Proseminar Biomechanik

Thema: Dynamik der menschlichen Bewegung IITrägheitsmoment, Drehmoment, Drehimpuls

Universität Konstanz, FB Sportwissenschaft

Die folgende Präsentation ist mit geringfügigen Änderungen übernommen aus dem Seminarvortrag des PS Biomechanik aus dem SS 2006 von Julian Gangl

„Bisher haben wir uns mit den dynamischen Begriffen bei Translationen, also geradlinigen Bewegungen, befasst.“= Masse, Kraft & Impuls

„Die dazu analogen Grundbegriffe bei Rotations- bzw. Drehbewegungen sind Thema des heutigen Vortrags!“

Heutiges Thema: die dynamischen Grundbegriffe bei Rotationen

Trägheitsmoment, Drehmoment, Drehimpuls

Aus www.dotnet-magazin.de

Bisherige Erkenntnis:

Bei translatorischen Bewegungen ist der Widerstand, den ein Körper einer Bewegung(sänderung) entgegensetzt, als Trägheit definiert worden. Gemessen wurde durch die Masse m.

Führt ein Körper eine Rotation um eine bestimmte Achse aus, dann setzt er der Erzeugung oder der Veränderung dieser Bewegung einen Widerstand entgegen.

Diesen Widerstand bezeichnet man als Trägheitsmoment (Symbol I).Das Trägheitsmoment ist also die für Rotationen analoge Größe zur Masse bzw. Trägheit bei Translationen.

1. Das Trägheitsmoment (engl.: moment of inertia)

Beispiele für Rotationen aus dem Bereich des Turnens.

I = m · r²Trägheitsmoment Masse mal Rotationsradius

Das Trägheitsmoment ist von der Masse m und dem Abstand r von der Drehachse A abhängig. Die Maßeinheit ist [kg·m²].

Aus Bäumler/ Schneider, Sportmechanik.

Für ein Masseteilchen der Masse m mit dem Abstand r zur Drehachse A ergibt sich somit:

Problem: „Ein Körper besteht aus vielen Masseteilchen!!!“

Lösung: die Trägheitsmomente der einzelnen Teilchen ITeil werden aufsummiertzu IGesamt:

∑= TeilGesamt II2

ii

i rm ⋅Δ= ∑

Δmi besagt, dass es sich um das i-te Massenteilchen mit dem Abstand ri zur Drehachse A handelt

Aus Bäumler/ Schneider, Sportmechanik.

Berechnung des Trägheitsmoments für einfache Körper:

²21

SchSchSch rmI ⋅=

²52

KKK rmI ⋅=

Beispiel 1: Für mSch=2kg und rSch=0.1m ergibt sich:ISch=0.01kg m²

Beispiel 2: Für mK=7kg und rK=0.1m ergibt sich:IK=0.028kg m²

i) Berechnung von I für eine Scheibe(Rotationsachse durch Mittelpunkt und senkrecht auf der Oberseite)

ii) Berechnung von I für eine Kugel(Rotationsachse durch Mittelpunkt)

Aus Bäumler/ Schneider, Sportmechanik.

Aus Bäumler/ Schneider, Sportmechanik.

I„eher groß“:

I„eher klein“:

Veränderung des Trägheitsmoments durch unterschiedliche Körperhaltungam Beispiel „Turmspringen“

Körperteile weit von der Rotationsachseentfernt

Körperteile nahe an der Rotationsachsegelegen

STEINER‘scher Satze: Berechnung von I wenn die Rotationsachse nicht durch den Körperschwerpunkt fällt:

Aus Ballreich/ Baumann, Grundlagen der Biomechanik des Sports.

mdII KSP ⋅+= ²

Das Trägheitsmoment eines Körpers ist abhängig vona) der unterschiedlichen Körperform,b) der Körperhaltung und c) der Lage der Rotationsachse.

Unterschiedliche Körperhaltungen und unterschiedliche Lagen der Rotationsachse:

Aus Bäumler/ Schneider, Sportmechanik.

Merke: Je geringer die Körpermasse ist,je enger die Körperteile an der Rotationsachse liegen und je näher die Rotationsachse am KSP liegt,desto geringer ist der Widerstand = das Trägheitsmoment.

„Wie kommt eine Rotation überhaupt zustande?“

„Durch das Einwirken von Drehmomenten!!“

Die Verallgemeinerung des Trägheitsmoments ist der

Trägheitstensor

• Dies ist eine Größe, die als 3x3-Matrix dargestellt wird.

• Diese Größe ist unabhängig von der aktuellen Richtung der Drehachse durch den KSP.

2. Das Drehmoment (engl.: torque)

Ein drehbarer Körper vollzieht dann eine Rotationsbewegung, wenn der Kraftangriffspunkt nicht mit dem Körperschwerpunkt zusammenfällt.

Es entsteht ein Drehmoment (Symbol T), das dem Körper eine Winkelbeschleunigung erteilt.

Das Drehmoment ist das Produkt aus dem Trägheitsmoment I und der Winkelbeschleunigung α, gemessen in Newtonmeter [Nm] bzw. [kg·m²/s²].

T I α= ⋅ Drehmoment = Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung

Das Drehmoment T ist die für rotierende Körper analoge Größe zur Kraft F bei Translationen.Die Größe des Drehmoments lässt sich somit auch berechnen aus:

T = r · F

Das Drehmoment ist somit das Produkt der Kraft F und dem senk-rechten Abstand r ihrer Wirkungslinie von der Drehachse.

r wird auch als Hebelarm bezeichnet.

Streng genommen ist das Drehmoment eine vektorielle Größe, die sich aus dem Vektorprodukt des Abstandsvektors mit dem Kraftvektor ergibt:

Beschränkt man sich aber auf senkrecht angreifende Kräfte, so kann man die oben angeführte einfachere Formel benutzen.

T r F= ×

Aus Baumann, Grundlagen der Biomechanik.

Fr ⊥

Das Drehmoment in der Form T = r · F ist entscheidend für das Verständnis des sogenannten Hebelgesetzes.

Hebel = eine um eine Achse drehbare Stange, an der zwei oder mehrere Kräfte wirken.

Zweiseitiger Hebel im Gleichgewicht (eigene Grafik)

Wenn gilt: F1 · r1 = F2 · r2 ,dann befindet sich der Hebel im Gleich-gewicht.

(Wippe als Beispiel für einen zweiseitigen Hebel)

Das Hebelgesetz lautet somit: Last mal Lastarm = Kraft mal Kraftarm

und umgeformt: Last = Kraft · (Kraftarm : Lastarm)

(Praktische Anwendung des Hebelgesetzes)

In der Praxis:

Je größer das Verhältnis von Kraftarm und Lastarm ist, desto geringer die benötigte Kraft, um am Kraftarm zu ziehen bzw. zu drücken.

Auch in des sportlichen Praxis haben wir es mit Hebeln zu tun: z.B. beim Rudern

An einem Ruder wirken auf der einen Seite die Muskelkraft, auf der anderen Seite die Kraft des Ruderblatts. Die Drehachse befindet sich in der Dolle.

a) Die Kräfte F1 an den Ruderblättern wirken parallel zum Boot. Also ist auch die Triebkraft des Bootes 2 mal F1. Die Kraftausübung ist optimal.

b) Die Kräfte F1 wirken nun nicht mehr parallel. Es entstehen Vektorparallelogramme und somit die Kräfte F2 und F3 auf beiden Seiten.Die Kräfte F2 wirken nun parallel, die Triebkraft ist 2 mal F2. Die beiden F3 heben sich dagegen auf.

Wann ist beim Rudern die Kraftausübung optimal?

3. Drehimpuls (engl.: angular momentum) -Drehimpulserhaltungssatz

Der Drehimpuls (Symbol L) beschreibt den Bewegungszustand eines Körpers bei rotatorischen Bewegungen.(Wie der Impuls p bei translatorischen Bewegungen.)

ω⋅= IL Drehimpuls = Trägheitsmoment mal Winkelgeschwindigkeit

Der Drehimpuls berechnet sich als Produkt von Trägheitsmoment I und Winkelgeschwindigkeit ω und wird in [kg·m²/s] gemessen:

Man stelle sich den Drehimpuls als Pfeil vor, dessen Richtung die Drehachse angibt und dessen Länge den Schwung darstellt.

Mathematisch betrachtet erhält man somit den Drehimpulsvektor : L

Die Richtung des Drehimpulsvektors stimmt bei Drehung um eine feste Achse mit der Richtung des Winkelgeschwindigkeitsvektors und mit der Richtung der Drehachse überein.

Aus Bäumler/ Schneider, Sportmechanik.

Zur Veranschaulichung:Die gekrümmten Finger zeigen dieRichtung der Drehung,der Daumen die Richtung des Dreh-Impulses.

Aus www.wikipedia.de

„Wenn keine äußeren Drehmomente angreifen, bleibt der gesamte Drehimpuls zeitlich konstant.“

(Bäumler/ Schneider, S. 76)

Angenommen es greifen keine Drehmomente von außen an, so verändern sich weder Betrag noch Richtung des Drehimpulses, der Drehimpuls bleibt also erhalten.

Der Drehimpulserhaltungssatz lautet:

(Der Drehimpulserhaltungssatz gilt streng genommen nur in einem „abgeschlossenen System“, in dem zwischen einem Körper und seiner Umwelt keine Wechselbeziehungen stattfinden.)

„Wie kommt es, dass eine Frisbeescheibe, der ein Drehimpuls erteilt wird, eine gleichmäßige Flugbahn vollzieht?“

Eines der gängigsten Beispiele für die Nutzung des Drehimpulserhaltungssatzes ist die Pirouettenbewegung beim Eiskunstlauf.

Legt der Eiskunstläufer während der Pirouette die zuvor ausgestreckten Arme eng an den Körper, so verkleinert er sein Trägheitsmoment I und erhöht im selben Ausmaß seine Winkel- bzw. Drehgeschwindigkeit ω. Die Drehung wird somit beschleunigt.

Aus Ballreich/ Baumann, Grundlagen der Biomechanik des Sports.

I großω klein

I kleinω groß

Der Drehimpuls L hängt sowohl vom Trägheitsmoment I als auch von der Winkelgeschwindigkeit ω ab (L = I · ω). Bleibt nun L stets konstant, so muss ,wenn I sich verkleinert, ω im gleichen Maßegrößer werden und andersrum.

Weitere Beispiele für die Nutzung des Drehimpulserhaltungssatzes im Sport:

-Sprünge im Turnen (Salti), Turmspringen, Ballett, Kampfsport...-Diskuswerfen (beim Abwurf wird dem Diskus ein Eigendrehimpuls erteilt,bei optimaler Ausführung behält der Diskus eine stabile Lage in der Luft)

Fazit: „die Drehgeschwindigkeit ist steuerbar!!“

-Videobeispiele-

Literatur

Bäumler G., Schneider K.: Sportmechanik. Grundlagen für Studium und Praxis. München 1981.

Ballreich R., Baumann W.: Grundlagen der Biomechanik des Sports.Probleme, Methoden, Modelle. Stuttgart 1996.

Baumann W.: Grundlagen der Biomechanik. Schorndorf 1989.

Baumann H., Reim H.: Bewegungslehre. Frankfurt am Main 1989.

http://www.wikipedia.de (letzter Zugriff am 19.06.2006)

Activity 06

ActivityWir messen die Zeit T für eine Umdrehung um die Körperlängsachse auf einem Drehstuhl:

ATA

A Tπω 2

=

ETE

E Tπω 2

=

AT ′A

A T ′=′ πω 2

ET ′E

E T ′=′ πω 2

aus folgt

aus folgt

aus folgt

aus folgt

AT

ETAT ′

ET ′= Zeit, wenn Arme gestreckt

= Zeit, wenn Arme gebeugt

= Zeit, wenn Arme gestreckt mit Gewichten

= Zeit, wenn Arme gebeugt mit Gewichten

Wir erhalten somit die jeweiligen Winkelgeschwindigkeiten ω.

Aufgrund des Drehimpulserhaltungssatzes muss gelten:

EA LL =

und damit auch:

EEAA II ωω ⋅=⋅

Durch weitere Umformungen lässt sich das Trägheitsmoment IA bestimmen:

E

AE

A

EEA T

TIII ⋅=⋅=ωω

EEAA mhImdI ωω ′⋅⋅+=′⋅⋅+ )²()²((es gilt h = 0)

EA LL ′=′

und damit auch aufgrund des Steiner‘schenSatzes: