Spielzeit automatischer Lagersysteme mit mehreren...

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Fakultät für Maschinenwesen

Lehrstuhl für Fördertechnik Materialfluss Logistik

Spielzeit automatischer Lagersysteme mit mehreren

Übergabepunkten

Daniel Lantschner

Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Maschinenwesen

der Technischen Universität München

zur Erlangung des akademischen Grades eines

Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.)

genehmigten Dissertation.

Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Michael Zäh

Prüfer der Dissertation:

1. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Willibald A. Günthner

2. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Georg Kartnig

Technische Universität Wien / Österreich

Die Dissertation wurde am 12.11.2014 bei der Technischen Universität München

eingereicht und durch die Fakultät für Maschinenwesen am 18.02.2015 angenommen.

Herausgegeben von:

Univ.-Prof. Dr.-Ing. Willibald A. Günthner

fml – Lehrstuhl für Fördertechnik Materialfluss Logistik

Technische Universität München

Zugleich: Dissertation, München, TU München, 2015

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte,

insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, der Entnahme von Abbildun-

gen, der Wiedergabe auf fotomechanischem oder ähnlichem Wege und der Spei-

cherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben – auch bei nur auszugsweiser Ver-

wendung – vorbehalten.

Layout und Satz: Daniel Lantschner

Copyright © Daniel Lantschner 2015

ISBN: 978-3-941702-38-7

Printed in Germany 2015

Vorwort

Diese Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter

am Lehrstuhl für Fördertechnik Materialfluss Logistik (fml) der Technischen Universi-

tät München. Für die Unterstützung in dieser Zeit möchte ich mich bei mehreren

Personen bedanken.

In erster Linie gilt mein Dank Herrn Univ.-Prof. Dr.-Ing. Willibald A. Günthner, Leiter

des Lehrstuhls für Fördertechnik Materialfluss Logistik, für das entgegengebrachte

Vertrauen, seine Unterstützung und die gewährten Freiräume zur Bearbeitung dieses

Forschungsthemas. Zudem bedanke ich mich bei Herrn Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr.

techn. Georg Kartnig für die Übernahme des Korreferats sowie bei Herrn Univ.-Prof.

Dr.-Ing. Michael Zäh für die Bereitschaft, den Vorsitz der Prüfungskommission zu

übernehmen.

Bei der Forschungsgemeinschaft Intralogistik, Fördertechnik und Logistiksysteme

(IFL) bedanke ich mich für die finanzielle Unterstützung des Forschungsprojektes

„Strategische Optimierung von Hochregallagersystemen“, welches den Grundstein

für meine Forschungstätigkeit in diesem Bereich legte.

Bedanken möchte ich mich auch bei allen Mitarbeitern des Lehrstuhls und mitwir-

kenden Studenten für die gute Zusammenarbeit und eine stets angenehme Arbeits-

atmosphäre. Ein ganz besonderer Dank gilt dabei Herrn Thomas Atz für die vielen

konstruktiven Diskussionen, wertvollen Impulse und Korrekturvorschläge, Herrn

Dr.-Ing. Michael Kleeberger für die Unterstützung in meiner Zeit am Lehrstuhl und

die Mitwirkung bei der Korrektur der Arbeit, sowie Herrn Sebastian Lotz für die

Beratung bei mathematischen Fragestellungen.

Schließlich danke ich noch herzlichst meiner Partnerin, Frau Maria Altinger, für die

bedingungslose Unterstützung und den Rückhalt, den sie mir gibt.

München, im März 2015 Daniel Lantschner

Kurzzusammenfassung

Automatische Lagersysteme mit schienengeführten Regalbediengeräten sind seit

mittlerweile etwa 50 Jahren ein wichtiger Bestandteil von Logistiksystemen. Trotz

ständiger Weiterentwicklung ist der Übergabepunkt als Schnittstelle zwischen

Lagergasse und Lagervorzone im Regelfall nach wie vor in einem Eckpunkt der

Regale angeordnet. Diese Anordnung stellt hinsichtlich der mittleren Entfernung zu

den Lagerfächern der Regale eine ungünstige Lösung dar. Eine Verkürzung der

mittleren Entfernungen und folglich der mittleren Fahr- und Spielzeiten ist durch eine

in der vorliegenden Arbeit untersuchte Anordnung mehrerer Übergabepunkte in

einer Lagergasse möglich.

Um eine Untersuchung der Spielzeiten automatischer Lagersysteme mit mehreren

Übergabepunkten zu ermöglichen, erfolgt zunächst eine Beschreibung möglicher

Anordnungen der Übergabepunkte und der für den Betrieb erforderlichen Strategien.

Für die Auswahl eines Übergabepunktes werden dabei neue Strategien entwickelt.

In Abhängigkeit dieser Strategien kann eine Optimierung der Anordnung der Über-

gabepunkte in einer Lagergasse erfolgen, wofür ein Ansatz aufgezeigt wird.

Mittels numerischer Berechnung werden die Fahr- und Spielzeiten für exemplarische

Lagerkonfigurationen ermittelt. Auf diese Weise ist eine Untersuchung von Parame-

tern und schließlich der Spielzeiten unterschiedlicher Anordnungen mehrerer Über-

gabepunkte möglich. Anhand eines Vergleichs der Ergebnisse mit jenen für unter-

schiedliche Anordnungen eines einzelnen Übergabepunktes ist es möglich, das

Potenzial mehrerer Übergabepunkte hinsichtlich einer Verkürzung der Spielzeiten zu

ermitteln.

Den Schwerpunkt der Arbeit stellen mathematisch-analytische Berechnungsmodelle

für die Spielzeiten automatischer Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten dar.

Neu entwickelte Berechnungsmodelle ermöglichen eine Bestimmung der mittleren

Fahrzeit für ausgewählte Anordnungen der Übergabepunkte unter Berücksichtigung

der Strategie bei der Auswahl eines Übergabepunktes. Auf diese Weise werden die

Voraussetzungen geschaffen, um mehrere Übergabepunkte in einer Lagergasse bei

der Planung automatischer Lagersysteme aufwandsarm berücksichtigen zu können.

Abstract

For about 50 years, automatic storage systems with rail-guided stacker cranes have

been an important part of logistics systems. Despite the constant evolution, the I/O

point as an interface between the storage aisle and pre-storage area is normally still

located in a corner position of the shelves. This arrangement represents an unfavor-

able solution in terms of the mean distance to the racks’ storage locations. A reduc-

tion of the mean distances and consequently the mean travel and cycle times is

possible through the arrangement of multiple I/O points in an aisle, which is being

investigated by the present thesis.

To allow for an investigation of the cycle times of automated storage systems with

multiple I/O points, initially potential arrangements of the I/O points and the required

operating policies are defined. In the process, new strategies for the selection of an

I/O point are developed. The arrangement of I/O points in a warehouse aisle can be

optimized on the basis of these strategies. An approach is presented for this pur-

pose.

Numerical calculations are used to arrive at travel and cycle times for exemplary

storage configurations. In this way, the examination of parameters and of the cycle

times for different arrangements of multiple I/O points is possible. Based on a com-

parison of the results with those for different arrangements of a single I/O point, it is

possible to determine the potential of multiple I/O points in terms of cycle time

reduction.

The main focus of the thesis lies on mathematical-analytical calculation models for

the cycle times of automated storage systems with multiple I/O points. Newly devel-

oped calculation models allow the determination of the mean travel times for select-

ed configurations of the I/O points, taking into account the strategy for the selection

of an I/O point. This establishes the conditions to allow for the easy consideration of

multiple I/O points in the planning process of automated storage systems.

I

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

1.1 Ausgangssituation 1

1.2 Ziel der Arbeit und Vorgehensweise 3

2 Grundlagen der Spielzeitberechnung 7

2.1 Spielzeit automatischer Lagersysteme mit schienengeführten Regalbediengeräten 7

2.1.1 Lagerbetriebsstrategien 8

2.1.2 Zusammensetzung der Spielzeit 11

2.2 Berechnungsmodelle für die Fahrzeiten 13

2.2.1 Modellierung einer Lagergasse 13

2.2.2 Fahrzeit eines Regalbediengerätes 14

2.2.3 Regalwandparameter 16

2.2.4 Fahrzeitmodelle mit Beschreibung der Regalfläche in Längenkoordinaten 18

2.2.5 Fahrzeitmodelle mit Beschreibung der Regalfläche in skalierten und normierten Koordinaten 19

2.3 Berechnung der Fahrzeiten bei mehreren Übergabepunkten 22

3 Konzepte für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten 27

3.1 Einfluss von Position und Anzahl der Übergabepunkte 27

3.2 Anordnung der Übergabepunkte 33

3.2.1 Horizontale und vertikale Anordnungen 34

3.2.2 Weitere Anordnungen 36

3.3 Ver- und Entsorgung der Übergabepunkte 37

3.3.1 Stationäre Übergabepunkte 37

3.3.2 Nicht stationäre Übergabepunkte 39

4 Strategien für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten 41

4.1 Voraussetzungen 41

4.2 Strategien bei der Auswahl eines Übergabepunktes 42

4.2.1 Zufällige Auswahl eines Übergabepunktes 42

4.2.2 Auswahl des jeweils nächstgelegen Übergabepunktes 43

Inhaltsverzeichnis

II

4.2.3 Auswahl des Übergabepunktes unter Berücksichtigung des nächsten Ziels 44

4.3 Strategiespezifische Optimierung der Anordnung diskreter Übergabepunkte 45

4.3.1 Berechnung für die zufällige Auswahl eines Übergabepunktes 46

4.3.2 Berechnung für die Auswahl des jeweils nächstgelegenen Übergabepunktes 48

4.3.3 Berechnung für die Auswahl unter Berücksichtigung des nächsten Ziels 50

4.4 Vergleich der Strategien bei optimaler Anordnung der Übergabepunkte 54

4.5 Strategiespezifische Optimierung der Anordnung mehrerer Übergabestrecken 55

4.6 Strategiespezifische Bestimmung der Übergabeposition auf einer Strecke 56

4.7 Lagerbetriebsstrategien im Zusammenspiel mit mehreren Übergabepunkten 59

4.7.1 Belegungsstrategien 59

4.7.2 Bewegungsstrategien 61

5 Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten 63

5.1 Bestimmung der Spielzeit 63

5.1.1 Getroffene Annahmen und Festlegungen 64

5.1.2 Zykluszeiten für die Lastübergabe 65

5.1.3 Mittlere Fahrzeit zwischen zwei Lagerfächern 65

5.1.4 Mittlere Fahrzeit zwischen Lagerfächern und Übergabepunkten 66

5.1.5 Mittlere Fahrzeit zwischen Lagerfächern und Übergabepunkten bei Zonierung 67

5.2 Festgelegte Lagerkonfigurationen 69

5.2.1 Kennwerte Regalbediengerät 69

5.2.2 Regalabmessungen 70

5.2.3 Betriebsstrategien 71

5.3 Untersuchung von Parametern einer Anordnung mehrerer Übergabepunkte 72

5.3.1 Einfluss der Position der Übergabepunkte entlang einer Strecke 72

5.3.2 Einfluss der Anzahl der Übergabepunkte 74

5.3.3 Einfluss der Position der Übergabestrecken 75

5.4 Untersuchung der Kompatibilität mit einer ABC-Zonierung 76

5.5 Spielzeit diverser Konfigurationen mit mehreren Übergabepunkten 79

5.5.1 Bestimmung der Zykluszeiten für die Lastübergabe 79

5.5.2 Berechnung der mittleren Fahrzeit zwischen zwei Lagerfächern 80

Inhaltsverzeichnis

III

5.5.3 Betrachtete Anordnungen der Übergabepunkte 81

5.5.4 Ergebnisse der Spielzeitberechnung 84

5.5.5 Fazit 89

6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten 91

6.1 Getroffene Annahmen und Festlegungen 92

6.2 Berechnung vom Ort der Übergabe unabhängiger Spielzeitanteile 93

6.2.1 Bestimmung der Zykluszeiten für die Lastübergabe 94

6.2.2 Berechnung der mittleren Fahrzeit zwischen zwei Lagerfächern 94

6.2.3 Berechnungsbeispiel 95

6.3 Berechnung der Bremsbeschleunigungszeit 96

6.3.1 Berechnung für die Fahrt zwischen zwei Lagerfächern 96

6.3.2 Berechnungsansatz für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ 97

6.3.3 Ausblick für die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ 99

6.3.4 Validierung der Berechnungsmodelle 100


6.4 Spielzeitberechnung bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes 102

6.4.1 Berechnungsmodelle für die Übergabe entlang einer Übergabestrecke 103

6.4.2 Berechnungsmodelle für diskrete Übergabepunkte 111



6.5 Spielzeitberechnung bei Auswahl des Übergabepunktes unter Berücksichtigung des nächsten Ziels 125

6.5.1 Berechnungsmodelle für die Übergabe entlang einer Übergabestrecke 125

6.5.2 Berechnungsmodelle für diskrete Übergabepunkte 136



7 Zusammenfassung und Ausblick 143

Literaturverzeichnis 147

Abbildungsverzeichnis 155

Tabellenverzeichnis 159

V

Verwendete Formelzeichen

Folgende Formelzeichen und Indizes finden in dieser Arbeit Anwendung. Die ange-

führten Formelzeichen können dabei mit den angegebenen Indizes versehen sein.

Formelzeichen

Formelzeichen Einheit Bedeutung

A [-] Relativer Flächenanteil

a [m/s²] Beschleunigung bzw. Verzögerung

b [-] „shape factor“

H [m] Höhe Regal

j [-] Relative Koordinate Verschiebung Übergabepunkte

L [m] Länge Regal

m [-] Anzahl

n [-] Anzahl

s [m] Wegstrecke

s [m] Mittlere Wegstrecke

T [s] Maximale Fahrzeit des Regalbediengerätes

t [s] Zeit

LAMt [s] Zykluszeit Lastaufnahmemittel

bt [s] Mittlere Bremsbeschleunigungszeit

t [-] Normierte Fahrzeit

r [-] Anzahl

v [m/s] Geschwindigkeit

w [-] Regalwandparameter

x [-] Horizontale Koordinate

y [-] Vertikale Koordinate

z [-] Zufallsvariable

Verwendete Formelzeichen

VI

Indizes

Index Bedeutung

A Auslagerung

DS Doppelspiel

E Einlagerung

ES Einzelspiel

i Allgemeiner Zählindex

j Allgemeiner Zählindex

k Allgemeiner Zählindex

l Allgemeiner Zählindex

LF Lagerfach

max Maximum

opt Optimum, optimal

p Allgemeiner Zählindex

ÜP Übergabepunkt

x Horizontale Richtung

y Vertikale Richtung

VII

Verwendete Abkürzungen

Abkürzung Bedeutung

AKL Automatisches Kleinteilelager

H Höhe

HRL Hochregallager

L Länge

LAM Lastaufnahmemittel

LE Ladeeinheit

P Punkt

RBG Regalbediengerät

ÜP Übergabepunkt

ÜPos Übergabeposition

ÜS Übergabestrecke

1

1 Einleitung

Erste automatische Lagersysteme wurden in den 1950er Jahren entwickelt. Seither

fand eine kontinuierliche Weiterentwicklung dieser Systeme statt. Von einem reinen

Warendepot entwickelten sich Lagersysteme zu einem Puffer zwischen Fertigung

und Markt und wurden schließlich in Produktionsprozesse integriert, ehe sie zuneh-

mend in immer leistungsfähigeren, automatisierten Distributionszentren Verbreitung

fanden [Hah-2008]. Aus heutigen Logistik- und vielfach auch Produktionssystemen

sind automatische Lagersysteme nicht mehr wegzudenken. Die Bestrebung die

Leistung immer weiter zu steigern und die Berechnung der Spielzeiten zur Leis-

tungsbestimmung sind bereits seit den Anfangszeiten der Entwicklung solcher

Systeme Gegenstand der Forschung.

1.1 Ausgangssituation

Die Anforderungen an automatische Lagersysteme haben sich in den letzten Jahr-

zehnten bedingt durch eine Weiterentwicklung der Einsatzbereiche deutlich gewan-

delt. Anstelle der Bevorratung von Waren steht im Produktions- und Distributionsbe-

reich immer häufiger eine Pufferfunktion im Vordergrund. So kommen automatische

Lagersysteme vielfach zur Pufferung von Waren zwischen verschiedenen Produkti-

onsschritten, für die dynamische Warenbereitstellung in der Kommissionierung oder

eine sequenzgenaue Produktionsversorgung zum Einsatz. Dabei werden neben der

geforderten Kapazität hohe Anforderungen an die Leistung in Form der Anzahl der

Arbeitsspiele je Zeiteinheit gestellt. Die Folge ist eine steigende Nachfrage nach

hochdynamischen Lagersystemen. Dieser Nachfrage wird mit einer stetigen Weiter-

entwicklung der Systeme begegnet. Durch den Einsatz von immer leistungsfähige-

ren Antrieben und Leichtbau konnten die dynamischen Eigenschaften von Regalbe-

diengeräten kontinuierlich verbessert werden. Optimierte Betriebsstrategien führen

zu kürzeren Fahrwegen und Wartezeiten. Ein weiterer Ansatz zur Steigerung der

Leistung ist die Parallelisierung von Abläufen. Diverse Konzepte beschreibt bei-

spielsweise Grafe [Gra-1994, S. 20ff].

In besonderer Weise ausgeprägt ist eine Parallelisierung der Abläufe bei sogenann-

ten Shuttle-Fahrzeugen für die Regalbedienung. Dabei erfolgt eine Trennung von

horizontaler und vertikaler Bewegung, wobei mehrere Shuttle-Fahrzeuge unabhän-

1 Einleitung

2

gig voneinander horizontal in unterschiedlichen Ebenen verfahren können und die

vertikalen Transporte mit einem oder mehreren Liften erfolgen. Shuttle-Systeme

kommen vorwiegend in Automatischen Kleinteilelagern (AKL) zum Einsatz und

haben nach Günthner das Potenzial, bei hochdynamischen Anwendungen und

geringen Kapazitätsanforderungen Regalbediengeräte langfristig zu verdrängen. Bei

hohen Kapazitätsanforderungen und geringer bis mittlerer geforderter Leistung

stellen Regalbediengeräte aktuell noch die wirtschaftlichere Lösung dar [Gün-2013].

In Hochregallagern (HRL) für Paletten spielen Shuttle-Systeme aktuell noch eine

untergeordnete Rolle, es ist aber auch in diesem Bereich von einer weiteren Verbrei-

tung auszugehen. Ungeachtet der zunehmenden Bedeutung von Shuttle-Systemen

ist die Nachfrage nach konventionellen Regalbediengeräten nach wie vor ungebro-

chen hoch. So stieg das Produktionsvolumen deutscher Hersteller von 2007 bis

2012 um 125 % an [VDMA-2013]. Regalbediengeräte für AKL verzeichneten in

Europa 2012 einen Anstieg des Auftragseingangs um 14 % gegenüber dem Vorjahr

[FEM-2012].

Damit Regalbediengeräte auch zukünftig eine wirtschaftliche Lösung darstellen, ist

eine weitere Steigerung der Leistung bei verbesserter Energieeffizienz erforderlich.

Aktuelle Entwicklungen zielen dabei vorrangig auf die Verbesserung der Energieeffi-

zienz mittels Leichtbau (siehe z. B. Furmans und Linsel [Fur-2011]) und angepasster

Betriebsstrategien ab (siehe z. B. Ertl, Habenicht und Günthner [Ert-2014a,

Ert-2014b]). Trotz stetiger Bestrebungen zur Steigerung der Leistung automatischer

Regalbediengeräte hat sich die Anordnung der Übergabepunkte für die Übergabe

von Ladeeinheiten zwischen Regalbediengerät und Fördertechnik der Lagervorzone

in mehr als 50 Jahren kaum verändert. Nach wie vor verfügt eine Lagergasse im

Regelfall über einen einzelnen Übergabepunkt, welcher an der Stirnseite der Regale

auf der untersten Ebene angeordnet ist. Eine solche Anordnung im Eckpunkt der

Regale ist bautechnisch bedingt und stellt hinsichtlich der mittleren Entfernungen

zwischen Übergabepunkt und den Lagerfächern einer Lagergasse keine gute Lö-

sung dar. Mittels alternativer Anordnung des Übergabepunktes kann eine Verkür-

zung der mittleren Entfernungen und somit der Fahr- und Spielzeiten erreicht wer-

den. Untersuchungen hierzu hat beispielsweise Gudehus durchgeführt [Gud-1972a].

Eine weitere Verkürzung der Fahrzeiten kann mit einer verteilten Anordnung mehre-

rer Übergabepunkte in einer Lagergasse erzielt werden. Diesen Fall hat

z. B. Knepper für ein Containerlager exemplarisch untersucht [Kne-1978, S. 126ff].

Obwohl solche Systeme seit geraumer Zeit bekannt sind, finden diese in der Pla-

1.2 Ziel der Arbeit und Vorgehensweise

3

nung selten Beachtung und folglich gibt es nur wenige bekannte Umsetzungen. Als

mögliche Ursachen werden das Fehlen von Erfahrungswerten und fundierten Unter-

suchungen zu Fahr- und Spielzeiten für unterschiedliche Anordnungen mehrerer

Übergabepunkte identifiziert. Mangels geeigneter Berechnungsmodelle wird zudem

ein objektiver Vergleich der Spielzeiten zwischen Lagersystemen mit mehreren

Übergabepunkten und konventionellen Lösungen erschwert. Es stellt sich daher

folgende zentrale Frage, welche in dieser Arbeit beantwortet werden soll:

„Wie wirken sich mehrere Übergabepunkte in einer Lagergasse eines automatischen

Lagersystems auf die Spielzeit aus und wie kann diese berechnet werden?“


Ziel dieser Arbeit ist es zum einen, die Spielzeit automatischer Lagersysteme mit

mehreren Übergabepunkten in einer Lagergasse zu untersuchen und zum anderen

geeignete Berechnungsmethoden für solche Systeme zu entwickeln. Auf diese

Weise sollen Aussagen hinsichtlich einer möglichen Reduktion der mittleren Spiel-

zeiten durch Anordnung mehrerer Übergabepunkte in einer Lagergasse ermöglicht

werden. Zugleich werden dadurch die Voraussetzungen für eine Berücksichtigung

von Systemen mit mehreren Übergabepunkten in der Planung automatischer Lager-

systeme geschaffen.

Die Untersuchung und Berechnung der Spielzeiten soll für Lagersysteme mit schie-

nengeführten, automatischen Regalbediengeräten ohne Möglichkeit zum Gassen-

wechsel erfolgen. Alternative Geräte zur Bedienung von Lagersystemen, wie bei-

spielsweise Shuttle-Fahrzeuge oder Schmalgangstapler, werden nicht berücksich-

tigt. Gegenstand der Untersuchung ist eine einzelne Lagergasse, bestehend aus

zwei parallelen Regalen, Übergabepunkt(en) und im Mittelgang verfahrendem Re-

galbediengerät. Die betrachtete Lagergasse stellt ein Teilsystem des Gesamtsys-

tems automatisches Lager dar. Mehrere Lagergassen sind mittels Fördertechnik in

der Lagervorzone miteinander verbunden. Da die Systemgrenze an den Übergabe-

punkten definiert wird, bleibt diese Verbindung unberücksichtigt und Fahr- und

Spielzeiten sind für eine einzelne, unabhängige Lagergasse zu berechnen.

Die Vorgehensweise orientiert sich an dem in Abbildung 1-1 dargestellten Aufbau

der Arbeit. Auf die aus der Ausgangssituation abgeleitete Problemstellung und die

Zielsetzung der Arbeit wird im ersten Kapitel eingegangen. Kapitel 2 beschreibt die

1 Einleitung

4

Grundlagen der Spielzeitberechnung, welche für das Verständnis der weiteren

Inhalte nötig sind. Zudem wird ein Überblick zum Stand der Forschung bei der

Berechnung für mehrere Übergabepunkte gegeben. Daraus folgt schließlich die

Ableitung der Forschungslücke, welche in dieser Arbeit geschlossen wird.

Abbildung 1-1: Aufbau der Arbeit

Kapitel 3 und Kapitel 4 schaffen die Voraussetzungen für eine Untersuchung auto-

matischer Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten, indem geeignete Anord-

nungen der Übergabepunkte und Betriebsstrategien ausgearbeitet werden. Basie-

rend auf einer Analyse des Einflusses von Position und Anzahl der Übergabepunkte

auf die Fahrzeiten erfolgt die Ableitung von Konzepten für die Anordnung der Über-

gabepunkte. In einem Exkurs wird zudem auf mögliche Konzepte zur Ver- und

Entsorgung der Übergabepunkte eingegangen. Für die Auswahl eines geeigneten

Übergabepunktes innerhalb eines Arbeitsspiels werden neue Strategien entwickelt.

In Abhängigkeit dieser Strategien erfolgt eine Optimierung der Anordnung der Über-

gabepunkte in einer Lagergasse. Schließlich werden vorhandene Lagerbetriebsstra-

tegien auf ihre Eignung in Verbindung mit mehreren Übergabepunkten untersucht.

Aufbauend auf den Inhalten von Kapitel 2, Kapitel 3 und Kapitel 4 widmet sich

Kapitel 5 der Untersuchung von Fahr- und Spielzeiten automatischer Lagersysteme

mit mehreren Übergabepunkten. Dazu werden geeignete Modelle für eine numeri-

sche Berechnung sowie exemplarische Lagerkonfigurationen festgelegt. Zur Ein-

grenzung der zu untersuchenden Konfigurationen wird der Einfluss diverser Konfigu-

rationsparameter untersucht. Zusätzlich wird auch die Kombination mehrerer Über-

gabepunkte mit einer zonierten Lagerplatzzuordnung überprüft. Schließlich kann die

Kapitel 1 Ausgangssituation und Zielsetzung

Kapitel 2 Grundlagen der Spielzeitberechnung

Kapitel 3Konzepte für Lagersysteme mit

mehreren ÜbergabepunktenKapitel 4

Strategien für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten

Kapitel 5Untersuchung von Lagersystemen mit

mehreren Übergabepunkten

Kapitel 6Berechnungsmodelle für Lagersysteme

mit mehreren Übergabepunkten

Kapitel 7 Zusammenfassung und Ausblick

Problemstellung

Stand der Forschung, Forschungslücke

Fazit

Ausarbeitung Konzepte und Strategien

Untersuchung und Eingrenzung

Entwicklung Modelle und Validierung


5

Berechnung und Untersuchung der Spielzeiten diverser Anordnungen einzelner

sowie mehrerer Übergabepunkte erfolgen.

Kapitel 6 befasst sich mit neuen mathematisch-analytischen Modellen für die Be-

rechnung der Fahrzeiten ausgewählter Anordnungen mehrerer Übergabepunkte

unter Berücksichtigung von zwei unterschiedlichen Strategien bei der Auswahl eines

geeigneten Übergabepunktes. Die berechneten Fahrzeiten erlauben in Verbindung

mit vorhandenen Modellen zur Bestimmung der weiteren erforderlichen Komponen-

ten eine Berechnung der Spielzeiten für Einzel- sowie Doppelspiele, was anhand von

exemplarischen Berechnungsbeispielen vollzogen wird.

Kapitel 7 enthält schließlich eine Zusammenfassung der Forschungsergebnisse und

gibt einen Ausblick auf den weiteren Forschungsbedarf zu diesem Thema.

7

2 Grundlagen der Spielzeitberechnung

In diesem Kapitel wird zunächst die verwendete Definition der Spielzeit dargestellt

und auf Möglichkeiten zu deren Bestimmung eingegangen. Auf die Spielzeit wirken

sich unterschiedliche Lagerbetriebsstrategien aus, welche in einer Übersicht zu-

sammengefasst werden. Bei der Berechnung der Spielzeit ist eine Zerlegung in

unterschiedliche Komponenten möglich, wobei in dieser Arbeit der Fokus auf den

Fahrzeiten liegt. Zur Bestimmung der mittleren Fahrzeiten innerhalb eines Arbeits-

spiels wird eine Auswahl vorhandener Berechnungsmodelle vorgestellt. Ein Über-

blick über Berechnungsmodelle und -ansätze speziell für mehrere Übergabepunkte

schließt das Kapitel ab.

2.1 Spielzeit automatischer Lagersysteme mit schienengeführten Regalbediengeräten

Die Spielzeit bezeichnet in dieser Arbeit jeweils eine mittlere Spielzeit, welche den

Mittelwert der Dauer eines Arbeitsspieles des Regalbediengerätes angibt. Die tat-

sächliche Dauer einzelner Arbeitsspiele und deren Streuung bleiben unberücksich-

tigt. Bei der Bestimmung wird von einer ständigen Auslastung des Regalbediengerä-

tes ausgegangen. Nach Lippolt kann die mittlere Spielzeit entweder auf Basis von

beobachten Arbeitsspielzeiten (ex post) oder auf Basis der Wahrscheinlichkeitstheo-

rie (ex ante) definiert werden [Lip-2003, S. 47]. In dieser Arbeit wird eine ex ante-

Betrachtung verwendet, um die mittlere Spielzeit voraussagen zu können. Dabei

werden Erwartungswerte bestimmt, welche den Wert der durchschnittlichen Dauer

der Spielzeit angeben. Zur Berechnung der Erwartungswerte gibt es eine Vielzahl

unterschiedlicher Berechnungsansätze und -modelle. Einen Literaturüberblick geben

Sarker und Babu [Sar-1995], Johnson und Brandeau [Joh-1996], Lippolt

[Lip-2003, S. 77ff], Roodbergen und Vis [Roo-2008], Wisser [Wis-2009, S. 57ff], Gu,

Goetschalckx und McGinnis [Gu-2010], Gagliardi, Renaud und Ruiz [Gag-2011]

sowie M. R. Vasili, Tang, und M. Vasili [Vas-2012]. Angeführt werden vorwiegend

mathematisch-analytische Verfahren basierend auf deterministischen und stochasti-

schen Methoden, der Warteschlangentheorie (siehe z. B. Hur und Nam [Hur-2006])

oder Heuristiken sowie Simulationsverfahren. Weitere Ansätze beruhen auf künstli-

cher Intelligenz, wie beispielsweise die auf künstlichen neuronalen Netzen basieren-


8

den Ersatzmodelle nach Kraul [Kra-2011, S. 141ff]. In der Praxis findet zudem die

sogenannte Methode repräsentativer Fächer weite Verbreitung. Danach werden die

Koordinaten repräsentativer Lagerfächer festgelegt, für welche die Spielzeit eines

einzelnen Arbeitsspiels in einer groben Näherung der mittleren Spielzeit entspricht.

Wichtige Vertreter dieser Methode sind die Richtlinien FEM 9.851 [FEM 9851] und

VDI 3561 [VDI 3561].

Neben den Entfernungen zwischen Übergabepunkt(en) und Lagerfächern sowie den

dynamischen Eigenschaften von Regalbediengerät und Lastaufnahmemittel ist die

mittlere Spielzeit für ein Arbeitsspiel auch von den gewählten Lagerbetriebsstrate-

gien abhängig, worauf im folgenden Abschnitt eingegangen wird.

2.1.1 Lagerbetriebsstrategien

Einen wesentlichen Einfluss auf die Spielzeit haben die zur Anwendung kommenden

Lagerbetriebsstrategien. Nach Gudehus lassen sich diese in Belegungsstrategien

und Bewegungsstrategien einteilen. Als wichtigste Belegungsstrategien, welche

festlegen, auf welchen Lagerplätzen bzw. in welcher Lagerzone welche Artikel

gelagert werden, nennt Gudehus: [Gud-2010, S. 598 f]

Schnellläuferkonzentration

Feste Lagerplatzordnung

Freie Lagerplatzordnung

Zonenweise feste Lagerordnung

Platzanpassung

Artikelreine oder chargenreine Platzbelegung

Artikelgemischte Platzbelegung

Minimieren von Anbruchlagerplätzen

Gleichverteilungsstrategie

Eine Schnellläuferkonzentration beschreibt eine Klassifizierung der Artikel nach ihrer

Zugriffshäufigkeit und eine Bildung von Zonen in einer Lagergasse. Artikel mit einer

hohen Zugriffshäufigkeit werden dabei in den Zonen nahe dem Übergabepunkt

gelagert, um die mittleren Fahrwege zu senken. Ursprünglich sieht die Strategie nur

eine Schnellläuferzone vor, häufig werden aber auch mehrere Zonen gebildet. Eine

klassische Form einer zonenbasierten Lagerplatzzuordnung mit drei Zonen stellt

dabei die sogenannte ABC-Zonierung dar. Den Effekt einer Schnellläuferkonzentra-

2.1 Spielzeit automatischer Lagersysteme mit schienengeführten RBG

9

tion haben beispielsweise Gudehus [Gud-1972b] oder Prettenthaler [Pre-1979]

untersucht, wobei von einer einzelnen statischen Schnellläuferzone ausgegangen

wird. Einen Ansatz zur dynamischen Zonierung stellt Glass [Gla-2008, S. 51ff] vor.

Auf die Zonenbildung bei einer vom Eckpunkt abweichenden Anordnung des Über-

gabepunktes an einer beliebigen Stelle am Rand der Regalfläche gehen Lippolt,

Blunck und Arnold ein [Lip-2001]. Neben einer zonenbasierten Zuordnung kann

auch eine umschlagbezogene Zuordnung auf Artikelebene erfolgen, wie Hausman,

Schwarz, und Graves [Hau-1976] beschreiben. Dabei werden einzelne Artikel ent-

sprechend ihrer Umschlagshäufigkeit Lagerplätzen mit unterschiedlichen Fahrzeiten

zum Übergabepunkt zugeordnet.

Bei einer festen Lagerplatzordnung, im Folgenden als Lagerplatzzuordnung be-

zeichnet, erfolgt eine Reservierung von Lagerplätzen für einzelne Artikel. Diese

Strategie kommt in automatischen Lagersystemen im Allgemeinen nicht zur Anwen-

dung und wird daher nicht weiter betrachtet. Stattdessen kommt in der Regel eine

freie bzw. chaotische Lagerplatzzuordnung zur Anwendung, bei der keine feste

Zuordnung zwischen Artikeln und Lagerplätzen erfolgt. Dadurch wird jeder freie

Lagerplatz mit gleicher Wahrscheinlichkeit für die Einlagerung eines Artikels ausge-

wählt. Diese Strategie ist in den meisten Berechnungsmodellen abgebildet, wobei

die tatsächliche Lagerbelegung häufig vernachlässigt und von einem gleichverteilten

Zugriff auf alle Lagerplätze ausgegangen wird.

Eine zonenweise feste Lagerordnung beschreibt die Zuordnung bestimmter Artikel

bzw. Artikelgruppen oder Ladeeinheiten zu Lagerplätzen unterschiedlicher Zonen.

Gründe hierfür können beispielsweise unterschiedlich beschaffene Lagerplätze sein.

Die sogenannte Platzanpassung beschreibt eine Zuordnung anhand ähnlicher Ab-

messungen der Ladeeinheiten und der Lagerplätze. Sind mehrere Stellplätze je

Lagerfach vorhanden, wie dies beispielsweise bei einem Kanallager der Fall ist, so

kann die Platzbelegung artikelrein oder chargenrein, oder aber auch artikelgemischt

erfolgen. Zur Minimierung von Anbruchlagerplätzen bei doppeltiefer bzw. mehrfach-

tiefer Lagerung können Ladeeinheiten aus teilgefüllten Lagerfächern bevorzugt

ausgelagert werden. Sind mehrere Ladeeinheiten eines Artikels in einem Lager

vorhanden, so kann mit einer Gleichverteilungsstrategie die Zugriffssicherheit erhöht

werden, indem die Ladeeinheiten auf unterschiedliche Gassen verteilt werden.


10

Bewegungsstrategien legen nach Gudehus hingegen fest, welche Ein-, Aus- und

Umlagerungen in welcher Reihenfolge durchgeführt werden. Gudehus nennt folgen-

de wichtige Bewegungsstrategien: [Gud-2010, S. 600f]

Einzelspielstrategie

Doppelspielstrategien

Fahrwegstrategien

Umlagerstrategien

Gangwechselstrategie

Zuförderstrategien

Abförderstrategien

Als Einzelspielstrategie wird die Ausführung von Arbeitsspielen zur reinen Ein- oder

Auslagerung einer Ladeeinheit beschrieben. Können Ein- und Auslageraufträge

paarweise kombiniert werden, so ist eine Reduktion der Leerfahrten möglich, indem

das Regalbediengerät nach einer Einlagerung nicht zum Übergabepunkt zurück-

kehrt, sondern zum Lagerfach weiterfährt, aus welchem eine Ladeeinheit ausgela-

gert werden soll. Durch die Wahl eines freien Lagerfaches für die Einlagerung in

dessen Nähe kann eine weitere Reduktion erreicht werden. Hierfür stellt beispiels-

weise Seemüller [See-2005, S. 127ff] einen Berechnungsansatz vor. Ein kombinier-

tes Arbeitsspiel mit einer Ein- sowie einer Auslagerung wird als Doppelspiel be-

zeichnet. Abbildung 2-1 stellt ein Regal und die Fahrten zu exemplarischen Lagerfä-

chern für ein Einzel- sowie ein Doppelspiel dar. Wie sich die Spielzeit für die abge-

bildeten Arbeitsspiele zusammensetzt, wird im nächsten Abschnitt erläutert.

Abbildung 2-1: Einzelspiel (links) und Doppelspiel (rechts)

Verfügt ein Regalbediengerät über ein Mehrfach-Lastaufnahmemittel, d. h. mit einer

Kapazität von mehr als einer Ladeeinheit, oder mehrere Lastaufnahmemittel, so sind

auch kombinierte Arbeitsspiele mit mehr als einer Ein- und Auslagerung möglich.

Dies führt zu einer Verbesserung der Ein- und Auslagerleistung, wie z. B. Gudehus

[Gud-1974] aufzeigt. Potrc et. al. berechnen die mittleren Spielzeiten bei der Ver-

ÜP ÜP

2.1 Spielzeit automatischer Lagersysteme mit schienengeführten RBG

11

wendung von Mehrfach-Lastaufnahmemitteln mittels Simulation [Pot-2004]. Fahr-

wegstrategien optimieren die Reihenfolge der verschiedenen Ein- und Auslagerun-

gen bei kombinierten Spielen mit mehr als einer Ein- und Auslagerung, um den

gesamten Fahrweg zu minimieren. Das Optimierungsproblem entspricht dabei dem

sogenannten „Traveling Salesman Problem“, siehe z. B. van den Berg und Gade-

mann [Ber-1999].

Bei doppeltiefer bzw. mehrfachtiefer Lagerung können Umlagerungen zum Erreichen

von Ladeeinheiten, welche durch andere Ladeeinheiten verdeckt werden, erforder-

lich sein. Hierbei kann eine Minimierung der Wege beispielsweise durch Wahl eines

Umlagerplatzes in naher Umgebung erfolgen. Alternativ ist auch eine Reorganisation

des Lagers in Form von Umlagerungen zur Minimierung der Anzahl verdeckter

Ladeeinheiten in Zeiten geringer Auslastung möglich.

Bedient ein Regalbediengerät mit der Möglichkeit zum Gassenwechsel mehrere

Lagergassen, so kann durch eine geeignete Gangwechselstrategie die Anzahl der

erforderlichen Wechselvorgänge reduziert werden. Wie es gelingt, eine große Anzahl

einzulagernder Ladeeinheiten mehreren Lagergassen für eine möglichst schnelle

Einlagerung zuzuweisen, beschreiben sogenannte Zuförderstrategien. Abförderstra-

tegien beschreiben hingegen eine Priorisierung dringend benötigter Ladeeinheiten

beim Abtransport aus einer Lagergasse.

Eine weitere, von Gudehus nicht angeführte Strategie ist die Ruhepositionsstrategie.

Die Ruheposition gibt die Stelle an, an welcher das Regalbediengerät im Anschluss

an ein abgeschlossenes Arbeitsspiel verweilt, sofern kein weiterer Auftrag vorliegt.

Untersuchungen zu unterschiedlichen Ruhepositionsstrategien haben z. B. Egbelu

und Wu [Egb-1993] durchgeführt. Ansätze zur Optimierung der Ruheposition für

unterschiedliche Lagerkonfigurationen stellen beispielsweise Peters, Smith und Hale

[Pet-1996] sowie Park [Par-1999] vor. In dieser Arbeit wird im Folgenden davon

ausgegangen, dass stets Aufträge vorliegen, weshalb die Ruhepositionsstrategie

keine weitere Beachtung findet.

2.1.2 Zusammensetzung der Spielzeit

Die Spielzeit für ein Arbeitsspiel setzt sich aus unterschiedlichen Zeitanteilen zu-

sammen. Gudehus unterscheidet dabei zwischen Fahr- und Verweilzeiten

[Gud-1972c]. Während die Fahrzeiten abhängig von den Koordinaten von Start- und


12

Zielpunkten sind, werden als Verweilzeiten wegunabhängige Zeitanteile bezeichnet,

welche sich bei jedem Arbeitsspiel wiederholen. Dazu gehören nach Lippolt

[Lip-2003, S. 55f]:

Spielzeit des Lastaufnahmemittels bei der Übergabe von Ladeeinheiten

Totzeiten

Mastausschwingzeiten

Nachdem diese Zeitanteile wegunabhängig und demzufolge unabhängig von der

Anzahl und Position der vorhandenen Übergabepunkte sind, wird der Fokus in

dieser Arbeit auf die wegabhängigen Fahrzeiten gelegt. Die Verweilzeiten sind im

Folgenden auf vereinfachte Weise berücksichtigt, indem diese in einer Zykluszeit

des Lastaufnahmemittels für unterschiedliche Vorgänge zusammengefasst werden.

Die Zykluszeit LAMt soll dazu neben der Spielzeit des Lastaufnahmemittels für die

Lastübergabevorgänge auch gemittelte Tot- und Mastausschwingzeiten beinhalten.

Für folgende Lastübergabevorgänge wird eine Zykluszeit definiert:

Übergabe von Ladeeinheiten am Übergabepunkt: ,LAM ÜP

t

Einlagerung einer Ladeeinheit: ,LAM Et

Auslagerung einer Ladeeinheit: ,LAM At

Mit dieser vereinfachten Betrachtung setzen sich die im vorangehenden Abschnitt

definierten Arbeitsspiele Einzel- und Doppelspiel aus den entsprechenden Fahr- und

Zykluszeiten zusammen, wie in Abbildung 2-2 dargestellt ist.

Abbildung 2-2: Zusammensetzung der Arbeitsspiele

Beim Einzelspiel gilt es, die Fahrzeiten vom Übergabepunkt zum Lagerfach ,f ÜP LF

t

sowie zurück zum Übergabepunkt ,f LF ÜP

t zu berücksichtigen. Beim Doppelspiel fällt

neben der Fahrzeit vom Übergabepunkt zum ersten Lagerfach , 1f ÜP LF

t und der

Fahrzeit vom zweiten Lagerfach zurück zum Übergabepunkt , 2f LF ÜP

t auch die Fahr-

zeit , 1 2f LF LFt für die Leerfahrt zwischen den beiden Lagerfächern an.

Ein

zels

pie

lD

op

pels

pie

l

tLAM,ÜP

tf,ÜP-LF

tLAM,E bzw. tLAM,A

tf,LF-ÜP

tLAM,ÜP tLAM,E tLAM,A tLAM,ÜP

tf,ÜP-LF1 tf,LF1-LF2 tf,LF2-ÜP

t

Verweilzeiten

Fahrzeiten

2.2 Berechnungsmodelle für die Fahrzeiten

13

Zur Berechnung des Erwartungswertes der Spielzeit muss deren Verteilung nicht

bekannt sein. Aufgrund der Additivität des Erwartungswertes (vgl. z. B. Bosch

[Bos-2011, S. 118]) kann dieser durch Addition der Erwartungswerte der einzelnen

Zeitanteile, aus welchen sich die Spielzeit zusammensetzt, bestimmt werden. Die

Berechnung der einzelnen Erwartungswerte kann dabei unabhängig voneinander

erfolgen. Während für die Zykluszeiten des Lastaufnahmemittels bereits Mittelwerte

angesetzt werden, gilt es die Erwartungswerte für die mittleren Fahrzeiten mit geeig-

neten Berechnungsmodellen zu bestimmen.


Im Folgenden wird die Berechnung des Erwartungswertes der Fahrzeiten am Bei-

spiel ausgewählter vorhandener Modelle für einen einzelnen Übergabepunkt darge-

stellt. In diesem Zusammenhang wird auch auf die Beschreibung der verwendeten

Modellierung einer Lagergasse sowie die Definition des für spätere Berechnungen

relevanten Regalwandparameters eingegangen. Eine Klassifizierung der vorgestell-

ten Fahrzeitmodelle erfolgt anhand der bei der Modellierung der Regalfläche ver-

wendeten Koordinaten in Modelle mit Längenkoordinaten sowie in Modelle mit

skalierten und normierten Koordinaten zur Beschreibung der Regalfläche. Der Be-

rechnungsansatz unterscheidet sich dabei grundlegend.

2.2.1 Modellierung einer Lagergasse

Die Berechnung der Fahrzeiten soll für eine Lagergasse, bestehend aus zwei paralle-

len Regalen, Übergabepunkt(en) und einem im Regalgang verfahrenden Regalbe-

diengerät, erfolgen. Aufgrund der Symmetrie der beiden Regale ist für eine Berech-

nung der Fahrzeiten anhand der vom Regalbediengerät zurückgelegten Wege die

Modellierung eines einzelnen Regals ausreichend. Die realen Abmessungen der

Lagerfächer werden dabei vernachlässigt. Stattdessen wird das diskrete Regal mit

einzelnen Lagerfächern in ein kontinuierliches Modell mit infinitesimal kleinen Lager-

fächern überführt. Die Zulässigkeit dieser Vereinfachung hat z. B. Schaab unter-

sucht. Er kommt dabei zu dem Schluss, dass in einem automatischen Hochregalla-

ger die Anzahl der Lagerfächer eines Regals sehr groß ist und deren Abmessungen

klein im Verhältnis zur Regalfläche, weshalb eine Vernachlässigung der realen Lager-

fachabmessungen das Ergebnis praktisch nicht beeinflusst. [Sch-1969, S. 73] Eben-

so vernachlässigt werden die Abmessungen der Übergabeplätze, welche auf einen


14

Punkt reduziert werden. Folgende Abbildung stellt eine Lagergasse sowie das davon

abgeleitete, vereinfachte Modell dar:

Abbildung 2-3: Vereinfachte Abbildung einer Lagergasse

Im Folgenden wird stets die vereinfachte Abbildung verwendet. Das Modell wird

durch die Länge der Regalfläche in x-Richtung, die Höhe in y-Richtung sowie die

Koordinaten des Übergabepunktes bzw. der Übergabepunkte beschrieben. Für

Berechnungen, welche auf dem in Abschnitt 2.2.5 vorgestellten Fahrzeitmodell

aufbauen, findet zusätzlich eine Transformation der Koordinaten des dargestellten,

vereinfachten Modells in den Zeitbereich statt.

Die Modellierung des Regalbediengerätes erfolgt anhand einer Reduktion auf die

zweidimensionale Bewegung eines Punktes, welcher die Position des Lastaufnah-

memittels widerspiegelt. Für Bewegungen dieses Punktes werden die entsprechen-

den Fahrzeiten bestimmt. Dabei werden Bewegungen des Fahrwerks in x-Richtung

und des Hubwerks in y-Richtung berücksichtigt. Eine explizite Betrachtung der

Bewegungen des Lastaufnahmemittels findet nicht statt. Deren Berücksichtigung

erfolgt lediglich im Rahmen der Zykluszeit für unterschiedliche Lastübergabevor-

gänge. Im folgenden Abschnitt wird auf die Bestimmung der Fahrzeiten für die

betrachtete zweidimensionale Bewegung des Regalbediengerätes eingegangen.

2.2.2 Fahrzeit eines Regalbediengerätes

Die Fahrt eines Regalbediengerätes ist charakterisiert durch eine Überlagerung der

Bewegungen von Fahr- und Hubwerk. Die Fahrzeit ft des Regalbediengerätes bei

der Fahrt von einem Startpunkt zu einem Zielpunkt ist dabei durch die längere der

beiden Fahrzeiten von Fahrwerk ( )xt und Hubwerk ( )yt gegeben:

max( , )f x yt t t (2-1)

ÜP(0,0)

H

L

x

y


15

Im Zeitbereich betrachtet (vgl. Abschnitt 2.2.5) entspricht die Fahrzeit des Regalbe-

diengerätes zwischen zwei Punkten somit nicht wie bei der euklidischen Metrik der

kürzesten Entfernung zwischen den beiden Punkten, sondern dem Maximum aus

horizontaler und vertikaler Entfernung. Diese Metrik wird als Tschebyschew-Norm

oder Maximumsnorm bezeichnet.

Zur Bestimmung der Fahrzeit des Regalbediengerätes ist eine Berechnung der

Fahrzeiten für die beiden eindimensionalen Bewegungen von Fahr- und Hubwerk

erforderlich. Dabei ist eine Fallunterscheidung nötig. Je nachdem, ob die maximale

Fahrgeschwindigkeit maxv erreicht wird oder nicht, ist das resultierende Geschwin-

digkeitsprofil bei Annahme einer mittleren konstanten Beschleunigung und Verzöge-

rung trapez- oder dreiecksförmig, wie in Abbildung 2-4 dargestellt. Die Form realer

Geschwindigkeitsprofile weicht von dieser Darstellung ab (siehe z. B. Arnold und

Furmans [Arn-2006, S. 204]), zur Berechnung der mittleren Spielzeiten ist aber eine

Betrachtung gemittelter Beschleunigungs- und Verzögerungswerte ausreichend.

Abbildung 2-4: Trapez- und dreiecksförmiges Geschwindigkeitsprofil

Sind die Absolutwerte der mittleren Beschleunigung und Verzögerung gleich groß,

so kann aus den allgemeinen Bewegungsgleichungen die Bedingung für den Grenz-

fall zwischen dreiecksförmigem und trapezförmigem Geschwindigkeitsverlauf herge-

leitet werden. Ist folgende Bedingung erfüllt, dann ist die Fahrstrecke s bei einem

Betrag von Beschleunigung und Verzögerung a ausreichend lang, um die maximale

Geschwindigkeit vor Beginn der Verzögerungsphase zu erreichen (trapezförmiges

Geschwindigkeitsprofil):

2

maxvs

a (2-2)

Mit dieser Bedingung als Grenze für die Fallunterscheidung kann die Fahrzeit von

Fahr- oder Hubwerk gemäß (2-3) berechnet werden.

v

maxv

t


16

2max

2max max

max

2 falls

falls

vss

a at

v vss

v a a

(2-3)

Somit ergibt sich folgende Fahrzeit ft des Regalbediengerätes:

22,max,max

2 2,max ,max ,max ,max

,max ,max

2 falls 2 falls

max ,

falls falls

y yxxyx

y yx x

f

x xx y y yx y

x x x y y y

s vvsss

a aa at

v vs s v vs s

v a a v a a

(2-4)

Dieser Ausdruck ist für die Berechnung der mittleren Fahrzeit nicht geeignet, da er

eine Fallunterscheidung in Abhängigkeit der jeweils längeren der beiden Fahrzeiten

von Fahr- und Hubwerk beinhaltet. Zur Lösung dieses Problems erfolgt eine Unter-

scheidung von Bereichen der Regalfläche, für welche ausgehend von einem festge-

legten Startpunkt bei der Fahrt zu einem Zielpunkt entweder die Fahrzeiten des

Hubwerks oder des Fahrwerks für die Fahrzeiten des Regalbediengerätes aus-

schlaggebend sind. Eine näherungsweise Bestimmung dieser Bereiche einer Regal-

fläche kann anhand des Regalwandparameters w erfolgen, welcher im folgenden

Abschnitt definiert wird.

2.2.3 Regalwandparameter

Der Regalwandparameter w ist eine Größe, welche das Verhältnis zwischen den

Geschwindigkeiten von Fahr- und Hubwerk des Regalbediengerätes und den Ab-

messungen der Regalfläche beschreibt. Nach ten Hompel [Hom-2011, S. 254f] ist

diese wie folgt definiert:

x

y

vHw

L v (2-5)

Gemäß dieser Definition verfährt das Regalbediengerät bei 1w ausgehend von

einem Eckpunkt der Regalfläche bei simultanem Verfahren von Fahr- und Hubwerk

mit jeweils maximaler Geschwindigkeit genau entlang der Diagonalen der Regalflä-

che. Abbildung 2-5 stellt die sogenannte Synchronfahrgerade für simultanes Verfah-

ren von Fahr- und Hubwerk des Regalbediengerätes für unterschiedliche Werte des

Regalwandparameters w dar.


17

Abbildung 2-5: Synchronfahrgerade für unterschiedliche Werte des Regalwandparameters

Bei w > 1 erreicht das Regalbediengerät bei einer Fahrt beginnend im linken unteren

Eckpunkt zuerst den gegenüberliegenden vertikalen Rand der Regalfläche, während

bei w < 1 der obere horizontale Rand der Fläche zuerst erreicht wird. Für die Be-

rechnung der Fahrzeiten des Regalbediengerätes ist die Größe von Bedeutung, da

anhand des Regalwandparameters eine Unterscheidung der Bereiche möglich ist,

für welche die Fahrzeiten des Hubwerks oder jene des Fahrwerks ausschlaggebend

sind. Im Folgenden werden Fahrten, für welche die Fahrzeit des Fahrwerks länger

als jene des Hubwerks ist, als fahrzeitkritisch bezeichnet und Fahrten, bei welchen

die Fahrzeit des Hubwerks länger ist, als hubzeitkritisch. Folgende Abbildung zeigt

fahrzeitkritische und hubzeitkritische Bereiche ausgehend von einem Übergabe-

punkt im Eckpunkt:

Abbildung 2-6: Fahr- und hubzeitkritische Bereiche

Alle unterhalb der Synchronfahrgeraden liegenden Lagerfächer sind der Abbildung

entsprechend fahrzeitkritisch, während alle hubzeitkritischen Lagerfächer oberhalb

der Synchronfahrgeraden liegen. In der Abbildung ist zudem auch exemplarisch eine

sogenannte Isochrone dargestellt. Für alle auf einer Isochrone liegenden Lagerfächer

gilt, dass deren Anfahrzeit jeweils gleich lang ist.

Eine Schwäche der Definition des Regalwandparameters w ist die Tatsache, dass

Beschleunigung und Verzögerung von Fahr- und Hubwerk vernachlässigt werden.

Bei deutlich verschiedenen Beschleunigungs- und Verzögerungszeiten von Fahr-

L

H

1w

2w

0,5w

1w

ÜP(0,0)

fahrzeitkritisch

hubzeitkritisch

Isochrone


18

und Hubwerk können sich daher Abweichungen hinsichtlich der tatsächlichen fahr-

und hubzeitkritischen Bereiche sowie der Isochronen ergeben.

2.2.4 Fahrzeitmodelle mit Beschreibung der Regalfläche in Längenkoordinaten

Nachdem in Abschnitt 2.2.2 die Fahrzeit des Regalbediengerätes für eine Fahrt

zwischen zwei Punkten hergeleitet und in Abschnitt 2.2.3 der Regalwandparameter

w definiert wurde, kann darauf aufbauend die Berechnung des Erwartungswertes

der Fahrzeit des Regalbediengerätes erfolgen. Im Folgenden wird dazu eine Auswahl

an vorhandenen Modellen angeführt, die wichtige Entwicklungsschritte darstellen.

Zu den ersten Vertretern zählen die Berechnungsmodelle von Zschau

[Zsc-1964, S. 68ff] und Schaab [Sch-1969, S. 54ff] aus den 1960er Jahren. Beide

Modelle verwenden eine kontinuierlich modellierte Regalfläche mit infinitesimal

kleinen Regalfächern und berechnen Spielzeiten für Einzel- sowie Doppelspiele als

Funktion mittlerer Geschwindigkeiten mittels Integration. Dabei wird zur Bestim-

mung der Anfahrzeiten der Lagerfächer mittels Zweifachintegral über die gesamte

Regalfläche integriert. Zur Berechnung der Fahrzeiten zwischen zwei Lagerfächern

ist entsprechend eine zweifache Integration über die gesamte Regalfläche mittels

Vierfachintegral notwendig.

Gudehus stellt 1972 ein Berechnungsmodell vor, welches anstelle mittlerer Ge-

schwindigkeiten die Beschleunigung und Verzögerung von Fahr- und Hubwerk

berücksichtigt. Bei der Berechnung der mittleren Fahrzeiten mittels Integration

werden diese zunächst vernachlässigt und im Anschluss in Form eines Korrekturfak-

tors, der sogenannten mittleren Bremsbeschleunigungszeit bt , addiert. [Gud-1972c]

Die Berechnung der mittleren Spielzeiten erfolgt in Abhängigkeit eines Parameters,

welcher dem im vorangehenden Abschnitt definierten Regalwandparameter w

entspricht. Folgenden Erwartungswert der Spielzeit eines Einzelspieles für eine

Anordnung des Übergabepunktes im Eckpunkt gibt Gudehus [Gud-1972c] an:

21

21

12 1 falls 1

3

12 1 falls 1

3

o b

x

ES

o b

y

Lt t w w

vE t

Ht t w w

v

(2-6)


19

mit

1 Verweilzeit bei einem Einzelspiel

1 falls 12 2

1 11 falls 1

2 2

o

yx

x y

b

yx

x y

t

vvw ww

a at

vvw

w a w a

Die Bremsbeschleunigungszeit bt wird für gemittelte Beschleunigungs- und Verzö-

gerungswerte von Fahr- und Hubwerk xa bzw. ya berechnet. Bei Doppelspielen ist

zusätzlich die Leerfahrt zwischen Ein- und Auslagerfach berücksichtigt, wodurch die

Bremsbeschleunigungszeit bt insgesamt dreimal angesetzt werden muss. Die

gesamte Verweilzeit bei einem Doppelspiel, wird mit 2ot bezeichnet. Den Erwar-

tungswert der Spielzeit für ein Doppelspiel gibt Gudehus wie folgt an:

2 32

2 1 32

1 13 1 10 5 5 falls 1

3 30

1 13 1 10 5 5 falls 1

3 30

o b

x

DS

o b

y

Lt t w w w w

vE t

Ht t w w w w

v

(2-7)

Ein weiteres Fahrzeitmodell, welches auf einer kontinuierlichen Modellierung der

Regalfläche und Beschreibung in Längenkoordinaten basiert, stammt von Hausman,

Graves und Schwarz [Hau-1976]. Das Modell wurde zur Untersuchung einer um-

schlagbezogenen oder zonenbasierten Lagerplatzzuordnung entwickelt. Darauf

aufbauend stellen Graves, Hausman und Schwarz [Gra-1977] ein erweitertes Modell

vor, welches auch die Leerfahrt zwischen Lagerfächern bei Doppelspielen berück-

sichtigt. Beide Modelle setzen einen Regalwandparameter w = 1 voraus.

2.2.5 Fahrzeitmodelle mit Beschreibung der Regalfläche in skalierten und normierten Koordinaten

Im Gegensatz zu einer Beschreibung der Entfernungen mittels Längenkoordinaten

stellen Bozer und White [Boz-1984] ein Fahrzeitmodell vor, welches auf einer Trans-

formation der Regalabmessungen in den Zeitbereich baut. Die Beschreibung der

Regalfläche mit infinitesimal kleinen Lagerfächern (vgl. Abschnitt 2.2.1) erfolgt mit-

tels skalierter und normierter Koordinaten. Dabei wird ein sogenannter „shape

factor“ b eingeführt, welcher eng verwandt mit dem in Abschnitt 2.2.3 vorgestellten

Regalwandparameter w ist.


20

Nach Bozer und White [Boz-1984] ist b wie folgt definiert:

min , yx

ttb

T T (2-8)

mit

max ,

,

x y

x y

x y

T t t

L Ht t

v v

Aufgrund der Definition nimmt b im Gegensatz zum Regalwandparameter w einen

Wert 0 1b an. Es lässt sich aber folgender Zusammenhang zwischen b und w

herleiten:

falls 1

1falls 1

y

x

x

y

tw w

tb

tw

t w

(2-9)

Für Werte von 1w sind b und w folglich identisch, während b für Werte von 1w

den Kehrwert von w darstellt.

Zur Berechnung der Fahrzeiten werden die Koordinaten der Regalfläche auf die

Anfahrzeit der Punkte bei maximaler Geschwindigkeit von Fahr- und Hubwerk ohne

Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung skaliert und anschließend

auf die maximale Anfahrzeit normiert. Die Abmessungen der resultierenden Regal-

fläche sind dimensionslos und betragen 1 x b, da gemäß (2-8) die Größe b der

kürzeren der Fahrzeiten zu den entferntesten Punkten in x- sowie y-Richtung skaliert

mit der maximalen Fahrzeit des Regalbediengerätes entspricht. Auf diese Weise

entsteht eine Regalfläche mit der Eigenschaft, dass die Entfernung zwischen zwei

Punkten der Regalfläche direkt einer normierten Fahrzeit entspricht. Abbildung 2-7

zeigt die beschriebene Transformation der Regalfläche an einem Beispiel für 1w .

Dabei entsteht eine quadratische Fläche, da die maximalen Fahrzeiten in x- und in y-

Richtung von identischer Dauer sind.


21

Abbildung 2-7: Transformation der Regalfläche bei w = 1

Die Berechnung des Erwartungswertes der Fahrzeiten nach Bozer und White für den

Fall einer chaotischen Lagerplatzzuordnung basiert nicht auf einer direkten Integrati-

on einzelner Fahrzeiten, wie es bei den im vorangehenden Abschnitt vorgestellten

Modellen der Fall ist, sondern auf einem statistischen Ansatz. Dabei wird für die

eindimensionalen Fahrzeiten in x- und in y-Richtung jeweils die Verteilungsfunktion

hergeleitet, d. h, die Wahrscheinlichkeit, mit welcher die Fahrzeit kleiner einer mit z

bezeichneten Zufallsvariable ist. Die Funktionen beschreiben dabei die Wahrschein-

lichkeit für Werte von z zwischen 0 und der maximalen normierten Fahrzeit, welche 1

beträgt. Durch Multiplikation der beiden Verteilungsfunktionen kann eine Vertei-

lungsfunktion für die gesamte Fahrzeit des Regalbediengerätes bei Überlagerung

der Bewegungen in x- und in y-Richtung bestimmt werden. Im nächsten Schritt wird

durch Ableitung der Verteilungsfunktion eine Dichtefunktion bestimmt. Zur Bestim-

mung des Erwartungswertes der Fahrzeiten erfolgt schließlich eine Integration des

Produktes aus Dichtefunktion und der Variablen z über den relevanten Bereich

von z. [Boz-1984] Das Ergebnis ist auf den Wert der maximalen Anfahrzeit der

Punkte der Regalfläche normiert und gibt die Fahrzeit in einer allgemeinen Form in

Abhängigkeit von b an. Dieser Ansatz ist somit für ein beliebiges Verhältnis der

Geschwindigkeiten von Fahr- und Hubwerk des Regalbediengerätes und der Re-

galflächenabmessungen geeignet.

Die Erwartungswerte der Fahrzeiten für Einzel- und Doppelspiele werden für den Fall

x yt t bzw. 1w angegeben. Für x yt t bzw. 1w wird bedingt durch die Defini-

tion von b eine Vertauschung der Achsen zur Anwendung der Modelle erforderlich.

Während dies bei einem im Eckpunkt angeordneten Übergabepunkt keinen Unter-

schied bewirkt, gilt es dies bei abweichenden Anordnungen des Übergabepunktes

zu beachten und ein entsprechendes Berechnungsmodell für die entstehende Kon-

figuration zu wählen. In Abbildung 2-8 wird dies am Beispiel eines auf halber Regal-

, 1yxtt

b MinT T

1L

H

1w

ÜP ÜP


22

höhe am Regalrand angeordneten Übergabepunktes verdeutlicht. In diesem Fall ist

der Übergabepunkt am unteren Rand der transformierten Regalfläche angeordnet

und bedarf eines anderen Modells zur Berechnung der Fahrzeiten.

Abbildung 2-8: Vertauschung der Achsen bei w ≥ 1

Das beschriebene Fahrzeitmodell nach Bozer und White setzt konstante Geschwin-

digkeiten von Fahr- und Hubwerk voraus. Eine Berücksichtigung von Beschleuni-

gung und Verzögerung kann nachträglich mittels eines Korrekturfaktors erfolgen, wie

beispielsweise der von Gudehus definierten mittleren Bremsbeschleunigungszeit

(siehe Abschnitt 2.2.4). Zudem gibt es auf dem Modell von Bozer und White aufbau-

ende Ansätze, welche ein Geschwindigkeitsprofil mit Beschleunigung und Verzöge-

rung bereits bei der Herleitung des wahrscheinlichkeitstheoretischen Ansatzes

berücksichtigen (siehe Hwang und Lee [Hwa-1990]) oder ein approximiertes Ge-

schwindigkeitsprofil verwenden (siehe Chang, Wen und Lin [Cha-1995]). Eine Be-

rücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung auf diese Weise hat einen

deutlich höheren Aufwand für die Berechnung zur Folge.

2.3 Berechnung der Fahrzeiten bei mehreren Übergabepunkten

Dieser Abschnitt soll einen Überblick über vorhandene Berechnungsmodelle

und -ansätze bei mehr als einem Übergabepunkt geben. Dabei unterscheiden sich

gegenüber der Berechnung für einen im Eckpunkt angeordneten Übergabepunkt

jeweils nur die Anfahrzeiten der Lagerfächer, während die Fahrzeiten zwischen

einzelnen Lagerfächern und die Verweilzeiten unverändert bleiben (vgl. Ab-

schnitt 2.1.2). Basierend auf dem Überblick vorhandener Modelle wird die For-

schungslücke abgeleitet, welche die vorliegende Arbeit zu schließen sucht.

y

x

vLb

H v

1L

H y

x

vy

x v

ÜP

ÜP

1w


23

Während unterschiedliche Anordnungen eines einzelnen Übergabepunktes Gegen-

stand mehrerer durchgeführter Untersuchungen sind und dafür Berechnungsformeln

entwickelt wurden (siehe z. B. Gudehus [Gud-1972a] oder Knepper [Kne-1980]), gibt

es vergleichsweise wenige Untersuchungen, in welchen mehr als ein Übergabepunkt

berücksichtigt wird. Am häufigsten wird dabei der Fall einer Trennung von Ein- und

Ausgang betrachtet, d. h. anstelle eines gemeinsamen Übergabepunktes für Ein-

und Auslagerung erfolgt eine räumlich getrennte Anordnung der Übergabepunkte für

die Ein- und Auslagerung. Folgende Abbildung zeigt zwei mögliche Anordnungen:

Abbildung 2-9: Getrennte Anordnung der Übergabepunkte für Ein- und Auslagerung

Berechnungsmodelle für die Fahrzeiten bei den dargestellten Anordnungen der

Übergabepunkte geben beispielsweise Gudehus [Gud-1972c], die Richtlinie

FEM 9.851 [FEM 9851] oder Bozer und White [Boz-1984] an. Bozer und White

beziehen dabei auch die Ruhepositionsstrategie in die Berechnung ein.

Eine Trennung der Übergabepunkte für Ein- und Auslagerung wird im weiteren

Verlauf dieser Arbeit nicht mehr berücksichtigt, da dadurch keine Verkürzung der

Fahrwege erzielt werden kann. Aufgrund von erforderlichen Leerfahrten zwischen

den beiden Übergabepunkten ist ein Anstieg der mittleren Spielzeit gegenüber der

Anordnung eines gemeinsamen Übergabepunktes für Ein- und Auslagerung zu

erwarten. Im Folgenden bezeichnet ein Übergabepunkt daher stets einen kombinier-

ten Übergabepunkt für Ein- und Auslagerung.

Die numerische Berechnung der Fahrzeit für zwei kombinierte, in den gegenüberlie-

genden unteren Eckpunkten der Regalfläche angeordnete Übergabepunkte be-

schreiben Ashayeri et al. [Ash-2002]. Randhawa, McDowell und Wang [Ran-1991]

bestimmen für eine identische Anordnung der Übergabepunkte den Durchsatz unter

Berücksichtigung unterschiedlicher Reihenfolgestrategien mittels Simulation. Der

dabei verwendete Algorithmus ist auf Konfigurationen mit mehr als zwei Übergabe-

punkten übertragbar. Auch Linn und Wysk [Lin-1987] berücksichtigen eine Anord-

ÜPE

ÜPA

ÜPE ÜPA


24

nung der Übergabepunkte in den beiden gegenüberliegenden unteren Eckpunkten

der Regalfläche in ihren Simulationsstudien zur Analyse von Steuerungsstrategien.

Mehr als zwei Übergabepunkte in einer Lagergasse betrachten Kaylan und Medeiros

[Kay-1988] in Form von mehreren entlang der Gasse angeordneten Übergabepunk-

ten zur Anbindung an den Regalaußenseiten liegender Arbeitsstationen. Der Transfer

von Ladeeinheiten zwischen Übergabepunkten im Regal und den außenliegenden

Arbeitsstationen erfolgt dabei mittels einzelner Förderstrecken. In einer Simulations-

studie werden für eine beidseitige Anordnung von jeweils vier Übergabepunkten

unterschiedliche Lagerbelegungsstrategien untersucht.

Mak und Lau [Mak-2008] beschreiben die Anwendung evolutionärer Optimierungs-

algorithmen auf das Problem der Reihenfolgeplanung für die Komissionierung in

einem automatischen Lagersystem mit mehreren Übergabepunkten. Die Summe der

Bearbeitungszeiten aller Arbeitsspiele für vorgegebene Kommissionieraufträge stellt

dabei die Zielfunktion dar, welche für unterschiedliche Reihenfolgen simulativ be-

rechnet wird.

Knepper untersucht die Auswirkungen auf die Fahrzeit einer Verlängerung des Zu-

und Abfördersystems in den Regalbereich hinein. Dabei wird ein sich über die ge-

samte Regallänge erstreckender Horizontalförderer betrachtet, entlang welchem

diskrete Übergabepunkte angeordnet werden können. Knepper gibt die Ergebnisse

einer Fahrzeitberechnung für eine Anordnung der Förderstrecke auf Höhe der ersten

Regalfachzeile sowie auf halber Regalhöhe für eine unterschiedliche Anzahl an

Übergabepunkten entlang der Strecke an. Die Ergebnisse zeigen, dass die größte

Fahrzeitverkürzung gegenüber der Eckpunktanordnung des Übergabepunktes

bereits durch eine Verlegung des Übergabepunktes auf halbe Regallänge erzielt

werden kann. Ein zweiter Übergabepunkt hat noch eine weitere wesentliche Verkür-

zung zur Folge, während mehr als zwei Übergabepunkte in den betrachteten Fällen

als nahezu bedeutungslos für eine Fahrzeitverkürzung erachtet werden.

[Kne-1978, S. 126ff]

Lantschner, Atz und Günthner bestimmen die Fahr- und Spielzeiten für exemplari-

sche Anordnungen mehrerer Übergabepunkte mittels Simulation und vergleichen

dabei unterschiedliche Betriebsstrategien. Dabei kommen sie zum Ergebnis, dass

die mit einer bestimmten Anordnung mehrerer Übergabepunkte erzielbare Verkür-

zung der Spielzeit nicht verallgemeinert werden kann, sondern unter Berücksichti-

gung der Lagerkonfiguration fallspezifisch zu berechnen ist. [Lan-2013]


25

Die Richtlinie VDI 4480 beschreibt ein Verfahren zur Ermittlung des Durchsatzes von

automatischen Lagern, welches auch für Konfigurationen mit mehreren Übergabe-

punkten geeignet ist. Dabei wird für einen stark vereinfachten Fall ohne Berücksich-

tigung von Betriebsstrategien der Durchsatz für bestimmte, als sogenannte Operati-

onszyklen bezeichnete Arbeitsspiele berechnet. Grundlage hierfür bilden Referenz-

lagerplätze, welche für jeden Übergabepunkt bestimmt werden müssen. Ein- und

Auslagerung sind entkoppelt voneinander zu betrachten. [VDI 4480-1] Die Anwen-

dung dieses Verfahrens ist mit einem großen Aufwand für die Bestimmung der

Referenzlagerplätze und die Dauer der einzelnen Operationszyklen verbunden und

ermöglicht nur eine unzureichende Berücksichtigung diverser Betriebsstrategien,

bedingt durch die Trennung von Ein- und Auslagerung.

Arantes und Kompella [Ara-1993] stellen ein mathematisch-analytisches Berech-

nungsmodell für eine Anordnung von unendlich vielen, infinitesimal kleinen Überga-

bepunkten entlang dem unteren Rand der Regalfläche vor. Das Modell basiert auf

dem in Abschnitt 2.2.5 beschriebenen Ansatz von Bozer und White. Die Bestim-

mung der Spielzeiten für Einzelspiele erfolgt dabei anhand einer Zerlegung der

Arbeitsspiele in unterschiedliche Bewegungen, für welche dann unter Annahme

einer chaotischen Lagerplatzzuordnung und einer zufälligen Auswahl der Übergabe-

punkte die Erwartungswerte der Fahrzeiten berechnet werden. Beschleunigung und

Verzögerung von Fahr- und Hubwerk des Regalbediengerätes bleiben dabei unbe-

rücksichtigt.

Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass für automatische Lagersysteme

mit mehreren Übergabepunkten in einer Lagergasse mittels Simulation diverse

Untersuchungen mit unterschiedlichem Fokus durchgeführt wurden. Es gibt jedoch

keine allgemeinen Berechnungsmodelle für die Fahrzeiten bei unterschiedlicher

Anordnung mehrerer Übergabepunkte unter Berücksichtigung angepasster Be-

triebsstrategien. Zu einem ähnlichen Schluss kommen auch Roodbergen und Vis,

welche einen Überblick über vorhandene Berechnungsmodelle geben und diese

analysieren. Dabei stellen sie fest, dass bei der Berechnung üblicherweise ein ein-

zelner Übergabepunkt berücksichtigt wird und auf dem Gebiet automatischer La-

gersysteme mit mehreren Übergabepunkten in einer Lagergasse noch Forschungs-

bedarf besteht. Neben anderen Forschungsthemen werden speziell für Lagersyste-

me mit mehreren Übergabepunkten Fahrzeitmodelle, Belegungsstrategien sowie

Bewegungsstrategien genannt. [Roo-2008] Auch M. R. Vasili, Tang, und M. Vasili

führen an, dass weitere Untersuchungen auf dem Gebiet der Lagerbetriebsstrate-


26

gien und Reihenfolgestrategien für vom Standardfall abweichende Konfigurationen,

beispielsweise mit mehreren Übergabepunkten, erforderlich sind [Vas-2012].

Neben Berechnungsmodellen und Strategien fehlt auch eine Beschreibung und

Untersuchung möglicher Anordnungen mehrerer Übergabepunkte in einer Lager-

gasse. Hiefür werden nur einzelne spezielle Fälle, beispielsweise von Knepper

[Kne-1978, S. 126ff], Kaylan und Medeiros [Kay-1988] oder Arantes und Kompella

[Ara-1993] beschrieben, nicht aber systematisch mögliche Anordnungen mehrerer

Übergabepunkte ausgearbeitet und hinsichtlich der Fahr- und Spielzeiten analysiert.

In dieser Arbeit soll schwerpunktmäßig das Fehlen allgemeiner Berechnungsmodelle

adressiert werden. Voraussetzung hierfür sind eine Beschreibung möglicher Anord-

nungen der Übergabepunkte, eine Entwicklung geeigneter Betriebsstrategien sowie

eine Untersuchung der Anordnungen zum Zweck einer Eingrenzung auf relevante

Konfigurationen, für welche schließlich allgemeine mathematisch-analytische Be-

rechnungsmodelle entwickelt werden. Die Untersuchung unterschiedlicher Anord-

nungen mehrerer Übergabepunkte liefert zudem Hinweise auf das jeweilige Potenzi-

al hinsichtlich einer Reduktion der Spielzeiten. Eine umfassende Untersuchung

hierzu ist bisher nicht vorhanden.

27

3 Konzepte für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten

Zur Untersuchung der Spielzeit von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten

ist zunächst eine Beschreibung möglicher Anordnungen der Übergabepunkte erfor-

derlich. Dazu erfolgt zunächst eine Analyse des Einflusses von Position und Anzahl

der Übergabepunkte auf die Fahrzeiten. Daraus abgeleitete Konzepte für die Anord-

nung von mehreren Übergabepunkten beschreiben, frei von jeglichen technischen

oder räumlichen Restriktionen, geometrische Anordnungen einer endlichen oder

unendlichen Anzahl an Übergabepunkten in einer Lagergasse. Schließlich werden

Varianten für die Ver- und Entsorgung der Übergabepunkte aufgezeigt.

3.1 Einfluss von Position und Anzahl der Übergabepunkte

In diesem Abschnitt wird der Einfluss von Position und Anzahl der Übergabepunkte

auf die Fahrzeiten des Regalbediengerätes zwischen Übergabepunkten und den

verschiedenen Lagerfächern eines Regals untersucht, um daraus Erkenntnisse für

mögliche Anordnungen der Übergabepunkte ableiten zu können. Innerhalb eines

Arbeitsspieles können auch Leerfahrten zwischen verschiedenen Lagerfächern

erforderlich sein. Die Fahrzeiten für diese Fahrten sind unabhängig von der Anord-

nung der Übergabepunkte und bleiben daher an dieser Stelle unberücksichtigt.

Zunächst wird der Einfluss der Position eines einzelnen Übergabepunktes betrach-

tet. Hierzu wurden in der Vergangenheit bereits diverse Untersuchungen durchge-

führt, beispielsweise von Gudehus. Er quantifiziert dabei den möglichen Spielzeit-

gewinn bei Anordnung des Übergabepunktes auf halber Länge mit bis zu 13 % bei

Einzelspielen bzw. bis zu 8 % bei Doppelspielen gegenüber einer Anordnung im

Eckpunkt [Gud-1972a]. Knepper führt eine ähnliche Untersuchung durch und be-

trachtet dabei auch eine Anordnung des Übergabepunktes innerhalb der Regalflä-

che. An einem Beispiel zeigt er eine mögliche Verkürzung der mittleren Spielzeit um

bis zu annähernd 15 % auf. [Kne-1980] Eggert, Loschke und Schumann untersu-

chen die Auswirkung einer mittigen Zuführung von Paletten in einem Hochregallager

und kommen zum Schluss, dass dadurch eine deutliche Effizienzsteigerung möglich

ist [Egg-2010].


28

Die Anordnung des Übergabepunktes wirkt sich auf die Bereiche der Regalfläche

aus, für welche die Fahrzeiten des Fahrwerks bzw. des Hubwerks ausschlaggebend

sind (vgl. Abschnitt 2.2.3). Folgende Abbildung veranschaulicht fahr- und hubzeitkri-

tische Bereiche für unterschiedliche Anordnungen eines einzelnen Übergabepunktes

an einem Beispiel mit Regalwandparameter w = 1:

Abbildung 3-1: Fahr- und hubzeitkritische Bereiche mit einem Übergabepunkt

Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Anordnung des Übergabepunktes neben

der Lage der Bereiche auch deren Größenverhältnis beeinflussen kann. Bei einer

Anordnung des Übergabepunktes im Eckpunkt oder im Flächenschwerpunkt sind

fahr- und hubzeitkritische Bereiche jeweils gleich groß. Ist der Übergabepunkt am

horizontalen Rand der Fläche auf halber Länge des Regals angeordnet, macht

hingegen der hubzeitkritische Bereich 75 % der Fläche aus, während bei einer

Anordnung am vertikalen Rand auf halber Höhe der Anteil 25 % beträgt. Bei einem

Regalwandparameter 1w ändert sich die Steigung der Synchronfahrgeraden, was

zu einem anderen Verhältnis der Flächenanteile führt. Diese Betrachtung anhand des

Regalwandparameters stellt jedoch lediglich eine Näherung dar, da der Einfluss von

Beschleunigung und Verzögerung vernachlässigt wird (vgl. Abschnitt 2.2.3).

Bei einer vom Eckpunkt abweichenden Anordnung des Übergabepunktes wird im

Mittel eine kürzere Anfahrzeit der Punkte der Fläche erwartet. In Abhängigkeit der

gewählten Anordnung ergeben sich neben kürzeren Anfahrzeiten für bestimmte

Bereiche der Fläche auch Bereiche mit unveränderten oder längeren Anfahrzeiten.

Diese Bereiche können anhand der Synchronfahrgeraden identifiziert werden. Abbil-

dung 3-2 zeigt dies am Beispiel eines Vergleichs der dargestellten Anordnung des

Übergabepunktes mit einer Anordnung im linken unteren Eckpunkt. Die Fahrzeiten

bleiben zu all jenen Punkten unverändert, welche für beide Anordnungen oberhalb

hubzeitkritisch

fahrzeitkritisch


29

der Synchronfahrgeraden liegen. Zu allen Punkten unterhalb der Synchronfahrgera-

den, die näher am Eckpunkt liegen, werden die Fahrzeiten mit der dargestellten

Anordnung des Übergabepunktes länger, während für die restlichen Punkte die

Fahrzeiten verkürzt werden können.

Abbildung 3-2: Fahrzeiten bei mittiger Anordnung des Übergabepunktes im Vergleich zu einer Eckpunktanordnung

Die dargestellten Bereiche lassen jedoch noch keine Rückschlüsse auf die Fahrzei-

ten zu einzelnen Punkten zu. Abbildung 3-3 zeigt eine qualitative Darstellung der

Fahrzeiten zwischen Übergabepunkt und den Flächenschwerpunkten von Teilflä-

chen, welche Lagerfächer mit willkürlich festgelegten Abmessungen darstellen. Die

Berechnung erfolgte ohne Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung

für die bereits gezeigten Anordnungen des Übergabepunktes und Regalwandpara-

meter w = 1.

Abbildung 3-3: Fahrzeiten bei unterschiedlicher Anordnung eines Übergabepunktes

In der Abbildung sind die Isochronen (vgl. Abschnitt 2.2.3) für die unterschiedlichen

Anordnungen des Übergabepunktes erkennbar. Anhand der Farbskala können

Kürzere Fahrzeiten

Keine Veränderung

Längere Fahrzeiten


30

Bereiche mit identischen Anfahrzeiten abgelesen werden. Die kürzesten Anfahrzei-

ten sind grün dargestellt, die längsten rot. Bei einer Anordnung des Übergabepunk-

tes am Rand der Fläche auf halber Regallänge bzw. halber Regalhöhe sind die

Anfahrzeiten der Punkte im Mittel gleich lang, wie für eine halb so große Fläche mit

Übergabepunkt im Eckpunkt. Liegt der Übergabepunkt im Flächenschwerpunkt, ist

die mittlere Anfahrzeit hingegen von gleicher Dauer wie für ein Viertel der Fläche bei

Eckpunktanordnung des Übergabepunktes.

Im nächsten Schritt erfolgt eine Betrachtung des Einflusses der Anzahl der Überga-

bepunkte am Beispiel von am Flächenrand angeordneten Übergabepunkten. Abbil-

dung 3-4 veranschaulicht fahr- und hubzeitkritische Bereiche für zwei bzw. fünf

äquidistant angeordnete Übergabepunkte und Regalwandparameter w = 1. Dabei

wird von einer Zuordnung der Punkte der Fläche zum Übergabepunkt mit der jeweils

kürzesten Entfernung ausgegangen. Die Grenzen dieser Zuordnung sind durch

vertikale Strichlinien angedeutet.

Abbildung 3-4: Fahr- und hubzeitkritische Bereiche mit mehreren Übergabepunkten

Aus der Abbildung geht hervor, dass mit zunehmender Anzahl horizontal angeordne-

ter Übergabepunkte der Anteil der Fläche des hubzeitkritischen Bereiches zunimmt.

Für den Fall, dass die Übergabe an jedem beliebigen Punkt am horizontalen Flä-

chenrand möglich wäre, würde der Anteil 100 % betragen. Analog verhält sich der

Anteil der Fläche des fahrzeitkritischen Bereiches bei einer Anordnung der Überga-

bepunkte am vertikalen Flächenrand.

Anhand der Synchronfahrgeraden können ohne Berücksichtigung von Beschleuni-

gung und Verzögerung wiederum auch die Bereiche identifiziert werden, für welche

sich gegenüber einer Anordnung des Übergabepunktes im Eckpunkt die Anfahrzei-

ten ändern. In Abbildung 3-5 sind die Bereiche für eine Anordnung von zwei Über-

gabepunkten dargestellt.

hubzeitkritisch

fahrzeitkritisch


31

Abbildung 3-5: Fahrzeiten mit zwei Übergabepunkten im Vergleich zur Übergabe im Eck-punkt

Mit dieser Anordnung der Übergabepunkte ist eine Verkürzung der Fahrzeit zu

weniger als 50 % der Punkte der Fläche gegenüber einem im Eckpunkt angeordne-

ten Übergabepunkt möglich. Der Bereich längerer Fahrzeiten würde für eine zuneh-

mende Anzahl der Übergabepunkte immer kleiner werden und falls die Übergabe an

jedem beliebigen Punkt am unteren Flächenrand möglich wäre, schließlich ver-

schwinden. Hierbei könnte im betrachteten Beispiel mit Regalwandparameter w = 1

die Anfahrzeit für die Hälfte der Punkte der Fläche verkürzt werden. Diese Punkte

liegen in dem in Abbildung 3-1 für eine Anordnung des Übergabepunktes im Eck-

punkt identifizierten fahrzeitkritischen Bereich. Zu den weiteren Punkten, welche

bereits bei einem im Eckpunkt angeordneten Übergabepunkt hubzeitkritisch sind,

ändern sich die Fahrzeiten hingegen nicht. Für abweichende Werte des Regalwand-

parameters w verschieben sich die Anteile der Bereiche bedingt durch die geänderte

Steigung der Synchronfahrgeraden, wie in Abbildung 3-6 an einem Beispiel für

w = 0,5 sowie w = 2 gezeigt wird.

Abbildung 3-6: Fahrzeiten mit zwei Übergabepunkten im Vergleich im Vergleich Übergabe im Eckpunkt bei abweichendem Regalwandparameter w

Während bei w = 0,5 der Anteil der Fläche, für welchen die Fahrzeiten gegenüber

der Anordnung des Übergabepunktes im Eckpunkt kürzer werden, deutlich mehr als

die Hälfte beträgt, ist dieser bei w = 2 kleiner 25 %. Aus diesem Grund wäre bei

w = 2 eine Anordnung der Übergabepunkte am vertikalen Flächenrand vorzuziehen,

für welche die Anteile der Bereiche identisch sind, wie für die betrachtete Anordnung

bei w = 0,5.

Kürzere Fahrzeiten

Keine Veränderung

Längere Fahrzeiten

w=2

w=0,5

Kürzere Fahrzeiten

Keine Veränderung

Längere Fahrzeiten


32

Zur Analyse der Fahrzeiten werden diese analog zum vorangehenden Beispiel für

unterschiedliche Anordnungen eines Übergabepunktes exemplarisch berechnet.

Dabei wird für die einzelnen Lagerfächer stets die Fahrzeit zum Übergabepunkt mit

der geringsten Entfernung bestimmt. Folgende Abbildung zeigt eine qualitative

Darstellung der Fahrzeiten für unterschiedliche Anordnungen mehrerer Übergabe-

punkte im Vergleich zur Anordnung eines einzelnen Übergabepunktes im Eckpunkt.

Abbildung 3-7: Fahrzeiten bei unterschiedlicher Anordnung der Übergabepunkte

Aus der Abbildung ist beim Vergleich der Fahrzeiten mit zwei und fünf Übergabe-

punkten ersichtlich, dass bei zunehmender Anzahl der Übergabepunkte die Fahrzei-

ten nur mehr für einen kleinen Anteil der Lagerfächer weiter verkürzt werden können,

während die Fahrzeiten zu allen weiteren Lagerfächern unverändert bleiben. Dies

hängt mit dem in Abbildung 3-4 gezeigten abnehmenden Anteil fahrzeitkritischer

Lagerfächer zusammen. Ist die Übergabe an jedem beliebigen Punkt einer Strecke

am unteren Flächenrand möglich, so wird für 50 % der Lagerfächer eine Verkürzung

der Anfahrzeit gegenüber der dargestellten Anordnung eines einzelnen Übergabe-

punktes erwartet, was anhand der Darstellung nachvollziehbar ist.

Um die Anfahrzeit für mehr als 50 % der Lagerfächer bei einem Regalwandparame-

ter w = 1 verkürzen zu können, ist eine Anordnung der Übergabepunkte in der

Fläche oder an mehreren Rändern der Fläche notwendig. Werden beispielsweise

entlang einer horizontalen Strecke angeordnete Übergabepunkte auf halber Regal-

3.2 Anordnung der Übergabepunkte

33

höhe angeordnet, so ändern sich auch die vertikalen Entfernungen. Die mittlere

Anfahrzeit der Lagerfächer entspricht hierbei jener für eine halb so hohe Fläche mit

am Rand angeordneten Übergabepunkten.


Basierend auf den Erkenntnissen aus der Analyse des Einflusses von Position und

Anzahl der Übergabepunkte auf die Fahrzeiten erfolgt an dieser Stelle die Beschrei-

bung möglicher Anordnungen der Übergabepunkte. Mehrere Übergabepunkte

können in einer Lagergasse am Rand der Regale oder auch innerhalb der Regalflä-

chen angeordnet werden. Dabei wird ein einzelnes Regal einer Lagergasse betrach-

tet (vgl. Abschnitt 2.2.1) und von einer symmetrischen Anordnung der Übergabe-

punkte zu beiden Seiten des Regalgangs ausgegangen.

Zunächst wird lediglich die Lage von Strecken festgelegt, entlang welcher eine

endliche oder unendliche Anzahl an Übergabepunkten angeordnet werden kann. Die

Konfiguration mit einer unendlichen Anzahl wird im Folgenden als kontinuierliche

Übergabestrecke bezeichnet. Auf eine Festlegung der Position diskreter Übergabe-

punkte entlang der Strecken wird verzichtetet, da deren Anordnung von der verwen-

deten Betriebsstrategie abhängig ist. Ein Ansatz zur Optimierung in Abhängigkeit der

Strategie bei der Auswahl eines Übergabepunktes ist in Abschnitt 4.3 angeführt.

Im vorangehenden Abschnitt konnte gezeigt werden, dass abhängig vom Regal-

wandparameter w entweder eine horizontale oder eine vertikale Anordnung der

Übergabepunkte vorteilhaft sein kann. Aus diesem Grund werden unterschiedlich

positionierte Strecken beschrieben, welche sowohl horizontal als auch vertikal

angeordnet sein können. Hierbei werden Strecken am Flächenrand sowie innerhalb

der Fläche betrachtet. Während letztere kürzere Fahrzeiten erlauben, wird eine

Anordnung am Rand aufgrund der erwarteten einfacheren Umsetzung berücksich-

tigt. Neben Anordnungen von bis zu zwei horizontalen oder vertikalen Strecken je

Regalseite erfolgt auch eine Festlegung weiterer Anordnungen, welche aufgrund der

Symmetrie bezüglich der Diagonalen der Regalfläche unabhängig vom Regalwand-

parameter geeignet sind. Dies ist für diagonal angeordnete Strecken sowie be-

stimmte Kombinationen einer horizontalen und einer vertikalen Strecke gegeben.


34

3.2.1 Horizontale und vertikale Anordnungen

Für die Anordnung einer endlichen oder unendlichen Anzahl an Übergabepunkten

entlang von horizontalen oder vertikalen Strecken werden folgende Merkmale identi-

fiziert, welche mögliche Konzeptvarianten beschreiben:

1. Anzahl der Strecken

2. Länge der Strecke(n)

3. Vertikale bzw. horizontale Position der Strecke(n)

4. Anzahl und Position der Übergabepunkte entlang einer Strecke

Die Anzahl der Strecken gibt an, wie viele parallele Strecken je Regalseite vorhanden

sind. Mehrere Strecken erlauben bei entsprechender Anordnung eine zunehmende

Verkürzung der mittleren Fahrwege, es ist jedoch auch von einem deutlich höheren

Aufwand für eine Umsetzung auszugehen, weshalb lediglich Varianten mit bis zu

zwei Strecken je Regalseite betrachtet werden. Die Länge der Strecke bzw. Stre-

cken soll zum Zweck einer symmetrischen Verteilung der Übergabepunkte der

Regallänge bzw. -höhe entsprechen, prinzipiell sind aber auch kürzere Strecken

beispielsweise bis zur Regalmitte möglich. Die vertikale Position horizontaler Stre-

cken bzw. horizontale Position vertikaler Strecken legt fest, in welchem Abstand

zum Rand der Regalfläche die Strecken angeordnet sind. Im Folgenden erfolgt

anhand dieser Merkmale eine Ableitung unterschiedlicher Anordnungen der Stre-

cken. Die Darstellungen am Beispiel horizontaler Strecken sind dabei auch auf

vertikal angeordnete Strecken übertragbar, indem diese um 90° gedreht bzw. an der

Diagonalen der quadratisch dargestellten Regalfläche gespiegelt werden.

Zunächst findet eine Betrachtung möglicher Anordnungen einer einzelnen Strecke

statt. In Abbildung 3-8 sind mögliche Positionen einer Strecke in einer Regalhälfte

angedeutet. Aufgrund der Symmetrie und der Richtungsunabhängigkeit der Fahrzei-

ten sind um die Mittellinie gespiegelte Anordnungen äquivalent.

Abbildung 3-8: Mögliche Anordnungen einer Strecke


35

Die Anordnung der Strecke an einem Rand der Fläche (siehe Abbildung 3-9) stellt

hinsichtlich des mittleren Fahrwegs zwischen Übergabepunkten auf der Strecke und

über die gesamte Fläche gleichmäßig verteilten Lagerfächern den ungünstigsten Fall

dar.

Abbildung 3-9: Anordnungen einer Strecke am Regalrand

Zur Minimierung des mittleren Fahrwegs ist eine Anordnung auf halber Höhe der

Regalfläche erforderlich, wie in Abbildung 3-10 dargestellt.

Abbildung 3-10: Mittige Anordnung einer Strecke

Während die Länge der Strecken bei den bisher gezeigten Anordnungen jeweils der

Regallänge bzw. -höhe entspricht, zeigt Abbildung 3-11 Strecken, welche bis zur

Mitte des Regals reichen. Hinsichtlich einer Verkürzung der Spielzeit sind diese

Anordnungen nicht zweckmäßig, es ist jedoch von Vorteilen beispielsweise hinsicht-

lich des Realisierungsaufwands auszugehen.

Abbildung 3-11: Anordnungen einer Strecke bis zur Regalmitte


36

Mögliche Anordnungen von zwei Strecken auf einer Regalseite werden in

Abbildung 3-12 gezeigt. Dabei wird eine symmetrische Anordnung der beiden Stre-

cken bezüglich der Mittellinie vorausgesetzt.

Abbildung 3-12: Mögliche Anordnungen von zwei Strecken

Wie bereits für eine einzelne Strecke stellt auch für zwei Strecken die Anordnung am

Flächenrand den ungünstigsten Fall dar (siehe Abbildung 3-13).

Abbildung 3-13: Anordnung von zwei Strecken am Regalrand

Während bei einer Strecke eine mittige Anordnung das Optimum repräsentiert, ist

bei zwei Strecken die optimale Anordnung von der Strategie bei der Auswahl eines

Übergabepunktes (siehe Abschnitt 4.2) abhängig. Ein Ansatz zur Optimierung der

Anordnung anhand einer Minimierung der mittleren Fahrwege in Abhängigkeit der

Strategie wird in Abschnitt 4.5 vorgestellt.

3.2.2 Weitere Anordnungen

Neben horizontalen und vertikalen Anordnungen der Strecken werden auch diago-

nale Anordnungen sowie Kombinationen einer horizontal und einer vertikal angeord-

neten Strecke beschrieben. In Abbildung 3-14 ist die diagonale Anordnung von einer

sowie von zwei Strecken dargestellt. Im zweiten Fall schneiden sich die beiden

Strecken, wodurch ein Punkt entsteht, welcher beiden Strecken zugeordnet werden

kann.

3.3 Ver- und Entsorgung der Übergabepunkte

37

Abbildung 3-14: Anordnungen diagonaler Strecken

Abbildung 3-15 zeigt zwei mögliche kombinierte Anordnungen horizontaler und

vertikaler Strecken am Rand sowie jeweils mittig. Bei letzterer Anordnung ist wiede-

rum ein Schnittpunkt der Strecken vorhanden.

Abbildung 3-15: Kombinierte Anordnungen von Strecken


Ausgehend von einer symmetrischen Anordnung der Übergabepunkte zu beiden

Seiten einer Gasse kann über eine Seite die Versorgung mit Ladeeinheiten erfolgen,

während die gegenüberliegende Seite der Entsorgung von Ladeeinheiten dient.

Übergabepunkte können entweder an festen Positionen entlang von Strecken ange-

ordnet oder entlang der Strecken verfahrbar sein. Demzufolge wird bei der Betrach-

tung von deren Versorgung zwischen stationären und nicht stationären Übergabe-

stationen unterschieden.

3.3.1 Stationäre Übergabepunkte

Stationäre Übergabepunkte können entweder auf einer Förderstrecke liegen, welche

eine direkte Abgabe oder Aufnahme von Ladeeinheiten an jeder beliebigen Stelle

ermöglicht, oder als mit Fördertechnik verbundene, diskrete Übergabestationen

ausgeführt sein. Im Fall diskreter Übergabestationen unterscheidet sich die Überga-

be von Ladeeinheiten in definierten Positionen nicht wesentlich von einer gewöhnli-


38

chen Ein- oder Auslagerung, während bei einer Übergabe zwischen Förderstrecke

und Lastaufnahmemittel höhere Anforderungen an die Lastübergabe gestellt wer-

den.

Erfolgt die Anbindung mehrerer stationärer Übergabepunkte an die Lagervorzone

über eine gemeinsame vertikale oder horizontale Förderstrecke, so ist ein Passieren

einzelner Übergabepunkte zur Versorgung flussabwärts gelegener Übergabepunkte

unumgänglich. Folgende Varianten, die dies erlauben, werden identifiziert:

1. Im belegten Zustand passierbare Übergabepunkte

2. Außerhalb der Übergabepunkte angeordnete Förderstrecken

3. Transport von Ladeeinheiten zum jeweils nächsten Übergabepunkt

Einzelne Übergabepunkte können so gestaltet werden, dass auch im belegten

Zustand ein Passieren von Ladeeinheiten möglich ist. Hierfür bieten sich beispiels-

weise Hebe- oder Umsetzvorrichtungen an. Alternativ dazu kann eine außerhalb der

Übergabepunkte angeordnete Förderstrecke mit Ausschleusstationen an den Über-

gabepunkten die Versorgung ermöglichen, wie in folgender Abbildung dargestellt ist:

Abbildung 3-16: Versorgung über Förderstrecke mit Ausschleusstationen (Draufsicht)

Für den Fall, dass die Übergabepunkte im belegten Zustand nicht passiert werden

können und eine Versorgung über eine außerhalb der Übergabepunkte angeordnete

Förderstrecke z. B. aus Platzgründen nicht realisiert werden kann, ist ein Weiter-

transport von Ladeeinheiten zum jeweils nächsten Übergabepunkt vorstellbar. Auf

diese Weise kann eine bei erfolgter Übergabe einer Ladeeinheit an das Lastaufnah-

memittel entstandene Lücke geschlossen werden. Abbildung 3-17 zeigt diesen

Vorgang am Beispiel der Versorgung des dritten Übergabepunktes in der Draufsicht.

Fahrschiene RBG

ÜP Einlagerung

Lag

erv

orz

on

e

ÜP Auslagerung

ÜP2,E

ÜP1,A

RBG

ÜP2,A ÜP3,A

ÜP1,ELE

LE

LE

Förderstrecke mitAusschleusstationen

ÜP1,E ÜP2,E ÜP3,E

LE


39

Abbildung 3-17: Transport von Ladeeinheiten zum jeweils nächsten ÜP (Draufsicht)

Ist die maximale Zeit für die Versorgung eines oder mehrerer Übergabepunkte

länger als die minimale Dauer eines Arbeitsspiels des Regalbediengerätes, so kann

nicht für jedes mögliche Arbeitsspiel eine rechtzeitige Bereitstellung von Ladeeinhei-

ten erfolgen. Dadurch kommt es zu Wartezeiten des Regalbediengerätes oder

Einschränkungen bei der Auswahl eines möglichen Übergabepunktes, was sich

wiederum negativ auf die Spielzeit auswirkt. Auch im Fall einer kontinuierlichen

Übergabestrecke gilt es zu prüfen, ob jede Übergabeposition in der minimal zur

Verfügung stehenden Zeit erreicht werden kann. Ein möglicher Ansatz zur Verkür-

zung der Wiederbeschaffungszeit ist die Bereitstellung von Ladeeinheiten an verteil-

ten Stellen entlang der Förderstrecken oder in Puffern an den einzelnen Übergabe-

punkten.

3.3.2 Nicht stationäre Übergabepunkte

Nicht stationäre Übergabepunkte, welche entlang einer Strecke beweglich sind,

können beispielsweise mit schienengebundenen Fahrzeugen realisiert werden

(vgl. [Geb-2013]). Dabei nehmen die Fahrzeuge in der Lagervorzone einzulagernde

Ladeeinheiten auf und transportieren diese zum Ort der Übergabe oder transportie-

ren auszulagernde Ladeeinheiten vom Ort der Übergabe zur Lagervorzone. Bei

ausreichender Geschwindigkeit ist ein solches System in der Lage, eine Übergabe

an jeder beliebigen Position entlang einer Strecke zu ermöglichen, wie dies bei einer

kontinuierlichen Übergabestrecke der Fall ist. Ver- und Entsorgung können dabei

parallel über zwei Fahrzeuge zu beiden Seiten des Regalgangs erfolgen. Die Fahr-

schienen können dabei horizontal, vertikal oder auch diagonal verlaufen.

Abbildung 3-18 zeigt eine Prinzipdarstellung am Beispiel horizontaler Fahrschienen

mit einem Fahrzeug je Fahrschiene in der Draufsicht.

Fahrschiene RBG

ÜP EinlagerungL

ag

erv

orz

on

e

ÜP Auslagerung

ÜP2,E

ÜP1,A

RBG

ÜP2,A ÜP3,A

ÜP3,EÜP1,E LE

LE

LELE


40

Abbildung 3-18: Nicht stationäre, entlang von Schienen verfahrbare Übergabepunkte

Die für die Bereitstellung und Entsorgung von Ladeeinheiten zur Verfügung stehende

Zeit ist von der minimalen Dauer eines Arbeitsspiels des Regalbediengerätes ab-

hängig. Kann die geforderte Leistung mit einem Fahrzeug je Seite nicht erreicht

werden, sind Leistungseinbußen durch Wartezeiten des Regalbediengerätes oder

durch eine nicht optimale Übergabeposition die Folge. Ein Ansatz zur Steigerung der

Leistung wäre der Einsatz von zwei Fahrzeugen je Fahrschiene und eine beidseitige

Anbindung an die Fördertechnik der Lagervorzone.

Fahrschiene RBG

Fahrschiene ÜP Einlagerung

La

ge

rvo

rzo

ne

Fahrschiene ÜP Auslagerung

ÜPLE

LE

ÜPAuslagerung

ÜPEinlagerung

RBG

41

4 Strategien für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten

Für den Betrieb einer Lagergasse mit mehreren Übergabepunkten sind neue oder

angepasste Betriebsstrategien erforderlich. Erst in Kombination mit geeigneten

Strategien kann das durch zusätzliche Übergabepunkte vorhandene Potenzial

hinsichtlich einer Reduktion der Spielzeit ausgeschöpft werden. Aus diesem Grund

werden nach der Definition der Rahmenbedingungen Strategien für eine optimierte

Auswahl eines Übergabepunktes innerhalb eines Arbeitsspiels vorgestellt und analy-

siert. In diesem Zusammenhang erfolgt auch eine Optimierung der Anordnung der

Übergabepunkte sowie mehrerer Übergabestrecken in Abhängigkeit der Strategie

für die Auswahl eines Übergabepunktes. Für kontinuierliche Übergabestrecken wird

zudem ein Ansatz zur Bestimmung der optimalen Übergabeposition vorgestellt.

Schließlich folgt eine Überprüfung vorhandener Lagerbetriebsstrategien hinsichtlich

einer Kompatibilität mit mehreren Übergabepunkten.

4.1 Voraussetzungen

Den im Folgenden vorgestellten Strategien und Optimierungsansätzen für Lagersys-

teme mit mehreren Übergabepunkten liegt eine Reihe idealisierter Annahmen und

Vereinfachungen zugrunde, welche an dieser Stelle definiert und erläutert werden:

Aufnahme und Abgabe von Ladeeinheiten an jedem Übergabepunkt möglich

Ständige Verfügbarkeit sämtlicher vorhandener Übergabepunkte

Keine Leerfahrten zwischen Arbeitsspielen

Betrachtung einer einzelnen Regalseite

Infinitesimal kleine Lagerfächer

Gleiche Zugriffshäufigkeit auf alle Lagerfächer

Ständige Verfügbarkeit aller Informationen

Voraussetzung ist, dass an jedem der vorhandenen Übergabepunkte bzw. an jeder

Stelle einer kontinuierlichen Übergabestrecke sowohl die Aufnahme als auch die

Abgabe von Ladeeinheiten möglich sind. In der Praxis kann dies über eine Anord-

nung von Übergabestationen zu beiden Seiten des Regalgangs realisiert werden.

Blockierungen der Übergabestationen oder Engpässe in deren Versorgung bleiben


42

unberücksichtigt. Es wird davon ausgegangen, dass die vorhandenen Übergabe-

punkte ständig verfügbar sind und an jedem Übergabepunkt Ladeeinheiten für die

Einlagerung vorhanden sind. Zwischen einzelnen Arbeitsspielen fallen keine Leer-

fahrten an, um beispielsweise zu einem definierten Ausgangspunkt zurückzukehren.

Aufgrund der Symmetrie kann die Betrachtung einer einzelnen Regalseite einer

Lagergasse erfolgen. Die realen Abmessungen der einzelnen Lagerfächer werden

vernachlässigt und stattdessen infinitesimal kleine Lagerfächern betrachtet, auf

welche mit gleicher Häufigkeit zugegriffen wird. Somit besitzt jeder Punkt der Regal-

fläche die gleiche Zugriffshäufigkeit. Auf Steuerungsseite wird vorausgesetzt, dass

alle benötigten Informationen jeweils rechtzeitig verfügbar sind.

4.2 Strategien bei der Auswahl eines Übergabepunktes

Im Gegensatz zu in der Praxis üblichen automatischen Lagersystemen mit einem

einzelnen Übergabepunkt je Lagergasse erlauben die in Kapitel 3 vorgestellten

Konzepte eine Übergabe von Ladeeinheiten an mehreren alternativen Orten. Die

Übergabe kann entweder an diskreten Übergabepunkten oder entlang einer kontinu-

ierlichen Übergabestrecke erfolgen. Für beide Varianten gilt es mit einer geeigneten

Strategie in Abhängigkeit der jeweiligen Start- und Zielposition des Regalbedienge-

rätes einen Ort für die Übergabe mit dem Ziel einer Minimierung der Fahrzeiten

auszuwählen.

4.2.1 Zufällige Auswahl eines Übergabepunktes

Die einfachste Strategie für die Auswahl eines Übergabepunktes ist die von Arantes

und Kompella [Ara-1993] vorgeschlagene Auswahl nach dem Zufallsprinzip. Dabei

wird für jedes Arbeitsspiel aus einer endlichen Anzahl diskreter Übergabepunkte mit

gleicher Wahrscheinlichkeit ein Übergabepunkt ausgewählt. Die Auswahl ist demzu-

folge unabhängig vom Startpunkt des Regalbediengerätes und des im Anschluss an

die Übergabe anzufahrenden nächsten Ziels. Somit findet keine optimierte Zuord-

nung statt. Wie für diese Strategie die Übergabepunkte am günstigsten angeordnet

werden können, geht aus der in Abschnitt 4.3.1 gezeigten Berechnung hervor.

4.2 Strategien bei der Auswahl eines Übergabepunktes

43

4.2.2 Auswahl des jeweils nächstgelegen Übergabepunktes

Anstelle einer zufälligen Auswahl der Übergabepunkte, wie im vorangehenden

Abschnitt beschrieben, kann bei der Fahrt von einem beliebigen Lagerfach zu einem

Übergabepunkt jeweils systematisch der mit der kürzesten Fahrstrecke erreichbare

Übergabepunkt ausgewählt werden. Sind mehrere Übergabepunkte mit dem selben

Abstand vorhanden, kann die Auswahl eines der äquidistanten Übergabepunkte

nach dem Zufallsprinzip erfolgen. Bei aufeinanderfolgenden Einzelspielen oder

kombinierten Spielen stellt ein ausgewählter Übergabepunkt jeweils auch den Start-

punkt für die Fahrt zum nächsten Lagerfach dar. Der beschriebene Ablauf bei der

Auswahl eines Übergabepunktes gemäß der im Folgenden mit „Nächstgelegener

Übergabepunkt“ bezeichneten Strategie ist in Abbildung 4-1 dargestellt:

Abbildung 4-1: Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“

Die Auswahl des Übergabepunktes ist gemäß dieser Strategie nur von der Position

des Startpunktes des Regalbediengerätes und der vorhandenen Übergabepunkte

abhängig. Eine Berücksichtigung des im Anschluss an die Übergabe anzufahrenden

nächsten Ziels findet nicht statt. Dennoch hat die Fahrt zum nächsten Ziel einen

Bestimmung Übergabepunkt(e) mit kürzestem Abstand zum

(Ausgangs-)Lagerfach

Start

Anzahl >1?

Festlegung des Übergabepunktes als Ziel

für das RBG

nein

Zufällige Auswahl eines der äquidistanten Übergabepunkte

ja

Weiteres Arbeitsspiel?

nein

Ende

Festlegung des Übergabepunktes als Startposition für das folgende Arbeitsspiel

ja


44

Einfluss auf die optimale Anordnung diskreter Übergabepunkte (siehe Abschnitt 4.3)

oder mehrerer Übergabestrecken (siehe Abschnitt 4.5) sowie auf die Bestimmung

der optimalen Übergabeposition entlang einer kontinuierlichen Übergabestrecke

(siehe Abschnitt 4.6).

4.2.3 Auswahl des Übergabepunktes unter Berücksichtigung des nächsten Ziels

Ist zum Zeitpunkt der Auswahl eines Übergabepunktes neben dem Startpunkt des

Regalbediengerätes auch das im Anschluss an die Übergabe anzufahrenden nächs-

te Ziel bekannt, so wird gemäß der im Folgenden mit „Berücksichtigung nächstes

Ziel“ bezeichneten Strategie derjenige Übergabepunkt gewählt, für welchen die

Summe folgender Fahrzeiten am kleinsten ist:

1. Fahrzeit von einem beliebigen (Ausgangs-)Lagerfach zum Übergabepunkt

2. Fahrzeit vom Übergabepunkt zum nächsten (Ziel-)Lagerfach

Ist die Summe der Fahrzeiten für mehrere Übergabepunkte identisch, so wird ein

Übergabepunkt nach dem Zufallsprinzip ausgewählt. Abbildung 4-2 zeigt den Ablauf

bei der Auswahl eines Übergabepunktes gemäß dieser Strategie:

Abbildung 4-2: Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“

Bestimmung Übergabepunkt(e) mit kürzester Fahrzeitensumme vom (Ausgangs-)Lagerfach zum Übergabepunkt und vom Übergabepunkt

zum nächsten (Ziel-)Lagerfach

Start

Anzahl >1?

Festlegung des Übergabepunktes als Zwischenziel für das RBG auf der

Fahrt zum nächsten (Ziel-)Lagerfach

nein

Zufällige Auswahl eines der Übergabepunkte mit

kürzester Fahrzeitensummeja

Ende

4.3 Strategiespezifische Optimierung der Anordnung diskreter Übergabepunkte

45

Durch die Berücksichtigung des nächsten Ziels des Regalbediengerätes kann mit

dieser Strategie eine Fahrwegoptimierung für aufeinanderfolgende Arbeitsspiele

erfolgen. Voraussetzung ist allerdings, dass das im Anschluss an die Übergabe

anzufahrende Lagerfach rechtzeitig bekannt ist. Ist dies nicht der Fall, so muss auf

die im vorangehenden Abschnitt beschriebene Strategie zurückgegriffen werden.

Die Bestimmung der optimalen Übergabeposition sowie die Berechnung der optima-

len Anordnung von Übergabepunkten und mehrerer Übergabestrecken für diese und

die weiteren vorgestellten Strategien wird in den folgenden Abschnitten gezeigt.


Die gewählte Strategie bei der Auswahl eines Übergabepunktes hat einen Einfluss

auf die optimale Anordnung der Übergabepunkte. Aus diesem Grund wird für die

vorgestellten Strategien jeweils eine optimale Anordnung diskreter Übergabepunkte

entlang einer horizontalen oder vertikalen Strecke zur Minimierung der mittleren

Fahrwege bestimmt. Die Berechnung der optimalen Anordnung unterscheidet sich

zudem je nach Anzahl der Übergabepunkte. Exemplarisch wird die Berechnung für

zwei entlang einer Strecke am unteren Rand der Fläche angeordnete Übergabe-

punkte ausgeführt (siehe Abbildung 4-3). Die Ergebnisse sind auch auf weitere

Anordnungen von zwei Übergabepunkten entlang horizontaler oder vertikaler Stre-

cken übertragbar.

Abbildung 4-3: Exemplarische Regalfläche mit zwei Übergabepunkten

Nachdem die Fahrwege in vertikale Richtung zwischen den dargestellten Übergabe-

punkten und Lagerfächern der Regalfläche unabhängig von der horizontalen Positi-

on der Übergabepunkte sind, beeinflusst deren Anordnung lediglich die Fahrwege in

horizontale Richtung. Zur Minimierung der mittleren horizontalen Fahrwege ist folg-

lich bei gleicher Zugriffshäufigkeit auf alle Punkte der Fläche eine Betrachtung der

ÜP1 ÜP2


46

Strecke ausreichend, entlang welcher die Übergabepunkte angeordnet sind

(vgl. Abbildung 4-4).

Abbildung 4-4: Horizontale Strecke mit zwei Übergabepunkten

Die Länge der Strecke wird normiert, um relative Koordinaten als Ergebnis für die

optimale Position der Übergabepunkte zu erhalten. Die Ergebnisse müssen zur

Bestimmung der effektiven Koordinaten der Übergabepunkte folglich mit der jeweili-

gen Länge bzw. Höhe eines Regals multipliziert werden. Für eine symmetrische

Anordnung von zwei Übergabepunkten kann die Strecke in drei Teilstrecken unter-

gliedert werden, wobei die beiden Randstrecken aufgrund der Symmetrie jeweils die

Länge 1x haben. Die Teilstrecke in der Mitte ist demzufolge 11 2x lang.

Zum Zweck einer Minimierung sollen zunächst die mittleren horizontalen Fahrwege

zu den einzelnen Punkten entlang der Strecke berechnet werden. Bei der Berech-

nung ist eine Unterscheidung folgender Fahrwege erforderlich:

1. Mittlerer horizontaler Fahrweg von einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt

2. Mittlerer horizontaler Fahrweg von einem Übergabepunkt zu einem Lagerfach

Nachdem sich bei aufeinanderfolgenden Arbeitsspielen beide Fahrwege abwech-

selnd wiederholen, soll die horizontale Position der Übergabepunkte bestimmt

werden, für welche die Summe der beiden Fahrwege minimal ist. Dazu ist eine

Berechnung der mittleren horizontalen Fahrwege in Abhängigkeit der Position der

Übergabepunkte für die vorgestellten Strategien bei deren Auswahl erforderlich.

Anhand der berechneten Funktion kann schließlich die optimale Position der Über-

gabepunkte an der Stelle des Minimums des gesamten mittleren Fahrwegs be-

stimmt werden.

4.3.1 Berechnung für die zufällige Auswahl eines Übergabepunktes

Bei zufälliger Auswahl eines Übergabepunktes sind die mittleren Fahrwege unab-

hängig von der Bewegungsrichtung und somit für die Fahrten von einem Lagerfach

zu einem Übergabepunkt identisch wie in die umgekehrte Richtung. Im Mittel be-

trägt der Fahrweg zwischen einem Übergabepunkt und einem Punkt auf einer Teils-

(0,y)

x11-2x1

(1,y)ÜP1 (x1,y) ÜP2 (x2,y)

x1


47

trecke zu einer Seite des Übergabepunktes, welcher die horizontale Koordinate

eines Lagerfaches repräsentiert, der halben Länge der entsprechenden Teilstrecke

(vgl. Abbildung 4-5).

Abbildung 4-5: Mittlere horizontale Fahrstrecken zwischen Übergabepunkt und Punkten auf den Teilstrecken

Zur Bestimmung des mittleren Fahrweges für den abgebildeten Übergabepunkt

müssen die mittleren Fahrwege für die beiden Teilstrecken noch mit der zugehörigen

Länge der Teilstrecke gewichtet werden. Durch die Normierung der gesamten Stre-

cke auf die Länge 1 entspricht die Länge der Teilstrecken dem Anteil der sich zu

einer Seite des Übergabepunktes befindlichen Lagerfächer. Für den Fall 1 0,1x

würden sich z. B. 10 % aller Lagerfächer links von Übergabepunkt ÜP1 befinden.

Aufgrund der Symmetrie sind die mittleren horizontalen Fahrwege zwischen Lager-

fächern und Übergabepunkten für beide Übergabepunkte (vgl. Abbildung 4-4) iden-

tisch und durch folgende gewichtete Summe gegeben:

21 11 1 1 1 1 1- -

1- 11- -

2 2 2LF ÜP ÜP LF

x xs x s x x x x x (4-1)

Die Koordinate 1x gibt die relative Position des ersten Übergabepunktes an und liegt

im Intervall 0, 0,5 . In diesem Intervall kann für die Gleichung (4-1) ein Minimum

bestimmt werden, welches die optimale Position des ersten Übergabepunktes

beschreibt:

1,

1

2optx (4-2)

Die minimalen horizontalen Fahrwege werden für die Strategie „Zufällige Auswahl

eines Übergabepunktes“ somit bei Anordnung der Übergabepunkte auf halber

Länge der Strecke erreicht. In Kombination mit dieser Strategie kann demzufolge

durch eine verteilte Anordnung mehrerer Übergabepunkte entlang einer Strecke

keine Reduktion der mittleren Fahrwege gegenüber einem einzelnen, mittig ange-

ordneten Übergabepunkt erzielt werden.

(0,y)

(1-x1)/2

(1,y)ÜP1 (x1,y)

x1/2


48

4.3.2 Berechnung für die Auswahl des jeweils nächstgelegenen Übergabepunktes

Bei Auswahl des Übergabepunktes gemäß der Strategie „Nächstgelegener Überga-

bepunkt“ ist eine Unterscheidung zwischen mittlerem horizontalen Fahrweg von

einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt und mittlerem horizontalen Fahrweg in

die entgegengesetzte Richtung erforderlich. Dies ist dadurch bedingt, dass nur bei

der Fahrt zum Übergabepunkt eine optimierte Zuordnung des Übergabepunktes in

Abhängigkeit der Position des Ausgangslagerfaches erfolgt. Bei der Fahrt von einem

Lagerfach zu einem Übergabepunkt ergeben sich bei Betrachtung des in

Abbildung 4-4 dargestellten eindimensionalen Falles für die einzelnen Teilstrecken

folgende mittlere Fahrstrecken von einem Punkt auf der Teilstrecke zum nächstgele-

genen Übergabepunkt:

Abbildung 4-6: Mittlere horizontale Fahrstrecken von Punkten auf den Teilstrecken zum nächstgelegenen Übergabepunkt

Die mittlere Fahrstrecke für die äußeren beiden Teilstrecken ist dabei aufgrund der

symmetrischen Anordnung der Übergabepunkte gleich lang. Auch die beiden Fahr-

strecken von einem Punkt der Teilstrecke in der Mitte zum nächstgelegenen der

beiden Übergabepunkte sind aus demselben Grund identisch. Für alle Punkte der

linken Streckenhälfte ist ÜP1 der nächstgelegene Übergabepunkt, für die Punkte der

rechten Hälfte entsprechend ÜP2. Gewichtet mit den entsprechenden Längen der

Teilstrecken ergibt sich folgender mittlerer horizontaler Fahrweg für eine Fahrt von

einem Lagerfach zum nächstgelegenen Übergabepunkt:

21 11 1 1 1 1-

1- 2 12 1- 2 2 -

2 4 4LF ÜP

x xs x x x x x (4-3)

Bei der Fahrt von einem Übergabepunkt zu einem Lagerfach findet keine optimierte

Zuordnung zwischen Übergabepunkten und Lagerfächern statt. Die mittleren Fahr-

wege für die verschiedenen Übergabepunkte müssen aber entsprechend der Häu-

figkeiten gewichtet werden, mit welcher die Auswahl der einzelnen Übergabepunkte

bei der Fahrt zum nächstgelegenen Übergabepunkt erfolgt. Diese entsprechen dem

Anteil einer Strecke, dessen Punkte zum betrachteten Übergabepunkt die kürzeste

horizontale Entfernung haben. Bei zwei Übergabepunkten ist aufgrund der Symmet-

(0,y)

(1-2x1)/4

(1,y)ÜP1 (x1,y)

x1/2 x1/2(1-2x1)/4

ÜP2 (x2,y)


49

rie keine Gewichtung erforderlich und das Ergebnis entspricht daher dem bereits für

die zufällige Auswahl eines Übergabepunktes nach (4-1) berechneten mittleren

Fahrweg. Die Summe der mittleren Fahrwege von einem Lagerfach zum nächstgele-

genen Übergabepunkt und von diesem Übergabepunkt zu einem weiteren Lagerfach

beträgt somit:

2

1 1 1 1

33 2

4LF ÜP ÜP LFs x s x x x (4-4)

Für folgende optimale Anordnung des ersten Übergabepunktes bei entsprechender

symmetrischer Anordnung des zweiten Übergabepunktes wird diese Summe mini-

mal:

1,

1

3optx (4-5)

Nach der beschriebenen Vorgehensweise wurden die Berechnungen für bis zu fünf

symmetrisch angeordnete, äquidistante Übergabepunkte durchgeführt und jeweils

die optimale Anordnung in Abhängigkeit des ersten Übergabepunktes bestimmt.

Eine symmetrische äquidistante Anordnung der Übergabepunkte stellt bei mehr als

zwei Übergabepunkten stets die Anordnung dar, für welche die kürzesten mittleren

Fahrstrecken erreicht werden können. Dabei wird der Abstand zwischen den einzel-

nen Übergabepunkten durch die Position des ersten Übergabepunktes festgelegt. In

Abhängigkeit der optimalen Position des ersten Übergabepunktes 1,optx kann somit

für n äquidistante Übergabepunkte die optimale Position der einzelnen Übergabe-

punkte ,i optx wie folgt ermittelt werden:

1,

, 1,

1 21

1

opt

i opt opt

xx x i

n (4-6)

Die Ergebnisse der Berechnungen sind in Tabelle 4-1 angeführt. Neben der Summe

der mittleren Fahrwege von einem Lagerfach zum nächstgelegenen Übergabepunkt

und von diesem Übergabepunkt zu einem weiteren Lagerfach in Abhängigkeit von

1x ist jeweils die optimale Position des ersten Übergabepunktes 1,optx und die dar-

aus nach (4-6) abgeleitete Position der weiteren Übergabepunkte angegeben.


50

Tabelle 4-1: Berechnungsergebnisse für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“

1 1LF ÜP ÜP LFs x s x

1,optx

,i optx

2 ÜP (n=2) 21 1

33x 2x

4

1

3

1i

3

3 ÜP (n=3) 3 21 1 1

3 1x x x

4 2 13 2

6

2 13 7 5 13i

6 6

4 ÜP (n=4) 3 21 1 1

32 5 4 47x x x

27 9 9 108 3 17 5

32

5 17 19 7 17i

32 16

5 ÜP (n=5) 3 21 1 1

5 3 5 13x x x

4 8 16 32 2 21 3

30

21 4 9 21i

10 30

Abbildung 4-7 stellt die Summe der mittleren Fahrwege aus Tabelle 4-1 in Abhän-

gigkeit der Position des ersten Übergabepunktes dar. Je nach Anzahl der Überga-

bepunkte ergibt sich eine unterschiedliche optimale Anordnung, wobei der erste

Übergabepunkt bei zunehmender Anzahl der Übergabepunkte immer näher am

vertikalen Regalrand liegt.

Abbildung 4-7: Mittlere horizontale Fahrwege in Abhängigkeit von x1

4.3.3 Berechnung für die Auswahl unter Berücksichtigung des nächsten Ziels

Der Ansatz zur Berechnung der optimalen Anordnung der Übergabepunkte für die

Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ beruht wiederum auf einer Summe von

mittleren Fahrstrecken, gewichtet mit der jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeit.

Anders als für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ können bei dieser

Strategie die mittleren horizontalen Fahrwege von einem Lagerfach zu einem Über-

gabepunkt LF ÜP

s und von einem Übergabepunkt zu einem Lagerfach ÜP LF

s nicht

unabhängig voneinander bestimmt werden. Die Fahrwege sind voneinander abhän-

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

x1

2 ÜP

3 ÜP

4 ÜP

5 ÜP LF

ÜP

ÜP

LF

ss


51

gig, weshalb nur deren Summe berechnet werden kann. Im Mittel müssen aber

beide Fahrstrecken gleich groß sein, da die Auswahl des Übergabepunktes unab-

hängig von der Bewegungsrichtung zwischen Ausgangs- und Zielpunkten ist.

Für die Berechnung wird die betrachtete Strecke zunächst wiederum in Teilstrecken

unterteilt, wobei die Grenzen an den Übergabepunkten liegen bzw. durch die End-

punkte der Strecke gegeben sind. Am Beispiel von zwei Übergabepunkten ergeben

sich dabei drei Teilstrecken (siehe Abbildung 4-8).

Abbildung 4-8: Teilstrecken bei zwei Übergabepunkten

Da die horizontalen Koordinaten von Ausgangs- und Ziellagerfach auf jeder dieser

Teilstrecken liegen können, ergeben sich für das Beispiel mit zwei Übergabepunkten

und drei Teilstrecken insgesamt neun mögliche Kombinationen. Für jede dieser

Kombinationen werden mittlere horizontale Fahrstrecken bestimmt und mit den

entsprechenden Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichtet, welche jeweils dem Pro-

dukt aus dem Anteil der Lagerfächer im Bereich des Ausgangspunktes und dem

Anteil der Lagerfächer im Bereich des Zielpunktes entspricht. Der Anteil der Lager-

fächer im Bereich einer Teilstrecke deckt sich aufgrund der gewählten Skalierung

mit der Länge des Streckenabschnittes. Die mittlere horizontale Fahrstrecke zwi-

schen den Punkten zweier unterschiedlicher Streckenabschnitte entspricht dem

Abstand der Mittelpunkte der Abschnitte, wie folgende Abbildung für das Beispiel

einer Kombination der ersten beiden Teilstrecken zeigt:

Abbildung 4-9: Mittlere Fahrstrecke zwischen zwei Teilstrecken

Liegen Ausgangs- und Ziellagerfach auf der selben Teilstrecke, so entspricht für die

beiden äußeren Teilstrecken 1 und 3 (vgl. Abbildung 4-8) die mittlere horizontale

Fahrstrecke zweimal der mittleren Strecke zum Übergabepunkt an einem Ende der

Strecke, was genau der Länge der Teilstrecke entspricht. Die Bestimmung der

mittleren Fahrstrecke für die Teilstrecke 2 unterscheidet sich, da sich zu beiden

1 2 3

(0,y) (1,y)ÜP1 (x1,y) ÜP2 (x2,y)

(0,y)

(1-x1)/2

(1,y)ÜP1 (x1,y) ÜP2 (x2,y)


52

Seiten der Strecke ein Übergabepunkt befindet. Mit der Strategie „Berücksichtigung

nächstes Ziel“ wird für jede Kombination aus Ausgangs- und Ziellagerfach jeweils

jener Übergabepunkt ausgewählt, für welchen die Summe von LF ÜP

s und ÜP LF

s

minimal ist. Die gesamte mittlere Fahrstrecke für diesen Fall kann anhand der Be-

trachtung einer Strecke der Länge 1 für einen entlang der Strecke angeordneten

Ausgangspunkt 1 0,1x sowie einen Zielpunkt 2 0,1x wie folgt berechnet

werden:

1 2

1 1

1 2 1 2 2 10 0

2max , 1 1 d d

3x xs x x x x x x (4-7)

Das für eine Strecke der Länge 1 berechnete Ergebnis ist mit der Länge der Teilstre-

cke zu multiplizieren, um die mittlere Fahrstrecke zu erhalten. Diese entspricht somit

2/3 der Streckenlänge.

Aufgrund der gleichen Länge der beiden äußeren Teilstrecken und der Richtungsun-

abhängigkeit der Fahrten weisen mehrere Kombinationen eine identische mittlere

Fahrstrecke sowie Eintrittswahrscheinlichkeit auf, wodurch sich die Anzahl der zu

betrachtenden Fälle reduziert. Tabelle 4-2 enthält alle Kombinationen sowie die

zugehörigen, anhand der in Abbildung 4-8 dargestellten Streckenabschnitte be-

stimmten, Eintrittswahrscheinlichkeiten und mittleren Fahrstrecken.

Tabelle 4-2: Kombinationen der Teilstrecken mit Eintrittswahrscheinlichkeiten und mittleren Fahrstrecken

Kombination Eintrittswahrscheinlichkeit Mittlere Fahrstrecke

11 ≙ 33 jeweils 21x 1x

12 ≙ 21 ≙ 23 ≙ 32 jeweils 1 11 2x x 11

2

x

13 ≙ 31 jeweils 21x 11 x

22 2

11 2x 1

21 2

3x

Werden für jede Kombination die mittleren Fahrstrecken mit der entsprechenden

Eintrittswahrscheinlichkeit gewichtet und anschließend summiert, ergibt sich folgen-

de Summe der mittleren Fahrwege in Abhängigkeit der Position des ersten Überga-

bepunktes 1x :


53

3 2

1 1 1 1 1

4 24 2

3 3LF ÜP ÜP LFs x s x x x x (4-8)

Das Minimum dieser Funktion ist für folgenden Wert von 1x gegeben:

1,

2 2

2optx (4-9)

Analog wurden die Berechnungen für bis zu fünf symmetrisch angeordnete, äqui-

distante Übergabepunkte durchgeführt. Tabelle 4-3 enthält die Ergebnisse in Form

der Summe der mittleren Fahrwege in Abhängigkeit von 1x sowie der optimalen

Position der Übergabepunkte zur Minimierung der Fahrwege.

Tabelle 4-3: Berechnungsergebnisse für die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“

1 1LF ÜP ÜP LFs x s x

1,optx

,i optx

2 ÜP (n=2) 3 21 1 1

4 2x 4x 2x

3 3 2 2

2

4 3 2

2 1 i2

3 ÜP (n=3) 3 21 1 1

2 1 5x x x

3 2 12 2 1

2

2 2 3 2 2i

2 2

4 ÜP (n=4) 3 21 1 1

28 4 2 10x x x

27 9 9 27 3 2 2

14

5 2 8 3 2i

14 7

5 ÜP (n=5) 3 21 1 1

7 1 1 17x x x

6 4 8 48 2 2 1

14

3 2 5 4 2i

14 14

Die Summe der mittleren Fahrwege in Abhängigkeit der Position des ersten Überga-

bepunktes 1x kann wiederum grafisch dargestellt werden (Abbildung 4-10).

Abbildung 4-10: Mittlere horizontale Fahrwege in Abhängigkeit von x1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

x1

2 ÜP

3 ÜP

4 ÜP

5 ÜP LF

ÜP

ÜP

LF

ss


54

Aus dem Diagramm geht hervor, dass sich bei zunehmender Anzahl der Übergabe-

punkte die Lage des Optimums erwartungsgemäß Richtung Regalrand verschiebt,

wie dies bereits mit der Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ der Fall war.

Ein Vergleich der Strategien erfolgt im nächsten Abschnitt.

4.4 Vergleich der Strategien bei optimaler Anordnung der Übergabepunkte

In Abschnitt 4.2 wurden diverse Strategien bei der Auswahl eines Übergabepunktes

für Konzepte mit mehreren Übergabepunkten vorgestellt, für welche in Abschnitt 4.3

jeweils eine optimale Anordnung der Übergabepunkte zur Minimierung der mittleren

Fahrwege bestimmt werden konnte. Am Beispiel von bis zu fünf entlang einer Stre-

cke angeordneter Übergabepunkte erfolgt nun ein Vergleich der mittleren Fahrwege

entlang der Strecke für die verschiedenen Strategien bei jeweils optimaler Anord-

nung der Übergabepunkte. Dazu werden die mittleren Fahrwege anhand der in

Tabelle 4-1 für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ und in Tabelle 4-3

für die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ angegebenen Formeln zur Weg-

berechnung und der jeweiligen optimalen Position der Übergabepunkte berechnet.

Die Ergebnisse sind in Tabelle 4-4 angeführt.

Tabelle 4-4: Mittlere Fahrwege für unterschiedliche Strategien bei optimaler Anordnung der Übergabepunkte

Strategie

„Nächstgelegener Übergabepunkt“

Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“

1,optLF ÜPs x

1,optÜP LF

s x

1, 1,opt optLF ÜP ÜP LFs x s x

2 ÜP 5

36

5

18

2 2

3

3 ÜP 4 13

4

14 13 19

108

5 2 2

12

4 ÜP 47 9 17

128

75 19 17

512

10 2

49

5 ÜP 13 2 21

60

201 16 21

900

107 4 2

588

Bei zufälliger Wahl eines Übergabepunktes werden die minimalen Fahrwege bei

Anordnung eines einzelnen Übergabepunktes auf halber Länge der Strecke erreicht,

mehrere Übergabepunkte sind in Kombination mit dieser Strategie nicht sinnvoll

4.5 Strategiespezifische Optimierung der Anordnung mehrerer Übergabestrecken

55

(vgl. Abschnitt 4.3.1). Für einen mittig angeordneten Übergabepunkt betragen die

mittleren Fahrwege von einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt und von diesem

Übergabepunkt zu einem weiteren Lagerfach in Richtung der betrachteten Strecke

jeweils 1/ 4 der Länge der Strecke. Abbildung 4-11 zeigt die Summe der mittleren

Fahrwege für die betrachteten Strategien, wobei für die zufällige Auswahl eines

Übergabepunktes jeweils das Ergebnis für einen mittig angeordneten Übergabe-

punkt angegeben ist (vgl. Abschnitt 4.3.1).

Abbildung 4-11: Mittlere Fahrwege für die betrachteten Strategien

Aus der Grafik geht hervor, dass die mittleren Fahrwege für die Strategie „Nächstge-

legener Übergabepunkt“ sowie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ bei zunehmender

Anzahl der Übergabepunkte abnehmen. Dabei sind die mittleren Fahrwege für

letztere Strategie stets kürzer, wodurch von kürzeren Fahr- und somit Spielzeiten

ausgegangen werden kann. Aus diesem Grund ist die Strategie „Berücksichtigung

nächstes Ziel“ stets der Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ vorzuziehen.

Lediglich falls das nächste Ziel zum Zeitpunkt der Auswahl eines Übergabepunktes

noch nicht bekannt ist, kann auf die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“

zurückgegriffen werden. Die in Kombination mit mehreren Übergabepunkten unge-

eignete Strategie der zufälligen Auswahl eines Übergabepunktes wird im Folgenden

nicht weiter berücksichtigt.

4.5 Strategiespezifische Optimierung der Anordnung mehrerer Übergabestrecken

Analog zur durchgeführten Optimierung der Anordnung von Übergabepunkten

entlang einer Strecke kann auch die Anordnung mehrerer paralleler Übergabestre-

cken in Abhängigkeit der verwendeten Strategie bei der Auswahl eines Übergabe-

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2 ÜP 3 ÜP 4 ÜP 5 ÜP

Strategie "Nächstgelegener ÜP"

Strategie "Berücksichtigung nächstes Ziel"

Strategie "Zufällige Auswahl eines ÜP"

LF

ÜP

ÜP

LF

ss


56

punktes optimiert werden. Abbildung 4-12 zeigt mögliche Anordnungen paralleler

vertikaler sowie horizontaler Übergabestrecken. Entlang dieser Strecken kann die

Übergabe entweder an jedem Punkt oder an diskreten Übergabepunkten erfolgen.

Die mittleren Fahrwege senkrecht zu den Strecken bleiben dadurch unbeeinflusst.

Für die Bestimmung der optimalen Anordnung zur Minimierung der Fahrwege wird

die Länge bzw. Höhe der Regalfläche normiert.

Abbildung 4-12: Konzepte mit zwei parallelen Übergabestrecken

Die Berechnung der optimalen Anordnung der Übergabestrecken für die abgebilde-

ten Konfigurationen entspricht der bereits für die Anordnung von zwei Übergabe-

punkten entlang einer Strecke durchgeführten Optimierung (siehe Abschnitt 4.3).

Tabelle 4-5 enthält die optimalen relativen Positionen der Übergabestrecken für die

beiden betrachteten Strategien bei der Auswahl eines Übergabepunktes. Um die

effektive Position zu erhalten, müssen die Werte mit der Regallänge bei vertikalen

Übergabestrecken bzw. der Regalhöhe für den Fall horizontaler Übergabestrecken

multipliziert werden.

Tabelle 4-5: Optimale Positionen paralleler Übergabestrecken

Position 1. ÜS Position 2. ÜS

Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“

1

3

2

3

Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“

2 2

2

2

2

4.6 Strategiespezifische Bestimmung der Übergabeposition auf einer Strecke

Für eine kontinuierliche Übergabestrecke, welche eine Übergabe an jedem beliebi-

gen Punkt entlang der Strecke erlaubt, gilt es eine Übergabeposition in Abhängigkeit

der Strategie für die Auswahl eines Übergabepunktes (siehe Abschnitt 4.2) zu be-

1

1

4.6 Strategiespezifische Bestimmung der Übergabeposition auf einer Strecke

57

stimmen. Für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ kann die Übergabe-

position entlang einer Strecke in Abhängigkeit des Ausgangspunktes bei der Fahrt

zur Übergabestrecke bestimmt werden. Der nächstgelegene Übergabepunkt ist

dabei durch eine Projektion des Ausgangspunktes senkrecht auf die Übergabestre-

cke gegeben. Abbildung 4-13 zeigt die gemäß dieser Strategie gewählte Übergabe-

position auf einer horizontalen Übergabestrecke für einen exemplarischen Aus-

gangspunkt 1 1 1P ,x y bei der Fahrt zu einem Zielpunkt 2 2 2P ,x y . Die Übergabepo-

sition ist dabei unabhängig von der Position des Zielpunktes.

Abbildung 4-13: Übergabeposition bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes

Kommt hingegen die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ zur Anwendung, ist

die Übergabeposition neben der Position des Ausgangspunktes auch von der Posi-

tion des Zielpunktes abhängig. Es gilt die Übergabeposition so zu wählen, dass die

Summe der Fahrzeiten von einem Lagerfach zum Übergabepunkt LF ÜP

t und von

diesem Übergabepunkt zu einem weiteren Lagerfach ÜP LF

t minimiert wird, wie in

Abbildung 4-14 exemplarisch für eine horizontale Übergabestrecke dargestellt ist.

Abbildung 4-14: Beispielhafte Übergabeposition bei Berücksichtigung des nächsten Ziels

Aufgrund der Abhängigkeit der beiden Fahrzeiten von den Bewegungen von Fahr-

sowie Hubwerk ergibt sich in Abhängigkeit von 1P und 2P ein bestimmter Strecken-

abschnitt, entlang welchem die Übergabe an einem beliebigen Punkt erfolgen kann,

ohne dass dadurch die Summe der Fahrzeiten beeinflusst wird.

P1(x1,y1)P2(x2,y2)

ÜPos

P1(x1,y1)P2(x2,y2)

tÜP-LF

tLF-ÜP

ÜPos


58

Bei Vernachlässigung von Beschleunigung und Verzögerung ist eine Bestimmung

der Bereiche möglicher Übergabepositionen entlang einer horizontalen Strecke, wie

in Abbildung 4-14 dargestellt, anhand einer Betrachtung der Synchronfahrgeraden

des Regalbediengerätes möglich. Dabei kann die Übergabeposition innerhalb der

beiden inneren Schnittpunkte der Synchronfahrgeraden mit der Übergabestrecke

gewählt werden, ohne die Summe der Fahrzeiten dadurch zu beeinflussen. Für den

Fall, dass es keinen Schnittpunkt entlang der Übergabestrecke gibt, dienen An-

fangspunkt oder Endpunkt der Übergabestrecke als Grenze. Abbildung 4-15 zeigt

für exemplarische Anordnungen von 1P und 2P die Bereiche möglicher Übergabepo-

sitionen.

Abbildung 4-15: Übergabepositionen für beispielhafte Anordnungen von P1 und P2

Bei Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung können sich die Über-

gabepositionen, für welche die kürzeste Summe der Fahrzeiten möglich ist, von den

anhand der Synchronfahrgeraden grafisch bestimmten Bereichen unterscheiden.

Ursachen hierfür sind:

a) Reale Trajektorien weichen von idealen Synchronfahrgeraden ab.

b) Vorhandensein einer einzigen optimalen Übergabeposition, welche eine die

Fahrzeit beeinflussende Beschleunigungsphase verkürzt.

Während die Trajektorien ohne Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzöge-

rung Geraden entsprechen, ergibt sich bei deren Berücksichtigung ein abweichen-

der Verlauf, wodurch sich die Grenzen der identifizierten Bereiche verschieben

können. Kann die Übergabeposition so gewählt werden, dass die Beschleunigungs-

phase der für die Fahrzeit maßgeblichen Bewegungsrichtung bei der Fahrt zwischen

einem Punkt und der Übergabestrecke verkürzt werden kann, so führt dies zu einer

kürzeren Fahrzeit, wie in Abbildung 4-16 anhand eines Beispiels verdeutlicht wird.

P1

P2

ÜPos

P1P2

ÜPos

4.7 Lagerbetriebsstrategien im Zusammenspiel mit mehreren Übergabepunkten

59

Abbildung 4-16: Beispielhafte Anordnung von Ausgangs- und Zielpunkt

Ohne Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung könnte ein Bereich

möglicher Übergabepositionen zwischen P1 und dem dargestellten Schnittpunkt der

Synchronfahrgeraden mit der Übergabestrecke identifiziert werden. Bei Berücksich-

tigung ist die Übergabeposition hingegen in unmittelbarer Umgebung von P1 zu

wählen, wodurch Beschleunigungs- und Verzögerungsphase bei der Fahrt zur

Übergabeposition kürzer ausfallen. Dies führt zu einem längeren Anteil der Fahrt mit

maximaler Fahrgeschwindigkeit und somit zu einer kürzeren Fahrzeit.


Neben neu entwickelten Strategien bei der Auswahl eines Übergabepunktes und

den daraus abgeleiteten Optimierungsansätzen erfolgt die Überprüfung einer Aus-

wahl vorhandener Lagerbetriebsstrategien (vgl. Abschnitt 2.1.1) hinsichtlich ihrer

Eignung in Verbindung mit mehreren Übergabepunkten. In diesem Zusammenhang

wird ein neuer Ansatz zur Bildung der Zonen für eine ABC-Zonierung bei mehreren

Übergabepunkten aufgezeigt.

4.7.1 Belegungsstrategien

Belegungsstrategien legen fest, auf welchen Lagerplätzen bzw. in welcher Lagerzo-

ne welche Artikel gelagert werden. Eine feste oder freie Lagerplatzzuordnung wird

durch die Anzahl der Übergabepunkte nicht beeinträchtigt. Dies gilt auch für eine

zonenweise feste Lagerordnung, eine Platzanpassung sowie eine artikelreine oder

artikelgemischte Platzbelegung. Von der Anzahl der Übergabepunkte in den einzel-

nen Gassen unabhängig ist eine Gleichverteilungsstrategie auf Gassenebene. Eine

Schnellläuferkonzentration bzw. zonenbasierte Lagerplatzzuordnung oder eine

P1

P2


60

umschlagbezogene Zuordnung auf Basis der Anfahrzeiten erfordern hingegen An-

passungen. Dabei gilt es, die Zonen in Abhängigkeit der Fahrzeiten zu mehreren

Übergabepunkten zu bestimmen. Ashayeri et al. stellen einen heuristischen Ansatz

zur Bestimmung der Zonen vor und wenden diesen am Beispiel von zwei Überga-

bepunkten in gegenüberliegenden Eckpunkten der Regalfläche an [Ash-2002]. Ein

neuer Ansatz zur Bildung der Zonen für eine beliebige Anordnung von zwei oder

mehreren Übergabepunkten wird am Beispiel einer ABC-Zonierung mit drei Zonen

beschrieben. Anstelle einer grafischen Bestimmung der Bereiche erfolgt deren

Festlegung anhand der berechneten Fahrzeiten zu einzelnen Lagerfächern. Für die

Bestimmung von Bereichen mit unterschiedlichen Zugriffszeiten, ausgehend von

mehreren Übergabepunkten, werden folgende Varianten identifiziert:

a) Klassifizierung der Lagerfächer entsprechend der mittleren Fahrzeit zu allen

vorhandenen Übergabepunkten („Gemeinsame Zonen“)

b) Klassifizierung der Lagerfächer entsprechend der Fahrzeit zu einem der vor-

handenen Übergabepunkte („Zonen je Übergabepunkt“)

Entsprechend der gewählten Klassifizierung unterscheiden sich die gebildeten

Zonen. Während bei einer Klassifizierung gemäß der mittleren Fahrzeit zu allen in

einer Lagergasse vorhandenen Übergabepunkten gemeinsame Zonen für alle Über-

gabepunkte entstehen, erfolgt bei einer Klassifizierung entsprechend der Fahrzeit zu

einem einzelnen Übergabepunkt eine Bildung von Zonen für jeden Übergabepunkt.

Folgende Abbildung zeigt exemplarisch für zwei Übergabepunkte, wie gemeinsame

Zonen (links) und Zonen für jeden der beiden Übergabepunkte aussehen könnten

(rechts):

Abbildung 4-17: Unterschiedlich gebildete ABC-Zonen

Wie aus der Abbildung hervorgeht, grenzen die B- und C-Zonen beider Übergabe-

punkte bei der Bildung von Zonen je Übergabepunkt direkt aneinander an. Während

dies bei den C-Zonen immer der Fall ist, ist es bei A- und B-Zonen von der Größe

der Zonen, der Anordnung der Übergabepunkte sowie vom Regalwandparameter w

ÜP1 ÜP2

A

B

C

A1 A2

B1 B2

C1 C2

ÜP1 ÜP2


61

abhängig. Da ein Lagerfach nicht gleichzeitig mehreren Zonen zugeordnet werden

kann, ist eine Definition von Grenzen zwischen den einzelnen Übergabepunkten

erforderlich, wie die Strichlinie in der Abbildung andeutet. Darüber, welcher der

beiden Ansätze zur Bildung der Zonen für mehrere Übergabepunkte besser geeignet

ist, kann an dieser Stelle keine Aussage getroffen werden. Eine Untersuchung an-

hand exemplarischer Lagerkonfigurationen wird in Abschnitt 5.4 durchgeführt.

4.7.2 Bewegungsstrategien

Bewegungsstrategien geben den Ablauf einzelner Arbeitsspiele vor. Eine Einzel-

oder Doppelspielstrategie kann dabei unabhängig von der Anzahl der Übergabe-

punkte zur Anwendung kommen. Auch eine mögliche Suche des Lagerfaches für die

Einlagerung in der Umgebung des Lagerfaches für die Auslagerung kann bei Dop-

pelspielen ohne Anpassungen erfolgen. Beeinflusst werden hingegen Strategien,

welche auch Fahrten zwischen Übergabepunkten und Lagerfächern einbeziehen.

Dies ist z. B. bei Fahrwegstrategien der Fall, welche eine Fahrwegoptimierung bei

kombinierten Arbeitsspielen mit mehr als einer Ein- und Auslagerung beschreiben.

Dabei werden im Allgemeinen auch Start- und Zielpunkt in die Optimierung mit

einbezogen, weshalb im Fall von mehreren Übergabepunkten unterschiedliche Start-

und Zielpunkte einfließen können und somit zusätzliche Freiheitsgrade verkörpern.

Nicht beeinflusst werden Umlagerstrategien, welche nur Fahrten zwischen verschie-

denen Lagerfächern, nicht aber zwischen Lagerfächern und Übergabepunkten

bedingen. Gangwechselstrategien beschreiben lediglich das Verhalten des Re-

galbediengerätes beim Wechsel zwischen mehreren Lagergassen ohne Einbezie-

hung der Übergabepunkte. Auch auf Zu- und Abförderstrategien hat die Anzahl der

Übergabepunkte keinen Einfluss.

Eine in dieser Arbeit nicht berücksichtige Ruhepositionsstrategie bei nicht ständiger

Auslastung des Regalbediengerätes bedarf im Fall mehrerer Übergabepunkte einer

Anpassung. Einen Ansatz zur Bestimmung einer optimalen Ruheposition für mehrere

Übergabepunkte zeigen beispielsweise Peters, Smith und Hale [Pet-1996] auf.

63

5 Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunkten

Mithilfe geeigneter Modelle wird die Spielzeit der in Kapitel 3 vorgestellten Konzepte

zur Anordnung mehrerer Übergabepunkte für unterschiedliche Lagerkonfigurationen

bestimmt und analysiert. Die Berechnung der Fahrzeiten erfolgt dabei numerisch. In

den folgenden Abschnitten werden zunächst die verwendeten Modelle vorgestellt,

bevor auf die Festlegung exemplarischer Lagerkonfigurationen für die späteren

Untersuchungen eingegangen wird. Gegenstand der Untersuchungen sind zunächst

diverse Parameter der Konzepte mit mehreren Übergabepunkten. Daraufhin wird die

Kompatibilität von mehreren Übergabepunkten mit einer ABC-Zonierung untersucht.

Schließlich folgt eine Berechnung und Analyse der Spielzeiten für unterschiedliche

Anordnungen der Übergabepunkte. Abweichend zu der in Abschnitt 2.2.1 beschrie-

benen Modellierung einer Lagergasse werden die Berechnungen in diesem Kapitel

unter Berücksichtigung der realen Lagerfachabmessungen durchgeführt.

5.1 Bestimmung der Spielzeit

Zum Zweck einer Untersuchung von Lagersystemen mit mehreren Übergabepunk-

ten soll zunächst eine Vielzahl unterschiedlicher Konfigurationen betrachtet werden.

Hierfür ist ein möglichst flexibler Ansatz erforderlich. Dieser Anforderung wird mit

einer Zerlegung der zu berechnenden Spielzeit in Komponenten begegnet, für wel-

che einzeln und größtenteils unabhängig voneinander Mittelwerte bestimmbar sind.

Die folgende Abbildung zeigt vereinfacht die Komponenten eines Einzelspieles am

Beispiel einer Einlagerung sowie jene eines Doppelspieles:

Abbildung 5-1: Komponenten Einzel- und Doppelspiel

Ein

zels

pie

lD

op

pels

pie

l

Aufnahme LE am ÜP

Fahrt ÜP-LF

Ein-lagerung

Fahrt LF-ÜP

Aufnahme LE am ÜP

Ein-lagerung

Aus-lagerung

Abgabe LE am ÜP

Fahrt ÜP-LF1 Fahrt LF1-LF2 Fahrt LF2-ÜP

t


64

Wie aus der Abbildung hervorgeht, besitzen Einzel- und Doppelspiele gemeinsame

Komponenten, wodurch der Vorteil einer komponentenweisen Berechnung unter-

strichen wird. Auf die zur Bestimmung der einzelnen Komponenten gewählte Vorge-

hensweise wird in den folgenden Abschnitten eingegangen.

5.1.1 Getroffene Annahmen und Festlegungen

Für die Berechnung einzelner Komponenten der Spielzeit werden zum Teil idealisier-

te Annahmen und Vereinfachungen getroffen. Diese und weitere Rahmenbedingun-

gen legen die folgenden Punkte fest:

Einfachtiefe Lagerung

Einfach-Lastaufnahmemittel

Betrachtung eines einzelnen Regals

Chaotische Lagerplatzzuordnung (ausgenommen ABC-Zonierung)

Konstante Beschleunigung und Verzögerung von Fahr- und Hubwerk

Bezugspunkt der Lagerfächer im Flächenschwerpunkt

Auswahl des Übergabepunktes gemäß der Strategie „Berücksichtigung

nächstes Ziel“

Gleichzeitige Aufnahme und Abgabe von Ladeeinheiten an den Übergabe-

punkten möglich

Approximation einer kontinuierlichen Übergabestrecke durch 100 diskrete

Übergabepunkte

Da eine Untersuchung des Einflusses mehrerer Übergabepunkte im Fokus steht,

wird eine elementare Lagerkonfiguration mit einfachtiefer Lagerung und einem

Lastaufnahmemittel mit Kapazität Eins betrachtet. Der Zugriff auf die einzelnen

Lagerfächer des Regals soll mit gleicher Häufigkeit erfolgen. Eine Ausnahme bildet

lediglich der exemplarisch betrachtete Fall einer ABC-Zonierung, in welchem die

Lagerfächer der einzelnen Zonen unterschiedliche Zugriffshäufigkeiten aufweisen.

Für Beschleunigung und Verzögerung von Fahr- und Hubwerk werden konstante,

gemittelte Werte angesetzt. Dabei wird angenommen, dass der Betrag der Be-

schleunigungs- und Verzögerungswerte, im Folgenden als Bremsbeschleunigung

bezeichnet, jeweils gleich groß ist. Als Bezugspunkt der einzelnen Lagerfächer für

die Berechnung der Entfernungen soll der jeweilige Flächenschwerpunkt dienen. Die

Auswahl des Übergabepunktes erfolgt gemäß der in Abschnitt 4.2.3 vorgestellten

Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ unter Einbeziehung von Ausgangs- und


65

Zielpunkt des Regalbediengerätes. Aufnahme und Abgabe von Ladeeinheiten bei

aufeinanderfolgenden Doppelspielen sollen gleichzeitig möglich sein. Eine kontinu-

ierliche Übergabestrecke wird zur Durchführung numerischer Berechnungen in 100

diskrete Segmente untergliedert, in dessen Mitte jeweils ein Übergabepunkt ange-

ordnet ist.

5.1.2 Zykluszeiten für die Lastübergabe

Die Dauer der Lastübergabevorgänge bei Ein- und Auslagerung oder am Übergabe-

punkt wird in Zykluszeiten für die verschiedenen Vorgänge zusammengefasst

(vgl. Abschnitt 2.1.2). Beim betrachteten Fall einer einfachtiefen Lagerung können

die Zykluszeiten direkt zu den Fahrzeiten für ein Arbeitsspiel addiert werden, da sich

diese innerhalb der einzelnen Arbeitsspiele (Einzel- oder Doppelspiele) in Häufigkeit

und Dauer nicht unterscheiden. Bei einer an dieser Stelle nicht berücksichtigten

doppeltiefen Lagerung können zusätzlich Umlagerungen zum Erreichen verdeckter

Lagerplätze notwendig sein. Einen Ansatz zur Bestimmung der Umlagerwahrschein-

lichkeit und der Umlagerspielzeit bei doppeltiefer Lagerung stellt Lippolt

[Lip-2003, S. 124ff] vor.

5.1.3 Mittlere Fahrzeit zwischen zwei Lagerfächern

Bei Doppelspielen ist eine Leerfahrt zwischen dem Lagerfach für die Einlagerung

und dem Lagerfach für die Auslagerung notwendig. Die Bestimmung des Erwar-

tungswertes der Fahrzeit für diesen Vorgang erfolgt mittels numerischer Berechnung

aller möglichen Kombinationen und anschließender Bildung des Mittelwerts, sie-

he (5-1). Dabei unterscheidet sich die Berechnung der Fahrzeit zwischen zwei La-

gerfächern je nach Form des Geschwindigkeitsprofils (vgl. Abschnitt 2.2.2).

1- 2 2 2

1 1 1 1

1( )

n m n m

LF LF ij kli j k l

E t tn m

(5-1)


66

2

2

2 22

2

2 falls

,

falls 1

max

2 falls

falls

ij kl

ij kl

ij kl

ij kl

ij kl

ij kl

ij kl

ij kl

LF LFx

LF LF

x x

LF LFx x

LF LF

x x x

LF LF y

LF LF

y y

LF LF y y

LF LF

y y y

x x vx x

a a

x x v vx x

v a a

n m y y vy y

a a

y y v vy y

v a a

1 1 1 1

n m n m

i j k l

mit

m := Anzahl Regalzeilen

n := Anzahl Regalspalten

LFx , LFy := horizontale bzw. vertikale Bezugskoordinate eines Lagerfaches

xv , yv := maximale Verfahrgeschwindigkeit in x- bzw. y-Richtung

xa , ya := mittlere Bremsbeschleunigung in x- bzw. y-Richtung

5.1.4 Mittlere Fahrzeit zwischen Lagerfächern und Übergabepunkten

Bei der Berechnung des Erwartungswertes der Fahrzeit zwischen Lagerfächern und

Übergabepunkten für die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ ist eine Be-

trachtung der gesamten Fahrzeit 1- - 2LF ÜP LF

t von einem ersten Lagerfach über einen

gemäß der Strategie ausgewählten Übergabepunkt zu einem zweiten Lagerfach

erforderlich, da der gewählte Übergabepunkt von beiden Lagerfächern abhängig ist.

Dieser wird aus den vorhandenen Übergabepunkten so ausgewählt, dass die ge-

samte Fahrzeit minimal wird. Die Berechnung des Erwartungswertes der Fahrzeit

kann gemäß (5-2) erfolgen.

1- - 2 2 2 [1, ]

1 1 1 1

1( ) min

n m n m

ij p p klLF ÜP LF p ri j k l

E t t tn m

(5-2)


67

2

2x

x

2

2 2 [1, ]1 1 1 1

2 falls

,

falls

max

2 falls

falls 1

min

ij p

ij p

ij p

ij p

LF pij

LF pij

LF pij

LFij

LF ÜPx

LF ÜPx x

LF ÜPx

LF ÜPx x

ÜP y

ÜPy y

ÜP y

n m n my y

p ri j k l

x x vx x

a a

x x v vx x

v a a

y y vy y

a a

y y vy

v a

n m

2

2

2x

x

2

2 falls

,

falls

max

2 falls

p

kl p

kl p

kl p

kl p

LF pkl

LF pkl

LF

y

ÜPy

LF ÜPx

LF ÜPx x

LF ÜPx

LF ÜPx x

ÜP y

ÜPy y

vy

a

x x vx x

a a

x x v vx x

v a a

y y vy y

a a

y

2

falls pkl

LF pkl

ÜP y y

ÜPy y y

y v vy y

v a a

mit

m := Anzahl Regalzeilen

n := Anzahl Regalspalten

r := Anzahl Übergabepunkte

LFx , LFy := horizontale bzw. vertikale Bezugskoordinate eines Lagerfaches

xv , yv := maximale Verfahrgeschwindigkeit in x- bzw. y-Richtung

xa , ya := mittlere Bremsbeschleunigung in x- bzw. y-Richtung

5.1.5 Mittlere Fahrzeit zwischen Lagerfächern und Übergabepunkten bei Zonierung

Bei zonierter Lagerplatzzuordnung (vgl. Abschnitt 2.1.1) ist die bisherige Annahme

einer gleichen Zugriffshäufigkeit auf alle Lagerfächer nicht mehr gültig. Um auch für

diese Belegungsstrategie die mittleren Fahrzeiten berechnen zu können, wird ein

Ansatz zur Gewichtung der Fahrzeiten für die Fahrt von einem Lagerfach über einen

Übergabepunkt zu einem weiteren Lagerfach anhand der Zugriffswahrscheinlichkei-

ten der einzelnen Zonen entwickelt. In einer Zone kann sich ein erstes Lagerfach als


68

Ausgangspunkt eines Arbeitsspiels befinden. Der Zielpunkt in Form eines zweiten

Lagerfaches kann entweder in derselben oder in einer anderen Zone liegen. Für alle

möglichen Kombinationen der Zonen werden die Eintrittswahrscheinlichkeiten und

mittleren Fahrzeiten für die Fahrt vom ersten Lagerfach zum Übergabepunkt und

vom Übergabepunkt zum zweiten Lagerfach berechnet. Für das Beispiel einer ABC-

Zonierung mit den Zonen A, B, und C und den entsprechenden Zugriffswahrschein-

lichkeiten AP , BP und CP ergeben sich folgende mögliche Kombinationen und Ein-

trittswahrscheinlichkeiten:

Tabelle 5-1: Mögliche Kombinationen der ABC-Zonen und Eintrittswahrscheinlichkeiten

Kombination Eintrittswahrscheinlichkeit

A-A A AP P

A-B ≙ B-A jeweils A BP P

A-C ≙ C-A jeweils A CP P

B-B B BP P

B-C ≙ C-B jeweils B CP P

C-C C CP P

Nun können für alle Lagerfächer als Start- und Zielpunkte die Fahrzeiten unter

Berücksichtigung der angewendeten Strategie bei der Auswahl eines Übergabe-

punktes berechnet und jeweils der entsprechenden Kombination aus Start- und

Zielzone zugeordnet werden. Für die einzelnen Kombinationen ist es nun möglich,

mittlere Fahrzeiten zu bestimmen. Mit der entsprechenden Eintrittswahrscheinlich-

keit gewichtet und summiert ergeben diese den Erwartungswert der Fahrzeit

1- - 2LF ÜP LFE t von einem Lagerfach über einen Übergabepunkt zu einem weiteren

Lagerfach:

1- - 2 1- - 2, - 1- - 2, - 1- - 2, -

1- - 2, - 1- - 2, - 1- - 2, -

2 2

2

LF ÜP LF LF ÜP LF A A LF ÜP LF A B LF ÜP LF A C

LF ÜP LF B B LF ÜP LF B C L

A A B A C

B B C F Ü LF C CP C

P P P P PE t t t t

t t tP P P P (5-3)

Dieser Ansatz ist auch erweiterbar für den Fall, dass mehr als drei Zonen vorhanden

sind, beispielsweise wenn bei mehreren Übergabepunkten in der Umgebung eines

jeden Übergabepunktes eigene Zonen gebildet werden (vgl. Abschnitt 4.7.1).

5.2 Festgelegte Lagerkonfigurationen

69


Zur Berechnung der Spielzeit für unterschiedliche Anordnungen mehrerer Überga-

bepunkte werden exemplarische Lagerkonfigurationen für AKL definiert. Eine Lager-

konfiguration bezeichnet in diesem Zusammenhang den Aufbau und die Abmessun-

gen der Regale, die kinematischen Daten des Regalbediengerätes und Zykluszeiten

für die Lastübergabevorgänge sowie die für den Lagerbetrieb erforderlichen Be-

triebsstrategien.

5.2.1 Kennwerte Regalbediengerät

Für die Berechnung von Spielzeiten sind gemittelte Werte für Beschleunigung bzw.

Verzögerung und die maximale Fahrgeschwindigkeit von Fahr- und Hubwerk sowie

die Zykluszeiten für Lastübergabevorgänge von Belang. Die Kennwerte werden so

gewählt, dass diese den Stand aktuell am Markt verfügbarer Geräte für AKL wider-

spiegeln. Bei der Wahl der Werte wird zudem darauf geachtet, dass sich identische

Beschleunigungs- bzw. Verzögerungszeiten für Fahr- und Hubwerk ergeben.

Dadurch behält die Unterteilung der Regalfächer in fahr- und hubzeitkritische Fächer

anhand des Regalwandparameters w ihre Gültigkeit (vgl. Abschnitt 2.2.3). Tabel-

le 5-2 enthält die festgelegten maximalen Fahrgeschwindigkeiten und mittleren

Werte der Bremsbeschleunigung für Fahr- und Hubwerk:

Tabelle 5-2: Kinematische Daten Regalbediengerät

x-Richtung (Fahrwerk)

y-Richtung (Hubwerk)

Maximale Geschwindigkeit [m/s] 6,0 3,0

Mittlere Bremsbeschleunigung [m/s²] 4,0 2,0

Zur Berechnung der Spielzeit werden die Zykluszeiten für die Lastübergabevorgänge

bei Ein- oder Auslagerungen und für die Übergabe von Ladeeinheiten an den Über-

gabepunkten benötigt. Gemäß der getroffenen Annahmen können die Abgabe einer

auszulagernden Ladeeinheit und die Aufnahme einer einzulagernden Ladeeinheit am

Übergabepunkt gleichzeitig erfolgen. Für Ein- und Auslagerung werden identische

Zykluszeiten angesetzt. Die in Tabelle 5-3 angeführten Zykluszeiten des Lastauf-

nahmemittels beinhalten zudem auch auftretende Totzeiten sowie erforderliche

Mastausschwingzeiten (vgl. Abschnitt 2.1.2).


70

Tabelle 5-3: Zykluszeiten Regalbediengerät

Vorgang Zeit [s]

Einlagerung (einfachtief) 4,0

Auslagerung (einfachtief) 4,0

Abgabe und Aufnahme am Übergabepunkt

5,0

5.2.2 Regalabmessungen

Die Regalabmessungen werden so gewählt, dass in Kombination mit den festgeleg-

ten Fahrgeschwindigkeiten des Regalbediengerätes eine große Bandbreite des

Regalwandparameters w (siehe Abschnitt 2.2.3) abgedeckt wird. Ausgehend von

den Regalabmessungen L x H = 20 x 10 m (w = 1), bezeichnet als Regal 1, werden

zwei weitere Regale mit vergleichbarer Regalfläche und einem Regalwandparameter

w = 0,5 respektive w = 2 definiert. Diese Werte entsprechen auch den Grenzen für

den angegebenen Gültigkeitsbereich der in der Praxis häufig Verwendung findenden

Richtlinie FEM 9.851 [FEM 9851]. Die resultierenden Abmessungen von Regal 2

betragen 28 x 7 m (w = 0,5), während Regal 3 14 x 14 m misst (w = 2). In

Abbildung 5-2 sind die Regalflächen maßstabsgetreu dargestellt:

Abbildung 5-2: Betrachtete Regalabmessungen

Neben den Regalabmessungen gilt es auch, die Abmessungen der einzelnen Regal-

fächer festzulegen. Für alle Untersuchungen sollen einfachtiefe Fächer mit einem

Abstand zwischen benachbarten Fächern von 0,5 m in horizontaler Richtung und

0,4 m in vertikaler Richtung betrachtet werden (vgl. Abbildung 5-3).

Regal 314 x 14 m

Regal 228 x 7 m

Regal 120 x 10 m


71

Abbildung 5-3: Regalfachabmessungen

Mit den festgelegten Abmessungen für Regale und Regalfächer ergibt sich gerundet

auf ganzzahlige Werte für Spalten und Zeilen die Anzahl der Stellplätze je Regal bei

einfachtiefer Lagerung. Eine Lagergasse bestehend aus zwei Regalen verfügt dem-

nach über die doppelte Kapazität.

Tabelle 5-4: Eigenschaften der Regale

Abmessungen Regal L x H [m]

Regalwand-parameter w

Anzahl Spalten

Anzahl Zeilen

Anzahl Stellplätze

Regal 1 20 x 10 1 40 25 1000

Regal 2 28 x 7 0,5 56 18 1008

Regal 3 14 x 14 2 28 35 980

5.2.3 Betriebsstrategien

Für die Berechnung der Spielzeiten wurden diverse Festlegungen getroffen, welche

auch die verwendete Lagerplatzvergabestrategie beinhalten (vgl. Abschnitt 5.1.1).

So kommt bei allen untersuchten Konfigurationen eine chaotische Lagerplatzzuord-

nung zur Anwendung, mit Ausnahme der Untersuchung ausgewählter Konfiguratio-

nen mit ABC-Zonierung. Hierfür werden folgende exemplarische Zonen mit den

zugehörigen Verteilungen von Anteil und Zugriffshäufigkeit festgelegt:

Tabelle 5-5: Eigenschaften der ABC-Zonen

Zone Anteil Zugriffshäufigkeit

A 20 % 80 %

B 30 % 15 %

C 50 % 5 %

Bei der Bildung der Zonen kommen die beiden in Abschnitt 4.7.1 vorgestellten

Varianten zur Anwendung. Aufgrund der betrachteten einfachtiefen Lagerung ist es

0,5 m

0,4

m


72

nicht erforderlich, weitere Strategien wie beispielsweise Umlagerstrategien oder

Strategien für eine optimierte Lagerfachbelegung zu definieren. Auf eine mögliche

wegoptimierte Auswahl des Lagerfaches für die Einlagerung in Abhängigkeit des

Lagerfaches für die Auslagerung bei Doppelspielen wird verzichtet. Diese Strategie

wirkt sich nur auf die Dauer der Fahrten zwischen verschiedenen Lagerfächern aus,

welche unabhängig von Position und Lage der Übergabepunkte ist und somit nicht

im Fokus der Betrachtung steht.

5.3 Untersuchung von Parametern einer Anordnung mehrerer Übergabepunkte

In diesem Abschnitt werden diverse Parameter, welche eine Anordnung mehrerer

Übergabepunkte charakterisieren, anhand der mittleren Fahrzeiten zwischen Lager-

fächern und Übergabepunkten untersucht. Dies soll neben der Veranschaulichung

des Einflusses auch eine Eingrenzung der Anzahl zu untersuchender Varianten mit

mehreren Übergabepunkten ermöglichen. Auf eine Bestimmung der gesamten

Spielzeit wird an dieser Stelle verzichtet, da sich alle weiteren Komponenten nicht

unterscheiden. Die Berechnung der Fahrzeiten erfolgt nach den in Abschnitt 5.1.4

und Abschnitt 5.1.5 vorgestellten Ansätzen für die im vorangehenden Abschnitt

festgelegten Lagerkonfigurationen, wobei stets nur ausgewählte exemplarische

Konfigurationen berücksichtigt werden.

5.3.1 Einfluss der Position der Übergabepunkte entlang einer Strecke

An einem Beispiel mit zwei entlang einer horizontalen Strecke am unteren Rand

einer Regalfläche angeordneten Übergabepunkten wird der Einfluss der Position der

Übergabepunkte auf die Fahrzeit untersucht. Gegenstand der Betrachtung ist die

mittlere Fahrzeit für die Fahrt von einem Lagerfach über einen gemäß der Strategie

„Berücksichtigung nächstes Ziel“ ausgewählten Übergabepunkt zu einem weiteren

Lagerfach. Die Übergabepunkte werden dabei von den Endpunkten der Strecke

parallel nach innen bis zur Mitte verschoben, wie in Abbildung 5-4 verdeutlicht ist.


73

Abbildung 5-4: Anordnung der Übergabepunkte

Die Anordnung der Übergabepunkte ist stets symmetrisch, weshalb durch die

Festlegung von 1ÜP

x auch 2ÜP

x definiert ist. Folgendes Diagramm zeigt den Verlauf

der Fahrzeit über der Position der Übergabepunkte für die gewählten Regalabmes-

sungen 20 x 10 m:

Abbildung 5-5: Fahrzeit in Abhängigkeit der Position der Übergabepunkte

Wie aus der Abbildung hervorgeht, ist die gesamte Fahrzeit 1 2LF ÜP LF

t bei Anordnung

der Übergabepunkte an den Endpunkten der Strecke am längsten, nimmt dann

zunächst ab und nach Erreichen eines Minimums, bei Anordnung der Übergabe-

punkte im Abstand von etwa 6 m zu den Eckpunkten, wieder zu. Die Lage des

Minimums deckt sich dabei mit der für diese Strategie bestimmten optimalen An-

ordnung der Übergabepunkte (siehe Abschnitt 4.3.3). Demnach wird die minimale

Fahrzeit bei folgender Anordnung des ersten Übergabepunktes erreicht:

1,1

2 220 m 5,86 m

2optÜP

x x L

Bei Konfigurationen mit mehr als zwei Übergabepunkten kann von einem ähnlichen

Verlauf der Fahrzeit bei einer Variation der Position ausgegangen werden, wobei

sich das Minimum der Fahrzeit jeweils an den in Abschnitt 4.3.3 bestimmten Positi-

10 m

20 m

ÜP1(xÜP1,0) ÜP2(xÜP2,0)

6,3

6,4

6,5

6,6

6,7

6,8

0 2 4 6 8 10

t LF

1-Ü

P-L

F2

[s]

xÜP1 [m]


74

onen der Übergabepunkte einstellt. Für die folgenden Untersuchungen wird stets die

ermittelte optimale Anordnung der Übergabepunkte verwendet.

5.3.2 Einfluss der Anzahl der Übergabepunkte

Zur Untersuchung des Einflusses der Anzahl der Übergabepunkte entlang einer

Strecke werden, wie im vorangehenden Abschnitt, die mittleren Fahrzeiten für

exemplarische Konfigurationen mit einer unterschiedlichen Anzahl an Übergabe-

punkten berechnet. Zudem wird auch eine kontinuierliche Übergabestrecke betrach-

tet. Die Position der Strecken, entlang welcher die Übergabepunkte angeordnet

werden, ist in Abbildung 5-6 dargestellt. Neben einer Anordnung der Übergabepunk-

te am unteren Rand einer Regalfläche mit den Abmessungen 20 x 10 m erfolgt auch

die Berücksichtigung einer Anordnung auf halber Höhe des Regals.

Abbildung 5-6: Position der Strecken zur Anordnung der Übergabepunkte

Folgendes Diagramm zeigt die Ergebnisse der Berechnungen der Fahrzeiten für bis

zu fünf optimal angeordnete Übergabepunkte sowie für eine Übergabestrecke:

Abbildung 5-7: Fahrzeiten bei unterschiedlicher Anzahl der Übergabepunkte

Die Ergebnisse für diese exemplarischen Konfigurationen verdeutlichen, dass mit

einer steigenden Anzahl der Übergabepunkte zwar eine Verkürzung der mittleren

Fahrzeit erzielt wird, diese aber sehr gering ausfällt und bei zunehmender Anzahl der

20 m

10 m

20 m

0

1

2

3

4

5

6

7

2 3 4 5 ÜS

t LF

1-Ü

P-L

F2

[s]

Anzahl Übergabepunkte

ÜP am unteren Rand

ÜP auf halber Höhe


75

Übergabepunkte immer weiter abnimmt. Mehr als zwei bis drei Übergabepunkte

bewirken daher keine weitere signifikante Reduktion der Fahrzeit. Dies deckt sich

auch mit den Ergebnissen der von Knepper für ein Containerlager durchgeführten

Untersuchung. Er kommt dabei zu dem Schluss, dass mehr als zwei Übergabepunk-

te für die Fahrzeitverkürzung nahezu bedeutungslos sind. [Kne-1978, S. 130] Auch

für andere Anordnungen der Übergabepunkte können ähnliche Ergebnisse erwartet

werden. Zu Abweichungen kann es lediglich in Kombination mit überproportional

langen oder hohen Regalen kommen. Dabei ist es möglich, dass sich eine Erhöhung

der Anzahl der Übergabepunkte in stärkerem oder geringerem Maße auswirkt. Um

auch dem Rechnung zu tragen, wird in allen weiteren Untersuchungen neben zwei

und drei Übergabepunkten jeweils auch eine kontinuierliche Übergabestrecke be-

trachtet, welche die kürzeste erzielbare Fahrzeit für eine vorgegebene Anordnung

einer Strecke bedingt.

5.3.3 Einfluss der Position der Übergabestrecken

Neben Anzahl und Anordnung der Übergabepunkte entlang einer Strecke hat auch

die Position der Strecke einen Einfluss auf die mittlere Fahrzeit. Am Beispiel einer

sowie von zwei horizontal angeordneten Übergabestrecken (vgl. Abbildung 5-8)

werden die Fahrzeiten für eine vertikale Verschiebung berechnet.

Abbildung 5-8: Betrachtete Anordnungen der Übergabestrecken

Die Anordnung von zwei Übergabestrecken erfolgt symmetrisch, wodurch nur die

vertikale Position 1ÜS

y einer Übergabestrecke angegeben wird. Abbildung 5-9 zeigt

die Ergebnisse der Berechnungen in Abhängigkeit der Position der Übergabestre-

cken.

20 m

10 m

20 m


76

Abbildung 5-9: Fahrzeiten in Abhängigkeit der Position der Übergabestrecken

Erwartungsgemäß wird mit einer Übergabestrecke das Minimum auf halbe Höhe des

Regals erreicht. Auf eine Betrachtung der oberen Hälfte kann aus Gründen der

Symmetrie verzichtet werden. Mit zwei symmetrisch angeordneten Übergabestre-

cken wird das Optimum bei Anordnung der ersten Übergabestrecke auf einer Höhe

von etwa 3 m erreicht. Dies bestätigt die in Abschnitt 4.5 gezeigte Optimierung der

Anordnung mehrerer Übergabestrecken, nach welcher die Position der ersten Über-

gabestrecke wie folgt berechnet werden kann:

1

2 22,93 m

2ÜSy H

5.4 Untersuchung der Kompatibilität mit einer ABC-Zonierung

In diesem Abschnitt soll untersucht werden, ob Konfigurationen mit mehreren Über-

gabepunkten auch bei Anwendung einer zonierten Lagerplatzzuordnung (vgl. Ab-

schnitt 2.1.1) basierend auf einer „ABC-Analyse“ eine Reduktion der Fahrzeiten

erlauben. Die Untersuchung erfolgt am Beispiel von zwei Übergabepunkten, welche

am unteren Rand der Regalfläche angeordnet werden. Die weiteren Konfigurations-

parameter sind dem Abschnitt 5.2 zu entnehmen.

Zunächst erfolgt ein Vergleich der beiden vorgeschlagenen Varianten zur Klassifizie-

rung der Lagerfächer bei der Bildung von Zonen für mehrere Übergabepunkte (vgl.

Abschnitt 4.7.1). Dazu werden ABC-Zonen mit den in Abschnitt 5.2.3 definierten

Parametern entsprechend der beiden Ansätze gebildet. Da sich die Zugriffshäufig-

keit auf die Lagerfächer der einzelnen Zonen unterscheidet, weicht die optimale

Anordnung der Übergabepunkte von der für gleiche Zugriffshäufigkeit auf alle Lager-

fächer bestimmten Anordnung ab. Aus diesem Grund wird eine empirische Bestim-

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5

t LF

1-Ü

P-L

F2

[s]

xÜP1 [m]

1 ÜS

2 ÜS

5.4 Untersuchung der Kompatibilität mit einer ABC-Zonierung

77

mung der optimalen Anordnung nach der in Abschnitt 5.3.1 beschriebenen Vorge-

hensweise für eine Regalfläche mit ABC-Zonen durchgeführt. Abbildung 5-10 zeigt

die Ergebnisse für ein Regal mit den Abmessungen 20 x 10 m.

Abbildung 5-10: Fahrzeit in Abhängigkeit der Position der Übergabepunkte

Wie aus der Abbildung hervorgeht, weisen die Fahrzeiten für gemäß der beiden

Ansätze gebildete Zonen ähnliche Fahrzeiten mit einem vergleichbaren Verlauf auf.

Die minimale mittlere Fahrzeit für die Fahrt von einem Lagerfach über einen gemäß

der Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ ausgewählten Übergabepunkt zu

einem weiteren Lagerfach ist für diese und die weiteren betrachteten Regalabmes-

sungen in Abbildung 5-11 dargestellt.

Abbildung 5-11: Fahrzeiten in Abhängigkeit der gebildeten Zonen

Der Vergleich der beiden Ansätze zur Bildung der ABC-Zonen anhand der ausge-

wählten Konfiguration mit zwei Übergabepunkten zeigt je nach Regalabmessungen

ein unterschiedliches Bild. Während bei den betrachteten Regalabmessungen

20 x 10 m und 28 x 7 m mit gemeinsamen Zonen für die beiden Übergabepunkte

kürzere Fahrzeiten erreicht werden, erscheint beim Regal mit 14 x 14 m eine Bildung

von separaten A- und B-Zonen für die beiden Übergabepunkte vorteilhafter. Der

Unterschied zwischen den Ergebnissen ist jedoch stets vernachlässigbar gering

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10

t LF

1-Ü

P-L

F2

[s]

xÜP1 [m]

Zone je ÜP

Gemeinsame Zonen

4

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

20x10 m 28x7 m 14x14 m

t LF

1-Ü

P-L

F2

[s]

Regalabmessungen

Zonen je ÜP

Gemeinsame Zonen


78

(< 0,02 s). Dies kann damit begründet werden, dass die resultierenden ABC-Zonen

für die betrachteten Konfigurationen eine ähnliche Form aufweisen, da aufgrund

deren Größe auch separate A- und B-Zonen der beiden Übergabepunkte jeweils

direkt aneinander angrenzen und sich somit kaum von gemeinsamen Zonen unter-

scheiden.

Im nächsten Schritt werden die berechneten Fahrzeiten den Ergebnissen für den Fall

einer chaotischen Lagerplatzzuordnung bei ansonsten identischer Konfiguration

gegenübergestellt. Auf diese Weise kann gezeigt werden, in welchem Maß sich eine

zonenbasierte Lagerplatzzuordnung in Kombination mit mehreren Übergabepunkten

auswirkt. Zum Vergleich der erzielbaren relativen Verkürzung der Fahrzeiten wird

auch eine Berechnung für einen einzelnen, im Eckpunkt angeordneten Übergabe-

punkt bei chaotischer Lagerplatzzuordnung sowie bei ABC-Zonierung durchgeführt.

Für die Zonierung werden dabei dieselben Parameter verwendet, wie für den be-

trachteten Fall mit zwei Übergabepunkten. Dabei ergibt sich die in Abbildung 5-12

dargestellte herkömmliche Form der Zonen.

Abbildung 5-12: ABC-Zonen für einen einzelnen Übergabepunkt

Die Ergebnisse der Berechnungen sind in Tabelle 5-6 angeführt. Es wird stets die

Fahrzeit für eine Fahrt von einem Lagerfach über einen Übergabepunkt zu einem

weiteren Lagerfach angegeben. Bei einem Übergabepunkt entspricht dies zweimal

der mittleren Fahrzeit zwischen Übergabepunkt und Lagerfächern. Neben den

Fahrzeiten für chaotische und zonenbasierte Lagerplatzzuordnung ist jeweils auch

die relative Differenz der beiden Fahrzeiten angegeben.

Tabelle 5-6: Vergleich der Fahrzeiten bei Zonierung mit einem bzw. zwei Übergabepunkten

1 ÜP 2 ÜP

Regal Chaotisch ABC Differenz Chaotisch ABC Differenz

20 x 10 m 7,40 s 5,30 s -28,4 % 6,32 s 4,20 s -33,6 %

28 x 7 m 8,04 s 5,37 s -33,2 % 5,72 s 4,15 s -27,4 %

14 x 14 m 8,01 s 5,34 s -33,4 % 7,58 s 4,38 s -42,2 %

C

ÜP1(0,0)

BA

5.5 Spielzeit diverser Konfigurationen mit mehreren Übergabepunkten

79

Anhand der Ergebnisse für diese exemplarischen Konfigurationen kann gezeigt

werden, dass mehrere Übergabepunkte mit einer zonierten Lagerplatzzuordnung

kompatibel sind. Voraussetzung dafür ist eine angepasste Vorgehensweise bei der

Bildung der ABC-Zonen und eine von der chaotischen Lagerplatzzuordnung abwei-

chende optimale Anordnung der Übergabepunkte, welche empirisch bestimmt

wurde. Sind diese Voraussetzungen erfüllt, so sind mit mehreren Übergabepunkten

bei Anwendung einer zonierten Lagerplatzzuordnung weitere Fahrzeitverkürzungen

möglich. Relativ betrachtet können diese je nach Lagerkonfiguration geringer oder

auch höher ausfallen, als bei einem einzelnen Übergabepunkt. Ausschlaggebend für

die relative Differenz sind bei einer gewählten Anordnung der Übergabepunkte und

festgelegten Eigenschaften des Regalbediengerätes die Regalabmessungen.


In diesem Abschnitt werden die Spielzeiten für unterschiedliche Anordnungen meh-

rerer Übergabepunkte berechnet und gegenübergestellt, sowie mit den Ergebnissen

für unterschiedliche Anordnungen eines einzelnen Übergabepunktes verglichen. Die

in den bisherigen Untersuchungen betrachteten Fahrzeiten zwischen Lagerfächern

und Übergabepunkten stellen lediglich einen Teil der gesamten Spielzeit dar, welche

weitere Anteile beinhaltet, die unabhängig von Anzahl und Position der Übergabe-

punkte sind. Im Anschluss an die Berechnung dieser Anteile erfolgt die Festlegung

diverser Anordnungen der Übergabepunkte, für welche schließlich die Spielzeiten

berechnet und analysiert werden.

5.5.1 Bestimmung der Zykluszeiten für die Lastübergabe

Für die vorliegenden Lagerkonfigurationen mit einfachtiefer Lagerung ist die Anzahl

der Lastübergabevorgänge innerhalb der Arbeitsspiele eines Typs konstant. So ist

für Einzel- sowie Doppelspiele basierend auf den Kennwerten des Regalbediengerä-

tes (siehe Abschnitt 5.2.1) jeweils die Bildung einer Summe der innerhalb eines

Arbeitsspiels vorkommenden Zykluszeiten LAMt möglich, welche zu den Fahrzeiten

addiert werden kann (siehe Tabelle 5-7).


80

Tabelle 5-7: Zykluszeiten für Einzel- und Doppelspiele

Arbeitsspiel Aufnahme/Abgabe am ÜP Ein- oder Auslagerung Summe LAMt

Einzelspiel 1 5 s 1 4 s 9 s

Doppelspiel 1 5 s 2 4 s 13 s

Bei einem Einzelspiel wird nur eine Ein- oder Auslagerung ausgeführt, während bei

einem Doppelspiel jeweils eine Ein- sowie eine Auslagerung ausgeführt werden. Der

Bestimmung der Zeit für die Aufnahme und Abgabe von Ladeeinheiten am Überga-

bepunkt bei Doppelspielen liegt die Annahme zugrunde, dass diese Vorgänge bei

aufeinanderfolgenden Doppelspielen gleichzeitig erfolgen können. Die Zykluszeit für

Aufnahme und Abgabe am Übergabepunkt wird demzufolge einem Arbeitsspiel nur

einfach angerechnet.

5.5.2 Berechnung der mittleren Fahrzeit zwischen zwei Lagerfächern

Die bei Doppelspielen oder kombinierten Spielen mit mehreren Ein- und Auslage-

rungen anfallenden Fahrzeiten für Leerfahrten zwischen einzelnen Lagerfächern

können unabhängig von Anzahl und Position der Übergabepunkte berechnet wer-

den. Für alle möglichen Kombinationen von Ausgangs- und Ziellagerfach eines

Regals erfolgt die Berechnung numerisch gemäß dem in Abschnitt 5.1.3 vorgestell-

ten Ansatz. Mit den in Abschnitt 5.2 festgelegten kinematischen Eigenschaften des

Regalbediengerätes und Lagerfachabmessungen ergeben sich abhängig von den

betrachteten Regalabmessungen die in Tabelle 5-8 angeführten Erwartungswerte

der Fahrzeiten zwischen zwei Lagerfächern LF LFE t .

Tabelle 5-8: Mittlere Fahrzeiten zwischen Lagerfächern

Regalabmessungen LF LFE t

20 x 10 m 2,99 s

28 x 7 m 3,18 s

14 x 14 m 3,17 s

Wenngleich die Anzahl der Lagerfächer für die verschiedenen Regalabmessungen

nahezu identisch ist, unterscheiden sich die Berechnungsergebnisse für Regal 1

(20 x 10 m) deutlich von jenen für Regal 2 (28 x 7 m) und Regal 3 (14 x 14 m). Diese

Abweichung kann anhand des Regalwandparameters w begründet werden. Für

Regal 1 beträgt w = 1, was das optimale Verhältnis von Fahrgeschwindigkeiten und


81

Regalabmessungen darstellt, während für die weiteren Abmessungen das Verhältnis

um Faktor 2 abweicht und zu längeren mittleren Fahrzeiten führt.

5.5.3 Betrachtete Anordnungen der Übergabepunkte

Zum Vergleich der Spielzeiten von Konfigurationen mit einem sowie mehreren Über-

gabepunkten erfolgt eine Festlegung diverser Anordnungen der Übergabepunkte.

Als Referenz werden zunächst unterschiedliche Anordnungen eines einzelnen Über-

gabepunktes beschrieben. Die erste Referenzanordnung RA1 entspricht dabei dem

in praktischen Anwendungen gebräuchlichsten Fall eines Übergabepunktes in einem

Eckpunkt der Regalfläche:

Abbildung 5-13: Übergabepunkt im Eckpunkt

Ausgehend von dieser Anordnung werden auch eine horizontale sowie vertikale

Verschiebung des Übergabepunktes um die halbe Länge bzw. Höhe des Regals

berücksichtigt. Abbildung 5-14 zeigt diese beiden Anordnungen.

Abbildung 5-14: Horizontal bzw. vertikal verschobener Übergabepunkt

Eine weitere Ausprägung beschreibt die Anordnung eines einzelnen Übergabepunk-

tes im Flächenschwerpunkt (siehe Abbildung 5-15). Diese Anordnung stellt die

optimale Anordnung eines einzelnen Übergabepunktes dar (vgl. Abschnitt 3.1).

Abbildung 5-15: Übergabepunkt im Flächenschwerpunkt

RA1

RA2 RA3

RA4


82

Aus den in Abschnitt 3.2 vorgestellten Konzepten für die Anordnung mehrerer Über-

gabepunkte werden diverse Ausprägungen ausgewählt. Gemäß der Erkenntnisse

aus der Untersuchung von Konfigurationsparametern (siehe Abschnitt 5.3) erfolgt

jeweils eine Betrachtung von zwei und drei entlang von Strecken angeordneten

Übergabepunkten sowie von kontinuierlichen Übergabestrecken. Diskrete Überga-

bepunkte werden entlang der Strecken gemäß der in Abschnitt 4.3.3 gezeigten

Optimierung angeordnet. Für weitere Anordnungen mit diagonalen Strecken, ver-

kürzten Strecken oder Kombinationen horizontaler und vertikaler Strecken wurde

kein Optimierungsansatz hergeleitet. Eine Untersuchung kann daher ausschließlich

am Beispiel kontinuierlicher Übergabestrecken erfolgen. Diese stellen das zur Ab-

schätzung des Potenzials ausreichende Optimum hinsichtlich der möglichen Fahr-

zeitverkürzung dar. Neben der optimalen Anordnung der einzelnen Strecken werden

aufgrund ihrer praktischen Relevanz jeweils auch Anordnungen der Strecken am

Regalrand berücksichtigt.

Abbildung 5-16 zeigt die festgelegten Positionen einer sowie von zwei horizontalen

Strecken zur Anordnung der Übergabepunkte. Die mit H2 bezeichnete Ausprägung

stellt die optimale Anordnung entlang einer einzelnen horizontalen Strecke dar. Zwei

Strecken können gemäß der in Abschnitt 4.5 gezeigten Optimierung bestmöglich

angeordnet werden (Ausprägung H4).

Abbildung 5-16: Lage horizontaler Strecken zur Anordnung mehrerer Übergabepunkte

Analog zur Anordnung horizontaler Strecken erfolgt die Festlegung entsprechender

Anordnungen vertikaler Strecken. Abbildung 5-17 zeigt die unterschiedlichen Aus-

prägungen.

H1 H2

H3 H4


83

Abbildung 5-17: Lage vertikaler Strecken zur Anordnung mehrerer Übergabepunkte

Neben horizontalen und vertikalen Strecken findet auch eine Berücksichtigung der in

Abschnitt 3.2.2 vorgestellten Anordnungen diagonaler Strecken statt. Wie eingangs

beschrieben, werden die beiden in Abbildung 5-18 gezeigten Ausprägungen ledig-

lich in der Konfiguration mit kontinuierlichen Übergabestrecken betrachtet.

Abbildung 5-18: Lage diagonaler Übergabestrecken

Auch die theoretisch mögliche Kombination einer horizontalen und einer vertikalen

Übergabestrecke soll berücksichtigt werden. Neben der Anordnung der beiden

Strecken am Regalrand wird auch das theoretische Optimum in Form einer mittigen

Positionierung der Strecken auf halber Höhe respektive halber Länge betrachtet.

Abbildung 5-19: Kombinierte vertikale und horizontale Übergabestrecken

Während alle bisherigen Anordnungen durch Strecken gekennzeichnet sind, welche

sich über die gesamte Länge, Breite oder Diagonale des Regals erstrecken, ist auch

eine Anordnung verkürzter Strecken möglich. Um untersuchen zu können, wie stark

sich die Halbierung der Länge einer kontinuierlichen Übergabestrecke auf die Spiel-

V1 V2

V3 V4

D1 D2

K1 K2


84

zeit auswirkt, werden folgende beiden Anordnungen festgelegt, welche auf den

gezeigten Anordnungen einer einzelnen horizontalen Strecke basieren:

Abbildung 5-20: Lage verkürzter Übergabestrecken

Die vorgestellten Anordnungen der Übergabepunkte bzw. kontinuierlicher Überga-

bestrecken stellen eine Auswahl dar, die unabhängig von einer möglichen Umsetz-

barkeit ein breites Spektrum theoretisch möglicher Anordnungen abdeckt.

5.5.4 Ergebnisse der Spielzeitberechnung

Zur Bestimmung der Spielzeiten ist neben den bereits berechneten, von Anzahl und

Position der Übergabepunkte unabhängigen Anteilen, noch die Berechnung der

mittleren Fahrzeiten zwischen Übergabepunkten und Lagerfächern erforderlich. Die

Berechnung für die im vorangehenden Abschnitt definierten Anordnungen der Über-

gabepunkte erfolgt numerisch gemäß dem in Abschnitt 5.1.4 vorgestellten Ansatz.

Dabei werden jeweils alle möglichen Kombinationen von Ausgangs- und Ziellager-

fach berücksichtigt und ein Übergabepunkt gemäß der Strategie „Berücksichtigung

nächstes Ziel“ ausgewählt. Mit dem auf diese Weise berechneten Erwartungswert

der Fahrzeit von einem Lagerfach über einen Übergabepunkt zu einem weiteren

Lagerfach 1 2LF ÜP LFE t kann die Spielzeit für ein Einzelspiel wie folgt durch Addition

mit der Summe der Zykluszeiten für die Lastübergabevorgänge (vgl. Abschnitt 5.5.1)

berechnet werden:

, 1 2ES LAM ES LF ÜP LF

E t t E t (5-4)

Zur Berechnung des Erwartungswertes der Spielzeit für ein Doppelspiel ist neben

einer abweichenden Summe der Zykluszeiten aufgrund eines weiteren Ein- oder

Auslagervorgangs noch der Erwartungswert der Fahrzeit für eine Leerfahrt zwischen

zwei Lagerfächern 1 2( )LF LFE t zu berücksichtigen:

, 1 21 2DS LAM DS LF LFLF ÜP LF

E t t E t E t (5-5)

H1V H2V

V1V V2V


85

Im Folgenden werden als Ergebnisse ausschließlich Spielzeiten für Doppelspiele

angegeben. Daraus kann die Spielzeit für Einzelspiele durch Subtraktion der Diffe-

renz der summierten Zykluszeiten für die Lastübergabevorgänge sowie der Fahrzeit

1 2LF LFE t für die Leerfahrt zwischen den beiden Lagerfächern bestimmt werden.

Die Gliederung der Ergebnisse erfolgt nach den Regalabmessungen, da die Spielzei-

ten unterschiedlicher Konfigurationen der Übergabepunkte somit direkt vergleichbar

sind. Neben der Spielzeit für ein Doppelspiel wird auch die relative Spielzeit bezogen

auf die Anordnung eines einzelnen Übergabepunktes in einem Eckpunkt der Regal-

fläche, bezeichnet mit RA1, angegeben. Somit ist die Verbesserung gegenüber

dieser in der Praxis üblichen Anordnung direkt ablesbar. Die Ergebnisse der Berech-

nungen für Regal 1 und die festgelegten Anordnungen der Übergabepunkte sind in

Tabelle 5-9 angeführt.

Tabelle 5-9: Ergebnisse der Spielzeitberechnungen für Regal 1 (20 x 10 m)

Anordnung Übergabepunkte

Anzahl Übergabepunkte je Strecke

1 2 3 ∞ (ÜS)

RA1 23,39 s (100 %) - - -

RA2 22,52 s (96,3 %) - - -

RA3 22,52 s (96,3 %) - - -

RA4 21,05 s (90,0 %) - - -

H1 - 22,32 s (95,4 %) 22,25 s (95,1 %) 22,17 s (94,8 %)

H2 - 20,74 s (88,7 %) 20,64 s (88,2 %) 20,45 s (87,4 %)

H3 - 21,21 s (90,7 %) 21,11 s (90,2 %) 20,95 s (89,5 %)

H4 - 20,38 s (87,1 %) 20,25 s (86,6 %) 19,99 s (85,4 %)

V1 - 22,32 s (95,4 %) 22,25 s (95,1 %) 22,17 s (94,8 %)

V2 - 20,74 s (88,7 %) 20,64 s (88,2 %) 20,46 s (87,5 %)

V3 - 21,21 s (90,7 %) 21,10 s (90,2 %) 20,94 s (89,5 %)

V4 - 20,38 s (87,1 %) 20,26 s (86,6 %) 19,99 s (85,4 %)

D1 - - - 20,32 s (86,8 %)

D2 - - - 19,89 s (85,0 %)

K1 - - - 21,32 s (91,1 %)

K2 - - - 20,09 s (85,9 %)

H1V - - - 22,34 s (95,5 %)

H2V - - - 20,74 s (88,7 %)

Aus der Tabelle geht zunächst hervor, dass bei der betrachteten Lagerkonfiguration

bereits durch die Verschiebung eines einzelnen Übergabepunktes die Spielzeit


86

gegenüber einer Anordnung des Übergabepunktes im Eckpunkt (RA1) deutlich

reduziert werden kann. Während bei einer Verschiebung in eine Richtung weniger

als 4 % eingespart werden können (RA2 und RA3), ist bei einer Verschiebung des

Übergabepunktes in den Flächenschwerpunkt (RA4) eine Reduktion um 10 % mög-

lich. Mit mehreren, an einem Rand der Regalfläche angeordneten Übergabepunkten

(H1, V1, H1V) ist eine solche Verbesserung nicht möglich. Nur wenn mehrere Über-

gabepunkte an zwei Rändern oder in der Fläche angeordnet werden, ist eine weitere

Reduktion der Spielzeit erreichbar. Bei einer diagonalen Anordnung von zwei Über-

gabestrecken (D2) kann die Spielzeit um bis zu 15 % reduziert werden, aber auch

mit weiteren Anordnungen von zwei Übergabestrecken sind vergleichbare Ergebnis-

se möglich. Werden die Ergebnisse für die Anordnung von Übergabepunkten ent-

lang des horizontalen oder vertikalen Regalrandes (H1 bzw. V1) einer horizontalen

bzw. vertikalen Verschiebung eines einzelnen Übergabepunktes (RA2 bzw. RA3)

gegenübergestellt, so ist erkennbar, dass mit zwei Übergabepunkten eine weitere

Reduktion der Spielzeit um lediglich 0,9 %, bezogen auf RA1, möglich ist. Eine

weitere Erkenntnis ist die Bestätigung des geringen Einflusses der Anzahl entlang

einer Strecke angeordneter Übergabepunkte (vgl. Abschnitt 5.3.2). Die auf RA1

bezogene Differenz zwischen zwei entlang einer Strecke angeordneten Übergabe-

punkten und einer kontinuierlichen Übergabestrecke bewegt sich für die verschie-

denen betrachteten Anordnungen zwischen 0,6 % und 1,7 %. Verglichen mit den

Ergebnissen für drei Übergabepunkte fällt der Unterschied noch geringer aus. Mit

einer kontinuierlichen Übergabestrecke ist folglich nur eine sehr geringere Verbesse-

rung gegenüber zwei oder drei diskreten, entlang einer Strecke angeordneten Über-

gabepunkten möglich.

Das betrachtete Regal 1 mit Regalwandparameter w = 1 weist bei konstanten Fahr-

geschwindigkeiten gleich lange maximale Fahrzeiten für Fahr- und Hubwerk auf.

Diese Eigenschaft bleibt auch bei Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzö-

gerung erhalten, sofern das Regalbediengerät, wie im betrachteten Beispiel, identi-

schen Beschleunigungs- und Verzögerungszeiten für Fahr- und Hubwerk aufweist.

Im Zeitbereich betrachtet (vgl. Abschnitt 2.2.5) nimmt das Regal daher eine quadra-

tische Form an. Auf diese Weise kann erklärt werden, weshalb mit horizontal am

Rand angeordneten Übergabepunkten identische Spielzeiten erreicht werden, als

bei entsprechender vertikaler Anordnung der Übergabepunkte (H1 ≙ V1, H2 ≙ V2

usw.).


87

Ein Vergleich verkürzter horizontaler Übergabestrecken (H1V und H2V), mit den

entsprechenden Anordnungen horizontaler Strecken über die gesamte Länge (H1

und H2) zeigt, dass die Differenz, relativ zu RA1 ermittelt, 0,7 % bzw. 1,3 % beträgt.

Die für verkürzte Strecken berechnete Spielzeit entspricht dabei jeweils in etwa dem

Ergebnis für eine Anordnung von zwei diskreten Übergabepunkten auf selber Höhe.

Aus diesem Grund erscheint eine verkürzte kontinuierliche Übergabestrecke nicht

zweckmäßig.

Die Ergebnisse der Spielzeitberechnungen für die einzelnen Anordnungen der Über-

gabepunkte und eine bis auf die Regalabmessungen unveränderte Konfiguration

sind in Tabelle 5-10 angeführt.




1 2 3 ∞ (ÜS)

RA1 24,22 s (100 %) - - -

RA2 22,25 s (91,9 %) - - -

RA3 23,87 s (98,6 %) - - -

RA4 21,56 s (89,0 %) - - -

H1 - 21,90 s (90,4 %) 21,77 s (89,9 %) 21,58 s (89,1 %)

H2 - 21,03 s (86,8 %) 20,86 s (86,2 %) 20,54 s (84,8 %)

H3 - 21,26 s (87,8 %) 21,10 s (87,1 %) 20,78 s (85,8 %)

H4 - 20,80 s (85,9 %) 20,63 s (85,2 %) 20,21 s (83,5 %)

V1 - 23,76 s (98,1 %) 23,74 s (98,0 %) 23,70 s (97,9 %)

V2 - 21,38 s (88,3 %) 21,32 s (88,1 %) 21,25 s (87,8 %)

V3 - 22,14 s (91,5 %) 22,09 s (91,2 %) 22,02 s (90,9 %)

V4 - 20,80 s (85,9 %) 20,72 s (85,6 %) 20,58 s (85,0 %)

D1 - - - 20,59 s (85,0 %)

D2 - - - 20,22 s (83,5 %)

K1 - - - 21,36 s (88,2 %)

K2 - - - 20,42 s (84,3 %)

H1V - - - 21,91 s (90,5 %)

H2V - - - 21,03 s (86,9 %)

Die Ergebnisse für das betrachtete Regal unterscheiden sich von jenen für Regal 1

insbesondere dadurch, dass durch das geänderte Seitenverhältnis des Regals

horizontale Anordnungen sich nun sehr stark von den entsprechenden vertikalen

Anordnungen unterscheiden (vgl. z. B. H1 und V1). In Kombination mit diesem


88

verhältnismäßig langen Regal mit Regalwandparameter w = 0,5 ist bei horizontaler

Anordnung der Übergabepunkte eine deutlichere Reduktion der Spielzeit als mit

Regal 1 möglich, jeweils relativ zur Spielzeit für die Anordnung RA1 betrachtet. Dies

gilt auch für die horizontale Verschiebung eines einzelnen Übergabepunktes (RA2),

durch welche die Spielzeit bereits um 8,1 % reduziert werden kann. Eine vertikale

Verschiebung des Übergabepunktes (RA3) sowie die vertikale Anordnung mehrerer

Übergabepunkte ist bei dieser Lagerkonfiguration nicht zielführend. Die erzielbare

Verkürzung beträgt hierfür teilweise weniger als 2 %. Die kürzeste Spielzeit wird bei

dieser Lagerkonfiguration für eine Anordnung von zwei horizontalen Übergabestre-

cken in der Fläche (H4) erreicht. Gegenüber RA1 kann die Spielzeit mit dieser An-

ordnung um 16,5 % reduziert werden.

Tabelle 5-11 enthält schließlich die Ergebnisse für das dritte betrachtete Regal.

Dabei handelt es sich um ein verhältnismäßig hohes Regal mit einem Regalwandpa-

rameter w = 2.




1 2 3 ∞ (ÜS)

RA1 24,18 s (100 %) - - -

RA2 23,85 s (98,6 %) - - -

RA3 22,19 s (91,8 %) - - -

RA4 21,53 s (89,0 %) - - -

H1 - 23,75 s (98,2 %) 23,72 s (98,1 %) 23,69 s (98,0 %)

H2 - 21,36 s (88,3 %) 21,31 s (88,1 %) 21,22 s (87,8 %)

H3 - 22,13 s (91,5 %) 22,08 s (91,3 %) 22,01 s (91,0 %)

H4 - 20,78 s (85,9 %) 20,70 s (85,6 %) 20,57 s (85,1 %)

V1 - 21,83 s (90,3 %) 21,70 s (89,8 %) 21,50 s (88,9 %)

V2 - 21,00 s (86,8 %) 20,83 s (86,1 %) 20,50 s (84,8 %)

V3 - 21,22 s (87,8 %) 21,06 s (87,1 %) 20,73 s (85,7 %)

V4 - 20,78 s (85,9 %) 20,60 s (85,2 %) 20,18 s (83,5 %)

D1 - - - 20,55 s (85,0 %)

D2 - - - 20,19 s (83,5 %)

K1 - - - 21,30 s (88,1 %)

K2 - - - 20,37 s (84,2 %)

H1V - - - 23,77 s (98,3 %)

H2V - - - 21,37 s (88,4 %)


89

Im Zeitbereich betrachtet (vgl. Abschnitt 2.2.5) entspricht Regal 3 aufgrund der

festgelegten Regalwandparameter, welche den jeweiligen Kehrwert darstellen,

Regal 2 mit vertauschten Achsen. Aus diesem Grund werden nun für vertikale An-

ordnungen der Übergabepunkte dieselben Ergebnisse berechnet, wie für die ent-

sprechenden horizontalen Anordnungen mit Regal 2. Der beschriebene Zusammen-

hang gilt auch bei horizontaler oder vertikaler Verschiebung eines einzelnen Überga-

bepunktes. Die geringen Abweichungen der Ergebnisse sind den durch Berücksich-

tigung realer Lagerfachabmessungen bedingten Abweichungen der tatsächlichen

Regalabmessungen geschuldet. Für diagonale Anordnungen der Übergabestrecken

(D1 und D2) sowie kombinierte Anordnungen einer horizontalen und einer vertikalen

Übergabestrecke (K1 und K2) werden aufgrund der Unabhängigkeit von einer Ver-

tauschung der Achsen mit den Ergebnissen für Regal 2 übereinstimmende Spielzei-

ten berechnet. Die minimale Spielzeit wird erwartungsgemäß mit einer Anordnung

von zwei vertikalen Übergabestrecken in der Fläche erzielt (V4).

5.5.5 Fazit

Die Ergebnisse der Spielzeitberechnung zeigen, dass mit mehreren Übergabepunk-

ten eine Reduktion der Spielzeiten möglich ist. Auch gegenüber optimierten Anord-

nungen eines einzelnen Übergabepunktes auf halber Länge bzw. Höhe des Regals

oder im Flächenschwerpunkt kann mit geeigneten Anordnungen mehrerer Überga-

bepunkte eine weitere Verbesserung erzielt werden.

Eine Erkenntnis ist zudem, dass sich das mit dem Regalwandparameter w beschrie-

bene Verhältnis von Regalabmessungen und Fahrgeschwindigkeiten des Regalbedi-

engerätes stark auf die Eignung einer Anordnung der Übergabepunkte für eine

bestimmte Lagerkonfiguration auswirken kann. Dieser Zusammenhang impliziert

auch eine Abhängigkeit vom Verhältnis der Beschleunigungs- bzw. Verzögerungs-

zeiten von Fahr- und Hubwerk, welches das tatsächliche Verhältnis fahr- und hub-

zeitkritischer Lagerfächer verschieben kann. Aufgrund dieser Abhängigkeit sind die

für bestimmte Werte des Regalwandparameters gewonnenen Erkenntnisse nicht

uneingeschränkt auf weitere Lagerkonfigurationen übertragbar.

Um eine fallspezifische Berechnung der Spielzeit für mehrere horizontal oder vertikal

angeordnete Übergabepunkte sowie für kontinuierliche Übergabestrecken zu er-

möglichen, werden im nächsten Kapitel neu entwickelte, einfach anwendbare Be-

rechnungsmodelle vorgestellt.

91

6 Berechnungsmodelle für Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten

Im Folgenden werden mathematisch-analytische Berechnungsmodelle zur Bestim-

mung des Erwartungswertes der Spielzeit vorgestellt. Diese erlauben die Berech-

nung für ausgewählte Anordnungen mehrerer Übergabepunkte und beliebige Kom-

binationen von Regalabmessungen und Eigenschaften des Regalbediengerätes. Als

Voraussetzung werden zunächst für die Berechnung erforderliche Annahmen und

Festlegungen getroffen. Basierend auf der Zusammensetzung der Spielzeit aus

diversen Zeitanteilen (vgl. Abschnitt 2.1.2) ist eine Untergliederung der Berechnung

möglich. Es erfolgt eine gesonderte Betrachtung von Anzahl und Position der Über-

gabepunkte, d. h. vom Ort der Übergabe unabhängiger sowie davon abhängiger

Spielzeitanteile, siehe Abbildung 6-1.

Abbildung 6-1: Spielzeitanteile

Zykluszeiten für die Lastübergabevorgänge und Fahrzeiten zwischen verschiedenen

Lagerfächern sind von der Position der Übergabepunkte unabhängig und können

mit bereits vorhandenen Ansätzen bestimmt werden. Hierfür werden geeignete

Berechnungsmodelle ausgewählt. Zur Berechnung der vom Ort der Übergabe ab-

hängigen Fahrzeiten zwischen Übergabepunkten und Lagerfächern werden neu

entwickelte Modelle vorgestellt, welche sich je nach verwendeter Betriebsstrategie

und Anordnung der Übergabepunkte unterscheiden. Dabei wird auf eine Berech-

nung für Konzepte mit mehr als drei Übergabepunkten verzichtet, da eine durchge-

führte Untersuchung zeigt, dass die mögliche Verkürzung der mittleren Fahrzeiten

bei zunehmender Anzahl der Übergabepunkte immer weiter abnimmt (vgl. Ab-

schnitt 5.3.2). Stattdessen wird der Grenzwert in Form einer Übergabestrecke mit

unendlich vielen Übergabepunkten betrachtet. Ebenso unberücksichtigt bleiben

diagonal angeordnete Übergabestrecken, Kombinationen von horizontal und vertikal

angeordneten sowie verkürzte Übergabestrecken.

Ein

zels

pie

lD

op

pels

pie

l

Aufnahme LE am ÜP

Fahrt ÜP-LF

Ein-lagerung

Fahrt LF-ÜP

Aufnahme LE am ÜP

Ein-lagerung

Aus-lagerung

Abgabe LE am ÜP

Fahrt ÜP-LF1 Fahrt LF1-LF2 Fahrt LF2-ÜP

t

Unabhängig vom Ort der Übergabe

Abhängig vom Ort der Übergabe


92

Die entwickelten mathematisch-analytischen Modelle basieren auf einer Berechnung

der Fahrzeiten bei konstanten Verfahrgeschwindigkeiten von Fahr- und Hubwerk.

Um die Beschleunigung berücksichtigen zu können, wird ein Korrekturfaktor, die

sogenannte Bremsbeschleunigungszeit, berechnet. Hierfür kann auf einen vorhan-

denen Ansatz zurückgegriffen werden, welcher jedoch für die neuen Konzepte mit

mehreren Übergabepunkten adaptiert werden muss.

Schwerpunkt der Berechnung sind die Fahrzeiten zwischen Lagerfächern und Über-

gabepunkten für Konfigurationen mit mehreren Übergabepunkten. Aus diesem

Grund wird, wie bereits in Kapitel 5, eine elementare Lagerkonfiguration mit einfach-

tiefer Lagerung, einem Lastaufnahmemittel mit Kapazität 1 und einfachen Betriebs-

strategien betrachtet. Die Berechnungsmodelle sind jedoch mit vorhandenen Ansät-

zen erweiterbar, um auch weitere Konfigurationen berücksichtigen zu können.

Modelle für die Berechnung bei doppeltiefer Lagerung stellen beispielsweise Lippolt

[Lip-2003, S. 119ff] oder Lerher et al. [Ler-2010] vor. Für Konfigurationen mit mehre-

ren Lastaufnahmemitteln zeigen z. B. Sarker et al. [Sar-1991] oder Meller und

Mungwattana [Mel-1997] Berechnungsansätze auf.

6.1 Getroffene Annahmen und Festlegungen

Die Annahmen und Festlegungen für die folgenden Berechnungen decken sich

größtenteils mit den Rahmenbedingungen für die in Kapitel 5 durchgeführten Spiel-

zeitberechnungen (siehe Abschnitt 5.1.1). Aus diesem Grund wird an dieser Stelle

nur auf davon abweichende und ergänzende Bedingungen eingegangen. Die we-

sentlichen Unterschiede zu den durchgeführten Berechnungen sind:

Betrachtung von infinitesimal kleinen Lagerfächern

Transformation der Regalabmessungen in den Zeitbereich

Allgemeine Berechnung in Abhängigkeit von b

Zusätzliche Berücksichtigung der Strategie „Nächstgelegener Übergabe-

punkt“

Die Berechnung erfolgt für eine kontinuierlich modellierte Regalfläche mit infinitesi-

mal kleinen Lagerfächern (vgl. Abschnitt 2.2.1). Diese wird durch eine in Ab-

schnitt 2.2.5 beschriebene Skalierung und Normierung der Koordinaten in den

Zeitbereich transformiert. Auf diese Weise ist die Berechnung für einen allgemeinen

Fall in Abhängigkeit des Parameters b (vgl. Abschnitt 2.2.5) möglich. Beliebige

6.2 Berechnung vom Ort der Übergabe unabhängiger Spielzeitanteile

93

Kombinationen von Regalabmessungen und Geschwindigkeiten von Fahr- und

Hubwerk des Regalbediengerätes können somit berücksichtigt werden, ohne Ein-

schränkungen hinsichtlich der Werte des Regalwandparameters w.

Neben der für die bisherigen Untersuchungen angewandten Strategie bei der Aus-

wahl eines Übergabepunktes „Berücksichtigung nächstes Ziel“ erfolgt auch die

Berechnung für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“. Dies liegt darin

begründet, dass erstgenannte Strategie nur anwendbar ist, wenn das nächste Ziel

zum Zeitpunkt der Auswahl eines Übergabepunktes bereits bekannt ist. Ist diese

Voraussetzung nicht erfüllt, kann die zweite Strategie zur Anwendung kommen.

Zur Durchführung beispielhafter Berechnungen wird auf bereits für die Spielzeitbe-

rechnung in Kapitel 5 festgelegte Konfigurationsdaten zurückgegriffen, wobei nur die

Abmessungen eines Regals Berücksichtigung finden. Aus Abschnitt 5.2.1 und

Abschnitt 5.2.2 werden folgende Daten übernommen:

Regalabmessungen (L x H) = 20 x 10 m

vx = 6,0 m/s

vy = 3,0 m/s

ax = 4,0 m/s²

ay = 2,0 m/s²

Zykluszeit Ein- oder Auslagerung ,LAM E At = 4,0 s

Zykluszeit Aufnahme/Abgabe am ÜP ,LAM ÜP

t = 5,0 s


Die Zykluszeiten für Lastübergabevorgänge und die mittlere Fahrzeit zwischen zwei

Lagerfächern, beispielsweise bei der Leerfahrt innerhalb eines Doppelspieles, sind

unabhängig von Anzahl und Position der Übergabepunkte. Die Berechnung dieser

Anteile für den Fall mehrerer Übergabepunkte unterscheidet sich demzufolge nicht

von der Berechnung bei einem einzelnen Übergabepunkt. Somit kann auf bereits

vorhandene Berechnungsansätze zurückgegriffen werden.


94

6.2.1 Bestimmung der Zykluszeiten für die Lastübergabe

Die Zykluszeiten für die Lastübergabevorgänge innerhalb von Einzel- und Doppel-

spielen können durch die Anzahl und Dauer der vorkommenden Lastübergabevor-

gänge berücksichtigt werden. Unter der Voraussetzung, dass bei Doppelspielen die

Aufnahme und Abgabe von Ladeeinheiten am Übergabepunkt gleichzeitig in einem

Zyklus erfolgen kann, und dass die Dauer von Ein- und Auslagervorgängen identisch

ist, gilt für die Anzahl der zu berücksichtigenden Lastübergabevorgänge:

Tabelle 6-1: Anzahl der Lastübergabevorgänge bei Einzel- und Doppelspiel

Arbeitsspiel Aufnahme/Abgabe am ÜP Ein- oder Auslagerung

Einzelspiel 1 1

Doppelspiel 1 2

6.2.2 Berechnung der mittleren Fahrzeit zwischen zwei Lagerfächern

Für den betrachteten Fall der chaotischen Lagerplatzzuordnung eignet sich ein

Modell nach Bozer und White [Boz-1984] zur Berechnung der mittleren Fahrzeit

LF LFE t zwischen zwei Lagerfächern ohne Berücksichtigung von Beschleunigung

und Verzögerung. Dabei wird zunächst der Erwartungswert : /LF LF LF LFE t E t T

für eine mit skalierten und normierten Koordinaten beschriebene Regalfläche be-

rechnet:

2 31 1 1

3 6 30LF LFE t b b (6-1)

mit

min ,

max ,

,

yx

x y

x y

x y

ttb

T T

T t t

L Ht t

v v

Der für die Berechnung notwendige Parameter b wird in Abschnitt 2.2.5 erläutert. xt

und yt stellen die maximalen Fahrzeiten in horizontale bzw. vertikale Bewegungs-

richtung dar. T entspricht der maximalen Fahrzeit des Regalbediengerätes. Das

Ergebnis aus (6-1) für die skalierte Regalfläche muss im Anschluss mit T multipliziert

werden, um die Fahrzeit für die realen Regalabmessungen zu erhalten.


95

Neben der betrachteten zufälligen Wahl eines Lagerfaches für die Einlagerung

könnte dieses auch in der Umgebung des Lagerfaches für die Auslagerung gesucht

werden, um auf diese Weise die Leerfahrt zu verkürzen. Die Berechnung der mittle-

ren Fahrzeit zwischen Lagerfach für die Einlagerung und Lagerfach für die Auslage-

rung kann in diesem Fall beispielsweise nach einem von Seemüller vorgestellten

Ansatz erfolgen (siehe [See-2005, S. 127ff]).

6.2.3 Berechnungsbeispiel

Die Summe der Zykluszeiten des Lastaufnahmemittels kann für Einzel- und Doppel-

spiele mit der jeweiligen Anzahl der in Abschnitt 6.2.1 angeführten Lastübergabe-

vorgänge und den in Abschnitt 6.1 angegebenen beispielhaften Zykluszeiten be-

stimmt werden. Für Einzelspiele beträgt die Summe der Zykluszeiten ,LAM ESt :

, ,,

9 sLAM ES LAM E ALAM ÜPt t t

Die Summe der Zykluszeiten für Doppelspiele ,LAM DSt beträgt hingegen:

, ,,

2 13 sLAM DS LAM E ALAM ÜPt t t

Eine exemplarische Berechnung der mittleren Fahrzeit zwischen zwei Lagerfächern

wird mit den in Abschnitt 6.1 angeführten Daten durchgeführt. Nach Bozer und

White [Boz-1984] berechnet sich der Erwartungswert der Fahrzeit zwischen zwei

Lagerfächern wie folgt (vgl. vorangehenden Abschnitt):

2 3

20 m 10 m3,33 s 1

m m6 3

s s

1 1 1 14

3 6 30 30

1,554 s

x y

LF LF

LF LF LF LF

t t T b

E t b b

E t E t T

Der berechnete Erwartungswert LF LFE t entspricht der mittleren Fahrzeit zwischen

zwei Lagerfächern des Regals bei konstanter Fahrgeschwindigkeit, ohne Berück-

sichtigung von Beschleunigung und Verzögerung.


96

6.3 Berechnung der Bremsbeschleunigungszeit

Die durch Beschleunigungs- und Verzögerungsvorgänge bedingte Verlängerung der

mit konstanten Fahrgeschwindigkeiten berechneten Fahrzeiten soll näherungsweise

bestimmt werden. Dabei wird stets davon ausgegangen, dass die maximale Fahrge-

schwindigkeit erreicht wird (trapezförmiges Geschwindigkeitsprofil, vgl. Abschnitt

2.2.2). Die Zeitdifferenz zwischen rechteckigem Geschwindigkeitsprofil ohne Be-

rücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung und trapezförmigem Ge-

schwindigkeitsprofil bezeichnet Gudehus als Bremsbeschleunigungszeit. Diese ist

durch folgende Beziehung für eine maximale Geschwindigkeit maxv und eine mittlere

Bremsbeschleunigung a gegeben: [Gud-1972c]

maxb

vt

a (6-2)

Die Bremsbeschleunigungszeiten von Fahr- und Hubwerk können verschieden sein

und müssen daher entsprechend des Anteils fahr- und hubzeitkritischer Fächer (vgl.

Abschnitt 3.1) gewichtet werden. Hierfür zeigt Gudehus [Gud-1972c] einen Ansatz

auf, welcher allerdings in Verbindung mit mehreren Übergabepunkten nur bedingt

anwendbar ist. Eine Ausnahme bildet die Fahrt zwischen zwei Lagerfächern.

6.3.1 Berechnung für die Fahrt zwischen zwei Lagerfächern

Die Berechnung der mittleren Bremsbeschleunigungszeit ,b LF LFt für die Fahrt zwi-

schen zwei Lagerfächern unterscheidet sich bei mehreren Übergabepunkten nicht

von der Berechnung für einen Übergabepunkt. Daher ist es möglich, auf einen

vorhandenen Ansatz nach Gudehus zurückzugreifen. Danach können die Bremsbe-

schleunigungszeiten von Fahr- und Hubwerk basierend auf dem Regalwandparame-

ter w gewichtet werden, um auf diese Weise eine mittlere Bremsbeschleunigungs-

zeit zu erhalten: [Gud-1972c]

,

1 falls 12 2

1 11 falls 1

2 2

yx

x y

b LF LF

yx

x y

vvw ww

a at

vvw

w a w a

(6-3)


97

6.3.2 Berechnungsansatz für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“

Mehrere Übergabepunkte erfordern einen neuen Ansatz für die Gewichtung zur

Bestimmung einer mittleren Bremsbeschleunigungszeit. Im Folgenden wird in Form

eines Ausblickes ein Ansatz zur Gewichtung der Bremsbeschleunigungszeiten von

Fahr- und Hubwerk entsprechend des Anteils fahr- und hubzeitkritischer Fächer

vorgestellt. Exemplarisch erfolgt die Betrachtung einer Konfiguration mit zwei Über-

gabepunkten.

Die Berechnung für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ ist für die Fahrt

von einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt und die Fahrt in entgegengesetzte

Richtung unterschiedlich. Bei der Fahrt von einem Übergabepunkt zu einem Lager-

fach erfolgt keine optimierte Zuordnung, was bedeutet, dass von einem Übergabe-

punkt ausgehend jedes Lagerfach im Mittel gleich häufig angefahren wird. Aufgrund

der Symmetrie sind fahr- und hubzeitkritische Bereiche für beide Übergabepunkte

gleich groß, wie folgende Abbildung veranschaulicht:

Abbildung 6-2: Bereiche bei der Fahrt von einem Übergabepunkt zu einem Lagerfach

Für eine exemplarische Berechnung wird der Fall betrachtet, dass die von den

Übergabepunkten nach außen verlaufenden Synchronfahrgeraden den vertikalen

Rand der Regalfläche schneiden. Dies ist bei der gewählten Anordnung der Überga-

bepunkte für 2 / 3w gegeben. Die Steigung der Geraden entspricht dem Verhält-

nis der Geschwindigkeiten und kann mit den Regalabmessungen und dem Regal-

wandparameter w wie folgt beschrieben werden:

y

x

v H

v w L (6-4)

Anhand der Steigung kann die Berechnung fahr- und hubzeitkritischer Flächen und

anschließende Bestimmung der jeweiligen Anteile erfolgen. Die Summe der fahrzeit-

kritischen Flächen kann gemäß (6-5) bestimmt werden.

L

ÜP1(L/3, 0)

Hhubzeitkritisch

fahrzeitkritisch

L

ÜP2(2/3L, 0)


98

5

18fahrzeitkritischA L H

w (6-5)

Mit dem Anteil dieser Fläche an der Gesamtfläche und dem Anteil der hubzeitkriti-

schen Restfläche werden die Bremsbeschleunigungszeiten von Fahr- und Hubwerk

gewichtet:

,

5 5 21 falls

18 18 3

yx

b ÜP LF

x y

vvt w

w a w a (6-6)

Nach dieser Vorgehensweise kann auch eine Gewichtung für die weiteren Fälle mit

2 / 3w erfolgen, welche im Rahmen dieses Beispiels nicht betrachtet werden.

Stattdessen erfolgt die Bestimmung der Bremsbeschleunigungszeit für die Fahrt von

einem Lagerfach zum Übergabepunkt. Die Auswahl eines Übergabepunktes gemäß

der Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ bewirkt eine optimierte Zuordnung

zwischen Lagerfächern und Übergabepunkten. Ausgehend von Lagerfächern in der

linken Hälfte der Regalfläche wird ÜP1 ausgewählt, für alle Lagerfächer in der rech-

ten Hälfte ÜP2. Fahr- und hubzeitkritische Bereiche können folglich aus den in Ab-

bildung 6-2 für den Fall ohne optimierte Zuordnung gezeigten Darstellungen für die

beiden Übergabepunkte zusammengesetzt werden. Dabei ergibt sich folgendes

Bild, wobei die Strichlinie die Grenze zwischen den Darstellungen für die beiden

Übergabepunkte bildet:

Abbildung 6-3: Bereiche bei der Fahrt von einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt

Anhand der in (6-4) angegebenen Steigung kann die Berechnung fahr- und hubzeit-

kritischer Flächen und anschließende Bestimmung der jeweiligen Anteile erfolgen.

Für den Fall, dass die von den Übergabepunkten nach außen verlaufenden Syn-

chronfahrgeraden die seitlichen Ränder der Regalfläche schneiden, was für 1/ 3w

gegeben ist, berechnet sich die Summe der fahrzeitkritischen Flächen unterhalb der

Geraden wie folgt:

H

L

ÜP1(L/3, 0) ÜP2(2/3L, 0)

hubzeitkritisch

fahrzeitkritisch


99

5

36fahrzeitkritischA L H

w (6-7)

Der Anteil dieser Fläche an der Gesamtfläche L x H beträgt somit 5 / (36 )w . Mit

diesem Anteil kann eine Gewichtung der Beschleunigungszeiten von Fahr- und

Hubwerk erfolgen:

,

5 5 11 falls

36 36 3

yx

b LF ÜP

x y

vvt w

w a w a (6-8)

Für 1/ 3w oder abweichende Anordnungen der Übergabepunkte können die

Bremsbeschleunigungszeiten auf analoge Weise gewichtet werden, worauf im

Rahmen dieses Beispiels nicht weiter eingegangen wird.

6.3.3 Ausblick für die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“

Kommt die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ bei der Auswahl eines Über-

gabepunktes zur Anwendung, so wird bei der Wahl eines Übergabepunktes jeweils

eine Kombination aus zwei Lagerfächern berücksichtigt. Ausgehend von einem

Lagerfach ergeben sich unabhängig vom nächsten Ziel, welches bei der Wahl des

Übergabepunktes berücksichtigt wird, folgende Bereiche:

Abbildung 6-4: Bereiche bei der Fahrt von einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt

Neben fahr- und hubzeitkritischen Bereichen, die unabhängig vom gewählten Über-

gabepunkt und somit vom nächsten Ziel sind, gibt es dazwischen auch Bereiche, für

welche keine Zuordnung in Abhängigkeit des Ausgangspunktes möglich ist. Für

diese Bereiche ist eine Berücksichtigung des Übergabepunktes erforderlich, welcher

in Abhängigkeit des Ziels ausgewählt wird. Somit besteht eine Abhängigkeit von

Start- und Zielpunkt, welche ein mehrdimensionales Problem darstellt, das nicht

grafisch gelöst werden kann. Eine Gewichtung der Bremsbeschleunigungszeiten

L

ÜP1(L/3, 0) ÜP2(2/3L, 0)

H hubzeitkritisch

fahrzeitkritisch

nicht definiert


100

anhand einer Betrachtung der Anteile fahr- und hubzeitkritischer Bereiche ist für

diese Strategie daher nicht möglich. An dieser Stelle besteht noch Forschungsbe-

darf. Ein möglicher Ansatz ist eine numerische Bestimmung der Gewichtung mit

anschließender Approximation mittels einer geeigneten Funktion für unterschiedliche

Anordnungen mehrerer Übergabepunkte. In den folgenden Berechnungsbeispielen

werden identische Beschleunigungs- bzw. Verzögerungszeiten für Fahr- und Hub-

werk angenommen, wodurch eine Gewichtung überflüssig wird.

6.3.4 Validierung der Berechnungsmodelle

Die Validierung der Berechnungsmodelle für die Bremsbeschleunigungszeit erfolgt

zweigeteilt. Zunächst soll überprüft werden, wie sich die Annahme eines trapezför-

migen Geschwindigkeitsprofils auswirkt. Im nächsten Schritt werden die Ansätze zur

Gewichtung der Bremsbeschleunigungszeiten von Fahr- und Hubwerk überprüft.

Die Überprüfung der Abweichungen bei Annahme eines trapezförmigen Geschwin-

digkeitsprofils erfolgt anhand einer numerischen Berechnung der Fahrzeiten ohne

sowie unter Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung. Aus der Diffe-

renz ergibt sich der effektive Unterschied, welcher auch auftretende dreiecksförmige

Geschwindigkeitsprofile berücksichtigt. Gegenstand der exemplarischen Betrach-

tung ist ein Regal mit einem im Eckpunkt angeordneten Übergabepunkt und Lager-

fächern der Größe L x H = 0,5 x 0,4 m. Mit den weiteren in Abschnitt 6.1 angeführten

Parametern können die numerische Berechnung sowie eine Bestimmung der

Bremsbeschleunigungszeit gemäß (6-2) durchgeführt werden. Die Ergebnisse sind in

Tabelle 6-2 enthalten:

Tabelle 6-2: Vergleich der Bremsbeschleunigungszeiten ohne Gewichtung

Numerische Berechnung Berechnungsansatz

Minimum 0,57 s -

Maximum 1,5 s -

Mittelwert 1,48 s 1,5 s

Während nach dem Berechnungsansatz ohne Berücksichtigung von dreieckigen

Fahrprofilen immer die maximale Bremsbeschleunigungszeit bestimmt wird, kann

diese für bestimmte Lagerfächer auch deutlich kürzer sein, wie der minimale Wert

der numerischen Berechnung zeigt. Im Mittel ist die Abweichung jedoch gering, da

im betrachteten Beispiel bei der Fahrt zu etwa 80 % der Lagerfächer die maximale


101

Fahrgeschwindigkeit des Fahrwerks bei fahrzeitkritischen Fächern bzw. des Hub-

werks bei hubzeitkritischen Fächern erreicht wird. Dieser Anteil wird sowohl von den

Regalabmessungen und den Eigenschaften des Regalbediengerätes als auch von

der Anordnung der Übergabepunkte beeinflusst. Beim Vorhandensein von mehr als

einem Übergabepunkt ist von größeren Abweichungen auszugehen, da die Fahrwe-

ge kürzer werden und somit der Anteil der Lagerfächer abnimmt, für welche die

maximale Geschwindigkeit erreicht werden kann.

Zur Überprüfung der Ansätze für die Gewichtung der Bremsbeschleunigungszeiten

von Fahr- und Hubwerk anhand des Regalwandparameters w werden die in Ab-

schnitt 5.2.2 festgelegten Regalabmessungen mit unterschiedlichem Regalwandpa-

rameter berücksichtigt. Für die drei Regale wird die Gewichtung gemäß dem in

Abschnitt 6.3.1 beschriebenen Ansatz für die Fahrt zwischen zwei Lagerfächern

überprüft. Dazu erfolgt wiederum ein Vergleich mit einer numerischen Berechnung,

welche unter Berücksichtigung der tatsächlichen Lagerfachabmessungen jeweils für

alle möglichen Kombinationen der Lagerfächer durchgeführt wurde. Die Ergebnisse

sind in folgender Tabelle angeführt:

Tabelle 6-3: Vergleich der Gewichtung für die Fahrt zwischen zwei Lagerfächern

Numerische Berechnung Berechnungsansatz

Regal fahrzeitkritisch hubzeitkritisch fahrzeitkritisch hubzeitkritisch

20 x 10 m (w = 1) 49,7 % 49,7 % 50 % 50 %

28 x 7 m (w = 0,5) 69,9 % 29,6 % 75 % 25 %

14 x 14 m (w = 2) 28,9 % 70,6 % 25 % 75 %

Zunächst fällt auf, dass bei numerischer Berechnung nicht alle Fächer klar zugeord-

net werden können, da es auch Kombinationen von Lagerfächern gibt, für welche

die Fahrzeiten von Fahr- und Hubwerk identisch sind. Während das Verhältnis fahr-

und hubzeitkritischer Lagerfächer bei einem Regalwandparameter w = 1 überein-

stimmt, kommt es für andere Werte von w zu deutlichen Abweichungen zwischen

dem numerisch berechneten Verhältnis und der Gewichtung nach dem Berech-

nungsansatz. Demzufolge sind auch beim davon abgeleiteten Ansatz für mehrere

Übergabepunkte abweichende Ergebnisse zu erwarten. Eine Validierung dieses

Ansatzes ist jedoch nicht möglich, da lediglich anhand einer beispielhaften Konfigu-

ration die Vorgehensweise, nicht aber eine vollständige Lösung aufgezeigt wurde.


102


Exemplarisch erfolgt die Berechnung der Bremsbeschleunigungszeit mit den in

Abschnitt 6.1 angeführten Kennwerten des Regalbediengerätes. Da die Bremsbe-

schleunigungszeiten von Fahr- und Hubwerk in diesem Beispiel identisch sind, kann

die mittlere Bremsbeschleunigungszeit nach (6-2) wie folgt berechnet werden:

, , ,

1,5 syxb LF LF b LF ÜP b ÜP LF

x y

vvt t t

a a

Aufgrund der bei identischen Bremsbeschleunigungszeiten nicht erforderlichen

Gewichtung ist die berechnete Bremsbeschleunigungszeit für die Fahrt zwischen

zwei Lagerfächern sowie die im Folgenden betrachteten Fahrten zwischen Lagerfä-

chern und Übergabepunkten zutreffend.

6.4 Spielzeitberechnung bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes

Zur Berechnung der Spielzeit bei Anwendung der Strategie „Nächstgelegener Über-

gabepunkt“ bei der Auswahl eines Übergabepunktes (siehe Abschnitt 4.2.2) müssen

neben den vom Ort der Übergabe unabhängigen Spielzeitanteilen die davon abhän-

gigen Fahrzeiten zwischen Übergabepunkten und Lagerfächern berechnet werden.

Hierfür werden neu entwickelte Berechnungsmodelle vorgestellt.

Die Wahl des Übergabepunktes ist bei der gewählten Strategie einzig von der Posi-

tion eines Startpunktes 1P abhängig. Davon ausgehend wird der geometrisch

nächstgelegene Übergabepunkt ausgewählt. In Abbildung 6-5 sind links beispielhaft

Fahrten von verschiedenen Startpunkten zum nächstgelegenen von zwei Übergabe-

punkten dargestellt. Die mittlere Fahrzeit von einem Lagerfach zum nächstgelegenen

Übergabepunkt wird mit LF ÜP

t bezeichnet.

Abbildung 6-5: Betrachtete Fahrten zwischen Übergabepunkten und Lagerfächern

P1,1

P1,2

P1,3

…

P1,n-1

P1,n

P2,1

P2,2

P2,m-1

P2,m

…

ÜP1 ÜP2 ÜP1 ÜP2


103

Ein ausgewählter Übergabepunkt dient zudem in aufeinanderfolgenden Arbeitsspie-

len als Ausgangspunkt für die Fahrt zu einem Zielpunkt 2P , wie in Abbildung 6-5

rechts am Beispiel von ÜP1 für verschiedene Zielpunkte dargestellt ist. Die Fahrzeit

ÜP LFt beschreibt die mittlere Dauer der Fahrt von einem Übergabepunkt zu einem

beliebigen Punkt der Regalfläche. Deren Bestimmung kann unabhängig von der

Fahrzeit LF ÜP

t erfolgen. Je nach Anordnung der Übergabepunkte kann die Häufig-

keit, mit welcher einzelne Übergabepunkte angefahren werden, variieren. Die Häu-

figkeit entspricht dem Anteil der Fläche, für deren Punkte ein bestimmter Übergabe-

punkt den nächstgelegenen Übergabepunkt darstellt. Es gilt daher zunächst für die

einzelnen Übergabepunkte die mittleren Fahrzeiten zu berechnen und diese im

Anschluss entsprechend des jeweiligen Flächenanteils zu gewichten.

Neben dem vorgestellten Beispiel mit diskreten Übergabepunkten wird auch der Fall

einer kontinuierlichen Übergabestrecke betrachtet. Abbildung 6-6 links zeigt hierfür

exemplarisch Fahrten von verschiedenen Startpunkten zum nächstgelegenen Über-

gabepunkt entlang der Strecke, was bei der gewählten Anordnung der Strecke

jeweils einer Fahrt senkrecht nach unten entspricht. Die rechte Darstellung zeigt

hingegen die Fahrt von einer ausgewählten Übergabeposition zu verschiedenen

Zielpunkten.

Abbildung 6-6: Betrachtete Fahrten zwischen Übergabestrecke und Lagerfächern

Die mittlere Fahrzeit für beide Fahrten kann wiederum unabhängig voneinander

berechnet werden. Hierfür wird nachfolgend ein neuer Ansatz vorgestellt, bevor im

Anschluss ein Modell für diskrete Übergabepunkte hergeleitet wird.

6.4.1 Berechnungsmodelle für die Übergabe entlang einer Übergabestrecke

Zur Bestimmung der mittleren Fahrzeit zwischen Lagerfächern und einer kontinuier-

lichen Übergabestrecke wird ein Berechnungsmodell, basierend auf dem Ansatz von

Bozer und White [Boz-1984] (vgl. Abschnitt 2.2.5), entwickelt. Dabei wird von kon-

stanten Fahrgeschwindigkeiten in horizontale und vertikale Richtung ausgegangen,

P1,1

P1,2

P1,3

P1,4

…

P1,n-1

P1,n

P2,1

P2,2

P2,m-1

P2,m

…

ÜPos


104

der Einfluss von Beschleunigung und Verzögerung wird mit dem in Abschnitt 6.3

vorgestellten Korrekturfaktor nachträglich berücksichtigt.

Berechnung für eine horizontale Übergabestrecke bei w ≤ 1 bzw. eine vertikale Übergabestrecke bei w ≥ 1

Die Herleitung des Modells erfolgt zunächst für einen Regalwandparameter 1w

und eine horizontal angeordnete Übergabestrecke. Das für diesen Fall hergeleitete

Modell eignet sich auch für eine Berechnung des Erwartungswertes für eine Lager-

gasse mit Regalwandparameter 1w und eine vertikal angeordnete Übergabestre-

cke. In diesem Fall ist aufgrund der Definition von b bei der Transformation von

Längenkoordinaten in Zeitkoordinaten zur Anwendung der Modelle eine Vertau-

schung der horizontalen und der vertikalen Achse erforderlich (vgl. Abbildung 2-8 in

Abschnitt 2.2.5).

Die Abmessungen der Regalfläche werden mit skalierten und normierten Koordina-

ten angegeben, wie in Abschnitt 2.2.5 beschrieben. Länge und Höhe werden dem-

zufolge mit 1 respektive b bezeichnet. Das Modell soll eine Anordnung der Überga-

bestrecke in der unteren Hälfte der Regalfläche berücksichtigen. Aufgrund der

Symmetrie und der Richtungsunabhängigkeit der Fahrzeiten können mit dem Modell

auch Anordnungen der Übergabestrecke in der oberen Regalhälfte abgebildet

werden. Die vertikale Koordinate der Übergabestrecke wird mit 0 [0, / 2]y b be-

schrieben. Abbildung 6-7 zeigt die betrachtete Regalfläche mit einer möglichen

Position der Übergabestrecke und der Andeutung weiterer möglicher Anordnungen:

Abbildung 6-7: Betrachtete Regalfläche mit horizontaler Übergabestrecke

Zur Berechnung der mittleren Spielzeit wird die Fahrt von einem Startpunkt 1 1 1P ,x y

zu einem Punkt 0,x y auf der Übergabestrecke (normierte Fahrzeit LF ÜP

t ) sowie

vom Übergabepunkt zu einem Zielpunkt 2 2 2P ,x y (normierte Fahrzeit ÜP LF

t ) be-

b

1

P1(x1,y1)P2(x2,y2)

y0

x

LF ÜPt

ÜP LFt


105

trachtet. Die Punkte 1P und 2P liegen auf der Regalfläche und bezeichnen Bezugs-

punkte einzelner Lagerfächer. Somit sei 1 2, , 0,1x x x und 1 2, 0, .y y b 1G z

bezeichnet die Verteilungsfunktion und gibt damit die Wahrscheinlichkeit an, mit

welcher die Fahrzeit unterhalb einer durch 0z vorgegebenen Grenze liegt. Der

wahrscheinlichkeitstheoretische Ansatz für die normierte Fahrzeit LF ÜP

t lautet somit:

1 1 1 1 0

[0,1]

argmin | |LF ÜP

x

G z P z P x x x zt P y y z (6-9)

Mit

1 10,1

argminx

x x x ergibt sich:

1 1

[0,1]

argmin 0 1 x

P x x x z P z (6-10)

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 1 0y y z kann anhand einer grafischen

Darstellung der Betragsfunktion (Abbildung 6-8) für ein festes 0y und ein variables

1y hergeleitet werden.

Abbildung 6-8: Skizze der Betragsfunktion

1 0P y y z entspricht hier dem Betrag der Urbildmenge des Intervalls 0, z , der

mit dem Faktor 1/b auf ein Wahrscheinlichkeitsmaß skaliert wurde. Für Werte von

0z y ist die Urbildmenge die Vereinigung aus 0 0,y z y und 0 0,y y z . Der

Betrag der Urbildmenge beträgt also z + z. Dies spiegelt den Fakt wider, dass es

unterhalb sowie oberhalb der Übergabestrecke mit vertikaler Koordinate 0y jeweils

Lagerfächer mit identischem Abstand zur Übergabestrecke gibt. Für 0z y ist die

Urbildmenge 00, y z . Im Intervall 00, y ist die Steigung der Funktion somit

doppelt so groß wie für Werte von 0z y . Folgende Abbildung zeigt für zwei exemp-

larische Werte von z die jeweilige Urbildmenge:

1y

1 0y y

0y

0b y

0y 02y b


106

Abbildung 6-9: Urbildmenge für exemplarische Werte von z

In Abhängigkeit der identifizierten Wertebereiche von z beträgt die Wahrscheinlich-

keit für eine durch z nach oben beschränkte Fahrzeit in y-Richtung:

0

01 00 0

0

2 falls 0

falls

1 falls

zz y

b

y zP y y zy z b y

b

b y z

(6-11)

Mit (6-10) und (6-11) kann nun die Verteilungsfunktion der gesamten Fahrzeit 1( )G z

berechnet werden:

0

01 1 00 0

0

2 falls 0

0 falls

1 falls

zz y

b

y zG z P z P y y zy z b y

b

b y z

(6-12)

Durch Ableiten der Verteilungsfunktion ergibt sich die Dichtefunktion:

0

1 10 0

2 falls 0

( ) ( ) 1 falls

0 sonst

z yb

g z G zy z b y

b

(6-13)

Der Erwartungswert der normierten Fahrzeit LF ÜP

t von einem Punkt 1 1 1P ( , )x y zu

einem Punkt 0( , )x y auf der Übergabestrecke kann nun wie folgt berechnet werden,

wobei nur über den relevanten Bereich 0[0, ]b y integriert werden muss, da die

Dichtefunktion überall sonst Null ist:

1y

1 0y y

0y

0b y

0y 02y b

1z

12z

2z

0 2y z


107

0 0 0

0

20

00 0

2( ) d d d

2

b y y

F Ü yP

b

L

y yz z bE z g z z z z y

b b bt (6-14)

Die absolute Koordinate der vertikalen Position der Übergabestrecke 0y wird zur

einfacheren Anwendung der Berechnungsformel durch eine relative Koordinate

0: /j y b ersetzt:

2

2LF ÜP

bE bj bjt (6-15)

Im nächsten Schritt wird ÜP LF

t für die Fahrt von einem Punkt 0( , )x y auf der Überga-

bestrecke zu einem Punkt 2 2 2P ( , )x y berechnet. In x-Richtung gilt nach Bozer und

White [Boz-1984] bei der Fahrt zwischen zwei Punkten:

2

1 2

2 falls 0 1

1 falls 1

z z zP x x z

z (6-16)

Die Verteilungsfunktion in y-Richtung 2 0P y y z entspricht 1 0P y y z und

somit ergibt sich analog zur vorherigen Rechnung:

0

02 00 0

0

2 falls 0

falls

1 falls

zz y

b

y zP y y zy z b y

b

b y z

(6-17)

Die Verteilungsfunktion der gesamten Fahrzeit 2G z beträgt damit:

2 3

0

2 2 30 0

2 1 2 2 0 0 0

20

4 2 falls 0

2 2( ) falls

2 falls 1

1 falls 1

z zz y

b

y z z y z zG z P x x z P y y z y z b y

b

z z b y z

z

(6-18)

Daraus kann wiederum die Dichtefunktion berechnet werden:

2

0

20 0

2 2 0 0

0

8 6 falls 0

2 4 2 3( ) ( ) falls

2 2 falls 1

0 sonst

z zz y

b

y z y z zg z G z y z b y

b

z b y z

(6-19)


108

Nun kann der Erwartungswert der normierten Fahrzeit ÜP LF

t berechnet werden:

0 0

0 0

1

0

2 2 32 31

20 0

0

2 2 2 3 2 3 40 0 0 0 0 0

d

2 4 2 38 6 d d 2 2 d

1 1 1 1 1 1 1

3 2 3 12 3 6 3

ÜP L

y b y

y b y

FE z g z z

y z z y z zz zz z z z z

b b

b y by by b b y y yb

t

(6-20)

Durch Substitution der absoluten vertikalen Koordinate der Übergabestrecke 0y mit

einer relativen Koordinate 0: /j y b ergibt sich:

3 3 2 2 2 3 2 2 3 3 3 41 1 1 1 1 1 1

3 2 3 12 3 6 3ÜP LFE b j b j b j b b b j b jt j b (6-21)

Somit können nun die mittleren Fahrzeiten von einem Startpunkt zum nächstgelege-

nen Übergabepunkt auf der Übergabestrecke sowie vom Übergabepunkt zu einem

Zielpunkt für den Fall 1w und eine horizontal angeordnete Übergabestrecke oder

1w und eine vertikale Übergabestrecke berechnet werden. Die relative Position

der Übergabestrecke j ist für 0,1/ 2j definiert. Aufgrund der Symmetrie kann die

Berechnung bei 1/ 2j mit 1j j erfolgen.

Berechnung für eine horizontale Übergabestrecke bei w ≥ 1 bzw. eine vertikale Übergabestrecke bei w ≤ 1

Es folgt nun die Berechnung für den Fall 1w und eine horizontal angeordnete

Übergabestrecke bzw. 1w bei vertikaler Anordnung der Übergabestrecke. Dazu

wird zunächst analog zum bereits berechneten Fall die Verteilungsfunktion 1( )G z

berechnet:

1 1 0 1 1[0, ]

( ) argminy

Lb

F ÜPG z P z P x x z P y y y zt (6-22)

Mit folgender Verteilungsfunktion in x-Richtung

0

1 0 0 0 0

0

2 falls 0

falls 1

1 falls 1

z z x

P x x z x z x z x

x z

(6-23)


109

sowie der Funktion in y-Richtung

1 1

[0, ]

argmin 0 1 falls 0y b

P y y y z P z z (6-24)

ergibt sich die Verteilungsfunktion der gesamten Fahrzeit 1( )G z :

0

1 0 0 0

0

2 falls 0

falls 1

1 falls 1

z z x

G z x z x z x

x z

(6-25)

Die Dichtefunktion beträgt also:

0

1 1 0 0

2 falls 0

1 falls 1

0 sonst

z x

g z G z x z x (6-26)

Somit kann der Erwartungswert von LF ÜP

t berechnet werden. Die absolute Koordi-

nate der horizontalen Position der Übergabestrecke 0x und die relative Koordinate j

sind in diesem Fall identisch:

0

012 20 00

1 1d

2 2LF

x

P

j

Ü

x

E t z g z z x x j j (6-27)

Die Berechnung von ÜP LF

t kann wiederum unabhängig von LF ÜP

t erfolgen. Die

Verteilungsfunktion in x-Richtung lautet:

0

2 0 0 0 0

0

2 falls 0

falls 1

1 falls 1

z z x

P x x z x z x z x

x z

(6-28)

Sowie in y-Richtung:

2

21 2

2 falls 0

1 falls

bz zz b

P y y z b

b z

(6-29)

Die Bestimmung der Verteilungsfunktion der gesamten Fahrzeit und anschließende

Berechnung des Erwartungswertes machen eine Fallunterscheidung erforderlich, je

nachdem wie b zu 0x bzw. 01 x in Relation steht.


110

1. Fall: 0 01x x b

2 3

02

2 2 30 0

0 022 2 0 1 2

2

02

4 2 falls 0

2 2 falls 1

2 falls 1

1 falls

bz zz x

b

bx z bz x z zx z x

G z P x x z P y y z b

bz zx z b

b

b z

(6-30)

0

3 2 4 3 20 0 0 0 0 0

2 20

3 2 4 3 2

2

4 12 12 4 2 4 6 4 1d

12

4 12 12 4 2 4 6 4 1

12

b

ÜP LF

x j

b bx bx b x x x xE t z G z z

b

b bj bj b j j j j

b

(6-31)

2. Fall: 0 01x b x

2 3

02

2 2 30 0

2 2 0 1 2 02

0 0

0

4 2 falls 0

2 2 falls

falls 1

1 falls 1

bz zz x

b

bx z bz x z zG z P x x z P y y z x z b

b

x z b z x

x z

(6-32)

0

0

2 3 421

0 0 0 02 0 20

2 2 3 4

2

1d

3 12 2 3 12 2

1

3 12 2 3 12 2

x

ÜP LF

x j

bx x x xbE t z G z z x

b b

bj b j j jj

b b

(6-33)

3. Fall: 0 01b x x

2 3

2

02 2 0 1 2

0 0 0

0

4 2 falls 0

2 falls

falls 1

1 falls 1

bz zz b

b

z b z xG z P x x z P y y z

x z x z x

x z

(6-34)

00

2 21

2 22 0 00

1 1d

6 2 6 2

x jx

ÜP LF

b bE t z G z z x x j j (6-35)


111

Zusammenfassung der Berechnungsergebnisse

In Tabelle 6-4 werden die Berechnungsergebnisse für die Übergabe entlang einer

horizontalen oder vertikalen Übergabestrecke inklusive der erforderlichen Fallunter-

scheidungen zusammengefasst. Die Position der Übergabestrecke wird dabei

jeweils mit der relativen Koordinate j angegeben.

Tabelle 6-4: Zusammenfassung der Berechnungsergebnisse für eine kontinuierliche Über-gabestrecke

w Anordnung ÜS LF ÜPE t

ÜP LF

E t

1 horizontal

2

2

bbj bj

3 3 2 2 2 3

2 2 3 3 3 4

1 1 1 1

3 2 3 12

1 1 1

3 6 3

b j b j b j b b

b j b j b j

1 vertikal

1 horizontal

2 1

2j j

3 2 4 3 2

2

4 12 12 4 2 4 6 4 1

12

b bj bj b j j j j

b

für 1j j b

2 2 3 4

2

1

3 12 2 3 12 2

bj b j j jj

b b für 1j b j

2

2 1

6 2

bj j für 1b j j

1 vertikal

6.4.2 Berechnungsmodelle für diskrete Übergabepunkte

Abbildung 6-10 zeigt die betrachteten Konfigurationen mit zwei diskreten Überga-

bepunkten. Gemäß der in Abschnitt 4.3.2 vorgestellten Optimierung der Anordnung

werden die beiden Übergabepunkte für die Strategie „Nächstgelegener Übergabe-

punkt“ auf 1/3 respektive 2/3 der Länge bzw. Höhe angeordnet. Zudem wird eine

Verschiebung der Übergabepunkte bis zur halben Höhe bzw. Länge berücksichtigt,

was durch die weiteren Punkte angedeutet ist. Analog zum vorangehenden Ab-

schnitt wird die Koordinate der vertikalen Verschiebung horizontal angeordneter

Übergabepunkte mit 0y und die horizontale Verschiebung vertikal angeordneter

Übergabepunkte mit 0x bezeichnet.


112

Abbildung 6-10: Betrachtete Konfigurationen mit möglichen Anordnungen von zwei Überga-bepunkten

Aufgrund der symmetrischen Anordnung der Übergabepunkte bezüglich der Senk-

rechten x = 1/2 bzw. der Waagrechten y = b/2 sind die Erwartungswerte der Fahrzei-

ten für beide Übergabepunkte einer Konfiguration zwangsläufig identisch. Es genügt

daher, jeweils den Erwartungswert für einen der beiden Übergabepunkte zu berech-

nen. Die Koordinate des ausgewählten Übergabepunktes wird im Folgenden mit x

bei horizontaler bzw. y bei vertikaler Anordnung der Übergabepunkte bezeichnet.

Berechnung von LF ÜP

t

für zwei horizontal angeordnete Übergabepunkte bei

w ≤ 1 bzw. zwei vertikal angeordnete Übergabepunkte bei w ≥ 1

Analog zur Vorgehensweise im vorangehenden Abschnitt wird zunächst der Erwar-

tungswert der normierten Fahrzeit LF ÜP

t von einem Startpunkt 1 1 1P ,x y zu einem

Übergabepunkt

0,x y für 1w und horizontal angeordnete Übergabepunkte

berechnet. Dieser Fall entspricht aufgrund der Definition von b (vgl. Abschnitt 2.2.5)

zwei vertikal angeordneten Übergabepunkten bei 1w .

Bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes wird jeweils der in der Hälfte

des Startpunktes liegende Übergabepunkt ausgewählt, weshalb die Betrachtung

einer Hälfte der Fläche ausreicht. Die Bestimmung der Verteilungsfunktion der

Fahrzeit in x-Richtung kann anhand der Darstellung in Abbildung 6-11 nachvollzo-

gen werden (vgl. Abschnitt 6.4.1).

b

1

x0

b/3

b/3

y0

1

1/3 1/3


113


In diesem Fall ist die Urbildmenge des Intervalls 10, *x x mit Faktor 2 auf ein

Wahrscheinlichkeitsmaß skaliert ausschlaggebend. Die Wahrscheinlichkeit für eine

durch z nach oben beschränkte Fahrzeit in x-Richtung beträgt in Abhängigkeit der

identifizierten Wertebereiche von z:

1

1 12 falls 0 4 falls 0

6 62

1 1 1 1 1 1 falls 2 falls

6 6 3 3 6 3

z z z z

P x x z

z z z z

(6-36)

Die Wahrscheinlichkeit für die y-Richtung ist dagegen identisch mit der im vorange-

henden Abschnitt für eine horizontal angeordnete Übergabestrecke bestimmten

Funktion (6-11), da die Fahrzeiten für die vertikale Richtung von der Anzahl horizon-

tal angeordneter Übergabepunkte unabhängig sind.

Zur Berechnung von 1( )

LF ÜPtG z P z durch Multiplikation der beiden Wahr-

scheinlichkeiten gilt es nun, je nach Lage von 0y und Wert von b verschiedene Fälle

zu unterscheiden. Tabelle 6-5 beschreibt die Relationen zwischen den Definitions-

grenzen von 1P x x z und jenen von 1 0P y y z unter Berücksichtigung

der Restriktion 0 / 2y b und damit 0 0y b y .

1x x

1

6

1

3

1

3

1

21x1

6


114

Tabelle 6-5: Erforderliche Fallunterscheidungen bei der Berechnung von tLF-ÜP

Fall

1 0 0

1

6

1

3y b y

2 0 0

1 1

6 3y b y

3 0 0

1

3y b y

4 0 0

1 1

6 3y b y

5 0 0

1 1

6 3y b y

6 0 0

1

6y b y

Es folgt nun die Berechnung des Erwartungswertes der normierten Fahrzeit LF ÜP

t

für die verschiedenen Fälle aus Tabelle 6-5. Dabei werden jeweils die Verteilungs-

funktion der gesamten Fahrzeit 1G z und der Erwartungswert LF ÜPE t angege-

ben.

1. Fall: 0 01/ 6 1/ 3y b y bzw. 1/ 6 1 1/ 3bbj j

0

00

01 1 1 0

00

0

24 falls 0

14 falls

6

1 1 12 falls

3 6 3

1 falls

3

1 falls

zz z y

b

y zz y z

b

y zG z P x x z P y y zz z

b

y zz b y

b

b y z

(6-37)

0

0

10

2 30 0 0

0

2 2 3

d

5 21

2 36 72 2 3

5 1 2

2 36 2 72 3

L

b y

y bj

F ÜPE z G z z

y y yby

b b b b

b j bj b jb

t

jb

(6-38)


115

2. Fall: 0 01/ 6 1/ 3y b y bzw. 1/ 6 1/ 3 1j bb j

0

1 00

00

0

2 14 falls 0

6

1 2 12 falls

3 6

1 12 falls

3 3

1 falls

3

1 falls

zz z

b

zz z y

b

G z y zz y z

b

y zz b y

b

b y z

(6-39)

0

0

10

2 30 0 0

0

2 2 3

d

25

2 9 324 3 3

2 5

2 9 3 324 3

LF

b

y

P

bj

Ü

y

E z G z z

y y yby

b b b b

b j bj b jbj

b

t

(6-40)

3. Fall: 0 01/ 3 y b y bzw. 1/ 3 1bj b j

1

0

00 0

0

2 14 falls 0

6

1 2 1 12 falls

3 6 3

2 1 falls

3

falls

1 falls

zz z

b

zz z

b

G z zz y

b

y zy z b y

b

b y z

(6-41)

0

0

10

20

2

d

10

2 36

1

2 36

b y

LF ÜP

y bj

E z G z z

y by

b b

bbj bj

t

b

(6-42)


116

4. Fall: 0 01/ 6 1/ 3y b y bzw. 1/ 6 1 1/ 3bj b j

0

00

01 0

0

24 falls 0

14 falls

6

1 12 falls

3 6

1 12 falls

3 3

11 falls

3

zz z y

b

y zz y z

b

y zG z z z b y

b

z b y z

z

(6-43)

0

1

310

2 3220 0 0 0

0 0

2 2 2 32 2 2

d

1 1

6 3 36 648 3 6 3 9

1 1

6 36 3 6 648 3 3 9

L

y

F Ü

bj

PE z G z z

y y y yb bby y

b b b b

b j bj bj b b jb j b j

b

t

(6-44)

5. Fall: 0 01/ 6 1/ 3y b y bzw. 1/ 6 1 1/ 3bj b j

0

01 0 0

0

2 14 falls 0

6

1 2 12 falls

3 6

12 falls

3

1 12 falls

3 3

11 falls

3

zz z

b

zz z y

b

y zG z z y z b y

b

z b y z

z

(6-45)

0

1

310

2220 0

0 0

2 22 2 2

d

1 1

6 3 324 3 3 9

1 1

6 3 3 324 3 9

y

F P

bj

L ÜE z G z z

y yb bby y

b b

b bj bj bb j b j

b

t

(6-46)


117

6. Fall: 0 0 1/ 6y b y bzw. 1 1/ 6jbj b

0

00 0

1 0

24 falls 0

4 falls

14 falls

6

1 1 12 falls

3 6 3

11 falls

3

zz z y

b

y zz y z b y

b

G z z b y z

z z

z

(6-47)

0

1

310

22

0 0

22 2 2

d

2 52 2

3 36

2 52 2

3 36

y bj

LF ÜPE z G z z

bby y

bb j

t

b j

(6-48)

Berechnung von ÜP LF

t

für zwei horizontal angeordnete Übergabepunkte bei

w ≤ 1 bzw. zwei vertikal angeordnete Übergabepunkte bei w ≥ 1

Im Folgenden wird die Berechnung des Erwartungswertes der normierten Fahrzeit

ÜP LFt von einem Übergabepunkt zu einem Zielpunkt 2 2 2P ,x y gezeigt. Aufgrund

der symmetrischen Anordnung ist es ausreichend, die Berechnung für einen der

beiden Übergabepunkte durchzuführen. Dabei ist die Verteilungsfunktion in

y-Richtung identisch mit jener, die für eine Übergabestrecke bestimmt wurde,

siehe (6-11). In x-Richtung kann die Herleitung wiederum anhand einer grafischen

Darstellung der Betragsfunktion erfolgen (vgl. Abschnitt 6.4.1):


2x x

1

3

2

3

1

3

2

3

12x


118

Die Verteilungsfunktion in x-Richtung lautet somit:

2

12 falls 0

3

1 1 2 falls

3 3 3

21 falls

3

z z

P x x z z z

z

(6-49)

Bei der Berechnung von 2 ÜP LF

tG z P z durch Multiplikation der beiden Ver-

teilungsfunktionen sind wiederum Fallunterscheidungen erforderlich. Unter Berück-

sichtigung der Restriktion 0 / 2y b und damit 0 0y b y werden folgende Fälle

identifiziert:

Tabelle 6-6: Erforderliche Fallunterscheidungen bei der Berechnung von tÜP-LF

Fall

1 0 0

1

3

2

3y b y

2 0 0

2

3 3

1y b y

3 0 0

1

3

2

3y b y

4 0 0

1

3y b y

Die Berechnung von ÜP LF

t erfolgt nun für die Fälle aus Tabelle 6-6. Es werden

jeweils die Ergebnisse für die Verteilungsfunktion 2G z und der Erwartungswert

ÜP LFE t angegeben.

1. Fall: 0 01/ 3 2 / 3y b y bzw. 1/ 3 1 2 / 3bbj j

0

00

02 2 2 0

00

0

22 falls 0

12 falls

3

1 1 2 falls

3 3 3

2 falls

3

1 falls

zz z y

b

y zz y z

b

y zG z P x x z P y y zz z

b

y zz b y

b

b y z

(6-50)


119

0

0

20

2 30 0 0

0

2 2 3

d

5 1

2 18 18 2 3

5 1

2 18 2 18 3

b y

ÜP LF

y bj

E t z G z z

y y yby

b b b b

b j bj b jbj

b

(6-51)

2. Fall: 0 01/ 3 2 / 3y b y bzw. 1/ 3 1 2 / 3bj b j

0

00

02 0

0

22 falls 0

12 falls

3

1 1 falls

3 3

1 2 falls

3 3

21 falls

3

zz z y

b

y zz y z

b

y zG z z z b y

b

z b y z

z

(6-52)

0

2

320

2 2 320 0 0 0 0 0

2 2 2 2 2 2 3

d

1 2

6 3 2 18 162 6 2 6 6 9

1 2

6 18 3 6 2 162 6 2 6 9

ÜP LF

y bj

E t z G z z

y by y y y yb b

b b b b

b j bj bj b j b b j b j

b

(6-53)

3. Fall: 0 01/ 3 2 / 3y b y bzw. 1/ 3 1 2 / 3bj b j

0

02 0 0

0

2 12 falls 0

3

1 2 1 falls

3 3

1 falls

3

1 2 falls

3 3

21 falls

3

zz z

b

zz z y

b

y zG z z y z b y

b

z b y z

z

(6-54)

0

2

320

2 220 0 0 0

2 2 2 2 2

d

1 2

6 3 2 81 6 2 3 9

1 2

6 3 3 2 81 6 2 9

ÜP LF

y bj

E t z G z z

y by y yb b

b b

b bj bj b j b b j

b

(6-55)


120

4. Fall: 0 0 1/ 3y b y bzw. 1 1/ 3jbj b

0

00 0

2 0

22 falls 0

2 falls

12 falls

3

1 1 2 falls

3 3 3

21 falls

3

zz z y

b

y zz y z b y

b

G z z b y z

z z

z

(6-56)

0

2

320

22

0 0

22 2 2

d

5

3 18

5

3 18

ÜP LF

y bj

E t z G z z

bby y

bb j b j

(6-57)

Berechnung von LF ÜP

t

und ÜP LF

t

für zwei horizontal angeordnete Übergabe-

punkte bei w ≥ 1 bzw. zwei vertikal angeordnete Übergabepunkte bei w ≤ 1

Die Herleitung der Berechnung für zwei horizontal angeordnete Übergabepunkte

und 1w erfolgt für die aufgrund der Definition von b (vgl. Abschnitt 2.2.5) äquiva-

lente vertikale Anordnung bei 1w . Für zwei vertikal angeordnete Übergabepunkte

(vgl. Abbildung 6-10 rechts) ergeben sich gegenüber der für eine horizontale Anord-

nung durchgeführten Berechnung abweichende Grenzen und Fallunterscheidungen.

An den Berechnungsschritten ändert sich jedoch nichts, weshalb lediglich die End-

ergebnisse angeführt werden. Tabelle 6-7 enthält die Ergebnisse für die normierte

Fahrzeit LF ÜP

t von einem Startpunkt 1 1 1P ( , )x y zu einem Übergabepunkt 0,x y .

Tabelle 6-7: Ergebnisse für tLF-ÜP bei w ≤ 1 mit zwei vertikal bzw. w ≥ 1 mit zwei horizontal angeordneten Übergabepunkten

Fall LF ÜPE t

16 3

b bj j

2 2 35 2 1

36 72 2 3 2

bj b j jj

b

16 3

b bj j

2 2 35 2 1

9 324 3 3 2

bj b j jj

b

13

bj j

22 1

36 2

bj j


121

In Tabelle 6-8 sind die Ergebnisse für die normierte Fahrzeit ÜP LF

t von einem Über-

gabepunkt *0( , )x y zu einem Zielpunkt

2 2 2P ( , )x y angeführt.

Tabelle 6-8: Ergebnisse für tÜP-LF bei w ≤ 1 mit zwei vertikal bzw. w ≥ 1 mit zwei horizontal angeordneten Übergabepunkten

Fall ÜP LFE t

2

13 3

b bj j

2 2 35 1

18 18 2 3 2

bj b j jj

b

2

13 3

b bj j

2 2 32 5 2 1

9 81 3 6 2

bj b j jj

b

2

13

jb

j 2

2 1

9 2

bj j

2

13 3

b bj j

2 2 22 1 1

9 3 2 6 81 3 2 6

b j j b j j

b b b

Die Berechnung der Erwartungswerte der Fahrzeiten für Konfigurationen mit drei

horizontal oder vertikal angeordneten Übergabepunkten kann auf ähnliche Weise

erfolgen. Ein wesentlicher Unterschied ist dabei jedoch, dass bedingt durch die

ermittelte optimale Anordnung der Übergabepunkte die zwischen den Übergabe-

punkten liegenden und die äußeren Teilflächen nicht gleich groß sind. Dadurch ist

eine gesonderte Bestimmung der Fahrzeiten für die unterschiedlich großen Teilflä-

chen erforderlich. Im Anschluss kann über eine Gewichtung gemäß des Anteils der

Teilflächen an der Gesamtfläche der Erwartungswert der Fahrzeiten bestimmt wer-

den. Auf eine Ausführung der Berechnung wird an dieser Stelle verzichtet, da sich

die Berechnungsschritte bis auf die notwendige Gewichtung nicht von der für zwei

Übergabepunkte durchgeführten Berechnung unterscheiden.


Zum Zweck einer Validierung der Berechnungsmodelle erfolgt ein Abgleich mit den

Ergebnissen einer numerischen Berechnung. Mittels vollständiger Enumeration

werden die Fahrzeiten ohne Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung

für eine Fläche mit den Abmessungen L x H = 1 x b und die betrachteten Anordnun-

gen der Übergabepunkte berechnet. Dazu wird die Fläche diskretisiert, indem Länge

und Höhe jeweils in 50 Punkte unterteilt werden. Als Bezugspunkte dienen die

Flächenschwerpunkte der auf diese Weise entstehenden Teilflächen. Die Berech-

nung erfolgt für 1/ 10,1b und 0,1/2j mit Schrittweite 1/10. Somit ergeben

sich für jedes Berechnungsmodell 60 diverse Kombinationen von b und j, wofür die


122

Abweichung von analytischer zu numerischer Berechnung bestimmt wird. Der Be-

trag der jeweiligen maximalen Abweichung ist in Tabelle 6-9 angeführt.

Tabelle 6-9: Ergebnisse der Validierung der Berechnungsmodelle für die Strategie „Nächst-gelegener Übergabepunkt“

Maximale Abweichung gegenüber

numerischer Berechnung

Modell tLF-ÜP tÜP-LF

ÜS mit 1w horizontal angeordnet bzw. mit 1w vertikal angeordnet

0,00 % 0,02 %

ÜS mit 1w vertikal angeordnet bzw. mit 1w horizontal angeordnet

0,00 % 0,02 %

2 ÜP mit 1w horizontal angeordnet bzw. mit 1w vertikal angeordnet

0,01 % 0,01 %

2 ÜP mit 1w vertikal angeordnet bzw. mit 1w horizontal angeordnet

0,01 % 0,01 %

Die ermittelte maximale Abweichung ist stets vernachlässigbar gering, weshalb von

einer nahezu exakten Übereinstimmung von analytischer und numerischer Berech-

nung für den betrachteten Fall ohne Berücksichtigung von Beschleunigung und

Verzögerung ausgegangen werden kann. Welche Abweichungen bei nachträglicher

Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung mit einem Korrekturfaktor

zu erwarten sind, geht aus dem Berechnungsbeispiel im folgenden Abschnitt hervor.


Beispielhaft soll die Berechnung der mittleren Fahrzeiten zwischen Lagerfächern und

einer auf halber Regalhöhe angeordneten Übergabestrecke (siehe Abbildung 6-13)

mit den in Abschnitt 6.1 angeführten Daten erfolgen. Mit den vom Ort der Übergabe

unabhängigen Spielzeitkomponenten (siehe Abschnitt 6.2) ist schließlich eine Be-

stimmung der mittleren Spielzeiten für Einzel- sowie Doppelspiele möglich.

Abbildung 6-13: Exemplarische Anordnung einer Übergabestrecke

10 m

20 m

5 m


123

Mit den bereits in Abschnitt 6.2.3 bestimmten Werten b = 1 und T = 3,33 s kann für

die gewählte Anordnung der Übergabestrecke auf halber Regalhöhe, d. h. j = 1/2,

folgende mittlere Fahrzeit für die Fahrt von einem Lagerfach zum nächstgelegenen

Übergabepunkt berechnet werden, wobei Beschleunigung und Verzögerung zu-

nächst noch unberücksichtigt bleiben:

2 0,252

0,8325 sLF ÜP LF ÜP

LF ÜP

bE bj bj

E t E t T

t

Die mittlere Fahrzeit von einem Übergabepunkt zu einem Lagerfach beträgt hinge-

gen:

3 3 2 2 2 3 2 2 3 3 3 41 1 1 1 1 1 10,40625

3 2 3 12 3 6 3

1,353 s

ÜP LF

LFL ÜPÜP F

E b j b j b j b b b j b j

Tt

b j

E t E

t

Zur Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung wird zu den berechne-

ten Fahrzeiten jeweils noch die in Abschnitt 6.3.5 berechnete mittlere Bremsbe-

schleunigungszeit

, ,

1,5 sb LF ÜP b ÜP LF

t t addiert. Mit der in Abschnitt 6.2.3 ange-

gebenen Summe der Zykluszeiten für die Lastübergabevorgänge bei einem Einzel-

spiel , 9 sLAM ESt kann folgender Erwartungswert der Spielzeit für ein Einzelspiel

berechnet werden:

,, ,

0,8325 s 1,5 s 1,353 s 1,5 s 9 s 14,19 s

LAM ESLF ÜP b LF ÜP ÜP LF b ÜP FE LS E tt tE t E t t

Bei Doppelspielen gilt es zusätzlich die Leerfahrt zwischen zwei Lagerfächern zu

berücksichtigen, welche in Abschnitt 6.2.3 berechnet wurde, sowie die zugehörige

mittlere Bremsbeschleunigungszeit. Mit der Summe der Zykluszeiten für die

Lastübergabevorgänge bei einem Doppelspiel , 13 sLAM DSt (vgl. Abschnitt 6.2.3)

beträgt der Erwartungswert der Spielzeit für ein Doppelspiel:

, ,, ,

0,8325 s 1,5 s 1,353 s 1,5 s 1,554 s 1,5 s 13 s 21,24 s

LF LF b LF LF LAM DSLF ÜP b LF ÜP ÜP LF b ÜP LFDS E t t E t t E t t tE t

Die Ergebnisse werden mit jenen einer numerischen Berechnung der Fahrzeiten für

eine diskrete Regalfläche mit Lagerfächern der Abmessungen L x H = 0,5 x 0,4 m

und eine mittels 100 Übergabepunkten angenäherte Übergabestrecke verglichen.


124

Zur Bestimmung der mittleren Bremsbeschleunigungszeit wird die numerische

Berechnung sowohl ohne als auch unter Berücksichtigung von Beschleunigung und

Verzögerung durchgeführt und die Differenz gebildet. Für Fahr- und Bremsbe-

schleunigungszeiten sowie die gesamte Spielzeit unter Berücksichtigung der Zyk-

luszeiten des Lastaufnahmemittels ergeben sich dabei die in der folgenden Tabelle

angegebenen Zeiten und Abweichungen:

Tabelle 6-10: Abweichung der Ergebnisse gegenüber numerischer Berechnung

Komponente Numerische Berechnung Analytische Berechnung Abweichung

LF ÜPE t 0,8323 s 0,8325 s 0,02 %

,b LF ÜPt 1,270 s 1,5 s 18,11 %

ÜP LFE t 1,358 s 1,353 s -0,37 %

,b ÜP LFt 1,429 s 1,5 s 4,97 %

LF LFE t 1,555 s 1,554 s -0,06 %

,b LF LFt 1,437 s 1,5 s 4 %

,LAM DSt 13 s -

Summe 20,88 s 21,24 s 1,72 %

Die mit den entwickelten Berechnungsmodellen bestimmten Fahrzeiten bei konstan-

ter Geschwindigkeit weisen eine sehr gute Übereinstimmung mit den für eine diskre-

te Regalfläche numerisch berechneten Ergebnissen auf. Der durch eine kontinuierli-

che Modellierung der Regalfläche bedingte Fehler ist somit vernachlässigbar. Große

Abweichungen treten hingegen bei der mit einem vorhandenen Ansatz bestimmten

Bremsbeschleunigungszeit auf. Die Abweichungen sind dabei insbesondere bei der

Fahrt von einem Lagerfach zum nächstgelegenen Übergabepunkt sehr groß. Dies ist

auf die kurzen mittleren Fahrwege zurückzuführen, welche in Kombination mit dem

verwendeten Regalbediengerät häufig zu einem dreiecksförmigen Geschwindig-

keitsverlauf führen. Der in Abschnitt 6.3 beschriebene Ansatz sieht dessen Berück-

sichtigung jedoch nicht vor. Stattdessen wird in einer Näherung stets ein trapezför-

miger Geschwindigkeitsverlauf angesetzt. Der Fehler relativiert sich aber bei Be-

trachtung der gesamten Spielzeit, für welche die Abweichung < 2 % beträgt und

sich somit in einer tolerierbaren Größenordnung bewegt.

6.5 Spielzeitberechnung bei Auswahl ÜP unter Berücksichtigung des nächsten Ziels

125

6.5 Spielzeitberechnung bei Auswahl des Übergabepunktes unter Berücksichtigung des nächsten Ziels

Die Berechnung der mittleren Fahrzeiten bei Auswahl des Übergabepunktes unter

Anwendung der Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ erfolgt für eine Fahrt von

einem Startpunkt 1P über einen gemäß der in Abschnitt 4.2.3 beschriebenen Strate-

gie ausgewählten Übergabepunkt zu einem Zielpunkt 2P . Dabei werden mit der

maximalen Fahrzeit des Regalbediengerätes skalierte Fahrzeiten bestimmt. Jene von

einem Startpunkt zu einem Übergabepunkt ÜP* wird mit LF ÜP

t bezeichnet, die

anschließende Fahrzeit zum nächsten Zielpunkt mit ÜP LF

t , wie in Abbildung 6-14 für

eine exemplarische Anordnung von Start- und Zielpunkt dargestellt ist:

Abbildung 6-14: Betrachtete Fahrt von einem Startpunkt über einen Übergabepunkt zu einem Zielpunkt

Aufgrund der Abhängigkeit der Auswahl des Übergabepunktes von Start- sowie

Zielpunkt werden die beiden Fahrzeiten nicht getrennt voneinander berechnet,

sondern jeweils die gesamte Fahrzeit gest . Diese setzt sich aus den Fahrzeiten LF ÜP

t

und ÜP LF

t zusammen:

ges LF ÜP ÜP LF

t t t (6-58)

6.5.1 Berechnungsmodelle für die Übergabe entlang einer Übergabestrecke

Zur Berechnung der normierten Fahrzeit gest bei Übergabe entlang einer kontinuierli-

chen Übergabestrecke wird ein Berechnungsmodell entwickelt, welches auf dem

Ansatz von Bozer und White [Boz-1984] (vgl. Abschnitt 2.2.5) aufbaut. Der Einfluss

von Beschleunigung und Verzögerung wird wiederum nachträglich mithilfe des in

Abschnitt 6.3 vorgestellten Korrekturfaktors berücksichtigt.

P1

P2

ÜP*

LF ÜPt

ÜP LFt


126

Berechnung für eine horizontale Übergabestrecke bei w ≤ 1 bzw. eine vertikale Übergabestrecke bei w ≥ 1

Wie bereits für die betrachtete Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ (siehe

Abschnitt 6.4), erfolgt auch für die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ die

Herleitung des Modells zunächst für einen Regalwandparameter 1w und eine

horizontal angeordnete Übergabestrecke. Dieses Modell kann auch zur Berechnung

des Erwartungswertes bei 1w und vertikaler Anordnung der Übergabestrecke

angewendet werden (vgl. Abbildung 2-8 in Abschnitt 2.2.5).

Die Regalfläche wird wiederum mit skalierten und normierten Koordinaten beschrie-

ben. Anordnungen der Übergabestrecke bis zur halben Regalhöhe werden berück-

sichtigt, 0y bezeichnet die Position der Übergabestrecke. In Abbildung 6-15 ist die

betrachtete Regalfläche mit beispielhaft angeordneter Übergabestrecke und Start-

punkt 1 1 1P ,x y sowie Zielpunkt 2 2 2P ,x y dargestellt:

Abbildung 6-15: Betrachtete Regalfläche mit horizontaler Übergabestrecke

Sei 0 0, b/2y , 1 2, 0, 1x x , 1 2, 0, by y und G z die Wahrscheinlichkeit, dass

die Summe der normierten Fahrzeiten LF ÜP

t und ÜP LF

t kleiner oder gleich z ist, so

lautet der wahrscheinlichkeitstheoretische Ansatz:

1 2 1 0 2 0gesG z P t z P x x z P y y y y z (6-59)

Hierbei gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass die Fahrzeit in x-Richtung kleiner oder

gleich z ist, nach Bozer und White [Boz-1984] für 0,1z :

21 2| | 2P x x z z z (6-60)

b

1

P1(x1,y1)P2(x2,y2)

y0

x

LF ÜPt

ÜP LFt


127

In y-Richtung setzt sich die Fahrzeit aus der vertikalen Fahrzeit vom Startpunkt zur

Übergabestrecke und der vertikalen Fahrzeit von der Übergabestrecke zum Ziel-

punkt zusammen. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Summe dieser

beiden Fahrzeiten werden folgende Hilfsvariablen eingeführt:

1 1 0

2 2 0

:=

:=

y y y

y y y (6-61)

mit

1 2 0, 0, y y b y

Aufgrund einer identischen Verteilung der vertikalen Koordinaten von Start- und

Zielpunkt gilt:

1 0 1 2P y y z P y z P y z (6-62)

Die Wahrscheinlichkeit für eine der beiden Fahrzeiten kann anhand einer grafischen

Darstellung der Betragsfunktion (siehe Abbildung 6-16) für ein festes 0y und ein

variables 1y hergeleitet werden (vgl. Abschnitt 6.4.1).

Abbildung 6-16: Grafische Darstellung der Betragsfunktion

Die aus der grafischen Darstellung abgeleitete Wahrscheinlichkeit für eine durch z

nach oben beschränkte Fahrzeit in y-Richtung für eine der beiden Fahrten beträgt in

Abhängigkeit der identifizierten Wertebereiche von z:

1y

0y

0b y

0y 02y b1y


128

0

010 0

0

2falls 0

falls

1 falls

zz y

b

yP y zy z b y

b

b z

z

y

(6-63)

Durch Ableiten ergibt sich die entsprechende Dichtefunktion:

1 2

0

0 0

2falls 0

1falls

0 sonst

y y

z yb

f z f zy z b y

b

(6-64)

Die Bestimmung einer gemeinsamen Dichtefunktion für beide Fahrzeiten in

y-Richtung erfolgt mittels Faltung. Dazu wird eine Hilfsvariable 1 2:u y y definiert.

1 2 1 2

2 2 2dy y y y

f u f u y f y y (6-65)

Es ist

1

2 0 0 2

20 2 0 0 2 0

2 2falls 0 falls

1 1falls falls

0 sonst 0 sonst

y

u y y u y y ub b

f u yy u y b y u y b y u y

b b

(6-66)

und

2

2 0

20 2 0

2falls 0

1falls

0 sonst

y

y yb

f yy y b y

b

(6-67)


129

Damit folgt:

1 2

0 2 0 2 02

0 2 0 0 2 02

2 20 2 0 2 02

0 2 2 02

2falls 0

1

falls

2falls

4falls 0

0 sonst

y y

u y b y u y y yb

u y b y u y y y b yb

f u y f yu y y u y y b y

b

u y y u y yb

(6-68)

Somit kann (6-65) durch Zerlegung in Teilintegrale für die in (6-68) angegebenen

Wertebereiche und zugehörigen Dichtefunktionen gelöst werden. Die Integralgren-

zen entsprechen den Bereichsgrenzen in (6-68), verhindern aber zusätzlich das

Auftreten negativer Integralwerte:

0 0 0 0

1 2 0 0 0

0 0

0 0 0

max min , ,0 max min , ,0

2 22 2max , max ,0

min , min ,

2 22 2max , max ,0

0 0

2

1 2max d ,0 max d ,0

2 4max d ,0 max d ,0

max max min , ,0 ma

1

u y b y u y y

y y u y b y u y b

u b y u y

u y y u y

f u y yb b

y yb b

u y b y

b

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

x , ,0

2 max max min , ,0 max ,0 ,0

2 max min , max , ,0

4 max min , max ,0 ,0

u y b y

u y y u y b

u b y u y y

u y u y

(6-69)

Durch Gleichsetzen der Argumente der Minimums- sowie der Maximumsfunktionen

ergeben sich für die explizite Berechnung von 1 2y y

f u als Wertebereichsgrenzen für

u: 0, b, 02 2b y , 02y , 0b y und 0y . Gemäß der Voraussetzung 0 2y b gilt:

0 0 0 00 2 2 2y b y y b b y (6-70)

Da 0 0 02 / 3b y y y b oder 0 0 02 / 3b y y y b sein kann, ist eine

Fallunterscheidung erforderlich:

1. Fall: 0 0 0 0 0/ 3 0 2 2 2y b y y b y b b y

2. Fall: 0 0 0 0 0/ 3 0 2 2 2y b y b y y b b y

Für den 1. Fall ergibt sich durch Lösung der Minimums- und Maximumsfunktionen

und die dazu erforderliche Unterscheidung unterschiedlicher Wertebereiche von u

folgende Dichtefunktion:


130

1 2

02

00 02

00 02

002

002

4falls 0

4falls 2

2falls 2

4 3 2falls

2 2falls 2 2

y y

uu y

b

yy u y

b

u yf u y u b y

b

b u yb y u b

b

b y ub u b y

b

(6-71)

Hieraus lässt sich mittels Integration die gemeinsame Verteilungsfunktion für beide

Fahrzeiten in y-Richtung berechnen:

1 2

0 0 0

0 0

0

0

1 2 0

min , min 2 , min0 0

2 2 20 min min 2

min , min 2 2 ,0 0

2 2min min ,

2

02

20 0

0 02

0

,

,

2

,

,

d

4 24d d d

4 3 2 2 2d d

2falls 0

4 2falls 2

4

z

y y

y z y z b y

y y

b z b y z

z z

zb y

z

b z

P y y z f u u

y u yuu u u

b b b

b u y b y uu u

b b

zz y

b

y z yy z y

b

z y z

0 02

2 2 20 0 0

02

220 0

02

0

falls 22

4 8 8 4 4 3falls

2

2 4 2 2falls 2 2

2

1 falls 2 2

y z b yb

b by bz y y z zb y z b

b

b b y z y zb z b y

b

z b y

(6-72)

Analog wurde die Berechnung für den 2. Fall durchgeführt. Dabei stellte sich heraus,

dass die berechnete Verteilungsfunktion identisch mit dem für den 1. Fall berechne-

ten Ergebnis ist. Somit kann auf eine Fallunterscheidung für 0 / 3y b und

0 / 3y b verzichtet werden.

Bei der Multiplikation der Verteilungsfunktionen in x- und y-Richtung zur Bestim-

mung der Verteilungsfunktion für die gesamte Fahrzeit ist eine Fallunterscheidung

erforderlich, da 02 2 1b y oder 02 2 1b y sein kann. Es folgt zunächst die

Betrachtung des Falles 02 2 1b y . Die Verteilungsfunktion für die gesamte Fahr-

zeit G z kann gemäß (6-59) berechnet werden. Mit der Verteilungsfunktion in

x-Richtung nach (6-60) und in y-Richtung nach (6-72) ergibt sich:


131

2

02

20 0

0 02

20

0 022

20

02 2 20 0

20

2 2

0

2falls 0

4 2falls 2

4falls 2

22 falls 0 1

4 8 81 sonst 1falls

2 4 4 3

2 4 21falls 2

2 2

zz y

b

y z yy z y

b

z y zy z b y

bz z zG z

b by bzb y z b

b y y z z

b b y zb z

b y z

0

0

3

02

0 0

0 02

20

0 02

2 20 0

02

2

2

1 falls 2 2

4 2falls 0

2 2 2falls 2

2 4falls 2

2

2 4 2 4 3falls

2

2 2

b y

z b y

z zz y

b

y z z y zy z y

b

z z y zy z b y

b

z z z y b b y zb y z b

b

z z b

2

0 0

02

20

4 2 2falls 2 2

2

2 falls 2 2 1

b y z y zb z b y

b

z z b y z

(6-73)

Mittels Ableitung nach z kann die entsprechende Dichtefunktion g z gebildet

werden:

2

02

0 0

0 02

0

0 02

2 2 20

2

0

0 0

2 2 20

2

0

2

0

4 3 2falls 0

4 1 4 3falls 2

8 6 3 2falls 2

4 1 4 1 3 3 2

falls 2 4 3 4 2 1 4 3

2 1 4 1 3 2

2 4 3 8 1

z zz y

b

y y z z zy z y

b

z y z z zy z b y

b

b z y z z z

g z bb y z b

y z z b y z z z

b z y z z z

b

y z z b y

b

0

2

0

falls 2 22 4 3

2 2 falls 2 2 1

b z b yz z z

b

z b y z

(6-74)


132

Der Erwartungswert der normierten Fahrzeit gest kann nun wie folgt berechnet wer-

den:

0 0

0

0

0

0

21 2 0 0

2 20 0

0

22

2 2 2

2

0 0

2 2 20

2

0

4 1 4 34 3 2d d d

8 6 3 2d

4 1 4 1 3 3 21d

2 4 3 4 2 1 4 3

2 1 4 1 3 21

2 4

y y

ges y

b y

y

b

b y

y y z z zz zE t z g z z z z z z

b b

z y z z zz z

b

b z y z z zz z

b y z z b y z z z

b z y z z zz

b y z

0

0

2 2 1

2 20

5 4 4 3 3 2 2 30 0 0 0 0 0 0 0

2

d 2 2 d3 8 1 2 4 3

3 12 7 1 2 4 6 7 2 12 7 2 36 28

6

b y

b b yz z z z

z b y z z z

b y b y b y y by y b y y

b

(6-75)

Die absolute Koordinate der vertikalen Position der Übergabestrecke 0y soll durch

eine relative Koordinate 0: /j y b ersetzt werden. Für den betrachteten Fall

02 2 1b y bzw. 1/ 2 2b j ergibt sich somit folgender Erwartungswert:

3 2 3 4 2 2 3 42 3 14 28 28 14 7 24 36 24 12

6ges

b j j j j b j j j jE t (6-76)

Im Spezialfall 0j bei Anordnung der Übergabestrecke am unteren Rand der

Regalfläche lautet der Erwartungswert:

3 2

0

1 7 1|

2 6 3ges jE t b b (6-77)

Es folgt nun die Berechnung des Erwartungswertes für den Fall 02 2 1b y bzw.

1/ (2 2 )b j . Die Verteilungsfunktion für die gesamte Fahrzeit G z kann wiede-

rum gemäß (6-59) berechnet werden:

2

02

20 0

0 02

22 0

0 02

20

02 2 20 0

20

2 2

0

2falls 0

4 2falls 2

4falls 22 falls 0 1

21 sonst

4 8 81falls

2 4 4 3

2 4 21falls 2

2 2

zz y

b

y z yy z y

b

z y zy z b yz z z

G z b

b by bzb y z b

b y y z z

b b y zb z

b y z

02b y

(6-78)


133

3

02

0 0

0 02

20

0 02

2 20 0

02

220 0

2

220 0

02

4 2falls 0

2 2 2falls 2

2 4falls 2

2

2 4 2 4 3falls

2

2 2 4 2 2falls 1

2

2 4 2 2falls 1 2 2

2

z zz y

b

y z z y zy z y

b

z z y zy z b y

b

z z z y b b y zb y z b

b

z z b b y z y zb z

b

b b y z y zz b y

b

Daraus berechnet sich folgende Dichtefunktion:

2

02

0 0

0 02

0

0 02

2 2 20

02

0 0

2 2 20

2

0

4 3 2falls 0

4 1 4 3falls 2

8 6 3 2falls 2

4 1 4 1 3 3 21falls

2 4 3 4 2 1 4 3

2 1 4 1 3 21

2 4 3

z zz y

b

y y z z zy z y

b

z y z z zy z b y

bg z b z y z z z

b y z bb y z z b y z z z

b z y z z z

b y z z

0

002

falls 18 1 2 4 3

2 2falls 1 2 2

b zb y z z z

b y zz b y

b

(6-79)

Es folgt die Berechnung des Erwartungswertes gesE t :

0 0 0

0

0

0

0

22 2 2 0 0

2 20 0

0

22

2 2 2

2

0 0

2 2 20

2

4 1 4 34 3 2d d d

8 6 3 2d

4 1 4 1 3 3 21d

2 4 3 4 2 1 4 3

2 1 4 1 3 21

2

b y y y

ges y

b y

y

b

b y

y y z z zz zE t z g z z z z z z

b b

z y z z zz z

b

b z y z z zz z

b y z z b y z z z

b z y z z zz

b

0

1

0 0

2 20

21

d4 3 8 1 2 4 3

2 2d

b

b y

zy z z b y z z z

b y zz z

b

(6-80)


134

5 2 3 4 5 4 3 20 0 0 0 0 0 0 0

2 2 2 3 2 3 40 0 0 0 0 0 0

1 2 10 40 80 40 32 10 1 2 40 2 21

60 20 1 12 6 2 10 1 8 24 8 2

b y y y y y b y b y y

b b y y y b y y y y

Durch Substitution der absoluten Koordinate der Übergabestrecke 0y mit der relati-

ven Koordinate 0: /j y b ergibt sich folgender Erwartungswert gesE t :

33 2 2

2 4 2 3 4 5 2 3 4 5

1 10 1 80 1 20 1 4 21

60 10 1 8 12 8 4 2 20 40 40 20 32ges

b j b j b j jE t

b b j j j j b j j j j j (6-81)

Im Spezialfall 0j lautet der Erwartungswert:

3 2

0 2

1 1 4 1 1 1|

30 6 3 3 6 60ges jE t b b b

b b (6-82)

Somit ist die Berechnung für den Fall einer Lagergasse mit Regalwandparameter

1w und eine horizontal angeordnete Übergabestrecke bzw. 1w und eine verti-

kale Übergabestrecke abgeschlossen. Tabelle 6-11 fasst die Berechnungsergebnis-

se mitsamt der erforderlichen Fallunterscheidungen für den Spezialfall 0j einer

am Rand der Regalfläche angeordneten Übergabestrecke und den allgemeinen Fall

einer in die Regalfläche verschobenen Übergabestrecke zusammen:

Tabelle 6-11: Ergebnisse für w ≤ 1 und eine horizontale Übergabestrecke bzw. w ≥ 1 und eine vertikale Übergabestrecke

j b gesE t

0j

1

2b 3 21 7 1

2 6 3b b

1

2b 3 2

2

1 1 4 1 1 1

30 6 3 3 6 60b b b

b b

1

02

j

1

2 2b

j

3 2 3 4

2 2 3 4

2 3 14 28 28 141

6 7 24 36 24 12

b j j j j

b j j j j

1

2 2b

j

33 2 2

4 2 3 4

2

5 2 3 4 5

1 10 1 80 1 20 1 4 2

110 1 8 12 8 4

602 20 40 40 20 32

b j b j b j j

b j j j jb

b j j j j j


135

Berechnung für eine horizontale Übergabestrecke bei w ≥ 1 bzw. eine vertikale Übergabestrecke bei w ≤ 1

Für den Fall einer Lagergasse mit Regalwandparameter 1w und eine horizontal

angeordnete Übergabestrecke bzw. für 1w und eine vertikal angeordnete Über-

gabestrecke kann die Berechnung analog durchgeführt werden. Auf die einzelnen

Berechnungsschritte wird daher nicht näher eingegangen, es werden stattdessen

nur die Ergebnisse angeführt. Für die Berechnung sind in diesem Fall zusätzliche

Fallunterscheidungen notwendig. So kann auf eine Fallunterscheidung für 1/ 3j

und 1/ 3j nicht verzichtet werden und für b sind weitere, sich aus den Integrati-

onsgrenzen ergebende, Fallunterscheidungen erforderlich. Die absolute Koordinate

der Position der Übergabestrecke und die relative Koordinate unterscheiden sich in

diesem Modell nicht, da beide Koordinaten im Intervall 0,1 liegen. Tabelle 6-12

enthält die erforderlichen Fallunterscheidungen mit den dazugehörigen Ergebnissen

für den Erwartungswert der Spielzeit. Neben den allgemeinen Ergebnissen ist wiede-

rum auch das Ergebnis für den Spezialfall 0j angeführt.

Tabelle 6-12: Ergebnisse für w ≥ 1 und eine horizontale Übergabestrecke bzw. w ≤ 1 und eine vertikale Übergabestrecke

j b gesE t

0j 3

160

b

1

3j

b j 3

22 2 115

bj j

1 1

3 2j

1

3j 2j b j

2

22 4 5

2

32 22 2 1

3 3 3 3 15

b bj j

b

j j

b

j j j

1 1

3 2j 1j b j

1

3j 2 1j b j

3 3 42

52

2

2 72 2 1

6 60 3 15

b bj

jj

b b

j j j

1 1

3 2j 1 2j b j

2 2 3

2 2

4bj 2b 4j 4 1 1 4j +

3 3 3 3 3 3 15 3 15

bj j b b

b b b b

2 3 2 4 3 4

2

2 2 2

2 4 2 2 2 54

3 3 3 3 3 3

j j j j j jj

b b b b b b

1

3j 1b j

2 2 2 3

2 2

4bj 2b 4j 2 1 1 4j +

3 3 3 3 3 6 3 15 3 20

bj j b j b b

b b b b

3 2 3 2 4 3 4 5

2

2 2 2 2

4 2 4 2 2 2 8 54

3 3 3 3 3 3 15 3

j j j j j j j jj

b b b b b b b

1 1

3 2j 2b j


136

Auch für diese Ergebnisse gilt aufgrund der Symmetrie, dass für 1/ 2j zur Be-

rechnung des Erwartungswertes 1j j eingesetzt werden kann. Aufgrund der

Unabhängigkeit von Start- und Zielpunkt und deren gleichmäßigen Verteilung ist der

Erwartungswert LF ÜPE t für eine Fahrt vom Startpunkt zu einem Übergabepunkt

identisch mit dem Erwartungswert ÜP LFE t für eine Fahrt von einem Übergabe-

punkt zu einem Zielpunkt:

2LF ÜP Ü

g

P LF

esE t E

E tt (6-83)

6.5.2 Berechnungsmodelle für diskrete Übergabepunkte

Bei der Berechnung der Spielzeit für zwei oder drei diskrete Übergabepunkte in

Kombination mit der Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ stößt der für eine

Übergabestrecke verwendete wahrscheinlichkeitstheoretische Ansatz an seine

Grenzen. Aufgrund der Abhängigkeit der Auswahl eines Übergabepunktes von Start-

sowie Zielpunkt ergibt sich eine große Anzahl erforderlicher Fallunterscheidungen,

welche einen nicht mehr vertretbaren Lösungsaufwand zur Folge hat. Aus diesem

Grund wird ein Näherungsansatz gewählt. Folgende Anordnungen der Übergabe-

punkte werden dabei berücksichtigt:

Abbildung 6-17: Betrachtete Anordnungen der Übergabepunkte

b

11

b

2 1

2

2 1

2b

2 1

2b

2 1

2

j b

j b

j

j

2 2

2

2 2

2

2 2

2b

2 2

2b


137

Der Ansatz besteht darin, für eine skalierte und normierte Regalfläche mit den Ab-

messungen L x H = 1 x b mit 1/10,1b numerisch die Fahrzeiten ohne Berück-

sichtigung von Beschleunigung und Verzögerung zu berechnen und anschließend

durch eine Näherungsfunktion zu beschreiben. Dazu wird die Fläche zunächst in

100 x 100 Teilflächen unterteilt. Die Flächenschwerpunkte der Teilflächen stellen

mögliche Start- und Zielpunkte dar. Mittels vollständiger Enumeration wird für alle

möglichen Kombinationen von Start- und Zielpunkten bei Verwendung eines jeweils

gemäß der Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ ausgewählten Übergabe-

punktes numerisch die mittlere Fahrzeit bestimmt. Der Parameter b sowie die Positi-

on der Übergabepunkte 0,1/2j werden dabei mit einer Schrittweite von 1/10

variiert. Exemplarisch sind die Ergebnisse der Berechnungen für den Fall eines

Regalwandparameters 1w und zwei horizontal angeordnete Übergabepunkte in

Tabelle 6-13 angeführt. Diese Ergebnisse sind bei 1w für zwei vertikal angeordne-

te Übergabepunkte gültig, da bedingt durch die Definition von b ein Regalwandpa-

rameter 1w eine Vertauschung der Achsen zur Anwendung der für 1w hergelei-

teten Modelle erforderlich macht (vgl. Abbildung 2-8 in Abschnitt 2.2.5).

Tabelle 6-13: Numerische Berechnungsergebnisse für w ≤ 1 und zwei horizontal angeordnete Übergabepunkte bzw. w ≥ 1 und zwei vertikal angeordnete Übergabepunkte

j b 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0,1 0,3998 0,3973 0,3953 0,3940 0,3931 0,3929

0,2 0,4272 0,4172 0,4096 0,4041 0,4009 0,3998

0,3 0,4718 0,4498 0,4328 0,4208 0,4136 0,4113

0,4 0,5318 0,4941 0,4647 0,4437 0,4313 0,4272

0,5 0,6021 0,5472 0,5038 0,4725 0,4536 0,4473

0,6 0,6799 0,6065 0,5482 0,5061 0,4805 0,4718

0,7 0,7637 0,6707 0,5967 0,5433 0,5110 0,5003

0,8 0,8523 0,7391 0,6487 0,5836 0,5447 0,5318

0,9 0,9441 0,8109 0,7037 0,6266 0,5809 0,5659

1,0 1,0380 0,8850 0,7614 0,6722 0,6195 0,6021

Aus den Berechnungsergebnissen für zwei und drei horizontal sowie vertikal ange-

ordnete Übergabepunkte werden im Anschluss Ergebnisfunktionen in Abhängigkeit

des Parameters b und der vertikalen bzw. horizontalen Verschiebung der Übergabe-

punkte j approximiert. Dazu wird eine Polynomapproximation fünften Grades nach

der Methode der kleinsten Quadrate verwendet. Tabelle 6-14 enthält die berechne-

ten Näherungsfunktionen sowie die erforderlichen Fallunterscheidungen.


138

Tabelle 6-14: Ergebnisse der Approximation

ÜP w Anordnung ÜP gesE t

2

1 horizontal

2

2 3 2 2 3 4

3 2 2 3 4 5

4 3 2 2 3 4 5

0,3947 0,007035 0,06919 0,06198 0,08497

1,297 0,2773 0,06652 3,67 0,7014 0,1441

1,08 2,011 2,628 0,04123 0,1994

1,259 0,5 0,9483 0,7036 0,07672

j b j jb

b j j b jb b j

j b j b jb b j

j b j b j b jb b

1 vertikal

1 horizontal

2 2

3 2 2 3 4

3 2 2 3 4 5

4 3 2 2 3 4 5

1,001 2,002 0,009984 1,866 0,1633 0,06242

1,066 1,074 0,1169 0,04045 2,662

2,405 0,3385 0,2751 0,0249 2,088

1,326 0,579 0,3608 0,1858 0,00007471

j b j jb b

j j b jb b j

j b j b jb b j

j b j b j b jb b

1 vertikal

3

1 horizontal

2

2 3 2 2 3

4 3 2 2 3 4 5

4 3 2 2 3 4 5

0,3617 0,01164 0,01217 0,05304 0,06253

1,203 0,2752 0,03521 3,315 0,6735

0,8436 0,6586 2,89 1,88 0,1716 0,8706

0,99 0,4147 1,536 0,2346 0,02375

j b j jb

b j j b jb b

j j b j b jb b j

j b j b j b jb b

1 vertikal

1 horizontal

2 2

3 2 2 3 4

3 2 2 3 4 5

4 3 2 2 3 4

1,001 2,003 0,009136 1,886 0,1364 0,04272

0,9488 0,8014 0,006874 0,02557 2,388

1,588 0,02265 0,2958 0,01905 1,877

0,6332 0,6985 0,2057 0,1588 0,0005991

j b j jb b

j j b jb b j

j b j b jb b j

j b j b j b jb b5

1 vertikal

Mit diesen Näherungsfunktionen ist eine einfache Berechnung der mittleren Fahrzei-

ten ohne Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung für zwei oder drei

Übergabepunkte bei Anwendung der Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“

möglich, wobei für eine bestimmte Anordnung der Übergabepunkte jeweils nur eine

Fallunterscheidung anhand des Regalwandparameters w erforderlich ist. Die Ergeb-

nisse, welche für 0,1/ 2j definiert sind, gelten aufgrund der Symmetrie auch für

1/ 2j , wobei für die Berechnung 1j j eingesetzt werden kann.


Die Validierung des Berechnungsmodells für eine Übergabestrecke erfolgt analog zu

der in Abschnitt 6.4.3 gezeigten Validierung der Berechnungsmodelle für die Strate-

gie „Nächstgelegener Übergabepunkt“. Dabei wird wiederum die maximale Abwei-

chung gegenüber einer numerischen Berechnung für 1/ 10,1b und 0,1/ 2j

mit Schrittweite 1/10 bestimmt. Zur Validierung des Näherungsansatzes für die

Berechnung bei diskreten Übergabepunkten wird hingegen die maximale Abwei-

chung der Ergebnisse der einzelnen Näherungsfunktionen gegenüber den numerisch

berechneten Ausgangswerten, auf welchen die Approximation basiert, ermittelt. Die


139

Validierungsergebnisse in Form des Betrags der jeweiligen maximalen Abweichung

sind in der folgenden Tabelle angeführt:

Tabelle 6-15: Ergebnisse der Validierung der Berechnungsmodelle für die Strategie „Berück-sichtigung nächstes Ziel“

Modell Maximale Abweichung gegenüber

numerischer Berechnung

ÜS mit 1w horizontal angeordnet bzw. mit 1w vertikal angeordnet

0,02 %

ÜS mit 1w vertikal angeordnet bzw. mit 1w horizontal angeordnet

0,02 %


0,12 %


0,11 %


0,10 %


0,13 %

Während die Modelle für eine Übergabestrecke nahezu exakt mit der numerischen

Berechnung übereinstimmen, weisen die mit Näherungsfunktionen für diskrete

Übergabepunkte bestimmten Ergebnisse etwas größere Abweichungen auf. Gegen-

über dem bei der Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung mit einem

Korrekturfaktor zu erwartenden Fehler wird jedoch auch diese Abweichung als

vernachlässigbar gering erachtet.


Zur beispielhaften Berechnung der mittleren Fahrzeiten und anschließenden Be-

stimmung der mittleren Spielzeiten für Einzel- sowie Doppelspiele soll, wie bereits

bei der Berechnung für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ in Ab-

schnitt 6.4.4, eine auf halber Regalhöhe angeordnete Übergabestrecke betrachtet

werden. Die Berechnung erfolgt dabei mit den in Abschnitt 6.1 angegebenen Daten.

Mit b = 1 und T = 3,33 s aus Abschnitt 6.2.3 ergibt sich für das vorliegende Beispiel

mit j = 1/2 folgende mittlere Fahrzeit für die Fahrt von einem Lagerfach über einen

gemäß der Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ ausgewählten Übergabe-

punkt zu einem weiteren Lagerfach:


140

3 2 3 4

2 2 3 4

2 3 14 28 28 1410,5625

6 7 24 36 24 12

1,873 s

g LF ÜP ÜP Les

ges

F

ges

b j j j jE t E E

b j jt

j

E t t T

tj

E

Im Mittel ist dabei die Fahrt von einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt von

gleicher Dauer, wie die Fahrt von einem Übergabepunkt zu einem Lagerfach. Zur

Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung muss die in Abschnitt 6.3.5

berechnete Bremsbeschleunigungszeit für beide Fahrten addiert werden. Mit der in

Abschnitt 6.2.3 angegebenen Summe der Zykluszeiten für die Lastübergabevorgän-

ge , 9 sLAM ESt beträgt die mittlere Spielzeit für ein Einzelspiel somit:

,, ,

1,873 s 1,5 s 1,5 s 9 s 13,87 sges LAM ESb LF ÜP b ÜP LFES E t t t tE t

Im Vergleich zu dem in Abschnitt 6.4.4 angeführten Berechnungsbeispiel für die

Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ ist die Spielzeit unter Anwendung der

Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ 0,32 s kürzer, was einem relativen Unter-

schied von 2,3 % entspricht. Mit der Summe der Zykluszeiten , 13 sLAM DSt und der

erforderlichen Leerfahrt zwischen zwei Lagerfächern (vgl. Abschnitt 6.2.3) sowie der

zugehörigen Bremsbeschleunigungszeit ergibt sich für ein Doppelspiel folgende

mittlere Spielzeit:

, ,, ,

1,873 s 1,5 s 1,5 s 1,554 s 1,5 s 13 s 20,93 s

ges LF LF b LF LF LAM DSb LF ÜP b ÜP LFDS E t t t E t tE tt

Bei einem Doppelspiel unterscheidet sich die absolute Differenz der Spielzeit nicht

von einem Einzelspiel, da sich die von der Strategie bei der Auswahl eines Überga-

bepunktes beeinflussten Fahrten zwischen Lagerfächern und Übergabepunkten

nicht unterscheiden. Aufgrund der längeren Dauer eines Doppelspieles gegenüber

einem Einzelspiel beträgt der relative Unterschied zwischen den Spielzeiten für die

beiden betrachteten Strategien somit nur 1,5 %.

Die Berechnungsergebnisse werden, wie bereits für das Berechnungsbeispiel in

Abschnitt 6.4.4 gezeigt, den Ergebnissen einer numerischen Berechnung für eine

diskrete Regalfläche und eine durch 100 Übergabepunkte angenäherte Übergabe-

strecke gegenübergestellt. In Tabelle 6-16 sind die Ergebnisse sowie die jeweiligen

Abweichungen gegenüber der numerischen Berechnung für die einzelnen Kompo-

nenten der Spielzeit angeführt.


141

Tabelle 6-16: Abweichung der Ergebnisse gegenüber numerischer Berechnung

Komponente Numerische Berechnung Analytische Berechnung Abweichung

gesE t 1,874 s 1,873 s -0,05 %

,b LF ÜPt 1,291 s 1,5 s 16,19 %

,b ÜP LFt 1,291 s 1,5 s 16,19 %

LF LFE t 1,555 s 1,554 s -0,06 %

,b LF LFt 1,437 s 1,5 s 4 %

,LAM DSt 13 s -

Summe 20,45 s 20,93 s 2,35 %

Während die Fahrzeiten ohne Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzöge-

rung wiederum sehr gut übereinstimmen, weichen die bestimmten Bremsbeschleu-

nigungszeiten deutlich ab. Die maximale Abweichung fällt gegenüber dem in Ab-

schnitt 6.4.4 angeführten Berechnungsbeispiel für die Strategie „Nächstgelegener

Übergabepunkt“ geringfügig kleiner aus, was durch die längeren mittleren Fahrwege

bei der Fahrt zu einem Übergabepunkt bedingt durch die Strategie „Berücksichti-

gung nächstes Ziel“ begründet werden kann. Die Abweichungen sind wieder auf die

vereinfachte Berücksichtigung von Beschleunigung und Verzögerung basierend auf

der Annahme, dass das Geschwindigkeitsprofil stets einen trapezförmigen Verlauf

aufweist, zurückzuführen. Bei Betrachtung der gesamten Spielzeit beträgt der Fehler

etwas über 2 %, was noch als tolerierbar erachtet wird. Durch eine exakte Abbil-

dung der Geschwindigkeitsprofile könnte die Spielzeit jedoch noch wesentlich

genauer berechnet werden.

143

7 Zusammenfassung und Ausblick

Die Einsatzfelder automatischer Lagersysteme im Produktions- und Distributionsbe-

reich haben sich in den letzten Jahrzehnten gewandelt. Hochdynamische Lagersys-

teme kommen beispielsweise zur Pufferung und dynamischen Bereitstellung von

Waren zum Einsatz. Vielfach fordern diese Anwendungen eine hohe Leistung in

Form der Anzahl der Arbeitsspiele je Zeiteinheit. Dies führte zur stetigen Weiterent-

wicklung von Regalbediengeräten und Betriebsstrategien. Dagegen hat sich die

Anordnung der Übergabepunkte für die Übergabe von Ladeeinheiten zwischen

Regalbediengerät und Fördertechnik der Lagervorzone in mehr als 50 Jahren kaum

verändert. Nach wie vor wird in der Regel ein einzelner Übergabepunkt in einem

Eckpunkt der Regale angeordnet. Hinsichtlich der mittleren Entfernungen zu den

Lagerfächern stellt diese Anordnung keine gute Lösung dar. Eine Verkürzung der

mittleren Entfernungen und folglich der mittleren Fahr- und Spielzeiten zur Steige-

rung der Leistung ist durch eine, in dieser Arbeit untersuchte, verteilte Anordnung

mehrerer Übergabepunkte in einer Lagergasse möglich.

Die Schwerpunkte der vorliegenden Arbeit bilden eine Untersuchung der Spielzeiten

automatischer Lagersysteme mit mehreren Übergabepunkten sowie deren Berech-

nung mit mathematisch-analytischen Methoden. Ein Überblick über vorhandene

Untersuchungen zu Fahr- und Spielzeiten von Systemen mit mehreren Übergabe-

punkten liefert die Erkenntnis, dass es weder umfassende Betrachtungen unter-

schiedlicher Anordnungen der Übergabepunkte noch allgemeine Berechnungsmo-

delle für die Fahrzeiten gibt. Zudem fehlen angepasste Betriebsstrategien.

Um eine Untersuchung unterschiedlicher Anordnungen der Übergabepunkte zu

ermöglichen, erfolgte zunächst eine Analyse des Einflusses von Anzahl und Position

der Übergabepunkte. Darauf aufbauend wurden auf konzeptioneller Ebene systema-

tisch unterschiedliche Anordnungen beschrieben sowie mögliche Varianten für die

Ver- und Entsorgung der Übergabepunkte vorgestellt. Es zeigte sich, dass die

optimale Anordnung von der Strategie bei der Auswahl eines Übergabepunktes

abhängig ist. In Abhängigkeit neu entwickelter Strategien für die Auswahl eines

Übergabepunktes kann eine Optimierung der Anordnung einzelner Übergabepunkte

entlang einer Strecke sowie mehrerer Übergabestrecken erfolgen, wofür ein Ansatz

aufgezeigt werden konnte. Ein Vergleich der Strategien verdeutlicht, dass die kür-


144

zesten Fahrwege mit einer Strategie möglich sind, nach welcher bei der Auswahl

eines Übergabepunktes neben dem Ausgangspunkt des Regalbediengerätes auch

der nächste zu erreichende Zielpunkt mit einbezogen wird. Auf diese Weise ist eine

Fahrwegoptimierung möglich.

Eine Untersuchung unterschiedlicher Anordnungen der Übergabepunkte hinsichtlich

der Spielzeit erfolgte anhand exemplarischer Lagerkonfigurationen, für welche

mittels numerischer Berechnung die Fahr- und Spielzeiten bestimmt wurden. Die

Ergebnisse zeigen, dass mit mehreren Übergabepunkten eine deutliche Reduktion

der Spielzeiten gegenüber der Anordnung eines einzelnen Übergabepunkt in einem

Eckpunkt des Regals möglich ist. Auch gegenüber vom Eckpunkt abweichenden

Anordnungen des Übergabepunktes beispielsweise auf halber Länge oder Höhe des

Regals oder im Flächenschwerpunkt kann mit geeigneten Anordnungen mehrerer

Übergabepunkte eine Reduktion der Spielzeiten erreicht werden. Ein Vergleich der

Spielzeiten vermittelt einen Überblick über das Potenzial unterschiedlicher Anord-

nungen mehrerer Übergabepunkte und liefert somit wichtige Indikationen für die

Planung. Eine weitere Erkenntnis ist, dass sich das Verhältnis von Regalabmessun-

gen und Fahrgeschwindigkeiten des Regalbediengerätes stark auf die Eignung einer

Anordnung der Übergabepunkte für eine bestimmte Lagerkonfiguration auswirkt.

Um eine Berechnung der Spielzeit für mehrere Übergabepunkte und beliebige

Kombinationen aus Regalabmessungen und Eigenschaften des Regalbediengerätes

zu ermöglichen, wurden mathematisch-analytische Berechnungsmodelle entwickelt.

Aufbauend auf einem wahrscheinlichkeitstheoretischen Ansatz erfolgte eine Herlei-

tung von Berechnungsmodellen für den Erwartungswert der Fahrzeiten unter Be-

rücksichtigung der Strategie bei der Auswahl der Übergabepunkte. Im Fall von

diskreten Übergabepunkten in Kombination mit der Strategie „Berücksichtigung

nächstes Ziel“ stößt der wahrscheinlichkeitstheoretische Ansatz an seine Grenzen.

Hierfür wurde auf eine numerische Approximation zurückgegriffen. Das Ergebnis

sind Modelle für eine in einer beliebigen Position angeordnete horizontale oder

vertikale Übergabestrecke sowie für unterschiedliche Anordnungen von bis zu drei

diskreten Übergabepunkten. Die entwickelten Modelle ermöglichen eine aufwands-

arme Bestimmung der mittleren Fahrzeiten und schaffen somit die Voraussetzungen

für eine Berücksichtigung von Systemen mit mehreren Übergabepunkten bei der

Planung automatischer Lagersysteme. Berechnungsbeispiele veranschaulichen die

Anwendung der Modelle unter Einbeziehung vorhandener Berechnungsmodelle zur


145

Bestimmung der weiteren Komponenten der Spielzeit für Einzel- sowie Doppelspie-

le.

Die entwickelten Berechnungsmodelle wurden validiert und weisen bei konstanten

Fahrgeschwindigkeiten des Regalbediengerätes eine nahezu exakte Übereinstim-

mung mit den Ergebnissen einer numerischen Berechnung auf. Eine Berücksichti-

gung von Beschleunigung und Verzögerung kann mittels eines Korrekturfaktors

erfolgen. An dieser Stelle besteht noch Forschungsbedarf hinsichtlich einer exakten

Abbildung der Geschwindigkeitsprofile sowie einer Berücksichtigung unterschiedli-

cher Beschleunigungs- und Verzögerungszeiten von Fahr- und Hubwerk.

Weitere Untersuchungen sind auf dem Gebiet der Ver- und Entsorgung der Überga-

bepunkte erforderlich. Hierfür ist die zur Verfügung stehende Zeit unter Berücksich-

tigung von Materialfluss und Informationsfluss zu bestimmen und auf diese Weise

die geforderte Leistung des Fördersystems zu ermitteln. Der Fokus sollte dabei auf

der Entwicklung eines geeigneten Auslegungsverfahrens für die Planung liegen. Für

die Versorgung der Übergabestationen und deren Gestaltung gilt es technische

Lösungen zu entwickeln, welche eine wirtschaftliche Umsetzung ermöglichen.

In der vorliegenden Arbeit konnte vermittelt werden, wie sich mehrere Übergabe-

punkte auf die Spielzeiten automatischer Lagersysteme auswirken. In Form von

Berechnungsmodellen für die wichtigsten Anordnungen mehrerer Übergabepunkte

werden die Voraussetzungen zur Bestimmung der Leistung geschaffen. Die Ergeb-

nisse der vorliegenden Arbeit ermöglichen somit die Potenziale, die sich durch

mehrere Übergabepunkte ergeben, bei der Planung automatischer Lagersysteme zu

nutzen.

147

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Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1-1: Aufbau der Arbeit 4

Abbildung 2-1: Einzelspiel (links) und Doppelspiel (rechts) 10

Abbildung 2-2: Zusammensetzung der Arbeitsspiele 12

Abbildung 2-3: Vereinfachte Abbildung einer Lagergasse 14

Abbildung 2-4: Trapez- und dreiecksförmiges Geschwindigkeitsprofil 15

Abbildung 2-5: Synchronfahrgerade für unterschiedliche Werte des Regalwandparameters 17

Abbildung 2-6: Fahr- und hubzeitkritische Bereiche 17

Abbildung 2-7: Transformation der Regalfläche bei w = 1 21

Abbildung 2-8: Vertauschung der Achsen bei w ≥ 1 22

Abbildung 2-9: Getrennte Anordnung der Übergabepunkte für Ein- und Auslagerung 23

Abbildung 3-1: Fahr- und hubzeitkritische Bereiche mit einem Übergabepunkt 28

Abbildung 3-2: Fahrzeiten bei mittiger Anordnung des Übergabepunktes im Vergleich zu einer Eckpunktanordnung 29

Abbildung 3-3: Fahrzeiten bei unterschiedlicher Anordnung eines Übergabepunktes 29

Abbildung 3-4: Fahr- und hubzeitkritische Bereiche mit mehreren Übergabepunkten 30

Abbildung 3-5: Fahrzeiten mit zwei Übergabepunkten im Vergleich zur Übergabe im Eckpunkt 31

Abbildung 3-6: Fahrzeiten mit zwei Übergabepunkten im Vergleich im Vergleich Übergabe im Eckpunkt bei abweichendem Regalwandparameter w 31

Abbildung 3-7: Fahrzeiten bei unterschiedlicher Anordnung der Übergabepunkte 32

Abbildung 3-8: Mögliche Anordnungen einer Strecke 34

Abbildung 3-9: Anordnungen einer Strecke am Regalrand 35

Abbildung 3-10: Mittige Anordnung einer Strecke 35

Abbildung 3-11: Anordnungen einer Strecke bis zur Regalmitte 35

Abbildung 3-12: Mögliche Anordnungen von zwei Strecken 36

Abbildung 3-13: Anordnung von zwei Strecken am Regalrand 36

Abbildung 3-14: Anordnungen diagonaler Strecken 37


156

Abbildung 3-15: Kombinierte Anordnungen von Strecken 37

Abbildung 3-16: Versorgung über Förderstrecke mit Ausschleusstationen (Draufsicht) 38

Abbildung 3-17: Transport von Ladeeinheiten zum jeweils nächsten ÜP (Draufsicht) 39

Abbildung 3-18: Nicht stationäre, entlang von Schienen verfahrbare Übergabepunkte 40

Abbildung 4-1: Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ 43

Abbildung 4-2: Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ 44

Abbildung 4-3: Exemplarische Regalfläche mit zwei Übergabepunkten 45

Abbildung 4-4: Horizontale Strecke mit zwei Übergabepunkten 46

Abbildung 4-5: Mittlere horizontale Fahrstrecken zwischen Übergabepunkt und Punkten auf den Teilstrecken 47

Abbildung 4-6: Mittlere horizontale Fahrstrecken von Punkten auf den Teilstrecken zum nächstgelegenen Übergabepunkt 48

Abbildung 4-7: Mittlere horizontale Fahrwege in Abhängigkeit von x1 50

Abbildung 4-8: Teilstrecken bei zwei Übergabepunkten 51

Abbildung 4-9: Mittlere Fahrstrecke zwischen zwei Teilstrecken 51

Abbildung 4-10: Mittlere horizontale Fahrwege in Abhängigkeit von x1 53

Abbildung 4-11: Mittlere Fahrwege für die betrachteten Strategien 55

Abbildung 4-12: Konzepte mit zwei parallelen Übergabestrecken 56

Abbildung 4-13: Übergabeposition bei Auswahl des nächstgelegenen Übergabepunktes 57

Abbildung 4-14: Beispielhafte Übergabeposition bei Berücksichtigung des nächsten Ziels 57

Abbildung 4-15: Übergabepositionen für beispielhafte Anordnungen von P1 und P2 58

Abbildung 4-16: Beispielhafte Anordnung von Ausgangs- und Zielpunkt 59

Abbildung 4-17: Unterschiedlich gebildete ABC-Zonen 60

Abbildung 5-1: Komponenten Einzel- und Doppelspiel 63

Abbildung 5-2: Betrachtete Regalabmessungen 70

Abbildung 5-3: Regalfachabmessungen 71

Abbildung 5-4: Anordnung der Übergabepunkte 73

Abbildung 5-5: Fahrzeit in Abhängigkeit der Position der Übergabepunkte 73

Abbildung 5-6: Position der Strecken zur Anordnung der Übergabepunkte 74

Abbildung 5-7: Fahrzeiten bei unterschiedlicher Anzahl der Übergabepunkte 74


157

Abbildung 5-8: Betrachtete Anordnungen der Übergabestrecken 75

Abbildung 5-9: Fahrzeiten in Abhängigkeit der Position der Übergabestrecken 76

Abbildung 5-10: Fahrzeit in Abhängigkeit der Position der Übergabepunkte 77

Abbildung 5-11: Fahrzeiten in Abhängigkeit der gebildeten Zonen 77

Abbildung 5-12: ABC-Zonen für einen einzelnen Übergabepunkt 78

Abbildung 5-13: Übergabepunkt im Eckpunkt 81

Abbildung 5-14: Horizontal bzw. vertikal verschobener Übergabepunkt 81

Abbildung 5-15: Übergabepunkt im Flächenschwerpunkt 81

Abbildung 5-16: Lage horizontaler Strecken zur Anordnung mehrerer Übergabepunkte 82

Abbildung 5-17: Lage vertikaler Strecken zur Anordnung mehrerer Übergabepunkte 83

Abbildung 5-18: Lage diagonaler Übergabestrecken 83

Abbildung 5-19: Kombinierte vertikale und horizontale Übergabestrecken 83

Abbildung 5-20: Lage verkürzter Übergabestrecken 84

Abbildung 6-1: Spielzeitanteile 91

Abbildung 6-2: Bereiche bei der Fahrt von einem Übergabepunkt zu einem Lagerfach 97

Abbildung 6-3: Bereiche bei der Fahrt von einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt 98

Abbildung 6-4: Bereiche bei der Fahrt von einem Lagerfach zu einem Übergabepunkt 99

Abbildung 6-5: Betrachtete Fahrten zwischen Übergabepunkten und Lagerfächern 102

Abbildung 6-6: Betrachtete Fahrten zwischen Übergabestrecke und Lagerfächern 103

Abbildung 6-7: Betrachtete Regalfläche mit horizontaler Übergabestrecke 104

Abbildung 6-8: Skizze der Betragsfunktion 105

Abbildung 6-9: Urbildmenge für exemplarische Werte von z 106

Abbildung 6-10: Betrachtete Konfigurationen mit möglichen Anordnungen von zwei Übergabepunkten 112



Abbildung 6-13: Exemplarische Anordnung einer Übergabestrecke 122

Abbildung 6-14: Betrachtete Fahrt von einem Startpunkt über einen Übergabepunkt zu einem Zielpunkt 125

Abbildung 6-15: Betrachtete Regalfläche mit horizontaler Übergabestrecke 126


158

Abbildung 6-16: Grafische Darstellung der Betragsfunktion 127

Abbildung 6-17: Betrachtete Anordnungen der Übergabepunkte 136

159

Tabellenverzeichnis

Tabelle 4-1: Berechnungsergebnisse für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ 50

Tabelle 4-2: Kombinationen der Teilstrecken mit Eintrittswahrscheinlichkeiten und mittleren Fahrstrecken 52

Tabelle 4-3: Berechnungsergebnisse für die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ 53

Tabelle 4-4: Mittlere Fahrwege für unterschiedliche Strategien bei optimaler Anordnung der Übergabepunkte 54

Tabelle 4-5: Optimale Positionen paralleler Übergabestrecken 56

Tabelle 5-1: Mögliche Kombinationen der ABC-Zonen und Eintrittswahrscheinlichkeiten 68

Tabelle 5-2: Kinematische Daten Regalbediengerät 69

Tabelle 5-3: Zykluszeiten Regalbediengerät 70

Tabelle 5-4: Eigenschaften der Regale 71

Tabelle 5-5: Eigenschaften der ABC-Zonen 71

Tabelle 5-6: Vergleich der Fahrzeiten bei Zonierung mit einem bzw. zwei Übergabepunkten 78

Tabelle 5-7: Zykluszeiten für Einzel- und Doppelspiele 80

Tabelle 5-8: Mittlere Fahrzeiten zwischen Lagerfächern 80

Tabelle 5-9: Ergebnisse der Spielzeitberechnungen für Regal 1 (20 x 10 m) 85



Tabelle 6-1: Anzahl der Lastübergabevorgänge bei Einzel- und Doppelspiel 94

Tabelle 6-2: Vergleich der Bremsbeschleunigungszeiten ohne Gewichtung 100

Tabelle 6-3: Vergleich der Gewichtung für die Fahrt zwischen zwei Lagerfächern 101

Tabelle 6-4: Zusammenfassung der Berechnungsergebnisse für eine kontinuierliche Übergabestrecke 111

Tabelle 6-5: Erforderliche Fallunterscheidungen bei der Berechnung von tLF-ÜP 114

Tabelle 6-6: Erforderliche Fallunterscheidungen bei der Berechnung von tÜP-LF 118

Tabelle 6-7: Ergebnisse für tLF-ÜP bei w ≤ 1 mit zwei vertikal bzw. w ≥ 1 mit zwei horizontal angeordneten Übergabepunkten 120

Tabellenverzeichnis

160

Tabelle 6-8: Ergebnisse für tÜP-LF bei w ≤ 1 mit zwei vertikal bzw. w ≥ 1 mit zwei horizontal angeordneten Übergabepunkten 121

Tabelle 6-9: Ergebnisse der Validierung der Berechnungsmodelle für die Strategie „Nächstgelegener Übergabepunkt“ 122

Tabelle 6-10: Abweichung der Ergebnisse gegenüber numerischer Berechnung 124

Tabelle 6-11: Ergebnisse für w ≤ 1 und eine horizontale Übergabestrecke bzw. w ≥ 1 und eine vertikale Übergabestrecke 134

Tabelle 6-12: Ergebnisse für w ≥ 1 und eine horizontale Übergabestrecke bzw. w ≤ 1 und eine vertikale Übergabestrecke 135

Tabelle 6-13: Numerische Berechnungsergebnisse für w ≤ 1 und zwei horizontal angeordnete Übergabepunkte bzw. w ≥ 1 und zwei vertikal angeordnete Übergabepunkte 137

Tabelle 6-14: Ergebnisse der Approximation 138

Tabelle 6-15: Ergebnisse der Validierung der Berechnungsmodelle für die Strategie „Berücksichtigung nächstes Ziel“ 139

Tabelle 6-16: Abweichung der Ergebnisse gegenüber numerischer Berechnung 141

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Spielzeit automatischer Lagersysteme mit mehreren...

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