchdie Linearität der Umkehrabbildung gezeigt werden. Diese folgt sofort aus den Eigen-schaften der Matrixmultiplikation.Zu 5): Dies folgt direkt aus 4) mit Theorem 2.28. �

Definition 5.4

Die Matrix G = G(B) aus Satz 5.3 heißt Gramsche Matrix oder auch darstellendeMatrix oder Darstellungsmatrix zur Basis B der α-Bilinearform ϕ. D(B) := det(G)heißt die Diskriminante von ϕ bezüglich B.

Bemerkungen 5.5

1) Das etwas unhandliche Auftreten von Gt statt G in (5.3) ist dem Bemühen geschuldetin Übereinstimmung mit der Definition der Gramschen Matrix von Definition 1.99 zubleiben. Man beachte, dass für ein A ∈ K(n,n) und das euklidische innere Produkt 〈 . 〉 aufKn gilt

〈Ax . y〉 = (Ax)ty = xtAty für x, y ∈ Kn .


2) Sei V endlichdimensional. Seien f , g Linearformen auf V , bezüglich einer Basisu1, . . . , un ∈ V , gegeben durch Zeilenvektoren (a1, . . . , an) und (b1, . . . , bn), d. h. also

f :n∑

ν=1

xνuν �→n∑

ν=1

aνxν, g :n∑

ν=1

xνuν �→n∑

ν=1

bνxν.

Nach Definition ist

( f ⊗ g)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ n∑μ=1

xμuμ,n∑

ν=1

yνuν

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = f

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ n∑μ=1

xμuμ

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ · α⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝g ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ n∑

ν=1

yνuν

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ =⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ n∑μ=1

aμxμ

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ · α⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ n∑ν=1

bνyν

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠=

n∑μ,ν=1

xμ · aμα(bν) · α(yν) .

Die darstellende Matrix für f ⊗ g ist dementsprechend:

G = (aμα(bν))ν,μ .

In Erweiterung der Definition für K = R mit α = id (Definition 2.40) und für K = C mitα(c) = c (3.26) setzen wir somit für die Spalten a = (ai), b = (bi) ∈ Kn

a ⊗ b := aα(b)t = (aμα(bν))μ,ν .

Damit ist die darstellende Matrix für eine zerfallende α-Bilinearform

(a ⊗ b)t .

Wegen Rang(a⊗ b) ∈ {0, 1} (vergleiche (2.49)) ist zudem klar, dass eine solche α-Bilinear-form i. Allg. nicht definit ist für K = K.

3) Zu einem inneren Produkt 〈x . y〉 auf einem unitären Vektorraum gehört in einer ONBals darstellende Matrix die Einheitsmatrix. �Sei dim V = n. Genau wie jeder lineare Homomorphismus Φ : V → V von V besitztfolglich auch jede α-Bilinearform ϕ : V × V → K nach Satz 5.3 eine quadratische n × n-Matrix als darstellende Matrix. Fundamental anders ist aber das Transformationsverhaltender darstellenden Matrizen beim Basiswechsel: Eine neue Basis w1, . . . ,wn kann mittelsder Übergangsmatrix

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a1

1 . . . a1n

......

an1 . . . an

n

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠durch wμ =

∑nν=1 aν

μuν in der alten Basis u1, . . . , un entwickelt werden. Wir bezeichnenmit G = (gk,l)k,l = (ϕ(ul, uk))k,l die alte darstellende Matrix. Die neue darstellende MatrixG′ = (g′μ,ν)μ,ν = (ϕ(wν,wμ))μ,ν berechnet sich wie folgt:


(g′μ,ν

)μ,ν=

(ϕ(wν,wμ)

)μ,ν=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ϕ( n∑l=1

alνul,

n∑k=1

akμuk

)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠μ,ν

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ n∑l=1

n∑k=1

alνα(ak

μ) · ϕ(ul, uk)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠μ,ν

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ n∑k=1

n∑l=1

α(akμ)gk,lal

ν

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠μ,ν

.

Das heißt, es gilt

G′ =(g′μ,ν

)μ,ν=

(α(A)tGA

)μ,ν

,

wobei α(A) := (α(akμ))k,μ. Damit wurde bewiesen:

Theorem 5.6: Transformation Bilinearform

Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum über einem Körper K. Seien B1 und B2

Basen von V mit der Übergangsmatrix A ∈ K(n,n). Sei ϕ eine α-Bilinearform auf Vmit Darstellungsmatrix Gi bezüglich Bi, i = 1, 2. Dann gilt

G2 = α(A)tG1A .

Definition 5.7

Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, α ein Automorphismus auf K. SeienC,C′ ∈ K(n,n). C heißt (α-)kongruent zu C′, wenn ein A ∈ GL(n, K) existiert, sodass

α(A)tCA = C′ .

Bemerkungen 5.8

1) α-Kongruenz ist eine Äquivalenzrelation.Das kann man mit Bemerkungen 5.2, 7) wie folgt einsehen:

a) Reflexivität ist klar.

b) Symmetrie: α(A)tCA = C′ ⇔ α(At)−1C′A−1 = C ⇔ α(A−1)tC′A−1 = C.

c) Transitivität: C′ = α(A)tCA, C′′ = α(A′)tC′A′ ⇒ C′′ = α(A′)tα(A)tCAA′ = α(AA′)tCAA′.

2) Für K = K und α(c) = c ist dies die mit Positivdefinitheit verträgliche Transformationaus Bemerkungen 4.134, 8).

3) Wir haben folgendes Transformationsverhalten:


α-Bilinearformen α(A)tGA zweifach kovariant,Endomorphismen A−1GA kontravariant und kovariant.

(5.5)

Insbesondere gilt bei einer Transformation von B zu B′ unter Beachtung von Bemerkun-gen 5.2, 7):

D(B′) = α(det(A))D(B) det(A) (5.6)

und damit

D(B) � 0⇔ D(B′) � 0 .

Ist darum D(B) � 0 für eine Basis B, dann gilt dies auch für jede andere Basis.

4) Für K = K, α(c) = c und orthogonales bzw. unitäres A fällt (α-)Kongruenz mit (unitär-er) Ähnlichkeit (Definition 4.11) zusammen. Für allgemeines A sind die Begriffe jedochnicht vergleichbar. �Bis auf weiteres betrachten wir nun den Fall α = id, d. h. Bilinearformen. Auch Bili-nearformen kann man als lineare Abbildungen auffassen, aber – entsprechend dem un-terschiedlichen Transformationsverhalten – nicht als Abbildungen V → V , sondern alsAbbildungen V → V∗ :

Satz 5.9: Bilinearform � Hom(V, V∗)

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Es gibt einen kanonischen Vektorraum-Isomorphismus

Φ :{Raum der Bilinearformen auf V

}→ HomK(V, V∗)

ϕ �→ F : u �→ ϕ(·, u) .

Hierbei soll ϕ(·, u) ∈ V∗ die Linearform

w �→ ϕ(w, u)

bedeuten, also die Bilinearform ϕ aufgefasst als Funktion des ersten Arguments wbei festgehaltenem zweiten Argument u. Insbesondere gilt

ϕ(w, u) = F(u)w für alle u,w ∈ V . (5.7)

Beweis: F : V → V∗ ist linear, d. h. Φ ist wohldefiniert und Φ ist auch linear, da

Φ(ϕ + ψ) = F mit F(u) = (ϕ + ψ)(·, u) = ϕ(·, u) + ψ(·, u) = Φ(ϕ)u + Φ(Ψ )u

gilt und damit Φ(ϕ + ψ) = Φ(ϕ) + Φ(ψ). Analoges gilt für das skalare Vielfache.Die Umkehrung der Zuordnung ϕ �→ F ist nach (5.7) notwendigerweise


HomK(V, V∗) ! F �→ ϕ, ϕ(w, u) = (F(u))︸︷︷︸∈V∗

(w) .

Das so definierte ϕ ist eine Bilinearform auf V wegen der Linearität von F bzw. von F(u).Damit ist die Umkehrabbildung wohldefiniert, d. h. die Abbildung vom Raum der Biline-arformen in den Vektorraum HomK(V, V∗) ist bijektiv. �

Ist dim V = n, dann bedeutet dieser abstrakte Isomorphismus einfach Folgendes: NachWahl einer Basis des endlichdimensionalen Vektorraums V wird die Bilinearform ϕ durcheine Matrix G beschrieben. Die zugehörige lineare Abbildung F : V → V∗ ordnet jedemVektor u ∈ V mit dem Koordinatenvektor x = ( x1, . . . , xn )t ∈ Kn die Linearform zu,welche als Zeilenvektor (G x)t geschrieben wird,

ϕ(·, u) : w �→ ytGt x .

Dabei ist y ∈ Kn der Koordinatenvektor von w.

Mathematische Modellierung 6 Die dargestellten abstrakten Konzepte erlangen insbesondere bei un-endlichdimensionalen Vektorräumen V ihre Bedeutung. Betrachtet man als einfaches Modell für räumlicheindimensional beschriebene Wärmeleitung in einem isolierten Medium („Wand“) [a, b] ⊂ R die Rand-wertaufgabe

−(k(x)u′(x))′ = r(x) , x ∈ [a, b] , (MM.85)

u′(a) = u′(b) = 0 , (MM.86)

d. h. es ist die Temperatur u : [a, b] → R gesucht bei vorgegebenen r ∈ C([a, b],R) und der positivenWärmeleitfähigkeit k : [a, b]→ R+. Für k = 1 und andere Randbedingungen ist das Problem in (1.82) auf-getreten. Ist die „Wand“ [a, b] aus zwei Materialien aufgebaut, etwa k(x) = k1, x ∈ [a, c], k(x) = k2 � k1,x ∈ (c, b] für ein c ∈ (a, b), dann macht (MM.85) zunächst keinen Sinn. Durch Wechsel auf eine, voneiner Bilinearform erzeugten, Linearform kann neben dem klassischen punktweisen Lösungsbegriff von(MM.85), (MM.86), ein schwächerer, variationeller Lösungsbegriff formuliert werden. (MM.85) kann in-terpretiert werden als

Gx(−(ku′)′ − r

)= 0 für alle x ∈ [a, b] , (MM.87)

wobei Gx ∈ (C([a, b],R)

)∗ das Auswertungsfunktional Gx( f ) = f (x) ist. Diese Linearform wird durcheine von einer Integral-Bilinearform erzeugten ersetzt, nämlich (siehe Bemerkungen 5.2, 4))∫ b

a(−(ku′)′ − r)(y)v(y)dy = 0 für Testfunktionen v : [a, b] → R , (MM.88)

die noch spezifiziert werden müssen. Die punktweise Forderung aus (MM.85) wird deshalb durch einMittel ersetzt (für beliebig fest gewähltes x ∈ [a, b] kann man sich v als immer mehr auf x konzentrie-rend vorstellen, um in einem Grenzwert (MM.87) zu erhalten, Abbildung 5.1). Partielle Integration führt(MM.88) unter Beachtung von (MM.86) über in

ϕ(u, v) :=∫ b

ak(y)u′(y)v′(y)dy =

∫ b

ar(y)v(y)dy .

Die Randbedingung (MM.86) geht hier auf natürliche Weise ein. Diese Umformulierung von (MM.88) istmit einem analog zu (1.84) definierten Raum V (ohne die dort aufgenommenen Randbedingungen) auchfür ein unstetiges k, wie z. B. oben angegeben, wohldefiniert. Die schwache Formulierung von (MM.85),(MM.86) ist daher: Gesucht ist u ∈ V, so dass


a x b

Abb. 5.1: Sich um x ∈ [a, b] konzentrierende Testfunktionen.

ϕ(u, v) = g(v) für alle v ∈ V bzw. ϕ(u, . ) = g in V∗ bzw. F(u) = g in V∗ ,

wobei F ∈ Hom(V, V∗) definiert ist durch

F(u)v := ϕ(u, v) und g(v) :=∫ b

ar(y)v(y)dy, d. h. g ∈ V∗ . �

5.1.2 Orthogonales Komplement

Der Rang der darstellenden Matrix G ist unabhängig von der vorher ausgewählten Ba-sis für V , da sich G beim Übergang in eine andere Basis in α(A)tGA mit invertierbarerMatrix A ändert.

Definition 5.10

Sei ϕ eine α-Bilinearform auf dem K-Vektorraum V , dim V = n. Unter dem Rangvon ϕ, geschrieben Rang(ϕ), versteht man den Rang von G nach (5.2) für eine Basis{u1, . . . , un} und damit für jede Basis.

Beispiele 5.11

1) Der Rang der zerfallenden Bilinearform f ⊗ g ist 1, falls f � 0 und g � 0, da je zweiZeilen der Matrix (aμbν)μ,ν linear abhängig sind, und gleich 0, falls f = 0 oder g = 0.

2) Das Skalarprodukt (x . y) auf dem Rn ist eine Bilinearform mit maximalem Rang n.

3) Der Rang einer Bilinearform ϕ ist gleich dim Bild F, wobei F = Φ(ϕ) ∈ Hom(V, V∗)nach Satz 5.9 (Übung). ◦


Definition 5.12

Sei ϕ eine feste α-Bilinearform auf dem Vektorraum V und M ⊂ V eine beliebigeTeilmenge. Wir nennen

M⊥ := {u ∈ V : ϕ(w, u) = 0 für alle w ∈ M}das orthogonale Komplement von M bezüglich der Bilinearform ϕ. Speziell heißt V⊥der Entartungsraum der Bilinearform.

Mit dieser Definition wird die Definition 1.97 des orthogonalen Komplements bezüglichdes Skalarprodukts auf beliebige Bilinearformen verallgemeinert. Es gilt:

M⊥ ist ein Unterraum von V ,

aber i. Allg. ist M ⊂ M⊥⊥ falsch, da aus ϕ(u,w) = 0 i. Allg. nicht, wie im bilinearensymmetrischen Fall, ϕ(w, u) = 0 gefolgert werden kann.

Für das nicht symmetrische innere Produkt 〈 . 〉 auf Cn gilt aber z. B. zusätzlich

〈u .w〉 = 〈w . u〉 , demgemäß ϕ(u,w) = 0⇔ ϕ(w, u) = 0 .

Dies motiviert folgende Definition:

Definition 5.13

Sei V ein K-Vektorraum, ϕ eine α-Bilinearform auf V .

1) ϕ heißt orthosymmetrisch, wenn für alle u,w ∈ V aus ϕ(u,w) = 0 auch ϕ(w, u) = 0folgt.

2) ϕ heißt nicht entartet (oder auch regulär), wenn V⊥ = {0}, d. h. wenn zu jedem0 � u ∈ V ein w ∈ V existiert mit ϕ(w, u) � 0.

Bemerkungen 5.14

1) Im orthosymmetrischen Fall gilt insofern

M⊥ = {u ∈ V : ϕ(u,w) = 0 für alle w ∈ M} und damit M ⊂ M⊥⊥ .

2) Jede α-Bilinearform auf V ergibt durch Einschränkung eine α-Bilinearform auf einemUnterraum U.


Die Bilinearform ϕ eingeschränkt auf U ist damit nicht entartet, genau dann wenn zujedem 0 � u ∈ U ein w ∈ U existiert mit ϕ(w, u) � 0, d. h. genau dann, wenn gilt

U ∩ U⊥ = {0} .

Eine nicht entartete α-Bilinearform ϕ kann auf einem Unterraum U entartet sein. Erfüllt ϕz. B. ϕ(u, u) = 0 für alle u ∈ V , dann ist ϕ entartet auf jedem U = Ku und dort ist sogarU ⊂ U⊥.

3) Speziell haben wir im Fall α = id und M = V

V⊥ = {u ∈ V : ϕ(w, u) = 0 für alle w ∈ V} = {u ∈ V : ϕ(·, u) = 0} = Kern F . (5.8)

Dabei ist nach Satz 5.9 die Abbildung F ∈ HomK(V, V∗) zu ϕ definiert durch

F(u)w = ϕ(w, u), also F(u) ∈ V∗ (5.9)

und

F(u) = 0 ⇔ ϕ(w, u) = 0 für alle w ∈ V . �

Satz 5.15: Charakterisierung Nichtentartung

Für eine α-Bilinearform ϕ auf einem endlichdimensionalen Vektorraum V sind äqui-valent:

(i) ϕ ist nicht entartet.

(ii) Zu jedem Vektor 0 � u ∈ V existiert ein w ∈ V mit ϕ(w, u) � 0.

(iii) Es gibt eine Basis B von V , so dass G(B) nicht singulär ist bzw. D(B) � 0.

(iv) Für jede Basis B von V ist G(B) nicht singulär bzw. D(B) � 0.

(v) Zu jedem Vektor 0 � u ∈ V existiert ein w ∈ V mit ϕ(u,w) � 0.

Ist α = id, so kann folgende Äquivalenz noch aufgenommen werden:

(vi) F ist nach (5.9) ein Isomorphismus, d. h. zu jedem f ∈ V∗ existiert genau einu ∈ V mit f (w) = ϕ(w, u) für alle w ∈ V.

Beweis: „(i)⇔ (ii)“ nach Definition 5.13.„(ii)⇔ (iii)“: Die α-Bilinearform ϕ auf dem endlichdimensionalen Vektorraum V ist ge-nau dann nicht entartet, wenn ihre darstellende Matrix Gt keinen Vektor α(u) � 0 ∈ Kn

(⇔ u � 0) auf Null abbildet, d. h., wenn Rang(ϕ) = Rang(G) = Rang(Gt) = n maximalist.


„(iv)⇔ (v)“ nach (5.6).„(i)⇔ (v)“, denn Rang(G) = n ⇔ Rang(Gt) = n.Ist zusätzlich α = id, d. h. ϕ eine Bilinearform, so folgt nach Bemerkungen 5.14, 3),Kern F = {0}. Wegen F ∈ HomK(V, V∗) und dim V = dim V∗ folgt aus der Injektivitätvon F nach (5.8) auch die Bijektivität. �

Bemerkungen 5.16

1) Ist die Gramsche Matrix G = (a jδi j)i, j eine Diagonalmatrix, dann ist Nichtentartungäquivalent mit ai � 0 für alle i = 1, . . . , n.

2) Insbesondere ist für V = Kn

ϕ(u,w) =n∑

i=1

viwi für u = (vi)i,w = (wi)i ∈ Kn

nicht entartet. Dennoch ist z. B. für K = F2 und u = (1, 1)t: ϕ(u, u) = 1+ 1 = 0. Für K = C

ist ein analoges Beispiel in Bemerkungen 5.2, 2) erwähnt.

3) Satz 5.15, f) ist eine Verallgemeinerung des Rieszschen Darstellungssatzes im end-lichdimensionalen Vektorraum (Theorem 3.48). �

Satz 5.17: Orthogonales Komplement

Es sei ϕ eine orthosymmetrische α-Bilinearform auf dem endlichdimensionalen Vek-torraum V und U ⊂ V ein Unterraum.

1) Es gilt: dim U⊥ ≥ codim U. Ist zusätzlich ϕ nicht entartet auf V , dann ist sogar

dim U⊥ = codim U und U⊥⊥ = U .

2) Ist ϕ nicht entartet auf U, dann besitzt V eine orthogonale direkte Summen-Zerlegung

V = U ⊕ U⊥ .

Ist ϕ nicht entartet auf V , dann ist ϕ auch nicht entartet auf U⊥.

Beweis: Zu 1): Sei {u1, . . . , um} eine Basis von U und {u1, . . . , un} eine Basis von V . Dann

gilt u =n∑

k=1xkuk ∈ U⊥ für xk ∈ K wegen der Orthosymmetrie genau dann, wenn

0 = ϕ(u, uk) für alle k = 1, . . . , m

und damit x = (xk)k ∈ Kn das homogene LGS Ax = 0 mit A =(ϕ(u j, uk)

)k, j ∈ K(m,n)

erfüllt. Die Koordinatenabbildung erzeugt also eine Isomorphie zwischen U⊥ und Kern A,


insbesondere gilt dim U⊥ = dim Kern A. Wegen Rang(A) ≤ m (und nach Theorem 2.32)gilt weiter

dim Kern A = n − dim Bild A ≥ n − m = dim V − dim U = codim U

und damit folgt die erste Behauptung.Die zweite Behauptung folgt genauso aus Rang(A) = m, d. h. der linearen Unabhängig-

keit der Zeilen von A: Sei nun 0 =∑m

k=1 λkϕ(u j, uk) für j = 1, . . . , n. Wegen λk = α(μk) mitμk = α−1(λk) ∈ K, gilt

0 =m∑

k=1

ϕ(u j, μkuk) = ϕ

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝u j,m∑

k=1

μkuk

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , alsom∑

k=1

μkuk ∈ V⊥ .

Wegen der Nichtentartung ist μk = 0, k = 1, . . . , m, und somit λk = 0, k = 1, . . . , m.Schließlich folgt aus der Orthosymmetrie

U ⊂ U⊥⊥

und damit wegen

dim U⊥⊥ = dim V − dim U⊥ = dim U

die Gleichheit dieser Unterräume.Zu 2): Die Nichtentartung auf U bedeutet gerade

U ∩ U⊥ = {0}, d. h. U + U⊥ = U ⊕ U⊥

und damit nach Satz 1.86

dim(U + U⊥) = dim U + dim U⊥ . (5.10)

Zur Folgerung von U ⊕ U⊥ = V reicht weiterhin der Nachweis von

codim U = dim U⊥ , (5.11)

wozu nach 1) nur noch dim U⊥ ≤ codim U gezeigt werden muss. Dies bedeutet

dim U + dim U⊥ ≤ dim V ,

was wegen (5.10) trivial ist.Für die letzte Aussage kann wegen (5.11) wie bei 1) gefolgert werden:

U⊥⊥ = U, d. h. U⊥ ∩ U⊥⊥ = {0}und damit die Nichtentartung von ϕ auf U⊥. �


Bemerkung 5.18 Unter den Voraussetzungen von Satz 5.17, 2) sei B1 eine Basis von U,B2 eine Basis von U⊥, dann ist die darstellende Matrix von ϕ bezüglich B := B1 ∪ B2

blockdiagonal. �

Definition 5.19

1) Eine Bilinearform auf dem Vektorraum V heißt

symmetrisch, wenn ϕ(u,w) = ϕ(w, u) ,antisymmetrisch, wenn ϕ(u,w) = −ϕ(w, u)

für alle Vektoren u,w ∈ V.

2) Eine α-Bilinearform heißt

hermitesch, wenn ϕ(u,w) = α(ϕ(w, u)) ,antihermitesch, wenn ϕ(u,w) = −α(ϕ(w, u))

für alle Vektoren u,w ∈ V.

Bemerkungen 5.20

1) Für K = R und α = id fallen „(anti-)symmetrisch“ und „(anti-)hermitesch“ zusammen.

2)

Antisymmetrie ist fast identisch mit der Eigenschaft, alternierend zu sein, d. h.

ϕ(u, u) = 0 für alle u ∈ V

zu erfüllen.

Dann gilt (Übung):

a) ϕ alternierend⇒ ϕ antisymmetrisch.

b) Ist Char K � 2, dann gilt auch: ϕ antisymmetrisch⇒ ϕ alternierend.

3) Ist die Bilinearform ϕ auf Kn durch ihre darstellende Matrix G gegeben, d. h. ϕ(u,w) =utGtw, so ist ϕ genau dann symmetrisch, wenn G = Gt, und antisymmetrisch genau dann,wenn G = −Gt.

4) Die Form

ϕ(v, w) =∫ b

a

∫ b

av(x)k(x, y)w(y) dxdy


auf C([a, b],R) ist (anti-)symmetrisch, wenn für ihren Integralkern gilt k(y, x) = (−)k(x, y).

5)

Für zwei Linearformen f , g ∈ V∗ ist

f ∧ g := f ⊗ g − g ⊗ f : (u,w) �→ f (u)g(w) − f (w)g(u)

anti-symmetrisch.

6) Sei K = C. Hat eine hermitesche Form die Darstellungsmatrix G ∈ C(m,n), so gilt füralle u,w ∈ Cn

utGtw = wtGtu = wtGtv = utGw ,

und damit ist G hermitesch (nach Definition 3.27). Umgekehrt erzeugt jede hermitescheMatrix eine hermitesche Bilinearform.

7) Ist G = (gi, j) hermitesch, dann sind

Re(G) :=(

Re(gi, j))i, j symmetrisch,

Im(G) :=(

Im(gi, j))i, j antisymmetrisch.

Da die (anti-)symmetrischen A ∈ R(n,n) einen reellen Vektorraum der Dimension n(n−1)2 + n

bzw. n(n−1)2 bilden (entsprechend der Anzahl der Einträge unterhalb und einschließlich der

Diagonalen bzw. nur unterhalb der Diagonalen, da bei antisymmetrischen Matrizen Dia-gonalelemente verschwinden), bilden die hermiteschen Matrizen in C(n,n) einen reellenVektorraum der Dimension n2. �

Satz 5.21: Symmetrie-Zerlegung

Es sei K ein Körper mit Char K � 2. Dann schreibt sich jede Bilinearform auf einemK-Vektorraum auf genau eine Weise als

ϕ = ϕS + ϕΛ

mit einer symmetrischen Bilinearform ϕS und einer antisymmetrischen Bilinear-form ϕΛ.

Beweis: Existenz: Wir definieren ϕS und ϕΛ durch


ϕS (u,w) :=12

(ϕ(u,w) + ϕ(w, u)) , d. h. ϕS ist symmetrisch, und

ϕΛ(u,w) :=12

(ϕ(u,w) − ϕ(w, u)) , d. h. ϕΛ ist antisymmetrisch.

Dann haben wir

ϕ(u,w) = ϕS (u,w) + ϕΛ(u,w)

für alle u,w ∈ V.Eindeutigkeit: Ist ϕ = ϕS + ϕΛ eine Zerlegung von ϕ in eine symmetrische und eine anti-symmetrische Bilinearform, dann ist

12 (ϕ(u,w) + ϕ(w, u)) = 1

2 (ϕS (u,w) + ϕS (w, u)︸��︷︷��︸=2ϕS (u,w)

+ ϕΛ(u,w) + ϕΛ(w, u)︸��︷︷��︸=0

)

12 (ϕ(u,w) − ϕ(w, u)) = 1

2 (ϕS (u,w) − ϕS (w, u)︸��︷︷��︸=0

+ ϕΛ(u,w) − ϕΛ(w, u)︸��︷︷��︸=2ϕΛ(u,w)

) ,

und somit ist sowohl ϕS als auch ϕΛ durch ϕ schon eindeutig festgelegt. �

Bemerkungen 5.22

1) Für die darstellende Matrix G einer Bilinearform bedeutet die Aussage von Satz 5.21nichts anderes als die recht triviale Identität

Gt =12

(Gt +G) +12

(Gt −G) .

2) Satz 5.21 gilt auch für α-Bilinearformen, sofern α2 = id gilt, d. h. α eine Involutionist, und bedeutet dann eine eindeutige Zerlegung in eine hermitesche Bilinearform ϕH undeine antihermitesche Bilinearform ϕΓ .Der Beweis von Satz 5.21 kann mit folgender Modifikation wiederholt werden:

ϕH(u,w) :=12

(ϕ(u,w) + αϕ(w, u))

ϕΓ(u,w) :=12

(ϕ(u,w) − αϕ(w, u)) .

�In Verallgemeinerung von Satz 2.13 und Satz 3.22 können die linearen Abbildungen be-trachtet werden, die eine α-Bilinearform invariant lassen.

Definition 5.23

Seien V und W zwei K-Vektorräume, jeweils mit einer α-Bilinearform ϕ bzw. ϕ.Dann heißt Ψ ∈ HomK(V, W) Isometrie von V nach W, wenn


ϕ(Ψu, Ψw) = ϕ(u,w) für alle u,w ∈ V .

Ist V = W und ϕ = ϕ, dann heißt Ψ Isometrie auf V .

Für einen euklidischen bzw. unitären Vektorraum sind also die orthogonalen bzw. unitä-ren Abbildungen genau die Isometrien bezüglich des inneren Produkts als α-Bilinearform(α = id bzw. α(c) = c).

Satz 5.24: Gruppe der Isometrien

Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum mit nicht entarteter α-Bilinearform ϕ.Dann gilt:

1) Die Isometrien auf V bilden eine Gruppe.

2) Sei B := {u1, . . . , un} eine Basis von V , sei Φ ∈ HomK(V, V) und A die Darstel-lungsmatrix von Φ, d. h. A = BAB. Φ ist eine Isometrie, genau dann wenn

G(B) = α(A)tG(B)A

mit der Gramschen Matrix G(B).

Beweis: Zu 1): Die Komposition von Isometrien ist eine Isometrie, so dass es reicht, füreine Isometrie Φ zu zeigen: Φ−1 existiert (und ist dann Isometrie). Aus Φu = 0 folgt

0 = ϕ(Φw, Φu) = ϕ(w, u) für alle w ∈ V

und wegen der Nichtentartung u = 0. Demnach ist Φ injektiv und damit bijektiv.Zu 2): Da Φ genau dann Isometrie ist, wenn

ϕ(Φu j, Φuk) = ϕ(u j, uk) für alle j, k = 1, . . . , n ,

und rechts das (k, j)-te Element der darstellenden Matrix in der Basis B, links das gleicheElement in der darstellenden Matrix in der Basis A[B] steht, folgt die Behauptung aus(5.5). �

Daher können wir verallgemeinernd definieren:

Definition 5.25

Sei V ein K-Vektorraum mit nicht entarteter α-Bilinearform ϕ.

1) Sei α = id und ϕ symmetrisch, Char K � 2.

O(V; ϕ) := {Φ ∈ HomK(V, V) : Φ ist Isometrie auf V}heißt orthogonale Gruppe und


SO(V; ϕ) := {Φ ∈ O(V; ϕ) : detΦ = 1} .heißt spezielle orthogonale Gruppe zu ϕ.

2) Sei α2 = id � α und

ϕ(u,w) = α(ϕ(w, u)

)für alle u,w ∈ V .

Dann heißt

U(V; ϕ) := {Φ ∈ HomK(V, V) : Φ ist Isometrie auf V}unitäre Gruppe und

SU(V; ϕ) := {Φ ∈ U(V; ϕ) : detΦ = 1}spezielle unitäre Gruppe zu ϕ.

Bemerkung 5.26 Durch Übergang zur Gramschen Matrix ergeben sich entsprechendeGruppen von Matrizen nach Satz 5.24, 2): Sei C ∈ GL(K, n). Dann heißen

O(n, K; C) := {A ∈ K(m,n) : AtCA = C} ,SO(n, K; C) := {A ∈ O(n, K; C) : det(A) = 1} ,

U(n, K; C) := {A ∈ K(m,n) : α(A)tCA = C} ,SU(n, K; C) := {A ∈ U(n, K; C) : det(A) = 1}

orthogonale Gruppe, spezielle orthogonale Gruppe, unitäre bzw. spezielle unitäre Grup-pe zu C. Ist C die Darstellungsmatrix zu ϕ, so sind die Elemente von O(n, K; C) bzw.U(n, K; C) gerade die Darstellungsmatrizen der Elemente von O(V; ϕ) bzw. U(V; ϕ) be-züglich der gleichen festen Basis. Insbesondere findet sich die Definition von O(n,R) inBeispiele 3.2, 7) und die Gruppe O(n,C) der unitären Matrizen im Sinne von Definiti-on 3.26 wieder als

O(n,R) = O(n,R;1)O(n,C) = U(n,C;1) und α(c) = c .

Ist 〈 . 〉 = 〈 . 〉C ein durch C ∈ K(m,n),C > 0 erzeugtes, folglich allgemeines inneresProdukt aufKn, dann sind die bezüglich 〈 . 〉C orthogonalen bzw. unitären Matrizen gerade

O(n,R; C) für K = R bzw. U(n,C; C) mit α(c) = c für K = C . �


Was Sie in diesem Abschnitt gelernt haben sollten:

Begriffe:

• α-Bilinearform, Bilinearform• Darstellungsmatrix einer Bilinearform G(B)• Orthogonales Komplement• Orthosymmetrische α-Bilinearform• Nicht entartete α-Bilinearform• Symmetrische/hermitesche (antisymmetrische/antihermitesche) Bilinearform• Isometrie auf Raum mit Bilinearform

Zusammenhänge:

• Zweifach kovariantes Transformationsverhalten bei α-Bilinearformen (Theorem 5.6)• Isomorphie Raum der Bilinearformen und HomK(V, V∗) (Satz 5.9)• ϕ orthosymmetrisch, nicht entartet auf U : V = U ⊕ U⊥ (Satz 5.17)• Symmetriezerlegung (Satz 5.21)

Beispiele:

• Zerfallende Bilinearform

Aufgaben

Aufgabe 5.1 (K) Es sei V der R-Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ 2 und ϕdie Bilinearform

ϕ( f , g) :=∫ 1

−1f (x)g(x) dx

auf V . Bestimmen Sie die darstellende Matrix von ϕ in Bezug auf die Basis 1, x, x2 (vgl.(1.81)).

Aufgabe 5.2 (K) Es sei V der R-Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ 1. Be-stimmen Sie in Bezug auf die Basis 1, x die darstellende Matrix der Bilinearform:

a) ϕ( f , g) :=∫ 1

0

∫ 10 (x + y) f (x)g(y) dxdy,

b) ψ( f , g) :=∫ 1

0

∫ 10 (x − y) f (x)g(y) dxdy.

c) Bestimmen Sie eine Basis von V , bezüglich der ϕ eine darstellende Matrix in Dia-gonalform hat.

Aufgabe 5.3 (K) Auf V = C([a, b],K) sei die Abbildung

ϕ : V × V → K , ϕ(v, w) :=∫ b

av(x)k(x)w(x) dx

Aufgaben 581

definiert, wobei k ∈ C([a, b],R). Zeigen Sie:

a) ϕ ist eine hermitesche α−Bilinearform.b) Falls k(x) > 0 für alle x ∈ [a, b] gilt, dann ist ϕ positiv definit.

Aufgabe 5.4 (T) Es sei ϕ eine Bilinearform auf dem endlichdimensionalen K-Vektor-raum V . Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden folgenden Aussagen:

(i) Rang(ϕ) ≤ k.

(ii) Es gibt f1, g1, . . . , fk, gk ∈ V∗ mit ϕ = f1 ⊗ g1 + . . . + fk ⊗ gk.

Aufgabe 5.5 (K) Es bezeichne e1, e2, e3 ∈ R3 die Standardbasis und

a1 := (1, 1, 0) , a2 := (0, 1, 1) , a3 := (1, 0, 1) .

a) Es bezeichne ϕ die Bilinearform auf dem R3 mit ϕ(ei, e j) = δi, j. Bestimmen Siedie darstellende Matrix von ϕ in der Basis a1, a2, a3.

b) Es bezeichne ψ die Bilinearform auf dem R3 mit ψ(ai, a j) = δi, j. Bestimmen Siedie darstellende Matrix von ψ in der Standardbasis.

Aufgabe 5.6 (T) Man zeige, dass jede nicht entartete orthosymmetrische Bilinearformentweder symmetrisch oder antisymmetrisch ist.

Aufgabe 5.7 (T) Beweisen Sie Bemerkungen 5.20, 2).

Aufgabe 5.8 (T) Zeigen Sie Beispiele 5.11, 3).


5.2 Symmetrische Bilinearformen und hermitesche Formen

Die wichtigsten symmetrischen Bilinearformen sind:

• Das euklidische Skalarprodukt ϕ(u,w) =∑n

ν=1 vνwν auf dem Zahlenraum Rn mitder darstellenden Matrix (

ϕ(eμ, eν))ν,μ= 1n .

• Die Minkowski1-Form auf dem R4: Für u = (vi)i,w = (wi)i ∈ R4 ist

ϕ(u,w) = v1w1 + v2w2 + v3w3 − c2v4w4

mit einer Konstanten c > 0. Die darstellende Matrix ist⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1

11−c2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .

Die Minkowski-Form stammt aus Einsteins spezieller Relativitätstheorie. Hier-bei ist die Zeit die vierte Dimension des vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuums.

Definition 5.27

Jede α-Bilinearform ϕ definiert eine Funktion qϕ von einem Argument u ∈ V

qϕ : V → K , u �→ ϕ(u, u) .

Diese Funktion qϕ heißt die quadratische Form zur Bilinearform ϕ.

Für obige Beispiele gilt:

• Das euklidische Skalarprodukt auf Kn hat die quadratische Form

qϕ(u) =n∑

ν=1

|vν|2 = ‖u‖22 .

• Die Minkowski-Form hat die quadratische Form

qϕ(u) = (v1)2 + (v2)2 + (v3)2 − c2(v4)2 .

Bemerkungen 5.28

1) Sei ϕ eine Bilinearform. Nach Satz 5.21gilt:

1 Hermann Minkowski ∗22. Juni 1864 in Aleksotas †12. Januar 1909 in Göttingen

5.2 Symmetrische Bilinearformen und hermitesche Formen 583

ϕ(u, u) = ϕS (u, u) + ϕΛ(u, u) = ϕS (u, u)

mit einem symmetrischen Anteil ϕS und einem antisymmetrischen Anteil ϕΛ. Damit folgt

qϕ = qϕS (5.12)

und die Bilinearform kann bei Betrachtung der zugehörigen quadratischen Form o. B. d. A.als symmetrisch angesehen werden.

2) Eine quadratische Form q : V → K hat die Eigenschaft: q(λu) = λα(λ)q(u) für λ ∈ K,u ∈ V , d. h.

q(λu) = λ2q(u) bzw. q(λu) = |λ|2q(u) (5.13)

für Bilinearformen bzw. für hermitesche Formen. �Einer der Gründe für das Interesse an symmetrischen Bilinearformen liegt darin, dass siehelfen, mit Mitteln der linearen Algebra die nichtlinearen quadratischen Formen qϕ zuverstehen. Der Zusammenhang zwischen einer symmetrischen Bilinearform ϕ und ihrerquadratischen Form qϕ ist sehr eng:

Theorem 5.29: Polarisationsformel

1) Es sei ϕ eine symmetrische Bilinearform auf dem K-Vektorraum V über einemKörper K mit Char K � 2. Dann gilt

ϕ(u,w) =12

(qϕ(u + w) − qϕ(u) − qϕ(w)) für alle u,w ∈ V .

Insbesondere ist die Bilinearform ϕ durch ihre quadratische Form qϕ eindeutig be-stimmt.

2) Sei ϕ eine hermitesche Form auf einem C-Vektorraum V . Dann gilt

Re(ϕ(u,w)) =12

(qϕ(u + w) − qϕ(u) − qϕ(w)) für alle u,w ∈ V

und

qϕ(u) ∈ R für alle u ∈ V .

Insbesondere ist ϕ durch ihre quadratische Form qϕ eindeutig bestimmt, da weitergilt:

Im(ϕ(u,w)) = Re(ϕ(u, iw)) .


Beweis: Zu 1): Wir verwenden dieselbe Rechnung, die wir in Satz 2.13 benutzt haben,um einzusehen, dass die Längentreue der orthogonalen Abbildungen deren Winkeltreueimpliziert.

qϕ(u + w) = ϕ(u + w, u + w) = ϕ(u, u) + ϕ(u,w) + ϕ(w, u) + ϕ(w,w)= 2 · ϕ(u,w) + qϕ(u) + qϕ(w) ,

wobei hier 2 := 1 + 1 � 0 und 12 := 2−1.

Zu 2): Wir benutzen dieselbe Rechnung wie für (3.23):

qϕ(u + w) = ϕ(u + w, u + w) = ϕ(u, u) + ϕ(u,w) + ϕ(w, u) + ϕ(w,w)

= ϕ(u, u) + ϕ(u,w) + ϕ(u,w) + ϕ(w,w) = ϕ(u, u) + 2 Re(ϕ(u,w)) + ϕ(w,w) .

Für die nächste Behauptung beachte man

qϕ(u) = ϕ(u, u) = ϕ(u, u) .

Auch die letzte Behauptung lässt sich wie in (3.20) beweisen. �

Bemerkung 5.30 Ist K ein Körper mit Char K � 2 und q : V → K eine Abbildung, die(5.13) erfüllt und für die

ϕ(u,w) :=12

(q(u + w) − q(u) − q(w))

bilinear (und notwendigerweise symmetrisch) ist, so gilt q = qϕ. �

Hauptsatz 5.31: Diagonalisierung symmetrischer Bilinearformen, Char K � 2

Es sei ϕ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen K-Vek-torraum V , wobei Char K � 2, oder eine hermitesche Form über C. Dann gibt eseine Basis u1, . . . , un ∈ V mit ϕ(uμ, uν) = 0 für μ � ν. In dieser Basis hat ϕ daher diedarstellende Matrix ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

qϕ(u1)qϕ(u2)

. . .

qϕ(un)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .

Für eine hermitesche Form über C ist diese Matrix reell.

Beweis: Nach Theorem 5.6 und Definition 5.7 ist somit danach gefragt, ob die symme-trische bzw. hermitesche Darstellungsmatrix von ϕ zu einer Diagonalmatrix α-kongruentist. Hierfür ist orthogonale (für allgemeines K formuliert) bzw. unitäre Ähnlichkeit aus-reichend. Insofern folgt die Aussage aus Hauptsatz 4.51 mit Bemerkungen 4.52, 3) und


den Überlegungen von Hauptsatz 4.58. Dies braucht die algebraische Abgeschlossenheitvon K. Daher wird für den allgemeinen Fall ein Beweis analog zu Hauptsatz 4.51 wieder-holt.

Induktion nach dim(V) = n: Für dim(V) = 1 (Induktionsanfang) ist nichts zu zeigen.Sei nunmehr n ≥ 2 und die Behauptung werde als gültig angenommen für alle K-Vektor-räume W mit dim(W) < dim(V). Wenn ϕ(u,w) = 0 ist für alle Vektoren u,w ∈ V, dannhat ϕ die Nullmatrix als darstellende Matrix, d. h. die Behauptung gilt trivialerweise. An-dernfalls gibt es wegen der Polarisationsformel (Theorem 5.29) aber einen Vektor u1 ∈ Vmit qϕ(u1) = ϕ(u1, u1) � 0. Auf dem eindimensionalen Unterraum Ku1 ⊂ V ist die Biline-arform ϕ nicht entartet. Nach Satz 5.17 gibt es eine orthogonale direkte Summenzerlegung

V = Ku1 ⊕ u⊥1mit dim(u⊥1 ) = n − 1. Nach Induktionsannahme gibt es demnach eine Basis u2, . . . , un ∈ u⊥1mit ϕ(uk, ul) = 0 für 2 ≤ k < l ≤ n. Da nach Konstruktion ϕ(u1, ul) = 0 für l = 2, . . . , n, hatdie Basis u1, u2, . . . , un die gewünschte Diagonalisierungseigenschaft.

Für eine hermitesche Form über C folgt die Zusatzbehauptung aus Theorem 5.29, 2).�

Bemerkungen 5.32

1)

In Analogie zu Definition 1.109 nennt man eine Basis u1, . . . , un ∈ V mit

ϕ(uμ, uν) = λμδμ,ν für μ, ν = 1, . . . , n

eine Orthogonalbasis bezüglich ϕ und bei λμ = 1 für μ = 1, . . . , n eine Orthonormal-basis.

Sie kann nach dem Beweis von Hauptsatz 5.31 in endlich vielen Schritten ermittelt wer-den und entspricht konkret einer sukzessiven Variablentransformation durch quadratischeErgänzung.

2) Die Diagonalisierung der Bilinearform in Hauptsatz 5.31 hängt zusammen mit derHauptachsentransformation aus Abschnitt 4:

Diagonalisierung von α-Bilinearformenfür symmetrisches G AtGA diagonal A invertierbar Char K � 2für hermitesches G A

tGA diagonal, reell A invertierbar K = C

Hauptachsentransformation A−1GA diagonal, reellfür symmetrisches G AtGA diagonal, reell A orthogonal K = R

für hermitesches G AtGA diagonal, reell A unitär K = C


Über K = K folgt demnach die Diagonalisierbarkeit aus der Hauptachsentransformation.Da über die Transformationsmatrix in Hauptsatz 5.31 nichts ausgesagt wird, ist die Dia-gonalisierbarkeit eine viel schwächere Aussage als die Hauptachsentransformation.

Für V = Kn und symmetrisches bzw. hermitesches ϕ gibt es sodann eine Basis, die nichtnur eine Orthogonalbasis bezüglich ϕ, sondern auch bezüglich des euklidischen innerenProdukts (3.15) ist. Für sie ist aber eine orthonormale Eigenvektorbasis zu ermitteln, wasi. Allg. nicht in endlich vielen Schritten möglich ist. �

Präzisierungen von Hauptsatz 5.31, denen wir uns jetzt zuwenden, hängen vom Grundkör-per K ab.

Satz 5.33: Diagonalisierung symmetrischer Bilinearformen, K = K

Zu jeder reellen symmetrischen oder komplexen hermiteschen n × n-Matrix G gibtes eine invertierbare Matrix A so, dass A†GA eine Diagonalmatrix ist, welche auf derDiagonale nur Einträge ±1 und 0 enthält:

A†GA =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1p

−1m

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .

Beweis: Wegen Hauptsatz 5.31 oder schon nach Hauptsatz 4.58 können wir o. B. d. A.annehmen, dass die Matrix G schon in Diagonalform⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

g1. . .

gn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠vorliegt. Durch gleichzeitige Multiplikation von rechts und links mit Permutationsmatrizenzu Transpositionen, d. h. reellen Elementarmatrizen nach (2.73) mit

E = Et = E−1

kann man die Diagonaleinträge noch vertauschen. Danach können wir

g1 > 0 , . . . , gp > 0 , gp+1 < 0 , . . . , gp+m < 0 , gp+m+1 = . . . = gn = 0

annehmen. Dann definieren wir eine reelle invertierbare Diagonalmatrix A mit Diagonal-einträgen

a1,1 = 1/√g1 , . . . , ap,p = 1/√gp ,

ap+1,p+1 = 1/√−gp+1 , . . . , ap+m,p+m = 1/

√−gp+m ,

ap+m+1,p+m+1 = 1 , . . . an,n = 1


und finden

AtGA =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1p

−1m

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ . �

Bemerkung 5.34 Soll die transformierte Matrix nur die Gestalt⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

λ1. . .

λp

−λp+1. . .

−λp+m

0. . .

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠mit λi > 0 für i = 1, . . . , p + m haben, so ist dies auch mit A ∈ O(n,K) möglich. �Die Zahl p + m der Diagonaleinträge ungleich 0 ist der Rang von G. Die Summe p + mist also unabhängig von der gewählten Diagonalisierung von G stets gleich. Dies gilt aberauch für die Zahlen p und m selbst:

Theorem 5.35: Sylvesterscher Trägheitssatz

Es gelten die Voraussetzungen von Hauptsatz 5.31 und es sei K = R oder K = C,α(x) = x. Dann ist die Anzahl p der positiven Diagonaleinträge in Hauptsatz 5.31bzw. die Anzahl m der negativen Diagonaleinträge in Hauptsatz 5.31 die maximaleDimension eines Unterraums, auf dem qϕ positiv bzw. negativ ist, d. h.

p = max{dim(U) : U Unterraum von V und qϕ(u) > 0 für u ∈ U, u � 0} , (5.14)m = max{dim(U) : U Unterraum von V und qϕ(u) < 0 für u ∈ U, u � 0} . (5.15)

Insbesondere sind p und m unabhängig von der gewählten Diagonalisierung.

Beweis: Es reicht die Aussage für p zu zeigen, da p und m bei ϕ := −ϕ ihre Rollentauschen. Sei u1, . . . , un eine Basis, wie durch Hauptsatz 5.31 garantiert und o. B. d. A.qϕ(ui) > 0 für i = 1, . . . , p, qϕ(ui) ≤ 0 für i = p + 1, . . . , n (siehe Beweis von Satz 5.33 undBemerkung 5.34). Für u =

∑pi=1 xiui ∈ U := span(u1, . . . , up), u � 0 gilt

qϕ(u) = ϕ(u.u) = Gxtα(x) =p∑

i=1

qϕ(ui)xiα(xi) =p∑

i=1

qϕ(ui)|xi|2 > 0 .


Damit gilt r ≥ p, wenn r die rechte Seite in (5.14) bezeichnet. Um noch r ≤ p zu verifi-zieren, muss für jeden Unterraum U mit qϕ(u) > 0 für u ∈ U, u � 0

dim U ≤ p

gezeigt werden. Sei U ein solcher Unterraum, aber dim U > p. Eine Projektion von Unach U werde wie folgt definiert: Ist u :=

∑ni=1 xiui ∈ U, dann sei Pu :=

∑pi=1 xiui ∈ U. Da

dim U > dim U, kann P nicht injektiv sein. Somit gibt es ein u ∈ U, u � 0, so dass Pu = 0,also x1, . . . , xp = 0 und so

qϕ(u) =n∑

i=p+1

qϕ(ui)|xi|2 ≤ 0

im Widerspruch zur Wahl von U. �

Definition 5.36

Das Paar (p, m) heißt die Signatur der symmetrischen reellen Bilinearform (bzw.der zugehörigen symmetrischen Matrix G) oder der hermiteschen Form (bzw. derzugehörigen hermiteschen komplexen Matrix G). Die Signatur wird mit Sign(G) be-zeichnet. Die Differenz p − m heißt Trägheitsindex.

Bemerkungen 5.37

1) Die Sätze 5.33 und 5.35 zusammen können auch so formuliert werden: Seien G und Hzwei symmetrische bzw. hermitesche Matrizen, dann gilt folgende Äquivalenz:

Es existiert eine invertierbareK − wertige Matrix A

mit H = A†GA⇐⇒ G und H haben

die gleiche Signatur.

2) Insbesondere ist auch die Anzahl der Einträge gleich +1 (gleich −1) in Satz 5.33 unab-hängig von der gewählten Diagonalisierung.

3) Analog kann man zeigen:

n − m = max{dim U : U Unterraum von V und qϕ(u) ≥ 0 für u ∈ U} ,n − p = max{dim U : U Unterraum von V und qϕ(u) ≤ 0 für u ∈ U} . �

Die in Definition 4.133 formulierten Begriffe für Matrizen bzw. lineare Abbildungen las-sen sich für endlichdimensionale K-Vektorräume V wegen Isomorphie (Satz 5.3, 4)) auchdirekt für die erzeugten α-Bilinearformen formulieren.


Definition 5.38

Eine symmetrische Bilinearform oder eine hermitesche Form ϕ auf dem K-Vektor-raum V heißt

positiv definit falls ϕ(u, u) > 0 für alle 0 � u ∈ V ,positiv semi-definit falls ϕ(u, u) ≥ 0 für alle u ∈ V ,negativ definit falls ϕ(u, u) < 0 für alle 0 � u ∈ V ,negativ semi-definit falls ϕ(u, u) ≤ 0 für alle u ∈ V ,indefinit falls ϕ weder positiv noch negativ semi-definit.

Die Form ϕ ist folglich genau dann positiv definit, wenn die Form −ϕ negativ definit ist.Ist dim(V) = n endlich und hat ϕ die Signatur (p, m), so ist ϕ

positiv definit ⇔ p = n ,positiv semi-definit ⇔ m = 0 ,negativ definit ⇔ m = n ,negativ semi-definit⇔ p = 0 ,indefinit ⇔ p > 0 und m > 0 .

Beispiele 5.39

1) Die positiv (und damit auch die negativ) definiten Formen auf einem endlichdimensio-nalen K-Vektorraum sind in Abschnitt 4.7 untersucht und charakterisiert worden.

2) Die Minkowski-Form auf R4 hat die Signatur (3, 1) und ist deswegen indefinit. ◦


Begriffe:

• Quadratische Form zu einer symmetrischen Bilinearform• Signatur einer symmetrischen reellen Matrix (bzw. zugehöriger Bilinearform)• Positiv/Negativ (semi-)definite Form

Zusammenhänge:

• Polarisationsformel (Theorem 5.29)• Diagonalisierung einer symmetrischen Bilinearform (Hauptsatz 5.31, 5.33)• Sylvesterscher Trägheitssatz (Theorem 5.35)

Beispiele:

• Euklidisches Skalarprodukt• Minkowski-Form


Aufgaben

Aufgabe 5.9 (T)

a) Finden Sie aufR2 die symmetrischen Bilinearformen zu den quadratischen Formenq1, . . . , q4 mit

q1(x, y) = x2 , q2(x, y) = x2 − y2 , q3(x, y) = 2xy , q4(x, y) = (x + y)2 .

b) Zeigen Sie: Die quadratische Form

q(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2

gehört genau dann zu einer nicht entarteten symmetrischen Bilinearform, wenn

b2 � ac .

Aufgabe 5.10 (K) Bezüglich der Standardbasis des R3 sei eine Bilinearform b durch dieDarstellungsmatrix ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 0 0 1

0 1 01 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠gegeben. Man gebe eine Basis von R3 an, bezüglich der b Diagonalform hat.

Aufgabe 5.11 (K) Für A, B ∈ R(n,n) setze man (vergleiche (4.6))

ϕn(A, B) := sp(AB) . (5.16)

a) Man zeige, dass ϕn eine symmetrische Bilinearform auf R(n,n) ist und berechne dieDarstellungsmatrix (ϕ2(ek, ei))i,k=1,...,4 für die Basis

e1 =

(1 00 0

), e2 =

(0 10 0

), e3 =

(0 01 0

), e4 =

(0 00 1

)von R(2,2).

b) Man gebe eine Basis f1, f2, f3, f4 von R(2,2) an mit

ϕ2( fi, fk) = 0 für 1 ≤ i < k ≤ 4

und berechne die Werte ϕ2( fi, fi) für i = 1, . . . , 4.c) Ist ϕ2 positiv definit?

Aufgabe 5.12 (T) Zeigen Sie: Für eine symmetrische Bilinearform ϕ auf Rn sind äquiva-lent:

(i) Rang(ϕ) ≤ 2.

(ii) ϕ = ( f ⊗ g)S mit f , g ∈ V∗.

5.3 Quadriken 591

5.3 Quadriken

Sei zunächst K ein beliebiger Körper mit Char K � 2. Wir betrachten Kn als affinen Raumzu sich selbst (siehe Bemerkungen 1.116, 4)). Eine Quadrik im affinen Raum Kn ist eineTeilmenge Q ⊂ Kn, welche durch Polynome

von Grad 2n∑

k,l=1

ak,lxk xl , von Grad 1n∑

k=1

bkxk

und von Grad 0, d. h. eine Konstante c ∈ K mittels

Q = {x ∈ Kn : q(x) :=n∑

k,l=1

ak,lxk xl +

n∑k=1

bkxk + c = 0} ,

definiert wird. Die Koeffizienten ak,l fassen wir zu einer quadratischen n × n-Matrix Azusammen. Dann ist der quadratische Anteil der obigen Gleichung

n∑k,l=1

ak,lxk xl = xtAx

die quadratische Form zur Bilinearform mit darstellender Matrix A. Daher können wirA immer als symmetrisch annehmen (siehe (5.12)). Den linearen Anteil

∑nk=1 bk xk kön-

nen wir als Matrix-Vektor-Produkt mit dem Zeilenvektor bt = (bk)tk auffassen. Dabei ist

es rechentechnisch vorteilhaft, einen Faktor 2 vorwegzunehmen. Damit schreibt sich dieQuadrikengleichung in Matrizenform als

q(x) = xtAx + 2bt x + c = 0. (5.17)

Definition 5.40

Wir nennen die Matrix A die Koeffizientenmatrix und die symmetrische (n + 1) ×(n + 1)-Matrix

A′ :=(

A bbt c

)die erweiterte (oder geränderte) Koeffizientenmatrix der Quadrik (5.17).

Mit der äquivalenten Darstellung der Punkte im affinen Raum durch einen erweitertenVektor


x′ :=(

x1

)∈ Kn+1 (5.18)

(vergleiche Bemerkungen 1.116, 5)) lässt sich die Quadrikgleichung mit der erweitertenKoeffizientenmatrix als Nullstellengleichung für eine quadratische Form schreiben, denn:

(x′)tA′x′ = (xt, 1)(

A bbt c

) (x1

)= xtAx + 2bt x + c = 0 .2

Diese Überlegungen motivieren folgende Definition:

Definition 5.41

Sei A ∈ K(n,n) symmetrisch, b ∈ Kn, c ∈ K. Sei A′ ∈ K(n+1,n+1) die erweiterteKoeffizientenmatrix und q(x) := (x′)tA′x′. Dann heißt

Q := {x ∈ Kn : q(x) = 0}die Quadrik zur Form q.

Unser Ziel in diesem Abschnitt ist die Klassifikation der Quadriken. Dazu bringen wir dieGleichung q(x) = 0 der Quadrik Q durch eine geeignete lineare Transformation x = F(y)auf eine möglichst einfache Form. Als einfaches Beispiel betrachten wir eine Parabel, inKoordinaten (x1, x2) etwa

q(x) := x21 + 2b1x1 + 2b2x2 + c = 0, b2 � 0 .

Mit der quadratischen Ergänzung y1 := x1 + b1 wird daraus

y21 + 2b2x2 + c − b2

1 = 0

und mit y2 := 2b2 · x2 + c − b21 schließlich

q(y) := q(F(y)) = y21 + y2 = 0 . (5.19)

Dabei muss man zwischen der transformierten Quadrik F(Q) und der transformierten Glei-chung q ◦ F unterscheiden, denn

F(Q) = {F(x) : x ∈ Q} = {y ∈ Kn : F−1(y) ∈ Q} = {y ∈ Kn : q(F−1(y)) = 0}würde die Quadrik transformieren. Bei einer Transformation der Gleichung (d. h. durcheine Transformation des „Koordinatensystems“) gilt

Q′ = {y ∈ Kn : q(F(y)) = 0} = {y ∈ Kn : F(y) ∈ Q} = F−1(Q) .

2 Auf die Partitionsstriche wird hier wegen der klaren Dimensionierung verzichtet.

5.3 Quadriken 593

Zusätzlich sollen noch Skalierungen der Gleichung erlaubt sein, dh.

Q′ = {y ∈ Kn : αq(F(y)) = 0}für ein α ∈ K, α � 0.

Unter Berücksichtigung der Koordinatentransformationy = F−1(x) bleibt also die Qua-drik gleich. Welche „Normalformen“ erreichbar sind (wie z. B. (5.19)), hängt von den zu-lässigen Transformationen F ab. Das oben kurz vorgestellte Beispiel der Parabel zeigt,dass Translationen sinnvoll sind. Damit bieten sich als Möglichkeiten an:

a) Affinitäten

x = F(y) = Cy + t , t ∈ Kn, C ∈ GL(n,K)

oderb) Bewegungen

x = F(y) = Cy + t , t ∈ Kn,C ∈ O(n,K)

aus Abschnitt 2.1.2.

Da die Bewegungen bzw. Affinitäten eine Gruppe bezüglich der Hintereinanderausfüh-rung bilden (siehe Beispiele 3.3, 1) und 2)), werden auf diese Weise Äquivalenzrelationenauf der Menge der Quadriken definiert und nach möglichst einfachen Repräsentanten derÄquivalenzklassen gesucht. Werden die Punkte im Kn als erweiterte Vektoren nach (5.18)dargestellt, kann die affine Transformation F : u �→ Cu + t als lineare Abbildung auf denerweiterten Vektoren mit erweiterter Matrix

C′ =(

C t0t 1

)(5.20)

aufgefasst werden. In der Tat ist

C′u′ =(

Cu + t1

)der erweiterte Vektor zum Vektor F(u). Auf diese Weise kann man die affine Gruppe alsdie Untergruppe {(

C t0t 1

): C ∈ GL(n, K), t ∈ Kn

}der GL(n + 1, K) auffassen. Die Abgeschlossenheit bezüglich ◦ dieser Menge ergibt sichaus (

C t0t 1

) (B s0t 1

)=

(CB Cs + t0t 1

)und

(C t0t 1

)−1

=

(C−1 −C−1 t0t 1

).


Die affine Gruppe ist daher für Vektorräume über beliebigen Körpern definiert. In Ab-schnitt 2.1.2 bzw. Abschnitt 3.3 wurde für K = K der Begriff der Bewegung in V ein-geführt, wobei V ein unitärer Raum ist. Eine Bewegung ist eine affine TransformationF : u �→ Φ(u) + t, bei der die lineare Abbildung Φ unitär ist. Man nennt solche Abbil-dungen auch Kongruenzen. Weil das Produkt und das Inverse unitärer Transformationenwieder unitär ist, bilden die Bewegungen eine Gruppe und insbesondere eine Untergruppeder affinen Gruppe des unitären K-Vektorraums V .

5.3.1 Die affine Normalform

Wir transformieren die Quadrik

Q : xtAx + 2bt x + c = 0

unter einer affinen Transformation

x = Cy + t .

In erweiterten Vektoren entspricht dies der Kongruenztransformation (siehe Theorem 5.6)der erweiterten Matrix A′ der quadratischen Form mit der erweiterten Matrix C′ nach(5.20), d. h. (

C t0t 1

)t ( A bbt c

) (C t0t 1

)=

(CtAC Ct(At + b)

(At + b)tC c′

)(5.21)

mit

c′ := t tAt + 2bt t + c .

Mit C ist auch C′ invertierbar. Insbesondere finden wir: Nach Bemerkungen 5.37, 1) blei-ben bei einer affinen Transformation der Quadrik Q Rang (und Signatur wenn K = K)der Koeffizientenmatrix A, sowie der erweiterten Koeffizientenmatrix A′ unverändert. DerRang von A′ kann höchstens um 2 größer sein als der Rang von A. Unser Ziel ist es,die Gleichung einer Quadrik durch affine Transformationen auf eine möglichst einfacheNormalform zu bringen. Wenn wir von solchen Normalformen einen Katalog aufstellenkönnen, dann haben wir die Quadriken in Bezug auf affine Transformationen klassifiziert.Nach Satz 5.33 gibt es eine Matrix C ∈ GL(n,K) derart, dass die transformierte Koeffi-zientenmatrix

A = CtAC =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a1

. . .

an

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

5.3 Quadriken 595

eine Diagonalmatrix ist. Ist K = K, ist dies nach Hauptsatz 4.58 (Hauptachsentransforma-tion) auch mit C ∈ O(n,K) erreichbar. An dieser Diagonalmatrix können wir den Rangund die Signatur der Matrix A ablesen.

Ist der Rang von A maximal, so kann man den linearen Anteil 2bt · x wegtransfor-mieren: Unabhängig von C, d. h. insbesondere für C = 1 kann

t := −A−1b (5.22)

gewählt werden,

und der transformierte lineare Anteil verschwindet dadurch, wie (5.21) zeigt.In genau die-ser Situation ist demzufolge b, d. h. die letzte Spalte von A′ ohne die letzte Komponente,linear abhängig von den Spalten von A und verändert somit den Rang von A′ nicht. Diesgeschieht ebensowenig durch (bt, c), d. h. die (n + 1)-te Zeile von A′, wenn c aus der glei-chen Linearkombination der bi ist, wie bt aus den Zeilen von A entsteht, d. h.

c = (−t)t b .

Genau dann gilt aber insgesamt

c′ = t tAt + 2bt t + c = −tt b + 2bt t − t t b = 0 .

Also gilt im Fall Rang(A) = n:

c′ = 0 ⇐⇒ Rang(A) = Rang(A′) .

Bei dieser Transformation handelt es sich somit insbesondere um eine Bewegung.

Quadriken, bei denen der lineare Anteil verschwindet, sind Mittelpunktsquadriken:

Definition 5.42

Eine Quadrik Q heißt Mittelpunktsquadrik, wenn es einen Punkt m gibt, so dass Qbei der Punktspiegelung an m, d. h. durch

x �→ m− (x − m) ,

in sich übergeht.

Beispiel 5.43 Eine Quadrik mit invertierbarer Koeffizientenmatrix A hat einen Mittel-punkt, in Bezug auf den sie punktsymmetrisch ist. Dieser liegt i. Allg. nicht auf der Qua-drik.Nach der Transformation (5.21), (5.22), wenn die Quadrikengleichung in der Form


yt Ay + c = 0

vorliegt, handelt es sich um eine Mittelpunktsquadrik zu m = 0, davor also zu m = C0 + t = −A−1 b.

◦Für den Fall, dass A nicht den maximalen Rang hat, nehmen wir an, wir hätten A in eineDiagonalform

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a1. . .

ar

0. . .

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠mit n − r > 0 Nullen auf der Diagonale transformiert. Die r Einträge a1, ..., ar � 0 kannman benutzen, um ähnlich wie gerade, die ersten r Einträge des Vektors b zu eliminieren,so dass danach b = (b′t, b′′t)t mit b′ = 0, b′′ ∈ Kn−r. Dazu wählt man für den zweitenTransformationsschritt ti = −bi/ai, i = 1, . . . , r. Die Quadrikengleichung sieht danach soaus:

r∑k=1

ak(xk)2 +

n∑k=r+1

2bkxk + c = 0 .

Sind auch die verbliebenen bk alle gleich 0, dann ist

∑rk=1 ak(xk)2 + c = 0 .

Die transformierte Form von A′ ist in diesem Fall

A′ =(

A 0

0t c

)und damit

Rang A′ ={

r für c = 0r + 1 für c � 0 .

Andernfalls können wir im Unterraum x1 = . . . = xr = 0 eine lineare Transformationdurchführen, die die Linearform x �→ bt · x auf die Linearform x �→ 1

2 etr+1 · x transformiert.

Dazu wird ein Isomorphismus C′ auf Kn−r durch Abbildung von b′′ auf 12 e1 und beliebige

Definition auf einer aus b′′ fortgesetzten Basis von Kn−r definiert. Dann ist durch

C :=(1r 0

0 C′t

)∈ K(n,n) (5.23)

5.3 Quadriken 597

die gewünschte Transformation (wieder in x statt in y geschrieben) x = Cy definiert.Die Matrix A wird dadurch wegen der erreichten Diagonalgestalt nicht verändert. DieQuadrikengleichung wird

r∑k=1

ak(xk)2 + xr+1 + c = 0 .

Wenn wir schließlich noch xr+1 durch xr+1 + c ersetzen, d. h. mittels einer Translation, sonimmt die Gleichung folgende Form an:

∑rk=1 ak(xk)2 + xr+1 = 0 .

Die transformierte Form von A′ ist also

A′ =(

A er+1et

r+1 c

).

Dabei ist A eine Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen ungleich Null auf den ers-ten r Positionen. Damit:

Rang A′ = r + 2 .

Wir fassen die obigen Überlegungen zu folgendem Satz zusammen:

Theorem 5.44: Affine Normalform

Die Gleichung einer Quadrik kann durch eine affine Transformation entweder aufeine Form ohne linearen Anteil

1)r∑

k=1

ak(xk)2 + c = 0

oder auf die Form

2)r∑

k=1

ak(xk)2 + xr+1 = 0

gebracht werden. Dabei sind ak � 0 für alle k = 1, . . . , r, d. h. r = Rang(A) für dieKoeffizientenmatrix A. Die Fälle treten nur abhängig von Rang(A′) auf:


Rang(A′) = r : Fall (1) , c = 0 ,Rang(A′) = r + 1 : Fall (2) , c � 0 ,Rang(A′) = r + 2 : Fall (2) .

Hat A vollen Rang, kann demnach nur der Fall (1) auftreten.

Wie die Diagonaleinträge ak � 0 weiter transformiert werden können, hängt vom Grund-körper ab. Über C können sie alle auf 0 oder 1 normalisiert werden. Der geometrischinteressante Fall ist aber K = R. In dem Fall können wir die Diagonaleinträge ungleich 0auf ±1 normalisieren.

In Abbildung 5.2 sind einige Quadriken dargestellt und in Tabelle 5.1 sind die Normal-formen reeller Quadriken im Rn für n ≤ 3 zusammengestellt, die man auf diese Weisebekommt. Zur Orientierung dient dabei primär die Signatur Sign(A) der Koeffizientenma-trix A. Allerdings kann man jede Gleichung mit −1 durchmultiplizieren, das ändert dieSignatur, aber nicht die Quadrik. Zwei Gleichungen, die sich so unterscheiden, werdennicht zweimal angegeben. Außerdem wird der Fall Rang(A) = 0 ausgeschlossen, da essich sonst nicht um die Gleichung einer Quadrik handelt. In einer Dimension gibt es drei,in zwei Dimensionen neun, und in drei Dimensionen 17 Fälle. Alle diese Normalformenkann man alleine durch den Rang und Index der Koeffizientenmatrix und der erweitertenMatrix unterscheiden. Allerdings sind ein Großteil aller Fälle Entartungsfälle:

Definition 5.45

Eine Quadrik Q heißt nicht entartet, wenn Q � ∅ und die erweiterte Koeffizienten-matrix invertierbar ist.

Die nicht entarteten Quadriken sind in Tabelle 5.1 durch fettgedruckten Rang(A′) hervor-gehoben und in Tabelle 5.2 zusammengefasst.

Bemerkungen 5.46 In Tabelle 5.1 lassen sich zwei noch nicht verifizierte Fakten beob-achten, die in Bemerkung 5.51 bewiesen werden:

1) Die Konstante ist ±1⇔ Bei A′ kommt ein positiver (negativer) Eigenwert gegenüber Ahinzu.

2) Im Fall Rang(A′) = Rang(A) + 2 kommt immer ein positiver und ein negativer Eigen-wert hinzu. �

Definition 5.47

Eine Quadrik Q in der affinen Ebene K2 heißt Kegelschnitt.

Kegelschnitte (im Reellen) haben schon die alten Griechen gekannt und ausgiebig unter-sucht. Sie haben sie definiert als den Durchschnitt eines Doppelkegels mit einer Ebene,siehe auch Abbildung 5.3.

5.3 Quadriken 599

n Ran

g(A

)

Sign

(A)

Ran

g(A′ )

Sign

(A′ )

Gleichung Quadrik1 1 (1, 0) 2 (2, 0) x2 + 1 = 0 ∅

2 (1, 1) x2 − 1 = 0 zwei Punkte1 (1, 0) x2 = 0 ein Punkt

2 2 (2, 0) 3 (3, 0) x2 + y2 + 1 = 0 ∅3 (2, 1) x2 + y2 − 1 = 0 Kreis2 (2, 0) x2 + y2 = 0 Punkt

(1, 1) 3 (2, 1) x2 − y2 + 1 = 0 Hyperbel2 (1, 1) x2 − y2 = 0 schneidendes Geradenpaar

1 (1, 0) 3 (2, 1) x2 + y = 0 Parabel2 (2, 0) x2 + 1 = 0 ∅2 (1, 1) x2 − 1 = 0 paralleles Geradenpaar1 (1, 0) x2 = 0 Gerade

3 3 (3, 0) 4 (4, 0) x2 + y2 + z2 + 1 = 0 ∅4 (3, 1) x2 + y2 + z2 − 1 = 0 Sphäre3 (3, 0) x2 + y2 + z2 = 0 Punkt

(2, 1) 4 (3,1) x2 + y2 − z2 + 1 = 0 zweischaliges Hyperboloid4 (2,2) x2 + y2 − z2 − 1 = 0 einschaliges Hyperboloid3 (2, 1) x2 + y2 − z2 = 0 Doppelkegel

2 (2, 0) 4 (3,1) x2 + y2 + z = 0 (elliptisches) Paraboloid3 (3, 0) x2 + y2 + 1 = 0 ∅3 (2, 1) x2 + y2 − 1 = 0 Kreiszylinder (elliptischer Zylinder)2 (2, 0) x2 + y2 = 0 Gerade

(1, 1) 4 (2, 2) x2 − y2 + z = 0 Sattelfläche (hyperbolisches Paraboloid)3 (2, 1) x2 − y2 + 1 = 0 hyperbolischer Zylinder2 (1, 1) x2 − y2 = 0 schneidendes Ebenenpaar

1 (1, 0) 3 (2, 1) x2 + y = 0 parabolischer Zylinder2 (2, 0) x2 + 1 = 0 ∅2 (1, 1) x2 − 1 = 0 paralleles Ebenenpaar1 (1, 0) x2 = 0 Ebene

Tabelle 5.1: Quadriken im An, n ≤ 3 in den Koordinaten x, y, z, nicht entartete Fälle imFettdruck.

Beispiele 5.48 (Geometrie)

1) Nach den vorausgegangenen Überlegungen reicht es einen Doppelkegel in der Stan-dardform von Tabelle 5.1 zu betrachten, d. h.

K ={x = (x, y, z)t ∈ A3 : x2 + y2 − z2 = 0

}.

Wir geben in Tabelle 5.3 exemplarisch Schnitte mit Ebenen E an, die die verschiedenenQuadriken des A2 ergeben: Für die gewählte Normalform des Kegels ist die Spitze x = 0,und die Mantellinien sind die Geraden g(t) = gx,y(t) = tw mit w = (x, y, 1) für (x, y)t ∈ A2,x2 + y2 = 1.


n Quadrik1 zwei Punkte2 Kreis

HyperbelParabel

3 Sphärezweischaliges Hyperboloideinschaliges Hyperboloid(elliptisches) ParaboloidSattelfläche

Tabelle 5.2: Nicht entartete Quadriken im A3.

42

02

4

4

2

0

2

44

2

0

2

4

42

02

4

4

2

0

2

44

2

0

2

4

21

01

2

2

1

0

1

20

2

4

6

8

21

01

2

2

1

0

1

24

2

0

2

4

Abb. 5.2: Quadriken im A3: wie in Tab. 5.2, ohne Sphäre (von links oben nach rechtsunten).

a) Es ergibt sich allgemein eine Ellipse als Schnitt, wenn die Ebene nicht durch dieSpitze läuft und nicht parallel zu einer Mantellinie ist. Ist sie orthogonal zu einerKegelachse, ergibt sich ein Kreis. Geht die Ebene durch die Spitze, entartet dieEllipse zum Punkt.

5.3 Quadriken 601

Ebene E Gleichung Quadrik{x ∈ A3 : z = c � 0

}x2 + y2 = c2 Kreis (in (x, y)){

x ∈ A3 : z = 0}

x2 + y2 = 0 Punkt (in (x, y)){x ∈ A3 : x = 1

}y2 − z2 + 1 = 0 Hyperbel (in (x, y)){

x ∈ A3 : x = 0}

y2 − z2 = 0 schneidendes Geradenpaar (in (y, z)){x ∈ A3 : −y + z = 1

}x2 − 2y − 1 = 0 Parabel (in (y, z)){

x ∈ A3 : −y + z = 0}

x2 = 0 Gerade (in (x, y))

Tabelle 5.3: Schnitte des Doppelkegels K mit Ebenen E in den Koordinaten x = (x, y, z).

b) Es ergibt sich eine Hyperbel , wenn die Ebene nicht durch die Spitze läuft und zugenau zwei Mantellinien parallel ist. Geht die Ebene durch die Spitze, entartet dieHyperbel zu einem sich schneidenden Geradenpaar.

c) Es ergibt sich eine Parabel , wenn die Ebene nicht durch die Spitze läuft und zueiner Mantellinie parallel ist. Geht die Ebene durch die Spitze, entartet die Parabelzu einer Gerade.

2) Den Durchschnitt einer Quadrik

xtAx + 2bt x + c = 0

mit einer Geraden berechnet man, indem man die Parametrisierung der Geraden

x = u + sw , s ∈ K

in die Quadrikengleichung einsetzt und damit die folgende quadratische Gleichung in serhält:

0 = (u + sw)tA(u + sw) + 2bt(u + sw) + c

= wtAw · s2 + 2utAw · s + 2btw · s + utAu + 2btu + c .

Diese wird im Fall wtAw = 0 zu einer linearen Gleichung reduziert und kann eine, keineoder unendlich viele Lösungen haben. Andernfalls handelt es sich um eine quadratischeGleichung in s. Wenn diese keine reellen Lösungen hat, dann schneidet die Gerade dieQuadrik nicht. Hat sie dagegen zwei reelle Lösungen, dann schneidet die Gerade die Qua-drik in zwei Punkten. Wenn die beiden reellen Lösungen zusammenfallen, dann berührtdie Gerade die Quadrik in einem Punkt und heißt Tangente. ◦

Bemerkung 5.49 Auch die Graphen von quadratischen Formen auf Kn bilden Quadrikenund zwar in Kn+1. In der Situation von Definition 5.41 kann man neben Q = {x ∈ Kn :q(x) = xtAx + 2bt x + c = 0} auch

G :={(

xy

)∈ Kn+1 : q(x) − 2y = 0

}


Abb. 5.3: Kegelschnitte.

betrachten und hat wieder eine Quadrik mit Koeffizientenmatrix

A =(A 0

0t 0

)∈ K(n+1,n+1) , b

t= (bt, 1) ,

und damit die erweiterte Koeffizientenmatrix

A′ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝A 0 b0t 0 −1bt −1 c

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ,

so dass also gilt:

Rang A = Rang A < n + 1 Rang A′ = Rang A + 2 .

Die Umformung entspricht demgemäß der Umformung der Quadrik G unter Beibehaltungdes linearen Anteils mit y. Die Form von G hängt von den Eigenwerten von A ab. G ist einmehrdimensionales Analogon eines nach oben geöffneten elliptischen Paraboloids, wennalle Eigenwerte positiv, eines hyperbolischen Paraboloids, wenn die Eigenwerte in positive

5.3 Quadriken 603

und negative zerfallen, oder eines parabolischen Zylinders, wenn etwa einige Eigenwertepositiv, einige Null sind.

Die Minimierungsprobleme in Abschnitt 4.7.2 bei positiv definiter Matrix finden folg-lich auf einem nach oben geöffneten Paraboloiden statt, in den Bemerkungen 4.149, 2) undbeim MaxMin-Problem von Satz 4.151 liegt ein hyperbolisches Paraboloid zugrunde. �

5.3.2 Die euklidische Normalform

Anstelle beliebiger affiner Transformationen werden hier nur Bewegungen benutzt, umeine Quadrik in eine Normalform zu transformieren. Die so entstehende Normalform einerQuadrik heißt deren metrische oder euklidische Normalform. Betrachten wir eine Quadrikmit erweiterter Koeffizientenmatrix

A′ =(

A bbt c

)und gehen wir die Transformationen in Abschnitt 5.3.1, Ableitung von Theorem 5.44nochmal durch:

1) Als Erstes wurde die Koeffizientenmatrix A mit Satz 5.33 durch eine lineare Transfor-mation in Diagonalform überführt. Wir können aber auch Hauptsatz 4.58 (Hauptachsen-transformation) verwenden und dasselbe mit einer orthogonalen Transformation erreichen,mit dem folgenden Unterschied: Durch lineare Transformationen bekommt man eine Dia-gonalmatrix mit den Einträgen ±1 und 0. Nach einer orthogonalen Transformation stehenauf der Diagonale die Eigenwerte von A. Die Anzahlen der positiven, negativen, oder Null-Einträge ist dieselbe, wie in der affinen Normalform, den Wert der Einträge ak � 0 könnenwir jetzt aber nicht mehr auf ±1 normieren.

2) Durch eine Translation können wir, ganz genau so wie in 5.3.1 die Gleichung der Qua-drik in eine Form

r∑k=1

ak(xk)2 +

n∑k=r+1

2bkxk + c = 0

transformieren.

3) Durch eine orthogonale Transformation kann man jetzt die Linearform 2bt x nicht mehrauf et

r+1x transformieren, sondern nur noch auf

x �→ b · etr+1x = b · xr+1 mit b = ‖2b‖2 .

Denn in der obigen Begründung muss 2b′′‖2b‖2 =: b′′ (‖b‖2 = ‖b′′‖2) auf e1 abgebildet werden,

und nach Fortsetzung von b′′ zu einer ONB von Rn−r die weiteren Basisvektoren (etwa)auf die weiteren Einheitsvektoren, um so mittels (5.23) eine orthogonale Transformationx = Cy zu definieren.


4) Wenn b � 0 ist, kann man die Gleichung durch b teilen und damit diese Konstante auf1 normieren. Durch eine abschließende Translation xr+1 �→ xr+1 − c/b kann noch bxr+1 + cin bxr+1 transformiert werden.

Theorem 5.50: Metrische Normalform

Die Gleichung einer Quadrik Q ⊂ Rn kann durch eine Bewegung entweder auf eineForm ohne linearen Anteil

r∑k=1

ak(xk)2 + c = 0

oder auf die Formr∑

k=1

ak(xk)2 + bxr+1 = 0

gebracht werden. Die möglichen Fälle hängen wie in Theorem 5.44 von der Bezie-hung zwischen dem Rang der Koeffizientenmatrix A und dem Rang der erweitertenKoeffizientenmatrix A′ ab.

Bemerkung 5.51 Hier lassen sich die in Bemerkungen 5.46 genannten Aussagen veri-fizieren, die dann auch für die affine Normalform gelten, unter Berücksichtigung vonai > 0 �→ 1, ai < 0 �→ −1, c �→ sign(c).Zu Bemerkungen 5.46, 1): Nach eigenwerterhaltender Transformation hat A′ die Gestalt(

diag(ai) 0

0t c′

),

also die Eigenwerte ai und c′.

Zu Bemerkungen 5.46, 2): Im Fall Rang(A′) = Rang(A) + 2 = r + 2 hat die transformierte erweiterteKoeffizientenmatrix die Gestalt

A′ :=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a1 0. . .

...ar 0

0 1. . . 0

0 00 . . . 0 1 0 . . . 0 c

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

Entwicklung nach der letzten Zeile bzw. dann nach der letzten Spalte zeigt, dass die Eigenwerte von A′die von A sowie die Nullstellen λ1 , λ2 des Polynoms

(c − λ)λ + 1 = 0

sind. Für diese gilt λ1 < 0, λ2 > 0.

�

5.3 Quadriken 605

In Tabelle 5.4 sind die euklidischen Normalformen der nicht entarteten Quadriken inDimension zwei und drei angegeben. Dabei wird eine positive reelle Zahl als Quadrata2, a ∈ R, eine negative Zahl als −a2, a ∈ R geschrieben. Die Konstante kann, falls vor-handen, durch Multiplikation mit einem Faktor ungleich 0 auf 1 normiert werden. Die Ach-

n Sign(A) Sign(A′) Gleichung Quadrik2 (2,0) (2,1) x2/a2 + y2/b2 = 1 Ellipse

(1,1) (2,1) x2/a2 − y2/b2 = 1 Hyperbel(1,0) (2,1) y = px2 Parabel

3 (3,0) (3,1) x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 Ellipsoid(2,1) (3,1) x2/a2 + y2/b2 − z2/c2 = −1 zweischaliges Hyperboloid(2,1) (2,2) x2/a2 + y2/b2 − z2/c2 = 1 einschaliges Hyperboloid(2,0) (3,1) z = x2/a2 + y2/b2 Paraboloid(1,1) (2,2) z = x2/a2 − y2/b2 Sattelfläche

Tabelle 5.4: Euklidische Normalformen der nicht entarteten Quadriken für n = 2, 3.

sen eines Koordinatensystems, in dem die Quadrik Q eine der angegebenen Normalformenannimmt, heißen die Hauptachsen der Quadrik. Daher kommt auch der Name Hauptach-sentransformation. Ihre Richtungen sind die Richtungen der Eigenvektoren der symmetri-schen Matrix A. Manchmal wird die Länge, welche die Quadrik auf einer dieser Achsenausschneidet, mit Hauptachse(nlänge) bezeichnet. Ist λ der Eigenwert zum Eigenvektor inRichtung einer dieser Achsen, und ist die Konstante in der Gleichung auf 1 normiert, soist diese Strecke a = 1√|λ| .

Beispiel 5.52 (Geometrie) Eine Bewegung bildet eine Ellipse mit den Hauptachsenlän-gen a und b immer auf eine Ellipse mit denselben Hauptachsenlängen a und b ab und führtauch die Richtungen der Hauptachsen ineinander über. Bei einer affinen Transformationist das nicht so. So ist etwa das Bild des Kreises

x2 + y2 = 1

unter der affinen Transformation

ξ = a · x, η = b · y ,

die Ellipse

ξ2

a2 +η2

b2 = 1 .

Das heißt: Jede Ellipse ist das affine Bild eines Kreises. Diesen Zusammenhang kannman ausnutzen, um Aussagen für Ellipsen zu beweisen, wie beispielsweise „Eine Gera-de schneidet eine Ellipse in zwei Punkten, in einem Punkt (und berührt sie dann), oderüberhaupt nicht.“ oder „Durch einen Punkt p außerhalb einer Ellipse gibt es zwei Tangen-ten an diese Ellipse.“ ◦



Begriffe:

• Quadrik• Quadrik in erweiterten Koordinaten• affine Normalform• euklidische Normalform

Zusammenhänge:

• Klassifikation affine Normalform (Theorem 5.44)• Klassifikation euklidische Normalform (Theorem 5.50)

Beispiele:

• Kegelschnitt• Hyperboloid, Paraboloid, Sattelfläche

Aufgaben

Aufgabe 5.13 (K) Sei q : A3 → R gegeben durch

q(x1, x2, x3) = x21 + 2x1x2 + 2x1x3 + x2

2 + 2x2x3 + x23 + 2x1 + 4x2 + 2x3 + 2

und die Quadrik Q sei definiert durch Q = {x ∈ A3 : q(x) = 0}.a) Transformieren Sie Q in affine Normalform, d. h. bestimmen Sie eine affine Trans-

formation F(x) = Cx + t mit C ∈ GL(3,R) und t ∈ A3, sodass die Gleichungq(F(x)) = 0 affine Normalform hat.

b) Um welche Quadrik handelt es sich bei Q?

Aufgabe 5.14 (K) Sei q : A3 → R gegeben durch

q(x1, x2, x3) = x21 + 2x1x2 + x2

2 + 2√

2x1 + 6√

2x2 + 3x3

und die Quadrik Q sei definiert durch Q = {x ∈ A3 : q(x) = 0}.a) Transformieren Sie Q in euklidische Normalform, d. h. bestimmen Sie eine Bewe-

gung F(x) = Cx+ t mit C ∈ O(3,R) und t ∈ R3, sodass die Gleichung q(F(x)) = 0euklidische Normalform hat.

b) Um welche Quadrik handelt es sich bei Q?

Aufgabe 5.15 (K) Sei

Q ={

(x, y, z) ∈ A3 :5

16x2 + y2 +

516

z2 − 38

xz − 12

x − 12

z = 0}

.

Aufgaben 607

a) Man zeige, dass Q ein Ellipsoid ist und bestimme dessen Mittelpunkt und Haupt-achsen.

b) Man gebe eine affin-lineare Abbildung f : A3 → A3 an, so dass f eine Bijektionder Einheitssphäre S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1} auf Q induziert.

Aufgabe 5.16 (K) Man zeige, dass durch die Gleichung

5x2 − 2xy + 5y2 + 10x − 2y − 6 = 0

eine Ellipse im R2 definiert ist. Ferner bestimme man ihren Mittelpunkt, ihre Hauptachsen,die Hauptachsenlängen und skizziere die Ellipse.

Aufgabe 5.17 (T) Sei K ein Körper mit Char(K) � 2, A ∈ K(n,n) symmetrisch, b ∈ Kn,c ∈ K und die Abbildung q : Kn → K sei definiert durch q(x) := xtAx + 2bt x + c. Durch

Q = {x ∈ Kn : q(x) = 0}sei eine Quadrik gegeben, die nicht ganz in einer Hyperebene des Kn enthalten ist. Manzeige, dass Q genau dann eine Mittelpunktsquadrik ist, wenn Ax = −b lösbar ist.

Aufgabe 5.18 (K) Im euklidischen A3 seien zwei Geraden g1 und g2 gegeben:

g1 = R

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝110

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , g2 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 001

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ +R⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝0

11

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .

E sei die Ebene durch 0, die senkrecht zu g2 ist.

a) Berechnen Sie für einen Punkt (p1, p2, p3)t ∈ A3 seinen Abstand von g2.b) Zeigen Sie, dass

Q = {(p1, p2, p3)t ∈ A3 : p21 + 2p1 p2 − 2p2 p3 − p2

3 + 2p2 − 2p3 + 1 = 0}die Menge der Punkte des A3 ist, die von g1 und g2 denselben Abstand haben. Wielautet die affine Normalform und die geometrische Bezeichnung der Quadrik Q?Begründen Sie Ihre Antwort.

c) Der Schnitt der Quadrik Q mit der Ebene E ist ein Kegelschnitt. Um was für einenKegelschnitt handelt es sich bei Q ∩ E?


5.4 Alternierende Bilinearformen

Weiterhin sei, wenn nicht anders erwähnt, V ein Vektorraum über einem Körper K mitChar K � 2. In Definition 5.19 vereinbarten wir bereits, eine Bilinearform ϕ antisymme-trisch zu nennen, wenn ϕ(u,w) = −ϕ(w, u). Eine darstellende Matrix G für die antisymme-trische Form ϕ hat die Eigenschaft

Gt = −G .

Andererseits heißt eine Bilinearform alternierend, wenn

ϕ(u, u) = 0 für alle u ∈ V

gilt. Die Begriffe „antisymmetrisch“ und alternierend sind nach Bemerkungen 5.20, 2)identisch. Daher verwenden wir auch „alternierend“ für antisymmetrische Matrizen.

Bemerkungen 5.53

1) Sei V = K2. Zwei Vektoren

u =

(v1

v2

), w =

(w1

w2

)∈ V

kann man zu einer 2 × 2-Matrix (v1 w1

v2 w2

)zusammensetzen. Deren Determinante

[u,w] := det(v1 w1

v2 w2

)= v1w2 − v2w1

ist eine alternierende Bilinearform auf K2 mit darstellender Matrix

G =(

0 −11 0

)bezüglich der kanonischen Basis. G ist die Drehung um π/2, mit −G die einzige schief-symmetrische Drehung. Allgemein hat jede alternierende Bilinearform diese Darstellungs-matrix auf E := span(u, u), sofern ϕ(u, u) = 1. E heißt auch hyperbolische Ebene. Auf Egilt

ϕ(au + bu, cu + du) = ad − bc =[(

ab

),

(cd

)].

5.4 Alternierende Bilinearformen 609

2) Sei V = Kn, n ≥ 2. Zwei Vektoren

u =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝v1

...vn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , w =⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝w1

...wn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ∈ V

kann man zu einer n × 2–Matrix ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝v1 w1

......

vn wn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠zusammensetzen. Fixiert man zwei verschiedene Zeilen dieser Matrix, etwa die Zeilen i, jmit i � j, dann ist die zugehörige 2 × 2-Unter-Determinante

deti, j(u,w) := viw j − v jwi

eine alternierende Bilinearform auf V .Für u,w ∈ R2 ist det(u,w) nach (2.146) geometrisch der Absolutbetrag der Fläche desvon u und w in R2 aufgespannten Parallelogramms. Auch zwei Vektoren u,w ∈ Rn span-nen ein Parallelogramm auf. deti, j(u,w) ist – bis auf das Vorzeichen – die Fläche der Pro-jektion dieses Parallelogramms in die i, j-Ebene. Während (nicht entartete) symmetrischeBilinearformen die Zuordnung des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels abstrahie-ren, tun dies (nicht entartete) alternierende Bilinearformen mit der Fläche des aufgespann-ten Parallelogramms. �

�

�

��

x1

x3

x2

��

w

��

u

��

��

Fläche = | det1,2(u,w)|.Abb. 5.4: Beispiel alternierende Bilinearform.


Hauptsatz 5.54: Normalform alternierender Matrizen, Char K � 2

Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper K mit Char K � 2.Sei ϕ eine alternierende Bilinearform auf V . Dann gibt es eine Basis, in der ϕ durcheine Blockdiagonalmatrix ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 −11 0

. . .

0 −11 0

0. . .

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠(5.24)

dargestellt wird, welche aus alternierenden 2 × 2-Kästchen(

0 −11 0

)und Nullen auf-

gebaut ist. V zerfällt dann in V⊥ und in hyperbolische Ebenen.

Beweis: (Induktion nach n = dim(V)) Nach Bemerkungen 5.20, 2) erfüllt eine alternieren-de Form ϕ(u, u) = 0 und für n = 1 ist daher ϕ = 0. Sei nun n ≥ 2. Wenn ϕ die Nullform ist,d. h. wenn ϕ(u,w) = 0 für alle u,w ∈ V , dann hat sie die Nullmatrix als darstellende Matrixund es ist wieder nichts zu zeigen. Andernfalls gibt es Vektoren u,w ∈ V mit ϕ(u,w) � 0.Diese Vektoren u,w sind dann linear unabhängig, denn wegen ϕ(u, u) = 0 gilt

au + bw = 0 ⇒ aϕ(u,w) = ϕ(au + bw,w) = 0 ⇒ a = 0 ⇒ b = 0 .

Also spannen u und w einen zweidimensionalen Untervektorraum U ⊂ W auf. Wir setzen

u1 :=1

ϕ(u,w)u , u2 := w

und haben dann

ϕ(u1, u2) = 1 , ϕ(u2, u1) = −1 ,

d. h. in der Basis u1, u2 von U hat ϕ|U die darstellende Matrix(0 −11 0

).

Insbesondere ist ϕ|U nicht entartet. Nach Satz 5.17, 2) ist dann V = U⊕U⊥ mit dim(U⊥) =n − 2. Wenden wir die Induktionsannahme auf U⊥ an, so ergibt sich die Behauptung. �


Korollar 5.55

1) Der Rang einer schiefsymmetrischen n × n-Matrix ist stets gerade.

2) Die Determinante einer schiefsymmetrischen n × n-Matrix ist stets ein Quadratin K.

3) Sei G ∈ K(n,n) schiefsymmetrisch und invertierbar, d. h. insbesondere gilt n = 2mfür ein m ∈ N. Dann gibt es ein invertierbares A ∈ K(n,n), so dass

AtGA =(

0 −1m

1m 0

)=: J . (5.25)

Die zugehörige alternierende Form ϕ auf K2m schreibt sich demzufolge

ϕ(x, y) =m∑

i=1

xiym+i − xm+iyi . (5.26)

Insbesondere ist J−1 = −J = Jt.

Beweis: Zu 1): Zu einer schiefsymmetrischen Matrix G gibt es immer eine invertierbareMatrix A, so dass AtGA die Normalform aus Hauptsatz 5.54 hat. Deswegen ist der Rangvon G gleich dem Rang dieser Normalform, d. h. gleich zweimal der Anzahl der alternie-renden Zweierkästchen.Zu 2): Die Determinante eines alternierenden Zweierkästchens in der Normalform istgleich 1. Nach der Determinanten-Multiplikationsformel ist deswegen die Determinanteder Normalform gleich 0 oder gleich 1. Daraus folgt

det(G) =1

det(A)2 oder det(G) = 0 .

Zu 3): Die Form ergibt sich aus (5.24) durch entsprechende simultane Zeilen- und Spalten-Vertauschungen, d. h. Ähnlichkeitstransformationen mit Permutationsmatrizen P = Pt =

P−1. �

In Abschnitt 2.7 haben wir schon eine alternierende Bilinearform auf R3, das Vektorpro-dukt oder Kreuzprodukt (siehe Definition 2.128) betrachtet. Analog zu O(V, ϕ), Definiti-on 5.25 definiert man:

Definition 5.56

Sei V ein K-Vektorraum über dem Körper K und ϕ eine nicht entartete alternierendeBilinearform auf V .

Sp(V; ϕ) := {Φ ∈ HomK(V, V) : Φ ist Isometrie (bezüglich ϕ) auf V}


heißt die symplektische Gruppe zu ϕ. A ∈ K(n,n) heißt symplektisch, wenn es Dar-stellungsmatrix eines Φ ∈ Sp(V; ϕ) ist, wobei ϕ nach (5.26) gewählt ist.

Die Gruppeneigenschaften wurden in Satz 5.24, 1) bewiesen.

Symplektische Matrizen sind in Sinn von Bemerkungen 5.53 flächenerhaltend . Die sym-plektischen Matrizen A ∈ K(n,n) sind nach Korollar 5.55, 3) charakterisiert durch

J = At JA . (5.27)

Daher ist 1 = det(J) = det(At)1 det(A) =(

det(A))2 und damit

det(A) ∈ {−1, 1} .

Genauer gilt für A ∈ C(n,n): det(A) = 1 (ohne Beweis).Aus (5.27) folgt J = −J−1 = A−1JA−t, demnach AJAt = J und damit erfüllt auch At

(5.27), d. h.

mit A ist auch At symplektisch.

Aus (5.27) folgt weiter J−1At J = A−1, d. h.

A−1 und At sind ähnlich zueinander.

Mathematische Modellierung 7 In Beispiel 3(6), S. 396, wird zur Beschreibung des dynamischen Ver-haltens einer Massenkette ein lineares Differentialgleichungssystem vom Typ

M x + Ax = 0 (MM.89)

mit M = diag(mi) für mi ∈ R, mi > 0 (in Beispiel 3(6) die Punktmassen) entwickelt (siehe (MM.74)).Dabei ist

x : [t0, t1]→ Rn

eine vektorwertige Funktion, d. h. x(t) = (xi(t))i. Die Matrix A nach (MM.2) ist symmetrisch und positivdefinit. Dies wird für den Fall gleicher Federkonstanten, d. h. der Matrix nach (MM.11) in Beispiel 3(8),S. 404, gezeigt, da nach (MM.82) alle Eigenwerte positiv sind. Alternativ kann man A auch als GramscheMatrix interpretieren (siehe Definition 1.99). Mit dem Einwirken einer äußeren Kraft verallgemeinert sich(MM.89) zu

M x(t) + Ax(t) = b(t) (MM.90)

mit einer gegebenen Funktion b : [t0, t1] → Rn . Anstelle der Anfangswerte wie in (MM.72) kann manauch Randwerte, d. h. x0, x1 ∈ Rn, vorgeben und fordern:

x(t0) = x0 , x(t1) = x1 . (MM.91)

Unter allen verbindenden Bahnen wird somit die gesucht, die (MM.90) erfüllt. Analog zu Satz 4.144besteht auch hier wieder eine Beziehung zu einer Minimierungsaufgabe, hier aber im Raum der Bahnen

V :={x ∈ C1([t0 , t1],Rn) : x(t0) = x0, x(t1) = x1

}.

Dazu sei das Lagrange-Funktional L : Rn ×Rn × [t0, t1]→ R durch


L(x, y, t) :=12〈My . y〉 − 1

2〈Ax . x〉 + 〈b(t) . x〉

definiert (man vergleiche (4.112)), wobei 〈 . 〉 das Euklidische Skalarprodukt auf Rn bezeichnet. MitKentnissen der mehrdimensionalen Analysis und analog zum Beweis von Hauptsatz 1.102 lässt sich zei-gen: Ist x ein Minimum des folgenden Variationsproblems: Minimiere

f (x) :=∫ t1

t0L(x(s), x(s), s)ds auf V. (MM.92)

Dann erfüllt x auch (MM.90) und (MM.91). Dabei kann der erste Summand, d. h.

12

∫ t1

t0〈M x(s) . x(s)〉 ds ,

als kinetische Energie und der zweite Summand, d. h.

−∫ t1

t0

12〈Ax(s) . x(s)〉 − 〈b(s) . x(s)〉 ds ,

als (negative) verallgemeinerte potentielle Energie interpretiert werden. Mit Hilfe der partiellen Ableitun-gen lässt sich (MM.90) auch schreiben als

∂

∂xL(x(t), x(t), t) − d

dt∂

∂yL(x(t), x(t), t) = 0 . (MM.93)

Gleichung (MM.93) heißt auch die Euler-Lagrange-Gleichung zu (MM.92). Für das angesprocheneBeispiel und Verallgemeinerungen davon beschreibt nunmehr x die kartesischen Koordinaten von endlichvielen Punktmassen. Man nennt (MM.90), (MM.91) bzw.(MM.92) auch die Lagrangesche Formulie-rung der Mechanik.

Statt in x(.) und x(.) kann man L auch neben der Position x(.) in der Variable Mx(.), d. h. dem Impuls,formulieren, also mit

L(x, y, t) := L(x, M−1y, t) .

Dabei wird M als selbstadjungiert und positiv definit angenommen.Wir definieren die Hamilton-Funktion in den Variablen Position und Impuls

H(x, y, t) =⟨M−1y . y

⟩− L(x, y, t) .

Für Mx = y ist daher

H(x, y, t) =12

⟨M−1y . y

⟩+

12〈Ax . x〉 − 〈b(t) . x〉 =: H(x, y, t) .

Wegen

∂

∂xH(x, y, t) = Ax − b(t) ,

∂

∂yH(x, y, t) = M−1y

sind mit

q(t) := x(t) , p(t) := M x(t) (MM.94)

folgende Aussagen äquivalent:

(i) x löst (MM.90).

(ii) (q, p)t löst


q(t) = M−1 p(t)p(t) = −Aq(t) + b(t) .

(iii) (q, p)t löst

q(t) = ∂∂yH(q(t), p(t), t)

p(t) = ∂∂x H(q(t), p(t), t) .

(MM.95)

H stellt als Summe aus kinetischer und verallgemeinerter potentieller Energie die Gesamtenergie dar.Diese Formulierung erlaubt auch über (MM.94) hinaus die Benutzung verallgemeinerter Koordinaten

q := q(x) , p := p(q, y)

für Position und Impuls. Man spricht dann von der Hamiltonschen Formulierung, die z. B. geeignet istweitere Zwangsbedingungen an die Bahn mit aufzunehmen. Für geeignete Transformationen (MM.95)

bleiben die Hamiltonschen Gleichungen (MM.95) erhalten, die sich für u(t) =(

q(t)p(t)

)∈ R2n durch das

Differentialgleichungssystem 1. Ordnung

u′(t) = J∂H∂u

(u(t), t)

ausdrücken lassen mit J nach (5.25). �


Begriffe:

• alternierende Bilinearform• symplektische Gruppe Sp(V; ϕ)

Zusammenhänge:

• Normalform alternierender Matrizen (Hauptsatz 5.54)

Aufgaben

Aufgabe 5.19 (K) Es sei A eine reelle (n × n)-Matrix mit zugehörigem charakteristischenPolynom pA(x) = det(A− x1n). Zeigen Sie: Ist A antisymmetrisch, so ist für eine Nullstel-le λ aus C von pA(x) auch −λ Nullstelle von pA(x).

Aufgabe 5.20 (T) Es sei V ein endlichdimensionaler R-Vektorraum. Zeigen Sie:

a) Für eine alternierende Bilinearform ϕ auf V sind äquivalent:

(i) Rang(ϕ) ≤ 2k,

(ii) es gibt Linearformen f1, g1, ..., fk, gk ∈ V∗ mit ϕ = f1 ∧ g1 + ... + fk ∧ gk.

Aufgaben 615

b) Für zwei Linearformen f , g ∈ V∗ sind äquivalent:

(i) f ∧ g = 0,

(ii) f und g sind linear abhängig.

Aufgabe 5.21 (T) Zeigen Sie: Durch

ϕ( f , g) :=∫ 1

0f (x)g′(x) dx

wird eine nicht entartete alternierende Bilinearform auf dem R-Vektorraum der über demIntervall [0, 1] stetig differenzierbaren Funktionen f mit f (0) = f (1) = 0 definiert.

Aufgabe 5.22 (T) Es sei Λ der R-Vektorraum der alternierenden Bilinearformen auf R4.Zeigen Sie:

a) Ist f 1, ..., f 4 ∈ (R4)∗ die Dualbasis zur kanonischen Basis des R4, so bilden diealternierenden Bilinearformen

f 1 ∧ f 2 , f 1 ∧ f 3 , f 1 ∧ f 4 , f 2 ∧ f 3 , f 2 ∧ f 4 , f 3 ∧ f 4

eine Basis von Λ.b) Durch

p( f i ∧ f j, f k ∧ f l) :={

0 falls {i, j} ∩ {k, l} � ∅sign(σ) falls σ ∈ Π4 definiert durch 1, 2, 3, 4 �→ i, j, k, l

wird auf Λ eine nicht entartete symmetrische Bilinearform definiert. Geben Sie diedarstellende Matrix von p in der Basis aus a) an.

c) Für ϕ ∈ Λ ist p(ϕ, ϕ) = 0 genau dann, wenn ϕ = f ∧ g mit f , g ∈ (R4)∗.

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[Springer-Lehrbuch] Lineare Algebra || Bilinearformen und Quadriken

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