Skript

Aspekte der komplexen Geometrie

gelesen vonProf. Dr. Katrin Wendlandim Sommersemester 2014

an der Albert-Ludwigs-Universitat Freiburg

Inhaltsverzeichnis

1 Komplexe Geometrie 51.1 Lokale Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 fastkomplexe Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Bem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Def. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.5 Def. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.6 Prop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.7 Def. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.8 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.9 Kor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.10 Standardnotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.11 Prop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.12 Def. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.13 Prop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.14 Def. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.15 Erinnerung: außeres Differenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.16 Def. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.17 Prop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.18 Prop.: Poincare-Lemma in einer Variable . . . . . . . . . . . . 121.1.19 Prop. Poincare-Lemma in mehreren Variablen . . . . . . . . . . 131.1.20 Prop. Poincare-Lemma fur beliebige Polyzylinder . . . . . . . . 14

1.2 komplexe Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1 Def. komplexe Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2 Def. fastkomplexe Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.4 Kor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.5 Def. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.6 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.7 Def. Integrabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.8 Theorem: Newlander-Nirenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.9 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.10 Def. komplexe Untermannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.11 Def. holomorphe Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.12 Def. Holomorphie zwischen Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . 22

2

1.3 holomprhe Vektorbundel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.1 Def. holomorphes Vektorbundel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2 Def. Pullback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.3 Standardbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.4 Def. holomorphes Tangentialbundel und Kotangenzialbundel . 261.3.5 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.6 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.7 Def. Normalenbundel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.8 Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.9 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.10 Def. Dolbeault-Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.11 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.12 Bemerkung: Zusammenhang zwischen Garben und Vektorbundeln 331.3.13 Def. Exponentialsequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.3.14 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.3.15 Def. Picardgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.3.16 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3

Einleitung

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1 Komplexe Geometrie

1.1 Lokale Theorie

Im folgenden ist W ein 2n-dimensionaler R-Vektorraum (“unser lokales Model”)

1.1.1 fastkomplexe Struktur

Eine fastkomplexe Struktur auf W ist eine Abbildung I ∈ EndR(W ) mit I2 = −1.

1.1.2 Bem.

1. Die fastkomplexe Struktur I erlaubt es, W in naturlicher Weise als C-Modul aufzu fassen:

C×W →W, (a+ ib, w) = a · w + b · I(w) ∀a, b ∈ R, w ∈W

2. WC = WC := W⊗RC heißt Komplexifizierung von W , I ∈ EndC(WC) sei die

C- lineare Fortsetzung von I.

WC erlaubt die Definition einer komplexen Konjugation:w ⊗ λ := w ⊗ λ ∀w ∈W, λ ∈ C,damit ist W →WC, w 7→ w ⊗ 1

”W ⊂WC“, W = w ∈WC|w = w.

Man nennt dies auch die Einfuhrung einer reellen Struktur.

1.1.3 Def.

Es sei I eine fastkomplexe Struktur auf W und WC wie oben, dann seien die Ei-genraume von I zu ±i:

W 1,0 := w ∈WC|I(w) = i · w

W 0,1 := w ∈WC|I(w) = −i · w

1.1.4 Lemma

WC = W 1,0 ⊕W 0,1 und W 1,0 = W 0,1

Bew.: Wegen I ∈ EndC(W ), I2 = −1 ist I diagonalisierbar mit den Eigenwerten ±i⇒WC = W 1,0 ⊕W 0,1 ist die Eigenwertzerlegung von WC.Falls w ∈W 1,0, folgt aus der C-linearitat von I:

I(W ) = I(w) = i · w = −i · w

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also w ∈W 0,1

1.1.5 Def.

Sei (W, I) wie oben definiert. Die auf W ∗ = Hom(W,R) induzierte fastkomplexeStruktur wird ebenfalls mit I bezeichnet, also I(α)(w) := α(I(w)) ∀α ∈W ∗, w ∈W .Es gilt:

• (W ∗)C = (WC)∗

• (W 1,0)∗ = (W ∗)1,0

• (W 0,1)∗ = (W ∗)0,1

Weiter sei

• Λp,qW ∗ := Λp((W ∗)1,0)⊗C Λq((W ∗)0,1)

• Λp,qW := Λp(W 1,0)⊗C Λq(W 0,1)

1.1.6 Prop.

Fur (W, I) wie oben gilt:

1. Λp,q ⊂ Λp+qWC ist fur alle p, q in naturlicher Weise ein Unterraum.

2. ΛkWC =

⊕p+q=k Λp,qWC ∀k

3. Λp,qW ∼= Λq,p ∀p, q

4. Es gibt eine wohldefinierte lineare Abbildung Λp,qW × Λr,sW → Λp+r,q+sW ,(α, β) 7→ α ∧ β.

Bew.: Ubungsaufgabe

1.1.7 Def.

Ein Skalarprodukt 〈·, ·〉 auf W ist kompatibel zu der fastkomplexen Struktur I ∈EndR(W ), falls folgendes gilt:

〈I(u), I(v)〉 = 〈u, v〉 ∀u, v ∈W

ω(·, ·) = 〈I·, ·〉 = −〈·, I·〉 heißt Fundamentalform oder Kahlerform.

6

1.1.8 Lemma

Ist ω die Kahlerform fur ein kompatibles Tripel (W, I, 〈·, ·〉) wie in Def. 1.1.17, dannist ω antisymmetrisch und reell mit ω ∈ Λ2(W ∗)C

⋂Λ1,1(W∗) fur die C-lineare Fort-

setzung ω.Bew.: ∀u, v ∈ W : ω(v, u) = 〈I(v), u〉 = 〈u, I(v)〉 = 〈I(u), I2(v)〉 = −〈I(u), v〉 =−ω(u, v), also ω ∈ Λ2(W ∗). nach C-linearer Fortsetzung gilt:

ω ∈ Λ2(W ∗)C = Λ2,0(W ∗)⊕ Λ1,1(W ∗)⊕ Λ0,2(W ∗), ω = ω2,0 + ω1,1 + ω0,2

Fur WC = W 1,0 ⊕W 0,1 wie oben und u, v ∈W 1,0 gilt:

ω(u, v) = ω(I(u), I(v)) = ω(iu, iv) = −ω(u, v)⇒ ω(u, v) = 0 und ω2,0 = 0

Analog fur u, v ∈W 0,1 und somit ist ω0,2 = 0.

Nachster Schritt: Aus 〈·, ·〉 wird eine hermitesche Matrix.

1.1.9 Kor.

Es seien (W, I, 〈··〉) und ω wie in Lemma 1.1.18.Fur u, v,∈W sei h(u, v, ) := 〈u, v〉− iω(u, v), weiter sei g die sesquilineare Fortsetzungvon 〈·, ·〉 nach WC, also g(λu, µv) = λµg(u, v) ∀u, v ∈WC, λ, µ ∈ C, dann gilt:

1. Bzgl. des C-Vektorraums auf (W, I) aus Bem. 1.1.2(1) ist h eine hermitescheMatrix, also positiv-definit auf W und hermitesch.

2. g definiert auf WC eine hermitesche Metrik, unter der folgendes gilt:

W 1,0 ⊥W 0,1

∀u, v ∈WC : g(u, v) = g(u, v) ”Vertraglichkeit mit der reelen Struktur”.

Bew.:

1. ∀u, v ∈W : h(v, u) = 〈v, u〉 − iω(v, u) = 〈u, v〉+ iω(u, v) = h(u, v)

h(u, v) = h(I(u), I(v))

h(v, I(u)) = 〈v, I(u)〉 − ω(v, I(u)) = 〈v, I(u)〉 − i〈I(v), I(u)〉 = −i(〈v, u〉 +i〈v, I(u)〉) = −i(〈v, u〉 − i〈I(v), u〉) = −ih(v, u)

h(I(v), u) = h(I2(v), I(u)) = −h(v, I(u)) = ih(v, u).

⇒ h ist hermitesch und sesquilinear.

∀v ∈W : h(v, v) = 〈v, v〉 − iω(v, v) = 〈v, v〉 > 0⇔ v 6= 0.

⇒ h positiv definit.

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2. g entsteht als sesquilineare Fortsetzung aus dem Skalarprodukt 〈·, ·〉, deswegenfolgen positive Definitheit und hermiteizitat sofort und wegen g(I(u), I(v)) =g(u, v) ∀u, v ∈WC wird I nach Konstruktion unitar bzgl. g, woraus W 1,0 ⊥W 0,1

folgt.

Vertraglichkeit mit der reellen Struktur: Nachrechnen.

Nachster Schritt: Fur U ⊂ Cn offen, p ∈ U verwende den obigen Vektorraum W alsModell fur TpU ∼= R2n.

1.1.10 Standardnotation

Fur U ⊂ C offen mit Standardkoordinaten (z1, ..., zn), zk = xk + iyk, xk, yk ∈ R gilt:∂∂x1

∣∣p, ..., ∂

∂xn

∣∣p, ∂∂y1

∣∣p, ..., ∂

∂yn

∣∣p∈ TpU

dx1|p, ..., dxn|p, dy1|p, ..., dyn|p ∈ T ∗pU(TpU)C = TpU ⊗ C hat C-Basis ∂

∂zk:= 1

2( ∂∂xk− i ∂

∂yk), ∂

∂zk:= 1

2( ∂∂xk

+ i ∂∂yk

),

analog dzk = dxk + idyk, dzk = dxk − idyk.

1.1.11 Prop.

∀p ∈ U definiere eine fastkomplexe Struktur I : TpU → TpU mit ∂∂xk7→ ∂

∂yk, ∂∂yk7→

− ∂∂xk∀k auf TpU (die Standard fastkomplexe Struktur).

(TpU)C = T 1,0p ⊕ T 0,1

p sei die Eigenraumzerlegung von I wie gehabt, dann ist ∂∂zk

,

k = 1, ..., n eine Basis von T 1,0p und ∂

∂zk, k = 1, ..., n eine Basis von T 0,1

p .

Bew.: Nachrechnen: I2 = −(1), I( ∂∂zk

) = i ∂∂zk

etc.

Erinnerung:

∂∂zk

(zl) = δk,l,∂∂zk

(zl) = 0 ∀k, l.

nachstes Ziel

Holomorphie

1.1.12 Def.

Es sei U ⊂ Cn.

1. Eine stetig differenzierbare Abbildung f : U → C heißt holomorph,

falls ∂f∂zk≡ 0 ∀k

2. Eine stetig differenzierbare Abbildung f : U → Cm, f = (f1, ..., fm)t heißt holo-morph, falls jedes fj holomorph ist.

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Erinnerung

Sei f : U → C, f = u + iv, u, v : U → R eine stetig differenzierbare Abbildung, danngilt: f ist holomorph ⇔ f erfullt die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen:

∂u

∂xk=

∂v

∂yk,∂u

∂yk= − ∂v

∂xk

⇔ ∀p ∈ U : Dfp : TpU → Tf(p)C ist ”komplex linear”: Dfp IU = I1 Dfpmit der standard-fastkomplexen Struktur IU , I1 auf TpU , Tf(p)C.

In der Tat gilt:

Dfp(In(∂

∂xk)) = Dfp(

∂

∂yk) =

∂u

∂yk∂

∂u+

∂v

∂yk∂

∂v

I1(Dfp(∂

∂xk)) = I1(

∂u

∂xk∂

∂u+

∂v

∂xk∂

∂v) =

∂u

∂xk∂

∂v− ∂v

∂xk∂

∂u

Koeffizientenvergleich zeigt, dass f holomorph ist g.d.w. die Cauchy-Riemannsche Dif-ferentialgleichungen erfullt sind.

Erinnerung

I1 operiert auf C = R2 durch 90-Drehung um die 0, also wie i auf C.

Komplexifizierung

Setze Dfp C-linear fort zu

Dfp : (TpU)C → (Tf(p)C)C

Dfp(∂

∂zk) = (Df(

∂

∂xk) + iDfp(

∂

∂yk)) =

∂u

∂zk∂

∂u+

∂v

∂zk∂

∂v

=1

2

∂(f + f)

∂zk(∂

∂q+

∂

∂q) +

1

2i

∂(f − f)

∂zk· i · ( ∂

∂1− ∂

∂q)

q komplexe Koordinaten im Bildraum

=∂

∂zk∂

∂q+∂f

∂zk∂

∂q

da ∂∂q = 1

2( ∂∂u − i

∂∂v ) etc.

Analog ist Dfp(∂∂zk

) = ∂f∂zk

∂∂q + ∂f

∂zk∂∂q

Daraus folgt:

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1.1.13 Prop.

Die C-lineare Fortsetzung der Jacobi-Matrix Dfp einer stetig differenzierbaren Funk-tion f : U → Cm mit U ⊂ Cn ist bzgl. der Standardbasen gegen durch die Matrix:(

(∂fj

∂zk)jk (∂f

j

∂zk)jk

(∂fj

∂zk)jk (∂f

j

∂zk)jk

)

Dfp : (TpU)C → (Tf(p)Cm)C ∀p ∈ U

und es gilt:f ist holomorph ⇔ ∀p ∈ U Dfp(T

1,0p ) ⊂ T 1,0

f(p) und Dfp(T0,1p ) ⊂ T 0,1

f(p)

1.1.14 Def.

Fur U ⊂ Cn offen setzen wir

ΛkCU := Λk((T ∗U)C) k = 0, ..., n

Λp,qU := Λp((T ∗U)1,0)⊗ Λq((T ∗U)0,1) p, q = 0, ..., n

und die Raume der Schnitte werden mit AkC(U), Ap,q(U) bezeichnet.

⇒ ΛkCU =⊕

k=p+q Λp,qU

AkC(U) =⊕

k=p+qAp,q(U)

1.1.15 Erinnerung: außeres Differenzial

fur U ⊂ RN mit Koordinaten (u1, ..., uN )d : Ak(T ∗U)→ Ak+1(T ∗U)d(fdui1 ∧ ... ∧ duik) =

∑Nj=1

∂f∂uj

duj ∧ dui1 ∧ duik

koordinatenfreie Definition verbleibt als Ubung

fur α ∈ Ak(T ∗pU) und Vektorfelder V0, ..., Vk giltdα(V0, ..., Vk) =∑N

j=1(−1)jVj(α(V0, ..., Vj , ..., Vk)) +∑

j<l(−1)l+j+1α([Vj , Vl], V0, ..., Vj , ..., Vl, ..., Vk)

Ubung

• d2 = 0

• Es gilt die Leibnizregel:

d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)kα ∧ dβ

falls α ∈ Ak(T ∗U)

10

Bem.

C-lineare Fortsetzung von d nach AkC(U) (hier RN = Cn)Sei f : U → C stetig differenzierbar. Fur die Standardkoordinaten zk = xk + iyk gilt:

df =n∑k=1

(∂f

∂xkdxk +

∂f

∂ykdyk) =

n∑k=1

(∂f

∂zkdzk +

∂f

∂zkdzk)

1.1.16 Def.

mit d : AkC(U)→ Ak+1C bezeichnen wir die C-lineare Fortsetzung des außeren Differen-

tials aus 1.1.16, wobei U ⊂ C offen ist. Weiter sei∂ : Ap,q(U)→ Ap+1,q(U)∂ : Ap,q(U)→ Ap,q+1(U)die Kompositionen von d mit den ProjektionenAk+1C (U)→ Ap+1,q(U)

Ak+1C (U)→ Ap,q+1(U)

1.1.17 Prop.

Mit U ⊂ Cn offen und den Operatoren d, ∂, ∂ aus Def. 1.1.17 gilt:

1. d = ∂ + ∂

2. ∂2 = 0, ∂2

= 0, ∂∂ + ∂∂ = 0

3. Es gelten die Leibnizregeln:

∂(α ∧ β) = ∂α ∧ β + (−1)kα ∧ ∂β

∂(α ∧ β) = ∂α ∧ β + (−1)kα ∧ ∂βfalls α ∈ AkC(U)

Vorsicht

bei der Verallgemeinerung der Proposition auf U ⊂ M offen, wenn M nur mit einerfastkomplexen Struktur ausgestattet ist.

U ⊂ Cn offend : AkC(U)→ Ak+1

C (U)

Ap+1,q(U)

d : Ap,q(U) //

∂

33

∂

++

Ak+1C (U)

πp+1,q

<<

πp,q+1

"" Ap,q+1(U)

11

Bew.: von Prop. 1.1.18:

1. d = ∂ + ∂ folg aus

df =n∑k=1

∂f

∂zkdzk︸ ︷︷ ︸

∂f

+n∑k=1

∂f

∂zkdzk︸ ︷︷ ︸

∂f

fur α = fdzI ∧ dzI I = i1, ..., ip, i1 < ... < ip, dzI := dzi1 ∧ ... ∧ dzip folgt:

∂α = (∂f) ∧ dzI ∧ dzI

∂α = (∂f) ∧ dzI ∧ dzI

dα = df ∧ dzI ∧ dzI

2. ∂2 = 0, ∂2, ∂∂ + ∂∂ = 0 folgt aus

0 = d2 = (∂ + ∂)2 = ∂2︸︷︷︸Ap+2,q(U)

+ (∂∂ + ∂)︸ ︷︷ ︸Ap+1,q+1(U)

+ ∂2︸︷︷︸

Ap,q+2(U)

und folglich ist fur α ∈ Ap,q ∂2α = 0, (∂∂ + ∂∂)α = 0 und ∂2α = 0 da dies

einzelne Beitrage in Ap+2,q(U)⊕Ap+1,q+1(U)⊕Ap,q+2(U) sind.

3. Leibnizregen fur ∂ und ∂ folgen sofort aus der Leibnizregel fur d und der Ver-traglichkeit mit πr,s

Erinnerung: Poincare-Lemma im reellen

Sei U ⊂ RN offen und sternformig. Falls α ∈ Ak(U) mit k > 0 und dα = 0, dann∃β ∈ Ak−1(U) : α = dβ

1.1.18 Prop.: Poincare-Lemma in einer Variable

Ist U ⊂ C offen und Bε := z ∈ C : ‖z − z0‖ < ε mit Bε ⊂ U , dann gilt fur alleα ∈ A0,1

C (U) also α = fdz und ∂α = 0

α|Bε = ∂∂g, g(z) :=1

2i

∫Bε

f(w)

w − zdw ∧ dw

Beweisskizze: zu zeigen ist:

1. g ist wohldefiniert

2. ∂g = α|Bε

12

dies geschieht lokal um jeden Punkt ξ ∈ Bε. Wahle U ⊂ Bε, U 6= Bε offen mit ξ ∈ U .Es sei ψ, : C→ R glatt mit kompaktem Trager in Bε und ψ|

U≡ 1

f |Bvε = f |Bε · ψ︸ ︷︷ ︸f1

+ f |Bε · (1− ψ)︸ ︷︷ ︸f2

gk(z) :=1

2πi

∫Bε

fk(w)

w − zdw ∧ dw

g = g1 + g2

auf U zeigt man 1. und 2. fur (g1, f1) und (g2, f2)

fur g2: da f2|U = 0 ist g2 fur z ∈ U auch wohldefiniert.

∂g2

∂z=

1

2πi

∫Bε

f1(w)

w − zdw ∧ dw =

1

2πi

2π∫0

∞∫0

f1(z + reiϕ)e−iϕdr ∧ dϕ

⇒ g ist wohldefiniert.

∂g1

∂z(z) =

1

2πilimδ→0

(

∫CBδ(z)

f1(w)

w − zdw ∧ dw

durch Umformen bringt man das Integral in eine Gestalt, in der man es mit dem Satzvon Stokes in ein Kurvenintegral

∫∂Bδ

uberfuhren kann, um ∂g∂z (z) = f1(z) zu zeigen.

Bemerkung

ein Poincare-Lemma fur ∂ beweist man analog.

1.1.19 Prop. Poincare-Lemma in mehreren Variablen

Es sei U ⊂ C offen und Pε(ξ) ein Polyzylinder, also

Pε(ξ) = z ∈ Cn : ‖zi − ξi‖ < εi

mit ξ = (ξ1, ..., ξn), ε = (ε1, ..., εn), εi ∈ R>0 mit Pε(ξ) ⊂ U .Falls α ∈ Ap,q(U) mit q > 0 und ∂α = 0, dann existiert ein β ∈ Ap,q−1(Pε(ξ)) mit

α|Pε(ξ) = ∂β

13

Beweisskizze:

1. OBdA. gilt p = 0, denn

α =∑

I⊂1,...,n|I|=p

αI ∧ dzI mit αI ∈ A0,q(U)

und folglich ∂α = 0 ⇔ ∂αI = 0 ∀I und fur β ∈ Ap,q−1(Pε(ξ)), β =∑

I βI ∧ dzIgilt ∂β = α|Pε(ξ) ⇔ ∂βI = αI |Pε(ξ) ∀I.

2. fur α =∑

J⊂1,...,n|J |=q

fJdzJ , ∂α = 0 ist k ∈ 1, ..., n s.d. dzj fur j < k nicht

vorkommt und α = α1 ∧ dzk + α2 s.d. α1 6= 0 und dzk weder in α1 noch in α2

vorkommt.

Idee: konstruiere γ ∈ Ap,q−1(Pε(ξ)) s.d. α − ∂γ kein dzj mit j ≥ k enthalt. dieBehauptung folgt dann per Induktion.

Zur Konstruktion von γ:

fur I ⊂ 1, ..., n, |I| = q:

gI(z) :=1

2πi

∫‖w−zk‖<εk

fI(z1, ..., w, ..., zn)

w − zkdw ∧ dw

weil ∂α = 0 und dzj fur j > k in α nicht vorkommt, folgt

∂fI∂zj≡ 0 ∀I

d.h. nach Konstruktion sind auch alle gI holomorph in zj und ∂gI enthalt keindzj . Mit dem Poincare-Lemma fur eine Variable folgt nun:

γ := (−1)q∑

I⊂1,...,n|I|=qk∈I

gI(z)dzI\k

ist ein γ wie gesucht, da sich in α− ∂γ die Beitrage mit dzk wegheben.

1.1.20 Prop. Poincare-Lemma fur beliebige Polyzylinder

Ist U ⊂ C und Pε(ξ) ein Polyzylinder mit ε = (ε1, ..., εn), εj ∈ R>0 ∪∞, Pε(ξ) ⊂ U ,α ∈ Ap,q(U), q > 0 und ∂α = 0, dann existiert ein β ∈ Ap,q−1(Pε(ξ)) mit ∂β = α|Pε(ξ)Bew.: siehe Huybrechts

14

1.2 komplexe Strukturen

Ziel:

Beschreibung komplexer Mannigfaltigkeit mit Hilfe fastkomplexer Strukturen und ge-eigneter Zusatzbedingungen.

analog zur differenzierbaren Mannigfaltigkeit:

1.2.1 Def. komplexe Mannigfaltigkeit

Sei X eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

1. ein holomorpher Atlas von X ist ein Atlas Uα, ϕα, wobei ϕα : Uα → ϕα(Uα) ⊂Cn homoomorph sind und alle Kartenwechsel ϕα ϕ−1

β : ϕβ(Uα∩Uβ)→ ϕα(Uα∩Uβ) holomorph sind.

Die (Uα, ϕα) heißen holomorphe Koordinatenumgebungen.

Zwei holomorphe Atlanten Uα, ϕα und U ′α, ϕ′α sind aquivalent, falls alle ϕα

(ϕ′β)−1 auf ihren Definitionsbereichen holomorph sind.

2. X zusammen mit einer Aquivalenzklasse holomorpher Atlanten heißt komplexeMannigfaltigkeit

1.2.2 Def. fastkomplexe Mannigfaltigkeit

Eine festkomplexe Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit X zu-sammen mit einem I ∈ End(TX) s.d. I2 = −1

1.2.3 Lemma

Jede komplexe Mannigfaltigkeit tragt eine naturliche fastkomplexe Struktur.Bew.: Fur jeden holomorphen Atlas Uα, ϕα gibt es auf jedem Uα eine naturlichefastkompelxe Struktur:ϕα(Uα) ⊂ Cn tragt die standard-fastkomplexte Struktur (Prop. 1.1.11) die unterD(ϕα)−1 eine fastkomplexe Struktur auf Uα induziert. Insbesondere gilt:

(TX|Uα)C = (T 1,0)|Uα︸ ︷︷ ︸ER zum EV i von I

⊕ (T 0,1)|Uα︸ ︷︷ ︸ER zum EV −i von I

nach Prop. 1.1.17 fur holomorphe Funktionen f : Uα ∩ Uβ → Uα ∩ Uβ gilt

Df(T 1,0)|Uα∩Uβ ⊂ (T 1,0)|Uα∩Uβ

Df(T 0,1)|Uα∩Uβ ⊂ (T 0,1)|Uα∩Uβweil auf der komplexen Mannigfaltigkeit alle Koordinatenwechsel holomorph sind, er-halten wir ein wohldefiniertes I ∈ End(TX) mit I2 = −1

15

Erinnerung

X sei eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension n.(TX)C → X ist ein komplexes Vektorbundel uber X.Uber jeder holomorphen Koordinatenumgebung Uα ⊂ X gibt es lokale Schnitte:

∂

∂zkα=

1

2(∂

∂xkα− i ∂

∂ykα)

∂

∂zkα=

1

2(∂

∂xkα+ i

∂

∂ykα)

fur k = 1, ..., n und holomorphen Koordinaten (z1α, ..., z

nα), zkα = xkα + iykα

naturliche fastkomplexe Struktur

∂

∂xkα

I7→ ∂

∂ykα

I7→ − ∂

∂xkα

Frage

Wann ist eine fastkomplexe Struktur von einer komplexen Struktur induziert?

1.2.4 Kor.

Ist (X, I) eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit, dann ist (TX)C = TX ⊗C mit komple-xen Vektorbundeln (TX)C, T 1,0X, T 0,1X, wobei folgendes gilt:

T 1,0X = T 0,1X

I = i · 1T 1,0X

I = −i · 1T 0,1X

Bemerkung

• T 1,0 heißt holomorphes Tangentialbundel.

• T 0,1 heißt antiholomorphes Tangentialbundel.

• jede fastkomplexe Mannigfaltigkeit hat gerade reelle Dimension.

• Beispiel einer Mannigfaltigkeit gerader Dimmension, die keine fastkomplexe

Struktur tragt ist die S4

16

Bem.

Uber genugend kleine affine Umgebungen U ⊂ X lasst sich T 0,1X trivialisieren:T 0,1X|U ∼= U × Cn und es gibt lokale Schnitte V1, ..., Vn uber U s.d. fur alle x ∈ UV1(x), ..., Vn(x) eine Basis von T 0,1

x X ist.Falls U eine holomorphe Koordinatenumgebung auf einer komplexen MannigfaltigkeitX ist, ist Vk = ∂

∂zkund somit [Vk, Vl] = 0 ∀k, l und in diesem Fall folgt fur beliebige

Schnitte V,W von T 0,1X|U , dass [V,W, ] ein Schnitt T 0,1X|U ist. Falls X nur einefastkomplexe Struktur tragt, gilt im allgemeinen nicht [Vk, Vl] = 0 und kann sogarAnteile in T 1,0X|U enthalten.

Erinnerung an 1.1.16

Bzgl. Standardkoordinaten auf U ⊂ Cn gilt

df =n∑k=1

∂f

∂zkdzk︸ ︷︷ ︸

∂f

+n∑k=1

∂f

∂zkdzk︸ ︷︷ ︸

∂f

fur eine differenzierbare Funktion f : U → C

d(fdzI ∧ dzJ) = df ∧ dzI ∧ dzJ = ∂α+ ∂α

analog zu Def. 1.1.17

1.2.5 Def.

Sei (X, I) eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit, (TX)C = T 1,0X ⊕ T 0,1X wie in 1.2.4,so definiere

Λp,qX := Λp((T 1,0X)∗)⊗ Λq((T 0,1X)∗)

ΛkCX := Λk((TX)C) (=⊕k=p+q

Λp,qX)

ΛkX := Λk(TX)

Die Raume der Schnitte von Λp,qX, ΛkCX, ΛkX werden mit Ap,q(X), AkC(X) undAk(X) bezeichnet.d : AkC(X)→ Ak+1

C (X) sei die C-lineare Fortsetzung des außeren Differentials d.Mit Projektionen πr,s : Ak(X)→ Ar,s(X) definieren wir ∂ und ∂ s.d. gilt

∂|Ap,q(X) = πp+1,q d|Ap,q(X)

∂|Ap,q(X) = πp,q+1 d|Ap,q(X)

17

Bemerkung

• d, ∂ und ∂ sind unabhangig von Koordinatenwahlen definiert und alle dreierfullen die Leibnizregeln (s. Lemma 1.1.18).

• A1C(X) = A1,0(X) ⊕ A0,1(X), A0

C(X) = A0,0(X). D.h. ∀f ∈ A0C(X) : df =

∂f + ∂f , was im allgemeinen fur Formen hoheren Grades nicht mehr gilt.

1.2.6 Theorem

Es Sei (X, I) eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit. Dann sind folgende Aussagenaquivalent:

1. d : A1,0(X)→ A2,0(X)⊕A1,1(X)

2. d = ∂ + ∂

3. ∂2

= 0

4. [T 0,1X,T 0,1X] ⊂ T 0,1X (also fur V,W antiholomorph ⇒ [V,W ] ist antiholo-morph)

Bew.:

1. ⇒ 2. zz: ∀α ∈ Ap,q(X) ∀p, q: dα ∈ Ap+1,q(X)⊕Ap,q+1(X)

Dies ist klar fur

• p = q = 0 s.o.

• p = 1, q = 0 nach Voraussetzung

• p = 0, q = 1 nach Voraussetzung und komplexer Konjugation.

Da (T 1,0X)∗ und (T 0,1X)∗ lokal trivialisierbar sind finden wir fur α ∈ Ap,q(X)lokale Formen auf U ⊂ X offen

ξ1, ..., ξp ∈ A1,0(U)

ζ1, ..., ζq ∈ A0,1(U) s.d. gilt

α|U = fξ1 ∧ ... ∧ ξp ∧ ζ1 ∧ ... ∧ ζq

Mit der Leibnizregel fur d zusammen mit den Fallen p = q = 0; p = 1, q = 0;p = 0, q = 1 folgt die Behauptung.

2. ⇒ 3. wegen d = ∂ + ∂, d2 = 0 folgt ∂2

= 0 (und ∂2 = 0, ∂∂ + ∂∂ = 0)

3. ⇒ 4. fur α ∈ A1C(X) gilt mit Schnitten V,W von TXC

(dα)(V,W ) = V (α(W ))−W (α(V ))− α([V,W ]) (1.1)

Fur Schnitte V,W von T 0,1X und α = ∂f ∈ A0,1(X) folgt nach Voraussetzung

0Vor.= ∂f(V,W ) = ∂α(V,W )

def.= (π0,2 d)(α)(V,W ) = dα(V,W )

18

(1.1)= V (∂f(W ))−W (∂f(V ))− ∂f([V,W ])

da V,W ein Schnitt auf T 0,1X ist folgt

∂f(W ) = df(W )

und analog fur V

⇒ 0 = ∂2f(V,W ) = V (df(W ))−W (df(V ))− df([V,W ]) + ∂f([V,W ])

(1.1)= d(df)(V,W ) + ∂f([V,W ]) = ∂f([V,W ])

Fur jedes γ ∈ A1,0(X) konnen wir lokale Ausdrucke γ|U =∑

i gi∂fi finden. D.h.aus der Rechnung folgt γ([V,W ]) = 0 ∀γ ∈ A1,0(X) also, dass [V,W, ] ein Schnittvon T 1,0X ist.

4. ⇒ 1. fur α ∈ A1,0(X) ist zz, dass π0,2(dα) = 0

also fur alle Schnitte V,W von T 1,0X muss gelten, dass dα(V,W ) = 0 Es gilt:

dα(V,W )(1.1)= V (α(W ))−W (α(V ))− α([V,W ]) = 0

da α ∈ A1,0(X), V,W Schnitte auf T 0,1X sind und nach Voraussetzung [V,W ]wieder ein Schnitt auf T 1,0X ist.

1.2.7 Def. Integrabilitat

Eine fastkomplexe Struktur I heißt integrabel, falls eine der Bedingungen (und damitalle) aus Thm. 1.2.6 erfullt sind.

1.2.8 Theorem: Newlander-Nirenberg

Jede integrable fastkomplexe Struktur wird von einer eindeutig bestimmten komplexenStruktur induziert.Bew.: [A. Newlander, C. Nirenberg,

”Complex analytic coordinates in almost complex

manifolds“, Ann. Math. 65 (1975), 391 - 404]

Beispiel einer nicht-integrierbaren Mannigfaltigkeit

S6 = x ∈ O : x∗ = x, |x|2 = 1TS6 = (u, v) : u ∈ S6, v ⊥ u, v∗ = −vI(u, v) := (u, 1

2(u · v − v · v))

19

Bemerkung

• Fur reelle Mannigfaltigkeiten M gilt nach dem Satz von Whitney:

M ⊂ RN ist fur N hinreichend groß eine Untermannigfaltigkeit

• Fur komplexe Mannigfaltigkeiten gilt das analoge Theorem nicht.

falls X eine komplexe kompakte Mannigfaltigkeit ist und X ⊂ CN eine Un-termannigfaltigkeit, dann mussen nach dem Satz von Lioville die Koordinaten-funktionen (z1, ..., zN ) von CN lokal konstant sein.

1.2.9 Beispiele

1. Cn mit standard fastkomplexer Struktur

affine Raume uber C

2. Pn(= CPn) = Cn+1\0/C∗

π : Cn+1 \ 0 → Pn

(z0, ..., zn) ∼ (λz0, ..., λzn) 7→ [z0 : ... : zn] λ ∈ C

• Topologie: Quotiententopologie

• Standard Koordinatenumgebung:

Uj = [z0 : ... : zn] : zj 6= 0

etwas allgemeiner: W ein (n+ 1)-dimensionaler C-Vektorraum

P(W ) := W\0/C∗

3. f : Cn → C holomorph, 0 ein regularer Wert

Z(f) := z ∈ Cn : f(z) = 0 = f−1(0) ist nach dem Satz uber impliziteFunktionen eine komplexe Mannigfaltigkeit.

4. f : Cn+1 → C wobei f ein homogenes Polynom sei, fur das 0 ein geularer Wertist, dann gilt

z ∈ Cn+1 : f(z) = 0 ⇔ ∀λ ∈ C∗ : f(λz) = λNf(z) = 0

V (f) := f−1\0/C∗

ist wieder nach dem Satz uber implizite Funktionen eine komplexe Mannigfal-tigkeit.

20

1.2.10 Def. komplexe Untermannigfaltigkeit

Ist X eine komplexe Mannigfaltigkeit, dann heißt eine komplexe Mannigfaltigkeit Ykomplexe Untermannigfaltigkeit, falls Y ⊂ X und Y die von X induzierte Topologietragt und X einen an Y angepassten holomorphen Atlas Uα, ϕα besitzt, d.h.

ϕα(Uα ∩ Y ) = z ∈ ϕα(Uα) : zm+1 = ... = zn = 0

wobei n = dimCX, m = dimCY , d.h. ϕα(Uα) ⊂ Cn

Bemerkung

• Z(f) ⊂ Cn ist eine komplexe Untermannigfaltigkeit

• Alle komplexen kompakten Untermannigfaltigkeiten des Cn sind 0-dimensional

• V (f) ⊂ Pn sind Beispiele kompakter Mannigfaltigkeiten. Aber nicht alle kom-pakten komplexen Mannigfaltigkeiten sind Untermannigfaltigkeiten eines PN ,denn alle komplexen Untermannigfaltigkeiten des PN sind Algebraisch.

(Wir kommen darauf vorraussichtlich in der Diskussion von K3-Flachen zuruck)

1.2.11 Def. holomorphe Funktion

eine holomorphe Funktion auf einer komplexen Mannigfaltigkeit X ist eine steti-ge abbildung f : X → C s.d. fur alle holomorphen Koordinatensysteme (U,ϕ) f ϕ−1 : ϕ(U)→ C holomorph ist.Fur U ⊂ X offen sei

OX(U) := Γ(U,Ox) := f : U → C : fistholomorph

dies definiert die Garbe Ox.

Bemerkung

dass OX eine Garbe definiert, bedeutet

1. es gibt sogenannte Restriktionsabbildungen rUV : OX(U)→ OX(V ) fur V ⊂ U ⊂X offen, mit rUV (F ) := f |V , wobei rVW rUV = rUW falls W ⊂ V ⊂ U ⊂ X OXdefiniert eine Pragarbe.

2. Verklebevorschrift: Sei U =⋃i Ui mit U,Ui ⊂ X offen.

a) fur f, g ∈ OX(U) : f = g ⇔ f |Ui = g|Ui ∀ib) falls fi ∈ OX(Ui) ∀i s.d.

fi|Ui∩Uj = fj |Ui∩Uj ∀i, j

dann existiert f ∈ OX(U) mit f |Ui = fi ∀i

21

1.2.12 Def. Holomorphie zwischen Mannigfaltigkeiten

Sind X,Y komplexe Mannigfaltigkeiten, dann heißt eine stetige Abbildung f : X → Yholomorph, falls fur alle holomprhen Koordiantensysteme (U,ϕ) auf X, (U ′, ϕ′) auf Ygilt, dass

ϕ′ f ϕ−1 : ϕ(f−1(U ′) ∩ U → ϕ′(U ′ ∩ f(U))

holomorph ist.f heißt biholomorph (bzw. isomorph), falls f holomorph und bijektiv istNach dem Satz uber implizite Funktionen folgt hieraus, dass sowohl f als auch f−1

holomorph sind.

1.3 holomprhe Vektorbundel

1.3.1 Def. holomorphes Vektorbundel

ein holomprhes Vektorbundel E uber einer komplexen Mannigfaltigkeit X (Notati-on: E → X) ist eine komplexe Mannigfaltigkeit zusammen mit einer holomorphenBundelprojektion π : E → X s.d. gilt

1. ∀x ∈ X : Ex := π−1(x) ∼= Cr im Sinne eines Vektorraumisomorphismus

2. um jeden Punkt x ∈ X gibt es eine lokale Trivialisierung von E, d.h. es existiertein U ⊂ X mit x ∈ U s.d. folgendes Diagramm kommutiert

π−1(U)ψ //

π

!!

U × Cr

PrU

U

wobei ψ biholomorph ist mit ψ(e) = (π(e), tπ(e)(e)) s.d. tx : Ex → Cr der C-Vektorraumisomorphismus aus 1. ist

Man erhalt auf folgende Weise sogenannte Kozykel Ui, T 1,j:X =

⋃i Ui sei eine offene Uberdeckung

ψi : π−1(Ui) → Ui × Cr, ψi(e) = (π(e), tiπ(e)(e)) sei eine Trivialisierung von E, dann

gilt FolgendesT i,j(x) := tix (tjx)−1 ∈ GLr(C)

Bemerkung

• ψi ψ−1j : Ui ∩ Uj × Cr → Ui ∩ Uj × Cr

(x, v) 7→ (x, T i,j(x)(v))

22

• fur komplexe Vektorbundel erhalt man lokale Trivialisierungen und Kozykel ana-log zur Def. 1.3.1, außer, dass die ψi nicht holomorph vorausgesetzt sind.

Es gilt:E → X also komplexes Vektorbundel uber einer komplexen Mannigfal-tigkeit X ist holomorph⇔ T i,j : X → GLr(C) sind holompoprh fur alle KozykelUi, T i,j.

• Die Kozykel erfullen folgende Eigenschaften:

T i,j T j,k = T i,k (T i,j)−1 = T j,i

Ubung

Kozykel Ui, T i,j bestimmen das Vektorbundel E eindeutig (bis auf holomorphe Iso-morhpie) und aus Kozykeln (die die Kozykelbedingungen erfullen), kann E rekonstru-iert werden.

Metatheorem

Alle kanonischen Konstruktionen aus der linearen algebra konnen faserweise auf holo-morphe Vektorbundel angewandt und damit auf die Bundel verallgemeinert werden

Insbesondere

• fur holomorphe Vektorbundel E → X, F → X haben wir holomorphe Vek-torbundel

E ⊕ F → X

E ⊗ F → X

E∗ → X, ΛkE → X

• Ist Φ: E → F ein Bundelhomomorphismus zwischen holomorphen VektorbundelnE,F → X, d.h. wir haben insbesondere induzierte lineare Abbildungen

Ψx : Ex → Fx ∀x ∈ X

falls k : X → N := dim(kerΨx) konstant ist, konnen mit Hilfe der faserweisenKonstruktion aus dem Metatheorem ker(Ψ) → X, coker(Ψ) → X als holomor-phe Vektorbundel konstruiert werden.

• Kurze exakte Sequenzen von holomorphen Vektorbundeln

0→ Ef→ F

g→ G→ 0

mit holomorphen Vektorbundeln E,F,G→ X und Bundelhomomorphismen f, g

s.d. ker(f) = X × 0, coker(f)g→ G

23

Warnung

Jede kurze exakte sequenz 0 → E → F → G → 0 komplexer Vektorbundel spaltet,d.h. F = E ⊕ G als komplexes Vektorbundel. Die ist nicht richtig fur kurze exakteSequenzen holomorpher Vektorbundel.

Bemerkung

Seien E,F → X holomorphe Vektorbundel aufX mit Kozykeln Ui, T i,jE und Ui, T i,jF hol. VB E ⊕ F E ⊗ F ΛrkEE E∗

Kozykel Ui,

(T i,jE 0

0 T i,jF

) Ui, T i,jE ⊗ T

i,jF Ui, det(T i,jE ) Ui, ((T i,jE )−1)t (Ubung!)

1.3.2 Def. Pullback

Sei f : X → y eine holomorphe Abbildung zwischen komplexen MannigfaltigkeitenX,Y und E → Y ein holomphes Vektorbundel mit Kozykeln Ui, T i,j, dann ist das ho-lomorphe Vektorbundel f∗E → X mit Kozykeln f−1(Ui), T

i,j f das zuruckgezogeneBundel oder PullbackSpezialfall: X ⊂ Y komplexe Untermannigfaltigkeit

f = ι : X → Y

die InklusionNotation: ι∗E =: E|X Restriktionz.B. kann man lokale Trivialisierungen wie oben notieren als

E|Ui ∼= Ui × Cr

1.3.3 Standardbeispiele

holomorphe Vektorbundel vom Rang 1 auf X = Pn

Cn+1 \ 0 → Pn

z 7→ [z] = λ · z] ∀λ ∈ C∗

1. Tautologisches Bundel

O(−1) wird definiert uber

O(−1)l := (l, z) : z ∈ l ⊂ Cn+1 ∀l ∈ Pn

d.h. z = 0 oder l = [z]

π(l, z) := l

Kontrolle: O(−1)l = π−1(l) ∼= l ∼= C1

Uberdeckung von Pn:

24

Ui = (ξ0 : ... : ξn) ∈ Pn : ξj 6= 0

ψj : O(−1)|Uj → Uj × C1

ψj((l, z)) 7→ (l, zj) l = (ξ0 : ... : ξn) = [z] oder z = 0

ψ−1((l, zj)) = (l, (ξ0

ξj, ..., 1, ...,

ξn

ξj) · zj)

eindeutiges z ∈ l mit j-ter Komponente zj

Kozykel: Ui, T i,j mit

ψi ψ−1j : Ui ∩ Uj × C1 → Ui ∩ Uj × C1

(l, v) 7→ (l, T i,j(l)(v))

mit T i,j(l)(zj) = ξi

ξjzj nach obriger Rechnung, wobei l = (ξ0 : ... : ξn) ∈ Ui ∩ Uj

also ξj 6= 0, ξi 6= 0

Mit anderen WortenT i,j : Ui ∩ Uj → Gl1(C) = C∗

(ξ0 : ... : ξn) 7→ ξi

ξj

ist eine holomorphe Abbildung mit Kozykelrelationen

Fazit: O(−1)→ Pn ist ein holomorphes Vektorbundel vom Rang 1 uber Pn

2. Weiter holomorphe Vektorbundel vom Rang 1 uber X = Pn:

O(0) := O := Pn × C

O(1) := O(−1)∗

∀k ∈ N : O(k) := O(1)⊗k

O(−k) := O(−1)⊗k

kurze exakte Sequenzen

Seien E,F,G→ X holomorphe Vektorbundel

0→ Ef→ F

g→ G→ 0 (1.2)

mit fp : Ep →, Ff(p) injektiv ∀p ∈ X, g : coker(f)∼=→ G

25

Warnung

Aufgefasst als kurze exakte Sequenz komplexer Vektorbundel existiert eine Spaltungvon (1.2), d.h. es existiert ein glatter Bundelhomomorphismus s : G→ F mit gs = 1.D.h. insbesondere E → F , G → F und F = E ⊕G als komplexes Vektorbundel.Im allgemeinen ist s kein holomorpher Bundelhomomorphismus. Als holomorphe Vek-torbundel gilt im allgemeinen E ⊕G F(nach Konstruktion gilt G ∼= F/E, aber F/G ergibt fur holomorphe Bundel keinen Sinn.)Haben E,G Kozykel Ui, T i,j, Ui, T i,j, dann hat F Kozykel der Form

Ui,

(T i,jE ∗0 T i,jG

)

und (1.2) spaltet ⇔ ∗ = 0.

Standardbeispiel

X = P1, E = O(−1)O(−1)l → Ol ⊕Ol = C⊕ C

(l, z) 7→ (z0, z1)

z ∈ l ⊂ C2 Ubung: 0 → O(−1) → O ⊕O → O(1) → 0 ist eine kurze exakte Sequenzholomorpher Vektorbundel.O(−1)⊕O(−1)︸ ︷︷ ︸

nichttrivial

O ⊕O︸ ︷︷ ︸trivial

1.3.4 Def. holomorphes Tangentialbundel und Kotangenzialbundel

SeiX eine komplexe Mannigfaltigkeit mit dimX = n, einem holomprhen Atlas Uα, ϕαund Koordinatenwechsel ϕαβ := ϕα ϕ−1

β : ϕβ(Uα ∩ Uβ)→ ϕα(Uα ∩ Uβ)

ϕαβ = (ϕ1αβ, ..., ϕ

nαβ)t

1. holomrphes Tangentialbundel

TX → X holomorphes Vektorbundel vom Rang n mit Kozykeln Uα, Tαβ

Tαβ(p) =∂ϕ

αβk

∂zl(ϕβ(p))kl ∈ Gln(C)

2. holomprhes Kotanentialbundel

ΩX := (TX)∗

3. ΩpX := ΛpΩX

insbesondere Kx := ΩnX = ΛnΩX heißt kanonisches Bundel.

Nachtrage:

26

• E → X sei ein holomrphes Vektorbundel mit Trivialisierung E|U ∼= U × Cr

r heißt Rang von E

• ist rang(E) = r, dann heißt ΛrE =: det(E) das Determinantenbundel von E

• Bundel vom Rang 1 heißen Geradenbundel

Bemerkung

• Determinantenbundel sind Beispiele von Geradenbundel, was insbesondere furdas kanonische Bundel gilt.

• Fur (TX)C = T 1,0X ⊕ T 0,1X → X gilt:

T 1,0X → X ist ein komplexes Vektorbundel mit lokaler Trivialisierung T 1,0|Uα ∼=Uα×Cn durch Koordinatenvektorfelder ∂

∂z1α, ..., ∂

∂znαwenn ϕα(p) = (z1

α(p), ..., znα(p)).

Basiswechsel unter Koordinatenwechsel ϕαβ sind gegen durch die Jaconische vonϕαβ.

Mit anderen Worten: T 1,0X hat Kozykel Uα, Tαβ die mit Kozykeln TXubereinstimmen.

Daraus folgt nun

1.3.5 Lemma

Ist X eine komplexe Mannigfaltigkeit, dann ist T 1,0X ein holomrphes Vektorbundeldas zum holomorphen Tangentialbundel kanonisch isomorph ist.

1.3.6 Lemma

Sei X eine n-dimensinale komplexe Mannigfaltigkeit und Y ⊂ X eine m-dimensionaleUntermannigfaltigkeit. TX , TY seien die zugehorigen holomorphen Tangentialbundel

1. es gibt eine naturliche Inklussion

TY → TX |Y (holomorpher Bundelhomomorphismus)

2. Die kurze exakte Sequenz

0→ TY → TX |Y → NY/X → 0

definiert ein holomorphes Vektorbundel NY/X → Y das der Adjunktionsformelgenugt:

KY∼= KX |Y ⊗ det(NY/X)

wobei KY , KX die kanonischen Bundel sind.

27

Bew.:Sei Y ⊂ X eine komplexe Untermannigfaltigkeit einer komplexen Mannigfaltigkeit Xund TY , TX die zugehorigen holomorphen Tangentialbundel.

1. zz: es existiert eine holomorphe Bundelinklussion Ty → TX .

Dazu sei Uα, ϕα ein an Y angepasster holomorpher Atlas von X und seien dieKartenwechsel definiert durch

ϕαβ := ϕα ϕ−1β : ϕβ(Uα ∩ Uβ)→ ϕα(Uα ∩ Uβ)

Kozykel von TX : Uα, (∂ϕkαβ∂zl

(ϕβ(p))) k,l1≤k,l≤n

ϕαβ = (ϕ1αβ, ..., ϕ

nαβ)t.

Fur p ∈ Uα ∩ Uβ ∩ Y gilt ϕm+1α = ϕnα = 0 und somit folgt

(∂ϕkαβ∂zl

(ϕβ(p))) =

(TαβY (p) ∗

0 ναβ(p)

)

mit Kozykeln Uα ∩ Uβ, Tαβ> (p) = (∂ϕkαβ∂zl

(ϕβ(p)))k,l=1,...,n⇒ es existiert ein holomorpher Bundelhomomorphismus TY → TX|Y

2. zz: NX|Y ist wohldefiniert und es gilt die Adjunktionsformel fur KY :

Da ker(TY |p → TX |p) = 0 ∀p ∈ Y ist, ist der Cokern wohldefiniert und esexistiert eine kurze exakte Sequenz holomorpher Vektorbundel

0→ TY → TX|Y → NY |X → 0

Kozykel von NY |X : Uα ∩ Y, νKozykel von KY = det(ΩY ) ∼= ΛmT ∗Y :

det(TαβY (p))−1 1.)= det(TαβX (p))−1︸ ︷︷ ︸

Kozykel von KX|Y

det(ναβ(p))︸ ︷︷ ︸Kozykel von detNY |X

⇒ KY∼= KX|Y ⊗ detNY |X

1.3.7 Def. Normalenbundel

Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit mit komplexer Untermannigfaltigkeit Y ⊂ Xund NY |X sei definiert durch die kurze exakte Sequenz holomorpher Vektorbundel aufY

0→ TY → TX|Y → NY |X → 0

dann heißt NY |X das Normalenbundel von Y in X.

nachstes Thema

Schnitte von Vektorbundeln

28

Erinnerung

Sei Eπ→ X ein Vektorbundel. Schnitte von E sind Abbildungen s : X → E mit

π s = 1X (d.h. ∀p ∈ X : s(p) ∈ Ep)Fur holomorphe Vektorbundel auf einer komplexen Mannigfaltigkeit E → X interes-sieren i.A. Γ(X,E) := s : X → Eglatte schnitteΓhol(X,E) := s : X → Eholomorphe SchnitteAp,q(X): glatte Schnitte des komplexen Vektorbundels

Λp,q(X) = ΩpX︸︷︷︸

Λp(T 1,0X∗)

⊗ ΩpX → X

1.3.8 Proposition

Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit

1. ist f : X → Y holomorph, dann induziert der Pullback f∗ der Bundel ΩpY → Y ,

ΩqY → Y eine Inklussion

f∗(Ap,q(Y )) ⊂ Ap,q(X)

die mit ∂ und apartial vertraglich ist:

∂ f∗ = f∗ ∂

2. Fur die holomorphen Schnitte von ΩpX gilt

Γhol(X,ΩpX) = α ∈ Ap,0(X) : ∂α = 0

Bew.:

1. f : X → Y induziert f∗ : AkC(Y )→ AkC(X) und in lokalen Koordinaten (y1, ..., ym)auf U ⊂ Y gilt fur α ∈ AkC(Y )

α|U = adyi1 ∧ ... ∧ dyik

f∗(α) = a fdf i1 ∧ ... ∧ df ik

webei f i = yi f ist.

Da f holomorph ist, respektiert f∗ die Aufspaltung von AkC in die Ap,q (sieheProp. 1.1.14). Weiter folgt

dα = da ∧ dyi1 ∧ ... ∧ dyik

f∗(dα) = d(a f) ∧ df i1 ∧ ... ∧ df ik = d(f∗α)

Da d = ∂ + ∂, ∂|Ap,q = πp+q,q d|Ap,q , ∂|Ap,q = πp,q+1 d|schnp,q folgt 1.

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2. Nach Lemma 1.3.4 gilt TX ∼= T 1,0X und somit ist ΩpX uber jeder holomorphen

Koordinatenumgebung U ⊂ X mit holomorphen Koordinaten (z1, ..., zn) trivia-lisierbar

Γhol(U,ΩpX |U ) = spanCfdzi1 ∧ ... ∧ dzik : f ist holomorph

= spanCfdzi1 ∧ ... ∧ dzik : ∂f = 0

= α ∈ Γ(U,Ωp|U ) : ∂α = 0

weil holomorphie eines Schnittes eine lokale Eigenschaft ist, folgt daraus dieBehauptung.

1.3.9 Lemma

Ist E → X ein holomorphes Vektorbundel auf einer komplexen Mannigfaltigkeit X,dann existiert ein naturlicher C-linearer Operator ∂E s.d.

1. fur U ⊂ X offen ist ∂E : Γ(U, (Λp,qX ⊗ E)|U )→ Γ(U, (Λp,q+1X ⊗ E)|U )

2. ∂2E = 0

3. Es gilt die Leibnizregel

∂E(f · α) = ∂f ∧ α+ f∂Eα

fur α ∈ Γ(U, (Λp,qX ⊗ E)|U ) und glattes f

Bew.:Es seien Uα, Tαβ Kozykel fur E, ψα : π−1(Uα)→ Uα×Cr die zugehorige Trivialisie-rung.Sα1 , ..., S

αr seien trivialisierende Schnitte von E|Uα , d.h. Sαi (p) = ψ−1

α (p, ei) ∀i, wobeie1, ..., er die Standardbasis des Cr ist.(insbesondere ist Sα1 (p), ..., Sαr (p) eine Basis von Ep)fur γ ∈ Γ(Uα, (Λ

p,qX ⊗ E)|Uα) gibt es also eine eindeutige Zerlegung

γ =r∑i=1

γiSαi mit γi ∈ Ap,q(Uα)

setzt

∂Eγ :=r∑i=1

(∂E ⊗ Sαi

(insbesondere ∂E(Sαi ) := 0) Beh.: ∂E ist wohldefiniert:

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Unter Ubergang von Uα nach Uβ erhalten wir neue trivialisierende Schnitte Sβ1 , ..., Sβr

mit

Sαi =r∑j=1

(Tαβ)ijSβj

und somit gilt

∂Eγ =r∑

i,j=1

(∂γi)⊗ (Tαβ)ijSβj

=r∑j=1

(r∑i=1

(∂(γi(Tαβ)ij)⊗ Sβj )

r∑j=1

∂(r∑i=1

(Tαβ)ijγi)⊗ Sβj

mit γ =∑r

j=1 γj ⊗ Sβj .

Damit folgt, dass ∂E wohldefiniert ist. Die Ubrigen Eigenschaften folgen aus den Ei-genschaften von ∂.

1.3.10 Def. Dolbeault-Kohomologie

Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit und E → X ein holomorphes Vektorbundel,dann ist die (p, q)-Dolbeaut-Kohomologie definiert durch

Hp,q(X,E) :=ker(∂E : Γ(X,Λp,qX ⊗ E)→ Γ(X,Λp,q+1X ⊗ E)

im(∂E : Γ(X,Λp,q−1X ⊗ E)→ Γ(X,Λp,qX ⊗ E)

ist E das triviale Bundel vom Rang 1, dann schreibe Hp,q(X) statt Hp,q(X,E)

1.3.11 Bemerkung

1. Wann tragt ein komplexes Vektorbundel E → X eine holomorphe Bundelstruktur?

Antwort: genau dann, wenn ein C-lineares

∂E : Ap,q(X,E)→ Ap,q+1(X,E)

existiert mit ∂2E = 0︸ ︷︷ ︸

Integrabilitatbedingung

und Leibnizregel, wobeiAp,q(X,E) := Γ(X,Λp, qX⊗

E).

2. Lemma 1.3.8.3 besagt also

Hp,0(X) = H0,0(X,ΩpX) = Γhol(X,Ω

pX)

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3. ΩpX definiert eine Garbe (analog zu OX in Def. 1.2.11)

ΩpX(U) = Γhol(U,Ω

pX |U ) fur U ⊂ X offen

Die Garbenkohomologie von ΩpX stimmt mit der Dolbeaut-Kohomologie uber ein

Hq(X,ΩpX) = Hp,q(X)

und analog fur ΩpX ⊗ E.

Garbenkohomologie und Cechkohomologie mit Werten in ΩpX (bzw. Ωp

X ⊗ E)stimmen uberein.

zur Cechkohomologie

F sei eine garbe auf X mit Werten in abelschen Gruppen und X =⋃i∈Z Ui eine offene

Uberdeckung. Ui0,...,ip := Ui0 ∩ ... ∩ Uip

Cp(Ui,F) :=∏

i0<...ip

F(Ui0,...,ip)

definiereδ : Cp(Ui,F)→ Cp+1(Ui,F)

und fur α = (αi0,...,ip) ∈ Cp(Ui,F)

(δα)i0,...,ip =

p+1∑k=0

(−1)kαi0,...,ik,...,ip+q |Ui0,...,ip+1

im Sinne der GruppenverknupfungNachzurechnen: δ2 = 0

Hp(Ui,F) :=ker(δ|Cp(Ui,F))

im(δ|Cp+1(Ui,F))

Die Abhangigkeit der offenen Uberdeckung wird man durch direkte Limeskonstruktio-nen los:

Hp(X,F) := lim→Hp(Ui,F)

Beispiel α ∈ C0(Ui,ΩpX) also α = (αi) mit αi ∈ Ωp

X(Ui)

δα = 0 ⇔ αi|Ui∩Uj = αj |Ui∩Uj ∀i, j

⇔ ∃!α ∈ ΩpX(X) mit α|Ui = αi

⇐ H(Ui,ΩpX) = Γhol(X,Ω

pX) = Hp,0(X) = Ωp

X(X)

es giltHp,q(X) = Hq(X,Ωp

X)

Hp,q(X,E) = H(X,ΩpX ⊗ E)

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1.3.12 Bemerkung: Zusammenhang zwischen Garben und Vektorbundeln

E → X sei ein holomorphes Vektorbundel assoziierte Garbe der holomorphenSchnitte

E(U) := Γhol(U,E|U ) fur U ⊂ X offen

(analog zur Garbe OX) Beobachtung:

• jedes E(U) ist ein OX(U)-Modul. Man sagt E ist eine Garbe von OX-Modulen

• ∀p ∈ X ∃ U ⊂ X offen mit p ∈ U s.d

E(U) ∼= OX(U)⊕r

(aufgrund der lokalen Trivialisierung EU ∼= U × Cr)

Γhol(U,U × Cr) = OX(U)⊕r

man sagt: die Garbe E ist eine lokale freie Garbe (vom Rang r)

Fakt

Jede lokale freie Garbe von OX -Moduln ist die Garbe der holomorphen Schnitte einesholomorphen Vektorbundels.Bew.: Ubung E sei eine lokale freie Garbe von OX -Modulen, X =

⋃i Ui eine offene

Uberdeckung s.d.E(Ui) ∼= O(Ui)

⊕r

wir haben: OX(Ui ∩ Uj)⊕r OX(Ui ∩ Uj)⊕rT ijoo

E(Ui ∩ Uj)ψi

ii

ψj

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man uberlegt sich: die T ij definieren Kozykel Ui, T ij eines holomorphen VektorbundelsE mit E der Garbe der holomorphen Schnitte von E.

1.3.13 Def. Exponentialsequenz

Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit, O die Garbe der holomorphen Funktionen aufX (Def. 1.2.11), O∗ die Garbe mit

O∗ := f : U → C∗ : f holomorph fur U ⊂ X offen

(Garbe mit Werten in abelschen gruppen)Z sei die Garbe mit Z := f : U → Z : f ist stetig (mit diskreter Topologie auf ZDie kurze exakte Sequenz von Garben

0→ Z→ OX → OX∗X → 0

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,d.h. alle 0→ Z(U)→ OX(U)→ O∗X(U)→ 0 sind kurze exakte Sequenzenmit Z→ OX , f 7→ f fur f ∈ Z(U) ⊂ OX(U)und OX → O∗X , f 7→ exp(2πif) fur f ∈ OX(U)heißt Exponentialsequenz zugehorige lange exakte Sequenz:

H1(X,Z)→ H1(X,OX)→ H1(X,O∗X)︸ ︷︷ ︸klassifiziert

hol. Geradenbundelauf X (s.u)

C1→︸︷︷︸”1te Chernklasse“

H2(X,Z)→ ...

wobei die erste Abbildung injektiv ist, falls X kompakt.

nachstes Thema: holomorphe Geradenbundel auf X

Beobachtung

L→ X sei ein holomorphes Geradenbundel auf X

1. T ij : Ui ∩ Ujhol.→ GL1(C) = C∗, d.h. T ij ∈ O∗X(Ui ∩ Uj) mit δTαβkij = T ij ·

(T kj)−1 · T ki =︸︷︷︸Tki·T ij=Tkj

1 ∀i, j, k auf Ui ∩ Uj ∩ Uk

d.h. Tαβ definiert ein Element aus H(Ui,O∗X)

Ubung: H(Ui,O∗X)1:1↔ holomorphe Linienbundel auf X (Biholomorph)

Hinweis: Ui, T ij und Ui, T ij zueinander holomorphe Linienbundel, dann istT ij = T ij · fifj |Ui∩Uj fur geeignete fi ∈ O∗X(Ui)

L|Ui∼= // Ui × C

L|Ui

∼=

OO

∼= // Ui × C

fi

OO

fifj

= δfαij

2. Fur holomorphe Linienbundel L, L′, L′′ auf X gilt

L′ ⊗ L′′ ∼= L′′ ⊗ L′ ist wieder ein Linienbundel (Kozykel Ui, T ij · (T ij)′)L⊗O ∼= O⊗L ∼= L, O = X ×C das triviale holomorphe Linienbundel (Kozykelvon O: Ui, 1)L⊗ L∗ ∼= L∗ ⊗ L ∼= O (Kozykel von L∗: Ui, ((T ij)t)−1 = Ui, (T ij =−1)und folglich

L⊗ (L′ ⊗ L′′) ∼= (L⊗ L′)⊗ L′′

daraus folgt

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1.3.14 Lemma

Die Menge der holomorphen Isomorphieklassen von holomorphen Geradenbundeln aufeiner Komplexen Mannigfaltigkeit X tragt die Struktur einer abelschen Gruppe mit⊗ als Verknupfung, O als neutrales Element und Dualisierung als Inversenbildung.Diese Gruppe ist isomorph zu H(X,O∗X)

1.3.15 Def. Picardgruppe

Die Gruppe der Isomorphieklassen holomorpher Geradenbundel auf einer komplexenMannigfaltigkeit X wie in Lemma 1.3.14 heißt Picardgruppe und wird mit Pic(X)bezeichnet.

1.3.16 Beispiel

X = Pn LinienbundelO(k)→ X, k ∈ Z aus Bsp. 1.3.3, alsoO(k1)⊗O(k2) = O(k1+k2)d.h. Pic(Pn) ⊃ O(k) : k ∈ Z ∼= Z

Fakt: Pic(Pn) ∼= Z, C1(O(k)) = k da H2(Pn,Z) ∼= Z

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