Schwingungen

Antonia Blachnik, Jörg Laubersheimer

Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis

(Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter)

Zusammenfassung: Eine Schwingung ist eine regelmäÿig wiederkehrende Bewegung um

einen Ruhepunkt. In der vorliegenden Arbeit werden wir die harmonischen Schwingungen

näher betrachten. Um einen einfachen Einstieg in das Thema zu bekommen, untersuchen wir

zunächst den einfachsten Schwingungsvorgang: Eine harmonische Schwingung, bei der wir das

Vorhandensein von Reibung ausblenden. Auÿerdem überlassen wir die Schwingung sich selbst,

d.h. wir greifen nicht durch Zuführen von Energie in Form mechanischer Kräfte in das System

ein. Darauf aufbauend betrachten wir zuerst Schwingungsvorgänge unter Berücksichtigung der

Reibung und anschlieÿend unter zusätzlicher Einwirkung einer äuÿeren Kraft. Abschlieÿend

beschäftigen wir uns mit dem Phänomen der Resonanz, welches in der Resonanzkatastrophe

enden kann.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Klassi�kation von Schwingungen 3

3 Die freie harmonische Schwingung ohne Reibung 43.1 Einfachste Beschreibung durch das Zeit-Elongation-Gesetz . . . . . . . 43.2 Physikalische Betrachtungsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Zusammenführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Die allgemeine harmonische Schwingung 74.1 Die freie harmonische Schwingung unter Berücksichtigung der Reibung 7

4.1.1 Lösung der homogenen Di�erentialgleichung . . . . . . . . . . . 84.1.2 Allgemeinheit und Eindeutigkeit der Lösung . . . . . . . . . . . 104.1.3 Physikalische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 Die erzwungene harmonische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2.1 Vorbemerkungen zur Lösung der inhomogenen Di�erentialglei-

chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2.2 Lösung der inhomogenen Di�erentialgleichung . . . . . . . . . . 144.2.3 Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.4 Beispiele für Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Resümee 18

6 Quellenangaben 19

Abbildungsverzeichnis

1.1 Schwingungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.1 Schattenwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Schwingung mit Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.4 Trigonometrische Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.1 Gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Resonanzkurven für m=1, k=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4 Glas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.5 Tacoma-Brücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2

1 Einleitung

Schwingungen sind dadurch charakterisiert, dass sich der gleiche Bewegungsablauf inzeitlich und räumlichen Abständen wiederholt. In Abbildung 1.1 sind vier verschiedeneSchwingungsarten dargestellt. Sie begegnen uns als technische und natürliche Vorgängein unserer alltäglichen Umgebung. Besonders bekannt sind die harmonischen Schwin-gungen, wie sie beispielsweise bei der Schaukel, dem Pendel oder einer Feder auftreten.In der Akustik gibt es schwingende Saiten oder schwingende Membranen.Zur Beschreibung vieler Naturphänomene sowie technischer Anwendungen, wie etwadem Brückenbau, ist das Verständnis von Schwingungen unabdingbar, wodurch einemathematische Beschreibung der Schwingungsvorgänge notwendig wird.

Abbildung 1.1: Schwingungsformen

2 Klassi�kation von Schwingungen

Es gibt verschiedene Typen von Schwingungen: Harmonische und nicht-harmonischeSchwingungen, freie und erzwungene, ungedämpfte und gedämpfte. Alle Schwingungen,welche sich durch eine Sinus-Funktion ausdrücken lassen bezeichnet man als harmo-nische Schwingungen. Freie Schwingungen schwingen nach einmaliger Zufuhr vonEnergie ohne weitere zusätzliche Ein�üsse von auÿen. Erzwungene Schwingungenhingegen erfahren eine Anregung durch eine äuÿere Kraft. Bei ungedämpften Schwin-gungen handelt es sich um Idealisierungen, da normalerweise immer eine Abgabe vonEnergie an die Umgebung statt�ndet und somit eine Dämpfung, z.B. durch Reibung,vorliegt.

3

Um Schwingungen beschreiben und mathematisch erfassen zu können sind einige Be-gri�e notwendig. Die Zeit, welche benötigt wird um eine vollständige Schwingungsperi-ode auszuführen heiÿt Schwingungsdauer. Zusätzlich benötigt man die Elongation,genauer gesagt die Amplitude. Die momentane Auslenkung wird Elongation genannt,wobei die maximale Auslenkung vom Ruhepunkt mit Amplitude bezeichnet wird. ImVerhältnis zur Schwingungsdauer steht die Frequenz [Hz]. Sie gibt an, wie oft sichder Vorgang in einer Sekunde wiederholt und kann daher durch den Quotienten ausAnzahl der Schwingungen und der dafür benötigten Zeit ausgedrückt werden.

3 Die freie harmonische Schwingung ohne Reibung

In diesem Abschnitt möchten wir zunächst auf einen Spezialfall der harmonischenSchwingungen eingehen. Wir setzen zum einfachen Einstieg voraus, dass im Systemkeine Reibung vorhanden ist und dass auch keine äuÿeren Kräfte wirksam sind. Zu-erst werden wir anschaulich auf die Herleitung einer solchen Schwingungsgleichungeingehen. Im zweiten Teil werden wir diese Schwingungen von physikalischen Gesetz-mäÿigkeiten aus betrachten. In diesem Fall wird die Schwingungsgleichung über Di�e-rentialgleichungen hergeleitet.

3.1 Einfachste Beschreibung durch das Zeit-Elongation-Gesetz

Wir betrachten die Schwingung eines Fadenpendels. Hierbei besteht die Schwierig-keit darin, die Bewegung mathematisch zu erfassen. Man betrachtet die gleichzeitigeProjektion einer Pendelschwingung und einer gleichförmigen Kreisbewegung. Wie ausAbbildung 3.1 ersichtlich führen der Schattenwurf des Metallstifts und des Pendels diegleiche Bewegung aus. Sie können also in derselben Weise mathematisch beschriebenwerden.

Abbildung 3.1: Schattenwurf

4

Man kann die momentane Stellung des Metallstifts auf ein x(t)-Diagramm übertragen.Die Pendelauslenkung wird somit in Abhängigkeit der Zeit betrachtet (vgl. Abb. 3.2).

Abbildung 3.2: Schwingung Abbildung 3.3: Schwingung mit Phase

Der Kreisradius r entspricht der Amplitude der Schwingung. Die Elongation x lässtsich nun durch trigonometrische Beziehungen berechnen. Es gilt:

sin (ϕ) =x

A⇔ x = A sin (ϕ)

Der Winkel ϕ ist jedoch von der Zeit t abhängig und wird mit zunehmender Zeit gröÿer.Drückt man ϕ nun in Abhängigkeit der Zeit aus gilt ϕ = 2πt, wenn der Kreis in einerSekunde einmal vom Metallstift durchlaufen wird (Frequenz f = 1). Soll der Kreis fmal pro Sekunde durchlaufen werden, d.h. übertragen auf die Schwingung, dass diesesich f mal in einer Sekunde wiederholt, muss dieser Ausdruck noch mit der Frequenzmultipliziert werden. Es ergibt sich: ϕ = 2πft. Der Term 2πf =: ω ist de�niert als dieKreisfrequenz. Damit folgt für die Gleichung der Elongation

x(t) = A sin (ωt)

Hierbei gilt die Anfangsbedingung x(0) = 0. Hat die Schwingung zum Zeitpunkt t = 0bereits den Phasenwinkel ϕ0, dann wird sie durch die Gleichung

x(t) = A sin (ωt+ ϕ0)

beschrieben. Diese Schwingungsgleichung nennt man Zeit-Elongation-Gesetz.Es besagt, dass das Pendel nach einmaliger Auslenkung mit konstanter Amplitude ohneeinen Schwingungsabbruch schwingt, ganz nach dem Prinzip eines Perpetuum Mobile.Der Vollständigkeit wegen wollen wir auch die folgenden beiden Gesetze angeben. Wirwissen, dass die erste Ableitung des Weges nach der Zeit die Geschwindigkeit ist. Diezweite Ableitung ergibt die Beschleunigung. Somit erhalten wir durch Di�erentiationdes Zeit-Elongation-Gesetzes:

Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz: x(t) = v(t) = Aω cos (ωt+ ϕ)Zeit-Beschleunigung-Gesetz: x(t) = a(t) = −ω2A sin (ωt+ ϕ) = −ω2x(t)

5

3.2 Physikalische Betrachtungsweise

Wir betrachten einen auf der x-Achse beweglichen Massenpunkt m, der durch eineelastische Kraft an den Nullpunkt gebunden ist. Die Gröÿe dieser Kraft verhält sichproportional zur Elongation und wird gleich −kx gesetzt. k ist eine positive Konstante;das negative Vorzeichen beschreibt, dass die Kraft immer auf den Nullpunkt gerichtetist. Da wir zu diesem Zeitpunkt weder Reibungskraft noch sonstige von auÿen wirkendeKräfte annehmen, besagt das zweite Newton'sche Gesetz:

ma = −kx ⇔ mx = −kx

Hierbei handelt es sich um eine lineare Di�erentialgleichung zweiter Ordnung. Dieallgemeine Lösung dieser wird, wie wir bereits aus dem Vortrag der Mechanik wissen,durch den Ausdruck

x(t) = c1 cos (ωt) + c2 sin (ωt)

mit den Integrationskonstanten c1 und c2, sowie der Kreisfrequenz ω =√

km

gegeben.

ω erhält man indem man in mx = −kx x durch ω2x ersetzt. Die Lösung lässt sichleicht durch Di�erenzieren

x(t) = −c1 sin (ωt)ω + c2 cos (ωt)ω

x(t) = −c1 cos (ωt)ω2 − c2 sin (ωt)ω2 = −ω2x(t)

und Einsetzen bestätigen:

mx+ kx=−mω2x+ kx

= x(k −mω2)

= (c1 cos (ωt) + c2 sin (ωt))(k −mω2)

ω=√

km= (c1 cos (ωt) + c2 sin (ωt))

(k −m k

m

)= (c1 cos (ωt) + c2 sin (ωt))0

= 0

3.3 Zusammenführung

Bisher wurden zwei Schwingungsgleichungen hergeleitet, wobei beide jedoch denselbenVorgang beschreiben. Dies soll im Folgenden ausgeführt werden. Wir können unsereAnfangsbedingungen durch die Elongation und die Geschwindigkeit zum Zeitpunktt = 0 wählen. Dann gilt:

x(0) = c1 cos (ω0) + c2 sin (ω0) = c1

x(0) = −c1 sin (ω0)ω + c2 cos (ω0)ω = c2ω ⇔ c2 =x(0)

ω

6

Also gilt (vgl. Abb. 3.4):

cosϕ0 =x(0)

Aω=c2A

und sinϕ0 =x(0)

A=c1A

Abbildung 3.4: Trigonometrische Beziehungen

Ausgehend vom Zeit-Elongation-Gesetz ergibt sich mit Hilfe der Additionstheoreme:

x(t) = A sin (ωt+ ϕ0) = A(cos (ωt) sinϕ0 + sin (ωt) cosϕ0)

= A cos (ωt)c1A

+ A sin (ωt)c2A

= c1 cos (ωt) + c2 sin (ωt)

4 Die allgemeine harmonische Schwingung

Im vorherigen Abschnitt haben wir Reibungs- und äuÿere Kräfte vernachlässigt, welchewir jetzt mit einbeziehen wollen. Wir nehmen an, dass die Reibungskraft proportionalzur Geschwindigkeit ist und ihr stets entgegen wirkt. Mit Hilfe einer positiven Rei-bungskonstante r ergibt sich für die Reibungskraft der Ausdruck −rx. Reibung kannz.B. durch Luftwiderstand hervorgerufen werden. Durch die Funktion f(t) wird eineäuÿere Kraft angegeben, die auf unseren Massepunkt wirkt. Somit ergibt sich für daszweite Newton'sche Grundgesetz die Gleichung

mx = −kx− rx+ f(t) ⇔ mx+ rx+ kx = f(t)

Diese Di�erentialgleichung zweiter Ordnung besitzt unendlich viele spezielle Lösun-gen. Es lässt sich eine allgemeine Lösung angeben, die auÿer von der unabhängigenVeränderlichen t noch von zwei unbestimmten Parametern c1 und c2, den Integrati-onskonstanten, abhängt. Durch Einsetzen zweier bestimmter Integrationskonstantenergibt sich eine spezielle Lösung.

4.1 Die freie harmonische Schwingung unter Berücksichtigung der Reibung

Bei der freien harmonischen Schwingung wirkt keine äuÿere Kraft (f(t) = 0). Somitgilt für das zweite Newton'sche Grundgesetz:

mx+ rx+ kx = 0 (I)

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4.1.1 Lösung der homogenen Di�erentialgleichung

Es gilt nun eine Lösung x(t) von (I) zu �nden. Da in (I) x, sowie die erste und zweiteAbleitung von x auftreten, suchen wir eine Funktion, deren Ableitung sich selbst �ent-spricht�. Dann würde der gleiche Faktor in jedem Summanden der Di�erentialgleichungauftreten und sich dann unterdrücken lassen.Deshalb geben wir unsere Lösung in Form einer Exponentialfunktion an, indem wirversuchen eine Konstante λ zu bestimmen, sodass x = eλt eine Lösung darstellt.

⇒ x = λeλt und x = λ2eλt

Das Einsetzen dieser Ausdrücke in die Di�erentialgleichung liefert die Gleichung

mλ2eλt + rλeλt + keλt = 0. (II)

Da die Exponentialfunktion über ihren De�nitionsbereich D = (−∞,+∞) immer Wer-te gröÿer als Null annimmt, d.h. insbesondere ungleich Null ist, lässt sich die Gleichung(II) durch Unterdrücken des Faktors eλt in eine leichter zu lösende quadratische Glei-chung überführen:

⇒ mλ2 + rλ+ k = 0

⇔ λ2 +r

mλ+

k

m= 0

⇔(λ+

r

2m

)2

=r2 − 4mk

4m

⇒ λ1 = − r

2m+

1

2m

√r2 − 4mk, λ2 = − r

2m− 1

2m

√r2 − 4mk

Somit erhält man zwei spezielle Lösungen x1= eλ1t und x2 = eλ2t der Di�erentialglei-chung.Die Lösung der quadratischen Gleichung lässt sich in drei Fälle unterscheiden:

1. Fall: r2 − 4mk > 0Da insbesondere

√r2 − 4mk < r sind in diesem Fall λ1 und λ2 reel, negativ und vonein-

ander verschieden. Da es sich anfänglich um eine lineare homogene Di�erentialgleichunggehandelt hat, handelt es sich bei Linearkombinationen (spezieller) Lösungen ebenfallsum eine Lösung der Di�erentialgleichung.x(t) = c1x1 + c2x2 stellt bereits die allgemeinste Lösung von (I) dar (vgl. 4.1.2: 1.Fall). c1, c2 bezeichnen die Integrationskonstanten, welche sich im speziellen Fall denAnfangsbedingungen anpassen.

2. Fall: r2 − 4mk = 0In diesem Fall sind die Lösungen λ1 und λ2 identisch und man erhält nur eine spezielleLösung von (I): u1 = e−

r2m

t.Wir suchen nun noch eine zweite Lösung. Nehmen wir zuerst an, dass λ1 6= λ2 sei, so

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ist dann auch eλ1t−eλ2t

λ1−λ2eine Lösung. Lassen wir dann λ1 gegen λ2 gehen und schreiben

λ statt λ1, λ2, so gilt:

limλ1→λ2

eλ1t − eλ2t

λ1 − λ2

=d

dteλt

Somit ist u2 = te−r

2mt eine zweite spezielle Lösung. Auch hier besteht in der Linear-

kombination der beiden gewonnenen speziellen Lösungen eine weitere Lösung von (I).Mit zwei beliebigen Integrationskonstanen c1 und c2 ergibt sich:

x(t) = c1e− r

2mt + c2te

− r2m

t.

3. Fall: r2 − 4mk < 0Da die Diskriminante nun negativ ist erhalten wir komplexe Lösungen. Es existiert einγ ∈ R sodass gilt:

r2 − 4mk = −4m2γ2

(⇔ γ =

√k

m− r2

4m2

)Hiermit ergeben sich die beiden Lösungen λ1 = − r

2m+ iγ und λ2 = − r

2m− iγ der

Quadratischen Gleichung und damit die folgenden Lösungen der Di�erentialgleichung(I):

u1 = e−r

2mt+iγt = e−

r2m

teiγt und u2 = e−r

2mt−iγt = e−

r2m

te−iγt

Mit Hilfe der Euler'schen Formel e±iα = cosα± i sinα lässt sich das Ergebnis weiterumformulieren:

u1 = e−r

2mt(cos γt+ i sin γt) = e−

r2m cos γt+ ie−

r2m sin γt

u2 = e−r

2mt(cos γt− i sin γt) = e−

r2m cos γt− ie−

r2m sin γt

Real- und Imaginärteil von u1 sind:

Re(u1) = e−r

2m cos γt und Im(u1) = e−r

2m sin γt

Da u1 = u2 gilt:

v1 = Re(u1) =1

2(u1 + u1) =

1

2(u1 + u2)

v2 = Im(u1) =1

2i(u1 − u1) =

1

2i(u1 − u2)

Real- und Imaginärteil von u1 sind selbst wieder spezielle Lösungen von (I), da sie eineLinearkombination der speziellen Lösungen u1 und u2 sind. Somit folgt, dass

x(t) = c1v1 + c2v2 = (c1 cos (γt) + c2 sin (γt))e−r

2mt

eine Lösung von (I) ist. Dieser Ausdruck ist nach 3.3 gleichbedeutend mit

x(t) = A sin(γt+ ϕ0)e− r

2mt

Insbesondere erhält man für r=0 die Lösung einer ungedämpften freien Schwingung,

wie sie bereits erarbeitet wurde. Denn es gilt: γ =√

km− 0

4m2 = ω und e−0

2mt = 1.

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4.1.2 Allgemeinheit und Eindeutigkeit der Lösung

Es bleibt nun noch zu zeigen, dass durch die gefundene Lösung alle Fälle der homo-genen Schwingung erfasst werden, d.h. dass die beiden Konstanten c1 und c2 jedemvorgegebenen Anfangszustand anpassbar sind. Anschlieÿend muss noch die Eindeutig-keit bewiesen werden.Zur Allgemeinheit der Lösung betrachten wir wieder die drei einzelnen Fälle getrenntvoneinander. In allen Fällen seien die Anfangszustände gegeben durch

x(0) = x0 und x(0) = x0

Im 1. Fall r2 − 4mk > 0 wurde die Lösung x= c1u1 + c2u2 = c1eλ1t + c2e

λ2t gefunden.Durch Einsetzen der Anfangswerte ergibt sich das folgende Gleichungssystem, welchessich eindeutig lösen lässt.∣∣∣∣ c1 + c2 = x0

c1λ1 + c2λ2 = x0

∣∣∣∣→ ∣∣∣∣ c1 = x0 − c2(λ2 − λ1)c2 = x0 − λ1x0

∣∣∣∣→ ∣∣∣∣c1 = x0−x0λ2

λ1−λ2

c2 = x0−λ1x0

λ2−λ1

∣∣∣∣Die Konstanten c1 und c2 passen sich also eindeutig jedem beliebigen Anfangszustandan, es werden demnach alle Lösungen erfasst.

Im 2. Fall ist die Lösung der Di�erentialgleichung gegeben durch

x(t) = c1e− r

2mt + c2te

− r2m

t

mitx(t) = c1e

− r2m

t(− r

2m

)+(c2 −

r

2mtc2

)e−

r2m

t

Durch Einsetzen der beliebigen, aber festen Anfangswerte, ergibt sich auch hier einGleichungssystem, welches sich in eindeutiger Weise nach den Konstanten c1 und c2au�ösen lässt. Diese Lösung passt sich also auch jedem Anfangszustand an.∣∣∣∣ c1 = x0

− r2mc1 + c2 = x0

∣∣∣∣→ ∣∣∣∣c1 = x0

c2 = x0 + r2mx0

∣∣∣∣Im 3. Fall ist die Lösung gegeben durch

x(t) = A sin(γt+ ϕ0)e− r

2mt

mitx(t) = Aω cos (γt+ ϕ0)e

− r2m

t + A sin (γt+ ϕ0)(− r

2m

)e−

r2m

t

Um die beiden Konstanten ϕ0 und A zu bestimmen ergibt sich nach Einsetzen derAnfangsbedingungen das Gleichungssystem∣∣∣∣ A sinϕ0 = x0

A(γ cosϕ0 − r

2msinϕ0

)= x0

∣∣∣∣→ ∣∣∣∣ ϕ0 = arcsin x0

Ax0

sinϕ0γ cosϕ0 − r

2mx0γ = x0

∣∣∣∣10

Somit ergibt sich für die zweite Gleichung mit Hilfe von cos arcsinx =√

1− x2

x0 = A(γ cos

(arcsin

x0

A

)− r

2msin(

arcsinx0

A

))⇔ x0 = A

(γ

√1− x2

0

A2− r

2m

x0

A

)⇔ x0 = γ

√A2 − x2

0 −rx0

2m

⇔ x0 +rx0

2m= γ

√A2 − x2

0

⇔(x0 +

rx0

2m

)2

= γ2(A2 − x20)

⇔(x0 +

rx0

2m

)2

= γ2A2 − γ2x20

⇔ 1

γ2

(γ2x2

0 +(x0 +

rx0

2m

)2)

= A2

⇔ A =1

γ

√γ2x2

0 +(x0 +

rx0

2m

)2

Es zeigt sich, dass auch die beiden Konstanten ϕ0 und A jedem Anfangszustand ange-passt werden können. Somit ist mit den vorliegenden Lösungen der drei verschiedenenFälle die Allgemeinheit der Lösung gefunden.

Satz 4.1 Die Lösung für das Anfangswertproblem der Di�erentialgleichung mx+ rx+kx = 0 ist stets eindeutig.

Beweis: Wir führen den Beweis durch Widerspruch. Es ist genügend zu zeigen, dasses für denselben Anfangszustand niemals zwei verschiedene Lösungen geben kann.Nehmen wir an, es existierten zwei Lösungen u(t) und v(t), für welche die Anfangsbe-dingungen

u(0) = x0, u(0) = x0, sowie v(0) = x0, v(0) = x0

erfüllt wären. Als Linearkombination wäre dann auch die Di�erenz z = u − v eineLösung der Di�erentialgleichung, mit z(0) = 0 und z(0) = 0. Diese Anfangswertebeschreiben jedoch einen Ruhezustand. Der Massepunkt be�ndet sich zum Zeitpunktt = 0 mit der Geschwindigkeit 0 in seiner Ruhelage. Unter diesen Bedingungen wirdsich der Punkt niemals in Bewegung setzen und eine Schwingung vorliegen. DiesenSachverhalt zeigen wir, indem wir nochmals auf die anfängliche Di�erentialgleichungmz + rz + kz = 0 zurück kommen.

mz + rz + kz = 0 | · 2z

⇔ 2zzm+ 2z2r + 2zzk = 0 | 2zz =d

dtz2, 2zz =

d

dtz2

⇔ d

dt(mz2) +

d

dt(kz2) + 2rz2 = 0

11

Integration zwischen den beiden Zeitmomenten t = 0 und t = τ liefert mit Berücksich-tigung der Anfangsbedingungen z(0) = 0 und z(0) = 0

⇔∫ τ

0

(d

dt(mz2) +

d

dt(kz2) + 2rz2

)dt = 0

⇔[mz2

]τ0

+[kz2]τ0

+ 2r

∫ τ

0

z2dt = 0

⇔ mz2(τ) + kz2(τ) + 2r

∫ τ

0

z2dt = 0

Da m, k, r > 0, muss für alle τ > 0 notwendig z=0 gelten, so dass die Gleichung erfülltist. Damit ist die Eindeutigkeit gezeigt. �

4.1.3 Physikalische Interpretation

In den Fällen r > 2√mk und r = 2

√mk ist die Dämpfung so groÿ, dass die elastische

Kraft keine Schwingung mehr durchsetzen kann. Für den Fall r = 2√mk wird die

Bewegung bei wachsender Zeit zwar noch stoÿweise abgebremst, die Elongation nähertsich aber in beiden Fällen asymptotisch dem Wert 0, ohne darum zu oszillieren. DieLösungen der Di�erentialgleichung werden durch eine Exponentialfunktion dargestellt.Einen solchen Prozess nennt man aperiodischen Vorgang.Gilt nun für die Reibungskonstante r < 2

√mk so gibt uns

x = (c1 cos (γt) + c2 sin (γt))e−r

2mt = A sin (γt+ ϕ0)e

− r2m

t

eine gedämpfte harmonische Schwingung vor. Die Amplitude einer gedämpften Schwin-gung bleibt nicht konstant, sondern klingt expotentiell ab. Je gröÿer der Dämpfungs-faktor r

2m, desto schneller verringert sich die Amplitude. Das bedeutet, dass bei groÿer

Reibung und geringer Masse die Amplitude schneller abfällt.

Abbildung 4.1: Gedämpfte Schwingung

12

4.2 Die erzwungene harmonische Schwingung

Bei dem Vorhandensein einer äuÿeren Kraft (f(t) 6= 0) ist von einer erzwungenenSchwingung die Rede. In Abbildung 4.2 ist diese äuÿere Kraft einmal durch mensch-liche Einwirkung und einmal durch einen antreibenden Motor auf ein Federpendeldargestellt.

Abbildung 4.2: Erzwungene Schwingung

Es gilt die inhomogene Di�erentialgleichung

mx+ rx+ kx = f(t)

zu lösen.

4.2.1 Vorbemerkungen zur Lösung der inhomogenen Di�erentialgleichung

Satz 4.2 Addiert man zu einer Lösung der inhomogenen Di�erentialgleichung alleLösungen der homogenen Di�erentialgleichung, erhält man sämtliche Lösungen der in-homogenen.

Beweis: Seien w und v zwei Lösungen der inhomogenen Di�erentialgleichung mx +rx+ kx = a, dann gilt, u = w − v ist Lösung der homogenen Gleichung, da∣∣∣∣mw + rw + kw = a

mv + rv + kv = a

∣∣∣∣→ (w − v)m+ r(w − v) + k(w − v) = 0

Also gilt v = w + u, das bedeutet jede Lösung des inhomogenen Systems ist gleichw plus Lösung der homogenen Di�erentialgleichung. Umgekehrt liefert jede Lösung udes homogenen Systems durch Addition von w eine Lösung des inhomogenen Systems,denn sei v = w + u, dann gilt:

mv + rv + kv = m(w + u) + r(w + u) + k(w + u)

= mw + rw + kw +mu+ ru+ ku

= a+ 0

= a �

13

Bemerkung 4.1 Die Wirkung einer Kraft f(t) ist in derselben Weise wie die Kraftselbst zerlegbar.Das heiÿt, gilt für

f(t) = f1(t) + f2(t) (Superpositionsprinzip)

und ist x1(t) eine Lösung von mx + rx + kx = f1(t) und x2(t) eine Lösung von mx +rx+ kx = f2(t), so ist x1(t) + x2(t) eine Lösung von mx+ rx+ kx = f(t).Insbesondere: Gilt f(t) = f1(t) + if2(t), so ist x1(t) + ix2(t) eine Lösung von mx+ rx+kx = f(t).

Bemerkung 4.2 Wir beschränken uns im folgenden auf die Betrachtung einer peri-odisch einwirkenden äuÿeren Kraft in Form von a cosωt oder b sinωt. Hierbei stellt ωeine beliebige aber feste Kreisfrequenz dar. Durch Übergang zur komplexen Schreib-weise erhält man für die äuÿere Kraft den Ausdruck f(t) = ceiωt. Es bleibt also dieDi�erentialgleichung

mx+ rx+ kx = ceiωt

zu lösen, in der c eine beliebige reelle oder komplexe Konstante ist.

4.2.2 Lösung der inhomogenen Di�erentialgleichung

Wir verwenden wieder den naheliegenden Ansatz, die Lösung in Form einer Exponen-tialfunktion anzugeben. Es bleibt nun eine Konstante σ zu bestimmen, so dass

x = σeiωt (III)

eine Lösung darstellt.⇒ x = iωσeiωt, x = −ω2σeiωt

Das Einsetzen dieser Ausdrücke in die Di�erentialgleichung liefert nach Unterdrückungdes Faktors eiωt die Gleichung

−mω2σ + irωσ + kσ = c

⇔ σ =c

−mω2 + irω + k

Diese lässt sich mit Hilfe der dritten Binomischen Formel in folgende Gleichung über-führen:

σ = ck −mω2 − irω

(k −mω2)2 + r2ω2mit α2 =

1

(k −mω2)2 + r2ω2

= cα2(k −mω2 − irω)

= cα[(k −mω2)α︸ ︷︷ ︸cosϕ1

−i rωα︸︷︷︸− sinϕ1

]

= cαeiϕ1

Hierbei bezeichnet α den positiven Verzerrungsfaktor und ϕ1 die Phasenverschiebung.Es bleibt zu zeigen, dass der Term (k −mω2)α durch cosϕ1 und rωα durch − sinϕ1

14

ausgedrückt werden können. Da die Sinus- und die Kosinusfunktion nur Werte imIntervall [-1,1] annehmen und (cosϕ1)

2 +(sinϕ1)2 = 1 gelten muss, kann die Ersetzung

nur durchgeführt werden, weil gilt:∣∣(k −mω2)α∣∣ ≤ 1

⇔

∣∣∣∣∣ k −mω2√(k −mω2)2 + r2ω2

∣∣∣∣∣ ≤ 1

⇔ |(k −mω2)2| ≤ |(k −mω2)2 + r2ω2|⇔ 0 ≤ r2ω2

und|rωα| ≤ 1

⇔

∣∣∣∣∣ rω√(k −mω2)2 + r2ω2

∣∣∣∣∣ ≤ 1

⇔ |r2ω2| ≤ |(k −mω2)2 + r2ω2|⇔ 0 ≤ (k −mω2)2

und(k −mω2)2α2 + (−rω)2α2 = 1

⇔ (k −mω2)2 + r2ω2

(k −mω2)2 + r2ω2= 1

⇔ 1 = 1 �

Durch Einsetzen von σ in (III) ergibt sich dann

x = cαei(ωt+ϕ1) = cα cos(ωt+ ϕ1) + icα sin(ωt+ ϕ1)

als spezielle Lösung von

mx+ rx+ kx = ceiωt = c cosωt+ ic sinωt.

Mit Hilfe von Bemerkung 4.2 folgt, dass

a) cα cos(ωt+ ϕ1) Lösung von mx+ rx+ kx = c cosωt und

b) cα sin(ωt+ ϕ1) Lösung von mx+ rx+ kx = c sinωt ist.

Das bedeutet, die Wirkung (Lösung der Di�erentialgleichung) ist eine Funktion der-selben Art wie die von auÿen einwirkende Kraft, eine ungedämpfte Schwingung. DerUnterschied liegt lediglich in der Verzerrung der Amplitude durch den Verzerrungsfak-tor α und in einer Verschiebung der Phase um den Winkel ϕ1.Unterscheidet man die von auÿen wirkendende periodische Kraft in a) Kosinus- und b)Sinusfunktion erhält man nach Satz 4.1 durch Addition der allgemeinsten Lösung derhomogenen Gleichung die folgenden allgemeinen Lösungen der jeweiligen inhomogenenGleichung.

a) x(t) = cα cos(ωt+ ϕ1) + A sin(γt+ ϕ0)e− r

2m

b) x(t) = cα sin(ωt+ ϕ1) + A sin(γt+ ϕ0)e− r

2m

Hierbei geben A und ϕ1 die Möglichkeit die allgemeine Lösung einem beliebigen An-fangszustand anzupassen.

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4.2.3 Resonanz

Im folgenden wollen wir die Tatsache untersuchen, dass die äuÿere Kraft mit verschie-denartigen Frequenzen ω > 0 gegeben sein kann und wie sich das auf die Schwingungauswirkt. Deshalb betrachten wir den Verzerrungsfaktor α als eine Funktion der erre-genden Kreisfrequenz ω, um die Auswirkung auf die Lösung zu untersuchen.

α = ψ(ω) =1√

(k −mω2)2 + r2ω2

Wenn der Verzerrungsfaktor α gröÿer wird, steigt auch die Amplitude des schwingendenSystems. Deshalb suchen wir das Maximum der Funktion ψ(ω) an der Stelle ω1. Dieses�nden wir mit Hilfe der ersten Ableitung.

ψ′(ω) =−(−4mω(k −mω2) + 2r2ω)

2√

((k −mω2)2 + r2ω2)3

!= 0

⇒ (−4mω1(k −mω21) + 2r2ω1) = 0

⇔ −4kmω1 + 4m2ω31 + 2r2ω1 = 0 | ω1 > 0

⇔ ω1 =

√k

m− r2

2m2

Weil ω1 positiv ist, muss notwendiger Weise 2km − r2 > 0 gelten. Es handelt sichtatsächlich um ein Maximum, da ψ(ω) eine positive Funktion ist, für kleine ω monotonwächst und ψ(ω) = 0 für ω →∞.ω1 wird als Resonanzfrequenz bezeichnet. Wenn sich nämlich die Erregerfrequenz ω derEigenfrequenz γ nähert, tritt Resonanz, d.h. Amplitudenvergröÿerung, auf. Es ergibtsich dann als maximaler Wert für den Verzerrungsfaktor α

αmax = ψ(ω1) =1

r√

km− r2

4m2

Wird die Reibung sehr klein, d.h. r → 0, strebt α gegen unendlich und es kommt zurResonanzkatastrophe.

In Abbildung 4.3 sind Resonanzkurven mit verschiedenen Dämpfungskonstanten r un-ter der Annahme m = 1, k = 1 dargestellt. Man erkennt deutlich, dass für ω = γ Reso-

nanz eintritt. Da für die Eigenfrequenz γ =√

1− r2

2gilt, verschieben sich die Stellen

ω1 der Maxima mit steigender Reibung zur abnehmenden Frequenz (nach links). Fürr =√

2 ist ω1 gerade Null, sprich für r >√

2 tritt keine Resonanz mehr ein. Allgemeintritt keine Resonanz mehr ein, sobald 2km− r2 ≤ 0 ist.

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Abbildung 4.3: Resonanzkurven für m=1, k=1

4.2.4 Beispiele für Resonanz

Bis zu diesem Punkt haben wir Resonanz nur von der mathematischen Seite aus be-trachtet. In diesem Abschnitt möchten wir auf alltägliche Begegnungen mit dem Re-sonanzphänomen eingehen. Eine Schaukel beispielsweise schwingt, wenn man sie miteiner periodischen Kraft antreibt. Das tut die schaukelnde Person intuitiv durch Bein-bewegung.Ein oft aufgeführtes Beispiel zur Resonanzkatastrophe ist das �Zersingen� eines Glases.Das heiÿt, dass die Stimme als erregende Frequenz genau die Eigenfrequenz des Glasestri�t und dieses somit zerspringt. In der Praxis ist die menschliche Stimme dazu jedochnicht in der Lage, da es ihr einerseits nicht möglich ist eine Frequenz gleichmäÿig zuhalten und andererseits die Intensität der Stimme viel zu gering ist. Ein Frequenzge-nerator mit ausreichender Leistung hingegen kann das Glas zum Zerspringen bringen(vgl. Abb. 4.4).

Ein Beispiel für schwerwiegendere Auswirkungen der Resonanzkatastrophe ist der Ein-sturz der Tacoma-Brücke (Abb. 4.5) im US-Bundesstaat Washington. Bereits seit derFertigstellung am 1. Juli 1940 schaukelte die Brücke aufgrund von Windein�üssen starkauf und ab. Vier Monate später riss nach ständiger Bewegung ein Stahlseil der Brücke,wodurch die Schwankungen verstärkt wurden. Die Windein�üsse waren nie besondersstark, haben jedoch als periodische Kraft auf die Brücke eingewirkt. Nach dem Riss

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Abbildung 4.4: Glas Abbildung 4.5: Tacoma-Brücke

des Seils lag die Frequenz dieser einwirkenden periodischen Kraft sehr dicht bei derEigenfrequenz der Brücke. Dies führte zur Resonanzkatastrophe, sprich zum Einsturzder Brücke.1831 geschah in Manchester dasselbe, allerdings entstand die periodische Kraft nichtdurch Windein�üsse, sondern durch eine Militärkolonne, welche im Gleichschritt überdie Brücke marschierte. Seitdem erhalten Militärkolonnen den Befehl nicht mehr imGleichschritt über Brücken zu marschieren.

5 Resümee

Besonders im letzten Abschnitt unserer Arbeit wurde uns bewusst, wie wichtig dieSchwingungslehre für das tägliche Leben ist. Wir haben gesehen, dass die Begri�eFrequenz, Amplitude, etc. nicht so abstrakt sind, wie sie auf den ersten Blick scheinen,sondern ihre Anwendung im alltäglichen Gebrauch �ndet. Beispielsweise erweist sichdas Wissen über Resonanz und Eigenfrequenz als sehr nützlich, Resonanzkatastrophenzu verhindern.Wir haben festgestellt, dass das Thema physikalisch ist und dass es daher wichtig ist,es nicht vom rein mathematischen Gesichtspunkt aus zu betrachten. Leider ist es sehrschwer, als �Nichtphysiker� reale Vorgänge in die Gleichungen zu übertragen, da Kräfte,wie z.B. die Reibungskraft, nur sehr kompliziert oder sehr vereinfacht dargestellt werdenkönnen. Trotzdem glauben wir mit dieser Arbeit einen guten Einstieg und Überblickin das komplexe Thema der Schwingungen gegeben zu haben.

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6 Quellenangaben

Literatur

[1] Courant, Richard: Vorlesungen über Di�erential und Integralrechnung1, Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 4.Au�age, 1971.

[2] Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis Teil 1, Teubner Verlag, Wiesbaden,

16. Au�age, 2006.

[3] Grehn, Joachim & Krause, Joachim (Hrsg.): Metzler Physik, SchroedelVerlag, Hannover, 3. Au�age, 2004.

[4] Braun, Martin:Di�erentialgleichungen und ihre Anwendungen, SpringerVerlag, 1979.

Abbildungen

Abb. 1.1 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f0/Waveforms_de.svg(30.11.08, veränderte Version)

Abb. 3.1 [3], S.108 (veränderte Version)

Abb. 3.2 [3], S.108 (veränderte Version)

Abb. 3.3 [3], S.108 (veränderte Version)

Abb. 3.4 eigene Abbildung

Abb.4.1 http://mhf-e.desy.de/sites/site_mhf-e/content/e638/e1229/source1232/ ab-klingendeSchwingung.png?preview=preview (30.11.08)

Abb. 4.2 [3], S.119

Abb. 4.3 [1], S.438 (veränderte Version)

Abb. 4.4 http://www.physik-highlights-2004.de/download/exponate/WM_Glas_ zer-singen_1_3.pdf (30.11.08)

Abb. 4.5 http://www.physik-highlights-2004.de/download/exponate/WM_Glas_ zer-singen_1_3.pdf (30.11.08)

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