Robuster PI-Beobachter zur Schätzung unbekannter Eingänge sowie zur Anwendung
bei nichtlinearen Systemen
Lehrstuhl Steuerung, Regelung und Systemdynamik
Universität Duisburg-Essen
Yan Liu, Dirk Söffker
Kontakt: {yan.liu; soeffker}@uni-due.de
Web: www.srs.uni-due.de
Liu, Söffker: Robuster PI-Beobachter zur Schätzung unbekannterEingänge sowie zur Anwendung bei nichtlinearen Systemen
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Motivation
• Proportional-Integral-Beobachter (PI-Beobachter)- Störgrößenbeobachter: einfache Entwurfstechnik
• Auslegung als High-Gain-Beobachter- Schätzung der Zustände und unbekannter Eingänge
• Große Beobachterverstärkungen- gute Schätzqualität- Sensitivität gegenüber Störgrößen und Messrauschen
• Numerische Online-Optimierung der Beobachterverstärkung(Liu, Söffker, Movic 2008)
• Kombination exakter E/A-Linearisierung mit • PI-Beobachtertechnik möglich
(Liu, Söffker, ASME 2007; Mathmod 2009)
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• Proportional-Integral-Beobachter (PI-Beobachter)
• Entwurf eines PI-Beobachters mit adaptierter Verstärkung- Konzept der Optimierung- Simulationsbeispiel
• Robuster Regelungsansatz für nichtlineare Systeme • mittels PI-Beobachter ‚EL+PIO‘
- Verfahren zum Regelungsentwurf ‚EL+PIO‘- Simulationsbeispiel
• Zusammenfassung und Ausblick
Gliederung
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und : orthogonal
• Annahme:
• Lineares System mit unbekannten Eingängen
: dynamische Effekte (unbekannte Eingänge)
: Modellbildungsfehler
: Messrauschen
: Eingangsmatrix ist bekannt
Proportional-Integral-Beobachter I
x(t) = Ax(t) +Bu(t) +Nn(t) +Hh(t)
y(t) = Cx(t) + d(t)
n(t)
h(t)
d(t)
N
Nn(t) Hh(t)
h(x, t) → h(t)n(x, t) → n(t)
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• PI-Beobachter
Proportional-Integral-Beobachter II
⎡⎢⎢⎢⎣˙x(t)˙n(t)
⎤⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎣A N0 0
⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣ x(t)n(t)
⎤⎥⎥⎦ +⎡⎢⎢⎣B0
⎤⎥⎥⎦u(t) +⎡⎢⎢⎣ L1L2
⎤⎥⎥⎦| {z }L
(y(t)− y(t)),
y(t) =·C 0
¸ ⎡⎢⎢⎣ x(t)n(t)
⎤⎥⎥⎦ .
• Fehler bei der Schätzung
e(t) = x(t)− x(t)fe(t) = n(t)− n(t)
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• Fehlerdynamik im Zeitbereich
• Fehlerdynamik im Frequenzbereich
mit
⎡⎢⎢⎣ e(t)fe(t)
⎤⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎣A−L1C N−L2C 0
⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣ e(t)fe(t)
⎤⎥⎥⎦ +⎡⎢⎢⎣ L1d(t)−Hh(t)L2d(t)− n(t)
⎤⎥⎥⎦
e(s) = −[Is− (A−L1C)]−1(Hh(s) + L1d(s))fe(s) = −[Is−L2CG(s)N ]−1(L2CG(s)L1d(s)
+L2CG(s)Hh(s) +L2d(s)− sn(s))G(s) = (Is− (A−L1C))−1
Proportional-Integral-Beobachter III
• Auslegungsziel: Aufgabenspezifische Minimierung des • Einflusses von , und d(t)h(t)n(t)
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• Voraussetzung für den PI-Beobachter-Entwurf
• Große Beobachterverstärkung => gute Schätzqualität
• Große Verstärkung in => großer Einfluss von und
• Vereinfachte Problembeschreibung (mit der LQR Methode)
(Müller, 1988; Söffker, 1995; Krajcin, 2006)
=> große , und
Rang
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λiIn −A −N
0 λiIrC 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = n + r ,
δ = kL2k2kL1k2
kLk2 h(t) d(t)
Q =
⎡⎢⎣ Ind 0
0 qIr
⎤⎥⎦, q À 0 δ = kL2k2kL1k2 kLk2kL2k2
Proportional-Integral-Beobachter IV
für alle von , mitλi A dim(x(t)) = n, dim(n(t)) = r
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q
q fe(t)fe(t)
q1 → q1opt
Mit Betrachtung aller Effekte: Optimierung von ist notwendig.q
Proportional-Integral-Beobachter V
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q
q fe(t)fe(t)
q2 → q2optq1 → q1optEine Echtzeit-Optimierung von wird benötigt, da auf Grund der Annahmen alle Eingänge zeitabhängig erscheinen.
q
(Liu, Söffker, Movic 2008)
Proportional-Integral-Beobachter VI
zu
zuzu
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• Einige wichtige Aspekte:
• Kopplung zwischen , und
• Vollst. Beobachtbarkeit => Kopplung zwischen und
Ausgangsschätzfehler als Maß für die Schätzqualität des Zustands verwendbar.
• Optimierungskriterien
- Minimierung Ausgangsschätzfehler
- Minimierung Sensitivität gegenüber Messrauschen
Optimaler Entwurf eines PI-Beobachters I
e(t) fe(t) ey(t) = y(t)− y(t)e(t) ey(t)
kLk22
kLk22
Ze2y(t)
Ze2y(t)
q
ey(t)
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Optimaler Entwurf eines PI-Beobachters II
• Zielfunktion
• Skizze der • Vorgehensweise
min J(q),
J =Z t2t1αee
2y(t)dt + αL kLk22
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• Online-Optimierungsalgorithmus
Optimaler Entwurf eines PI-Beobachters III
Given / assumedoptimal condition
αLkLk22
Z t2t1
αee2y(t)dt
Vergleich der Alternativen
min J(q), J =Z t2t1αee
2y(t)dt + αL kLk22
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x9(t) ≥ 1
: bekannte äußere Kraft (z. B. äußere Erregung)
: Messrauschen (weißes Rauschen mit 0.05% von )
: Kontaktkraft, wenn die Auslenkung :: wird angenommen als unbekannter Eingang
y(t) =
⎡⎢⎣ y1(t)y2(t)
⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣ x3(t)x7(t)
⎤⎥⎦
Optimaler Entwurf eines PI-Beobachters: Simulationsbeispiel
• Elastischer Balken als FE-Modell
b(t)
x(t) = Ax(t) + b(t) +Nn(t)
y(t) = Cx(t) +Cdd(t)
d(t)
n(t)
mit x(t) =·x1(t) x2(t) · · · x20(t)
¸T
y(t)
b(t)
n(t)
n(t)
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0 0.005 0.01 0.015 0.02-0.5
0
0.5
1
1.5
Abgesch?tztSimuliert
0.005 0.01 0.015 0.02
-10000
-5000
0
5000
Abgesch?tztSimuliert
Optimaler Entwurf eines PI-Beobachters: Simulationsbeispiel
Perfekte Schätzung des Wegverlaufes Zeit (s) Zeit (s)
Ausl
enku
ng d
es 5
. Knote
ns
(mm
)
Konta
ktkr
aft
(N)
Mit einem großen konstanten Entwurfsparameter weist der geschätzte Kraftverlauf einen verrauschten Verlauf auf.
q = 1015x9(t)
GeschätztSimuliert
• Entwurfsparameter q = 1015
GeschätztSimuliert
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0 0.005 0.01 0.015 0.02
-10000
-5000
0
Abgesch?tztSimuliert
Optimaler Entwurf eines PI-Beobachters: Simulationsbeispiel
Zeit (s) Zeit (s)
Ausl
enku
ng d
es 5
. Knote
ns
(mm
)
Konta
ktkr
aft
(N)
q = 1011Mit einem kleinen konstanten Entwurfsparameter zeigen sich große Schätzfehler für die Kontaktkraft (unbekannter Eingang).
x9(t)Nicht perfekte Schätzung des Wegverlaufes
Geschätzt
Simuliert
• Entwurfsparameter q = 1011
0 0.005 0.01 0.015 0.020
0.5
1
1.5
Abgesch?tztSimuliertGeschätzt
Simuliert
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Hinweis: Verhältnis beider Schätzgrößen bildet die implementierte Kontaktsteifigkeit ab >> Anwendung zur Schadendiagnose
Optimaler Entwurf eines PI-Beobachters: Simulationsbeispiel
Optimierung liefert als Kompromiss:- Kontaktkraft wird approximativ gut abgebildet. - Wegverlauf wird ebenfalls gut abgebildet.
Zeit (s) Zeit (s)
Ausl
enku
ng d
es 5
. Knote
ns
(mm
)
Konta
ktkr
aft
(N)
0 0.005 0.01 0.015 0.020
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
SimuliertAbgeschätzt
x9(t)
SimuliertGeschätzt
• Optimierung
0 0.005 0.01 0.015 0.02-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
Abgesch?tztSimuliertGeschätzt
Simuliert
Abgesch?tztSimuliertGeschätzt
Simuliert
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Optimaler Entwurf eines PI-Beobachters: Simulationsbeispiel
• Zeitverlauf des optimierten Entwurfsparameters
Während des Optimierungsprozesses wird der optimale Parameter basierend auf der Variation verschiedener Effekte ausgewählt.
Zeit (s)
Entw
urf
spar
amet
er
0 0.005 0.01 0.015 0.0210
6
108
1010
1012
1014
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0 0.005 0.01 0.015 0.02-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
SimuliertGeschätzte (ohne MBFehler)Geschätzte (mit MBF)
0 0.005 0.01 0.015 0.020
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
SimuliertGeschätzt (ohne MBFehler)data3
Optimaler Entwurf eines PI-Beobachters: Simulationsbeispiel
Optimierung liefert gute Schätzungen, auch wenn unbekannte Eingänge, Messrauschen und Modellbildungsfehler gleichzeitig berücksichtigt werden.(MBF: Modellbildungsfehler in der modalen Dämpfung, 30% kleiner)
Zeit (s) Zeit (s)
Ausl
enku
ng d
es 5
. Knote
ns
(mm
)
Konta
ktkr
aft
(N)
SimuliertGeschätzt (ohne MBF) Geschätzt (mit MBF)
SimuliertGeschätzt (ohne MBF) Geschätzt (mit MBF)
• Optimierung mit MBF
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Robuste Regelung mittels PI-Beobachter ‚EL+PIO‘ I
• Skizze zur Vorgehensweise zur robusten Regelung • mittels PI-Beobachter ‚EL+PIO‘
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Schätzgröße
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• Betrachtete Klasse E/A-linearisierbarer Systeme
• E/A-linearisierte Darstellung
• Einheitliche Darstellung
y(ri)i (t) = vi(t) +
pXj=1LNcoljL
(ri−1)f mi(x, t)nj(t), i = 1, · · · ,m
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣y(r1)1 (t)...
y(rm)m (t)
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣v1(t)...
vm(t)
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ + N (x, t)n(t)
x(t) = f (x, t) + g(x, t)u(t) +Nn(t)
y(t) = m(x, t)
Robuste Regelung mittels PI-Beobachter ‚EL+PIO‘ II
Transformierte unbekannte Eingänge
Unbekannte Eingänge (Störung/Ungenauigkeit)
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• Darstellung als Differenzialgleichung höherer Ordnung
• Zustandsraumdarstellung für jedes Teilsystem
mit , ,
Robuste Regelung mittels PI-Beobachter ‚EL+PIO‘ III
Normalform für den PI-Beobachter-Entwurf
xi(t) = Aixi(t) + bivi(t) + Nini(t)
yi(t) = cixi(t)
xi(t) =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
yi(t)
yi(t)...
y(ri)i (t)
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Ni =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0...
0
1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ri×1
ni(t) =pXj=1LNcoljL
(ri−1)f mi(x, t)nj(t)
y(ri)i (t) = vi(t) +
pXj=1LNcoljL
(ri−1)f mi(x, t)nj(t), i = 1, · · · ,m
i
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• PI-Beobachter-Entwurf für das E/A-linearisierte Verhalten• des Teilsystems
• Schätzungen der neuen Zustände
• und der transformierten unbekannten Eingänge
• Regelungsentwurf für E/A-linearisiertes Teilsystem
⎡⎢⎢⎣ ˙xi(t)˙ni(t)
⎤⎥⎥⎦ =⎡⎢⎣ Ai Ni
0 0
⎤⎥⎦⎡⎢⎣ xi(t)ˆni(t)
⎤⎥⎦ +⎡⎢⎣ bi0
⎤⎥⎦ vi(t) +⎡⎢⎣ L1iL2i
⎤⎥⎦ (yi(t)− yi(t))
yi(t) =·ci 0
¸ ⎡⎢⎣ xi(t)ˆni(t)
⎤⎥⎦
Robuste Regelung mittels PI-Beobachter ‚EL+PIO‘ IV
xi(t) =·yi(t) ˆyi(t) · · · y(ri)i (t)
¸T
vi(t) = −Kxi(t)− ˆni(t)
ˆni(t)
i
i.
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Robuste Regelung mittels PI-Beobachter: Simulationsbeispiel
• Beispiel: Mechanisches System
mx1(t) = k(−2x1(t) + x2(t)) + kp[−x1(t)3 + (x2(t)− x1(t))3] + u1(t)mx2(t) = k(x1(t)− 2x2(t) + x3(t))
+kp[(x3(t)− x2(t))3 − (x2(t)− x1(t))3] + u2(t) + d(x2)mx3(t) = k(x2(t)− x3(t)) + kp(x2(t)− x3(t))3
yMess(t) =·x1(t) x2(t) x3(t)
¸TyRegel(t) =
·y1(t) y2(t)
¸T=
·x1(t) x3(t)
¸T Unbekannter Reibungseinfluss
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⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x1(t)
x1(t)
x2(t)
x2(t)
x3(t)
x3(t)
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦| {z }
x(t)
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x1(t)1m{k(−2x1(t) + x2(t)) + kp[−x1(t)3 + (x2(t)− x1(t))3]}
x2(t)1m{k(x1(t)− 2x2(t) + x3(t)) + kp[(x3(t)− x2(t))3 − (x2(t)− x1(t))3]}
x3(t)1m[k(x2(t)− x3(t)) + kp(x2(t)− x3(t))3]
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦| {z }
f(x,t)
+
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 01m 0
0 0
0 1m
0 0
0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦| {z }
g(t)
⎡⎢⎣ u1(t)u2(t)
⎤⎥⎦ +
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
0
01m
0
0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦| {z }N
d(x2),
• Darstellung in Normalform
yMess(t) =h1 0 1 0 1 0
ix(t)
yRegel(t) =h1 0 0 0 1 0
ix(t)
Reibungseinfluss (unbekannter Eingang)
Robuste Regelung mittels PI-Beobachter: Simulationsbeispiel
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• E/A-linearisiertes Modell
• Interne Dynamik
Stabil, wenn die Störung begrenzt ist.
Robuste Regelung mittels PI-Beobachter: Simulationsbeispiel
y1(t) = v1(t)
y2(4)(t) = v2(t) + [
k
m+3kpm(x2(t)− x3(t))2](
d(x2)
m) = v2(t) + n(t)
x2(t) =1
m{k(x1(t)− 2x2(t) + x3(t))
+kp[(x3(t)− x2(t))3 − (x2(t)− x1(t))3] + u2(t) + d(x2)}
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• Regelung mittels Schätzungen des PI-Beobachters
• Schätzung des Störeinflusses durch Rücktransformation • der geschätzten transformierten Unbekannten
• Gewählter unbekannter Eingang
Robuste Regelung mittels PI-Beobachter: Simulationsbeispiel
x2
v1(t) = −20ˆx1(t)− 100(x1(t)− x1ref (t))v2(t) = −200x(3)3 (t)− 15000ˆx3(t)− 500000ˆx3(t)
−6250000(x3(t)− x3ref(t))− ˆn(t)
Reibkraft
d(x2) =mˆn(t)
[ km +3kpm (x2(t)− x3(t))2]
d(x2) = { −0.7mg, x2 ≥ 00.7mg, x2 < 0,
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© SRS U DuE
0 2 4 6
x 1014
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.5
0
0.5
x1
0.5 1 1.5 2 2.500
5
t [s]
x3
SollwertEL+PIOE/A-Linearisierung
Der vorgeschlagene Regelungsansatz ist - robust gegenüber unbekanntem Eingang (hier: Reibungseinfluss)- effektiver als die E/A-Linearisierung
Proposed approachClassical method
EL+PIOE/A-Linearisierung
Energie
Feh
ler
Robuste Regelung mittels PI-Beobachter: Simulationsbeispiel
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.3 0.3004
Sollwert
EL+PIO
E/A-Linearisierung
x1
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© SRS U DuE
0 2 4 6 8 10
-5
0
5
10
15
d(x2,t)
t [s]
angemessemejslslg data2
Der vorgeschlagene Regelungsansatz liefert eine gute Schätzung der Störung.
• Vergleich der geschätzten und der angenommenen Störung
Robuste Regelung mittels PI-Beobachter: Simulationsbeispiel
Schätzung
Angenommene Störung
5.9 5.92 5.94 5.96 5.98 6
-5
0
5
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Zusammenfassung und Ausblick
Ausblick
• Verbesserung des Optimierungsprozesses
• Kombination beider Ansätze
• Praktische Anwendungen
• Entwicklung Optimierungsstrategie PI-Beobachter-Entwurf- Methode und Simulationsbeispiel> Ergebnis: Variation erzielt Kompromiss
• Entwicklung modellgestützter Regelungsansatz für nichtlineare Systeme mit unbekannten Eingängen basierend auf dem PI-Beobachterund einer E/A-Linearisierung- Methode und Simulationsbespiel> Ergebnis: Kombination erzielt effizienteres Ergebnis
Robuster PI-Beobachter zur Schätzung unbekannter Eingänge sowie zur Anwendung
bei nichtlinearen Systemen
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