Nichtlineare Modellierung in denNaturwissenschaften (SS 2011)Projekt: Lithium-Ionen-Akkus
Gautam Banhatti,Jan Willimzig 11. Juli 2011wissen leben
WWU Münster
WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER
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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus 2/11
> Übersicht über den Vortrag
Rückblickmathematisches Modellstationäres Problem
FortschrittRobin-Randbedingungen für das elektrische PotentialNeumann-Randbedingungen für die KonzentrationLösung des stationären Systems
AusblickVerbesserung der stationären Lösung
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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus 3/11
> mathematisches Modell
I Modell in 1-D mit Lithium-Folien-Anode (∂Ω1), festemElektrolyten (Ω1) und fester Kathode mit Li-Einlagerungen(Ω2)
I Für Ω1 mit Poisson- und Nernst-Planck-Gleichung:
L21δ∂τc = DLi+∂x1 (∂x1 c + c∂x1ϕ) , ∂x1x1ϕ = − 1
2ε2 (c− cA) mit
c (x1,0) = c0 (x1) , ϕ (x1,0) = ϕ0 (x1) .
I Für Ω2 mit Diffusionsgleichung:
L22δ% = DLi∂x2x2% mit % (x2,0) = 0.
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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus 3/11
> mathematisches Modell
I Modell in 1-D mit Lithium-Folien-Anode (∂Ω1), festemElektrolyten (Ω1) und fester Kathode mit Li-Einlagerungen(Ω2)
I Für Ω1 mit Poisson- und Nernst-Planck-Gleichung:
L21δ∂τc = DLi+∂x1 (∂x1 c + c∂x1ϕ) , ∂x1x1ϕ = − 1
2ε2 (c− cA) mit
c (x1,0) = c0 (x1) , ϕ (x1,0) = ϕ0 (x1) .
I Für Ω2 mit Diffusionsgleichung:
L22δ% = DLi∂x2x2% mit % (x2,0) = 0.
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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus 3/11
> mathematisches Modell
I Modell in 1-D mit Lithium-Folien-Anode (∂Ω1), festemElektrolyten (Ω1) und fester Kathode mit Li-Einlagerungen(Ω2)
I Für Ω1 mit Poisson- und Nernst-Planck-Gleichung:
L21δ∂τc = DLi+∂x1 (∂x1 c + c∂x1ϕ) , ∂x1x1ϕ = − 1
2ε2 (c− cA) mit
c (x1,0) = c0 (x1) , ϕ (x1,0) = ϕ0 (x1) .
I Für Ω2 mit Diffusionsgleichung:
L22δ% = DLi∂x2x2% mit % (x2,0) = 0.
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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus 4/11
> stationäres Problem
I Lösung des stationären gekoppelten Systems
DLi+∂x1 (∂x1 c + c∂x1ϕ) = 0
∂x1x1ϕ = − 12ε2 (c− cA)
(plus Randwerte) führt zu den benötigten Anfangswertenc0 (x1) und ϕ0 (x1) auf Ω1.
I Lösungsansatz: Approximation der Ableitungen durch finiteDifferenzen auf einem äquidistanten Gitter undanschließendes Lösen eines nichtlinearenGleichungssystems.
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> stationäres Problem
I Lösung des stationären gekoppelten Systems
DLi+∂x1 (∂x1 c + c∂x1ϕ) = 0
∂x1x1ϕ = − 12ε2 (c− cA)
(plus Randwerte) führt zu den benötigten Anfangswertenc0 (x1) und ϕ0 (x1) auf Ω1.
I Lösungsansatz: Approximation der Ableitungen durch finiteDifferenzen auf einem äquidistanten Gitter undanschließendes Lösen eines nichtlinearenGleichungssystems.
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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus 5/11
> Robin-Randbedingungen für das elektr. Potential
I Gesucht: Φ (X) = Φ0 −∆ΦS.
I Annahme: planare Grenzfläche zwischen Elektroden undElektrolyt→ Plattenkondensator.
I Dann gelten: CS = Q∆ΦS
, E = QAε0εr
und E = −∂X Φ.
I Einsetzen und CS = ACS liefern
−∂X Φ +CS
ε0εrΦ =
CS
ε0εrΦ0 bzw. ∂nΦ +
CS
ε0εrΦ =
CS
ε0εrΦ0
I normiert:∂nϕ+
1γεϕ =
ϕ0
γε.
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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus 5/11
> Robin-Randbedingungen für das elektr. Potential
I Gesucht: Φ (X) = Φ0 −∆ΦS.I Annahme: planare Grenzfläche zwischen Elektroden und
Elektrolyt→ Plattenkondensator.
I Dann gelten: CS = Q∆ΦS
, E = QAε0εr
und E = −∂X Φ.
I Einsetzen und CS = ACS liefern
−∂X Φ +CS
ε0εrΦ =
CS
ε0εrΦ0 bzw. ∂nΦ +
CS
ε0εrΦ =
CS
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I normiert:∂nϕ+
1γεϕ =
ϕ0
γε.
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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus 5/11
> Robin-Randbedingungen für das elektr. Potential
I Gesucht: Φ (X) = Φ0 −∆ΦS.I Annahme: planare Grenzfläche zwischen Elektroden und
Elektrolyt→ Plattenkondensator.I Dann gelten: CS = Q
∆ΦS, E = Q
Aε0εrund E = −∂X Φ.
I Einsetzen und CS = ACS liefern
−∂X Φ +CS
ε0εrΦ =
CS
ε0εrΦ0 bzw. ∂nΦ +
CS
ε0εrΦ =
CS
ε0εrΦ0
I normiert:∂nϕ+
1γεϕ =
ϕ0
γε.
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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus 5/11
> Robin-Randbedingungen für das elektr. Potential
I Gesucht: Φ (X) = Φ0 −∆ΦS.I Annahme: planare Grenzfläche zwischen Elektroden und
Elektrolyt→ Plattenkondensator.I Dann gelten: CS = Q
∆ΦS, E = Q
Aε0εrund E = −∂X Φ.
I Einsetzen und CS = ACS liefern
−∂X Φ +CS
ε0εrΦ =
CS
ε0εrΦ0 bzw. ∂nΦ +
CS
ε0εrΦ =
CS
ε0εrΦ0
I normiert:∂nϕ+
1γεϕ =
ϕ0
γε.
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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus 5/11
> Robin-Randbedingungen für das elektr. Potential
I Gesucht: Φ (X) = Φ0 −∆ΦS.I Annahme: planare Grenzfläche zwischen Elektroden und
Elektrolyt→ Plattenkondensator.I Dann gelten: CS = Q
∆ΦS, E = Q
Aε0εrund E = −∂X Φ.
I Einsetzen und CS = ACS liefern
−∂X Φ +CS
ε0εrΦ =
CS
ε0εrΦ0 bzw. ∂nΦ +
CS
ε0εrΦ =
CS
ε0εrΦ0
I normiert:∂nϕ+
1γεϕ =
ϕ0
γε.
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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus 6/11
> Neumann-Randbedingungen für die Konzentration
I Klassische Modellierung einer Redoxreaktion AB durch
∂tCA = −kvCA + krCB.
I Mithilfe der Eyring-Theorie ki = kBTh−1 exp(−∆G‡i (RT)−1
)und ∆G‡v = ∆G‡0,v − α∆ΦSF , ∆G‡r = ∆G‡0,r + (1− α) ∆ΦSFfolgt
∂tCA = −kvCAeα∆ϕS + krCBe−(1−α)∆ϕS
für geeignete Koeffizienten kv, kr und Normierung∆ϕS = ∆ΦSRTF−1.
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> Neumann-Randbedingungen für die Konzentration
I Klassische Modellierung einer Redoxreaktion AB durch
∂tCA = −kvCA + krCB.
I Mithilfe der Eyring-Theorie ki = kBTh−1 exp(−∆G‡i (RT)−1
)und ∆G‡v = ∆G‡0,v − α∆ΦSF , ∆G‡r = ∆G‡0,r + (1− α) ∆ΦSFfolgt
∂tCA = −kvCAeα∆ϕS + krCBe−(1−α)∆ϕS
für geeignete Koeffizienten kv, kr und Normierung∆ϕS = ∆ΦSRTF−1.
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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus 7/11
> Neumann-Randbedingungen für die Konzentration
I Übergang zum Fluss JA und Normierung:
nJA = kvcAeα(ϕ0−ϕ) − krcBe−(1−α)(ϕ0−ϕ)
I Im ModellJA = DLi+∂x1 c + DLi+ c∂x1ϕ.
I Analoge Modellierung für % auf ∂Ω1 ∩ ∂Ω2.
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> Neumann-Randbedingungen für die Konzentration
I Übergang zum Fluss JA und Normierung:
nJA = kvcAeα(ϕ0−ϕ) − krcBe−(1−α)(ϕ0−ϕ)
I Im ModellJA = DLi+∂x1 c + DLi+ c∂x1ϕ.
I Analoge Modellierung für % auf ∂Ω1 ∩ ∂Ω2.
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> Neumann-Randbedingungen für die Konzentration
I Übergang zum Fluss JA und Normierung:
nJA = kvcAeα(ϕ0−ϕ) − krcBe−(1−α)(ϕ0−ϕ)
I Im ModellJA = DLi+∂x1 c + DLi+ c∂x1ϕ.
I Analoge Modellierung für % auf ∂Ω1 ∩ ∂Ω2.
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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus 8/11
> Lösung des stationären Systems
I Finite Differenzen→ Koeffizientenmatrizen Lc (ϕ) , Lϕ undFunktionsvektoren Fc, Fϕ (c).
I Bestimmung der Nullstelle der nichtlinearen Funktion
G (c, ϕ) :=
(Lc (ϕ) 0
0 Lϕ
)(cϕ
)=
(Fc
Fϕ (c)
)mithilfe des fsolve-Matlab-Befehls(Levenberg-Marquardt-Algorithmus).
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> Lösung des stationären Systems
I Finite Differenzen→ Koeffizientenmatrizen Lc (ϕ) , Lϕ undFunktionsvektoren Fc, Fϕ (c).
I Bestimmung der Nullstelle der nichtlinearen Funktion
G (c, ϕ) :=
(Lc (ϕ) 0
0 Lϕ
)(cϕ
)=
(Fc
Fϕ (c)
)mithilfe des fsolve-Matlab-Befehls(Levenberg-Marquardt-Algorithmus).
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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus 9/11
> Lösung des stationären Systems
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x1φ
Anfangswerte der Konzentration und des Potentials im Elektrolyten
Konzentration Potential
Abbildung: Vergleich der Lösungen für das stationäre Problem
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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus 10/11
> Lösung des stationären Systems
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
0.5
1
1.25
x1φ
Anfangswerte der Konzentration und des Potentials im Elektrolyten
Konzentration Potential
Abbildung: Vergleich der Lösungen für das stationäre Problem(Ausschnitt)
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WESTFÄLISCHEW ILHELMS-UNIVERSITÄTMÜNSTER Lithium-Ionen-Akkus 11/11
> Verbesserung der stationären Lösung
I Zurzeit noch Abweichungen nahe bei 0 und 1.
I Hoher Rechenaufwand und numerische Oszillationen beihoher Stützstellenzahl
I mögliche Verbesserungen:
I Wechsel des Verfahrens, zum Beispiel Finite ElementeI Anpassung der Schrittweite an Gestalt der Lösung→ feinere
Auflösung an den Rändern, weniger Stützstellen im Intervall,da c und ϕ hier nahezu konstant.
I Verwendung eines besseren Lösers
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> Verbesserung der stationären Lösung
I Zurzeit noch Abweichungen nahe bei 0 und 1.I Hoher Rechenaufwand und numerische Oszillationen bei
hoher Stützstellenzahl
I mögliche Verbesserungen:
I Wechsel des Verfahrens, zum Beispiel Finite ElementeI Anpassung der Schrittweite an Gestalt der Lösung→ feinere
Auflösung an den Rändern, weniger Stützstellen im Intervall,da c und ϕ hier nahezu konstant.
I Verwendung eines besseren Lösers
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> Verbesserung der stationären Lösung
I Zurzeit noch Abweichungen nahe bei 0 und 1.I Hoher Rechenaufwand und numerische Oszillationen bei
hoher StützstellenzahlI mögliche Verbesserungen:
I Wechsel des Verfahrens, zum Beispiel Finite ElementeI Anpassung der Schrittweite an Gestalt der Lösung→ feinere
Auflösung an den Rändern, weniger Stützstellen im Intervall,da c und ϕ hier nahezu konstant.
I Verwendung eines besseren Lösers
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> Verbesserung der stationären Lösung
I Zurzeit noch Abweichungen nahe bei 0 und 1.I Hoher Rechenaufwand und numerische Oszillationen bei
hoher StützstellenzahlI mögliche Verbesserungen:
I Wechsel des Verfahrens, zum Beispiel Finite Elemente
I Anpassung der Schrittweite an Gestalt der Lösung→ feinereAuflösung an den Rändern, weniger Stützstellen im Intervall,da c und ϕ hier nahezu konstant.
I Verwendung eines besseren Lösers
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> Verbesserung der stationären Lösung
I Zurzeit noch Abweichungen nahe bei 0 und 1.I Hoher Rechenaufwand und numerische Oszillationen bei
hoher StützstellenzahlI mögliche Verbesserungen:
I Wechsel des Verfahrens, zum Beispiel Finite ElementeI Anpassung der Schrittweite an Gestalt der Lösung→ feinere
Auflösung an den Rändern, weniger Stützstellen im Intervall,da c und ϕ hier nahezu konstant.
I Verwendung eines besseren Lösers
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> Verbesserung der stationären Lösung
I Zurzeit noch Abweichungen nahe bei 0 und 1.I Hoher Rechenaufwand und numerische Oszillationen bei
hoher StützstellenzahlI mögliche Verbesserungen:
I Wechsel des Verfahrens, zum Beispiel Finite ElementeI Anpassung der Schrittweite an Gestalt der Lösung→ feinere
Auflösung an den Rändern, weniger Stützstellen im Intervall,da c und ϕ hier nahezu konstant.
I Verwendung eines besseren Lösers
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