Seite | 114
Reale feste und flüssige Körper
Querkontraktion bei der Dehnung
Poisonzahl 𝜇 =!!!!!!!
Liegt im Bereich 0 ≤ 𝜇 ≤ 0,5 [Anmerkung inkompressibler 𝐹𝐾 ⇒ 𝜇 = 0,5] Ein homogener Festkörper wird durch zwei elastische Konstanten vollständig beschrieben.
𝐾 = !!∗ !!!!!
𝐺 = !!∗ !!!
„Kompression“
„Scherung“
𝐹
𝜑
𝐹 𝜎 = 𝐸 ∗ 𝜖
Zug 𝜎 = !!!
E-‐Modul [𝑃𝑎]
Dehnung 𝜖 = !!!
„Dehnung“
𝜏 = 𝐺 ∗ 𝜑
Schubspannung
𝜏 =𝐹∥𝐴
Schubmodul [𝑃𝑎]
Scherwinkel
𝑝 = −𝑘Δ𝑉𝑉
Allseitiger Druck
Kompressions-‐modul
rel. Volumenänderung
Seite | 115
Ruhende Flüssigkeiten (Hydrostatik)
Der Schubmodul 𝐺 einer idealen Flüssigkeit ist Null. Kräfte auf eine Flüssigkeit: Hydraulische Presse: (Versuch) Der hydrostatische Druck
Hydrostatik (ohne Schwere des Wassers): ⇒ grad 𝑝 = 𝟎
𝑝 +𝜕𝑝𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑝
Der Druck im Flüssigkeitsvolumen ist isotrop und konstant. 𝑝
𝐹 𝑝 =𝐹𝐴
𝐴! 𝐴!
𝐹! 𝐹!
𝐹! = 𝐹! ∗𝐴!𝐴!
𝑝
𝑝
𝑝
Der Druck in einer ruhenden Flüssigkeit ist isotrop.
Versuch: Druckdose nach Hartl
𝑑𝑥
𝐹! = 𝑝 𝑑𝑦 𝑑𝑧 − !𝑝 +𝜕𝑝𝜕𝑥 𝑑𝑥!𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
𝜕𝑝𝜕𝑥 Δ𝑉
𝑭 = −grad 𝑝 𝑑𝑉 Ein Druckgradient würde das bewegliche Volumenelement verschieben.
Seite | 116
Schweredruck
Berücksichtigung des Eigengewichts der Flüssigkeit 𝑝 0 = !∗!∗!
!!! 𝑑𝑧 = 𝜚 ∗ 𝑔 ∗ 𝐻
Der Schweredruck hängt nicht von der Gestalt des Gefäßes ab! (hydrostatisches Paradoxon) Versuch: Auftrieb
𝑝(𝑧) 0
Z
0
H
Druck am Boden eines Gefäßes: 𝑝(𝑧) = 𝜚 ∗ 𝑔 ∗ (𝐻 − 𝑧)
𝑧 = 0
Öl Säule
Wasser
ℎ! ℎ!
𝑝(𝑧 = 0) = 𝜚! ∗ ℎ! ∗ 𝑔 = 𝜚! ∗ ℎ2 ∗ 𝑔
𝜚ö! =ℎ! ∗ 𝜚!ℎö!
ℎ!
ℎ! 𝐹! 𝑝!
𝑝! 𝑀! ∗ 𝑔
Δ𝑝 = 𝑝! − 𝑝! = 𝜚 ∗ 𝑔 ∗ (ℎ! − ℎ!)
Auftriebskraft:
𝐹! = Δ𝑝 ∗ 𝐴 = 𝜚!" ∗ 𝑔 ∗ 𝐴 ∗ Δℎ
𝐹! = 𝑀!" ∗ 𝑔