Physik A – VL8 (25.10.2012)
Arbeit, Energie und Leistung
• Arbeit und Energie
• Energiebilanzen
• Leistung
• Reibung
Arbeit und Energie
• umgangssprachlich: man muss „arbeiten“, um etwas hochzuheben:
→ physikalisch im Falle der Gewichtskraft: Hubarbeit
Alltagserfahrung: je schwerer ein Körper und je höher man ihn hebt,
desto mehr Arbeit.
Hubarbeit (als physikalische Größe) ist proportional zur Masse des Körpers
(→ Gewichtskraft) und Hubhöhe:
Δh
WsJNm hFW GHub
• der angehobene Gegenstand kann herunterfallen, und dabei etwas zerstören
→ physikalisch: Hubarbeit hat dem Körper Energie zugeführt
→ potentielle Energie
WsJNm hFE GPot
gmFG hgmEPot
Hubarbeit erhöht die potentielle Energie
Bild: Wikipedia
Potentielle Energie:
Wasserkraftwerke nutzen die
potentielle Energie eines Stausees.
Energieumwandlung
Arbeit und Energie
Potentielle Energie
Beispiel Flaschenzug: Benötigt man weniger Arbeit, um das Gewicht anzuheben?
einfacher Flaschenzug
GF
ZF
Δh
Δs1 2
Einfacher Flaschenzug:
• Gewichtskraft FG verteilt sich auf Seilstücke 1 und 2:
n
FFn
FF G
GG
G ' :Teilstücke für allgemein bzw. ,2
'
• Um das Gewicht um Δh anzuheben, muss jedes Teilstück des
Seiles um Δh angehoben werden:
hns
• Für die gesamte zu leistende Arbeit ergibt sich:
hFsFsFW GZG '
Die gesamte zu leistende Arbeit ist die Gleiche!!
Arbeit und Energie
Potentielle Energie
• Allgemeine Definition der Arbeit bei nicht konstanter Kraft:
Arbeit = Kraft entlang eines Weges: F = F(s)
F = const.
F = F(t)
h
F
i
iipot sFW
Die Arbeit ist das Wegintegral der Kraft.
Arbeit ist ein Skalar !
• Grenzwertbetrachtung für Δs → 0:
2
1
)(s
spot dssFW
bzw. vektoriell:
2
1
)(s
spot sdsFW
skalares Produkt:
Arbeit = Kraft mal Weg
• Arbeit wird nur in Richtung des Weges geleistet:
cos sFsFW
Arbeit und Energie
Potentielle Energie
• Arbeit wird nur in Richtung des Weges geleistet
Beispiel: schiefe Ebene
Die Hubarbeit hängt nur von der
überwundenen Höhe und nicht
vom Weg ab !
sFW
gmF
||
|| sin
hgmsgmW sin
Transport ohne Höhenüberwindung:
Arbeit = Null
Wegunabhängigkeit der Arbeit:
Die Arbeit längs einer geschlossenen Kurve ist Null.
Arbeit und Energie
• Fall eines konservativen Kraftfelds (ohne Reibung!)
Wegunabhängigkeit der Arbeit
Arbeit längs einer geschlossenen Kurve ist Null
Potentielle Energie
• Arbeit wird nur in Richtung des Weges geleistet
Beispiel: Bergaufstieg – Ist die Arbeit auf den Wegen A und B gleich?
Arbeit und Energie
Arbeit und Energie – Federn: Spannenergie
• Potentielle Energie einer Feder: die gespannte Feder hat Energie gespeichert
sDFDsF FF
;
1
00
2
02
1''
s
ssp sEDssEdssDE
• Die Spannungsarbeit einer Feder wird als elastische Energie (Spannenergie)
in der Feder gespeichert
D
D s
F
2
2
1DsEsp
eine gespannte Feder
kann Arbeit leisten
Arbeit und Energie
Kinetische Energie
• kinetische Energie:
beim Herabfallen verliert ein Körper potentielle Energie, aber er gewinnt Geschwindigkeit
1. vor dem Fall: potentielle Energie hgmEPot
2. nach dem Fall: Geschwindigkeit
gefallene Strecke
tgv
2
2
1tgh
kinetische Energie
22
2
2
1
2
1
tgm
tggmEkin
2
2
1mvEkin
Arbeit und Energie
Verschiedene Energieformen:
• mechanische Energie (potentielle E., kinetische E., Spann-E.)
• elektrische Energie
• chemische Energie (Verbrennung von Kohle, Erdöl)
• Strahlungsenergie (Sonne)
• Kernenergie (Fusion in der Sonne)
Energie ist komplexer Begriff
Energiesatz:
Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden,
sie kann lediglich von einer Form in eine Andere umgewandelt werden
Achtung ! umgangssprachlich: „Energieverbrauch“ ist physikalisch nicht korrekt!
Arbeit und Energie
Energie-Umwandlung
• Umwandlung von Energien in der Mechanik
Beispiel 1: potentielle Energie → Spannenergie
potentielle Energie Spannenergie
kinetische Energie
potsp EE
mghDs 2
2
1
D
mghs
2
potentielle Energie Spannenergie
Arbeit und Energie
Energie-Umwandlung
• Umwandlung von Energien in der Mechanik
Beispiel 2: potentielle Energie → kinetische Energie (schiefe Ebene)
potentielle Energie Spannenergie
kinetische Energie
Geschwindigkeiten bei beiden
Neigungen gleich (ohne Reibung)!
AnfangpotEndekin EE ,,
2
2
1mvE
hmgE
kin
pot
hgm
Ev
pot
2
2
Arbeit und Energie
Energie-Umwandlung
• Umwandlung von Energien in der Mechanik
Beispiel 3: potentielle Energie → kinetische Energie (Achterbahn)
potentielle Energie Spannenergie
kinetische Energie
www.achterbahn-freizeitpark.de
Beim Start: Energie gleich Null:
Mit Hubarbeit wird zunächst potentielle Energie bereitgestellt:
Danach finden mehrere schnelle Umwandlungen zwischen potentieller und kinetischer Energie statt.
0 kinpot EE
potGHub EhFW
Arbeit und Energie
Energie-Umwandlung
• Umwandlung von Energien in der Mechanik
potentielle Energie Spannenergie
kinetische Energie
Beispiel 4: potentielle Energie → kinetische Energie (Das Pendel)
2
2
1
cos1
mvE
mglhmgE
kin
pot
0,maximal , kinpot EE
cos12 glv
Arbeit und Energie
• Umwandlung zwischen mechanischen Energien findet
nur exakt statt, wenn keine Reibung herrscht
• Umwandlung in Wärme findet immer statt
• mikroskopisch: Wärme = kinetische Energie:
Atome und Moleküle bewegen sich ungeordnet
(→ Thermodynamik, ideale u. reale Gase)
Wärme ist ebenfalls eine mechanische Energieform!!
Statik, Bewegung und Reibung müssen gemeinsam und einheitlich
beschrieben werden
Wärmeenergie
Beispiel: Brown’sche Molekularbewegung
◦ Fett-Tröpfchen in Milch aufgenommen mit einem
Lichtmikroskop.
◦ Die Bewegung der Fett-Tröpfchen kommt durch
die thermische Bewegung der Moleküle in der
Flüssigkeit Zustande.
◦ Je höher die Temperatur, desto schneller die Bewegung.
(http://www.microscopy-uk.org.uk/dww/home/hombrown.htm)
Energiebilanzen
• Darstellung des Bewegungsverhaltens über Energiebilanz
Beispiel 1: potentielle Energie → kinetische Energie (Achterbahn) www.achterbahn-freizeitpark.de
Beim Start: Energie gleich Null:
Mit Hubarbeit wird zunächst potentielle Energie bereitgestellt:
Danach finden mehrere schnelle Umwandlungen zwischen potentieller und kinetischer Energie statt.
0 kinpot EE
potGHub EhFW
kinpotges EEE mghmvEEE kinpotges 2
2
1
m
EEvmghmvEEE
potges
kinpotges
)(2
2
1 2
Energiebilanz:
)(2)(2)(2
xhgm
mgxmgh
m
EEv
potges
h
x
Energiebilanzen
Frage: Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Balls beim Aufprall auf den Boden?
• Darstellung des Bewegungsverhaltens über Energiebilanz
Beispiel 2:
Energiebilanz für den schrägen Wurf
mit Anfangshöhe h
mghmvEEE kinpotges 2
2
1
• beim Aufprall : 0potE
• Energiebilanz: AufprallgespotkinStartges EEEE ,,
Beim Aufprall nur kinetischen Energie
2
,
2
0,2
1
2
1AufprallAufprallgespotkinStartges mvEmghmvEEE
ghvvAufprall 22
0
Arbeit und Energie und Leistung
• Arbeit kann in verschiedenen Zeiten erledigt werden
Begriff der Leistung
Leistung = Arbeit / Energie-Änderung je Zeitintervall
Die Leistung ist um so größer, je mehr Arbeit pro Zeit verrichtet wird
s
JWWattW
dt
dwP
Beispiel: Hub-Leistung
hmgdt
d
dt
dwPHub h
dt
dmghmg
dt
d
dt
dwPHub Fvmgvh
dt
dmghmg
dt
d
dt
dwPHub
Hub-Leistung ist das Produkt aus Kraft mal Geschwindigkeit
FvPHub
Beispiel und Anwendung: Motor-Leistung
Ein Auto wiegt 1500 kg und hat eine Motorleistung von 100 kW (136 PS).
Wie schnell kann das Auto eine 200 m hohen Steigung hinauffahren ?
1 kW = 1000 W = 1,36 PS
1 PS = 0,736 kW
Ansatz:
1. Potentielle Energie,
die das Auto gewinnen muss:hmgWpot
J 1094,2m 200s
m 81,9kg 1500 6
2
hmgWpot
2. Definition der Leistung,
Leistung = Arbeit (= Energieänderung) pro Zeitspanne:t
WP
3. Gesucht hier: Zeitspanne Umformen nach ΔtP
Wt
4. Einsetzen: s 6,29 W10
J 1096,25
6
Motor
pot
P
W
P
Wt
Arbeit und Energie und Leistung
Reibung
• Beispiel: Luftkissenbahn
ohne Luftschicht:
rauhe Oberflächen haften
aneinander, sie bewegen sich
nicht: Haftreibung
mit Luftschicht:
starke Verringerung
der Reibung
• Umwandlung zwischen mechanischen Energien findet nur exakt statt,
wenn keine Reibung herrscht
• Umwandlung in Wärme findet immer statt
• Reibung wird bedingt durch Eigenschaften der
Grenzflächen
Reibung
• Die Erfahrung zeigt:
„Anschieben“ eines Körpers braucht mehr Kraft als weiteres Schieben.
• Physikalisch:
„Anschieben“ erfordert Kraft gegen die Haftreibung FH.
Körper bleibt in Ruhe bis maximale Haftreibungskraft FH,max erreicht wird.
Weiteres Schieben: Gleitreibung FGl ist konstant und < FH,max
• Haftreibung und Gleitreibung
FH,max > FGl
FG
FN
Normalkraft FN: negative, senkrecht zur Kontaktfläche
stehende Komponente der (hier) Gewichtskraft
Haftreibung
Haftreibungskraft FH,max
• wirkt der angreifenden Kraft entgegen
• ist proportional zur Normalkraft (Kraft senkrecht auf Unterlage) des Körpers
• hängt von Oberflächenmaterial des Körpers und der Gleitfläche ab
Haftreibungskraft = Haftreibungszahl mal Normalkraft
NHH FF max,
Normalkraft FN:
negative, senkrecht zur Kontaktfläche
stehende Komponente der Gewichtskraft
FG Gewichtskraft
FGN Komponente der Gewichtskraft senkrecht zur Fläche
FGH ‟ ‟ senkrecht zu FGN
= Hangabtriebskraft
FR Reibungskraft (Haft-, oder Gleitreibung)
FN Normalkraft
Gleitreibung
• Gleitreibungzahl ist bei kleinen Geschwindigkeiten (cm/s bis m/s) konstant
• Gleitreibungs- und Haftreibungszahl sind Materialkonstanten
Gleitreibungskraft FGl
• wirkt der angreifenden Kraft entgegen
• ist proportional zur Normalkraft (Kraft senkrecht auf Unterlage) des Körpers
• hängt von Oberflächenmaterial des Körpers und der Gleitfläche ab
Gleitreibungskraft = Gleitreibungszahl mal Normalkraft
NGlGl FF
• Gleitreibungskraft ist immer kleiner als Haftreibungskraft:
HGl
Reibungskoeffizienten
Bestimmung von Haftreibungskoeffizienten an der schiefen Ebene
x
yHaftreibung (keine Bewegung) für NHRGH FFF
cossin
sinsin
mgFF
mgFF
GN
GGH
Körper fängt an, sich zu bewegen, wenn
cossin GHNHGGH FFFF
Haftreibungszahl:
tan
cos
sin
G
GH
F
F
Gleit- und Haftreibungskoeffizienten
Materialkombination μH μGlMaterialkombination μH μGl
Stahl / Stahl 0,15 0,12 Teflon / Teflon 0,04 0,04
Blech / Stahl 0,5 0,4 Gummi / Beton (trocken) 1,0 0,8
Kupfer / Eisen 1,1 0,3 Gummi / Beton (nass) 0,3 0,25
Teflon / Stahl 0,04 0,04 Ski / Schnee 0,1 0,05
Reibung
Beispiel: Schlitten im Schnee
gegeben: Seilwinkel α = 40°
μH = 0,1; μ Gl = 0,05
Masse Schlitten: m = 50,0 kg
Zugkraft: FZ = 100 N
gesucht: Reibungskräfte und Beschleunigung
m = 50,0 kg
FZ
FH / FGlFN FG
FZ, x
FZ, y
• Komponenten der Zugkraft
N 2,6440sinN 100sin
N 6,7640cosN 100cos
,
,
ZyZ
ZxZ
FF
FF
• Normalkraft N 2,328N )2,645,490(, yZN FmgF
• Haftreibungskraft N 3,32 1,0max, NNNH FFF
• Bedingung für BewegungxZH FF ,max,
• Gleitreibungskraft N 2,16 05,0 NNGlGl FFF
• Beschleunigung 2-,sm 21,1
kg 50
N )2,166,76(
m
FF
m
FamaF
GlxZug
Zusammenfassung
• Arbeit und Energie
• Arbeit erzeugt Energie, Einheit der Arbeit und Energie: [Nm = J = Ws]
• Drei Beispiele: 1. Hubarbeit potentielle Energie
2. Bewegungsarbeit (Beschleunigung)
kinetische Energie
3. Spannarbeit (Federn) Spann-Energie
• Arbeit ist in Systemen ohne Reibung (in konservativen Systeme) wegunabhängig.
• Energiesatz: Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden. Sie kann aber von
einer Energieform in eine Andere umgewandelt werden
mghEpot
2
2
1mvEkin
2
2
1DsEkin
potentielle Energie Spannenergie
kinetische Energie
Zusammenfassung
• Reibung
• Umwandlung zwischen mechanischen Energien findet nur exakt statt, wenn keine Reibung
herrscht
• Umwandlung in Wärme findet immer statt
• Reibung wird bedingt durch Eigenschaften der Grenzflächen
• Haftreibung und Gleitreibung: Körper bleibt in Ruhe bis maximale Haftreibungskraft
FH,max erreicht wird.
Bewegung: Gleitreibung FGl ist konstant und < FH,max
wirkt der angreifenden Kraft entgegen
• Reibungskräfte sind proportional zur Normalkraft (Kraft senkrecht auf Unterlage)
• Reibungskräfte hängen von Oberflächenmaterial des Körpers und der Gleitfläche ab
Gleit- / Haftreibungszahl
• Arbeit, Energie und Leistung
• Leistung = Arbeit / Energie-Änderung je Zeitintervall
s
JWWattW
dt
dwP