31

6 Ideale Strömungen

Als „Ideale Strömungen“ bezeichnet man Strömungen von inkompres-siblen, reibungslosen (Re → ∞) Flüssigkeiten.

6.1 Inkompressibilität

Wann darf man eine Strömung als inkompressibel bezeichnen?

Wie gross sind die relativen Dichteänderungen im Vergleich zu denGeschwindigkeits und Druckänderungen?

Wir betrachten die Euler-Gleichung (2.1) in der einfachsten Form:

pt

∇−=∇⋅+∂∂

ρ1

)( vvv

(6.1)

In einer Strömung ändere sich die Geschwindigkeit (über eine gewisseDistanz D) um ∆v ≅ v und der Druck entsprechend um ∆p.

Dann gilt (betragsmässig):

( )Dp

Dv ∆=∆

ρ12

(6.2)

Für eine adiabatische Strömung gilt

2ap

s

=∂∂ρ

(6.3)

ρ∆≈∆ 2ap (6.4)

mit der Schallgeschwindigkeit a, also

( )ρρ∆≈∆ 22 av (6.5)

( ) 22

2

2

2

Maa

v

a

v ≈≈∆≈∆ρρ

(6.6)

Eine adiabatische Strömung ist inkompressibel, wenn Ma2 <<1.

Für Luft:

v ≈ 10 m/s (starker Wind)

a ≈ 330 m/s

32

110 32 <<≈≈∆ −Maρρ

(Es gibt allerdings auch kompressible Strömungen mit Ma2 <<1, z.B. beiErwärmung der Flüssigkeit).

6.2 Potentialströmungen

Für eine inkompressible Flüssigkeit gilt

0=⋅∇ v (6.7)

Ist die Strömung ausserdem auch rotationsfrei,

0=×∇ v (6.8)

so kann man ein Geschwindigkeitspotential φdefinieren, mit

φ∇=v (6.9)

und für dieses gilt (wegen 5.7) die Laplacegleichung

0=∆φ (6.10)

Beispiele:

( )0,0,U

Ux

==

v

φ(6.11)

a) Parallele Strömung:

in Polarkoordinaten:

θφ cosUr= (6.12)

33

b) Linienquelle/senke

rm ln=φ (6.12)

0,0, === zr vvrm

v θ (6.13)

(r in einer geeigneten dimensionslosen Einheit, Zylinderkoordinaten).

Im Ursprung ist die Strömung singulär, dort ist ∇⋅ v ≠ 0.

c) Linienwirbel:

rK

v

K

=

=

θ

θφ(6.14)

(Zylinderkoordinaten).

Auch für den Wirbel ist der Ursprung singulär, dort ist ∇ × v ≠ 0.

34

6.3 Die Stromfunktion

Ein divergenzfreies Feld lässt sich definieren als Rotation eines Vektor-potentials. Dies ist für eine Strömung dann nützlich, wenn sie dank ge-eigneter Symmetrien nur von 2 Koordinaten abhängig ist: das Vektorpo-tential hat dann nur eine von Null verschiedene Komponente. Diese be-zeichnet man als Stromfunktion ψ.

In rechtwinkligen Koordinaten ist dann:

xv

yu

∂∂−=

∂∂= ψψ

, (6.15)

Jede so definierte Strömung erfüllt automatisch die Kontinuitätsgleichung(∇⋅ v = 0). Ist die Strömung ausserdem rotationsfrei, so ist

( ) 02

2

2

2

=∂∂−

∂∂−=

∂∂−

∂∂=×∇

yxyu

xv

zψψ

v (6.16)

Die Stromfunktion erfüllt also ebenfalls die Laplacegleichung.

Für Linien mit ψ = const. gilt

0=∂∂+

∂∂= dy

ydx

xd

ψψψ (6.17)

0=+− dyudxv (6.18)

uv

dxdy = (6.19)

Dies ist die Gleichung für die Tangente an eine Stromlinie: Linien mitkonstantem ψ sind Stromlinien.

Andererseitsbeschreibt φ= const. Linien, die senkrecht auf den Stromli-nien stehen. Die Linien für φ= const. und ψ = const. sind orthogonal zu-einander, φ und ψ sind orthogonale Lösungen der Laplacegleichung.

Durch Integration (bzw. ganz einfache geometrische Überlegungen) be-stimmt man leicht die Stromfunktionen für die Beispiele aus dem vorheri-gen Abschnitt:

a) parallele Strömung:

UyUx == ψφ , (6.20)

b) Linienquelle oder-senke:

θψφ mrm == ,ln (6.21)

35

c) Linienwirbel

rKK ln, == ψθφ (6.22)

Aequipotentiallinien (gestrichelt) und Stromlinien (ψ=const, blau ausgezogen). für die dreiBeispiele. (Figur aus White).

6.4 Funktionen komplexer Veränderlicher

Zweidimensionale Strömungen lassen sich durch Funktionen komplexerVariablen besonders gut darstellen. Mit

θieriyxz =+= (6.23)

lassen sich Strömungen in der zweidimensionalen Ebene sowohl in kar-tesischen wie auch in Polarkoordinaten gut beschreiben.

Aus der Funktionentheorie weiss man, dass für jede analytische Funkti-on einer komplexen Variablen

)()()()( ziziyxfzf ψφ +=+= (6.24)

gilt, dass die beiden Funktionen φund ψ orthogonale Lösungen derLaplacegleichung sind.

( Eine analytische Funktion ist eine komplexe Funktion, welche differen-zierbar ist. Die Ableitung muss unabhängig vom Grenzprozess sein, da-durch ergeben sich die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

xyyx ∂∂−=

∂∂

∂∂=

∂∂ ψφψφ

, (6.25)

und daraus die Laplacegleichungen für φ und ψ).

36

Damit lässt sich das Vorgehen umdrehen: Anstatt Lösungen für gegebe-ne Strömungsprobleme mit vorgegebenen Randbedingungen zu suchen,wählen wir beliebige komplexe Funktionen, bestimmen Geschwindig-keitspotential und Stromfunktion und suchen die dazu passenden Prob-leme. Jede Stromlinie kann in einer solchen Lösung kann auch als einemögliche Grenzfläche betrachtet werden.

Wir wählen also ein komplexes Geschwindigkeitspotential f(z) = φ+ iψund definieren die komplexe Geschwindigkeit

viuy

ixx

ixdz

dfzw −=

∂∂−

∂∂=

∂∂+

∂∂=≡ φφψφ

)( (6.26)

Wenn f analytisch ist, beschreibt w eine ideale Strömung.

Beispiele:

a)

zUzf =)( (6.27)

UyUx == ψφ , (6.28)

Dies gibt wieder die parallele Strömung.

b)

)ln(ln,ln2

)( θπ

irzzm

zf +≡= (6.29)

ergibt die Quelle/Senke, und

c)

zi

zf ln2

)(πΓ−= (6.30)

ergibt den Linienwirbel (mit Zirkulation Γ ).

37

6.5 Einfache ebene Strömungen

a) Hyperbeln

2)( zzf = , xyyx 2,22 =−= ψϕ (6.31)

Jede Stromlinie kann auch eine Grenzfläche eines Körpers sein. Jenachdem haben wir

• Strömung um einen Ecke

• Strömung gegen eine Wand

• kollidierende Ströme

b) Quelle oder Senke und Wirbel

zim

zf ln22

)(

Γ−=

ππ(6.32)

„Badewannenwirbel“ oder „Wirbelsturm“

38

c) Parallele Strömung plus Quelle

zm

Uzzf ln2

)(π

+= (6.33)

Umströmung eines Felsens, „Komet (?)“

d) Parallele Strömung mit Quelle und Senke

)ln(2

)ln(2

)( 00 zzm

zzm

Uzzf +−−+=ππ

(6.34)

gibt die Umströmung eines Ellipsoids:

39

e) Dublett

Eine Quelle plus eine Senke im infinitesimalen Abstand ε auf der x-Achse ergeben ein „Dublett“ (engl. doublet).

zm

zm

zm

zfπ

εεπ

επε

=

+−−=

→)ln(

2)ln(

2lim)(

0(6.35)

f) Strömung um den Zylinder

Eine parallele Strömung plus ein Dublett ergeben die Strömung um ei-nen Zylinder:

+=

zr

zUzf20)( (6.36)

+=

2

201cos

r

rUr θφ (6.37)

+−=

−=

2

20

2

20 1sin,1cos

r

rUv

r

rUvr θθ θ (6.38)

Die Druckverteilung erhält man aus der Bernoulligleichung zu

2

2

221

0 1U

v

U

pp −=−ρ

(6.39)

40

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-3

-2

-1

0

1

2

v/U(p-p

0)/(ρU2/2)

vbz

w.p

x/r0

Geschwindigkeit und Druck für die zentrale Stromlinie. Die Geschwindig-keit wird Null für x = ± r0, sie wird maximal v = 2 U für x = 0. Der Druckfällt ab bis zum Geschwindigkeitsmaximum, danach steigt er wieder an.

Auf der Hinterseite des Körpers muss die Strömung in ein Gebiet höhe-ren Drucks eindringen. eine solche Strömung ist nur für sehr kleine Restabil. Für reale Strömungen bildet sich hinter dem Körper ein Nachlauf(siehe die Figur im Kap. 3.4).

Figuren aus Panton. Links : Re = 1.54, rechts : Re = 26

41

g) Strömung um den Zylinder mit Zirkulation

Eine parallele Strömung plus ein Dublett plus ein Linienwirbel ergebendie Strömung um einen Zylinder mit Zirkulation:

Γ−

+=

0

20 ln

2)(

rzi

zr

zUzfπ

(6.40)

Für Γ ≠ 0 liegen die Stagnationspunkte nicht mehr auf der x-Achse.

42

6.6 Konforme Abbildungen: die Joukowski-Transformation

Konforme Abbildungen sind Abbildungen in der komplexen Ebene mittelsanalytischer Funktionen.

Gegeben sei eine konforme Abbildung

ηξζζ iiyxzzz +=+== ,,)( (6.41)

Wenn nun f(ζ) eine analytische Funktion in der ζ-Ebene ist, so ist

)())(( ζζ fzf ≡ (6.42)

ebenfalls eine analytische Funktion (eine analytische Funktion einer ana-lytischen Funktion ist wieder analytisch). Real und Imaginärteil der Funk-tion stellen auch in der z-Ebene Potential und Stromfunktion einer idea-len Strömung dar. Die Abbildung bildet also Äquipotentialflächen aufÄquipotentialflächen und Stromlinien auf Stromlinien ab.

Wir betrachten im folgenden die Joukowski-Transformation

reell,)(2

cc

zζ

ζζ += (6.43)

Diese Transformation bildet einen Kreis um den Ursprung auf eine Ellip-se ab:

Joukowski-Transformation (Figur aus Panton)

43

Besonders interessant ist die Joukowski-Transformation aber, weil sieeinen aus dem Nullpunkt verschobenen Kreis auf eine Tragflügel-ähnliche Form abbildet:

Joukowski-Transformation (Figur aus Panton)

Mit Hilfe der Joukowski-Transformation können wir also die Umströmungeines Tragflügelprofils auf die Umströmung eines Zylinders zurückfüh-ren. Für die Umströmung eines Zylinders ist die Zirkulation Γ ein freierParameter. Damit die Umströmung des Tragflügels physikalisch sinnvollist, muss die Kutta-Bedingung erfüllt sein: Die Stromlinien sollen die Flü-gelhinterkante glatt umströmen (andernfalls würde dort die Geschwindig-keit unendlich).

Die Kutta-Bedingung (Figur aus Panton)

Damit ist eine Bedingung für die Lage des hinteren Stagnationspunktesin der Ebene des Zylinders festgelegt, und damit eine Bedingung für denWert der Zirkulation. Damit kennt man dann aber auch den Auftrieb (sie-he nächster Abschnitt). Zu zeigen bleibt noch, dass die Strömung fürgrosse Distanzen und die Zirkulation für beide Geometrien dieselbe ist.

44

Mit Hilfe von konformen Abbildungen können geometrisch einfacheStrömungsmuster in eine Vielzahl von komplizierteren Geometrien trans-formiert werden, so existiert etwa eine Abbildung der oberen komplexenHalbebene auf jedes konvexe Polygon (Bronstein et al., Taschenbuchder Mathematik, Kap. 14.1.3)

6.7 Auftrieb und Widerstand

dFdFA

dFR

U

dl

Ist die Druckverteilung um einen Körper bekannt, so lassen sich Auftriebund Widerstand berechnen. Die Druckkraft, welche auf ein Element derLänge dl wirkt, lässt sich zerlegen in eine Komponente parallel zur Strö-mung (Widerstand) und eine Komponente senkrecht zur Strömung (Auf-trieb). Durch Integration längs der Kontur des Körpers erhält man denGesamtauftrieb resp. –Widerstand.

Es gilt

dypdFR −= (6.44)

dxpdFA = (6.45)

Wir bilden einen konjugiert komplexen Vektor

zdpidxpidypdFidFdF AR −=−−=−= (6.46)

Aus der Bernoulligleichung kennen wir die Druckverteilung:

zdfd

dzdf

pwwpp2020ρρ −=−= (6.47)

fddzdf

izdpidF20ρ+−= (6.4

45

Für die Gesamtkraft gilt (der skalare Druck gibt keinen Beitrag bei Integ-ration über eine geschlossene Kontur):

∫=−=c

AR fddzdf

iiFFF2ρ (6.49)

Die Kontur des Körpers ist eine Stromlinie, längs der die Stromfunktionkonstant ist (dψ = 0), also

fdddiddf ==+= φψφ (6.50)

Folglich ist der Integrand reell:

∫= c dzwiF 22ρ (6.51)

Diese Formel heisst Blasius-Theorem.

Komplexe Konturintegrale lassen sich mit Hilfe des Residuensat-zes berechnen:

∑=∫k

kc

Ridzg π2 (6.52)

Die Residuen bestimmt man aus der Reihenentwichlung der Kurve, R istgleich dem Koeffizienten des Terms mit 1/z; und summiert wird über allePole der Funktion, die von der Kontur umschlossen werden.

Für jedes beliebige Umströmungsproblem beginnt die Reihenentwick-lung mit

( )

+Γ−+=

zOzimUzzf

1ln

21

)(π

(6.53)

Für einen geschlossenen Körper ist die Summe aller Quell- undSenkterme innerhalb der Kontur Null, also m = 0,

+Γ−=

2

12

)(z

Oz

iUzwπ

(6.54)

+Γ−=

222 1

zO

zU

iUwπ

(6.55)

Das Residuum von w2 ist folglich

πUi

RΓ−= (6.56)

also

Γ= UiF ρ (6.57)

46

Der Realteil der Funktion ist Null: wie zu erwarten war, verschwin-det der Strömungswiderstand einer reibungslosen Flüssigkeit. Der Auf-trieb ist proportional zur Zirkulation:

Γ−= UFa ρ

Diese Formel ist die „Kutta-Joukowski-Formel“.

6.8 Zusammenfassung

• Für ideale Strömungen stehen sehr potente mathematische Werk-zeuge zur Verfügung, insbesondere die Theorie der komplexen Po-tentiale und der konformen Abbildungen

• Komplexe Potentiale und Stromfunktionen lassen sich nur in zweiDimensionen verwenden

• In einer idealen Strömung ist der Auftrieb proportional zur Zirkulati-on

• Für eine ideale Strömung lässt sich der Strömungswiderstand nichtberechnen

• Die von der Natur realisierten Lösungen sind selten „ideale“ Strö-mungen, vielfach existieren keine stabilen stationären Lösungen