1. Licht eines Helium-Neon-Lasers (632 nm) fallt unter 45◦ auf die Oberflache einer Flussig-keit und wird dabei von der Einfallsrichtung um 15◦ abgelenkt.a) Wie groß ist die Brechzahl der Flussigkeit?b) Wie groß sind Lichtgeschwindigkeit, Frequenz und Wellenlange in der Flussigkeit?
2. Leiten Sie das SNELLIUS-Brechungsgesetz ab. Der Lichtstrahl soll die Strecke AB auf dem
”schnellsten“ Weg passieren (dt/dx = 0).
3. Welchen Strahlversatz b erleidet einfarbiges Licht beim Durchgang durch eine planparallelePlatte? d = 1,5 cm; n = 1,51; α = 45◦
� TIPP H-1:
B
A
a
b
s
s
s
1
2
1
2
xb
d a
-
zu 2. zu 3.
Stellen Sie Ihren Taschenrechner auf”DEG‘“, damit Sie Winkel in Grad eingeben konnen.
Fur Berechnungen im Bogenmaß (”RAD“) muss umgerechnet werden: α = απ/180◦.
� LOSUNG H-1:
1. a) Brechungsgesetz: n1 sin ε1 = n2 sin ε2 ⇒ n2 = n1sin ε1sin ε2
= 1 · sin 45◦sin(45− 15)◦ =
√2
b) n = cc0
⇒ c = c0n = 299 792 458 m/s√
2= 2,12·108 m/s
Die Lichtfrequenz f = c/λ andert sich bei der Brechung nicht.
3. (1) Brechungsgesetz: n = sin αsin β ⇒ β = arcsin sin α
n = arcsin sin 45◦1,51 = 27,9◦
(2) Dreiecke: sin(α − β) = ba und cosβ = d
a ⇒ Auflosen nach a und einsetzen:
b = d sin(α − β)cosβ = 1,5 cm · sin(45 − 27,9)◦
cos 27,9◦ = 0,50 cm
Alternativ (1)=(2) und Additionstheoreme: b = d sin α[
1 −√
1 − sin2 αn2 − sin2 α
]
� AUFGABE H-2: Totalreflexion: Lichtleiter �H.1.2.2 und 1.2.4
1. Unter welchem großten Winkel α tritt Licht aus einem Lichtleiter (Glasfaser) aus?
2. Wie groß muss mindestens die Brechzahl eines Lichtleiters (Glasfaser ohne Mantel) sein,damit Licht fur jeden Einfallswinkel durch Totalreflexion transportiert wird – auch an derStirnseite streifend einfallendes Licht.
3. Wie groß erscheint auf der Wasseroberflache der Durchmesser einer punktformigen Licht-quelle, die in 0,9 m Wassertiefe in alle Richtungen strahlt? Wasser n = 1,33; Luft: nL = 1
4. Wie groß ist der Laufzeitunterschied von rotem (680 nm) und grunem Licht (500 nm) ineiner 1 km langen Glasfaser? n(680) = 1,514; n(500) = 1,522
� LOSUNG H-2:
n = 1,5ni=1,6
a
gr
2x
y
x n = 1,33
gr
zu 1. zu 3.
1. Fur Totalreflexion wird α minimal: sin εgr = nani
= 1,501,60 ⇒ εgr = 69,64◦
Brechungsgesetz: sin α = ninL
sin β = 1,61,0 sin(90◦ − εgr) = 1,6 · sin 20,36◦ ⇒ α = 33,83◦
2. Bei streifendem Einfall an der Stirnseite liegt der Grenzfall der Totalreflexion vor. Die einfal-lenden und am Glasmantel reflektierten Strahlen mussen εgr = 45◦ erfullen,somit: n ≥ 1/ sin 45◦ = √
2
3. Außerhalb des Leuchtflecks findet Totalreflexion statt.
sin εgr = nLn = 1
1,33 ⇒ εgr = 48,8◦
tan εgr = xy ⇒ x = y tan εgr = 0,9 m · tan 48,8◦ = 1,03 m. Durchmesser 2x = 2,06 m
4. t = sc(500) −
sc(680) =
s n(500)− s n(680)c0
= 1000 m · (1,522− 1,514)299 792 458 m/s = 2,7·10−8 s
146 H Optik
� AUFGABE H-3: Polarisation �H.1.1.6, H.1.2.4-6
1. Ein naturlicher Lichtstrahl tritt durch drei um jeweils 60◦ verdrehte Polarisationsfilter.Wie groß die Lichtintensitat hinter jedem Filter?
2. Unter welchem Winkel stehen die Fenster (Brechzahl 1,56) des Entladungsrohrs einesHelium-Neon-Lasers, damit linear polarisiertes Licht ohne Reflexionsverluste hindurchtritt?
3. Laserstrahlung wird hinter einem doppelbrechenden Plattchen in zwei senkrecht zueinanderpolarisierte Komponenten aufgespalten. Welche resultierende Polarisation entsteht, wennder Phasenunterschied zwischen den gleich großen Komponenten a) 0, b) π /2, c) π betragt?
4. In einem Polarimeter wird hinter einer 10 cm dicken Kuvette mit Saccharoselosung derDrehwinkel 25,3◦ gemessen. Wie groß ist die Massen- und Stoffmengenkonzentration?Spezifische Drehung αs = +66,4 cm3g−1dm−1; M = 342,3 g/mol.
� LOSUNG H-3:
1. I = I0 cos2 α ⇒ I1I0= (cos 60◦)2 = 1
4 = 25 % (nach dem ersten Filter), I2I0= 1
4 · 25 % =6,25 % (nach dem zweiten Filter), I3
I0= 1
4 · 6,25 % = 1,56 % (nach dem dritten Filter).
2. Unter dem BREWSTER-Winkel wird in derEinfallsebene polarisiertes Licht an einerGlasflache nicht reflektiert:tan εB = n ⇒ εB = arctan 1,56 = 57,3◦.
B
3. a) Linear polarisiertes Licht mit der gleichen Polarisation wie die einfallende Strahlung.b) Zirkular polarisiertes Licht (siehe: LISSAJOUS-Figuren und λ/4-Plattchen).c) Linear polarisiert, um 90◦ gedreht zur Einfallsebene (λ/2-Plattchen).
4. αs = αβ d ⇒ β = α
αs d = 25,3◦66,4◦ cm3g−1dm−1·1 dm
= 0,381 gcm3
c = βM = 381 g/�
342,3 g/mol = 1,11·10−3 mol�= 1,11 mmol
�
� AUFGABE H-4: Koharenz und Bandbreite �H.1.3.1 und 1.3.2
1. Wann sind zwei Lichtwellen koharent? Wie kann man koharente Lichtwellen erzeugen?
2. Das Interferenzbild eines MICHELSON-Interferometers mit Laserlicht (632 nm) andert sichum drei Streifen. Um welchen Weg wurde der Spiegel verschoben?
3. Wie groß ist die Koharenzlangea) eines Helium-Neon-Lasers mit einer Bandbreite von 1 GHz,b) von Licht nach Durchgang durch ein Interferenzfilter mit λ = 1 nm,c) einer Gasentladungsrohre mit einer Lebensdauer der atomaren Zustande von 1 ns?
4. Die Koharenzlange eines Lasers betragt 20 cm.Wie groß ist die Linienbreite (Halbwertsbreite f )?
� LOSUNG H-4:
1. Wenn die Zeitabhangigkeit der Amplitude bis auf die Phasenverschiebung gleich ist.Erzeugung durch Reflexion, Beugung, Brechung aus demselben Wellenzug.
1 Wellenoptik 147
H
2. Fur drei Streifen: s = 32λ = 3
2 · 632 nm = 948 nm
3. a) lk = c0 f = 299792458 m/s
109 Hz≈ 0,3 m
b) f = c0λ
⇒ d fdλ = − c0
λ2 ⇒ | f | = c0λλ2 ⇒
lk = c0 f = λ2
λ= (632 nm)2
1 nm ≈ 4·10−4 m = 0,4 mm
c) Bandbreite f ≈ 1τ = 1
1 ns = 109 Hz ⇒ lk = c0f ≈ 0,3 m
4. f = c0lk≈ 3·108 m/s
0,2 m = 1,5 GHz
s
Spiegel 1
2
Interferenzbild
Strahlteiler
� AUFGABE H-5: Optischer Dopplereffekt �H.1.1.4
Ein Laserstrahl (632 nm) wird am 1000 m/s schnell stromenden Gasstrahl unter 180◦ gestreut.
a) Wie groß ist die Frequenzverschiebung, wenn Laser- und Gasstrahl parallel laufen?
b) Wie wird die Frequenzverschiebung gemessen?
c) Welche technischen Anwendungen kennen Sie dazu? Wie funktioniert die”Laserpistole“ zur
Verkehrsuberwachung? Welche Fehlerquellen konnen Sie als Verkehrssunder einwenden?
� LOSUNG H-5:
a) Die Frequenz des ruhenden Senders: f = cλ= 299792458 m/s
632·10−9 m= 4,74356·1014Hz
empfangen die bewegten Gasteilchen als: fE = f1+ v/c
und senden wiederum aus: f ′E = fE(1 − v
c) = f 1 − v/c
1 + v/c ≈ f(1 − v
c)2 ≈ f
(1 − 2v
c
)Frequenzverschiebung: f ′E − f = −2 v f
c = −2vλ= − 2·1000 m s−1
632·10−9 m= −3,16·109 Hz
b) Die Frequenzverschiebung f = -3,16 GHz tritt als Schwebungsfrequenz auf und kann aneinem Fotodetektor elektronisch gemessen werden.
c) Laser-Doppler-Verfahren zur beruhrungsfreien Geschwindigkeitsmessung, z. B. fur Laser-Radar, rotgluhende Stahlteile auf einem Band im Walzwerk, Stromungsmessung.
Die Laserpistole funktioniert nach dem Laufzeitverfahren: Die ausgesendeten Laserpulse wer-den vom bewegten Objekt reflektiert; in einer sogenannten BRAGG-Zelle werden ausgesand-tes und empfangenes Licht uberlagert. Die Entfernung korreliert mit der Laufzeit des Lichtes:s = c · 2t . Fehlerquellen sind die Erdkrummung (ab 400 m), Brechzahlanderungen der Luft(Temperatur: Sonneneinstrahlung; Feuchte: Nebel, Regen); die Strahlaufweitung durch zugroße Entfernung; die unerlaubte Messung auf einer nichtreflektierenden Oberflache (Wind-schutzscheibe statt Kennzeichen).
� AUFGABE H-6: Interferenz �H.1.3
1. Wie dick muss eine Aufdampfschicht (n = 1,36) sein, um eine Glasoberflache (nG = 1,54)fur Licht der Wellenlange 550 nm zu entspiegeln? Was gilt fur n = 1,60?
2. Eine plankonvexe Linse auf einer Glasplatte zeigt im reflektierten Laserlicht (632 nm)dunkle NEWTON’sche Ringe von 0,80 mm (1. Ring) und 1,40 mm Radius (3. Ring).Wie groß ist der Krummungsradius der Linse?
148 H Optik
� LOSUNG H-6:
1. • Bedingung fur Entspiegelung (nG < n):
nd = λ4 ⇒ d = λ
4n = 550 nm4·1,36 = 101 nm
• Ebenso fur Entspiegelung (nG > n):
d = 86 nm
2. Fur den m-ten dunklen Ring gilt: r2m = mλ R ⇒
R1 = (0,8 mm)2
1·632 nm = 1,013 mm bzw. R3 = 1,034 m. Mittlerer Krummungsradius: 1,023 m.
� AUFGABE H-7: Beugung am Gitter �H.1.4
Hinter einem Gitter mit Strichabstand 1,5 μm (= 667 Linien pro Millimeter) treten ein Beu-gungsmaximum 1. Ordnung bei α1 = 24,92◦ und 2. Ordnung bei α2 = 57,42◦ auf.
a) Welche Wellenlange hat das senkrecht auftreffende Laserlicht?
b) Welche Unterschiede treten bei Sonnenlicht auf? (1. Ordnung)
c) Welcher Unterschied besteht zum Lichtdurchgang durch ein Prisma?
� LOSUNG H-7:
a) sin α = nλd ⇒ λ = d sin α
n
λ(n=1) = 1.5·10−6 m·sin 24,92◦1 = 632 nm (He-Ne-Laser). Ebenso fur n = 2.
b) Langwelliges Licht wird starker gebeugt als kurzwelliges Licht, da α = arcsin(λ/d):
α(rot: 750 nm) = 30◦; α(blau: 400 nm) = 15,5◦. Es entsteht ein Farbspektrum.
c) Prisma: Lichtbrechung (Dispersion: blau starker als rot).
Gitter: Lichtbeugung (Uberlagerung HUYGENS’scher Elementarwellen:rot starker als blau).
� AUFGABE H-8: Beugung am Spalt �H.1.4
Bei der Beugung an einem 5 μm breiten Spalt erscheint das Minimum 1. Ordnung auf dem50 cm entfernten Schirm 5 cm vom zentralen Maximum entfernt.
a) Wie groß ist die Wellenlange des verwendeten Lichts?
b) Wie andert sich das Beugungsbild, wenn der Spalt verbreitert wird?
c) Wie andert sich das Beugungsbild am Doppelspalt (im Abstand der Spaltbreite)?
1. Der Strahl einer Quecksilberdampflampe dringt durch einen Spalt (0,5 mm), einen d = 0,25mm engen Beugungsspalt, ein Grunfilter, ein Dia mit aufgedrucktem Strichmaßstab (s = 1mm; Abstand l = 315 mm vom Spalt) und eine Lupe ins Auge des Beobachters.
Wie groß ist die Wellenlange der Lampe, wenn das 1. bis 8. Beugungsmaximum im Abstandsn = (1,0; 1,7; 2,6; 3,2; 3,9; 4,7; 5,3 bzw. 6,0) mm vom Hauptmaximum gemessen wird?
2. Das Licht einer Quecksilberdampflampe dringt durch einen Spalt (0,5 mm), ein Linsensy-stem und ein Beugungsgitter (a = 0,01 mm) auf ein l = 440 mm vom Gitter entferntes Linealmit Millimeterteilung. Welche Wellenlangen haben die Linien?
gelb grun blauBeugungsordnung n 1 2 3 1 2 3 1 2 3Abstand vom Hauptmaximum sn / nm 25,5 52 78 25 49 72,5 19 39,5 59
� LOSUNG H-9:
1. Bei der FRAUNHOFER-Beugung sind Lichtquelle und Beugungsbild in der Brennebene.Die Auswertung der Messdaten liefert den Mittelwert λ = 560 nm.Die sin α(n)-Kurve steigt linear mit der Steigung 0,00227 an (Regression 99,93%).
Beugungsordnung n 1 2 3 4 5 6 7 8Abstand sn 1,0 1,7 2,6 3,2 3,9 4,7 5,3 6,0 mmsinαn = sn
l 0,00317 0,0054 0,00825 0,0102 0,0124 0,0149 0,0168 0,0191
λ = d
n+1/2sinαn 529 540 590 564 563 574 561 560 nm
2. Das Gitter liefert fur jede Linie eine Gerade im sin α(n)-Diagramm.
λ = an sinαn = a
n sin(
arctan snl
)≈ a
n · snl
gelb grun blauBeugungsordnung n 1 2 3 1 2 3 1 2 3sinαn ≈ sn
1. Eine Satellitenkamera soll zwei einen Meter entfernte Punkte aus 300 km Hohe erfassen.a) Welcher Linsendurchmesser ist erforderlich? (λ = 555 nm)b) Welchen Abstand haben die Punkte auf dem Film bei einer Brennweite von 200 mm?
2. Welchen Abstand auf dem 384 400 km entfernten Mond lost ein 5-Meter-Spiegelteleskopauf?
3. Ein Mikroskop soll Objekte von 0,3 μm auflosen.Wie sind Brennweite und numerische Apertur zu wahlen?Wie weit ist das Zwischenbild vom Objektiv entfernt?Objektivvergroßerung 20×; -durchmesser 1,3 mm; Tubuslange 160 mm; Auflosung 0,3 μm; λ = 550 nm
4. Wie kann man die Auflosung eines gegebenen Lichtmikroskops steigern?
5. Wie groß ist der kleinste auflosbare Sehwinkel des Auges im Bogen- und Gradmaß?
150 H Optik
� LOSUNG H-10:
1. a) Kleinster auflosbarer Winkelabstand (Sehwinkel) wie beim Fernrohr:
sin δ ≈ δ = 1,22 λd
!= xh ⇒ d = 1,22 λ h
x = 1,22 · 555 nm·300 km1 m = 0,17 m
b) BG = b
g und b ≈ f ⇒ B = G fg = 1 m · 0,2 m
−3·105 m≈ −0,7 μm
(Minuszeichen wegen Bildumkehr)
Hinweis: Der winzige Abstand von 0,7 μm ist immer noch groß gegenuber den atomarenDimensionen der Silberpartikel auf der Filmschicht. Eine Digitalkamera genugt nicht!
2. wie 1a): x = δh = 1,22 λhd = 1,22 555 nm·384400 km
5 m = 52 m
3. • Brennweite des Objektivs: f1 = tβ = 160 mm
20 = 8 mm
• Numerische Apertur: A = n sin θ2!= 0,61 λg = 0,61 · 550 mm
0,3 μm = 1,12
• Bildweite: b = t + f1 = 168 mm
4. Ein Immersionsol (n > 1) zwischen Objektiv und Objekt steigert die numerische Apertur A,somit den kleinsten auflosbaren Abstand: g = 0,61 λ/A.
5. Fur einen mittleren Pupillendurchmesser von 3 mm und eine mittlere Wellenlange von 600nm ist mit der Umrechnung ins Gradmaß ϕ = x · 180◦/π :
δ ≈ 1,22 λd = 1,22 · 600 nm3 mm = 2,44·10−4 rad = 0,014◦ ≈ 1′ (Winkelminute)
� AUFGABE H-11: Laser �H.1.3.4
a) Warum sinkt der Wirkungsgrad von Lasern in der Reihe:Halbleiterlaser > Molekulgaslaser (z. B. CO2) > atomarer Gaslaser (z. B. He-Ne)?
b) Wie sieht das Termschema qualitativ aus?
� LOSUNG H-11:a) Je mehr sich die Anregungsenergie vom
Grundzustand in den angeregten Zustandvom emittierten Laserlicht unterscheidet, um-so schlechter ist der Wirkungsgrad.Halbleiterlaser erreichen etwa 100%, CO2-Laser etwa 50% und Atomgaslaser noch gerin-gere Wirkungsgrade.
b) Atomare Energiestufen rucken mit zunehmen-der Energie zusammen (�K.2.1.4); moleku-lare Energiestufen zeigen eine Feinstruktur;fur Halbleiter gilt das Energiebandermodell(�G.7.2.5).
Atom MolekülHalbleiter
Laser-übergang
1 Wellenoptik 151
H
� AUFGABE H-12: Laser: Leistung �H.1.3.4
1. Helium-Neon-Laser (1 mW, 632 nm)a) Wieviele Photonen pro Sekunde strahlt der Laser ab?b) Wie hoch ist die Energie eines Photons in J und eV?c) Welche Leistungsdichte erreicht ein auf 2 μm fokussierter Strahl?
2. Welche Wellenlange liefert ein Rh6G-Farbstofflaser mit der Linienbreite 80 THz und derMittenwellenlange 0,6 μm?
3. In einen 5 cm langen Nd:YAG-Kristall tritt Strahlung mit der Leistung 1 MW ein und mit 3MW aus. Wie groß sind a) der Verstarkungsfaktor G, b) die differentielle Verstarkung g?
Ein gepulster Festkorperlaser wandelt 1,5 % der Energie der Blitzlampe in Laserpulse von0,2 ms Dauer. Die Lampe wird bei 20 Hz mit einer Pulsenergie von 1 J betrieben.
a) Wie groß sind Pulsenergie, Pulsleistung und mittlere Leistung der Laserstrahlung?
b) Wie muss der Kondensator fur die 1 kV-Lampe dimensioniert werden?
c) Wieviel steigt die Temperatur im Kuhlkreislauf, wenn 95 % Abwarme je Watt elektrischerLeistung anfallen? V = 1 �/min; cp = 4182 J kg−1K−1
d) Welche Materialdicke verdampft je Sekunde unter dem 1 mm2 großen Laserstrahl?hv = 2200 kJ/kg; � = 4500 kg/m3
� LOSUNG H-13:
a) E = ηEL = 1,5 % · 1 J = 0,015 J
P = Et = 0,015 J
0,2·10−3 s= 75 W
P = f E = 20 Hz · 0,015 J = 0,3 W
b) W = 12 CU2 != EL ⇒ C = 2W
U2 = 2·1 J(1000 V)2
= 2 μF
c) Die elektrische Leistung ist: Pel = f EL = 20 Hz · 1 J = 20 W
Q = mcP T!= ηPel ⇒ T = ηPel
V� cp= 0,95·20 W
(0,001/60) m3s−1·1000 kg m−3·4182 J kg−1K−1 = 0,27 K
d) Q = �V hv!= P ⇒ d = P
hv � A = 0,3 W2200 kJ kg−1·4500 kg m−3·(10−3 m)2
≈ 30 μms
152 H Optik
� AUFGABE H-14: Laser: Moden �H.1.3.4
1. Wieviele Moden schwingen in einem 1 m langen He-Ne-Laser mit der Linienbreite 0,5 GHz?Wie verhalt es sich bei kurzeren Lasern?
2. Welche Langenanderung darf bei einem 50 cm langen He-Ne-Laser (632 nm) auftreten,damit die Frequenzverschiebung einer Mode hochstens 100 MHz betragt?
3. Mit wievielen transversalen Moden strahlt ein Nd:YAG-Laser (1064 nm), wenn die Diver-genz mit
1. Ein He-Ne Laser (632 nm) strahlt in der TEM00-Mode mit d = 0,7 mm Durchmesser.a) Wie groß ist die Strahldivergenz?b) Wie groß ist der Strahldurchmesser D in 50 m Entfernung?c) Wie sieht der Strahlverlauf aus?
2. Wie groß ist die Bestrahlungsstarke (Intensitat) in 1 m Entfernung:a) einer 100-W-Gluhlampe (Kugelstrahler) mit einer Lichtleistung von 1 W?b) eines 1 mW-Lasers mit 1 mm Strahldurchmesser?
3. In welcher Entfernung erkennt das menschliche Auge gerade noch eine kugelformig strah-lende Lichtquelle (0,5 mW; 600 nm)? Sehschwelle 3·10−17 W; Pupillendurchmesser 7 mm
4. a) Ein Laserstrahl mit dem Radius r0 und dem (halben) Divergenzwinkel θ = λ/(πr0) wirddurch eine Linse mit der Brennweite f fokussiert. Beweisen Sie, dass fur den Strahlradiusim Brennfleck gilt: r ′ = λ f/(πr0).
b) Wie groß ist der Brennfleck eines Laserstrahls (488 nm) von 2 mm Durchmesser auf derNetzhaut? Brennweite des Auges: 25 mm
� LOSUNG H-15:
1. a) θ = λπr0
≈ λπ (d/2) =
632 nmπ ·(0.7 mm)/2
= 0,575 mrad (0,033◦)b) D = d + 2x = d + 2l tan θ ≈ d + 2l · θ
= 0,7 mm+ 2 · 50 m · 5,75·10−4
= 0,058 m = 58 mm
c) Strahlprofil: �Bild
d
l
xD
1 Wellenoptik 153
H
2. a) I = PS = P
4πr2 = 1 W4π ·(1 m)2
≈ 0,08 Wm2 (kugelformige Abstrahlung, Abstand r = 1 m)
b) I = PA = P
πr2 = 0,001 Wπ ·(0,5 mm)2
≈ 1270 Wm2 (Strahlradius r in 1 m Entfernung)
3. Is = Ps
πr2s︸ ︷︷ ︸
Auge
!= I = P
4πr2︸ ︷︷ ︸Laser
⇒ r =√
P r2s
4Ps=√
0,5·10−3 W·(3,5 mm)2
4·3·10−17 W≈ 7 km
4. a) Ein achsenparalleler Strahl wird im Brennpunkt fokussiert. Ein um den Winkel θ geneigterStrahl wird um r ′ verschoben gebundelt: r ′ = f tan θ ≈ f θ .Mit θ = λ/(πr0) folgt r ′ = f λ/(πr0).
b) r ′ = λ fAugeπr0
= 488 nm·25 mm
π ·2/2 mm≈ 3,9 μm
� AUFGABE H-16: Gas- und Festkorperlaser �H.1.3.4, D.4
1. Wie groß sind die Partialdrucke, Gas- und Teilchendichte im He-Ne-Laser bei 21 ◦C?Fulldruck p = 500 Pa; He : Ne = 5 : 1; M(He) = 4,00 g/mol; M(Ne) = 20,2 g/mol; Vm = 22,414·10−3 m3/mol
2. a) Wie groß ist die Energiedichte eines Rubinlasers (0,02 % Cr) nach dem Pumpen?�Rubin = 4 g/cm3; M(Cr) = 52 g/mol; λ = 694 nm
b) Wie groß ist die Lichtintensitat von 10 ns-Pulsen aus einem 5 cm langen Kristall mit3 mm Durchmesser?
3. Welche Wellenlange und welche Farbe hat der Strahl eines Nd:YAG-Lasers (1064 nm), wenner durch einen Kristall zur Frequenzverdoppelung tritt?
� LOSUNG H-16:
1. Partialdruck: pHe = 56 p = 417 Pa; pNe = 1
6 p = 83 Pa;
Gasdichte: p0V0T0
= p1V1T1
⇒ p0VmnMT0
= p1�1T1
⇒ �1 = MVm
p1p0
T0T1
= Mp1RT1
�He = 4 g mol−1·417 Pa·273,15 K22,414 �mol−1·101325 Pa·294,15 K
= 6,81·10−4 kgm3
�Ne = 20,2 g mol−1·83 Pa·273,15 K22,414 �mol−1·101325 Pa·294,15 K
= 6,86·10−4 kgm3
Mittlere Gasdichte: � = 56�He + 1
6�Ne = 6,88·10−4 kgm3
Teilchendichte: pV = m RBT = NkT mit RB = R/M und k = R/NA ⇒NV = � NA
M = 6,88·10−4 kgm3 · 6,022·1023 mol−1
( 56 ·4+ 1
6 ·20,2)·10−3 kg/mol= 6,18·1022 m−3
2. a) c = nV = N
NAV = �wM ⇒
NV = �wNA
M = 4 g cm−3·0,02 %·6,022·1023 mol−1
52 g mol−1 = 9,3·1018 cm−3 = 9,3·1024 m−3
EV = N
V h f = NV
hcλ= 9,3·1024 m−3·6,626·10−34 Js·299792458 ms−1
694 nm = 2,66 MJm3
2-Niveau-Laser: hochstens die Halfte der Atome kann”lasern“, also E/V ≤ 1,33 MJ/m3.
1. Drehspiegel. Um wieviele Millimeter bewegt sich der reflektierte Laserstrahl auf der Skalax bei einer Drehung des Spiegels um α = 50′′? (Abstand r = 1 m)
2. Wie groß muss der Spiegel sein, damit Herr Eikopf sein Antlitz vollstandig sehen kann?
� LOSUNG H-17:
2
x
r = 1 mh
h
h1
2
h
h
1
2
zu 1. zu 2.
1. x = r tan 2α ≈ 2r α = 2 · 1 m · 2π · 50′′
360◦ · 3600′′︸ ︷︷ ︸0,000242 rad
= 0,485 mm
Mit der Einstellung”DEG“ und den Tasten ◦ ′ ′′ auf dem Taschenrechner direkt:
x = 1 m · tan(2 · (0◦0′50′′)) = 0,485 mm
2. Der Spiegel muss mindestens halb so groß wie der Kopf sein: h ≥ h/2.
� AUFGABE H-18: Hohlspiegel (Konkavspiegel) und Wolbspiegel (Konvexspiegel) �H.2.2.1
1. Wie ist der Abbildungsmaßstab eines konkaven Rasierspiegels (Krummungsradius 40 cm),wenn der Gegenstand sich 10 cm vor dem Spiegel befindet? Skizzieren Sie den Strahlengang.
2. Ein Ruckspiegel im Auto bildet einen 10 m entfernten Gegenstand 200-fach verkleinert ab.Wie groß sind Brennweite und Krummungsradius? Ist der Spiegel konvex?
� TIPP H-18:
Brennweite des Hohlspiegels f = r/2, des Wolbspiegels f = −r/2.Gegenstands- und Bildgroße (B, G) zahlen positiv in Richtung der y-Achse.Gegenstands- und Bildweite (g, b) sind positiv auf der Spiegelseite. Lichteinfall von links.
� LOSUNG H-18:
1. 1f = 1
g + 1b ⇒
b =[
1f −
1g
]−1 =[
112 · 0,4 m
− 10,1 m
]−1
= −0,2 m
Abbildungsmaßstab: BG = −b
g = 2 M F
virtuell
2 Geometrische Optik 155
H
2. BG = −b
g = 1200 ⇒ b = − 10 m
200 = −0,05 m
1f = 1
g + 1b ⇒ f =
[1
10 m + 1−0,05 m
]−1 = −0,0503 m ≈ b (konvex)
Krummungsradius: r = 2 | f | ≈ 0,1 m
� AUFGABE H-19: Sammellinse (Konvex-) und Zerstreuungslinse (Konkavlinse) �H.2.2.3
1. Ein Gegenstand befindet sich 8 cm vor einer Plankonvexlinse mit 3 cm Brennweite.Wo liegt das Bild? Wie groß ist der Abbildungsmaßstab? Wie sieht der Strahlengang aus?
2. Berechnen Sie Teilaufgabe 1 fur eine Plankonkavlinse.
3. Ein Gegenstand wird in negativ 20-facher Vergroßerung auf einer 5 m entfernten Wand ab-gebildet. Wie groß ist die Brennweite? Wie sieht der Strahlengang aus?
4. Eine dunne bikonvexe Linse (n = 1,53) bildet einen 1 m entfernten Gegenstand 20 cm vonder Linsenmitte entfernt ab. Wie groß sind die beiden gleichen Linsenradien?
� TIPP H-19:
F
F´
Linse
reell
virtuell
F F'
zu 1. zu 2.
Vorzeichenregel: Gegenstands- und Bildgroße (B, G) zahlen positiv in Richtung der y-Achse.Gegenstands- und Bildweite (g, b) sind positiv in Richtung der x-Achse (= Lichtrichtung).Ist die Bildweite negativ (b < 0), ist das Bild virtuell.Ist die Brennweite negativ ( f < 0), liegt eine Zerstreuungslinse vor.
� LOSUNG H-19:
1. Sammellinse: 1f = 1
b − 1g ⇒ b =
(1f +
1g
)−1 =(
13 cm + 1
−8 cm
)−1 = 4,8 cm
Abbildungsmaßstab: BG = b
g = 4,8 cm−8 cm = −0,6
2. f = –3 cm; b = –2,2 cm; B/G = b/g = 0,27.
3. BG = b
g = −20 ⇒ b = −20 g
−g + b = 5 m ⇒ g = − 521 m
f =(
1b − 1
g
)−1=(
1100/21 m
− 15/21 m
)−1
= 0,227 m
g b
F F´
4. f =(
1b − 1
g
)−1 =(
10,2 m − 1
−1 m
)−1 = 0,17 m
1f = (n−1)
(1r1− 1
r2
)und r1=−r2 ⇒ r = 2(n−1) f = 2·(1,53−1)·0,17 m = 0,177 m
156 H Optik
� AUFGABE H-20: Linsensystem �H.2.2
1. Ein 2 cm großes Objekt steht in 30 cm Entfernung vor Linse 1 (Brennweite 26 cm), an diesich im Abstand von 11 cm Linse 2 (Brennweite -11 cm) anschließt.Wie sind Lage und Große des Bildes?
2. Eine Sammellinse mit 8 cm Brennweite soll mit einer zweiten Linse zu einem System mit12 cm Brennweite kombiniert werden. Welche Brennweite muss die zweite Linse haben?
� LOSUNG H-20:
zu 1.
FG
g
b
F´
F1
1
1 2
F´2 1 1
Zwischenbild B1
1 2
B2
g2
b2
B1
Linse 1
Linse 2
1. Fur Linse 1: b1 =(
1f1+ 1
g1
)−1 =(
126 cm + 1
−30 cm
)−1 = 195 cm
B1 = G1b1g1
= 2 cm · 195 cm−30 cm = −13 cm
Fur Linse 2: b2 =(
1f2+ 1
g2
)−1 =(
111 cm + 1
(195−11) cm
)−1 = 10,38 cm
f2 > 0, weil die Brennweite nach rechts zeigt (obwohl Zerstreuungslinse).
B2 = B1b2g2
= 13 cm · 10,38 cm(195− 11) cm = −0,73 cm
2. Die Brechwerte addieren sich: 1f = 1
f1+ 1
f2⇒ f2 = −24 cm
� AUFGABE H-21: Sammellinse: Brennweite nach BESSEL �H.2
Nach dem BESSEL-Verfahren wird eine Sammellinse zwischen Gegenstand und Bildschirm ineinem festen Abstand s verschoben. Zeigen Sie, dass die Brennweite f = (s2 − e2)/(4s) ist,wenn e den Abstand zwischen den Linsenpositionen bezeichnet, bei denen ein vergroßertesbzw. verkleinertes Bild entsteht.
� LOSUNG H-21:Aus dem Bild: s = 2 |g| + e = |b| + |g|;|g| = s − e
2 ; |b| = s − |g| = s + e2
Vorzeichenregel: g ist negativ, b positiv.
f =(
1b − 1
g
)−1 =(
2s + e − −2
s − e
)−1 == s2 − e2
4s
F´F
Position 1 2
g e gb
s
3 Optische Instrumente 157
H
3 Optische Instrumente
� AUFGABE H-22: Auge und Brillenglaser �H.3.1.1
1. Um wieviele Millimeter verandert eine Lesebrille der”Starke 2“ die Brennweite am Auge
( fAuge = 26 mm)?
2. Herr Kurzsichtig sieht in einer Entfernung zwischen 12 und 35 cm scharf. Die Lange seinerAugapfel (Bildweite) betragt 2,6 cm.a) Welche Brechkraft braucht die Brille, um den Fernpunkt ins Unendliche zu verschieben?b) Wo liegt mit Brille der
”Nahpunkt“?
3. Ein Brillenglas mit der Brechkraft D = 1,5 dpt ist konkav-konvex geschliffen. Der Radiusder konkaven Flache betragt 24 cm, der konvexen 14 cm. Wie groß ist die Brechzahl n?
4. Ein 1 mW-Laserstrahl fallt mit dem (halben) Divergenzwinkel θ = 1,6·10−4 rad ins Auge.a) Wie groß ist der Brennfleck auf der Netzhaut? ( fAuge = 26 mm)b) Wie hoch ist die Leistungsdichte auf der Netzhaut?
� LOSUNG H-22:
1. Die Brechkraft von Auge 1 und Brille 2 (D2 = 2 dpt) addiert sich; die Brennweite am Augewird um 1,3 mm kurzer.
4. a) Der durch die Augenlinse fokussierte Lichtpunkt verschiebt sich beim Verkippen auf derNetzhaut um: r ≈ fAugeθ = 4,2 μm.
Der Durchmesser des Brennflecks ist: d = 2r = 8,4 μm.
b) PA = 0,001 W
π(4,2·10−6 m)2= 1,8·107 W
m2 (Gefahrlich!)
158 H Optik
� AUFGABE H-23: Fotoapparat �H.3, H.2.2.5
1. Welche Bodenflache bildet eine Luftbildkamera ( f = 50 cm) auf einem Film mit dem Format(20×20) cm2 aus einer Hohe von 5 km ab?
2. Welche Gegenstandsgroße bildet ein Fotoapparat ( f = 50 mm) bei einer Entfernung von 1,2m auf einem Film (24 mm x 36 mm) im Hochformat ab?
3. Um welche Strecke s muss ein 50 mm-Objektiv verschiebbar sein, damit eine Einstellungzwischen 0,7 m und Unendlich moglich ist?
4. a) Was bedeutet die Blendenzahl?b) Wie groß ist die Belichtungszeit bei Blende 16, wenn 1/10 s bei Blende 4 richtig ist?
5. Welche Brennweite benotigt eine Makrovorsatzlinse, damit ein auf Unendlich eingestelltes50 mm-Objektiv Gegenstande im Maßstab 1 : 1 abbildet?
6. Das 50 mm-Objektiv mit dem Einstellbereich von Unendlich bis 70 soll durch einen Zwi-schenring fur Makroaufnahmen auf kleinere Entfernungen erweitert werden.a) Wie hoch ist der Zwischenring?b) Welcher kleinste Motivabstand ist machbar?
� LOSUNG H-23:
1. BG = b
g ⇒ G ≈ B gf = 0,2 m · −5000 m
0,5 m = −2000 m (Minus: Bild steht Kopf).
Bodenflache: A = G2 = 4 km2
2. G = B gb = Bg
(1f +
1g
)= B
(gf + 1
)= 0,036 m ·
(−1,2 m0,05 m + 1
)= −0,83 m
Umgekehrtes Bild; g ist negativ, weil es von der Linse nach links wegzeigt.
3. s = b0 − b∞ =(
1f +
1g
)−1−(
1f +
1∞)−1 =
(1
50 mm + 1−700 mm
)−1− 50 mm = 3,85 mm
4. a) Blendenzahl k = Kehrwert des Offnungsverhaltnisses f/dd Blendendurchmesser (Eintrittspupille), f Brennweite
Stufung mit dem Faktor√
2, d. h. k ≈ 1; 1,4; 2; 2,8; 4; 5,6; 8; 12, 16,. . .Von einer Blendenzahl zur nachsten halbieren sich Blendenflache und Belichtungszeit.
b) Drei Blendenstufen verringern die Belichtungszeit auf 123 = 1
8 , also 1/8·0,1 s = 0,0125 s.
Alternative Rechnung:(
Blende 4Blende (16−4)
)2 = 19 ≈ 1
8
5. Maßstab: BG = b
g = −1 ⇒ b = −g
Aus 1b = 1
fges+ 1
g folgt: b = 2 fges
Das Objektiv ( f1 = 50 mm) ist auf Unendlich eingestellt (g →∞), d. h.
aus 1b = 1
f1+ 1
g = 1f1+ 1
∞ folgt: b = f1 = 50 mm (= 2 fges)
1fges
= 1f1+ 1
f2⇒ f2 =
(1
fges− 1
f1
)−1
=(
125 mm − 1
50 mm
)−1 = 50 mm
6. a) Bildweite am Nahpunkt: b =(
1f +
1g
)−1 =(
150 mm + 1
−700 mm
)−1 = 53,85 mm
Hohe des Zwischenrings: h = b − f = 3,85 mm
b) g′ =(
1b + h − 1
f
)−1 =(
1(53,85+3,85) mm − 1
50 mm
)−1 = −375 mm ≈ −37 cm
3 Optische Instrumente 159
H
� AUFGABE H-24: Fernrohr und Fernglas �H.3, H.2.2.1
1. Ein 21 m langes KEPLER-Fernrohr soll einen Laserstrahl von d1 = 1 mm Durchmesser (hal-ber Divergenzwinkel θ1/2 = 0,7 mrad) so aufweiten, dass auf der 384 000 km entferntenMondoberflache ein 100 m großer Fleck entsteht. Welche Brennweiten sind notwendig?
2. Ein Opernglas (GALILEI-Fernrohr) hat ein Objektiv ( f1 = 8 cm, d1 = 3 cm) und ein Okular( f2 = –2 cm).a) Welche Werte haben Vergroßerung und Lange? (Auge auf Unendlich akkomodiert)b) Wie groß ist der Sehwinkel des Bildfeldes, wenn das Auge 1 cm vor dem Okular ist?
3. Ein Fernglas vom KEPLER-Typ mit der Bezeichnung 10 × 100; 5.5◦ besitzt ein Objektivmit 12 cm Brennweite. Der Strahlengang sei ungefaltet.a) Wie groß sind Vergroßerung, Okularbrennweite und Baulange?b) Wie groß ist die Austrittspupille? Wo liegt sie?c) Wie groß ist der Sehfeldurchmesser?
� LOSUNG H-24:
1=F
2F´
f1
f2
d1 d2f2 f1
F1’=F2
Austrittspupille
f1
f2
d1
f1 f2
Austrittspupille 1
F2
f1
f2
AP
= FF1=F2
f2 AP f1
zu 1. zu 2. zu 3.
1. Strahlaufweitung = Winkelvergroßerung des Fernrohres:
V = f2f1= d2
d1
!= θ1θ2
= 2·0,7·10−3
100 m/384·106 m= 5376
Baulange: l = f1 + f2 = f1(1+ 5376)!= 21 m ⇒ f1 = 3,9 mm; f2 = f1V ≈ 21 m
Objektivdurchmesser d2 = 5,376 m. Das System kann als Spiegelteleskop realisiert werden.
2. a) V =∣∣∣ f2
f1
∣∣∣ = 4; l = f1 − | f2| = 6 cm.
b) Das Bildfeld ist durch den Objektivdurchmesser begrenzt. Die virtuelle Austrittspupilleliegt zwischen Objektiv und Okular (Minuszeichen!):
b =(
1f2+ 1
g
)−1 =(
1−2 cm + 1
−6 cm
)−1 = −1,5 cm
Durchmesser der Austrittspupille:d ′1d1
= bg ⇒ d ′1 = d1
bg = 3 cm · −1,5 cm
−6 cm = 0,75 cm
Sehwinkel, wenn das Auge von der Austrittspupille b′ = 2,5 cm entfernt ist.
tan σ2 = d ′12 · b′ ⇒ σ = 2 arctan 0,75 cm
2·2,5 cm = 17◦
3. a) 10 × 50; 5.5◦ bedeutet: 10-fache Winkelvergroßerung, 100 mm Objektivdurchmesserund 5,5◦ Sehwinkel.
V = f1f2
⇒ f2 = f1V = 12 cm
10 = 1,2 cm; l = f1 + f2 = 13,2 cm
b) Die Objektivumrandung wird durch das Okular abgebildet; nachst der Brennebene desOkulars entsteht die Austrittspupille mit dem Durchmesser: d ′ = d
V = 100 mm10 = 10 mm.
c) Sehfelddurchmesser: d ′b′ = 2 tan σ2 = 2 tan 5.5◦
2 = 0,096⇒ d ′ = 96 m (in 1 km Entfernung)
160 H Optik
� AUFGABE H-25: Projektor �H.3
1. Ein Diaprojektor mit der Brennweite 60 mm wirft Lichtbilder der Große 24 mm × 36 mman eine 9 m entfernte Wand.a) Wie groß ist der Abstand des Dias vom Objektiv?b) Wie groß ist das Bild an der Wand?c) In welchem Verhaltnis stehen die Flachen von Bild und Dia?
2. Ein Overhead-Projektor bildet eine Flache von 30 cm × 30 cm in drei Metern Entfernungauf 2 m × 2 m ab. Wie groß ist die Brennweite des Objektivs?
� LOSUNG H-25:
1. a) Das Dia befindet sich ungefahr in der Brennweite des Objektivs. Genauer:
g =(
1b − 1
f
)−1 =(
19·103 mm
− 160 mm
)−1 = −60,4 mm
b) BG = b
g ⇒ B = G bg =
∣∣∣(24 bzw. 36)·10−3 m · 9 m−60,4·10−3 m
∣∣∣ = 3,58 m bzw. 5,36 m
c) ABAG
= 3,58·5,36 m2
24·36·(10−3 m)2≈ 22200
2. BG = b
g (< 0, Minuszeichen wegen Bildumkehr) und 1b = 1
f +1g ⇒
f =(
1b − 1
g
)−1 =(
1b − B/G
b
)−1=(
13 m − −2 m/0,3 m
3 m
)−1 = 0,39 m
� AUFGABE H-26: Lupe �H.3.1.2
Ein Gegenstand wird in die Brennebene einer Lupe gehalten ( f = 5 cm) und betrachtet.
a) Wie groß ist die Vergroßerung?
b) Was ist der Abbildungsmaßstab und wo liegt das Bild?
c) An welche Stelle muss der Gegenstand gehalten werden, damit das Bild in der deutlichenSehweite des Auges entsteht?
d) Wie groß ist in diesem Fall die Vergroßerung?
� LOSUNG H-26:
a) V = af = 25 cm
5 cm = 5, wobei a die Normsehweite des Auges ist.
b) Die Vergroßerung gibt das Verhaltnis der Sehwinkel mit und ohne Lupe an. Der Abbildungs-maßstab beschreibt das Verhaltnis von Bild- zu Gegenstandsgroße. In diesem Fall ist die Bild-große unendlich und das Bild liegt auch im Unendlichen.
c) Abstande rechts von der Linse zahlen positiv, links davon negativ.
1b = 1
f +1g ⇒ g =
[1b − 1
f
]−1 =[
1−25 cm − 1
5 cm
]−1 ≈ −4,17 cm
d) Abbildungsmaßstab BG = b
g = − f + bf = a − f
f = (25− 5) cm5 cm = 4 = V .
Mit und ohne Lupe liegt der Gegenstand in der deutlichen Sehweite a = 25 cm.
3 Optische Instrumente 161
H
� AUFGABE H-27: Mikroskop �H.3.1.3
1. Ein Mikroskop besitzt eine Tubuslange von t = 160 mm, ein Objektiv mit f1 = 4 mm und einOkular mit f2 = 20,8 mm Brennweite. Wie groß sind: Abbildungsmaßstab von Objektiv undOkular, Gesamtvergroßerung, Gegenstandsweite des Objekts und das Objektfeld bei einemZwischenbild von 1,5 cm Durchmesser?
2. a) Welche Objektivbrennweite hat ein Mikroskop mit 250-facher Vergroßerung,20 mm Okularbrennweite und 160 mm Tubuslange?
b) Wie groß ist der Abstand der Skalenstriche eines Glasmaßstabes in der Zwischenbild-ebene, damit eine Gegenstandslange von 0,01 mm markiert wird?
3. In einem Laser-Scanning-Mikroskop wird eine Probe mit einem fokussierten Laserstrahlabgetastet. Wie groß ist der Fokusdurchmesser, wenn ein Objektiv (40×) von einem Laser-strahl (532 nm) mit einem Durchmesser von 5 mm durchstrahlt wird?
4. Ein Mikroskop besitzt ein Okular 12,5× und ein Objektiv 40×. Tubuslange 160 mma) Wie groß sind die Brennweiten?b) Wie groß ist die Vergroßerung des Mikroskops?c) Das Zwischenbild besitzt einen Durchmesser von 1,5 cm. Wie groß ist das Objektfeld?
� LOSUNG H-27:
1. Abbildungsmaßstab des Objektivs: β = BG ≈ t
f1= 160 mm
4 mm = 40
Vergroßerung des Okulars: Vok = sf2= Sehweite: 25 cm
(20,8/10) cm = 12
Vergroßerung des Mikroskops: V = βVok = 480
Gegenstandsweite: g =(
1b − 1
f1
)−1und b = t + f1 ⇒
g =(
1(160+4) mm − 1
4 mm
)−1 = −4,1 mm (≈ − f1)
Durchmesser des Objektfeldes: G = Bβ= 1,5 cm
40 = 0,0375 cm = 0,375 mm
2. a) Vok = 12,5; β = VVok
= 20; f1 = tβ= 160 mm
20 mm = 8 mm
b) B = βG = 20 · 0,01 mm = 0,2 mm
3. d = 2r ′ = 2 λ fπr0
= 2 λ · t/Vπr0
= 2 · 532 nm·160 mm/40π ·(5/2) mm ≈ 542 nm
4. a) Vergroßerung des Okulars (= Lupe): V = af ⇒ f = a
V = 25 cm12,5 = 2 cm
Abbildungsmaßstab des Objektivs: 40 = 160 mmf ⇒ f = 4 mm.
b) Gesamte Vergroßerung: V = 12,4 · 40 = 500
c) Das Objektiv hat einen Abbildungsmaßstab von 40. Das Objektfeld hat also einenDurchmesser von (15 mm)/40 = 0,38 mm.
162 H Optik
4 Strahlung und Lichtempfindung
� AUFGABE H-28: Fotometrie: Gluhlampe �H.4
1. Eine isotrop strahlende Lichtquelle mit 10000 lm hangt in 5 m Hohe.Welche Beleuchtungsstarke herrscht a) senkrecht unter der Lampe und b) 2 m seitlich?
2. Eine kugelsymmetrisch strahlende Gluhlampe in 2,5 m Hohe beleuchtet eine Tischflachemit 80 lx. — a) Wie groß sind Lichtstarke und Lichtstrom der Quelle?b) Welche elektrische Leistung bei einer Ausbeute von 10 lm/W ist notwendig?
Welche Energie (in kWh) wird bei 16 Stunden Brenndauer benotigt?
3. Der Lichtkegel eines Scheinwerfers hat in 10 m Entfernung einen Durchmesser von 1,5 mund die Beleuchtungsstarke 5 lx. Wie groß sind Lichtstarke und Lichtstrom?
� LOSUNG H-28:
1. a) E = �A = �
4πr2 = 10000 lm4π ·(5 m)2
= 32 lx
b) Satz des PYTHAGORAS:
r ′ =√(52 + 22) m2 = 5,39 m
tanα = 2 m5 m ⇒ α = 21,8◦
E(α) = �A cosα = 10000 lm
4π ·(5,39 m)2· cos 21,8◦ ≈ 25,5 lx
r r´
2 m
2. a) E = �A = I '
A = I '4πr2 ⇒ I = E A
' = 80 lx·4π ·(2,5 m)2
4π = 500 lx m2
sr = 500 lmsr
� = E A = 80 lx · 4π · (2,5 m)2 = 6283 lx m2 = 6283 lm
b) P = 6283 lm10 lm/W = 628 W
E = Pt = 628,3 W · 16 h = 10052 J ≈ 2,8 kWh
3. � = E A = E · πr2 = 5 lx · π · ( 12 · 1,5 m)2 = 8,85 lm
I = �'= �
A/R2 = E R2 = 5 lx · (10 m)2 = 500 cd
� AUFGABE H-29: Fotometrie: Sonne �H.4.1.3, D.5.1
Die 150·106 km entfernte Sonne (Ø 1,4·106 km) beleuchtet die Erde mit 80 000 lx.
a) Wie groß ist der Lichtstrom (in lm) auf 1 m2 Erdoberflache?
b) Welcher Strahlungsleistung (in W/m2) entspricht dies?Warum weicht der Wert von der Solarkonstante (1400 W/m2) ab?
c) Wie groß sind Lichtstarke und Leuchtdichte der Sonne?
� LOSUNG H-29:
1. a) � = E A = 80000 lx · 1 m2 = 80 000 lm
b) 1 W = 400 lm ⇒ �A = 80000 lm
400 lm/(W m−2)= 200 W
m2
Nur 14% der Sonnenstrahlung sind sichtbares Licht;die tatsachliche Strahlungsleistung betragt 1400 W/m2.
4 Strahlung und Lichtempfindung 163
H
c) I = �'= �
A/r2 = 80000 lm1 m2/(150·109 m)2
= 1,8·1027 cd
L = IA = I
r2s π
= 1,8·1027 cd
π ·(1/2·1,4·109 m)2= 1,17·109 cd
m2
� AUFGABE H-30: Fotometrie: mehrere Lichtquellen �H.4
1. Eine Lichtquelle mit 50 cd bestrahlt die Vorderseite eines Papierschirms aus 1,1 m Entfer-nung; eine zweite Quelle gleicher Beleuchtungsstarke die Ruckseite aus 75 cm Entfernung.Wie groß ist die Lichtstarke dieser Lichtquelle?
2. Zwei Straßenlampen (20000 cd, gleichmaßige Abstrahlung) stehen im Abstand von 30 m.a) In welcher Hohe mussen die Lichtquellen befestigt werden, damit die Straße zwischen
den Masten maximal beleuchtet wird?b) Wie groß ist die Beleuchtungsstarke zwischen und direkt unter den Lampen?
� LOSUNG H-30:
1. E1 = E2 ⇒ I1
r21= I2
r22
⇒ I2 = I1r22
r21
= 50 cd·(0,75 m)2
(1,1 m)2= 23,2 cd
2. a) Mit cosα = hr und r2 = s2 + h2 folgt fur die
maximale Beleuchtungsstarke:
dEdh
!= 0 = ddh
I cosαr2 = d
dhI h
(s2 + h2)3/2
= I(s2 + h2)3/2 − 3h I h
(s2 + h2)5/2
⇒ h = s√2= (30/2) m√
2= 10,6 m ss
hr r
b) Mitte: E = E1 + E2 = 2 I h(s2 + h2)3/2 = 4I
3√
3 s2 = 68,4 lx
Darunter: E⊥ = Ih2 ≈ 178 lx (plus vernachlassigbarer Beitrag der anderen Lampe)
� AUFGABE H-31: Laserpointer: Sicherheit �H.1.3.4
Das Auge wird durch sichtbare Laserstrahlung von 25 W/m2 uber 0,25 s geschadigt.
a) Welche Leistung und Energie ist”ungefahrlich“ fur eine 7 mm weit geoffnete Pupille?
b) Welche Leistungsdichte erzeugt ein 1-mW-Laserpointer auf der Netzhaut (Ø 10 μm)?c) Ist ein Blick in einen 1-mW-Laserpointer gefahrlicher als ein Blick in die Sonne?
Solarkonstante 1000 W/m2. Durchmesser des Bildes der Sonne auf der Netzhaut: 0,25 mm
� LOSUNG H-31:
a) P = 25 Wm2 · π · (0,007 m)2
4 ≈ 1 mW (fur 0,25 s ungefahrlich). E = Pt = 0,25 mJ
