Date post: | 05-Apr-2015 |
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Sommersemester 2009
Universität Mainz
Johanna Trinkhaus, Timo Schweißguth
Fachdidaktik Seminar – Kernideen der Mathematik
Inhalt der Präsentation
Umkehrungen in Mathematikunterricht – Was geht, was geht nicht?
Winkel um Mathematikunterricht – Wo kommen sie vor?
Unterrichtsplanung zum Innenwinkelsummensatz von Dreiecken
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Umkehrungen – Satz des PythagorasSatz des Pythagoras:
Ist ein Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse c, dann gilt:
Umkehrung:
Sei ein Dreieck ABC mit den Seiten a,b,c gegeben und es gelte .
Dann ist das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck mit als Hypotenuse.
²²² cba
²²² cba
cAB
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Umkehrungen – Satz des PythagorasBeweisidee:
Wir wählen uns ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b und zeigen, dass dieses kongruent zum Dreieck aus der Umkehrung ist.
Schüler sollen an diesem wichtigen und bekannten Satz lernen, worauf es bei Umkehrungen und Beweisen ankommt.
Dies ist dann eine gute Übung, um das mathematische Argumentieren zu trainieren. (Kompetenz K1)
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Umkehrungen – Satz des Thales
Satz des Thales: Die freien Ecken C aller rechtwinkligen
Dreiecke mit gemeinsamer Hypotenuse AB liegen auf einem Kreis mit AB als Durchmesser.
Umkehrung: Jedes Dreieck, dessen Ecken so auf
einem Kreis liegen, dass eine Seite Kreisdurchmesser ist, besitzt einen rechten Winkel.
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Umkehrungen – Satz des Thales
Beweis: Ergänzung des rechtwinkligen Dreiecks zu
einem Rechteck und Betrachtung der beiden Diagonalen
Vorkenntnisse: Diagonalen eines Rechtecks sind gleich
lang Diagonalen eines Rechtecks halbieren
sich gegenseitig
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Umkehrungen - Strahlensätze
Strahlensätze 1. Strahlensatz Merkregel:
2. Strahlensatz
Umkehrung: Erster Strahlensatz ist umkehrbar, der
zweite allerdings nicht.
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Umkehrungen - Strahlensätze
Beweise/Begründungen Für den ersten Satz sollen die Schüler an
Beispielen erkennen, dass die Umkehrung gilt
Für den zweiten Strahlensatz ergibt ein einfaches Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt. (Kreis um A mit ergibt weitere, nicht parallele, Strecke für die die Behauptung gilt.
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'AAr
Umkehrungen - Probleme
Häufig fällt es den Schülern schwer Behauptung und Voraussetzung zu trennen. So wird beim Beweisen vielleicht ungültiges als Beweismittel eingesetzt.
Schüler müssen bei Gleichungsumformungen darauf achten ob die Umkehrung wirklich gelten kann. (Umkehrung könnte /0 sein)
Trennung von Satz und Umkehrung
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Winkel - Höhenbestimmung
Problemstellung
Aufgabe Schüler gehen auf den Schulhof und sollen
die Höhe h des Schulgebäudes bestimmen und vorher eine Skizze anfertigen
Vorerst sollen die Schüler ohne Hilfe zurecht kommen
Hilfestellung: Trigonometrische Funktionen
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Winkel - Höhenbestimmung
Vorkenntnisse: Umgang mit der Winkelmessung eines
Theodoliten (Einführung im Unterricht) Kenntnisse über trigonometrische Funktionen
Probleme Schüler versuchen h zu schätzen, indem sie
die Höhe des Gebäudes mit der eigenen Größe vergleichen
Zeichnungen allein helfen bei Messung nicht, da der Realitätsbezug verloren geht
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Winkel – Ähnliche Dreiecke
Problem: Quadrat mit Seitenlänge
8cm
Aufgabe: Zeige, dass alle Dreiecke ähnlich sind. Zeige an einem Dreieck, dass die
Seitenverhältnisse 5:4:3 sind.
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Winkel – Ähnliche Dreiecke
Vorkenntnisse: Innenwinkelsummensatz von Dreiecken Definitionen von Stufen-, Wechsel- und
Nebenwinkeln Satz des Pythagoras
Probleme: Sehr formal, da keine Zahlenbeispiele Anwendungsaufgabe Bsp. mit Winkelmessungen kann helfen
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Winkel – Grad- und BogenmaßProblem:
Was ist b? Wie berechne ich b? Idee: Einheitskreis Schüler sollen erkennen, dass b eine Teil von
U ist
Aufgabestellung: Schüler sollen Werte vom Bogenmaß ins
Gradmaß umrechnen und umgekehrt Schüler sollen möglichst alleine allg. Formeln
aufstellen Was ist bei ?
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2U
1r
Winkel – Grad- und Bogenmaß
Vorkenntnisse: Berechnung vom Kreisumfang Umgang mit Winkeln im Bogenmaß
Probleme: Formale Abstraktion
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Einstiegsmöglichkeiten Winkelsummensatz
Dreieck auf Papier oder Pappe zeichnen und ausschneiden, Ecken abreißen und zusammenlegen
Im Helf oder mit DynaGeo sollen die Schüler versuchen ein Dreieck mit möglichst großer Innenwinkelsumme zu zeichnen
Abschreiten der WinkelFormaler Ansatz für die besseren Schüler
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