V19 - 1 Nichtlineare Berechnungen von Stahlbetontragwerken mit diskreter Bewehrung Gunter Schenck Zusammenfassung: Es werden grundsätzliche Möglichkeiten aufgezeigt, BRIC-Elemente mit diskreten Bewehrungsstäben in Finite Element Netzen zu koppeln. Darauf aufbauend wird anhand von Beispielen die praktische Anwendung demonstriert. Summary: This paper outlines basic ways to couple BRIC elements with discrete reinforcement bars in Finite Element Meshes. Based on this the practical application is demonstrated by several examples. 1 MATERIAL - NICHTLINEARE BERECHNUNG 1.1 Grundsätzliches Eine Berechnung von Stahlbetonbauteilen unter Berücksichtigung nichtlinearen Materialverhaltens verspricht einige Vorteile: – wirklichkeitsnahe Abbildung der Tragfähigkeit von Strukturen, – Berechnung realistische Verformungen – Rissprognose oder – Aufzeigen von Riss- oder Schädigungsursachen. Damit erscheint diese Berechnungsmethode auf den ersten Blick besonders für alle Probleme geeignet, in denen ein „genaues“ Ergebnis gefordert wird. Doch für die material-nichtlineare Berechnung von Stahlbetonbauteilen sind gegenüber der üblichen linearen Berechnung eine Reihe von Einschränkungen zu beachten: – das Superpositionsprinzip für Schnittgrößen, Spannungen und Dehnungen ist nicht gültig, – es werden neben E-Modul und Querdehnzahl mindestens noch Zug- und Druckfestigkeit und die zugehörigen Bruchenergien benötigt, – Bewehrung ist zu berücksichtigen und – die Reihenfolge der Lastaufbringung kann entscheidend sein.
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Nichtlineare Berechnungen von Stahlbetontragwerken mit diskreter
Bewehrung
Gunter Schenck
Zusammenfassung:
Es werden grundsätzliche Möglichkeiten aufgezeigt, BRIC-Elemente mit diskreten
Bewehrungsstäben in Finite Element Netzen zu koppeln. Darauf aufbauend wird anhand von
Beispielen die praktische Anwendung demonstriert.
Summary:
This paper outlines basic ways to couple BRIC elements with discrete reinforcement bars in Finite
Element Meshes. Based on this the practical application is demonstrated by several examples.
1 MATERIAL - NICHTLINEARE BERECHNUNG
1.1 Grundsätzliches
Eine Berechnung von Stahlbetonbauteilen unter Berücksichtigung nichtlinearen Materialverhaltens
verspricht einige Vorteile:
– wirklichkeitsnahe Abbildung der Tragfähigkeit von Strukturen,
– Berechnung realistische Verformungen
– Rissprognose oder
– Aufzeigen von Riss- oder Schädigungsursachen.
Damit erscheint diese Berechnungsmethode auf den ersten Blick besonders für alle Probleme
geeignet, in denen ein „genaues“ Ergebnis gefordert wird.
Doch für die material-nichtlineare Berechnung von Stahlbetonbauteilen sind gegenüber der
üblichen linearen Berechnung eine Reihe von Einschränkungen zu beachten:
– das Superpositionsprinzip für Schnittgrößen, Spannungen und Dehnungen ist nicht gültig,
– es werden neben E-Modul und Querdehnzahl mindestens noch Zug- und Druckfestigkeit
und die zugehörigen Bruchenergien benötigt,
– Bewehrung ist zu berücksichtigen und
– die Reihenfolge der Lastaufbringung kann entscheidend sein.
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Dazu kommt noch ein deutlich erhöhter Aufwand für die Modellierung, Berechnung und auch
Auswertung, so dass der Einsatz dieser Methoden im Einzelfall im Sinne einer Aufwand-Nutzen-
Betrachtung beurteilt werden sollte.
Im Folgenden soll ein kleiner Einstieg beim Einsatz diese Methode für räumliche Systeme (BRIC-
Elemente mit ASE) mit SOFiSTiK gegeben werden.
1.2 Materialmodelle
Beton ist ein „einfacher“ Werkstoff, überall herstellbar, leicht zu formen, günstig, aber für die
Berechnung „kompliziert“:
– heterogen
– nichtlineares Verhalten
– unterschiedliches Softening bei Druck- und Zugbeanspruchung
– Volumendilitanz unter Belastung
– umschnürungsabhängige Festigkeiten
– Anisotrop,
– Rissbildung,
– Size-Effekt.
In SOFiSTiK steht eine Vielzahl von nichtlinearen Materialmodellen zur Auswahl, die aber für den
Anwendungsfall Stahlbeton mit Rissen nur begrenzt einsetzbar sind. Für einige Anwendungsfälle
(QUAD-Elemente) kann das BETO-Material zum Einsatz kommen.
Für BRIC-Elemente bietet es sich an, ein benutzerdefiniertes Material zu verwenden. Hier wird die
eigene weiterentwickelte Implementierung M4n des Materials M4 von Bažant und Cahner [1]
eingesetzt, die auf der Basis unserer Arbeiten bei Prof. Tue an der Universität Leipzig entstand.
1.3 Verbund
Für die Modellierung des Verbundes gibt es verschiedene Möglichkeiten. In der DIN 1045-1
ist in Abschnitt 12.5 der Bemessungswert der Verbundspannung fbd angegeben. Dabei wird der
nichtlineare Verlauf der Verbund-Schlupf-Beziehung durch einen mittleren (konstanten) Wert
angenähert. Durch diesen Ansatz kann eine Entfestigung des Verbundes nicht abgebildet werden.
Eine bessere Möglichkeit ist der Einsatz von Federarbeitslinien z.B. nach Modelcode 90. Diese
genauere Möglichkeit wird hier genutzt. Wie in Abbildung 1 zu sehen ist, kann dadurch auch das
Verbundversagen bei größerem Schlupf abgebildet werden.
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Abbildung 1: Analytische Verbundspannungs – Schlupf Beziehung nach MC 90
2 BEISPIEL: ZUGSTAB
2.1 System und Material
Es kommt ein einfaches System mit den Abmessungen 16 cm x 16 cm x 200 cm zum Einsatz (siehe
Abbildung 2), die Materialien werden in AQUA definiert:
+prog aqua kopf Material für Zugstab echo voll extr norm DIN 1045-1 $ Beton mate 1 E 26000 mue 0.2 bez Beton $ !Usermat! Microplane M4n (with regularisation) nmat 1 ART USD4 p11 0.04 $ P11 = crackband size (m) $Bewehrung stah 2 bst 500 rohr 14 14 mnr 2 $ Bewehrungs D = 14 mm ende
Abbildung 2: System Beton-Zugstab mit mittiger Bewehrung ds=14 mm
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Der Zugstab besteht aus 4x4x40 BRIC-Elementen mit je 4 cm Kantenlänge. Mittig wird ein
einzelner Bewehrungsstab ∅ 14 mm eingebettet. Der Beton entspricht einem C20/25
gemäß DIN 1045-1 mit einer mittleren Druckfestigkeit von fcm= 28 N/mm² und einer ansetzbaren
Zugfestigkeit von ca. 2 N/mm².
2.2 Verbund
Die Beschreibung des Verbundes erfolgt durch den Einsatz von nichtlinearen Federn als
Koppelelemente zwischen Beton und Bewehrungsstab. Dabei wird in Anlehnung an den Modelcode
90 eine Federarbeitslinie definiert. Diese wird in beide Richtungen (Druck und Zug) definiert.
eps [o/oo]
1.2
1.2
1.1
1.1
1.0
1.0
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
-1.2
-1.2
-1.1
-1.1
-1.0
-1.0
-0.9
-0.9
-0.8
-0.8
-0.7
-0.7
-0.6
-0.6
-0.5
-0.5
-0.4
-0.4
-0.3
-0.3
-0.2
-0.2
-0.1
-0.1
0.0
sig [MPa]
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
Abbildung 3: Federarbeitslinie zur Abbildung des Verbunds
2.3 Einbettung der Bewehrung
Für die Einbettung der Bewehrung ist es nötig, die Knoten für die Bewehrung explizit zu erzeugen,
da diese auf vorhandenen Knoten liegen und ansonsten automatisch mit diesen verschmolzen
werden.
prog sofimsha [...] $ Knoten und Verbundfeder loop#i 41 $ Knoten $ Bewehrungsknoten knot 1+#i 0 0 #i*$(elem) fix pxpz $ Verbundfeder fede 1+#i 501+#i 1+#i dz 1 mnr 999 ar 14*#pi*0.04*1000 endloop $ Bewehrung d=14mm loop#i 40 $ Elemente fach #i+1 001+#i 001+#i+1 qnr 14 endloop ende
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Die BRIC-Knoten beginnen bei Nr. 501, die Bewehrungsknoten bei Nr. 1. Wichtig ist, dass die
Federrichtung explizit gesetzt wird (dz 1dz 1dz 1dz 1), da beide Knoten übereinander liegen.
Für komplizierte Geometrien lässt es sich nicht einrichten, dass man immer übereinanderliegende
Bewehrungsknoten und BRIC-Knoten hat. In diesen Fällen kann man zusätzliche Koppeknoten
einfügen, die über kinematische Bedingungen mit dem Grundnetz verbunden sind.
2.4 Berechnung
Es werden im Folgenden zwei Varianten untersucht:
a) unbewehrt,
b) bewehrt und mit Verbundgesetz gekoppelt.
Die Belastung wird in beiden Varianten verformungsgesteuert in 300 Schritten von je 0,02 mm als
Zugverformung (Auflagerverschiebung) an eine Stirnseite aufgebracht.
Die Berechnung erfolgt mit schrittweise aufgebrachter Belastung in ASE mit:
+prog ase kopf Zugstab M4n nonlinear dehn kmod s1 ksv sl $ Bewehrung nichtlinear steu solv 2 w4 1 w5 0.1 $ iterativer Solver, kann auch geändert werden loop#i 300 $ 300 Lastschritte if #i>0 syst prob nonl iter 200 tol 0.05 nmat ja plf #i lf #i+1 lc 1 fakt #i+1 else $ ersten LF ohne Primärlastfall rechnen syst prob nonl iter 200 tol 0.05 nmat ja lf 1 endif ende endloop ende
Wichtig ist hierbei, die nichtlineare Behandlung der Bewehrungsstäbe mit DEHNDEHNDEHNDEHN und die nichtlineare
Behandlung des Betons und der Federn mit SYST PROB nonl NMAT jaSYST PROB nonl NMAT jaSYST PROB nonl NMAT jaSYST PROB nonl NMAT ja einzuschalten und ab dem
zweiten Lastfall immer auf den Primärlastfall aufzusetzen. Die max. Anzahl der zulässigen
Iterationen sollte nicht zu klein gewählt werden, da einzelne Lastschritte im Zuge der Rissbildung
teilweise nur nach längerer Iteration zur Lösung finden.
2.5 Ergebnisse
Die Berechnung des unbewehrten Zugstabes zeigt das erwartete Bild: bei Erreichen der
Zugfestigkeit bei einer Zugkraft von ca. 2 · 160² / 1000 = 51,2 kN setzt die Rissbildung an den
Auflagern ein. In den nächsten Lastschritten gehen die beiden Risse nur weiter auf, weitere Risse
bilden sich nicht. Die übertragbare Kraft reduziert sich zu Null (rote Linie in Abbildung 4), d.h. in
Wirklichkeit wäre der Körper separiert.
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0
20
40
60
80
100
0 1 2 3 4 5 6
Kra
ft in
kN
Gesamtverschiebung in mm
unbewehrter Betonbewehrter Beton
Abbildung 4: Verschiebungs-Kraft Diagramm für Zugstab
In Abbildung 4 kann man sehr deutlich den Peak der Erstrissbildung erkennen, nach dem ein
scharfer Abfall der übertragbaren Kraft erfolgt. Im unbewehrten Fall entspricht dies dem
Versagenszustand. Für den bewehrten Zugstab ist nach einer Umlagerung der Beanspruchung vom
Beton auf den Bewehrungsstahl noch eine deutliche Laststeigerung möglich. Bei ca. 3 mm Gesamt-
verformung ist die Rissbildung abgeschlossen und die Kurve geht deutlich flacher geneigt weiter.
Neue Risse bilden sich nicht mehr (Abbildung 6, LF 150 – 280), nur die Dehnungen und
Stahlspannungen vergrößern sich weiter bis zum Fließen der Bewehrung.
LF 1
0,02 mm
LF 13
0,26 mm
LF 90
1,8 mm
Abbildung 5: Beton - Längsdehnungen in ‰ für den unbewehrten Zugstab
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LF 13
0,26 mm
LF 50
1,0 mm
LF 150
3,0 mm
LF 280
5,4 mm
Abbildung 6: Beton - Längsdehnungen in ‰ für den bewehrten Zugstab
LF 13
0,26 mm
LF 50
1,0 mm
LF 150
3,0 mm
LF 280
5,4 mm
Abbildung 7: Stahlspannungen in MPa für die Bewehrung im Zugstab
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3 BEISPIEL: SCHEIBE
3.1 Versuch
Als zweites Beispiel wurde der im DAfSt-Heft 178 [2] veröffentlichte Scheibenversuch WT 2 von
Leonhardt und Walter ausgewählt.
Die 10 cm dicke und 1,60 m große quadratische Scheibe besteht aus einem normalfesten Beton. Die
mittleren Materialfestigkeiten werden mit fcm = 38 MPa und fctm = 2,7 MPa angesetzt. Die Platte
erhält eine Biegezugbewehrung von 4 ∅ 8 aus St IIIb sowie eine Flächenbewehrung aus je 7 ∅ 5
(St I) im Abstand e = 26 cm.
Die Scheibe wird am unteren Rand als statisch bestimmter Einfeldträger gelagert. Zur Lastvertei-
lung werden 16 cm breite Stahlblöcke mit weicher Mörtelzwischenschicht modelliert.
Als Belastung wird am oberen Rand eine 1,28 m breite konstante vertikale Streckenlast auf-
gebracht, die kontinuierlich bis zum Versagen gesteigert wird.
Abbildung 8: Versuchsaufbau Scheibenversuch WT 2 von Leonhardt und Walter [2]
Hierbei soll die Eignung des nichtlineare Beton-Gesetz von SOFiSTiK (Material MAT BETO) im
Vergleich mit dem benutzerdefinierten Microplane-Materialmodell M4n sowie die verschiedenen
Möglichkeiten der Bewehrungsmodellierung überprüft werden.
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3.2 Modelle
Tabelle 1: untersuchte Modelle
Nr. Elementtyp Material Bewehrung Lastaufbringung
1 QUAD BETO verschmiert Traglastiteration
2 QUAD BETO diskret Traglastiteration
3 BRIC M4n diskret feste Lastschritte
(a) Materialien: blau SOFiSTiK BETO, (b) Längsbewehrung: rot/unten: 0,755 cm²/m je Seite
rot: Mörtel elastisch, grün: Stahl elastisch, grün/oben: 17,5 cm²/m je Seite
Abbildung 9: FEM-Modell 1: QUAD-Modell mit verschmi erter Bewehrung
Das nichtlineare Beton-Gesetz von SOFiSTiK (Material MAT BETO) ist nur mit Flächenelementen
(QUAD) nutzbar, das benutzerdefinierte Microplane-Materialmodell M4n nur mit Volumen-
elementen (BRIC) einsetzbar.
Die Modelle sind aber untereinander gut vergleichbar, da auch das BRIC-Modell nur in der
Scheibenebene belastet wird. Außerdem sind die Elementansätze der Flächen- und
Volumenelemente für scheibenartige Beanspruchung ähnlich (jeweils nicht-konforme lineare
Formulierung). Die Modelle wurden relativ fein mit 41 mal 40 Elementen in Scheibenebene
diskretisiert, für das BRIC-Modell wurden das Netz in Dickenrichtung extrudiert (s. Abbildung 10).
Die von SOFiSTiK für QUAD-Elemente vorgesehene verschmierte Bewehrung ist nur für
QUAD-Elemente vorgesehen, diskrete Bewehrung kann sowohl in QUAD- wie auch in BRIC-
