Date post: | 05-Apr-2015 |
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
Ökonomische Theorie leitet Beziehungen zwischen unterschiedlichen ökonomischen Variablen ab
Ziel der Ökonometrie: Verifizierung und Quantifizierung der abgeleiteten theoretischen Beziehung
Beispiel: Wodurch und in welchem Ausmaß werden individuelle Löhne bestimmt?
durch Ausbildung, Berufserfahrung?
durch das Geschlecht ?
Einfache Regressionsgleichung
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
Quelle: Dougherty
Beispiel: y = Lohn x = Schuljahre
Ökonomische Theorie lässt positive Beziehung zwischen beiden Variablen vermuten
allgemein: y = f(x)
z.B. lineare Beziehung y = + x
(Ökonomisches Modell)
Einfache Regressionsgleichung
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
x ist eine nicht-stochastische exogene Variable
reale Beobachtungen werden kaum auf einerGerade liegen
yi = + xi + ui (Ökonometrisches Modell); i = 1,..., n (= 4)
y = abhängige Variable, x = erklärende Variable
u = Störterm (error term), erfasst zufällige sowie nicht beobachtbare Einflussfaktoren, die auf y wirken
Einfache Regressionsgleichung
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
Der Annahmen der Methode der kleinsten Quadrate liegen folgende Gauss-Markov Bedingungen zugrunde:
1. Bedingung: Durchschnittswert der Störterme gleich Null
2. Bedingung: Homoskedastizität = gleiche Varianz der Störterme
3. Bedingung:Keine Autokorrelation (autocorrelation) zwischen den
Störtermen
4. Bedingung:Der Störterm soll unabhängig verteilt von den erklärenden Variablen sein
Einfache Regressionsgleichung - die Gauss-Markov Bedingungen
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
Ökonometr. Modell:
u Zufallsvariable y ebenfalls Zufallsvariable
E(y) = E( + x + u) = E( + x) + E(u) = + x
lineare Beziehung zwischen E(y) und x
y = E(y) + u
Var(y) = E(y - E(y))2 = E(y - - x)2 = E(u)2 = Var(u)
Komponentezufälligei
Komponentezufälligenicht
ii uxy
Einfache Regressionsgleichung
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
1. Gauss-Markov Bedingung: E(ui
lxi) = 0Durchschnittswert der Störterme gleich Null
Intuition:Die positiven Störterm-Werte gleichen die negativen ui-Werte aus, so dass der Durchschnittswert bezogen auf y Null ist.
Quelle: Gujarati
ii xyE )(
Einfache Regressionsgleichung – 1. Gauss-Markov (GM) Bedingung
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
2. Gauss-Markov Bedingung: Var(ui|xi) = E[ui -E(ui)]² = E(ui)² wegen GM1
Homoskedastizität oder gleiche = ², z.B. ² = 5
Varianz der Störterme.
Quelle: Gujarati
ii xyE )(
Einfache Regressionsgleichung – 2. Gauss-Markov Bedingung (1)
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
Quelle: Gujarati
ii xyE )(
Zum Vergleich: Heteroskedastizität: Var(ui|xi) = i² , d.h. Var ≠ konst.
Einfache Regressionsgleichung – 2. Gauss-Markov Bedingung (2)
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
3. Gauss-Markov Bedingung: Cov(ui,uj) = E[ui -E(ui)] E[uj -E(uj)]
Keine Autokorrelation zwischen den Störtermen = E[ui uj] wegen GM1
= 0 i ≠ j Beispiel:
Quelle: Gujarati
Positive Autokorrelation
NegativeAutokorrelation
keine Autokorrelation
Einfache Regressionsgleichung – 3. Gauss-Markov Bedingung
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
4. Gauss-Markov Bedingung:
Kovarianz Null zwischen u und x : Cov(x, u) = 0.
Intuition:
Störterm und erklärende Variablen sind in verschiedenen Perioden (Zeitreihe) bzw. über verschiedene Individuen (Querschnitt) unabhängig voneinander. Der Störterm fängt alle fehlenden Variablen auf.
Besonderheit:GM4 ist automatisch erfüllt, wenn x keine Zufallsvariable, d.h. nicht zufällig oder nicht stochastisch ist, oder GM1 gilt.
Einfache Regressionsgleichung – 4. Gauss-Markov Bedingung
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
Einfache Regressionsgleichung – GM und Zentrales GrenzwerttheoremAnnahme der Normalverteilung (normality assumption) der
Störterme ui:
Zentrales Grenzwerttheorem (central limit theorem): die theoretische Rechtfertigung für die Annahme der Normalverteilung von ui.
Aussage zur Angleichung an Normalverteilung mit steigendem n: „Wenn eine Zufallsvariable X den Durchschnittswert und die Varianz 2 hat, dann wird die Verteilung der Stichprobe von X normal, wenn die Anzahl der Observationen n zunimmt.“ gilt auch für die Verteilung der Störterme ui
if (u )
iu0
n klein
n groß
n sehr groß
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
Ökonometrisches Modell: yi = + xi + ui , i = 1,..., n
Ziel: Schätzwerte a und b für „wahre“ Parameter und
geschätzte Werte sind dann:
ŷi=a+bxi
Quelle: Dougherty
a und b sind die Schätzer für
Einfache Regressionsgleichung
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
OLS = Ordinary Least Squares = Methode der kleinsten Quadrate
Minimiere S (Ableiten nach a und b) !
ŷi=a+bxi = Kleinstquadratvorhersagen
ei = Kleinstquadratresiduen
Quelle: Dougherty
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23
22
213
2
1
eeeeS
bxaye
yye
iii
iii
.
.
ˆ.
Einfache Regressionsgleichung
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Kleinstquadrat- oder OLS-Schätzer:
OLS OLSa und b sind Schätzer für die wahren Parameter und
2
1
2
1
nvarianzStichprobe
y)Cov(x, nkovarianzStichprobe
xxn
ii
n
iii
OLSs
xx
xxyy
b
)(
))((
xbyaOLS
Einfache Regressionsgleichung
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Einfache Regressionsgleichung
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
Streudiagramm (scatterplot) für:
Einfache Regressionsgleichung –Streudiagramm
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
Lineares Modell: y = + x + u
gibt an, um wie viel Einheiten sich y verändert ,
wenn x sich um eine Einheit verändert
x
y
Interpretation der Koeffizienten in empirischen Schätzgleichungen
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
Logarithmisches Modell: ln( y) = + ln(x) + u
gibt an, um wie viel Prozent sich y verändert , wenn
x sich um ein Prozent verändert
xx
yy
x
y
/
/
ln
ln
Interpretation der Koeffizienten in empirischen Schätzgleichungen
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Alexander SpermannWS 2007/2008
Semi-Logarithmisches Modell: ln(y) = + x + u
gibt an, um wie viel Prozent sich y verändert , wenn
x sich um eine Einheit verändert
x
yy
x
y /ln
Interpretation der Koeffizienten in empirischen Schätzgleichungen
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
Lohngleichungen werden üblicherweise als semi-
logarithmisches Modell spezifiziert:
ln(y)= ln(y0) + ß ·x + ... + u
x = Schuljahre
ß wird dann als Ertragsrate eines weiteren Schuljahres bzw.
Berufserfahrungsjahres interpretiert
(ß = „return to education“)
Interpretation der Koeffizienten in empirischen Schätzgleichungen
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Alexander SpermannWS 2007/2008
iiiiii eyyyyeaus ˆˆ.1
Varianzder
Anteilrunerklärte
i
VarianzderAnteilerklärter
ii eeyyyy 222 )()ˆˆ()(.2
222 3 eeyyyy sss ˆˆ.
squaresofsum
sidual
squaresofsum
Explained
squaresofsum
Total
RSSESSTSSRe
. 4
Bestimmtheitsmaß R2
(=Goodness of Fit)
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Alexander SpermannWS 2007/2008
}TSSESS
RSS
2
2
2
22 1
yy
ee
yy
yy
s
s
s
sR ˆˆ
)²(
)²ˆˆ(exp
yy
yy
squaresofsumtotal
squaresofsumlained
TSS
ESSR
i
i2
TSS = ESS + RSS
Bestimmtheitsmaß R2
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
Zwischen den Variablen Y und X herrscht keineBeziehung:
Bestimmtheitsmaß R2 = 0
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Sitzung 2
Alexander SpermannWS 2007/2008
Alle Beobachtungen von Y und Xliegen auf derRegressionsgeraden, folglich werden diesevollständig von dem Modell erklärt:
Bestimmtheitsmaß R2 = 1