Prof. Dr. J. Rossbach Inst. f. Experimentalphysik

Notizen zur Vorlesung Physik II – WS 2006/07 Empfohlene Literatur (mit Kürzel): Grundsätzliches: Es gibt gute oder schlechte Bücher, aber es gibt nicht DAS beste Lehrbuch. Was einem am besten nützt, hängt nicht nur vom persönlichen Geschmack ab (Aufmachung, Illustration) und von der bevorzugten Methode, sich Dinge klarzumachen (theoretisch vs. experimentell/ phänomenologisch), sondern auch vom Kenntnisstand und von der Erfahrung. Es kann durchaus sein, dass Sie in 4 Jahres ein anderes Lehrbuch besser finden als Ihr heutiges Lieblingsbuch. Trotzdem lohnt die Anschaffung, zumal die Experimentalphysik nicht (so schnell) veraltet und Sie die Grundlagen der Physik immer wieder nachschlagen werden – und zwar am liebsten in dem Buch, aus dem Sie sie gelernt haben. [Gia] D.C. Giancoli: Physik, Pearson Studium, 3. Auflage (2006). Preis ca. 70 € Kommentar: Dies wird über weite Strecken unsere Referenz sein. Instruktive Darstellung, moderne Beispiele, übersichtlich gegliedert, amerikanischer Standard. Die „ganze Physik“ konsistent in einem Buch dargestellt. Viele Abbildungen im Skript stammen aus [Gia], mit freundlicher Erlaubnis des Verlages. [You] Young, Friedman: University Physics with Modern Physics, 11th Edition, ca. 80 € Kommentar: An mehreren Stellen gründlicher und klarer als [Gia], aber insgesamt auch anspruchsvoller. Für Physiker eigentlich das bessere Buch – aber leider auf Englisch und noch teurer. [Krö] : R. Kröger/R. Unbehauen: Elektrodynamik Kommentar: Präzise, physikalisch klar und hinreichend gründlich, sauber dargestellt, mit Hinweisen zur Technik und Numerik. Sehr gut für Physiker und Ingenieure, die etwas verstehen und dann auch ausrechnen müssen. [Ser] Serway/Beichner: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, Saunders College Publishing Kommentar: Vergleichbar mit [Gia], aber auf englisch. Sauber und instruktiv gemacht, aber inhaltlich noch etwas „dünner“; Physiker werden bald drauf kommen, dass ihnen etwas fehlt. Trotzdem sehr empfehlenswert. [Dem] W. Demtröder: Experimentalphysik 2, Springer Verlag Kommentar: Klassisches deutsches Lehrbuch mit allen Vor- und Nachteilen. [Jac] W.D . Jackson: Klassische Elektrodynamik, de Gruyter Verlag Kommentar: DER Klassiker für die Theorie der Elektrodynamik. Wenig Illustrationen und kaum Bezug zum Experiment. Für diejenigen, die es nun wirklich genau wissen wollen. [Feyn] R. Feynman: Lectures on Physics, Bd. II, Addison Wesley Kommentar: Wunderschön und intellektuell brillant. Feynman „mischt“ die Themen gerne, um die Querverbindungen zu zeigen. Sehr zu empfehlen, wenn man „den ersten Durchgang“ hinter sich hat und die Zusammenhänge verstehen will. Hilft einem aber kaum, wenn man eine konkrete Aufgabe zu lösen hat (sofern man nicht so schlau ist wie Feynman). Besser auf Englisch kaufen! [BS] Bergmann/Schäfer: Experimentalphysik Band 2, de Gruyter Verlag Kommentar: Hier steht alles nun wirklich genau erklärt drin. Didaktik ist nicht der Hauptanspruch, sondern Vollständigkeit und Detail. Schon wegen der Menge der Details nicht sonderlich übersichtlich und als Lehrbuch ungeeignet. Klasse zum Nachschlagen.

1

Elektrostatik Elektrizität war schon in der Antike bekannt: elektron (griech.) = Bernstein Trotzdem beschränkte sich die Untersuchung und technische Anwendung der Physik bis zum 19. Jahrhundert auf mechanische Phänomene und die Gravitation. Wir wissen heute, dass die elektrische Kraft letztlich eine viel wichtigere Rolle als die Gravitation für unser Leben spielt: Atome und Moleküle werden durch elektrische Kräfte zusammengehalten, so dass alle Eigenschaften der Festkörper und Flüssigkeiten sowie die chemischen und biologischen Prozesse durch elektrische Kräfte bestimmt sind. Außerdem: Licht und Wärmestrahlung. Wenn dem so ist: Warum stolpern wir dann nicht permanent über makroskopische elektrische Erscheinungen? Das werden wir sehr schnell verstehen! Heutige Sichtweise: Die stabile Materie besteht aus u-Quarks, d-Quarks und Elektronen. Das Elektron hat die elektrische Elementarladung 1= −eq e , mit:

191 e 1 60217733 10 C. −= ⋅ 1 C = 1 Coulomb, Ladungseinheit im MKSA-System. Im Internationalen SI-System gibt es vier Einheiten: Zeit: Sekunde s Länge: Meter m Masse: Kilogramm kg Elektrische Stromstärke Ampere A 1 C = 1 A⋅s Quarks können immer nur zusammengesetzt auftreten, und zwar in der stabilen Materie in Form von Protonen und Neutronen, die jeweils 3 Quarks besitzen:

2 2 13 3 3

2 1 13 3 3

QuarksProton: =1Elementarladung:

QuarksNeutron:

0Elementarladung:

u u d

u d d+ + −

+ − − =

27pm 1 673 10 kg. −= ⋅

27nm 1 675 10 kg. −= ⋅

31em 9 1 10 k. −= ⋅ g

Jede in der Natur auftretende freie Ladung ist ein ganzzahliges Vielfaches von e, d.h. die Ladung ist quantisiert. Zuerst festgestellt durch Millikan.

2

[Gia]

Atome bestehen aus einem elektrisch positiv geladenen Kern, an den durch elektrische Anziehungskraft eine Hülle von (negativ geladenen) Elektronen gebunden sind. Auch die Atomkerne, die eigentlich ein unübersichtliches Konglomerat von Quarks darstellen, kann man sich in guter Näherung aus Protonen und Neutronen zusammengesetzt vorstellen. Normalerweise: genauso viele Protonen wie Elektronen Atome sind i.a. elektrisch neutral. Atome können aber durchaus auch Elektronen verlieren oder hinzubekommen. Dann sind sie elektrisch geladen und werden „Ionen“ genannt. Einige historische Schlüsselexperimente zur elektrischen Kraft: Hartgummi mit Katzenfell reiben: negative Ladung „entsteht“ auf dem Hartgummi. Glas mit Seide reiben: positive Ladung „entsteht“ auf dem Glasstab. Viele ähnliche Experimente mit verschiedenen Stoffpaaren. Resultat: 1. Es gibt (genau) zwei unterschiedliche „Ladungssorten“. Die Bezeichung „positiv“ und „negativ“ stammt von Lichtenberg (1777) und ist rein willkürlich, allerdings insofern sinnvoll als sich gezeigt hat: 2. Ladungen sind additiv. Gesamtladung = Summe der positiven und negativen Ladungen. 3. Es gibt Kräfte zwischen den Ladungen:

[Gia] Gleichartige Ladungen (d.h.: Ladungen mit gleichem Vorzeichen) stoßen sich ab, ungleiche ziehen sich an. Genauere Messung: Bei den o.a. Experimenten mit Katzenfell auf Hartgummi etc. „entsteht“ keine Ladung, sondern Ladungen werden getrennt. Es gilt das Erhaltungsgesetz der elektrischen Ladung: 4. Die Gesamtmenge der in einem Prozess erzeugten Ladung ist null. Dieser Satz gilt ausnahmslos und ist ebenso fundamental wie der z.B. der Energie- oder der Impulssatz. 5. Es gibt Stoffe, auf denen können sich Ladungen frei bewegen („Leiter“ – vor allem alle Metalle) und andere Stoffe („Nichtleiter“), bei denen Ladungen ortsfest bleiben. Beim Bau von elektrischen (Mess)geräten sind diese Eigenschaften besonders wichtig, z.B. Elektrometer: Ladung wird oben abgestreift und fließt in zwei leichte Metallblättchen, die sich dann abstoßen. Bei Metallen beobachtet man den Effekt der Influenz: Bei Annäherung einer Ladung an ein Metall (ohne Berührung!) werden im Metall die Ladungen getrennt: Die gleichnamigen Ladungen entfernen sich, der metallische Körper wird angezogen (obwohl er als Ganzes neutral bleibt!).

[Gia] 3

Anmerkung zur Erklärung dessen, was beim o.a. Reiben geschieht: Viele Stoffe unterscheiden sich in ihrem Vermögen, Elektronen aufzunehmen oder abzugeben. Wenn zwei solche unterschiedlichen Stoffe in engen Kontakt gebracht werden, werden Elektronen vom einen auf den anderen übergehen. Da es sich dabei um (nur quantenmechanisch zu verstehende) atomare Prozesse handelt, bedeutet „eng“ einen Abstand kleiner als Atomdurchmesser. Wenn die Stoffe nach dem Elektronen-Übergang wieder getrennt werden, können die Elektronen nicht mehr zurück, weil Luft ein schlechter Leiter ist. Die Ladungstrennung ist also ein reiner Oberflächeneffekt. Die Bewegung des Reibens hat einzig den Zweck, diesen kleinen Abstand an möglichst vielen Stellen herzustellen. Anschauliche Analogie: Zwei Schiffe A und B mit jeweils gleichviel Männern und Frauen begegnen sich auf hoher See. Aus irgendeinem Grunde sei es nun so, dass die Frauen auf dem Schiff A wesentlich stärker an Männern interessiert sind als die auf dem Schiff B. Das hat zunächst keine Auswirkung, aber als sich die beiden Schiffe so nahe kommen, dass die Frauen übersteigen können, werden etliche Damen von A nach B wechseln, womit die Männer auf B durchaus einverstanden sind. Wenn die Schiffe jetzt wieder getrennt werden, können die Damen nicht wieder zurück (Wasser=Nichtleiter), auch wenn nach der Trennung der Frauenüberschuss zum Problem wird und mit zunehmendem Abstand die Sehnsucht (= elektrische Spannung) nach den alten, ausgeglichenen Verhältnissen zunimmt. Wenn das Schiff Land (=Leiter) erreicht, geschieht folgendes: Die im Hafen anwesenden Damen werden angesichts des sich nähernden Frauenüberschusses ihr Recht auf freie Ortswahl (Metall!) nutzen und sich sofort ins Hinterland zurückziehen (= Influenz). Der entstehende Frauenmangel im Hafen wird von den eintreffenden Damen ausgeglichen. Das Coulomb’sche-Gesetz Charles Coulomb (1736-1806) hat die Kraft zwischen zwei elektrischen (punktförmigen) Ladungen und quantitativ untersucht. Ergebnis: 1Q 2Q

Das Coulomb’sche Gesetz: 1 22 r

Q QF k er⋅

=

Hier ist r der Abstand zwischen den Ladungen und re ist der Einheitsvektor in Richtung der Verbindungslinie zwischen den Ladungen. k ist eine positive Proportionalitätskonstante. Man könnte im Prinzip die Ladungseinheit so wählen, dass k = 1 wird. Ein solches Einheitensystem war (und ist) tatsächlich im Gebrauch: das cgs-System. Es ist aber für technische Anwendungen

unpraktisch. Im SI-System (Ladungseinheit: Coulomb, s.o.) gilt 0

14

k =πε

, wo

2 712

0 2 2

C 10 C8 854 10N m 4 N s

.c

−ε = ⋅ =⋅ π ⋅ ⋅

2

2 die „elektrische Feldkonstante“ oder

„Dielektrizitätskonstante“ ist.

Und damit also: 1 22

0

14 r

Q QF er⋅

= ⋅πε

Hinsichtlich der Kraftrichtung ist es wichtig, welche der beiden Ladungen man als diejenige ansieht, die die Kraftwirkung verursacht (z.B. ) und welche diejenige ist (z.B. ), von der wir wissen wollen, wie groß die auf sie einwirkende Kraft ist.

2Q

1Q

4

Wenn die Ladungen gleiche Vorzeichen haben, ist 1Q Q2⋅ positiv und die Kraft auf zeigt von weg. Natürlich kann man die Rollen auch ver- 1Q 2Qtauschen, aber dann dreht sich wegen „actio = reactio“ die Kraftrichtung um.

[Gia]

Vergleich zwischen der elektrischen Kraft und der Gravitation zwischen Elektron und Proton:

2p e

Grav

m mF G

r= (

211

2

N×m6 67 10kg

.G −= ⋅ )

2

20

14el

eFr

=πε

4010el GravF F≈ ⋅ !!!

Die elektrische Kraft ist also viel!! stärker als die Gravitationskraft. Warum sind dann die elektrischen Kräfte im Alltag nicht viel sichtbarer? Antwort: Weil es positive und negative elektrische Ladungen gibt! Dadurch können sich elektrische Ladungen in ihrer Wirkung gegenseitig weitgehend „neutralisieren“, und das ist bei der Gravitation nicht möglich. Nur auf atomarer Skala sind die Objekte nicht elektrisch neutral, und dort dominieren die elektrischen Kräfte auch bei weitem. Wenn ausnahmsweise mal makroskopische Objekte elektrisch geladen sind, dominieren die el. Kräfte in der Tat, s. Blitz. Man beachte, dass Gravitation und Coulombkraft die gleiche mathematische Struktur besitzen ( 21 r ). Dass der Exponent nicht von 2 abweicht, ist beim Coulombgesetz auf experimentell geprüft. 1610−

Wie misst man das so genau? Z.B. durch eine Nullmessung: WENN 21F r∝ gilt, muss die Kraft innerhalb einer geladenen, metallischen Hohlkugel null sein (s. später). Das kann man sehr genau prüfen. Superposition Sind verschiedene Ladungen vorhanden, gilt das Prinzip der Superposition: Die Kräfte der verschiedenen Ladungen auf eine der Ladungen ist die Vektorsumme der Kräfte aller übrigen Ladungen. Beispiel: N im Raum verteilte Ladungen (wo i die Ladungen von 1 bis N bezeichnen). Die Kraft der anderen Ladungen auf Ladung :

iQ

1Q

1

112

20 14,,

Ni

tot Q r ii i

QQFr=

= ⋅πε ∑ ,e (1)

Wenn die Orte aller Ladungen bekannt sind, ist damit im Prinzip alles gesagt. Der Rest der Elektrostatik betrifft nur noch zwei Dinge:

• Verfahren, diese Kräfte zu berechnen und sie sich zu veranschaulichen. • Diejenigen Fälle, bei denen die Verteilung der Ladungen unbekannt ist und

sich aus gewissen Materialeigenschaften ergibt (z.B. hohe Leitfähigkeit).

5

Quick Quiz: 1. Angenommen, Q1=100⋅Q2 . Welche Kraft ist größer: Die auf Q1 wirkende oder die auf Q2 wirkende? Antwort: Beide Kräfte sind betragsmäßig gleich, aber entgegengesetzt gerichtet. 2. Wir wissen, dass Objekt B positiv geladen ist und beobachten, dass Objekt A von Objekt B angezogen wird. Was können wir über A sagen: a) Es ist positiv geladen? b) Es ist negativ geladen? c) Es ist elektrisch neutral? d) Wir haben nicht genug Information zur Beantwortung. Antwort: d)(Es könnte auch Influenz sein!) Das elektrische Feld Wie man aus Gl. (1) erkennt, ist die Kraft, die eine Ladung durch irgendeine gegebene räumliche Anordnung vieler anderer Ladungen erfährt, immer proportional zu . Es macht also Sinn, die Vorstellung zu haben, dass durch diese Ladungen überall im Raum eine Eigenschaft entsteht, die unabhängig vom Vorhandensein der Ladung existiert. Diese Eigenschaft wird „elektrisches Kraftfeld“ oder einfach „elektrisches Feld“ genannt. Es wird definiert als Kraft auf eine infinitesimal kleine positive Testladung q am betrachteten Ort

1Q

1Q

1Q

r , dividiert durch diese Ladung:

Elektrische Feld: 0

( )( ) limq

F rE rq→

= Einheit: N VC m= (2)

Es ist ein Vektorfeld, d.h. es wird an jedem Punkt im Raum durch einen Vektor beschrieben. Die Bedingung soll sicherstellen, dass die Feldverteilung nicht durch die Anwesenheit der Testladung gestört wird.

0q →

Wenn also das elektrische Feld ( )E r vorliegt, dann ist die elektrische Kraft, die auf eine Ladung Q wirkt, gegeben durch

( ) ( )F r Q E r= ⋅ Bemerkung: Die Frage, ob das elektrische Feld auch ohne Anwesenheit der Testladung existiert, könnte man als rein philosophisch abtun (ähnlich wie die Frage, ob unsere Umgebung existiert, wenn wir die Augen schließen). Es gibt aber Beobachtungen, die beweisen, dass das elektrische Feld tatsächliche existiert, auch wenn wir seine Kraftwirkung nicht durch eine Testladung unmittelbar messen: Um das Feld zu erzeugen, muss nämlich Energie aufgewendet werden!

6

Beispiel: elektrisches Feld einer Punktladung Q am Ort r = 0:

2 20 0

1 1 14 4

( ) r rF q QE r e eq q r r

⋅= = ⋅ = ⋅

πε πεQ

Entsprechend der Definition (2) zeigt also das Feld einer positiven Punktladung von dieser Ladung weg (a). Die Kraftwirkung auf

[Gia] eine positive Ladung ist entsprechend abstoßend. Analog zur Superposition der elektrischen Kräfte, werden auch die elektrischen Felder vieler, im Raum verteilter Ladungen vektoriell addiert. Das gesamte Feld, das durch die Ladungen erzeugt wird, die sich an den Orten befinden, beträgt also am Ort

iq

ir r :

20

14

( ) ( )( )

ii

i i i i

qE r E rr r r r

ir r−= = ⋅ ⋅

πε − −∑ ∑ (3)

Hierbei bezeichnet der Ausdruck i

i

r rr r−−

den Einheitsvektor zwischen der

Probeladung am Ort r („Aufpunkt“ genannt) und der Ladung am Ort iq ir .

E1 E2+

Beispiel für ein Vektorfeld

Feldlinien Wie kann man ein Vektorfeld veranschaulichen? Ein Weg besteht darin, an regelmäßigen angeordneten Raumpunkten Vektorpfeile zu zeichnen, deren Länge proportional zum Betrag des Vektors an der betreffenden Stelle ist. Dies kann u.U. sehr unübersichtlich werden. Alternative: Die Richtung (nicht die Stärke!) des Feldes wird durch Feldlinien exemplarisch veranschaulicht. Exemplarisch heißt, dass die gewählten Orte der Feldlinien relativ willkürlich gewählt werden, aber so, dass man ein hinreichend klares Bild von den Feldrichtungen im Raum bekommt. • Eine Feldlinie ist so definiert, dass die Tangente an jeder Stelle der Feldlinie in

Richtung des dortigen Feldes zeigt. • Bei statischen (zeitunabhängigen) elektrischen Feldern haben die Feldlinien stets

einen Anfang (positive Ladung, Quelle, und ein Ende (negative Ladung, Senke). Achtung: Bei zeitabhängigen Feldern können die Feldlinien sehr wohl geschlossene Kurven

bilden! • Die Stärke des elektrischen Feldes ergibt sich aus der Anzahl der Linien durch

eine Einheitsfläche senkrecht zu den Linien, d.h. aus der Liniendichte. Je enger die Linien beieinander liegen, desto stärker das Feld.

Achtung: Dass diese Interpretation möglich ist, ist letztlich eine Folge des Gauß’schen Satzes (s.u.), d.h. in 3D der 21 -Abhängigkeit des Feldes, wie man sich mit dem Feld einer

Punktladung klar machen kann: Da die Oberfläche einer Kugel um die Punktladung mit

r2r

7

wächst, sinkt die Dichte einer konstanten Zahl von Feldlinien mit 21 r , also genauso wie die Feldstärke.

• Feldlinien kreuzen sich niemals. Wenn sie sich kreuzen würden, wäre die Richtung der Feldstärke an der Stelle der Kreuzung nicht definiert, im Widerspruch zur eindeutigen Berechnung nach Gl. (3).

Quick Quiz: Eine Probeladung von 3 nC befindet sich am Punkt P, wo das elektrische Feld nach rechts gerichtet ist und 6 N

C4 10⋅ beträgt. Wie ändert sich das Feld, wenn die Probeladung durch -3 nC ersetzt wird? [Gia] Einige Spezialfälle: homogenes Feld: Betrag und Richtung von E sind konstant (s. Fig. (d)) Inhomogenes Feld: Betrag und Richtung sind ortsabhängig (Fig. (a) – (c)) Beispiele für Anwendungen

(mit typischer Feldstärke in N VC m

= ):

Leuchtstoffröhre: 10 Atmosphäre (gutes Wetter) 100 Luftballon, auf Haar gerieben 1000 Atmosphäre (unter Gewitter) 10 000 Photokopierer 100 000 Feld der Wasserstoffkerns im Bereich des Elektrons 115 10⋅ Berechnung des Feldes einer kontinuierlichen Ladungsverteilung: Obwohl die Ladung quantisiert ist, kann/muss man oft annehmen, dass die Gesamtladung irgendwie im Raum „verschmiert“ vorliegt, d.h. man definiert eine ortsabhängige Ladungsdichte ( )rρ :

( ) dQrdV

ρ =

Zur Berechnung des elektrischen Feldes dieser Ladungsverteilung geht die Summe in Gl. (3) in ein Integral über den Raum V über:

20

14 V

r r rE r dE r dVr r r r

′ ′ρ −′ ′= = ⋅′ ′πε − −∫ ∫∫∫

( )( ) ( )( )

(4)

Hierbei bezeichnet der Ausdruck r rr r

′−′−

den Einheitsvektor zwischen dem Ort der

Probeladung („Aufpunkt“ genannt) und dem Volumenelement r dV ′ .

8

Beispiele: 1. Homogen geladene Scheibe mit Radius R: Hierbei handelt es sich um eine zweidimensionale Ladungsverteilung, man definiert also am besten eine Flächenladungsdichte σ , die nicht ortsabhängig ist („homogen“) so dass Gl. (4) lautet:

20

14 A

r rE r dAr r r r

′σ − ′= ⋅′ ′πε − −∫( )

( ) (5)

[Gia]

Die Integration geht über die Fläche A der gesamten Scheibe. Zur Vereinfachung wollen wir uns nur für die Feldstärke auf der Symmetrieachse z interessieren, wir können also durch ersetzen. Dort sind aus Symmetriegründen die Vektorkomponenten senkrecht zur z-Achse Null, das Feld hat also nur eine z-Komponente. Aus Gl. (5) wird (in Zylinderkoordinaten):

r zz e′⋅

( )

( ) ( ) ( )3 3

2 2 2 2 2 20 0 02 2

2 2 2 20 00

24 4 4

1 12 2

z z zz

A A A

R

zz

r r z e z e rE z dA r dr d drz r z r z r

z e z ez r z R

32

′− ′⋅ σ ⋅ ⋅σ σ π′ ′ ′= ⋅ = ⋅ ϕ = ⋅πε πε πε′ ′+ + +

⎡ ⎤ ⎛ ⎞σ ⋅ ⋅ σ= ⋅ − = ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥ε ε′+ +⎣ ⎦ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫( ) ⋅ ′ =′

Wenn der Scheibenradius viel größer als der Abstand der Aufpunktes z von der Scheibe ist ( ), dann ist der zweite Term vernachlässigbar, und wir erhalten das einfache Ergebnis:

R →∞

Unbegrenzte Ebene: 02 zE z σ

≈ ⋅ε

( ) e . (6)

Das Feld in der Nähe einer homogen geladenen Ebene ist also vom Ort unabhängig (homogen) und zeigt von der Ebene weg, wenn die Ladung positiv ist.

[Gia]

2. Parallele Platten: Mit diesem Ergebnis kann man sehr leicht das Feld zwischen zwei großen, entgegen- gesetzt geladenen parallelen Platten berechnen: Die Feldbeiträge der einzelnen Platten addieren sich im Inneren und heben sich im Äußeren auf:

parallele Platten, innen0

zE z eσ= ⋅ε

( ) (7)

3. Homogen geladene Kugelschale (Gesamtladung Q): Für eine homogen geladene Kugelschale (Rechnung etwas länger) ergibt sich das wichtige Ergebnis, dass das Feld innerhalb der Kugelschale Null ist und das Feld außerhalb identisch ist mit dem Feld einer Punktladung Q. Ein analoges Ergebnis kannten wir schon vom Gravitationsfeld!

9

4. Elektrischer Dipol Eine Anordnung mit zwei entgegengesetzt gleichen Ladungen Q in einem festen Abstand l voneinander spielt eine große Rolle in der Physik/Chemie und verdient daher eine etwas genauere Untersuchung. Der Vektor p Q l= ⋅ wird elektrisches Dipolmoment genannt, wobei

l der Vektor von der negativen zur positiven Ladung ist. a) Kraft auf einen Dipol im homogenen äußeren Feld. Wir fragen uns zunächst, wie die gesamte Kraft aussieht, die auf den Dipol wirkt, wenn er sich in einem homogenen äußeren elektrischen Feld befindet. Die Nettokraft auf den Massenschwerpunkt S ist die Vektorsumme aller äußeren Kräfte, also Null. Hierbei ist zu beachten, dass die Massen der Ladungsträger durchaus unterschiedliche sein können, selbst wenn die Ladungen (betragsmäßig) gleich sind. Der Massenschwerpunkt S befindet sich dann nicht (wie der Punkt O im Bild) in der Mitte zwischen den Ladungen, sondern irgendwo auf der Verbindungslinie, beispielsweise im Abstand a l⋅ von der Ladung Q+ (mit ). Das entstehende Drehmoment

1a <τ bezogen auf S beträgt:

( ) ( )( ) 1a l Q E a l Q E l Q E p Eτ = + ⋅ × ⋅ + − ⋅ × − ⋅ = × ⋅ = × . (8) Es hängt offenbar nicht von der Verteilung der Massen, sondern nur von der Ladungsverteilung ab! Das Drehmoment versucht, den Dipol parallel zu E auszurichten: Dann ist . 0p E× = Die Arbeit, die das elektrische Feld verrichtet, um den Dipol um den Winkel θ zu drehen, ist W dτ θΔ = . Im selben Maße verringert sich die potentielle Energie des

Dipols: 2

1

2 1sin (cos cos )U d pE d pEθ

θ

τ θ θ θ θΔ = − = − = −∫ θ

Wenn wir U=0 für den Fall 1 90θ = ° setzen, dann gilt

U p E= − ⋅ (potentielle Energie eines Dipols) (9) Achtung: Wenn das Feld inhomogen ist, dann kompensieren sich die Kräfte auf und im Allgemeinen nicht, und es kann durchaus eine resultierende Nettokraft auf den Dipol wirken! Es ist

Q+Q−

diese Kraft auf die molekularen Dipole im Papier, durch die Papierschnipsel von einem elektrisch geladenen Plastikkamm angezogen werden. b) Elektrische Feldstärke eines Dipols Das elektrische Feld, das durch einen Dipol erzeugt wird, kann im Prinzip direkt aus dem Coulomb-Feld berechnet werden. In einer Entfernung, die groß gegen l ist („Fernfeld“), kann es dargestellt werden durch

50

1( ) 34 3

p r pE r rr rπε⋅⎧= ⋅⎨

⎩ ⎭⎫− ⎬ . (10) Elektrisches Feld

eines Dipols

10

Wenn θ den Winkel zwischen der Beobachtungsrichtung und dem Dipolvektor bezeichnet, dann kann man die Feldkomponente in Beobachtungsrichtung und die

Komponente senkrecht zur Beobachtungsrichtung rE

E⊥ folgendermaßen ausdrücken:

30 0

1 2 cos 1 sin( , ) ; ( , )4 4r

pE r E rr r3

pθ θθ θπε πε⊥

⋅= =

⋅ (11)

Daraus sieht man noch leichter als aus Gl. (8), dass das Feld nicht wie das

Coulombfeld mit 2

1r

, sondern mit 3

1r

abnimmt. Das ist nicht unbedingt

verwunderlich, denn mit zunehmendem Abstand wird es immer bedeutsamer, dass die Ladungen dicht beieinander liegen und sich gegenseitig neutralisieren. Bemerkung: In Analogie zur Taylorentwickung kann man sich das Feld einer beliebigen Ladungsanordnung vorstellen als zusammengesetzt aus dem Beitrag der Gesamtladung (bei obigem Dipol: Null), dem Beitrag des Dipolmoments und weiteren Beiträgen höherer Momente (Quadrupol,…). Diese „Multipol-Entwicklung“ wird in der Theoretischen Physik näher behandelt. Dipolmoment einer Ladungsverteilung: Mehrere Ladungen an den Orten 1 2, nQ Q Q… 1 2, nr r r… bilden ein Gesamt-

Diplomoment 1 1 2 21

n

n n i ii

p Q r Q r Q r Q r=

= + + =∑… . Man beachte, dass in dieser

Schreibweise der Koordinatenursprung beliebig ist, sich dort also keine Ladung befinden muss. Da die Gln. (8-11) linear in p sind, gelten sie unverändert weiter! Polare Moleküle und induzierte Dipole; Dielektrika In vielen Molekülen besitzen die Elektronen auf einer bestimmten Seite des Moleküls eine erhöhte Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Moleküle mit einer solchen ungleichen Ladungsverteilung werden polare Moleküle genannt. Ein prominentes Beispiel ist das Wassermolekül, dessen Dipolmoment 6. 30

Dipolmoment eines Wassermoleküls [Gia]

1 10 C m− ⋅ beträgt. ⋅ Es gibt aber auch andere Stoffe, deren Moleküle erst in Gegenwart eines externen Feldes ein Dipolmoment entwickeln, weil sich die Elektronen etwas gegenüber den Kernen verlagern, wenn ein Feld vorliegt. Dies wird ein induziertes Dipolmoment genannt – es ist im Prinzip das mikroskopische Analogon zur elektrischen Induktion in einem elektrisch neutralen Leiter. Egal ob polar oder induziert, in diesen Stoffen orientieren sich die Moleküle gemäß Gl. (8) mit ihrem Dipolmoment in Richtung eines angelegten Feldes und ändern dabei häufig ihre makroskopischen Eigenschaften, zum Beispiel ihr optisches Verhalten. Solche Stoffe werden Dielektrika genannt.

11

Bewegung eines Elektrons im elektrischen Feld: Um zu verstehen, wie sich eine Ladung mit der Masse m in einem beliebigen

elektrischen Feld 1Q

E r( ) bewegt, ist nicht mehr zu tun, als die klassische

Bewegungsgleichung 2

12

( ) ( ) ( )d r tm F r Q Edt

⋅ = = ⋅ r (12)

nach aufzulösen. Das Besondere im Vergleich zur Mechanik ist im Wesentlichen, dass kleine, elektrisch geladene Teilchen wie Elektronen oder Ionen in technisch leicht herstellbaren elektrischen Feldern auf Geschwindigkeiten

( )r t

8 ms10>

beschleunigt werden können, also in die Nähe der Lichtgeschwindigkeit. Zwei besonders prominente Beispiele: a) die Kathodenstrahlröhre (oder „Braun’sche Röhre“) Bem.: Beim Oszilloskop und bei der Fernsehrröhre befindet sich zwischen den gezeigten horizontalen und vertikalen Ablenkplatten ein zeitabhängiges Feld! b) der van-de-Graaf-Beschleuniger: Ladungen werden über ein „Förder- Band“ in das Innere einer metallischen Hohlkugel transportiert. Da dort das Elektrische Feld Null ist (egal wie- viel Ladung sich auf der Kugel befin- det, s.o.!!), können sehr hohe Ladungen auf die Kugel gebracht werden und

dadurch Feldstärken V100000m

>

erzeugt werden. Dies ist ein sehr vielseitiger Typ von Teilchenbeschleunigern. Achtung: Es ist wichtig zu verstehen, dass die Bewegung von Teilchen im elektrischen Feld nicht entlang der Feldlinien erfolgt! Die Feldlinien geben nur die Richtung der beschleunigenden Kraft an jedem Punkt der Trajektorie an.

12

Das Gauß’sche Gesetz Das Gauß’sche Gesetz ist ein außerordentlich leistungsfähiges Hilfsmittel, um das von einer gegebenen Ladungsverteilung erzeugte elektrische Feld zu berechnen. Es ist auch für viele andere physikalische Probleme (z.B. Strömungsfelder) von größter Bedeutung, weil es ganz allgemein das, was im Inneren einer geschlossenen Oberfläche vorhanden ist, mit dem in Verbindung bringt, was man außerhalb dieser Oberfläche sieht. Der elektrische Fluss Eine beliebige Fläche besitzt an jeder Stelle einen Vektor, der senkrecht zur lokalen Oberfläche steht. Der Einheitsvektor in dieser Richtung wird Oberflächennormale genannt. Bei einer geschlossenen Oberfläche zeigt

Nu

Nu nach außen. Wenn wir an derselben Stelle ein sehr kleines Flächenelement AΔ betrachten, dann können wir den Betrag dieses Flächenelementes mit dem Normalenvektor an der betreffenden Stelle kombinieren und erhalten ein vektorielles Flächenelement NA A uΔ = Δ ⋅ .

Der elektrische Fluss Φ eines Vektorfeldes ( )E r durch das Flächenelement AΔ ist definiert als das Skalarprodukt E AΦ = ⋅Δ . Wenn wir ( )E r als eine Schar von Feldlinien auffassen, dann sagt uns Φ also, wie viele Feldlinien durch das Flächeelement AΔ hindurch gehen ( ( )E r kann man deshalb umgekehrt auch als elektrische Flussdichte bezeichnen). Wenn die Fläche A eine endliche Ausdehnung hat, müssen wir zur Berechnung des Flusses ein zweidimensionales Integral über A berechnen:

Elektrischer Fluss: A

E dAΦ = ⋅∫∫

Praktische Berechnung: Angenommen, die Fläche ist durch die Gleichung ( , )z f x y= explizit bekannt. Dann berechnet sich der Fluss gemäß

yz xz xy

x y zA A A A

EdA E dydz E dxdz E dxdy= + +∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ .

Hierbei ist yzA die Projektion der Fläche auf die y/z-Ebene etc. Das Gauß’sche Gesetz Das Gauß’sche Gesetz sagt etwas über den Fluss durch eine geschlossene Oberfläche aus. Es besagt, dass dieser Fluss nur durch die eingeschlossene Ladung bestimmt ist:

Das Gauß’sche Gesetz 0

innen

A

QE dAε

⋅ =∫∫ (13)

13

Man beachte, dass der Faktor 14π

aus dem Coulombgesetz verschwunden ist,

wodurch nachträglich klar wird, warum er dort eingeführt wurde. Die Ladung ergibt sich im allgemeinen aus einer kontinuierlichen

Ladungsdichte innenQ

( )rρ : ( )innenVol

Q rρ= ∫∫∫ dV , wobei Vol das von der Fläche

eingeschlossene Volumen ist. Mit dieser Schreibweise lautet das

Gauß’sche Gesetz 0

1 ( )A Vol

E dA r dVρε

⋅ =∫∫ ∫∫∫ (14)

Zusammenhang mit dem Gauß’schen Satz: Der Gauß’sche Satz ist ein mathematischer Satz aus der Vektoranalysis der die Divergenz eines Vektorfeldes mit dem Fluss durch eine geschlossene Oberfläche verbindet:

Gauß’scher Satz divVol A

E E dA= ⋅∫∫∫ ∫∫

Wobei das Oberflächenintegral über die Oberfläche des Volumens Vol geht. Man beachte, dass dieser Satz (der von der Mathematik bewiesen werden muss), keine physikalische Aussage hat! Wenn man ihn jedoch mit dem Gauß’schen Gesetz Gl. (14) kombiniert, erhält man eine wichtige physikalische Aussage über die

Eigenschaft des Coulombfeldes: 0

1 ( ) divVol Vol

r dV Eρε

=∫∫∫ ∫∫∫ , mithin

0

( )div rE ρε

= . (15)

Gln. (14) und (15) sind zwei Versionen einer der vier Maxwell’schen Gleichungen. Obwohl wir dieses Gesetz hier nur für statische Ladungsverteilungen diskutiert haben, ist es auch für beliebige zeitabhängige Ladungsverteilungen gültig!! In Worten sagt es:

Die Quelle für elektrische Felder sind die elektrischen Ladungen.

In einem ladungsfreien Raum ist die Divergenz des elektrische Feldes also Null. Quick Quiz: Durch eine geschlossene Oberfläche sei der Gesamtfluss Null. Die folgenden Aussagen könnten alle wahr sein. Aber: welche der Aussagen MUSS wahr sein?

1. Es gibt keine Ladungen innerhalb der Oberfläche. 2. Die Nettoladung innerhalb der Oberfläche muss Null sein. 3. Das elektrische Feld ist überall auf der Oberfläche Null

14

4. Die Zahl der Feldlinien, die in die Oberfläche hineingehen ist gleich der Zahl derjenigen, die hinausgehen.

Beispiele: 1. Homogen geladene Kugelschale mit Radius : 0rAus Symmetriegründen hat das elektrische Feld nur eine Radialkomponente:

r rE E e= ⋅ . Dadurch ist jedes Flächenelement dA parallel zum Feld. Der Fluss durch eine geschlossene Kugeloberfläche mit dem Radius r Beträgt also: 2( ) 4rr E rπΦ = ⋅ . Innerhalb der Kugelschale (d.h. für 0r r< ) ist die eingeschlossene Ladung Offenbar Null, so dass das Gauß’sche Gesetz sagt:

2

0

( ) 4 0innenr

Qr E rπε

Φ = ⋅ = = , also 0rE = .

Außerhalb der Kugelschale (d.h. für ) gilt (die Gesamtladung sei Q): 0r r>

2

0 0

( ) 4 innenr

Q Qr E rπε ε

Φ = ⋅ = = , also 20

14r

QErπε

= .

Das gleiche Ergebnis erhält man natürlich, wenn man (auf viel mühsamere Weise!) die Beiträge zum Coulombfeld aufintegriert, siehe Gl. (4). Wenn wir gehen lassen, sehen wir also, dass das Gauß’sche Gesetz eine 0 0r → 21 r -Abhängigkeit für eine punktförmige Ladung verlangt, es ist also konsistent mit dem Coulomb-Gesetz. Wir sehen auch, dass die Feldfreiheit im Inneren der Kugel (die experimentell sehr genau geprüft werden kann) ebenso eine Folge dieser 21 r -Abhängigkeit ist! Praktische Anwendung: „Löffeln“ von Ladung, van-de-Graaf-Generator 2. Homogen geladene Kugel mit Radius und Gesamtladung Q: 0r Außerhalb der Kugel (d.h. für ) gilt: 0r r>

2

0 0

( ) 4 innenr

Q Qr E rπε ε

Φ = ⋅ = = , also 20

14r

QErπε

= , also das gleiche Ergebnis wie

unter 1). Man kann dem Feld also von außen nicht ansehen, von welcher (rotationssymmetrischen!) Ladungsverteilung es erzeugt wurde. Innerhalb der Kugel (d.h. für ) gilt: 0r r<

2

0 0

( )( ) 4 innenr

Q q rr E rπε ε

Φ = ⋅ = = , mit 3

30

( ) rq r Qr

= . Also 30 0

14r

QE rrπε

= .

3. Unendlich ausgedehnte Ebene mit homogener Ladungsdichteσ : Als geschlossenes Volumen wählen wir einen kleinen Zylinder (s. Abb.) mit der Grundfläche A, der durch die Ebene hindurch läuft und auf beiden Seiten der Ebene die Höhe r hat.

15

Aus Symmetriegründen hat das elektrische Feld nur eine Komponente senkrecht zur Ebene. Deshalb ist der Fluss durch die Seitenfläche Null. Außerdem ist es spiegelsymmetrisch zur Ebene. Der Gesamtfluss ist also

zE

22

0 0

( ) 2 innenz

Q Rr E R σ ππε ε

⋅Φ = ⋅ ⋅ = =

02zE σε

=

Wieder ist das Ergebnis identisch mit der mühsamen Integration der Einzelladungen, s. Gl.(6). 4. Elektrostatik von Metallen: In Metallen können sich Elektronen frei bewegen. Folglich muss das elektrische Feld innerhalb des Metalls Null sein: Andernfalls würden sich die Elektronen so lange räumlich bewegen, bis sie kein Feld mehr sehen. Wenn das Metallstück elektrisch geladen ist, dann folgt aus dem Gauß’sche Gesetz, dass die gesamte Ladung auf der Metalloberfläche verteilt sein muss: nur dann ist das Feld überall im Inneren Null. Das elektrische Feld außerhalb des Metalls muss senkrecht auf der Oberfläche stehen, weil sonst Oberflächenströme so lange fließen würden, bis sich die Ladung auf der Oberfläche so verteilt hat, dass diese Bedingung erfüllt ist. Aus diesen Regeln ergibt sich auch das, was bei der Influenz geschieht: Wenn ein neutrales Metallstück in ein externes elektrisches Feld gebracht wird, verteilen sich Elektronen so auf der Oberfläche, dass

a) im Inneren das Feld Null wird (das Feld wird „abgeschirmt“). b) das resultierende elektrische Feld senkrecht auf der Oberfläche steht.

Die entstehende lokale Oberflächendichte hängt mit dem lokalen elektrischen Feld

über 0

zE σε

= zusammen. Herleitung analog zum Beispiel 3, mit dem Unterschied,

dass auf der Seite der Ebene die im Metall liegt, das Feld Null ist. Deshalb fällt der Faktor 2 weg. Praktische Anwendung: „Faraday’scher Käfig“ Spiegelladungen: Das eigentliche Problem liegt nun aber darin, die Feldverteilung (bzw. Ladungsverteilung) auf der Oberfläche zu ermitteln. Für viele Fälle eignet sich der Trick der Spiegelladungen: Man sucht nach einer Verteilung „virtueller“ Ladungen auf der Rückseite der Oberfläche, die gemeinsam mit der „echten“ Ladung ein solches Feld ergibt, das senkrecht auf der Metalloberfläche steht. Die virtuelle Ladung existiert nicht wirklich, aber WENN es sie gäbe, würde sie, gemeinsam mit der echten Ladung, im Vakuum das tatsächliche Feld erzeugen. In vielen Fällen ist die erforderliche Anordnung der Spiegelladungen sehr einfach (s.Skizze), so dass die Berechnung des Oberflächenfeldes dann ebenfalls sehr einfach ist.

16

5. Ladung q innerhalb eines metallischen Hohlraums, der die Ladung Q trägt: Was kann man über die Ladungen auf der Innenfläche bzw. der Außenfläche des Metallkörpers sagen? Damit überall im Metall das Feld Null sein kann, muss lt. Gauß’schem Gesetz die auf die Innenfläche influenzierte Nettoladung –q betragen. Da der Metallkörper die Gesamtladung +Q trägt, muss die Gesamtladung auf der Außenfläche Q+q betragen. Das elektrische Potential Das elektrische Potential V ist definiert durch die potentielle Energie potE einer Probeladung im elektrischen Feld: 0q

0 0potS S

E F ds q E ds q V= − ⋅ = − ⋅ = ⋅∫ ∫

elektrisches Potential: ( )S

V r E ds= − ⋅∫ (16)

Dies ist ein Linienintegral, welches entlang des Weges S von einem Anfangspunkt zum betrachteten Ort r verläuft.

Die Einheit ist N m J= =VC C⋅ (Volt).

Das elektrische Potential ist nur als Differenz definiert, d.h.

1

1( ) ( )r

r

V r V r E ds= − ⋅∫ .

Achtung: Das elektrische Potential ist keine potentielle Energie: Die potentielle Energie ist der Ladung ist: 0q 0potE q V= ⋅ .

Definition: Für atomare Prozesse ist das Joule eine viel zu große Einheit. Deshalb: 1 eV ist die Arbeit, die geleistet wird, wenn ein Teilchen mit der Elementarladung eine Potentialdifferenz von 1 Volt durchläuft:

eq

19 19J1 eV 1.602 10 C 1 1.602 10 JC

− −= ⋅ ⋅ = ⋅

Unter Verwendung der relativistischen Beziehung 2

0E m c= ⋅ wird die Ruhemasse von Elementarteilchen häufig in eV angegeben.. 0m

Beispiel: Elektron: (Mega-eV) Das ist natürlich nur ein Jargon: eigentlich müsste es heißen. Das wird aber oft unterschlagen.

0.511MeVem =2 0.511MeVem c⋅ = 2c

17

Äquipotentialflächen Wenn man sich von einem beliebigen Startpunkt s0 aus in unterschiedliche Raumrichtung bewegt, das Potential gemäß Gl. (16) berechnet, und dort anhält, wo die Potentialdifferenz zu s0 eine bestimmten Wert hat, dann wird man eine Schar von Punkten finden, die einer bestimmte Fläche liegen. Diese Flächen werden Äquipotentialflächen genannt. Sie stehen senkrecht auf dem E -Feld, da eine Ladung bei einer Bewegung senkrecht zum Feld keine Arbeit verrichtet. Es ist eine besonders wichtige Eigenschaft des elektrischen Feldes, dass es bei der Berechnung des Potentials gemäß Gl. (16) nicht auf den Weg, sondern nur auf den Anfangs- und Endpunkt ankommt. In der Vektoranalysis wird gezeigt, dass dies immer dann der Fall ist, wenn die Bedingung rot 0E E= ∇× = (17) erfüllt ist. Dies ist beim elektrostatischen Feld der Fall. Dies hat eine Reihe wichtiger Konsequenzen:

1) Wenn der Integrationsweg eine geschlossene Kurve ist, dann ist die geleistete Arbeit offenbar Null. Potentielle Energie kann nicht dadurch erhöht werden, dass man im Felde „im Kreis läuft“. Deshalb nennt man ein solches Feld „konservativ“.

2) Das Potential ist eine eindeutige Funktion des Ortes – bis auf eine überall gleiche, willkürlich wählbare Konstante. Da es jedem Ort genau eine Zahl zuordnet, ist es ein skalares Feld.

3) Wenn das Potential im Raum bekannt ist, dann kann man die Feldstärke daraus berechen:

( )

( )( ) ( ) grad ( )

( )

V rx

V rE r V r V ry

V rz

⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂⎜ ⎟∂⎜= −∇ = − = −⎜ ∂

⎜ ⎟∂⎜ ⎟

⎜ ⎟∂⎝ ⎠

⎟⎟ (18)

Der Gradient steht immer senkrecht auf den Äquipotentialflächen. Man könnte sich die Gleichung ( ) grad ( )E r V= − r als Umkehrung der Beziehung ( )

S

V r E ds= − ⋅∫

vorstellen. Dass diese Umkehrung auf eindeutige Weise überhaupt möglich ist, hat ebenfalls damit zu tun, dass das E-Feld der Gl. (17) genügt.

Das stellt eine große Vereinfachung dar: Man berechnet ein Vektorfeld aus einem skalaren Feld!

18

Quick Quiz: Wenn es bei der Berechnung der Potentialdifferenz nicht auf den Weg ankommt: Warum berechnen wir sie dann nicht einfach aus V E lΔ = − ⋅ , wo l die geradlinige Distanz des Weges zwischen A und B ist? Das Potential einer Punktladung Q am Ort r = 0 Festlegung: V r ( ) 0= ∞ =Integrationsweg von außen nach innen, um die Divergenz bei r = 0 zu vermeiden:

20 0 0

Qr

1 1 1( )4 4 4

rr r Q QV r E dl drr rπε πε πε∞∞ ∞

⎡ ⎤′= − ⋅ = − ⋅ = ⋅ = ⋅⎢ ⎥′ ′⎣ ⎦∫ ∫

Potential einer Punktladung: 0

1( )4

QV rrπε

= ⋅ (19)

Merke: Vorzeichen des Potentials = Vorzeichen der Ladung

VBerechnung der Feldstärke:

grad dV rE Vdr r

= − = − , da V nur von r abhängt.

Potentielle Energie der Testladung q im Potential der Ladung Q:

Das Potential kann im zweidimensiona-len Fall (wie hier) durch eine dreidimen-sionale Fläche dargestellt werden. Im allgemeinen, dreidimensionalen Fall ist eine solche Veranschaulichung schwieriger.

0

( ) ( )4pot

qQE r q V rrπε

= ⋅ =

W

Potential einer Ladungsverteilung: Potential einer Punktladung am Ort ir r= :

0

1( )4i

i

QV r r rπε

= ⋅−

Die Potentiale einzelner Ladungen überlagern sich additiv: ( )gesamt i

iV V=∑ r .

Beispiel: zwei ungleiche Ladungen, s. Bild rechts: Die potentielle Energie einer Testladung im Feld dieser Ladungsverteilung ist also: ( ) ( )pot gesamt i

iE r q V q V r= ⋅ = ⋅∑ .

Aber Achtung: Dies ist nicht die potentielle Energie der gesamten Ladungsverteilung!! Um diese zu berechnen muss man die potentielle Energie eines jeden Ladungsträgers im Feld der anderen berücksichtigen und alle diese Beiträge addieren!!

19

Die elektrische Spannung U ist definiert als Potentialdifferenz zwischen zwei Äquipotentialflächen. Metalle: Da das elektrische Feld in Metallen Null sein muss, bedeutet dies, dass das Potential dort konstant ist. Diese Tatsache ist ein Schlüssel zur Berechnung der Feldverteilung in Gegenwart geladener Metallflächen (s.u.). Die Potential-Gleichung

Wegen ( ) ( )E r V= −∇ r kann die Maxwellgleichung 0

( )rE ρε

∇ = auch geschrieben

werden als: 0

( )( ) div grad ( ) rV r V r ρε

∇∇ = = − .

Der Differenzialoperator wird „Laplace-Operator“ genannt. div grad∇∇ = = ΔDie Potential-Gleichung lautet damit also:

Potential-Gleichung 0

( )( ) rV r ρε

Δ = − „Poisson-Gleichung“ (20)

In Abwesenheit von Ladungen lautet dies: „Laplace-Gleichung“ ( ) 0V rΔ = (21) Lösung der Potentialgleichung: Es gibt hierzu eine umfangreiche Theorie (partielle Diffenrentialgleichungen…). In speziellen Fällen helfen auch Methoden der Funktionentheorie („konforme Abbildungen“). In den meisten realen Fällen müssen aber numerische Methoden verwendet werden. An dieser Stelle soll kurz eine dieser Methoden geschildert werden: Die Methode der finiten Differenzen; Relaxationsverfahren [Krö] Aus der Theorie der Partiellen Differentialgleichungen ergeben sich die folgenden wichtigen Eigenschaften der Laplace-Gleichung:

1. Das Potential ist im gesamten Raum bestimmt, wenn es auf der Fläche bekannt ist, die diesen Raum umschließt („Randwertproblem“).

2. Die Maximalwerte und Minimalwerte des Potentials liegen immer auf dem Rand. Die Potentialwerte nehmen im (ladungsfreien) Raum niemals Werte an, die höher oder niedriger liegen als auf dem Rand.

3. Genauer gesagt ist es sogar so, dass der Wert des Potentials im Mittelpunkt eines beliebigen Würfels genau der arithmetische Mittelwert der Werte an den acht Würfelecken sein muss. Aus dieser Regel ergibt sich ein leistungsfähiger Algorithmus, die Methode der finiten Differenzen:

20

Das Verfahren wird hier für einen zwei-dimensionalen Fall erläutert: Wir untersuchen ein zweidimensionales Gebiet, in dem sich keine Ladungen befinden. Alle Das Feld erzeugenden Ladungen befinden sich außerhalb bzw. auf dem Rand. Die Potentialverteilung auf dem Rand sei bekannt („Randwertproblem“). In dem (ladungsfreien!) Gebiet muss die Laplace-Gleichung (21) gelten: . In zwei Dimensionen x,y lautet das:

( ) 0V rΔ =

2 2

2 2( ) ( ) 0V r V rx y∂ ∂

+∂ ∂

= (22)

Entwickelt man V in eine Taylorreihe und bricht diese nach den Gliedern zweiter Ordnung ab, so erhält man:

2 2 22 2

2 2

1 1( , ) ( , )2 2

V V V V VV x x y y V x y x y x y x yx y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ Δ + Δ = + Δ + Δ + Δ + Δ + Δ Δ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂.

Es seien nun fünf Punkte wie in der Skizze herausgegriffen. Dann ergib die Anwendung dieser Gl. auf die Punkte 1,2,3,4

22

1 0 2

22

2 0 2

22

1 0 2

22

2 0 2

12121212

V VV V h hx xV VV V h hy y

V VV V h hx xV VV V h hy y

∂ ∂= + +

∂ ∂∂ ∂

= + +∂ ∂

∂ ∂= − +

∂ ∂∂ ∂

= − +∂ ∂

3 10

4

2

Dabei sind die die Werte von in den entsprechenden Punkten. Durch Addition obiger Gleichungen ergibt sich:

( 0,1,2,3,4)iV i = ( , )V x y

2 22

1 2 3 4 0 2 24 V VV V V V V hx y

⎛ ⎞∂ ∂+ + + = + +⎜ ∂ ∂⎝ ⎠

⎟ und wegen Gl. (22) schließlich:

( )0 1 2 314

V V V V V= + + + 4 (23).

Das Potential im Mittelpunkt des Quadrats ist also näherungsweise tatsächlich gleich dem Mittelwert der Potentialwerte auf den Eckpunkten. Diese Eigenschaft macht man sich auf folgende Weise zunutze: Das Gebiet wird mit einem Gitter überzogen, auf dessen Kreuzungs- stellen die Potentialwerte berechnet werden sollen. Dadurch entsteht eine große 2x2 Matrix, deren Elemente zu bestimmen sind. Die Werte auf dem Rand sind bekannt, den anderen Werten wird ein beliebiger Startwert zugewiesen (z.B. Null). Diese Startwerte werden nun Schritt für Schritt verbessert, indem Gl. (23) angewendet wird. Im ersten Iterationsschritt werden natürlich nur diejenigen Werte besser, die unmittelbar neben den Randpunkten

21

liegen. Bei einer sehr großen Anzahl von Gitterpunkten ist die Konvergenz deshalb sehr langsam, und man muss numerische Tricks verwenden (z.B. sog. „Übergitter“), um mit weniger Rechenaufwand zu einem befriedigenden Ergebnis zu gelangen. Die Iteration wird normalerweise dann abgebrochen, wenn der Unterschied zwischen zwei aufeinander folgenden Schritten eine vorgegebene Schwelle unterschreitet. Näheres findet sich in [Krö]. Auf diese Weise kann man die Potentialverteilung bei beliebigen Randwerten berechnen. Früher wurden bei solchen Problemen, die i.a. nicht analytisch lösbar sind, experimentelle Methoden verwendet, z.B. der Potentialtrog. Heute werden durchgängig numerische Methode bevorzugt, die genauer und schneller sind. Ein für die Praxis wichtiges Ergebnis solcher Berechnungen ist die Potentialverteilung in der Nähe metallischer Spitzen. Die Äquipotentialflächen liegen dort besonders eng beieinander. Das bedeutet, dass dort das elektrische Feld viel größer ist als in der Umgebung. Da viele Nichtleiter bei Überschreitung einer bestimmten Feldstärke anfangen, (durch Ionisation) leitend zu werden, kommt es an solchen Spitzen vorzugsweise zur sog. Spitzenentladung Konsequenz: Objekte, die eine hohe elektrische Feldstärke an ihrer Oberfläche aushalten müssen, dürfen keine Unebenheiten auf der Oberfläche aufweisen, und der Krümmungsradius der Oberflächen muss möglichst groß sein. Der Kondensator Wir haben bereits gesehen, dass das elektrische Feld zwischen zwei großen, entgegengesetzt geladenen parallelen Metallplatten konstant ist, siehe. Gl. (7):

parallele Platten, innen0

zE z σ= ⋅ε

( ) e , und im Äußeren verschwindet.

Da die Metallflächen Äquipotentialflächen sein müssen, Lässt sich die Potentialdifferenz – also die Spannung U– zwischen den Platten leicht durch den Abstand d und die Feldstärke E im Inneren ausdrücken:

0

U E d dσ= ⋅ =

ε. (*)

Wenn die Platten die Fläche von (jeweils) A haben, ergibt sich außerdem die Gesamtladung Q auf jeder

Platte zu . Unter Verwendung von (*) wird daraus: :Q = σ ⋅ A 0AQd

= ε U . Die

Proportionalitätskonstante zwischen der Ladung und der angelegten Spannung wird Kapazität genannt: Q C U= ⋅

Kapazität : QCU

= (24)

Für einen Plattenkondensator beträgt die Kapazität demnach: 0ACd

= ε (25)

22

Die Einheit der Kapazität ist das Farad: 2 2

2

1C C A s1 F1V Nm kg m

4⋅= = =

⋅ (26)

Die Kapazität beschreibt das Speichervermögen für elektrische Ladungen. Sie ist eine Eigenschaft des Bauelementes, im Wesentlichen seiner Geometrie, aber nicht der elektrischen Größen. Das Symbol für einen Kondensator in Schaltplänen ist : Eine Batterie ebenfalls eine Art Kondensator, bei dem aber durch elektrochemische Vorgänge eine konstante Spannung erzeugt wird. Das Symbol für eine Batterie ist deshalb etwas anders: Die technisch relevante Größe ist beim Kondensator sehr oft die angelegte Spannung (und nicht die im Kondensator erzeugte Feldstärke). Deshalb ist es günstig, die Fläche Groß und den Abstand möglichst klein zu machen, wenn man eine große Kapazität erzielen will. Um dies mit möglichst geringer Baugröße zu erreichen, kann der Plattenkondensator aufgewickelt werden (Wickelkondensator). Beispiel: Wir wollen bekommen, verwenden eine dünne Aluminiumfolie und schaffen es, mittels einer isolierenden Kunststofffolie d

1 FC = μ10 m= μ zu realisieren. Die

erforderliche Fläche beträgt dann gemäß Gl. (25): 6 5

212 As

0 Vm

10 F 10 m 1 1 m8 8 10

C dA− −

−

⋅ ⋅= = =

ε ⋅.

.

Eine Kapazität von 1 herzustellen, ist also offenbar schon gar nicht so einfach! Aber dieser Kondensator könnte bei 10 V angelegter Spannung auch immerhin eine Ladung von 10 speichern, das sind

Fμ

Cμ 136 10⋅ Elementarladungen. Es lohnt sich aber doch, die im Inneren entstehende Feldstärke zu betrachten: Wenn unser Kondensator mit 100 Volt betrieben werden soll, dann entsteht die

Feldstärke von 5

100V MV1010 m m

UEd −= = = , und das ist bereits mehr als die

Durchschlagfestigkeit von Luft ( MV3m

) !

Energie des elektrischen Feldes Gedankenexperiment: Wir betrachten zwei mit der Ladung Q bzw. -Q geladene Kondensatorplatten A und B, die unendlich dicht aufeinander liegen. Effektiv neutralisieren sich dann die Ladungen und es gibt (im Grenzwert) keine elektrischen Effekte. Nun beginnen wir, die Platten voneinander zu trennen. Wir wollen die Arbeit berechnen, die dafür nötig ist. Die Kraft, die die Ladungen auf Platte B durch die Platte A erfahren, beträgt

. AF Q E= − ⋅( )

23

Achtung: Hier ist nur AE die Hälfte der zwischen den Platten herrschenden Feldstärke E, weil wir die Arbeit der Ladungen B im Feld der Ladungen A

betrachten! Also: 2EF Q= − (**). Die Ladung Q können gemäß Gl. (7) mit der

durch die Ladungen B erzeugten Feldstärke in Verbindung bringen:

0 02 2BQE

Aσ

= =ε ε

. Wiederum ist nur die Hälfte von E, also BE 0 02 BQ AE AE= ε = ε .

Dies in (**) eingesetzt ergibt: 20

2F Eε= − A .

Wenn wir die Platten voneinander entfernen, ändert sich die Feldstärke nicht. Die geleistete Arbeit bei der Separation um den Abstand d ist also:

20 0

0 2 2

d

W Fdx E Ad Eε ε= − = = ⋅∫ 2 V . (27)

Ad=V ist das von elektrischen Feld erfüllte Volumen. Bei diesem Vorgang geschieht nichts anderes, als in einem Volumen elektrisches Feld aufzubauen, die Arbeit wird also vollständig in Energie des elektrischen Feldes umgewandelt – wir haben eine neue Erscheinungsform der Energie gefunden. Gl. (27) legt es nahe, die Feldenergie auf das Volumen zu normieren. Damit erhält man die

Energiedichte des elektrischen Feldes: 20

2WwV

ε= = E (28)

Dieser Ausdruck gilt für beliebige elektrische Felder im Vakuum. Im Kondensator gespeichert Energie Zum gleichen Ergebnis gelangt man, wenn man einen festen Kondensator der Kapazität C betrachtet und die Arbeit berechnet, die aufzubringen ist, um ihn mit der Ladung Q aufzuladen.

Da zu jedem Zeitpunkt des Ladevorgangs qUC

= gilt (wo q die bisher aufgebrachte

Ladung ist), beträgt die aufzubringende Arbeit: 2

0 0

1 12

Q Q QW Udq q dqC C

= = ⋅ =∫ ∫

Wegen QCU

= kann man stattdessen auch schreiben: 21 12 2

W QU CU= = (29)

Man kann sich leicht davon überzeugen, dass dieser Ausdruck mit Gl. (27) identisch ist. Beispiel: Ein Kondensator ist also nicht nur ein Ladungsspeicher, sondern auch ein Energiespeicher. Unser o.a. Beispiel-Kondensator mit 1 FC = μ hat also bei U = 100 V

eine Energie von 41 110 C 100V 5mJ2 2

W QU −= = ⋅ = .

Das hört sich noch relativ bescheiden an. Das Besondere an Kondensatoren ist aber, dass sie die gespeicherte Energie sehr schnell freisetzen können. Dadurch können sehr hohe Spitzenleistungen erzeugt werden (z.B. im Blitzlicht).

24

Potentielle Energie einer homogen geladenen Kugel Als weiteres Beispiel für die Feldenergie betrachten wir eine homogen geladene Kugel. Wieder können wir auf zweierlei Weise vorgehen:

1. Wir berechnen die Energiedichte 20

2WwV

ε= = E des Feldes an jeder Stelle des

Raumes und integrieren über den ganzen Raum. Das elektrische Feld haben wir für dieses Problem bereits früher berechnet (S.15 u). Deshalb brauchen wir nur die Volumenintegrale in den beiden Bereichen und 0r r> 0r r< auszuführen.

Außerhalb der Kugel ( ) hatten wir berechnet 0r r> 20

14r

QErπε

= , also

2 22 220 0

40 00 0

1 1sin 4 (30)2 4 2 4 8r R

Rr R

Q QW w dV d d r drr r

π πε εϑ ϑ ϕ ππε πε πε

∞

>>

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= ⋅ = = − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫

0

1QR

Innerhalb der Kugel ( ) hatten wir berechnet 0r r> 30

14r

QE rRπε

= . also

2 22 2 2 52 50 0

3 6 600 0 00 0

4 1 1 1sin (31)2 4 2 4 5 8 5 8 5

R

r Rr R

Q r Q Q R QW d d r dr rR R R

π πε ε πϑ ϑ ϕπε πε πε πε<

<

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

2

0 R=

Wenn wir die beiden Beiträge (30) und (31) addieren, bekommen wir die gesamte

Feldenergie einer homogen geladenen Kugel: 2

hom.Kugel0

35 4

QWRπε

= (32)

2. Der Zweite Weg besteht darin –wie zuvor- , die Arbeit zu berechnen, die aufgebracht werden muss, um die homogene Ladungsdichte dadurch aufzubauen, dass die gesamte Ladung Q in kleinen Häppchen aus dem Unendlichen herangeführt wird. Das Ergebnis ist identisch mit Gl. (32) und kann als Übung gesehen werden. Der klassische Elektronenradius Wenn bei konstanter Gesamtladung R immer kleiner gemacht wird, dann wächst laut Gl. (32) die potentielle Energie unbegrenzt an. Wenn man die Elementarladung

betrachtet, kann man sich fragen, bei welchem Radius die Feldenergie so groß wird wie die Ruheenergie m c des Elektrons? Das Ergebnis

ergibt sich Gleichsetzen mit (32) zu:

1= −eq e⋅ =2 0.511MeVe

2

20

3 35 4 5 e

e

e rm cπε

= = er. ist der R

klassische Elektronenradius 2

152

0

2.82 10 m4e

e

erm cπε

−= = ⋅ (33)

Bemerkung: Der Faktor 35

wird fortgelassen, weil er von der genauen Art der

Ladungsverteilung innerhalb der Kugel abhängt, es ist ein sogenannter „Formfaktor“.

25

Da dieser Faktor sowieso unklar ist, kann man ihn bei der Definition auch gleich fortlassen.

er

Achtung: Die Experimente der Teilchenphysik haben gezeigt, dass das Elektron sich als perfekt punktförmig verhält, und zwar mindestens bis hinunter zu Radien von

! Der klassische Elektronenradius hat also mit dem „wirklichen“ Radius des Elektrons nichts zu tun! Diese Diskrepanz zeigt aber, dass wir etwas ganz fundamentales am Elektron nicht verstanden haben. Jedenfalls scheint die klassische Elektrodynamik im Bereich von Abständen

1810 m−

er r≈ und darunter nicht mehr zu stimmen. Kondensatoranordnungen Kondensatoren können auf unterschiedliche Weise miteinander kombiniert werden. In elektrischen Schaltkreisen werden die Kondensatoren durch leitende Drähte miteinander verbunden. Diese Verbindungen werden in Schaltplänen durch Striche gekennzeichnet und als ideal leitend angenommen. Dadurch liegen alle mit einem Draht (Strich) miteinander verbundenen Stellen auf demselben Potential. Dabei gibt es zwei prinzipiell unterschiedliche Verbindungen:

a) Parallelschaltung: Alle Platten auf einer Seite sind miteinander verbunden und liegen auf demselben Potential. Die Spannung U ist also in jedem Kondensator dieselbe. Die gespeicherte Ladung

iQ ist also in jedem Kondensator : iC

i iQ C U= ⋅ . Damit ist die gespeicherte Gesamtladung Q:

ges i i i gesQ Q C U U C U C= = ⋅ = = ⋅∑ ∑ ∑ . Die parallel geschalteten Kondensatoren wirken also genauso Wie ein einzelner mit der Gesamtkapazität gesC

Parallelschaltung: 1 2 3gesC C C C= + + +… (34)

b) Reihenschaltung: Bei der Reihenschaltung sind nur die beiden äußersten Platten leitend mit der Batterie verbunden. Sie werden auf die Ladung bzw. aufgeladen. Die Abschnitte Q+ Q−A und B zwischen den Kondensatoren (s. Skizze) waren ursprünglich neutral, und ihre Nettoladung muss Null bleiben. Aber die rechte Platte des linken Kondensators wird sich 1Cdurch Influenz auf aufladen (Das Argument hier muss Q−genauer lauten: Dies ist der Zustand mit der niedrigsten potentiellen Energie: in jedem anderen Falle wäre nämlich die Nettoladung des Kondensators nicht Null und damit müsste wg. des Gauß’schen Gesetzes außerhalb des Kondensator ein Feld existieren.). Analog gilt dasselbe für alle anderen Kondensatoren: sie

1C

26

werden also alle auf die gleiche Ladung Q± aufgeladen. Die gesamte Potentialdifferenz U zwischen a und b muss die Summe der Spannungen über die Einzelkondensatoren sein:

1 2 3U , ,

(*) 1 2U U U U= + + 3

U

Außerdem gilt 1 1 2 2 3 3Q C U C U C U= = =Wenn wir also den „effektiven Gesamtkondensator“ durch Q Cges= definieren,

erhalten wir aus (*): 1 2ges

Q Q Q QC C C C

= + +3

, folglich:

Reihenschaltung: 1 2 3

1 1 1 1

gesC C C C= + + +… (35)

(auch „Serienschaltung“ genannt) Die Gesamtkapazität ist also kleiner als die kleinste beteiligt Einzelkapazität.

Quick Quiz: Sie haben eine Batterie und drei Kapazitäten. Wie müssen Sie die Kapazitäten in einem Schaltkreis kombinieren, um die maximale Energie zu speichern?

Antwort: Die Parallelschaltung erhöht die Kapazität, also wegen 212

W CU= bei

konstanter Spannung auch die gespeicherte Energie. Bei Reihenschaltung würde sich die Gesamtkapazität gegenüber den einzelnen Kapazitäten sogar verringern.

Dielektrika Wenn zwischen die beiden Platten eines Kondensators ein Isolator gesteckt wird, dann erhöht sich – je nach dem Isolatormaterial – die Ladung, die bei einer bestimmten angelegten Spannung gespeichert wird, beträchtlich. Das ist zunächst erstaunlich, denn es handelt sich ja schließlich um einen Isolator! Die Ursache liegt darin, dass die meisten Nichtleiter zwar keine freien Ladungen besitzen, aber sehr wohl ein molekulares Dipolmoment (daher der Name Dielektrika). Diese Dipolmomente werden sich beim Anlegen eines äußeren Feldes in Richtung dieses Feldes orientieren: Sie werden polarisiert, siehe Skizze (b). Dabei unterscheidet man zwei Typen: Orientierungspolarisation: Die Moleküle haben ein permanentes Dipolmoment (z.B. Wasser). Ohne Feld sind diese Dipolmomente regellos verteilt, aber im Feld richten sie sich aus.

27

Verschiebungspolarisation: Das Dipolmoment wird erst durch das äußere Feld induziert, weil die Ladungsträger innerhalb des Moleküls eine gewisse Beweglichkeit haben. Es handelt sich um eine Art „molekularer Induktion“. In beiden Fällen entsteht ein makroskopisches Dipolmoment pro Volumeneinheit des gesamten Körpers, die

elektrische Polarisation: P n p= ⋅ (36) Hier ist n die Zahl der Dipole pro Volumeneinheit und p deren mittleres Dipolmoment. Die Wirkung dieser Polarisation besteht darin, dass die Ladungsträger auf den Platten zum erheblichen Teil (fast) lokal neutralisiert werden, so dass das elektrische Feld im Inneren des Kondensators geschwächt wird, siehe Skizze (c). Egal, ob es sich um Orientierungspolarisation oder um Verschiebungspolarisation handelt, in beiden Fällen ist es eine gute Näherung, sich vorzustellen, dass die Polarisation proportional zur Feldstärke im Dielektrikum ist:

0P E= χε (37) χ ist die elektrische Suszeptibilität. Es ist eine Materialkonstante. Bemerkungen:

1. Man beachte, dass es sich bei E um das Feld im Dielektrikum handelt und nicht etwa um das von außen angelegte Feld. Letzteres wird ja durch die Polarisation gerade reduziert

2. „Konstant“ ist χ natürlich nur ungefähr, und auch nur innerhalb gewisser Grenzen der Feldstärke. Mann kann sich zum Beispiel vorstellen, dass die Polarisation irgendwann nicht mehr ansteigen kann, wenn die Feldstärke zu groß. Das könnte man mit dem Verhalten der Hook’schen Konstante für sehr große Federkräfte vergleichen.

3. Im Prinzip hätte man die Proportionalitätskonstante auch über P a E= ⋅ definieren können. Durch Einfügen von wurde dimensionslos. Sehr praktisch! 0ε χ

4. Gl. (36) gilt zwar für beide Polarisationstypen, aber die Gründe sind sehr unterschiedlich: Bei der Orientierungspolarisation werden sich die vorhandenen Dipole nicht gleich bei kleinen Feldstärken vollständig ausrichten, weil sie durch die thermische Bewegung immer wieder „in Unordnung“ gebracht werden. Bei der Verschiebungspolarisation hingegen kann man sich das Molekül wie eine kleine lineare Feder vorstellen, bei der die Dehnung (und damit die Trennung der Ladungen) proportional zur angelegten Kraft, also zur elektrischen Feldstärke ist.

Die Schwächung der Feldstärke E im Inneren des (mit dem Dielektrikum gefüllten) Kondensators wird durch die Dielektriziätszahl rε beschrieben:

0

r

EE =ε

(im Dielektrikum) (38)

Hier ist die Feldstärke, die bei der gegebenen Ladung auf dem Kondensator ohne das Dielektrikum vorliegen würde. Durch die Polarisation des Dielektrikums entsteht

0E

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auf beiden Seiten seiner Oberfläche eine Ladungsdichte indρ , die natürlich auf den beiden Seiten unterschiedliches Vorzeichen hat, denn die Gesamtladung des Dielektrikums bleibt ja Null. Zusammenhang zwischen und indρ P :

Das mittlere molekulare Dipolmoment sei p q l= ⋅ . Wir betrachten einen Würfel der Kantenlänge a, bei dem eine Fläche zur Oberfläche des Dielektrikums gehört. Die Zahl der positiven Ladungen im Würfel ist dann 3N q n a+ = ⋅ ⋅ (Die Zahl der negativen Ladungen ist natürlich die gleiche.). Die Zahl der Dipole auf einer

Würfelseiten-Oberfläche ist 3.Oberfl

lN n a n aa

2 l= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . Daraus ergibt sich die

Oberflächenladung dieser Fläche zu 2. .Oberfl OberflQ q N n a ql n a2 p= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . Die

induzierte Ladungsdichte ist also 2.Oberfl

ind

Qn p P

aσ = = ⋅ = (39),

sie ist also gleich dem Betrag der Polarisation bzw. des Dipolmoments pro Volumeneinheit. Die Ladungsdichte im Inneren des Dielektrikums ist Null. Wenn man den Gauß’schen Satz nur auf die „freie“ Ladung freiQ anwendet, die auf

einer Kondensatorplatte sitzt, erhält man 00

freiEσ

=ε

(40).

freiσ ist die Ladungsdichte, die „frei“ ist, also im Metall des Kondensators und seinen

Zuleitungen beweglich ist. Die Feldstärke 0E liegt nur in dem kleinen Spalt zwischen der Platte und dem Dielektrikum vor, siehe Skizze. Dieser Spalt ist meistens sehr!! klein gegen den Plattenabstand d. Um die Verbindung zwischen der Feldstärke innerhalb des Dielektrikums und den Ladungsdichten zu ermitteln, muss man den Gauß’schen Satz auf die „freie“ Ladung

freiQ und auf die auf der Oberfläche induzierte Ladung anwenden, also indQ

0

1 ( )frei indA

E dA Q Q⋅ = −∫∫ ε, und erhält

0

frei indEσ − σ

=ε

.

Bemerkung: Man beachte, dass die Ladungsdichten hier immer positiv geschrieben werden, d.h. ihr Vorzeichen erscheint in den Gleichungen immer explizit.

Mit Gln. (37) und (39) sieht man: 0 0 0 0

frei ind frei freiPE Eσ − σ σ σ

= = − = − χε ε ε ε

. (*)

Nach 00

frei Eσ

=ε

aufgelöst ergibt sich: 0 1(E E E E )= + χ = + χ . Aus der Definition der

Dielektrizitätszahl rε Gl. (38) 0 rE = Eε ergibt sich schließlich

1r = +ε χ . (41)

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Wir können die Gl. (*) auch nach auflösen und erhalten: indσ

11ind freir

⎛ ⎞σ = σ −⎜ ⎟ε⎝ ⎠

(42)

Die bei gegebener Ladung freiQ am Kondensator anliegende Spannung U beträgt:

0 0

0

frei

r r r

QE UU Eds dC

= − = = =ε ε ε∫ (43).

Bei gleicher Ladung auf den Platten reduziert sich also die Spannung zwischen den Platten um den Faktor rε . Wenn wir die Kapazität des Kondensators nach wie vor durch Q/U beschreiben, dann gilt offenbar:

0frei

r

QC

U= = ε C (44)

Die Kapazität erhöht sich also um den Faktor rε . Dadurch erklärt sich die am Anfang dieses Abschnitts genannte Beobachtung: Bei gleicher Spannung wird eine größere Ladung freiQ auf den Platten gespeichert, wenn der Plattenzwischenraum mit einem Dielektrikum gefüllt wird. Die Kapazität eines Plattenkondensators beträgt also:

Plattenkondensator mit Dielektrikum: 0rACd

= ε ε (45)

Das Gauß’sche Gesetz im Dielektrikum: Das Gauß’sche Gesetz verbindet Ladungsdichten mit Feldstärken. Es gilt im Prinzip

im Dielektrikum unverändert weiter: 0

1

A

E dA Q⋅ =∫∫ ε.

Allerdings müsste man für Q jetzt die Summe aus der freien Ladung und der induzierten Ladung verwenden, wenn man über Bereiche integriert, die sowohl freie als auch induzierte Ladungen enthalten (das haben wir oben bereits richtig so getan):

0

1 ( )frei indA

E dA Q Q⋅ = −∫∫ ε. Unter Verwendung von 11ind frei

r

Q Q⎛ ⎞

= −⎜ ⎟ε⎝ ⎠ schreibt

sich dies: 0

frei

rA

QE dA⋅ =∫∫ ε ε

, und das ist viel besser, weil man im allgemeinen

sowieso nicht kennt, aber sehr wohl

indQ

rε . Unter Verwendung der

elektrischen Verschiebungsdichte 0rD = Eε ε (46) schreibt sich das

Gauß’sche Gesetz in allgemeiner Form: 0r fA A

D dA E dA Q⋅ = ⋅ =∫∫ ∫∫ ε ε rei (47)

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Die differenzielle Schreibweise lautet: div ( )freiD r= ρ (48)

Wir können Gln. (47,48) folgendermaßen interpretieren: In (dielektrischer) Materie sind die freien Ladungen die Quellen der elektrischen Verschiebungsdichte D. Das Gauß’sche Gesetz für das Vakuum kann als Grenzfall für 1r →ε angesehen werden. Die Größe 0rε ε wird häufig als Permittivität des Materials bezeichnet.

0ε ist also die Permittivität des Vakuums. Bemerkungen: 1. Die Indizierung „frei“ wird meistens fortgelassen, aber man muss wissen, wie es gemeint ist! 2. Die Bezeichnung „Verschiebung“ hat historische Quellen. Hier wird nichts „verschoben“. Bei der Behandlung zeitabhängiger Ladungsverteilungen bekommt man allerdings ein gewisses Verständnis für diese Bezeichnung. Gespeicherte Energie: Die Arbeit, die benötigt wird, um die Ladung Q auf die Platten zu bringen, berechnet

sich nach wie vor aus 2

2

0 0

1 1 12 2

Q Q QW Udq q dq CUC C

= = ⋅ = =∫ ∫ . Mit der Kapazität aus

Gl. (45) ergibt sich also: 20

12 rW E= ε ε ⋅V .

Die Energiedichte des elektrischen Feldes lautet also im allgemeinen Fall:

20

1 12 2rw E E D= ε ε = ⋅ . (49)

Beispiele: Dielektrizitätszahlen rε verschiedene Materialien (20 ºC): Vakuum 1.0000 (Achtung: Bei diesen beiden Werten gibt es im [Gia] einen peinlichen Druckfehler: Luft 1.0006 Der Dezimalpunkt fehlt, und zwar sowohl in der Tabelle als auch im Text!) Papier 3.7 Öl 4 Porzellan 6-8 Wasser 80 Strontiumtitanat 300 Der Vorteil der meisten dieser Stoffe ist, dass sie nicht nur die Kapazität erhöhen, sondern auch eine höhere Durchschlagfestigkeit als Luft haben, der Kondensator kann also bei höherer Spannung betrieben werden. Dadurch kann die gespeicherte Energie gegenüber einem „Luft“-Kondensator der gleichen Baugröße leicht um einen Faktor 100 erhöht werden. Randbedingungen: Wir betrachten die Grenzfläche zwischen zwei Medien, z.B. Vakuum-Metall oder Vakuum-Dielektrikum. Wenn man die Feldgleichungen in Gebieten lösen will, in denen sich die Materialeigenschaften ändern, muss man wissen, wie sich das elektrische Feld beim Übergang zwischen den Medien ändert.

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Dies ergibt sich aus den Maxwellgleichungen, die im statischen Fall ohne freie Ladungen lauten:

0Eds =∫ (50)

und (51) 0 0rDdA EdA= ε ε =∫∫ ∫∫ Fall a: Vakuum-Dielektrikum

Vakuum Dielektrikum Wenn man das Linienintegral in Gl. (50) über einen geschlossenen Weg erstreckt, der außen dicht am Dielektrikum entlang läuft, und auf dem Rückweg dicht innerhalb des Dielektrikums zurück läuft, erkennt man: Die Tangentialkomponente von E muss stetig sein:

Diel VacE E= (52)

Daraus folgt: Die Tangentialkomponente von macht einen Sprung: D

Diel VacrD D= ε (53)

Analog kann man sich einen sehr flachen Quader vorstellen, dessen eine Fläche knapp außerhalb des Dielektrikums liegt und die andere dicht innerhalb. Aus dem Oberflächenintegral Gl. (51) ergibt sich dann: Brechungsgesetze:

Das Verhältnis tanEE

β⊥

= bestimmt den Winkel des E -Vektors gegen die

Oberflächennormale. Aus Gln. (52,55) ergibt sich das Brechungsgesetz für das elektrische Feld: tan tanDiel r Vacβ ε β= (56)

Vakuum

Die Normalkomponente von muss stetig sein: D Diel VacD D⊥ ⊥= (54)

EDie Normalkomponente von macht einen Sprung: E

1Diel Vac

r

E E⊥ =ε ⊥ (55)

Dielektrikum

VacE

Vakuum

Dielektrikum Dβ

Vβ

DielE

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Aus den Gln. (53,54) ergibt sich entsprechend das mit Gl. (56) identische

Vakuum

Dielektrikum Dβ

Vβ VacD

DielD

Brechungsgesetz für die Verschiebungsdichte: tan tanDiel r Vacβ ε β= (57) Fall b: Vakuum-Metall Da im Vakuum 1rε = ist und im Metall D = E = 0, verhält sich D genauso wie E, und wir brauchen nur das elektrische Feld zu betrachten: Da das Feld im Metall Null ist, muss wegen Gl. (50)die Tangentialkomponente des Feldes auch im angrenzenden Vakuum Null sein: 0Metall VacE E= = (58)

(Das hatten wir schon, es steht hier nur zur Vollständigkeit.) Die Normalkomponente machte einen Sprung an der Oberfläche wegen der durch die Induktion entstehenden Oberflächenladungsdichte σ :

0

0 Metall VacE E⊥ ⊥

σ= =

ε; (59)

(Auch dies ist nichts Neues, siehe S. 16.) Achtung: Dies sind die Brechungsgesetze für statische Felder. Man kann zwar mit Recht vermuten, dass die Brechungsgesetze für elektromagnetische Wellen ebenfalls etwas mit der Dielektrizitätszahl zu tun haben, aber der Zusammenhang ist etwas komplizierter. Man beachte auch, dass die Dielektrizitätszahl frequenzabhängig ist, man also z.B. bei optischen Frequenzen völlig andere Werte hat als im statischen Fall.

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