Aufgabe 1: (Punkte: 6 * 10 : 16)
a) Berechnen sie zn A: ( :, 7 ) und B : ( 1r) iob.,,a" Matrizen.
\L 2) \-Geben Sie "nicht möglich" an, falls dies nicht geht.
C AB:
o ArB:
o BTB:
o BBT
3 -\-L?OL
5 *L o
-tt?L
)P
L
- (.?) ??
-.0* t^"öXt^& \
r> (/s) -/
Zt-3
q43
b) Bestimmen Sie zu der Matrix A:
und die Inverse Matrix A-1.
k.=a('ji)=.
äe{ (tr)= 6+5to- o -o'ß'' 3 w
i(=
) ,,-/
0\s I ai" Kofaktormatrix'f,
4l+L
+-+ -+
/ \ -6\-6 $
3 --1-2 0;5
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k= (i.:i fu*):**(L ?:'")',)
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/Lt{!13,.L}\.,t
^
L-5zlq -G
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I/1
L
4
3,{
\:l+,{
Aufgabe 2: (Punkte: 9 * 9 : 18)
a) Lösen''" ( _? T ; ) ( ;: )
: ( :' ) -,, dem Gauß-verrahren
5 -,,t o l-a
_A o trlS
o u\s
T:I:./
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o
o
-4, o q15
o -L o,s S16
i -^,1-^
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i J o ''t 'rtl,t^ [: I J-
-x{ t\=5x1 t -^ /
dc{ =
(;
(,:
(i
b) Lösen," ( _l T ; ) ( ;: ) : ( I )
*,, cramerscher,Rege,
3 (s. I*ft"s. /u) _5
-^ o\ ,*^=3,=-r{o,5 s ), ao+ = -L-L; +o-o -o + z\- -S ,2o Ltl
_c
-/ o \ - ., x,- = t = -L -'/
6 s l=a.l = ?Lr 5ro -o-?5 -B''ß''5- ql "/
^ 3
-a r/-4-4t - »xc-a-/'ot e ) ,^* , 1,5* 6.o - o,g -o-lo - 3'o 5l \r
:)(-i\ ,/I \ 4l=
3
9
,: ls
Aufgabe 3: (Punkte: 10 * 8 : 18)
Betrachten Sie das linearen Gleichungssystems
-rrl2rz+4rz6nr-5rz-3rs+4r+3rt * rz ]_9rs - Srq,
-429
-10
a) Bestimmen Sie die Zeilenstufenform und begründen Sie hiermit, ob es
Lösungen gibt und ob diese eindeutig sind.
rt* -^6*5b4
-qs
-zL
44
-s
*{_
€r.r..q ,Uiclrlsta.\. rorY
b) Bestimmen Sie alle Lösungen (Lösungen als Vektor angeben)
- ^ ? l^ o l- u .u -- 3 (-,- -x^ - -q -k*.-1-l-^-3"")o ? t^ -
I S ?x. t?,(x6 1Ät :§ -X,1 = -q - (^x3t L* 6^3
o o o Xlt+ @ \,2,{ -Xa - -L + zx3 ['(-'t1
aeA{'t{^' 'z-L}3 /?r. = -? - L,( x3 l'?\L = -r{ - 3x3 -/
(:{l (i)..(t)
40
8
4:lg
-Ä a t{ 0l-\6 5 -3 ql zt3 4 t -51-ro
zqo?z4q724-s
'''l- ''l- ;jo
-l^5-l t--zz -l
-^ Lo+oo
\oz4qo5
-q5
L+
[i6 ' ,nro\rr u.{ir.i"3.' . do. r'\\" (lo'*1 ,
u,.A zir^rx ur.dLl - §ü.[. .
Aufgabe 4: (Punkte: 6 * 8 : 14)
a) In einer Fabrik werden die drei Chemikalien A, B und C produziert.
Zwischen den drei Produktionsbereichen (Kostenstellen) sollen die Pro-
dukte jeweils zu Selbstkosten geliefert werden.
o Bei der Produktion der 12 Einheiten A fallen Primärkosten von 1300
Geldeinheiten an und es werden 6 Einheiten B und 1 Einheit Cbenötigt.
o Bei der Produktion der 10 Einheiten B fallen Primärkosten von 100
Geldeinheiten an und es werden 2 Einheit C benötigt.
o Bei der Produktion der 8 Einheiten C fallen Primärkosten von 1400
Geldeinheiten an und es werden 4 Einheiten B benötigt.
Stellen Sie das Lineare Gleichungssystem auf, das gelöst werden muss, um
die Verrechnungspreis (Selbstkosten) für die Chemikalien A, B und C zu
bestimmen.A.v<
b=\tGts
4'l-xn=lfua(ts+x310.1 = Ao r tZta *)
8 rg ' z(too t h*a
A'Lxa -Gxr- -ko' lßoo v/ÄA.\ ÄO x1 - Zr5 -- ,l@ V/
'- \ xt- + ßxg '= tilt@ -/
b) Ein Getränkehersteller kann 11 Einheiten Traubensaft, rz Einheiten Apfel-saft abfüllen. Die Gewinne beim Verkauf sind pt : 2 rnd p2: 1,5.
o Es können höchstens 210 Einheiten an Getränken abgefüllt werden.
o Für 1 Einheit Traubensaft werden 1,5 Einheiten Arbeitszeit benötigt
und für 1 Einheit Apfelsaft werde 3 Einheiten Arbeitszeit benötigt. Es
stehe 450 Einheiten Arbeitszeit zur Verfügung.
o Für 1 Einheit Tlaubensaft werden 2 Zeiteinheiten Obstpressenutzung
benötigt und für 1 Einheit Apfelsaft werden 2,4 Einheiten Obst-pressenutzung benötigt. Es stehe 480 Einheiten Obstpressenutzung
zur Verfügung.
Stellen Sie das Linare Gewinnmaximierungsproblem auf.
?1 wo.tiu^i nxc^l: Z x^ t z{,5 *u -/
x^ I xz ( L'tO '/,1,5x^ t 3xt ( 05O ./
Lxa r Z,\x. ( uto /
,0do*u"ai"1f1f*'
»:/?
6
Aufgabe 5: (Punkte: 9 + 6+7 :22)
Betrachten Sie folgende Maximierungsaufgabe: max 6r, + l2rz l Srtunter den Nebenbedinunger 11>. 0, 12 ) 0, e3 ) 0 sowie
3r1l 4rr+54<-724r, + L2rz I 44 <. 64
a) Lösen Sie das Problem mit dem Simplex-Verfahren bis zum EndtableauStart Sie dabei mit Pivotspalte I (Rechnung l'inks
-).b) Geben Sie die Lösung fr1,,il2,frs,?tt,1L2 sowie den Wert der Zielfunktion Z
im Optimum an. Prüfen Sie bei Ihrem Ergebnis, ob alle Nebenbedingungen
erfüllt sind und ob der Maximalwert stimmt.
Xf \7zO ,{L
kz=O 20 ^bXr= ÄL? O
x.<= qXt- oXb - /^L
0a-o[r 'O?- lla
_( 6q
6
&tCt$6=12OL/
t-'t'
7L6q
+ O + 60= 7Z -(?2r c +gL-'@ 6tr
üs
c) Geben Sie die duale Minimierungsaufgabe und deren Lösung an. Prüfen
Sie bei Ihrem Ergebnis, ob alle Nebenbedingungen erfüllt sind und ob derMinimalwert stimmt.
,/ -/721 ^
t 6 t^ 'rn- iult tü ur'a*iu"^c..<l''
3y^ * (y.
h Y^ t '(tYz
5y^ t \ yr-
>t 6 ,/z,lL ,/7t B -/
Lar*,1' Y|frß Y^= 4 ,-/ 3+ 3 = 6*,
Ut'U, \"2 'Y.'$"^'
5 t 5=8 ?t 8
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tui* ?r^
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t; kL k.5 u^ uL bk( 3 i{5^o 'lL -a Zh
\kt t{^Lqo^ 6-r -,v As
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5 4 o %^6t
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o ^ o 4 t4^zo
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g"<lef ,,rtä\ cgoÄu'r Ü '* \
.q
aqs
Aufgabe 6: (Punkte: 3* 4+5:12)Betrachten Sie folgende Optimierungsaufgabe:
Maximiere r .y2 rnter den Nebenbedingungen 3r -f 4y 154, r t 0 und ) 0.
a) Stellen Sie die Lagrangefunktion auf.
L(r,y,A^ r1,. la)= "-y"* Ä. (5(-3x- qV ) r Äz'K o A. /
Geben Sie anhand der Lagrangefunktion die Bedingungen erster Ordnungan, die in einem Optimum erfüllt sein müssen.
Yt"-34, tÄ. =O v./
= Zyx t- kÄ^+Au--O
^. (5q-3x-\y) = o,\.-x -oz\s^y *o
b)
?t-t.)-5-Dr- t-. )
Oy
c)
A1= Aa =
do,* .Tv,l
Gut: 5q-3x-(1 =oZry-ttÄ^ =O
Y"- 3\. --o
(w-toit ,t -. A^ = o dour. erlbt
*/> o
€pr,rer.\ K=O y.O
r.y-
Bestimmen Sie für den Fall r ) 0 und y > 0 mögliche optimale Lösungen
t, A, )r, )2 und \. (Fölle mi,t n :0 und, U :0 ni,cht untersuchen.)
o,/-r'".1"' yt -3^n =O
LY^ -utl,t = O
Ä^ (sq-s*-\y)'o
?oOsetDU
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