eine kurze Vorstellung, vor allem an Hand von Beispielenweniger von Theorieund ohne Anspruch auf Vollständigkeit und strenge Wissenschaftlichkeiteben für die Schule gedacht
NURBS & CO
Am Anfang ein wenig Eigenwerbung:
http://raumgeometrie.schule.at oder http://www.schule.at/portale/raumgeometrie-gz-dg-cad/ mit z.B. folgenden InformationenArchitektur Rundgangwo jeden Monat ein besonders spannendes Architektur Thema besprochen wirdVRML-LehrgangPOV-Ray LehrgangBlender LehrgangNichteuklidische Geometrie (gegen Jahresende)
Approximation durch SPLINEFUNKTIONEN
Eine Anzahl von Punkten soll durch eine möglichst glatte Polynomfunktion verbunden werden.Vergleich: EIN Polynom - Spline
Beispiel:P0(-4,0), P1(0,0), P2(4,0), P3(6,2), P4(8,0), P5(12,0), P6(16,0) •Es sind also sechs Polynomfunktionen P(x), Q(x),...U(x) nötig, eine pro Intervall.
Derive:•Zuerst werden die Punkte eingegeben•dann die Polynomfunktionen definiert•dann die Anschlussbedingungen eingegeben (C2-Übergänge in jedem Zwischenpunkt)•und die Randbedingungen (Wendpunkte)
•Innen: C2-Übergänge•In den Randpunkten: Wendepunkte•Die Gesamtkrümmung ist minimalNachteil: Änderung eines Punktes bewirkt Totaländerung.
Hier ein Splinerechner:http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm
Jetzt wird ein ganz anderer Weg beschritten. Es ist also wieder eine Anzahl n+1 von Punkten A0, A1, ... An , gegeben. Die Punkte der interpolierenden Kurve sollen durch ein gewichtetes Mittel der gegebenen bestimmt werden, also etwaX = g0A0 + g1A1 + g2A2 + .... + gnAn mit variablen Gewichtsfunktionen gi(u)Der Parameterbereich für u soll sein [0, 1] und die Summe der gi(u) soll immer (d.h. für alle u) =1 sein, X befindet sich dann immer in der konvexen Hülle der Punkte.
Die Bernsteinpolynome
B0,0 = 1, B0,1(u) = 1-u, B1,1(u) = u B0,2(u) = (1-u)² B1,2(u) = 2u(1-u) B2,2(u) = u²B0,3(u) = (1-u)³ B1,3(u) = 3u(1-u)² B2,3(u) = 3u²(1-u) B3,3(u) = u³B0,4(u) = (1-u)4 B1,4(u) = 4u(1-u)3 B2,4(u) = 6u²(1-u)² B3,4(u) = 4u³(1-u) B4,4(u) = (1-u)4
Wichtige Eigenschaft: sie bilden eine Zerlegung der 1Und sind daher als Gewichtungsfunktionen geeignet.
1 = 1n = ( u+(1-u) )n = Σ Bi,n(u)
Quelle: http://www.at-mix.de/bezier_kurve.htm•Läuft durch Start- und Endknoten P0 bzw. Pn , •in diesen tangential zu P0 P1 bzw. Pn-1 Pn ; •Grad ist abhängig von der Anzahl der Kontrollpunkte •(Grad = n = Anzahl der Kontrollpunkte – 1•Anwendung in vielen Grafikprogrammen•Änderung eines Punktes führt zu Globaländerung der Kurve
Bezierflächenin Tensorproduktdarstellung. Quelle: http://www.grg21oe.at/mathe_geom/Kurs/freiformflaeche.htm
Bearbeitungsfunktionen bei BlenderKurve einfügen: Add - Kurve - BezierSchließen: durch Drücken von C im Edit ModusDen Öffnungspunkt verschieben: Schließen Sie die Kurve (mit C). Wählen Sie dann die beiden Punkte aus, zwischen denen die Kurve geöffnet sein soll, und drücken X->Erase Segment.Zwei Kurventeile verbinden: mit F (make Segment) wieder verbinden.Ein Kurvensegment abtrennen: Separierte Kurvensegmente können Sie mit P (separate) in ein eigenes Objekt umwandeln.Extrude: zuerst in Mesh umwandeln: ALT + CNeue Punkte: klicken Sie mit Strg-LMT in das Fenster.
Kritik an den Bezierkurven
Die Bernsteinpolynome sind überall ≠ 0 (ausgenommen die Randpunkte), daher beeinflusst jeder Punkt die gesamteIm Anfangspunkt ist nur das erste Polynom ≠ 0, im Endpunkt nur das letzte, alle anderen sind dort = 0 und daher geht die Bezierkurve durch Anfangs- und Endpunkt.Der Grad der Kurve ist um 1 geringer als die Anzahl der Punkte, bei vielen Punkten daher riesig.Das alles will man dezidiert nicht haben.
Die Gewichtsfunktionen für B-Splines.
Man hat daher die Gewichtsfunktionen so modelliert, dass sie im Ausdruck unten nur in einem bestimmten Intervall ≠ 0 und daher der betreffende Punkt das Aussehen auch nur in diesem Intervall beeinflussen kann. Ändert man daher einen Punkt ab, so führt das nur zu einer lokalen Änderung der Kurve, der Rest bleibt unbeeinflusst.
Die Gewichtsfunktionen vom Grad 0
[N0,0(u):=CHI(0, u, 1), N1,0(u):=CHI(1, u, 2), N2,0(u):=CHI(2, u, 3), ...] sind Treppenfunktionen, die jeweils im Intervall [i, i+1] den Wert 1 haben und sonst =0 sind. Alle aufsummiert ergeben trivialerweise 1. Für u aus [0,1) erhält man immer den Punkt P0
Die Gewichtsfunktion vom Grad 1: Sägezahn. Alle aufsummiert ergeben 1, aber erst ab u=1!!N0,1(u) :=(u-0)*CHI(0,u,1) + (2-u)*CH(1,u,2)N1,1(u) :=(u-1)*CHI(1,u,2) + (3-u)*CH(2,u,3) N2,1(u) :=(u-2)*CHI(2,u,3) + (4-u)*CH(3,u,4)Usw.
Die Gewichtsfunktionen vom Grad 2Das Verfahren von oben setzt man sinngemäß fort, allerdings sind die Summen dann nicht 1 sondern 2, man muss also durch 2 dividieren.Jeder Teil besteht aus drei gewöhnlichen Parabeln, insgesamt mit Breite 3, sonst =0. Alle aufsummiert ergeben 1, aber erst ab u=2!! Für ganzzahlige u sind genau zwei ≠0 mit Wert beidemale 1/2, das sind durch die Halbierungspunkte der Seiten des Stützpolygones.
Die Gewichtsfunktion vom Grad 3:
besteht aus vier kubischen Parabeln, mit Breite 4, sonst =0. Alle aufsummiert ergeben 1, aber erst ab u=3!!
Rekursionsformel von de Boor/Cox/Mansfield
Grad 0: liefert also nur die Punkte zurück.Grad 1: liefert also nur den Streckenzug zurückGrad 2: liefert eine Kurve, die die Polygonseiten in deren Halbierungspunkten berührt, sie beginnt im ersten und endet im letztenGrad 3: liefert eine Kurve ohne besonders ins Auge stechende Eigenschaften
Standard B-Spline in Blender
Add - Curve – NurbsIm Edit Modus
Non Uniforme B-Splines
Grad 0:[N0,0(u):=CHI(0, u, 0), N1,0(u):=CHI(0, u, 0), N2,0(u):=CHI(0, u, 1), N3,0(u):=CHI(1, u, 2), ...]wobei die ersten beiden ≡ 0 sind.Grad 1:N0,1(u) := (u-0)*0 + (0-u)*0 ≡ 0N1,1(u) := (u-0)*0 + (1-u)*N2,0(u)N2,1(u) := (u-0)*N2,0(u) + (2-u)*N3,0(u)N3,1(u) := (u-1)*N3,0(u) + (3-u)*N4,0(u)Usw.
Beispiel: U = < 0,0,0,1,2,3,4,5, ...
Zu sehen sind Ursache und Wirkung: die Kurve geht durch den Mehrfachknoten
Blender
Im Bild der Standard Nurbsoffen und geschlossenIm Editiermodus.
Nurbs-Flächen in Blender. Die Standard Fläche ist eher sparsam, sie geht nämlich ebenso wie die Kurve keineswegs durch ihre Stützpunkte. Festgelegt ist sie übrigens durch ein 4*4 Gitter aus 16 Punkten.
