Optikpraktikum

Bestimmung von Brechungsindizes

16.8. - 20.08.2010

Lisa Willig

Toni Scharle

Lydia Pangsy

Melanie Bartel

Patricia Niegebär

Victoria Schemenz

Inhaltsverzeichnis

1 Optik und die Bedeutung des Brechungsindexes 4

2 Lichtgeschwindigkeit durch Phasenverschiebung 7

2.1 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Messung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Brechungsindizes von Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Messung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Drehspiegelversuch nach Foucault 10

3.1 Erläuterung der Methode und Herleitung der Gleichungen . . . . . . . . . 103.2 Messung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Die relative Dielektrizitätszahl 13

4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Messmethode und -ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3 Bewertung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Abbe-Refraktometer 15

5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3 Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.4 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6 Newton'sche Ringe 18

6.1 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.2 Herleitung der Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.3 Überprüfung der Versuchsanordnung und Genauigkeit . . . . . . . . . . . 226.4 Messwerte und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.4.1 Ethanol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.4.2 Glycerin und Zedernholzöl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.4.3 Bromnaphtalin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.5 Messunsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.6 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Minimalablenkung eines Prismas 26

7.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.2 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2

7.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.4 Betrachtung der Messunsicherheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.5 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8 Michelson-Interferometer 32

8.1 Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.2 Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.3 Brechungsindizes von Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.4 Brechungsindizes von Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.5 Brechungsindizes von Feststo�en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.6 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

9 Fresnel'sche Gleichungen 38

9.1 Messmethode und -ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.2 Bewertung der Messergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

10 Vergleich der Methoden 42

3

1 Optik und die Bedeutung des

Brechungsindexes

Die klassische Elektrodynamik basiert auf den Maxwellgleichungen:

∇ • ~D = ρ (1.1)

∇ • ~B = 0 (1.2)

∇× ~E = −∂~B

∂t(1.3)

∇× ~H = ~j +∂ ~D

∂t(1.4)

Wendet man nun auf Gleichung (1.3) den Rotationsoperator ein zweites Mal an, so erhältman unter der Annahme, dass alle partiellen Ableitungen stetig sind:

∇×∇× ~E = ∇×

(−∂

~B

∂t

)= −µ ∂

∂t

(∇× ~H

)(1.5)

Wenn man nun auf der linken Seite die Grassmann-Identität1 und auf der rechtenGleichung (1.4) mit der Annahme der Abwesenheit von Ladungen und Strömen (ρ =0; ~j = 0) anwendet, so ergibt sich mit µ = µo · µr und ε = ε0 · εr:

∇

∇ • ~E︸ ︷︷ ︸=0 wegen ρ=0 und (1.1)

− (∇ •∇) ~E = −µ ∂

∂t

∂ ~D

∂t= −µε∂

2 ~E

∂t2(1.6)

Es gilt:

(∇ •∇) ~E =

∂2xEx + ∂2

yEx + ∂2zEx

∂2xEy + ∂2

xEy + ∂2zEy

∂2xEz + ∂2

yEz + ∂2zEz

(1.7)

wenn ~E = (Ex, Ey, Ez)τ ist.

1Die bekannte Gleichung wurde hier aufgrund der ausschlieÿlich linksseitigen Anwendung des Nabla-

Operators leicht verändert, was aber aufgrund der Kommutativität des rellen Skalarproduktes keine

Probleme macht

4

Damit entspricht Gleichung (1.6) der dreidimensionalenWellengleichung für den E-Vektor

∆ ~E − µε∂2 ~E

∂t2= 0 (1.8)

Analoges erhält man für das B-Feld, wenn man den Rotations-Operator auf Gleichung(1.4) anwendet. Somit ergibt sich als eine Lösung der Maxwellgleichungen die Ausbreitungelektro-magnetischer Wellen. Die Phasengeschwindigkeit lässt sich aus Gleichung (1.7)

ablesen und beträgt im Vakuum√

1ε0·µ0

≈ 2, 99 · 108ms .

Tri�t eine solche elektromagnetische Welle auf Materie, ändert sie zunächst ihre Ausbrei-tungsgeschwindigkeit. Atomare oder molekulare Dipole werden aufgrund elekromagneti-scher Kraftwirkungen zu Schwingungen angeregt und verringern so die Phasengeschwin-digkeit des Lichtes beim Eindringen in ein Dielektrikum. An Leitern werden elektroma-gnetischeWellen dagegen vollständig re�ektiert. Wir erhalten bei nicht-ferromagnetischenSto�en, also auch bei allen Isolatoren, für die Geschwindigkeit:

c =√

1µ0 · ε0 · εr

(1.9)

Aus der Geschwindigkeitsänderung folgt eine Richtungsänderung. Diese folgt dem Snel-lius'schen Brechungsgesetz (Gleichung 1.10). Ausnahmen sind auÿerordentliche Strahlenin doppelbrechenden Materialien.

sinα

sinβ=c2

c1(1.10)

Dieses lässt sich aus dem Prinzip von Huygens (von jedem Auftre�punkt der Wellegeht eine neue kugelförmige Elementarwelle aus) oder dem Prinzip von Fermat (eineelektromagnetische Welle beschreitet zwischen zwei Punkten immer denjenigen Weg, aufdem sie die kürzeste Laufzeit hat) folgern. Da die Lichtgeschwindigkeit auch in Medieneine sehr groÿe Zahl ist, multipliziert man hier beide Seiten mit der absolut festgeleg-ten Vakuumlichtgeschwindigkeit und de�niert die Brechzahl n = cV akuum/cMedium. DasBrechungsgesetz wird damit zu:

n1 · sin(α) = n2 · sin(β) (1.11)

und der Brechungsindex selbst wird mit (1.9) zu

n =√εr (1.12)

Diese Gleichung heiÿt auch Maxwell-Relation.

(1.13)

5

Der für die menschliche Wahrnehmung wichtigste Wellenlängenbereich ist das sicht-bare Licht von 400nm bis 700nm. Optische Phänomene waren deswegen schon deutlichlänger bekannt als die durch Maxwell axiomatisch angelegte theoretische Elektrodynamikund wurden daher auch schon deutlich früher untersucht.

Wir unterscheiden bei den Betrachtungsweisen zwischen Strahlen- und Wellenoptik.Während erstere das Modell des Lichtstrahls einführt und sich häu�g auf geometrischeKonstruktionen stützt, untersucht letzteres die Welleneigenschaften des Lichtes, insbe-sondere Beugung und Interferenz.

Wie misst man nun den Brechungsindex eines Sto�es?

Die zunächst naheliegendste Methode wäre die De�nition von n zu benutzen und dieLichtgeschwindigkeit direkt zu messen. Umgesetzt wurde das hier zunächst mit 50 MHzintensitätsmoduliertem Licht und der Berechnung der Wellenlänge der Einhüllenden.Die Lichtgeschwindigkeit in Luft wurde auÿerdem mit der auf Focault zurückgehendenDrehspiegelmethode vermessen. Dabei werden kleinste Winkeländerungen eines sich dre-henden Spiegels während der Laufzeit des Lichtes mit einem Mikroskop gemessen. Au-ÿerdem erscheint es logisch, die Brechzahl über Gleichung (1.12) und die Messung derrelativen Dielektrizitätszahl eines Sto�es zu bestimmen. Dazu wurde hier ein groÿer Plat-tenkondensator benutzt.Im Snellius'schen Brechungsgesetz ergibt sich beim Übergang vom optisch dünneren zumoptisch dichteren Medium beim streifenden Einfall ein maximaler Ausfallswinkel. DaLicht, dass in einem gröÿeren Winkel in der anderen Richtung - also vom optisch dich-teren zum optisch dünneren Medium - komplett re�ektiert wird, nennt man diesen Winkelauch Grenzwinkel der Totalre�exion. Die Messung dieses Winkels wird beim sehr genauenAbbe-Refraktometer benutzt, das hier zu Vergleichsmessungen herangezogen wurde.Die Welleneigenschaften des Lichtes werden dagegen bei der Methode der Newton'schenRinge, bei der Messung der Minimalablenkung beim Prisma und beim Michelson-

Interferometer benutzt. Damit kann über Interferenzerscheinungen bei bekannter Wel-lenlänge die Brechzahl von verschiedenen Sto�en bestimmt werden.

6

2 Lichtgeschwindigkeit durch

Phasenverschiebung

2.1 Durchführung

Abbildung 2.1: schematischer Aufbau

Um die Lichtgeschwindigkeit in Luft zu messen, be�ndet sich auf einer optischen Bankein Sende- und ein Empfangsgerät. An der Lichtquelle wird eine Intensitätsmodulation(hier mit 50 Mhz) durchgeführt, d.h. die Helligkeit wird mit konstanter Frequenz sinus-förmig verändert. Eine Linse hinter der Sendequelle wird dazu verwendet, den Strahl desLasers zu parallelisieren. Nach einer Wegstrecke tri�t das Licht auf einen Umlenkspie-gel, der das Licht in das Empfangsgerät lenkt. Eine weitere Linse fokussiert auch hierden Strahl erneut. Im Detektor erzeugt das Licht eine sinusförmige Wechselspannungmit gleicher Frequenz, jedoch unterschiedlicher Phasenlage. Mithilfe eines Zweikanal-Oszilloskops wird nun die Phasenverschiebung gemessen, indem die beiden Signale mitihrer zeitlichen Verschiebung direkt dargestellt werden. Nun wird der Strahlengang durchVerschiebung des Umlenkspiegels so verändert, dass das Oszilloskop genau eine Phasen-verschiebung von 0◦ anzeigt. Anschlieÿend wird der Spiegel verschoben, bis das Messgeräteine Veränderung der Phasenlage von 180◦ anzeigt. Diese Veränderung entspricht einemZeitabstand von einer halben Periode. Das Licht legt nun eine zusätzliche Strecke von2∆x zurück.Für diese Strecke benötigt es eine Zeit von der halben Periodendauer des moduliertenSignals. Daraus lässt sich für die Lichtgeschwindigkeit folgern

c =2∆x0, 5T

(2.1)

c = 4∆xf (2.2)

wobei f die Frequenz des modulierten Signals ist.

7

2.2 Messung und Auswertung

Anfangsweg zurückgelegte Strecke Lichtgeschwindigkeit Abweichunga1 in m a2 in km c in m

s in %

0,4 1,885 296000 1,250,4 1,900 300000 0,960,4 1,900 299000 0,24

Die Werte der Tabelle zeigen, dass es auch mit dieser Messmethode mit wenig Aufwandmöglich ist, sehr genaue Werte für die Lichtgeschwindigkeit zu erhalten. Die Ergebnissekann man noch präzisieren, wenn die Justierung genauer erfolgt und ein Laser verwendetwird, der paralleles Licht aussendet. Auch war es nicht so einfach, die exakten Phasenbe-ziehungen zu erkennen. Es ist also mit wenig Aufwand möglich, die Lichtgeschwindigkeitsehr exakt zu bestimmen.

2.3 Brechungsindizes von Flüssigkeiten

Für die Messung der Ausbreitungsgeschwindig-keit von Licht in Flüssigkeiten werden die Ver-suchs�üssigkeiten in Rohrküvetten gebracht undanschlieÿend so in den Strahlengang gelegt, dassdas Licht bei dem Hinweg oder Rückweg durchdiese Küvette läuft. Erneut wird dann die Positi-on des Umlenkspiegels so gewählt, dass die Pha-senverschiebung 0◦ beträgt. Das Licht legt beidieser Messung die Strecke l1 zurück und hierfürbenötigt es die Zeit t1. Die Gesamtstrecke l1 be-steht aus zwei Teilstrecken, die Strecke, die dasLicht in der Flüssigkeit und in der Luft zurücklegt.

l1 = lF + lL (2.3)

Für die Zeit folgt daraus:

t1 =l1 − lFcL

+lFcF

(2.4)

Darau�olgend wird die Küvette aus dem Strahlengang herausgenommen und wiederumwird der Spiegel so in Position gebracht, dass die Phasenverschiebung wieder 0◦beträgt.Hierbei legt das Licht wieder eine Strecke von 2∆x zurück. Für die Gesamtstrecke l2 folgtdaraus:

l2 = l1 + 2∆x (2.5)

8

und für die Zeit:

t2 =l1 + 2∆x

cL(2.6)

Für die Verhältnisse der Geschwindigkeiten folgt aus den Gleichungen 2.4 und 2.6:

cLcF

= 1 +2∆xlF

(2.7)

Da sich aus diesem Verhältnis der Brechungsindex n ergibt, erhält man mit dem Ergebnisauch eben diesen. Mithilfe eines Abbe-Refraktometers wurden die Ergebnisse überprüftund verglichen.

2.4 Messung und Auswertung

Als erste Flüssigkeit wurde Ethanol in den Strahlengang gelegt. Gemessen wurden dieLänge der Küvette mit lF = 1, 015m sowie der Abstand ∆x mit 0,205 m. Daraus ergabsich nach Formel 2.7 ein Brechungsindex von 1,384. Bei einer zweiten Messung von ∆xmit 0,19 m erhielt man einen Wert von 1,374. Das Abbe-Refraktometer zeigte einen Wertvon 1,36 an. Anschlieÿend wurde die Küvette, die mit Wasser gefüllt war, verwendet.Dabei betrug der Wert ∆x = 0, 179m. Der daraus resultierende Brechungsindex beträgt1,353. Der mit dem Abbe-Refraktometer erhaltene Wert beträgt 1,356. Daraus wirdersichtlich, dass es mit dieser Methode auch möglich ist, sehr genaue Werte zu erhalten.Als letzte Flüssigkeit wurde Glycerin verwendet. Die Messung mit ∆x = 0, 251m ergabeinen Brechungsindex von 1,49. Das Abbe-Refraktometer erbrachte einen Wert von 1,47.Die Tendenzen des Ergebnisses, dass Wasser den geringsten Brechungsindex und Gly-

cerin den gröÿten Brechungsindex hat, lieÿen sich wiederholt feststellen. Mit einem ge-naueren Laser könnten die Ergebnisse eine noch gröÿere Genauigkeit erreichen.

Flüssigkeit Küvettenlänge ∆x in m Brechungsindex n AbweichunglF in m (ermittelt) (Refraktometer) in %

Ethanol 1,015 0,2 1,374 1,36 1,03Wasser 1,015 0,179 1,353 1,356 0,22Glycerin 1,015 0,251 1,490 1,48 0,67

9

3 Drehspiegelversuch nach Foucault

3.1 Erläuterung der Methode und Herleitung derGleichungen

Die hier verwendete Methode zur Messung der Lichtgeschwindigkeit in Luft geht aufJean Bernard Léon Foucault (1819-186) zurück. Sie basiert auf einem sich schnell dre-henden Spiegel, womit kleinste Lichtlaufzeiten über Verschiebungen von Bildpunkten imMikroskop sichtbar gemacht werden können.

Abbildung 3.1: Schematischer Versuchsaufbau

Den generellen Aufbau des Experimentes zeigt Abbildung 3.1. Die Linse L1 bündeltzunächst das vom Laser kommende Licht in ihrem Brennpunkt. Es passiert dann einenStrahlteiler und wird dann von L2 über den Drehspiegel auf den Hohlspiegel abgebildet.Aufgrund seiner sphärischen Form wird das Licht von ihm unabhängig vom Auftre�punktdirekt zurück zum Ursprungsort, hier dem Drehspiegel, re�ektiert.Wir betrachten hierbei zunächst einen ruhenden Drehspiegel. Dieser re�ektiert das Lichtdann wieder exakt zurück in Linse L2. Diese bündelt, aufgrund der exakten Umkehrungdes Lichtweges das Licht wieder genau im Brennpunkt von L1. Dazwischen ist der Strahl-teiler gesetzt, der es möglich macht, den vom Hohlspiegel re�ektierten Punkt mit einemMikroskop-Okular zu betrachten.Dabei sehen wir natürlich nur ein virtuelles Bild, das sich scheinbar hinter dem Drehspie-gel be�ndet. Rotiert dieser nun schnell, so hat er sich während der Laufzeit des Lichteszum Hohlspiegel und wieder zurück schon weitergedreht. Das virtuelle Bild erscheint al-so nicht mehr am echten Auftre�ort des Lichtes, sondern aufgrund der Umkehrbarkeitdes Lichtweges genau an der Stelle, wo es bei einem an der �neuen� Position ruhendenDrehspiegel auftre�en würde.

10

Abbildung 3.2: Lichtweg vor und nach der Drehung

Sei der Winkelunterschied während der Laufzeit ∆φ. Für die Verschiebung ∆S gilt also,wenn D der Abstand zwischen Hohl- und Drehspiegel ist (vgl. Abb 3.1):

∆S = 2 ·∆φ ·D (3.1)

Die Winkeländerung ∆φ entspricht dabei, wenn der Drehspiegel mit der Winkelge-schwindigkeit ω rotiert und die Laufzeit des Lichtes zum Hohlspiegel und wieder zurückt ist, ∆φ = ω · t. Setzt man dies in Gleichung (3.1) ein, so erhält man:

∆S = 2ω · t · ·D (3.2)

Die Laufzeit des Lichtes beträgt, da es sich um eine geradelinig-gleichförmige Bewegunghandelt, t = 2 ·D/c. Wir erhalten also:

∆S =4ω ·D2

c(3.3)

Diese Verschiebung des virtuellen Bildes wird durch Linse L2 beobachtet. Für diesegilt die Linsengleichung:

g

b=G

B(3.4)

In unserem Fall ist die Gegenstandsgröÿe G die Verschiebung ∆S, die Bildgröÿe B dieim Mikroskop beobachtete Verschiebung ∆s, die Gegenstandweite g der Abstand vonHohlspiegel und der Linse L2 über den Drehspiegel, also B + D, wenn B der Abstandzwischen L2 und Drehspiegel ist, und die Bildweite entspricht dem um die Brennweitevon L1 vermindertem Abstand zwischen L1 und L2 A. Damit erhält man:

∆S =(B +D) ·∆s

A(3.5)

Einsetzen von (3.5) in Gleichung (3.3) liefert dann:

(B +D) ·∆sA

=4ω ·D2

c(3.6)

11

Alle Gröÿen auÿer der Lichtgeschwindigkeit sind in Gleichung (3.6) experimentell mess-bar. Es genügt also, diese Gleichung nach c umzustellen, um eine Bestimmungsformel fürdie Lichtgeschwindigkeit zu erhalten:

c =4D2 · ω ·A

(B +D) ·∆s(3.7)

3.2 Messung und Auswertung

Die hier verwendeten Linsen hatten jeweilige Brennweiten bei L1 mit 48mm und L2

mit 252mm. Der Abstand D der beiden Spiegel lag bei 13,48m. Der Abstand A betrug26cm und der Abstand B 48,8cm. Mit der oben beschriebenen Durchführung wurde dasExperiment ausgeführt und dabei wurden in beide Drehrichtungen (cw und ccw) jeweils3 Messungen aufgenommen. Damit ergaben sich folgende Ergebnisse:

Tabelle 3.1: cw

∆s′ in mm f in Hz c in 108ms

0,39 1470 3,10,39 1470 3,10,39 1462 3,1

Tabelle 3.2: ccw

∆s′ in mm f in Hz c in 108ms

0,4 1504 3,190,38 1490 3,30,37 1463 3,3

Damit ergibt sich ein durchschnittlicher Wert von c = 3, 18 · 108ms . Die Abweichung

vom Tabellenwert beträgt damit 3, 6%. Ursache hierfür ist einerseits die sehr schwierigeJustierung, da bei schon kleinen Abweichungen der Wert stark verfälscht wird. Auch istder Laserpunkt im Mikroskop nicht sehr genau vermessbar, da die Ränder nicht klar zuerkennen sind.

12

4 Die relative Dielektrizitätszahl

4.1 Grundlagen

Eine zunächst naheliegende Methode zur Messung des Brechungsindexes eines Stof-fes liegt in der Messung der relativen elektrischen Permeabilität und der Nutzung derMaxwell-Relation n =

√εr.

Dabei ergeben sich aber schon in der Theorie einige Probleme. Die Messung erfolgtzweckmäÿigerweise in einem elektrostatischen Feld eines Kondensators. Dies entsprichtaber einer elektromagnetischen Welle mit unendlicher Periodendauer. Aufgrund der star-ken Frequenzabhängigkeit des Brechungsindexes ist damit nicht gewährleistet, dass dergemessene Wert im statischen Feld mit dem für sichtbares Licht interessanten Brechungs-index übereinstimmt.

Für einen vollständig mit einem Material gefüllten Plattenkondensator gilt:

C = ε0 · εr ·A

d(4.1)

Dabei entspricht d dem Plattenabstand, ε0 der elektrischen Feldkonstante, A der Flächeder Kondensatorplatten und εr der relativen Dielektrizitätszahl des Materials zwischenden Platten.

Ein teilweise (aber dort über die gesamte Dicke) gefüllter Kondensator verhält sich wieeine Parallelschaltung eines luftgefüllten und eines vollständig gefüllten Kondensators mitdem Füllstand entsprechenden Plattengröÿen. Gleichungsmäÿig ergibt sich als Kapazi-tät, wenn AC die Gesamt�äche der Kondensatorplatten und AG die von der Glasplattebedeckte Fläche meint:

CGes = ε0 ·AC + (εr − 1) ·AG

d(4.2)

Wenn nun also CL die Kapazität des luftgefüllten Kondensators ist, gilt:

CGes = CL + ε0 ·(εr − 1) ·AG

d(4.3)

Damit ergibt sich nach Umstellen der Gleichung mit der Maxwell-Relation:

n =√

1 + (CGes − C0) · d

ε0 ·AG(4.4)

13

4.2 Messmethode und -ergebnisse

Für die Messung selbst wurde ein emp�ndliches Kapazitätsmessgerät und ein von denAbmessungen her sehr groÿer Kondensator genutzt. Zunächst wurde seine Kapazität ge-messen, wenn er mit Luft gefüllt war. Dann wurde eine Plexiglasplatte, deren Dicke demAbstand der Kondensatorplatten entsprach, eingeführt. Aus diesem Versuchsaufbau er-geben sich auch Probleme. So wird die Plexiglasscheibe die Platten leicht auseinanderdrücken und nicht überall komplett plan au�iegen.

Da die Plexiglasscheibe so eng im Kondensator eingespannt war, sodass sie von selbstgehalten hat, kann man annehmen, dass die Dicke der Plexiglasscheibe mit dem Platten-abstand des Kondensator übereinstimmt. Die Abmessungen der Plexiglasplatte wurdenmithilfe des Messschiebers zu d = 0, 31 cm, a = 10, 01 cm und b = 5, 59 cm bestimmt.Es wurden 3 Messungen durchgeführt, die Ergebnisse zeigt folgende Tabelle:

CLnF

CGesnF n Abweichung in %

0, 07 0,089 1, 48 1,350, 078 0, 102 1, 58 5,330, 078 0, 103 1, 60 6,67

Als arithmetisches Mittel ergibt sich n = 1, 55. Damit weicht der Mittelwert um 3, 33%von dem mit dem Abbe-Refraktometer bestimmten Wert von n = 1, 5 ab.

4.3 Bewertung der Ergebnisse

Insgesamt ist diese Methode für akkurate Messungen des Brechungsindizes von Lichtnicht geeignet. Die Messwerte schwankten dabei stark und der erste mit der sehr ge-ringen Abweichung kann daher eher als "Glückstre�er"gewertet werden, da er in dieserForm nicht reproduzierbar war. Die Abweichung von 3,5% kann also bei den hier ange-setzten 3 Messungen auch noch ein Zufall sein. Es bleiben die oben genannten Probleme,sowohl bei der praktischen Umsetzung als auch bei der Verwendung eines stationärenelektrischen Feldes. Der Versuch zeigt aber auch, dass die Werte nicht komplett falschsind und belegen einen Zusammenhang von optischen und elektrischen Eigenschaften desverwendeten Glases. Für die experimentelle Praxis wird daher auch eher der umgekehrteWeg interessant sein, also die Möglichkeit vom (optischen) Brechungsindex auf die Di-elektrizitätszahl und anhand geeigneter Modelle auch auf molekulare Eigenschaften wiePolarisierbarkeit oder Dipoldichte des Sto�es zu schlieÿen.

14

5 Abbe-Refraktometer

5.1 Grundlagen

Abbildung 5.1: Brechung und Totalre�exion bei n1 > n2

Tri�t ein Lichtstrahl unter einem Winkel α auf die Grenz�äche zweier Medien, sowird ein Teil des Lichts re�ektiert, ein anderer Teil des Lichts tritt mit veränderterAusbreitungsrichtung in das zweite Medium, es wird gebrochen. Diese Beobachtung gehtauf die veränderte Ausbreitungsgeschwindigkeit in den Medien zurück und wird durchdas Snellius'sche Brechungsgesetz (Gleichung 5.1)beschrieben.

sin(α)sin(β)

=nMedium2

nMedium1(5.1)

Allgemein kann man sagen, dass beim Übergang des Lichtes vom optisch dünnerenzum optisch dichteren Medium (n1 < n2) das Licht zum Lot hin gebrochen wird, beimÜbergang vom dichteren zum optisch dünneren Medium (n1 > n2) vom Lot weg. Wird inletzterem Fall der Einfallswinkel α immer weiter vergröÿert, so tritt irgendwann der Fallein, dass β = 90◦. Ab dem Überschreiten dieses Grenzwinkels αG wird das Licht voll-ständig re�ektiert, da der Übergang ins optisch dünnere Medium unmöglich ist. DiesenZustand nennt man Totalre�exion. Ausgehend von Gleichung 5.1 folgt:

sin(αG)sin(90◦)

= sin(αG) =nMedium2

nMedium1(5.2)

Ist also einer der beiden Brechungsindizes bekannt, so lässt sich der zweite leicht überden Grenzwinkel der Totalre�exion berechnen.

15

5.2 Funktionsweise

Abbildung 5.2: Refraktometer

Basierend auf dem Prinzip der Totalre�exi-on entwickelte der deutsche Physiker ErnstAbbe (1840-1905) eine Methode mit der derBrechungsindex von Flüssigkeiten und ei-nigen Festkörpern schnell und sehr genaubestimmbar ist, das Abbe-Refraktometer.Das Kernstück des Refraktometers bildenzwei rechtwinklige Prismen mit vergleichs-weise hoher Brechzahl (ungefähr 1,75), de-ren Längsseiten aneinander gelegt werden.Die zu bestimmende Flüssigkeit, deren Bre-chungsindex geringer sein muss als der derbeiden Prismen, wird in den kleinen Zwi-schenraum zwischen die Prismen gegeben.Das Licht wird nun so in Position gebracht,dass es durch die Fläche der kurzen Kathetender Seitendreiecke des unteren Prismas fällt.Dessen Hypotenusen�äche ist angeraut, da-mit das Licht unter verschiedenen Winkelndie Flüssigkeit durchdringt. Da hierbei meistmit Sonnenlicht oder einfachem Lampenlichtgearbeitet wird, ist es notwendig zur Ver-meidung von Dispersion Farbkompensato-ren einzubauen. Das di�use Licht wird nurbis zum Grenzwinkel αgr in das Messpris-ma hineingebrochen. Der restliche Winkelbe-reich bleibt dunkel. Beim Austritt aus demPrisma wird der Grenzwinkel gemessen undkann im Fernrohr beobachtet werden.

Dieses Fernrohr ist drehbar gelagert und mit einer Skala, die die Werte für den Bre-chungsindex anzeigt, verbunden. Der Anteil des Lichts, der unter dem Grenzwinkel derTotalre�exion auf die Flüssigkeit tri�t, wird nach Brechung parallel zur Grenzschichtverlaufen und gelangt somit nicht mehr in das Fernrohr. Dort wird dadurch eine star-ke Hell-Dunkel Grenze sichtbar. Bringt man diese Grenze durch drehen des Fernrohrsin den Mittelpunkt des Fadenkreuzes, kann an der Skala der für diese Flüssigkeit gel-tende Brechungsindex abgelesen werden. Die Messskala bezieht sich auf die Natrium-D-Linie (589nm). Es besteht auch die Möglichkeit, transparente Feststo�e mit dem Abbe-Refraktometer zu untersuchen und den Brechungsindex zu bestimmen. Dazu wird eineFlüssigkeit (Immersionsöl) mit höherem Brechungsindex als der zu untersuchende Fest-sto� benötigt. In unserem Fall war das Bromnaphtalin. Diese Flüssigkeit muss sich zwi-schen dem Messprisma und einer ebenen Fläche des Probekörpers be�nden.

16

5.3 Messung

Während der durchgeführten Experimente wurden folgende Werte mit dem Abberefrak-tometer aufgenommen:

Teststo� Brechungsindex n Abweichung in %experimentell Literaturwert

Wasser 1,356 1,33 2Glycerin 1,476 1,473 0,2Ethanol 1,360 1,361 0,07Deckglas 1,530 keine Angabe -Flintglas 1,621 1,621 0

5.4 Fazit

Das Abbe-Refraktometer eignet sich sehr gut dazu, schnell und relativ einfach den Bre-chungsindex von Flüssigkeiten zu bestimmen. Auch kleine, transparente Probekörperlassen sich damit untersuchen, solange sich ihr Brechungsindex unter denen der verwen-deten Prismen be�ndet. Auch ist es möglich, die Abhängigkeit des Brechungsindex vonder Temperatur damit zu untersuchen. Die Abweichungen der gemessenen Werte vonLiteraturwerten lassen sich vor allem dadurch erklären, dass die Literaturwerte bei einerTemperatur von 20◦ angegeben sind, die Raumtemperatur im Praktikumsraum jedochmeist darüber lag.

17

6 Newton'sche Ringe

6.1 Versuchsaufbau

Abbildung 6.1: Versuchsaufbau

Die Apparatur besteht aus einer Xenon- Bogenlampe, einer Linse, 2 Farb�ltern fürLicht der Wellenlängen λ = 577nm (orange) und λ = 548nm (grün), einem Astroobjek-tiv, 2 Lochblenden, einem gedrehten Glasplättchen und einem Mikroskop mit aufsetzba-rer Kamera für das Okular. Diese Bauteile sind auf einer optischen Bank befestigt. DerLichtstrahl der Bogenlampe ist circa 3 mm aufgeweitet. Dieser wird mittels einer Linseparallelisiert. Hinter dieser Linse ist eine Lochblende befestigt, die dem Schutz vor UV-Strahlen der Bogenlampe dient. Der Lichtstrahl durchläuft nun einen Licht�lter oder dasLoch der Halterung und dann das Astroobjektiv, dass das Licht weiter, parallel zur opti-schen Bank, durch die Lochblende schickt, wo das Lichtbündel durch eine Verengung aufein am Mikroskop befestigtes Glasplättchen gelenkt wird, das als Strahlungsteiler dient.Der Lichtstrahl wird einmal auf den Objekttisch des Mikroskops senkrecht re�ektiertund dann noch in Richtung Okular des Mikroskops durchgelassen. Auf dem Objekttischbe�ndet sich eine planparallele kreisförmige Glasplatte ohne Krümmung, die auf derdem Objektivtisch zugewandten Seite milchig ist, damit keine weiteren Strahlen durchRe�exion das Interferenzmuster stören. Auf diesem Glas be�ndet sich wiederum eineplan-konvex Linse mit der gekrümmten Seite zur Glasplatte, sodass zwischen Glasplat-

18

te und Linse ein luftgefüllter Keil entsteht. Der Lichtstrahl geht also vom Strahlteilersenkrecht im parallelen Verlauf durch die Linse, wo ein Teil des Lichtes auf der demLuftkeil zugewandten Seite der Linse re�ektiert wird. Ein anderer Teil des Lichtes trans-mittiert, gelangt dann in den Luftkeil, weiter zur Glasplatte und wird dann mit einemPhasenunterschied von einer halben Periode re�ektiert, sodass die re�ektierten Strahleninterferieren und über dem Mikroskop sichtbar sind. Durch Abnehmen des Tubusses desMikroskops kann man eine kleine Kamera auf den Aufsatz setzen und dann dadurch dasInterferenzbild über den Computer sehen.

6.2 Herleitung der Gleichung

Abbildung 6.2: Entstehung der Newton'schen Ringe

Die Newton'schen Ringe entstehen sowohl durch konstruktiver Interferenz (Verstär-kung) als auch durch destruktiver Interferenz (Auslöschung) von Lichtstrahlen. Die In-terferenz ist hier möglich, da die Lichtstrahlen kohärent sind, also gleiche Wellenlängeund gleiche Frequenz aufweisen. Der Gangunterschied zwischen den einzelnen Strahlengeschieht dadurch, dass ein Teil der Lichtstrahlen bereits an der Oberseite des Luftkeilsre�ektiert wird, während ein anderer Teil an der gekrümmten Grenz�äche der Linse zurLuft gebrochen, an der Glasplatte re�ektiert wird und erst nach erneuter Brechung indie Linse übergeht. In den Gangunterschied geht auch eine Phasenverschiebung von einerhalben Periode durch Re�exion an einem Medium höherer Brechzahl ein (Re�exion andünnen Schichten), wobei die Glasplatte das optisch dichtere Medium und die Luft bzw.das Medium im Keil das optisch Dünnere ist. Der Gangunterschied s zwischen den je-weiligen Strahlen kann im Idealfall mit der Gleichung 6.1 berechnet werden. Dies ist derFall, wenn der Brechungsindex von Luft genau 1 und keine Verunreinigungen d0 zwischenLinse und Glasplatte angenommen werden.

s = 2d+λ

2(6.1)

Um Brechzahlen von verschiedenen Flüssigkeiten mit geringeren Brechzahlen als dieder Glaskörper zu messen, bringt man diese zwischen Linse und Platte. Im Realen würdedann der Gangunterschied so aussehen:

s = 2n(d+ d0) +λ

2(6.2)

19

Die Newton'schen Ringe, die entstehen, liegen konzentrisch um den Berührungspunkt vonLinse und Platte. Der Abstand der Ringe zueinander nimmt mit steigender Ordnung kab. Das Zentrum wird als 0. Ordnung gezählt. Es werden im Folgenden die dunklen Ringebetrachtet, die durch destruktive Interferenz hervorgehen. Daraus ergibt sich folgenderZusammenhang zwischen den Lichtstrahlen:

s = (2k − 1)λ

2(6.3)

Für die hellen Ringe ergäbe sich:s = kλ (6.4)

wobei in beiden Fällen k = 0, 1, 2, ...

Nach Gleichsetzen und Umstellen dieser Gangunterschiede folgt:

2d =(k − 1)λ

n− 2d0 (6.5)

Abbildung 6.3: geometrische Betrachtungen der Konvexlinse

Um nun einen Zusammenhang zum Krümmungsradius und dem Radius der Ringe her-zustellen, wird der Höhensatz genutzt:

r2k = (2R− d)d (6.6)

20

Da R� d ergibt sich:

r2k = 2Rd (6.7)

2d =r2k

R(6.8)

Gleichsetzen der 2d- Terme:

(k − 1)λn

− 2d0 =r2k

R(6.9)

Umstellen nach r2k ergibt:

r2k =

(k − 1)Rλn

− 2Rd0 (6.10)

rk =(k − 1)Rλ

n− 2Rd0 (6.11)

Im Folgenden wird mit der Gleichung f(k − 1) = r2k gearbeitet und aus dem Anstieg

a der entstehenden Gerade erst der Krümmungsradius R und die Wellenlänge λ alsKontrollwerte bestimmt. Aus dem Schnittpunkt der Geraden mit der r2

k- Achse kann manzudem entnehmen, ob wirklich Verunreinigungen zwischen den Glaskörpern vorliegenoder nicht. Zuletzt wird auch noch der Brechungsindex n von verschiedenen Flüssigkeitenbestimmt.

a =Rλ

n(6.12)

21

6.3 Überprüfung der Versuchsanordnung und Genauigkeit

Um eventuelle Unsicherheiten früh einschätzen zu können, werden zunächst einige Mes-sungen ohne jegliche Flüssigkeit, also mit Luft vorgenommen. Da mittels einer Kameradas Bild auf dem Computer vergräÿert zu sehen ist und deswegen nur in Pixel gemessenwerden können, muss zunächst ein Maÿstab auf den Objekttisch gelegt und gemessen wer-den. Hiernach kann nun unter Benutzung des Grün�lters aus dem Anstieg der Geradenbei Messung der Durchmesser der dunklen Ringe der Krümmungsradius der plan-konvexLinse errechnet werden. Der ermittelte Krümmungsradius lautet R = 0, 164m. Mittelseines Sphärometers wurde der Krümmungsradius unter Anwendung des Höhensatzes zuR = 0, 161m bestimmt. Somit beträgt der prozentuale Fehler 1, 83%.

Abbildung 6.4: Newtonringe beim Medium Luft

Nun wurde der gesamte Vorgang mit dem Orange�lter wiederholt und diesmal aus demGeradenanstieg und dem errechneten R die Wellenlänge bestimmt und mit der Herstel-lerangabe verglichen. Aus dem Anstieg ergab sich ein Wert von 608, 9nm, der von derHerstellerangabe (577 nm) um 5,24% abweicht. Damit fällt die prozentuale Unsicherheitrelativ groÿaus. Dies ist besonders frappierend, da nur kleine Abweichungen bei der Wel-lenlänge schon eine andere Farbe implizieren und die Apparatur in sehr kleinen Bereichenarbeitet. Aus diesem Grunde werden die nächsten Messergerbnisse kritisch eingeschätzt.

22

6.4 Messwerte und Auswertung

Es folgt nun die Untersuchung verschiedener Flüssigkeiten auf ihren Brechungsindex, dermit der Formel 6.12 bestimmt werden kann.

Abbildung 6.5: Newtonringe beim Medium Wasser

Es ergibt sich mit dem vorher schon bestimmten Wert von R = 0, 164m, einer Wellen-länge von 577nm und dem Anstieg ao = 707, 3 ·10−10 ein Brechungsindex von n = 1, 338.Für λ = 548nm und einem Anstieg von ag = 6 · 10−8 erhalten wir ein Brechungsindexvon n = 1, 498. Die Abweichung der Werte untereinander beträgt 11%. Der Literaturwertfür den Brechungsindex von Wasser ist 1, 33. Die Abweichung vom ersten Wert ist 0, 6%und vom zweiten Wert 12%.

6.4.1 Ethanol

Der berechnete Brechungsindex bei orangem Licht beträgt n = 1, 352. Beim grünenFilter konnten nur 3 Werte aufgenommen werden, so dass der Anstieg hier stark fehler-behaftet ist und nicht berücksichtig wird. Der Literaturwert beträgt 1,36. Von diesemWert weicht der mit dem Orange�lter ermittelte Wert um 0, 6% ab.Die Literaturwerte von Wasser und Ethanol weichen in der Hundertstelle voneinanderab. Da die Unterschiede hier relativ groÿ sind, eignet sich diese Messmethode nicht un-bedingt bei genaueren Angaben, als der zweiten Nachkommastelle.

23

6.4.2 Glycerin und Zedernholzöl

Die Brechungsindizes für Glycerin und Zedernholzöl lieÿen sich nicht bestimmen, weil dieOrdnung der Newton'schen Ringe nicht zugeordnet werden konnten. Da der Brechungs-index dieser Sto�e zu nah an dem des Glases liegt, wird das Licht an der Kante zwischenGlas und Flüssigkeit kaum gebrochen, zudem �ndet kein Phasensprung statt.

6.4.3 Bromnaphtalin

Abbildung 6.6: Newtonringe beim Medium Bromnaphtalin

Mit dem Orange�lter berechnet sich der Brechungsindex zu n=1,509. Der Brechungs-index unter dem Grün�lter wird zu n=1,607 bestimmtDie beiden Werten weichen um 6% voneinander ab. Der Literaturwert für den Bre-

chungsindex für Bromnaphtalin ist 1,65. Um 9% weicht der mit dem Orange�lter be-stimmte Wert vom Literaturwert ab und der mit dem Grün�lter bestimmte Wert um3%. Bromnaphtalin ist eine Flüssigkeit, deren Brechungsindex über dem des von unsverwendeten Glases liegt. Der Unterschied zum anfangs beschriebenem Fall ist der Ortder Phasenverschiebung um eine halben Periode bei Re�exion an einem Medium höhe-rer Brechzahl. Dieser Ort ist nun gleich bei dem Grenzübergang von plan- konvex Linsezu Flüssigkeitskeil. Der Lichtstrahl wird an der gekrümmten Seite der Linse re�ektiertund erfährt dort diese Phasenverschiebung. Ein Teil der Lichtstrahlen transmittiert unterBrechung und wird dann wieder an der planaren Glasplatte re�ektiert. Diese Lichtstrah-len interferieren dann. Aufgrund dessen gibt es keine Unterschiede bei der resultierendenGleichung, die auch bei den anderen Sto�en genutzt wurde.

24

6.5 Messunsicherheit

Den Krümmungsradius bestimmten wir über den Anstieg und der Wellenlänge, daherergibt sich für die Messunsicherheit mit Gleichung 6.13 und ua = 10−9m2 und uλ =1nm)R = (0, 164± 0, 003)m.

uR = ua · λ+ uλ · aλ2 (6.13)

Die Messunsicherheit der Brechungindezes kann mit folgender Gleichung berechnetwerden:

un = uR · λa+ uλ ·Ra+ ua ·Rλa2 (6.14)

Es ergeben sich folgende Werte:

Medium nO nG

Wasser 1, 338± 0, 05 1, 49± 0, 06Ethanol 1, 35± 0, 05 keine AngabeBromnaphtalin 1, 509± 0, 06 1, 607± 0, 06

6.6 Fazit

Der Brechungsindex lässt sich mit Hilfe dieser Methode, mit einem geeigneten Filter,recht gut bestimmen. Unsere Werte, welche mit dem Orange�lter bestimmt wurden, ha-ben nur eine kleine Abweichung vom Literaturwert. Der Grün�lter jedoch scheint nicht sogut geeignet zu sein, da die Abweichung dieser Werte vom Literaturwert erheblich sind.Ein weiterer Nachteil dieser Methode ist, dass der Brechungsindex von Flüssigkeiten miteinem Brechungsindex nah am Brechungsindex des verwendeten Glases nicht bestimmtwerden kann, da keine Ringe deutlich zu erkennen sind. Die Newton'schen Ringe groÿerOrdnung sind schlecht zu erkennen, wodurch sich der Radius nur weniger Ringe bestim-men lässt, weshalb eine gröÿere Messunsicherheit entstehen kann. Ein weiterer Nachteilist, dass idealerweise ein parallelisierter Lichtstrahl verwendet wird, der nur sehr schwereinzustellen ist und nicht immer genau erreicht werden kann. Aber zur näherungsweisenAngabe des Brechungindezes ist die Methode sehr gut geeignet.

25

7 Minimalablenkung eines Prismas

7.1 Grundlagen

Prisma

Abbildung 7.1: Strahlengang im Prisma

Ein optisches Prisma ist ein Körper, der von zwei durchsichtigen Flächen begrenztwird, die unter dem �brechenden Winkel� ε aufeinandertre�en. Die Schnittgerade dieserFlächen heiÿt �Brechkante�. Fällt ein Lichstrahl unter dem Winkel α1 ein, so wird er um

δ = α1 + α2 − ε (7.1)

abgelenkt, wobei α2 der Ausfallswinkel ist. Sind Einfalls- und Ausfallswinkel gleich groÿ,so wird die Ablenkung δ minimal und es gelten folgende Beziehungen:

δmin = 2α− ε (7.2)

β =ε

2(7.3)

Mit dem Brechungsgesetz von Snellius ergibt sich somit für den Brechungsindex die nach-folgende Gleichung. Der Brechungsindex ist wie der Ablenkungswinkel wellenlängenab-hängig. Das Licht wird also beim Durchgang durch das Prisma in seine verschiedenenSpektrallinien aufgefächert. Diesen Vorgang nennt man Dispersion.

n =sin( δmin+ε

2 )sin( ε2)

(7.4)

26

Abbildung 7.2: Federmodell der Dispersion

Dispersion

Jedes Medium besteht aus Atomen, in deren Zentrum sich ein positiv geladener Atom-kern und um ihn herum die negativ geladenen Elektronen be�nden. Der Aufenthalt derElektronen kann jedoch nicht absolut angegeben werden, sondern nur ihre Aufenthalts-wahrscheinlichkeit, daher spricht man hier von einer Elektronenwolke. Fällt Licht derFrequenz ω in ein Medium ein, so kommt es zu einer Wechselwirkung zwischen den Ato-men des Mediums und der elektromagnetischen Welle. Es kommt zu einer gedämpftenSchwingung der Elektronenwolke, wobei Resonanz bei der Eigenfrequenz ω0 auftritt undeine Sekundärwelle mit zunehmender Phasenverschiebung und verkürzter Wellenlängeabstrahlt.Das elektrische Feld des Lichtes lenkt die Elektronenwolke des Mediums aus seiner

Ruhelage am Kern um ∆x und induziert in jedem Atom ein Diplmoment ~ρAtom, wobei dieVerschiebung gegenüber der Ausdehnung der Elektronenwolke klein sein soll. Durch dasCoulombgesetz für elektrostatische Kräfte von Probeladungen qe in homogenen Ladungenqk (Gleichung (7.5)) ergibt sich der lineare Zusammenhang zwischen Auslenkung undrücktreibender Kraft.

~FC =1

4πεqe · qk · ~rR3

(7.5)

Damit kann nun das Elektronenwolken-Kern-System wie ein Feder-Masse-System be-trachtet werden. Da jedoch eine Elektronenwolke nicht nur Kräfte auf ihren Kern aus-übt, sondern auch auf die benachbarten Atome, entspräche dies einem dreidimensionalenNetz von gekoppelten Federn. Die Vereinfachung ist eine Federkette von unendlich vielenGliedern (Abbildung 7.2).Die Bewegungsgleichung für die n-te Masse lautet dann:

mxn = D(−2xn + xn+1 + xn−1) (7.6)

27

Nehme man weiter an, dass die Ränder identisch sind, d.h. das 1. Atom entspricht demN. Atom, dann kann die Kette als Ring betrachtet werden.Weiterhin sei a der Abstandzwischen 2 benachbarten Atomen. Es ergibt sich damit für den Lösungansatz der Di�e-rentialgleichung:

xn = x0 · eikna · eiωnt (7.7)

xn = iωn · xn (7.8)

x = −ω2 · xn (7.9)

Es ergibt sich damit für die Gleichung (7.6):

xn =D

m(eik(n+1)a + eik(n−1)a − 2eikna) · x0 · eiωnt (7.10)

=D

m(e−ika + eika − 2) · x0 · eikna · eiωnt (7.11)

−ω2 · xn =D

m· 2(

e−ika + eika

2− 1) · xn (7.12)

−ω2 =2Dm

(cos(ka)− 1) (7.13)

(7.14)

Dies lässt sich leicht auf eine Funktion des doppelten Winkels zurückführen:

−ω2 = −4Dm· (1

2(1− cos(2ka

2)) (7.15)

ω2 =4Dm

(sin(ka

2))2 (7.16)

Setzt man nun ω20 = 4D

m , so ergibt sich für die Phasengeschwindigkeit der Welle:

cp =w

k=ω0(sin(ka2 ))

k(7.17)

Damit folgt für den Brechungsindex nach dem Snelliusschen Brechungsgesetz und k = 2πλ

n(λ) =c0

cp=

c0k

ω0(sin(ka2 ))=

c02πω0λ(sin(πaλ ))

(7.18)

28

7.2 Versuchsdurchführung

Abbildung 7.3:

Spektrum

Der Brechungsindex von Prismen wird durch die Messung der Mi-nimalablenkung mithilfe eines Spektrometers gemessen. Das Lichteiner Cadmium-Quecksilber-Damp�ampe wird durch ein Kollima-torrohr mit einem verstellbaren Spaltausgang geleitet und dadurchparallelisiert. Daraufhin kalibriert man den Einkreisgoniometer mitTeilkreis in dem man das Fernrohr so verschiebt, dass das aus-tretende Licht des Spaltes genau im Fadenkreuz liegt. Auf einemDrehtisch, der auf dem Goniometer befestigt ist, be�ndet sich einPrisma, das Licht in ein Spektrum au�ächert, was durch das Fern-rohr zu beobachten ist (siehe Abbildung 7.3).

Abbildung 7.4: Versuchsaufbau

Der Aufbau sollte so eingestellt sein, dass das Licht auf eine brechende Fläche desPrismas fällt. Durch das Fernrohr wird nun jede einzelne Spektrallinie unter Drehungdes Drehtisches verfolgt, bis die Minimalablenkung erreicht wird. Dieser Punkt entsprichteinem scheinbaren Umkehrpunkt der Bewegung der Linien und ist im Folgenden mit demGoniometer zu messen. Diese Messung erfolgte für alle Spektrallinien der 2 zu untersu-chenden Prismen. Abschlieÿend wurde noch mit einem Winkelmesser der Brechwinkeldes Spektrums bestimmt.

29

7.3 Auswertung

Beim zweiten Prisma lagen die Spektrallinien sehr viel näher beieinander lagen, als diesbeim ersten der Fall war. Daher ist auch die Minimalablenkung und darausfolgend derBrechungsindex kleiner. Dies lässt vermuten, dass Sto�e mit noch kleineren Brechzahlennur noch schlecht zu untersuchen sein könnten. Mit Gleichung (7.4) und den gemessenenMinimalablenkung lassen sich nun die Brechungsindizes für die verschiedenen Wellenlän-gen der Spektrallinien berechnen und in einem Diagramm auftragen. Die Wellenlängenkönnen im Walcher [8] abgelesen werden. Es zeigt sich, dass die Dispersionskurven nahe-zu identisch mit den Kurven der theoretischen Werte von Flintglas [7] beziehungsweiseQuarz [1] sind. die Abweichungen betragen im Schnitt nur 0,23% bzw. 0,45%. Zur �nalenÜberpfüfung wurde das erste Prisma noch mit dem Abbé-Refraktometer untersucht, waseine Brechzahl von 1,621 bei Natriumlicht ergab. Dieser Wert stimmt mit dem theoreti-schen Wert überein.

Tabelle 7.1: Prisma 1 (F3) ε = 62◦

Farbe Wellenlänge δmin in ◦ n Unsicherheitλ in nm in %

violett 404,66 51,217 1,6326 4,29violett 407,78 50,567 1,6300 4,29blau 435,84 49,775 1,6216 4,32blaugrün 491,6 49,173 1,6160 4,33grün 546,07 49,02 1,6145 4,34gelbgrün 576,96 48,6 1,6072 4,36gelb 579,07 48,23 1,6064 4,36rot 690,72 48,75 1,6015 4,37

Tabelle 7.2: Prisma 2 (Quarz) ε = 68◦

Farbe Wellenlänge δmin in ◦ n Unsicherheitλ in nm in %

violett 404,66 42,183 1,4665 8,18violett 407,78 41,817 1,4633 8,20blau 435,84 41,583 1,4611 8,22blaugrün 491,6 41,5 1,4595 8,22grün 546,07 41,25 1,4569 8,22gelbgrün 576,96 41,067 1,4547 8,25gelb 579,07 40,9 1,45 8,28rot 690,72 40,783 1,45 8,28

30

7.4 Betrachtung der Messunsicherheiten

Durch den Aufbau des Goniometers mit seinen 2 Nonien können die Winkel theoretischbis auf die Winkelminute genau bestimmt werden. Jedoch gibt es bereits beim Messvor-gang selbst diverse Unsicherheitsquellen. So stellt es teilweise eine Herausforderung dar,sowohl das Fadenkreuz als auch die Spektrallinie gleichzeitig zu sehen und damit auchübereinander zu schieben. Zudem gestaltet es sich teilweise als schwierig den genauenUmkehrpunkt zu bestimmen und das Spektrum immer aus dem gleichen Winkel zu be-trachten. Aus diesen Gründen wird für alle gemessenen Winkel eine Unsicherheit von3′ = 3

60

◦angenommen. Es folgt für die Unsicherheit des Brechungsindex:

|un| = |cos( δmin+ε

2 )2sin( ε2)

uδmin|+ |cos( δmin

2 )2sin2( ε2)

uε| (7.19)

7.5 Fazit

Diese Methode ist sehr genau und man erkennt leicht die Abhängigkeit von Wellenlän-ge zum Brechindex. Jedoch ist diese Methode nur für Festkörperprismen geeignet, fülltman Flüssigkeiten in Hohlprismen so lieÿen sich auch diese auf ihre Brechzahl hin un-tersuchen. Für Gase ist die Methode ungeeignet, da neben dem prismenartigen Aufbaunoch eine ausreichend hohe Brechzahl des Mediums notwendig ist, um die Spektrallinienvoneinander unterscheiden zu können.

31

8 Michelson-Interferometer

8.1 Funktionsweise

Das Michelson-Interferometer funktioniert nach folgendem Prinzip: Ein Laser sendeteinen kohärenten Lichtstrahl aus, der auf einen Strahlteiler tri�t. Dort wird der Licht-strahl aufgeteilt, jeweils 50% werden zu einem festen Spiegel re�ektiert und zu einembeweglichen Spiegel transmittiert. An diesen Spiegeln werden die Teilstrahlen re�ektiertund tre�en wieder auf den Strahlteiler, welcher die beiden Teilstrahlen wieder zusammen-führt. Der Strahl tri�t dann auf einen Schirm, wo ein kreisförmiges Interferenzmuster zusehen ist, das durch die unterschiedliche Weglänge, die die beiden Strahlen zurücklegen-hervorgerufen wird. Wenn der bewegliche Spiegel in seiner Position verändert wird, soziehen sich die Interferenzringe entweder zusammen ( Spiegel entfernt sich vom Strahl-teiler) oder auseinander ( Spiegel bewegt sich auf Strahlteiler zu). Wird der Spiegel um∆s = 1

2λ des Lasers verschoben, entspricht das genau einem Wechsel N zwischen Maxi-mum bzw. Minimum zum nächsten.

∆s =Nλ

2(8.1)

Bringt man ein Medium in den Strahlengang zwischen beweglichem Spiegel und Strahltei-ler und verändert in ihm die optische Weglänge, so erscheint ebenfalls ein sich änderndesInterferenzbild. Auf diese Weise ist es möglich, den Brechungsindex n des Probemediumszu bestimmen.Als Lichtquelle dient ein roter Laser mit λ = 632, 8nm und ein grüner Laser mit

λ = 543, 5nm.

Abbildung 8.1: schematischerAufbau

und

Abbildung 8.2: realer Aufbaumit Gasküvette

32

8.2 Kalibrierung

Nach der Montage der Versuchsanordnung kalibriert man die Apperatur, da die Skalie-rung der Mikrometerschraube durch den Hersteller nicht mit dem tatsächlich zurück-gelegten Weg übereinstimmt. Dazu wird die Mikrometerschraube auf Null gestellt undsolange gedreht bis sich 100 Wechsel der Minima ergeben. Dann wird die Längenände-rung ∆s an der Schraube abgelesen. Mit der Gleichung 8.1 kann dann die Wegstrecke, dieder Spiegel eigentlich hätte zurücklegen müssen, bestimmt werden, da die Wellenlängebekannt ist.Beim grünen Laser ergibt sich bei N = 100 Wechsel eine der Mikrometerschraube

abgelesene Verschiebung des Spiegels von ∆s = 30µm. Der Spiegel hat aber eigentlichnach der obigen Gleichung ein ∆s = 27, 2µm zurückgelegt. Daraus folgt eine Abweichungvon 9,42% und der Korrekturfaktor für den grünen Laser von kg = 0, 906. Beim rotenLaser ergibt sich auf dieselbe Art und Weise ein Korrekturfaktor von kr = 0, 89. Es kannalso angenommen werden, dass der Korrekturfaktor der Apperatur bei k = 0, 9 liegt.

8.3 Brechungsindizes von Gasen

Zur Bestimmung der Brechungsindizes von Gasen bringt man eine mit dem jeweiligenGas (Luft, Argon, Sticksto�, Kohlendioxid) gefüllte Küvette mit der optischen Weglän-ge s = 3, 0cm an der Stelle X (siehe Abbildung 8.1) in den Strahlengang. Mittels derMikrometerschraube verschiebt man den beweglichen Spiegel so, dass ein zentrales Mini-mum an einem bestimmten Punkt des Bildschirms zu erkennen ist. Nun wird die Küvettesolange mit einer Handpumpe evakuiert, bis ein nächstes Minimum an dieser Stelle aufdem Bildschirm auftritt, der dazugehörende Druck wird notiert. Dies wird bei beidenLasertypen bis zum 10. Minimum durchgeführt.

Die lineare Abhängigkeit des Brechungsindex n eines Gases vom Druck p kann folgen-dermaÿen ausgedrückt werden:

n(p) = n(p = 0) +∆n∆p· p n(p = 0) = 1 (8.2)

Durch Verringerung des Drucks wird also auch die optische Weglänge verringert. Genauer:Beobachtet man N Wechsel, so entspricht dies einem optischen Wegunterschied von Nλ.Da die Küvette zweimal durchlaufen wird, folgt:

dn = n(p+ dp)− n(p) = 〈N(p)−N(p+ dp)〉 λ2s

= −dN · λ2s

(8.3)

Das heiÿt: Trägt man den Druck gegenüber der Anzahl der Wechsel in einem Diagrammauf, so kann man mit Hilfe des Anstieges und der Formel 8.4 den Brechungsindex desGases berechnen.

n(p) = 1− dN

dp

λ

2s· p (8.4)

33

Abbildung 8.3: Druck in Abhängigkeit von der Anzahl der Wechsel beim roten Laser

Abbildung 8.4: Druck in Abhängigkeit von der Anzahl der Wechsel beim grünen Laser

34

Unter Berücksichtigung der Anstiege in den Diagrammen der Abbildungen 8.3 und 8.4ergeben sich somit folgende Werte:

Gas Literaturwert n bei λ = Abweichung in % bei λ =632,8nm 543,5nm 632,8nm 543,5nm

Argon 1,000283 1,000218 1,000218 0,0065 0,0065Luft 1,000290 1,000229 1,000219 0,0061 0,0071

Sticksto� (N2) 1,000300 1,000231 1,000225 0,0069 0,0075CO2 1,000450 1,000349 1,000340 0,0101 0,0110

Man erkennt, dass diese Methode im Allgemeinen relativ gut zur Bestimmung der Bre-chungsindezes von Gasen geeignet ist. So ist sehr gut die Kopplung von Molekülgröÿe undBrechungsindex zu beobachten, je gröÿer das Gasmolekül, umso gröÿer der Brechungs-index. So hebt sich die Brechzahl von CO2, einem dreiatomigen Molekül, stark von dennah beieinanderliegenden Brechzahlen von Argon, Luft und Sticksto� ab. Auÿerdem istgut zu erkennen, dass sich die Brechzahlen von Luft und Sticksto� kaum voneinanderunterscheiden. Das liegt daran, dass Luft ein Gasgemisch ist und zu ca. 70 % aus Stick-sto� besteht. Jedoch ist es nicht direkt möglich von einem experimentell bestimmtenBrechungsindex den Sto� eindeutig zu bestimmen. Unsicherheiten entstehen dadurch,dass eine Interferenzänderung nicht immer eindeutig zu erkennen ist und die Apperatur,bestehend aus Gasküvette, Schlauch und Pumpe, nicht ganz dicht ist, so dass Luft in denAufbau eindringen kann, was vor allem die vergleichsweise starke Abweichung vom Lite-raturwert bei Kohlensto�dioxid erklärt. Eine weitere Quelle der Unsicherheiten war dievergleichsweise schwere Handhabung der Pumpe und der damit nur groben Abschätzungder Werte beim Ablesen des Drucks.

8.4 Brechungsindizes von Flüssigkeiten

Ein Problem bei der Messung des Brechungsindex mit Hilfe des Michelson-Interferometersist, dass mit dieser Methode keine sprunghaften Unterschiede der Gangunterschiede, son-dern nur kontinuierliche Veränderungen bestimmt werden können. Um dies bei Flüssig-keiten zu bewerkstelligen, könnte man den Aufbau um 90◦ drehen und einen Flüssig-keitstank in den Strahlengang bringen. Aus diesem müsste die Flüssigkeit dann in sehrkleinen Mengen abgelassen werden, um die Interferenzwechsel beobachten zu können.

35

8.5 Brechungsindizes von Feststo�en

Um bei Feststo�en eine kontinuierliche Veränderung der Brechzahl zu bewerkstelligen wä-re zum einen die Verwendung von keilförmigen Körpern wie Prismen möglich, bei denender Wegunterschied des Lichtes durch langsames Verschieben des Körpers bewerkstelligtwird. Allerdings muss in diesem Fall darauf geachtet werden, dass die Grundausrichtungkonstant bleibt. Der Vorteil dieser Methode ist jedoch, dass der Wegunterschied auÿer-halb des Körpers je nach Ausrichtung minimiert werden kann. Eine andere Lösung istes, dünne, parallele Plättchen im Strahlengang zu drehen.

Eine vereinfachte Gleichung zur Bestimmung des Brechungsindex lässt sich unter Be-rücksichtigung des Snellius'schen Gesetzes über die Geschwindigkeiten des Lichtes her-leiten. Dabei ist cL die Lichtgeschwindigkeit in Luft, cG im Glas und c0 im Vakuum. Fürdie Zeit tS , bei der der Strahlengang senkrecht durch das Plättchen hindurchgeht, gilt:

tS =sLcL

+sGcG

(8.5)

Wurde das Plättchen um den Winkel β gedreht, so ändert sich der Weg, den das Licht zu-rücklegt im Plättchen um ∆s. Diese Wegänderung lässt sich mit Hilfe von geometrischenBetrachtungen der Dicke b und dem Drehwinkel β berechnen (vergleiche mit Abbildung8.5).

Abbildung 8.5: geometrische Betrachtungen eines Glasplättchens

∆s = a− b =b

cosβ− b (8.6)

Damit folgt für die Zeit tD:

tD =sL −∆scL

+sG + ∆scG

(8.7)

und

tD = tS + ∆t (8.8)

, wobei die Zeitdi�erenz ∆t der Anzahl der Maximawechsel während der Drehung desFestkörpers entspricht.

36

∆t = NT =N

f=Nλ

c0(8.9)

Es ergibt sich damit als Gleichung für die Lichtgeschwindigkeit im Glas:

cG =∆s

∆scL

+ Nλc0

(8.10)

Bei der Untersuchung eines Deckglases stellten sich folgende Ergebnisse ein:

ϕ in ◦ Anzahl der Wechsel N n

5 8 2,105510 24 1,821315 40 1,598720 60 1,4936

Der Mittelwert des Brechungsindex beträgt n = 1, 76 ein. Die Abweichung von 14,4 %im Vergleich zu dem mit dem Abbe-Refraktometer bestimmten Brechindex von n = 1, 53ist durch die stark vereinfachte Gleichung, eine wackelige Konstruktion und nur ungenaueAblesemöglichkeiten zu erklären. Interessanterweise ist die Abhängigkeit von Winkel undAnzahl der Wechsel direkt proportional, was eine weitere rechnerische Verbindung zumBrechungsindex zulässt, der mit der bisherigen Gleichung bei wachsenden Winkeln kleinerwird. Allerdings kann unter den gegebenen Umständen der mathematische Zusammen-hang nicht völlig geklärt werden.

8.6 Fazit

Die Methode des Interferometers ist etwas umständlich, da der Brechungsindex nur in-direkt durch die Messung anderer Gröÿen bestimmt werden kann. Positiv ist jedoch dierelativ groÿe Genauigkeit der so bestimmten Werte und die Möglichkeit Materialien allerAggregatzustände zu untersuchen, unabhängig von ihrem Brechungsindex.

37

9 Fresnel'sche Gleichungen

Tri�t Licht auf eine Grenz�äche, so wird nicht die gesamte Intensität gebrochen, sondernein nicht unwesentlicher Teil re�ektiert. Der sogenannte Re�exionsgrad, also der Quotientvon eingestrahlter und re�ektierter Intensität, hängt über die Fresnel'schen Gleichungenmit dem Brechungsindex n des verwendeten Materials, sowie dem Einfallswinkel α unddem Ausfallswinkel β des gebrochenen Lichtes zusammen:

Rp =(n · cosα− cosβn · cosα+ cosβ

)2

(9.1)

Rs =(cosα− n · cosβcosα+ n · cosβ

)2

(9.2)

Rp meint dabei den Refelxionsgrad des parallel zur Einfallsebene (p-)polarisierten Lich-tes und Rs den des senkrecht zur Einfellsebene polarisierten Lichtes.Stellt man diese Re�exionsgrade (nach Anwendung des Snellius'schen Brechungsgeset-

zes zur Eliminierung von β ) in Abhängigkeit vom Einfallswinkel graphisch dar, erhältman die in Abbildung 9.1 gegebenen Graphen.

Abbildung 9.1: Re�exionsgrade- theoretisch

38

Interessant ist dabei zunächst der Fall von p-polarisiertem Licht in einem derart ge-wählten Einfallswinkel, dass α + β = 90◦ gilt. Dann ergibt sich nämlich ein Re�exi-onsgrad von Null. Im sogenannten Brewsterwinkel re�ektiertes Licht ist also vollständigs-polarisiert. Aus der Bedingung α + β = 90◦ ergibt sich mit dem Snellius'schen Bre-chungsgestz:

tan(αp) = n (9.3)

9.1 Messmethode und -ergebnisse

Vor dem hier benutzten Experiment wurde das verwendete Glas noch mit dem Abbe-Refraktometer untersucht, um einen Vergleichswert für den Brechungsindex zu erhalten.Dieser beträgt hier n = 1, 56.

Abbildung 9.2: Experimentelle Anordnung

Für die experimentelle Bestimmung des Brechungsindexes wurde eine Anordnung nachAbbildung 9.2 benutzt. Da die Transmissionsrichtung der Polarisationsfolie nicht angege-ben war, musste zunächst die Stellung des Filter für s- und p-polarisiertes Licht gefundenwerden. Dazu wurde ein Einfallswinkel von ca. 55◦ gewählt, was ungefähr dem Brewster-winkel entspricht, und dann das Minimum an re�ektierter Intensität gesucht, indem derPolarisations�lter langsam gedreht wurde. Die entsprechende Stellung der Polarisations-folie entspricht dort genau einer p-Polarisation des Lichtes, um 90◦ verdreht dann ders-Polarisation.Nun versuchte man den Brewsterwinkel möglichst genau zu �nden. Da aber trotz Dun-

kelheit im Experimentierraum und einer abgedeckten Messkammer noch Restintensitätvorhanden ist und der Graph in Abbildung 9.1 um den Brewsterwinkel herum sehr �achverläuft, ist die Messung relativ ungenau. Als Brewsterwinkel ergab sich dabei αp = 56◦.

39

Nach Gleichung 9.3 beträgt der Brechungsindex damit n = 1, 48. Dieser Wert ist wie er-wartet ungenau und weicht um ca. 5% vom per Abbe-Refraktometer ermittelten Wert ab.

Setzt man dagegen in Gleichung 9.2 den Brewsterwinkel ein, ergibt sich für den Re�e-xionsgrad des s-polarisierten Lichtes:

Rs =(n2 − 1n2 + 1

)2

(9.4)

Stellt man diese Gleichung nach n um, so erhält man:

n =

√1 +√R

1−√R

(9.5)

Im Experiment ergab sich für den Wert dieses Re�exionsgrades im Brewsterwinkel einWert von R = 0, 15, was einem Brechungsindex von n = 1, 5 entspricht. Der so gemes-sene Wert weicht also um 4% vom mit dem Abbé-Refraktometer ermittelten Wert ab.Auch hier spielt eine Rolle, dass der Brewster-Winkel nicht genau genug bestimmt wer-den konnte, auch wenn die Abweichung geringer ist.

Nun wurde versucht, eine α-R-Kurve aufzunehmen, um die in Abbildung (9.1) darge-stellte theoretische Kurve auch experimentell aufzunehmen. Dazu wurde die re�ektierteLichtintensität in Abhängigkeit vom Einfallswinkel α gemessen. Das Ergebnis zeigt Ab-bildung (9.3).

Für die Messung des Brechungsindizes ist dabei vor allem der Spezialfall kleiner Winkelinteressant. Bei einem, mit unserer Anordnung nicht messbaren, Winkel von 0◦ sind dabeider Re�exionsgrad des s- und p-polarisierten Lichtes gleichzusetzen mit:

Rp = Rs =(n− 1n+ 1

)2

(9.6)

Umstellen nach dem n ergibt:

n =1 +√R

1−√R

(9.7)

.Experimentell konnte für sehr kleine Winkel der Wert R = 0, 04 bestimmt werden.

Dabei war es aufgrund der Verdeckung des Laserstrahls durch den Sensor nicht möglich,den Re�exionsgrad für genau 0◦ zu messen. Bereits ab einem Winkel von 4◦ wirkten sichdiese Erscheinungen aus. Der Re�exionsgrad war da aber schon unterhalt eines Winkelsvon 7◦ nahezu konstant. Der gemessene Wert entspricht nach Gleichung (9.7) einemBrechungsindex von n = 1, 5. Auch dieser Wert weicht um 4% von dem mit dem Abbe-Refraktometer gemessenen Wert ab. Eine Fehlerquelle ist dabei, dass der Re�exionsgradauch im Bereich kleiner Winkel nicht vollständig konstant ist.

40

Abbildung 9.3: experimentell ermittelte Kurve

9.2 Bewertung der Messergebnisse

Abschlieÿend bleibt festzustellen, dass die Messung des Brechungsindizes über die Fres-nel'schen Gleichungen relativ ungenau ist. Insbesondere die Messaparatur ist dabei auf-grund des groÿen Spiels der Zeiger ein Schwachpunkt. Auch die korrekte Einstellungdes Aufweitungssystems für den zur Messung benutzten Laser gestaltete sich als nichteinfach.

41

10 Vergleich der Methoden

Um auf die Frage Wie misst man nun den Brechungsindex eines Sto�es? zurück zu kom-men, lohnt es sich, die einzelnen Bestimmungsmethoden untereinander zu vergleichen.Dabei unterscheiden sich die vorgestellten Methoden hinsichtlich ihrer Genauigkeit, ihresAufwands und ihrer Anwendbarkeit, d.h. für welche Aggregatzustände sie geeignet sind.Eine Gesamtübersicht bietet hierzu Abbildung 10.

Lichtgeschwindigkeit durch Phasenmodulation

Mit wenig Aufwand bietet dieser Versuch die Möglichkeit die Lichtgeschwindigkeit inLuft sehr genau zu bestimmen. Auch die mit dieser Methode bestimmten Brechzahlenvon Flüssigkeiten sind relativ genau. Diese Genauigkeit reicht aus, um verschiedene Flüs-sigkeiten voneinander zu unterscheiden. Zur Untersuchung von Gasen reicht sie jedochnicht. Wie auch für die anderen Aggregatzustände, wäre für Feststo�e ein langer Probe-körper nötig, was insbesondere hier nicht immer ermöglicht werden kann.

Drehspiegelversuch nach Foucault

Der Drehspiegelversuch nach Foucault diente hier vorerst nur der Bestimmung der Licht-geschwindigkeit in Luft. Auf Grund der schwierigen Justierung und der ungenauen Ab-grenzung des Messpunktes im Mikroskopist die Methode schon hierfür relativ ungenau.Würde man hiermit den Brechungsindex eines Mediums bestimmen wollen, so müssteder gesamte Messraum mit diesem Medium ausgefüllt werden, was nicht ohne Weiteresmöglich ist.

Relative Dielektrizitätskonstante

Diese Methode ist interessant, da sie den Zusammenhang zwischen Brechungsindex undDielektrizitätszahl nach Gleichung 1.12 aufgreift. Damit wird auch der Zusammenhangvon optischen und elektrischen Eigenschaften des verwendeten Glases aufgezeigt. Dazuwurde hier ein groÿer Plattenkondensator genutzt. Allerdings unterlag diese Methodestarken Schwankungen, weshalb die ermittelten Werte nur als Näherung betrachtet wer-den können. Weitere Probleme entstehen durch die elektromagnetische Welle des statio-nären Feldes im Kondensators mit unendlicher Periodendauer, da der Brechungsindexstark frequenzabhängig ist.

42

Abbe-Refraktometer

Das Abbe-Refraktometer bietet eine gute Möglichkeit Flüssigkeiten und kleine Feststo�ehinsichtlich ihres Brechungsindex zu untersuchen. Die mit diesem Gerät bestimmmtenWerte wurden u.a. als Vergleichswerte genutzt, da die Genauigkeit im Vergleich allerMethoden hier am gröÿten ist. Zudem ist es auch möglich mit dem Abbe-Refraktometerdie Temperaturabhängigkeit der Brechzahlen zu untersuchen. Nachteilig ist jedoch, dassein zu untersuchender Feststo� einen geringeren Brechungsindex als die der verwendetenPrismen haben muss. Auÿerdem ist es kaum möglich Gase zu untersuchen.

Newton'sche Ringe

Bei der Methode der Newton'schen Ringe, ist das Prinzip des Experimentes relativ ein-fach, dennoch hat der emp�ndliche Aufbau seine Tücken. So ist der gesamte Versuchsauf-bau sehr erschütterungsemp�ndlich und muss besonders in der Nähe der Linse völligsauber sein, damit ein gutes Interferenzbild zu sehen ist. Dies ist jedoch unabdingbarfür eine gute Auswertung. Zwar ist hier durch den Einsatz von Farb�ltern prinzipiell dieMöglichkeit gegeben, die Wellenlängenabhängigkeit der Brechzahl zu beobachten, jedochist die Methode hierfür im Allgemeinen zu ungenau. Sie bietet jedoch den Vorteil, dassman nur einige Tropfen der zu untersuchenden Flüssigkeit benötigt, was insbesonderebei giftigen oder teuren Chemikalien beachtet werden muss. Der Brechungsindex darfallerdings nicht zu nahe an dem des Glases liegen.

Minimalablenkung eines Prismas

Diese Methode ist sehr genau und man erkennt leicht die Abhängigkeit von Wellenlängezum Brechindex. Jedoch ist diese Methode stark eingeschränkt, da der zu untersuchendeSto� die Form eines optischen Prismas haben muss und der Brechungsindex nicht zuklein sein darf.

Michelson-Interferometer

Diese Bestimmungmethode des Brechungsindexes ist wohl die vielseitigste der hier be-trachteten Untersuchungsmethoden, so sind die Brechzahlen von Medien aller Aggregat-zustände bestimmbar. Zwar bedarf es genauer Justierarbeiten und Modi�kationen imAufbau. Doch dafür wird dieser Aufwand mit sehr genau bestimmbare Werte belohnt.Mit wenigen Mitteln können die hier erreichten Abweichungen sogar noch unterbotenwerden. Ein weiterer Vorteil dieser Methode ist der zu beobachtende Zusammenhangzwischen Druck und Brechungsindex.

43

Fresnel'sche Gleichungen

Den Brechungsindex von Feststo�en, oder durch gewisse Umbauten von Flüssigkeiten,mithilfe der Fresnel'schen Gleichungen zu bestimmen, gestaltet sich als sehr schwierig.Dies liegt vor allem an dem sehr lichtemp�ndlichen Aufbau und der ungenauen Messap-peratur.

Abbildung 10.1: Übersicht der Methoden

44

Literaturverzeichnis

[1] J. d'Ans, E. Lax, and R. Blachnik. Taschenbuch für Chemiker und Physiker, volume 3:anorganische Verbindungen und Materialien, Minerale. Springer Verlag, Heidelberg,1998.

[2] Gerthsen, Kneser, and Vogel. Gerthsen Physik. Springer-Verlag, 12 edition, 1974.

[3] Walter Greiner. Klassische Mechanik II, volume 2 of Greiner: Theoretische Physik.Verlag Harri Deutscher, 8 edition, 2008.

[4] Othmar Marti. Das Prisma: Ein optisches Instrument mit Dispersion.http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk3a-2003/node20.html, [Oktober 2010].

[5] Wolfgang Nolting. Grundkurs Theoretische Physik, volume 3: Elektrodynamik.Springer-Verlag, 2004.

[6] Universität Potsdam. Versuchsanleitungen der Universität Potsdam.

[7] A. Recknagel. Physik, volume Optik. VEB Verlag Technik Berlin, 1962.

[8] W.Walcher. Praktikum der Physik. B.G.Teubner Stuttgart, 18. edition, 2004.

45

Die Gruppenmitglieder von links nach rechts:

Toni ScharlePatricia NiegebärLydia PangsyMelanie BartelLisa WilligVictoria Schemenz

46