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Numerische Berechnung derLyapunov-Exponenten bei

gewöhnlichen Di�erentialgleichungen

Diplomarbeitan der Fakultät für Mathematik

der Universität Karlsruhevorgelegt von

Andreas MelcherMai 2003

Diese Arbeit entstand unter der Anleitung vonHerrn Professor Rudolf Scherer

am Institut für Praktische Mathematik

Hiermit erkäre ich, die vorliegende Diplomarbeit selbständig verfasst und keineanderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet zu haben.

Karlsruhe, den 03.Mai 2003��

Andreas Melcher

Inhaltsverzeichnis0 Vorwort 1

1 Grundlagen 51.1 De�nition dynamischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Die Variationsgleichung dynamischer Systeme . . . . . . . . . . . 61.3 Heuristische Herleitung der Lyapunov-Exponenten . . . . . . . . 101.4 Beispiele zum eindimensionalen Lyapunov-Exponent . . . . . . . 14

2 De�nition und Theorie der Lyapunov-Exponenten 192.1 De�nition der Lyapunov-Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Theorie der Lyapunov-Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Der Satz von Oseledec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Lyapunov-Exponenten k-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Numerische Berechnung der Lyapunov-Exponenten 283.1 Übersicht der Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Das Gram-Schmidt'sche Orthogonalisierungsverfahren . . . . . . 293.3 Die Singulärwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Das QR-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5 Fehleranalyse für das QR-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Spezielle QR-Verfahren 424.1 Das QR-Verfahren mit Givens-Rotationen . . . . . . . . . . . . . 424.2 Die Matrixexponentialfunktion im QR-Verfahren . . . . . . . . . 494.3 Das QR-Verfahren und die Cayley-Transformation . . . . . . . . 534.4 Komplexität der speziellen QR-Verfahren . . . . . . . . . . . . . 56

5 Die Beispielgleichungen 585.1 Lyapunov-Exponenten für von auÿen erregte Oszillatoren . . . . 585.2 Übersicht der Beispielgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6 Das di�erentielle Orthogonalisierungsverfahren 766.1 Die Schwingungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.2 Die Du�ng-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3 Die van der Pol-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.4 Die Lorenz-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.5 Die Rössler-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7 Das QR-Verfahren mit Givens-Rotationen 967.1 Die Schwingungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.2 Die Du�ng-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.3 Die van der Pol-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.4 Die Lorenz-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.5 Die Rössler-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8 Vergleich und Folgerungen 131

I

8.1 Vergleich der Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2 Schluÿfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

A Herleitung einiger wichtiger Ergebnisse 140A.1 Herleitung der Lyapunov-Exponenten aus der Matrix ΛY . . . . . 140A.2 Di�erentialgleichungen für die Singulärwertzerlegung . . . . . . . 141A.3 Die Di�erentialgleichungen für die QR-Zerlegung . . . . . . . . . 144

B Das QR-Verfahren mit Givens-Rotationen 146B.1 Die Di�erentialgleichungen für n=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 146B.2 Die Di�erentialgleichungen für n=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 147B.3 Die Di�erentialgleichungen für n=4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

C Ergebnisse für die Matrixexponetialfunktion 153C.1 Die Matrixexponentialfunktion von S für n=2 . . . . . . . . . . . 153C.2 Die Matrixexponentialfunktion von S für n=3 . . . . . . . . . . . 154

D Ergebnisse zur Cayley-Transformation 156D.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156D.2 Die Cayley-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

E Matlab Routinen für die Versuche 158E.1 Die Matlab ODE Routinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158E.2 Matlab Routinen für die Beispielgleichungen . . . . . . . . . . . . 159E.3 Matlab Routinen die numerischen Verfahren . . . . . . . . . . . . 165

Literatur I

Abbildungsverzeichnis V

Index VIII

II

0 Vorwort

0 VorwortBei der Untersuchung dynamischer Systeme, die im allgemeinen durch nichtli-neare Di�erential- bzw. nichtlineare Di�erenzengleichungen beschrieben werden,ist es oft von Interesse, die zeitliche Entwicklung von in�nitesimal eng benach-barter Trajektorien zu betrachten. Dabei ist man an der zeitlichen Entwicklungeines dynamischen Systems für einen bestimmten Anfangswert und an der zeit-lichen Entwicklung desselbigen mit einem leicht gestörten Anfangswert interes-siert. Dies führt bei nichtlinearen Di�erential- bzw. Di�erenzengleichungen aufeine zeitvariante, lineare Di�erential- bzw. Di�erenzengleichung, die in beidenFällen Variationsgleichung genannt wird.Die Untersuchung des Langzeit- bzw. Stabilitätsverhaltens einer solchen zeit-varianten linearen Di�erentialgleichung bzw. Di�erenzengleichung führt auf denBegri� der sogenannten Lyapunov-Exponenten bzw. Lyapunov CharacteristicExponents. Kurz gesagt beschreiben Lyapunov-Exponenten die exponentielleEntfernung bzw. Annäherung zweier eng benachtbarter Trajektorien eines dy-namischen Systems. Sie gehen auf die Arbeit von A.Lyapunov:"Problem generalde la stabilite du movement" [34] aus dem Jahre 1892 zurück. Sie stellen in ei-nem gewissen Sinne eine Verallgemeinerung der Stabiltätstheorie linearer undzeitinvarianter Systeme dar. Im Sonderfall linearer zeitinvarianter Di�erential-gleichungen, d.h. x = Ax, stimmen die Lyapunov-Exponenten mit den Realtei-len der Eigenwerte der Systemmatrix A überein.In den sechziger und siebziger Jahren des letzten Jahrhunderts �ndet die Theo-rie der Lyapunov-Exponenten im Rahmen der Ergodentheorie, besonders beirussischen Mathematikern wie zum Beispiel Oseledec [41], neues Interesse, umsie bei der Untersuchung über das Vorhandensein von Chaos in dynamischenSystemen einzusetzen.Ein Hauptmerkmal eines chaotischen dynamischen Systems ist die sensitive

Abhängigkeit des Systems von den Anfangsdaten, d.h für beliebige kleine Stö-rungen in den Anfangswerten entstehen im zeitlichen Verlauf beliebige groÿeAbweichungen in den betrachteten Trajektoren (vergleiche die Chaos-De�nitionvon Devaney in Reitmann [49] S.146). Die Lyapunov-Exponenten beschreibenalso die exponentielle Konvergenz bzw. Divergenz eng benachbarter Trajektori-en eines nichtlinearen dynamischen Systems und charakterisieren Eigenschaftendes Attraktors des dynamischen Systems durch ihre Gröÿe und ihr Vorzeichen.Für ein n-dimensionales dynamisches System existieren genau soviele Lyapunov-Exponenten wie Raumdimensionen vorhanden sind. Grob eingeteilt können beieinem dynamischen System die folgenden Attraktortypen auftreten:

• Ruhelagen bzw. Fixpunkte

• periodische bzw. quasiperiodische Orbits

• chaotische Attraktoren

Der Zusammenhang zwischen dem Attaktortyp eines dynamischen Systems undzugehörigen Lyapunov-Exponenten zeigt die nachfolgende Tabelle:

1

0 Vorwort

Attroktortyp Lyapunov-ExponentenFixpunkt,Ruhelage (−,−, . . .)︸︷︷︸

n−mal

periodischer Orbit (0, −,−, . . .︸︷︷︸(n−1)−mal

)

quasiperiodischer Orbit (Torus) (0, 0, . . . ,︸︷︷︸k−mal

−,−, . . .︸︷︷︸(n−k)−mal

)

chaotischer Attraktor (+,+, . . .︸︷︷︸j−mal

, 0, 0, . . .︸︷︷︸k−mal

, −,−, . . .︸︷︷︸(n−j−k)−mal

)

Tabelle 0.1: Verteilung der Lyapunov-Exponenten

Die Ruhelagen eines dynamischen Systems werden durch negative Lyapunov-Exponenten beschrieben, während periodische Bewegungen einen verschwinden-den und n-1 negative Lyapunov-Exponneten besitzen. Quasiperiodische Orbitshaben mehrere veschwindende und negative Lyapunov-Exponenten. Besitzt dasSystem mindestens einen positiven Lyapunov-Exponent, so zeigt dies exponenti-elle Divergenz in mindestens einer Phasenraumrichtung an und ist gleichbedeu-tend mit der sensitiven Abhängigkeit gegenüber Anfangsbedingungen. Deshalbbenutzt man heute die Lyapunov-Exponenten für die Charakterisierung chaoti-scher dynamischer Systeme.

Ziel dieser Arbeit ist es, die numerische Berechnung der Lyapunov-Exponentenim Di�erentialgleichungsfall anhand neuerer Ansätze in den Raumdimensio-nen 2 und 3 zu untersuchen. Es sind dies eine di�erentielle Form des Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungverfahren nach Christiansen und Rugh [10]aus dem Jahre 1997, sowie spezielle QR-Verfahren nach Habib et.at aus denJahren 1998/99 [47, 48, 45, 46] und von von Bremen aus dem Jahre 2001 [5, 6].

Diese Arbeit ist wie folgt gegliedert:

Im Kapitel 1 werden die mathematischen Grundlagen eingeführt, d.h. die ab-strakte De�nition eines dynamischen Systems mittels der Gruppen- bzw. Halb-gruppeneigenschaft und der zugehörigen Tangentialabbildung. Weiter werdendie Variationsgleichung und die Lyapunov-Exponenten auf heuristische Weisefür eindimensionale dynamische Systeme hergeleitet.

Im Kapitel 2 werden die Lyapunov-Exponenten und das Lyapunov-Spektrumallgemein de�niert und eine kleine Übersicht über ihre Theorie gegeben, ins-besondere werden die Begri�e Regulärität und Stabilität behandelt. Auÿerdemwird der multiplikative Ergodensatz von Oseledec (siehe Reitmann [49]) einge-führt, da die gängigen numerischen Verfahren diesen Satz als Grundlage nehmen,denn er sichert die Reguläriät und liefert Ansätze zur numerischen Berechnungder Lyapunov-Exponenten.

2

0 Vorwort

Kaptiel 3 führt die numerischen Verfahren ein, wie sie sich in der historischenEntwicklung der letzten zwanzig Jahre darstellen. Es wird zuerst ein kurzerÜberblick über mögliche Ansatze gegeben, die auf der Adaption von aus der li-nearen Algebra stammenden Verfahren, angewandt auf die Variationsgleichung,beruhen. Es sind dies im einzelnen das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierung-verfahren und dessen Di�erentialgleichungsform [10], die Singulärwertzerlegungund das Standard-QR-Verfahren. Eine gute Übersicht der Thematik liefert da-bei der Artikel von Geist et.al.[27] aus dem Jahre 1990. Das QR-Verfahren kannman weiter in eine diskrete und kontinuierliche Version unterteilen. Zum Ab-schluÿ des Kapitels wird noch eine Fehleranalyse nach Highham [36] für dasStandard-QR-Verfahren in der diskreten und kontinuierlichen Version zur Be-rechnung der Lyapunov-Exponenten im Fall linearer zeitinvarianter Di�erenti-algleichungen gegeben.

Im Kapitel 4 werden drei spezielle QR-Verfahren untersucht und die nötigenDi�erentialgleichungen hergeleitet. Es sind dies das QR-Verfahren mit Givens-Rotationsmatrizen nach Rangarajan [47, 48] und zwei QR-Verfahren nach vonBremen et.al [5, 6], die Beziehungen zwischen orthogonalen Matrizen und schief-symmetrischen Matrizen ausnutzen. Bei den Verfahren nach von Bremen wirddie orthogonale Matrix Q als Matrixexponentialfunktion oder als Cayley-Trans-formation einer schiefsymmetrischen Matrix S dargestellt. Dabei ist das QR-Verfahren mit der Cayley-Transformation in der Praxis weniger gut geeignet, dadie Di�erentialgleichungen des Verfahrens unter Umständen zu einem schlechtgestellte Problem führen, daÿ Regularisiert werden muÿ.

Im Abschnitt 5 werden zuerst noch einige wichtige Ergebnisse, die für die nu-merischen Versuche benötigt werden eingeführt. Danach werden die Beispiel-gleichungen einer kurzen Analyse ihres dynamischen Verhaltens unterzogen. AlsBeispiele sind im R2 die Schwingungsgleichung als Beispiel eines linearen undzeitinvarianten Systems, sowie als nichtlineare Erweiterungen die Du�ng- bzw.Van der Pol-Gleichung gewählt worden. Es werden sowohl der homogene alsauch der von auÿen periodisch erregte Fall untersucht. Im dreidimensionalenRaum werden die wohlbekannte Lorenz-Gleichung und die Rössler-Gleichungbetrachtet.

In den Kapiteln 6 und 7 werden dann für zwei Verfahren numerische Ergeb-nisse präsentiert. Es sind dies in Kapitel 6 die di�erentielle Form des GramSchmidt'schen Orthogonalisierungsverfahren und das QR-Verfahren mit Given-rotationsmatrizen in Kapitel 7. Die Verfahren werden dabei mit verschiedenenODE-Solvern an den Beispielen getestet.

Im Kapitel 8 werden die beiden Verfahren untereinander verglichen und Fol-gerungen gezogen. Dabei hat sich gezeigt, daÿ das QR-Verfahren dem di�eren-tiellen Gram-Schmidt-Verfahren überlegen ist, sowohl in der Komplexität, d.h.in der Zahl der benötigten Di�erentialgleichungen, als auch in der Rechenzeitund der Genauigkeit der Ergebnisse.

3

0 Vorwort

Die numerischen Versuche für jedes Verfahren werden in der Studentenversionvon Matlabr 6.5 R13 auf einem Intel Pentium 4 Computer (1,7 GHz, 256 MbRAM) mit Linux als Betiebssystem (Kernel 2.4.19) durchgeführt. Für die nu-merische Integration der Di�erentialgleichungen wird die Matlab ODE-SUITEverwendet und zwar die Routinen ode45, ode113, ode15s. Die Versuche werdenfür jedes Verfahren mit oben genannten Routinen für verschiedene Parameter-werte durchgeführt. Dabei hat sich gezeigt,daÿ die Routinen ode45, ode113 beiden untersuchten Beispielen besser sind als die ode15s Routine im bezug auf dieRechenzeit.

Im Anhang sind ausführliche Ergebnisse, Rechenwege und Herleitungen, die fürdie Kapitel 1-8 benötigt werden, so zum Beispiel die Herleitung der Di�erenti-algleichungen für die Singulärwertzerlegung und das Standard-QR-Verfahren ,sowie der Code für die Matlab-Routinen der numerischen Versuche zu�nden.

4

1 Grundlagen

1 GrundlagenIn diesem Abschnitt werden die wichtigsten mathematischen Grundlagen ein-geführt und anschlieÿend auf heuristische Weise die Lyapunov-Exponenten her-geleitet. Eine gute Übersicht der Thematik �ndet man in den Büchern vonReitmann [49] oder von Wiggins [57].

1.1 De�nition dynamischer SystemeEin dynamisches System ist eine mathematische Beschreibung der zeitlichenEntwicklung real existierender Systeme aus Physik, Biologie oder anderen Wis-senschaften. Es wird de�niert durch einen Zustands- oder PhasenraumM⊆ Rn

oder eine o�ene Teilmenge davon, sowie eine einparametrige Abbildung

φt : M → Mx 7→ φt(x). (1.1)

Der Parameter t ist dabei aus der Menge Γ = {R,R+,Z,Z+}. Ist t ∈ {R,R+}so heiÿt das System (zeit-)kontinuierlich, ist t ∈ {Z,Z+} so heiÿt das System(zeit-)diskret.Hat die Abbildung aus Gleichung (1.1) die untenstehenden Eigenschaften, dieGruppen- bzw. Halbgruppeneigenschaften genannt werden für t ∈ {R,Z} bzw.t ∈ {R+,Z+}, so spricht man von einem dynamischen System:

(a) φ0(x) = x, ∀x ∈M(b) φt(φs(x)) = φt+s(x), ∀t, s ∈ Γ, x ∈M(c) (i) Ist ein dynamisches System kontinuierlich so ist die Abbildung

φ(·)(·) : Γ×M→M

stetig.(ii) Ist ein dynamisches System diskret, so ist für jedes t ∈ Γ die Abbil-

dungφt(·) : M→M

stetig.

Ist Γ = R (Γ = R+) so heiÿt das kontinuierliche System Fluÿ (bzw. Halb�uÿ).

Im folgenden sei stets t ∈ {R+} für kontinuierliche Systeme bzw. t ∈ {Z+}für zeitdiskrete Systeme.Die spätere Berechnung der Lyapunov-Exponenten basiert auf der sogenanntenlinearisierten Fluÿabbildung bzw. Tangentialabbildung. Sie ist analog zur obigenDe�nition dynamischer Systme erklärt [27]:

Dxφt : TxM → Tφt(x)Mu 7→ Dxφt(u) (1.2)

5

1 Grundlagen

t0 t

x0

y0

δx(t)

x(t)

x(t, t0)

x(t, x0 + δx0)

δx0

Abbildung 1.1: Eindimensionale Entwicklung der Störung δx(t)

Bezüglich der kanonischen Basis {ei}i=1,...,n im Rn sind TxM bzw. Tφt(x)Mdie zugehörigen Tangentialräume. Im nächsten Abschnitt soll der Sachverhaltverdeutlicht werden.

1.2 Die Variationsgleichung dynamischer SystemeUm die Lyapunov-Exponenten eines dynamischen Systems {φt} berechnen zukönnen, benötigt man die sogenannte (erste) Variationsgleichung. Für ein zeit-kontinierliches System läÿt sie sich wie folgt herleiten:

Betrachte für t ≥ t0 = 0 die Di�erentialgleichung

x(t) = f(x(t)), x(0) = x0. (1.3)

mit x ∈M ⊆ Rn. Weiter sei f sei r-mal stetig di�erenzierbar.

Gesucht wird eine mathematische Beziehung für die Störung δx(t), wenn derAnfangswert x0 durch eine kleine Störung δx0 geändert wird.

Die Abbildung 1.1 verdeutlicht den Zusammenhang im eindimensionalen Fall.

Es sei y(t) = x(t) + δx(t). Es gilt dann mit (1.3):

y(t) = f(y(t))d(x + δ)(t)

dt= f(x(t) + δx(t))

6

1 Grundlagen

dx

dt(t) +

δx

dt(t) = f(x(t) + δx(t))

Taylorentwicklung der rechten Seite und Abbruch nach dem ersten Glied ergibtdann (diese Schreibweise bedeutet, daÿ das Restglied vernachlässigt wird):

dx(t)dt

+δx(t)dt

≈ f(x(t)) +∂f(x(t))

∂x(t)δx(t)

f(x(t)) +δx(t)dt

≈ f(x(t)) +∂f(x(t))

∂x(t)δx(t)

δx(t)dt

≈ ∂f(x(t))∂x(t)

δx(t)

Als Ergebnis folgt

˙δx(t) = J(x(t))δx(t), δx(0) = δx0 (1.4)

mitJ(x(t)) =

∂f(x(t))∂x(t)

. (1.5)

Dabei ist J(x(t)) die Jacobi-Matrix. Sie ist de�niert als

J(x(t)) =

∂f1(x)∂x1

∂f1(x)∂x2

. . . ∂f1(x)∂xn

∂f2(x)∂x1

∂f2(x)∂x2

. . . ∂f2(x)∂xn... ... . . . ...

∂fn(x)∂x1

∂fn(x)∂x2

. . . ∂fn(x)∂xn

. (1.6)

Die Gleichung (1.4) beschreibt die zeitliche Entwicklung der Störung und wird(erste) Variationsgleichung genannt. Sie ist eine lineare zeitvariante Di�erenti-algleichung der allgemeinen Form

x(t) = A(t)x(t), x(0) = x0. (1.7)

Es sei jetztδx(t, δx0) = ψt(δx0) (1.8)

der Fluÿ der Variationsgleichung (1.4) mit ([27])

ψt : TxM → Tφt(x)Mx 7→ ψt(x). (1.9)

Nach [52] läÿt sich die Gleichung (1.8) in der Form

δx(t) = Y (t)δx0 (1.10)

7

1 Grundlagen

darstellen. Dabei ist Y (t) eine invertierbare n× n Matrix und heiÿt Matrixfun-damentallösung. Sie bildet die Störung in den Tangentialraum ab und stellt dielinearisierte Fluÿabbildung des dynamsichen Systems φt(x) dar, welches durchdie Di�erentialgleichung (1.3) beschrieben wird.

Mit den Gleichungen (1.10) und (1.4) erhält man dann die Matrixdi�erenti-algleichung

Y (t) = J(t)Y (t), Y (0) = I. (1.11)Mit I sei die Einheitsmatrix im Rn×n bezeichnet.

Bemerkung: Analog zu Di�erentialgleichungen läÿt sich die Variationsglei-chung auch für zeitdiskrete dynamische System herleiten. Betrachte dazu dieDi�erenzengleichung

xi+1 = F (xi), xi ∈ Rn, i ∈ N0, x0 ∈ Rn gegeben. (1.12)

Die Funktion F sei r-mal (r ≥ 1) stetig di�erenzierbar. Untersucht man jetztwieder eine kleine Abweichung δx0 vom Anfangszustand x0 so erhält man mityi = xi + δxi, i ∈ N0 analog zum Di�erentialgleichungsfall:

yi+1 = F (yi)xi+1 + δxi+1 = F (xi + δxi)

xi+1 + δxi+1 = F (xi) +∂F

∂x(xi)δxi + R(δx2

i )

δxi+1 =∂F

∂x(xi)δxi + R(δx2

i )

Als Ergebnis folgt nach Vernachlässigung des Restgliedes

δxi+1 = J(xi)δxi, δx0 ∈ Rn gegeben. (1.13)

J(xi) ist wieder die Jacobi-Matrix. Die allgemeine Lösung der diskreten Va-riationsgleichung ergibt sich bei gegebenen δx0 zu

δx1 = J(x0)δx0

δx2 = J(x1)δx1 = J(x1)J(x0)δx0...

δxn+1 = J(xn)δxn = . . . =0∏

i=n

J(xi)δx0.

Damit bezeichnet

Y (xn) =0∏

i=n−1

J(xi) (1.14)

wieder die Matrixfundamentallösung, welche die Matrix-Di�erenzengleichung:

Y (xi+1) = J(xi)Y (xi), Y (x0) = I (1.15)

erfüllt.

8

1 Grundlagen

Beispiel 1.1 (Die Variationsgleichung für lineare zeitinvariante Systeme)

(a) Di�erentialgleichungsfall:Es gilt

x(t) = Ax(t), x(0) = x0 (1.16)mit x ∈ Rn, A ∈ Rn×n konstant.Es ist also f(x) = Ax mit J(x(t)) = A.Damit gilt die Matrixvariationsgleichung

Y (t) = AY (t), Y (0) = I. (1.17)

(b) Di�erenzengleichungsfall:Es gilt:

xi+1 = Axi, x0 ∈ Rn gegeben (1.18)mit xi ∈ Rn, i ∈ N0, A ∈ Rn×n konstant.Es ist also F (x) = Ax mit der Jacobimatrix J(xi) = A ∀i ∈ N0.Damit gilt die Matrixvariationsgleichung:

Y (xi+1) = AY (xi) = An+1, Y (x0) = I. (1.19)

Beispiel 1.2 (Variationsgleichung nichtlinearer Systeme)

(a) Lorenzgleichung (Lorenz 1963): Sie stammt aus der Meteorologie und isteine Vereinfachung der zugrundeliegenden hydrodynamischen Gleichung,um deren Vorhersagbarkeit zu verbessern:

x1(t) = −σ(x1(t)− x2(t))x2(t) = r x1(t)− x2(t)− x1(t)x3(t)x3(t) = x1(t)y2(t)− b x3(t) (1.20)

Die Werte σ, r, b sind konstante Systemparameter.

Es ist nun f(x1, x2, x3) =

−σ(x1 − x2)rx1 − x2 − x1x3

x1x2 − bx3

.

Damit ergibt sich für die Jacobi-Matrix mit x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t))T

J(x(t)) =

−σ σ 0r − x3(t) −1 −x1(t)

x2(t) x1(t) −b

. (1.21)

Also lautet die Variationsgleichung

Y (t) =

−σ σ 0r − x3(t) −1 −x1(t)

x2(t) x1(t) −b

Y (t)

Y (0) = I. (1.22)

9

1 Grundlagen

(b) Henon-Abbildung: Sie ist ein Beispiel für eine zweidimensionale Di�eren-zengleichung:

x1,n+1 = x2,n + 1− ax21,n

x2,n+1 = bx1,n (1.23)

Es ist f(x1, x2) =(

x2 + 1− ax21

bx1

).

Für die Jacobi-Matrix gilt J(x1, x2) =( −2ax1 1

b 0

).

Die Variationsgleichung ist dann

Yn+1 =( −2ax1,n 1

b 0

)Yn

Y0 = I(1.24)

bzw.

Yn+1 =0∏

i=n

( −2ax1,i 1b 0

). (1.25)

1.3 Heuristische Herleitung der Lyapunov-ExponentenIn diesem Abschnitt sollen die Lyapunov-Exponenten auf anschauliche Weisehergeleitet werden (vergleiche hierzu [32]).

Der Lyapunov-Exponent eindimensionaler Di�erentialgleichungen

Gegeben sei die skalare, nichtlineare Di�erentialgleichung

x(t) = f(x(t)). (1.26)

Für zwei Startwerte x(0) = x0 und y(0) = y0 = x0 + ε, ε > 0 betrachte man diezeitliche Entwicklung der Lösungen x(t, x0) bzw. x(t, y0). Zu einem beliebigenZeitpunkt t ≥ 0 sei der Abstand zwischen den beiden Lösungskurven x(t, x0)und x(t, y0)

d(x(t, x0), x(t, y0)) = |x(t, x0)− x(t, y0)|. (1.27)Insbesondere zum Zeitpunkt t = 0 ist d(x(0, x0), x(0, y0)) = ε. Weiter wird an-genommen, daÿ sich die beiden Trajektorien exponentiell voneinander entfernen.Für den Abstand zu einem beliebigen Zeitpunkt t > 0 gilt dann

d(x(t, x0), x(t, y0)) = ε exp(λ(x0)t). (1.28)

Dabei bezeichnet λ(x0) die Wachstumsrate des exponentiellen Auseinanderdrif-tens der beiden Trajektorien. Also gilt:

ε exp(λ(x0)t) = |x(t, x0)− x(t, y0)| bzw.exp(λ(x0)t) =

|x(t, x0 + ε)− x(t, x0)|ε

bzw.

10

1 Grundlagen

t0 t

x0

y0

d(x(t, x0), x(t, y0)) = ε exp(λ(x0)t)

x(t)

x(t, x0)

x(t, y0)

d(x(t0, x0), x(t0, y0) = ε

Abbildung 1.2: Der eindimensionale Lyapunov-Exponent bei Di�erentialglei-chungen

λ(x0)t = ln( |x(t, x0 + ε)− x(t, x0)|

ε

)bzw.

λ(x0) =1t

ln( |x(t, x0 + ε)− x(t, x0)|

ε

)

Durchführung des Grenzüberganges t → ∞ und ε → 0 (falls die Grenzwerteexistieren) liefert

λ(x0) = limt→∞ lim

ε→0

1t

ln( |x(t, x0 + ε)− x(t, x0)|

ε

)

= limt→∞

1t

ln(∣∣∣∂x(t, x0)

∂x0

∣∣∣)

. (1.29)

Der Wertλ(x0) = lim

t→∞1t

ln(∣∣∣∂x(t, x0)

∂x0

∣∣∣)

(1.30)

heiÿt dann Lyapunov-Exponent.

Bemerkung: Um Schwierigkeiten mit der Grenzwertbildung für t →∞ zu ver-meiden, wird der lim sup benutzt.Die Abbildung 1.2 verdeutlicht den Sachverhalt graphisch.Nach Abbildung 1.1 gilt δx(t) = d(x(t, x0), x(t, y0)) ≥ 0, wobei δx(t) der Dif-ferentialgleichung (1.4) genügt mit der Lösung (1.10). Mit (1.28) für δx0 = εergibt sich

δx(t) = y(t)δx0

11

1 Grundlagen

x0

y0 = x0 + εv

ε‖v‖x(t, x0)

x(t, y0)

ε exp(λ(x0, v)t

Abbildung 1.3: Lyapunov-Exponent im Rn

= y(t)ε= ε exp(λ(x0)t). (1.31)

Au�ösen nach λ(x0) und Grenzübergang t →∞ (falls dieser existiert) ergibt

λ(x0) = limt→∞

1t

ln |y(t)|. (1.32)

Die Gröÿe λ(x0) wird wiederum Lyapunov-Exponent genannt.

Bemerkung:(a) Nach [32] läÿt sich die obige De�nition in Gleichung (1.30) auf n-dimensionale

nichtlineare Di�erentialgleichungssystem erweitern. Man erhält dann nLyapunov-Exponenten:

λi(x0) = limt→∞

1t

ln(∣∣∣∂x(t, x0)

∂xi,0

∣∣∣)

, i = 1, . . . , n (1.33)

(b) Nach [49] läÿt sich die Gleichung (1.32) auch n Dimensionen erweitern.Siehe hierzu die Abbildung 1.3Es sei v ∈ Rn beliebig, ε > 0 und mit ‖ · ‖ sei als Abstandsbegri� im Rn

die euklidische Norm gemeint. Es gilt zum Startzeitpunkt t = 0:

d(x(0, y0), x(0, x0)) = ‖x(0, y0)−x(0, x0)‖ = ‖y0−x0‖ = ‖x0+εv−x0‖ = ε‖v‖Für einen beliebigen Zeitpunkt t > 0 gilt nach (1.10) mit δx0 = εv

ε‖Y (t)v‖ = d(x(t, y0), x(t, x0))

12

1 Grundlagen

= ‖x(t, y0)− x(t, x0)‖= ‖x(t, x0 + εv)− x(t, x0)‖. (1.34)

Der Abstand zwischen den beiden Trajektorien soll exponentiell wachsen,d.h.

d(x(t, y0), x(t, x0)) = ε exp(λ(x0, v)t). (1.35)

Gleichsetzen der beiden letzten Gleichungen ergibt

‖Y (t)v‖ = exp(λ(x0, v)t). (1.36)

Au�ösen nach λ(x0, v) und Grenzübergang für t → ∞ (falls existent)liefert

λ(x0, v) = limt→∞

1t

ln ‖Y (t)v‖. (1.37)

Wählt man nun für den Richtungsvektor v die Einheitsvektoren ei, i =1, . . . n, d.h. ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)T , dann erhält man n Lyapunov-Exponenten, die das mittlere logarithmische Wachstum in den entspre-cheden Koordinatenrichtungen angeben

λ(x0, ei) = limt→∞

1t

ln ‖Y (t)ei‖, i = 1, . . . , n. (1.38)

(c) Ist ein Lyapunov-Exponent λ(x0) > 0 bzw. λ(x0) < 0 so laufen die beidenTrajektorien voneinander weg bzw. aufeinander zu.

Der Lyapunov-Exponent bei eindimensionalen Di�erenzengleichungen

Gegeben sei die skalare, nichtlineare Di�erenzengleichung

xn+1 = F (xn) (1.39)

mit den Startwerten x0 und y0 = x0 + ε, ε > 0. Nach n Iterationen gilt für diebeiden Folgen xn+1, yn+1 mit den zugehörigen Startwerten x0, y0

xn+1 = Fn(x0)yn+1 = Fn(y0) = Fn(x0 + ε). (1.40)

Dabei ist Fn(·) = F (Fn−1(·)) = . . . F (. . . F (·) . . .) die n-fache Komposition.Die beiden Folgen haben bei der 0-ten Iteration den Abstand ε. Analog zumDi�erentialgleichungsfall wird weiter angenommen, daÿ der Abstand der beidenFolgenwerte xi und yi mit einer gewissen exponentiellen Rate wächst, also

d(xn+1, yn+1) = ε exp(nλ(x0)). (1.41)

Andererseits gilt für den Abstand

d(xn+1, yn+1) = |fn(x0)− fn(y0)| = |fn(x0)− fn(x0 + ε)|. (1.42)

Gleichsetzen der beiden Gleichungen und Au�ösungen nach λ(x0) ergibt

λ(x0) =1n

ln( |fn(x0)− fn(x0 + ε)|

ε

). (1.43)

13

1 Grundlagen

n Iterationenε

x0F n(x0)x0 + ε

ε exp(nλ(x0))

F n(x0 + ε)

Abbildung 1.4: Der eindimensionale Lyapunov-Exponent bei Di�erenzenglei-chungen

Für den Grenzfall ε → 0 und n → ∞ erhält man dann den eindimensionalenLyapunov-Exponenten

λ(x0) = limn→∞ lim

ε→0

1n

ln( |fn(x0)− fn(x0 + ε)|

ε

)

= limn→∞

1n

ln∣∣∣df

n(x0)dx0

∣∣∣. (1.44)

Durch Anwendung der Kettenregel vereinfacht sich der obige Ausdruck zu

λ(x0) = limn→∞

1n

ln∣∣∣df

n(x0)dx0

∣∣∣

= limn→∞

1n

ln∣∣∣

n−1∏

i=0

f ′(xi)∣∣∣

= limn→∞

1n

n−1∑

i=0

ln |f ′(xi)|. (1.45)

Die Abbildung 1.4 stellt den Sachverhalt graphisch dar.

Bemerkung: Analog zum Di�erentialgleichungsfall läÿt sich das Ergbnis fürden eindimensionalen Lyapunov-Exponenten auch auf den mehrdimensionalenFall übertragen.

1.4 Beispiele zum eindimensionalen Lyapunov-ExponentBeispiel 1.3 Die logistische Di�erentialgleichung

Die logistische Di�erentialgleichung dient zur Beschreibung dynamischer Vor-gänge in der Populationsdynamik. Sie wurde 1838 von dem belgischen Mathe-matiker Verhulst hergeleitet [31]. Sie lautet

x(t) = µx(t)(1− x(t)), x(0) = x0 > 0. (1.46)

Nach [31] ist die Lösung

x(t) =1

1 + ( 1x0− 1) exp(−µt)

=x0

x0 + (1− x0) exp(−µt). (1.47)

Der Lyapunov-Exponent soll jetzt nach den Formeln (1.30) und (1.32) berechnetwerden.

14

1 Grundlagen

Nach (1.30) gilt

∂x(t, x0)∂x0

=exp(−µt)

(x0 + (1− x0) exp(−µt))2. (1.48)

Für den Lyapunov-Exponent ergibt sich

λ(x0) = limt→∞

1t

ln∣∣∣∂x(t, x0)

∂x0

∣∣∣

= limt→∞

1t

ln∣∣∣ exp(−λt)(x0 + (1− x0) exp(−µt))2

∣∣∣

= limt→∞

1t

ln(

exp(−µt)(x0 + (1− x0) exp(−µt))2

)

= limt→∞

1t

[ln(exp(−µt))− 2 ln(x0 + (1− x0) exp(−µt))

]

= −µ− 2 limt→∞

1t

ln(x0 + (1− x0) exp(−µt))

= −µ. (1.49)

Um den Lyapunov-Exponenten nach (1.32) zu berechnen, muÿ zuerst die Va-riationsgleichung

y(t) =df(x)dx

y(t), y(0) = 1

df(x)dx

= µ(1− 2x) (1.50)

gelöst werden. Durch Trennung der Veränderlichen erhält man die Lösung derVariationsgleichung

y(t) = exp(µ

t∫

0

(1− 2x(s))ds). (1.51)

Für den Lyapunov-Exponenten gilt nach (1.32)

λ(x0) = limt→∞

1t

ln |y(t)|

= limt→∞

1t

ln | exp(µ

t∫

0

(1− 2x(s))ds)|

= limt→∞

1t

ln(exp(µ

t∫

0

(1− 2x(s))ds))

= limt→∞

1t(µ

t∫

0

(1− 2x(s))ds)

= µ− 2µ limt→∞

1t

t∫

0

x(s)ds.

15

1 Grundlagen

Weiter gilt für das Integralt∫

0

x(s)ds =

t∫

0

x0

x0 + (1− x0) exp(−µs)ds

= t +1µ

ln |x0 + (1− x0) exp(−µt)|.

Wobei nach die Formel [43]∫

dx

p + q exp(ax)=

x

p− 1

apln |p + q exp(ax)|

benutzt wird. Damit gilt

limt→∞

1t

t∫

0

x(s)ds = −2µ (1.52)

und für den Lyapunov-Exponenten

λ(x0) = −µ. (1.53)

Beispiel 1.4 Die logistische Abbildung

Die logistische Abbildung kommt aus der Populationsdynamik und beschreibt dasWachstum einer Population. Für Details siehe [35]. Sie ist ein eindimensionales,zeitdiskretes dynamisches System beschrieben durch die Di�erenzengleichung

xn+1 = rxn(1− xn) (1.54)

mit x0 als Startwert. Dabei ist der Parameter r > 0 eine populationsspezi�scheKonstante und xn = Pn

P mit P die maximale Populationsgröÿe und Pn, n ∈ N0

die Anzahl der Individuen einer Population zum Zeitpunkt n.

Der Lyaponov-Exponent der logistischen Abbildung wird mit der Formel (1.45)für den Startwert x0 = 0.500745 und n=1000 Iteration berechnet. Das Bild 1.5zeigt den Lyapunov-Exponent als Funktion des Parameters r.Für r = 4 ist der Lyapunov-Exponent

λ = ln(2) (1.55)

Dieser Wert läÿt sich analytisch berechnen [49]. Die Abbildung 1.6 zeigt denWert des Lyapunov-Exponenten für r = 4 für verschiedene Iterationswerte vonn = 10 bis n = 107 im halblogarithmischen Maÿstab , der mittels der For-mel (1.45) mit x0 = 0.506546 berechnet wurde. Man sieht, daÿ der Fehler imLyapunov-Exponent schon nach 100 Iterationen kleiner als 10−4 ist.

16

1 Grundlagen

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4−5

−4

−3

−2

−1

0

1

Parameter r

LCE

(r)

Lyapunov−Exponenten der logistischen Abbildung für verschiedene Parameter

Abbildung 1.5: Lyapunov-Exponent der logistischen Abbildung für r ∈ [3, 4]

101

102

103

104

105

106

107

0.66

0.67

0.68

0.69

0.7

Lyap

.−E

xp. λ

Lyapunov−Exponent λ der logistischen Abbildung f(x)=4x(1−x) vs. log(n)

Exakter Lyapunov−Koeffizient λ=ln(2)

101

102

103

104

105

106

107

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Anzahl der Iterationen n im logarithischen.Maßstab

Feh

ler

err

Fehler des Lyapunov−Exponent λ der logistischen Abbildung f(x)=4x(1−x)

Abbildung 1.6: Der Lyapunov-Exponent der logistischen Abbildung für ver-schiedene Iterationswerte n

17

1 Grundlagen

Zusammenfassend ist zu, daÿ bei der Herleitung der Lyapunov-Exponentenbesonders darauf zu achten ist, daÿ die entsprechenden Grenzwerte existieren.Für die Gleichung (1.30) muÿ man die explizite Lösung der Di�erentialgleichungkennen, um den eindimensionalen Lyapunov-Exponenten berechnen zu können.Ist dies nicht der Fall, so kann die Lösung nur numerisch bestimmt werden.Dies ruft erhebliche numerische Schwierigkeiten schon im eindimensionalen Fallhervor, da man zur numerischen Di�erentation nach dem Anfangswert zwei Tra-jektorien berechnen muÿ, um dann einen numerischen Di�erenzenquotienten zubilden.Eine De�nition von Lyapunov-Exponenten beruhrend auf der Formel (1.32) bzw.(1.38) scheint für die praktische Berechnung besser geeignet.Es sei dazu bemerkt, daÿ wenn man die Lösung der Variationsgleichung nume-risch bestimmt, benötigt man im allgemeinen auch eine numerische Lösung derursprünglichen Di�erentialgleichung, da die Jacobi-Matrix der ursprünglichenDi�erentialgleichung in der Variationsgleichung vorkommt. Man muÿ also einerweitertes Di�ertialgleichungssystem bestehend aus der ursprünglichen Di�e-rentialgleichung und der Variationsgleichung lösen. Der Nachteil ist, daÿ sich dieAnzahl der Gleichungen dieses erweiterten Di�erentialgleichungssystem im n-dimensionalen Raum sehr stark erhöht, denn es sind n+n2-Di�erentialgleichungenzu lösen.

18

2 De�nition und Theorie der Lyapunov-Exponenten

2 De�nition und Theorie der Lyapunov-ExponentenIn diesem Kapitel wird eine allgemeine mathematische De�nition der Lyapunov-Exponenten beruhend auf den Gleichungen (1.32),(1.38) und das zugehörigeLyapunov-Spektrum eingeführt.Anschlieÿend wird eine Einführung in die Theorie der Lyapunov-Exponentengegeben, die sich auf die Begri�e der Stabilität und Regularität beschränkt, umdie theoretischen Grundlagen für die späteren numerischen Berechnungen zulegen [15, 16].Zum Abschluÿ dieses Abschnittes soll der Satz von Oseledec [41, 49] zitiert wer-den, der einen maÿtheoretischen Einblick in die Theorie der Lyapunov-Exponenten,als auch in numerische Berechnungen gibt. Die wichtigste Folgerung des Satzesvon Oseledec ist, daÿ die Regularität gesichert ist (siehe die Arbeiten von Dieci[20, 15, 16] und das Buch von Reitmann [49]).

2.1 De�nition der Lyapunov-ExponentenEine ausführliche Beschreibung der Theorie der Lyapunov-Exponenten �ndetman in den Arbeiten von Dieci et.al [20, 15, 16]. Hier werden nur die wichtigstenErgebnisse im Di�erentialgleichungsfall angegeben.

Lyapunov-Exponenten für Di�erentialgleichungen

Betrachtet werden lineare, zeitvariante Di�erentialgleichungen

x(t) = A(t)x(t), x(0) = x0 (2.1)

mit einer stetigen und beschränkten Matrix A(t) ∈ Rn×n.

Sei X(t) eine Matrixfundamentallösung von (2.1) und E = {ej}, j = 1, . . . , neine Normalbasis im Rn. Dann bilden die Vektoren xj(t) = X(t)ej , j = 1, . . . , nlinear unabhängige Lösungen und es lassen sich die Lyapunov-Exponenten de-�nieren:

De�nition 2.1 (Obere und untere Lyapunov-Exponenten)Für j = 1, . . . , n sind die Lyapunov-Exponenten gegeben durch

λsj(xj(t)) := lim sup

t→∞1t

ln ‖X(t)ej‖ (2.2)

λij(xj(t)) := lim inf

t→∞1t

ln ‖X(t)ej‖. (2.3)

Aus der letzten De�nition läÿt sich jetzt sofort das Lyapunov-Spektrum de�-nieren:

De�nition 2.2 Das Lyapunov-Spektrum der Di�erentialgleichung (2.1) ist

ΣL :=n⋃

j=1

[λij , λ

sj ]. (2.4)

19


Gilt λij = λs

j , j = 1, . . . , n, dann heiÿt das System (2.1) regulär und manschreibt dann λj , j = 1, . . . , n. Die Lyapunov-Exponenten berechnen sich indiesem Fall zu

λj = limt→∞

1t

ln(‖X(t)ej‖), j = 1, . . . , n. (2.5)

Das zugehörige Lyapunov-Spektrum ist dann ein Punktspektrum.

Bemerkungen:

(a) Alle Di�erentialgleichungssysteme, die sich auf Systeme mit konstantenKoe�zienten zurückführen lassen, sind regulär. So ist zum Beispiel (2.1)mit A(t) = A(t + T ), T > 0 regulär (Floquet-Theorie).

(b) Analog zu (2.1) lassen sich auch Lyapunov-Exponenten−µs,ij , j = 1, . . . , n

und das zugehörige Spektrum für die adjungierte Di�erentialgleichung

z(t) = −AT (t)z(t), z(0) = z0 (2.6)

de�nieren. Man kann zeigen, wenn X eine Normalbasis von (2.1) ist, dannist X−T eine Normalbasis von (2.6) und für die Lyapunov-Exponenten derbeiden Di�erentialgleichungen gilt λi

j = −µsj , j = 1, . . . , n.

2.2 Theorie der Lyapunov-ExponentenIn diesen Abschnitt werden die theoretischen Grundlagen der Lyapunov-Exponenteneingeführt, es sind dies die Begri�e der Transformation der Fundamentallö-sung auf Dreiecksform, Regularität, Stabilität, und das numerisches Lyapunov-Spektrum.

Eine fundamentale Ungleichung für Lyapunov-Exponenten

Im folgenden sollen der Einfachheit wegen nur noch die oberen Lyapunov-Exponenten betrachtet werden. Für die Lyapunov-Exponenten gilt allgemeindie Ungleichung:

n∑

j=1

λsj ≥ lim sup

t→∞1t

t∫

0

Tr(A(s))ds. (2.7)

Tr(A) =∑n

i=1 aii ist die Spur einer Matrix A.

Transformation von X(t) auf Dreiecksform und Regularität

In diesem Abschnitt werden Bedingungen angegeben, wann man die Matrix-fundamentallösung vereinfachen kann und wann ein System regulär ist. Imfolgenden seien die Lyapunov-Exponenten stets der Gröÿe nach geordnet, d.h.

λs1 ≥ . . . ≥ λs

n. (2.8)

20


Eine fundamentale Eigenschaft von Lyapunov-Exponenten ist ihre Invarianz ge-gebenüber bestimmten Koordinatentransformationen, die Lyapunov-Transfor-mationen heiÿen.

De�nition 2.3 (Lyapunov-Transformation)Eine glatte und invertierbare Koordinatentransformation x → Ty heiÿt Lyapunov-Transformation, wenn T, T−1 und T beschränkt sind.

Die Di�erentialgleichung (2.1) wird unter einer solchen Lyapunov-Transformationin

y(t) = B(t)y(t)B(t) = T−1AT − T−1T (2.9)

umgewandelt.

Seit Perron [42] ist bekannt, daÿ immer eine orthogonale Lyapunov-Transformationexistiert, für welche die Matrix B(t) aus Gleichung (2.9) eine obere Dreiecksma-trix ist. Um die obige Behauptung nachzuweisen wird angenommen, daÿ mandie Fundamentalösung X(t) der Gleichung (2.1) in der Form

X(t) = Q(t)R(t) (2.10)

für alle Zeiten t schreiben kann. Dabei ist Q(t) eine orthogonale Matrix undR(t) eine obere Dreiecksmatrix. Di�erenziert man die Gleichung (2.10) nachder Zeit (die Di�erentation einer Matrix ist elementweise zu verstehen) so erhältman

dX(t)dt

=dQ(t)

dtR(t) + Q(t)

dR(t)dt

.

Diese Gleichung in die Di�erentialgleichung (2.1) eingesetzt ergibt

Q(t)R(t) + Q(t)R(t) = A(t)Q(t)R(t). (2.11)

Bemerkung: Diese letzte Gleichung bildet später den Ansatzpunkt für die spe-ziellen QR-Verfahren nach Rangarajan [47, 48] und von von Bremen [5, 6].

Nach Q aufgelöst ergibt

Q(t) = A(t)Q(t)−Q(t)R(t)R−1. (2.12)

Löst man andererseits die Gleichung (2.11) nach R auf, so gilt

R(t) = B(t)R(t)B(t) = QT (t)A(t)Q(t)−QT (t)Q(t). (2.13)

Damit hat man zwei miteinander verkoppelte Di�erentialgleichungen für dieMatrizen Q und R gefunden. Da R(t) eine obere Dreiecksmatrix ist, so sind auchR(t) und B(t) obere Dreiecksmatrizen. Weiter ist das Matrixprodukt S(Q) =QT Q in Gleichung (2.13) eine schiefsymmetische Matrix. Mit

S(Q, t) := QT (t)Q(t) = QT (t)A(t)Q(t)−B(t) (2.14)

21


gilt für die Matrixelemente

S(Q)ij =

(QT AQ)ij , i > j

0, i = j

−(QT AQ)ji, i < j

. (2.15)

Zusammenfassend erhält man das Di�erentialgleichungssystem

Q(t) = Q(t)S(Q, t)R(t) = B(t)R(t) (2.16)

mit den obigen Matrizen S(Q, t) und B(t).

Aus der De�nition der Regularität läÿt sich jetzt der folgende Satz zeigen.

Satz 2.4 Das SystemR(t) = B(t)R(t) (2.17)

wobei B(t) eine stetige, beschränkte, obere Dreiecksmatrix ist, ist genau dannregulär, wenn der Grenzwert

limt→∞

1t

t∫

0

Bjj(s)ds, j = 1, . . . , n (2.18)

existiert. In diesem Falle stimmen die Lyapunov-Exponenten mit dem Grenzwertüberein.

Als Folgerung aus diesem Satz gilt für die Ungleichung (2.7) das Gleichheitszei-chen und man kann die Regularität alternativ de�nieren.

De�nition 2.5 (Regularität)Ein System der Form (2.1) heiÿt regulär, wenn der zeitliche Mittelwert derSpur der Systemmatrix A(t) einen endlichen Grenzwert hat und in (2.7) dieGleichheit gilt:

n∑

j=1

λsj = lim sup

t→∞1t

t∫

0

Tr(A(s))ds (2.19)

Bemerkungen:

(a) Die Regularität ist invariant unter Lyapunov-Transformationen.

(b) Im regulären Fall stimmen die Lyapunov-Exponenten von (2.1) und (2.6)überein.

(c) Bei der Lyapunov-Transformation wurde bisher stillschweigend angenom-men, daÿ sich die Transformation über alle n Spalten der Matrixfunda-mentallösung erstreckt. Man kann sie aber auch auf den Fall ausdehnen,

22


in denen nur p < n Spalten der Matrix X betrachet werden. In diesemFall ist Q : t → Rn×p orthogonal, denn es gilt QT Q = Ip und es gilt:

Q(t) = A(t)Q(t)−Q(t)[QT (t)A(t)Q(t)− S(Q, t)] (2.20)

mit S(Q) ∈ Rp×p Im Falle p = n stimmen die Gleichungen (2.20) und(2.16) überein.

(d) Zur Bestimmung der Matrix B(t) muÿ man die MatrixfundamentallösungX(t) weder kennen, noch berechnen. Es genügt die Matrixdi�erentialglei-chung für die Matrix Q(t) zu lösen.

Stabilität von Lyapunov-Exponenten

Neben der Regularität bei Lyapunov-Exponenten, ist es auch von Interesse,wie sich Störungen in den Systemparametern, d.h. in den Elementen der Sy-stemmatrix A(t) in (2.1) auf die Entwicklung der Lyapunov-Exponenten aus-wirken. Dies führt auf den Begri� der Stabilität für die Lyapunov-Exponenten.Die Regulärität ist dabei keine zwingende Voraussetzung für Stabiliät. Die nach-folgenden Aussagen werden nur für die oberen Lyapunov-Exponenten gemacht,für die unteren Lyapunov-Exponenten gelten analoge Aussagen.

De�nition 2.6 (Stabilität von Lyapunov-Exponenten)Es seien die λs

j , j = 1, . . . , n die oberen Lyapunov-Exponenten des Systems(2.1). Sie sind genau dann stabil, wenn für jedes ε > 0 ein δ = δ(ε) existiert,so daÿ supt∈R+ ‖E(t)‖ < δ impliziert:

|λsj − λs

j | < ε, j = 1, . . . , n (2.21)

Dabei sind die λsj , j = 1, . . . , n die geordneten oberen Lyapunov-Exponenten des

gestörten Systemsx(t) = [A(t) + E(t)]x(t) (2.22)

Man kann jetzt zeigen, daÿ die Stabilität der oberen (und unteren) Lyapunov-Exponenten invariant unter Lyapunov-Transformationen ist, und es gilt derSatz:

Satz 2.7 Wenn die Lyapunov-Exponenten der Gleichung (2.1) stabil sind unddie Störung E(t) verschwindet für t →∞, dann stimmen die Lyapunov-Exponentenvon Gleichung (2.22) mit denen der Gleichung (2.1) überein.

Nun ist die De�nition der Stabilität in obiger De�nition mehr von theoretischenInteresse, da sie in der Realität sehr schwer nachzuprüfen ist. Um die Stabilitätleichter nachprüfen zu können ist der Begri� der integralen Trennbarkeit einge-führt worden, auf den hier nicht näher eingegangen wird.Für die späteren numerischen Untersuchungen wird neben dem Lyapunov-Spektrumnoch der Begri� des numerischen Lyapunov-Spektrum benötigt:

23


De�nition 2.8 (Numerisches Lyapunov-Spektrum)Für ein oberes Dreieckssystem R(t) = B(t)R(t), mit stetigen und beschränktenB(t) ist das numerisches Lyapunov-Spektrum wie folgt de�niert:

ΣCL :=⋃

[λijj , λ

sjj ], j = 1, . . . , n (2.23)

λijj = lim inf

t→∞1t

t∫

0

Bjj(s)ds (2.24)

λsjj = lim sup

t→∞1t

t∫

0

Bjj(s)ds (2.25)

Bemerkungen:(a) Es gilt ΣCL ⊆ ΣL.

(b) Man kann zeigen, daÿ wenn die Diagonale eines oberen DreieckssystemR(t) = B(t)R(t) integral getrennt ist, dann gilt ΣL = ΣCL und das Spek-trum ist stabil.

2.3 Der Satz von OseledecReguläre Systeme spielen eine wichtige Rolle in der maÿtheoretischen Betrach-tung dynamischer Systeme, wie die Arbeit von Oseledec [41] zeigt. Oseledecimpliziert in seiner Arbeit, daÿ wenn die Gleichung (2.1) aus der Linearisierungeiner Trajektorie eines nichtlinaren System x = f(x, t) entsteht, und der Or-bit durch den Anfangspunkt x0 ein ergodisches Maÿ generiert, dann existierendie Lyapunov-Exponenten als Grenzwert und das zugehörige System ist regu-lär. Weiter sind sie für fast alle Startwerte x0 gleich unter Berücksichtigung desergodischen Maÿes. Die Arbeit von Oseledec sichert aber nicht die Stabiliät derLyapunov-Exponenten.Als nächstes wird der sogenannte multiplikative Ergodensatz von Oseledec inder Version nach Reitmann [49] (S.174, Satz 23.2) zitiert. Er gilt in dieser Formsowohl für Di�erentialgleichungen als auch für Di�erenzengleichungen:Satz 2.9 (Satz von Oseledec (1968))Gegeben sei ein glattes dynamisches System {φt}t∈Γ auf einer kompakten Teil-menge M ⊂ Rn. Weiter sei das System invariant bzgl. eines Borel-Maÿes µ(siehe [30]) und in jedem Punkt p ∈M sei das Skalarprodukt < ·, · >p gegeben.Mit dφt(p) : TpM→ Tφt(p)M werde die Tangentialabbbildung im Punkt p zumZeitpunkt t bezeichnet. Weiter sei dφt(p)∗ die adjungierte Abbildung zu dφt(p)bzgl. < ·, · >p. Dann gelten die beiden folgenden Aussagen:(a) Für µ-fast alle Punkte p ∈M konvergiert die lineare Abbildung

(dφt(p)∗dφt(p)

) 12t : TpM→ TpM (2.26)

für t →∞ zu einer positiven und selbstadjungierten Abbildung

Lp : TpM→ TpM (2.27)

24


(b) Ist µ ein ergodisches Wahrscheinlichkeitsmaÿ, so existiert eine MengeΛ ⊂ M mit µ(Λ) = 1 auf der unabhängig von p die Abbildung Lp dies ≤ n verschiedenen Eigenwerte σ1 > . . . > σs mit den entsprechendenVielfachheiten n1, . . . , ns, wobei

∑si=1 ni = n ist, besitzt.

Weiter sei Eip, i = 1, . . . , s der Unterraum des Tangentialraumes TpM,

der von den Eigenvektoren aufgespannt wird, die zu den den Eigenwerten≤ σi gehören. Dann gelten die Inklusionen

{0} = Es+1p ⊂ Es

p ⊂ . . . ⊂ E2p ⊂ E1

p = TpM⊆ Rn (2.28)

und für alle i = 1, . . . , s die Beziehungen

dimEip =

s∑

j=i

nj (2.29)

Weiter existiert für alle p ∈ Λ und für beliebige v ∈ Eip\Ei+1

p , i = 1, . . . , sder Grenzwert

ln(σi) = limt→∞

1t

ln(‖dφt(p)v‖), i = 1 . . . , s (2.30)

Bemerkungen und Folgerungen:

(a) Die Eigenwerte σi, i = 1 . . . , s werden Lyapunov-Zahlen genannt, währenddie Logarithmen λi = ln(σi), i = 1, . . . , s Lyapunov-Exponenten bzgl. desMaÿes µ heiÿen. Im folgenden seien die Eigenwerte aus dem Satz vonOseledec mit σi, i = 1, . . . , s ≤ n und die Lyapunov-Exponenten mitλi, i = 1, . . . , s ≤ n bezeichnet. Eigenwerte und Lyapunov-Exponentenseien der Gröÿe nach geordnet.

(b) Die Tangentialabbildung dφt(p) ist in Übereinstimmung mit der Variati-onsgleichung aus dem ersten Abschnitt Lösung der Matrixdi�erentialglei-chung (1.11).

(c) Die lineare Abbildung Lp aus der Gleichung (2.26) ist bei Di�erentialglei-chungen die Matrix

ΛY := limt→∞[Y (t)T Y (t)]

12t . (2.31)

(d) Der Satz von Oseledec impliziert Regularität.

(e) Die Zerlegung des Tangentialraumes TpM in die Unterräume Eip, i =

1, . . . , s + 1 ist wie folgt zu deuten:Der Raum E1

p = Rn wird von allen Eigenvektoren aufgespannt.Der Raum E2

p wird von all den Eigenvektoren aufgespannt die zu den Ei-genwerten kleiner gleich als σ2 gehören u.s.w.Zuletzt wird der Raum Es

p von den Eigenvektoren aufgespannt, die zumkleinsten Eigenwert σs gehören.

25


Dann gilt für die Di�erenzräume E1p\E2

p , E2p\E3

p , . . .:Der Raum E1

p\E2p beeinhaltet alle die Vektoren v mit der gröÿten Wachs-

tumsrate, d.h. sie sind als Linearkombination der Eigenvektoren des gröÿ-ten Eigenwertes σ1 darstellbar.In E2

p\E3p liegen dann die Vektoren v mit der zweitgröÿten Wachstumsra-

te, d.h. sie sind als Linearkombination der Eigenvektoren des zweitgröÿtenEigenwertes σ2 darstellbar u.s.w..Der Raum Es

p\Es+1p wird dann von den Eigenvektoren zum kleinsten Ei-

genwert σs aufgespannt.

Der Satz von Oseledec liefert zwei Möglichkeiten zur Berechnung der Lyapunov-Exponenten für ein dynamisches System φt(p)t∈Γ:

(a) Für µ-fast alle Punkte p ∈M gilt für die Lyapunov-Exponenten

λi = ln(σi) = limt→∞

1tln(σi(t, p)), i = 1, . . . , n (2.32)

Dabei sind die σi(t, p) ≥ . . . ≥ σn(t, p) die Singulärwerte der Tangential-abbildung dφt(p).

(b) Die zweite Berechnungsmöglichkeit ergibt sich aus (2.30):

λi = limt→∞

1t

ln ‖Y (t)v‖, i = 1, . . . , s (2.33)

mit v ∈ Eip\Ei+1

p und p ∈ Λ beliebig.

2.4 Lyapunov-Exponenten k-ter OrdnungDie Gleichung (2.33) eignet sich bei der praktischen Berechnung der Lyapunov-Exponenten nur zur Bestimmung des gröÿten Wertes λ1, da der Unterraum desTangentialraumes TpM mit der stärksten Expansionsrate die anderen Unter-räume dominiert. Um die übrigen Exponenten λ2 ≥ . . . ≥ λn ebensfalls mit derobigen Formel (2.33) berechnen zu können, nutzt man die Eigenschaften äuÿererPotenzen von linearen Abbildungen aus. Dies soll hier im Di�erentialgleichungs-fall erläutert werden.

Neben der Variationsgleichung aus Gleichung (1.11)

Y = J(t)Y (2.34)

werden für k = 2, . . . , n im R(nk) die zusätzlichen Variationsgleichungen

Y = J(t)[k]Y (2.35)

betrachtet. Die Matrizen J(t)[k] sind dabei die k-te additive assozierte Matrixvon J(t) (siehe [49] S.230�).Sind die λ1 ≥ . . . ≥ λn die Lyapunov-Exponenten bzgl. der ursprünglichenVariationsgleichung (1.11) so bilden die insgesamt

(nk

)Summen λi1 + . . . + λik

26


mit 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n die Lyapunov-Exponenten bzgl. den Variationsglei-chungen (2.35). Für festes k ist der gröÿte Lyapunov-Exponent

λ(k) =k∑

i=1

λi (2.36)

und heiÿt Lyapunov-Exponent k-ter Ordnung.Für k = 1, . . . , n erhält man ein gesta�eltes Gleichungssystem für die Lyapunov-Exponenten λi, i = 1, . . . , n aus (2.36)

λ(1) = λ1

λ(2) = λ1 + λ2 = λ(1) + λ2...λ(n) =

n∑

i=1

λi = λ(n−1) + λn. (2.37)

Die λ(k) berechnen sich dann analog zu (2.33) durch die Formel

λ(k) = limt→∞

1t

ln(‖[Y (t)]∧ke1 ∧ . . . ∧ ek‖

‖e1 ∧ . . . ∧ ek‖)

, k = 1, . . . , n. (2.38)

Dabei sind die (ei)i=1,...,k ein beliebiges orthogonales System aus dem Tangen-tialraum TpM und die e1 ∧ . . . ∧ ek bezeichnen das k-fache äuÿere Produkt derVektoren (ei)i=1...,k und [Y (t)]∧k ist die k-te äuÿere Potenz von Y (t).

27

3 Numerische Berechnung der Lyapunov-Exponenten

3 Numerische Berechnung der Lyapunov-ExponentenIn diesem Abschnitt wird eine detaillierte Einführung in die verschiedenen nu-merischen Berechnungsmöglichkeiten gegeben. Die numerische Berechnung derLyapunov-Exponenten für ein dynamisches System läÿt sich drei Hauptgebieteeinteilen:

(a) Numerische Verfahren, die auf der Anpassung von Verfahren aus der linea-ren Algebra beruhen, wenn sie auf die Lösung Y (t) der Variationsgleichungangewandt werden. Es sind dies das Gram-Schmidtsches Orthonormali-sierungsverfahren, Singulärwertzerlegung und vorallen das QR-Verfahren.Ziel dieser Ansätze ist es aus der Variationsgleichung neue Gleichungen zugewinnen, mit denen sich die Lyapunov-Exponenten einfacher bestimmenlassen. Literatur zu diesen Verfahren sind die Arbeiten von Geist et.al [27],Dieci und Van Vleck [14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]

(b) Die zweite Möglichkeit beruht auf der Anwendung maÿ- bzw. ergoden-theoretischer Methoden, die auf den Sätzen von Birkho� und Oseledecberuhen. Als Literatur sind z.B. die Arbeiten von Dellnitz et.al.[2, 3] undFroyland et.al [22, 23, 24] zu erwähnen.

(c) Die dritte Klasse numerischer Methoden ist die Anwendung von Verfahrenaus der nichtlinearen Zeitreihenanalyse, z.B. Rekonstruktion der Jacobi-Matrix aus der Zeitreihe. Als Literatur seien die Artikel von Rosenstein[50] und Gencay [26] erwähnt.

In dieser Arbeit werden nur Verfahren aus (a) betrachtet.

3.1 Übersicht der VerfahrenIn diesem Abschnitt werden die verschiedenen Verfahren, die auf Methoden ausder linearen Algebra beruhen, eingeführt und die wichtigste Literatur angege-ben. Sie lassen sich in drei Hauptverfahren einteilen:

(a) Gram-Schmidt'sches Orthonormalisierungsverfahren (GSV )

(b) Singulärwertzerlegung (SV D)

(c) QR-Verfahren

Ein guter Übersichtsartikel über die Thematik ist im Jahre 1990 durch Geistet.al. [27] erschienen, ein weiterer Übersichtsartikel aus dem Jahre 1999 existiertvon Ramasubramanian et. al [45]. Der Artikel von Christiansen und Rugh [10]behandelt das Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren in einer di�e-rentiellen Form. Die Singulärwertzerlegung wird im Artikel von Geist [27] undvon Dieci et.al [16, 12] behandelt, aber sie spielt heute wegen des gröÿeren Re-chenaufwand im Vergleich zum QR-Verfahren nur eine untergeordnete Rolle.Die heutige gebräuchlichste Methode zur Berechnung der Lyapunov-Exponentenist das QR-Verfahren in verschiedenen Abarten. Ausführliche Untersuchungen

28


beruhen auf den Artikeln von Dieci et.al [11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. In-teressant sind auch die Artikel von Rangarajan [47, 48], die einen Ansatz für dasQR-Verfahren mittels Givensrotationen versuchen. Die Artikel von von Bremenet.al [5, 6], nutzen Zusammenhänge zwischen orthogonalen und schiefsymmetri-schen Matrizen mittel Matrixexponentialfunktion bzw. Cayley-Transformationaus. Die speziellen Formen des QR-Verfahrens werden im nächsten Kaptiel 4genauer untersucht.

Weitere interessante Untersuchungen stammen von Bridges und Reich [9]die auf Manipulationen der zugrundeliegenden Di�erentialgleichungen für dasQR-Verfahren beruhen. Eine genaue Fehleruntersuchung für das QR-Verfahrenin zeitinvarianten Fall stammt von McDonald und Higham [36] aus dem Jahre2001.

Allgemeine Vorbemerkungen

Es wird jetzt das um die Variationsgleichung (1.11) erweiterte Di�erentialglei-chungssystem (1.3) betrachtet:

x(t) = f(x, t), x(0) = x0 (3.1)Y (t) = J(t)Y (t), Y (0) = I (3.2)

(3.3)

Wobei die Lösung x ∈ M ⊆ Rn und f r-mal stetig di�erenzierbar ist. J(t) =∂f(x,t)

∂x ist die Jacobi-Matrix und Y ∈ Rn×n die Matrixfundamentallösung.Je nachdem, ob man alle Lyapunov-Exponenten berechnen will oder nur diep, (1 ≤ p < n) gröÿten Exponenten hat dies Auswirkungen auf die Anwendungbestimmter numerischer Verfahren wie zum Beispiel beim QR-Verfahren unddie sich daraus resultierenden Gleichungen.

3.2 Das Gram-Schmidt'sche OrthogonalisierungsverfahrenDas herkömliche Gram-Schmidt-Verfahren

Im vorherigen Abschnitt 2.4 ist bereits ein Verfahren zur Berechnung der Lyapunov-Exponenten eingeführt worden. Über die De�nition der Lyapunov-Exponentenk-ter Ordnung stellt man ein gesta�eltes Gleichungssystem (2.37) auf und löstes nach den eindimensionalen Lyapunov-Exponenten auf. Entscheidend ist dieBestimmung der Lyapunov-Exponenten k-ter Ordnung nach (2.36)

λ(k) = limt→∞

1t

ln(‖[Y (t)]∧ke1 ∧ . . . ∧ ek‖

‖e1 ∧ . . . ∧ ek‖)

, k = 1, . . . , n. (3.4)

Geometrisch läÿt sich diese Formel wie folgt deuten:Das äuÿere Produkt e1 ∧ . . . ∧ ek spannt im k-dimensionalen (1 ≤ k ≤ n)Unterraum des Rn einen Quader E(k) auf, dessen Volumen sich aus dem äuÿerenProdukt

vol(E(k)) = ‖e1 ∧ . . . ∧ ek‖ (3.5)

29


berechnet. Unter dem Fluÿ der Tangentialabbildung degneriert der Quader E(k)

in einen k-dimensionalen Parallelepiped P (k), für dessen Volumen

vol(P (k)) = ‖[Y (t)]∧ke1 ∧ . . . ∧ ek‖ (3.6)

gilt. Um diesen Schritt durchzuführen muÿ man die Fundamentallösung Y (t)berechnen. Dies bedeutet, daÿ die orthogonalen Vektoren ei, i = 1, . . . , k ≤n aus TpM durch den Fluÿ der Tangentialabbildung sich sehr schnell zu fastparallelen Vektoren pi, i = 1, . . . , k ≤ n in Tφt(p)M entwickeln. Deshalb muÿman nach gewissen Zeitspannen eine Reorthogonalisierung mit dem Verfahrenvon Gram-Schmidt durchführen:

v1 = p1

e1 =v1

‖v1‖...

vi+1 = pi+1 −i∑

j=1

< ej , pi+1 > ej

ei+1 =vi+1

‖vi+1‖ i = 2, . . . , k − 1, k ≤ n (3.7)

Es läÿt sich zeigen, daÿ Gleichung (3.4) zur Berechnung der Lyapunov-Exponentenk-ter Ordnung invariant unter einem Basiswechsel ist.

Bemerkung: Das Gram-Schmidt'sche Orthogonalisierungsverfahren wird auchbei der Anwendung des QR-Verfahren oder der Singulärwertzerlegung angewen-det.

Die Abbildung 3.1 soll das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierung im R3 ver-deutlichen, wenn die Vektoren e1, e2, e3 zum Zeitpunkt s orthonormal sind unddann der Zeitpunkt t > s betrachtet wird.

Die di�erentielle Form des Orthogonalisierungsverfahren

Die Arbeit von Christiansen und Rugh [10] führt eine di�erentielle Form desGram-Schmidtschen Orthogonalisierungverfahren ein. Es ist aus der Arbeit vonGoldhirsch aus dem Jahre 1987 abgeleitet, da das dort vorgestellte di�erentielleGram-Schmidt'sche Orthogonalisierungsverfahren numerisch intabil ist. Durchdie Einführung eines Stabilitätsparameter β > 0 wird dieses Verfahren verbes-sert.

Für die di�erentielle Form betrachtet man eine zeitabhängige Menge von k ≤ northonormaler Vektoren

ξ(t) = {e1(t), . . . , ek(t)}< ei, ej > = δij , i = 1, . . . , k. (3.8)

30


p1(t) = Y (t)e1(s) = v1

e1(t)

e3(t)

e2(t)

p3(t) = Y (t)e3(s)

v3(t)

− < Y (t)e2(s), e1(t) > e1(t)

v2(t)

p2(t) = Y (t)e2(s)

− < Y (t)e3(s), e1(t) > e1(t)

− < Y (t)e3(s), e2(t) > e2(t)

Abbildung 3.1: Gram-Schmidt'sche Orthonormalisierung im R3

Damit lassen sich die Elemente der Jacobi-Matrix aus (3.2) mit Hilfe des Ska-larproduktes darstellen als

Jij =< ei, Jej > . (3.9)

Weiter werden eine symmetrische Matrix L(β) mit

Lii = Jii + β(< ei, ei > −1) (3.10)Lij = Jij + Jji + 2β < ei, ej > (3.11)

mit Parameter β > 0 und ein k-dimesionaler Vektor

Λ(t) = (Λ1(t), . . . ,Λk(t))T (3.12)

de�niert. Zur Bestimmung der Lyapunov-Exponenten ist nun das erweiterteDi�erentialgleichungssystem

x(t) = f(x, t), x(0) = x0 (3.13)ei(t) = Jei −

∑

j≤i

ejLji, i = 1, . . . , k ≤ n (3.14)

Λi(t) = Jii(t), i = 1, . . . , k ≤ n (3.15)

zu lösen. Für die Lyapunov-Exponenten gilt

λi = limt→∞

1tΛi(t), i = 1, . . . , k ≤ n. (3.16)

31


Als Voraussetzungen muÿ man beachten, daÿ die Lyapunov-Exponenten derGröÿe nach geordnet sind d.h λ1 ≥ . . . ≥ λn und für die Di�erentialgleichungen(3.15) der Anfangswert Λ(0) = 0 gilt. Weiter muÿ der Stabiltätsparameter βgröÿer sein als das Negative des k-ten zu berechnenden Lyapunov-Exponent λk,d.h.

β > −λk. (3.17)Dann läÿt sich zeigen, daÿ die Lyapunov-Exponenten für fast jede Anfangsor-thonormalbasis ξ(0) sich nach Gleichung (3.16) berechnen lassen.Der Nachteil des Verfahren ist, daÿ nach Gleichung (3.17) eine gewisse a-priori-Kenntnis des Lyapunov-Spektrums benötigt wird. In der Praxis muÿ der Stabi-litätsparameter β manchmal auch sehr viel gröÿer gewählt werden als in obigerGleichung.

3.3 Die SingulärwertzerlegungIn diesem Abschnitt wird die Bestimmung der Lyapunov-Exponenten mit Hilfeeiner Singulärwertzerlegung (SVD) der Matrixfundamentallösung Y (t) darge-stellt. Sei

Y (t) = U(t)Σ(t)V (t)T , (3.18)wobei U(t), V (t) orthogonale zeitabhängige Matrizen sind und Σ(t) eine Diago-nalmatrix ist. Als Literatur sei auf die Artikel [27, 17, 12] verwiesen. Es werdenfolgende Voraussetzungen gemacht:

(a) Die Lyapunov-Exponenten sind einfach, verschieden und Gröÿe nach ge-ordnet (dann ist die Singulärwertzerlegung von Y (t) eindeutig).

(b) Um eine glatte Singulärwertzerlegung für alle Zeiten t ≥ 0 zu erhalten,wird vorausgesetzt, daÿ die Matrizen U(t), V (t), Σ(t) r-mal stetig di�e-renzierbare Matrixfunktionen sind.

Die Singulärwertzerlegung wird ebensfalls aus dem Satz von Oseledec motiviert.Die Lyapunov-Exponenten λi lassen sich als Logarithmen der Eigenwerte µi füri = 1, . . . , n der positiven und symmetrischen Matrix

Λy = limt→∞[Y (t)T Y (t)]

12t (3.19)

darstellen und es gilt

λi = ln(µi) = limt→∞ ln[σ2

i (t)]12t = lim

t→∞1t

ln(σi(t)), i = 1, . . . , n. (3.20)

Für eine genaue Herleitung siehe Anhang A.1.

Bemerkung: Die Singulärwertzerlegung erlaubt eine geometrische Interpreta-tion der Bedeutung der Lyapunov-Exponenten: Multipliziere (3.18) mit der Ma-trix V(t) von rechts, so folgt

Y (t)V (t) = Σ(t)U(t), (3.21)

32


v2

v1

Y = UΣV T

σ2u2

σ1u1

Abbildung 3.2: Geometrische Deutung der Singulärwertzerlegung im R2

bzw. wenn man die Gleichung spaltenweise betrachtet

Y (t)vi(t) = σi(t)ui(t), i = 1, . . . , n. (3.22)

Dabei sind vi(t), ui(t) die Spaltenvektoren der Matrizen U(t), V (t). Für einenbeliebigen und festen Orbit der Tangentialabbildung wird eine kleine SphäreS(x0) := {u ∈ Tx0M| ‖u‖ = 1} um den Startpunkt x0 unter dem Fluÿ derTangentialabbildung in einen Ellipsoid E(x0, t) deformiert mit den Hauptach-sen σi(t)ui(t), i = 1, . . . , n. Die mittlere logarithmische Ausdehnungsrate derHauptachsen ergibt dann die Lyapunov-Exponenten. Die Abbildung 3.2 ver-deutlicht den Sachverhalt im R2.

Unter der Singulärwertzerlegung der Matrixfundamentallösung Y (t) entstehtein System von Matrixdi�erentialgleichungen für die Matrizen U(t),Σ(t), V (t).

Dazu betrachtet man die Variationsgleichung

Y (t) = J(t)Y (t), Y (0) = I (3.23)

und macht für die Lösung Y (t) den Singulärwertansatz

Y (t) = U(t)Σ(t)V T (t). (3.24)

Einsetzen dieser Gleichung in die Variationsgleichung ergibt für die MatrizenU(t), V (t), Σ(t) (siehe Anhang A.2)

Σ(t) = D(t)Σ(t) (3.25)U(t) = U(t)H(t) (3.26)

V T (t) = −K(t)V (t), (3.27)

33


wobei

D(t) = diag(G(t)) (3.28)G(t) = UT (t)J(t)U(t) (3.29)H(t) = −HT (t) (3.30)K(t) = −KT (t) (3.31)

ist. Weiter ergeben sich für die Elemente der schiefsymmetrischen Matrizen

Hii(t) = Kii(t) = 0, i = 1 . . . , n (3.32)

Hij(t) =Gij(t)σj(t) + Gji(t)σi(t)

σ2j (t)− σ2

i (t), Hji(t) = −Hij(t) (3.33)

Kij(t) =Gij(t) + Gji(t)σi(t)σj(t)

σ2j (t)− σ2

i (t), Kji(t) = −Kij . (3.34)

Für die Anfangswerte der Variationsgleichung gilt

Y (0) = I (3.35)

und andererseitsY (0) = U(0)Σ(0)V T (0). (3.36)

Also kann manU(0) = Σ(0) = V T (0) = I (3.37)

setzen. Die Lyapunov-Exponenten berechnen sich dann nach (3.20)

λi = limt→∞

1t

ln(σi(t)). (3.38)

Die Elemente σi(t) sind die Elemente der Diagonalmatrix Σ(t).

Bemerkung: Um die Lyapunov-Exponenten einer nichtlinearen Di�erential-gleichung mit der Singulärwertzerlegung zu lösen müssen 2(n+n2) Gleichungengelöst werden, nämlich n Di�erentialgleichungen für die ursprüngliche Di�eren-tialgleichung, sowie n Gleichungen für die Diagonalmatrix Σ und jeweils n2 Dif-ferentialgleichungen für die Matrizen U und V . Für das ursprüngliche erweiterteDi�erentialgleichungssystem (3.1),(3.2) sind dagegen nur n+n2 Di�erentialglei-chungen zu lösen.

3.4 Das QR-VerfahrenIn 3.2 werden die Lyapunov-Exponenten über k-dimensionale VolumenelementeVk bestimmt bzw. die Deformation eines k-dimensionalen und zeitabhängigenParallelepipeds Pk(t) unter dem Fluÿ der Variationsgleichung betrachtet.Diese Vorgehensweise wird nach [27] auch bei der Anwendung des QR-Verfahrenbenutzt. Der Parallelepiped Pk wird durch die Matrix

P k(t) = (pi(t))i=1,...,k≤n (3.39)

34


beschrieben. Die Spaltenvektoren pi(t) stellen die Achsen des Parallelepipedszum Zeitpunkt t > 0 dar. Weiter sei zum Zeitpunkt t = 0 eine beliebige ortho-normale Basis Ek, beschrieben durch die orthogonale Matrix Ek = (ei)i=1,...,k≤n,des Tangentialraumes TpM gegeben. Weiter bezeichne Y (t) wieder die Matrix-fundamentallösung der Variationsgleichung. Dann gilt für die Spaltenvektorenpi(t) bzw. die Matrix P k(t):

pi(t) = Y (t)ei, i = 1, . . . , k ≤ n (3.40)

bzw. in MatrixschreibweiseP k(t) = Y (t)Ek (3.41)

Der Lyapunov-Exponent eines solchen Parallelepiped ist dann der Lyapunov-Exponent k-ter Ordnung aus dem Abschnitt 2.4:

λ(k) = limt→∞

1t

ln[Vk] =k∑

i=1

λi (3.42)

Das Volumen Vk (1 ≤ k ≤ n) kann jetzt mit Hilfe einer eindeutigen QR-Zerlegung der Matrix P := P k bestimmt werden.Man macht den Ansatz

P = QR = (Q1, . . . , Qk)

R11 ∗ . . . ∗0 R22

. . . ...... . . . . . . ∗0 . . . 0 Rkk

. (3.43)

Dabei ist Q eine orthogonale n × k-Matrix, d.h. QTi Qj = δij , 1 ≤ i, j ≤ k.

R ist eine k × k obere Dreiecksmatrix mit positiven Diagonalelementen, d.hRii > 0, i = 1, . . . , k. Das Volumen des Parallelepiped ist

Vk =k∏

i=1

Rii. (3.44)

Damit ergibt sich aus (3.42) für die Lyapunov-Exponenten

λi = limt→∞

1t

ln(Rii), i = 1 . . . , n. (3.45)

Nach dem Satz von Oseledec sind die Diagonalelemente der Matrix R für fastalle orthogonale Basen En der Gröÿe nach geordnet. Die Abbildung 3.3 ver-deutlicht den Sachverhalt im R2.

Zur Durchführung der QR-Zerlegung werden zwei Hauptmethoden betrachtet:

(a) Das diskrete QR-Verfahren: Dieses Verfahren kann sowohl für zeitdiskreteals auch diskretisierte kontinuierliche Systeme angewendet werden. Dabeiwird bei kontinuierlichen Systemen die Matrixfundamentallösung Y (t) andiskreten Zeitpunkten tj , j = 0, 1, . . . bestimmt und einer QR-Zerlegungunterzogen.

35


e1

e2

R22e2

p2 = Y e2

Y

(Y E = P = QR)V1

V2

p1 = Y e1 = R11e1

Abbildung 3.3: Geometrische Deutung der QR-Zerlegung im R2

(b) Das kontinuierliche QR-Verfahren: Bei diesem Verfahren wird die Ma-trixfundamentallösung Y (t) direkt durch eine QR-Zerlegung ersetzt undanstatt der Variationsgleichung werden Di�erentialgleichungen für Q undR gelöst.

Das diskrete QR-Verfahren

Eine gute Übersicht der verschiedenen diskreten QR-Verfahren der letztenzwangig bis dreiÿig Jahren sind in der Arbeit von Geist et.al auf den Seiten 879-880 zu �nden [27]. Es werden hauptsächlich der Treppen-Iterations-Algorithmusnach Eckmann, Ruelle und der Diagonal-Algorithmus nach Wolf und anderenerwähnt.

Eine andere Vorgehensweise wird in Dieci et.al [18, 20, 11] angewandt. Manbenutzt die Tatsache, daÿ sich die Matrixfundamentallösung Y (t) als Produktvon sogenannten Transitionsmatrizen Y (t, s) darstellen läÿt (siehe [21] S.425�)und benützt anstatt der ursprünglichen Variationsgleichung entsprechende Glei-chungen für die Transitionsmatrizen in Intervallen [s, t]. Zur Bestimmung derLyapunov-Exponenten wird die Matrixfundamentallösung Y (t) ∈ Rn×p, p ≤ nan diskreten Zeitpunkten 0 = t0 < t1 < . . . < tj < tj+1 < . . . einer QR-Zerlegung unterzogen. Dabei ist Y (0) = Y0 := Q0 = I.Man macht den Ansatz, daÿ die Fundamentallösung zu einem Zeitpunkt tm+1

als Produkt von Transitionsmatrizen

Y (tm+1) = Y (tm+1, tm)Y (tm, tm−1) . . . Y (t2, t1)Y (t1, 0)Y0 (3.46)

darstellbar ist. Es zeigt sich, daÿ die Transitionsmatrizen Y (t, tj) ∈ Rn×n, j =0, . . . ,m der nachfolgenden Di�erentialgleichung

Y (t, tj) = J(t)Y (t, tj), tj ≤ t ≤ tj+1, Y (tj , tj) = I (3.47)

gehorchen. J(t) ist wieder die Jacobi-Matrix.

36


Sei Y0 = Q0R0. Dann gilt für die Matrixfundamentallösung zum Zeitpunktt = t1

Y (t1) = Y (t1, t0)Y0 (3.48)bzw.

Y (t1) = Y (t1, t0)Q0R0. (3.49)Andererseits existiert für Y (t1) die QR-Zerlegung

Y (t1) = QR. (3.50)Dann ergibt sich aus beiden letzten Gleichungen

QR = Y (t1, t0)Q0R0. (3.51)Mit

Y (t1, t0)Q0 = Q1R1 (3.52)folgt für die Fundamentallösung Y (t1)

Y (t1) = Q1R1R0. (3.53)Für t = t2 gilt

Y (t2) = Y (t2, t1)Y (t1, t0)Y0

= Y (t2, t1)Y (t1, t0)Q0R0

= Y (t2, t1)Q1R1R0

= Q2R2R1R0, (3.54)falls Y (t2, t1)Q1 = Q2R2.Führt man diese Vorgehensweise sukzessive fort und setzt zu einem Zeitpunktt = tk+1

Y (tk+1, tk)Qk = Qk+1Rk+1 (3.55)so gilt die Matrixfundamentallösung zum Zeitpunkt tk+1

Y (tk+1) = Qk+1

0∏

j=k+1

Rj (3.56)

mit Qk+1 ∈ Rn×p, Rj ∈ Rp×p, j = 0, . . . , k + 1.

Bemerkungen:(a) Statt der Di�erentialgleichung (3.47) kann man auch nachfolgendes Di�e-

rentialgleichungsystem benutzen um die Gleichung (3.56) zu erhalten. Essei

Yj+1(t) = Y (t, tj)Qj , t ∈ [tj , tj+1] → Rn×p, (3.57)dann ist

Yj+1(t) = J(t)Yj+1(t), t ∈ [tj , tj+1], Y (tj)(tj) = Qj . (3.58)

(b) Zu einem Zeitpunkt t = tj berechnen sich die Lyapunov-Exponenten

λi = limtj→∞

1tj

ln((Rj)ii) = limtj→∞

1tj

j∑

k=0

ln((Rk)ii). (3.59)

37


Das kontinuierliche QR-Verfahren

Ausgehend von der Variationsgleichung erhält man mit dem Ansatz

Y (t) = Q(t)R(t) (3.60)

undQ(0) = R(0) = I (3.61)

die nachfolgenden Di�erentialgleichungen (siehe Anhang A.3).Man unterscheidet zwei Fälle:

(a) Bestimmung aller n Lyapunov-Exponenten:

Q(t) = Q(t)S(Q, t), Q(0) = I (3.62)R(t) = B(t)R(t), R(0) = I (3.63)B(t) = QT (t)J(t)Q(t)− S(Q, t) (3.64)

Die Matrix S(Q, t) = QT (t)Q(t) ist schiefsymmetrisch mit den Elementen

Sij :=

(QT JQ)ij , i > j

0, i = j.

− (QT JQ)ji, i < j

(3.65)

(b) Bestimmung der p (1 ≤ p < n) gröÿten Lyapunov-Exponenten:

Q(t) = H(Q, t)Q(t), Q(0) = I (3.66)R(t) = B(t)R(t), R(0) = I (3.67)B(t) = QT (t)J(t)Q(t)− S(Q, t) (3.68)

H(Q, t) = J(t)−Q(t)QT (t)J(t) + Q(t)S(Q, t)QT (t) (3.69)

Die Matrix H(Q, t) ist nicht notwendigerweise schiefsymmetrisch, sie heiÿtaber schwach schiefsymmetrisch, wenn gilt

QT Q = I, QT (H + HT )Q = 0. (3.70)

In beiden Fällen berechnen sich die Lyapunov-Exponenten nach der Formel(2.18) aus Satz 2.4 aus den Diagonalelementen der Matrix R

λi = limt→∞

1t

ln(Rii(t)) = limt→∞

1t

t∫

0

Bii(s)ds, i = 1, . . . , p ≤ n. (3.71)

Zusammenfassend kann man jetzt den untenstehenden Algorithmus formulieren.

38


Grobalgorithmus zur Bestimmung der Lyapunov-Exponenten einer nichtli-nearen Di�erentialgleichung mit dem kontinuierlichen QR-Verfahren

Zur Bestimmung der p ≤ n gröÿten Lyapunov-Exponenten eines nichtlinearenund regulären Di�erentialgleichungssystem müssen die Di�erentialgleichungen

x(t) = f(x, t), x(0) = x0

Q(t) =

{Q(t)S(Q, t), p = n

J(t)Q(t)−Q(t)[QT (t)J(t)Q(t)− S(Q, t)], p < n, Q(0) = I

γi(t) = Bii(t), i = 1, . . . , p ≤ n, γi(0) = 0 (3.72)

numerisch gelöst werden [15], wobei

J(t) :=∂f(x, t)

∂x, Jakobimatrix

S(Q, t) := QT (t)Q(t), S schiefsymmetrischBii(t) := (QT (t)J(t)Q(t))ii, i = 1, . . . , p ≤ n

ist.Die Lyapunov-Exponenten lauten

λi = limt→∞

1tγi(t). (3.73)

Bemerkungen:(a) Ein groÿer Nachteil bei der Berechnung der Lyapunov-Exponenten eines

nichtlinearen Di�erentialgleichungssystem ist, daÿ alle bisher betrachte-ten Methoden die explizite Kenntnis der Jacobi-Matrix J(t) benötigen.Dies ist vorallem bei hochdimensionalen Problemen eine Schwierigkeit. Inder Publikation von L.Dieci [11] 2002, werden diskrete und kontinuierli-che QR-Methoden betrachtet die mit Approximationen der Jacobi-Matrixarbeiten. Diese Idee ist grundsätzlich auch auf andere Verfahren wie zumBeispiel die Singulärwertzerlegung anwendbar. Für Details sei auf dieseArbeit verwiesen.

(b) Ein weiterer entscheidender Nachteil, der bei der numerischen Integra-tion der Di�erentialgleichungen für das QR-Verfahren auftritt, ist, daÿim allgemeinen die Matrix Q während der Integration ihre Orthogonali-tät verliert. Eine genaue Untersuchung dieses Phänomens �ndet in Dieciet.al [20, 18] statt. Dabei werden die beiden folgenden Fälle für das QR-Verfahren getrennt untersucht:

(i) p = n in [20](ii) p < n in [18]

Um die Orthogonalität zu erhalten, wird nach [20] eine regelmäÿige Reor-thogonalisierung z.B. durch das Gram-Schmidt'sche Orthogonalisierungs-verfahren nötig. Dies führt auf sogenannte projektierte Integrationsver-fahren. Dies sind herkömliche Integrationsverfahren, bei denen in regel-mäÿigen Abständen, z.B. nach jedem Zeitschritt, eine Orthogonalisierung

39


durchgeführt wird.Eine andere Klasse von Verfahren sind die sogenannten unitären Inte-

gratoren [19, 17] bei denen die Orthogonalität während der Integrationerhalten bleibt. Im Vergleich zu den projektierten Verfahren sind sie aberschwieriger zu implementieren.

(c) Die theoretischen Grundlagen beruhen auf den Arbeiten von Dieci et.al.[17, 18, 20, 19]. Der Fall p < n führt auf den Begri� von schwach schief-symmetrischen Systemen, da hierbei die Di�erentialgleichung (3.62) in(3.66) entartet und eine wesentliche kompliziertere Struktur aufweist. Des-weiteren kann gezeigt werden, daÿ unitäre Integratoren wie Gauÿ-Runge-Kutta-Verfahren in diesem Fall auch nicht automatisch die Orthogonaliäterhalten.

3.5 Fehleranalyse für das QR-VerfahrenIn diesem Abschnitt wird eine Fehleranalyse für das QR-Verfahren, sowohl fürdie diskrete als auch die kontinuierliche Version, nach Higham et.al [36] skiz-ziert. Bei der numerischen Berechnung der Lyapunov-Exponenten treten zweiHauptfehlerquellen auf (Rundungsfehler werden vernachlässigt).

(a) Fehler bei Approximation des Grenzwertes aus (3.71).

(b) Diskretisierungsfehler durch Anwendung eines numerischen Integrations-schema auf die Di�erentialgleichung (3.62) bzw. (3.66) und (3.71).

Der approximierte Lyapunov-Exponent

In der Praxis wird die Berechnung der Lyapunov-Exponenten über eine end-liche Zeitspanne durchgeführt. Gleichung (3.71) motiviert folgende De�nition:

De�nition 3.1 (Der approximierte Lyapunov-Exponent)Für eine gegebene Zeit T < ∞ ist der approximierte Lyapunov-Exponent durch

λi(T ) =1T

T∫

0

Bii(s)ds =1T

ln(Rii(T )), i = 1, . . . , p ≤ n (3.74)

gegeben.

In [20] wird weiter die folgende Fehlergrenze gezeigt:

Satz 3.2 Seien λi, i = 1, . . . , p ≤ n die Lyapunov-Exponenten des ursprüngli-chen Systems. Dann existieren für gegebene ξi, ρi > 0 Konstanten Ki, Li ≥ 1,so daÿ folgende Fehlerschranken für den approximierten Lyapunov-Exponentengelten

−ρi − 1T

ln(Li) ≤ λi(T )− λi ≤ ξi +1T

ln(Ki), i = 1 . . . , p ≤ n. (3.75)

40


Der numerische Integrationsfehler im linearen zeitinvarianten Fall

Die Systemmatrix J(t) der Variationsgleichung ist diesem Falle konstant, d.h.J(t)=J. Eine ausführliche Untersuchung dieses Falles �ndet man in McDonaldund Higham [36]. Die beiden Hauptergebnisse lauten:

Satz 3.3 (Der Fehler des diskreten QR-Verfahren im linearen Fall)Es sei s die Ordnung des verwendeten Runge-Kutta-Verfahrens, ∆t die Schritt-weite des Verfahrens, T < ∞ ein beliebiger Zeitpunkt zu dem die Lyapunov-Exponenten approximiert werden mit T = K∆t−α, K, α > 0. Dann existierteine Konstante C>0, so daÿ für ∆t → 0 die Abschätzung

|λi(T )− λi| ≤ C(∆tα + ∆tp), i = 1, . . . , n (3.76)

gilt.

Satz 3.4 (Der Fehler des kontinuierlichen QR-Verfahren im linearen Fall)Die Di�erentialgleichung Q = QS(Q, t) werde mit einem projektierten Runge-Kutta-Verfahren oder einem Gauÿ-Legendre-Runge-Kutta-Verfahren der Ord-nung s ≥ 1 gelöst. T sei wie oben. Dann existiert eine Konstante C>0, so daÿfür ∆t → 0 die Abschätzung gilt:

|λi(T )− λi| ≤ C

T, i = 1, . . . , n (3.77)

41

4 Spezielle QR-Verfahren

4 Spezielle QR-VerfahrenIn diesem Kapitel werden drei Verfahren untersucht, die auf gruppentheoreti-schen Methoden beruhen. Genauer betrachtet man die Gruppe der orthogonalenMatrizen O(n) := {A ∈ Gl(n) : AT A = AAT = I, det(A) ± 1} bzw. die Grup-pe der eigentlichen orthogonalen Matrizen SO(n) := {A ∈ Gl(n) : AAT =I, det(A) = +1}, die Rotationen beschreiben, dabei bezeichnet Gl(n) die allge-meine lineare Gruppe der invertierbaren n× n Matrizen. Man nutzt auf SO(n)Beziehungen unter den Matrizen aus, z.B. lassen sich orthogonale Matrizen alsProdukt orthogonaler Matrizen darstellen. Dies liefert ein Verfahren, das aufdie Anwendung von Givens-Rotationen beruht. Als Referenzen siehe die Artikel[48, 47, 45, 46].Grundsätzlich ist auf O(n) ein Verfahren denkbar, daÿ auf die Anwendung vonHouseholder-Re�ektoren beruht, siehe Dieci et.al.[19, 17]. Weiter existieren Be-ziehungen zwischen der Gruppe der eigentlichen orthogonalen Matrizen und derGruppe der schiefsymmetrischen Matrizen so(n) := {A ∈ Rn×n : A = −AT }.Dies führt auf zwei andere Verfahren, einmal werden Beziehungen zwischen or-thogonalen Matrizen und der Matrixexponentialfunktion einer schiefsymmetri-schen Matrix ausgenutzt und zum anderen ist eine orthogonale Matrix als ratio-nale Funktion einer schiefsymmetrischne Matrix darstellbar, das führt auf dieCayley-Transformation. Als Literatur sei auf die Artikel von von Bremen et.al.[5, 6] verwiesen.

4.1 Das QR-Verfahren mit Givens-RotationenDas Verfahren beruht auf einem Verfahren von Habib et.al.[28, 29] zur Bestim-mung der Lyapunov-Exponenten im symplektischen Fall.Da nach den Kapiteln 2 und 3 die Matrixfundentallösung Y als Produkt derorthogonalen Matrix Q und der oberen Dreiecksmatrix R mit positiven Dia-gonalelementen darstellbar ist, erhält man aus der Variationsgleichung Y (t) =J(t)Y (t) mit dem Ansatz Y (t) = Q(t)R(t) die Beziehung

QT (t)Q(t) + R(t)R−1(t) = QT (t)J(t)Q(t). (4.1)

Dabei ist QT (t)Q(t) eine schiefsymmetrische Matrix und R(t)R−1(t) eine obereDreiecksmatrix.

Es wird die Tatsache ausgenutzt, daÿ sich eine orthogonale Matrix als Pro-dukt orthogonaler Matrizen darstellen läÿt. Wenn man das herkömmliche QR-Verfahren zur Eigenwertbestimmung einer Matrix A betrachtet, dann kann dieMatrix Q als Produkt von n(n−1)/2 orthogonaler Matrizen dargestellt werden,wobei jede dieser Matrizen eine einfache Rotation in der i− j-Ebene mit i < jist. Diese Matrizen heiÿen Givens-Rotationen. Dieser Ansatz wird jetzt auf denzeitabhängigen Fall verallgemeinert.

Ziel ist es aus dem QR-Verfahren durch den Ansatz mit den Givens-RotationsmatrizenDi�erentialgleichungen für die Lyapunov-Exponenten und die die Rotationsma-trizen bestimmenden Winkel herzuleiten.

42


Die Givens-Rotationsmatrizen Q(ij) sind elementweise de�niert als

Q(ij)kl :=

1, für k = l 6= i, j

cos(φ), für k = l = i oder k = l = i

sin(φ), für k = i, l = j

− sin(φ), für k = j, l = i

0, sonst

. (4.2)

Hierbei bezeichnet φ die jeweilige Winkelvariable. Die Matrix Q läÿt sich alsProdukt von Givens-Rotationen darstellen

Q = Q(12)Q(13) . . . Q(1n)Q(23) . . . Q(n−1,n). (4.3)

Die orthogonale Matrix Q ist dann eine Matrixfunktion der n(n− 1)/2 Winkelθi der Rotationsmatrizen

Q(t) = Q(θ(t)) = Q(θ1(t), . . . , θn(n−1)/2(t)) = Q(θ1(t)) . . . Q(θn(n−1)/2(t)).(4.4)

Bemerkung: Da für die Matrixfundamentallösung Y (t) der Anfangswert Y (0) =I ist, kann Q(0) = I gewählt werden und als Anfangswerte für die Winkelθi, i = 1, . . . , n(n− 1)/2 ergibt sich

θi(0) = 0. (4.5)

Da die Dreiecksmatrix R(t) positive Diagonalelemente besitzt, kann sie mit Hilfeder Exponentialfunktion in der Form

R(t) =

exp(λ1(t)) r12(t) . . . . . . r1n(t)0 exp(λ2)(t) r23(t) . . . r2n(t)... ... ... ... ...0 0 0 0 exp(λn(t))

(4.6)

dargestellt werden.

Bemerkung: Aus der Anfangsmatrix R(0) = I folgt exp(λi(0)) = 1, also

λ(0) = 0, i = 1, . . . , n. (4.7)

Für die zeitliche Ableitung von R(t) folgt

R =

λ1 exp(λ1) r12 . . . . . . r1n

0 λ2 exp(λ2) r23 . . . r2n... ... ... ... ...0 0 0 0 λn exp(λn)

. (4.8)

43


Für die Inverse der Matrix R(t) gilt weiter

R−1 =

exp(−λ1) r−112 . . . . . . r−1

1n

0 exp(−λ2) r−123 . . . r−1

2n... ... ... ... ...0 0 0 0 exp(−λn)

. (4.9)

Die Werte λi(t), i = 1, . . . , n sind sehr eng mit den Lyapunov-Exponentenverknüpft. Aus (4.1) erhält man mit den obigen Darstellungen von Q(t) undR(t) für das Matrixprodukt R(t)R−1(t))

RR−1 =

λ1 r′12 . . . . . . r′1n

0 λ2 r′23 . . . r′2n... ... ... ... ...0 0 0 0 λn

. (4.10)

Für QT (t)Q(t) gilt

QT Q =

0 −f1(θ, θ) . . . −fn−1(θ, θ)f1(θ, θ) 0 . . . −f2n−3(θ, θ)

... ... ... ...fn−1(θ, θ) . . . fn(n−1)/2(θ, θ) 0

. (4.11)

Mit den beiden letzten Gleichungen erhält man dann aus der linken Seite von(4.1)

QT Q + RR−1 =

λ1 r12 . . . . . . r1n

f1(θ, θ) λ2 r23 . . . r2n... ... ... ... ...

fn−1(θ, θ) . . . . . . fn(n−1)/2(θ, θ) λn

. (4.12)

Bemerkungen: Die Faktoren rij , rij , r−1ij , r′ij , rij in den Gleichungen (4.6),

(4.9), (4.8), (4.10), (4.12) müssen nicht berechnet werden, weil sie in den end-gültigen Gleichungen nicht vorkommen.

Um jetzt die Di�erentialgleichungen für die Gröÿen λi(t), i = 1 . . . , n und dieWinkel θj(t), j = 1, . . . , n(n − 1)/2 zu bestimmen, wird in (4.12) ein Koe�zi-entenvergleich mit der linken Seite von (4.1) durchgeführt.Für die Diagonalelemente erhält man unter Berücksichtigung, daÿ die Matrix

QT (t)Q(t) schiefsymmetrisch ist

λi(t) = (QT (t)J(t)Q(t))ii = Sii(t), i = 1, . . . , n. (4.13)

In [27] wird gezeigt, daÿ die Lyapunov-Exponenten λi sich gemäÿ

λi = limt→∞

λi(t)t

, i = 1, . . . , n (4.14)

44


berechnen lassen. Aus den Gleichungen (4.13) ergibt sich, daÿ die rechte Seiteder Di�erentialgleichungen nur von den Winkeln θi(t), i = 1, . . . , n(n − 1)/2abhängen, also

λi(t) = hi(θ(t)), i = 1, . . . , n (4.15)mit θ(t) = (θ1(t), . . . , θn(n−1)

2

(t))T gilt.Um die Lyapunov-Exponenten berechnen zu können, müssen zuerst die Winkelθi(t) bestimmt werden. Aus dem Koe�zientenvergleich in (4.1) folgt für dien(n− 1)/2 Nebendiagonalelemente

f1(θ(t), θ(t)) = (QT (t)J(t)Q(t))21

f2(θ(t), θ(t)) = (QT (t)J(t)Q(t))31...

fn(n−1)/2(θ(t), ˙θ(t)) = (QT (t)J(t)Q(t))n,n−1 (4.16)

mit θ(t) = (θ1(t), . . . , θn(n−1)2

(t))T , θ(t) = (θ1(t), . . . , θn(n−1)2

(t))T .Dieses Di�erentialgleichungssystem läÿt sich aber nach den einzelnen Ableitun-gen der Winkel θi(t) au�ösen

θi(t) = gi(θ(t)), i = 1, . . . , n(n− 1)/2. (4.17)

Die Di�erentialgleichungen für die λi(t), i = 1, . . . , n sind von den Di�erential-gleichungen der Winkel θj(t), j = 1, . . . , n(n−1)/2 entkoppelt. Die Gleichungen(4.15) und (4.17) bilden jetzt ein Di�erentialgleichungssystem der Dimensionn(n + 1)/2. Daraus lassen sich die Lyapunov-Exponenten berechnen.Eine interessante Eigenschaft des Di�erentialgleichungssystems (4.15),(4.17) wirdin den Arbeiten [47, 48] gezeigt.

Satz 4.1 Zur Berechnung der ersten p ≤ n Lyapunov-Exponenten sind nurp(2n− p + 1)/2) Gleichungen in (4.15),(4.17) zu berücksichtigen.

Der Satz bedeutet, daÿ die Di�erentialgleichung für λ1(t) nur von den ersten(n− 1) Winkeln θi(t) abhängt. Um den gröÿten Lyapunov-Exponent zu berech-nen, berücksichtigt man nur die Gleichung für λ1(t) aus (4.15) und die (n− 1)Gleichungen von (4.17).Die Gleichung für λ2(t) hängt nur von den ersten (2n − 3) Winkeln θi(t) ab,deshalb benötigt man für Berechnung der zwei gröÿten Lyapunov-Exponenten(2n − 1) Gleichungen aus dem System (4.15), (4.17). Dies ist ein gravierenderUnterschied zum Standard-QR-Verfahren.

Schema zum Aufstellen der Di�erentialgleichungen(a) Im ersten Schritt wird die orthogonale Matrix aus den Givens-Rotationsmatrizen

nach der Formel

Q(t) = Q(12)(t)Q(13)(t) . . . Q(1n)(t)Q(23)(t) . . . Q(n−1,n)(t) (4.18)

berechnet. Das direkte Ausrechnen der Matrix Q(t) aus den n(n − 1)/2Rotationsmatrizen ist eine sehr komplizierte Angelgenheit. In der Arbeit

45


[48] Anhang A wird ein Algorithmus angegeben, der das direkte Ausmul-tiplizieren der Rotationsmatrizen vermeidet.

(b) Im zweiten Schritt wird die Ableitung Q(t) berechnet. Dies erfolgt ele-mentweise mit Hilfe der Kettenregel. Eine Formel wie unter (a) existiertnicht.

(c) Danach wird das Produkt QT (t)Q(t) berechnet. Da diese Matrix schief-symmetrisch ist, genügt es, die unteren n(n − 1)/2 Matrixelemente zuberechnen. Aus diesen Elementen erhält man die Gleichungen

f1(θ(t)θ(t)) = (QT (t)J(t)Q(t))21

f2(θ(t)θ(t)) = (QT (t)J(t)Q(t))31...

fn(n−1)/2(θ(t)θ(t)) = (QT (t)J(t)Q(t))n,n−1 (4.19)

bzw.

(QT (t)Q(t))21 = (QT (t)J(t)Q(t))21

(QT (t)Q(t))31 = (QT (t)J(t)Q(t))31

(QT (t)Q(t))32 = (QT (t)J(t)Q(t))32...

(QT (t)Q(t))n−1,n = (QT (t)J(t)Q(t))n−1,n. (4.20)

Die letzte Gleichung stellt ein lineares Gleichungssystem der Form

B(θ(t))θ(t) = b(Q(t), J(t)) (4.21)

dar. Dabei wird das Gleichungssystem zeilenweise aufgebaut.

(d) Als nächstes ist die Inverse der Matrix B(θ)(t) zu bilden. Man beachte,daÿ die Matrix B(θ)(t) im allgemeinen nicht für alle Zeiten t regulär ist,z.B gilt für n = 3 det(B(θ(t))) = cos(θ2(t)). Man sieht, für θ2(t) =(2k − 1)π/2, k = 1, 2, . . . ist die Matrix B(θ(t)) singulär.

(e) Damit ergeben sich die Di�erentialgleichungen für die Winkel θi(t), i =1, . . . , n(n− 1)/2

θi(t) = g(θ(t)), i = 1, . . . , n(n− 1)/2 (4.22)

bzw.

θi(t) = (B−1(θ(t))b(Q(t), J(t)))i, i = 1, . . . , n(n− 1)/2. (4.23)

Es genügt bei der Programmierung die Di�erentialgleichungen für θi(t) inder obigen Form darzustellen, weil eine explizite Darstellung ist für hoheRaumdimensionen (n > 4) nicht mehr praktikabel ist.

(f) Die Di�erentialgleichungen für die λi(t) lauten

λi(t) = (QT (t)J(t)Q(t))ii, i = 1, . . . , n. (4.24)

46


(g) Jetzt können die Di�erentialgleichungen des erweiterten Systems

x(t) = f(x(t)), x(0) = x0

θi(t) = (B−1(θ(t))b(Q(t), J(t))), θ(0) = 0, i = 1, . . . , n(n− 1)/2λi(t) = (QT (t)J(t)Q(t))ii, λ(0) = 0, i = 1, . . . , n (4.25)

numerisch integriert werden und die Lyapunov-Exponenten ergeben sichaus

λi = limt→∞

1tλi(t), i = 1, . . . , n. (4.26)

Der Vorteil des obigen Di�erentialgleichungssystems ist, daÿ die Matrix Q(t)bei der numerischen Integration orthogonal bleibt. Daher werden keine projek-tierten oder unitären Verfahren verwendet.Ein entscheidender Nachteil des oben beschriebenen Verfahren ist, daÿ es we-gen seiner komplizierten Struktur nur auf niedrige Raumdimensionen praktischanwendbar ist.

Bemerkungen:

(a) In der Arbeit [48] wird das Verfahren auf zeitdiskrete Systeme erweitert.

(b) Im Anhang B werden die Di�erentialgleichungen für die Raumdimensionenn = 2, 3, 4 ausführlich angegeben.

Die Di�erentialgleichung für n=2

Die Gleichungen aus (4.25) lassen sich in diesem Falle explizit angeben (sie-he Anhang B)

λ1(t) = j11(t) cos2(θ1(t)) + j22(t) sin2(θ1(t))

− 12(j12(t) + j21(t)) sin(2θ1(t)), λ1(0) = 0

λ2(t) = j11(t) sin2(θ1(t)) + j22(t) cos2(θ1(t))

+12(j12(t) + j21(t)) sin(2θ1(t)), λ2(0) = 0

θ1(t) = j12(t)sin2(θ)− j21(t) cos2(θ1(t))

− 12

sin(θ1(t)), θ1(0) = 0 (4.27)

mit

Q(t) = Q(12)(t) =(

cos(θ1(t)) sin(θ1(t))− sin(θ1(t)) cos(θ1(t))

),

J(t) =(

j11(t) j12(t)j21(t) j22(t)

). (4.28)

47


Die Di�erentialgleichung für n=3

Die Gleichungen aus (4.25) sind im Anhang B ausführlich angegeben. Man erhält

λ1(t)λ2(t)λ3(t)

=

(QT (t)J(t)Q(t))11

(QT (t)J(t)Q(t))22

(QT (t)J(t)Q(t))33

,

λ1(0)λ2(0)λ3(0)

=

000

θ1(t)θ2(t)θ3(t)

= B−1(θ(t))

(QT (t)J(t)Q(t))21

(QT (t)J(t)Q(t))31

(QT (t)J(t)Q(t))32

,

θ1(0)θ2(0)θ3(0)

=

000

(4.29)

mit

B−1(θ(t)) =

− cos(θ3(t))cos(θ2(t)) − sin(θ3(t))

cos(θ2(t)) 0sin(θ3(t)) − cos(θ3(t)) 0

− tan(θ2(t)) cos(θ3(t)) − tan(θ2(t)) sin(θ3(t)) −1

θ(t) = (θ1(t), θ2(t), θ3(t)) (4.30)

und

Q(t) =

cos(θ1) cos(θ2) sin(θ1) cos(θ3)− cos(θ1) sin(θ2) sin(θ3) sin(θ1) sin(θ3) + cos(θ1) sin(θ2) cos(θ3)sin(θ1) cos(θ2) cos(θ1) cos(θ3)− sin(θ1) sin(θ2) sin(θ3) cos(θ1) sin(θ3) + sin(θ1) sin(θ2) cos(θ3)− sin(θ2 − cos(θ2) sin(θ3) cos(θ2) cos(θ3)

(4.31)d.h.

Q(t) = Q(12)(t)Q(13)(t)Q(23)(t) (4.32)mit den Rotationsmatrizen:

Q(12)(t) =

cos(θ1(t)) sin(θ1(t)) 0− sin(θ1(t)) cos(θ1(t)) 0

0 0 1

Q(13)(t) =

cos(θ2(t)) 0 sin(θ2(t))0 1 0

− sin(θ2(t)) 0 cos(θ2(t))

Q(23)(t) =

1 0 00 cos(θ3(t)) sin(θ3(t))0 − sin(θ3(t)) cos(θ3(t))

(4.33)

und der Jacobi-Matrix

J(t) =

j11(t) j12(t) j13(t)j21(t) j22(t) j23(t)j31(t) j32(t) j33(t)

. (4.34)

48


4.2 Die Matrixexponentialfunktion im QR-VerfahrenIn diesem Abschnitt wird ein QR-Verfahren vorgestellt, das funktionelle Zusam-menhänge zwischen orthogonalen und schiefsymmetrischen Matrizen benutzt.Nach [25] Kap.9 ist die Matrixexponentialfunktion einer schiefsymmetrischenMatrix S eine orthogonale Matrix Q mit det(Q) = 1, d.h.

Q = exp(S). (4.35)

Ausgehend von der Variationsgleichung

Y (t) = J(t)Y (t), Y (0) = I (4.36)

macht man den Ansatz

Y (t) = Q(t)R(t) = exp(S(t))R(t) (4.37)

wobei Q(t) orthogonal, R(t) eine obere Dreiecksmatrix und S(t) eine schiefsym-metrische Matrix ist.Jetzt sind Di�erentialgleichungen für die Elemente der Matrizen S(t) und R(t)statt Q(t) und R(t) herzuleiten. Aus der Anfangsbedingung Y (0) = I folgtQ(0) = R(0) = I und damit S(0) = 0. Analog zur Herleitung der Di�eren-tialgleichungen im vorherigen Abschnitt erhält man mit dem allgemeinen QR-Ansatz

QT (t)Q(t) + R(t)R−1(t) = QT (t)J(t)Q(t). (4.38)Da Q(t) orthogonal ist, gilt QT (t) = Q−1(t).Damit folgt für die Matrixexponentialfunktion

QT (t) = (exp(S(t)))T = (exp(S(t)))−1 = exp(−S(t)). (4.39)

Damit ergibt sich aus (4.38):

exp(−S(t))d exp(S(t))

dt+ R(t)R−1(t) = exp(−S)(t)J(t) exp(S)(t). (4.40)

Um eine Di�erentialgleichung für die Matrix S(t) zu erhalten, muÿ der Ausdruckddt exp(S(t)) bestimmt werden (im allgemeinen ist d

dt exp(S(t)) 6= S(t) exp(S(t))).Weiter ist die Matrix exp(−S(t))d exp(S(t))

dt wieder schiefsymmetrisch und R(t)R−1(t)eine obere Dreiecksmatrix mit positiven Diagonalelementen. Damit kann mandie Di�erentialgleichungen für S(t) durch Koe�zientenvergleich des unterenDreiecksteils der Matrix exp(−S(t))d exp(S(t))

dt mit dem unteren Dreiecksteil derMatrix exp(−S(t))J(t) exp(S(t)) erhalten. Dies sind wie im Abschnitt 4.1 wie-der n(n − 1)/2 Gleichungen. Leider existieren auch bei diesen Verfahren keineallgemeine Formeln für die Di�erentialgleichungen von S(t) und müssen für je-de Dimension einzeln bestimmt werden. Die Komplexität der Gleichungen istähnlich groÿ wie beim Verfahren mit den Givens-Rotationen. Das Verfahren istdeshalb nur für kleine Raumdimensionen anwendbar.Die Lyapunov-Exponenten lassen sich wieder aus den Diagonalelementen derMatrix R(t) bestimmen. Analog zum QR-Verfahren mit Givens-Rotationsmatrizen

49


kann gezeigt werden, daÿ das erweiterte Di�erentialgleichungssystem für denAnsatz mit Matrixexponentialfunktion von der Form (4.25) ist. Durch Koe�zi-entenvergleich erhält man

ρi(t) =Rii(t)Rii(t)

= (exp(−S(t))J(t) exp(S(t)))ii, ρi(0) = 0, i = 1, . . . , n.

(4.41)Damit lassen sich die Lyapunov-Exponenten wieder als Grenzwert bestimmen

λi = limt→∞

ρi(t)t

= limt→∞λi(t), i = 1, . . . , n. (4.42)

Zum Abschluÿ dieses Abschnittes sollen die Di�erentialgleichungen für die Ma-trix S(t) für die Raumdimensionen n = 2 und 3 angegeben werden.

Di�erentialgleichung der Matrix S für n = 2

Der Ansatz für S(t) ist

S(t) =(

0 θ(t)−θ(t) 0

). (4.43)

Die Matrix S(t) besitzt die Eigenwerte µ1,2 ± θ(t)i.Für die Matrixexponentialfunktion mit S(t) gilt

exp(S(t)) =∞∑

n=0

S(t)n

n!. (4.44)

Daraus erhält man (siehe Anhang C)

exp(S(t)) = cos(θ(t))I +sin(θ(t))

θ(t)S(t) (4.45)

bzw.exp(S(t)) =

(cos(θ(t)) sin(θ(t))− sin(θ(t)) cos(θ(t)).

)(4.46)

Bemerkung: Für n = 2 ist die Matrixexponentialfunktion exp(S(t)) genaudie Givens-Rotationsmatrix Q(12)(t). Also stimmen die beiden Verfahren über-ein. Dieses Ergebnis ist auf höhere Raumdimensionen nicht übertragbar, da dieGivens-Rotationsmatrizen nicht kommutieren.

Für die Ableitung der Matrixexponentialfunktion gilt

d exp(S(t))dt

=( − sin(θ(t)) cos(θ(t))

− cos(θ(t)) − sin(θ(t))

)θ(t). (4.47)

Die Jacobi-Matrix der Variationsgleichung besitze die Gestalt

J(t) =(

a(t) m(t)−k(t) −c(t)

). (4.48)

50


Dann gilt für die rechte Seite von (4.38)exp(−S(t))J(t) exp(S(t)) =(

a cos2(θ)− c sin2(θ)− 12 (m− k) sin(2θ) m cos2(θ) + k sin2(θ) + 1

2 (a + c) sin(2θ)−k cos2(θ)−m sin2(θ) + 1

2 (a + c) sin(2θ) −c cos2(θ) + a sin2(θ)− 12 (k −m) sin(2θ)

).

(4.49)

Es ist noch der Faktor QT (t)Q(t) = exp(−S(t))d exp(S(t))dt zu bestimmen.

Es gilt

exp(−S(t))d exp(S(t))

dt=

(cos(θ(t)) − sin(θ(t))sin(θ(t)) cos(θ(t))

)( − sin(θ(t)) cos(θ(t))− cos(θ(t)) − sin(θ(t))

)˙θ(t)

=(

0 1− 1 0

)θ(t). (4.50)

Durch Koe�zientenvergleich folgt das Di�erentialgleichungssystem

θ(t) = k(t) cos2(θ(t)) + m(t) sin2(θ(t))− 12(a(t) + c(t)) sin(2θ(t)), θ(0) = 0

ρ1(t) = a(t) cos2(θ(t))− c(t) sin2(θ(t))− 12(m(t)− k(t)) sin(2θ(t)), ρ1(0) = 0

ρ2(t) = −c(t) cos2(θ(t)) + a(t) sin2(θ(t)) +12(m(t)− k(t)) sin(2θ(t)), ρ2(0) = 0.

(4.51)

Bemerkung: Die erste Gleichung in (4.51) läÿt sich durch die Variablentrans-formation x(t) = tan(θ(t)) in eine Riccati-Di�erentialgleichung überführen [6].

Di�erentialgleichung der Matrix S für n = 3

Der Ansatz ist

S(t) =

0 −a(t) −b(t)a(t) 0 −c(t)b(t) c(t) 0

. (4.52)

S(t) hat die Eigenwerte µ1(t) = 0, µ2,3(t) =√

a(t)2 + b(t)2 + c(t)2 = ±µ(t)i.Mit Hilfe des Potenzreihenansatz für die Matrixexponentialfunktion erhält man

exp(S(t)) =∞∑

n=0

S(t)n

n!

= I +sin(µ(t))

µ(t)+

1− cos(µ(t))µ(t)2

S(t)2

= I +sin(µ(t))

µ(t)+ 2

sin2(µ(t)2 )

µ(t)2S(t)2; (4.53)

ausmultiplizieren ergibtexp(S(t)) = 1

µ2 ∗

51


c2 + (a2 + b2) cos(µ) −aµ sin(µ)− bc(1− cos(µ)) −bµ + ac(1− cos(µ))aµ sin(µ)− bc(1− cos(µ)) b2 + (a2 + c2) cos(µ) −cµ− ab(1− cos(µ)))bµ sin(µ) + ac(1− cos(µ)) cµ sin(µ)− ab(1− cos(µ)) a2 + (b2 + c2) cos(µ)

.

(4.54)Analog zum zweidimensionalen Fall erhält man die Di�erentialgleichungen fürdie Elemente von S(t) durch Koe�zientenvergleich des unteren Dreiecksteil derMatrizen exp(−S(t))d exp(S(t))

dt und exp(−S(t))J(t) exp(S(t)). Die Di�erential-gleichungen für die Lyapunov-Exponenten erhält man wieder aus den Diago-nalelementen. Zur Vereinfachung der Notation seien im folgenden die Spaltender Matrix Q(t) = exp(S(t)) mit qk, k = 1, . . . , n bezeichnet. Nach einigerRechnung ergibt sich

A(t)

a(t)b(t)c(t)

=

qT2 (t)J(t)q1(t)

qT3 (t)J(t)q1(t)

qT3 (t)J(t)q2(t)

(4.55)

mit der Matrix A(t)

A(t) = 1µ3 ∗

a2µ + (µ2 − a2) sin(µ) (ab + c− c cos(µ))µ− ab sin(µ); (ac− b + b cos(µ))µ− ac sin(µ)

(ab− c + c cos(µ))µ− ab sin(µ) b2µ + (µ2 + b2) sin(µ) (bc + a− a cos(µ))µ− bc sin(µ)(ac + b− b cos(µ))µ− ac sin(µ) (bc− a + a cos(µ))µ− bc sin(µ) c2µ + (µ2 − c2) sin(µ)

.

(4.56)Bestimmung der Inversen A−1(t) liefert das Di�erentialgleichungssystem für

die Gröÿen a(t), b(t), c(t)

a(t)b(t)c(t)

= A−1(t)

q2(t)T J(t)q1(t)qT3 (t)J(t)q1(t)

qT3 (t)J(t)q2(t)

,

a(0)b(0)c(0)

=

000

(4.57)

mitA−1(t) = 1

2µ2 ∗

µ(µ2 − a2) cot(µ2 ) + 2a2 −abµ cot(µ

2 ) + 2ab− cµ2 −acµ cot(µ2 ) + 2ac + bµ2

−abµ cot(µ2 ) + 2ab + cµ2 µ(µ2 − b2) cot(µ

2 ) + 2b2 −bcµ cot(µ2 ) + 2bc− aµ2

−acµ cot(µ2 ) + 2ac− bµ2 −bcµ cot(µ

2 ) + 2bc + aµ2 µ(µ2 − c2) cot(µ2 ) + 2c2

.

(4.58)Zur Bestimmung der Lyapunov-Exponenten ist das Anfangswertproblem

ρ1(t)ρ2(t)ρ3(t)

=

qT1 Jq1

qT2 Jq2

qT3 Jq3

,

ρ1(0)ρ2(0)ρ3(0)

=

000

(4.59)

zu lösen. Die Lyapunov-Exponenten bestimmen sich durch den Grenzwert

λi = limt→∞

ρi(t)t

= limt→∞λi(t), i = 1, 2, 3. (4.60)

52


Bemerkungen:

(a) Für den Wert µ = 2kπ, k ∈ N0 ist die Matrix A(t) singulär und deshalbdie Inverse nicht de�niert, daher sind die Di�erentialgleichungen für a, b, cnicht de�niert.

(b) Für µ = 0 ist S = 0 und deshalb die Matrixexponetialfunktion gleich derIdentität, damit erhält man das Di�erentialgleichungssystem:

a(t) = J21, a(0) = 0 (4.61)b(t) = J31, b(0) = 0 (4.62)c(t) = J32, c(0) = 0 (4.63)

4.3 Das QR-Verfahren und die Cayley-TransformationDie Matrix Q im QR-Verfahren wird als Funktion einer schiefsymmetrischenMatrix S dargestellt. In diesem Abschnitt wird statt der Matrixexponetialfunk-tion die sogenannte Cayley-Transformation benutzt (siehe Anhang D.1). DieCayley-Transformation ist nach [25] Kap.9 wie folgt de�niert

Q(t) = (I − S(t))(I + S(t))−1. (4.64)

Die Transformation nicht de�niert, wenn ein Eigenwert µ = −1 auftritt.

Bemerkungen:

(a) Die inverse Cayley-Transformation lautet

S(t) = (I −Q(t))(I + Q(t))−1. (4.65)

(b) Für die Cayley-Transformation gilt die alternative Darstellung

Q(t) = 2(I + S(t))−1 − I (4.66)

bzw.S(t) = 2(I + Q(t))−1 − I. (4.67)

Damit stellt die Cayley-Transformation eine bijektive Abbildung zwischen or-thogonalen n× n-Matrizen Q und schiefsymmetrischen n× n-Matrizen S dar.Es sollen jetzt wieder die Di�erentialgleichungen für die n(n− 1)/2 Parameter

der schiefsymmetrischen Matrix S hergeleitet werden.

Ausgehend von der bekannten Variationsgleichung

Y (t) = J(t)Y (t), Y (0) = I (4.68)

erhält man mit dem Ansatz Y = QR die Gleichung

QT (t)Q(t) + R(t)R−1(t) = QT (t)J(t)Q(t). (4.69)

53


Die De�nition für die Cayley-Transformation Q(t) = (I − S(t))(I + S(t))−1 in(4.69) eingesetzt ergibt nach einiger Rechnung ([5] Anhang 1)

−2HT (t)S(t)H(t) + R(t)R−1(t) = HT (t)J(t)H(t), S(0) = 0, R(0) = I (4.70)

mit

H(t) = = (I + K(t))−1 = G−1(t) (4.71)G(t) = I + K(t) (4.72)J(t) = G(t)J(t)GT (t). (4.73)

Weiter ist die Matrix

K(t) := QT (t)Q(t) = HT (t)S(t)H(t) (4.74)

schiefsymmetrisch und R(t)R−1(t) eine obere Dreiecksmatrix.Damit erhält man für die Elemente der Matrix K(t)

Kij(t) =

− 12(HT (t)J(t)H(t))ij , i > j

0, i = j12(HT (t)J(t)H(t))ij , i < j

(4.75)

Damit ergibt sich aus (4.74) die Di�erentialgleichung für S(t)

S(t) = H−T K(t)H−1(t) = GT (t)K(t)G(t). (4.76)

Da auch S(t) schiefsymmetrisch ist, genügt es den unteren Dreiecksteil von(4.76) zu betrachten und man erhält ein System von n(n− 1)/2-Gleichungen

Sij(t) = (GT (t)K(t)G(t))ij , i > j. (4.77)

Weiter folgt aus den Diagonalelementen der Gleichung (4.70)

(R(t)(t)R−1(t))ii = (HT (t)J(t)H(t))ii, i = 1, . . . , n (4.78)

bzw. mit ρi(t) = ln(Rii(t)), i = 1 . . . , n gilt

ρi(t) = hTi (t)J(t)hi(t), ρi(0) = 0, i = 1, . . . , n, . (4.79)

Die Lyapunov-Exponenten berechnen sich zu

λi = limt→∞λi(t) = lim

t→∞1tρi(t), i = 1, . . . , n (4.80)

Bemerkung: Die oben beschriebene Vorgehensweise bleibt gültig, solange dieCayley-Transformation gültig ist, d.h. solange bis die Matrix Q(t) den Eigen-wert µ = −1 hat. Dies kann tatsächlich eintreten und die Methode versagt.Die Matrix H(t) ist schlecht konditioniert, wenn ein Eigenwert von Q(t) sichdem Wert −1 nähert. In der Arbeit von von Bremen et.al [5] wird ein Regulari-sierungsverfahren gezeigt, so daÿ die Cayley-Transformation anwendbar bleibt,aber verlängert die Regularisierung die Rechenzeit. Für weitere Details sei aufdiese Arbeit verwiesen.Im folgenden sollen noch die Di�erentialgleichungen für die Dimensionen n = 2

explizit und für n = 3 so weit als möglich angegeben werden.

54


Die Di�erentialgleichungen für n=2

Den AnsatzS(t) =

(0 a(t)

− a(t) 0

)(4.81)

in die Formel (4.64) eingsetzen ergibt

Q(t) =1

1 + a2(t)

(1− a2(t) −2a(t)

2a(t) 1− a2(t)

). (4.82)

Durch Koe�zientenvergleich mit (4.69) erhält man

ρ1(t) = qT1 (t)J(t)q1(t)

ρ2(t) = qT2 (t)J(t)q2(t)

a(t) = qT2 (t)J(t)q1(t) (4.83)

und ausführlich

ρ1(t) =1

(1 + a2(t))2(j11(t)(1− a2(t))2 + 2(j12(t) + j21(t))

∗ a(t)(1− a2(t)) + 4j22a2(t)

), ρ1(0) = 0

ρ2(t) =1

(1 + a2(t))2(4j11(t)a2(t)− 2(j12(t) + j21(t))

∗ a(t)(1− a2(t)) + j22(t)(1− a2(t))2), ρ2(0) = 0

a(t) =1

2(1 + a2(t))

(2(j22(t)− j11(t))a(t)(1− a2(t))

− 4j12(t)a2(t) + j21(t)(1− a2(t))), a(0) = 0 (4.84)

Die jij(t), i, j = 1, 2 sind wieder die Elemente der Jacobi-Matrix J(t).Die Lyapunov-Exponenten berechnen sich aus (4.80).

Die Di�erentialgleichungen für n=3

Mit dem Ansatz

S(t) =

0 −a(t) −b(t)a(t) 0 −c(t)b(t) c(t) 0

(4.85)

ergibt sich

Q(t) =1

µ(t)

1− a2(t)− b2(t) + c2(t) 2(a(t)− b(t)c(t)) 2(a(t)c(t) + b(t))−2(a(t) + b(t)c(t)) 1− a2(t) + b2(t)− c2(t) 2(c(t)− a(t)b(t))−2(b(t)− a(t)c(t)) −2(c(t) + a(t)b(t)) 1 + a2(t)− b2(t)− c2(t)

(4.86)mit

µ(t) = 1 + a2(t) + b2(t) + c2(t). (4.87)Durch Koe�zientenvergleich mit (4.69) erhält man

(QT (t)Q(t))21 = (QT (t)J(t)Q(t))21

55


(QT (t)Q(t))31 = (QT (t)J(t)Q(t))31

(QT (t)Q(t))32 = (QT (t)J(t)Q(t))32

ρ1(t) = (QT (t)J(t)Q(t))11

ρ2(t) = (QT (t)J(t)Q(t))22

ρ3(t) = (QT (t)J(t)Q(t))33 (4.88)

Au�ösen nach den Gröÿen a(t), b(t), c(t) und mit Q(t) = (q1(t), q2(t), q3(t))folgt

a(t)b(t)c(t)

= −1

2

1 + a2(t) a(t)b(t) + c(t) a(t)c(t)− b(t)a(t)b(t)− c(t) 1 + b2(t) a(t) + b(t)c(t)b(t) + a(t)c(t)) b(t)c(t)− a(t) 1 + c2(t)

qT2 (t)J(t)q1(t)

qT3 (t)J(t)q1(t)

qT3 (t)J(t)q2(t)

a(0)b(0)c(0)

=

000

,

ρ1(t)ρ2(t)ρ3(t)

=

qT1 (t)J(t)q1(t)

(qT2 (t)J(t)q2(t)

(qT3 (t)J(t)q3(t)

,

ρ1(0)ρ2(0)ρ3(0)

=

000

(4.89)

Zum Abschluÿ dieses Kapitels sollen noch einige Bemerkungen zu Komplexi-tät gemacht werden, dabei soll unter Komplexität die Anzahl der notwendigenGleichungen zur Lösung des Problems verstanden werden.

4.4 Komplexität der speziellen QR-VerfahrenBei Anwendung eines der drei speziellen QR-Verfahren treten folgende Di�eren-tialgleichungen auf:

• n Di�erentialgleichungen für das zugrundeliegende nichtlineare Di�erenti-algleichungssystem.

• n(n− 1)/2 Gleichungen zur Bestimmung der Parameter der Matrix Q(t),d.h. die Rotationswinkel θi(t) für Givens-Rotationen oder die Elementeder schiefsymmetrsichen Matrix S(t).

• n Gleichungen zur Bestimmung der Lyapunov-Exponenten

Insgesamt werden 2n + n(n− 1)/2 = n(n + 3)/2 benötigt.

Vergleicht man dies zum Standard-QR-Verfahren, so werden für dieses Verfah-ren wie schon früher gesagt insgesamt n(n+2)-Di�erentialgleichungen benötigt.Für groÿe n benötigt man ungefahr die Hälfte der Gleichungen wie beim her-kömmlichen QR-Verfahren.Die nächste Tabelle Abbildung 4.1 zeigt den Unterschied in der Anzahl der

Di�erentialgleichungen zwischen der Standard-QR-Methode und den in diesemKapitel vorgestellten Verfahren:

56


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

2

4

6

8

10

12x 10

5 Anzahl der Differentialgleichungen beim QR−Verfahren

Anz

ahl d

er D

iffer

entia

lgle

ichu

ngen

Dimension n

spezielles QR−Verfahren

Standard−QR−Verfahren

Abbildung 4.1: Anzahl der Di�erentialgleichungen in Abhängigkeit der Dimen-sion n beim QR-Verfahren

Dimension n Standard QR-Verfahren spezielles QR-Verfahren...2 6 53 15 94 24 145 35 206 48 277 63 358 80 449 99 5410 120 65... ... ...100 10200 5150

57

5 Die Beispielgleichungen

5 Die BeispielgleichungenFür die numerische Berechnung der Lyapunov-Exponenten in den Kapiteln 6und 7, werden in diesem Abschnitt die Beispielgleichungen eingeführt und ana-lytisch untersucht. Als Beispiele dienen folgende Gleichungen:

(a) Als Beispiel für lineare und zeitinvariante Systeme wird die Schwingungs-gleichung aus der Mechanik (Pendel) bzw. der Elektrotechnik (RLC-Reihen-schaltung) betrachtet. Die Untersuchung dieser Gleichung bietet den Vor-teil, daÿ man die Lyapunov-Exponenten als Realteile der Eigenwerte expli-zit kennt. Mittels Matrixeponentialfunktion läÿt sich auch eine Formel fürdie zeitliche Entwicklung der Lyapunov-Exponenten angeben. Eine aus-führliche Untersuchung dieser Gleichung �ndet man im Buch von Papula[44] S.391 �..

(b) Als Verallgemeinerung der Schwingungsgleichung kann man den Du�ng-Oszillator sehen. Dabei werden die homogene und inhomogene Gleichungmit einer periodischen Erregung von auÿen untersucht. Die Du�ng-Gleich-ung wird im Buch von Wiggins [57] ausführlich besprochen.

(c) Die Van der Pol-Gleichung erhält man z.B. aus dem elektromagnetischenReihenschwingungkreis, wenn der lineare Widerstand durch ein nichtli-neares Element ersetzt wird. Für bestimmte Parameterwerte stellt dieseDi�erentialgleichung eine steife Di�erentialgleichung dar.

(d) Die Lorenz-Gleichung ist das Parade-Beispiel für chaotische dynamischeSysteme. Sie stellt eine starke Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichungenauf ein dreidimensionales nichtlineares System gewöhnlicher Di�erential-gleichungen dar. Ziel dieses Ansatzes ( Lorenz 1963) ist, Langzeitvorhersa-gen für Wettermodelle zu machen. Eine ausführliche Untersuchung �ndetman im Internet [4].

(e) Ein weiteres einfaches chaotisches System ist die Rössler-Gleichung, die inihrer nichtlinearen Struktur noch einfacher als das Lorenz-System ist.

Für die ersten drei Beispiele ist die äuÿere periode Erregung von der FormA cos(ωt).

Dieses Kapitel ist in zwei Abschnitte unterteilt. Zuerst wird ein nützliches Er-gebnis zur Berechnung der Lyapunov-Exponenten bei periodisch erregten Oszil-latoren nach [6] eingeführt. Danach werden die Beispielgleichungen theoretischuntersucht.

5.1 Lyapunov-Exponenten für von auÿen erregte OszillatorenSehr oft lassen sich höherdimensionale dynamische Systeme (n > 2) durch An-wendung bestimmter Voraussetzungen in der Dimension reduzieren. Für Detailssei auf den Artikel von von Bremen [6] Anhang A verwiesen.Da in den Beispielen Oszillatoren wie die Du�ng-Gleichung betrachtet werden,

58


soll diese Vorgehensweise an allgemeinen Oszillatoren hergeleitet werden.Man betrachtet dazu einen von auÿen erregten Oszillator der Form

x(t) + g(x(t), x(t), t) = h(t), x(0) = x0, x(0) = x0. (5.1)

mit x : R+ → R, t ≥ 0. Oft ruft eine periodische Erregung, d.h. h(t) =h(t + T ), t > 0, chaotisches Verhalten des Oszillators hervor. Deshalb seih(t) eine periodische Funktion. Durch Einführung der Zustandraumkoordina-ten x1 = x, x2 = x, x3 = t läÿt sich (5.1) als autonomes dreidimensionalesDi�erentialgleichungssystem schreiben

x1

x2

x3

=

x2

h(x3)− g(x1, x2, x3)1

,

x1(0)x2(0)x3(0)

=

x10

x20

0

. (5.2)

Die Jacobi-Matrix dieses Systems ist singulär

∂f(x1, x2, x3)∂x

=

0 1 0−∂g(x1,x2,x3)

∂x1−∂g(x1,x2,x3)

∂x2

∂h(x3)∂x3

− ∂g(x1,x2,x3)∂x3

0 0 0

.

(5.3)Betrachtet man jetzt die Variationsgleichung Y (t) = J(t)Y (t), Y (0) = I, somüssen die Elemente der dritten Zeile Y31(t), Y32(t), Y33(t) Konstanten sein.Damit die Anfangsbedingung erfüllt ist gilt Y31(0) = Y32(0) = 0, Y33(0) = 1.Da die Lösung Y (t) der Variationsgleichung nicht singulär ist, hat Y (t) eineQR-Zerlegung

Y11 Y12 Y13

Y21 Y22 Y23

0 0 1

=

Q11 Q12 0Q21 Q22 00 0 1

R11 R12 R13

0 R22 R23

0 0 1

. (5.4)

Um die Lyapunov-Exponenten des Oszillators aus (5.1) zu berechnen, müssendie Elemente R11 und R22 bestimmt werden. In diesem Fall genügt es eine aufzwei Dimensionen reduzierte Variationsgleichung

˙Y (t) = J(t)Y (t), Y (0) = I (5.5)

mit

Y (t) =(

Y11 Y12

Y21 Y22

)(5.6)

J =

(0 1

−∂g(x1,x2,x3)∂x1

−∂g(x1,x2,x3)∂x2

)(5.7)

zu betrachten. Da R33 = 1 ist, muÿ ein Lyapunov-Exponent des zugehöri-gen dreidimensionalen Systems immer Null sein, die beiden anderen Lyapunov-Exponenten von (5.1) ergeben sich aus der reduzierten Variationsgleichung.

Bemerkung: In der Arbeit [6] wird das Ergebnis auf n-dimensionale Systemverallgemeinert, wenn die Jacobi-Matrix eine spezielle Form hat.

59


��

��

Gleichgewichtslage

x(t)

Dämpfungsvorrichtung

Pendelmasse

Elastische Feder

L

C

R

i(t)

Ua(t)

Ue(t)

Federpendel mit Dämpfung RLC−Reihenschaltung

Abbildung 5.1: Physikalische Systeme zur Herleitung der Schwingungsgleichung

5.2 Übersicht der BeispielgleichungenDie Schwingungsgleichung

Abbildung 5.1 zeigt den Aufbau eines schwingungsfähigen mechanischen Pen-dels und die Schaltung des elektromagnetischen Reihenschwingkreises, die mit-tels der Schwingungsgleichung beschrieben werden.Durch Anwendung der physikalischen Gesetze wie das Hook'sche Gesetz für

das Pendel bzw. die Kirchho�'schen Regeln für den Reihenschwingkreis erhältman eine allgemeine Di�erentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Ko-e�zienten

ax(t) + bx + cx = A cos(ωt), x(0) = x0, x(0) = x0 (5.8)

bzw. durch Normierung

x(t) + 2δx(t) + ω20x = A0 cos(ωt), x(0) = x0, x(0) = x0 (5.9)

mit den Parametern δ = b2a , ω0 =

√cm , A0 = A

a .

Anderseits kann die Di�erentialgleichung 2.Ordnung mit x = x1, x1 = x2 aufein Di�erentialgleichungssystem 1.Ordnung reduziert werden

x1(t) = x2(t), x1(0) = x10 (5.10)x2(t) = A0 cos(ωt)− 2δx2(t)− ω2

0x1(t), x2(0) = x20 (5.11)

bzw.(

x1(t)x2(t)

)=

(0 1−ω2

0 −2δ

)(x1(t)x2(t)

)+

(0

A0 cos(ωt)

)

60


(x1(0)x2(0)

)=

(x10

x20

). (5.12)

Zuerst wird die homogene Di�erentialgleichung

x(t) = Ax(t), x(0) = x0 (5.13)

mit x(t) = (x1(t), x2(t)) betrachtet. Für die Systemmatrix A =(

0 1−ω2

0 −2δ

)

gilt det(A) = ω20 6= 0, da δ und ω0 als positiv vorausgesetzt sind. Also ist der

Nullpunkt (x1, x2) = (0, 0) die einzige Ruhelage. Die Nullstellen des charakteri-stischen Polynoms lauten

µ1,2 = −δ ±√

δ2 − ω20. (5.14)

Die Art der Ruhelage ist nach [38]:

Wert der Parameter Eigenwerte µ1,2 Typ der Ruhelageδ = 0 µ1,2 = ±iω0

imaginar, konjugiert komplex stabiler Wirbelpunktδ2 − ω2

0 < 0 µ1,2 = −δ ± i√

δ2 − ω20

konjugiert komplex, Re(µ1,2) < 0 asymptotisch stabiler Fokusδ2 − ω2

0 = 0 µ1,2 = −δreell, doppelte Nullstelle stabiler entarteter Knoten

δ2 − ω20 > 0 µ1,2 = −δ ±

√δ2 − ω2

0 < 0reelle einfache Nullstelle asymptotisch stabiler Knoten

Die Lösung des homogenen Systems (5.13) läÿt sich mit Hilfe der Matrixex-ponentialfunktion bzw. der Transitionsmatrix φ(t, 0) darstellen

x(t) = exp(At)x(0) = φ(t, 0)x(0). (5.15)

In Abhängigkeit des charakteristischen Polynoms ergeben sich für die Transiti-onsmatrix folgende Fälle:

Wert der Parameter Transitionsmatrix φ(t, 0) = exp(At)

δ = 0 φ(t, 0) =(

cos(ω0t) 1ω0

sin(ω0t)−ω0 sin(ω0t) cos(ω0t)

)

δ2 − ω20 < 0 φ(t, 0) =

(cos(ωDt) + δ

ωDsin(ωDt) − 1

ωDsin(ωdt)

−ω2D+δ2

ω2D

sin(ωDt) cos(ωDt)− δωD

sin(ωDt)

)

ω2D = ω2

0 − δ2

δ2 − ω20 = 0 φ(t, 0) = exp(−δt)

(1 + δt t−δ2t 1− δt

)

δ2 − ω20 > 0 φ(t, 0) = exp(−δt)

µ2−µ1∗(

µ2 exp(ωDt)− µ1 exp(−ωDt) − exp(λDt) + exp(−ωDt)µ1µ2(exp(ωDt)− exp(−ωDt) −µ1 exp(ωDt) + µ2 exp(ωDt)

)

µ1 = −δ +√

δ2 − ω20 = −δ + ωD < 0

µ2 = −δ −√

δ2 − ω20 = −δ − ωD < 0

61


Mit der Transitionsmatrix φ(t, 0), die auch eine Lösung der Matrixvariations-gleichung bei linearen und zeitinvarianten Systemen ist, lassen sich expliziteFormeln für den zeitlichen Verlauf der Lyapunov-Exponenten angeben. Man be-nutzt dazu die Formel aus Kapitel 1 mit {e1, e2} der kanonischen Basis im R2

λi(t) = limt→∞

1t

ln ‖Y (t)ei‖, i = 1, 2. (5.16)

Wert der Parameter Lyapunov-Exponenten λ1,2(t)δ = 0 λ1(t) = 1

2t ln(cos2(ω0t) + ω20 sin(ω0t))

λ2(t) = 12t ln(cos2(ω0t)) + 1

ω20

sin(ω0t)λ1,2 = limt→∞ λ1,2(t) → 0

δ2 − ω20 < 0 λ1(t) = 1

t ln

(exp(−δt)∗

√(cos(ωDt) + δ

ωDsin(ωDt))2 + (ω2

D+δ2)2

ω2D

sin2(ωDt)

)

λ2(t) = 1t ln

(exp(−δt)∗

√1

ω2D

sin2(ωDt) + (cos(ωDt)− δωD

sin(ωDt))2)

ω2D = ω2

0 − δ2

λ1,2 = limt→∞ λ1,2(t) → −δ

δ2 − ω20 = 0 λ1(t) = 1

t ln

(exp(−δt)

√(1 + δt)2 + (δ2t)2

)

λ2(t) = 1t ln

(exp(−δt)

√(1− δt)2 + t2

)

λ1,2 = limt→∞ λ1,2(t) → −δ

δ2 − ω20 > 0 λ1(t) = 1

t ln

(exp(−δt)µ2−µ1

∗

√(µ2 exp(ωDt)− µ1 exp(−ωDt))2 + (µ1µ2)2(exp(ωDt)− exp(−ωDt))2

)

λ2(t) = 1t ln

(exp(−δt)µ2−µ1

∗

√(exp(ωDt)− exp(−ωDt))2 + (µ1 exp(ωDt)− µ2 exp(−ωDt))2

)

λ1,2 = limt→∞ λ1,2(t) = −δ ± ωD

ω2D = δ2 − ω2

0

µ1,2 = λ1,2

Damit ist die homogene Di�erentialgleichung, ihre Ruhelage und die Lyapunov-Exponenten vollständig beschrieben. Die inhomogene Di�erentialgleichung (5.10)bzw. (5.12) läÿt sich auf den Fall der Gleichung (5.1) zurückführen mit

g(x, x, t) = 2δx + ω20x (5.17)

h(t) = A0 cos(ωt) (5.18)

62


0 1 2 3 4 5 6 7 8−20

−15

−10

−5

0

δ

λ 1,2

Lyapunov−Exponenten der Schwingungsgleichung als Funktion von δ bei konstanten ω0

ω0= 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8−15

−10

−5

0

δ

λ 1,2

ω0= 4

Abbildung 5.2: Die Lyapunov-Exponenten als Funktion der Dämpfung δ

Damit ergibt sich nach dem Abschnitt 5.1 das folgende Lyapunov-Spektrum fürdie periodisch erregte Schwingungsgleichung (ein Lyapunov-Exponent ist nach5.1 immer null):

Wert der Parameter Lyapunov-Spektrum (λ1, λ2, λ3)δ = 0 (0, 0, 0)δ2 − ω2

0 < 0 (0,−δ,−δ)δ2 − ω2

0 = 0 (0,−δ,−δ)δ2 − ω2

0 > 0 (0,−δ + ωD,−δ − ωD)ω2

D = (δ2 − ω20)

Das Bild 5.2 zeigt die Lyapunov-Exponenten λi, i = 1, 2 als Funktion der Dämp-fung δ bei konstanten ω0 für die homogene Gleichung. Man sieht für steigendesδ zuerst, daÿ λ1 = λ2 ist, was zwei konjugiert komplexe Nullstellen im charak-tertischen Polynom der Systemmatrix A bedeutet. Erreicht δ einen kritischenDämpfungswert δkrit dann verschwindet der Imaginarteil der Nullstellen descharakteristischen Polynoms. Danach sind die Nullstellen des charakteristischenPolynom beide reell und man erhält zwei verschiedene Lyapunov-Exponenten.

In Abbildung 5.3 wird der Fehler zwischen den exakten Lyapunov-Exponentenund λ1,2(t) aus vorletzten Tabelle im zeitlichen Verlauf gezeigt.

63


1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

2

4

6

8x 10

−3Fehler err(t)=|λ

1,2−λ

1,2(t)|

1.Fall: δ2−ω02<0 Parameter:

δ= 1

ω0= 2

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.005

0.01

0.015

0.02

2.Fall: δ2−ω02=0 Parameter:

δ= 1ω

0= 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

200

400

600

8003.Fall: δ2−ω

02=0 Parameter:

δ= 3

ω0= 2

t

Abbildung 5.3: Fehlerdarstellung der zeitlichen Lyapunov-Exponenten λ1,2(t)

Der Du�ng-Oszillator

Die beiden mechanischen Systeme in Abbildung 5.4 beschreiben die ungedämpf-te bzw. gedämpfte Du�ng-Gleichung, wobei die Federn als kubische Nichtlinea-ritäten angenommen werden. Für das erste System gilt nach Newton

mx(t) = FF (t) + FD(t) + Fm(t) (5.19)

mit

FF (t) = −kx(t)− nx3(t) (5.20)FD(t) = −cx(t) (5.21)Fm(t) = = Fcos(ωt). (5.22)

Dabei ist FF die Federkraft, FD die Dämpferkraft und Fm die von auÿen auf-geprägte Kraft. Division durch die Masse m ergibt mit den Faktoren 2δ =cm , ω2

0 = km , γ = n

m und F0 = Fm eine durch einen kubischen Term erweiterte

Schwingungsgleichung

x(t) + 2δx(t) + ω20x(t) + γx3(t) = F0 cos(ωt). (5.23)

Diese letzte Gleichung wird Du�ng-Gleichung genannt und stellt eine Erweite-rung der Schwingungsgleichung dar.Analog zu obigen Ansatz erhält man auch für das zweite mechanische Systemdie Gleichung (5.23), wobei der Dämpfungsterm δ entfällt.

64


Massem

Dämpfer

Feder

ungedämpfte Duffing−Gleichung

gedämpfte Duffing−Gleichung

x mm

Gleich−gewicht

Auslenk−ung

xAuslenkung:

θ

l = l0

l = l0

Abbildung 5.4: Du�ng-Gleichung als mechanisches System

Setzt man in obiger Modellbildung die Federkraft FF (t) = kx(t)−nx3(t) so er-hält man eine, in der Literatur [57] häu�ger verwendete Du�ng-Gleichung mitden zu eins normierten Konstanten ω2

0 und γ und δ = 2δ

x(t) + δx(t)− x(t) + x3(t) = F0 cos(ωt) (5.24)

bzw. durch Einführung von Zustandsraumvariablen x(t) = x1(t) und x1(t) =x2(t) erhält man das Di�erentialgleichungssystem 1.Ordnung

x1(t) = x2(t) (5.25)x2(t) = x1(t)− x1(t)3 − δx2(t) + F0 cos(ωt) (5.26)

mit δ, ω, F0 ≥ 0. Zuerst wird das homogene Du�ng-System untersucht.Für δ = 0 ist die Du�ng-Gleichung ein Hamilton-System, d.h. es existiert einerstes Integral. Das System

x1(t) = x2(t) (5.27)x2(t) = x1(t)− x1(t)3 (5.28)

läÿt sich in der Form

x1 =∂h(x1, x2)

∂x2(5.29)

x2 = −∂h(x1, x2)∂x1

(5.30)

mith(x1, x2) =

x22

2− x2

1

2+

x41

4(5.31)

schreiben. Weiter hat das System in diesem Falle die drei Ruhelagen

(x(1)1 , x

(1)2 ) = (0, 0) (5.32)

(x(2,3)1 , x

(2,3)2 ) = (±1, 0) (5.33)

65


−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1

−0.5

0

0.5

1

Phasenplot y1(t)−y

2(t) der homogenen Duffing−Gleichung für δ=0

y1(t)

y 2(t)

Abbildung 5.5: Phasenplots der homogenen und konservativen Du�ng-Gleichung

Der erste Fixpunkt (0, 0) ist instabil, da die zugehörige Jacobi-Matrix J(0, 0)die Eigenwerte λ1,2 = ±1 hat, es liegt nach [38] ein instabiler Sattelpunkt vor.Die beiden anderen Fixpunkte (±1, 0) sind stabile Wirbelpunkte, da die Eigen-werte der Jacobi-Matrix J(±1, 0) verschwinden.Man kann jetzt zeigen , daÿ der Sattelpunkt (0, 0) durch zwei homokline Orbitsmit sich selbstverbunden (dies ist die waagrechtliegende rote Acht in Bild 5.5)ist. Weiter ersieht man aus dem Bild 5.5, daÿ inner- und auÿerhalb der homo-klinen Orbits periodische Lösungen existieren, für Details sei auf das Buch vonWiggins [57] S. 153 � verwiesen.

Für δ > 0 hat die homogene Du�ng-Gleichung die gleichen Ruhelagen wiedas konservative System. Es verändern sich aber die Werte der Eigenwerte derzugehörigen Jacobi-Matrix. Die Ruhelage (0, 0) hat in der Lineariserung dieEigenwerte λ1,2 = −δ±√δ2+4

2 , wovon λ2 = 12(−δ +

√δ2 + 4) > 0, ∀δ > 0 ist, also

ist der Nullpunkt ein instabiler Sattelpunkt.Die Eigenwerte der Jacobi-Matrix der Ruhelagen (±1, 0) stimmen in beiden

Fällen überein und haben die Werte λ1,2 = −δ±√δ2−82 . Hier müssen drei Fälle

untersucht werden:

(a) D = δ2−8 > 0: Es liegen zwei negative Eigenwerte vor und die Ruhelagensind asymptotisch stabile Knoten.

(b) D = δ2− 8 = 0: Es liegt ein doppelter negativer Eigenwert λ1,2 = − δ2 vor,

die beiden Ruhelagen sind damit stabile, entartete Knoten.

(c) D = δ2−8 < 0: Die Eigenwerte sind konjugiert komplex und die Ruhelagensind asymptotisch stabile Fokusse.

66


0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Parameter:δ=1,A=0.62,ω=1

y1(t)

y 2(t)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6


y1(t)

y 2(t)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

y1(t)

y 2(t)


0 0.5 1−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

y1(t)

y 2(t)


Abbildung 5.6: Phasenplots der inhomogenen Du�ng-Gleichung mit F0 ∈[0.62, 0.7]

Man kann weiter zeigen, daÿ die Ruhelagen (±1, 0) zweidimensionale stabileMannigfaltigkeiten haben. Die Ruhelage (0, 0) hat eine stabile und eine insta-bile Mannigfaltigkeit, die im ungestörten System übereinstimmen. Für δ > 0läuft die instabile Mannigfaltigkeit nahe des Ursprungs in die beiden Senken bei(±1, 0). Ist die Amplitude F0 hinreichend klein, so kann man zeigen, daÿ derAbschluÿ der instabilen Mannigfaltigkeit eine anziehende Menge der Du�ng-Gleichung ist.Nach dem Bendixon-Kriterium ([57] Theorem 1.1.4) besitzt die homogene

Du�ng-Gleichung für δ > 0 keine periodischen Orbits.Eine genauere Untersuchung der inhomogenen Du�ng-Gleichung kann mittelseiner Poincare-Abbildung geschehen. Zusammengefaÿt tritt für steigende Am-plitude F0 eine homokline Bifurkation auf, bei der sich die stabile und instabi-le Mannigfaltigkeit der Poincare-Abbildung in einem transversalen homoklinenOrbit schneiden. Nach dem Satz von Smale-Birkho� impliziert dies, daÿ dieDu�ng-Gleichung eine chaotische Dynamik besitzt.

Die Bilder 5.6-5.8 sollen den Sachverhalt für die Parameter δ = 1, ω = 1 unddie Amplitude 0.6 ≤ F0 ≤ 0.84 verdeutlichen.

Die Van der Pol-Gleichung

Diese Gleichung bedeutet eine Verallgemeinerung eines elektromagnetischen Rei-henschwingkreis, wenn der ohm'sche Widerstand im Bild 5.1 durch ein Element

67


0 0.5 1

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


y1(t)

y 2(t)

0 0.5 1

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


y1(t)

y 2(t)

0 0.5 1

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

y1(t)

y 2(t)


−1 −0.5 0 0.5 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

y1(t)

y 2(t)



−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1


y1(t)

y 2(t)

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1


y1(t)

y 2(t)

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

y1(t)

y 2(t)


−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

y1(t)

y 2(t)



68


mit kubischer Nichtlinearität f(i) ersetzt (wie eine Vakuum-Röhre in der Orgi-nalarbeit von van der Pol oder ein Halbleiterelement wie eine Diode) wird.O.B.d.A werde angenommen, daÿ die Eingangsspannung ue(t) Null sei. Dannerhält man aus den Kirchho�'schen Gesetzen eine Di�erentialgleichung für denStrom mit F (i) = df(i)

du

i(t) =1L

f(i(t)) +1

LCi(t) = 0. (5.34)

Für die Nichtlinearität setzt man

f(i) =13bi(t)3 − ai(t) (5.35)

bzw. für die Ableitung gilt

F (i) =df(i)di

= bi(t)2 − a. (5.36)

Dann läÿt sich die Stromdi�erentialgleichung als

i(t) = −(α− βi(t)2)i(t) + ω20i(t) = 0, (5.37)

mit den Konstanten α = aL , β = b

L und ω20 = 1

LC schreiben.Durch Normierung mit den Faktoren i = px, p =

√ab , τ = t√

LC, τ → t erhält

man die homogene van der Pol-Gleichung

x(t)− ε(1− x2(t))x(t) + x(t) = 0 (5.38)

mit ε = aLC . Die periodische erregte Gleichung ist dann

x(t)− ε(1− x2(t))x(t) + x(t) = A cos(ωt). (5.39)

Eine ausführliche Untersuchung des dynamischen Verhaltens besonders der Bi-furkationsstruktur �ndet man in dem Artikel von Mettin [37]. Als Di�erential-geichungssystem 1.Ordnung lautet die van der Pol-Gleichung

x1(t) = x2(t) (5.40)x2(t) = −x1(t) + ε(1− x2

1(t))x2(t) + A cos(ωt). (5.41)

Die Gleichung (5.39) hat die einzige Ruhelage (x1, x2) = (0, 0). In Abhängigkeitdes Parameter ε > 0 treten die folgenden Typen auf:

(a) ε = 0: Die Eigenwerte der Jacobi-Matrix sind λ1,2(0) = ±i rein imaginärkonjugiert komplex. Nach [38] liegt ein Wirbelpunkt bzw. ein Zentrumvor. Die Orbits sind Kreise um den Ursprung. Man sieht, daÿ die van derPol-Gleichung für ε = 0 mit der Schwingungsgleichung für w0 = 1, δ = 0übereinstimmt.

(b) Für 0 < ε < 2 sind Eigenwerte der Jacobi-Matrix konjugiert komplex mitpositiven Realteil. Die Ruhelage ist deshalb ein instabiler Fokus.

69


−6 −4 −2 0 2 4−4

−2

0

2

4

y1(t)

y 2(t)

ε=0.1

−6 −4 −2 0 2 4−4

−2

0

2

4

y1(t)

y 2(t)

ε=0.5

−6 −4 −2 0 2 4−4

−2

0

2

4

y1(t)

y 2(t)

ε=1

−6 −4 −2 0 2 4−4

−2

0

2

4

y1(t)

y 2(t)

ε=2

−6 −4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

y1(t)

y 2(t)

ε=5

−6 −4 −2 0 2 4−20

−10

0

10

20

y1(t)

y 2(t)

ε=10

Abbildung 5.9: Orbits der homogenen van der Pol-Gleichung

(c) ε = 2: Es liegt ein reller, doppelter, positiver Eigenwert der Jacobi-Matrixvor. Die Ruhelage ist ein instabiler entarteter Knoten.

(d) Ist ε > 2 so sind die beiden Eigenwerte positiv und (0,0) ist ein instabilerKnoten.

Läÿt man auch die Parameterwerte ε < 0 zu, so ist Ruhelage (0,0) von der Artwie in den Punkten (b)-(d), nur ist sie dann stabil.Nach Reitmann et.al. [49] besitzt die homogene van der Pol-Gleichung nochdie folgenden Eigenschaften: Für ε = 0 existiert nach dem Satz von AndronovHopf eine superkritische Hopf-Bifurkation. Weiter ist die van der Pol-Gleichungdissipativ für ε > 0, insbesondere ist sie dissipativ im Sinne von Levinson. Siebesitzt einen nichkonstanten periodischen Orbit, für den man zeigen kann, daÿer ein Grenzzyklus ist. Für kleine Parameterwerte ε verläuft dieser Grenzzyklusnahe an der Kreislinie K2 := {(x, y)|x2+y2 = 2}. Die Abbildung 5.9 zeigt diesesVerhalten.

Für die genauere Untersuchung der inhomogenen van der Pol-Gleichung seiauf den Artikel von Mettin et.al. [37] verwiesen.

Ein Beispiel für chaotisches Verhalten in der inhomogenen Van der Pol-Gleichungnach [37] ist der Parameterbereich ε = 3, A = 15 und ω ∈ [3, 9, 4, 1].Das dynamische Verhalten der van der Pol-Gleichung ist im Bild(5.10) zu sehen.

70


−6 −4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

y1(t)

y 2(t)

ω=3.9

−6 −4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

y1(t)

y 2(t)

ω=3.95

−6 −4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

y1(t)

y 2(t)

ω=4

−6 −4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

y1(t)

y 2(t)

ω=4.05

−6 −4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

y1(t)

y 2(t)

ω=4.1

−6 −4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

y1(t)

y 2(t)

ω=4.15

Abbildung 5.10: Orbits der inhomogenen van der Pol-Gleichung ε = 3, A = 15

Das Lorenz-System

Das Lorenz-System stammt von E.N.Lorenz aus dem Jahre 1963 und wird durchdrei nichtlineare Di�erentialgleichungen beschrieben (für Details siehe [4])

x1(t) = −σx(t)1 + σx(t)2x2(t) = rx1(t)− x2(t)− x1(t)x3(t)x3(t) = −bx3(t) + x1(t)x2(t). (5.42)

Die Systemparameter σ, ρ, β seien als positiv vorausgesetzt. Man kann zei-gen [49], daÿ die Lorenz-Gleichung dissipativ im Sinne von Levinson ist, d.h. esexistiert eine global anziehende Menge für positive Parameter r, b, σ. In Ab-hängigkeit des Parameters r hat die obige Gleichung die folgenden Ruhelagen

(a) (x(1)1 , x

(1)2 , x

(1)3 ) = (0, 0, 0) für r < 1

und zusätzlich

(b) (x(2,3)1 , x

(2,3)2 , x

(2,3)3 ) = (±

√(r − 1)b,±

√(r − 1)b, r − 1) für r ≥ 1.

Der Nullpunkt (0, 0, 0) ist für 0 < r < 1 ein stabiler Knoten, der bei r = 1 seineStabilität verliert und in einen Sattelknoten übergeht. Gleichzeitig treten diebeiden weiteren Ruhelagen (x(2,3)

1 , x(2,3)2 , x

(2,3)3 ) = (±

√(r − 1)b,±

√(r − 1)b, r−

1) auf, es liegt also eine Heugabel-Bifurkation vor. Mittels des Hurwitz-Kriteriums

71


kann man zeigen, daÿ die Nullstellen des charakteristischen Polynoms für dieRuhelagen (x(2,3)

1 , x(2,3)2 , x

(2,3)3 ) negative Eigenwerte haben, solange der Para-

meter r in dem Parameterbereich 1 < r < r∗ := σ(σ+b+3)σ−b−1 und σ > b + 1 ([49]

S.209) liegt. Für r > r∗ sind dann alle drei Ruhelagen instabil, sie sind dannnach [49] Tabelle 8.1 Sattel-Strudel-Punkte mit einer stabilen eindimensionalenund zwei instabilen zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten W s bzw. W u. Dasweitere Verhalten der Ruhelagen (x(2,3)

1 , x(2,3)2 , x

(2,3)3 ) soll anhand eines Beispiels

mit den Parameterwerten σ = 10, b = 83 , 0 < r < ∞ beschrieben werden.

Für 1 < r < r1 ≈ 13.926 ist der Nullpunkt ein Sattelknoten mit einer zwei-dimensionalen stabilen Mannigfaltigkeit W s(0, 0, 0) und einer instabilen eindi-mensionalen Mannigfaltigkeit W u(0, 0, 0) entlang derer zwei Separatrizen γ±

zu den Ruhelagen (x(2,3)1 , x

(2,3)2 , x

(2,3)3 ) verlaufen.

Für r = r1 entstehen zwei Separatrix-Schleifen bzgl. (0,0,0). Wenn für b >0, σ > 0 die Ungleichung σ > 2b+1

3 gilt, dann existiert immer ein r > 1, so daÿzu diesen Parametern eine Separatrix-Schlinge bzgl. des Ursprungs entsteht.Für 1 < r < 1.346 sind die Eigenwerte λ1,2,3 der Ruhelagen (x(2,3)

1 , x(2,3)2 , x

(2,3)3 )

reell und negativ. Es liegt also ein stabiler Knoten vor mit einer dreidimensio-nalen stabilen Mannigfaltigkeit.Für r = 1.346 sind zwei Eigenwerte gleich und negativ, der dritte Eigenwertbleibt negativ.Im Bereich 1.346 < r < 13.926 liegen zwei konjugiert komplexe Eigenwerte mitnegativen Realteil vor. Der dritte Eigenwert bleibt negativ. Es liegt ein stabilerFokus mit dreidimensionaler stabiler Mannigfaltigkeit W s vor.Für r = 13.926 entstehen zwei instabile periodische Orbits L1,2 um die Ru-helagen (x(2,3)

1 , x(2,3)2 , x

(2,3)3 ) neu und es wird eine anziehende invariante Menge

gebildet, die unendlichviele periodische und nichtperiodische Orbits enthält.Im Bereich 13.926 < r < r2 ≈ 24.06 behalten die Ruhelagen (x(2,3)

1 , x(2,3)2 , x

(2,3)3 )

ihre Stabilität und es treten neu zwei Speparatixen γ± auf, die jeweils zu an-deren Ruhelage streben. Im Intervall r ∈ (24, 06, r∗), r∗ ≈ 24.7368 existiertneben den stabilen Ruhelagen (x(2,3)

1 , x(2,3)2 , x

(2,3)3 ) eine anziehende Grenzmenge

mit komplizierter Struktur, die man den Lorenz-Attraktor nennt. Es liegt einesubkritische Hopf-Verzweigung vor.Für r = 24.7368 gehen die beiden instabilen Orbits in die beiden Ruhelagen

(x(2,3)1 , x

(2,3)2 , x

(2,3)3 ) über, die dabei ihre Stabilität verlieren. Zwei Eigenwerte

der Ruhelage haben verschwindende Realteile. Dann ist der Lorenz-Attraktordie einzige anziehende Menge.Für r > r∗ liegt ein chaotisches dynamisches System vor. Zwei der Eigenwerteder Ruhelagen (x(2,3)

1 , x(2,3)2 , x

(2,3)3 ) haben jetzt einen positven Realteil und ein

Eigenwert hat einen negativen Realteil. Es liegt ein sogenannter Sattel-Fokusvor. Zum Beispiel hat der Attraktor für r = 28 die folgende Zusammenset-zung:Er enthält die Ruhelage (0, 0, 0) die einen Sattelknoten darstellt (dies gilt üb-rigens schon für r > 1), die eine zweidimensionale instabile MannigfaltigkeitW u(0, 0, 0) und eine stabile eindimensionale Mannigfaltigkeit W s(0, 0, 0) be-sitzt. Man kann weiter zeigen , daÿ in der Umgebung von Punkten die nicht

72


−10 0 10 −20 0 200

5

10

y2(t)

r=0

y1(t)

y 3(t)

−10 0 10 −20 0 200

5

10

y2(t)

r=1

y1(t)

y 3(t)

−10 0 10 −20 0 200

5

10

y2(t)

r=1.346

y1(t)

y 3(t)

−10 0 10 −20 0 200

5

10

y2(t)

r=1.8

y1(t)

y 3(t)

−10 0 10 −20 0 200

5

10

y2(t)

r=3

y1(t)

y 3(t)

−10 0 10 −20 −10 00

5

10

15

y2(t)

r=7.5

y1(t)

y 3(t)

−10 0 10 −20 −10 00

5

10

15

y2(t)

r=10

y1(t)

y 3(t)

−20 0 20 −20 −10 00

10

20

30

y2(t)

r=13.926

y1(t)

y 3(t)

−20 0 20 −20 −10 00

10

20

30

y2(t)

r=15

y1(t)

y 3(t)

Abbildung 5.11: Orbits der Lorenz-Gleichung für σ = 10, b = 83

auf W u(0, 0, 0) liegen, der Attraktor homöomorph zum Produkt einer Kantor-Menge mit einer zweidimensionalen Fläche ([49] S.210) ist.Weiter kann man zeigen, daÿ für bestimmte Werte von r > r∗ Bereiche existie-ren, wo kein Chaos herrscht, z.B. r = 100.5. Man kann sogar zeigen, daÿ fürr ≥ 200 die Lösung gegen einen einzigen geschlossenen Orbit konvergiert [56].Die Abbildungen 5.11 und 5.12 zeigen Verlauf des Systems für σ = 10, b = 8

3und verschiedene Werte des Parameters r im Bereich von r ∈ [0, 210].

Die Rössler-Gleichung

Diese Gleichung fand 1976 der Mathematiker Otto E.Rössler bei der Unter-suchung einer Knetmaschine für Teig [51]. Rössler beobachtete die Bewegungs-gleichungen zweier benachbarter Rosinen und kam auf eine dreidimensionaleDi�erentialgleichung erster Ordnung mit einem nichtlinearen Term in der drit-ten Di�erentialgleichung:

x1(t) = −x2(t)− x3(t)x2(t) = x1(t) + ax2(t)x3(t) = b + x3(t)(x1(t)− c) (5.43)

Die analytische Untersuchung dieses Systems ist schwieriger als bei der Lorenz-Gleichung. Allgemein kann man zeigen [49], daÿ das Rössler-System zwar dissi-pativ ist, denn für x < c− a schrumpft jedes Volumenelement im Phasenraum,aber es ist nicht dissipativ im Sinne von Levinson ist. Weiter kann man zeigen,

73


−20 0 20 −20 0 200

20

40

y2(t)

r=20

y1(t)

y 3(t)

−20 0 20 −50 0 500

20

40

y2(t)

r=24.06

y1(t)

y 3(t)

−20 0 20 −50 0 500

20

40

y2(t)

r=24.26

y1(t)

y 3(t)

−20 0 20 −50 0 500

20

40

y2(t)

r=24.5

y1(t)

y 3(t)

−20 0 20 −50 0 500

20

40

y2(t)

r=24.7368

y1(t)

y 3(t)

−20 0 20 −50 0 500

20

40

60

y2(t)

r=25

y1(t)

y 3(t)

−20 0 20 −50 0 500

20

40

60

y2(t)

r=28

y1(t)

y 3(t)

−50 0 50 −100 0 1000

100

200

y2(t)

r=100.5

y1(t)

y 3(t)

−100 0 100 −500 0 5000

200

400

600

y2(t)

r=220

y1(t)

y 3(t)

Abbildung 5.12: Orbits der Lorenz-Gleichung für σ = 10, b = 83

daÿ die Rössler-Gleichung zwei Ruhelagen hat, vorausgesetzt es ist c2−4ab > 0:

(x(1,2)1 , x

(1,2)2 , x

(1,2)3 ) =

(c±√c2 − 4ab

2,−c∓√c2 − 4ab

2a,c±√c2 − 4ab

2a

)

(5.44)Allgemeine Stabilitätsaussagen für die Ruhelagen, wie beim Lorenz-System,

sind aber in diesem Fall nicht so leicht möglich. F bestimmte Parameterwertekann man doch einige Aussagen machen, so hat das System z.B. für die Para-meter a = b = 1/5, c = 2.5 einen Grenzzyklus. Erhöht man den Wert von cweiter, so treten eine Reihe von Periodenverdoppelungen auf, bis schlieÿlich dasSystem bei ungefähr c = 5.7 chaotisch wird, siehe Abbildung 5.13.

Bemerkungen und Vorschau

Aus der Gleichung (2.19) kann man ableiten, daÿ wenn die Spur der Jacobi-Matrix konstant ist, stimmt sie mit der Summe der Lyapunov-Exponentenüberein. Dies tri�t bei der Du�ng- und Lorenz-Gleichung zu. Für die Du�ng-Gleichung gilt

λ1 + λ2 = −δ (5.45)und für die Lorenz-Gleichung

λ1 + λ2 + λ3 = −σ − b− 1. (5.46)

74


−5 0 5 −5 0 50

2

4

6

y2(t)

c=2

y1(t)

y 3(t)

−5 0 5 −5 0 50

2

4

6

y2(t)

c=2.5

y1(t)

y 3(t)

−10 0 10 −10 0 100

2

4

6

y2(t)

c=2.75

y1(t)

y 3(t)

−10 0 10 −10 0 100

2

4

6

y2(t)

c=3

y1(t)

y 3(t)

−10 0 10 −10 0 100

5

10

y2(t)

c=3.5

y1(t)

y 3(t)

−10 0 10 −10 0 100

5

10

15

y2(t)

c=4

y1(t)

y 3(t)

−10 0 10 −10 0 100

5

10

15

y2(t)

c=4.25

y1(t)

y 3(t)

−10 0 10 −10 0 100

10

20

y2(t)

c=4.75

y1(t)

y 3(t)

−20 0 20 −10 0 100

10

20

y2(t)

c=5

y1(t)

y 3(t)

Abbildung 5.13: Phasenplots des Rössler-System mit c ∈ [2, 5]

Damit hat man bei der numerischen Berechnung der Lyapunov-Exponenten eineinfaches Kontrollkriterium zur Hand um die Genauigkeit der Approximationzu überprüfen.In den nächsten beiden Abschnitten werden zwei der Verfahren aus den Kapiteln3 und 4 an den Beispielgleichungen getestet. Aus dem dritten Kapitel ist dies diedi�erentielle Form des Gram-Schmidt'schen Orthonormierungsverfahren nachChristiansen, Rugh [10] (Kapitel 6) und aus den im Kapitel 4 das QR-Verfahrenmit Givens-Rotationen nach Rangarajan et.al.[47, 48] (Kapitel 7).Die numerische Untersuchung beschränkt sich auf dynamische Systeme in denDimensionen. n = 2 und n = 3.Die numerische Untersuchung wird mit Hilfe der Studentenversion von Matlab6.5 R13 durchgeführt. Verwendet wird die darin implementierte ODE-Suite. Fürdie mathematischen Beschreibung der ODE-Routinen sei auf die Arbeit [53]verwiesen. Verwendet werden aus dieser Suite nur die Routinen ode45, ode113,ode15s mit der relativen Fehlertoleranz 10−6 und der absoluten Fehlertoleranz10−8, wenn nicht anders aufgeführt (siehe Anhang E).

75

6 Das di�erentielle Orthogonalisierungsverfahren

6 Das di�erentielle Orthogonalisierungsverfahren6.1 Die SchwingungsgleichungBei dieser Gleichung wird das Gram-Schmidt'sche Orthogonalisierngsverfahrenfür nachfolgenden vier Fälle untersucht.Versuchsparameter sind die Koe�zienten der Schwingungsgleichung d, ω0, A, ω,der Stabiliätsparameter b des Orthogonalisierungsverfahren und die Integrati-onszeit für die ODE-Routine.Die Versuchsgröÿen sind die Lyapunov-Exponenten λ1,2, die CPU-Time, dieSumme der Lyapunov-Exponenten und den Fehler der Lyapunov-Exponentenund deren Summe.

(a) Die homogene Schwingungsgleichung:

δ = 2.5, ω0 = 2, A = 0, ω = 0; b = 4, tint = 10000

Integrationsverfahren ode45 ode113Versuchsgröÿenλ1: -9.9993657443184469e-01 -9.9993657442360495e-01λ2: -4.0000628034325665e+00 -4.0000635022802093e+00λ1 + λ2: -4.9999993778644107e+00 -5.0000000767038140e+00e(λ1 + λ2) : 6.2213558926771384e-07 7.6703813967071710e-08e(λ1) 6.3425568155306422e-05 6.3425576395048644e-05e(λ2) 6.2803432566482797e-05 6.3502280209348783e-05CPU-Time in [s]: 4.7380000000000109e+01 5.3289999999999964e+01

ode15s (NDF) ode15s(BDF)λ1: -9.9993657439274375e-01 -9.9993657439957029e-01λ2: -4.0000394528203103e+00 -4.0000565314467780e+00λ1 + λ2: -4.9999760272130542e+00 -4.9999931058463485e+00e(λ1 + λ2) : 2.3972786945769542e-05 6.8941536515154667e-06e(λ1) 6.3425607256251126e-05 6.3425600429711793e-05e(λ2) 3.9452820310259540e-05 5.6531446777974281e-05CPU-Time in [s]: 5.3000000000020009e-01 5.1000000000021828e-01

(b) Die homogene Schwingungsgleichung:

d = 2.5, ω0 = 2, A = 0, ω = 0, b = 10, tint = 10000


76


Integrationsverfahren ode15s (NDF) ode15s(BDF)Versuchsgröÿenλ1: -9.9993657512796419e-01 -9.9993657452517914e-01λ2: -4.0000634250042539e+00 -4.0000634254321321e+00λ1 + λ2: -5.0000000001322178e+00 -4.9999999999573115e+00e(λ1 + λ2) : 1.3221779227023944e-10 4.2688519386047119e-11e(λ1) 6.3424872035811042e-05 6.3425474820855143e-05e(λ2) 6.3425004253936379e-05 6.3425432132113713e-05CPU-Time in [s]: 4.1000000000030923e-01 5.3999999999996362e-01

(c) Die inhomogene Schwingungsgleichung:

d = 2.5, ω0 = 2, A = 1, ω = 1, b = 4, tint = 10000


ode15s (NDF) ode15s(BDF)λ1: -9.9993657439440453e-01 -9.9993657433056848e-01λ2: -4.0000545559757619e+00 -4.0000475290977473e+00λ1 + λ2: -4.9999911303701667e+00 -4.9999841034283161e+00e(λ1 + λ2) : 8.8696298332635592e-06 1.5896571683882144e-05e(λ1) 6.3425605595468504e-05 6.3425669431516063e-05e(λ2) 5.4555975761871878e-05 4.7529097747300852e-05CPU-Time in [s]: 1.6809999999999945e+02 1.5313999999999942e+02

(d) Die inhomogene Schwingungsgleichung:

d = 2.5, ω0 = 2, A = 1, ω = 1, b = 10, tint = 10000


77


Integrationsverfahren ode15s (NDF) ode15s(BDF)Versuchsgröÿenλ1: -9.9993657438692740e-01 -9.9993657443697981e-01λ2: -4.0000634255775394e+00 -4.0000634255745249e+00λ1 + λ2: -4.9999999999644666e+00 -5.0000000000115046e+00e(λ1 + λ2) : 3.5533354036942910e-11 1.1504575070375722e-11e(λ1) 6.3425613072598530e-05 6.3425563020191866e-05e(λ2) 6.3425577539355515e-05 6.3425574524877959e-05CPU-Time in [s]: 1.5742000000000007e+02 1.2030000000000018e+02

Die exakten Lyapunov-Exponenten sind:

λ1 = −1, λ2 = −4

Versuchsergebnis: Aus den obenstehenden Tabellen erkennt man, daÿ diesesVerfahren die Lyapunov-Exponenten mit einer Genauigkeit von ≈ 10−5 liefert,während die Genauigkeit in der Summe Lyapunov-Exponenten im Gröÿenbe-reich ≈ 10−7 − 10−12 liegt.Was die reine Rechenzeit (CPU-Time)betri�t so ist die Routine ode15s den bei-den anderen ODE-Lösern (ode45, ode113 ) bei der Schwingungsgleichung über-legen. Besonders beachtenswert ist die CPU-Time von ode15s für die homogeneSchwingungsgleichung (≈ 0.4s− 0.5s) im Vergleich zur inhomogenen Gleichung(Gröÿenordnung 102s).Weiter ersieht man, daÿ Rechenzeit für steigenden Stabilitätsparameter für dieODE-Routinen (ode45,ode113 ) ansteigt, während sie für ode15s ungefähr gleichbleibt.

6.2 Die Du�ng-GleichungDie Versuchsparameter in Gleichung (5.24) sind die Dämpfung δ, die Ampli-tude A und Kreisfrequenz ω der äuÿeren Erregung, der Stabilitätsparameter bdes Gram-Schmidt-Verfahren und die Integrationszeit tint für die ODE-Routine.Versuchsgröÿen sind die Lyapunov-Exponenten, deren Summe und der Fehlerder Summe, sowie die Rechenzeit. Betrachtet werden die homogene und inho-mogene Gleichung, wobei für die inhomogene Gleichung verschiedene Parame-terbereiche der Amplitude A untersucht werden. Desweiteren wird die homoge-ne Du�ng-Gleichung für verschiedene Stabilitätsparameter b mit der Routineode45 und für verschiedene Integrationszeiten untersucht.

(a) Die homogene Du�ng-Gleichung:

δ = 2, b = 2, tint = 1000, λ1 + λ2 = −2

Integrationsverfahren ode45 ode113Versuchsgröÿenλ1: -9.9922998782362027e-01 -9.9922991206809364e-01λ2: -1.0007701870212056e+00 -1.0007695226927584e+00λ1 + λ2: -2.0000001748448257e+00 1.9999994347608521e+00e(λ1 + λ2) : 1.7484482572882598e-07 5.6523914793160657e-07CPU-Time in [s]: 3.5270000000000437e+01 3.0739999999999782e+01

78


ode15s (NDF) ode15s (BDF)λ1: -9.9922172240091689e-01 -9.9922422613297879e-01λ2: -1.0007630927063100e+00 -1.0007672853736418e+00λ1 + λ2: -1.9999848151072270e+00 -1.9999915115066207e+00e(λ1 + λ2) : 1.5184892772968084e-05 8.4884933793105688e-06CPU-Time in [s]: 6.2079999999999927e+01 5.6179999999999382e+01

(b) Die homogene Du�ng-Gleichung:

δ = 2, b = 2, tint = 10000, λ1 + λ2 = −2

Integrationsverfahren ode45 ode113Versuchsgröÿenλ1: -9.9996649140881277e-01 -9.9996637917505249e-01λ2: -1.0000336836138408e+00 -1.0000330561638016e+00λ1 + λ2: -2.0000001750226537e+00 -1.9999994353388542e+00e(λ1 + λ2) : 1.7502265370339387e-07 5.6466114584097227e-07CPU-Time in [s]: 3.5357999999999993e+02 3.7228999999999996e+02

ode15s (NDF) ode15s (BDF)λ1: -9.9995773638150764e-01 -9.9996006762453948e-01λ2: -1.0000269798034778e+00 -1.0000314254388376e+00λ1 + λ2: -1.9999847161849855e+00 -1.9999914930633771e+00e(λ1 + λ2) : 1.5283815014477398e-05 8.5069366229095777e-06CPU-Time in [s]: 7.5452000000000044e+02 7.1126000000000022e+02

(c) Die homogene Du�ng-Gleichung mit ode45 :

δ = 1, b = 1..10, tint = 1000, λ1 + λ2 = −1

Versuchsgröÿen λ1 λ1 + λ2

Stabilitäts- λ2 e(λ1 + λ2)parameter (CPU-Time in [s])b = 1: -4.9987304807999144e-01 -1.0000000991646392e+00

-5.0012705108464783e-01 9.9164639166815505e-08(2.9000000000000000e+01)

b = 2: -4.9987293035922870e-01 -1.0000001132808642e+00-5.0012718292163560e-01 1.1328086424455819e-07(3.3670000000000073e+01)

b = 3: -4.9987296568087181e-01 -1.0000000362487476e+00-5.0012707056787586e-01 3.6248747559142203e-08(4.8070000000000164e+01)

b = 4: -4.9987297258228414e-01 -1.0000000247057010e+00-5.0012705212341702e-01 2.4705701040517170e-08(5.7189999999999600e+01)

b = 5: -4.9987297377661566e-01 -1.0000000203425077e+00-5.0012704656589202e-01 2.0342507678350330e-08(6.5130000000000109e+01)

b = 6: -4.9987297336499042e-01 -1.0000000174252317e+00-5.0012704406024133e-01 1.7425231702006272e-08(7.4839999999999691e+01)

79


Versuchsgröÿen λ1 λ1 + λ2

Stabilitäts- λ2 e(λ1 + λ2)parameter (CPU-Time in [s])b = 7: -4.9987297254354673e-01 -1.0000000152226947e+00

-5.0012704267914787e-01 1.5222694660366187e-08(8.3179999999999836e+01)

b = 8: -4.9987297160962640e-01 -1.0000000133680409e+00-5.0012704175841460e-01 1.3368040896466482e-08(9.0500000000000000e+01)

b = 9 -4.9987297071149556e-01 -1.0000000118491237e+00-5.0012704113762818e-01 1.1849123682239338e-08(9.4379999999999654e+01)

b = 10: -4.9987296988167285e-01 -1.0000000105918079e+00-5.0012704071013503e-01 1.0591807875215409e-08(8.8299999999999727e+01)

Abbildung 6.1 stellt die Ergebnisse der letzten Tabelle graphisch dar.

0 2 4 6 8 10

−0.5001

−0.5

−0.4999

−0.4998

b

λ 1,2

Lyapunov−Exponenten

0 2 4 6 8 10

−1

−1

−1

b

λ 1+λ 2

Summe der Lyapunov−Exponenten

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4x 10

−7

b

e(λ 1+

λ 2)

Fehler in Summe

0 2 4 6 8 1020

40

60

80

100

b

Rec

henz

eit

CPU−Time

Abbildung 6.1: Die Versuchsgröÿen λ1,2, λ1 + λ2, |1 − (λ1 + λ2)| und die Re-chenzeit als Funktion des Stabilitätsparameter b

80


(d) Die inhomogene Du�ng-Gleichung:

δ = 1, A = 0.6...0.9, ω = 1 b = 2, tint = 10000, λ1 + λ2 = −1

A = 0.6 λ1 λ1 + λ2

λ2 e(λ1 + λ2)(CPU-Time in [s])

ode45: -4.9941416689770801e-01 -1.0000000732498968e+00-5.0058590635218880e-01 7.3249896814786553e-08(3.8276000000000022e+02)

ode113: -4.9941438219127465e-01 -1.0000000553663684e+00-5.0058567317509373e-01 5.5366368378884090e-08(3.6015999999999985e+02)

ode15s: -4.9941450202406612e-01 -9.9999923275249969e-01(NDF) -5.0058473072843357e-01 7.6724750031065270e-07

(6.2167000000000007e+02)ode15s: -4.9941454460054890e-01 -9.9999931843933565e-01(BDF) -5.0058477383878675e-01 6.8156066435065554e-07

(6.1886000000000058e+02)A = 0.65 λ1 λ1 + λ2


ode45: -9.1575075654176788e-02 -1.0000000727716059e+00-9.0842499711742897e-01 7.2771605852395282e-08(3.6054000000000087e+02)

ode113: -9.1574992931367560e-02 -1.0000000220229541e+00-9.0842502909158651e-01 2.2022954127010053e-08(3.0325000000000000e+02 )

ode15s: -9.1573224232950542e-02 -9.9999954292338622e-01(NDF) -9.0842631869043566e-01 4.5707661378013853e-07

(6.7609999999999854e+02)ode15s: -9.1574088847066124e-02 -9.9999906143595785e-01(BDF) -9.0842497258889177e-01 9.3856404215220124e-07

(6.3692000000000007e+02)A = 0.7 λ1 λ1 + λ2


ode45: -9.4368312363505041e-02 -1.0000001093799020e+00-9.0563179701639696e-01 1.0937990202464221e-07(3.4465000000000146e+02 )

ode113: -9.4368402334462156e-02 -1.0000000331853982e+00-9.0563163085093601e-01 3.3185398207180583e-08(3.0621999999999935e+02)

ode15s: -9.4366804232387747e-02 -9.9999981754359157e-01(NDF) -9.0563301331120383e-01 1.8245640842629030e-07

(6.4785000000000036e+02)ode15s: -9.4366804232387747e-02 -9.9999981754359157e-01(BDF) -9.0563301331120383e-01 1.8245640842629030e-07

(6.4785000000000036e+02)

81


A = 0.75 λ1 λ1 + λ2


ode45: -3.1051372578089997e-02 -1.0000000336293036e+00-9.6894866105121347e-01 3.3629303564097768e-08(3.2598999999999978e+02)

ode113: -3.1051347792000552e-02 -1.0000000662378212e+00-9.6894871844582064e-01 6.6237821227943527e-08(2.7526000000000022e+02)

ode15s: -3.1050422442854223e-02 -9.9999898939325571e-01(NDF) -9.6894856695040144e-01 1.0106067442894329e-06

(6.8412999999999920e+02)ode15s: -3.1050391718192055e-02 -9.9999906437850195e-01(BDF) -9.6894867266030993e-01 9.3562149805492822e-07

(6.1270000000000073e+02)A = 0.8 λ1 λ1 + λ2


ode45: 1.1031748354064712e-01 -9.9999998461888073e-01-1.1103174681595278e+00 1.5381119267132703e-08(3.1644999999999891e+02 )

ode113: 1.0777013974581348e-01 -1.0000000420482273e+00-1.1077701817940409e+00 4.2048227344437805e-08(2.5104999999999927e+02)

ode15s: 1.0555165105121093e-01 -9.9999944626230719e-01(NDF) -1.1055510973135181e+00 5.5373769280997465e-07

(5.0191999999999825e+02)ode15s: 1.0796106484350751e-01 -9.9999952782655666e-01(BDF) -1.1079605926700642e+00 4.7217344334438138e-07

(5.2541999999999825e+02)A = 0.85 λ1 λ1 + λ2


ode45: -1.4167652435142392e-01 -1.0000000433041669e+00-8.5832351895274295e-01 4.3304166919000409e-08(3.6898999999999978e+02 )

ode113: -1.4167635482580448e-01 -1.0000000307728145e+00-8.5832367594701009e-01 3.0772814518797986e-08(2.6928999999999996e+02)

ode15s: -1.4168322773099407e-01 -9.9999912907712496e-01(NDF) -8.5831590134613089e-01 8.7092287504031418e-07

(6.2438000000000011e+02)ode15s: -1.4168240975306332e-01 -9.9999894615345830e-01(BDF) -8.5831653640039496e-01 1.0538465416987108e-06

(5.5329999999999927e+02)

82


A = 0.9 λ1 λ1 + λ2


ode45: -1.7101863208140122e-01 -1.0000000229069261e+00-8.2898139082552502e-01 2.2906926133714478e-08(3.7036000000000001e+02)

ode113: -1.7101872161688117e-01 -1.0000000301991874e+00-8.2898130858230612e-01 3.0199187373014524e-08(2.9781000000000006e+02)

ode15s: -1.7101975287682061e-01 -1.0000000154076676e+00(NDF) -8.2898026253084700e-01 1.5407667586231355e-08

(6.1940999999999985e+02)ode15s: -1.7101953362629607e-01 -9.9999992743637101e-01(BDF) -8.2898039381007493e-01 7.2563628994437579e-08

(6.0688000000000000e+02)

0.6 0.7 0.8 0.9−1.5

−1

−0.5

0

0.5

A

λ 1,2

Lyapunov−Exponenten

0.6 0.7 0.8 0.9−1

−1

−1

−1

−1

A

λ 1+λ 2


0.6 0.7 0.8 0.9

2

4

6

8

10x 10

−7

A

e(λ 1+

λ 2)

Fehler in Summe

0.6 0.7 0.8 0.9200

300

400

500

600

700

800

A

Rec

henz

eit

CPU−Time

Abbildung 6.2: Die Versuchsgröÿen λ1,2, λ1 + λ2, |1 − (λ1 + λ2)| und die Re-chenzeit als Funktion der Amplitude A

Farbenlegende:

(a) ode45: rot(b) ode113:blau(c) ode15s: (NDF) magenta(d) ode15s: (BDF) grün

83


Versuchsergebnis: Bei der homogenen Du�ng-Gleichung (Versuch (a)-(c)) er-höht sich die Rechenzeit ungefähr um den Faktor 10, wenn man die Integrati-onszeit um den Faktor 10 erhöht. Die Lyapunov-Exponenten sind für alle In-tegrationsroutinen bis auf fünf Stellen hinter dem Komma identisch. Was dieRechenzeit betri�t, so sind die Integrationsroutinen ode45, ode113 ungefähr1.5− 2 mal schneller als die beiden ode15s Routinen.Variert man den Stabilitätparameter b = 1, ..., 10, dann bleiben die Lyapunov-Exponenten für steigendes b konstant, während die Summe der Lyapunov-Exponentenund deren Fehler jeweils einen Grenzwert zustreben und die Rechenzeit linearansteigt.Bei der inhomogenen Du�ng-Gleichung zeigt Bild 6.2, daÿ die Lyapunov-Exponnetenungefähr in der gleichen Gröÿenordnung liegen. Die zugehörigen Tabellen zeigen,daÿ die Lyapunov-Exponenten bis auf fünf Stellen hinter dem Komma überein-stimmen. Nur im chaotischen Fall A = 0.8 ist die Übereinstimmung auf eineStelle hinter dem Komma beschränkt. Der Fehler in der Summe der Lyapunov-Exponenten liegt in Gröÿenordnungsbereich 10−6 − 10−8. Was die Rechenzeitbetri�t, so sind die Routinen ode45, ode113 wieder deutlich schneller (1.5− 2)als die ode15s Routinen. Der Löser ode113 ist dabei die schnellste Routine.

6.3 Die van der Pol-GleichungDie Gleichung (5.39) wird für die Parameter

ε = 5, A = 5, ω = 2.47, b = 10, AbsTol = 1e− 8, RelTol = 1e− 8, tint = 1000

untersucht und man erhält:

λ1 λ2

λ1 + λ2 (CPU-Time in [s])ode45: 1.0957559859018427e-01 -6.7837180629415084e+00

-6.6741424643513243e+00 2.6839000000000004e+02ode113: 9.5540203252485190e-02 -6.7652276520894157e+00

-6.6696874488369309e+00 1.2749000000000001e+02ode15s: 9.9770277376159094e-02 -6.4863317007834453e+00(NDF) -6.3865614234072865e+00 3.2088999999999999e+02ode15s: 1.0843589523186919e-01 -6.4803122542441338e+00(BDF) -6.3718763590122647e+00 3.0386999999999989e+02

Versuchsergebnis: In diesem Fall wird nur ein chaotisches Beispiel untersucht.Bei den numerischen Versuchen fällt auf, daÿ man die Toleranzen und den Sta-bilitätsparameter (man sollte mindestens b = 7 wählen) erhöhen muÿ, um über-haupt Ergebnisse zu erhalten. Vorher brechen die Matlab-ODE-Routinen zu-sammen. Die Integrationsschrittweite fällt aus dem Tolernazbereich heraus, d.hsie ist zu klein gewählt. Weiter ist au�ällig, daÿ die Rechenzeit für tint = 1000in der Gröÿenordnung liegt, die bei der Du�ng-Gleichung für tint = 10000 err-reicht wird. Diese E�ekte dürften ihre Ursachen in der Steifheit der van derPol-Gleichung haben.

84


6.4 Die Lorenz-GleichungBei der numerischen Untersuchung der Gleichung (5.42) werden nur noch dieODE-Routinen ode45, ode15s (NDF) verwendet. Die Toleranzen für diese Rou-tinen sind wieder RelTol = 10−6, AbsTol = 10−8. Als Parameter der Lorenz-Gleichung werden zuerst σ = 10, β = 8/3, ρ = 28 gewählt worden, dann ver-schiedene Parameterwerte ρ. Der Stabilitätsparameter ist b = 20. Die Lorenz-Gleichung wird für die Integrationszeiten tint = {1000, 2000, ..., 9000, 10000} un-tersucht. Zusätzlich werden für die Integrationszeit tint = 10000 noch die Rou-tinen ode113,ode15s (BDF) untersucht. Die Summe der Lyapunov-Exponentenist für alle Versuche λ1 + λ2 + λ3 = 13 2/3.

(a) σ = 10, β = 8/3, ρ = 28, b = 20, tint ∈ {1000, . . . , 10000}

ode45 ode15st = 1000:λ1: 8.8798977980942406e-01 8.9435898386288881e-01λ2: 5.5322384894337516e-04 -1.5002918626089913e-04λ3: -1.4555209707630572e+01 -1.4560877343274326e+01∑3

i=1 λi: -1.3666666703972204e+01 -1.3666668388597698e+01e(

∑3i=1 λi): 3.7305538214127409e-08 1.7219310315397252e-06

CPU-Time in [s]: 5.2879999999999995e+02 4.9594000000000233e+02t = 2000:λ1: 8.9702966721497412e-01 8.9903743876425435e-01λ2: -1.2296658828409821e-04 -1.3096319183271313e-05λ3: -1.4563573405069638e+01 -1.4565692687355067e+01∑3

i=1 λi: -1.3666666704442948e+01 -1.3666668344909997e+01e(

∑3i=1 λi): 3.7776281658352673e-08 1.6782433309714406e-06

CPU-Time in [s]: 1.0656300000000001e+03 1.0228899999999994e+03t = 3000λ1: 9.0152084506942920e-01 9.0197803943348254e-01λ2: -4.0849415383471375e-05 -5.1160441932311185e-04λ3: -1.4568146701093141e+01 -1.4568134792290650e+01∑3

i=1 λi: -1.3666666705439095e+01 -1.3666668357276491e+01e(

∑3i=1 λi): 3.8772428823108385e-08 1.6906098245783596e-06


i=1 λi: -1.3666666705320205e+01 -1.3666668354285493e+01e(

∑3i=1 λi): 3.8653539036204165e-08 1.6876188269066006e-06

CPU-Time in [s]: 1.8177800000000002e+03 2.4650200000000041e+03

85


ode45 ode15st = 5000λ1: 9.0255955694479417e-01 9.0200126760519483e-01λ2: -4.0830090257667104e-05 1.0513014596707669e-04λ3: -1.4569185432423703e+01 -1.4568774746052199e+01∑3

i=1 λi: -1.3666666705569167e+01 -1.3666668348301037e+01e(

∑3i=1 λi): 3.8902500776316629e-08 1.6816343713088600e-06


i=1 λi: -1.3666666705547422e+01 -1.3666668341631254e+01e(

∑3i=1 λi): 3.8880756392245530e-08 1.6749645883606945e-06


i=1 λi: -1.3666666705879091e+01 -1.3666668351614273e+01e(

∑3i=1 λi): 3.9212425306800469e-08 1.6849476072167135e-06

CPU-Time in [s]: 4.0671800000000003e+03 4.1937700000000041e+03t = 8000λ1: 9.0413763409689596e-01 9.0293159314511284e-01λ2: 1.3739836573631103e-04 1.7323422202243142e-04λ3: -1.4570941738203441e+01 -1.4569773194009864e+01∑3

i=1 λi: -1.3666666705740809e+01 -1.3666668366642728e+01e(

∑3i=1 λi): 3.9074143032280517e-08 1.6999760621416726e-06

CPU-Time in [s]: 4.6536399999999994e+03 4.0174600000000064e+03t = 9000λ1: 9.0483539447658923e-01 9.0326692012802001e-01λ2: 8.1514485549076158e-05 -3.5857334221086664e-06λ3: -1.4571583614719000e+01 -1.4569931696838758e+01∑3

i=1 λi: -1.3666666705756862e+01 -1.3666668362444160e+01e(

∑3i=1 λi): 3.9090195969038177e-08 1.6957774935377756e-06

CPU-Time in [s]: 5.1600600000000013e+03 4.6166699999999983e+03t = 10000λ1: 9.0449866092531606e-01 9.0419967191744544e-01λ2: 9.4278876184073829e-05 5.6776603214707744e-05λ3: -1.4571259645344744e+01 -1.4570924814324634e+01∑3

i=1 λi: -1.3666666705543244e+01 -1.3666668365803973e+01e(

∑3i=1 λi): 3.8876578400959261e-08 1.6991373072983151e-06

CPU-Time in [s]: 5.0790199999999995e+03 6.3282200000000012e+03

Die Versuchsergebnisse sind in Abbildung 6.3 graphisch dargestellt.

86


2000 4000 6000 8000 10000−15

−10

−5

0

t

λ 1,2,

3

Lyapunov−Exponenten mit ode45

2000 4000 6000 8000 10000−15

−10

−5

0

t

λ 1,2,

3

Lyapunov−Exponenten mit ode15s

2000 4000 6000 8000 10000

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

−6

t

e(λ 1+

λ 2+λ 3)

Fehler in Summe

2000 4000 6000 8000 100000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

t

Rec

henz

eit

CPU−Time

Abbildung 6.3: Die Versuchsgröÿen λ1,2,3,∑3

i=1 λi, e(∑3

i=1 λi) und die Rechen-zeit als Funktion der Zeit t

Farbenlegende für die zwei oberen Bilder:

(a) λ1: rot(b) λ2:blau(c) λ3:magenta(d)

∑3i=1 λi:schwarz

Farbenlegende für die beiden unteren Bilder:

(a) ode45: rot(b) ode15s (NDF):blau

(b) σ = 10, β = 8/3, ρ = 28, b = 20, tint = 10000

ODE-Routinen sind ode113,ode15s (BDF):

Routine: ode113 ode15s (BDF)λ1: 9.0223028296803620e-01 9.0298992353758600e-01λ2: 8.8246347076458524e-06 -8.1316888430205802e-06λ3: -1.4568905672392864e+01 -1.4569650358624513e+01∑3

i=1 λi: -1.3666666564790120e+01 -1.3666668566775769e+01e(

∑3i=1 λi): 1.0187654631010901e-07 1.9001091029480222e-06

CPU-Time in [s]: 3.1252700000000004e+03 5.5614300000000003e+03

87


In der Literatur [10, 45] werden für diesen Parametersatz der Lorenz-Gleichung die nachfolgenden Ergebnisse für die Lyapunov-Exponenten an-gegeben:

Referenz : [10] [45]λ1: 0.9057 0.9040, tint = 10000

0.9056, tint = 105

λ2: 1.4 ∗ 10−5 0.0003, tint = 100000.0000, tint = 105

λ3: −14.5724 −14.5710, tint = 10000−14.5723, tint = 105

∑3i=1 λi: −13.6667 −13.667

(c) Als weiterer Versuch mit der Lorenz-Gleichung wird das Gram-Schmidt-Verfahren für den variablen Parameter ρ untersucht. Als Parameter wer-dengewählt:

σ = 10, β = 8/3, ρ ∈ {0, 1, 1.346, 13.926, 24.74, 28, 45.92}

undb = 20, tint = 10000

Die ODE-Routinen sind wieder ode45, ode15s (NDF).

ode45 ode15s (NDF)ρ = 0:λ1: -1.0000004291557636e+00 -1.0082859686030461e+00λ2: -2.6666662375135335e+00 -2.6655965605704446e+00λ3: -9.9999999999990212e+00 -9.9927841372021220e+00∑3

i=1 λi: -1.3666666666668318e+01 -1.3666666666375612e+01e(

∑3i=1 λi): 1.6520118606422329e-12 2.9105429177889164e-10

CPU-Time in [s]: 5.7986999999999534e+02 1.3900000000139698e+00ρ = 1:λ1: -8.1279166028450100e-04 -8.1278862230374309e-04λ2: -2.6667530216178439e+00 -2.6667530211380641e+00λ3: -1.0999100853392330e+01 -1.0999100856767427e+01∑3

i=1 λi: -1.3666666666670459e+01 -1.3666666666527796e+01e(

∑3i=1 λi): 3.7925218521195347e-12 1.3887024863379338e-10

CPU-Time in [s]: 4.9276000000000931e+02 1.0100000000093132e+00ρ = 1.346:λ1: -1.2879110372815166e+00 -1.2879081377632189e+00λ2: -1.2912778522771344e+00 -1.2912807293437438e+00λ3: -1.1087477776742451e+01 -1.1087477737931186e+01∑3

i=1 λi: -1.3666666666301102e+01 -1.3666666605038149e+01e(

∑3i=1 λi): 3.6556357940753514e-10 6.1628517400436067e-08

CPU-Time in [s]: 6.4041000000000349e+02 9.3360000000015134e+01

88


ρ = 13.926:λ1: -3.9730008394713556e-01 -3.9729987758826207e-01λ2: -3.9792085640619979e-01 -3.9792124073493151e-01λ3: -1.2871445643409869e+01 -1.2871446356471484e+01∑3

i=1 λi: -1.3666666583763204e+01 -1.3666667474794679e+01e(

∑3i=1 λi): 8.2903461873229389e-08 8.0812801250829125e-07

CPU-Time in [s]: 4.1888500000000058e+03 4.2460500000000002e+03ρ = 24.74:λ1: 8.0265584770129395e-01 8.0353154641247315e-01λ2: 7.4541658921066612e-05 -3.2848033686368119e-06λ3: -1.4469397109653839e+01 -1.4470196581095710e+01∑3

i=1 λi: -1.3666666720293623e+01 -1.3666668319486606e+01e(

∑3i=1 λi): 5.3626957097208106e-08 1.6528199395793308e-06

CPU-Time in [s]: 4.9115500000000011e+03 5.0311900000000005e+03ρ = 28:λ1: 9.0449866092531606e-01 9.0419967191744544e-01λ2: 9.4278876184073829e-05 5.6776603214707744e-05λ3: -1.4571259645344744e+01 -1.4570924814324634e+01∑3

i=1 λi: -1.3666666705543244e+01 -1.3666668365803973e+01e(

∑3i=1 λi): 3.8876578400959261e-08 1.6991373072983151e-06

CPU-Time in [s]: 5.0790199999999995e+03 6.3282200000000012e+03ρ = 45.92:λ1: 1.2317947881462146e+00 1.2323704743174189e+00λ2: 1.6734216082271873e-05 9.8204305529583496e-05λ3: -1.4898478130836528e+01 -1.4899136669041795e+01∑3

i=1 λi: -1.3666666608474232e+01 -1.3666667990418846e+01e(

∑3i=1 λi): 5.8192433982640068e-08 1.3237521798714624e-06

CPU-Time in [s]: 6.8995299999999988e+03 7.8846600000000035e+03

Die Versuchsergebnisse sind in Abbildung 6.4 graphisch dargestellt.Farbenlegende ist wie in Abbildung 6.3.

Versuchsergebnis: Im ersten Versuch (a) liegt die Fehlerschranke der Summeder Lyapunov-Exponenten für die beiden ODE-Routinen im Bereich 1.7 ∗ 10−6

für ode15s (NDF) und 3.8∗10−8 für ode45. Die reine Rechenzeit steigt für zuneh-mende Integrationszeit tint in wesentlichen linear an, wobei die beiden Integrati-onsverfahren ungefähr gleich schnell sind. Für die Integrationszeit tint = 10000sieht man, daÿ die Routine ode113 die schnellste ist. Im dritten Versuch (c) er-kennt man, daÿ die Rechenzeit für steigendes ρ deutlich ansteigt. Im Vergleichzu den zweidimensionalen Systemen liegt die Rechenzeit für die Integrationszeittint = 10000 bei der Lorenz-Gleichung in der Gröÿenordnung 103, im Vergleichzu 102 bei der Du�ng-Gleichung.

Zum Abschluÿ der Untersuchungen der Lyapunov-Exponenten der Lorenz-Gleichung mit dem Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahren sollennoch einige zusätzliche Ergebnisse für den Parametersatz β = 8/3, σ = 10, ρ =28 und Stabilitätsparameter b = 20, tint = 10000 und die Routine ode45 gra-phisch angegeben werden. Es ist dies der zeitliche Verlauf der Basisvektoren derorthognalen Basis und die zugehörigen Normen.

89


0 10 20 30 40−15

−10

−5

0

ρ

λ 1,2,

3


0 10 20 30 40−15

−10

−5

0

ρ

λ 1,2,

3

Lyapunov−Exponenten mit ode15s

0 10 20 30 40

0.5

1

1.5

2x 10

−6

ρ

e(λ 1+

λ 2+λ 3)

Fehler in Summe

0 10 20 30 400

2000

4000

6000

8000

ρ

Rec

henz

eit

CPU−Time

Abbildung 6.4: Die Versuchsgröÿen λ1,2,3,∑3

i=1 λi, e(∑3

i=1 λi) und die Rechen-zeit als Funktion von ρ

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−1

−0.5

0

0.5

1

Komponenten des Vektor e1(t)

t

e 11 (t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−1

−0.5

0

0.5

1

t

e 12 (t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−1

−0.5

0

0.5

1

t

e 13 (t)

Abbildung 6.5: Die Komponenten des Basisvektors e1(t)

90


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−1

−0.5

0

0.5

1

Komponenten des Vektor e2(t)

t

e 21 (t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−1

−0.5

0

0.5

1

t

e 22 (t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−1

−0.5

0

0.5

1

t

e 23 (t)


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.5

1

t

e 31 (t)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

t

e 32 (t)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−0.5

0

0.5

1

t

e 33 (t)


91


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100001

1

1

1

1

t

||e1||

Euklidische Norm der Vektoren ei(t),i=1,2,3

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100001

1

1

1

1

t

||e2||

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100001

1

1

1

1

||e3||

t

Abbildung 6.8: Die Normen der Basisvektoren

In den Abbildungen 6.5-6.7 ist der zeitliche Verlauf der einzelnen Komponen-ten der orthogonalen Basis ei(t), i = 1, 2, 3 zu sehen. Man sieht sehr deutlich,wie sich die Vektoren im zeitlichen Verlauf ändern, um eine zu 1 normierte or-thogonale Basis zu bilden.In der Abbildung 6.8 ist die Norm der Basisvektoren im zeitlichen Verlauf zusehen. Sie stellt ein Maÿ für die Abweichung dieser Basisvektoren von der Normgleich 1 dar.

6.5 Die Rössler-GleichungZur Untersuchung der Rössler-Gleichung (5.43) werden Gleichungsarameter

a = 0.2, b = 0.2, c = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

und für das Orthogonalisierungverfahren ist der Stabilitätspameter

b = 10

gewählt.Als Integrationsverfahren werden die Routinen ode45,ode15s (NDF) verwendetmit der Integrationzeit

tint = 10000.

92


ode45 ode15s (NDF)c = 2:λ1: 1.6706735075129763e-04 2.1265795143959591e-04λ2: -1.6740561915934168e-01 -1.6749530018942416e-01λ3: -1.5080328616674219e+00 -1.5079831276580691e+00∑3

i=1 λi: -1.6752714134760123e+00 -1.6752657698960536e+00CPU-Time in [s]: 8.4970000000000073e+02 7.2388999999999942e+02c = 3:λ1: 7.2926982016427742e-05 8.6474357117184388e-05λ2: -4.5805479655217821e-02 -4.5867310253148420e-02λ3: -2.6055797054809955e+00 -2.6055279460418870e+00∑3

i=1 λi: -2.6513122581541970e+00 -2.6513087819379182e+00CPU-Time in [s]: 8.4443999999999869e+02 7.7189999999999964e+02c = 4:λ1: 1.6515084456019855e-04 1.8902920273730354e-04λ2: -9.7016043333984892e-02 -9.6324997910627638e-02λ3: -3.5407131036492823e+00 -3.5414447163237499e+00∑3

i=1 λi: -3.6375639961387067e+00 -3.6375806850316401e+00CPU-Time in [s]: 1.0915900000000001e+03 7.8889999999999964e+02c = 5:λ1: 6.5535616202033700e-02 6.3913871596874741e-02λ2: 1.0252438895558468e-04 1.5724612748147941e-04λ3: -4.6890412099473116e+00 -4.6878697182720472e+00∑3




i=1 λi: -7.4635150278896685e+00 -7.4609448351967709e+00CPU-Time in [s]: 2.7299999999995634e+00 2.1099999999987631e+00

Versuchsergebnis: Aus der obigen Tabelle ersieht man, daÿ die beiden ODE-Routinen in den Ergebnissen im wesentlichen auf zwei Stellen hinter dem Kom-ma übereinstimmen. Erstaunlich ist die plötzliche starke Abnahme der Rechen-zeit wenn der Parameter c den Wert c ≈ 5.7 übersteigt, siehe Abbildung 6.9.

93


2 4 6 8−10

−8

−6

−4

−2

0

c

λ 1,2,

3Lyapunov−Exponenten mit ode45

2 4 6 8−10

−8

−6

−4

−2

0

c

λ 1,2,

3


2 4 6 80

200

400

600

800

1000

1200

c

Rec

henz

eit

CPU−Time

2 4 6 8−15

−10

−5

0

c

λ 1+λ 2+

λ 3


Abbildung 6.9: Ergebnisse zur Rössler-Gleichung

Farbenlegende für die zwei oberen Bilder in Abbildung 6.9:

(a) λ1: rot

(b) λ2:blau

(c) λ3:magenta

Farbenlegende für die beiden unteren Bilder inAbbildung 6.9:

(a) ode45: rot

(b) ode15s (NDF): blau

Zusammenfassung für alle Versuche

Zusammenfassend kann man sagen, daÿ die di�erentielle Form des Gram- Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahren in der Summe der Lyapunov-Exponenteneinen Fehler im Gröÿenbereich von 10−6−10−8 für alle Beispielgleichungen auf-weist. Eine Ausnahme bildet, die Schwingungsgleichung in der Fehler in der

94


Summe der Lyapunov-Exponenten im Bereich von 10−12 − 10−13 liegt, voraus-gesetzt der Stabilitätsparameter b wurde hinreichend groÿ gewählt. Der Fehlerin den einzelnen Lyapunov-Exponenten liegt bei dieser Gleichung im Bereichvon 10−5 im Vergleich zu 10−3 bei der Du�ng-Gleichung. Was die Rechen-zeit betri�t so liegen die untersuchten Beispielgleichungen mit den verwendetenODE-Routinen im Bereich von 102 s für zweidimensionale Systeme und 103 s fürdreidimensionale Systeme. Eine Ausnahme bilden die homogene Schwingungs-gleichung mit der Routine ode15s wo die Rechenzeit im Bereich von 0.5 s liegt.

95

7 Das QR-Verfahren mit Givens-Rotationen

7 Das QR-Verfahren mit Givens-Rotationen7.1 Die SchwingungsgleichungFür die Untersuchung der Schwingungsgleichung (5.9) mit dem QR-Verfahrenunter Verwendung von Givens-Rotationsmatrizen werden als ODE-Routinen inMatlab wieder ode45, ode113, ode15s (NDF), ode15s (BDF) gewählt.Die Toleranzen der ODE-Löser sind RelTol = 10−6, AbsTol = 10−8.

Als erster Versuch wird die Entwicklung der Lyapunov-Exponenten als Funktionder Dämpfung δ bei der homogenen Schwingungsgleichung untersucht. Der Pa-rameterbereich für die Dämpfung ist δ ∈ [0, 6] mit einer Schrittweite ∆δ = 0.01.Die Integrationszeit ist tint = 1000.

Man erhält nachfolgende Ergebnisse, die graphisch dargestellt sind:

(a) Lyapunov-Exponenten als Funktion der Dämpfung δ.

(b) CPU-Time und Fehler in der Summe der Lyapunov-Exponenten als Funk-tion der Dämpfung δ.

(c) Fehler in den numerischen Lyapunov-Exponenten im Vergleich zu den ex-akten Lyapunov-Exponenten als Funktion der Dämpfung δ.

Die Ergebnisse werden für die Routine ode45 präsentiert. Man vergleiche dieErgebnisse mit den Abbildungen 5.2 und 5.3.

0 1 2 3 4 5 6−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

λ1,2

(t) als Funktion von d

d

λ 1,2(t

)

Abbildung 7.1: Lyapunov-Exponenten als Funktion der Dämpfung δ

96


0 1 2 3 4 5 60

5

10

15

20CPU−Time als Funktion von d

d

cpu−

time

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5x 10

−13 |λ1+λ

2−2d|

d

err


0 1 2 3 4 5 60

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

Fehler von λ1(t) als Funktion von d

d

err(

λ 1(t))

0 1 2 3 4 5 60

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

Fehler von λ2 als Funktion d

d

err(

λ 2(t))


97


Im zweiten Versuch wird die homogene Schwingungsgleichung für die Para-meter δ = 2.5, ω0 = 2 mit den Integrationszeiten tint = 1000, tint = 10000 un-tersucht. Als graphische Ergebnisse werden die Einschwingphase der Lyapunov-Exponenten λ1,2 und des Givens-Rotationswinkel θ1 über eine Integrationszeittint = 1, sowie die Lyapunov-Exponenten als Funktion des Rotationswinkel θ1

für die Integrationszeit tint = 10000 angegeben.

(a) δ = 2.5, ω0 = 2, A = 0, ω = 0, tint = 1000

Integrationsverfahren ode45 ode113Versuchsgröÿenλ1: -9.9936574431066405e-01 -9.9936574437209913e-01λ2: -4.0006342556893353e+00 -4.0006342556279009e+00λ1 + λ2: -4.9999999999999991e+00 -5.0000000000000000e+00e(λ1 + λ2) : 8.8817841970012523e-16 0.0000000000000000e+00e(λ1) 6.3425568933594967e-04 6.3425562790087042e-04e(λ2) 6.3425568933528353e-04 6.3425562790087042e-04CPU-Time in [s]: 1.8300000000000125e+00 2.8499999999999943e+00Integrationsverfahren ode15s (NDF) ode15s (BDF)Versuchsgröÿenλ1: -9.9936572484261976e-01 -9.9936574159822333e-01λ2: -4.0006342751425814e+00 -4.0006342583939354e+00λ1 + λ2: -4.9999999999852012e+00 -4.9999999999921592e+00e(λ1 + λ2) : 1.4798828829043487e-11 7.8408390891127056e-12e(λ1) 6.3427515738023743e-04 6.3425840177666615e-04e(λ2) 6.3427514258140860e-04 6.3425839393538297e-04CPU-Time in [s]: 3.6999999999997613e-01 6.6999999999998749e-01

(b) d = 2.5, ω0 = 2, A = 0, ω = 0, tint = 10000

Integrationsverfahren ode45 ode113Versuchsgröÿenλ1: -9.9993657443107453e-01 -9.9993657443720896e-01λ2: -4.0000634255689258e+00 -4.0000634255627894e+00λ1 + λ2: -5.0000000000000000e+00 -4.9999999999999982e+00e(λ1 + λ2) : 0.0000000000000000e+00 1.7763568394002505e-15e(λ1) 6.3425568925468134e-05 6.3425562791041834e-05e(λ2) 6.3425568925801201e-05 6.3425562789376499e-05CPU-Time in [s]: 1.7899999999999636e+01 2.6159999999999854e+01Integrationsverfahren ode15s (NDF) ode15s (BDF)Versuchsgröÿenλ1: -9.9993657947936809e-01 -9.9993657497759214e-01λ2: -4.0000634205191510e+00 -4.0000634250216240e+00λ1 + λ2: -4.9999999999985194e+00 -4.9999999999992166e+00e(λ1 + λ2) : 1.4805934256401088e-12 7.8337336617551045e-13e(λ1) 6.3420520631907173e-05 6.3425022407859188e-05e(λ2) 6.3420519150980681e-05 6.3425021624041733e-05CPU-Time in [s]: 1.3700000000008004e+00 1.3600000000005821e+00

98


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.4

−0.2

0

0.2

0.4Einschwingphase der hom. Schwingungsgleichung

λ 1(t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−5.4

−5.2

−5

−4.8

−4.6

λ 2(t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

θ 1(t)

t

Abbildung 7.4: Einschwingphase der Lyapunov-Exponenten

0.5

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

λ1(t) als Funktion von θ

1(t)

2.5

5

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0


1(t)

Abbildung 7.5: Lyapunov-Exponenten als Funktion von θ1

99


Im dritten Versuch wird die inhomogene Schwingungsgleichung für die Pa-rameter δ = 2.5, ω0 = 2, A = 1, ω = 1 mit den Integrationszeiten tint =1000, tint = 10000 untersucht. Als Versuchsergebnisse werden wiederum dieEinschwingphase der Lyapunov-Exponenten λ1,2 und des Givens-Rotationswinkelθ1 über eine Integrationszeit tint = 1, sowie die Lyapunov-Exponenten als Funk-tion des Rotationswinkel θ1 über tint = 10000 graphisch dargestellt.

(a) δ = 2.5, ω0 = 2, A = 1, ω = 1, tint = 1000



(b) d = 2.5, ω0 = 2, A = 1, ω = 1, tint = 10000



Versuchergebnis: Aus den Tabellen für die homogene und inhomogene Schwin-gungsgleichung erkennt man, daÿ die Rechenzeit sich ungefähr um eine Zeh-nerpotenz erhöht, wenn man die Integrationszeit um eine Zehnerpotenz erhöht.

100


Weiter ist ersichtlich, daÿ die Routine ode113 für die inhomogene Schwingungs-gleichung die kürzeste CPU-Time besitzt, während bei der homogenen Gleichungdie beiden ode15s Routinen die geringsten Rechenzeiten aufweisen. Der Fehler inder Summe der Lyapunov-Exponenten bewegt sich im Rahmen der Maschinen-genauigkeit (10−14−10−16) für die Routinen ode45, ode113, während für ode15sdie Genauigkeit in der Gröÿenordnung 10−11−10−13 liegt. Der Fehler in den ein-zelnen Lyapunov-Exponneten liegt in der Gröÿenordnung 6.34∗10−4−6.34∗10−5

für alle vier ODE-Löser.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.4

−0.2

0

0.2

0.4Einschwingphase der hom. Schwingungsgleichung

λ 1(t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−5.4

−5.2

−5

−4.8

−4.6

λ 2(t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

θ 1(t)

t

Abbildung 7.6: Einschwingphase der Lyapunov-Exponenten

0.5

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0


1(t)

2.5

5

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0


1(t)

Abbildung 7.7: Lyapunov-Exponenten als Funktion von θ1

101


7.2 Die Du�ng-GleichungZuerst wird die inhomogene Du�ng-Gleichung (5.24) mit den Parametern δ =1, A = 0...2, ω = 1 für die Integrationszeit tint = 5000 mit der Routine ode45untersucht. Danach wird eine Ausschnittsvergröÿerung für den Parameterbe-reich A ∈ [0.6, 0.9] betrachtet und die Versuchsergenisse für die ParameterwerteA ∈ {0.6, 0.65, 0.7, 0.75, 0.8, 0.85, 0.9} tabellarisch für die vier ODE-Routinenangegeben. Die Summe der Lyapunov-Exponenten ist λ1 + λ2 = −δ = −1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

λ1,2

(t) als Funktion von A

A

λ 1,2(t

)

Abbildung 7.8: λ1,2 als Funktion der Amplitude A

Versuchsstatistik für A ∈ [0, 2]:

Versuchsgröÿe λ1: λ2:statistishe GröÿenMinimalwert: -0.49977168408739 -1.13386585119961Maximalwert: 0.13386585119963 -0.50022831591262Mittelwert : -0.25202035939846 -0.74797964060154Median: -0.25482831162561 -0.74517168837437Standardabweichung: 0.22524818335771 0.22524818335771Wertebereich: 0.63363753528701 0.63363753528699Minimalwert: 0 14.69000000000000Maximalwert: 3.275157922644212e-14 81.22999999999956Mittelwert : 5.730245870490490e-15 46.22835411471322Median: 4.662936703425657e-15 40.63999999999942Standardabweichung: 4.579596254760299e-15 10.89271055726211Wertebereich: 3.275157922644212e-14 66.53999999999957

102


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

20

40

60

80

100CPU−Time als Funktion von A

A

cpu−

time

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

−14 |λ1+λ

2−d|

A

err

Abbildung 7.9: CPU-Time und e(λ1, λ2) als Funktion der Amplitude A

Versuchsstatistik für A ∈ [0.6, 0.9]:

Versuchsgröÿe λ1: λ2:statistishce GröÿenMinimalwert: -0.49911739516421 -1.12804140926942Maximalwert: 0.12804140926943 -0.50088260483578Mittelwert : -0.08401368334193 -0.91598631665807Median: -0.07511038111900 -0.92488961888101Standardabweichung: 0.12252292155276 0.12252292155276Wertebereich: 0.62715880443364 0.62715880443364

e(λ1 + λ2) CPU-Time in [s]

Minimalwert: 0 38.30999999999767Maximalwert: 2.353672812205332e-14 57.59000000000015Mittelwert : 5.561442779168807e-15 53.11498338870436Median: 5.107025913275720e-15 53.93000000000029Standardabweichung: 4.011739322498496e-15 3.74605531411248Wertebereich: 2.353672812205332e-14 19.28000000000247

103


0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

λ1,2

(t) als Funktion von A

A

λ 1,2(t

)

Abbildung 7.10: λ1,2 als Funktion der Amplitude A

0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.9535

40

45

50

55

60CPU−Time als Funktion von A

A

cpu−

time

0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.950

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

−14 |λ1+λ

2−d|

A

err

Abbildung 7.11: CPU-Time und e(λ1, λ2) als Funktion der Amplitude A

104


Es folgen jetzt die tabellarischen Angaben einiger Versuchergebnisse für dievier ODE-Routinen für tint = 10000:

A = 0.6 λ1 λ1 + λ2


ode45: -4.9940299145002820e-01 -1.0000000000000067e+00-5.0059700854997835e-01 6.6613381477509392e-15(8.3980000000000018e+01)

ode113: -4.9939538032788489e-01 -9.9999999999996825e-01-5.0060461967208336e-01 3.1752378504279477e-14(9.1940000000000055e+01)

ode15s: -4.9939534988925299e-01 -9.9999999999930900e-01(NDF) -5.0060465011005606e-01 6.9100281052669743e-13

(2.2571000000000004e+02)ode15s: -4.9956955844674206e-01 -9.9999999999942668e-01(BDF) -5.0043044155268457e-01 5.7331916991643084e-13

(2.2324000000000001e+02)A = 0.65 λ1 λ1 + λ2


ode45: -9.1576029632239209e-02 -9.9999999999999833e-01-9.0842397036775913e-01 1.6653345369377348e-15(8.6380000000000109e+01)

ode113: -9.1620742308480843e-02 -9.9999999999987554e-01-9.0837925769139471e-01 1.2445600106048005e-13(9.9619999999999891e+01)

ode15s: -9.1558327261416897e-02 -9.9999999999930733e-01(NDF) -9.0844167273789045e-01 6.9266814506363517e-13

(2.1434999999999991e+02)ode15s: -9.1548727383509290e-02 -9.9999999999934586e-01(BDF) -9.0845127261583658e-01 6.5414340610914223e-13

(1.9970000000000027e+02)A = 0.7 λ1 λ1 + λ2


ode45: -9.4366645152677953e-02 -1.0000000000000009e+00-9.0563335484732288e-01 8.8817841970012523e-16(8.5360000000000127e+01)

ode113: -9.4417332637917267e-02 -9.9999999999998468e-01-9.0558266736206738e-01 1.5321077739827160e-14(9.8230000000000018e+01)

ode15s: -9.4382059336203181e-02 -9.9999999999928668e-01(NDF) -9.0561794066308354e-01 7.1331829332166308e-13

(2.2178999999999996e+02)ode15s: -9.4345475766590123e-02 -9.9999999999930089e-01(BDF) -9.0565452423271076e-01 6.9910743860646107e-13

(2.2176000000000022e+02)

105


A = 0.75 λ1 λ1 + λ2


ode45: -3.1048347110592789e-02 -9.9999999999999289e-01-9.6895165288940011e-01 7.1054273576010019e-15(8.7159999999999854e+01)

ode113: -3.1075466009520950e-02 -1.0000000000000842e+00-9.6892453399056322e-01 8.4154905266586866e-14(1.0031999999999971e+02)

ode15s: -3.1071039530277539e-02 -9.9999999999929456e-01(NDF) -9.6892896046901700e-01 7.0543570984682447e-13

(2.3060000000000036e+02)ode15s: -3.1047378651721073e-02 -9.9999999999934697e-01(BDF) -9.6895262134762594e-01 6.5303318308451708e-13

(2.0605999999999949e+02)A = 0.8 λ1 λ1 + λ2


ode45: 1.0955667964052998e-01 -1.0000000000000016e+00-1.1095566796405316e+00 1.5543122344752192e-15(8.6420000000000073e+01)

ode113: 1.0419883063350169e-01 -9.9999999999992817e-01-1.1041988306334298e+00 7.1831429693247628e-14(8.9300000000000182e+01)

ode15s: 1.1166085604085442e-01 -9.9999999999925915e-01(NDF) -1.1116608560401136e+00 7.4085182433236696e-13

(2.0646000000000004e+02)ode15s: 1.0547589071042578e-01 -9.9999999999931644e-01(BDF) -1.1054758907097422e+00 6.8356431626170888e-13

(1.8650000000000000e+02)A = 0.85 λ1 λ1 + λ2


ode45: -1.4167208327751518e-01 -9.9999999999999512e-01-8.5832791672247988e-01 4.8849813083506888e-15(8.3090000000000146e+01)

ode113: -1.4153178547253689e-01 -9.9999999999997202e-01-8.5846821452743516e-01 2.7977620220553945e-14(9.5440000000000509e+01)

ode15s: -1.4184665016918532e-01 -9.9999999999925349e-01(NDF) -8.5815334983006819e-01 7.4651396175795526e-13

(2.0679000000000087e+02)ode15s: -1.4175027105849677e-01 -9.9999999999929956e-01(BDF) -8.5824972894080276e-01 7.0043970623601126e-13

(2.0202999999999975e+02)

106


A = 0.9 λ1 λ1 + λ2


ode45: -1.7101437767305966e-01 -9.9999999999999312e-01-8.2898562232693351e-01 6.8833827526759706e-15(9.0379999999999995e+01)

ode113: -1.7108701104405910e-01 -9.9999999999969524e-01-8.2891298895563614e-01 3.0475622025960547e-13(9.4699999999999989e+01) -9.9999999999928568e-01

ode15s: -1.7104015944455009e-01 -9.9999999999928568e-01(NDF) -8.2895984055473559e-01 7.1431749404382572e-13

(2.5178000000000000e+02)ode15s: -1.7106785362997723e-01 -9.9999999999936262e-01(BDF) -8.2893214636938539e-01 6.3737903843730237e-13

(2.1693000000000001e+02)

Versuchsergebnis: Aus der obigen Tabelle erkennt man, daÿ alle vier Verfahrenin den Lyapunov-Exponenten bis auf drei Stellen hinter dem Komma überein-stimmen. Der Fehler für die Summe der Lyapunov-Exponenten bewegt sich imBereich 10−13 − 10−16 für die ODE-Routinen. Die Rechenzeit liegt im ungefäh-ren Bereich von 80s − 230s für die Routinen. Die schnellste ODE-Routine istode45, gefolgt von ode113. Die meiste Rechenzeit benötigen die beiden ode15sRoutinen. Für die Routine ode45 mit dem Parameterwert A = 0.8 sollen derzeitliche Verlauf der Versuchsgröÿen mit einer Integrationszeit von tint = 10000exemplarisch dargestellt werden.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Phasenplot der Duffing−Gleichung

y1(t)

y 2(t)

Abbildung 7.12: Phasenplot der Du�ng-Gleichung für A = 0.8

107


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1Lyapunov−Exponenten

λ 1,2(t

)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

1000

2000

3000

4000

5000

θ 1(t)

t

Abbildung 7.13: Zeitlicher Verlauf von λ1, λ2 und θ1 für A = 0.8

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1Summe der Lyapunov−Exponenten

λ 1,2(t

)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2x 10

−14 Fehler in Summe

err

t

Abbildung 7.14: Zeitlicher Verlauf von λ1 + λ2 und e(λ1 + λ2) für A = 0.8

108



1(t)

1

2

30

210

60

240

90

120

300

150

330

180 0


1(t)

Abbildung 7.15: λ1, λ2 als Funktion des Winkels θ1 für A = 0.8 (Vergröÿerung)

7.3 Die van der Pol-Gleichung(a) Im ersten Versuch wird die van der Pol-Gleichung (5.39) für die Parame-

ter ε = 5, A = 5, ω = 2.466, tint = 10000 und die vier ODE-Routinenuntersucht:

tint = 10000: λ1 λ1 + λ2

λ2 (CPU-Time in [s])ode45: 1.0286158895476522e-01 -6.7551723499641412e+00

-6.8580339389189060e+00 3.6340999999999985e+02ode113: 1.0157998966277350e-01 -6.7325041365265230e+00

-6.8340841261892962e+00 3.3169999999999982e+02ode15s: 9.7287919529612424e-02 -6.7218711861615938e+00(NDF) -6.8191591056912060e+00 7.4247999999999956e+02ode15s: 9.5390754125448327e-02 -6.7385441019727113e+00(BDF) -6.8339348560981596e+00 7.1434999999999945e+02

Versuchsergebnis: Aus der Tabelle ersieht man, daÿ die Versuchsgröÿen,d.h. die Lyapunov-Exponenten und deren Summe bei allen vier ODE-Routinen auf eine Stelle hinter dem Komma übereinstimmen, d.h λ1 ≈0.1, λ2 ≈ −6.8, λ1 + λ2 ≈ −6.7 (ode45, ode113 ) bzw. λ1 ≈ 0.09, λ2 ≈−6.8, λ1 + λ2 ≈ −6.7(ode15s). Was die CPU-Time betri�t so sind dieRoutinen ode45, ode113 ungefähr doppelt so schnell wie die beiden ode15s-Routinen. Die schnellste Routine ist ode113.

109


−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10Phasenplot der Van der Pol−Gleichung

y1(t)

y 2(t)

Abbildung 7.16: Phasenplot der van der Pol-Gleichung für ε = 5, A = 5, ω =2.466

Die Versuchsergebnisse für die Routine ode113 sind den folgenden Ab-bildungen graphisch dargestellt:

(a) Phasenplot der van der Pol-Gleichung (Abbildung 7.16)(b) Zeitliche Entwicklung der Lyapunov-Exponenten λ1,2 und des Rota-

tionswinkel θ1 (Abbildung 7.17)(c) λ1,2 als Funktion von θ1 (Abbildung 7.18)(d) Zeitliche Entwicklung der Summe der Lyapunov-Exponenten (Abbil-

dung 7.19)

(b) Als nächster Versuch soll die van der Pol-Gleichung für verschiedene Kreis-Frequenzen ω der von auÿen angelegten Schwingung untersucht werden:

(a) ω ∈ [3.9, 4.1] (Abbildung 7.20, 7.21)(b) ω ∈ [4.025, 4.03](Abbildung 7.22,7.23)

Die weiteren Kenngröÿen sind: ε = 3, A = 15, tint = 2000, ODE-Routine:ode45

110


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−10

−8

−6

−4

−2

0

2Lyapunov−Exponenten

λ 1,2(t

)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

1000

2000

3000

4000

5000

θ 1(t)

t

Abbildung 7.17: Zeitlicher Verlauf von λ1, λ2 und θ1 für ε = 5, A = 5, ω =2.466


1(t)

5

10

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0


1(t)

Abbildung 7.18: λ1,2 als Funktion von θ1 (Vergröÿerung)

111


100 200 300 400 500 600 700 800 900

−10

−9

−8

−7


λ 1(t)+

λ 2(t)

0.095 0.1 0.105 0.11 0.115 0.12 0.125 0.13 0.135 0.14 0.145

−7.3

−7.2

−7.1

−7

−6.9

−6.8

−6.7

Lyapunov−Exponenten Phasenplot

λ 2(t)

λ1(t)

Abbildung 7.19: Zeitlicher Verlauf von λ1 + λ2 für ε = 5, A = 5, ω = 2.466(Vergröÿerung)

3.9 3.92 3.94 3.96 3.98 4 4.02 4.04 4.06 4.08 4.1−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

λ1,2

(t) als Funktion von ω

ω

λ 1,2(t

)

Abbildung 7.20: Lyapunov-Exponenten λ1,2 als Funktion von ω

112


3.9 3.92 3.94 3.96 3.98 4 4.02 4.04 4.06 4.08 4.170

80

90

100

110

120

130

140CPU−Time als Funktion von ω

ω

cpu−

time

3.9 3.92 3.94 3.96 3.98 4 4.02 4.04 4.06 4.08 4.1−3

−2.9

−2.8

−2.7

−2.6

−2.5

λ1+λ

2

ω

Sum

me

Abbildung 7.21: Summe von λ1,2 und CPU-Time als Funktion von ω

4.025 4.0255 4.026 4.0265 4.027 4.0275 4.028 4.0285 4.029 4.0295 4.03−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

λ1,2

(t) als Funktion von ω

ω

λ 1,2(t

)

Abbildung 7.22: λ1,2 als Funktion von ω

113


4.025 4.0255 4.026 4.0265 4.027 4.0275 4.028 4.0285 4.029 4.0295 4.0370

75

80

85

90

95

100

105CPU−Time als Funktion von ω

ω

cpu−

time

4.025 4.0255 4.026 4.0265 4.027 4.0275 4.028 4.0285 4.029 4.0295 4.03−2.7

−2.69

−2.68

−2.67

−2.66

−2.65

−2.64

−2.63

λ1+λ

2

ω

Sum

me

Abbildung 7.23: λ1 + λ2 und CPU-Time als Funktion von ω

Aus der Abbildung 7.20 erkennt man deutlichsten, für welches Parameterwerteω ein positiver Lyapunov-Exponent λ1 vorliegt, also eine sensitive Abhängigkeitvon den Anfangswerten vorliegt. Die Ausschnittveregröÿerung in Abbildung 7.22zeigt dies im Detail.

7.4 Die Lorenz-GleichungVersuchsbeschreibung: Zuerst wird die Lorenz-Gleichung (5.42) für die Parame-ter β = 8/3, σ = 10, tint = 1000 für zwei verschiedene Bereiche des Parameterρ mit der ODE-Routine ode45 untersucht:

(a) ρ ∈ [0, 24]

(b) ρ ∈ [24, 30]

Die Ergebnisse für die Lyapunov-Exponenten, deren Summe, der Fehler inder Summe und die CPU-Time werden graphisch angegeben.

Danach wird die Lorenz-Gleichung für die beiden Parametersätze

(a) β = 8/3, σ = 10, ρ = 28, tint = 10000

(b) β = 8/3, σ = 10, ρ = 45.92, tint = 10000

untersucht, mit der Unterscheidung ob die orthogonale Matrix Q ausmultipli-ziert ist oder nicht. Für die letzten zwei Parametersätze werden die Routinenode45, ode113, ode15s (NDF), ode15s (BDF) benutzt.

114


(a) β = 8/3, σ = 10, ρ ∈ [0, 24], tint = 1000

Versuchsgröÿen λ1 λ2

statistische GröÿenMinimalwert -9.99999999999969 -2.67212839531455Maximalwert -0.00489341104085 -0.02599377270070Mittelwert -0.54841765944416 -0.63314549024107Median -0.45255965462133 -0.49612402366413Standardabweichung 0.70190875737490 0.57449171448848Wertebereich 9.99510658895884 2.64613462261385

λ3

∑3i=1 λi

Minimalwert -13.62082718367202 -13.66666666666705Maximalwert -2.66666237515195 -13.66666666666624Mittelwert -12.48510351698147 -13.66666666666667Median -12.68369341113129 -13.66666666666669Standardabweichung 1.03226175797424 1.203274717747341e-13Wertebereich 10.95416480852007 8.082423619271140e-13

e(∑3

i=1 λi) CPU-Time in [s]Minimalwert 0 6.16000000000001Maximalwert 4.281019982954604e-13 1.544000000000015e+02Mittelwert 9.195042145858142e-14 1.033373443983403e+02Median 7.460698725481052e-14 1.017900000000009e+02Standardabweichung 7.870713550181983e-14 36.75238983728448Wertebereich 4.281019982954604e-13 1.482400000000014e+02

0 5 10 15 20 25−10

−5

0

λ1(t) als Funktion von ρ

ρ

λ 1(t)

0 5 10 15 20 25−3

−2

−1

0


ρ

λ 2(t)

0 5 10 15 20 25−15

−10

−5

0


ρ

λ 3(t)

Abbildung 7.24: λ1, λ2, λ3 als Funktion von ρ für ρ ∈ [0, 24]

115


0 5 10 15 20 25−13.6667

−13.6667

−13.6667

−13.6667Summe der LCE als Funktion von ρ

ρ

λ 1(t)+

λ 2(t)+

λ 3(t)

0 5 10 15 20 250

2

4

6

8x 10

−13 Fehler in der Summe als Funktion von ρ

ρ

err(

t)

0 5 10 15 20 250

100

200

300CPU−Time als Funktion von ρ

ρ

cput

ime

Abbildung 7.25:∑3

i=1 λi, e(∑3

i=1 λi) als Funktion von ρ für ρ ∈ [0, 24]

(b) β = 8/3, σ = 10, ρ ∈ [24, 30], tint = 1000


statistische GröÿenMinimalwert -0.01984571029405 -0.02599377270070Maximalwert 0.93744469434162 0.00164590900952Mittelwert 0.84911244431148 -1.125182807349644e-04Median 0.86398220759862 2.157192311120613e-04Standardabweichung 0.10171745343841 0.00256573399805Wertebereich 0.95729040463567 0.02763968171022

λ3

∑3i=1 λi

Minimalwert -14.60445685549343 -13.66666666666710Maximalwert -13.62082718367202 -13.66666666666631Mittelwert -14.51566659269742 -13.66666666666669Median -14.53092367368683 -13.66666666666669Standardabweichung 0.10389143980823 1.275902846573323e-13Wertebereich 0.98362967182141 7.922551503725117e-13

e(∑3

i=1 λi) CPU-Time in [s]Minimalwert 0 1.940700000000001e+02Maximalwert 4.316547119742609e-13 2.870299999999988e+02Mittelwert 1.030552094738623e-13 2.624252736318408e+02Median 9.592326932761353e-14 2.709899999999980e+02Standardabweichung 7.680221672974471e-14 21.50475338267690Wertebereich 4.316547119742609e-13 92.95999999999879

116


24 25 26 27 28 29 30−0.5

0

0.5

1


ρ

λ 1(t)

24 25 26 27 28 29 30−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01


ρ

λ 2(t)

24 25 26 27 28 29 30−15

−14.5

−14

−13.5


ρ

λ 3(t)

Abbildung 7.26: λ1, λ2, λ3 als Funktion von ρ für ρ ∈ [24, 30]

24 25 26 27 28 29 30−13.6667

−13.6667

−13.6667

−13.6667Summe der LCE als Funktion von ρ

ρ

λ 1(t)+

λ 2(t)+

λ 3(t)

24 25 26 27 28 29 300

2

4

6

8x 10

−13 Fehler in der Summe als Funktion von ρ

ρ

err(

t)

24 25 26 27 28 29 30150

200

250


ρ

cput

ime

Abbildung 7.27:∑3

i=1 λi, e(∑3

i=1 λi) als Funktion von ρ für ρ ∈ [24, 30]

117


(c) β = 8/3, σ = 10, ρ = 28, tint = 10000

ode45 Q explizit Q nicht explizitλ1 9.0516039814666815e-01 9.0556723599323663e-01λ2 9.0061643275034752e-05 6.2485914687123280e-05λ3 -1.4571917126455851e+01 -1.4572296388574349e+01∑3

i=1 λi -1.3666666666665908e+01 -1.3666666666666426e+01e(

∑3i=1 λi) 7.5850437042390695e-13 2.3980817331903381e-13

CPU-Time in [s] 1.6958000000000002e+03 2.0871399999999994e+03ode113λ1 9.0252457576149248e-01 9.0567290956682645e-01λ2 5.3408105503544954e-05 9.6146904542685475e-05λ3 -1.4569244650533749e+01 -1.4572435723138586e+01∑3

i=1 λi -1.3666666666666753e+01 -1.3666666666667217e+01e(

∑3i=1 λi) 8.7041485130612273e-14 5.5067062021407764e-13

CPU-Time in [s] 1.9893799999999992e+03 2.3408300000000017e+03ode15s (NDF)λ1 9.0482661698589961e-01 9.0429592652060342e-01λ2 -1.2661799130656862e-05 1.9797554372293951e-05λ3 -1.4571480621857697e+01 -1.4570982390748812e+01∑3

i=1 λi -1.3666666666670928e+01 -1.3666666666673835e+01e(

∑3i=1 λi) 4.2614800577212009e-12 7.1693762038194109e-12

CPU-Time in [s] 4.0164399999999987e+03 4.1360199999999995e+03ode15s (BDF) Q explizit Q nicht explizitλ1 9.0142326426883168e-01 9.0277446035179854e-01λ2 5.8970312960974701e-05 4.7278380378004468e-05λ3 -1.4568148901268215e+01 -1.4569488405418973e+01∑3

i=1 λi -1.3666666666686423e+01 -1.3666666666686796e+01e(

∑3i=1 λi) 1.9756640767809586e-11 2.0129675704083638e-11

CPU-Time in [s] 3.8789300000000003e+03 4.0305299999999988e+03

(d) β = 8/3, σ = 10, ρ = 45.92, tint = 10000

ode45 Q explizit Q nicht explizitλ1 1.2345730911079613e+00 1.2365350294111863e+00λ2 1.8517282038146434e-05 5.9685384271621612e-05λ3 -1.4901258275056474e+01 -1.4903261381462784e+01∑3

i=1 λi -1.3666666666666474e+01 -1.3666666666667325e+01e(

∑3i=1 λi) 1.9184653865522705e-13 6.5902838741749292e-13

CPU-Time in [s] 2.2363799999999974e+03 2.9463699999999990e+03ode113λ1 1.2302974285723975e+00 1.2349980460523813e+00λ2 1.0505449129809170e-04 1.4989033494149301e-04λ3 -1.4897069149729836e+01 -1.4901814603055522e+01∑3

i=1 λi -1.3666666666666140e+01 -1.3666666666668199e+01e(

∑3i=1 λi) 5.2580162446247414e-13 1.5329959524024162e-12

CPU-Time in [s] 2.5659100000000017e+03 2.8088600000000006e+03

118


ode15 (NDF) Q explizit Q nicht explizitλ1 1.2312381884772057e+00 1.2302163906859009e+00λ2 3.2296897415472523e-04 1.4568579291761294e-04λ3 -1.4898227824128101e+01 -1.4897028743154245e+01∑3

i=1 λi -1.3666666666676742e+01 -1.3666666666675425e+01e(

∑3i=1 λi) 1.0075495993078221e-11 8.7592155750826350e-12

CPU-Time in [s] 5.5667299999999996e+03 6.0109799999999996e+03ode15s (BDF)λ1 1.2353887650001745e+00 1.2403307626496953e+00λ2 3.1381505693838749e-05 1.0026827365420834e-04λ3 -1.4902086813140357e+01 -1.4907097697563067e+01∑3

i=1 λi -1.3666666666634489e+01 -1.3666666666639717e+01e(

∑3i=1 λi) 3.2176927788896137e-11 2.6949109610541200e-11

CPU-Time in [s] 4.7311699999999983e+03 5.7597100000000000e+03

Für die Parametersätze β = 8/3, σ = 10, ρ = 28 bzw. β = 8/3, σ =10, ρ = 45.92 werden für die Routine ode45 die Versuchsergebnisse in dennächsten sechs Abbildungen graphisch dargestellt. Es sind dies die Phasenplots,der zeitliche Verlauf der Lyapunov-Exponenten und der zeitliche Verlauf derRotationswinkel. Die Aufgabe der Rotationswinkel ist es, im zeitlichen Verlaufder Berechnung die Matrix Q so "auszuregeln", daÿ sie immer orthogonal ist.

−20

−10

0

10

20

−30

−20

−10

0

10

20

300

10

20

30

40

50

y1(t)

Phasenplot der Lorenz−Gleichung

y2(t)

y 3(t)

Abbildung 7.28: Phasenplot der Lorenzgleichung für ρ = 28

119


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.5

1Erster Lyapunov−Exponent

t

λ 1(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−10

−5

0

5Zweiter Lyapunov−Exponent

t

λ 2(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−15

−10

−5Dritter Lyapunov−Exponent

t

λ 3(t)

Abbildung 7.29: Zeitlicher Verlauf der Lyapunov-Exponenten für die Lorenzglei-chung mit ρ = 28

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

2

4

6

8x 10

4 θ1(t)

t

θ 1(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−2

−1

0

1

2

θ2(t)

t

θ 2(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−200

−100

0

100

θ3(t)

t

θ 3(t)

Abbildung 7.30: Zeitlicher Verlauf der Rotationswinkel θ1,2,3 der Lorenzglei-chung für ρ = 28

120


−30−20

−100

1020

30

−40

−20

0

20

400

10

20

30

40

50

60

70

80

y1(t)


y2(t)

y 3(t)

Abbildung 7.31: Phasenplot der Lorenzgleichung für ρ = 45.92

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

1

2

3Erster Lyapunov−Exponent

t

λ 1(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−10

−5

0

5Zweiter Lyapunov−Exponent

t

λ 2(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−15

−10


t

λ 3(t)

Abbildung 7.32: Zeitlicher Verlauf der Lyapunov-Exponenten für die Lorenzglei-chung mit ρ = 45.92

121


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

5

10x 10

4 θ1(t)

t

θ 1(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−2

−1

0

1

2

θ2(t)

t

θ 2(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−600

−400

−200

0

200

θ3(t)

t

θ 3(t)

Abbildung 7.33: Zeitlicher Verlauf der Rotationswinkel θ1,2,3 der Lorenzglei-chung für ρ = 45.92

7.5 Die Rössler-GleichungZuerst wird für die ODE-Routine ode45 für die Parameter a = 0.2, b =0.2, tint = 5000 und die variablen Parameter-Bereiche

(a) c ∈ [0, 10]

(b) c ∈ [10, 15]

die Rössler-Gleichung untersucht. Die Ergebnisse werden graphisch angegeben.Danach werden die vier ODE-Routinen ode45, ode113, ode15s (NDF), ode15s(BDF) zur Untersuchung der Parametersätze

(a) a = 0.2, b = 0.2, c = 5.7

(b) a = 0.2, b = 0.2, c = 8

mit tint = 10000 für die Rössler-Gleichung eingesetzt.

Es wird dabei unterschieden, ob in den Di�erentialgleichungen für das QR-Verfahren mit Givens-Rotationsmatrizen die Matrix Q explizit ausgerechnetoder als Produkt der Rotationsmatrizen dargestellt ist.

122


(a) a = 0.2, b = 0.2, c ∈ [0..10], tint = 5000


statistische GröÿenMinimalwert -4.932524957653372e-04 -0.44490042736559Maximalwert 0.11118707191262 7.003687674373204e-04Mittelwert 0.04628683857402 -0.02322535132458Median 0.06061122090298 4.756995270190190e-05Standardabweichung 0.04054975369615 0.05173783130328Wertebereich 0.11168032440838 0.44560079613303

λ3

∑3i=1 λi

Minimalwert -9.72888056502525 -9.61852464080658Maximalwert -1.50856378028915 -1.67566749214533Mittelwert -5.66004130777962 -5.63697982053017Median -5.65685052248616 -5.62738257091756Standardabweichung 2.37621011472050 2.31925578727668Wertebereich 8.22031678473610 7.94285714866125

CPU-Time in [s]Minimalwert 1.211400000000000e+02 -Maximalwert 2.507200000000012e+02 -Mittelwert 2.109381592039801e+02 -Median 2.188199999999997e+02 -Standardabweichung 23.59538872522607 -Wertebereich 1.295800000000012e+02 -

2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.05

0

0.05

0.1

0.15

λ1(t) als Funktion von c

c

λ 1(t)

2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2


c

λ 2(t)

2 3 4 5 6 7 8 9 10−10

−5

0


c

λ 3(t)

Abbildung 7.34: Lyapunov-Exponenten für die Rössler-Gleichung mit c ∈ [0, 10]

123


2 3 4 5 6 7 8 9 10−10

−8

−6

−4

−2

0Summe der LCE als Funktion von c

c

λ 1(t)+

λ 2(t)+

λ 3(t)

2 3 4 5 6 7 8 9 10120

140

160

180

200

220

240


c

cput

ime

Abbildung 7.35: Summe der Lyapunov-Exponenten und die CPU-Time für dieRössler-Gleichung mit c ∈ [0, 10]

(b) a = 0.2, b = 0.2, c ∈ [10..15], tint = 5000


statistische GröÿenMinimalwert 0.00107793834903 -0.10092764536341Maximalwert 0.11686403936779 0.00119845670152Mittelwert 0.10094766990464 -8.152118194454998e-04Median 0.10649235954754 3.723077227194307e-04Standardabweichung 0.02200658779066 0.00771079410247Wertebereich 0.11578610101876 0.10212610206492

λ3

∑3i=1 λi

Minimalwert -14.59447783211321 -14.49293405819931Maximalwert -9.73555463302030 -9.62729541224794Mittelwert -12.15875359135988 -12.05862113327469Median -12.16631438795449 -12.05171393578939Standardabweichung 1.41311707686618 1.41358399412592Wertebereich 4.85892319909291 4.86563864595137

CPU-Time in [s]Minimalwert 1.375400000000000e+02 -Maximalwert 2.365199999999968e+02 -Mittelwert 1.931183665338646e+02 -Median 2.075799999999981e+02 -Standardabweichung 33.19955998686006 -Wertebereich 98.97999999999683 -

124


10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 150

0.05

0.1

0.15

0.2


c

λ 1(t)

10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05


c

λ 2(t)

10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15−16

−14

−12

−10

−8


c

λ 3(t)

Abbildung 7.36: Lyapunov-Exponenten für die Rössler-Gleichung mit c ∈[10, 15]

10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15−15

−14

−13

−12

−11

−10

−9Summe der LCE als Funktion von c

c

λ 1(t)+

λ 2(t)+

λ 3(t)

10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15120

140

160

180

200

220


c

cput

ime

Abbildung 7.37: Summe der Lyapunov-Exponenten und die CPU-Time für dieRössler-Gleichung mit c ∈ [10, 15]

125


(c) a = 0.2, b = 0.2, c = 5.7, tint = 10000

ode45 Q explizit Q nicht explizitλ1 7.0772746127806582e-02 7.2108621308937179e-02λ2 1.8339568412222213e-04 1.7208138149648637e-04λ3 -5.3951257826994024e+00 -5.3957365118234737e+00∑3

i=1 λi -5.3241696408874732e+00 -5.3234558091330397e+00CPU-Time in [s] 3.6855000000000018e+02 4.3271999999999997e+02ode113λ1 7.0347909253140786e-02 7.0913465406299531e-02λ2 1.3513877521603677e-04 4.2751681553265300e-05λ3 -5.3930501008059135e+00 -5.3944183465554758e+00∑3

i=1 λi -5.3225670527775568e+00 -5.3234621294676234e+00CPU-Time in [s] 3.1499000000000024e+02 3.1875000000000000e+02ode15s (NDF)λ1 7.0772746127806582e-02 7.1734288184155531e-02λ2 1.8339568412222213e-04 1.9126464717046264e-04λ3 -5.3951257826994024e+00 -5.3963379187888405e+00∑3

i=1 λi -5.3241696408874732e+00 -5.3244123659575147e+00CPU-Time in [s] 3.8001999999999975e+02 6.2282000000000016e+02ode15s (BDF)λ1 7.0772746127806582e-02 7.1331271659409431e-02λ2 1.8339568412222213e-04 1.2553342064262017e-04λ3 -5.3951257826994024e+00 -5.3934995688209213e+00∑3

i=1 λi -5.3241696408874732e+00 -5.3220427637408694e+00CPU-Time in [s] 3.8500000000000000e+02 6.0743000000000029e+02

(d) a = 0.2, b = 0.2, c = 8, tint = 10000

ode45 Q explizit Q nicht explizitλ1 1.8333936600519784e-03 2.1485117151067330e-03λ2 -2.8471074092097223e-03 -2.6383351213762774e-03λ3 -7.6491142117402484e+00 -7.6508815295843871e+00∑3

i=1 λi -7.6501279254894063e+00 -7.6513713529906564e+00CPU-Time in [s] 3.9937000000000035e+02 5.0786999999999898e+02ode113λ1 3.8028738825482554e-03 2.1421716957955484e-03λ2 -2.8044227711867794e-03 -3.0573155142393127e-03λ3 -7.6507304008600547e+00 -7.6492486968098117e+00∑3

i=1 λi -7.6497319497486931e+00 -7.6501638406282551e+00CPU-Time in [s] 2.8071000000000004e+02 2.6830999999999995e+02ode15s (NDF)λ1 1.8333936526949814e-03 2.0360687140699016e-03λ2 -2.8471074237717145e-03 -2.7001767872343822e-03λ3 -7.6491142117166468e+00 -7.6498750458004201e+00∑3


126


ode15s (BDF)λ1 1.8333936526949814e-03 2.1485117151067330e-03λ2 -2.8471074237717145e-03 -2.6383351213762774e-03λ3 -7.6491142117166468e+00 -7.6508815295843871e+00∑3


Für die Parametersätze a = 0.2, b = 0.2, c = 5.7 bzw. a = 0.2, b = 0.2, c = 8werden für die Routine ode45 einige Versuchsergebnisse in den nächsten sechsAbbildungen graphisch dargestellt. Es sind dies

(a) die Phasenplots

(b) der zeitliche Verlauf der Lyapunov-Exponenten

(c) der zeitliche Verlauf der Rotationswinkel.

−10−5

05

1015

−15

−10

−5

0

5

100

5

10

15

20

25

y1(t)


y2(t)

y 3(t)

Abbildung 7.38: Phasenplot der Rössler-Gleichung für c = 5.7

127


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000.05

0.1

0.15

0.2Erster Lyapunov−Exponent

t

λ 1(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−0.05

0

0.05

0.1

0.15Zweiter Lyapunov−Exponent

t

λ 2(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−6.5

−6

−5.5

−5

−4.5Dritter Lyapunov−Exponent

t

λ 3(t)

Abbildung 7.39: Zeitlicher Verlauf der Lyapunov-Exponenten für die Rössler-Gleichung mit c = 5.7

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−8000

−6000

−4000

−2000

0

θ1(t)

t

θ 1(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−2

−1

0

1

2

θ2(t)

t

θ 2(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−60

−40

−20

0

20

θ3(t)

t

θ 3(t)

Abbildung 7.40: Zeitlicher Verlauf der Rotationswinkel θ1,2,3 der Rössler-Gleichung für c = 5.7

128


−15−10

−50

510

1520

−20

−10

0

10

200

5

10

15

20

25

30

35

40

45

y1(t)


y2(t)

y 3(t)

Abbildung 7.41: Phasenplot der Rössler-Gleichung für c = 8

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

0.05

0.1

0.15

0.2Erster Lyapunov−Exponent

t

λ 1(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−0.05

0

0.05

0.1

0.15Zweiter Lyapunov−Exponent

t

λ 2(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−8.5

−8

−7.5


t

λ 3(t)

Abbildung 7.42: Zeitlicher Verlauf der Lyapunov-Exponenten für die Rössler-Gleichung mit c = 8

129


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−15000

−10000

−5000

0

θ1(t)

t

θ 1(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−2

−1

0

1

2

θ2(t)

t

θ 2(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−500

0

500

1000

1500

θ3(t)

t

θ 3(t)

Abbildung 7.43: Zeitlicher Verlauf der Rotationswinkel θ1,2,3 der Rössler-Gleichung für c = 8

130

8 Vergleich und Folgerungen

8 Vergleich und FolgerungenZum Abschluÿ dieser Arbeit sollen die beiden untersuchten Verfahren (QR-Verfahren mit Givens-Rotationsmatrizen (QRG) und di�erentielles Gram-Schmidt-Verfahren (GSV)) verglichen werden.Dies soll anhand der Du�ng-Gleichung für zweidimensionale Systeme und derLorenz-Gleichung für dreidimensionale Systeme geschehen. Dabei sollen die Un-terschiede in Bezug auf den Fehler in der Summe der Lyapunov-Exponentenund in der Rechenzeit (CPU-Time) herausgearbeitet werden.

8.1 Vergleich der VerfahrenDie Du�ng-Gleichung

Für die Du�ng-Gleichung (5.24) werden für δ = 1, ω = 1, tint = 10000A = {0.6, 0.65, 0.7, 0.75, 0.8, 0.85, 0.9} und die ODE-Routinen ode45,ode113, ode15s (NDF), ode15s (BDF) die beiden Verfahren verglichen.

(a) ode45:

A = 0.6 GSV QRGλ1 -4.9941416689770801e-01 -4.9940299145002820e-01λ2 -5.0058590635218880e-01 -5.0059700854997835e-01∑2

i=1 λi -1.0000000732498968e+00 -1.0000000000000067e+00e(

∑2i=1 λi) 7.3249896814786553e-08 6.6613381477509392e-15

CPU-Time: 3.8276000000000022e+02 8.3980000000000018e+01A = 0.65 GSV QRGλ1 -9.1575075654176788e-02 -9.1576029632239209e-02λ2 -9.0842499711742897e-01 -9.0842397036775913e-01∑2

i=1 λi -1.0000000727716059e+00 -9.9999999999999833e-01e(

∑2i=1 λi) 7.2771605852395282e-08 1.6653345369377348e-15


i=1 λi -1.0000001093799020e+00 -1.0000000000000009e+00e(

∑2i=1 λi) 1.0937990202464221e-07 8.8817841970012523e-16


i=1 λi -1.0000000336293036e+00 -9.9999999999999289e-01e(

∑2i=1 λi) 3.3629303564097768e-08 7.1054273576010019e-15

CPU-Time: 3.2598999999999978e+02 8.7159999999999854e+01

131


A = 0.8 GSV QRGλ1 1.1031748354064712e-01 1.0955667964052998e-01λ2 -1.1103174681595278e+00 -1.1095566796405316e+00∑2

i=1 λi -9.9999998461888073e-01 -1.0000000000000016e+00e(

∑2i=1 λi) 1.5381119267132703e-08 1.5543122344752192e-15


i=1 λi -1.0000000433041669e+00 -9.9999999999999512e-01e(

∑2i=1 λi) 4.3304166919000409e-08 4.8849813083506888e-15


i=1 λi -1.0000000229069261e+00 -9.9999999999999312e-01e(

∑2i=1 λi) 2.2906926133714478e-08 6.8833827526759706e-15

CPU-Time: 3.7036000000000001e+02 9.0379999999999995e+01

(b) ode113:

A = 0.6 GSV QRGλ1 -4.9941438219127465e-01 -4.9939538032788489e-01λ2 -5.0058567317509373e-01 -5.0060461967208336e-01∑2

i=1 λi -1.0000000553663684e+00 -9.9999999999996825e-01e(

∑2i=1 λi) 5.5366368378884090e-08 3.1752378504279477e-14


i=1 λi -1.0000000220229541e+00 -9.9999999999987554e-01e(

∑2i=1 λi) 2.2022954127010053e-08 1.2445600106048005e-13


i=1 λi -1.0000000331853982e+00 -9.9999999999998468e-01e(

∑2i=1 λi) 3.3185398207180583e-08 1.5321077739827160e-14


i=1 λi -1.0000000662378212e+00 -1.0000000000000842e+00e(

∑2i=1 λi) 6.6237821227943527e-08 8.4154905266586866e-14

CPU-Time: 2.7526000000000022e+02 1.0031999999999971e+02

132


A = 0.8 GSV QRGλ1 1.0777013974581348e-01 1.0419883063350169e-01λ2 -1.1077701817940409e+00 -1.1041988306334298e+00∑2

i=1 λi -1.0000000420482273e+00 -9.9999999999992817e-01e(

∑2i=1 λi) 4.2048227344437805e-08 7.1831429693247628e-14


i=1 λi -1.0000000307728145e+00 -9.9999999999997202e-01e(

∑2i=1 λi) 3.0772814518797986e-08 2.7977620220553945e-14


i=1 λi -1.0000000301991874e+00 -9.9999999999969524e-01e(

∑2i=1 λi) 3.0199187373014524e-08 3.0475622025960547e-13

CPU-Time: 2.9781000000000006e+02 9.4699999999999989e+01

(c) ode15s (NDF):

A = 0.6 GSV QRGλ1 -4.9941450202406612e-01 -4.9939534988925299e-01λ2 -5.0058473072843357e-01 -5.0060465011005606e-01∑2

i=1 λi -9.9999923275249969e-01 -9.9999999999930900e-01e(

∑2i=1 λi) 7.6724750031065270e-07 6.9100281052669743e-13


i=1 λi -9.9999954292338622e-01 -9.9999999999930733e-01e(

∑2i=1 λi) 4.5707661378013853e-07 6.9266814506363517e-13


i=1 λi -9.9999981754359157e-01 -9.9999999999928668e-01e(

∑2i=1 λi) 1.8245640842629030e-07 7.1331829332166308e-13


i=1 λi -9.9999898939325571e-01 -9.6892896046901700e-01e(

∑2i=1 λi) 1.0106067442894329e-06 7.0543570984682447e-13

CPU-Time: 6.8412999999999920e+02 2.3060000000000036e+02

133


A = 0.8 GSV QRGλ1 1.0555165105121093e-01 1.1166085604085442e-01λ2 -1.1055510973135181e+00 -1.1116608560401136e+00∑2

i=1 λi -9.9999944626230719e-01 -9.9999999999925915e-01e(

∑2i=1 λi) 5.5373769280997465e-07 7.4085182433236696e-13


i=1 λi -9.9999912907712496e-01 -9.9999999999925349e-01e(

∑2i=1 λi) 8.7092287504031418e-07 7.4651396175795526e-13


i=1 λi -1.0000000154076676e+00 -9.9999999999928568e-01e(

∑2i=1 λi) 1.5407667586231355e-08 7.1431749404382572e-13

CPU-Time: 6.1940999999999985e+02 2.5178000000000000e+02

(d) ode15s (BDF):

A = 0.6 GSV QRGλ1 -4.9941454460054890e-01 -4.9956955844674206e-01λ2 -5.0058477383878675e-01 -5.0043044155268457e-01∑2

i=1 λi -9.9999931843933565e-01 -9.9999999999942668e-01e(

∑2i=1 λi) 6.8156066435065554e-07 5.7331916991643084e-13


i=1 λi -9.9999906143595785e-01 -9.9999999999934586e-01e(

∑2i=1 λi) 9.3856404215220124e-07 6.5414340610914223e-13


i=1 λi -9.9999946223441172e-01 -9.9999999999930089e-01e(

∑2i=1 λi) 5.3776558828211307e-07 6.9910743860646107e-13


i=1 λi -9.9999906437850195e-01 -9.9999999999934697e-01e(

∑2i=1 λi) 9.3562149805492822e-07 6.5303318308451708e-13

CPU-Time: 6.1270000000000073e+02 2.0605999999999949e+02

134


A = 0.8 GSV QRGλ1 1.0796106484350751e-01 1.0547589071042578e-01λ2 -1.1079605926700642e+00 -1.1054758907097422e+00∑2

i=1 λi -9.9999952782655666e-01 -9.9999999999931644e-01e(

∑2i=1 λi) 4.7217344334438138e-07 6.8356431626170888e-13


i=1 λi -9.9999894615345830e-01 -9.9999999999929956e-01e(

∑2i=1 λi) 1.0538465416987108e-06 7.0043970623601126e-13


i=1 λi -9.9999992743637101e-01 -9.9999999999936262e-01e(

∑2i=1 λi) 7.2563628994437579e-08 6.3737903843730237e-13

CPU-Time: 6.0688000000000000e+02 2.1693000000000001e+02

Ergebnis: Für die verschiedenen ODE-Routinen ersieht man aus den obigen Ta-bellen, daÿ für die beiden Verfahren die Lyapunov-Exponenten im wesentlichenauf drei bis vier Stellen hinter dem Komma übereinstimmen. Eine Ausnahmebildet der Parameterwert A = 0.8 wo chaotisches Verhalten auftritt.Beachtenswert ist auch der Unterschied in der CPU-Time für die beiden Ver-fahren. Das QR-Verfahren mit Givens-Rotationsmatrix ist deutlich schneller(80s−100s) als die di�erentielle Form des Gram-Schmidt'schen Orthogonalisie-rungsverfahren (270s− 630s).Für den Fehler in der Summe der Lyapunov-Exponenten gilt für das QR-Verfahrenmit Rotationsmatrix ein Fehlerbereich von 10−13−10−16. Für das Gram-SchmidtVerfahren liegt der Fehlerbereich in 10−6 − 10−8.

Die nachfolgenden zwei Abbildungen verdeutlichen den Sachverhalt der obigenTabellen für die verschiedenen ODE-Routinen am Beispiel der Routine ode45.

In der Abbildung 8.1 werden die folgenden Gröÿen in Abhängigkeit von A auf-getragen:(a) 1.Bild links oben: |CPU − Time(GSV )− CPU − Time(GIV )|

(b) 2.Bild rechts oben:∣∣∣CPU−T ime(GSV )

CPU−T ime(GIV )

∣∣∣

(c) 3.Bild links mitte: |λ1(GSV )− λ1(GIV )|(d) 4.Bild rechts mitte: |λ2(GSV )− λ2(GIV )|(e) 5.Bild links unten: |∑2

i=1 λi(GSV )−∑2i=1 λi(GIV )|

(f) 6.Bild rechts unten: |e(∑2i=1 λi(GSV ))− e(

∑2i=1 λi(GIV ))|

135


0.6 0.7 0.8 0.9200

250

300

A

CP

U−

Tim

e

Unterschied CPU−Time

0.6 0.7 0.8 0.93.5

4

4.5

A

CP

U−

Tim

e

Faktor CPU−Time

0.6 0.7 0.8 0.90

0.5

1

x 10−5

A

zu

λ 1

0.6 0.7 0.8 0.90

0.5

1

x 10−5

A

zu λ

2

0.6 0.7 0.8 0.90

0.5

1

x 10−7

A

zu λ

1+λ 2

0.6 0.7 0.8 0.90

0.5

1

x 10−7

A

zu e

(λ1+

λ 2)

Abbildung 8.1: Unterschiede in den Versuchsergebnissen für beide Verfahren alsFunktion von A

0.6 0.7 0.8 0.9

−1

−0.5

0

A

λ 1,2

GSV−Verfahren

0.6 0.7 0.8 0.9

−1

−0.5

0

A

λ 1,2

GIV−Verfahren

0.6 0.7 0.8 0.9300

350

400

A

CP

U−

Tim

e

0.6 0.7 0.8 0.980

85

90

95

A

CP

U−

Tim

e

0.6 0.7 0.8 0.9−1

−1

−1

A

λ 1+λ 2

0.6 0.7 0.8 0.90

0.5

1x 10

−7

A

e(λ 1+

λ 2)

Abbildung 8.2: Versuchsergebnisse für beide Verfahren als Funktion von A

136


In der Abbildung 8.2 sind die folgenden Ergebnisse zu sehen:

(a) 1./2.Bild: λ1 rot, λ2 blau

(b) 3./4.Bild: CPU-Time

(c) 5.Bild links unten:∑2

i=1 λi rot: GSV, blau: GIV

(d) 6.Bild rechts unten: |e(∑2i=1 λi)| rot: GSV, blau: GIV

Lorenz-Gleichung

Für die Lorenz-Gleichung (5.42) werden für β = 8/3, σ = 10, tint = 10000und die Parameterwerte ρ = 28, ρ = 45.92 und die ODE-Routinen ode45,ode15s (NDF) die beiden Verfahren verglichen:

(a) ode45

ρ = 28 GSV QRGλ1 9.0449866092531606e-01 9.0516039814666815e-01λ2 9.4278876184073829e-05 9.0061643275034752e-05λ3 -1.4571259645344744e+01 -1.4571917126455851e+01∑3

i=1 λi -1.3666666705543244e+01 -1.3666666666665908e+01e(

∑3i=1 λi) 3.8876578400959261e-08 7.5850437042390695e-13

CPU-Time: 5.0790199999999995e+03 1.6958000000000002e+03ρ = 45.92 GSV QRGλ1 1.2317947881462146e+00 1.2345730911079613e+00λ2 1.6734216082271873e-05 1.8517282038146434e-05λ3 -1.4898478130836528e+01 -1.4901258275056474e+01∑3

i=1 λi -1.3666666608474232e+01 -1.3666666666666474e+01e(

∑3i=1 λi) 5.8192433982640068e-08 1.9184653865522705e-13

CPU-Time: 6.8995299999999988e+03 2.2363799999999974e+03

(b) ode15s (NDF)

ρ = 28 GSV QRGλ1 9.0419967191744544e-01 9.0482661698589961e-01λ2 5.6776603214707744e-05 -1.2661799130656862e-05λ3 -1.4570924814324634e+01 -1.4571480621857697e+01∑3

i=1 λi -1.3666668365803973e+01 -1.3666666666670928e+01e(

∑3i=1 λi) 1.6991373072983151e-06 4.2614800577212009e-12

CPU-Time: 6.3282200000000012e+03 4.0164399999999987e+03ρ = 45.92 GSV QRGλ1 1.2323704743174189e+00 1.2312381884772057e+00λ2 9.8204305529583496e-05 3.2296897415472523e-04λ3 -1.4899136669041795e+01 -1.4898227824128101e+01∑3

i=1 λi -1.3666667990418846e+01 -1.3666666666676742e+01e(

∑3i=1 λi) 1.3237521798714624e-06 1.0075495993078221e-11

CPU-Time: 7.8846600000000035e+03 5.5667299999999996e+03

137


Ergebnis: Aus den beiden Tabellen sieht man daÿ das QR-Verfahren mit Givens-Rotationsmatrix wieder deutlich schneller ist, als die di�erentielle Form desGram-Schmidt-Verfahren.Die gleiche Aussage läÿt sich für den Fehler in derSumme der Lyapunov-Exponneten machen. Weiter erkennt man, daÿ die Lyapunov-Exponenten hier nur auf zwei bzw. drei Stellen hinter dem Komma übereinstim-men, aber es liegen auch chaotische Fälle vor.

8.2 SchluÿfolgerungenAus den obigen numerischen Versuchen läÿt sich die Frage aufwerfen, welchesder beiden Verfahren zu bevorzugen ist?In diesem Abschnitt sollen jetzt noch einmal die Vor- und Nachteile der beidenVerfahren kurz zusammengefaÿt und eine Folgerungen gezogen werden, wannman welches der beiden Verfahren einsetzen kann:

Eigenschaft QRG GSVLyapunov-Spektrum vollständige und partielle vollständige und partielle

Berechnung möglich partielle Berechnung möglichFehler in der Summe sehr klein kleinder Lyapunov-Exponenten < 10−10 < 10−5

CPU-Time schnell langsamKomplexität des erweiterten n(n+3)

2 Gleichungen n2 + 2n GleichungenDi�erentialgleichungssystem maximal maximalStruktur des erweiterten kompliziert für einfach für alleDi�erentialgleichungssystem n ≥ 3 Raumdimensionen RaumdimensionenErweiterbarkeit auf aufwendig einfachhöhere RaumdimensionenOrthogonalität wird automatisch wird nicht automatisch erhalten

erhalten benötigt Regularisierung mitStabilitätsparameter

Programmierbarkeit gut guta priori-Kenntnisse keine Stabilätsparameter gröÿer

als −λk, k ≤ n wählenSteifheit des erweiterten i.a. keine,wenn die steigt mit zunehmendenDi�erentialgleichungssystem ursprüngliche Di�erentialgleichung Stabilitätsparameter

nicht steif ist

Aus der letzten Tabelle und den Versuchsergebnissen ist das QR-Verfahrenmit Givens-Rotationsmatrizen für die Raumdimensionen n = 2 und n = 3der di�erentiellen Form des Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahrenvorzuziehen. Die Hauptgründe hierfür sind die schnellere CPU-Time, die grö-ÿere Genauigkeit in der Summe der Lyapunov-Exponenten und man benötigtkeine a-priori-Kenntnis über das Lyapunov-Spektrum, wie das Gram-Schmidt-Verfahren.Für die Raumdimensionen n ≥ 4 liegen für das QR-Verfahren mit Givensrota-tionsmatrizen zur Zeit noch keine Ergebnisse vor. Dies liegt vorallem darin be-gründet, daÿ die Bestimmung des erweiterten Di�erentialgleichungssystem fürdieses Verfahren wegen der Givens-Rotationsmatrizen sehr aufwendig wird, wäh-

138


rend bei der di�erentiellen Form des Gram-Schmidt-Verfahren die Erhöhung derRaumdimension lediglich zur formalen Hinzufügung einiger zusätzlicher Glei-chungen im erweiterten Di�erentialgleichungssystem führt. Der entscheidendeNachteil des Gram-Schmidt-Verfahren ist die Bestimmung des Stabilitätspara-meters, da hierfür keine Strategie zur Bestimmung existiert. In den numerischenVersuchen bei der Lorenz-Gleichung hat sich die Faustregel Stabilitätsparameterb ≈ 1.5 − 2 ∗ Tr(J(t)) als nützlich erwiesen (man beachte, daÿ bei der Lorenz-Gleichung ist Spur der Jacobi-Matrix konstant ist).

139

A Herleitung einiger wichtiger Ergebnisse

A Herleitung einiger wichtiger ErgebnisseA.1 Herleitung der Lyapunov-Exponenten aus der Matrix ΛY

In diesem Abschnitt, soll gezeigt werden, wie sich die Lyapunov-Exponenten ausder Matrix ΛY in (2.31) in Kapitel 2 berechnen lassen. Es gelte

ΛY = limt→∞[Y (t)T Y (t)]

12t . (A.1)

Die Matrixfundamentallösung Y (t) besitze die Singulärwertzerlegung

Y (t) = U(t)Σ(t)V (t)T . (A.2)

Die Matrizen U(t), V (t) sind orthogonal und Σ(t) = diag(σ1(t), . . . , σn(t)) isteine Diagonalmatrix. Einsetzen der Gleichung (A.2) in die Formel (A.1) ergibt

ΛY = limt→∞[(UΣV T )T UΣV T ]

12t

= limt→∞[V ΣT UT U︸︷︷︸

=I

ΣV T ]12t

= limt→∞[V T ΣT Σ︸︷︷︸

Σ2

V T ]12t

= limt→∞[V Σ2V T ]

12t

= limt→∞(V )

12t lim

t→∞(Σ2)12t lim

t→∞(V T )12t

= limt→∞(V )

12t lim

t→∞(V T )12t lim

t→∞(Σ2)12t

= limt→∞(V V T︸︷︷︸

=I

)12t lim

t→∞(Σ2)12t

= limt→∞(Σ)

1t .

Als Ergebnis erhält man:ΛY = lim

t→∞(Σ)1t (A.3)

Bilde jetzt die Matrix Λ = ln(ΛY ). Dann gilt:

Λ = ln(ΛY )= ln( lim

t→∞(Σ)1t )

= diag(

limt→∞

1t

ln(σi)i=1,...,n

)

= diag((λi)i=1,...,n)

Also:λi = lim

t→∞1t

ln(σi), i = 1, . . . , n (A.4)

140


A.2 Di�erentialgleichungen für die SingulärwertzerlegungVorbemerkung: Eine allgemeine Untersuchung von zeitabhängigen Matrixzer-legungen wie die Singulärwertzerlegung oder das QR-Verfahren �ndet man [12].Die Herleitung der Di�erentialgleichungen für die Singulärwertzerlegung �ndetman in den Arbeiten [27, 17].

Gegeben sei eine zeitabhängige Matrixfunktion A(t) ∈ Ck(R,Rm×n).Gesucht sind orthogonale Matrizenfunktionen U(t), V (t) und eine reelle Diago-nalmatrixfunktion Σ(t), so daÿ gilt:

A(t) = U(t)Σ(t)V T (t) (A.5)

Dabei ist U eine m×m-Matrix, V eine n×n-Matrix und Σ =[ S

0

]eine m×n-

Matrix mit S = diag(σ1, . . . , σn) mit σi 6= σj für i 6= j und für alle Zeiten t.Weiter sei zum Zeitpunkt t = 0 eine Anfangszerlegung

A(0) = U(0)Σ(0)V T (0) (A.6)

gegeben.

Ziel ist es Di�erentialgleichungen für die Matrizen U, V, Σ herzuleiten.Dazu wird die Gleichung (A.5) nach der Zeit di�erenziert:

d

dtA(t) =

d

dt

(U(t)Σ(t)V T (t)

)(A.7)

bzw.A = UΣV T + UΣV T + UΣV T (A.8)

Multipliziere (A.8) von links mit UT und von rechts mit V , dann folgt

UT AV = UT UΣ + Σ + ΣV T V. (A.9)

Dabei werden die nachfolgenden Identitäten für orthogonale und quadratischeMatrizen benutzt:

UT U = IV T V = I (A.10)

Ableitung der Gleichungen (A.10) nach der Zeit ergibt

UT U + UT U = 0 (A.11)V T V + V T V = 0 (A.12)

bzw.

UT U = −UT U (A.13)V T V = −V T V . (A.14)

141


Führe die Abkürzungen

H := UT U (A.15)K := V T V (A.16)

ein. Mit (A.10) und (A.13) folgt daÿ H und K schiefsymmetrisch sind,d.h.H = −HT , K = −KT .Au�ösen von (A.9) nach Σ ergibt

Σ = UT AV − UT UΣ− ΣV T V (A.17)

bzw.Σ = UT AV −HΣ + ΣK. (A.18)

Aus den Gleichungen (A.15),(A.16) und (A.18) erhält man ein di�erentialalge-braisches Gleichungssystem (DAE):

Σ = UT AV −HΣ + ΣK (A.19)U = UH (A.20)V = V K (A.21)

Elementweise ergibt (A.19)

σi = (UT AV )ii −Hiiσi + σiKii, i = 1, . . . , n (A.22)0 = (UT AV )ij −Hijσj + σiKij , i 6= j, i, j = 1, . . . , n (A.23)0 = (UT AV )ji −Hjiσi + σjKji, i 6= j, i, j = 1, . . . , n (A.24)

Hij = −Hji =(UT AV )ij

σj, i = n + 1, . . . , m, j = 1, . . . , m. (A.25)

Aus (A.23) und (A.24) erhält man für die Elemente der Matrizen K und H füri 6= j, i, j = 1, . . . , n:

Hij =(UT AV )ijσj + (UT AV )jiσi

σ2j − σ2

i

Kij =(UT AV )jiσj + (UT AV )ijσi

σ2j − σ2

i

(A.26)

Da die Matrizen H und K schiefsymmetrisch sind,gilt Hii = Kii = 0.Mit der Abkürzung F = UT AV folgt für die Elemente der Matrizen K und H

Kii = 0, i = 1, . . . , n (A.27)Hii = 0, i = 1, . . . , n (A.28)

Hij =Fijσj + Fjiσi

σ2j − σ2

i

, i 6= j, i, j = 1, . . . , n (A.29)

Kij =Fjiσj + Fijσi

σ2j − σ2

i

, i 6= j, i, j = 1, . . . , n (A.30)

Hij = −Hji =Fij

σj, i = n + 1, . . . , m, j = 1, . . . . (A.31)

142


Sei jetzt A(t) Lösung der Matrixdi�erentialgleichung

A(t) = B(t)A(t) (A.32)

und A(0) habe vollen Rang, dann ist

σi = (UT AV )ii

= (UT BAV )ii

= (UT BUΣV T V )ii

= (UT BU)iiσi, i = 1, . . . , n

Mit der Abkürzung G = UT BU erhält man

σi = Giiσi, i = 1, . . . , n (A.33)

bzw.S = GS. (A.34)

Analog erhält man für die Elemente von H und K

Hii = 0, i = 1, . . . , n (A.35)

Hij =Gijσ

2j + Gjiσ

2i

σ2j − σ2

i

, i 6= j, i, j = 1, . . . , n (A.36)

Hij = Gij , i = n + 1, . . . , m, j = 1, . . . , n (A.37)Kii = 0, i = 1, . . . , n (A.38)

Kij =(Gij + Gji)σiσj

σ2j − σ2

i

, i, j = 1, . . . , n, i 6= j. (A.39)

Sonderfall: Für n = m erhält man im Di�erentialgleichungsfall das Ergebnis

S = GS (A.40)U = UH (A.41)V = V K (A.42)

bzw. elementweise gilt für i, j = 1, . . . , n:

Gij = (UT BU)ij (A.43)Hii = 0 (A.44)

Hij =Gijσ

2j + Gjiσ

2i

σ2j − σ2

i

(A.45)

Hij = −Hji, i 6= j (A.46)Kii = 0 (A.47)

Kij =(Gij + Gji)σiσj

σ2j − σ2

i

(A.48)

Kji = −Kij , i 6= j. (A.49)

143


Bemerkung: Aus den letzten Gleichungen wird ersichtlich, daÿ man die MatrixV nicht bestimmen muÿ, um Lyapunov-Exponenten mit der Singulärwertzerle-gung zu bestimmen.

A.3 Die Di�erentialgleichungen für die QR-ZerlegungEs sei A ∈ Ck(R,Rm×n), m ≥ n eine zeitabhängige Matrix mit vollen Rang.Weiter sei für t = 0 eine Anfangszerlegung

A(0) = Q(0)R(0) (A.50)

gegeben mit Q(0) ∈ Rm×n orthogonal und R(0) ∈ Rn×n eine obere Dreiecksma-trix.

Gesucht ist eine orthogonale Matrix Q und eine obere Dreicksmatrix R, beideMatrizen in Ck, k ≥ 0 damit für alle Zeiten t ≥ 0

A(t) = Q(t)R(t) (A.51)

gilt. Analog zu A.2 werden Di�erentialgleichungen für die Matrizen Q und Rhergeleitet werden. Dabei ist folgende Beziehung orthogonaler Matrizen nützlich:

QT Q = I (A.52)

Zeitliche Ableitung der letzten beiden Gleichungen (A.51), (A.52) ergibt

A = QR + QR (A.53)0 = QT Q + QT Q. (A.54)

Damit folgt,daÿ H = QT Q schiefsymmetrisch ist. Au�ösen von (A.53) nach Rbzw. Q liefert

R = QT A−HR (A.55)Q = AR−1 −QRR−1. (A.56)

(A.55) in (A.56) eingesetzt ergibt

Q = (I −QQT )AR−1 + QH. (A.57)

Bemerkung: Im Fall n = m reduziert sich (A.57) zu

Q = QH. (A.58)

Da R eine obere Dreicksmatrix ist, gilt in (A.55)

(QT A)i,1 = Hi,1R11, i ≥ 2(QT A)i,2 = Hi,1R12 + Hi,2R22, i ≥ 2

...(QT A)n,n−1 = Hn,1R1,n−1 + . . . + Hn,n−1Rn−1,n−1.

144


Wenn die Rii, i = 1, . . . , n−1 ungleich Null sind, ist das obige Gleichungssytemlösbar für Hij , i > j. Da H schiefsymmetrisch ist, sind alle Elemente von Hober- und unterhalb der Hauptdiagonalen de�niert. Die Diagonalelemente Hwerden so gewählt, daÿ die Diagonalelemente von QT A −HR reell sind. Mankann die Gleichung (A.57) wie folgt schreiben

Q = [(I −QQT )AR−1QT + QHQT ]Q := S(Q)S. (A.59)

Ist nun A(t) Lösung der Di�erentialgleichung

A(t) = B(t)A(t), A(0) = A0 (A.60)

so folgt aus (A.55) und (A.56)

R = (QT BQ−H)R (A.61)Q = (I −QQT )BQ + QH. (A.62)

Im Sonderfall n = m gilt

R = (QT BQ−H)R (A.63)Q = QH. (A.64)

145

B Das QR-Verfahren mit Givens-Rotationen

B Das QR-Verfahren mit Givens-RotationenIn diesem Abschnitt sollen die Di�erentialgleichungen (4.25) für die Gröÿenλi, i = 1, . . . , n und dieMatrix Q beschreibende Winkel θj , j = 1, . . . , n(n−1)/2soweit als möglich explizit angegeben werden für n = 2, 3, 4.

B.1 Die Di�erentialgleichungen für n=2Die Matrizen Q und R seien wie in Kapitel 4.1 de�niert mit Q = Q(12)

R =(

exp(λ1) r12

0 exp(λ2)

),

Q =(

cos(θ1) sin(θ1)− sin(θ1) cos(θ1)

). (B.1)

Für die Ableitungen der beiden Matrizen gilt

R =(

λ1 exp(λ1) r′12

0 λ2 exp(λ2)

),

Q =( − sin(θ1)θ1 cos(θ1)θ1

− cos(θ1)θ1 − sin(θ1)θ1

)(B.2)

und weiter

QT Q =(

0 1− 1 0

)θ1,

RR−1 =(

λ1 r12

0 λ2

). (B.3)

Mit J =(

j11 j12

j21 j22

)folgt

QT JQ =(

j11 cos2(θ1) + j22 sin2(θ1)− 12 (j12 + j21) sin(2θ1) 1

2 (j11 − j22) sin(2θ1)− j12 sin2(θ1) + j21 cos2(θ1)12 (j11 − j22) sin(2θ1)− j12 sin2(θ1) + j21 cos2(θ1) j11 sin2(θ1) + j22 cos2(θ1)− 1

2 (j12 + j21) sin(2θ1)

).

(B.4)Einsetzen in die Gleichung QT Q + RR−1 = QT JQ und anschlieÿender Koe�zi-entenvergleich liefert das Di�erentialgleichungssystem

λ1 = j11 cos2(θ1) + j22 sin2(θ1)− 12(j12 + j21) sin(2θ1) (B.5)

λ2 = j11 sin2(θ1) + j22 cos2(θ1) +12(j12 + j21) sin(2θ1) (B.6)

θ1 = −12(j11 − j22)sin(2θ1) + j12 sin2(θ1)− j21 cos2(θ1). (B.7)

146


B.2 Die Di�erentialgleichungen für n=3Für n = 3 gilt

R =

exp(λ1) r12 r13

0 exp(λ2) r23

0 0 exp(λ3)

. (B.8)

Für Q = Q(12)Q(13)Q(23) mit

Q(12) =

cos(θ1) sin(θ1) 0− sin(θ1) cos(θ1) 0

0 0 1

,

Q(13) =

cos(θ2) 0 sin(θ2)0 1 0

− sin(θ2) 0 cos(θ2)

,

Q(23) =

1 0 00 cos(θ3) sin(θ3)0 − sin(θ3) cos(θ3)

(B.9)

folgt

Q =

cos(θ1) cos(θ2) sin(θ1) cos(θ3)− cos(θ1) sin(θ2) sin(θ3) sin(θ1) sin(θ3) + cos(θ1) sin(θ2) cos(θ3)− sin(θ1) cos(θ2) cos(θ1) cos(θ3) + sin(θ1) sin(θ2) sin(θ3) cos(θ1) sin(θ3)− sin(θ1) sin(θ2) cos(θ3)

− sin(θ2) − cos(θ2) sin(θ3) cos(θ2) cos(θ3)

.

(B.10)Für die Ableitungen der Matrizen R und Q gilt weiter

R =

λ1 exp(λ1) r′12 r′13

0 λ2 exp(λ2) r′23

0 0 λ3 exp(λ3)

(B.11)

und

q11 = − sin(θ1) cos(θ2)θ1 − cos(θ1) sin(θ2)θ2

q12 = (cos(θ1) cos(θ3) + sin(θ1) sin(θ2) sin(θ3))θ1

− cos(θ1) cos(θ2) sin(θ3)θ2

−(sin(θ1) sin(θ3) + cos(θ1) sin(θ2) cos(θ3))θ3

q13 = cos(θ1) sin(θ3)− sin(θ1) sin(θ2) cos(θ3))θ1

+cos(θ1) cos(θ2) cos(θ3)θ2

+(sin(θ1) cos(θ3)− cos(θ1) sin(θ2) cos(θ3))θ3

q21 = − cos(θ1) cos(θ2)θ1 + sin(θ1) sin(θ2)θ2

q22 = (− sin(θ1) cos(θ3) + cos(θ1) sin(θ2) sin(θ3))θ1

+sin(θ1) cos(θ2) sin(θ3)θ2

−(cos(θ1) sin(θ3)− sin(θ1) sin(θ2) cos(θ3))θ3

q23 = (− sin(θ1) sin(θ3)− cos(θ1) sin(θ2) cos(θ3))θ1

− sin(θ1) cos(θ2) cos(θ3)θ2

147


+(cos(θ1) cos(θ3) + sin(θ1) sin(θ2) sin(θ3))θ3

q31 = − cos(θ2)θ2

q32 = sin(θ2) sin(θ3)θ2 − cos(θ2) cos(θ3)θ3

q33 = − sin(θ2) cos(θ3)θ2 − cos(θ2) sin(θ3)θ3. (B.12)

Für die Matrix QT Q und RR−1 erhält man

QT Q =

0 cos(θ2) cos(θ3)θ1 − sin(θ3)θ2 cos(θ2)sin(θ3)θ1 + cos(θ3)θ2

− cos(θ2) cos(θ3)θ1 + sin(θ3)θ2 0 −sin(θ2)θ1 + θ3

− cos(θ2) sin(θ3)θ1 − cos(θ3)θ2 sin(θ2)θ1 − θ3 0

(B.13)

sowie

RR−1 =

λ1 r12 r13

r21 λ2 r23

r31 r32 λ3

. (B.14)

Mit J =

j11 j12 j13

j21 j22 j23

j31 j32 j33

ergibt sich durch Einsetzen in die Gleichung

QT Q + RR−1 = QT JQ und Koe�zientenvergleich das Di�erentialgleichungs-system

λ1 = (QT JQ)11 (B.15)λ2 = (QT JQ)22 (B.16)λ3 = (QT JQ)33, (B.17)

bzw. ausmultipliziert

λ1 = (j11cos2(θ1)− 1

2(j12 + j21) sin(2θ1) + j22 sin2(θ1))cos2(θ2)

+12((j23 + j32) sin(θ1)− (j13 + j31) cos(θ1)) sin(2θ2)

+ j33 sin2(θ2) (B.18)

λ2 = (j11 sin2(θ1) +12(j12 + j21) sin(2θ1) + j22 cos2(θ1)) cos2(θ3)

+ (j11 cos2(θ1)− 12(j12 + j21) sin(2θ1) + j22 cos2(θ1)) sin2(θ2) sin2(θ3)

+ j33 cos2(θ2) sin2(θ3)

− 12((j11 − j22) sin(2θ1) + (j12 + j21) cos(2θ1)) sin(θ2) sin(2θ3)

− 12((j13 + j31) sin(θ1) + (j23 + j32) cos(θ1)) cos(θ2) sin(2θ3)

− 12((j13 + j31) cos(θ1)− (j23 + j32) sin(θ1)) sin(2θ2) sin2(θ3) (B.19)

λ3 = (j11 sin2(θ1) +12(j12 + j21) sin(2θ1) + j22 cos2(θ1))sin2(θ3)

+ (j11 cos2(θ1)− 12(j12 + j21) sin(2θ1) + j22 sin2(θ1)) sin2(θ2) cos2(θ3)

148


+ j33 cos2(θ2) cos2(θ3)

+12((j11 − j22) sin(2θ1) + (j12 + j21)cos(2θ1)) sin(θ2) sin(2θ3)

+12((j13 + j31) sin(θ1) + (j23 + j32) cos(θ1)) cos(θ2) sin(2θ3)

+12((j13 + j31) cos(θ1)− (j23 + j32) sin(θ1)) sin(2θ2) cos2(θ3). (B.20)

Durch Koe�zientenvergleich erhält man dann das Gleichungssystem für dieWinkel θi, i = 1, 2, 3 aus den unteren Nebendiagonalelementen der Matrix QT Q

(QT Q)21 = (QT JQ)21 (B.21)(QT Q)31 = (QT JQ)31 (B.22)(QT Q)32 = (QT JQ)32. (B.23)

Ausmultiplizieren der linken Seite liefert

B(θ)θ = b(Q, J) (B.24)

bzw.

− cos(θ2) cos(θ3) sin(θ3) 0− cos(θ2) sin(θ3) − cos(θ3) 0

sin(θ2) 0 −1

θ1

θ2

θ3

=

(QT JQ)21

(QT JQ)31

(QT JQ)32

. (B.25)

Bestimmung der Inversen B(θ)−1 liefert die Di�erentialgleichungen für θi, i =1, 2, 3

θ = B−1(θ)b(Q; J) (B.26)mit

B−1(θ) =

− cos(θ3)cos(θ2) − sin(θ3)

cos(θ2) 0sin(θ3) − cos(θ3) 0

− tan(θ2)cos(θ3) − tan(θ2) sin(θ3) −1

(B.27)

also

θ1

θ2

θ3

=

− cos(θ3)cos(θ2) − sin(θ3)

cos(θ2) 0sin(θ3) − cos(θ3) 0

− tan(θ2)cos(θ3) − tan(θ2) sin(θ3) −1

(QT JQ)21

(QT JQ)31

(QT JQ)32

.

(B.28)

B.3 Die Di�erentialgleichungen für n=4Aus den beiden vorherigen Abschnitten ist ersichtlich, daÿ die Gleichungen fürsteigende Raumdimension sehr kompliziert werden. In der Arbeit [45] werdendie Di�erentialgleichungen für n = 4 in Matrix-Vektor-Schreibweise angegeben.Dabei wird die Tatsache ausgenutzt, daÿ sich SO(4) wie folgt darstellen läÿt

SO(4) ∼ SO(3)× SO(3). (B.29)

149


Für die Matrix R gilt

R =

exp(λ1) r12 r13 r14

0 exp(λ2) r23 r24

0 0 exp(λ3) r34

0 0 0 exp(λ4)

. (B.30)

Für die Matrix Q = Q(12)Q(13)Q14Q(23)Q(24)Q(34) gilt für die einzelen Rotati-onsmatrizen

Q(12) =

cos(θ1) sin(θ1) 0 0− sin(θ1) cos(θ1) 0 0

0 0 1 00 0 0 1

Q(13) =

cos(θ2) 0 sin(θ2) 00 1 0 0

− sin(θ2) 0 cos(θ2) 00 0 0 1

Q(14) =

cos(θ3) 0 0 sin(θ3)0 1 0 00 0 1 0

− sin(θ3) 0 0 cos(θ3)

Q(23) =

1 0 0 00 cos(θ4) sin(θ4) 00 − sin(θ4) cos(θ4) 00 0 0 1

Q(24) =

1 0 0 00 cos(θ5) 0 sin(θ5)0 0 1 00 − sin(θ5) 0 cos(θ5)

Q(34) =

1 0 0 00 1 0 00 0 cos(θ6) sin(θ6)0 0 − sin(θ6) cos(θ6)

.

(B.31)Die Di�erentialgleichungen für λi, i = 1, 2, 3, 4 lassen sich wie bisher aus der

Gleichung QT Q + RR−1 = QT JQ bestimmenλ1 = (QT JQ)11

λ2 = (QT JQ)22

λ3 = (QT JQ)33

λ4 = (QT JQ)44. (B.32)Für den Term QT Q gilt nach Abschnitt 4.1

QT Q =

0 −f1(θ; θ) −f2(θ; θ) −f3(θ; θ)f1(θ; θ) 0 −f4(θ; θ) −f5(θ; θ)f2(θ; θ) f4(θ; θ) 0 −f6(θ; θ)f3(θ; θ) f5(θ; θ) f6(θ; θ) 0

(B.33)

mit

f1(θ; θ) = −12(sin(θ1)θ2 + cos(θ1) cos(θ2)θ3 + sin(θ4)θ5

+ cos(θ4) cos(θ5)θ6) (B.34)

f2(θ; θ) =12(cos(θ1)θ2 − sin(θ1) cos(θ2)θ3) + cos(θ4)θ5

+ sin(θ4) cos(θ5)θ6) (B.35)

f3(θ; θ) = −12(θ1 + sin(θ2)θ3 − θ4 − sin(θ5)θ6) (B.36)

f4(θ; θ) = −12(θ1 + sin(θ2)θ3 + θ4 + sin(θ5)θ6) (B.37)

f5(θ; θ) =12(− cos(θ1)θ2 + sin(θ1) cos(θ2)θ3 + cos(θ4)θ5)

150


− sin(θ4) cos(θ5)θ6 (B.38)

f6(θ; θ) = −12(sin(θ1)θ2 + cos(θ1) cos(θ2)θ3 − sin(θ4)θ5)

− cos(θ4) cos(θ5)θ6. (B.39)

Als nächstes gilt es, die nachfolgenden sechs Gleichungen

f1(θ; θ) = (QT JQ)21

f2(θ; θ) = (QT JQ)31

f3(θ; θ) = (QT JQ)32

f4(θ; θ) = (QT JQ)41

f5(θ; θ) = (QT JQ)42

f6(θ; θ) = (QT JQ)43 (B.40)

nach θ aufzulösen. Man erhält ein sechsdimensionales Gleichungssystem da sichdie fi, i = 1, . . . , 6 als Matrix-Vektor-Produkt schreiben lassen

f(θ, θ) = B(θ)θ (B.41)

mit f = (fi)i=1,...,6 und θ = (θi)i=1,...,6, θ = (θi)i=1,...,6. Die Matrix B(θ) lautetexplizit

B(θ)) =12

0 − sin(θ1) − cos(θ1) cos(θ2) 0 − sin(θ4) − cos(θ4) cos(θ5)0 cos(θ1) − sin(θ1) cos(θ2) 0 − cos(θ4) − sin(θ4) cos(θ5)−1 0 − sin(θ2) 1 0 sin(θ5)−1 0 − sin(θ2) −1 0 − sin(θ5)0 − cos(θ1) sin(θ1) cos(θ2) 0 cos(θ4) − sin(θ4) cos(θ5)0 − sin(θ1) − cos(θ1) cos(θ2) 0 sin(θ4) cos(θ4) cos(θ5)

.

(B.42)Mittles elementarer Zeilenumformungen läÿt sich die Matrix B(θ) in folgenderBlockdarstellung angeben

B(θ) =(

B1(θ1, θ2) 00 B2(θ4, θ5)

)(B.43)

B1(θ1, θ2) =

−1 0 − sin(θ2)0 − sin(θ1) − cos(θ1) cos(θ2)0 cos(θ1) − sin(θ1) cos(θ2)

(B.44)

B2(θ4, θ5) =


. (B.45)

Damit erhält man zwei Gleichungssysteme für die Winkel θi, i = 1, . . . , 6


θ1

θ2

θ3

=

(QT JQ)32 + (QT JQ)41

(QT JQ)21 + (QT JQ)43

(QT JQ)31 −QT JQ)42

(B.46)


θ4

θ5

θ6

=

(QT JQ)32 − (QT JQ)41

(QT JQ)21 − (QT JQ)43

(QT JQ)31 + QT JQ)42

.

(B.47)

151


Es gilt nun weiter

B1(θ1, θ2)−1 =

−1 cos(θ1) tan(θ2) sin(θ1) tan(θ2)0 − sin(θ1) cos(θ1)0 − cos(θ1)

cos(θ2) − sin(θ1)cos(θ2)

(B.48)

B2(θ4, θ5)−1 =



. (B.49)

Damit erhält man für die Winkel θi, i = 1, . . . , n die Di�erentialgleichungen

θ1

θ2

θ3

=



(QT JQ)32 + (QT JQ)41

(QT JQ)21 + (QT JQ)43

(QT JQ)31 −QT JQ)42

(B.50)

θ4

θ5

θ6

=



(QT JQ)32 − (QT JQ)41

(QT JQ)21 − (QT JQ)43

(QT JQ)31 + QT JQ)42

.

(B.51)

152

C Ergebnisse für die Matrixexponetialfunktion

C Ergebnisse für die MatrixexponetialfunktionC.1 Die Matrixexponentialfunktion von S für n=2Die Matrix S hat die Form

S =(

0 a−a 0

)= a

(0 1−1 0

). (C.1)

Um die Matrixexponentialfunktion von S zu berechnen wird der Potenzreihen-ansatz

exp(S) =∞∑

n=0

Sn

n!(C.2)

benutzt. Es sind die Potenzen von Sn zu bestimmen

S2 = a2

(0 0−1 0

)(0 0−1 0

)= a2

( −1 00 −1

)= −a2I (C.3)

S3 = SS2 = −a3

(0 1−1 0

)I =

(0 −a3

a3 0

)

= −a2

(0 a−a 0

)= −a2S. (C.4)

Mit den beiden letzten Formeln erhält man für die Potenzen von Sn

n = 2k, k ∈ N0 : S2k = (−1)ka2kI (C.5)

n = 2k + 1, k ∈ N0 : S2k+1 = (−1)ka2kS. (C.6)In die Potenzreihe eingesetzt und geordnet ergibt

exp(S) =∞∑

n=0

Sn

n!=

∞∑

k=0

(−1)k a2k

2k!I +

1a

∞∑

k=0

(−1)k a2k+1

2k + 1!S (C.7)

bzw.exp(S) = cos(a)I +

1a

sin(a)S. (C.8)

Ausgerechnet ergibt

exp(S) =(

cos(a) sin(a)− sin(a) cos(a)

). (C.9)

153


C.2 Die Matrixexponentialfunktion von S für n=3Analog zum vorherigen Abschnitt erhält man

S =

0 −a −ba 0 −cb c 0

. (C.10)

Die Matrix S hat das charakteristische Polynom P (λ) = λ(λ2 + µ2) mit µ =√a2 + b2 + c2 und den Nullstellen λ1 = 0, λ2,3 ± µi.

Für die Potenzen von Sn gilt

S2 =

0 −a −ba 0 −cb c 0

0 −a −ba 0 −cb c 0

=

−a2 − b2 −bc −ac−bc −a2 − c2 −abac −ab −b2 − c2

(C.11)

S3 = S2S

=

−a2 − b2 −bc −ac−bc −a2 − c2 −abac −ab −b2 − c2

0 −a −ba 0 −cb c 0

= (a2 + b2 + c2)

0 a b−a 0 c−b −c 0

= −µ2S (C.12)S4 = S3S = −µ2SS = −µ2S2 (C.13)S5 = S4S = −µS3 = µ4S (C.14)S6 = S5S = µ4S2 (C.15)S7 = S6S = µ4S3 = −µ6S (C.16)S8 = S7S = −µ6S2 (C.17)S9 = S8S = −µ6S3 = µ8S (C.18)

S10 = S9S = µ8S2 (C.19)usw. . (C.20)

Die letzten Gleichungen in den Exponentialansatz eingesetzt

exp(S) =∞∑

n=0

Sn

n!

= I + S +S2

2!+

S3

3!+

S4

4!+

S5

5!+ +

S6

6!+

S7

7!+

S8

8!+

S9

9!+

S10

10!. . .

= I + S +S2

2!− µ2

3!S − µ2

4!S2 +

µ4

5!S +

µ4

6!S2 − µ6

7!S − µ6

8!S2 ± . . .

= I +(1− µ2

3!+

µ4

5!− µ6

7!+

µ8

9!. . .

)S +

( 12!− µ2

4!+

µ4

6!− µ6

8!+

µ8

10!. . .

)S2

= I +1µ

(1− µ3

3!+

µ5

5!− µ7

7!+

µ9

9!. . .

)S +

1µ2

(µ2

2!− µ4

4!+

µ6

6!− µ8

8!+

µ1010!

. . .)S2

154


= I +1µ

sin(µ)S +1µ2

(1− cos(µ))S2. (C.21)

Als Ergebnis erhält man

exp(S) = I +1µ

sin(µ)S +1µ2

(1− cos(µ))S2. (C.22)

Ausmultiplizeren ergibt

exp(S) =1µ2

( c2 + (a2 + b2) cos(µ) −aµ sin(µ)− bc(1− cos(µ))aµ sin(µ)− bc(1− cos(µ)) b2 + (a2 + c2) cos(µ)bµ sin(µ) + ac(1− cos(µ)) cµ sin(µ)− ab(1− cos(µ))

−bµ + ac(1− cos(µ))−cµ− ab(1− cos(µ))a2 + (b2 + c2) cos(µ)

).(C.23)

155

D Ergebnisse zur Cayley-Transformation

D Ergebnisse zur Cayley-TransformationD.1 VorbemerkungenDie Cayley-Transformation stellt einen Zusammenhang zwischen orthogonalenund schiefsymmetrischen Matrizen her. Bevor die Cayley-Transformation erklärtwird, sollen einige Bezeichnungen eingeführt werden [55].

Mit SO(n) wird der Raum der eigentlichen orthogonalen Matrizen der Dimensi-on n× n bezeichnet. Der Raum Gl(n), die allgemeine lineare Gruppe, wird vonden invertierbaren n×n-Matrizen gebildet. Der Raum der orthogonalen Matri-zen wird mit O(n) bezeichnet und ist die Menge alle Matrizen A ∈ Gl(n) für dieAT A = AAT = I gilt. Weiter kann gezeigt werden, daÿ für A ∈ O(n), det(A)±1gilt. Die obige Bezeichnung "eigentlich" bezieht sich dann auf die orthogonalenMatrizen mit positiver Determinante. Es gilt dann

SO(n) := {A ∈ Gl(n) : AT A = I, det(A) = +1}. (D.1)

Die orthogonalen Matrizen mit Determinante +1 stellen Rotationen dar, wäh-rend die orthogonalen Matrizen mit Determinate −1 Re�ektionen darstellen.Der Raum der schiefsymmetrischen n × n-Matrizen wird mit so(n) bezeichnetund ist wie folgt de�niert

so(n) := {A ∈ Rn×n : A = −AT }. (D.2)

Der Raum so(n) ist der Tangentialraum zu SO(n) in der Identität I, denn esgilt für A ∈ SO(n)

d

dt(AAT ) = 0 ⇔ AAT = −AAT . (D.3)

Wobei man die Beziehung AAT = I ausnutzt. Wertet man den obigen Ausdruckfür A = I aus, dann erhält man

A|A=I = −AT |A=I . (D.4)

Somit ist A|A=I schiefsymmetrisch.

D.2 Die Cayley-TransformationDie Cayley-Transformation stellt eine eigentliche orthogonale Matrix Q alsFunktion einer schiefsymmetrischen Matrix S dar. Sie ist deshalb eine Abbildung

ψ : so(n) → SO(n). (D.5)Die klassische Cayley-Transformation ist gegeben durch

Q = ψ(S) = (I − S)(I + S)−1 = (I + S)−1(I − S). (D.6)

Da die Matrix S schiefsymmetrisch ist, sind alle Eigenwerte von S rein imaginärund deshalb sind alle Eigenwerte der Matrix I +S von Null verschieden und die

156

D Ergebnisse zur Cayley-Transformation

Gleichung (D.6) ist invertierbar. Deshalb ist die Cayley-Transformation wohlde-�niert für alle schiefsymmetrischen Matrizen. Wie man leicht nachrechnen kannist die inverse Cayley-Transformation wie folgt gegeben

S = ψ−1(Q) = ψ(Q) = (I −Q)(I + Q)−1 = (I + Q)−1(I −Q). (D.7)

Die inverse Cayley-Transforamtion in Gleichung (D.7) ist nicht de�niert, wenndie Matrix C einen Eigenwert −1 hat, da in diesem Fall det(I + Q) = 0 ist. Dadie Matrix Q orthogonal ist, liegen alle ihre Eigenwerte auf dem EinheitskreisS1 := {(x1, x2) ∈ R2 : x2

1 + x22 = 1} und deshalb liegt das Spektrum dieser

Matrix auf dem Einheitskreis. Weiter erfordert die inverse Transformation, daÿder Eigenwert −1 nicht im Spektrum der Matrix Q enthalten sein darf.Man kann jetzt zeigen, daÿ schiefsymmetrische Matrizen Q immer eine ortho-

gonale Matrix Q erzeugen. Um zu zeigen, daÿ durch die Cayley-Transformationin Gleichung (D.6) eigentliche orthogonale Matrizen erzeugt, betrachte die De-terminante der Matrix Q:

det(Q) = det((I − S)(I + S)−1)= det(I − S) det((I + S)−1)= det(I − S)(det(I + S))−1

=det(I − S)det(I + S)

(D.8)

Da die Eigenwerte von S alle rein imaginär sind, haben sie die Form ±iλj . Fürdie Spektralzerlegung der Matrix S erhält man

S = R−1ΛR,Λ = diag(±λj). (D.9)

Weiter gilt

I ± S = I ±R−1ΛR= R−1R±R−1ΛR= R−1(I ± Λ)R.

Damit erhält man für die Determinante der Matrix Q

det(Q) =det(R−1) det(I − Λ) det(R)det(R−1) det(I + Λ) det(R)

=det(I − Λ)det(I + Λ)

=

∏pj=1(1− iλj)(1 + λj)∏pj=1(1− iλj)(1 + iλj

=

∏pj=1(1 + λ2

j∏pj=1(1 + λ2

j

= +1. (D.10)

Dabei ist 2p die Anzahl der (nichtverschwindenden imaginären) Eigenwerte derMatrix S. Deshalb ist Q ∈ SO(n) wenn S ∈ so(n) und die Cayley-Transformationist bijektiv von der Menge der schiefsymmetrischen Matrizen in die Menge derorthogonalen Matrizen mit keinen Eigenwert in −1.

157

E Matlab Routinen für die Versuche

E Matlab Routinen für die VersucheIn diesem Abschnitt werden die Matlabroutinen angegeben, die für numerischenVersuche verwendet werden. Es wird die Studentenversion von Matlab 6.5rRelease 13 verwendet. Eine CD-ROM mit den eigenen Matlabroutinen ist dieserArbeit begefügt.

E.1 Die Matlab ODE RoutinenIn diesen Abschnitt werden die Matlablöser für die numerische Lösung von Dif-ferentialgleichungen kurz beschrieben. Für mathematische Details wird auf denArtikel von Shampine et.al [53] verwiesen. Für die Syntax und Semantik derRoutinen sei auf die Matlab Online Dokumentation verwiesen.

Bei den numerischen Versuchen sind von den ODE-Routinen die nachfolgen-den drei Verfahren verwendet worden:

(a) ode45 : Diese Routine ist ein explizites Runge-Kutta-Verfahren der Ord-nung 4(5) nach Dormand-Prince und sie hat das Butcher-Schema:

0

15

15

310

340

940

45

4445 −56

15329

89

193726561 −25360

2187644486561 −212

729

1 90173168 −355

33467325247

49176 − 5103

18565

1 35384 0 500

1113125192 −2187

67841184

35384 0 500

1113125192 −2187

67841184 0

7157600 0 − 71

1669571

1920 − 17253339200

22525 − 1

40

(b) ode113 : Diese Routine ist ein Mehrschrittverfahren nach Adams-Bashforth-Moulton mit variabler Ordnung.

(c) ode15s: Dieser Löser ist ebensfalls ein Mehrschrittverfahren mit variablerOrdnung (1-5) beruhend auf NDF- bzw. BDF-Formeln.

Für die theoretischen Grundlagen sei das Buch von Strehmel und Weiner [54]erwähnt.

158


E.2 Matlab Routinen für die BeispielgleichungenIn diesem Abschnitt werden hauptsächlich die Matlab-Funktionen wiedergege-ben, die die Di�erentialgleichungen de�nieren und die zugehörigen Hauptpro-gramme.

De�nition der Di�erentialgleichungen(a) Die Schwingungsgleichung: x(t) + 2dx(t) + ω2

0x(t) = A cos(ωt)

Die Gleichung ist im m-File schwingung.m implemeniert:

function ydot=Schwingung(t,y,d,w_0,A,w)

%definiert die Schwingungsgleichung%y''+2*d*y'+w_0^2y=A*cos(w*t)%bzw. als Differentialgleichungssystem mit y(1)=y und y'(1)=y(2):%y'(2)=-2*d*y(2)-w_0^2*y(2)+A*cos(w*t)%Die Systemparameter sind:%-d:Dampfung%-A:Amplitude der von auÿen wirkenden Kraft%-w:Frequenz der von auÿen wirkenden Kraft

ydot=[y(2);-w_0^2*y(1)-2*d*y(2)]+[0;A*cos(w*t)];

(b) Die Du�ng-Gleichung: x(t) + δx(t)− x(t) + x3(t) = A cos(ωt)

Die Du�ng-Gleichung �ndet man im m-File du�ng.m:

function ydot=duffing(t,y,d,A,w)

%definiert die Duffing-Gleichung%y''+d*y'-y+y3 = A ∗ cos(w ∗ t)%bzw. als Differentialgleichungssystem mit y(1)=y, y'(1)=y(2):%y'(2)=y(1)-y(1)3 − d ∗ y(2) + A ∗ cos(w ∗ t)%Die Systemparameter sind:%-d:Dampfung%-A:Amplitude der von auÿen wirkenden Kraft%-w:Frequenz der von auÿen wirkenden Kraft

ydot=[y(2);y(1)-y(1)^3-d*y(2)]+[0;A*cos(w*t)];

(c) Die van der Pol-Gleichung: x(t)− ε(1− x2(t))x(t) + x(t) = A cos(ωt)

Diese Gleichung �ndet man in vanderpol.m:

function ydot=vanderpol(t,y,d,A,w)

%definiert die van der Pol-Gleichung%y''-d*(1-y^2)*y'+y=A*cos(w*t)%bzw. als Differentialgleichungssystem mit y(1)=y, y'(1)=y(2):%y'(2)=y(1)-y(1)3 − d ∗ y(2) + A ∗ cos(w ∗ t)

159


%Die Systemparameter sind:%-d:Dampfung%-A:Amplitude der von auÿen wirkenden Kraft%-w:Frequenz der cvon auÿen wirkenden Kraft

ydot=[y(2);-y(1)-d*(y(1)^2-1)*y(2)]+[0;A*cos(w*t)];

(d) Die Lorenz-Gleichung:

x1(t) = −σ(x1(t)− x2(t))x2(t) = rx1(t)− x2(t)− x1(t)x3(t)x3(t) = x1(t)x2(t)− bx3(t)

Dieses Di�erentialgleichungssystem ist in lorenz.m zu �nden:

function ydot = lorenz(t,y,sigma,r,b)

%definiert die Lorenz-Gleichung:%y'(1)(t)=-sigma*(y(1)(t)-y(2)(t))%y'(2)(t)=r*y(1)(t)-ay*(2)(t)-y(1)(t)y(3)(t)%y'(3)(t)=y(1)(t)*y(2)(t)-b*y(3)(t)

ydot=[-sigma*(y(1)-y(2));r*y(1)-y(2)-y(1)*y(3);-b*y(3)+y(1)*y(2)];

(e) Die Rössler-Gleichung:

x1(t) = −(x2(t) + x3(t))x2(t) = x1(t) + ax2(t)x3(t) = b + (x1(t)− c)x3(t)

Diese Di�erentialgleichung ist in roessler.m zu �nden:

function ydot=roessler(t,y,a,b,c)

%Definiert die Roessler-Gleichung:%y'(1)(t)=-y(2)(t)-y(3)(t)%y'(2)(t)=y(1)(t)+a*y(2)(t)%y'(3)(t)=b+y(3)(t)*(y(1)(t)-c)

ydot=[-y(2)-y(3);y(1)+a*y(2);b+y(3)*(y(1)-c)];

160


Matlab-Script zur exakten Bestimmung der Lyapunov-Exponenten

Der untenstehende Matlab-Code ist das Hauptprogramm lyap1.m zur expli-ziten Berechnung der Lyapunov-Exponenten:

% Plottet die Lyapunv-Exponenten der Schwingungsgelichung% als Funktion von d bei festen w_0

delt=0:0.01:8; %Vektor mit den Dämpfungswerten

w_0=2;d=delt.^2-w_0^2;if d<=0

l_1=-delt; %LCE's als Realteile desl_2=-delt; %charakteristischen Polynomns

elsel_1=-delt+sqrt(d);l_2=-delt-sqrt(d);

end

figure(1)hold onsubplot(2,1,1)plot(delt,l_1,delt,l_2);gridxlabel \deltaylabel \lambda_{1,2}title('Lyapunov-Exponenten der Schwingungsgleichung als Funktion von ...

\delta bei konstanten \omega_0')tw_0=num2str(w_0);text(1,-15,'\omega_0=','FontSize',14)text(1.7,-15,tw_0,'FontSize',14)

delt=0:0.01:8;w_0=4;d=delt.^2-w_0^2if d<=0

l_1=-delt;l_2=-delt;

elsel_1=-delt+sqrt(d);l_2=-delt-sqrt(d);

endhold on

subplot(2,1,2)plot(delt,l_1,delt,l_2);gridxlabel \deltaylabel \lambda_{1,2}tw_0=num2str(w_0);text(1,-13,'\omega_0=','FontSize',14)text(1.7,-13,tw_0,'FontSize',14)

print -dpsc2 lyapplot1; %Ausgabe in Postscript-File lyapplot1.ps

161


Matlab-Script für die homogene Du�ng-Gleichung (Hamilton-Fall)

Das Matlab-File du�ngham.m berechnet die Orbits für die homogene Du�ng-Gleichung, insbesondere die homoklinen Orbits:

clc

%Definition der Parameter

d=0A=0w=0

%Zeitspannen für die Phasenplots

tspan=[0,10];taspan=[0:0.01:8.3];tbspan=[0:0.01:14];tgspan=[0:0.01:17];

%Anfangswerte für die verschiedenen Orbits

yazero=[1;-1];ybzero=[0.75;-0.75];yczero=[1;0.25];ydzero=[-1;-0.25];yezero=[-1;0.5];yfzero=[1;0.5];ygzero=[0.00001;0.00001];yhzero=[-0.00001;-0.00001];yizero=[0.05;-0.05];yjzero=[-0.05;0.05];

options=odeset('refine',4);

%Berechnung der einzelen Orbits mit ode45-Routine

[ta,ya]=ode45('duffing',taspan,yazero,options,d,A,w);[tb,yb]=ode45('duffing',tbspan,ybzero,options,d,A,w);[tc,yc]=ode45('duffing',taspan,yczero,options,d,A,w);[td,yd]=ode45('duffing',taspan,ydzero,options,d,A,w);[te,ye]=ode45('duffing',taspan,yezero,options,d,A,w);[tf,yf]=ode45('duffing',taspan,yfzero,options,d,A,w);[tg,yg]=ode45('duffing',tgspan,ygzero,options,d,A,w);[th,yh]=ode45('duffing',tgspan,yhzero,options,d,A,w);[ti,yi]=ode45('duffing',tgspan,yizero,options,d,A,w);[tj,yj]=ode45('duffing',tgspan,yjzero,options,d,A,w);

%Zeichnen der Orbitsfigure(1)hold on

plot(ya(:,1),ya(:,2));

162


plot(yb(:,1),yb(:,2),'g');plot(yc(:,1),yc(:,2),'m');plot(yd(:,1),yd(:,2),'m');plot(ye(:,1),ye(:,2));plot(yf(:,1),yf(:,2));plot(yg(:,1),yg(:,2),'c');plot(yh(:,1),yh(:,2),'c');plot(yi(:,1),yi(:,2),'r');plot(yj(:,1),yj(:,2),'r');axis equalgridtitle('Phasenplot y_1(t)-y_2(t) der homogenen Duffing-Gleichung für \delta=0');xlabel y_1(t),ylabel y_2(t)

disp('Bitte beliebige Taste drücken um Figure zu schlieÿen')pause;close all

Die Berechnung von Orbits für verschiedene Parameterwerte

Diese Scripte plotten Orbits für verschiedene Parameter z.B. für die Ampli-tude A der Beispielgleichungen. Diese Vorgehensweise zeigt der nachfolgendeCode für die inhomogene Du�ng-Gleichung: du�orbit1.m

clc

%Initialisierung der Parameter

d=1A=0.834w=1

%Zeitraum der numerischen Integration

tspan=[0:0.1:200];

%Festlegung des Anfangswertes

yzero=[1;0];

options=odeset('refine',4);

%Bestimmung der Trajektorie mit Routine ode113

[t,y]=ode113('duffing',tspan,yzero,options,d,A,w);

%Graphische Ausgabe der Ergebnisse

figure(1)hold onsubplot(221)plot(y(1000:2000,1),y(1000:2000,2));gridtitle('Parameter:\delta=1,A=0.834,\omega=1')

163


axis equalxlabel y_1(t),ylabel y_2(t)

d=1A=0.835w=1

disp('Weiter mit beliebiger Taste')pause[t,y]=ode113('duffing',tspan,yzero,options,d,A,w);subplot(222)plot(y(1000:2000,1),y(1000:2000,2));gridaxis equaltitle('Parameter:\delta=1,A=0.835,\omega=1')xlabel y_1(t),ylabel y_2(t)

d=1A=0.83626w=1

disp('Weiter mit beliebiger Taste')pause[t,y]=ode113('duffing',tspan,yzero,options,d,A,w);subplot(223)plot(y(1000:2000,1),y(1000:2000,2));gridaxis equalxlabel y_1(t),ylabel y_2(t)title('Parameter:\delta=1,A=0.836,\omega=1')

d=1A=0.8363w=1

disp('Weiter mit beliebiger Taste')pause[t,y]=ode113('duffing',tspan,yzero,options,d,A,w);subplot(224)plot(y(1000:2000,1),y(1000:2000,2));gridaxis equalxlabel y_1(t),ylabel y_2(t)title('Parameter:\delta=1,A=0.863,\omega=1')

%Speichern des Ergebnisses als Postscript-File

print -dpsc2 dufforbit-c3;


Die Matlabs-Codes für das Plotten der van der Pol-Gleichung, Lorenz- undRössler-Gleichung sind nur entsprechend geändert worden.

164


E.3 Matlab Routinen die numerischen VerfahrenDie erweiterten Di�erentialgleichungen

In diesem Abschnitt werden zuerst die erweiterten Di�ernetialgleichungssy-steme für die verschiedenen Verfahren an den Beispielen der Du�ng- und derLorenz-Gleichung angegeben. Für die anderen Gleichungen wie die van der Pol-oder Rössler-Gleichung müssen in den entsprechenden m-Files die jeweilige Dif-ferentialgleichung und die zugehörige Jacobi-Matrix ersetzt werden.

(a) Das di�erentielle Gram-Schmidt'sches Orthogonalisierungsverfahren

(i) Das erweiterte Du�ng-System:function ydot=lambda_a2dfcn(t,y,d,A,w,b)

%M-File, daÿ das erweiterte DGL-System zur%Bestimmung des gröÿten Lyapunov-Exponenten%in n=2 definiert für das kontinuierliche%Gram-Schmidt-Verfahren mit Stabilisierungsparameter b

%hier sind die Systemparameter global definiert%b steht für den Stabilitätsparameter

f=[y(2);y(1)-y(1)^3-d*y(2)+A*cos(w*t)];

%definiert die rechte Seite des ursprünglichen DGL-System

J=[0 1;1-3*y(1)^2 -d];

%definiert die Jacobi-Matrix

e1=[y(3);y(4)];e2=[y(5);y(6)];

%definiert die Zeitvektoren für die Basis

fe1=J*e1-e1*(e1'*J*e1+b*(e1'*e1-1));fe2=J*e2-e2*(e2'*J*e2+b*(e2'*e2-1))-e1*(e1'*J*e2+e2'*J*e1+2*b*e1'*e2);fl=[e1'*J*e1; e2'*J*e2];

%definiert das erweiterte Diferentialgleichungssystem für n=2

ydot=[f;fe1;fe2;fl];

%Dies ist das erweiterte DGL-System

Für die Schwingungsgleichung bzw. van der Pol-Gleichung sind folgendeCode-Stücke einzusetzen:f=[y(2);-w_0^2*y(1)-2*d*y(2)]+[0;A*cos(w*t)];J=[0 1;-w_0^2 -2*d];

oder

165


f=[y(2);-y(1)-d*(y(1)^2-1)*y(2)]+[0;A*cos(w*t)];J=[0 1;-1-2*d*y(1)*y(2) -d*y(1)^2-1];

(ii) Das erweiterte Lorenz-System:function ydot=lambda_a3dfcn(t,y,sigma,rho,beta,b)

%M-File, daÿ das erweiterte DGL-System zur%Bestimmung der Lyapunov-Exponenten%in n=3 definiert für das kontinuierliche%Gram-Schmidt-Verfahren mit Stabilisierungsparameter b

f=[-sigma*y(1)+sigma*y(2);rho*y(1)-y(2)-y(1)*y(3);y(1)*y(2)-beta*y(3)];


J=[-sigma sigma 0 ;rho-y(3) -1 -y(1);y(2) y(1) -beta];


e1=[y(4);y(5);y(6)];e2=[y(7);y(8);y(9)];e3=[y(10);y(11);y(12)];

%definiert die Zeitvektoren für die Basis

fe1=J*e1-e1*(e1'*J*e1+b*(e1'*e1-1));fe2=J*e2-e2*(e2'*J*e2+b*(e2'*e2-1))-e1*(e1'*J*e2+e2'*J*e1+2*b*e1'*e2);fe3=J*e3-e3*(e3'*J*e3+b*(e3'*e3-1))-e1*(e1'*J*e3+e3'*J*e1+2*b*e1'*e3)...

-e2*(e2'*J*e3+e3'*J*e2+2*b*e2'*e3);fl=[e1'*J*e1; e2'*J*e2;e3'*J*e3];

%definiert die zusätzlichen Differentialgleichungen

ydot=[f;fe1;fe2;fe3;fl];

%definiert das erweiterte System

Für die Rössler-Gleichung ist nachfolgender Code-Einsetzen:f=[-y(2)-y(3);y(1)+a*y(2);b+y(3)*(y(1)-c)];J=[0 0 1;1 a 0;y(3) 0 y(1)-c

(b) Das QR-Verfahren mit Givens-Rotationsmatrizen

(i) Das erweiterte Du�ng-System:function ydot=lambda_a2dfcn(t,y,d,A,w)

%M-File, daÿ das erweiterte DGL-System zur%Bestimmung des gröÿten Lyapunov-Exponenten%in n=2 definiert für das QR-Verfahren mit

166


%Given-Rotationsmatrix im 2D% y(1),y(2) Zustandsvariable des ursprünglichen DGL-Systems% y(3) Winkelvariable der Rotationsmatrix% y(4) y(5) Zustandsvariable für LCE's

%DGL-System wird elementweise geschrieben.

f=[y(2);y(1)-y(1)^3-d*y(2)+A*cos(w*t)];


J=[0 1;1-3*y(1)^2 -d];


%definiert das erweiterte Diferentialgleichungssystem für n=2

l1= J(1,1)*cos(y(5))^2+J(2,2)*sin(y(5))^2-0.5*(J(1,2)+J(2,1))*sin(2*y(5));l2= J(1,1)*sin(y(5))^2+J(2,2)*cos(y(5))^2+0.5*(J(1,2)+J(2,1))*sin(2*y(5));

%DGL für LCE's

theta1=-0.5*(J(1,1)-J(2,2))*sin(2*y(5))+J(1,2)*sin(y(5))^2-J(2,1)*cos(y(5))^2;

%DGL für die Winkelvariable

ydot=[f;l1;l2;theta1];

%das erweiterte Differentialgleichungssystem

(ii) Das erweiterte Lorenz-System:function ydot=lambda_a3dfcn(t,y,sigma,rho,beta)

%M-File, daÿ das erweiterte DGL-System zur%Bestimmung der Lyapunov-Exponenten%in n=3 definiert für das QR-Verfahren%mit Givens-Rotationen%y(1),y(2),y(3) Zustandsgröÿen für das ursprüngliche DGL-System%y(4),y(5),y(6) definiert LCE's%y(7),y(8),y(9) definiert die Rotationswinkel

f=[-sigma*y(1)+sigma*y(2);rho*y(1)-y(2)-y(1)*y(3);y(1)*y(2)-beta*y(3)];


J=[-sigma sigma 0;rho-y(3) -1 -y(1);y(2) y(1) -beta];


167


Q1=[cos(y(7)) sin(y(7)) 0;-sin(y(7)) cos(y(7)) 0;

0 0 1];

Q2=[cos(y(8)) 0 sin(y(8));0 1 0;

-sin(y(8)) 0 cos(y(8))];

Q3=[ 1 0 0;0 cos(y(9)) sin(y(9));0 -sin(y(9)) cos(y(9))];

%definiert Rotationsmatrizen

Q=Q1*Q2*Q3;

%definiert die Orthogonale Matrix Q als Funktion der

QT=Q3'*Q2'*Q1';

%Transponierte von Q

%Alternativ kann man nachstehendes Code-Stück für Q setzen%Läuft etwas schneller da Matrixmultiplikationen vermieden werden%Q=[cos(y(7))*cos(y(8))% sin(y(7))*cos(y(9))-cos(y(7))*sin(y(8))*sin(y(9))% sin(y(7))*sin(y(9))+cos(y(7))*sin(y(8))*cos(y(9)) ;% -sin(y(7))*cos(y(8))% cos(y(7))*cos(y(9))+sin(y(7))*sin(y(8))*sin(y(9))% cos(y(7))*sin(y(9))-sin(y(7))*sin(y(8))*cos(y(9));% -sin(y(8))% -cos(y(8))*sin(y(9))% cos(y(8))*cos(y(9))];

L=QT*J*Q;%L=Q'*J*Q;%definiert die rechte Seite für die DGL's der LCE's und Rotationswinkel

lambda=[L(2,1);L(3,1);L(3,2)];

%definiert die untere Dreiecksmatrix von Q^TdQ/dt

B=[-cos(y(9))/cos(y(8)) -sin(y(9))/cos(y(8)) 0;sin(y(9)) -cos(y(9)) 0;

-tan(y(8))*cos(y(9)) -tan(y(8))*sin(y(9)) -1];

l1=L(1,1);l2=L(2,2);l3=L(3,3);

%definiert die DGL für die LCE's

theta=B*lambda;

168


%definiert das DGL für die Rotationswinkel

ydot=[f;l1;l2;l3;theta];

%definiert das erweiterte DGL-System

Für die Schwingungs-, van der Pol-, und Rössler-Gleichung sind wie-der die entsprechenden Code-Teile wie unter (a) einzusetzen.

Die Hauptprogramme

In diesem Abschnitt werden die Hauptprogramme für die Berechnung der Lyapunov-Exponenten und die Parameter-Programme besprochen. Bei den zweiten Pro-gramm werden die Lyapunov- Exponenten über einen bestimmten Parameterbe-reich berechnet, während in den Hauptprogrammen die Lyapunov-Exponentenfür einen festen Parameterwert berechnet werden. Anhand der Du�ng- bzw.Lorenz-Gleichung werden die Programme wieder erklärt:

(a) n=2:

(i) Hauptprogramm für QR-Verfahren mit Givens-Rotationsmatrizenwarning off %schaltet Warnungen aus

d=1; %initialisiert ParameterA=1.15; %für die Differentialgleichungw=1;t=zeros(10000,1); %belegt Zeitvektor mit 10000 Null-Elementeny=zeros(10000,5); %belegt Lösungsvektor mit 5x100000 Nullelemententspan=[0:10000]; %Integrationszeitraumyzero=[3;3;0;0;0]; %Setzt die Anfangswerte

format long %Setzt Zahlenformat auch longoptions=odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',1e-8,'BDF','off');

%setzt Option für den ODE-Solver genauer die Toleranzenticcput1=cputime;[t,y]=odeXX(@DGL_System,tspan,yzero,options,d,A,w)te=toc

%Gibt die vergangene Zeit aus

%odeXX steht für den verwendeten Solver also oder45, ode113, ode15s%mit NDF bzw.BDF%DGL_System steht für das erweiterte Differentialgleichungsystem, in dem%die zusätzliche Gleichungen für die Lyapunov-Exponenten und%zugehörige Gröÿen stehen z.B. QR-Verfahren mit Givens-Rotationsmatrizen.

cput2=cputime;

169


m=max(size(t));n=max(size(y));

cput=cput2-cput1

%berechnet die CPU-Time

lyapsum=-d

%Spur der Jacobi-Matrix der Duffing-Gleichung%Muÿ für van der Pol-Gleichung entweder entfernt%werden oder durch eine Integrationsroutine ersetzt%werden.

l1=y(m,3)/t(m)l2=y(m,4)/t(m)ls=l1+l2lse=abs(lyapsum-ls)

%berechnet die Lyapunov-Exponenten, die Summe%und den Fehler in der Summe

save lyapinhomduff-10000-A1.15w1d1-ode45-wtab.dt y -ascii -double -tabs

%speichert den Lösungsvektor der erweiterten%Differentialgleichungssystem%in einem Textfile (ASCII-Format)

save lyapinhomduff-10000-A1.15w1d1-ode45.d cputl1 l2 ls lse -ascii -double -tabs

%Speichert die Lyapunov-Exponenten, Summe,%Fehler in der Summe%und CPU-Zeit in einem Textfile (ASCII-Format)

%Graphische Ausgabe der Lösung des%erweiterten Gleichungssystem

figure(1)subplot(211)plot(t,y(:,1));gridtitle('Zeitverlauf der Duffinggleichung ')ylabel y_1(t)

subplot(212)plot(t,y(:,2));gridylabel y_2(t)

print -dpsc2 lyapinhomduff-10000-A1.15w1d1-ode45-t-y1-t-y2.ps

%Speichert y(1)(t),y(2)(t) in Postscript-File

170


figure(2)plot(y(:,1),y(:,2),'.');gridtitle('Phasenplot der Duffing-Gleichung')xlabel y_1(t)ylabel y_2(t)

print -dpsc2 lyapinhomduff-10000-A1.15w1d1-ode45-y1-y2.ps

%Speichert die Trajektorie der Duffing-%Gleichung in Postscript-File

figure(3)subplot(211)plot(t,y(:,3)./t,'r',t,y(:,4)./t,'b');gridtitle('Lyapunov-Exponenten')ylabel \lambda_{1,2}(t)subplot(212)plot(t,y(:,5));gridylabel \theta_1(t)xlabel t

%Graphische Ausgabe des zeitlichen Verlauf%der Lyapunov-Exponenten%und des Systemsparameter theta

print -dpsc2 lyapinhomduff-10000-A1.15w1d1-ode45-L1L2T1s.ps

%Speichern in Postscript-File

figure(4)subplot(211)plot(t,y(:,3)./t+y(:,4)./t,'b');gridtitle('Summe der Lyapunov-Exponenten')ylabel \lambda_{1,2}(t)subplot(212)plot(t,abs(lyapsum-((y(:,3)./t)+(y(:,4)./t))));gridtitle('Fehler in Summe')ylabel errxlabel t

%Graphische Ausgabe des zeitlichen Verlauf der Summe%der Lyapunov-Exponenten und deren Fehler

print -dpsc2 lyaphomduff-10000-A1.15w1d1-ode45-LSLSERR

%Speichern in Postscript-File

%Graphische Ausgabe der Lyapunov-Exponenten als%Funktion des Rotationswinkel

figure(5)subplot(211)

171


polar(y(:,5),y(:,3)./t,'.');title('\lambda_1(t) als Funktion von \theta_1(t)')subplot(212)polar(y(:,5),y(:,4)./t,'.');title('\lambda_2(t) als Funktion von \theta_1(t)')

print -dpsc2 lyapinhomduff-polar-10000-A1.15w1d1-ode45

%speichern als Postscript-File

Im Hauptprogramm für das Gram-Schmidt'sche Verfahren entfälltder Plot der Lyapunov-Exponenten als Funktion des Rotationswin-kel. Dafür kann kann man den zeitlichen Verlauf der orthonormalenBasis und die zugehörigen Normen der Vektoren plotten.

(ii) Parameterprogramm für n=2:Im Grunde ist dieses File das Hauptprogramm, nur werden die Lyapunov-Exponenten in der for -Schleife für verschiedene Parameterwerte be-rechnet. Die gra�sche Ausgabe geschieht in Abhängigkeit des Para-meterwertes.

clcclose allwarning off

d=3;A=0;w=1;

t=zeros(5000,1);y=zeros(5000,5);

tspan=[0:5000];yzero=[3;3;0;0;0];

A=1.05:0.001:1.35; %setzt das Parameterintervallsd=max(size(A)) %Gröÿe des Parametervektorslyapvec=zeros(sd,4);%Lösungsvektorformat long

options=odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',1e-8,'BDF','on');for i=1:sd

A(i)ticcput1=cputime;[t,y]=odeXX(@Dgl_System,tspan,yzero,options,d,A(i),w);

%hier werden Lyapunov-Exponenten berechnettoc;cput2=cputime;m=max(size(t));cput=cput2-cput1;

lyapvec(i,1)=y(m,3)/t(m);%1.Lyapunov-Exponent als Funktion des Parameters

172


lyapvec(i,2)=y(m,4)/t(m);%2.Lyapunov-Exponent als Funktion des Parameterslyapvec(i,3)=cput;%CPU-Zeit als Funktion des Paramneterslyapvec(i,4)=abs(-d-(lyapvec(i,1)+lyapvec(i,2)));%Fehler in der Summe ...end

save lyapvecinhom-5000-w1-d3-A1.05-A1.35-ode45.dlyapvec -ascii -double -tabs

%speichert Ergebnisse in ASCII-File

figure(1)

plot(A,lyapvec(:,1),'r',A,lyapvec(:,2));gridtitle('\lambda_{1,2}(t) als Funktion von A')xlabel Aylabel \lambda_{1,2}(t)

print -dpsc2 lyapvecplot-5000-w1-d3-A0-A2-ode45-1.ps

%Graphische Ausgabe der Lyapunov-Exponenten%als Funktion des Parameters und speichern%als Postscript-File

figure(2)

subplot(211)plot(A,lyapvec(:,1));gridtitle('\lambda_1(t) als Funktion von A')xlabel Aylabel \lambda_1(t)

subplot(212)plot(A,lyapvec(:,2));gridtitle('\lambda_2 als Funktion von A')xlabel Aylabel \lambda_2(t)


%Graphische Ausgabe des ersten Lyapunov-Exponenten%getrennt als Funktion des Parameters und%speichern als Postscript-File

figure(3)

subplot(211)plot(A,lyapvec(:,3));gridtitle('CPU-Time als Funktion von A')xlabel Aylabel cpu-time

173


subplot(212)plot(A,lyapvec(:,4));gridtitle('|\lambda_1+\lambda_2-d|')xlabel Aylabel err

print -dpsc2 lyapvecplot-5000-w1-d3--A0-A2-ode45-3.ps

%Graphische Ausgabe der CPU-Time und Fehler%der Lyapunov-Exponeten als Funktion des%Parameters und speichern als Postscript-File

figure(4)

plot(A,lyapvec(:,1)+lyapvec(:,2));gridtitle('\lambda_{1,}(t)+\lambda_2(t) als Funktion von A')xlabel Aylabel \lambda_{1}(t)+\lambda_2(t)


%Graphische Ausgabe der Summe der Lyapunov-Exponenten%als Funktion des Parameters und speichern%als Postscript-File

Für n=3 kann man die beiden obige Programme übernehmen, nurmuÿ man die zusätzlch auftretenden Gröÿen wie der dritte Lyapunov-Exponenten oder die zusätzlichen Rotationswinkel noch einbauen.

(b) n=3: Hier wird das Hauptprogramm für das Gram-Schmidt'sche Ortho-gonalisierungsverfahren besprochen.

clcdisp('Initialisierung der Parameter')warning off

sigma=10; %Systemparameterbeta=8/3;rho=28;b=20; %Stabilitätsparametertspan=[0:1:2000]; %Integrationszeitraumyzero=[1;0;0;

1;0;0;0;1;0;0;0;1;0;0;0]; %Anfangswerte

lyapsum=-sigma-1-beta %Spur der Jacobi-Matrixformat longoptions=odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-6);tic[t,y]=odeXX(@Dgl_System,tspan,yzero,options,sigma,rho,beta,b);te=toc

174


m=max(size(t));n=max(size(y));

%hier beginnt die graphische Ausgabe

figure(1)hold on

subplot(211)plot(t,y(:,13)./t,'r',...

t,y(:,14)./t,'b',...t,y(:,15)./t,'m');grid

title('Zeitliche Lyapunov-Exponenten...\lambda_1(t),\lambda_2(t),\lambda_3(t)')

hold on

subplot(212)title('Summe der Lyapunov-Exponenten')

plot(t,y(:,13)./t+y(:,14)./t+y(:,15)./t,'r',...t,abs(lyapsum-(y(:,13)./t+y(:,14)./t+y(:,15)./t)),'b');grid

print -dpsc2 lyap_1;

figure(2)hold on

subplot(311)plot(t,sqrt(y(:,4).^2+y(:,5).^2+y(:,6).^2));gridxlabel tylabel ||e_1||title('Euklidische Norm der Vektoren e_i(t),i=1,2,3')

hold on

subplot(312)plot(t,sqrt(y(:,7).^2+y(:,8).^2+y(:,9).^2));gridxlabel tylabel ||e_2||hold onsubplot(313)plot( t,sqrt(y(:,10).^2+y(:,11).^2+y(:,12).^2));gridylabel ||e_3||xlabel thold on


175


figure(3)hold on

subplot(311)plot(t,y(:,4));gridtitle('Komponenten des Vektor e_1(t)')xlabel tylabel e_1^1(t)subplot(312)plot(t,y(:,5));gridxlabel tylabel e_1^2(t)subplot(313)plot(t,y(:,6));gridxlabel tylabel e_1^3(t)


figure(4)hold on

subplot(311)plot(t,y(:,7));gridtitle('Komponenten des Vektor e_2(t)')xlabel tylabel e_2^1(t)subplot(312)plot(t,y(:,8));gridxlabel tylabel e_2^2(t)subplot(313)plot(t,y(:,9));gridxlabel tylabel e_2^3(t)


figure(5)hold on

subplot(311)title('Komponenten des Vektor e_3(t)')plot(t,y(:,10));gridxlabel tylabel e_3^1(t)subplot(312)

176


plot(t,y(:,11));gridxlabel tylabel e_3^2(t)subplot(313)plot(t,y(:,12));gridxlabel tylabel e_3^3(t)

print -dpsc2 lyap_lorenz_3;

l1=y(m,13)/t(m)l2=y(m,14)/t(m)l3=y(m,15)/t(m)

ls=y(m,13)/t(m)+y(m,14)/t(m)+y(m,15)/t(m)save lyaplorenz3 te l1 l2 l3 ls -ascii -double -tabs


177

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IV

Abbildungsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis1.1 Eindimensionale Entwicklung der Störung δx(t) . . . . . . . . . . 61.2 Der eindimensionale Lyapunov-Exponent bei Di�erentialgleichun-

gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Lyapunov-Exponent im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Der eindimensionale Lyapunov-Exponent bei Di�erenzengleichun-

gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Lyapunov-Exponent der logistischen Abbildung für r ∈ [3, 4] . . . 171.6 Der Lyapunov-Exponent der logistischen Abbildung für verschie-

dene Iterationswerte n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1 Gram-Schmidt'sche Orthonormalisierung im R3 . . . . . . . . . . 313.2 Geometrische Deutung der Singulärwertzerlegung im R2 . . . . . 333.3 Geometrische Deutung der QR-Zerlegung im R2 . . . . . . . . . . 364.1 Anzahl der Di�erentialgleichungen in Abhängigkeit der Dimensi-

on n beim QR-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1 Physikalische Systeme zur Herleitung der Schwingungsgleichung . 605.2 Die Lyapunov-Exponenten als Funktion der Dämpfung δ . . . . . 635.3 Fehlerdarstellung der zeitlichen Lyapunov-Exponenten λ1,2(t) . . 645.4 Du�ng-Gleichung als mechanisches System . . . . . . . . . . . . 655.5 Phasenplots der homogenen und konservativen Du�ng-Gleichung 665.6 Phasenplots der inhomogenen Du�ng-Gleichung mit F0 ∈ [0.62, 0.7] 675.7 Phasenplots der inhomogenen Du�ng-Gleichung mit F0 ∈ [0.75, 0.8] 685.8 Phasenplots der inhomogenen Du�ng-Gleichung mit F0 ∈ [0.834, 0.863] 685.9 Orbits der homogenen van der Pol-Gleichung . . . . . . . . . . . 705.10 Orbits der inhomogenen van der Pol-Gleichung ε = 3, A = 15 . . 715.11 Orbits der Lorenz-Gleichung für σ = 10, b = 8

3 . . . . . . . . . . 735.12 Orbits der Lorenz-Gleichung für σ = 10, b = 8

3 . . . . . . . . . . 745.13 Phasenplots des Rössler-System mit c ∈ [2, 5] . . . . . . . . . . . 756.1 Die Versuchsgröÿen λ1,2, λ1 +λ2, |1− (λ1 +λ2)| und die Rechen-

zeit als Funktion des Stabilitätsparameter b . . . . . . . . . . . . 806.2 Die Versuchsgröÿen λ1,2, λ1 +λ2, |1− (λ1 +λ2)| und die Rechen-

zeit als Funktion der Amplitude A . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.3 Die Versuchsgröÿen λ1,2,3,

∑3i=1 λi, e(

∑3i=1 λi) und die Rechen-

zeit als Funktion der Zeit t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.4 Die Versuchsgröÿen λ1,2,3,

∑3i=1 λi, e(

∑3i=1 λi) und die Rechen-

zeit als Funktion von ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.5 Die Komponenten des Basisvektors e1(t) . . . . . . . . . . . . . . 906.6 Die Komponenten des Basisvektors e2(t) . . . . . . . . . . . . . . 916.7 Die Komponenten des Basisvektors e3(t) . . . . . . . . . . . . . . 916.8 Die Normen der Basisvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.9 Ergebnisse zur Rössler-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.1 Lyapunov-Exponenten als Funktion der Dämpfung δ . . . . . . . 967.2 Lyapunov-Exponenten als Funktion der Dämpfung δ . . . . . . . 977.3 Lyapunov-Exponenten als Funktion der Dämpfung δ . . . . . . . 977.4 Einschwingphase der Lyapunov-Exponenten . . . . . . . . . . . . 997.5 Lyapunov-Exponenten als Funktion von θ1 . . . . . . . . . . . . . 99

V


7.6 Einschwingphase der Lyapunov-Exponenten . . . . . . . . . . . . 1017.7 Lyapunov-Exponenten als Funktion von θ1 . . . . . . . . . . . . . 1017.8 λ1,2 als Funktion der Amplitude A . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.9 CPU-Time und e(λ1, λ2) als Funktion der Amplitude A . . . . . 1037.10 λ1,2 als Funktion der Amplitude A . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.11 CPU-Time und e(λ1, λ2) als Funktion der Amplitude A . . . . . 1047.12 Phasenplot der Du�ng-Gleichung für A = 0.8 . . . . . . . . . . . 1077.13 Zeitlicher Verlauf von λ1, λ2 und θ1 für A = 0.8 . . . . . . . . . . 1087.14 Zeitlicher Verlauf von λ1 + λ2 und e(λ1 + λ2) für A = 0.8 . . . . 1087.15 λ1, λ2 als Funktion des Winkels θ1 für A = 0.8 (Vergröÿerung) . . 1097.16 Phasenplot der van der Pol-Gleichung für ε = 5, A = 5, ω = 2.4661107.17 Zeitlicher Verlauf von λ1, λ2 und θ1 für ε = 5, A = 5, ω = 2.466 . 1117.18 λ1,2 als Funktion von θ1 (Vergröÿerung) . . . . . . . . . . . . . . 1117.19 Zeitlicher Verlauf von λ1 + λ2 für ε = 5, A = 5, ω = 2.466

(Vergröÿerung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.20 Lyapunov-Exponenten λ1,2 als Funktion von ω . . . . . . . . . . 1127.21 Summe von λ1,2 und CPU-Time als Funktion von ω . . . . . . . 1137.22 λ1,2 als Funktion von ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.23 λ1 + λ2 und CPU-Time als Funktion von ω . . . . . . . . . . . . 1147.24 λ1, λ2, λ3 als Funktion von ρ für ρ ∈ [0, 24] . . . . . . . . . . . . 1157.25

∑3i=1 λi, e(

∑3i=1 λi) als Funktion von ρ für ρ ∈ [0, 24] . . . . . . 116

7.26 λ1, λ2, λ3 als Funktion von ρ für ρ ∈ [24, 30] . . . . . . . . . . . 1177.27

∑3i=1 λi, e(

∑3i=1 λi) als Funktion von ρ für ρ ∈ [24, 30] . . . . . . 117

7.28 Phasenplot der Lorenzgleichung für ρ = 28 . . . . . . . . . . . . . 1197.29 Zeitlicher Verlauf der Lyapunov-Exponenten für die Lorenzglei-

chung mit ρ = 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.30 Zeitlicher Verlauf der Rotationswinkel θ1,2,3 der Lorenzgleichung

für ρ = 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.31 Phasenplot der Lorenzgleichung für ρ = 45.92 . . . . . . . . . . . 1217.32 Zeitlicher Verlauf der Lyapunov-Exponenten für die Lorenzglei-

chung mit ρ = 45.92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.33 Zeitlicher Verlauf der Rotationswinkel θ1,2,3 der Lorenzgleichung

für ρ = 45.92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.34 Lyapunov-Exponenten für die Rössler-Gleichung mit c ∈ [0, 10] . 1237.35 Summe der Lyapunov-Exponenten und die CPU-Time für die

Rössler-Gleichung mit c ∈ [0, 10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.36 Lyapunov-Exponenten für die Rössler-Gleichung mit c ∈ [10, 15] . 1257.37 Summe der Lyapunov-Exponenten und die CPU-Time für die

Rössler-Gleichung mit c ∈ [10, 15] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.38 Phasenplot der Rössler-Gleichung für c = 5.7 . . . . . . . . . . . 1277.39 Zeitlicher Verlauf der Lyapunov-Exponenten für die Rössler-Gleichung

mit c = 5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.40 Zeitlicher Verlauf der Rotationswinkel θ1,2,3 der Rössler-Gleichung

für c = 5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.41 Phasenplot der Rössler-Gleichung für c = 8 . . . . . . . . . . . . 1297.42 Zeitlicher Verlauf der Lyapunov-Exponenten für die Rössler-Gleichung

mit c = 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

VI


7.43 Zeitlicher Verlauf der Rotationswinkel θ1,2,3 der Rössler-Gleichungfür c = 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.1 Unterschiede in den Versuchsergebnissen für beide Verfahren alsFunktion von A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.2 Versuchsergebnisse für beide Verfahren als Funktion von A . . . 136

VII

Index(Matrix-) Fundamentallösung, 8(erste) Variationsgleichung, 6(zeit-)diskret, 5(zeit-)kontinuierlich, 5äuÿere periodische Erregung, 58äuÿeres Produkt, 29

a priori, 32Abbildung, 5, 156Ableitung, 46Abschätzung, 41absolute Fehlertoleranz, 75Achsen, 35Adams-Bashforth-Moulton, 158adjungiertes Di�erentialgleichungssy-

stem, 20Algorithmus, 46allgemeine lineare Gruppe der inver-

tierbaren Matrizen, 42allgemeiner Oszillator, 59Amplitude, 78analytische Untersuchung, 73Anfangsbedingung, 2Anfangswert, 6anziehende invariante Menge, 72anziehende Menge, 66Approximation des Grenzwertes, 40approximierter Lyapunov-Exponent,

40Attraktor, 72autonomes Di�erentialgleichungssy-

stem, 59

BDF-Formel, 158Bendixon-Kriterium, 67Bifurkationsstruktur, 69bijektiv, 157Blockdarstellung, 151Bridges, 29

Cayley-Transformation, 29, 42, 53,54, 56, 156, 157

Chaos, 1chaotische Dynamik, 67chaotischer Attraktor, 1

chaotischer Fall, 84chaotisches dynamisches System, 58chaotisches Verhalten, 59, 70, 135charakteristisches Polynom, 61, 71,

154Christiansen, 29, 30, 75CPU-Time, 76, 78, 96, 101, 110, 131,

135

Dämpferkraft, 64Dämpfung, 78, 96De�nition, 19Dellnitz, 28Determinante, 156, 157Devaney, 1Diagonal-Algorithmus, 36Diagonalelemente, 42�44Diagonalmatrix, 32, 34, 140Diagonalmatrixfunktion, 141Dieci, 28, 29, 36, 39, 40, 42di�erentialalgebraisches Gleichungs-

system, 142Di�erentialgleichung, 1, 3, 6, 8, 9, 40Di�erentialgleichung 2.Ordnung, 60Di�erentialgleichung erster Ordnung,

73Di�erentialgleichung mit konstanten

Koe�zienten, 60Di�erentialgleichungen, 36, 38, 45,

53, 56, 122, 141, 144, 146,147, 149, 150, 159

Di�erentialgleichungssystem, 51, 52,146, 148, 160

Di�erentialgleichungssystem 1.Ord-nung, 60, 65, 69, 71

Di�erentialgleichungssytem, 25di�erentielles Orthogonalisierungsver-

fahren, 76Di�erenzengleichung, 1, 8, 10, 16Diode, 69diskrete Variationsgleichung, 8diskretes QR-Verfahren, 35, 36, 39,

41Diskretisierungsfehler, 40

VIII

Index

dissipativ, 70dissipativ im Sinne von Levinson, 70,

71, 74Divergenz, 1Dormand-Prince, 158Dreiecksmatrix, 42, 43Du�ng-Gleichung, 3, 58, 59, 64, 65,

67, 78, 84, 89, 102, 131, 159,169

Du�ng-Oszillator, 58, 64dynamische Systeme, 75dynamisches System, 1, 8dynamisches Verhalten, 69

Eckmann, 36eigentliche orthogonale Matrix, 156Eigenvektor, 25Eigenwert, 25, 157Eigenwerte, 32, 51, 66, 69, 156, 157eindimensionale Di�erentialgleichung,

10Einheitskreis, 157Einheitsmatrix, 8Einheitsvektor, 13Einschwingphase, 98, 100elektromagnetischer Reihenschwing-

kreis, 58, 60, 69Elektrotechnik, 58Ellipsoid, 33ergodentheoretische Methoden, 28ergodisches Maÿ, 24erstes Integral, 65erweiterte Di�erentialgleichungen, 165erweiterte Di�erentialgleichungssyste-

me, 165erweiterte Schwingungsgleichung, 64erweitertes Di�erentialgleichungssy-

stem, 18, 29, 31erweitertes Du�ng-System, 165, 166erweitertes Lorenz-System, 166, 167euklidische Norm, 12exakte Arithmetrik, 40Exponentialansatz, 154Exponentialfunktion, 43, 153

Federkraft, 64Fehler, 41

Fehleranalysis, 40Fehlerbereich, 135Fehlergrenze, 40Fehlerschranke, 89Fehleruntersuchung für das QR-Verfahren,

29Fixpunkt, 1, 66Fluÿ, 5Fluÿ der Tangentialabbildung, 30, 33Fluÿ der Variationsgleichung, 7, 34Fokus, 66, 69Froyland, 28Fundamentallösung, 21Funktion, 156

Gauÿ-Legendre-Runge-Kutta-Verfahren,41

Gauÿ-Runge-Kutta-Verfahren, 40gedämpfte Du�ng-Gleichung, 64Geist, 28, 36Gencay, 28geometrische Interpretation, 32gesta�eltes Gleichungssystem, 27, 29Givenrotation, 29Givens, 75Givens-Rotation, 43, 96Givens-Rotationen, 42, 146Givens-Rotationsmatrix, 43, 135, 138Givens-Rotationsmatrizen, 45, 56, 96,

122, 131, 166, 169Givens-Rotationswinkel, 98Gleichungssystem, 46, 149, 151Gleichungssysteme, 151global anziehende Menge, 71Gram Schmidt'sche Verfahren, 172Gram Schmidt'sches Orthonormali-

sierungsverfahren, 28Gram Schmidt'sches Orthonormierungs-

verfahren, 75Gram-Schmidt, 30Gram-Schmidt'sche Orthogonalisie-

rungsverfahren, 174Gram-Schmidt'schen Orthogonalisie-

rungsverfahren, 89, 131Gram-Schmidt'sches Orthogonalisie-

rungsverfahren, 2, 29, 30, 40,135, 165

IX

Index

Gram-Schmidt'sches Orthonormali-sierungsverfahren, 28

Gram-Schmidt-Verfahren, 88, 138Grenzwert, 22Grenzzyklus, 70, 74Grobalgorithmus, 39Gruppe der eigentlichen orthogona-

len Matrizen, 42Gruppe der orthogonalen Matrizen,

42Gruppeneigenschaft, 5gruppentheoretische Methoden, 42

Habib, 42Halb�uÿ, 5Halbgruppeneigenschaft, 5Hamilton-System, 65Hauptdiagonale, 145Henon-Abbildung, 10Heugabel-Bifurkation, 71Higham, 29, 40, 41homöomorph, 72homogene Di�erentialgleichung, 61,

62homogene Du�ng-Gleichung, 66, 78,

79, 162homogene Schwingungsgleichung, 76,

96, 98homogene van der Pol-Gleichung, 69homogenes Du�ng-System, 65homokline Bifurkation, 67homokliner Orbit, 66Hook'sches Gesetz, 60Householder-Re�ektoren, 42Hurwitz-Kriterium, 71

imaginär, 69, 156, 157inhomogene Di�erentialgleichung, 62inhomogene Du�ng-Gleichung, 81,

102, 163inhomogene Schwingungsgleichung, 77,

100inhomogene van der Pol-Gleichung,

70integral getrennt, 32integrale Trennbarkeit, 23Integratinosroutinen, 84

Integratinoszeit, 102Integrationsverfahren, 92Integrationszeit, 76, 78, 84, 89, 98,

100Inverse, 44, 52, 149inverse Cayley-Transformation, 53,

157Inverse der Matrix, 46invertierbar, 157invertierbare Matrizen, 156

Jacobi-Matrix, 7�9, 18, 28, 29, 31,36, 39, 48, 50, 55, 59, 66, 69,165

k-dimensionale Volumenelemente, 34k-faches äuÿeres Produkt, 27k-te äuÿere Potenz, 27k-te assozierte Matrix, 26kanonische Basis, 6, 13, 62Kantor-Menge, 72Kirchho�'sche Regeln, 60Kirchho�'sches Gesetz, 69Knoten, 66, 70Koe�zientenvergleich, 44, 50�52, 55,

146, 148, 149Komplexität, 3, 56konjugiert komplex, 69konservatives Sytem, 66Konstante, 41Konstanten, 40kontinuierliches QR-Verfahren, 36, 38,

39, 41Konvergenz, 1Koordinatentransformation, 21Kreis-Frequenzen, 110Kreisfrequenz, 78kubische Nichtliearität, 64

Lösung, 143Lösungskurve, 10lineare zeitvariante Di�erentialglei-

chung, 7linearer zeitinvarianter Fall, 41lineares Gleichungssystem, 46lineares, zeitinvariantes System, 62linearisierte Fluÿabbildung, 5, 8Linearisierung, 66

X

Index

Linearisierung einer Trajektorie, 24logarithmisches Wachstum, 13Logarithmus, 32logistische Abbildung, 16logistische Di�erentialgleichung, 14Lorenz, 58Lorenz-Attraktor, 72Lorenz-Gleichung, 3, 58, 71, 72, 85,

89, 114, 131, 160, 164, 169Lorenz-System, 70, 72Lyapunov, 1Lyapunov Characteristic Exponent,

1Lyapunov-Exponent, 1, 10, 15, 19,

32, 35Lyapunov-Exponent k-ter Ordnung,

35Lyapunov-Exponenten, 2, 3, 5, 6, 10,

19, 20, 25, 28�32, 34, 37�40,42, 45, 47, 50, 52, 54, 55, 58,59, 62, 76, 78, 84, 88, 89, 96,98, 100, 101, 107, 110, 119,131, 135, 138, 140, 161, 169,174

Lyapunov-Exponenten für Di�eren-tialgleichungen, 19

Lyapunov-Exponenten k-ter Ordnung,26, 29

Lyapunov-Spekrum, 2Lyapunov-Spektrum, 19, 32, 63Lyapunov-Transformation, 21, 22Lyapunov-Zahlen, 25

maÿtheoretische Methoden, 28Mannigfaltigkeit, 66, 72Mannigfaltigkeiten, 72Maschinengenauigkeit, 101Matlab, 4, 75, 96, 158, 161Matlab 6.5r Release 13, 158Matlab ODE-Suite, 4Matrix, 34, 46, 122, 140, 144, 149�

151, 153, 154, 157Matrix-Di�erenzengleichung, 8Matrix-Vektor-Produkt, 151Matrix-Vektor-Schreibweise, 149Matrixdi�erentialgleichung, 8, 143Matrixelemente, 46

Matrixexponentialfunktion, 29, 42, 49�51, 56, 61, 153, 154

Matrixfundamentallösung, 8, 19, 20,22, 25, 29, 32, 33, 35, 36, 42,140

Matrixfunktion, 141Matrixvariationsgleichung, 62Matrizen, 142, 156Matrizenfunktionen, 32McDonald, 29, 41Mechanik, 58mechanisches Pendel, 60mechanisches System, 64Mehrschrittverfahren, 158Mettin, 69, 70Mittelwert, 22mittlere logarithmische Ausdehnungs-

rate, 33multiplikativer Ergodensatz von Ose-

ledec, 2, 24

Navier-Stokes-Gleichungen, 58NDF-Formel, 158Nebendiagonalelemente, 149Newton, 64nichtlineare Di�erentialgleichung, 10,

39nichtlineare Di�erenzengleichung, 13nichtlineare Zeitreihenanalyse, 28nichtlineares Di�erentialgleichungs-

system, 12nichtlineares System, 9, 24Norm, 89Normen, 172Nullstellen, 61, 71, 154numerische Integration, 39, 47numerischer Interationsfehler, 41numerisches Integrationsschema, 40numerisches Lyapunov-Spektrum, 20,

24

obere Dreiecksmatrix, 21, 35, 42, 49,52, 54, 144

oberer Lyapunov-Exponent, 19ODE Routinen, 158ODE-Routine, 76, 114, 122

XI

Index

ODE-Routinen, 78, 85, 102, 107, 109,135

ode113, 75, 78, 84, 85, 89, 96, 101,107, 110, 114, 122, 158

ode15s, 75, 78, 84, 101, 107, 110ode15s (BDF), 85, 96, 114, 122ode15s (NDF), 85, 89, 92, 96, 114,

122ode45, 75, 78, 84, 85, 89, 92, 96, 101,

102, 107, 110, 114, 122, 138,158

Orbit, 1orthogonal, 35, 47, 49, 141, 144orthogonale Basen, 35orthogonale Basis, 89orthogonale Lyapunov-Transformation,

21orthogonale Matrix, 21, 29, 35, 42,

45, 49, 53, 114, 144, 156, 157orthogonale Matrizen, 32, 140, 156orthogonales System, 27Orthogonalität, 39, 40orthonormal, 23Orthonormalbasis, 29orthonormale Basen, 172orthonormale Basis, 35orthonormale Vektoren, 30Oseledec, 1, 24Oszillator, 59Oszillatoren, 59

Papula, 58Parallelepiped, 30, 34, 35Parameter, 60, 84, 98, 100, 102, 109,

114Parameterbereich, 96Parametersätze, 114Pendel, 58Periodenverdoppelung, 74periodisch erregte Oszillatoren, 58periodisch erregte Schwingungsglei-

chung, 63periodische Erregung, 58, 59periodische Funktion, 59periodische Orbits, 72periodischer Orbit, 1, 70Perron, 21

Phasenplot, 110, 119Phasenraum, 5, 74Poincare-Abbildung, 67Population, 16Populationsdynamik, 14positive Diagonalelemente, 35Potenreihenansatz, 153Potenzen, 153, 154Potenzreihenansatz, 51Produkt, 46Produkt orthogonaler Matrizen, 42projektierte Integrationsverfahren, 40projektierte Runge-Kutta-Verfahren,

41Punktspektrum, 20

QR-Verfahren, 2, 3, 28, 29, 34, 40,49, 53, 75, 96, 122, 131, 135,138, 141, 146, 166, 169

QR-Verfahren mit Cayley-Transformation,3

QR-Verfahren mit Givens-Rotationen,42

QR-Verfahren mit Givens-Rotationsmatrizen,3

QR-Verfahren mit Matrixexponenti-alfunktion, 3

QR-Zerlegung, 35, 36, 144Quader, 29quadratische Matrizen, 141quasiperiodischer Orbit, 1

Rössler, 73Rössler-Gleichung, 3, 58, 73, 92, 122,

160, 164, 166, 169Ramasubramanian, 28Rangarajan, 29, 75Realteil, 69Rechenzeit, 78, 101, 107, 131reduzierte Variationsgleichung, 59Re�ektionen, 156regulär, 20, 22Regularisierung, 54Regularisierungsverfahren, 54Regularität, 2, 19, 20, 22Reich, 29Reihenschwingskreis, 60

XII

Index

Reitmann, 70relative Fehlertoleranz, 75Reorthogonalisierung, 30, 40Riccati-Di�erentialgleichung, 51Richtungsvektor, 13RLC-Reihenschaltung, 58Rosenstein, 28Rotationen, 42, 156Rotationsmatrix, 150Rotationsmatrizen, 122Rotationswinkel, 100, 110, 119, 172,

174Rotationszeit, 98Ruelle, 36Rugh, 29, 30, 75Ruhelage, 1, 61, 62Rundungsfehler, 40Runge-Kutta-Verfahren, 41Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung

4(5), 158

Sattel-Fokus, 72Sattel-Strudel-Punkte, 72Sattelknoten, 71, 72Sattelpunkt, 66Satz von Andronov Hopf, 70Satz von Oseledec, 19, 24, 25, 29, 32,

35Satz von Smale-Birkho�, 67Schema, 45schiefsymmetrisch, 38, 44, 46, 52, 54,

142, 144, 156schiefsymmetrische Matrix, 21, 29,

42, 49, 53, 145, 156, 157schiefsymmetrische Matrizen, 34, 156schwach schiefsymmetrisch, 38schwach schiefsymmetrische Systeme,

40Schwingung, 110Schwingungsgleichung, 3, 58, 60, 76,

78, 96, 101, 159, 165, 169Senke, 66sensitive Abhhängigkeit, 2Separatrix, 72Separatrix-Schlinge, 72Separatrizen, 72singulär, 46, 53, 59

Singulärwertansatz, 33Singulärwertzerlegung, 3, 4, 28, 32,

33, 39, 140, 141, 144Skalarprodukt, 31Spaltenvektoren, 35Spektralzerlegung, 157Spektrum, 157spezielle QR-Verfahren, 3, 42, 56Sphäre, 33Spur der Systemmatrix, 22Spur einer Matrix, 20Störung, 6stabiler Fokus, 72stabiler Knoten, 71, 72Stabilität, 2, 19, 20Stabilität der Lyapunov-Exponenten,

23Stabilitätsparameter, 30, 32, 76, 78,

85, 89Stabilitätstheorie, 1Stabiltätsparameter, 84Standard-QR-Verfahren, 4, 56steife Di�erentialgleichung, 58Steifheit, 84Strehmel, 158Stromdi�erentialgleichung, 69subkritische Hopf-Verzweigung, 72Summe der Lyapunov-Exponenten,

76superkritische Hopf-Bifurkation, 70symmetrische Matrix, 31, 32, 42symplektischer Fall, 42System, 5System von Matrixdi�erentialgleichun-

gen, 33Systeme mit konstanten Koe�zien-

ten, 20Systemmatrix, 23, 41, 61Systemparameter, 9, 23, 71

Tangentialabbildung, 5, 25, 33Tangentialraum, 6, 8, 27, 35, 156Theorie, 19Theorie der Lyapunov-Exponenten,

19Trajektorie, 1, 10Transformation auf Dreiecksform, 20

XIII

Index

Transitionsmatrix, 36, 61Treppen-Iterations-Algorithmus, 36

ungedämpfte Du�ng-Gleichung, 64Ungleichung für Lyapunov-Exponenten,

20unitäre Integratoren, 40unterer Lyapunov-Exponent, 19Unterraum, 29

Vakuum-Röhre, 69Van der Pol-Gleichung, 3van der Pol-Gleichung, 58, 67, 69,

70, 84, 109, 110, 159, 164,165, 169

Van Vleck, 28Variationsgleichung, 1, 3, 7�9, 15, 25,

29, 33, 35, 38, 41, 42, 49, 50,53, 59

Verhulst, 14Versuchsparameter, 76, 78Volumen, 29, 35Volumenelement, 74von Bremen, 29, 42, 54, 59

Weiner, 158Wiggins, 58, 66Winkel, 46, 149, 151Winkelvariable, 43Wirbelpunkt, 66Wolf, 36

Zeilenumformungen, 151zeitdiskrete Systeme, 47zeitdiskretes dynamisches System, 8,

16zeitkontinuierliches System, 6zeitliche Entwicklung, 110zeitlicher Verlauf, 119Zeitreihe, 28Zustandsraum, 5Zustandsraumkoordinaten, 59Zustandsraumvariable, 65

XIV

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