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Pythagoreische Zahlen



Leipzig, 03.06.20Paul Goldhahn und Christian Unger

Pythagoreische Zahlen I 10-MAT-LA10

Goldhahn, Paul & Unger, Christian 2

Inhaltsverzeichnis

● Pythagoreische Zahlen

● 1Einführung

1.2Hauptanliegen

● 3Grundlösung??

● Das FERMATsche Problem

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1.1 Einführung

• Satz des Pythagoras:

„Das Quadrat über der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks hat den gleichen Flächeninhalt wie die beiden Quadrate über den Katheten zusammen.“

3



1.1 Einführung

• Satz des Pythagoras:

• a2 + b2 = c2

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1.1 Einführung

• geometrischer Beweis:

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1.1 Einführung

● Umgekehrter Satz des Pythagoras:

„Stehen umgekehrt drei Strecken in der Beziehung zueinander, dass das Quadrat aus der einen gleich der Summe der Quadrate aus den beiden anderen ist, so ist das von ihnen gebildete Dreieck stets rechtwinklig.“

gilt für Strecken und wir führen die Maßzahlen a,b,c ein

● Gleichung unmöglich, wenn a,c und a≠c ∈ℤ

● Kann durch drei ganze Zahlen erfüllt werden?

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1.1 Einführung

• einfaches und bekanntes Beispiel:

a2 + b2 = c2 a = 3 ; b = 4 und c= 5

32 + 42 = 52 9 + 16 = 25

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1.2 Hauptanliegen

● Gibt es noch mehr pythagoreische Zahlen bzw. pythagoreische Zahlentripel, d.h. ganzzahlige Lösungen von der Gleichung (1) a2 + b2 = c2 und wenn ja, welche sind es?

● Kennt ihr denn noch mehr pythagoreische Zahlentripel?

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1.2 Hauptanliegen

Definition 1:Seien a,b,c und a ≠ b ≠ c ≠ 0 und es gilt ∈ℤ (1), dann sind a,b,c ein pythagoreisches Zahlentripel.

Beweis 1:Sei a=3, b=4 und c=5, dann folgt beim einsetzen in (1):

was eine wahre Aussage ist.

Es gibt also pythagoreische Zahlentripel.

9

(1)



1.2 Hauptanliegen

Def. 2:Seien a,b,c ein pythagoreisches Zahlentripel und n , dann ist auch (1b) ein ∈ℕpythagoreisches Zahlentripel.

Beweis 2:

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(1)(1)



1.2 Hauptanliegen

Beispiel 2: a=3 ,b=4 und c=5 einsetzen in (1b)n=1

n=2

a=6, b=8 und c=10n=3 …

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(1b)



1.2 Hauptanliegen

Def. 3:Seien a,b,c ein pythagoreisches Zahlentripel und je zwei der Zahlen haben keinen gemeinsamen Teiler, dann heißt das pythagoreische Tripel „Grundlösung“.

alle 3 dürfen keinen gemeinsamen Teiler haben, sonst ist es eine Lösung wie bei (1b)

Beweis 3:nächste Folie

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(1b)



1.2 Hauptanliegen

Beweis 3: WiederspruchbeweisSei a,b,c eine Grundlösung. Weiterhin haben a und b den gemeinsamen Teiler t. Da in t eine Primzahl p aufgehen muss, nehmen wir speziell an, dass a und b den gemeinsamen Teiler p haben.

Somit könnte man setzen: a = p * a1 und b = p * b1

Aus (1) folgt: (p*a1)² + (p*b1)² = p²(a1²+ b1²) = c²

Demzufolge ist p² ein Teiler von c² und p ein Teiler von cp ist also Teiler von a,b und c

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(1)



1.2 Hauptanliegen

Eigenschaften von Grundlösungen:(E1): a,b,c haben keinen gemeinsamen Teiler bzw. sind sie zu je zweien Teilerfremd

(E2): höchstens eine Zahl von a,b,c ist gerade und zwei ungerade

(E3): c muss ungerade sein

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1.2 Hauptanliegen

Beweis von (E1)(E1): a,b,c haben keinen gemeinsamen Teiler bzw. sind sie zu je zweien Teilerfremd

siehe Beweis von Definition 3

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1.2 Hauptanliegen

Beweis von (E2): Wiederspruchbeweis

Sei a,b,c ungerade und a= (2l + 1) für alle l .∈ℤDann ist a² = 4l² + 4l + 1 = 4(l² + l) + 1 wieder ungerade. Folglich ist a und b ungerade und auch a² und b².

Also ist a²+b² gerade, aber c² ist ungerade und somit ist die Gleichung (1) nicht erfüllbar.

genau eine Zahl gerade und zwei ungerade

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(1) (E2): höchstens eine Zahl von a,b,c ist gerade und zwei ungerade



1.2 Hauptanliegen

Beweis von (E3): WiederspruchbeweisSei c gerade. Dann ist c durch 2 und c² durch 4 teilbar.

Folglich müssen a und b ungerade sein (siehe E2). Also ist: a = 2l + 1 und b = 2m + 1 für alle m,l∈ℤ

a² + b² = (4l² + 4l + 1) + (4m² + 4m + 1)

= 4(l² + l + m² + m) +2lässt durch 4 den Rest 2

a² + b² ≠ c²c muss ungerade sein

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(E2): eine Zahl gerade und zwei ungerade(E3): c ist ungerade



1.2 Hauptanliegen

oBdA: a ist ungerade, b ist gerade und c ungerade (E3)

somit gilt (E2)

erzeugen jetzt die Grundlösung

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(E2): eine Zahl gerade und zwei ungerade(E3): c ist ungerade



1.3 Grundlösung

Durch umstellen von (1) entsteht: (2)

gerade gemeinsamer Teiler 2

und sind teilerfremd Beweis

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(1)



1.3 Grundlösung

Wiederspruchbeweis: und sind teilerfremd

Sei t ein gemeinsamer Teiler von und .Dann gilt: und für t,f,g ∈ℤDurch Addition bzw. Subtraktion folgt:

c= t (f + g) und a = t (f – g)

t ist Teiler von a und c

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1.3 Grundlösung

Da b, (c+a) und (c-a) gerade sind können wir (2) folgendermaßen schreiben:(3)

in teilerfremde Faktoren zerlegt

Demzufolge müssen selbst Quadratzahlen sein! Beweis



1.3 Grundlösung

Beweis: müssen selbst Quadratzahlen sein

Sei = pα*qβ*rɣ * … die Primzahlzerlegung von , wobei p,q,r verschiedene Primzahlen sind.

Für folgt: = p2α*q2β*r2ɣ * …alle Primfaktoren müssen in vorkommen



1.3 Grundlösung

Beweis: müssen selbst Quadratzahlen sein

Da teilerfremd sind verteilen sich die Primfaktoren von so, dass jede Primzahlpotenz als Ganzes in vorkommen.

Damit sind in jeweils nur gerade Potenzen ihrer Primfaktoren erhalten.Folglich sind sie selbst Quadratzahlen

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1.3 Grundlösung

Da teilerfremd und selbst Quadratzahlen sind setzen wir:(4a) und

(4b)

Da u² und v² teilerfremd zueinander sind ist auch u und v zueinander teilerfremd und aus (4b) folgt:

(5) b= 2uv

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(3)



1.3 Grundlösung

Aus (4a) folgt durch Addition und Subtraktion:

(6) c und a ungerade

u² oder v² ungerade

u und v müssen verschiedenartig sein

a,b,c sind ausreichend für die Gleichung (1) und ebenso teilerfremd

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(4a) und



1.3 Grundlösung

Aus (4a) folgt durch Addition und Subtraktion:

(6) c und a ungerade

u² oder v² ungerade

u und v müssen verschiedenartig sein

a,b,c sind ausreichend für die Gleichung (1) und ebenso teilerfremd

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(4a) und



1.3 Grundlösung

-Beispiel: a = 3, b = 4 und c = 5(4a) u = 2

v = 1(5) b= 2uv = 2*2*1= 4

In (6) einsetzen zum Überprüfen:(6) und

Alle Gleichungen wurden richtig umgestellt!

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Übung

1) Nennt uns jeweils ein u und ein v, welche eine Grundlösung bilden!

2) Errechnet, basierend auf den gegebenen u und v, das zugehörige pythagoreische Zahlentripel!

- u=7 v=2

- u=8 v=11

- u=10 v=1



2.Das fermatsche Problem

Es existieren ganzzahlige Lösungen für die Gleichung

a² + b² =c²

Doch was ist mit den Gleichungen

a³+b³=c³ oder a4+b4=c4

Bzw. allgemein

an+bn=cn

Besitzen diese Ebenfalls eine ganzzahlige Lösung?



Pierre de Fermat (1601-1665)

„Es gibt keine ganzzahlige Lösung für die Gleichung an+bn=cn für n < 2“



Ernst Eduard Kummer (1810-1893)

→ beteiligt an dem Beweis der Aussage von Fermat

→ bis heute sind die Potenzen 3-100 als unlösbar im Bereich der ganzen Zahlen bewiesen



Gibt es eine ganzzahlige Lösung für

x4 + y4 = w²

→ wir schreiben die Gleichung um zu

(x²)² + (y²)² = w²

→ hierbei handelt sich um eine Spezialform vom Satzes des Pythagoras

a=x² b=y² c=w



1.2 Hauptanliegen

Eigenschaften von Grundlösungen:(E1): a,b,c haben keinen gemeinsamen Teiler bzw. sind sie zu je zweien Teilerfremd

(E2): höchstens eine Zahl von a,b,c ist gerade und zwei ungerade

(E3): c muss ungerade sein

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→ w ist gerade, x² ungerade(1) und y² gerade (oBdA)

→ Wenn b= y² gerade und a=x² ungerade ist, dann folgt, dass sie, in Abhängigkeit von u und v in folgenden Formeln Darstellbar sind:

I) y²=2uv II) x²=u²-v² III) w=u²+v²

→ umstellen Formel II) u²=x²+v²

(neue pythagoreische Gleichung mit teilerfremden u,v,x)



u²=x²+v²

→ u² laut Eigenschaften der Grundlösung ungerade

→ x ist nach der Voraussetzung schon ungerade (1)/Folie34 also muss v gerade sein



somit ergeben sich neue u1, v1 welche Teilerfremd sind und die Gleichungen x, v und u erfüllen:

x=(u1)²-(v1)² v=2(u1)(v1) u=(u1)²+(v1)² (2)

→ u (ungerade), v (gerade) sind Teilerfremd zueinander, also sind auch u und 2v Teilerfremd



→ y² wird in die 2 Teilerfremden Faktoren u und 2v zerlegt:

y²=u*2v

→ die Zerlegung eines Quadrates ist nur in 2 teilerfremde Faktoren möglich, die ebenfalls wieder Quadrate sind

u=(w1)² (3) und 2v=4(t1)²



→ wir setzen beides in die letzten 2 Formeln in (2)/Folie 36 ein und erhalten:

(t1)²=(u

1)*(v

1) (w

1)²=(v

1)²+(u

1)² (4)

→ u1 und v

1 sind zueinander Teilerfremd und laut

Überlegung 4 müssen u1 und v

1 selbst Quadratzahlen

sein, wenn sie (t1)² bilden sollen

u1=x

1² v

1=y

1²



Eingesetzt in (4) ergibt das:

(w1)² = (x

1²)² + (y²)²

→ die entstandene Gleichung ist die gleiche, wie die aus der Anfangsüberlegung, nur mit anderem w,x,y



durch III) und (3)/Folie37 folgt nun

w = u²+v² = (w1²)²+v² > w

1

→ so haben wir aus einer gegebenen Gleichung mit w,x,y eine Lösung w

1,x

1,y

1 bei

der gilt, dass w>w1



→ durch analoges Wiederholen kommen wir zu einem weiteren w

2,x

2,y

2 mit w

1>w

2

→ dieser Vorgang kann endlos wiederholt werden

w>w1>w2>w3>....>wn



→ w ist eine ganze Zahl, also endlich und nur n Möglichkeiten um eine kleinere Zahl zu finden ohne dabei in den negativen Bereich zu kommen

→ es ist aber nicht möglich ein Ende dieser Schleife zu finden, da eine Lösung w

n,x

n,y

n

wieder zu einer Lösung x(n+1)

, x(n+1)

, y(n+1)

führt



→ Mit der Behauptung vom Anfang, dass es eine Ganzzahlige Lösung für

x4+y4=w²

gibt, kommen wir zu einem Widerspruch, also ist die Behauptung falsch.

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!



Literaturverzeichnis

-Rademacher, Toeplitz (1933). Von Zahlen und Figuren. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag

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