Röntgenstrukturanalyse nachDebye-ScherrerIlja Homm und Thorsten BitschBetreuer: Haiko Didzoleit02.05.2012

Fortgeschrittenen-PraktikumAbteilung B

Inhalt

1 Einführung 21.1 Kristallstrukturen und Grundlagen der Festkörperphysik . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Erzeugung von Röntgenstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 theoretische Beschreibung des Streuprozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Spektrometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Versuchsaufbau 9

3 Versuchsdurchführung 9

4 Auswertung 104.1 Bestimmung der Gitterstruktur von CsCl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Bestimmung der Struktur von einer unbekannten Probe . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Bestimmung der Korngröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.4 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Zusatz: vorbereitende Fragen und Antworten 12

6 Quellen 16

1

1 Einführung

In dem vorliegenden Protokoll geht es um die Strukturanalyse von kristallinen Festkörpern, mitHilfe von Röntgenstrahlung. Zunächst wird auf die theoretischen Hintergründe eingegangenund anschließend der Versuchsaufbau und die Durchführung erörtert. Im Wesentlichen wird dieGitterkonstante und Struktur von CsCl untersucht und schließlich eine unbekannte Substanzanalysiert. Am Ende des Protokolls werden Zusatzfragen beantwortet, die der Versuchsvorberei-tung dienen sollen.

1.1 Kristallstrukturen und Grundlagen der Festkörperphysik

Ideale Kristalle können durch unterschiedliche Kristallstrukturen unterschieden werden. Zu dengrundlegendsten Kristallstrukturen gehören die kubischen und hexagonalen Gittertypen.

Abbildung 1: die kubischen Bravais-Gitter [1]

Ein Einkristall und seine Struktur werden durch Basis, Gitterkonstante und Anzahl unter-schiedlicher Atome in der Basis eindeutig charakterisiert. Eine so aufgebaute Gitterstrukturwird Bravais-Gitter genannt, von denen es im 3-dimensionalen Raum 14 verschiedene gibt.Es werden hier nur die primitiven kubischen Systeme behandelt, da auch im Versuch nur mitkubischen Kristallen gearbeitet wird. Abbildung 1 zeigt die drei kubischen Systeme, die sichdurch ihre Basisvektoren unterscheiden (siehe Tabelle 1).

Tabelle 1: Basisvektoren der kubischen Bravais-GitterKristalltyp Basisvektoren

simple cubic (sc) ~a = a

100

; ~b = a

010

; ~c = a

001

;

body centered cubic (bcc) ~a = a2

−111

; ~b = a

2

1−11

; ~c = a

2

11−1

;

face centered cubic (fcc) ~a = a2

011

; ~b = a

2

101

; ~c = a

2

110

;

2

1.2 Erzeugung von Röntgenstrahlung

Röntgenstrahlung ist elektromagnetische Strahlung im Wellenlängenbereich von 10−8 m bis10−12 m. Sie kann mit Hilfe einer Röntgenröhre, sowie einem Synchrotron erzeugt werden, in-dem Elektronen stark beschleunigt werden. Im Versuch kommt eine Röntgenröhre zum Einsatz.Bei ihr werden mit Hilfe einer Glühwendel freie Elektronen erzeugt. Die Elektronen werdenin der Glühwendel so stark thermisch angeregt, dass sie das Anodenmaterial verlassen. DieserEffekt wird Edison-Effekt genannt. Anschließend werden sie durch Anlegen einer Hochspan-nung zur Kathode hin beschleunigt. Die Elektronen treffen auf das Kathodenmaterial, werdenabgebremst und geben ihre kinetische Energie in Form von kurzwelliger elektromagnetischerStrahlung, der sogenannten Röntgenstrahlung, ab. Das entstehende Spektrum setzt sich auscharakteristischer und kontinuierlicher Strahlung zusammen. Das kontinuierliche Spektrumwird durch die sogenannte Bremsstrahlung gebildet, die durch das starke Abbremsen der La-dungsträger entsteht. Die charakteristische Strahlung besteht aus diskreten Linien (Kα, Kβ).

Abbildung 2: Röntgenspektren einer Molybdänanode bei verschiedenen Anodenspannungen[2]

Sie entstehen dadurch, dass die hochenergetischen Elektronen andere Elektronen aus den in-neren Schalen des Kathodenmaterials heraus schlagen. Fallen weitere Elektronen in die frei ge-wordenen Zustände, geben sie den Energieüberschuss in Form von Röntgenstrahlung diskreter

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Wellenlänge ab. Auf Grund der Feinstrukturaufspaltung dieser Niveaus bestehen die diskretenLinien in Wirklichkeit aus 2 Linien, die jedoch sehr nahe bei einander liegen.

1.3 theoretische Beschreibung des Streuprozesses

Monochromatische Röntgenstrahlen werden unter passendem Einfallswinkel an verschiedenenNetzebenen eines Kristalls reflektiert und konstruktiv übelagert, sofern der Netzebenenabstandin die Bragg-Bedingung (Gleichung 1) passt. In diesem Fall wird bei einem idealen Kristall untereinem Winkel 2Θ ein Bragg-Reflex gemessen.

Abbildung 3: Schematische Skizze zur heuristischen Erklärung der Bragg-Bedingung [1]

Für konstruktive Interferenz, also zur Entstehung eines Braggreflexes muss der Gangunter-schied ∆s zwischen zwei Teilstrahlen ein ganzzahliges vielfaches von der Wellenlänge λ sein.Aus Abbildung 3 geht hervor, dass

n ·λ = 2d · sin(Θ) mit n ∈ N (1)

wobei d der Abstand zwischen zwei Netzebenen ist. Der Abstand zwischen zwei benachbartenNetzebenen der selben Netzebenenschar (selbe hkl) hängt von der Gitterkonstante und denMillerschen Indizes ab.

d =a

p

h2+ k2+ l2(2)

Äquivalent zur Bragg-Bedingung ist die von Max von Laue formulierte Laue-Bedingung. DasBravais-Gitter lässt sich zu einem reziproken Gitter transformieren, bei dem jeder Gitterpunktfür eine Netzebene im Ortsraum steht. Ist der Verbindungsvektor ~R zwischen dem Wellenvektordes einfallen Strahls ~k und des gestreuten Strahls ~k′ das ganzzahlige Vielfache eines Gittervek-tors im reziproken Gitter, so existiert unter dem Winkel 2Θ zwischen ~k und ~k′ ein Bragg-Reflex.Die Transformation der Vektoren im Ortsraum ~a zu den Vektoren im reziproken Raum ~b ist:

~bi = 2π~a j × ~ak

~ai · (~a j × ~ak)mit i, j, k ∈ [1,2, 3] (3)

4

Abbildung 4: Skizze zur Erklärung der Laue-Bedingung[1]

1.4 Spektrometrie

Im Debye-Scherrer-Verfahren besteht die Probe typischerweise aus einem Pulver, sodass vieleEinkristalle in allen möglichen Orientierungen vorhanden sind. Wird das Beugungsbild einessolchen Pulvers auf einem sphärischen Schirm, dessen Mittelpunkt die Probe ist, abgebildet, soentstehen konzentrische Beugungsringe. Im Versuch wird eine Linie eines solchen Beugungs-bildes abgefahren (siehe Versuchsaufbau) und die Intensität der Reflexe gegen den Winkel 2Θaufgetragen. Abbildung 5 zeigt ein typisches Diffraktogramm einer Quartz-Probe. Jeder Peaksteht für einen Reflex einer Ebenenschar.

Abbildung 5: Röntgen Diffraktogramm einer Quartz-Probe [3]

Nicht jeder Gittertyp erzeugt für jedes hkl einen Bragg-Reflex. Für fcc-Typen existieren nurReflexe für h, k, l alle gerade oder ungerade, und bei bcc für h+ k+ l gerade. Dies liegt daran,dass der geometrische Strukturfaktor, von dem die Intensität eines Bragg-Reflexes abhängt, fürdie o.g. Bedingungen nicht verschwindet. (genaue Herleitung: siehe Abschnitt 5, Aufgabe 1) Fürdas sc-Gitter existieren Bragg-Reflexe für alle möglichen Ebenenscharen, da bei ihnen der Struk-

5

turfaktor nie verschwindet. Um die einzelnen Reflexe bestimmten Ebenenscharen zuordnen zukönnen, muss noch erwähnt werden, dass aus Gleichung 1 und 2 auch folgt, dass

sin2(Θ)∼ h2+ k2+ l2 (4)

Aus diesem Grund ist es sinnvoll eine Tabelle mit den je nach Gittertyp vorkommenden Reflexanzulegen, die nach h2 + k2 + l2 geordnet ist. In einem Diffraktogramm lassen sich dann vonlinks nach rechts (bzw. in der Tabelle von oben nach unten) direkt die Bragg-Reflexe zuordnen.

Tabelle 2: Vorkommen der jeweiligen Reflexe der kubischen Gitterstrukturen.X steht für die Existenz eines Reflexes, - steht für die Nicht-Existenz eines Reflexes.Die Reflexe, die von oben nach unten in der Tabelle aufgeführt sind, erscheinen im

Diffraktogramm von links nach rechtsh2+ k2+ l2 (hkl) sc bcc fcc

1 100 X - -2 110 X X -3 111 X - X4 200 X X X5 210 X - -6 211 X X -8 220 X X X9 300 X - -

10 310 X X -11 311 X - X12 222 X X X13 320 X - -14 321 X X -16 400 X X X17 410 X - -18 330 X X -19 331 X - X20 420 X X X21 421 X - -22 332 X X -

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Die Position der Peaks ist also durch Wellenlänge und Gitterparameter bestimmt, sowie derEbenenschar, die bei dem jeweiligen Winkel die Bragg-Bedingung erfüllt. Die Breite der Peakskommt durch die Korngröße des Pulvers zustande. Jedes Korn ist als Einkristall endlicher Dickezu betrachten. Jeder Peak im Diffraktogram ist eine Superposition aller gleichartigen Reflexeim Einkristall. Je dicker die Körner im Pulver sind, desto mehr Reflexe überlagern sich. ImFalle eines unendlich dicken Einkristalls beispielsweise würde ein unendlich dünner Peak ent-stehen. Für die von den Körnern erzeugten Reflexe gilt die Gleichung 5, wobei ∆2Θ für dieHalbwertsbreite (FWHM) und B0 für den Durchmesser der Pulverkörner steht.

∆2Θ=0, 89 ·λ

B0(5)

Die Intensität I hängt also von der eingestrahlten Intensität I0, vom Strukturfaktor |F |, vomPolarisationsfaktor 1+cos

2(2Θ)2

und vom Lorentzfaktor 1sin2(Θ)·cos(Θ) ab.

I = I0 · |F |2 ·1+ cos2(2Θ)

2sin2(Θ) · cos(Θ)(6)

Der Strukturfaktor hängt im Wesentlichen von der Elektronenverteilung der Streuzentren (Basi-satome) ab. Der Polarisationsfaktor kommt durch die Abstrahlcharakteristik von Hertzschen Di-polen zustande, deren Elektronen durch die Wechselwirkung mit der Röntgenwelle zu Schwin-gungen angeregt werden und senkrecht zur Schwingungsrichtung Dipolstrahlung emittieren.Die Abbildungen 6 und 7 sind der Winkelplot sowie der 2D-Dichteplot des Polarisationsfaktorsfür einen Hertzschen Dipol, der nur in x- und y-Richtung schwingen kann. Unter einem Winkelvon 45◦ fällt die Intensität auf die Hälfte ab und die Maxima liegen bei 0◦ und 90◦.

Abbildung 6: Winkelplot des Polarisationsfaktors. Bei einem Winkel von π4

ist die Intensität = 0,5

7

Abbildung 7: Dichteplot in der Polarebene. Die Minima(blau) unter den Winkeln π4

usw. sinddeutlich zu erkennen

Der Polarisationsfaktor berücksichtigt ebenfalls, dass verschiedene Kombinationen von hklgleichwertig für entstehende Reflexe sind. D.h., dass beispielsweise (110), (101), (011), (1̄10)usw. für den selben Bragg-Reflex verantwortlich sind, da sie alle bei der Beugung am Pulver dieselbe Bragg-Bedingung erfüllen. Der Lorentzfaktor beinhaltet im Wesentlichen die Informationüber den Gitteraufbau. Eine Faltung der Ladungsdichteverteilung der Basis ρBasis und der Funk-tion für die Periodizität des Gitters ρGitter ergibt eine „gemischte“ Verteilungsfunktion. DerenFouriertransformation ergibt schließlich den Lorentzfaktor. Für die Fouriertransformierte einerFaltung gilt F T (ρBasis⊗ρGitter) = F T (ρBasis) · F T (ρGitter), sodass lediglich die Funktionen ρBasisund ρGitter fouriertransformiert werden müssen. Die Funktion ρBasis ist für einatomige Basis deratomare Formfaktor. Die Funktion ρGitter ist die Summe der Phasenfaktoren

∑

n ei~K ~Rn, welche

sich aus der Summe der Deltadistributionen δ(~r − ~Rn), die das Gitter beschreiben, ergibt.

8

2 Versuchsaufbau

Der Versuchsaufbau besteht aus der Bragg-Brentano-Anordnung (siehe Abbildung 8).

Abbildung 8: Bragg-Brentano-GeometrieR: Röntgenquelle; P: Probe; M: Monochromator; D: Detektor; E: Elektronik (Verstärker, ADC);

PC: Computer zur Datenaufnahme und Bearbeitung

3 Versuchsdurchführung

Da am Tage des Versuchs die Röntgenanlage außer Betrieb war, wurde ein bereits gemesse-nener Datensatz ausgewertet. Zunächst wird ein Diffraktogramm einer Probe aus CsCl und Siausgewertet. Das Silizium diente der Winkelkalibrierung des Diffraktogramms, da sein Röntgen-spektrum bekannt ist. Anschließend wurden Untergrund heraus korrigiert und Gauß-Kurven aufdie Peaks des CsCl gefittet. Die ermittelten Positionen und Halbwertsbreiten der Peaks werdenzur Strukturbestimmung des CsCl genutzt. Im zweiten Schritt wird das Diffraktogramm einerunbekannten Substanz untersucht und ebenfalls Struktur und Gitterkonstante bestimmt.

9

4 Auswertung

4.1 Bestimmung der Gitterstruktur von CsCl

Das Diffraktogramm aus Cäsiumchlorid und Silizium sieht folgendermaßen aus:

Abbildung 9: CsCl- und Si-Diffraktogramm

Hierbei wurde CsCl untersucht, während Silizium zur Eichung verwendet wurde. Die Abwei-chung der Messwerte der Probe von den Literaturwerten von Silizium wird in der folgendenAbbildung dargestellt:

10

Abbildung 10: Ausgleichsgerade der Abweichungen der Messwerte von den Literaturwertenvon Silizium

Die Steigung dieser Geraden beträgt m = 5,48 · 10−4. Zur Korrektur der Abweichung derMesswerte wurde zum Winkel 2θ noch ein m · 2θ aufaddiert. Für die Auswertung der CsClTabelle wurde die Gleichung 3.8 aus der Versuchsanleitung verwendet:

sin2(θ) =�

λ

2a

�2

h2+ k2+ l2

(7)

Tabelle 3: CsCl-Tabelle (korrigiert)Reflex 2θ in ◦ sin2(θ) h2+ k2+ l2 h, k, l ( λ

2a)2 a in Å

1 21,474 0,0347 1 1,0,0 0,0347 4,141± 0,00732 30,540 0,0694 2 1,1,0 0,0347 4,129± 0,00493 37,711 0,1044 3 1,1,1 0,0348 4,134± 0,00374 43,789 0,1390 4 2,0,0 0,0348 4,131± 0,00305 49,308 0,1740 5 2,1,0 0,0348 4,124± 0,00256 54,468 0,2094 6 2,1,1 0,0349 4,129± 0,0021

Die Unsicherheiten wurden mit Hilfe der Gleichung 11 aus dem Kapitel der vorbereitendenFragen und Antworten berechnet. Als Unsicherheit für den Winkel wurden 0,04◦ angenom-men. Daraus ergibt sich für die Gitterkonstante a ein Mittelwert von (4, 13 ± 0, 01) Å. DerLiteraturwert liegt bei 4,123 Å und damit im Rahmen der Unsicherheitsgrenzen der Messung.

4.2 Bestimmung der Struktur von einer unbekannten Probe

Die Untersuchung eines Diffraktogramms einer unbekannten Probe liefert, wie in der vorherigenAufgabe, die nachfolgende Tabelle:

11

Tabelle 4: AuAl2-TabelleReflex 2θ in ◦ sin2(θ) h2+ k2+ l2 h, k, l ( λ

2a)2 a in Å

1 25,786 0,050 3 1,1,1 0,0167 5, 984± 0, 00862 29,860 0,067 4 2,0,0 0,0168 5, 985± 0, 00733 42,669 0,132 8 2,2,0 0,0165 5, 993± 0, 00454 50,602 0,182 11 3,1,1 0,0165 5, 983± 0, 00345 53,302 0,198 12 2,2,2 0,0165 5, 954± 0, 00316 61,982 0,265 16 4,0,0 0,0166 5, 989± 0, 00227 68,250 0,315 19 3,3,1 0,0166 5, 990± 0, 00178 70,287 0,332 20 4,2,0 0,0166 5, 989± 0, 00159 78,150 0,397 24 4,2,2 0,0165 5, 992± 0, 000910 83,893 0,447 27 5,1,1 / 3,3,3 0,0166 5, 993± 0, 0004

Bei der Probe handelt es sich um eine Gold-Aluminium-Legierung (AuAl2). Der Mittelwertder Gitterkonstante a = (5,985 ± 0, 013) Å und der Literaturwert liegt bei 5,997 Å, wie unsvon Herrn Frank Fischer in der Versuchsbesprechung mitgeteilt wurde. Da es sich bei den h, k, limmer nur um gerade bzw. ungerade Zahlen handelt, ist darauf zu schließen, dass die Gitter-struktur ein fcc-Gitter darstellt.

4.3 Bestimmung der Korngröße

Anhand der 2θ -Verbreiterung der Bragg-Reflexe soll mit der Debye-Scherrer-Formel 2θ = 0,89λB·cos(θ)

die Korngröße B von einer grob- und einer nanokristallinen Palladiumprobe bestimmt werden.Die folgende Tabelle präsentiert die Ergebnisse:

Tabelle 5: Tabelle zur Messung von grob- und nanokristallinem Palladium2θ in ◦ FW HM (grob) FW HM (nano) ∆2θ in ◦ B in Å Einheitszellen40,560 0,183 2,108 0,0336 40± 0, 0239 10-1168,485 0,258 3,111 0,0498 33, 33± 0,0590 8-9

Die Gitterkonstante von Palladium beträgt a = 3, 87 Å. Damit besteht ein Kristallkorn aus ca.10 Elementarzellen, wobei beachtet werden muss, dass die Korngrößen nicht alle gleichverteiltsind. Auch hierbei wurden die Unsicherheiten für die Korngrößen mit Hilfe der Gleichung 12aus dem 5. Kapitel bestimmt.

4.4 Fazit

Obwohl der Versuch aufgrund einer kaputten Röntgenanlage nicht durchgeführt werden konnte,ist trotzdem klar geworden, dass die Struktur und die Eigenschaften eines Kristalls anhand derDebye-Scherrer-Methode relativ einfach bestimmt werden können. Das Ergebnis ist sehr genau,selbst bei einer Auswertung per Hand, während die computerbasierten Ergebnisse noch präziserausfallen.

5 Zusatz: vorbereitende Fragen und Antworten

1. Berechnen Sie den geometrischen Strukturfaktor für kubisch flächenzentrierte und ku-bisch raumzentrierte Kristalle mit einatomiger Basis, wenn diese (wie meist üblich) durch

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ein einfach kubisches Gitter mit einer mehratomigen Basis beschrieben wird. Stellen Sieden Strukturfaktor tabellarisch für verschiedene Ebenen dar.

→ Der geometrische Strukturfaktor F wird bei einatomiger Basis allgemein durch

F =∑

n

fAe2πi(han+kbn+lcn) (8)

berechnet, wobei die Basisvektoren aus

anbncn

zusammen gesetzt sind.

• bcc:da für das bcc-Gitter die Basisvektoren (0,0,0) und (1

2,12,12) in Frage kommen, ergibt

sich für den geometrischen Strukturfaktor

Fbcc = fA(1+ eiπ(h+k+l)) (9)

sodass Fbcc =n0 falls h+ k+ l ungerade

2 fA falls h+ k+ l gerade

• fcc:Für das fcc-Gitter liegen die Basisatome in den Koordinaten (0,0,0), (1

2,12,0), (1

2,0,1

2)

und (0,12,12) vor. Für den Strukturfaktor gilt dann

Ffcc = fA(1+ eiπ(h+k)+ eiπ(h+l)+ eiπ(k+l)) (10)

sodass Ffcc =n0 falls hkl gemischt ungerade, gerade

4 fA falls hkl gerade, ungerade

Dies erklärt auch den Aufbau von Tabelle 2, da der geometrische Strukturfaktor von derKristallstruktur abhängt.

2. Überlegen Sie sich, wie eine Monochromatisierung des Röntgenstrahls mithilfe eines Mo-nochromatorkristalls durchgeführt wird. Welche Vorteile bietet diese Methode?

→ Auf Grund der Bragg-Bedingung kann bei bekanntem Netzebenenabstand d der Winkeldes Monochromatorkristalls so gewählt werden, dass genau eine Wellenlänge reflektiertwird. Der Vorteil dieser Methode ist, dass die Intensität weniger abnimmt, als das beieinem Filter der Fall ist. Allerdings muss dafür ein Einkristall mit möglichst kleiner Defekt-dichte benutzt werden.

3. Abb. 2.4 ist zu entnehmen, dass der Monochromator nach der Streuung eingesetzt wird.Können Sie Gründe angeben, warum dies günstiger ist als ein Monochromator vor derStreuung? Berücksichtigen Sie dabei, dass neben der elastischen Streuung auch inelasti-sche Streuung auftreten kann, z. B. durch die Erzeugung oder Vernichtung von Phononen,und dass diese inelastische Streuung einen unerwünschten Untergrund bildet.

→ Zitat: "...dass neben der elastischen Streuung auch inelastische Streuung auftreten

13

kann, z. B. durch die Erzeugung oder Vernichtung von Phononen, und dass diese inelasti-sche Streuung einen unerwünschten Untergrund bildet."[2]Gitterschwingungen in der Probe führen zur Dopplerverschiebung und inelastischer Streu-ung, was zu einer Verteilung der Wellenlängen der Reflexe führen würde und keine mono-chromatische Strahlung mehr vorhanden wäre.

4. Warum sind die atomaren Formfaktoren von Kalium und Chlor in der Verbindung KCl na-hezu gleich?

→ Auf Grund von Ionenbindung haben die K und Cl-Ionen dieselben Elektronendichte-verteilungen.

5. Mit dem Debye-Scherrer-Verfahren kann neben der Struktur auch der Gitterparameter be-stimmt werden. Überlegen Sie sich anhand der Bragg-Gleichung, ob bei gegebener Wel-lenlänge λ der Gitterparameter genauer bei kleinen oder großen Streuwinkeln bestimmtwerden kann.

→ Aus der Gleichung 1 folgt, dass

∂ a

∂Θ=−

a

tanΘ(11)

Abbildung 11: Funktion aus Gleichung 11 gegen Θ aufgetragen

Der Plot zeigt, dass der Wert für große Winkel nicht so stark variiert, wie dies bei kleinenWinkeln der Fall ist. Deshalb lässt sich der Gitterparameter bei großen Winkeln genauerbestimmen.

6. Mithilfe der Scherrer-Formel kann man die Größe von Körnern bestimmen. Kann die Korn-größe genauer bei kleinen oder großen Streuwinkeln bestimmt werden? Begründen Sie.

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→ Für die Korngröße gilt

B =0,89 ·λ∆2Θ · cosΘ

⇒∂ B

∂Θ= B · tanΘ

(12)

⇒ Bei kleinen Winkeln ist die Korngröße genauer zu bestimmen.

7. Sind Röntgenstrahlen geeignet, Verbindungen aus Elementen mit sehr unterschiedlicherOrdnungszahl zu studieren? Worin liegt gegebenenfalls das Problem?

→ Typischerweise haben schwerere Atome einen größeren atomaren Formfaktor fA. Da-durch kann es sein, dass die Streuintensität derart überragt, dass die Streuintensitätenkleiner Atome im Diffraktogramm nicht mehr sichtbar sind.

8. Was ist ein sogenannter verbotener Reflex?

→ Bei einem verbotenen Reflex erzeugen die zum Reflex gehörenden hkl einen Struk-turfaktor = 0, sodass der Reflex nicht existiert, da Intensität I = 0.

9. Ist es möglich, mit einer Kupfer-Anode eine metallische Kupfer-Probe zu untersuchen?Warum?

→ Ja, da die Kα-Linie unterhalb der Absorptionskante von Kupfer liegt.

10. Die Korngröße eines Materials ist in der Regel nicht einheitlich, sondern zeigt eine (teil-weise sehr breite) Verteilung. Eine z. B. nach der Scherrer-Formel bestimmte Korngröße istdeshalb eine Mittelung über alle vorkommenden Größen. Überlegen Sie sich, mit welcherGewichtung diese Mittelung erfolgt. Gehen Sie dabei wie folgt vor: Mathematisch wird dieGewichtung in Form einer Verteilungsfunktion durchgeführt. Wie sieht eine solche Vertei-lungsfunktion qualitativ aus?

→ Sinnvoll ist es eine Gaußverteilung f (B) anzunehmen. Allerdings wird sie für größe-re B langsamer abfallen, da meistens zunächst größere Kristalle klein gemahlen werdenund daher vermutlich mehr davon da sind. Im Versuch wurde jedoch ein Pulver ver-wendet, dessen Körner durch chemisches Ausfällen gewachsen sind. Daher macht einesymmetrische Gaußverteilung eher Sinn.

11. Es wurden auch inelastische Streuprozesse durch Erzeugung oder Vernichtung von Pho-nonen angesprochen. Wie wirken sich diese Prozesse auf ein Diffraktogramm aus? Welchebisher noch nicht erwähnte physikalische Größe beschreibt den Einfluss dieser Prozesse?

→ Durch thermische Phononen, also Gitterschwingungen, ist kein scharfer Gitterabstandmehr beobachtbar. Phononen als quantenmechanische Objekte können ebenfalls Photonenstreuen und führen zur Beschränkung der Messgenauigkeit.

12. Erklären Sie qualitativ die Gleichungen 3.9 und 3.10. (in der Versuchsanleitung [2])

→ Siehe Abschnitt unter Gleichung 6

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6 Quellen

[1] http://www.wikipedia.de / 03.05.2012 - 10:40 Uhr

[2] Versuchsanleitung „Strukturanalyse mit Röntgenstrahlen nach Debye-Scherrer“ (TU-Darmstadt 24.11.2010)

[3] http://www.cannonmicroprobe.com / 03.05.2012 -17:00 Uhr

[4] Ch. Kittel; Einführung in die Festkörperphysik

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