Numerische Ergebnisse Quanten-Spin-System
Quanten-Chimara Zustande in Spin-Systemen
Artur Bakaev, Simon Becker, Andrea Heilrath
TU Berlin
Projekt im Rahmen der Vorlesung Quantenmechanik II
10.02.2015
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Numerische Ergebnisse Quanten-Spin-System
Uberblick
1 Numerische Ergebnisse
2 Quanten-Spin-SystemVerschrankungQuanten-Chimara ZustandeQuantenunordnung und Quantenchaos
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Einfuhrung - Netzwerk gekoppelter Oszillatoren
Ein Chimara Zustand bezeichnet ein Netzwerk gekoppelterOszillatoren, welches Bereiche synchroner und asynchronerDynamik zeigt.
Van der Pol Modell beschreibt Netzwerk gekoppelterOszillatoren durch die nichtlineare DGL
x + ω20x− ε(1−x2)x = 0. (1)
x(t) als komplexe Amplitude x(t) = α(t)e iω0t kann mit ω0
rotierendem Inertialsystem genahert werden
α = (ε
2)(1−|α|2)α. (2)
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Numerisches Modell eines Quanten-Oszillators
α = ε(1−κ|α|2)α (3)
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Gekoppelte Oszillatoren - zeitliche Entwicklung
αn = f (αn)− iσ
2P
n+P
∑j=n−p
αj , (4)
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Gekoppelte Oszillatoren - mittlere Winkelgeschwindigkeit
αn = f (αn)− iσ
2P
n+P
∑j=n−P
αj ,
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Kopplung mit exponentiellem Kern - zeitliche Entwicklung
αn = f (αn)− iσ
C
n+P
∑j=n−P
e−|n−j |αj , (5)
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Anwendungen
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Verschrankung
Verschrankung
Hilbertraum H = C2⊗C2 und
|ψ〉=1√2
(|0〉⊗ |0〉+ |1〉⊗ |1〉) . (6)
Der reduzierte Zustand lautet
ρ1 =1
2
1
∑k=0
Id⊗〈k|(|0,0〉+ |1,1〉〈0,0|+ 〈1,1|) Id⊗|k〉 (7)
=1
2(|0〉〈0|+ |1〉〈1|) . (8)
Es gilt tr(ρ21 ) = 1
4 + 14 = 1
2 < 1, d.h. der Zustand ist verschrankt.
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Verschrankung
Blochkugel
Jeder Spinzustand schreibt sichals
|ψ〉= α|0〉+ β |1〉 (9)
fur geeignete α,β ∈ C, die|α|2 + |β |2 = 1 erfullen.Nun transformiert man zuα = cos
(θ
2
)und β = e iφ sin
(θ
2
).
φ = 0 ist die Einschrankung aufdie x ,z Ebene.
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Quanten-Chimara Zustande
Quanten-Chimara Zustande
Die klassische Kuramoto Gleichung lautet
θ′i (t) = ω− ν
2M
j+M
∑j=i−M
sin(θi (t)−θj(t) + α). (10)
Ansatz fur quantenmechanisches Modell: N Spin 12 Teilchen mit
Operatoren( Konvention σ+ := σx + iσy )
Ii =hωi
2Id⊗....⊗σz ,i ⊗ ... Id+
hν
2Msin(α) Id⊗...⊗ Id (11)
+hν
2Mcos(α)
i+M
∑j=i−M,j 6=i
(σ+i ⊗σzj −σzi ⊗σ+j) (12)
+hν
2Msin(α)
i+M
∑j=i−M,j 6=i
(σ+i ⊗σ+j + σzi ⊗σzj) . (13)
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Quanten-Chimara Zustande
Quanten-Chimara Zustande
Nochmals die klassische Kuramoto Gleichung
θ′i (t) = ω− ν
2M
j+M
∑j=i−M
sin(θi (t)−θj(t) + α). (14)
Im Vergleich dazu
〈θ ,0|Ii |θ ,0〉=hωi cos(θi )
2+
hν
2M
j+M
∑j=i−M
sin(θi −θj + α), (15)
bzw.
hωi cos(θi )
2=−〈θ ,0|Ii |θ ,0〉+
hν
2M
j+M
∑j=i−M
sin(θi −θj + α). (16)
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Quanten-Chimara Zustande
Quanten-Chimara Zustande
Der Hamiltonoperator ist gegeben durch
H =N
∑i=1
Ii . (17)
Es gilt σ(H)⊂ R, aber H† 6= H.Probleme: Erhaltung des Skalarprodukts?
d
dt〈ψ,φ〉=
1
i h(〈ψ,Hφ〉−〈Hψ,φ〉)? (18)
Projektion in orthogonale Eigenzustande? H = ∑i Ei |ψi 〉〈ψi |?
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Quanten-Chimara Zustande
Quanten-Chimara Zustande
Eigenfunktionen (|ψi 〉)i von H ergeben reduzierte 1-Spin Zustande
ρni = tr{1,..,N}\{i}(|ψn〉〈ψn|). (19)
Wir betrachten nun
Besetzungswahrscheinlichkeit fur θ ∈ [0,2π] mithni = |〈θ ,0|ρn
i |θ ,0〉|.Die lineare Entropie misst Verschranktheit:
Sni = 1− tr((ρ
ni )2) (20)
Fur || id−ρni || ≤ 1 gilt
S =− tr(ρ log(ρ)) =− tr(ρ log(id−(id−ρ)))≈ tr(ρ−ρ2)(21)
= 1− tr((ρ)2). (22)
Koharenz c = |〈↑ |ρ| ↓〉| und Besetzung p = 〈↑ |ρ| ↑〉.12 / 17
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Quantenunordnung und Quantenchaos
Husimi-Verteilung hni (θ )
Husimi-Verteilung hni (θ) = |〈θ ,0|ρni |θ ,0〉| als Maß der Verteilung
des i-ten Spins auf dem ”Bloch-Kreis”θ ∈ [0,π]
Husimi-Verteilung Entropie, Koharenz,Up-Population der Spins
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Quantenunordnung und Quantenchaos
Quantenunordnung
Der Entropie-Begriff bedarf einer quantenmech. Erweiterung.
Chimara Zustande klassisch: Das Nebeneinander vonKoharenz und Inkoharenz betrifft raumliche Verteilung vonOszillator-Phasen.
Chimara Zustande im Spinsystem:
Keine Oszillation (Losung Schrodingergl. stationar),keineraumliche Orientierung von Spins und Verschrankung moglich.⇒ anderes Maß zur Quantenunordnung notigDie lin. Entropie der mittleren Zustandsdichte 1− tr [〈ρ〉2].⇒ In dieser Große sind Unordnung und Verschranktheit nichtunterschieden.
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Quantenunordnung und Quantenchaos
Quantenunordnung im Spinsystem
Unter Berucksichtigung der mittleren Entropie 〈Sn〉= 1N ∑Sn
i
definiert man die Quantenunordnung:
Dn := 1− tr〈ρn〉2−〈Sn〉= 1− tr(〈ρn〉2)−
(1− 1
N
N
∑i=1
tr(ρni )2
)
= tr
(1
N
N
∑i=1
(ρni )2−〈ρn〉2
)= tr
(〈(ρ
n)2〉−〈ρn〉2)
= tr(Var(ρn)).
Dies ermoglicht eine Betrachtung des”reinen Chaos“im
Quantensystem.
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Quantenunordnung und Quantenchaos
Verschrankung und Unordnung im Chimara System
Gegenuberstellung desQuanten-Chimara Modells mit
regularen Modell: IsingModell von Spin-Kette mitnachst-Nachbar-Kopplung.
chaotisches Modell:Vielteilchen Spin-Kette inWechselwirkung mitturbulentem Magnetfeld.
Anders als ublich, enthalt dasChimara Modell Komponentenvon Unordnung undVerschrankung.
Unordnung in Abhangigkeit vonVerschrankung Dn (〈Sn〉)
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Quantenunordnung und Quantenchaos
The End
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