Neue MKS-FEM-Methode zur direkten Integration ... · ders meiner Frau Van Anh, meinen lieben...

Neue MKS-FEM-Methode zur direkten

Integration geometrischer und/oder

materieller Nichtlinearitäten in die

Simulation deformierbarer

Mehrkörpersysteme

vorgelegt von

Dipl. Ing. Viet Anh Nguyen

geb. in Bac Giang, Vietnam

von der Fakultät V Verkehrs- und Maschinensysteme

der Technischen Universität Berlin

zur Erlangung des akademischen Grades

Doktor der Ingenieurwissenschaften

- Dr.-Ing. -

genehmigte Dissertation

Promotionssausschuss:

Vorsitzender: Prof. Dr. rer. nat. Wolfgang H. Müller

Gutachter: Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Manfred Zehn

Gutachter: Prof. Dr. rer. nat. Valentin L. Popov

Gutachter: Prof. Dr.-Ing. habil. Christoph Woernle

Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 20. Januar 2017

Berlin 2017

in guter Erinnerung an meinen Großvater

für meine ganze Familie, meine Lebensgefährtin Van Anh, meine

allerliebsten Kinder Bao An und Minh Hien

Danksagungen

Die vorliegende Dissertation entstand während meiner Tätigkeit als wissen-

schaftlicher Mitarbeiter am Fachgebiet Strukturmechanik und Strukturberech-

nung im Institut für Mechanik der Technischen Universität Berlin.

Mein besonders herzlicher Dank gilt dem Leiter des Instituts Herrn Prof.

Dr.-Ing. habil. Manfred Zehn. Er gab die wertvolle Anregung zu dieser The-

menstellung und trug mit der mir gewährten wissenschaftlichen Freiheit sub-

stanziell zum Gelingen dieser Arbeit bei. Ebenfalls bedanke ich mich bei Herrn

Prof. Dr. rer. nat. Valentin Popov und Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. Christoph

Woernle für die Übernahme des Koreferats. Für die freundliche Übernahme

des Vorsitzes danke ich herzlich Herrn Prof. Dr. rer. nat. Wolfgang H. Müller.

Bei allen Mitarbeitern des Instituts für Mechanik der TU Berlin bedanke ich

mich für das sehr kollegiale Klima und die freundliche Atmosphäre während

meiner Tätigkeit im Institut. Besonders wird meinem Kollegen Herrn Dr.-Ing.

Dragan Marinkovic ein herzlicher Dank für die Zusammenarbeit sowie die vie-

len fruchtbaren Gespräche geschenkt, die ebenfalls maßgeblich zum Erfolg der

Arbeit führten. Meinen Kollegen Herrn Dipl.-Ing. Tobias Rademacher und Fa-

bian Wesolowski gilt mein Dank für ihre Zusammenarbeit sowie ihre fachliche

und kollegiale Unterstützung.

Bedanken möchte ich besonders bei meinen Kollegen Herrn Dipl.-Ing. Cars-

ten Strzalka, Herrn Dr.-Ing. Robbin Wetter, Herrn Dr.-Ing. Alexander Lacher,

Herrn M.Eng. Philip Huschke und Herrn B.Eng. Florian Kuschel für ihre Un-

terstützungen und Bemühungen bei der Durchsicht meiner Arbeit.

Für die stetige Unterstützung, den menschlichen Rückhalt und die Geduld

danke ich schließlich herzlich meiner ganzen Familie, meinen Freunden, beson-

ders meiner Frau Van Anh, meinen lieben Kindern Bao An und Minh Hien.

Ohne die vielen schönen Ablenkungen und Aktivitäten sowie den engen Zu-

sammenhalt wären viele Ideen für die erfolgreiche Anfertigung dieser Arbeit

nicht möglich gewesen.

Berlin, im September 2016

Viet Anh Nguyen

Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit präsentiert neue Möglichkeiten zur effizienten Behand-

lung geometrisch- und/oder physikalisch-nichtlinearer Probleme in der Dyna-

mik deformierbarer Mehrkörpersystemen (MKS). Dabei werden beliebig große

Starrkörperrotationen und nichtlineares Materialverhalten der Komponenten

direkt in das Bewegungsgleichungssystem des Mehrkörpersystems einbezogen.

Keine Co-Simulations- oder Reduktionsmethoden werden verwendet. Somit

stellt diese sogenannte MKS-FEM-Methode einen neuen, effizienten Ansatz

auf dem Gebiet der nichtlinearen Mehrkörperdynamik und der Entwicklung

von MKS-Simulationsprogrammen dar.

Zur Modellierung deformierbarer und starrer Bauteile wird das sogenann-

te MKS-FEM-Bewegungsgleichungssystem für das gesamte Mehrkörpersystem

formuliert. Die flexiblen Komponenten werden mit finiten Elementen diskreti-

siert, die mit Hilfe der co-rotationalen Finite-Element-Methode (FEM) effizient

formuliert werden. Die große Starrkörperrotation jedes finiten Elements wird

auf eine elegante Art und Weise aus der gesamten Deformation berechnet. Wei-

terhin werden hierbei komplexe nichtlineare Materialmodelle, wie nichtlinear-

elastisches, elastisch-plastisches und gummiartiges Materialverhalten, direkt in

diese FEM-Formulierungen ohne jegliche Modifikationen einbezogen.

Zur Integration des MKS-FEM-Gleichungssystems lassen sich implizite Zei-

tintegrationsmethoden effektiv anwenden. In dieser Arbeit kommt ein implizi-

tes Zeitintegrationsschema höherer Ordnung unter Verwendung des modifizier-

ten NEWTON-RAPHSONschen Verfahrens zum Einsatz.

Relevante technische Berechnungsbeispiele werden im Rahmen dieser Ar-

beit vorgestellt. Dabei werden sowohl geometrische als auch materielle Nicht-

linearitäten in Mehrkörpersystemen unter Verwendung der entwickelten co-

rotationalen MKS-FEM-Methode mit hoher Effizienz und Genauigkeit berech-

net. Aus diesem Grund erreicht die MKS-FEM-Methode einen weiten Einsatz-

bereich in technischen Anwendungen.

Stichwörter Mehrkörperdynamik, co-rotationale FEM, Materialmodelle,

MKS-FEM-Methode, Implizite Integrationsschemen, Starrkörperrotation

Abstract

The present work presents new possibilities to efficiently calculate geometric

and/or material nonlinearities in the dynamics of flexible multibody systems

(MBS). The principal benefit of this method consists in the fact, that arbitrarily

large rigid body rotations und nonlinear material behaviors of the components

are directly integrated into the system of equations of the multibody system.

No co-simulation as well as model reduction techniques are used. Therefore,

this so-called MBS-FEM method represents a new, efficient approach in the

field of the nonlinear multibody dynamics and the development of MBS simu-

lation software.

For the Modelling of flexible and rigid bodies, the so-called MBS-FEM sys-

tem of equations of motion is formulated for the whole mbs. The flexible

structures are discretized in smaller finite elements, which are efficiently for-

mulated using the co-rotational finite element method (FEM). The large rigid

body rotation and the deformable part of each finite element are separated

from the total element deformation in a simple way. On this basis, complex

nonlinear material models can be directly integrated in the co-rotational FEM

formulations without any modifications.

To solve the MBS-FEM system of equations, implicit time integration meth-

ods can be used effectively. In this work, an implicit time integration scheme

of higher order in connection with the modified Newton-Raphson method is

employed.

Furthermore, important technical examples are introduced in this work. It

can be shown, that geometric and/or material nonlinearities in flexible multi-

body systems can be computed by the use of the developed co-rotational MBS-

FEM method with high efficiency and precision. For this reason, this present

MBS-FEM method provides a big application field for the calculation as well

as optimization of technical systems.

Keywords dynamics of multibody system, co-rotational FEM, material

modeling, MBS-FEM method, implicit time integration, rigid body rotation

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

1.1 Problemstellungen und Ziele der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Gliederung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Stand der Forschung und neue Entwicklungen dieser Arbeit 5

2.1 Berechnung geometrischer Nichtlinearitäten mit der FEM . . . . 5

2.2 Berechnung geometrischer Nichtlinearitäten mit der MKS . . . . 13

2.3 Berechnung physikalisch-nichtlinearer Probleme mit der FEM . 16

2.4 Locking-Effekte und Stabilisierungstechniken für 3D finite Ele-

mente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Direkte Einbeziehung nichtlinearer Deformationen in die MKS-

Formalismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.7 Neue Entwicklungen in dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 29

3.1 Geometrisch-nichtlineare Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Geometrisch-lineare Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 3D Starrkörperrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Materialformulierung für die CR-Formulierungen 45

4.1 VOIGTsche Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Isotropes linear-elastisches Material . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Kurze Einführung in das inelastische Materialverhalten . . . . . 49

4.4 Formulierung von Fließbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.5 Mathematische Beschreibung von nichtlinearen Materialmodellen 53

4.5.1 Nichtlinear-elastisches Materialmodell unter Verwendung

des RAMBERG-OSGOODschen Potenzgesetzes . . . . . 53

iii

4.5.2 Elastisch-plastisches Materialmodell nach der klassischen

MISES-HUBERschen Plastizitätstheorie . . . . . . . . . 54

4.5.3 MOONEY-RIVLINsches Materialmodell . . . . . . . . . 60

5 3D FEM-Formulierung für rein materielle Nichtlinearitäten 69

5.1 Inkrementelle/iterative FEM-Berechnung . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Isoparametrische Formulierung von 3D Kontinuumselementen . 74

6 Absolute Knotenkoordinaten-Formulierung für 3D Kontinuumsele-

mente 79

7 CR-Formulierungen zur Berechnung geometrischer und/oder ma-

terieller Nichtlinearitäten 87

7.1 Elementunabhängige co-rotationale FEM . . . . . . . . . . . . . 88

7.1.1 EICR-Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.1.2 Nichtlineare EICR-Matrixbeziehungen . . . . . . . . . . 92

7.1.3 Eigenschaften der Elementprojektionsmatrix . . . . . . . 103

7.2 Co-rotationale FEM mit Hilfe einer konsistenten Linearisierung 107

7.2.1 CLCR-Kinematik und Berechnung gemittelter Starrköper-

rotationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.2.2 Nichtlineare CLCR-Matrixgleichungen . . . . . . . . . . 109

7.3 Integration nichtlinearer Materialgesetze . . . . . . . . . . . . . 113

8 CR-Formulierungen mit der Energiestabilisierungsmethode 115

8.1 Allgemeines Konzept der EST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.2 CR-Kontinuumselemente mit der EST . . . . . . . . . . . . . . 120

9 Mathematische Beschreibung der MKS-FEM-Methode 125

9.1 Bewegungsgleichungen von Mehrkörpersystemen aus rein Starr-

körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9.2 Mehrkörpersysteme aus deformierbaren und starren Körpern . . 131

9.3 Kinematische Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.4 Effiziente Zeitintegrationsverfahren zur Lösung des Bewegungs-

gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.4.1 Auswahl von Zeitintegrationsverfahren für die Mehrkör-

perdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.4.2 Grundlagen der IRK-Zeitintegrationsschemen . . . . . . 141

9.4.3 Ein IRK-Solver höherer Ordnung zur effizienten Zeitin-

tegration des MKS-FEM-Gleichungssystems . . . . . . . 142

10 Einsatz der entwickelten MKS-FEM-Methode in technischen An-

wendungen 157

10.1 Statische Berechnungen einer 3D Kragplatte im Erdschwerefeld 158

10.1.1 Über die Genauigkeit der CLCR-Formulierung . . . . . . 159

10.1.2 Ein Vergleich zwischen den CR-Formulierungen und der

ANC-Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

10.1.3 Bewertung der Effizienz der CR-Formulierungen und der

ANC-Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

10.2 Dynamische Berechnung einer 3D Kragplatte im Erdschwerefeld 175

10.3 Effiziente Polarzerlegung zur Berechnung der Rotationsmatrix . 184

10.4 Statische MKS-FEM-Berechnung großer Biegeverformung eines

3D Kragbalkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

10.5 Berechnungen eines Maschinenbauteils mit nichtlinearem Mate-

rialverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

10.5.1 Nichtlineare statische Berechnungen . . . . . . . . . . . . 194

10.5.2 Nichtlineare dynamische Berechnungen . . . . . . . . . . 205

10.6 MKS-FEM-Berechnungen einer dünnwandigen Struktur mit ei-

ner EST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

10.7 Rotordynamische Untersuchung eines Rotorsystems mit Elastomer-

Wälzlagern mit Hilfe der MKS-FEM-Methode . . . . . . . . . . 220

10.8 Dynamische Stabilitätsuntersuchungen an einem Kolben-Zylinder-

System mit Hilfe der MKS-FEM-Methode . . . . . . . . . . . . 231

10.9 MKS-FEM-Berechnungen einer gummiartigen Waschmaschinen-

manschette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

11 Zusammenfassung und Ausblick 253

A RAMBERG-OSGOODsches Materialmodell 259

A.1 Berechnung des 3D Spannungszustandes . . . . . . . . . . . . . 259

A.2 Berechnung der Materialtangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

A.3 RAMBERG-OSGOODsches Potenzgesetz . . . . . . . . . . . . . 264

B Integration MISES-HUBERscher Materialmodelle 267

C Algorithmen zur Berechnung der Rotationsmatrix 273

C.1 QR-Dekomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

C.2 Polardekomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

C.2.1 Singulärwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

C.2.2 RANKINscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . 275

C.2.3 HIGHAMsche Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . 276

D Locking-Effekte und Stabilisierungstechniken 277

D.1 Typische Locking-Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

D.2 Stabilisierungstechniken für 3D Elemente . . . . . . . . . . . . . 278

E Variationsprinzipien der Mechanik 281

F CLCR-Formulierung mit einer Energiestabilisierungstechnik 287

G Numerische Implementierungen 293

Literatur 305

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1.1: MKS-Modelle in MSC ADAMS . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Abb. 2.1: Simulationsmethoden für Mehrkörpersysteme . . . . . . . . 6

Abb. 2.2: Deformation einer Struktur in einer CR-Formulierung . . . 8

Abb. 2.3: Deformation eines ANC-Balkenelements . . . . . . . . . . . 11

Abb. 2.4: Bewegung eines deformierbaren Körpers . . . . . . . . . . . 14

Abb. 2.5: FEMBS-Vorgehensweise in SIMPACK . . . . . . . . . . . . 15

Abb. 2.6: Verallgemeinertes Konzept für die MKS-FEM-Methode . . 26

Abb. 3.1: Freie Bewegung eines Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . 29

Abb. 3.2: Deformation eines Volumenelements . . . . . . . . . . . . . 31

Abb. 3.3: Räumliche finite Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Abb. 3.4: Reine Starrkörperrotation eines Spannungszustandes . . . . 43

Abb. 4.1: Spannungs-Dehnungskurve des ferritischen Stahls E460 . . 56

Abb. 4.2: Interpretation des Radial-Return-Verfahrens . . . . . . . . . 59

Abb. 4.3: Typische Eigenschaften eines Gummiprobekörpers . . . . . 60

Abb. 5.1: Koordinatentransformation eines Hexaederelementes . . . . 74

Abb. 5.2: Typische 3D Serendipity-Elemente . . . . . . . . . . . . . . 77

Abb. 6.1: Deformation eines ANC-Balkenelements . . . . . . . . . . . 81

Abb. 7.1: Co-rotationale Kinematik eines 8-knotigen Hexaederelements

im allgemeinen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Abb. 9.1: MKS-Modell für ein Waschmaschinensystem . . . . . . . . 132

Abb. 9.2: Drehgelenk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Abb. 9.3: Kugelgelenk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Abb. 9.4: Berechnungsprozess der IRK-Zeitintegration . . . . . . . . . 156

vii

Abb. 10.1: Abmessungen einer eingespannten Kragplatte . . . . . . . . 158

Abb. 10.2: Diskretisierung einer Kragplatte . . . . . . . . . . . . . . . 159

Abb. 10.3: Verschiebung U1 des Punktes P der Kragplatte mit Tetra-

ederelementen mit linearen Ansatzfunktionen . . . . . . . . 161




ederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen . . . . . 162



Abb. 10.7: Deformationsverhalten der Kragplatte, MKS-FEM, 293 qua-

dratische Tetraederelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Abb. 10.8: Verschiebung U1 des Punktes P der Kragplatte mit Hexa-




Abb. 10.10: Deformationsverhalten der Kragplatte, MKS-FEM, 120 li-

neare Hexaederelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166





Abb. 10.13: Deformationsverhalten der Kragplatte, MKS-FEM, 8 qua-

dratische Hexaederelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Abb. 10.14: Konvergenzanalyse für die Kragplatte mit Hexaederelemen-

ten mit linearen Ansatzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 170

Abb. 10.15: Konvergenzanalyse für die Kragplatte mit Hexaederelemen-

ten mit quadratischen Ansatzfunktionen . . . . . . . . . . . 171

Abb. 10.16: Konvergenzanalyse für die Kragplatte mit Tetraederelemen-

ten mit linearen Ansatzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 171

Abb. 10.17: Konvergenzanalyse für die Kragplatte mit Tetraederelemen-

ten mit quadratischen Ansatzfunktionen . . . . . . . . . . . 172

Abb. 10.18: Berechnungszeit, Hexaederelemente mit linearen Ansatzfunk-

tionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Abb. 10.19: Berechnungszeit, Hexaederelemente mit quadratischen An-

satzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Abb. 10.20: Berechnungszeit, Tetraederelemente mit linearen Ansatz-

funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Abb. 10.21: Berechnungszeit, Tetraederelemente mit quadratischen An-

satzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Abb. 10.22: Verschiebung U1, 120 Hexaederelemente mit linearen An-

satzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Abb. 10.23: Verschiebung U3, 120 Hexaederelemente mit linearen An-

satzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Abb. 10.24: Verschiebung U1, 24 Hexaederelemente mit quadratischen

Ansatzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Abb. 10.25: Verschiebung U3, 24 Hexaederelemente mit quadratischen


Abb. 10.26: Verschiebung U1, 891 Tetraederelemente mit linearen An-

satzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180


satzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Abb. 10.28: Verschiebung U1, 186 Tetraederelemente mit quadratischen


Abb. 10.29: Verschiebung U3, 186 Tetraederelemente mit quadratischen


Abb. 10.30: Berechnungszeit der nichtlinearen dynamischen Berechnun-

gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182


satzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Abb. 10.32: Geometrische Abmessungen des 3D Kragbalkens . . . . . . 188

Abb. 10.33: FE-Diskretisierung eines Kragbalkens mit 80 Hexaederele-

menten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Abb. 10.34: Verschiebung U2, Hexaederelemente mit linearen Ansatz-

funktionen, linear-elastisches Material . . . . . . . . . . . . 191


funktionen, linear-elastisches Material . . . . . . . . . . . . 191

Abb. 10.36: Deformation des Kragbalkens . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Abb. 10.37: FE-Netz des flexiblen Bauteils mit Tetraederelementen . . . 193

Abb. 10.38: FE-Netz des flexiblen Bauteils mit Hexaederelementen . . . 194

Abb. 10.39: Abmessungen des Systems aus einem Maschinenbauteil . . 196

Abb. 10.40: Verschiebung U1, Tetraederelemente mit linearen Ansatz-

funktionen, R.-OSGOODsches Material . . . . . . . . . . . 197

Abb. 10.41: MISESsche Spannung, Tetraederelement mit linearen An-

satzfunktionen, R.-OSGOODsches Material . . . . . . . . . 197


funktionen, elastisch-plastisches Material . . . . . . . . . . 198

Abb. 10.43: MISESsche Spannung, Tetraederelemente mit linearen An-

satzfunktionen, elastisch-plastisches Material . . . . . . . . 198

Abb. 10.44: Plastische MISESsche Dehnung, Tetraederelemente mit li-

nearen Ansatzfunktionen, elastisch-plastisches Material . . . 199


funktionen, MOONEY-RIVLINsches Material . . . . . . . . 200

Abb. 10.46: Deformation des flexiblen Bauteils, Tetraederelemente mit

linearen Ansatzfunktionen, M.-RIVLINsches Material . . . 200


funktionen, R.-OSGOODsches Material . . . . . . . . . . . 202

Abb. 10.48: MISESsche Spannung, Hexaederelemente mit linearen An-

satzfunktionen, R.-OSGOODsches Material . . . . . . . . . 202

Abb. 10.49: Verschiebung U1, Hexaederelmente mit linearen Ansatzfunk-

tionen, elastisch-plastisches Material . . . . . . . . . . . . . 203

Abb. 10.50: MISESsche Spannung, Hexaederelemente mit linearen An-

satzfunktionen, elastisch-plastisches Material . . . . . . . . 203

Abb. 10.51: Plastische MISESsche Dehnung, Hexaederelemente mit li-

nearen Ansatzfunktionen, elastisch-plastisches Material . . . 204


funktionen, MOONEY-RIVLINsches Material . . . . . . . . 204

Abb. 10.53: Berechungsmodell aus einem Maschinenbauteil für dynami-

sche Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Abb. 10.54: Diskretisierung des Maschinenbauteils mit Tetraederelemen-

ten und die Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Abb. 10.55: Verschiebung U1 der dynamischen Berechnung, Tetraeder-

elemente mit linearen Ansatzfunktionen, R.-OSGOODsches

Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Abb. 10.56: Verschiebung U1 der dynamischen Berechnung, Tetraede-

relemente mit linearen Ansatzfunktionen, elas.-plastisches

Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Abb. 10.57: Plastischen Dehnung der dynamischen Berechnung, Tetra-

ederelemente mit linearen Ansatzfunktionen, elas.-plastisches

Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Abb. 10.58: Deformationsverhaltens des Maschinenbauteils bei 1s . . . . 210

Abb. 10.59: Verschiebung U1 der dynamischen Berechnung, Tetraeder-

elemente mit linearen Ansatzfunktionen, M.-RIVLINsches

Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Abb. 10.60: Verschiebung U1 der dynamischen Berechnung, Hexaeder-

elemente mit linearen Ansatzfunktionen, R.-OSGOODsches

Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Abb. 10.61: Verschiebung U1 der dynamischen Berechnung, Hexaede-

relemente mit linearen Ansatzfunktionen, elas.-plastisches

Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Abb. 10.62: Plastischen Dehnung der dynamischen Berechnung, Hexa-

ederelemente mit linearen Ansatzfunktionen, elas.-plastisches

Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Abb. 10.63: Verschiebung U1 der dynamischen Berechnung, Hexaeder-

elemente mit linearen Ansatzfunktionen, M.-RIVLINsches

Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Abb. 10.64: Berechnungsmodell aus einer dünnen Schale . . . . . . . . . 215

Abb. 10.65: Diskretisierung der dünnen Schale und Randbedingungen . 216

Abb. 10.66: Verschiebung U3 der statischen Berechnung, Tetraederele-

mente mit linearen Ansatzfunktionen, ν = 0 . . . . . . . . . 217


mente mit linearen Ansatzfunktionen, ν = 0.3 . . . . . . . . 217


mente mit linearen Ansatzfunktionen, ν = 0.49 . . . . . . . 218

Abb. 10.69: Deformation der Schale, Hexaederelemente mit linearen An-

satzfunktionen, fast-inkompressibler Fall . . . . . . . . . . . 220

Abb. 10.70: Rotorsystemsmodell für die MKS-FEM-Berechnung . . . . 221

Abb. 10.71: Abmessungen des untersuchten Rotorsystems . . . . . . . . 222

Abb. 10.72: Diskretisierung der Rotorwelle und Elastomerschicht . . . . 222

Abb. 10.73: Abmessungen der Spannsätze des Rotorsystems . . . . . . . 223

Abb. 10.74: Abmessungen der Elastomerschicht und der Kupplung . . . 224

Abb. 10.75: Deformationsverhalten des Rotorsystems bei 3.02 s . . . . . 226

Abb. 10.76: Verschiebung U1 der Rotorscheibe . . . . . . . . . . . . . . 228

Abb. 10.77: Verschiebung U2 der Rotorscheibe . . . . . . . . . . . . . . 228

Abb. 10.78: Verschiebung U1 der Elastomerschicht . . . . . . . . . . . . 229



Abb. 10.81: Bewegung des Schwerpunkts des Laufrades . . . . . . . . . 230

Abb. 10.82: Kolben-Zylinder-Systemmodell . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Abb. 10.83: Abmessungen des starren Kolbens . . . . . . . . . . . . . . 232

Abb. 10.84: Abmessungen der starren Kurbelwelle . . . . . . . . . . . . 233

Abb. 10.85: Abmessungen der elastischen Pleuelstange . . . . . . . . . . 233

Abb. 10.86: Verschiebung U1 der elastischen Pleuelstange nach 16.28 s

für den Fall E = 210000 N/mm2 . . . . . . . . . . . . . . . 234

Abb. 10.87: Verschiebung U2 der elastischen Pleuelstange nach 16.28 s

für den E = 210000 N/mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Abb. 10.88: Geometrische Beziehungen für den Pleuel . . . . . . . . . . 239

Abb. 10.89: Seitliche Auslenkung U3 der elastischen Pleuelstange . . . . 240

Abb. 10.90: Verschiebung U3 der elastischen Pleuelstange nach 1s . . . . 240

Abb. 10.91: Deformation des Pleuels im Fall E = 210000 N/mm2 . . . . 241

Abb. 10.92: Biegeverformung des Pleuels nach 0.01 s im FallE = 210000

N/mm2 mit dem Skalierungsfakor 8000 . . . . . . . . . . . 241

Abb. 10.93: Vordere Ansicht des Manschette-Trommel-Systems . . . . . 243

Abb. 10.94: Abmessungen der elastischen Trommel . . . . . . . . . . . . 244

Abb. 10.95: Abmessungen der Trommelaufnahme und Wäsche . . . . . 244

Abb. 10.96: Abmessungen der gummiartigen Manschette . . . . . . . . 245

Abb. 10.97: Diskretisierung der Trommel und Manschette . . . . . . . . 246

Abb. 10.98: Lagerung der Manschette an der Umgebung . . . . . . . . . 247

Abb. 10.99: Hintere Ansicht des Manschette-Trommel-Systems . . . . . 248

Abb. 10.100: Verschiebung U1 der Manschette . . . . . . . . . . . . . . . 248



Abb. 10.103: Verschiebung U1 der Trommel . . . . . . . . . . . . . . . . 250



Abb. A.1: 1D RAMBERG-OSGOODsche Spannungskurve . . . . . . . 264

Abb. B.1: Isotroper linearer Verfestigungsmodul . . . . . . . . . . . . 272

Tabellenverzeichnis

Tab. 9.1: Allgemeine Form der Butcher-Tabelle . . . . . . . . . . . . 141

Tab. 9.2: Koeffizienten des Lobatto-IIIA-Schemas . . . . . . . . . . . 142

Tab. 10.1: Eigenschaften des verwendeten Computersystems . . . . . . 158

Tab. 10.2: Einstellungen zur statischen Berechnung der Kragplatte . . 159

Tab. 10.3: Verschiebung U3 aus den statischen Berechnungen der Krag-

platte mit Tetraederelementen linearer Ansatzfunktionen . . 160


platte mit Tetraederelementen quadratischer Ansatzfunk-

tionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163


platte mit Hexaederelementen linearer Ansatzfunktionen . . 165


platte mit Hexaederelementen quadratischer Ansatzfunk-

tionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Tab. 10.7: Einstellung zur dynamischen Berechnung der Kragplatte . . 176

Tab. 10.8: Berechnungszeit und Anzahl der Iterationen aus den stati-

schen Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Tab. 10.9: Berechnungszeit und Anzahl der Iterationen aus den dyna-

mischen Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Tab. 10.10: Einstellung für die nichtlinearen statischen Berechnungen

des Kragbalkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Tab. 10.11: Materialmodelle für das Maschinenbauteil . . . . . . . . . . 192

Tab. 10.12: Einstellung für die nichtlinearen statischen Berechnungen

des Maschinenbauteils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Tab. 10.13: Auswahl der Kraft F bei der statischen Untersuchung des

Maschinenbauteils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

xiv

Tab. 10.14: Drehmoment M in N mm bei der dynamischen Untersu-

chung des Maschinenbauteils . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Tab. 10.15: Einstellung für die dynamischen Berechnungen des Maschi-

nenbauteils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Tab. G.1: Implementierung eines MOONEY-RIVLINschen Materialm-

odells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Tab. G.2: Implementierung eines nichtlinear-elastischen Materialmodells

mit dem RAMBERG-OSGOODschen Potenzgesetz . . . . . 294

Tab. G.3: Implementierung des MISES-HUBERschen Materialmodells

mit linearer isotroper Verfestigung . . . . . . . . . . . . . . 295

Tab. G.4: Gesamter Berechnungsprozess in der EICR-Formulierung . 296

Tab. G.5: CLCR-Berechnungsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Tab. G.6: FE-Beziehungen der CR-Formulierungen . . . . . . . . . . . 298

Tab. G.7: Berechnungsprozess für die EICR-FE-Formulierung mit der

EST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

Tab. G.8: Berechnungsprozess für die CLCR-FE-Formulierung mit der

EST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

Tab. G.9: Implementierung der QR-Dekomposition . . . . . . . . . . . 301

Tab. G.10: Implementierung des SVD-Algorithmus . . . . . . . . . . . 301

Tab. G.11: Implementierung des RANKINschen Algorithmus . . . . . . 302

Tab. G.12: Implementierung des HIGHAMschen Algorithmus I . . . . . 302

Tab. G.13: Implementierung des HIGHAMschen Algorithmus II . . . . 303

Tab. G.14: Implementierung des HIGHAMschen Algorithmus III . . . . 304

Symbolverzeichnis

Abkürzungen

1D Eindimensional

2PK 2.PIOLA-KIRCHHOFF

3D Dreidimensional

ANC Absolut nodal coordinate

ANS Assumed-Natural-Strain

B BIOT

CLCR Konsistent linearisiert co-rotational

CMS Component mode synthesis

CR Co-rotational

CR-FE Co-rotationale finite Elemente

DAE Differential-algebraisch

EAS Enhanced-Assumed-Strain

EICR Element-independent corotational

EST Energiestabilisierungstechnik

FEM Finite-Elemente-Methode

FEMBS Finite elements multibody system

FRF Floating reference frame

GL GREEN-LAGRANGE

HW HU-WASHIZU

xvii

IRK Implizite Runge-Kutta

MA Mixed approximation

MBS Multibody system

MH MISES-HUBER

MKS Mehrköpersystem

MSBDI Multibody system based direct integration

NL Nichtlinear

NR NEWTON-RAPHSON

POM Principle of material objectivity

SRI Selective reduzierte Integrationstechnik

SVD Singular value decomposition

TL Total Lagrangian

UEL User defined elements

UL Updated Lagrangian

Griechische Formelzeichen Einheit

δ Variation-Operator

ǫ Norm des Verschiebungsgradienten

ǫ(i) Norm des IRK-Residuenvektors N

ǫi Hauptdehnungen

ǫij Komponenten des linearen Dehnungstensors

κ Isotroper Verfestigungsparameter

λ Eigenwert

λ, µ Lamé-Konstanten N/mm2

λF Konsistenter Parameter

λi I-ter Eigenwert des rechten Streckungstensors U

ν POISSONsche Zahl

ν∗ Modifizierte POISSONsche Zahl

Ωi Komponenten des Spins Ω

ρ Massendichte Kg/mm3

σF 1D Spannungskurve aus Zugversuchen N/mm2

σv MISESsche Vergleichsspannung N/mm2

θ Rotationswinkel

εe 1D elastische Dehnung

εp 1D plastische Dehnung

Φ Fließfunktion N/mm2

ϕ MOONEY-RIVLINsche Spannungsfunktion N/mm2

ϕ, χ, ψ Komponenten des rotationalen Pseudovektors

tΠHW Modifizierte HU-WASHIZUsche Potentialfunktion N mm

tΠ∗int Bekannte Energiefunktion zur Stabilisierung N mm

tΠHW HU-WASHIZUsche Potentialfunktion N mm

0Ψ Korrekturfaktor für die Volumenänderung

tσii Normalspannungen N/mm2

tσi Hauptnormalspannungen N/mm2

tτij Schubspannungen N/mm2

Lateinische Formelzeichen Einheit

xei Koordinatenvektor des i-ten Knotens mm

t0Cijrs Komponenten des Elastizitätstensors N/mm2

t0E

Grs Komponenten des GL-Dehnungstensors

t0Sij Komponenten des 2PK-Spannungstensors N/mm2

0x1, tx1 Komponenten des Koordinatenvektors mm

A(e)a Arbeit der äußeren eingeprägten Kräfte N mm

Aij Koeffizienten der Butcher-Tabelle

bi IRK-Gewichte

C1, C2 Materialkonstanten N/mm2

ci IRK-Knoten

E Elastizitätsmodul N/mm2

E∗ Modifizierter Elastizitätsmodul N/mm2

el Anzahl der finiten Elemente

G Schubmodul N/mm2

g1, g2, g3 Anzahl der Integrationspunkte

Hi HERMITEsche Funktionen

ID Erste Invariante des Tensors D N/mm2

IID Zweite Invariante des Tensors D N/mm2

IIID Dritte Invariante des Tensors D N/mm2

J Dritte Variante des Deformationsgradienten

K Kompressionsmodul N/mm2

k(i) Kontraktion der i-ten Iteration

ki, Zi IRK-Variablen der Stufe i

l Leistung des Körpers N mm/s

lpi (r) Lagrangesches Polynom der Richtung r

Le Länge eines Balkenelements mm

Ni Ansatzfunktionen

p Polynomgrad

qi Quaternion-Parameter

R Radius der Fließfäche N/mm2

r, s, t Natürliche Koordinaten

ReL Untere Streckgrenze N/mm2

t Zeit s

T i Gesamte kinetische Energie N mm

T ir Rotatorische kinetische Energie N mm

T it Translatorische kinetische Energie N mm

TOL Toleranzparameter

tr Spur einer quadratischer Matrix

wi, wj , wk Gewichtungsfaktoren

wij Komponenten des Spins

Z ′ (κ) kinematischer Verfestigungsmodul

Se Fläche eines finiten Elements mm2

Ve Volumen eines finiten Elements mm3

Matrizen und Vektoren Einheit

Γ Transformationsmatrix für ein Flächenelement mm

λe Vektor der Lagrange-Multiplikatoren N/mm2

A 3 × 1 Axial-Vektor

S (v) 3 × 3 Spinmatrix aus dem 3 × 1 Vektor v

Ω Spin-Tensor der Starrkörperrotation

Θi Trägheitstensor Kg mm2

θi Rotationskoordinatenvektor eines Starrkörpers i

ϑ Rotationaler Pseudovektor

ξ Vektor der natürlichen Koordinaten

x Beschleunigungsvektor mm/s2

x Geschwindigkeitsvektor mm/s

ΣD Deviatorischer Spannungstensor N/mm2

ΣH Hydrostatischer Spannungstensor N/mm2

Z Rückspannungstensor N/mm2

B BIOTscher Spannungstensor N/mm2

B∗ B-Spannungstensor B im Hauptdehnungsraum N/mm2

BG, BS Nichtlineare Verschiebungs-Dehnungsmatrizen mm-1

BL Lineare Verschiebungs-Dehnungsmatrix mm-1

C (qr, t) Vektor der Zwangsgleichungen

C∗T Materialtangente CT im Hauptdehnungsraum N/mm2

CT Konsistente Materialtangente N/mm2

C3D,gen Generalisiertes Kugelgelenk mm

Cff Vektor der Zwangsgleichungen flexibler Strukturen

Crf Vektor der Zwangsgleichungen des Koppelterms

Crr Vektor der Zwangsgleichungen starrer Körper

D Diagonale Matrix

E Linearer Verzerrungstensor

Ee Elastischer Verzerrungstensor

Ep Plastischer Verzerrungstensor

fB Volumenkraftvektor N

fS Flächenkraftvektor N

Fiz Generalisierter Zwangskraftvektor N

Fb,int Globaler externer Kraftvektor der Struktur b N

Fb,int Globaler interner Kraftvektor der Struktur b N

Fe,ext Externer Elementkraftvektor N

Fe,int Interner Elementkraftvektor N

FC Zwangskraftvektor des MKS-FEM-Systems N

Fnl Nichtlinearer Kraftvektor des MKS-FEM-Systems N

G Matrix der Ansatzfunktionen

GANC Ansatzfunktionsmatrix der ANC-Formulierung

ge Vektor der absoluten Koordinaten mm

GC IRK-Residuenvektor der Zwangskräfte aller Stufen N

Gi IRK-Residuenvektor der Stufe i N

I3 3 × 3 Einheitsmatrix

J Jakobimatrix mm

JG IRK-Jacobi-Matrix des MKS-FEM-Systems

Kb,T Tangentiale Systemsteifigkeitsmatrix N/mm

Kb Globale Steifigkeitsmatrix der Struktur b N/mm

Ke,T Tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix N/mm

Ke Elementsteifigkeitsmatrix N/mm

KG,T Geometrische Elementsteifigkeitsmatrix N/mm

KM,T Materielle Elementsteifigkeitsmatrix N/mm

Kqi IRK-Geschwindigkeitsvektor der Stufe i

Kvi IRK-Beschleunigungsvektor der Stufe i

L Linearer Differentialoperator mm-1

M (q) Massenmatrix des MKS-FEM-Systems

mi 3 × 3 Massenmatrix eines Starrkörpers i Kg

Mir Generalisierte Massenmatrix eines Starrkörpers i

Mb Globale Massenmatrix der Struktur b Kg

Me Elementmassenmatrix Kg

Mf Massenmatrix der flexiblen Freiheitsgraden Kg

Mr Massenmatrix eines Starrkörpersystems

n Eigenvektor

Q Orthogonale Matrix der Eigenvektoren

q Koordinatenvektor des MKS-FEM-Systems

qi Generalisierter Koordinatenvektor eines Starrkörpers i

Qiω Generalisierter Corioliskraftvektor eines Starrkörpers i N

Qiext Generalisierter externer Kraftvektor eines Starrkörpers i N

Qω Globaler Corioliskraftvektor eines Starrkörpersystems N

Qext Globaler externer Kraftvektor eines Starrkörpersystems N

qF Tensor der internen Variablen N/mm2

qf Globaler Koordinatenvektor flexibler Strukturen mm

qr Generalisierter Koordinatenvektor eines Starrkörpersystems

R (ϑ) Matrix der Starrkörperrotation

S 2PK-Spannungstensor N/mm2

U∗ Tensor U im Hauptdehnungsraum

ue Elementknotenverschiebungsvektor mm

W Spin eines Verschiebungsfeldes

xC Globaler Koordinatenvektor des Elementschwerpunktes mm

xe Elementkoordinatenvektor mm

y IRK-Lösungsvektor für alle Stufen

dtl1 Linienelement mm

Σ Vorgeschätzter Spannungszustand N/mm2

σ CAUCHYscher Spannungsvektor N/mm2

ε linearer Verzerrungsvektor

B BIOTscher Spannungsvektor N/mm2

EB BIOTscher Verzerrungsvektor

EG GREEN-LAGRANGEscher Verzerrungsvektor

H HOOKEsche Matrix N/mm2

S 2PK-Spannungsvektor N/mm2

T (Q) 6 × 6 Transformationsmatrix aus Q

0xi, txi Globale Knotenkoordinatenvektoren mm

tΦ Matrix aus den Spinmatrizen S (txei) mm

tΞ Matrix aus der Ableitung des Pseudovektors mm-1

tFC,int Korrigierter Elementkraftvektor im CR-System N

tue Rotationsfreier Elementknotenverschiebungsvektor mm

tui Rotationsfreier Knotenverschiebungsvektor mm

txei Knotenkoordinatenvektor im CR-System mm

tue Globaler Elementknotenverschiebungsvektor mm

txe Globaler Elementknotenkoordinatenvektor mm

t0BG Gemittelte nichtlineare Verschiebungs-Dehnungsmatrix mm-1

t0F Gemittelter Deformationsgradient

t0Fe,int Interner Elementkraftvektor im CR-System N

t0KG,T Geometrische Elementsteifigkeitsmatrix im CR-System N/mm

t0KM,T Materielle Elementsteifigkeitsmatrix im CR-System N/mm

t0R Gemittelte Rotationsmatrix

t0U Gemittelter Streckungstensor

0x, tx Koordinatenvektor mm

tΣ CAUCHYscher Spannungstensor N/mm2

tσ CAUCHYscher Spannungsvektor im CR-System N/mm2

tε Linearer Dehnungsvektor im CR-System

tu Verschiebungsvektor mm

t0B Linker CAUCHY-GREENSCHER Tensor

t0C Rechter CAUCHY-GREENSCHER Tensor

t0E

B BIOTscher Verzerrungstensor

t0E

G GL-Verzerrungstensor

t0E

H HENKYscher Verzerrungstensor

t0F Deformationsgradient

t0H Verschiebungsgradient

t0R Rotationstensor

t0U Materieller rechter Streckungstensor

t0V Räumlicher linker Streckungstensor

P Elementprojektionsmatrix im CR-System

Kapitel 1

Einleitung

1.1 Problemstellungen und Ziele der Arbeit

Seit längerer Zeit ist es das Ziel bei der Entwicklung und Herstellung techni-

scher Systeme, Material- und Energieverbrauch mit zunehmenden Leichtbau-

Konstruktionen zu reduzieren. Ebenfalls sollen elektronische Komponenten in

die mechanischen Systeme integriert werden.

Zum Entwurf und zur Berechnung dieser komplexen Systeme kommen die

numerische Simulation und klassische Entwicklungsmethoden, wie die bean-

spruchungsgerechte Konstruktion und experimentelle Untersuchungen, zum

Einsatz. Mit Hilfe der numerischen Simulation können Geometrie und Ma-

terialverteilung der Bauteile berechnet werden. Die Entwicklungszeit und die

Kosten des Herstellungsprozesses lassen sich hierdurch signifikant reduzieren.

Weiterhin können Strategien für die Problembehebung während des Betriebs

mit Hilfe von vorhandenen Ergebnissen aus der Simulation entwickelt werden

[144].

In vielen Gebieten, wie der Luft- und Raumfahrt, Fahrzeugtechnik, Robo-

tik sowie der Medizintechnik, ist der Einsatz der Finite-Elemente-Methode

(FEM) und der Mehrköpersystem-Simulation (MKS) nicht mehr wegzudenken.

Die FEM gilt als universell einsetzbare Methode zur Berechnung von techni-

schen Strukturen [129]. Mit Hilfe der FEM werden sehr genaue Informationen

über die Konstruktion, Materialverteilung und geometrische Abmessungen ein-

zelner Bauteile ermittelt. Für den Fall, dass nichtlineare Materialmodelle und

Probleme von großen Starrköperrotationen berücksichtigt werden müssen, er-

1

2

gibt sich bereits für das einzelne Bauteil oft ein hoher Rechenaufwand. Die

Simulation des dynamischen Verhaltens komplexer und großer Gesamtsysteme

mit der FEM ist durch eine stark ansteigende Rechenzeit in vielen Fällen nicht

möglich. Dafür bietet sich bei großen Starrkörperbewegungen des Systems die

MKS-Methode als eine effiziente alternative Vorgehensweise an [147].

Bis Mitte der achtziger Jahre konnten MKS-Programme nur Systeme be-

rechnen, deren Bauteile als Starrkörper angenommen wurden. Die Wechselwir-

kungen zwischen den Bauteilen wurden mit Hilfe von kinematischen Zwangsbe-

dingungen realisiert. Dynamische Bewegungsgleichungen für Systeme aus rein

starren Körpern werden formal z.B. durch das d’Alembertsche Prinzip aufge-

stellt. Dabei kann die räumliche Bewegung von Starrkörpern im Allgemeinen

mit Hilfe von redundanten absoluten Koordinaten oder relativen Koordinaten

beschrieben werden. Eine detaillierte Beschreibung dafür kann in der Arbeit

[144] von Wallrapp sowie [159] von Shabana gefunden werden.

Die Berücksichtigung des elastischen Verhaltens von deformierbaren Bau-

teilen in der Mehrkörperdynamik wurde in der Mitte der achtziger Jahre ein-

geführt. Dabei konnten nur Balkenstrukturen mit einer großen Starrkörperbe-

wegung unter der Annahme eines linear-elastischen Materials berechnet wer-

den. Der Effekt geometrischer Steifigkeiten bei z.B. rotierenden elastischen

Rotorblättern, konnte nur schwer berücksichtigt werden. Dynamische MKS-

Berechnungen dreidimensionaler (3D) flexibler Strukturen waren in dieser Zeit

nicht möglich [144].

Heutige kommerzielle MKS-Programme, wie z.B. MSC ADAMS [6] und

SIMPACK [161], ermöglichen nicht nur die Berechnung von Starrköpermodel-

len, sondern auch die Berücksichtigung von elastischen Bauteilen. Sie können

damit realitätsnahe Aussagen über das gesamte Systemverhalten liefern. Da

ein akzeptabler Rechenaufwand unter Verwendung einer Reduktionsmethode

zur Verringerung der Anzahl der Freiheitsgrade erzielt werden kann, gelten

die modernen MKS-Programme als geeignete computerorientierte Werkzeuge

zur dynamischen Simulation von komplexen Mehrköpersystemen. Eine wesent-

liche Beschränkung ist dabei, dass strukturmechanische Probleme mit großen

Starrköperrotationen, jedoch linear-elastischen Materialgesetzen vorausgesetzt

werden müssen. Dynamische Berechnungen geometrischer- und/oder materi-

eller Nichtlinearitäten sind in der Regel nicht möglich [158], jedoch in vielen

3

Abb. 1.1: Beispiele für komplexe MKS-Modelle in MSC ADAMS [6]

technischen Systemen zu berücksichtigen.

Der Wunsch nach einer kurzen Rechenzeit ist heutzutage immer noch eine

große Herausforderung, besonders im Bereich der nichtlinearen Dynamik defor-

mierbarer Mehrkörpersysteme. Eine brauchbare Lösung dafür soll gleichzeitig

die Anforderung an die Effizienz sowie die Genauigkeit erfüllen.

Das verallgemeinerte Ziel der vorliegenden Arbeit kann folglich zusammen-

gefasst werden:

Entwicklung effizienter, robuster und flexibler Methoden zur Berechnung von

deformierbaren Strukturen mit großen Starrkörperrotationen unter Berücksich-

tigung materieller Nichtlinearitäten in der Mehrkörperdynamik. Dabei werden

FEM-Modelle von dreidimensionalen deformierbaren Strukturen direkt in die

MKS-Formalismen integriert und keine Modellreduktionsmethoden sowie kei-

ne Co-Simulationsverfahren verwendet. Berechnungen nichtlinearer Materiali-

en mit sowohl kleinen als auch großen Verzerrungen sollen ermöglicht werden.

Auf diese Art und Weise lassen sich die Hauptvorteile der FEM- und der MKS-

Methode effektiv nutzen.

1.2 Gliederung

Die vorliegende Arbeit gliedert sich in elf Kapitel. Nach der kurzen Einlei-

tung im ersten Kapitel, in der relevante Problemstellungen und die allgemei-

nen Ziele der Arbeit definiert werden, wird kurz auf die nichtlineare FEM-

sowie die MKS-Methode aus der Literatur eingegangen. Dabei werden rele-

vante Vor- und Nachteile dieser Methoden ausführlich diskutiert. Wichtige

nichtlineare Materialmodelle und typische Lockingeffekte inklusive ihrer Be-

4

handlungsmöglichkeiten werden ebenfalls beschrieben. Im Anschluss werden

relevante Veröffentlichungen auf dem Gebiet der direkten Einbeziehung nicht-

linearer Deformationen in die Dynamik deformierbarer Mehrkörpersystemen

intensiv diskutiert. Ferner werden die neuen Entwicklungen in dieser Arbeit

und das verallgemeinerte Konzept der MKS-FEM-Methode dargestellt.

Im Anschluss an das zweite Kapitel werden theoretische Grundlagen der

Kontinuumsmechanik beschrieben. In Kapitel 4 wird die Formulierung wichti-

ger nichtlinearer Materialmodelle dargestellt. Die FEM-Methode für rein mate-

rielle Nichtlinearitäten und die absolute Knotenkoordinaten-Formulierung sind

im fünften und sechsten Kapitel beschrieben.

Entwickelte co-rotationale (CR) FE-Formulierungen zur direkten Berech-

nung geometrischer und/oder materieller Nichtlinearitäten werden im siebten

Kapitel ausführlich beschrieben. Darauf aufbauend werden zur Beseitigung von

auftretenden Versteifungseffekten CR-Formulierungen unter Anwendung einer

Energiestabilisierungsmethode vorgestellt.

In Kapitel 9 wird die MKS-FEM-Methode zur direkten Einbeziehung nicht-

linearer FE-Strukturen in die Mehrkörpersystemdynamik mit Hilfe der CR-

Formulierungen systematisch beschrieben. Dabei werden das Starrkörpermo-

dell und verschiedene kinematische Zwangsbedingungen formuliert. Ein Zeitin-

tegrationsverfahren zur Lösung des MKS-FEM-Bewegungsgleichungssystems

wird vorgestellt. MKS-FEM-Berechnungen relevanter numerischer Beispiele

werden im zehnten Kapitel durchgeführt, um die Effizienz, die Genauigkeit

sowie die Robustheit der entwickelten MKS-FEM-Methode zu validieren. Fer-

ner wird eine Diskussion über die Abgrenzung dieser Methode in technischen

Anwendungen gegeben. Zum Schluss wird eine Zusammenfassung dieser Arbeit

und ein Ausblick gegeben.

Kapitel 2

Stand der Forschung und neue

Entwicklungen dieser Arbeit

In diesem Kapitel werden aktuelle Forschungsaktivitäten auf dem Gebiet der

Berechnung von Nichtlinearitäten in deformierbaren Mehrkörpersystemen vor-

gestellt. Verfügbare Methoden dafür sowie ihre Vor- und Nachteile hinsicht-

lich der Effizienz und der Genauigkeit werden ausführlich diskutiert. Ferner

werden Möglichkeiten zur Behandlung von Versteifungseffekten vor allem auf-

grund materieller Nichtlinearitäten dargestellt. Auf Basis der durchgeführten

Diskussionen lassen sich neue Entwicklungen dieser Arbeit für die direkte Ein-

beziehungen von nichtlinearen Bauteildeformationen in die Mehrkörperdyna-

mik präsentieren.

Zur Einführung in die folgenden Diskussionen wird eine Übersicht über die

wichtigsten Methoden im Bereich der Dynamik deformierbarer Mehrkörpersys-

teme in Abbildung 2.1 dargestellt.

2.1 Berechnung geometrischer Nichtlinearitäten mit

der FEM

Bei der Simulation von Mehrkörpersystemen stehen geometrische Nichtlineari-

täten im Vordergrund. Dabei erfahren die deformierbaren Körper des Systems

in den meisten Fällen eine große Gesamtbewegung, die in eine große Starrkör-

perbewegung und eine relativ kleine Verformungsbewegung aufgeteilt werden

kann. Die Körper des Systems sind durch kinematische Zwangsbedingungen

5

6

Statische/Dynamische Simulation

von Mehrkörpersystemen

TL-FE-Formulierung

UL-FE-Formulierung

ANC-FE-Formulierung

Co-rotationale

Formulierungen

Nichtlineare FEM MKS-Methode

Starrkörpermodelle

Zwangsbedingungen

Modale Strukturen

Balkenstrukturen

Nicht-modale Strukturen

Floating reference frame

Rheologische Modelle

Lineare FEM

Abb. 2.1: Methoden für die Simulation von Mehrkörpersystemen

verbunden. Je komplexer das System ist, desto größer ist der numerische Be-

rechnungsaufwand [144].

Die nichtlineare FEM ist ein universelles Werkzeug zur Berechnung und

zur Optimierung von technischen Strukturen. Viele FEM-Programme, wie z.B.

ABAQUS [5], ANSYS [9] und LS-DYNA [109], sind heutzutage in der Lage,

MKS-Simulationen mit einer ausreichend geringen Anzahl flexibler Komponen-

ten und relativ einfachen kinematischen Bindungen auszuführen.

Die lineare FEM wird zur Berechnung kleiner linear-elastischer Deforma-

tionen eingesetzt. Dabei resultiert eine konstante Steifigkeitsmatrix für jedes

Element. Dagegen ändert sich die Elementsteifigkeitsmatrix mit der Bezugs-

konfiguration bei der nichtlinearen FEM.

Für eine nichtlineare FE-Simulation können die folgenden FE-Formulierungen

eingesetzt werden:

1. Total Lagrangian (TL) FE-Formulierung,

2. Updated Lagrangian (UL) FE-Formulierung,

7

3. co-rotationale (CR) FE-Formulierungen,

4. absolute Knotenkoordinaten-FE-Formulierung (ANC).

Anwendung der TL- und der UL-Formulierung

Die TL- und die UL-Formulierung sind für fast alle nichtlinearen struktur-

mechanischen Probleme einsetzbar und werden zur Formulierung nichtlinearer

finiter Elemente in den meisten kommerziellen FEM-Programmen verwendet.

Systematische Beschreibungen dieser Formulierungen können in den Arbeiten

[16] und [15] von Bathe sowie [30] und [31] von Crisfield gefunden werden.

TL-Formulierung: In der TL-Formulierung wird zur Beschreibung von großen

Deformationen die ursprüngliche Konfiguration als die Bezugskonfiguration

für die inkrementelle/iterative Berechnung der Gleichgewichtslage der Struk-

tur ausgewählt. Dabei werden die 2. PIOLA-KIRCHHOFFschen (2PK) Span-

nungen und die GREEN-LAGRANGEschen (GL) Verzerrungen herangezogen.

Auf der Grundlage des Prinzips der virtuellen Arbeit resultiert die tangen-

tiale Steifigkeitsmatrix jedes Elements als die Summe der materiellen und

der geometrischen Steifigkeitsmatrix. Die geometrische Steifigkeitsmatrix wird

mit den 2PK-Spannungen im aktuellen Iterationsschritt und der nichtlinearen

Verschiebungs-Dehnungsmatrix aufgestellt [30]. Diese Matrizen werden zum

Erreichen des quadratischen Konvergenzverhaltens der iterativen NEWTON-

RAPHSONschen (NR) Methode benötigt. Sie lassen sich durch numerische

Integration in den GAUSSschen Punkten berechnen [16].

UL-Formulierung: In der UL-Formulierung wird bei der Berechnung von

großen Deformationen die letzte konvergierte Konfiguration als Bezugslage aus-

gewählt. Die tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix hat die gleiche Form wie in

der TL-Formulierung. Sie stellt die Summe der materiellen und der geometri-

schen Steifigkeit bezüglich der vorher konvergierten Konfiguration dar. Dabei

werden die linearen Verschiebungs-Dehnungsmatrizen und die CAUCHYschen

Spannungen bezüglich der letzten Gleichgewichtslage verwendet [30].

Generell lassen sich isoparametrische finite Elemente, wie Balken-, Schalen-

und Kontinuumselemente, mit Hilfe der TL- sowie der UL-Formulierung formu-

8

Abb. 2.2: Ursprüngliche, co-rotierte und deformierte Konfiguration einer Struk-tur in einer CR-Formulierung nach Felippa [23]

lieren (siehe [31], [121] und [170] sowie [128]). Sie haben jedoch den Nachteil,

dass eine Trennung geometrischer von materiellen Nichtlinearitäten nicht mög-

lich ist. Außerdem sind Berechnungen großer Systeme anhand dieser Formulie-

rungen sehr aufwendig. Der Grund dafür besteht darin, dass die Elementsteifig-

keiten kontinuierlich in den Integrationspunkten für jeden Berechnungsschritt

neu berechnet werden müssen.

Anwendung der co-rotationalen FE-Formulierungen

Die co-rotationalen (CR) FE-Formulierungen stellen eine sehr gute Alterna-

tive zu der TL- und der UL-Formulierung zur Berechnung deformierbarer

Strukturen mit großen Starrkörperrotationen dar [23]. Die Hauptidee dieser

FE-Formulierungen besteht darin, dass die große Starrkörperrotation der Kon-

tinuumspunkte eines finiten Elements aus der gesamten Deformation berechnet

wird. Somit wird die Behandlung von geometrischen Nichtlinearitäten mit Hilfe

der CR-Formulierungen auf die Berechnung einer repräsentativen Starrkörper-

rotation jedes finiten Elements zurückgeführt.

Die Entwicklung der CR-Formulierungen begann in den achtzigen Jahren.

Zu erwähnen sind die Pioniere auf diesem Gebiet, wie z.B. Belytschko [169],

Argyris [10], Veubeke [174], Mattiasson ([118], [99], [98]) sowie Horrigmoe

und Bergan [54]. Systematische mathematische Beschreibungen dieser FEM-

Methode können in den Publikationen von Felippa ([23], [47]), Crisfield ([117],

9

[29]) und Rankin ([24], [12]) gefunden werden.

Die wichtigsten Vorteile der CR-Formulierungen gegenüber der TL- und der

UL-Formulierung werden in der Arbeit [47] von Felippa wie folgt zusammen-

gefasst:

1. Trennung großer Starrkörperrotationen von kleinen Verzerrungen: Durch

diesen Vorteil kann ein großer Anwendungsbereich mit Hilfe dieser FE-

Formulierungen erreicht werden. Denn die deformierbaren Komponenten

von Systemen, wie z.B. Luft- und Raumfahrtsystemen, Robotern, Fahr-

zeugsystemen und medizinischen Systemen, führen im Betrieb oft sehr

große Starrkörperbewegungen bei kleinen Dehnungen aus [144].

2. Formulierung nichtlinearer Elemente aus linearen finiten Elementen: Da-

mit lässt sich das sogenannte elementunabhängige FEM-Konzept (EICR,

englisch: element-independent corotational) für die nichtlineare FEM-

Simulation entwickeln ([140], [23]). Eine ausführliche Zusammenfassung

dafür kann in der Arbeit [28] von Craighead gefunden werden.

3. Klare Unterscheidung zwischen geometrischen und materiellen Nichtli-

nearitäten: Aus diesem Grund können die nichtlinearen Materialgeset-

ze bei der geometrisch-linearen Theorie in die Formulierung von CR-

Elementen integriert werden. Nur wenige Modifikationen sind dabei er-

forderlich ([11], [13], [175]).

4. Mögliche Berechnung von dünnwandigen Strukturen: Dafür können CR-

Elemente mit Verdrehfreiheitsgraden, wie CR-Balken-, CR-Platten- und

CR-Schalenelemente, formuliert werden. Dadurch, dass sich die globale

nichtlineare Rotationsmatrix dieser Elemente in das lokale co-rotierte

Elementkoordinatensystem transformieren lässt, ist eine Linearisierung

der Rotationsmatrix möglich. Dabei können die Rotationsfreiheitsgrade

erhalten werden ([106], [107], [136]).

5. Mögliche Anwendung auf die MKS-Simulation: Im Prinzip ermöglichen

die CR-Formulierungen sehr gute Schnittstellen zu den MKS-Programmen

([76], [119], [161]). Diese Formulierungen und die MKS-Methode basieren

auf der gleichen Idee, dass die große Starrkörperrotation aus der gesamten

10

Deformation separiert wird. Außerdem wird in den meisten kommerziel-

len MKS-Programmen, wie z.B. SIMPACK [161] und MSC ADAMS [6],

die Methode des mitbewegten Bezugssystems angewendet. Damit wird

die große Starrkörperbewegung deformierbarer Körper beschrieben.

Im Gegensatz zu den genannten Vorteilen unterliegen die co-rotationalen

Formulierungen einigen Beschränkungen. Sie bereiten große Schwierigkeiten

bei der Berechnung nichtlinearer Materialverhalten mit großen Verzerrungen.

Dafür sind effiziente Lösungsansätze erforderlich, welche ein wichtiges Ziel die-

ser Arbeit darstellen. Weiterhin kann sich eine asymmetrische tangentiale Stei-

figkeitsmatrix ergeben [12]. Ferner resultiert die Berechnung der Rotationsfrei-

heitsgrade von CR-Balken- und -Schalenelementen in einem großen Rechenauf-

wand (siehe [132] und [21]).

Zur Berechnung von geometrischen Nichtlinearitäten in der MKS-Simulation

sind Formulierungen von 3D CR-Elementen sehr wichtig. Die Formulierung

eines CR-Tetraederelementes mit linearen Ansatzfunktionen für die Echtzeit-

simulation wird in den Veröffentlichungen [46] und [60] beschrieben. Hierbei

muss die lineare Elementsteifigkeitsmatrix nur einmal in der ursprünglichen

Konfiguration berechnet werden. In jedem Berechnungsschritt lässt sich diese

Matrix in der aktuellen Lage durch die berechnete Rotationsmatrix des Ele-

ments transformieren. Damit lassen sich die restlichen rotationsfreien Verfor-

mungen des Elements als das Ergebnis der Polarzerlegung berechnen. Jedoch

wurden Probleme mit ausreichend kleinen elastischen Dehnungen bei der For-

mulierung dieses CR-Elements vorausgesetzt.

Hinsichtlich der schnellen Berechnung von großen elastischen Deformationen

in Mehrkörpersystemen formulierte Nguyen [172] ein CR-Tetraederelement mit

linearen Ansatzfunktionen unter Verwendung einer Elementprojektionsmatrix.

Das CR-Element wird in ABAQUS mit Hilfe der Subroutine UEL (englisch:

user defined elements) implementiert. Dabei wird ein linear-elastisches Materi-

al berücksichtigt. Ergebnisse aus den geometrisch-nichtlinearen Berechnungen

in ABAQUS zeigen eine hohe Genauigkeit und Effizienz dieses Elements. Je-

doch ist in dieser Arbeit eine direkte Integration dieses CR-Elements in die

nichtlineare Mehrkörperdynamik noch nicht gegeben.

Zur Berechnung großer Verzerrungen stellte Crisfield [117] eine mögliche

Lösung für das Hexaederelement mit trilinearen, isoparametrischen Ansatz-

11

Abb. 2.3: Ein ANC-Balkenelement in der ursprünglichen und der deformiertenKonfiguration [173]

funktionen vor. Dabei wird die Elementsteifigkeitsmatrix in der ursprünglichen

Lage im Fall linear-elastischer Materialgesetze wie zuvor nur einmal berechnet.

In manchen Fällen verfügt dieses CR-Element über Locking-Effekte oder in-

stabiles Verhalten. Außerdem ergeben sich komplizierte nichtlineare Ausdrücke

für die tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix sowie für den internen Element-

kraftvektor. Formulierungen von 3D finiten Elementen quadratischer Ansatz-

funktionen sind dabei nicht möglich.

Absolute Knotenkoordinaten-FE-Formulierung

Neben den erwähnten Formulierungen bietet die absolute Knotenkoordinaten-

FE-Formulierung (ANC, englisch: absolute nodal coordinate) eine gute Mög-

lichkeit zur Berechnung der großen Starrkörperbewegung deformierbarer 3D

Körper. Die grundlegende Idee der ANC-Formulierung besteht darin, dass die

globalen absoluten Koordinaten eines beliebigen Punkts des Elements nicht

nur durch isoparametrische Ansatzfunktionen und globale Knotenkoordinaten,

sondern auch durch Krümmungen an den Knoten approximiert werden. Die

Krümmungen an einem Knoten des finiten Elementes werden durch die Än-

12

derung der absoluten Lage des Knotens mit dem globalen Koordinatensystem

definiert ([2], [156]). Dadurch werden bei Balken- und Schalenelementen kei-

ne Rotationsfreiheitsgrade an den Knoten benötigt (siehe Abbildung 2.3). Die

große Starrkörperrotation lässt sich implizit durch die Deformationsgradienten

in den Integrationspunkten beschreiben. Das führt dazu, dass keine Approxima-

tion der Rotationsfreiheitsgrade aus der globalen Rotationsmatrix erforderlich

ist. Ferner ergibt sich eine konstante Elementmassenmatrix, was einen Vorteil

für die Integration der Bewegungsgleichungen mit einem impliziten Zeitinte-

grationsverfahren darstellt.

Im Gegensatz dazu besitzt die ANC-Formulierung auch Nachteile. Sie lie-

fert mathematische Ausdrücke für den internen Elementkraftvektor, die oft

sehr komplex und hoch-nichtlinear sind. Außerdem muss ein zusätzlicher ma-

thematischer Aufwand bei der Berechnung der Knotenkrümmungen betrieben

werden.

Die erste ANC-Formulierung eines Balkenelements wurde von Shabana vor-

gestellt ([157], [4]). Dabei konnten Schubspannungen infolge von Querkraft-

schub und Torsion ohne Verwölbungen berücksichtigt werden. Da die Krüm-

mungen an den Knoten sowie die Verdrehungen des Querschnittes stetig sein

müssen, werden isoparametrische Ansatzfunktionen höherer Ordnungen ausge-

wählt. Dafür muss jedoch die Anzahl der Integrationspunkte auf der neutralen

Faser entsprechend erhöht werden. Als wichtige Erweiterungen dafür wurden

in den Veröffentlichungen von Mikkola und Shabana [8], Dmitrochenko und

Pogorelov [130], Dufva und Shabana [92], ANC-Formulierungen für Platten-

und Schalenelemente systematisch beschrieben.

Anwendungen von dreidimensionalen ANC-Kontinuumselementen können

nur selten in der Literatur gefunden werden ([1], [126]). Außerdem ist in den

meisten Fällen die direkte Integration von geometrische-nichtlinearen Effekten

in die Mehrkörpersystemsimulation unter Verwendung dieser FE-Formulierung

sehr schwer oder sogar nicht möglich. Wie bereits erwähnt wird die Starrkörper-

rotation des Elements während der Berechnung nicht separiert.

13

2.2 Berechnung geometrischer Nichtlinearitäten mit

der MKS

Bei der dynamischen Simulation sehr großer deformierbarer Mehrkörpersyste-

me unter Berücksichtigung kinematischer Zwangsbedingungen ist der Einsatz

der nichtlinearen FEM in den meisten Fällen sehr aufwendig. Sie ist nur für

bestimmte Situationen bei der Anwendung schneller FE-Algorithmen möglich

[147]. Dafür bietet hingegen die MKS-Formulierung eine gute Möglichkeit [144].

Floating reference frame: Bei dieser Formulierung wird ein körperfestes Re-

ferenzsystem (FRF, englisch: floating reference frame) für das ganze Bauteil

definiert. Damit kann die gesamte Bauteildeformation in eine große Starrkör-

perbewegung und eine restliche kleine Verformung aufgeteilt werden. Die La-

geänderungen dieses Koordinatensystems beschreibt dabei die große Starrkör-

perbewegung des gesamten Bauteils, die kleinen Bauteilverformungen werden

in diesem Koordinatensystem dargestellt [177].

Zur Veranschaulichung des FRF-Koordinatensystems wird in Abbildung 2.4

ein deformierbares Bauteil in der Anfangskonfiguration t0 und in der aktuellen

Konfiguration t dargestellt. Dabei werden ein konstantes globales Koordinaten-

system E(OI , eI) und ein FRF-System E(O, e) definiert. Weiterhin wird die

Bewegung des FRF-Systems durch den Koordinatenvektor r(t) des Ursprungs

O und die Richtungskosinusmatrix A(t) beschrieben.

Der Hauptunterschied zwischen der MKS-Formulierung mit dem FRF und

den CR-Formulierungen liegt vor allem in der Darstellung der Starrkörperbe-

wegung. In den CR-Formulierungen wird die Rotationsmatrix für das lokale

Element berechnet. In der MKS-Formulierung wird sie jedoch für den ganzen

globalen Körper ermittelt.

RITZscher Ansatz mit modalen Koordinaten: Nach Wallrapp ([177], [178])

und Rulka [147] lassen sich die Bauteilverformungen relativ zum FRF-System

beim RITZschen Verfahren durch eine Matrix der koordinatenabhängigen Form-

funktionen und einen Vektor der zeitabhängigen generalisierten Koordinaten

approximieren. Diese Formfunktionen sollen zumindest alle kinematischen Rand-

bedingungen erfüllen. Weiterhin sollen sie das Verformungsverhalten des ge-

14

Abb. 2.4: Ursprüngliche, co-rotierte und deformierte Konfiguration eines defor-mierbaren Körpers mit einem körperfesten Koordinatensystem E(O, e) nachWallrapp [177]

samten Bauteils wiedergeben können [144], was jedoch für komplexe 3D Bau-

teilgeometrien nicht möglich ist.

Um diese Problematik zu umgehen, wurde im MKS-Programm SIMPACK

eine sogenannte FEMBS-Schnittstelle für die Einbeziehung von FE-Strukturen

mit linear-elastischem Materialverhalten in die Mehrkörpersysteme entwickelt.

Dabei stellen modale Koordinaten aus Eigenwertproblemen die Formfunktio-

nen dar. Diese Koordinaten können z.B. aus der CMS-Reduktion (englisch:

component mode synthesis) gewonnen werden.

Eine weitverbreitete Reduktionstechnik ist das CRAIG-BAMPTONsche Ver-

fahren ([146], [27]). Unter der Voraussetzung von linear-elastischem Material-

verhalten lassen sich die nichtlinearen Bewegungsgleichungen flexibler Struk-

turen durch das Prinzip der virtuellen Leistung aufstellen. Aus dem Trägheits-

term resultiert eine nichtlineare, veränderliche Strukturmassenmatrix. Diese

Matrix ist symmetrisch und enthält Submatrizen aus der Starrkörperbewe-

gung, den modalen Koordinaten und den Koppeltermen zwischen der Starrkör-

perbewegung und den modalen Koordinaten. Des Weiteren ergeben sich auf

der rechten Seite des Bewegungsgleichungssystems nichtlineare Ausdrücke für

die generalisierten Kräfte, die aus der geometrischen Steifigkeitsmatrix infol-

ge der Vorspannungen und aus der konventionellen linearen Steifigkeitsmatrix

15

Abb. 2.5: FEMBS-Vorgehensweise für 3D Balkenstrukturen und 3D modaleStrukturen in SIMPACK nach Wallrapp und Dietz [127]

bestehen. Weiterhin resultieren nichtlineare generalisierte zentrifugale und gy-

roskopische Kräfte [144].

Beschränkungen der MKS-Formulierung: Die MKS-Methode mit CMS-

Reduktionstechniken ist sehr effizient zur Berechnung großer elastischer Be-

wegungen in Mehrkörpersystemen. Sie ist damit in fast allen kommerziellen

MKS-Programmen implementiert ([152], [65], [161]). Diese Formulierung hat

jedoch die große Beschränkung, dass kleine linear-elastische Verformungen re-

lativ zum FRF-System des Körpers vorliegen müssen. So ist eine direkte Be-

rücksichtigung materieller Nichtlinearitäten in dieser Formulierung in der Regel

nicht möglich. Im Fall, dass die Bauteilgeometrie kompliziert ist und ein großer

Frequenzbereich berechnet werden soll, ist eine hohe Anzahl von Eigenmo-

den zur Beschreibung des elastischen Verformungsverhaltens erforderlich. Dies

kann die Vorteile dieser Formulierung kompensieren oder diese nicht anwend-

bar machen [149]. Es kann hier bemerkt werden, dass auch andere nicht-modale

Reduktionstechniken für große elastische Mehrkörpersysteme existieren. Unter

anderem können das KRYLOVsche Unterraumverfahren ([103], [70]) und das

SVD-Reduktionsverfahren (englisch: singular value decomposition) ([168], [77])

erwähnt werden, worauf in dieser Arbeit nicht weiter eingegangen wird.

16

2.3 Berechnung physikalisch-nichtlinearer Probleme

mit der FEM

In der Realität erfahren die Systemkomponenten oft nicht nur geometrisch-

sondern auch physikalisch-nichtlineare Verformungen. Unter zahlreichen tech-

nischen Beispielen können folgende wichtige Anwendungsfälle für die Berück-

sichtigung materieller Nichtlinearitäten in der Mehrkörperdynamik erwähnt

werden:

• rotierende Rotorblätter von Luftfahrzeugen ([148], [111], [67]),

• nichtlineare Reifenmodelle ([134], [45], [18]),

• Eisenbahnradsysteme [179],

• Fahrzeug- [150] und Hausgerätekomponenten ([68], [155]), Riemengetrie-

be [90], Gummiketten [108] und Blattfedern [176] von Fahrzeugen,

• biomechanische Systeme ([93], [48]),

• kollapsdynamische Vorgänge von Bauwerken [71],

• nichtlineare Kontaktprobleme [43].

Aufgrund nichtlinearer Zusammenhänge zwischen Spannungen und Verzerrun-

gen erfordert die Berechnung von nichtlinearen Materialverhalten in der Mehr-

körperdynamik einen großen Rechenaufwand. Dafür sollen nicht nur schnelle

FE-Algorithmen, sondern auch effiziente Verfahren zur Berechnung des Span-

nungszustandes und der Elementsteifigkeitsmatrix entwickelt werden [31].

Der folgende Abschnitt umfasst aktuelle Möglichkeiten für die Berechnung

materieller Nichtlinearität in der Mehrkörperdynamik unter Verwendung der

genannten FEM-Methoden.

Anwendung der TL- und UL-Formulierung in Mehrkörpersystemen

Zur Berechnung von Nichtlinearitäten mit der TL- und der UL-Formulierung

kann die inkrementelle/iterative NEWTON-RAPHSONsche (NR) Methode

17

verwendet werden [16]. Für diesen Zweck wird die gesamte Belastung in kleine-

re Inkremente aufgeteilt. So kann die Gleichgewichtslage der Struktur in jedem

Inkrement durch Iterationen berechnet werden.

Bei der TL-Formulierung können die gesamten 2PK-Spannungen in die

2PK-Spannungen der letzten konvergierten Konfiguration und einen inkre-

mentellen Anteil aufgeteilt werden, der sich mit den inkrementellen GREEN-

LAGRANGEschen (GL) Verzerrungen berechnen lässt. Bei nichtlinearen Ma-

terialmodellen kann die Berechnung dieses Spannungszuwachses sehr rechen-

intensiv sein. Dabei ergibt sich bei der physikalischen Linearisierung des Ma-

terialgesetzes eine sogenannte konsistente Materialtangente, die sowohl nicht-

linear als auch vom aktuellen Dehnungszustand abhängig ist. Der große Auf-

wand resultiert vor allem dadurch, dass in jedem Lastinkrement Berechnungen

der tangentialen Elementsteifigkeitsmatrix in den Integrationspunkten durch-

geführt werden müssen. Weiterhin werden die internen Elementkräfte dadurch

bestimmt, dass die nichtlineare Verschiebungs-Dehnungsmatrix und die 2PK-

Spannungen über das gesamte Volumen des Elements integriert werden.

In der UL-Formulierung ergibt sich die gleiche Vorgehensweise bei der Be-

rechnung der Steifigkeitsmatrix und des internen Elementkraftvektors. Der Un-

terschied zu der TL-Formulierung besteht darin, dass die CAUCHYschen Span-

nungen und die in der letzten konvergierten Konfiguration berechnete lineare

Verschiebungs-Dehnungsmatrix berücksichtigt werden.

Generell ist der Einsatz der TL- sowie der UL-Formulierung in der Dynamik

großer deformierbarer Mehrkörpersysteme mit nichtlinearen Materialverhalten

sehr schwierig oder sogar nicht möglich [16].

Anwendung der CR-Formulierungen in Mehrkörpersystemen

Wie in Abschnitt 2.1 erwähnt, ist es prinzipiell bei den CR-Formulierungen

möglich, geometrische und physikalische Nichtlinearitäten getrennt zu behan-

deln. Dieser große Vorteil ermöglicht die direkte Einbeziehung nichtlinearer

Materialmodelle mit kleinen Dehnungen in die CR-Formulierungen [23].

Nguyen [175] integrierte elastisch-plastische und nichtlinear-elastische Mate-

rialmodelle direkt in die nichtlineare FE-Simulation deformierbarer 3D Struk-

turen. Dafür wurde ein CR-Tetraederelement mit Volumenkoordinaten als li-

18

neare Ansatzfuntionen entwickelt. Die restlichen rotationsfreien Knotenverfor-

mungen werden nach der Trennung der Starrkörperrotation mit der Polarzerle-

gung als klein angenommen. Des Weiteren ergibt sich eine sogenannte Projek-

tionsmatrix bei einer konsistenten Linearisierung der internen Elementenergie

mit den rotationsfreien Verformungen. Dieses Element wurde in dem kommer-

ziellen FEM-Programm ABAQUS durch die Subroutine UEL implementiert.

Numerische Beispiele mit diesem CR-Tetraederelement in ABAQUS zeigten

eine sehr gute Übereinstimmung mit den Lösungen aus nichtlinearen ABAQUS-

Berechnungen. Jedoch sind dabei Anwendungen dieses CR-Elementes in der

Mehrkörperdynamik sowie Formulierungen anderer CR-Elemente nicht gege-

ben.

Nur wenige 3D CR-Elemente können zur Berechnung von sowohl nichtli-

nearen kleinen als auch großen Dehnungen in der Literatur gefunden werden.

In den meisten Fällen wurden komplizierte Verbesserungstechniken verwendet,

die einen zusätzlichen großen Rechenaufwand erfordern.

In der Arbeit [181] von Lui wurde ein 8-knotiges CR-Hexaederelement mit

reduzierter Integration zur Berechnung kleiner elastisch-plastischer Dehnun-

gen formuliert. Dabei wird die große Starrköperrotation anhand der letzten

konvergierten Konfiguration berechnet. Bei der reduzierten Integration wird

die zeitliche Änderung der Dehnungen im Elementschwerpunkt bis auf trili-

neare Terme in einer TAYLORschen Reihe nach den natürlichen Koordinaten

entwickelt. Infolgedessen sollen die HOURGLASS-Moden in jedem Lastinkre-

ment kontinuierlich kontrolliert werden, was bei großen Mehrkörpersystemen

sehr aufwendig ist. Dieses CR-Element liefert im Vergleich mit dem C3D8I-

Hexaederelement in ABAQUS [5] sehr gute Ergebnisse und wurde ins kommer-

zielle FE-Programm LS-DYNA implementiert [59]. Interessante Modifikatio-

nen dieses Elements mit nur einem GAUSSschen Punkt können in der Arbeit

[36] von Schmidt und [7] von Braun gefunden werden. In der Mehrkörperdyna-

mik ist der Einsatz dieses Element aufgrund der bedingten Anwendung eines

expliziten Zeitintegrationsverfahrens nicht möglich.

Eine Methode für die CR-Berechnung von nichtlinearen Materialverhalten

bei großen fast-inkompressiblen Verzerrungen wurde von Crisfield und Moita

([116], [57], [115]) entwickelt. Dabei wird in jedem Berechnungsschritt die große

Starrkörperrotation aus der gesamten Bewegung des finiten Elements durch

19

die Polardekomposition des Deformationsgradienten am Elementschwerpunkt

separiert. Dadurch, dass nichtlineare Verzerrung z.B. die rechte Streckungs-

matrix oder die BIOTsche Verzerrungsmatrix je nach Materialverhalten an-

hand der rotationsfreien Elementknotenverschiebungen bestimmen wird, kön-

nen hyperelastische- und elastisch-plastische Materialmodelle bei großen Deh-

nungen in diese CR-Formulierung integriert werden ([19], [31]). Zur Vermei-

dung der bei großen Dehnungen auftretenden HOURGLASS-Moden und zur

Behandlung der fast-inkompressiblen Effekte wurden inkompatible Deforma-

tionsmoden (englisch: incompatible mode formulation) bei unbekannten inter-

nen Variablen in der CR-Formulierung mitberücksichtigt [135]. Es gibt jedoch

den großen Nachteil, dass die tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix durch die

statische Kondensation zur Eliminierung der internen Variablen während der

Berechnung neu aufgestellt werden muss. Aus diesem Grund ist die Anwen-

dung dieses CR-Elements für dynamische MKS-Simulationen sehr schwer oder

in vielen Fällen nicht möglich.

Anwendung der ANC-Formulierung in Mehrkörpersystemen

Die Entwicklungsgeschichte der ANC-Formulierung, besonders für die Berech-

nung nichtlinearer Deformationen in der Mehrkörperdynamik, ist relativ kurz

im Vergleich zu den anderen FE-Formulierungen. In den meisten Fällen wur-

den nur linear-elastische Materialien berücksichtigt [79]. Aufgrund der Tat-

sache, dass Spannungen bei gegebenen nichtlinearen Verzerrungen, z.B. GL-

Verzerrungen, in jedem Berechnungsschritt direkt berechnet werden sollen, ist

eine Integration nichtlinearer Materialmodellen in die ANC-Formulierung sehr

schwierig.

Hiroyuki und Shabana [163] formulierten ein plastisches Materialmodell bei

kleinen Dehnungen in der Geschwindigkeitsform für ANC-Balkenelemente und

ANC-Schalenelemente. Dabei wurde isotrope kinematische Verfestigung be-

rücksichtigt. Es kann dabei gezeigt werden, dass sich die zeitliche Änderung

der GL-Verzerrungen im globalen System und im ursprünglichen lokalen Ele-

mentsystem mit einer orthogonalen Transformationsmatrix ineinander trans-

formieren lassen. Dies führt dazu, dass eine lineare Beziehung zwischen der

zeitlichen Änderung der 2PK-Spannungen und der GL-Verzerrungen formu-

20

liert werden kann. Ein großer Nachteil ist dabei, dass die elastisch-plastischen

internen Elementkräfte bei der Berücksichtigung der Krümmungen in den Kno-

ten als Knotenfreiheitsgrade in einer sehr komplexen Form bestehen.

Dynamische FE-Berechnungen flexibler Balkenstrukturen mit einem ANC-

Balkenelement unter Berücksichtigung gummiartiger Materialien wurden in

der Veröffentlichung [162] von Jung vorgestellt. Dabei wurden elastische Poten-

tialfunktionen, wie z.B. die NEO-HOOKEANsche, die MOONEY-RIVLINsche

und die YEOHsche Funktion, zur Beschreibung nichtlinearer mechanischer Ei-

genschaften von Gummi verwendet. Aufgrund dessen, dass nur reines Biege-

verhalten einer einfachen 1D Balkenstruktur berechnet wird, lassen sich die

mathematischen Ausdrücke für die verwendeten Potentialfunktionen stark ver-

einfachen. Damit ist die direkte Integration dieser nichtlinearen Spannungs-

Dehnungsbeziehungen in die ANC-Formulierungen möglich. Eine Erweiterung

auf 3D Materialverhalten wurde nicht gegeben.

2.4 Locking-Effekte und Stabilisierungstechniken für

3D finite Elemente

Die Prüfung der Richtigkeit von FE-Ergebnissen komplexer 3D Strukturen ist

im Allgemeinen sehr schwierig. Im Fall großer deformierbarer Mehrkörpersys-

teme mit geometrischen und/oder materiellen Nichtlinearitäten kann eine Be-

urteilung der Ergebnisse einen sehr hohen Aufwand erfordern. In vielen Fällen

ist diese sogar nicht möglich.

Bei der FEM haben die FE-Formulierungen neben der Diskretisierung, der

Aufbringung von Randbedingungen sowie der Auswahl von Materialmodellen

bedeutende Einflüsse auf die Qualität der Ergebnisse [129]. Dafür sollen nicht

nur effiziente, sondern auch zuverlässige und flexible FE-Formulierungen entwi-

ckelt werden. Die C0-stetigen isoparametrischen Kontinuumselemente sind zur

Berechnung strukturmechanischer Probleme weit verbreitet. Sie sind einfach

formuliert, besitzen jedoch in der Regel Versteifungseffekte, die zur Verschlech-

terung des Konvergenzverhaltens führen können.

In dieser Arbeit wird eine robuste Methode zur Vermeidung von Locking-

Effekten für 3D co-rotationale finite Elemente vorgestellt. Aus diesem Grund

werden im Weiteren verschiedene Locking-Effekte und deren Behandlungsmög-

21

lichkeiten kurz beschrieben.

Typische Locking-Effekte

Bekannte Lockingphänomene können wie folgt aufgelistet werden [102]:

1. Schub-Locking,

2. Querschub-Locking,

3. Membran-Locking,

4. Trapezoidal-Locking und Curvature-Thickness-Locking,

5. volumetrisches Locking.

Volumetrisches Locking: Im Gegensatz zu den anderen Versteifungseffek-

ten, die von der Geometrie und den Formulierungen von finiten Elementen

abhängig sind, hängt das volumetrische Locking bzw. das POISSON-Locking

vom Materialverhalten ab. Bei gummiartigen hyperelastischen und elastisch-

plastischen sowie nichtlinear-elastischen Verformungszuständen geht die POIS-

SONsche Zahl gegen den Wert ν ≈ 0.5 und die Volumendehnung verschwindet.

Die Ansatzfunktionen der verwendeten FE-Formulierung sind nicht in der Lage,

dieses isochore Deformationsverhalten zu beschreiben, so dass es zur Verstei-

fung der FE-Strukturen kommen kann.

Andere Locking-Effekte werden an dieser Stelle wegen der Übersichtlichkeit

nicht weiter diskutiert. Stattdessen werden sie in Anhang D beschrieben.

Methoden zur Vermeidung von Locking-Effekten

Die oben genannten Locking-Effekte führen zu inakzeptablen Berechnungser-

gebnissen und lassen sich im Allgemeinen mit den folgenden Methoden je nach

Problem gut beseitigen:

1. Selektive reduzierte Integrationstechnik (SRI),

2. Assumed-Natural-Strain-Methode (ANS),

3. Enhanced-Assumed-Strain-Methode (EAS),

22

4. Energiestabilisierungstechnik (EST)

Energiestabilisierungstechnik (EST): Die EST ist im Vergleich zu den ande-

ren erwähnten Stabilisierungstechniken relativ neu. Anders als bei den anderen

Techniken, bei denen eine Erweiterung des Dehnungs- oder Verschiebungsfeldes

mit zusätzlichen internen Variablen oder eine Modifikation der Elementsteifig-

keitsmatrix erforderlich ist, wird bei der EST die Elementenergie stabilisiert.

Die grundlegende Idee dieser Methode besteht darin, dass die gesamte Element-

energie mit Hilfe einer bekannten Energiefunktion geschickt erweitert wird. Die

Anwendung dieser Technik für geometrisch- und/oder materiell-nichtlineare

Probleme ist möglich. Detaillierte Diskussionen über die EST-Technik in der

UL-Formulierung können in den Veröffentlichungen [105] und [104] von Krysl

gefunden werden.

Zur Übersichtlichkeit wird auf die Beschreibung der anderen Stabilisierungs-

methoden nicht weiter eingegangen. Sie wird jedoch in Anhang D dargestellt.

2.5 Direkte Einbeziehung nichtlinearer Deformatio-

nen in die MKS-Formalismen

Dank rasanter Entwicklungen der Computertechnik kann die Simulation von

Systemen mit einer sehr großen Anzahl von Freiheitsgraden bei einer kurzen

Rechenzeit ermöglicht werden. Im Bereich der Mehrkörpersystemsimulation

besteht heutzutage der Trend, dass nichtlineare Bauteildeformationen direkt

in die dynamische MKS-Simulation integriert werden ([184], [35]).

Relevante Methoden nach dem Stand der Forschung auf dem Gebiet der

direkten Integration von nichtlinearen Bauteildeformationen in die Dynamik

von flexiblen Mehrkörpersystemen werden im Folgenden dargestellt.

Co-Simulationsmethode: Mit Hilfe der Co-Simulationsmethode können Nicht-

linearitäten in die MKS-Simulation einbezogen werden. Dafür werden z.B. die

FEM- und die MKS-Berechnung parallel ausgeführt. Die Daten aus diesen Be-

rechnungen können während des Berechnungsprozesses gegenseitig transferiert

werden, was jedoch in den meisten Fällen mit einem großen Rechenaufwand

23

verbunden ist. Detaillierte Diskussionen über diese Methode können in den

Veröffentlichungen [66] und [131] gefunden werden.

MKS-Software-Paket ADAMS: Marinkovic und Zehn ([33], [34]) entwickel-

ten eine Methode zur direkten Berechnung geometrischer Nichtlinearitäten

im kommerziellen Programmpaket ADAMS. Dafür wurde ein Tetraederele-

ment mit linearen Ansatzfunktionen mit Hilfe einer CR-Formulierung entwi-

ckelt. Die direkte Einbeziehung großer elastischer Deformationen erfolgte durch

die FORTRAN-Subroutine MFOSUB von ADAMS. Es konnte anhand stati-

scher und dynamischer Berechnungen gezeigt werden, dass eine direkte Im-

plementierung nichtlinearer deformierbarer Strukturen in kommerzielle MKS-

Programme im Prinzip möglich ist. Dabei waren Möglichkeiten zur Berechnung

von nichtlinearem Materialverhalten jedoch nicht gegeben. Weiterhin war bei

beschränkten Optionen der Subroutine MFOSUB die Rechenzeit aus den dy-

namischen ADAMS-Simulationen sehr hoch.

ANC-Formulierung: Aus dem Grund, dass sich bei der ANC-Formulierung

eine konstante Systemmassenmatrix und eine korrekte Darstellung der großen

Starrkörperbewegung ergeben, ist die Einbeziehung nichtlinearer Deformatio-

nen in die MKS-Formalismen sehr vorteilhaft.

Shabana [3] stellte eine sogenannte MSBDI-Methode (englisch: multibody

system based direct integration) vor. Dabei wird die MKS-Formulierung un-

ter Anwendung des FRF-Koordinatensystems zur Beschreibung der gesamten

Deformation deformierbarer Körper mit linearem Materialverhalten eingesetzt.

Weiterhin werden die anderen flexiblen Bauteile mit nichtlinearem Materialver-

halten mit Hilfe der ANC-Formulierung berechnet. Zur Integration der ANC-

Strukturen in die MKS-Formalismen wird der Vektor der absoluten Knoten-

koordinaten in einen neuen Vektor der sogenannten CHOLESKY-Koordinaten

mit Hilfe der CHOLESKY-Transformation geschrieben. Nachteil dabei ist je-

doch, dass eine CHOLESKY-Transformation durchzuführen ist und die Dimen-

sion der Systemmassenmatrix erhöht wird.

Im Gegensatz dazu formulierte Gerstmayr [80] 3D finite Kontinnumsele-

mente unter der Verwendung der ANC-Formulierung bei einer konsistenten

Linearisierung der GL-Verzerrungen. Dafür wird die Annahme getroffen, dass

24

die Dehnungen im Vergleich zur großen Rotation des Elements ausreichend

klein sind. Die Berücksichtigung von Materialien mit großen Dehnungen ist

damit ausgeschlossen.

MKS-Software-Paket SIMPACK: Für das kommerzielle MKS-Software-Paket

SIMPACK entwickelten Schulze und Dietz [113] eine Methode zur direkten Be-

rechnung großer elastischer Deformationen von Balkensystemen. Dabei wurde

ein Balkenelement unter Berücksichtigung der Gleitungen aus Querkraftschub

und Torsion mit Hilfe der COSSERAT-Kontinuumstheorie [151] formuliert.

Dieses COSSERAT-Modell wurde durch die C++ Schnittstelle API direkt in

die MKS-Formalismen von SIMPACK integriert, was ebenfalls Berechnungen

von nichtlinearen Materialverhalten ermöglicht.

Huschke [76] nutzte diese API-Schnittstelle zur Berechnung von großen elas-

tischen Deformationen einer einfachen 3D Balkenstruktur in SIMPACK. Dabei

wurde ein CR-Tetraederelement mit Volumenkoordinaten als lineare Ansatz-

funktionen verwendet. Es kann anhand numerischer Beispiele festgestellt wer-

den, dass eine direkte Einbeziehung von geometrischen Nichtlinearitäten in

SIMPACK mit Hilfe einer co-rotationalen FE-Formulierung möglich ist.

Die Effizienz dieser beschriebenen Methoden konnte bei beschränkten Op-

tionen der API-Schnittstelle von SIMPACK jedoch nicht gezeigt werden.

CAE-Software RecurDyn: Die kommerzielle CAE-Software RecurDyn [142]

bietet ebenfalls Möglichkeiten zur direkten Berechnung nichtlinearer Defor-

mationen in einer rekursiven MKS-Formulierung. Zur Behandlung der großen

Starrkörperrotation des Elements wird eine CR-Formulierung verwendet [49],

wobei die Berechnung der Rotation im aktuellen Lastinkrement bezüglich der

vorher konvergierten Konfiguration durchgeführt wird. Auf dieser Basis erfolgt

die Berechnung von physikalisch-nichtlinearen Problemen mit Hilfe der EAS-

Stabilisierungstechnik (siehe Abschnitt 2.4). Dabei wird die deformierte Kon-

figuration jedes CR-Elements in jedem Berechnungsinkrement neu berechnet.

Ferner werden die internen Variablen durch eine statische Kondensation in

jedem Berechnungsschritt eliminiert [51], was in den meisten Fällen zu sehr

hohem Rechenaufwand führen kann.

25

2.6 Zusammenfassung

Nach dem Stand der Forschung können die folgenden wichtigen Kenntnisse

über die direkte Berechnung von geometrischen und/oder materiellen Nichtli-

nearitäten in deformierbaren Mehrkörpersystemen gewonnen werden.

Die nichtlineare FEM kann dabei genaue Ergebnisse liefern, ist jedoch in

der Regel aufwendig. Dafür stellen generell die CR-Formulierungen aufgrund

ihrer Effizienz sowie Flexibilität eine sehr gute Alternative dar. Ferner ermög-

lichen die CR-Formulierungen gute Schnittstellen zu den kommerziellen MKS-

Programmen.

Wie bereits ausführlich diskutiert, ergeben sich bei der Anwendung der CR-

FEM in der Mehrkörperdynamik jedoch Probleme:

1. Zum einen wurden bisher CR-Formulierungen auf finite Elemente mit

linearen Ansatzfunktionen beschränkt. Es wurde keine konsistente CR-

Formulierung von 3D Kontinuumselementen mit quadratischen Ansatz-

funktionen für die Mehrkörpersystemsimulation gegeben.

2. Des Weiteren wurden Möglichkeiten zur effizienten Einbeziehung von

nichtlinearen Materialmodellen in die CR-Formulierungen nicht gegeben.

Weiterhin gibt es bisher keine Formulierung von 3D co-rotationalen Ele-

menten zur direkten und schnellen Berechnung von 3D gummiartigen

Materialverhalten in deformierbaren Mehrkörpersystemen.

3. Die effiziente Behandlung von Locking-Effekten in der CR-FEM ist noch

nicht gegeben.

4. Auf dem Gebiet der Mehrkörperdynamik wurde noch keine verallgemei-

nerte Formulierung zur direkten Berechnung von Nichtlinearitäten in de-

formierbaren Mehrkörpersystemen entwickelt.

Die ANC-Formulierung stellt ebenfalls eine Alternative zur Berechnung

von großen Starrkörperrotationen in deformierbaren MKS-Systemen dar. Die

Einbeziehung von nichtlinearen Materialmodellen in diese FE-Formulierung

ist in der Regel möglich. Jedoch ist die Berechnung von geometrischen und

materiellen Nichtlinearitäten in großen MKS-Systemen mit Hilfe der ANC-

Formulierung sehr aufwendig.

26

Nicht nur in der Forschung auf dem Gebiet der Mehrkörperdynamik, son-

dern auch bei der Entwicklung von kommerziellen MKS-Programmen kann der

Trend der direkten Integration von Nichtlinearitäten in die MKS-Formalismen

erfolgversprechend weitergehen. Daher sollen neue und effiziente Lösungsan-

sätze dafür entwickelt werden, was das Hauptziel dieser Arbeit darstellt.

2.7 Neue Entwicklungen in dieser Arbeit

In dieser Arbeit wird das allgemeine Konzept der MKS-FEM-Methode zur

direkten Einbeziehung von geometrisch- und/oder physikalisch-nichtlinearen

Problemen in flexible Mehrkörpersysteme mit Hilfe der CR-Formulierungen

präsentiert.

Statische/Dynamische Simulation

von Mehrkörpersystemen

Nichtlineare FEM

Starrkörpermodelle

MKS-FEM-Methode

Direkte Integration von

flexiblen FE-Strukturen

in die MKS-Formalismen

Materialformulierungen Kinematische Bindungen

Stabilisierungstechniken

Co-rotationale

FE-Formulierungen

Abb. 2.6: Verallgemeinertes Konzept für die MKS-FEM-Methode dieser Arbeit

Bei dieser MKS-FEM-Methode wird die Bewegung von nichtlinearen FE-

Strukturen mit Hilfe einer CR-Formulierung aus dem Gebiet der nichtlinearen

FEM beschrieben. Weiterhin werden die Bewegungsgleichungen von Starrkör-

pern unter Verwendung der MKS-Methode aufgestellt. Die Wechselwirkungen

27

zwischen den Körpern des MKS-Systems werden durch kinematische Zwangs-

bedingungen realisiert. Dadurch, dass die Freiheitsgrade der Starrkörper sowie

der FE-Strukturen in einem Koordinatenvektor des gesamten MKS-Systems

geschickt angeordnet werden, kann ein MKS-FEM-Gleichungssystem verall-

gemeinert werden. Zur Lösung dieses Gleichungssystems wird eine implizite

Zeitintegrationsmethode effizient verwendet (siehe Abbildung 2.6).

Durch intensive Diskussionen über die erwähnten Themen in den relevanten

Veröffentlichungen wurde die Einsetzbarkeit der MKS-FEM-Methode im Be-

reich der Mehrkörpersystemsimulation im Prinzip bestätigt. Mögliche Erfolge

bei der Entwicklung der MKS-FEM-Formulierungen können dadurch motiviert

werden, dass physikalisch-nichtlineare Probleme oft nur in kleinen lokalen Be-

reichen der Bauteile auftreten. Aus diesem Grund ist die Anwendung dieser

MKS-FEM-Methode besonders effizient und erfolgversprechend.

Die neuen Entwicklungen in dieser Arbeit auf dem Gebiet der direkten Be-

rechnung von Nichtlinearitäten in deformierbaren Mehrkörpersystemen mit Hil-

fe der CR-Formulierungen können wie folgt zusammengefasst werden:

1. Konsistente CR-Formulierungen von 3D Kontinnumselementen mit so-

wohl linearen als auch quadratischen Ansatzfunktionen. Weiterhin soll

ein einfacher Zugang für die Einbeziehung von nichtlinearen Materialge-

setzen, auch mit großen Dehnungen, ermöglicht werden.

2. Entwicklung und Überprüfung schneller numerischer Verfahren zur Be-

rechnung der Starrkörperrotation von 3D Kontinuumselementen in der

deformierten Konfiguration.

3. Effiziente Formulierung von typischen nichtlinearen Materialmodellen un-

ter Berücksichtigung sowohl kleiner als auch großer Dehnungen. Dabei

sind einschließlich des homogenen, isotropen linear-elastischen Material-

verhaltens folgende Materialien zu berücksichtigen:

• nichtlinear-elastisches Materialverhalten unter Berücksichtigung der

eindimensionalen Spannungs-Dehnungsbeziehung nach RAMBERG

und OSGOOD,

• elastisch-plastisches Material mit isotroper linearer Verfestigung nach

v.Mises und Huber,

28

• gummiartiges hyperelastisches Material aus elastischen Potential-

funktionen wie z.B. das MOONEY-RIVLINsche Potential.

4. Entwicklung einer robusten und effizienten Stabilisierungstechnik zur

Vermeidung von Locking-Effekten vor allem aus nichtlinearen Deforma-

tionen für die 3D CR-Elemente. Dabei werden nur wenige Modifikationen

bei der Elementformulierung benötigt.

5. Eine Methode zur systematischen, direkten Einbeziehung von nichtlinea-

ren FE-Strukturen in die MKS-Formalismen mit Hilfe von CR-Elementen.

Dabei werden Interaktionen zwischen Starrkörpern und flexiblen Körpern

durch kinematische Zwangsbedingungen abgebildet.

6. Mögliche Abgrenzung der Anwendungsmöglichkeiten im Bereich der MKS-

FEM-Simulation mit Hilfe der CR-Formulierungen.

Kapitel 3

Grundlagen der

Kontinuumsmechanik

Dieses Kapitel umfasst die Grundlagen der Kontinuumsmechanik vor allem

für die Formulierung von Materialmodellen. Dabei wird auf die Beschreibung

der Bewegung freier deformierbarer Körper sowie auf die Darstellung von Ver-

zerrungen und Spannungen eingegangen. Des Weiteren werden Diskussionen

über die 3D finite Starrkörperrotation geführt. Relevante Variationsprinzipien

für die Herleitung der Bewegungsgleichungen eines Systems wird zur Übersicht-

lichkeit in Anhang E systematisch beschrieben.

O

xg3

xg1

xg2

tP

0x

tx

tu

0P

Referenzkonfiguration

Momentankonfiguration

d0l1

d0l2

dtl1dtl2

Abb. 3.1: Freie Bewegung des Punktes P eines Kontinuums und Deformationvon Linienelementen

29

30

3.1 Geometrisch-nichtlineare Theorie

Dargestellt in Abbildung 3.1 ist ein 3D Kontinuum in der Referenz- (t = 0)

und Momentankonfiguration (t > 0). Der Verschiebungsvektor tu eines Punkts

P zur Zeit t lässt sich mit den Koordinatenvektoren 0x =[

0x10x2

0x3

]T

und tx =[

tx1tx2

tx3

]Tangeben:

tu = tx − 0x . (3.1)

Deformationsgradient: Die folgenden Tensoren zweiter Stufe:

t0F =

∂ tx∂ 0x

=

tx1,1tx1,2

tx1,3

tx2,1tx2,2

tx2,3

tx3,1tx3,2

tx3,3

, (3.2)

undt0H =

∂ tu∂ 0x

= t0F − I3, (3.3)

repräsentieren den Deformations- und Verschiebungsgradienten zur Zeit t be-

züglich der Referenzkonfiguration. Dabei bezeichnen die Ausdrücke I3 und txi,j

die 3 × 3 Einheitsmatrix:

I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

,

und die Ableitung der i-ten Komponente des Vektors tx nach der j-ten Kom-

ponente des Vektors 0x:txi,j =

∂ txi

∂ 0xj

, (3.4)

für i, j := 1, 2, 3. Der Deformationsgradient t0F beschreibt die Transformation

von Linienelementen im Punkt P wie folgt:

dtl1 = t0F d0l1,

dtl2 = t0F d0l2.

(3.5)

31

Polardekomposition: Der Deformationsgradient t0F stellt eine zeitabhängi-

ge nichtlineare Funktion der Bezugskoordinaten 0x dar und beinhaltet große

Starrkörperrotationen.

t0F

t0Ut

0R

t0R

t0V

xg1

xg2

xg3

O

t0F = t

0V t0R

t0F = t

0R t0U

Abb. 3.2: Deformation eines Volumenelements, Rotationstensor und Stre-ckungstensoren bei der Polardekomposition

Eine Trennung des reinen Verformungsanteils von der Starrköperrotation

kann durch die rechte oder die linke Polarzerlegung des Deformationsgradien-

ten t0F erfolgen (siehe Abbildung 3.2):

t0F = t

0Rt0U = t

0Vt0R, (3.6)

mit den Abkürzungen:

t0R : Rotationstensor,t0U : materieller rechter Streckungstensor,t0V : räumlicher linker Streckungstensor.

Der Rotationstensor ist orthogonal:

t0R

−1 = t0R

T, (3.7)

32

und beschreibt die Starrkörperrotation eines Volumenelements. Ferner sind die

Streckungstensoren t0U und t

0V symmetrisch:

t0U

T = t0U,

t0VT = t

0V , (3.8)

und stellen den rotationsfreien nichtlinearen Deformationsanteil dar, der Span-

nungen im Bauteil hervorruft. Des Weiteren lassen sich der rechte CAUCHY-

GREENsche Tensor:t0C := t

0U2 = t0FT t

0F, (3.9)

und der linke CAUCHY-GREENsche Tensor:

t0B := t

0V2 = t0F

t0FT, (3.10)

definieren. Die Polarzerlegungen (3.6) können numerisch durchgeführt werden.

Mögliche effiziente Verfahren dafür werden in Anhang C beschrieben.

Weitere nichtlineare Verzerrungen: Aus dem Deformationsgradienten kön-

nen weitere nichtlineare Verzerrungen abgeleitet werden, womit sich große De-

formationen von Bauteilen beschreiben lassen.

In der TL-Formulierung wird der GREEN-LAGRANGEsche (GL) Verzer-

rungstensor EG für die Herleitung der FE-Matrixbeziehungen verwendet. Für

die geometrische Interpretation kann dieser Tensor als die Änderung der Win-

kel zwischen zwei Linienelementen dl1 und dl2 im Punkt P in der Referenz-

sowie in der aktuellen Lage gedeutet werden (siehe Abbildung 3.1):

dtl1 · dtl2 − d0l1 · d0l2 = d0l1 · (2 t0E

G d0l2). (3.11)

Dabei stellt der Operator ( · ) das Skalarprodukt zweier Tensoren bzw. zweier

Vektoren dar.

Mit Beziehung (3.9) folgt für die GL-Dehnungen [17]:

t0EG =

1

2

(t0F

T t0F − I3

)

=1

2

(t0C − I3

)

=1

2

(t0H + t

0HT + t0H

T t0H)

.

(3.12)

33

Zu erkennen ist dabei, dass sich EG für eine ausgewählte Bezugskonfigura-

tion beim Beobachterwechsel nicht ändert, und damit invariant gegen Starr-

körperrotationen ist. Diese wichtige Eigenschaft bietet einen großen Vorteil

bei der Formulierung von Materialmodellen unter Berücksichtigung des soge-

nannten PMO-Prinzips (englisch: principle of material objectivity) [17]. Das

PMO-Prinzip gibt an, dass die volumenspezifische Leistung eines Materials in-

variant gegen Beobachterwechsel ist. Ferner beinhalten die GL-Verzerrungen

explizit die Rotation eines materiellen Punkts.

Neben den GL-Verzerrungen ist der materielle logarithmische Verzerrungs-

tensor, der auch als HENKYscher Dehnungstensor bezeichnet wird, invariant

gegen Starrkörperrotationen:

t0EH = ln t

0U. (3.13)

Er ist ein wichtiges Maß für die Beurteilung der nichtlinearen Deformation

bei der nichtlinearen FE-Analyse und kann als Outputvariable in ABAQUS

dargestellt werden [5].

Die oben erwähnten Verzerrungstensoren können für die Berechnung von

Materialverhalten mit großen Verzerrungen eingesetzt werden. Da keine Un-

terscheidung zwischen der Rotation und den Dehnungen vorgenommen wer-

den kann, ist die Anwendung dieser Verzerrungen in den CR-Formulierungen

zur Berechnung großer Dehnungsprobleme sehr schwierig. Dagegen bietet der

materielle BIOTsche Verzerrungstensor:

t0EB = t

0U − I3, (3.14)

hierfür eine sehr gute Möglichkeit. Hierbei stellt t0U den Streckungstensor dar.

In dieser Form beschreibt t0EB nur rotationsfreie große Verformungen und bein-

haltet keine Starrkörperrotation. Aufgrund dieses Vorteils wird in dieser Arbeit

dieser Verzerrungstensor zur Formulierung von hyperelastischen Materialm-

odellen verwendet.

Spektraldarstellungen: Spektraldarstellungen werden für die Darstellung

der Rotationsmatrix in Anhang C sowie für die Beschreibung des MOONEY-

RIVLINschen Materialmodells in Abschnitt 4.5.3 verwendet.

34

Da symmetrische Tensoren nur reelle Eigenwerte besitzen, können sie in der

Spektralform dargestellt werden [17]. Danach kann der rechte Streckungstensor

folglich angegeben werden:

U =3∑

i=1

λi ni nTi = Q D (λ) QT, (3.15)

wobei λi den i-ten Eigenwert und ni den i-ten dazugehörigen Eigenvektor dar-

stellt, welche aus dem folgenden Eigenwertproblem berechnet werden:

[U − λ I3] n = 0. (3.16)

Dabei ist Q orthogonal:

Q = [n1, n2, n3] mit QTQ = I3, (3.17)

und setzt sich aus den orthogonalen Eigenvektoren zusammen. D (λ) bezeich-

net eine diagonale 3 × 3 Matrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen:

D (λ) =

λ1 0 0

0 λ2 0

0 0 λ3

. (3.18)

Auf diese Art und Weise können auch die anderen Verzerrungstensoren in der

Spektraldarstellung geschrieben werden [31]:

EG =3∑

i=1

λ2i − 1

2ni nT

i , (3.19)

EB =3∑

i=1

(λi − 1) ni nTi , (3.20)

EH =3∑

i=1

ln (λi) ni nTi . (3.21)

Bemerkenswert ist dabei, dass alle Verzerrungstensoren in der Regel symme-

trisch und materielle Tensoren, wie z.B. EG und EB sowie EH, invariant gegen-

über Starrkörperrotation sind.

Spannungen: Nach dem EULERschen Freischnittprinzip können Kräfte und

35

Momente als dynamische Größen dargestellt werden, die auf Schnittflächen

oder im Volumen des Kontinuums wirken. Nach dem CAUCHY-POISSONschen

Theorem lässt sich ein Spannungsvektor durch den auf der Schnittfläche ste-

henden Normalvektor und den sogenannten CAUCHYschen SpannungstensortΣ darstellen. Dieser Tensor zweiter Stufe ist bei nicht-polaren Materialien

symmetrisch:

tΣ =

tσ11tτ12

tτ13

tτ21tσ22

tτ23

tτ31tτ32

tσ33

, t

Σ = tΣ

T, (3.22)

und seine Komponentenmatrix ist von der Auswahl des Koordinatensystems

abhängig [171]. Dieser Spannungstensor enthält drei Normalspannungen tσ11,tσ22, tσ33, und drei Schubspannungen tτ12,

t τ13,t τ23, und kann in der Literatur

oft unter dem Begriff wahrer Spannungstensor gefunden werden.

Unterschiede bei der Definition von Spannungs- und Verzerrungstensoren

liegen vor allem in der Auswahl der Bezugs- und der Momentankonfigurati-

on. Für die gesamte virtuelle Leistung eines deformierbaren Körpers lassen

sich diese Tensoren in den folgenden leistungskonjungierten Paaren anordnen.

Beispielweise ergibt sich:

l =∫

0V

S · EG

d0V (3.23)

=∫

0V

B · EB

d0V. (3.24)

Wichtige Spannungstensoren werden im Folgenden diskutiert [17]:

• Der zweite PIOLA-KIRCHHOFFsche (2PK) Spannungstensor:

S = J F−1Σ F−T. (3.25)

Dieser Spannungstensor is symmetrisch und wird sehr oft bei der FE-

Formulierung nichtlinearer Probleme verwendet.

• Der materielle BIOTsche (B) Spannungstensor, der in der Literatur oft

36

unter dem Namen BIOT-LUREsche Spannungen zu finden ist:

B = U S. (3.26)

Dabei ist J die dritte Invariante des Deformationsgradienten mit J = det (F)

und l die gesamte Leistung des Körpers. Der Operator ˙( ) stellt die zeitliche

Ableitung dar. Wegen ihrer symmetrischen Eigenschaft finden der 2PK- und

der B-Spannungstensor meist Anwendung bei der Formulierung nichtlinearer

Materialien [121]. Einige Anwendungsfälle dieser Spannungstensoren können

in den Arbeiten [30] und [31] von Crisfield gefunden werden.

3.2 Geometrisch-lineare Theorie

Zur Unterscheidung zwischen großen und kleinen Deformationen eignet sich

die Betrachtung der Norm des Verschiebungsgradienten:

ǫ = ‖H‖ . (3.27)

In der geometrisch-linearen Theorie wird der lineare Dehnungstensor durch

den symmetrischen Anteil des Verschiebungsgradienten definiert:

E =1

2

(

H + HT)

mit ET = E. (3.28)

Ferner kann dieser Tensor in den folgenden Formen dargestellt werden:

E =

ε11 ε12 ε13

ε21 ε22 ε23

ε31 ε32 ε33

mit εij =1

2

(

∂ ui

∂ 0xj

+∂ uj

∂ 0xi

)

für i, j := 1, 2, 3.

(3.29)

Unter der Annahme, dass der Verschiebungsgradient H mit ǫ ≪ 1 ausrei-

chend klein ist, lässt sich der GL-Verzerrungstensor bei der Vernachlässigung

von Termen zweiter Ordnung linearisieren [17]:

EG =1

2

H + HT + HT H

︸︷︷︸

O(ǫ2)

≈ E.

37

Auf gleiche Art und Weise folgt die Linearisierung des rechten CAUCHY-

GREENschen Tensors in Beziehung (3.9):

C = 2 EG + I3 ≈ 2 E + I3 ≈ (E + I3)2 ,

und des BIOTschen Verzerrungstensors in Beziehung (3.14):

EB = U − I3 =√

C − I3 ≈ E. (3.30)

Beziehung (3.30) wird zur Einbeziehung von hyperelastischen Materialmodel-

len in die CR-Formulierungen verwendet, die in Abschnitt 7.3 ausführlich dis-

kutiert wird.

Weiterhin folgt die Linearisierung des Rotationstensors R:

R = F U−1 ≈ (I3 + H) (I3 − E) ≈ I3 +1

2

(

H − HT)

. (3.31)

Zu erkennen ist dabei, dass bei kleinen Deformationen gilt:

R 6= I3.

Diese Ungleichung gibt an, dass die linearen Verzerrungen nicht zur Beschrei-

bung großer Starrkörperrotation genutzt werden können. Ferner kann auch

festgestellt werden, dass bei kleiner Deformation, d.h. kleine Dehnungen bei

beliebigen Translationen und kleine Rotation, der B-, GL- und der lineare

Verzerrungstensor identisch sind.

In der geometrisch-linearen Theorie stellt der CAUCHYsche Spannungsten-

sor bezüglich der ursprünglichen Konfiguration eine leistungskonjungierte Grö-

ße zu den linearen Dehnungen dar:

l =∫

0V

Σ · E d0V. (3.32)

Dabei können nichtlineare Materialgesetze unter Annahme von kleinen Defor-

mationen berücksichtigt werden.

Aufgrund der Symmetrie lassen sich diese Tensoren ebenfalls in der Spek-

38

tralform angegeben:

E =3∑

i=1

εi ei eTi , (3.33)

Σ =3∑

i=1

σi pi pTi , (3.34)

wobei εi und σi für i := 1, 2, 3 die Hauptdehnungen und die Hauptnormal-

spannungen des gegebenen Dehnungs- sowie des Spannungszustands darstellen.

Die Vektoren ei und qi sind die dazugehörigen Hauptspannungsachsen, die aus

den folgenden Eigenwertproblemen:

[E − ε I3] e = 0, (3.35)

[Σ − σ I3] p = 0, (3.36)

berechnet werden. Dabei sind ε und σ die Eigenwerte. Des Weiteren stellen e

und p die dazugehörigen orthogonalen senkrecht zueinander stehenden Eigen-

vektoren dar.

3.3 3D Starrkörperrotation

Bei der Starrkörperbewegung verändert sich der Abstand zwischen zwei belie-

bigen Punkten des Körpers nicht. Da es keine Streckungen gibt:

U ≡ V ≡ C ≡ B ≡ I3,

fallen der Deformationsgradient und die Rotation zusammen:

F = R. (3.37)

Ferner verschwinden damit alle nichtlinearen Verzerrungen:

EG ≡ EB ≡ EH ≡ EA ≡ 0,

und es wird dabei keine Formänderungsarbeit geleistet.

39

Infinitesimale 3D Starrkörperrotation

Einsetzen der Beziehungen (3.37) und (3.3) in Beziehung (3.28) ergibt:

E =1

2

(

R + RT)

− I3. (3.38)

Es ist dabei zu erkennen, dass der lineare Verzerrungstensor bei einer reinen

Rotation nicht verschwindet. Daraus lässt sich das Konzept der infinitesimalen

Starrkörperdeformation für kleine Deformationsprobleme ableiten.

Bei kleinen Deformationen wird der Verschiebungsgradient in zwei Anteile

zerlegt:

H =1

2

(

H + HT)

︸︷︷︸

Dehnungen: E

+1

2

(

H − HT)

︸︷︷︸

Rotation: W

, (3.39)

wobei der erste, symmetrische Anteil eine reine, infinitesimale Verzerrung dar-

stellt. Der zweite Anteil W ist ein antisymmetrischer Tensor:

W =

0 w12 w13

w21 0 w23

w31 w32 0

, W = − WT, (3.40)

mit

wij = − wji =1

2

(

∂ ui

∂ 0xj

− ∂ uj

∂ 0xi

)

für i, j := 1, 2, 3. (3.41)

W beschreibt hierbei den Spin eines Verschiebungsfelds w:

W = S (w) , (3.42)

mit dem Axialoperator A, der die folgende Eigenschaft besitzt:

w = A (W) =

w32

w13

w21

. (3.43)

Der Spin stellt eine infinitesimale Drehung eines Volumenelements dar und

leistet damit keine Arbeit.

40

Es folgt damit nach Truesdell [171], dass in jedem homogenen infinitesimalen

Deformationsfeld u (x) ein reiner Dehnungsanteil u (x) von der Starrkörperbe-

wegung ur (x) separiert werden kann:

u (x) = ur (x) + u (x) . (3.44)

Beziehung (3.44) kann auf Probleme mit großen Starrkörperbewegungen ange-

wendet werden. Sie stellt damit eine wichtige Basis für die CR-Formulierungen

dar, wobei mit dem Konzept der Projektionsmatrix eine entscheidende Erwei-

terung folgt. Dies wird später in Abschnitt 7.1 diskutiert.

Räumliche finite Starrkörperrotation

Bei der infinitesimal kleinen Starrkörperrotation gilt die kommutative Eigen-

schaft. Eine infinitesimale Rotation kann durch eine beliebige Reihenfolge der

infinitesimalen Drehung um die drei kartesischen Achsen dargestellt werden.

Ferner ist hierfür eine vektorielle Darstellung möglich. Ein Beispiel dafür ist

der Spin (siehe Beziehungen (3.42) und (3.43)). Im Gegensatz dazu ist eine fi-

nite 3D Rotation nicht-kommutativ und kann in Matrixdarstellung angegeben

werden [10].

Darstellung finiter Rotation: In Abbildung 3.3 wird die räumliche finite

Rotation eines Punktes P um die Achse r mit Hilfe eines sogenannten rotatio-

nalen Pseudovektors ϑ dargestellt:

ϑ = θ r. (3.45)

Dieser Pseudovektor lässt sich im globalen kartesischen Koordinatensystem

(xg1, xg2, xg3) mit den Komponenten ϕ, χ und ψ angeben:

ϑ =[

ϕ χ ψ]T, (3.46)

mit dem Rotationswinkel als Betrag des Vektors ϑ:

θ =√

ϕ2 + χ2 + ψ2. (3.47)

41

Des Weiteren kann die aktuelle Position txP des Punkts P infolge der Rotation

mit Hilfe einer Transformation R (ϑ) mit:

txP = R (ϑ) 0xP, (3.48)

angegeben werden. Diese Transformation ist eine nichtlineare Funktion des

rotationalen Pseudovektors ϑ und stellt die Rotationsmatrix dar.

0P

tP

Oxg2xg1

xg3

ϑ

C

r

θ

txP

0xP

Abb. 3.3: Räumliche finite Rotation eines Punktes P um die Achse r

Je nach Anwendungsfall sind verschiedene Darstellungen der Rotationsma-

trix möglich. Eine ausführliche mathematische Herleitung dafür wird an dieser

Stelle nicht gegeben und stattdessen auf die Arbeit [10] von Argyris und [31]

von Crisfield verwiesen.

Die Rotationsmatrix R (ϑ) kann zweckmäßig in den folgenden Matrixdar-

stellungen angegeben werden:

• RODRIGUESsche Darstellung:

R (ϑ) = I3 +sin θ

θS (ϑ) +

1 − cos θ

θ2S (ϑ) S (ϑ) , (3.49)

• Exponentialform:

R (ϑ) = Exp (S (ϑ)) = I3 + S (ϑ) +S (ϑ)2

2!+ · · · , (3.50)

42

• Quaternion-Darstellung:

R (ϑ) =(

q20 − qTq

)

I3 + 2 q qT + 2 q0 S (ϑ) . (3.51)

Dabei stellt der Ausdruck S (ϑ) eine schiefsymmetrische Matrix dar, die mit

den Komponenten des Pseudovektors ϑ angegeben wird:

S (ϑ) =

0 − ψ χ

ψ 0 − ϕ

− χ ϕ 0

. (3.52)

Bei der Quaternion-Darstellung wird ein Einheitsquaternion q eingeführt, das

sich in der Form des rotationalen Pseudovektors und des finiten Rotationswin-

kels schreiben lässt:

q =

q

q0

=

Ψ/2

cos (θ/2)

. (3.53)

Der skalierte Pseudovektor Ψ hat dabei die Form:

Ψ =sin (θ/2)

θ/2ϑ. (3.54)

Zur Übersichtlichkeit kann die Quaternion-Darstellung für die Rotationsma-

trix wie folgt vollständig dargestellt werden:

R (ϑ) = 2

q20 + q2

1 − 12

q1 q2 − q3 q0 q1 q3 + q2 q0

q2 q1 + q3 q0 q20 + q2

2 − 12

q2 q3 − q1 q0

q3 q1 − q2 q0 q3 q2 + q1 q0 q20 + q2

3 − 12

. (3.55)

Bemerkenswert ist, dass unterschiedliche Linearisierungen der Rotationsma-

trix bei verschiedenen Parametrisierungen des rotationalen Pseudovektors mög-

lich sind. Ein Problem kann sich daraus ergeben, dass Singularitäten bei be-

stimmten Werten des Rotationswinkels θ auftreten können. Dafür bietet die

Quaternion-Darstellung eine gute Möglichkeit mit diesem Problem umzugehen,

wobei vier Parameter (q0, q1, q2, q3) genutzt werden [31].

Reine Rotation eines 3D Spannungszustandes: Ein Spannungszustand kann

infolge einer Starrkörperrotation entsprechend transformiert werden.

43

Oxg2xg1

xg3

ϑ12

C

θ12t1Σ

t2Σ

Abb. 3.4: Reine Starrkörperrotation eines Spannungszustandes t1Σ

In Abbildung 3.4 wird ein Volumenelement mit einem 3D Spannungszu-

stand t1Σ zur Zeit t1 im globalen Koordinatensystem (xg1, xg2, xg3) illustriert.

Infolge einer finiten Starrkörperrotation R12 (ϑ12) kann er einerseits durch die

entsprechende Koordinatentransformation dargestellt werden.

Andererseits lassen sich die Komponenten des neuen Spannungszustandes

dadurch erhalten, dass das Volumenelement in seiner ursprüngliche Lage bleibt

und das globale System stattdessen durch R12 (ϑ12) rotiert wird. Somit stellt ei-

ne Starrkörperrotation nichts anderes als eine Koordinatentransformation dar.

Aus diesem Grund kann der rotierte Spannungszustand t2Σ in der folgenden

Form geschrieben werden:

t2Σ = R12t1Σ RT

12. (3.56)

Beziehung (3.56) kann ebenfalls auf die Elementsteifigkeitsmatrix angewendet

werden. In der EICR-Formulierung aus Abschnitt 7.1 wird die Elementstei-

figkeitsmatrix im globalen Koordinatensystem dadurch aufgestellt, dass diese

bezüglich des CR-Elementsystems mit Hilfe einer diagonalen Matrix aus der

Rotationsmatrix des finiten Elements entsprechend transformiert wird (siehe

Beziehung 7.59).

Kapitel 4

Materialformulierung für die

CR-Formulierungen

Bei einer konsistenten Formulierung nichtlinearer Materialverhalten sollen vor

allem die Prinzipien der Materialtheorien erfüllt werden. Des Weiteren sollen

sich gute Möglichkeiten für eine physikalische und/oder geometrische Lineari-

sierung ergeben [17].

In diesem Abschnitt wird unter anderem die Formulierung eines nichtlinear-

elastischen und eines elastisch-plastischen sowie eines MOONEY-RIVLINschen

Materialmodells systematisch beschrieben. Diese Materialmodelle werden di-

rekt in die CR-FEM zur Berechnung von physikalisch-nichtlinearen Problemen

in Mehrkörpersystemen integriert, wie in Abschnitt 7 ausführlich diskutiert.

4.1 VOIGTsche Darstellung

Neben der tensoriellen Schreibweise für Spannungen und Dehnungen gibt es

auch die VOIGTsche Darstellung, wodurch bestimmte Vorteile für die Imple-

mentierung von FE-Formulierungen erzielt werden können. Dabei lässt sich ein

Tensor zweiter Stufe auf einen Spaltenvektor mit sechs Komponenten reduzie-

ren. Ferner kann ein Tensor vierter Stufe auf eine Matrix der Dimension 6 × 6

reduziert werden [17].

In VOIGTscher Darstellung können die Spannungs- und die Verzerrungs-

tensoren, die bereits in Kapitel 3 dargestellt sind, in den folgenden Formen

geschrieben werden:

45

46

• linearer Verzerrungsvektor:

ε = [ε11, ε22, ε33, γ23, γ31, γ12]T , (4.1)

wobei die Gleitungen zur Darstellung der Scherkomponenten des Verzer-

rungsvektors verwendet werden:

γ12 = 2ε12,

γ13 = 2ε13,

γ23 = 2ε23,

(4.2)

• CAUCHYscher Spannungsvektor:

σ = [σ11, σ22, σ33, τ23, τ31, τ12]T , (4.3)

• materieller BIOTscher Spannungsvektor:

B = [b11, b22, b33, b23, b31, b12]T , (4.4)

• materieller BIOTscher Verzerrungsvektor:

EB =[

eb11, e

b22, e

b33, γ

b23, γ

b31, γ

b12

]T, (4.5)

• 2PK-Spannungsvektor:

S = [s11, s22, s33, s23, s31, s12]T , (4.6)

• GREEN-LAGRANGEscher Verzerrungsvektor:

EG = [eg11, e

g22, e

g33, γ

g23, γ

g31, γ

g12]

T, (4.7)

47

mit den Normal- und den Scherkomponenten für i, j := 1, 2, 3:

egii =

∂ ui

∂ 0xi

+1

2

(

∂ u1

∂ 0xi

)2

+

(

∂ u2

∂ 0xi

)2

+

(

∂ u3

∂ 0xi

)2

,

γgij =

∂ ui

∂ 0xj

+∂ uj

∂ 0xi

+

(

∂ u1

∂ 0xi

)(

∂ u1

∂ 0xj

)

+

(

∂ u2

∂ 0xi

)(

∂ u2

∂ 0xj

)

+

(

∂ u3

∂ 0xi

)(

∂ u3

∂ 0xj

)

.

(4.8)

4.2 Isotropes linear-elastisches Material

Das homogene, isotrope linear-elastische Materialverhalten ist charakterisiert

durch lineare Zusammenhänge zwischen den Verzerrungs- und den Spannungs-

komponenten. Ferner wird die Annahme der isotropen Eigenschaft getroffen,

wobei alle Materialpunkte die gleichen elastischen Eigenschaften in allen drei

Richtungen besitzen. Bei der Belastung und der Entlastung bewegen sich die

Materialpunkte auf die gleichen elastischen Geraden. Dabei existieren keine

irreversiblen verbleibenden Dehnungen im Körper.

Lineares HOOKEsches Gesetz: Durch die geometrische und physikalische Li-

nearisierung unter Berücksichtigung kleiner elastischer Deformationen für den

2PK-Spannungstensor S(

EG)

folgt das bekannte lineare HOOKEsche Materi-

algesetz:

Σ = 2G E +2G ν

1 − 2 νtr (E) I3,

= 2µ E + λ tr (E) I3,

= K tr (E) I3 + 2G Ed,

(4.9)

mit den elastischen Konstanten:

G =E

2 (1 + ν),

K =E

3 (1 − 2ν),

µ =E

2 (1 + ν),

λ =νE

(1 + ν) (1 − 2ν).

(4.10)

48

Dabei stellen E und ν den E-Modul sowie die POISSONsche Zahl dar. G

und K sind der Schub- und der Kompressionsmodul. Ferner stellt λ die Lamé-

Konstante dar. tr (E) und Ed beschreiben die Spur und den deviatorischen

Anteil des linearen Verzerrungstensors:

tr (E) = ε11 + ε22 + ε33,

Ed = E − 1

3tr (E) I3 .

(4.11)

Der Ausdruck I3 bezeichnet hierbei die Einheitsmatrix der Dimension 3 × 3.

Wie für Fall des linearen Dehnungstensors kann der CAUCHYsche Span-

nungstensor Σ in einen hydrostatischen Anteil ΣH und einen deviatorischen

Anteil Σd zerlegt werden:

Σ = ΣH + Σ

d . (4.12)

Dabei nimmt der hydrostatische Anteil des Spannungszustandes die folgende

Form an:

ΣH =

1

3tr (Σ) I3 . (4.13)

Diese Dekompositionen für den Spannungs- und den Dehnungszustand wer-

den zur Formulierung des nichtlinear-elastischen sowie des elastisch-plastischen

Materialmodells in den folgenden Abschnitten dieses Kapitels berücksichtigt.

Zur Zweckmäßigkeit der FE-Implementierung wird das lineare HOOKEsche

Gesetz in VOIGTscher Darstellung geschrieben:

σ = H ε . (4.14)

Dabei bezeichnet H die konstante HOOKEsche Matrix der Dimension 6 × 6 in

der Form:

H =E

(1 + ν) (1 − 2ν)

1 − ν ν ν 0 0 0

ν 1 − ν ν 0 0 0

ν ν 1 − ν 0 0 0

0 0 0 1−2ν2

0 0

0 0 0 0 1−2ν2

0

0 0 0 0 0 1−2ν2

, (4.15)

49

mit zwei unabhängigen Materialkonstanten E und ν.

Generalisiertes HOOKEsches Materialgesetz: Es ist an dieser Stelle zu be-

merken, dass Materialmodelle, die unter Voraussetzung von kleinen Deforma-

tionen entwickelt wurden, direkt zur Berechnung von Problemen mit großen

Starrkörperrotationen bei kleinen Verzerrungen eingesetzt werden. Dabei wer-

den der 2PK-Spannungstensor und der GREEN-LAGRANGEsche Verzerrungs-

tensor verwendet. Im Fall eines linear-elastischen Materialverhaltens lässt sich

das lineare HOOKEsche Materialgesetz generalisieren:

t0Sij = t

0Cijrst0E

Grs , (4.16)

wobei t0Cijrs die Komponenten des Elastizitätstensors vierter Stufe beschreibt.

t0Sij und t

0Eij bezeichnen die Komponenten des 2PK-Spannungstensors sowie

des GREEN-LAGRANGEschen Verzerrungstensors. Diese Tensoren werden

zur aktuellen Zeit t bezüglich der ursprünglichen Konfiguration des Körpers

aufgestellt [16].

4.3 Kurze Einführung in das inelastische Material-

verhalten

Die elastischen Eigenschaften von Werkstoffen können nur bis zu einer be-

stimmten Elastizitätsgrenze angenommen werden. Oberhalb dieser Grenze ver-

läuft das Material irreversibel. Dabei können sich bleibende Verformungen im

Bauteil ergeben, die von der Zeit abhängig oder unabhängig sein können.

Unter anderem lassen sich folgende nichtlineare Materialverhalten unter-

scheiden:

1. das zeitabhängige und zeitunabhängige elastisch-plastische Materialver-

halten,

2. das nichtlineare hyper- und hypoelastische Materialverhalten.

Elastisch-plastisches Material: Das zeitunabhängige inelastische Verhalten

wird oft als elastisch-plastisch bezeichnet. Ferner hat die Deformationsgeschwin-

digkeit keinen Einfluss auf das Materialverhalten. Im Gegensatz dazu ergeben

50

sich beim zeitabhängigen inelastischen Verhalten auch bleibende Verformun-

gen, die von der Geschwindigkeit der Zustände abhängen können. Typische

Phänomene dafür sind das Kriechen und Relaxationsvorgänge.

Im Allgemeinen kann das elastisch-plastische Materialverhalten je nach An-

wendungsfall mit Hilfe

• der klassischen Plastizitätstheorie,

• der finiten Plastizitätstheorie,

• der Deformationstheorie der Plastizität,

formuliert werden [91]. Bei der klassischen Plastizitätstheorie werden kleine De-

formationen vorausgesetzt. Dagegen wird die finite Plastizitätstheorie zur Be-

schreibung von Problemen großer Rotationen und Dehnungen verwendet. Fer-

ner beschreibt die Deformationstheorie der Plastizität gar kein plastisches, son-

dern nichtlinear-elastisches Materialverhalten mit kleinen Verzerrungen. Dabei

besteht es einen direkten nichtlinearen Zusammenhang zwischen Spannungen

und Dehnungen [32].

Hyper- und Hypoelastizität: Nichtlineare Eigenschaften von gummiartigen

Bauteilen können mit Hilfe von hyperelastischen Materialmodellen beschrieben

werden [31]. Dieses Material ist charakterisiert nicht nur durch eine nichtlinea-

re Spannungs-Dehnungsbeziehung sowie eine statische Hysterese, sondern auch

durch eine Abhängigkeit der Spannungen von den Amplituden und den Fre-

quenzen bei dynamischen Belastungen. Dabei kann eine Dehnung über 100 %

resultieren [179].

Bei der Formulierung hyperelastischer Materialmodelle wird generell ein

großer mathematischer Aufwand betrieben. Im Allgemeinen kann für dieses

Material angenommen werden, dass es ein Potential existiert, dessen Ableitun-

gen nach den gesamten Dehnungen die gesamten Spannungen ergibt.

Im Gegensatz dazu wird beim hypoelastischen Materialverhalten das nicht-

lineare Spannungs-Dehnungsgesetz bei sehr großen Verzerrungen in der Ge-

schwindigkeitsform formuliert. So wird dieses Materialmodell oft für die Mo-

dellierung geomechanischer nichtlinearer Probleme verwendet [31].

In dieser Arbeit werden bei der direkten Berücksichtigung von physikalisch-

nichtlinearen Problemen in den CR-Formulierungen ein elastisch-plastisches

51

Material nach der klassischen Plastizitätstheorie, ein nichtlinear-elastisches Ma-

terial nach der Deformationstheorie der Plastizität und ein hyperelastisches

Material ausgewählt.

4.4 Formulierung von Fließbedingungen

Zur Unterscheidung zwischen elastischen und plastischen Zustandsänderungen

eines elastisch-plastischen Materials lässt sich eine Fließfunktion Φ formulieren.

Im Hauptspannungsraum stellt diese Funktion einen sogenannten Fließkörper

dar. Diese Funktion muss objektiv, d.h. invariant gegenüber einem Wechsel der

Bezugskonfiguration sein [91].

Im Allgemeinen kann die Fließfunktion in der folgenden Form geschrieben

werden [32]:

Φ(

Σ, qF (Z, κ))

= σv (Σ,Z) − σF (κ) . (4.17)

Dabei stellt σv die äquivalente Spannung oder die Vergleichsspannung für den

aktuellen Spannungszustand Σ dar. Des Weiteren bezeichnet qF (Z, κ) die in-

ternen Variablen, die eine Funktion der kinematischen Verfestigungsparameter

Z und des isotropen Verfestigungsparameters κ sind. Dabei ist Z ein Tensor

zweiter Stufe und kann als der Rückspannungstensor bezeichnet werden. Dieser

Tensor gibt an, wie sich der Fließkörper im Spannungsraum verschiebt, was in

der Literatur [32] als der BAUSCHINGERsche Effekt bezeichnet wird. Ferner

beschreibt der isotrope Parameter κ die Ausbreitung der Fließfläche bzw. die

Änderung des Radius der Fließfläche im Hauptspannungsraum.

MISES-HUBERsche Fließbedingung: Wegen der Objektivität ist die äqui-

valente Spannung, ein Vergleich zwischen dem 1D und dem 3D Spannungszu-

stand, eine isotrope Tensorfunktion. Somit stellt σv eine Funktion der Invari-

anten ID, IID und IIID des Tensors D = Σ − Z dar:

σv (Σ,Z) = σv (ID, −IID, IIID) . (4.18)

Bei vielen Materialien, wie z.B. Metallischen Werkstoffen, hat der hydrosta-

tische Anteil des Spannungstensors keinen Einfluss auf den Beginn des plas-

tischen Zustands. Damit hängt σv nur noch von der zweiten und der dritten

52

Invariante des Deviatorspannungstensors Dd ab:

σv (Σ,Z) = σv (−IIDd , IIIDd) . (4.19)

Huber und Mises stellten die sogenannte J2 Plastizitätstheorie vor, wobei nur

eine Abhängigkeit der zweiten Invariante IIDd besteht. Damit lässt sich die

MISESsche Vergleichsspannung mit J2 = −IIDd definieren:

σv (Σ) =√

3J2 =√

−3IIDd . (4.20)

Letztendlich kann die MISES-HUBERsche (MH) Fließbedingung unter Berück-

sichtigung der Definition von IIDd zusammengefasst werden [17]:

Φ (Σ) = σv (Σ,Z) − σF (κ)

=

√

3

2Dd · Dd − σF (κ) ≤ 0

=

√

3

2(Σd − Zd) · (Σd − Zd) − σF (κ) ≤ 0 .

(4.21)

Zu Bemerken ist, dass in der Literatur die MISES-HUBERsche Fließbedin-

gung oft mit dem Radius der Fließfläche R =√

23σF (κ) beschrieben wird:

Φ (Σ) =√

(Σd − Zd) · (Σd − Zd) −√

2

3σF (κ)

=∥∥∥D

d∥∥∥ − R ≤ 0 .

(4.22)

Die MH-Fließbedingung findet ihre Anwendungen vorrangig bei der Berech-

nung plastischer Zustände von mittelzähen Werkstoffen. Sie kann durch einen

zylinderförmigen Fließkörper mit einer Fließfläche im Hauptspannungsraum

veranschaulicht werden. Innerhalb des Zylinders ist das Material elastisch. Auf

der Fließfläche beginnt es zu fließen. Bei Belastung breitet sich der Fließzylin-

der aus bzw. verschiebt sich. Es handelt sich dabei um eine isotrope und/oder

kinematische Verfestigung [17].

Für anisotrope Materialmodelle existieren noch weitere Fließbedingungen,

wie z.B. die Fließbedingung nach TRESCA für zähe Materialien, die druckab-

hängige Fließbedingung nach DRUCKER und PRAGER sowie die Fließbedin-

53

gung nach Cazacu und Barlat [17].

Im Rahmen dieser Arbeit wird die MH-Fließbedingung zur Formulierung

des elastisch-plastischen sowie des nichtlinear-elastischen Materialverhaltens

verwendet. Der Grund dafür ist, dass sie mathematisch besonders einfach zu

handhaben und für fast alle Stahlbauteile anwendbar ist.

4.5 Mathematische Beschreibung von nichtlinearen

Materialmodellen

Anschließend wird die mathematische Beschreibung der ausgewählten nichtli-

nearen Materialmodelle gegeben, die weiterhin in die CR-Formulierungen ein-

bezogen werden. Dabei wird vor allem auf die Berechnung des Spannungszu-

standes sowie der konsistenten Materialtangente eingegangen.

4.5.1 Nichtlinear-elastisches Materialmodell unter Verwendung

des RAMBERG-OSGOODschen Potenzgesetzes

Die Deformationstheorie der Plastizität wurde von Henky als ein finites Form-

änderungsgesetz für nichtlinear-elastische Materialverhalten aufgestellt. Dabei

sind isotrope Eigenschaften und kleine Deformationen vorausgesetzt. Des Wei-

teren werden zeitabhängige Effekte, wie z.B. das Kriechen und Relaxationser-

scheinungen, vernachlässigt. Weiterhin wird angenommen, dass die Volumen-

änderung reversibel erfolgt und die plastischen Verformungen isochor verlaufen.

Einflüsse der Temperatur werden im Rahmen dieser Arbeit vernachlässigt [32].

Zur Aufstellung der tangentialen Elementsteifigkeitsmatrix sowie des inter-

nen Elementkraftvektors werden der 3D Spannungszustand sowie die konsis-

tente Materialtangente benötigt. Unter Berücksichtigung kleiner Deformatio-

nen lassen sich diese Tensoren mit Hilfe des HENKYschen Ansatzes und des

Prinzips der äquivalenten plastischen Arbeit systematisch berechnen. Weiter-

hin kommt das RAMBERG-OSGOODsche Potenzgesetz, eine 1D nichtlinea-

re Spannungs-Dehnungsbeziehung, zur Anwendung. Der Vergleich zwischen

dem 1D und dem 3D Spannungszustand wird hierbei mit Hilfe der MISES-

HUBERschen Vergleichsspannung in Beziehung (4.21) realisiert.

54

An dieser Stelle wird zur Übersichtlichkeit auf eine ausführliche Beschrei-

bung dafür verzichtet. Sie wird jedoch in Anhang A gegeben.

4.5.2 Elastisch-plastisches Materialmodell nach der klassischen

MISES-HUBERschen Plastizitätstheorie

Die Formulierung von elastisch-plastischen Materialmodellen mit der klassi-

schen Plastizitätstheorie basiert auf den folgenden Grundvoraussetzungen [32]:

1. Es handelt sich um ein homogenes isotropes Material bei kleinen Defor-

mationen, wobei die Zeitabhängigkeit des Materials vernachlässigt wird.

2. Es existieren rein elastische Zustandsänderungen, die reversibel verlau-

fen.

3. Irreversible plastische Deformationen können auftreten, wobei bleibende

plastische Verzerrungen resultieren.

4. Der hydrostatische Spannungszustand hat keinen Einfluss auf den Fließ-

beginn oder das Verfestigungsverhalten des Materials.

5. Volumenänderungen verlaufen reversibel, wohingegen Gestaltänderungen

irreversibel sind. Aufgrund dessen folgt, dass die Spur tr (Ep) des plasti-

schen Verzerrungstensors Ep verschwindet.

Bestandteile eines elastisch-plastischen Materialgesetzes

Zur Formulierung eines elastisch-plastischen Materialgesetzes werden die fol-

genden wichtigen Bestandteile benötigt [88]:

1. Additive Zerlegung der gesamten Dehnungen: Unter der Annahme klei-

ner Deformationen lässt sich der gesamte lineare Verzerrungstensor in

einen elastischen Anteil Ee und einen plastischen Anteil Ep aufteilen:

E = Ee + Ep. (4.23)

Dabei werden die plastischen Verzerrungen mit der Fließregel berechnet.

55

2. Linear-elastisches Materialgesetz: Der Spannungszustand lässt sich auf-

grund des kleinen elastischen Anteils mit Hilfe des linearen HOOKEschen

Materialgesetzes berechnen. Es folgt für den CAUCHYschen Spannungs-

tensor Σ:

Σ = 2µEe + λ tr (Ee) I3 = C

e [Ee] , (4.24)

mit dem elastischen Verzerrungstensor Ee = E − Ep. Dabei ist Ce der

symmetrische, elastische Materialtensor vierter Stufe. Der lineare Verzer-

rungstensor E ist symmetrisch, wohingegen Ee und Ep im Allgemeinen

nicht symmetrisch sind. Aus dem Grund, dass der schiefsymmetrische

Anteil des Verzerrungstensors keinen Einfluss auf das Fließen hat, kön-

nen Ee und Ep als symmetrische Tensoren angenommen werden.

3. Existenz eines elastischen Bereichs und der Fließbedingung: Es exis-

tiert ein elastischer Bereich, der alle elastischen Zustandsänderungen ein-

grenzt. Innerhalb dieses Bereichs ist das Material elastisch. Am Rand

dieses Bereichs fließt das Material. Außerhalb dieses Bereichs ist es nicht

definiert. Infolge dessen kann die Fließbedingung in der folgenden allge-

meinen Form geschrieben werden (siehe Abschnitt 4.4):

Φ (Σ, qF (Z, κ)) = σv (Σ,Z) − σF (κ) ≤ 0 .

4. Fließ- und Verfestigungsregel, Be- und Entlastungsbedingungen: Die

Fließ- und die Verfestigungsregel beschreiben die zeitliche Änderung der

plastischen Verzerrungen sowie der internen Variablen. Sie können gene-

rell wie folgt angegeben werden:

Ep

= λF r (Σ, qF) ,

qF = −λF h (Σ, qF) .(4.25)

Dabei sind r und h bekannte Funktionen der Spannungen und der inter-

nen Variablen, die die Ausbreitungsrichtung der Fließfläche und das Ver-

festigungsgesetz des Materials beschreiben. λF ist nicht negativ und wird

als der konsistente Parameter bezeichnet. Dieser Parameter muss die so-

genannten KUHN-TUCKERschen Bedingungen bei allen elastischen und

56

εe εp

ReL

σ (ε)

Entlastung

Belastung

ε

Abb. 4.1: Idealisierte 1D Spannungs-Dehnungskurve des ferritischen StahlsE460 bei Be- und Entlastungszuständen [32]

plastischen Zustandsänderungen erfüllen. Dafür folgen Beziehungen:

λF ≥ 0 mit Φ (Σ, qF) ≤ 0,

λF Φ (Σ, qF) = 0 .(4.26)

5. Konsistenzbedingung: Neben den KUHN-TUCKERschen Bedingungen

soll der konsistente Parameter λF noch die Konsistenzbedingung erfüllen:

λF Φ (Σ, qF) = 0 . (4.27)

Mit den Beziehungen (4.26) und (4.27) kann festgestellt werden, dass die

zeitliche Änderung der Fließbedingung Φ (Σ, qF) bei plastischen Zustandsän-

derungen nicht positiv sein kann [88]:

Φ (Σ, qF) ≤ 0 für Φ (Σ, qF) = 0. (4.28)

Bedingung (4.28) deutet an, dass bei der Entlastung nur elastische Zustands-

änderungen mit Φ (Σ, qF) < 0 für λF = 0 zugelassen sind. Dagegen verlaufen

plastische Zustandsänderungen lediglich während der Belastung, wobei Bezie-

hung Φ (Σ, qF) = 0 für λF = 0 gilt.

Mögliche Zustandsänderungen bei typischen Stahlbauteilen sind in Abbil-

dung 4.1 veranschaulicht. Dabei stellen εe und εp die 1D elastische und die

57

1D plastische Dehnung dar. Ferner bezeichnet ReL die untere Streckgrenze der

Spannungs-Dehnungs-Kurve.

MISES-HUBERsche Plastizitätstheorie als ein spezieller Fall

Im Rahmen dieser Arbeit wird die MISES-HUBERsche Plastizitätstheorie be-

rücksichtigt, womit das plastische Materialverhalten von Stahlbauteilen gut

beschrieben werden kann. Bei der Verwendung dieser Plastizitätstheorie wer-

den folgende Vereinfachungen durchgeführt:

1. Es handelt sich um eine sogenannte assoziierte Fließregel. Dabei ist die

zeitliche Änderung der plastischen Dehnungen proportional zu der Ablei-

tung der Fließfläche nach den Spannungen. Unter Berücksichtigung der

ersten Gleichung von (4.25) folgt für den Tensor zweiter Stufe r:

r (Σ, qF) =∂ Φ (Σ, qF)

∂ Σ. (4.29)

2. Zur Unterscheidung zwischen einer elastischen und einer plastischen Zu-

standsänderung lässt sich die MISES-HUBERsche Fließbedingung (4.21)

verwenden.

3. Die Änderung des Rückspannungstensors Z, der den Mittelpunkt der

Fließfläche darstellt, erfolgt lediglich in der deviatorischen Ebene im

Hauptspannungsraum. Damit ist die zeitliche Änderung des deviatori-

schen Tensors Zd proportional zur zeitlichen Änderung der plastischen

Verzerrungen Ep:

Zd ∼ E

p. (4.30)

Mathematisches Materialmodell: Als ein Ergebnis der erwähnten Grund-

lagen kann ein mathematisches Materialmodell für die MISES-HUBERsche

Plastizität mit isotroper und/oder kinematischer Verfestigung nach Simo und

58

Hughes [88] zusammengefasst werden:

Dd = Σd − Zd,

Φ (Σ, qF) =∥∥∥Dd

∥∥∥−

√

2

3σF (κ) ,

Ep

= λFDd

∥∥∥Dd

∥∥∥

,

Zd

=2

3λF Z

′ (κ)Dd

∥∥∥Dd

∥∥∥

,

κ =

√

2

3λF .

(4.31)

Dabei bezeichnet qF

(

κ, Zd)

,wie zuvor, interne Variablen. Des Weiteren erge-

ben sich die beiden ersten Gleichungen der Beziehung (4.31) aus der MISES-

HUBERschen Fließbedingung (4.21). Ferner folgt die dritte Gleichung dieser

Beziehung aus der Fließregel (4.25). Die vierte Gleichung ergibt sich für Zd

aus

Beziehung (4.30).

Der Parameter κ stellt die MISESsche plastische Vergleichsdehnung dar [32]:

κ (t) =∫ t

0

√

2

3Ep · Ep dτ . (4.32)

Ferner bezeichnet σF (κ) die Fließspannungskurve aus Zugversuchen, deren Ab-

leitung σ′F (κ) den isotropen Verfestigungsmodul darstellt.

Weiterhin ist Z (κ) im Allgemeinen eine nichtlineare Funktion von der Ver-

gleichsdehnung κ, deren Ableitung Z ′ (κ) den kinematischen Verfestigungsmo-

dul bezeichnet. In den meisten Anwendungsfällen werden der isotrope und der

kinematische Verfestigungsmodul mit Hilfe linearer Funktionen von κ approxi-

miert [88].

Radial-Return-Berechnungsprozess

Der 3D Spannungszustand und die konsistente Materialtangente des MISES-

HUBERschen Materialmodells sind zur Aufstellung der tangentialen Element-

steifigkeitsmatrix und des internen Elementkraftvektors benötigt.

59

tκ

t+∆tκtΣ

t+∆tΣ

tR

t+∆tR

σ1

σ2

σ3

Vorschätzung Radial-Returnt+∆t

Σ

Abb. 4.2: Geometrische Interpretation des Radial-Return-Verfahrens fürMISES-HUBERsche Materialmodelle mit isotroper und kinematischer Verfes-tigung im Hauptspannungsraum σ1, σ2, σ3

Das Materialmodell (4.31) stellt ein Anfangswertproblem dar. Dabei sind

der Materialzustand (tE, t

Ep, tσF) zur Zeit t sowie der Dehnungszuwachs ∆E

bekannt. Gesucht sind der Materialzustand(

t+∆tE, t+∆t

Ep, t+∆tσF

)

sowie die

konsistente Materialtangente t+∆tCT zur Zeit t+ ∆t.

Zur Lösung dieses Problems kommt wegen der Effizienz und der Einfachheit

oft das Radial-Return-Verfahren zum Einsatz. Dabei werden zwei Berechnungs-

schritte in jedem Inkrement ∆t durchgeführt:

1. Elastische Vorschätzung,

2. Radial Return bzw. plastischer Korrekturprozess.

Bei der elastischen Vorschätzung wird ein elastischer Spannungszustand t+∆tΣ

anhand des bekannten Dehnungsinkrementes ∆E sowie des linear-elastischen

Materialgesetzes (4.24) berechnet. Des Weiteren wird die MISES-HUBERsche

Fließbedingung (4.22) geprüft. Für den Fall, dass die Bedingung Φ ≤ 0 gilt,

verhält sich das Material elastisch. Dagegen liegt für Φ > 0 eine plastische Zu-

standsänderung vor. Dafür soll ein plastischer Korrekturprozess durchgeführt

werden. Bei diesem Prozess bewegt sich der Spannungszustand ausgehend vom

vorgeschätzten Zustand t+∆tΣ in der Richtung senkrecht zur Fließfläche. An

dieser Stelle wird zur Übersichtlichkeit auf eine detaillierte Beschreibung dieses

Radial-Return-Prozesses verzichtet. Sie wird in Anhang B gegeben.

60

Zur Veranschaulichung wird eine geometrische Interpretation für die Radial-

Return-Methode in Abbildung 4.2 dargestellt. Dabei bezeichnet R =√

23σF

den Radius der MISES-HUBERschen Fläche.

4.5.3 MOONEY-RIVLINsches Materialmodell

Die Berechnung des nichtlinearen hyperelastischen Materialverhaltens ist auch

ein weiteres Ziel dieser Arbeit. Ein typisches Beispiel dafür sind Elastomere

bzw. Gummi. Sie haben viele Anwendungsmöglichkeiten und werden z.B. bei

der Schall- oder Schwingungsdämpfung, bei der Herstellung von Dämpferele-

menten sowie Dichtungen eingesetzt. Damit sind sie vor allem im Bereich der

Automobile, der Luftfahrt und der Biomechanik unverzichtbar.

Abb. 4.3: Typische Eigenschaften eines Gummiprobekörpers [179]: (a) Nicht-lineare Kennlinien; (b) Statische Hysterese; (c) Amplitudenabhängigkeit; (d)Viskoelastische Hysterese

Wichtige Eigenschaften von gummiartigen Materialien können im Folgenden

zusammengefasst werden [179]:

1. Nichtlineares Spannungs-Dehnungsgesetz: Dabei stellen die Spannungen

61

nichtlineare Funktionen der Dehnungen dar und verhalten sich meist

progressiv. Des Weiteren kann dabei ein sehr großer Dehnungsbereich

erreicht werden.

2. Inkompressibles Verhalten: Gummiartiges Material verhält sich in der

Regel inkompressibel. Diese Eigenschaft kann dadurch gekennzeichnet

werden, dass die POISSONsche Zahl gegen den Wert ν ≈ 0.5 strebt.

Dabei kommt es zu Locking-Effekten.

3. Statische Hysterese: Die statische Hysterese ist charakterisiert durch

eine geschlossene Spannungskurve beim vollständigen Be- und Entlas-

tungsprozess, die nicht von der Belastungsfrequenz abhängt. Dabei tritt

Energiedissipation als eine Folge von Reibungseffekten auch bei langsa-

men oder quasistatischen Belastungen auf.

4. Amplituden- und Frequenzabhängigkeit: Diese Effekte lassen sich mit

der nichtlinearen Viskoelastizitätstheorie behandeln. Ein typisches bei

der Amplitudenabhängigkeit auftretendes Phänomen ist die Versteifung

des Materials bei abnehmender Amplitude. Dagegen erhöht sich die Stei-

figkeit des Materials mit zunehmender Frequenz für den Fall der Fre-

quenzabhängigkeit. Dieses frequenzabhängige Phänomen kann auch als

die viskoelastische Hysterese bezeichnet werden.

Weiterhin gibt es noch die Temperaturabhängigkeit. Die oben beschriebenen

Eigenschaften eines gummiartigen Materials sind in Abbildung 4.3 veranschau-

licht.

Die Modellierung des gummiartigen Materialverhatens unter Berücksichti-

gung der erwähnten Eigenschaften ist in der Regel schwierig. Einerseits lassen

sich rheologische Ersatzmodelle dafür einsetzen. Dabei können rheologische

Grundelemente, wie z.B. das MAXWELL- oder das KELVIN-Element sowie

ein Reib-, ein Feder- oder ein Dämpferelement, je nach Zweck kombiniert wer-

den. Diese Methode ist effizient, besitzt jedoch den Nachteil, dass in den meis-

ten Fällen nur 1D Verhalten beschrieben werden kann [68].

Andererseits bieten hyperelastische Materialmodelle als rein phänomenolo-

gische Modelle gute Möglichkeiten, das nichtlineare 3D Spannungsgesetz unter

Berücksichtigung der Inkompressibilität zu formulieren. Im Allgemeinen wer-

den diese Materialmodelle aus existierenden elastischen Potentialfunktionen

62

abgeleitet. Dafür können je nach Anwendung die MOONEY-RIVLINsche-, die

GENTsche- oder die ARRUDA-BOYCEsche Potentialfunktion verwendet wer-

den [25]. Obwohl diese Materialmodelle keine Amplituden- und Frequenzab-

hängigkeit beschreiben können, werden sie wegen ihrer Effizienz oft für die Be-

rechnung gummiartiger Materialverhalten in der dynamischen Simulation von

deformierbaren Strukturen eingesetzt [142]. Eine detaillierte Zusammenfassung

verschiedener hyperelastischer Materialmodelle kann in der Arbeit [120] von

Boyce und Arruda gefunden werden.

In dieser Arbeit wird eine systematische Formulierung des hyperelastischen

Materials mit dem MOONEY-RIVLINschen Potential vorgestellt. Dabei stellt

dieses Potential eine nichtlineare Funktion von den Invarianten des rechten

CAUCHY-GREENschen Tensors C dar.

Im Folgenden wird auf die Berechnung des Spannungszustandes und der

konsistenten Materialtangente des MOONEY-RIVLINschen Materialmodells

eingegangen.

MOONEY-RIVLINsche Potentialfunktion: Eine mögliche Potentialfunkti-

on ϕ für ein hyperelastisches Material soll folgende Voraussetzungen erfüllen

[31]:

1. ϕ (IC, IIC, IIIC) = 0 für eine undeformierte Konfiguration mit den Inva-

rianten des Verzerrungstensors C: IC = IIC = IIIC = 1.

2. Die Potentialfunktion muss in den Invarianten symmetrisch sein. Die

folgenden Beziehungen müssen vorausgesetzt werden:

ϕ (IC, IIC, IIIC) = ϕ (−IC, IIC, IIIC) ,

ϕ (IC, IIC, IIIC) = ϕ (IC,−IIC, IIIC) ,

ϕ (IC, IIC, IIIC) = ϕ (IC, IIC,−IIIC) .

3. Die Potentialfuntion muss positiv bleiben: ϕ (IC, IIC, IIIC) ≥ 0 für alle

Werte der Invarianten.

Die Bestimmung der Invarianten des Verzerrungstensors C kann auf die

Lösung des Eigenwertproblems zurückgeführt werden:

det(

C − λ2 I3

)

= 0. (4.33)

63

Dabei ist λ der Eingenwert des rechten Streckungstensors U, wie in der Spek-

traldarstellung (3.15) sowie in Beziehung (3.16) dargestellt. Aufgrund dessen

lassen sich die Invarianten des Tensors C wie folgt explizit angeben:

IC = λ21 + λ2

2 + λ23 = tr (C) ,

IIC = λ21λ

22 + λ2

1λ23 + λ2

3λ22 =

1

2

(

I2C − tr

(

C2))

,

IIIC = λ21λ

22λ

23 = J2 = det (C) = (det (U))2 .

(4.34)

Generell können die Energiefunktionen, die die oben erwähnten Vorausset-

zungen erfüllen, in der Form einer TAYLORschen Reihe geschrieben werden:

ϕ (IC, IIC, IIIC) =m∑

i+j=1

Cij

(

IC − 3)i (

IIC − 3)j

+m∑

i=1

1

Di

(Je − 1)2i . (4.35)

Diese Form ist bereits in ABAQUS implementiert, wobei Cij und Di Material-

parameter sind und von der Temperatur abhängig sein können. In dieser Arbeit

wird kein Temperatureinfluss berücksichtigt. Folglich sind diese Parameter kon-

stant. Des Weiteren bezeichnet m die Anzahl der TAYLORschen Glieder und

kann den Wert m ≥ 6 annehmen. Der Ausdruck Je stellt die elastische Volu-

mendehnung dar, die bei Vernachlässigung des Temperatureinflusses wie folgt

berechnet wird:

Je = J = det (U) = λ1λ2λ3. (4.36)

Die Parameter Di sind ein Maß für die Imkompressibilität des Materials. Für

den Fall, dass diese Parameter mit Di = 0 gilt, ist das Material vollständig

inkompressibel. Ferner stellen die Ausdrücke IC und IIC die auf die dritte

Invariante IIIC normierten Invarianten dar:

IC = IC III− 1

3C = IC J− 2

3 ,

IIC = IIC III− 2

3C = IIC J− 4

3 .(4.37)

Für den Fall, dass nur ein Glied: m = 1 in der TAYLORschen Reihe

existiert, vereinfacht sich das allgemeine Potential (4.35) zu der MOONEY-

64

RIVLINschen Funktion:

ϕ (λ1, λ2, λ3) = C1

(

λ21 + λ2

2 + λ23 − 3J

23

)

+ C2

(

λ−21 + λ−2

2 + λ−23 − 3J− 2

3

)

+1

2K (J − 1)2 .

(4.38)

Dabei ist K der Kompressionsmodul. Er ist hier konstant und kann durch den

elastischen Modul und die POISSONsche Zahl beschrieben werden:

K =2

D1=

E

3 (1 − 2ν). (4.39)

Des Weiteren bezeichnen C1 und C2 konstante Materialparameter mit:

µ = 2 (C1 + C2) , (4.40)

wobei µ den Schubmodul darstellt (siehe Beziehung 4.10). Weiterhin sind die

Eigenwerte λi von dem aktuellen Verzerrungszustand, wie z.B. den materiellen

BIOTschen Verzerrungen (3.14), abhängig:

λi = λi

(

EB)

. (4.41)

Berechnung des Spannungszustandes

Im Allgemeinen kann der Spannungszustand des hyperelastischen Materials

durch die Ableitung bzw. die Variation der MOONEY-RIVLINschen Funktion

(4.38) nach den Verzerrungen berechnet werden:

B =∂ϕ (λ1, λ2, λ3)

∂EB

=∂ϕ (λ1, λ2, λ3)

∂U

=∂ϕ

∂λ1

∂λ1

∂U+∂ϕ

∂λ2

∂λ2

∂U+∂ϕ

∂λ3

∂λ3

∂U.

(4.42)

Da es sich hier um ein isotropes Materialverhalten handelt, fallen die Eingen-

vektoren des materiellen BIOTschen Verzerrungstensors EB bzw. des rechten

Streckungstensors U mit dem materiellen BIOTschen Spannungstensor B zu-

sammen. Aus der Variation der beiden Seiten der Spektraldarstellung (3.15)

65

ergibt sich:

δD (λ) = δ(

Q D (λ) QT)

= (δQ)T U Q + QT δU Q + QT U δQ.(4.43)

Des Weiteren wird die Beziehung (3.17) variiert:

0 = (δQ)T Q + QTδQ

= (δΩ)T + δΩ,(4.44)

wobei die Abkürzung δΩ eingeführt wird:

δΩ = QTδQ. (4.45)

Dieser Spin-Tensor Ω ist schiefsymmetrisch und hat die Form:

δΩ =

0 −δΩ3 δΩ2

δΩ3 0 −δΩ1

−δΩ2 δΩ1 0

, δΩ = − (δΩ)T . (4.46)

Weiterhin wird die Beziehung (4.45) in Beziehung (4.43) eingesetzt:

δD (λ) = − δΩ QT U Q + QT δU Q + QT U Q δΩ

= − δΩ D (λ) + D (λ) δΩ + QT δU Q.(4.47)

Es zeigt sich, dass der dritte Term der zweiten Gleichung in Beziehung (4.47)

die Variation des rechten Streckungstensors U in seinem Hauptdehnungsraum

darstellt:

δU∗ = QT δU Q. (4.48)

Durch einen Koeffizientenvergleich für die beiden Seiten der zweiten Glei-

chung in Beziehung (4.47) unter Berücksichtigung der Beziehungen (3.18) und

(4.46) folgen die Komponenten auf der Diagonalen:

δλ1 = δU∗11, δλ2 = δU∗

22, δλ3 = δU∗33, (4.49)

66

und die Komponenten auf der Nebendiagonalen:

δΩ1 =δU∗

23

λ2 − λ3,

δΩ2 =δU∗

31

λ3 − λ1,

δΩ3 =δU∗

12

λ1 − λ2

.

(4.50)

Wird die Beziehung (4.48) in Beziehung (4.49) eingesetzt, ergeben sich die

Ableitungen der Eigenwerte:

δλ1 =(

n1nT1

)

· δU,

δλ2 =(

n2nT2

)

· δU,

δλ3 =(

n3nT3

)

· δU.

(4.51)

Nach dem Einsetzen der Beziehung (4.51) in Beziehung (4.42) lassen sich der

BIOTsche (B) Spannungstensor aus dem MOONEY-RIVLINschen Potential

neu schreiben:

B = Q D (B) QT, (4.52)

wobei die orthogonale Matrix Q bereits in Beziehung (3.17) definiert ist. Ferner

stellt D (B) eine diagonale Matrix dar, deren Komponenten wie folgt berechnet

werden:

Bi = 2C1

(

λi − J23λ−1

i

)

− 2C2

(

λ−3i − J− 2

3λ−1i

)

+KJ (J − 1)

λi

, (4.53)

für i := 1, 2, 3. Für die Zweckmäßigkeit der Implementierung dieses nichtlinea-

ren Materialmodells werden die Beziehungen (4.53) und (4.48) in VOIGTscher

Darstellung angegeben:

B = T(

QT)

D (B) ,

δU∗ = T (Q) δU .(4.54)

Dabei ist T (Q) die Transformationsmatrix mit der Dimension 6 × 6 und hat

die folgende explizite Form:

67

T (Q) =

Q211 Q2

21 Q231 2Q21Q31 2Q11Q31 2Q11Q21

Q212 Q2

22 Q232 2Q22Q32 2Q12Q32 2Q12Q22

Q213 Q2

23 Q233 2Q23Q33 2Q13Q33 2Q13Q23

Q12Q13 Q22Q23 Q32Q33 Q22Q33+Q32Q23 Q12Q33+Q32Q13 Q12Q23+Q22Q13



.

(4.55)

Auf gleiche Art und Weise nimmt die Matrix T(

QT)

die gleiche Form wie

die in Beziehung 4.55 an, wobei statt den Komponenten der Matrix Q die Kom-

ponenten der Matrix QT verwendet werden. Zur Übersichtlichkeit wird diese

Matrix jedoch nicht dargestellt.

Berechnung der konsistenten Materialtangente

Die konsistente Materialtangente kann dadurch berechnet werden, dass die

BIOTschen Spannungen (4.52) mit der Produktregel sowie der Beziehung (4.45)

variiert werden:

δB = δ(

Q D (B) QT)

= δQ D (B) QT + Q δD (B) QT + Q D (B) (δQ)T

= Q [δΩ D (B) − D (B) δΩ + δD] QT.

(4.56)

Die Summe der Ausdrücke in der rechteckigen Klammer stellt die Variation

des B-Spannungstensors im Hauptdehnungsraum des Streckungstensors U dar:

δB∗ = δΩ D (B) − D (B) δΩ +3∑

i=1

∂D (B)

∂λi

δλi. (4.57)

Unter Berücksichtigung der Definition von δΩ in Beziehung (4.46) folgt:

δΩ D (B) − D (B) δΩ =

0B1 − B2

λ1 − λ2δU∗

12

B3 −B1

λ3 − λ1δU∗

31

0B2 −B3

λ2 − λ3δU∗

23

symm. 0

. (4.58)

Des Weiteren lässt sich die Ableitung des Tensors D (B) nach den Eigenwerten

68

wie folgt darstellen:

∂D (B)

∂λi

=

∂B1

∂λi

0 0

0∂B2

∂λi

0

0 0∂B3

∂λi

. (4.59)

Letztendlich werden die Beziehungen (4.59) und (4.58) in Beziehung (4.56)

unter Betrachtung der Beziehungen (4.51) bzw. (4.54) eingesetzt. Es folgt:

δB = T(

QT)

δB∗

= T(

QT)

C∗T δU∗

= T(

QT)

C∗T T (Q) δU.

(4.60)

Damit ergibt sich die konsistente Materialtangente des MOONEY-RIVLINschen

Materialmodells in VOIGTscher Darstellung in der Form:

CT = T(

QT)

C∗T T (Q) , (4.61)

mit den Einträgen der konsistenten Materialtangente C∗T im Hauptdehnungs-

raum für i, j:= 1,2,3 und r 6= i, j:

C∗T,ii = 2C1

(

1 +1

3J

23λ−2

i

)

+ 2C2

(

3λ−4i − 5

3J− 2

3λ−2i

)

+KJ2λ−2i ,

C∗T,ij = − 4

3λiλj

(

C1J23 + C2J

− 23

)

+K (2J − 1)λr,(4.62)

sowie mit den drei letzten Einträgen auf der Diagonalen von C∗T:

C∗T,44 = C1 + C2

λ22 + λ2λ3 + λ2

3

λ32λ

33

− 1

λ2λ3

(

KJ (J − 1)

2− C1J

23 + C2J

− 23

)

,

C∗T,55 = C1 + C2

λ21 + λ1λ3 + λ2

3

λ31λ

33

− 1

λ1λ3

(

KJ (J − 1)

2− C1J

23 + C2J

− 23

)

,

C∗T,66 = C1 + C2

λ21 + λ1λ2 + λ2

2

λ31λ

32

− 1

λ1λ2

(

KJ (J − 1)

2− C1J

23 + C2J

− 23

)

.

(4.63)

Die restlichen Einträge sind Null. Eine Übersicht zur Berechnung dieses hype-

relastischen Materials ist in Tabelle G.1 ausführlich dargestellt.

Kapitel 5

3D FEM-Formulierung für rein

materielle Nichtlinearitäten

Bei rein materiellen Nichtlinearitäten werden Probleme großer Dehnungen so-

wie großer Starrkörperrotationen vernachlässigt. Nichtlinearitäten in Systemen

ergeben sich vor allem aus nichtlinearen Spannungs-Dehnungsbeziehungen.

Wie in Abschnitt 2.1 beschrieben, können nichtlineare finite Elemente aus

finiten Elementen in der geometrisch-linearen Theorie unter Berücksichtigung

von nichtlinearem Materialverhalten mit den CR-Formulierungen direkt for-

muliert werden. Somit stellt die FEM für rein physikalisch-nichtlineare Proble-

me eine wichtige Grundlage für die Entwicklung der MKS-FEM-Methode in

dieser Arbeit dar. Im Folgenden wird kurz auf die Beschreibung dieser FEM-

Formulierung eingegangen.

5.1 Inkrementelle/iterative FEM-Berechnung

Für den Fall kleiner Deformationen werden der lineare Verzerrungstensor (3.28)

und der CAUCHYsche Spannungstensor (3.22) bezüglich der ursprünglichen

Konfiguration betrachtet. Weiterhin kann die NEWTON-RAPHSONsche (NR)

Methode zum Einsatz kommen [16].

Für eine inkrementelle/iterative FE-Berechnung mit der NR-Methode müs-

sen der Spannungs- und der Verzerrungszustand sowie die internen Variablen

des Materials zur Zeit t bekannt sein. Die Bewegung eines flexiblen Körpers

bei der Vernachlässigung von Dämpfungseffekten kann durch das Prinzip der

69

70

virtuellen Arbeit (E.6) unter Berücksichtigung des Trägheitseffektes zur Zeit t

in tensorieller bzw. vektorieller Form beschrieben werden:

0 =∫

0V

0ρ tx · δtx d0V +∫

0V

tΣ · δtE d0V − δ tA(e)

a ,

= 0ρ∫

0V

(

δtx)T

tx d0V +∫

0V

(

δtε)T

tσ d0V − δ tA(e)a .

(5.1)

Dabei stellt der Operator (·) das Skalarprodukt zweier Tensoren dar. Gesucht

ist nun die dynamische Gleichgewichtslage der Struktur zur Zeit t+ ∆t:

0 = 0ρ∫

0V

(

δt+∆tx)T

t+∆tx d0V+∫

0V

(

δt+∆tε)T

t+∆tσ d0V − δ t+∆tA(e)a , (5.2)

wobei der Ausdruck δ t+∆tA(e)a die Summe der virtuellen Arbeit aller äußeren

eingeprägten Kräfte bezeichnet (siehe Beziehung (E.4)). Weiterhin ist 0ρ die

konstante Massendichte in der ursprünglichen Lage.

Inkrementelle Dekomposition: Zur Linearisierung der Variationsform (5.2)

werden der Spannungs- und der Dehnungsvektor inkrementell aufgeteilt:

t+∆tε = tε + ε,

t+∆tσ = tσ + σ.(5.3)

Ferner ergibt sich aus der Dekomposition des Lagevektors x sowie des Beschleu-

nigungsvektors x:t+∆tx = 0x + tu + u,

t+∆tx = t+∆tu .(5.4)

Hierbei bezeichnen die Ausdrücke u, ε und σ den Vektor des inkrementellen

Zuwachses der Verschiebungen, Verzerrungen und Spannungen.

Linearisierte Variationsform: Die beiden Seiten der Beziehungen (5.3) und

(5.4) werden variiert und in die Gleichgewichtsbedingung (5.2) eingesetzt. Aus

dem Grund, dass die variierten Größen und die inkrementellen Zuwächse klein

sind, können hierbei die quadratischen Terme vernachlässigt werden. Infolge

71

dessen folgt die linearisierte Variationsform:

0ρ∫

0V

(δu)T t+∆tu d0V+∫

0V

(δε)Tσ d0V = δ t+∆tA(e)

a −∫

0V

(δε)T tσ d0V. (5.5)

Weiterhin wird die nichtlineare Spannungs-Dehnungsbeziehung linearisiert:

σ = CT ε, (5.6)

wobei CT die konsistente Materialtangente bezeichnet. Die konsistente Materi-

altangente für das MOONEY-RIVLINsche Materialverhalten wurde in Bezie-

hung (4.61) dargestellt. Ferner wird die Materialtangente für das RAMBERG-

OSGOODsches sowie MISES-HUBERsche Materialmodell in Anhang A und

B hergeleitet.

Für die Anwendung von impliziten Zeitintegrationsmethoden wird die Va-

riationsform (5.5) für die Iteration i := 0, 1, 2, 3, ... neu geschrieben:

0ρ∫

0V

(δu)T t+∆tu(i+1) d0V +∫

0V

(δε)T t+∆tC(i)T ∆ε(i+1) d0V

= δ t+∆tA(e)a −

∫

0V

(δε)T t+∆tσ(i) d0V,(5.7)

wobei ∆ε(i+1) den Dehnungszuwachs in der Iteration i + 1 beschreibt. Damit

wird die gesamten linearen Dehnungen in der Iteration i+ 1 berechnet:

t+∆tε(i+1) = t+∆tε(i) + ∆ε(i+1). (5.8)

Die Ausdrücke t+∆tε(i+1) und t+∆tε(i) beschreiben dabei den Vektor der gesam-

ten Verzerrungen in der Iteration i + 1 sowie in der Iteration i des aktuellen

Inkrements ∆t.

FE-Diskretisierung: Bei der FEM werden Bauteile in kleinere finite Ele-

mente diskretisiert. Das Verschiebungsfeld eines 3D Kontinuumselements lässt

sich als ein RITZscher Ansatz durch eine Matrix G = [N1I3, N2I3, ..., NkI3]

von Ansatzfunktionen Ni mit i = 1, 2, ..., k und dem Knotenverschiebungsvek-

72

tor ue =[

uTe1, u

Te2, ..., u

Tek

]Tapproximieren:

u = G ue. (5.9)

Dabei stellt k die Anzahl der Knoten eines Elements dar.

Die Ansatzfunktionen sind koordinatenabhängig und müssen linear unab-

hängig sein. Sie sind bei den Kontinuumselementen C0-stetig und sollen keine

Spannungen bei der Starrkörperbewegung sowie konstante Verzerrungszustän-

de abbilden. Die C0-Stetigkeit bedeutet hierbei, dass die für die Verschiebun-

gen gebildeten Ansätze an den Knoten und den Elementübergängen stetig

sind.

Daraus wird der lineare Verzerrungsvektor eines beliebigen Punkts des fini-

ten Elements berechnet:

ε =(

0L G)

ue = 0BL ue. (5.10)

Dabei stellt der Ausdruck 0L den linearen Differentialoperator bezüglich der

Referenzkonfiguration dar. Die Matrix 0BL = [0BL1,0 BL2, ...,

0 BLk] bezeichnet

die lineare Verschiebungs-Dehnungsmatrix und ist in diesem Fall konstant. Fer-

ner kann die Submatrix 0BLi für einen Knoten i wie folgt angegeben werden:

0BLi =

∂Ni

∂x10 0

0∂Ni

∂x20

0 0∂Ni

∂x3

0∂Ni

∂x3

∂Ni

∂x2

∂Ni

∂x3

0∂Ni

∂x1

∂Ni

∂x2

∂Ni

∂x10

. (5.11)

Aus der Variation des Dehnungsvektors (5.10) ergibt sich:

δε = 0BL δue. (5.12)

Werden die Beziehungen (5.9) und (5.10) sowie (5.12) in die Variationsform

73

(5.7) eingesetzt, folgt das Bewegungsgleichungssystem für einen freien diskre-

tisierten FE-Körper in der inkrementellen/iterativen Form mit der Iteration

i:=1,2,3,... :

Mbt+∆tu(i+1)

b + t+∆tK(i)b,T ∆u(i+1)

b = t+∆tFb,ext − t+∆tF(i)b,int. (5.13)

Dabei bezeichnet Mb die assemblierte globale Massenmatrix für die gesamte

FE-Struktur mit der Index b. Sie ist konstant für den Fall einer konstanten

volumenspezifischen Massendichte 0ρ und ist symmetrisch:

Mb =el∑

e=1

Me mit Me =∫

0Ve

GT 0ρ G d0Ve. (5.14)

Der Ausdruck Kb,T stellt die assemblierte globale tangentiale Steifigkeitsma-

trix des FE-Körpers dar:

Kb,T =el∑

e=1

Ke,T mit Ke,T =∫

0Ve

0BTL CT

0BL d0Ve. (5.15)

Diese Matrix ist symmetrisch und von der veränderlichen konsistenten Mate-

rialtangente CT abhängig.

Des Weiteren repräsentiert t+∆tF(i)b,int den Vektor der internen Kräfte für den

gesamten FE-Körper:

Fb,int =el∑

e=1

Fe,int mit Fe,int =∫

0Ve

0BTL σ d0Ve. (5.16)

Der erste Term auf der rechten Seite der Beziehung (5.13) ist der bekannte

globale Kraftvektor aus den äußeren eingeprägten Kräften:

Fb,ext =el∑

e=1

Fe,ext mit Fe,ext =∫

0Ve,B

GT fB d0Ve +∫

0Se,σ

GT fS d0Se. (5.17)

Weiterhin beschreibt ∆u(i+1)b den Zuwachs des globalen Verschiebungsvektors

für die gesamte FE-Struktur in der Iteration i+ 1 des Inkrements ∆t.

Aus dem Grund der Übersichtlichkeit werden hierbei die Indizes nicht darge-

stellt. Dazu stellt el die Anzahl der finiten Elemente der FE-Struktur dar. Der

74

Operator∑el

e=1 beschreibt hierbei die Assemblierung von finiten Elementen in

die globale Systemmatrix. Eine detaillierte Erklärung für diesen Prozess kann

in der Arbeit [154] von Schwarz gefunden werden.

5.2 Isoparametrische Formulierung von 3D Konti-

nuumselementen

1 2

3 4

56

7 8

r

s

t

x1

x2

x3

12

34

56

78

J

Abb. 5.1: Koordinatentransformation zwischen den natürlichen und den karte-sischen Koordinaten für ein 8-knotiges trilineares Hexaederelement

Anschließend wird eine kurze Diskussion über den isoparametrischen Ansatz

für die 3D Kontinuumselemente geführt. Dabei werden gleiche Ansatzfunktio-

nen für die Verschiebungen u und die Koordinaten x eines Elements verwendet.

Somit gilt die Beziehung:

x = G xe, (5.18)

mit dem Elementkoordinatenvektor xe = [xe1, xe2, ..., xek]T. Dabei stellt der

Ausdruck xei = [xei,1, xei,2, xei,3]T den kartesische Koordinatenvektor des i-ten

Knotens des Elements dar.

Wie bereits in Abschnitt 5.1 erwähnt wurde, sollen die Ansatzfunktionen

Ni die Starrkörperbewegung und den konstanten Verzerrungszustand des Ele-

ments wiedergeben können. Dazu sollen sie C0-stetig sein. Für diesen Zweck

werden die natürlichen Koordinaten ξ = [r, s, t]T mit −1 ≤ r, s, t ≤ 1 einge-

75

führt. Damit folgt für die Ansatzfunktionen:

Ni = Ni (r, s, t) , (5.19)

und für die kartesischen Koordinaten x = [x1, x2, x3]T:

x1 = x1 (r, s, t) ,

x2 = x2 (r, s, t) ,

x3 = x3 (r, s, t) .

(5.20)

Transformation für Volumen- und Flächenelemente

Die Transformation zwischen dem kartesischen und dem natürlichen Koordi-

natensystem wird oft als die sogenannte Jakobimatrix bezeichnet (siehe Abbil-

dung 5.1). Sie wird wie folgt definiert:

J :=∂x∂ξ

=

∂x1

∂r

∂x2

∂r

∂x3

∂r∂x1

∂s

∂x2

∂s

∂x3

∂s∂x1

∂t

∂x2

∂t

∂x3

∂t

. (5.21)

Unter Berücksichtigung der Produktregel und der Beziehung (5.18) kann z.B.

die Ableitung der Komponente x1 nach der Komponente r bestimmt werden:

∂x1

∂r=

k∑

i=1

xei,1∂Ni (r, s, t)

∂r. (5.22)

Auf die gleiche Art und Weise lassen sich alle Ableitungen in Beziehung (5.21)

durchführen. Somit ist die Jakobimatrix vollständig aufgestellt. Aus der Jako-

bimatrix und den Ableitungen aller Komponenten x1, x2 und x3 resultiert auch

die Transformation zwischen dem kartesischen und dem natürlichen Koordina-

tensystem für das Volumen- und das Flächenelement:

dV = dx1 dx2 dx3 = det (J) dr ds dt,

dS = dx1 dx2 = det (Γ) dr ds.(5.23)

76

Dabei wird die Transformationsmatrix Γ für ein Flächenelement eingeführt:

Γ :=

∂x1

∂r

∂x2

∂r∂x1

∂s

∂x2

∂s

. (5.24)

3D Serendipity-Elemente

Bei den 3D Kontinuumselementen kann die Ansatzfunktion Ni (r, s, t) für den

Knoten i mit Hilfe des Produkts der Lagrangeschen Interpolationspolynome

in drei Raumrichtungen gewonnen werden:

Ni (r, s, t) = lpi (r) lpi (s) lpi (t) . (5.25)

Beispielweise kann das Lagrangesche Polynom lpi (r) in der Richtung r als Pro-

dukt von linear-veränderlichen Funktionen angegeben werden:

lpi (r) =(r − r0)(r − r1)...(r − ri−1)(r − ri+1)...(r − rp)

(ri − r0)(ri − r1)...(ri − ri−1)(ri − ri+1)...(ri − rp)

=p∏

j=0,j 6=i

r − rj

ri − rj

.

(5.26)

Dieses Polynom lpi (r) besitzt die wichtige Eigenschaft, dass es den Wert 1

am Knoten i und den Wert 0 bei allen anderen Knoten j 6= i besitzt. Dabei

stellt p den Polynomgrad mit p ≥ 1 dar. Im allgemeinen Fall, dass für den

Verschiebungsansatz vollständige Lagrangesche Polynome verwendet werden,

handelt es sich um die sogenannte Lagrangesche Elementklasse. Dabei ergibt

sich eine hohe Anzahl von erforderlichen Knoten im Inneren sowie auf den

Randflächen des Elements. Dies kann eine hohe Rechnerzeit und einen großen

Speicherplatz erfordern.

Für die Reduktion der Knotenanzahl in der Lagrangeschen Elementklasse

bieten sich die Serendipity-Elemente oder die Randknotenelemente als eine

gute Möglichkeit an (siehe Abbildung 5.2). In diesem Fall wird auf überflüssi-

ge höhere Polynomglieder verzichtet. Es können ebenfalls Knoten im Inneren

des Elements vernachlässigt werden. So werden nur Knoten auf den Elemen-

trändern verwendet. Dabei können geeignete Ansatzfuntionen Ni (r, s, t) für

77

1 2

3 4

56

7 8

1 2

3 4

56

7 8

1

2

3

4

1

2

3

4

5

67

8

9

10

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1011

1213

14

15

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19 20

Abb. 5.2: Typische 3D Serendipity-Elemente: (a) 8- und 20-knotiges Hexa-ederelement; (b) 4- und 10-knotiges Tetraederelement; (c) 6- und 15-knotigesWedge-Element

alle Knoten i = 1, 2, ..., k der Serendipity-Elemente konstruiert werden. Ei-

ne detaillierte Darstellung dieser Ansatzfunktionen kann der Arbeit [129] von

Zienkiewicz entnommen werden.

GAUSSsche Integrationsmethode

Zur Berechnung der FEM-Matrixbeziehungen wird die numerische Integrati-

on über das Volumen sowie die Oberflächen des Elements durchgeführt. Da-

für kann das GAUSSsche oder NEWTON-COTESsche Verfahren verwendet

werden. Dabei wird das Integral über Volumen sowie Flächen näherungsweise

durch eine Summation über gewichtete Funktionswerte an den Integrations-

punkten berechnet.

Im Gegensatz zu der NEWTON-COTESschen Integration mit äquidistanten

Stützpunkten lassen sich die Stützpunkte und die Gewichtungsfaktoren bei der

GAUSSschen Integration so ermitteln, dass Polynome einer möglichst hohen

Ordnung noch exakt integriert werden können. Aus diesem Grund wird in

dieser Arbeit die GAUSSsche Integrationsmethode verwendet.

Mit Hilfe der GAUSSschen Integrationsmethode lassen sich die Größen in

Beziehung (5.13) unter Berücksichtigung der Transformationen in Beziehung

(5.23) näherungsweise berechnen:

78

• Elementmassenmatrix (Beziehung (5.14)):

Me = 0ρg1∑

i=1

g2∑

j=1

g3∑

k=1

wiwjwk GTijk Gijk det

(0J)

ijk, (5.27)

• interner Elementkraftvektor (Beziehung (5.16)):

Fe,int =g1∑

i=1

g2∑

j=1

g3∑

k=1

wiwjwk0BT

L,ijk σijk det(

0J)

ijk, (5.28)

• Elementsteifigkeitsmatrix (Beziehung (5.15)):

Ke =g1∑

i=1

g2∑

j=1

g3∑

k=1

wiwjwk0BT

L,ijk Cijk0BL,ijk det

(0J)

ijk, (5.29)

• Volumenkraftvektor (Beziehung (5.17)):

FBe,ext =

g1∑

i=1

g2∑

j=1

g3∑

k=1

wiwjwk GTijk fBijk det

(0J)

ijk, (5.30)

• Flächenkraftvektor (Beziehung (5.17)):

FSe,ext =

g1∑

i=1

g2∑

j=1

wiwj GTij fS

ij det(

0Γ)

ij. (5.31)

Dabei werden folgende Abkürzungen z.B. für eine Matrix oder einen Vektor A

eingeführt:

Aijk := A (ri, sj , tk) ,

Aij := A (ri, sj) .(5.32)

Des Weiteren beschreiben g1, g2 und g3 die Anzahl der GAUSSschen Integrati-

onspunkte in der r-, s- und t-Richtung sowie wi, wj und wk die dazugehörigen

Gewichtungsfaktoren in diesen drei Richtungen. Ferner bezeichnen ri, sj und

tk die natürlichen Koordinaten der i-, j- und k-ten Integrationspunkte in der

r-, s- und t-Richtung. Diese Koordinaten und ihre Gewichtungsfaktoren sind

bekannt und können in der Arbeit [129] von Zienkiewicz gefunden werden.

Bei rein materiellen Nichtlinearitäten bleiben außer der externen Belastun-

gen, der Spannungen und der Materialtangente alle restlichen Größen konstant.

Damit liegt der Hauptrechenaufwand einer FE-Berechnung hier vor allem in

der Integration von nichtlinearen Spannungs-Dehnungsbeziehungen.

Kapitel 6

Absolute

Knotenkoordinaten-Formulierung

für 3D Kontinuumselemente

Die Anwendung der absoluten Knotenkoordinaten-FE-Formulierung (ANC)

für die Berechnung von Nichtlinearitäten deformierbarer Körper ist im Ver-

gleich zu der TL- und UL-Formulierung relativ neu [2].

Die ANC-Formulierung besitzt den essenziellen Vorteil, dass die daraus re-

sultierende Systemmassenmatrix einer FE-Struktur konstant ist. Ferner wer-

den keine Rotationsfreiheitsgrade verwendet, selbst bei der Formulierung von

ANC-Schalenelementen. ANC-Formulierungen von Tetraeder- und Hexaeder-

elementen zur direkten Berechnung von großen Deformationen sind im MKS-

Programm HOTINT [73] implementiert. Dabei ist die Berechnung von materi-

ellen Nichtlinearitäten jedoch nur beschränkt möglich. Für die Zweckmäßigkeit

eines Vergleichs der CR- mit den ANC-Kontinuumselementen in Kapitel 10

wird im Folgenden kurz auf die ANC-Formulierung eingegangen.

Zur Herleitung der Bewegungsgleichungen eines homogenen, deformierbaren

Körpers mit der ANC-Formulierung wird die schwache Variationsform (E.6)

unter Berücksichtigung des Trägheitseffektes herangezogen:

0 = 0ρ∫

0V

(

δtx)T

tx d0V +∫

0V

(

δ t0EG

)Tt0S d 0V − δ tA(e)

a . (6.1)

Die dynamische Gleichgewichtsbedingung (6.1) wird zur Zeit t bezüglich der

79

80

ursprünglichen Konfiguration aufgestellt, wobei die Ausdrücke t0E

G und t0S den

GREEN-LAGRANGEschen Verzerrungsvektor und den 2PK-Spannungsvektor

darstellen (siehe Kapitel 3).

Auf der Grundlage der FEM wird der Körper ebenfalls in kleinere finite

Elemente diskretisiert. Im Gegensatz zu den anderen FE-Formulierungen, bei

denen Verschiebungsansätze in die inkrementelle/iterative Form eingesetzt wer-

den, lässt sich in der ANC-Formulierung eine Approximation der absoluten

Koordinaten eines Elements direkt in die schwache Form (6.1) einbeziehen.

RITZscher Ansatz in der ANC-Form: Mit Hilfe des RITZschen Ansatzes

lässt sich die absolute Position tx eines Punktes innerhalb des Elements zur

Zeit t approximieren:tx = GANC

tge. (6.2)

Dabei stellt GANC die Matrix der isoparametrischen Ansatzfunktionen dar. Bei

Balken- und Schalenelementen sollen diese Ansatzfunktionen C1-stetig sein.

Dabei bedeutet die C1-Stetigkeit, dass die Ansatzfunktionen in den Verschie-

bungen sowie ihrer ersten Ableitung stetig sind.

Für die ANC-Elemente werden meist die HERMITEschen Interpolations-

funktionen dritter Ordnung verwendet. Beispielweise kann für ein 2-knotiges

EULER-BERNOULLIsches Balkenelement die Matrix GANC in Abhängigkeit

der natürlichen Koordinate r angegeben werden [128]:

GANC =[

H(0)1 , H

(1)1 , H

(0)2 , H

(1)2

]

, (6.3)

mit den folgenden HERMITEschen Funktionen:

H(0)1 (r) =

1

4

(

2 − 3r + r3)

,

H(0)2 (r) =

1

4

(

2 + 3r − r3)

,

H(1)1 (r) =

Le

8

(

1 − r − r2 + r3)

,

H(1)2 (r) =

Le

8

(

−1 − r + r2 + r3)

.

(6.4)

Hierbei ist Le die Länge eines Balkenelements. Auf die gleiche Art und Weise,

wie in Abschnitt 5.2 beschrieben, lassen sich die Ansatzfunktionen an den Kno-

81

txe1 txe2

tx

P

P

1

2

xg1

xg2

xg3

0

r

1

2

∂ txe1

∂ xg1∂ txe2

∂ xg1

0x

Deformiert

Undeformiert

Abb. 6.1: Ursprüngliche und deformierte Konfiguration eines EULER-BERNOULLIschen ANC-Balkenelements

ten für das 4-knotige ANC-Schalenelement als Produkt der HERMITEschen

Funktionen aufstellen. Eine detaillierte Beschreibung dafür kann der Arbeit

[130] von Dmitrochenko und [92] von Dufva entnommen werden.

Aufgrund der sehr aufwendigen mathematischen Handhabung werden bei

der Formulierung von 3D ANC-Kontinuumselementen meist nur C0-stetige

Ansatzfunktionen verwendet. Sie sind somit gleich den Ansatzfunktionen der

3D Serendipity-Elemente aus Abschnitt 5.2. Ferner werden hierbei die Krüm-

mungen an den Knoten vernachlässigt. Im Programm HOTINT sind diese

ANC-Kontinuumselemente zur Behandlung von rein geometrischen Nichtlinea-

ritäten implementiert [73].

Im Fall von ANC-Balken- und -Schalenelementen beschreibt der Ausdrucktge den Vektor aus den absoluten Knotenkoordinaten und den Krümmungen

an den Knoten. Somit folgt für ein ANC-Balkenelement:

tge,Balken =

(txe1

)T,

(

∂ txe1

∂ xg1

)T

,(

txe2

)T,

(

∂ txe2

∂ xg1

)T

T

, (6.5)

82

und für ein ANC-Schalenelement:

tge,Schalen =

[(

txe1

)T,

(

∂ txe1

∂ xg1

)T

,

(

∂ txe1

∂ xg2

)T

,

...,(

txe4

)T,

(

∂ txe4

∂ xg1

)T

,

(

∂ txe4

∂ xg2

)T ]T

,

(6.6)

sowie für ein ANC-Kontinuumselement:

tge,Kontinuum =[(

txe1

)T,(

txe2

)T, ...,

(txek

)T]T

. (6.7)

Dabei stellt k die Anzahl der Knoten eines 3D Kontinuumselements dar. Fer-

ner bezeichnet xgi die i-te Komponente des globalen Koordinatensystems.

FE-Bewegungsgleichungssystem in der ANC-Form: Im Anschluss wird die

Herleitung der nichtlinearen FEM-Bewegungsgleichungen eines FE-Körpers un-

ter Verwendung der ANC-Formulierung beschrieben. Das gesamte Verschie-

bungsfeld tu eines 3D ANC-Kontinuumselements kann anhand der Beziehung

(6.2) berechnet werden:tu = G tue. (6.8)

Dabei sind GANC in der Beziehung (6.2) und G in der Beziehung (5.9) identisch.

Ferner stellt tue den Elementknotenverschiebungsvektor dar. Weiterhin folgt

aus der Variation der GREEN-LAGRANGEschen Verzerrungen (3.12) unter

Berücksichtigung der Beziehung (3.3):

δ t0EG =

1

2

(t0FT δ t

0H + δ t0HT t

0F)

. (6.9)

Durch Einsetzen der Beziehung (6.8) in Beziehung (6.9) ergibt sich:

δ t0E

G = t0BG δ tue, (6.10)

in VOIGTscher Darstellung, wobei t0BG die Verschiebungs-Dehnungsmatrix be-

züglich der ursprünglichen Konfiguration darstellt. Diese Matrix kann in der

folgenden Form geschrieben werden:

t0BG =

[t0BG1,

t0BG2, ...,

t0BGk

]

. (6.11)

83

Dabei kann die Submatrix t0BGi für den Knoten i in Abhängigkeit von den

Komponenten des Deformationsgradienten angegeben werden [128]:

t0BGi =

t0F11Ni,1

t0F21Ni,1

t0F31Ni,1

t0F12Ni,2

t0F22Ni,2

t0F32Ni,2

t0F13Ni,3

t0F23Ni,3

t0F33Ni,3

t0F12Ni,3 + t

0F13Ni,2t0F22Ni,3 + t

0F23Ni,2t0F32Ni,3 + t

0F33Ni,2

t0F13Ni,1 + t

0F11Ni,3t0F23Ni,1 + t

0F21Ni,3t0F33Ni,1 + t

0F31Ni,3

t0F11Ni,2 + t

0F12Ni,1t0F21Ni,2 + t

0F22Ni,1t0F31Ni,2 + t

0F32Ni,1

.

(6.12)

Ferner repräsentiert δ tue die virtuellen Elementknotenverschiebungen zur Zeit

t, die infinitesimal klein sind und alle kinematischen Randbedingungen erfüllen.

Weiterhin ist Ni,j die Ableitung der Ansatzfunktion Ni eines Knotens i nach

der j-ten Komponente des Lagevektors 0x in der Referenzkonfiguration.

Werden die Beziehungen (6.11) und (6.8) in die Variationsform (6.1) einge-

setzt, folgt das FE-Bewegungsgleichungssystem einer diskretisierten 3D Struk-

tur in der ANC-Formulierung zur Zeit t:

Mbtub + t

0Fb,int − tFb,ext = 0. (6.13)

Dabei bezeichnet Mb die konstante globale Massenmatrix (siehe Beziehung

(5.14)). Des Weiteren stellt t0Fb,int den globalen internen Kraftvektor aus den

internen Elementkraftvektoren dar:

t0Fb,int =

el∑

e=1

t0Fe,int mit t

0Fe,int =∫

0Ve

t0BT

Gt0S d0Ve. (6.14)

Bei der Verwendung einer impliziten Zeitintegrationsmethode wird hierbei die

dynamische Gleichgewichtsbedingung (6.13) zur Zeit t bei einer bekannten Lö-

sung zur Zeit t−∆t benötigt. Dabei wird die tangentiale Steifigkeitsmatrix für

die NEWTON-RAPHSONschen Iterationen berechnet. Bei der Ableitung der

Beziehung (6.13) nach den Verschiebungen tub folgt bei Vernachlässigung des

Trägheits- und des Dämpfungsterms die tangentiale Systemsteifigkeitsmatrix:

t0Kb,T =

∂ t0Fb,int

∂ tub

=el∑

e=1

t0Ke,T. (6.15)

84

Dabei wird die tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix wie folgt angegeben:

t0Ke,T =

∫

0Ve

t0B

TG

t0CT

t0BG d0Ve +

∫

0Ve

∂ t0BT

G

∂ tue

t0S d0Ve, (6.16)

wobei der Einfluss der Änderung der externen Elementkräfte während der De-

formation auf die Steifigkeit des Systems hier vernachlässigt wird:

t0KA,T =

∂ tFb,ext

∂ tub= 0. (6.17)

Das erste Integral in der Beziehung (6.16) stellt die materielle, tangentiale

Elementsteifigkeitsmatrix dar:

t0KM,T =

∫

0Ve

t0BT

Gt0CT

t0BG d0Ve, (6.18)

mit der konsistenten Materialtangente:

t0CT =

∂ t0S

∂ t0EG . (6.19)

Das zweite Integral in der Beziehung (6.16) stellt die geometrische, tangen-

tiale Elementsteifigkeitsmatrix dar und kann wie folgt berechnet werden [128]:

t0KG,T =

∫

0Ve

t0BT

S D(

t0S)

t0BS d0Ve . (6.20)

Dabei bezeichnet der Ausdruck D (t0S) eine diagonale 9 × 9 Matrix mit den

Submatrizen t0S auf der Diagonalen:

D(

t0S)

=

t0S 0 0

0 t0S 0

0 0 t0S

mit t0S =

t0S11

t0S12

t0S13

t0S21

t0S22

t0S23

t0S31

t0S32

t0S33

. (6.21)

Des Weiteren besitzt die konstante Matrix t0BS die diagonale Form:

t0BS =

t0BS 03 03

03t0BS 03

03 03t0BS

, (6.22)

85

mit der Submatrix t0BS aus den Ableitungen der Ansatzfunktionen in der ur-

sprünglichen Konfiguration:

t0BS =

N1,1 0 0 N2,1 0 0 ... Nk,1

N1,2 0 0 N2,2 0 0 ... Nk,2

N1,3 0 0 N2,3 0 0 ... Nk,3

, (6.23)

und dem Vektor der Null-Einträge:

0T3 = [0, 0, 0]T . (6.24)

Die angegebenen Matrizen und Vektoren sind bezüglich des globalen Ko-

ordinatensystems aufgestellt. Sie lassen sich mit der GAUSSschen Integrati-

onsmethode, wie in Abschnitt 5.2 beschrieben, näherungsweise berechnen. Für

den Fall, dass physikalische Nichtlinearitäten im System vorliegen, wird die Be-

rechnung des Spannungszustandes t0S und der konsistenten Materialtangente

t0CT in allen Integrationspunkten durchgeführt.

An dieser Stelle kann bemerkt werden, dass sich große Starrkörperrotatio-

nen von Elementen durch die nichtlineare Verschiebungs-Dehnungsmatrix t0BG

bzw. die Deformationsgradienten in den Integrationspunkten beschreiben las-

sen (siehe Beziehung (6.12)). In jedem Berechnungsschritt wird keine Tren-

nung großer Starrkörperrotationen aus der gesamten Bewegung des Elements

durchgeführt. Daher ist in der ANC-Formulierung eine klare Unterscheidung

zwischen geometrischen und materiellen Nichtlinearitäten nicht möglich.

Kapitel 7

CR-Formulierungen zur Berechnung

geometrischer und/oder materieller

Nichtlinearitäten

In dieser Arbeit beruht die direkte Einbeziehung von geometrischen und/oder

materiellen Nichtlinearitäten in die Mehrkörpersystemsimulation, wie bereits

in Abschnitt 2.7 erwähnt, auf der Anwendung der co-rotationalen (CR) For-

mulierungen. Im Folgenden werden zwei CR-Formulierungen vorgestellt. Vor

allem werden eine detaillierte Herleitung ihrer nichtlinearen Matrixbeziehun-

gen und die direkte Integration von nichtlinearen Materialmodellen in diese

Formulierungen systematisch beschrieben.

Im Gegensatz zu der TL- und UL-Formulierung wird in den co-rotationalen

Formulierungen die große Starrkörperrotation jedes finiten Elementes aus der

gesamten Bewegung näherungsweise bestimmt, bevor die Steifigkeiten und die

internen Kräfte berechnet werden.

Dieses Kapitel umfasst eine systematische Beschreibung von zweien folgen-

den CR-Formulierungen:

1. die elementunabhängigen CR-Formulierung (EICR),

2. die CR-Formulierung durch eine konsistente Linearisierung (CLCR).

Bei der weiteren Herleitung sind bei der Aufstellung der Matrixbeziehungen

für diese beiden FE-Formulierungen Dämpfungs- und Trägheitseffekte nicht be-

rücksichtigt, ohne die allgemeine Gültigkeit dieser Formulierungen zu verlieren.

87

88

1 2

3 4

56

7 81

2

3

4

5

6

7

8

xg1

xg2

xg3

0xl1

0xl2

0xl3

t0R

txl1txl2

txl3

O

C

C

0xC0x5

txC

tx5

0xe5

txe5

Ursprüngliche Lage

Aktuelle Lage

Abb. 7.1: Co-rotationale Kinematik eines 8-knotigen Hexaederelements im all-gemeinen Fall

Dabei werden der interne Elementkraftvektor und die tangentiale Elementstei-

figkeitsmatrix konsistent hergeleitet.

7.1 Elementunabhängige co-rotationale FEM

Die Hauptidee der elementunabhängigen CR-Formulierung (EICR) besteht

darin, dass bei nichtlinearen Berechnungen finite Elemente aus der geometrisch-

linearen Theorie für die Formulierung nichtlinearer finiter Elemente angewen-

det werden. Da nur wenige Modifikationen benötigt werden, erfolgt die Imple-

mentierung dieser CR-Elemente mit einem geringen Aufwand.

7.1.1 EICR-Kinematik

Dargestellt in Abbildung 7.1 ist ein 3D finites Element, hier ein 8-knotiges

3D Hexaederelement, in der ursprünglichen und der aktuellen Konfiguration.

Dabei werden ein festes globales Koordinatensystem (xg1, xg2, xg3) mit dem

Ursprung O und ein CR-Elementkoordinatensystem (xl1, xl2, xl3) mit dem

Ursprung C definiert. Dieses CR-System ist elementsfest und rotiert mit der

89

Deformation des Elements. Ferner wird angenommen, dass die anfängliche Ori-

entierung des lokalen und des globalen Koordinatensystems gleich ist, so dass

zur Zeit t = 0 die Achsen xgj und 0xlj mit j := 1, 2, 3 parallel zueinander stehen.

Rotationsfreie Elementknotenverschiebungen: Bei der Aufstellung der kine-

matischen Beziehungen für die 3D CR-Kontinuumselemente wird die entschei-

dende Annahme getroffen, dass die Orientierungsänderung des CR-Systems die

am besten approximierte Starrkörperrotation t0R des gesamten Elements dar-

stellt. Aufgrund dessen können die sogenannten rotationsfreien Verschiebungentui eines Knotens i zur Zeit t wie folgt berechnet werden:

tui = txei − 0xei

= t0R

T(

txi − txC

)

−(

0xi − 0xC

)

.(7.1)

Dabei stellen txei = t0R

T(txi − txC) und 0xei = 0xi − 0xC die ak-

tuellen sowie die konstanten ursprünglichen Koordinaten des Knotens i im

CR-System dar. 0xC und txC bezeichnen die globalen Koordinaten des Ur-

sprungs in der Referenz- und der Momentankonfiguration. Weiterhin beschrei-

ben txi = [txi1,txi2,

txi3]T und 0xi = [0xi1,0xi2,

0xi3]T den globalen

Koordinatenvektor des Knotens i in der aktuellen und der ursprünglichen La-

ge. Auf die gleiche Art und Weise werden die rotationsfreien Verschiebungentui aller Knoten i mit i := 1, 2, 3, ..., k berechnet. Somit folgt der Vektor der

rotationsfreien Elementknotenverschiebungen:

tue =[

tuT1 ,

tuT2 ,

tuT3 , ...,

tuTk

]T, (7.2)

sowie der Vektor der globalen Elementknotenverschiebungen:

tue =[

tuT1 ,

tuT2 ,

tuT3 , ...,

tuTk

]T. (7.3)

Des Weiteren besitzt der Vektor der Elementknotenkoordinaten im CR-System

die folgende Form:

txe =[

txTe1,

txTe2,

txTe3, ...,

txTek

]T. (7.4)

90

Ursprung des CR-Koordinatensystems: Eine Möglichkeit zur Auswahl des

Ursprungs eines CR-Elementsystems wird in der Arbeit [23] von Felippa sowie

[112] von Mostafa ausführlich vorgestellt. Dabei lassen sich die rotationsfreien

Verschiebungen aller Knoten des Elements mit Hilfe der Methode des kleins-

ten Fehlerquadrates minimieren. Es ergibt sich daraus, dass der Ursprung C

mit dem geometrischen Elementschwerpunkt zusammenfällt. Somit folgen die

Beziehungen:

0xC =1

k

k∑

i=1

0xi,

txC =1

k

k∑

i=1

txi.

(7.5)

Dabei bezeichnet k die Knotenanzahl des Elements. Es ist auch zu erkennen,

dass der Vektor 0xC konstant ist.

Rotationsmatrix eines CR-Elements: In der EICR-Formulierung wird die

Starrkörperrotation eines Elements durch die Polardekompostion des Deforma-

tionsgradienten am Elementschwerpunkt bezüglich der ursprünglichen Konfi-

guration berechnet. Nach Beziehung (3.2) kann der Deformationsgradient am

Elementschwerpunkt wie folgt geschrieben werden:

t0FC =

∂ txC

∂ 0x=

txC1,1txC1,2

txC1,3

txC2,1txC2,2

txC2,3

txC3,1txC3,2

txC3,3

. (7.6)

Bei der isoparametrischen Formulierung (5.18) lässt sich der globale Koordina-

tenvektor des Elementschwerpunkts txC = [txC1,txC2,

txC3]T durch Ansatz-

funktionen und die globalen Knotenkoordinaten txi approximieren:

txC1 =k∑

i=1

Ni (ξC) txi1,

txC2 =k∑

i=1

Ni (ξC) txi2,

txC3 =k∑

i=1

Ni (ξC) txi3.

(7.7)

91

Dabei bezeichnet ξC den Vektor der natürlichen Koordinaten des Element-

schwerpunkts. In dieser Arbeit werden zur direkten Berechnung von Nichtli-

nearitäten in Mehrkörpersystemen CR-Tetraeder- und -Hexaederelemente mit

linearen und quadratischen Ansatzfunktionen formuliert. Es folgen für diese

Elemente:

• Tetraederelemente: ξC =[

14, 1

4, 1

4

]T,

• Hexaederelemente: ξC = [0, 0, 0]T.

Diese Koordinaten können in der Arbeit [16] von Bathe gefunden werden.

Unter Berücksichtigung der Produktregel lässt sich die Ableitung der l-ten

Komponente txCl des Vektors txC nach der j-ten Komponente des Vektors 0x

mit l, j := 1, 2, 3 bestimmen:

∂ txCl

∂ 0xj

=k∑

i=1

(

∂ Ni

∂ r

∂ r

∂ 0xj

+∂ Ni

∂ s

∂ s

∂ 0xj

+∂ Ni

∂ t

∂ t

∂ 0xj

) ∣∣∣∣∣ξC

txil . (7.8)

Dabei wird die Beziehung: txCl = txCl(r, s, t) berücksichtigt. Mit Hilfe der

Definition der Jacobimatrix in Beziehung (5.21) bzw. ihrer Inversion 0J−1C in

der Referenzkonfiguration lassen sich die Komponenten des Deformationsgra-

dienten t0FC wie folgt beschreiben:

(txC1

∂ 0x

)T

= 0BCtx1e,

(txC2

∂ 0x

)T

= 0BCtx2e,

(txC3

∂ 0x

)T

= 0BCtx3e,

(7.9)

mit der konstanten Matrix der Dimension 3 × k:

0BC =

0J−1C11 (N,r)

T + 0J−1C12 (N,s)

T + 0J−1C13 (N,t)

T

0J−1C21 (N,r)

T + 0J−1C22 (N,s)

T + 0J−1C23 (N,t)

T

0J−1C31 (N,r)

T + 0J−1C32 (N,s)

T + 0J−1C33 (N,t)

T

, (7.10)

sowie mit dem Vektor txje aus den j-ten Komponenten aller Knotenkoordina-

tenvektoren:txje =

[tx1j ,

tx21,tx3j , . . . ,

txkj

]T, (7.11)

92

für j := 1, 2, 3. Ferner nimmt z.B. der Vektor N,r die folgende Form an:

N,r =

[

∂ N1

∂ r,∂ N2

∂ r, . . . ,

∂ Nk

∂ r

]T

. (7.12)

Weiterhin kann die Transponierte des Deformationsgradienten t0FC in Bezie-

hung (7.6) wie folgt geschrieben werden:

t0F

TC = I3 + 0ZC

tVe. (7.13)

Dabei besitzt die konstante Matrix 0ZC die Form:

0ZC =[

η1, η2, . . . ,ηk

]

, (7.14)

mit den sogenannten alternativen Ansatzfunktionen am Elementschwerpunkt

für i := 1, 2, ..., k:

ηi = 0J−1C

[

∂ Ni

∂ r,∂ Ni

∂ s,∂ Ni

∂ t

]T

. (7.15)

Die Matrix tVe in Beziehung (7.13) beinhaltet alle globalen Knotenverschie-

bungsvektoren des Elements und wird wie folgt explizit angegeben:

tVTe =

[tu1,

tu2,tu3, . . . ,

t uk

]

. (7.16)

Somit kann der Deformationsgradient t0FC am Elementschwerpunkt vollstän-

dig berechnet werden. Des Weiteren lässt sich die approximierte Starrkörper-

rotation t0R durch die Polardekomposition (3.6) bestimmen:

t0FC = t

0Rt0UC. (7.17)

Numerische Verfahren dafür können Anhang C entnommen werden.

7.1.2 Nichtlineare EICR-Matrixbeziehungen

Im Anschluss wird die Berechnung der tangentialen Elementsteifigkeitsmatrix

sowie des internen Elementkraftsvektors beschrieben. Außerdem wird die Ele-

mentprojektionsmatrix in der EICR-Formulierung hergeleitet und diskutiert.

93

Die Aufstellung der FEM-Matrixbeziehungen der EICR-Formulierung ba-

siert auf der grundlegenden Idee, dass die Variation der internen Energie eines

finiten Elements invariant gegen Starrkörperrotationen ist [141]. Für ein finites

Element ergibt sich somit die Beziehung:

(

δ tue

)Tt0Fe,int =

(

δ tue

)Tt0Fe,int. (7.18)

Das Produkt auf der linken Seite der Beziehung (7.18) stellt die Variation der

internen Elementenergie nach der Separation der Starrkörperrotation t0R dar.

Dagegen repräsentiert das Produkt auf der rechten Seite dieser Beziehung die

Variation der Elementenergie aus den globalen Elementverschiebungen.

Berechnung der Elementprojektionsmatrix

Die Variation der rotationsfreien Verschiebungen tui eines Knotens i erfolgt

durch die Variation der beiden Seiten der Gleichung (7.1) unter Berücksichti-

gung der konstanten Vektoren 0xi und 0xC:

δ tui = δ t0R

T(

txi − txC

)

+ t0R

Tδ(

txi − txC

)

. (7.19)

Mit Hilfe der Beziehung (C.6) aus Anhang C und der orthogonalen Eigenschaft

der Rotationsmatrix t0R ergeben sich die folgenden Umformungen:

δ t0R

T(

txi − txC

)

=(

S(

δ tϑ)

t0R)T (

txi − txC

)

= − t0R

TS(

δ tϑ) (

txi − txC

)

= − t0R

TS(

δ tϑ)

t0R t

0RT(

txi − txC

)

,

(7.20)

wobei Beziehung ST(

δ tϑ)

= −S(

δ tϑ)

berücksichtigt wird. Der Spin des

Pseudovektors S(

δ tϑ)

aus der Rotationsmatrix t0R wird am Elementschwer-

punkt im globalen Koordinatensystem dargestellt. Er kann durch Koordina-

tentransformation in das CR-System transformiert werden:

S(

δ tϑe

)

= t0R

TS(

δ tϑ)

t0R . (7.21)

94

Ferner gelten die Beziehungen:

δ(

txi − txC

)

= δ tui,

t0R

T(

txi − txC

)

= txei.(7.22)

Anschließend wird die Beziehung (7.19) in Beziehung (7.20) unter Berücksich-

tigung der Beziehungen (7.21) und (7.22) eingesetzt:

δ tui = − S(

δ tϑe

)txei + t

0RTδ tui

= S(

txei

)

δ tϑe + t0R

Tδ tui

= S(

txei

) k∑

j=1

∂ tϑe

∂ tuj

δ tuj + t0R

Tδ tui

= S(

txei

) k∑

j=1

∂ tϑe

∂ tuj

∂ tuj

∂ tuj

δ tuj + t0R

Tδ tui ,

(7.23)

wobei Beziehung S (x) y = −S (y) x für zwei beliebige Vektoren x und y der

Dimension 3×1 betrachtet. Ferner beschreibt der Ausdruck∂ tuj

∂ tuj

die Änderung

des Verschiebungsvektors eines Knotens im CR-System mit diesem im globalen

System. Es gilt damit:∂ tuj

∂ tuj

= t0R

T. (7.24)

Somit kann Beziehung (7.23) in der folgenden Form geschrieben werden:

δ tui = S(

txei

)[

∂ tϑe

∂ tu1

t0R

T,∂ tϑe

∂ tu2

t0R

T, . . . ,

∂ tϑe

∂ tuk

t0R

T

]

δ tu1

δ tu2

...

δ tuk

+ t0R

Tδ tui

= S(

txei

)[

∂ tϑe

∂ tu1

,∂ tϑe

∂ tu2

, . . . ,∂ tϑe

∂ tuk

]

Dk

(t0R

T)

δ tu1

δ tu2

...

δ tuk

+ t0R

Tδ tui.

(7.25)

Dabei bezeichnet Dk

(t0R

T)

eine diagonale Matrix der Dimension 3k × 3k mit

95

den Submatrizen t0R

Tauf der Diagonalen:

Dk

(t0R

T)

=

t0R

T0 . . . 0

0 t0R

T. . . 0

......

. . . 0

0 0 . . . t0R

T

. (7.26)

Es ist anhand der letzten Gleichung der Beziehung (7.25) zu bemerken, dass

die Variation des Verschiebungsvektors δ tui des einzelnen Knotens i die Koor-

dinaten dieses Knotens im CR-Elementsystem sowie die Änderung des Pseu-

dovektors tϑe mit den rotationsfreien Verschiebungen aller Knoten beinhal-

tet. Hiermit wird der Einfluss der Konfigurationsänderung bezüglich des CR-

Elementsystems berücksichtigt.

Auf die gleiche Art und Weise kann die Beziehung (7.25) für alle Knoten

angewendet werden. Somit ergibt sich die Variation des rotationsfreien Ele-

mentknotenvektors:

δ tue =(

Dk (I3) − tΦ tΞT)

Dk

(t0R

T)

δ tue . (7.27)

Dabei stellt der Ausdruck in der Klammer die sogenannte Elementprojektions-

matrix bezüglich des CR-Koordinatensystems dar:

tP := Dk (I3) − tΦ tΞT, (7.28)

deren Eigenschaften in Abschnitt 7.1.3 ausführlich diskutiert werden. Hierbei

werden die folgenden Matrizen definiert:

tΦT =[

S (txe1) , S (txe2) , . . . , S (txek)]

,

tΞT =

[

∂ tϑe

∂ tu1

,∂ tϑe

∂ tu2

, . . . ,∂ tϑe

∂ tuk

]

.(7.29)

Der Ausdruck Dk (I3) bezeichnet eine diagonale 3k × 3k Matrix mit den Ein-

heitsmatrizen I3 auf der Diagonalen (siehe Beziehung (7.26)).

Aus den Beziehungen (7.20) und (7.21) folgt einerseits der Spin des variier-

96

ten Pseudovektors im globalen und im co-rotationalen System:

S(

δ tϑ)

= δ t0R

t0R

T,

S(

δ tϑe

)

= t0R

Tδ t

0R.(7.30)

Andererseits wird die orthogonale Bedingung (3.7) variiert:

δ t0R

t0R

T+ t

0RTδ t

0R = 0. (7.31)

Damit gilt die Beziehung:

δ tϑ = − δ tϑe. (7.32)

Diese deutet an, dass die infinitesimal kleine Änderung des Pseudovektor aus

der Starrkörperrotation des finiten Elements bezüglich des globalen Koordina-

tensystems immer in die Gegenrichtung der infinitesimal kleinen Änderung die-

ses Vektors bezüglich des CR-Koordinatensystems zeigt. Dies veranschaulicht

die Koordinatentransformation zwischen dem globalen und dem co-rotationalen

Koordinatensystem bzw. die reine Drehung des CR-Elementsystems in der ur-

sprünglichen und in der co-rotierten Konfiguration. Wird die Beziehung (C.8)

aus Anhang C für den Elementschwerpunkt unter Berücksichtigung der Bezie-

hung (7.32) angewendet, ergibt sich:

(

I3 tr(

t0UC

)

− t0UC

)

δ tϑe = 2A(

δ t0UC

)

. (7.33)

Des Weiteren kann der Axial-Vektor 2A (δ t0UC), der in Beziehung (3.43) an-

gegeben ist, mit Hilfe der alternativen Ansatzfunktionen ηj für j = 1, 2, 3, ..., k

dargestellt werden:

2A(

δ t0UC

)

= 2A(

δ t0FC

)

= A

k∑

j=1

δ tujηTj − ηjδ

tuTj

= A

( k∑

j=1

S(

ηj × δ tuj

))

=k∑

j=1

S (ηj) δ tuj ,

(7.34)

97

wobei die folgenden Beziehungen für zwei beliebige Vektoren x und y der Di-

mension 3 × 1 verwendet werden:

S (x × y) = yxT − xyT,

A

(

S (x × y))

= S (x) y .

Durch das Einsetzen der letzten Gleichung der Beziehung (7.34) in Beziehung

(7.33) folgt die Variation des Pseudovektors tϑe mit den rotationsfreien Ver-

schiebungen tuj des Knotens j:

δ tϑe

∂ tuj

=(

I3 tr(

t0UC

)

− t0UC

)−1

S (ηj) . (7.35)

Somit folgt die Berechnung der Matrix tΞT aus Beziehung (7.29):

tΞT =(

I3 tr(

t0UC

)

− t0UC

)−10Bη, (7.36)

mit der Matrix 0Bη der Dimension 3 × 3k:

0Bη =[

S (η1) , S (η2) , . . . ,S (ηk)]

. (7.37)

Schlussendlich kann die Projektionsmatrix tP bezüglich des CR-Elementsystems

in Beziehung (7.28) bei einen bekannten Knotenkoordinaten in der deformier-

ten Konfiguration t vollständig bestimmt werden.

Interner Elementkraftvektor in der EICR-Form

Der Ausdruck t0Fe,int in Beziehung (7.18) bezeichnet den internen Element-

kraftvektor, der durch die rotationsfreien Knotenverschiebungen tue berechnet

wird. Aus dem Grund, dass bei reinen Starrkörperrotationen die Komponenten

des Verzerrungs- sowie des Spannungsvektors im CR-System konstant bleiben,

lässt sich t0Fe,int wie folgt näherungsweise berechnen:

t0Fe,int =

∫

0Ve

0BTL

tσ d0Ve. (7.38)

Dabei ist 0BL die konstante, lineare Verschiebungs-Dehnungsmatrix in der ur-

98

sprünglichen Konfiguration (siehe Beziehung (5.11)). Des Weiteren bezeichnettσ den CAUCHYschen Spannungsvektor im CR-Elementsystem, der im Allge-

meinen eine nichtlineare Funktion von den Verzerrungen tε in diesem System

darstellt:tσ = t

σ

(tε)

. (7.39)

Aus Beziehung (7.38) lässt sich der globale Elementkraftvektor berechnen:

t0Fe,int =

(δ tue)T

(δ tue)T

∫

0Ve

0BTL

tσ d0Ve. (7.40)

Wird Beziehung (7.27) berücksichtigt, folgt der Elementkraftvektor unter Be-

rücksichtigung der Elementprojektionsmatrix tP in der Form:

t0Fe,int = Dk

(t0R)

tPT∫

0Ve

0BTL

tσ d0Ve. (7.41)

Dabei stellt der Ausdruck:

tFC,int = tPT∫

0Ve

0BTL

tσ d0Ve, (7.42)

den korrigierten internen Elementkraftvektor im CR-Elementsystem dar. Es

ist in Beziehung (7.41) zu erkennen, dass die diagonale Matrix Dk

(t0R)

, wie

in Beziehung (7.26) dargestellt, unter Berücksichtigung der Elementprojekti-

onsmatrix rein geometrische Nichtlinearitäten beschreibt. Nichtlineare Materi-

alverhalten werden hierbei durch Materialgesetze tσ (tε) beschrieben.

Tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix in der EICR-Form

Zum Erreichen des quadratischen Konvergenzverhaltens bei der NEWTON-

RAPHSONschen Methode wird die tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix durch

die konsistente Variation der globalen internen Elementkräfte (7.41) berechnet:

99

t0Ke,T = Dk

(

δ t0R)

tPT∫

0Ve

0BTL

tσ d0Ve

+ Dk

(t0R) (

δ tP)T

∫

0Ve

0BTL

tσ d0Ve

+ Dk

(t0R)

tPT∫

0Ve

0BTL

(

δ tσ

)

d0Ve,

(7.43)

wobei die Produktregel berücksichtigt wird. Im Weiteren werden die einzelnen

Terme der Gleichung (7.43) ausführlich diskutiert.

Erster Term: Mit Hilfe der Variation des Pseudovektors in Beziehung (7.30)

und der Matrix tΞ in Beziehung (7.29) sowie der Beziehung (7.24) lässt sich

der erste Term der Gleichung (7.43) konsistent umformen:

Dk

(

δ t0R)

tPT∫

0Ve

0BTL

tσ d0Ve = Dk

(t0R)

Dk

(

S(

δ tϑe

) )

tFC,int

= − Dk

(t0R)

tΠ δ tϑe

= − Dk

(t0R)

tΠ∂ tϑe

∂ tue

∂ tue

∂ tue

δ tue

= − Dk

(t0R)(

tΠ tΞT)

Dk

(t0R

T)

δ tue .

(7.44)

Dabei beinhaltet die Matrix tΠ die korrigierten internen Kräfte aller Knoten:

tΠ =[

ST(

tFC,1

)

, ST(

tFC,2

)

, . . . , ST(

tFC,k

)]T. (7.45)

Ferner bezeichnet S(

tFC,i

)

mit i := 1, 2, ..., k die Spinmatrix aus dem Kraft-

vektor tFC,i des Knotens i (siehe Beziehung (3.40)).

Zweiter Term: Zur Umformung des zweiten Terms auf der rechten Seite

der Beziehung (7.43) wird die Variation der Projektionsmatrix tP benötigt.

Werden die beiden Seiten der Beziehung (7.28) variiert, ergibt sich Beziehung:

δ tP = − δ tΦ tΞT − tΦ δ tΞT. (7.46)

Die Variation der Matrix tΞT wird mit ihrer Definition in Beziehung (7.36)

100

wie folgt ausgeführt:

δ tΞT = δ tH−1C

0Bη

= − tH−1C δ tHC

tH−1C

0Bη

= − tH−1C δ tHC

tΞT

= − tH−1C

0Bη δtΦ tΞT

= − tΞT δ tΦ tΞT.

(7.47)

Dabei wird die Abkürzung:

tHC = I3 tr(

t0UC

)

− t0UC, (7.48)

eingeführt. Ferner werden neben Beziehung (7.36) die folgenden Beziehungen

betrachtet (siehe [141]):

δ tHC = 0Bη δtΦ,

δ tH−1C = − tH−1

C δ tHCtH−1

C .(7.49)

Wird die letzte Gleichung der Beziehung (7.47) in Beziehung (7.46) einge-

setzt, folgt die Variation der Elementprojektionsmatrix tP:

δ tP = −(

Dk (I3) − tΦ tΞT)

δ tΦ tΞT

= − tP δ tΦ tΞT.(7.50)

Mit der Variation der Projektionsmatrix (7.50) lässt sich der zweite Term

der Beziehung (7.43) unter Berücksichtigung der Beziehung (7.38) wie folgt

umformen:

Dk

(t0R) (

δ tP)T

∫

0Ve

0BTL

tσ d0Ve = Dk

(t0R) (

δ tP)T

t0Fe,int

= −Dk

(t0R) (

tΞ δ tΦT tPT)

t0Fe,int

= −Dk

(t0R)

tΞ δ tΦT tFC,int.

(7.51)

Dabei wird die Definition der korrigierten Elementkräfte (7.42) betrachtet. Der

Ausdruck δ tΦT tFC,int auf der rechten Seite der dritten Gleichung in Beziehung

101

(7.51) kann mit der Beziehung (7.29) neu geschrieben werden:

δ tΦT tFC,int =k∑

i=1

S(

δ txei

)tFC,i

= −k∑

i=1

S(

tFC,i

)

δ tui = tΠT tP Dk

(t0R

T)

δ tue.

(7.52)

Dabei wurde die Beziehung δ txei = δ tui und Beziehung (7.27) berücksichtigt.

Dadurch, dass die Gleichung (7.52) in Gleichung (7.51) eingesetzt wird, folgt:

Dk

(t0R) (

δ tP)T

∫

0Ve

0BTL

tσ d0Ve = −Dk

(t0R)(

tΞ tΠT tP)

Dk

(t0R

T)

δ tue.

(7.53)

Dritter Term: Der dritte Term auf der rechten Seite der Beziehung (7.43)

lässt sich mit der konsistenten Materialtangente aus Kapitel 4 neu schreiben:

Dk

(t0R)

tPT∫

0Ve

0BTL

(

δ tσ

)

d0Ve = Dk

(t0R)

tPT∫

0Ve

0BTL

tCT δ tε d0Ve.

(7.54)

Ferner folgt die Variation der Verzerrungen δ tε im CR-System unter Berück-

sichtigung der Variation der rotationsfreien Knotenverschiebungen (7.27):

δ tε =∂ tε

∂ tue

∂ tue

∂ tue

δ tue

= 0BLtP Dk

(t0R

T)

δ tue.

(7.55)

Wird die Beziehung (7.55) in Beziehung (7.54) eingesetzt, ergibt sich:

Dk

(t0R)

tPT∫

0Ve

0BTL

(

δ tσ

)

d0Ve = Dk

(t0R)(

tPT tKMtP)

Dk

(t0R

T)

δ tue.

(7.56)

Der Ausdruck in der Klammer auf der rechten Seite der Beziehung (7.56):

tKM,T = tPT tKMtP, (7.57)

stellt die korrigierte materielle Elementsteifigkeitsmatrix im CR-System dar.

Ferner bezeichnet tKM die approximierten materiellen Elementsteifigkeiten im

102

CR-Koordinatensystem:

tKM =∫

0Ve

0BTL

tCT0BL d0Ve . (7.58)

Dabei sind nichtlineare Spannungs-Dehnungsbeziehungen berücksichtigt.

Letztendlich werden die Zwischenergebnisse (7.56), (7.44) sowie (7.53) in

die Gleichung (7.43) eingesetzt. Somit wird die globale tangentiale Element-

steifigkeitsmatrix in der EICR-Form wie folgt berechnet:

t0Ke,T = Dk

(t0R)(

tKM,T − tΠ tΞT − tΞ tΠT tP)

Dk

(t0R

T)

. (7.59)

Zur Veranschaulichung werden im Weiteren die einzelnen Terme in der

Klammer der Beziehung (7.59) ausführlich diskutiert [23]:

• Der Term tKM,T: Dieser Ausdruck bezeichnet die korrigierte materiel-

le Elementsteifigkeitsmatrix, wie bereits erwähnt. Er stellt das Produkt

von der Elementprojektionsmatrix und der Elementsteifigkeitsmatrix le-

diglich aus Materialverhalten dar. Dabei sind Effekte aus der Änderung

der Konfiguration mit der Verformung im CR-System berücksichtigt.

• Der Term(

− tΠ tΞT)

: Diese Matrix folgt vor allem aus der Ände-

rung der Starrkörperrotation mit der Deformation des Elements. Sie

stellt einen Korrekturanteil für die tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix

im CR-Elementsystem dar. Außerdem beinhalten tΠ und tΞT die korri-

gierten internen Elementkräfte und die Änderung der Rotation mit den

rotationsfreien Elementverschiebungen. Somit beschreibt der Ausdruck(

− tΠ tΞT)

physikalisch die Steifigkeitsmatrix infolge der Rotation der

Spannungszustände des Elements mit der Starrkörperrotation.

• Der Term(

− tΞ tΠT tP)

: Dieser Ausdruck ergibt sich aus der Ände-

rung der Elementprojektionsmatrix tP mit den Elementknotenverschie-

bungen im CR-System. Er stellt ebenfalls einen Korrekturanteil für die

tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix in der deformierten Lage dar. Eine

detaillierte Diskussion darüber kann in Abschnitt 7.1.3 gefunden werden.

103

Symmetrisierung: Es ist zu erkennen, dass die korrigierte materielle Stei-

figkeitsmatrix tKM symmetrisch ist. Im Gegensatz dazu sind die Matrizen(

− tΠ tΞT)

und(

− tΞ tΠT tP)

nicht symmetrisch.

In den Arbeiten [160] und [84] von Simo und Vu-Quoc wurde festgestellt,

dass der nichtsymmetrische Anteil der globalen tangentialen Steifigkeiten t0Ke,T

für eine Gleichgewichtslage des Systems vernachlässigt werden kann. Auf dieser

Basis kann lediglich der symmetrische Anteil von t0Ke,T verwendet werden, ohne

die Bedingung für das quadratische Konvergenzverhalten bei der NEWTON-

RAPHSONschen Methode zu verletzen. Durch die Symmetrisierung der globa-

len tangentialen Elementsteifigkeitsmatrix ergibt sich:

t0KSym,T = Dk

(t0R)(

tKM,T + t0KG,T

)

Dk

(t0R

T)

, (7.60)

mit der geometrischen, tangentialen Elementsteifigkeitsmatrix im CR-System:

t0KG,T = − t

ΞtΠ

T − tPT tΠ

tΞ

T. (7.61)

Es ist hier zu bemerken, dass die Steifigkeitsmatrix t0KG,T lediglich durch Ma-

trixmultiplikationen effizient berechnet wird. Dabei wird diese Steifigkeitsma-

trix unter anderem direkt durch die Matrix Π aus dem Spin aller internen

Knotenkraftvektoren aufgestellt, die bereits durch numerische Integrationen

im vorherigen Berechnungsschritt berechnet sind. Weiterhin lassen sich aus

der Polarzerlegung des Deformationsgradienten die Matrix tΞT und die Ele-

mentprojektionsmatrix tP unter Berücksichtigung der konstanten alternativen

Ansatzfunktionen am Elementschwerpunkt direkt bestimmen (siehe Tabelle

G.4).

7.1.3 Eigenschaften der Elementprojektionsmatrix

In der EICR-Formulierung spielt die Elementprojektionsmatrix eine wichtige

Rolle, welche folglich diskutiert wird.

Biorthogonalität: Die Elementprojektionsmatrix besitzt die biorthogonale

Eigenschaft:tP2 = tP. (7.62)

104

Diese Beziehung kann mathematisch bewiesen werden. Zunächst ergibt sich

mit Hilfe der Beziehungen (7.29) und (7.36):

tΞT tΦ = tH−1C

0BηtΦ

= tH−1C

k∑

i=1

−S (ηi) S(

txei

)

.(7.63)

Da die folgende Gleichung für zwei beliebige 3 × 1 Vektoren v1 und v2 gilt:

S (v1) S (v2) = v2 vT1 − I3 (v1 · v2) , (7.64)

kann die Beziehung (7.63) weiter umgeformt werden:

tΞT tΦ = tH−1C

( k∑

i=1

I3

(

ηi · txei

)

− txei ηTi

)

= tH−1C

tHC

= I3.

(7.65)

Letztendlich folgt die Matrixmultiplikation von tP mit sich selbst unter Be-

rücksichtigung des Zwischenergebnisses (7.65):

tP2 =(

Dk (I3) − tΦ tΞT)2

= Dk (I3) − 2 tΦ tΞT + tΦ(

tΞT tΦ)

tΞT

= Dk (I3) − 2 tΦ tΞT + tΦ tΞT

= Dk (I3) − tΦ tΞT

= tP.

(7.66)

Damit ist die biorthogonale Eigenschaft von tP validiert.

Anhand der biorthogonalen Bedingung (7.62) und der Definition (7.28) sind

die folgenden wichtigen Aufgaben der Elementprojektionsmatrix tP in der

EICR-Formulierung abzuleiten [23].

Trennung der rotationsfreien Verschiebungen: Die rotationsfreien Element-

knotenverschiebungen tue können mit Hilfe der Elementprojektionsmatrix von

der globalen Bewegung tue getrennt werden. Aus der Beziehung (7.27) folgt

105

die Variation des Vektors tue:

δ tue = tP Dk

(t0R

T)

δ tue. (7.67)

Es ist hier zu erkennen, dass tP im Allgemeinen auf die infinitesimal kleine

Änderung von tue angewendet wird. Für den Fall eines linear-elastischen Mate-

rialverhaltens und ausreichend kleiner Verformungen relativ zum CR-System

ist die Anwendung der Projektionsmatrix tP direkt auf die gesamten Verschie-

bungen des Elements tue möglich:

tue = tP Dk

(t0R

T)

tue. (7.68)

Eine Anwendung der Beziehung (7.68) zur Optimierung von deformierbaren

Strukturen mit großen elastischen Deformationen kann in der Arbeit [97] von

Khosravi gefunden werden.

Sicherstellung der Gleichgewichtsbedingung: Nach Rankin [140] und Felippa

[23] bedeutet die Gleichgewichtsbedingung in einer CR-Formulierung, dass bei

der Berechnung des internen Elementkraftvektors in der deformierten Konfi-

guration keine zusätzlichen Momente oder Kräfte unter Anwendung einer aus

dieser Formulierung ergebenden Projektionsmatrix existieren. Bei Vernachläs-

sigung der Elementprojektionsmatrix ergibt sich aus Beziehung (7.41):

t0Fe,int = Dk

(t0R)

t0Fe,int. (7.69)

Dabei beschreibt der Ausdruck t0Fe,int =

∫

0Ve

0BTL

tσ d0Ve den internen Ele-

mentkraftvektor in der Referenzkonfiguration unter Berücksichtigung von rein

linearen oder nichtlinearen Materialverhalten. Hierbei ist die Kräftegleichge-

wichtsbedingung erfüllt. Des Weiteren stellt Dk

(t0R)

in Beziehung (7.69) nichts

anderes als eine Koordinatentransformation aus der Starrkörperrotation t0R

dar. In diesem Fall hat die globale tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix die

Form:t0Ke,T = Dk

(t0R)

tKM,T Dk

(t0R

T)

, (7.70)

wobei tKM,T die materielle, tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix bezüglich der

106

Referenzkonfiguration darstellt (siehe Abschnitt 5.1).

Einerseits wird tP auf t0Fe,int unter Berücksichtigung der Beziehungen (7.28)

und (7.29) angewendet. Es ergibt sich dabei:

tPT t0Fe,int = t

0Fe,int − tΞ tΦT t0Fe,int

= t0Fe,int − tΞ

k∑

i=1

S(

txei

)t0Fe,i

= t0Fe,int − tΞ

k∑

i=1

(

txei × t0Fe,i

)

.

(7.71)

Dabei stellt die Summe∑k

i=1

(

txei × t0Fe,i

)

das resultierende Moment al-

ler internen Knotenkräfte bezüglich des Elementschwerpunktes dar. Somit be-

schreibt der Ausdruck tΞ∑k

i=1

(

txei × t0Fe,i

)

den sogenannten unbalancierten

internen Elementkraftvektor in der deformierten Konfiguration. Daher ist der

interne Kraftvektor t0Fe,int nicht im Gleichgewicht.

Andererseits folgt bei der Anwendung von tPT auf die korrigierten Element-

kräfte im CR-System tFC,int mit der Biorthogonalität (7.62):

tPT tFC,int =(

tPT tPT)

t0Fe,int

= tPT t0Fe,int

= tFC,int.

(7.72)

Es kann hiermit festgestellt werden, dass der korrigierte ElementkraftvektortFC,int des Elements in der Momentankonfiguration im Gleichgewicht ist. Auf-

grund dessen können 3D CR-Kontinuumselemente mit Ansatzfunktionen hö-

herer Ordnung auch für große Dehnungsprobleme effizient formuliert werden.

Numerische Beispiele dafür werden später in Kapitel 10 ausführlich vorgestellt.

Berechnung der tangentialen Elementsteifigkeitsmatrix: Mit der Element-

projektionsmatrix tP kann die Änderung der Elementsteifigkeiten mit den Ele-

mentverformungen in der deformierten Lage berücksichtigt werden (siehe Be-

ziehung (7.57)). Weiterhin wird tP auch verwendet, um die geometrische tan-

gentiale Steifigkeitsmatrix zu berechnen (siehe Beziehung (7.61)). Damit kann

das quadratische Konvergenzverhalten der nichtlinearen Berechnungen mit der

NEWTON-RAPHSONschen Methode sichergestellt werden.

107

In der Arbeit [31] von Crisfield wurde erwähnt, dass in der CR-FEM die

Anwendung der Elementprojektionsmatrix zur Berechnung von nichtlinearen

Materialverhalten erforderlich ist.

Anwendung auf Elemente mit Rotationsfreiheitsgraden: Wie bei den Kon-

tinuumselementen kann die Elementprojektionsmatrix auf finite Elemente mit

Rotationsfreiheitsgraden, wie z.B. Balken- und Schalenelemente, angewendet

werden. Detaillierte Beschreibungen dafür können in der Arbeit [23] von Felip-

pa und [12] von Rankin gefunden werden, worauf an dieser Stelle jedoch nicht

weiter eingegangen wird.

7.2 Co-rotationale FEM mit Hilfe einer konsisten-

ten Linearisierung

Neben der EICR-Formulierung bietet die co-rotationale FE-Formulierung mit

einer konsistenten Linearisierung (CLCR) ebenfalls gute Möglichkeiten zur Be-

rechnung nichtlinearer Verformungen flexibler Strukturen.

7.2.1 CLCR-Kinematik und Berechnung gemittelter Starrköper-

rotationen

Wie bei der EICR-Formulierungen werden die rotationsfreien Elementknoten-

verschiebungen bestimmt, bevor die internen Elementkräfte und die tangentia-

le Elementsteifigkeitsmatrix aufgestellt werden.

Rotationsfreie Knotenverschiebungen: Ebenfalls lässt sich der rotationsfreie

Verschiebungsvektor eines Knotens i zur Zeit t wie folgt berechnen:

tui = t0R

T(

txi − tx0

)

−(

0xi − 0x0

)

. (7.73)

Dabei bezeichnen 0x0 und tx0 den globalen Koordinatenvektor des Ursprungs

0 des CR-Koordinatensystems in der ursprünglichen und der aktuellen Lage.

Im Gegensatz zu der EICR-Formulierung, dass der Ursprung des CR-Systems

und der Schwerpunkt des Elements zusammenfallen, wird hierbei ein beliebiger

108

Knoten des Element als der Ursprung des CR-Koordinatensystems ausgewählt.

Weiterhin stellen 0xi und txi den globalen Koordinatenvektor des Knotens i des

Elements in der ursprünglichen und der aktuellen Konfiguration dar.

Die Matrix t0R beschreibt hier die gemittelte Starrkörperrotation eines Ele-

ments in der Momentankonfiguration. Dafür soll ein Verfahren zur Berechnung

der Rotationsmatrix t0R entwickelt werden, was folglich beschrieben wird.

Gemittelte Rotationsmatrix: Wie in Abschnitt 3.1 erwähnt, beschreibt der

Deformationsgradient die Transformation von Linienelementen in einem Kon-

tinuumspunkt. Er ist über das gesamte Volumen eines Kontinuummselements

mit Ansatzfunktionen höherer Ordnung nicht konstant. In der konsistent linea-

risiert co-rotationalen Formulierung dieser Arbeit wird zunächst der gemittelte

Deformationsgradient t0F für das gesamte 3D Kontinuumselement abgeleitet:

t0F =

∫

0Ve

t0F d 0Ve

∫

0Ve

d 0Ve

. (7.74)

Dabei kann der Deformationsgradient t0F mit Hilfe der GAUSSschen Integra-

tion berechnet werden. Unter Berücksichtigung der Beziehung (7.13) folgen:

∫

0Ve

t0F d 0Ve =

g1∑

i=1

g2∑

j=1

g3∑

k=1

wiwjwk

(

I3 + 0ZijktVe

)Tdet

(0J)

ijk,

∫

0Ve

d 0Ve =g1∑

i=1

g2∑

j=1

g3∑

k=1

wiwjwk det(

0J)

ijk.

(7.75)

Dabei besitzt die Matrix 0Zijk die gleiche Form wie die Matrix 0ZC in Bezie-

hung (7.14). Sie wird in den Integrationspunkten mit den natürlichen Koordi-

naten ri, sj und tk berechnet. Der Ausdruck (0J)ijk beschreibt die Jakobima-

trix, die ebenfalls in den Integrationspunkten bestimmt wird (siehe Abschnitt

5.2). Es kann hier bemerkt werden, dass ausschließlich der Matrix der globa-

len Elementknotenverschiebungen tVe in Beziehung (7.16) alle Größen in der

Beziehung (7.75) konstant sind.

Anschließend wird die gemittelte Rotationsmatrix t0R des finiten Elements

109

durch die Polardekomposition des Deformationsgradienten t0F erhalten:

t0F = t

0Rt0U , (7.76)

wobei t0R und t

0U ebenfalls über das gesamte Element konstant sind.

7.2.2 Nichtlineare CLCR-Matrixgleichungen

Der interne Elementkraftvektor und die tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix

in der CLCR-Formulierung werden, wie im Fall der EICR-Formulierung, sys-

tematisch aufgestellt. Dabei wird ein Linearisierungsverfahren verwendet.

Interner Elementkraftvektor in der CLCR-Form: Der interne Elementkraft-

vektor eines 3D Kontinuumselements in der CLCR-Formulierung kann ausge-

hend von Beziehung (6.14) formuliert werden. Zur Übersichtlichkeit wird an

dieser Stelle diese Beziehung noch einmal dargestellt:

t0Fe,int =

∫

0Ve

t0B

TG

t0S d0Ve. (7.77)

Dabei bezeichnet t0S den 2PK-Spannungsvektor bezüglich der Referenzkonfi-

guration. In tensorieller Darstellung lässt sich der 2PK-Spannungstensor mit

Hilfe des Deformationsgradienten t0F und der CAUCHYschen Spannungen tΣ

bezüglich der aktuellen Konfiguration wie folgt schreiben:

t0S = det

(t0F)

t0F tΣ t

0FT. (7.78)

Des Weiteren wird die entscheidende Annahme getroffen, dass die aus dem

gemittelten Deformationsgradienten (7.74) berechnete Rotationsmatrix t0R die

am besten approximierte Starrkörperrotation für das gesamte Element in der

Momentankonfiguration darstellt. Somit bleibt der Verformungsanteil des Ele-

ments ausreichend klein. Es gelten für alle Kontinuumspunkte eines Elements:

t0F ≈ t

0R,

det(

t0F)

≈ I3.(7.79)

Mit Hilfe der Gleichungen in Beziehung (7.79) lässt sich t0S in Beziehung

110

(7.78) approximieren:t0S ≈ t

0R tΣ t0R

T

= tΣ.(7.80)

Die Beziehung (7.80) bedeutet, dass unter der Annahme der Approximationen

in Beziehung (7.79) die Komponenten des 2PK-Spannungstensors im globalen

Koordinatensystem gleich den Komponenten des CAUCHYschen Spannungs-

tensors bezüglich des CR-Koordinatensystems sind.

Im Weiteren wird die nichtlineare Verschiebungs-Dehnungsmatrix t0BG in

Beziehung (7.77) vereinfacht. Mit den Beziehungen (7.79) sowie (6.12) wird die

Submatrix t0BGi für die Knoten i mit i := 1, 2, 3...k näherungsweise berechnet:

t0BGi =

t0R11Ni,1

t0R21Ni,1

t0R31Ni,1

t0R12Ni,2

t0R22Ni,2

t0R32Ni,2

t0R13Ni,3

t0R23Ni,3

t0R33Ni,3

t0R12Ni,3 + t

0R13Ni,2t0R22Ni,3 + t

0R23Ni,2t0R32Ni,3 + t

0R33Ni,2

t0R13Ni,1 + t

0R11Ni,3t0R23Ni,1 + t

0R21Ni,3t0R33Ni,1 + t

0R31Ni,3

t0R11Ni,2 + t

0R12Ni,1t0R21Ni,2 + t

0R22Ni,1t0R31Ni,2 + t

0R32Ni,1

,

(7.81)

wobei die Ableitungen der Ansatzfunktionen Ni,j in der ursprünglichen Konfi-

guration berechnet werden und damit konstant sind. Ferner muss die Rotations-

matrix t0R jedes Elements nur einmal in jedem Berechnungsschritt berechnet

werden. Zur Linearisierung der Variation des GREEN-LAGRANGEschen Ver-

zerrungstensors t0E

G wird die Beziehung (7.79) in Beziehung (6.9) eingesetzt:

δ t0E

G =1

2

(t0R

Tδ t

0H + δ t0HT t

0R)

. (7.82)

Unter Berücksichtigung des insoparametrischen Verschiebungsansatzes (6.8)

folgt für die Variation des GREEN-LAGRANGEschen Verzerrungstensors:

δ t0E

G = t0BG δ tue. (7.83)

Aus dem Grund, dass der GREEN-LAGRANGEsche Verzerrungstensor inva-

riant gegenüber Starrkörperrotationen ist, ändern sich seine Komponenten im

111

CR-Elementsystem nicht. Aus Beziehung (3.12) folgt:

t0E

G =1

2

(t0H + t

0HT + t0H

T t0H)

=1

2

(t0H + t

0HT

+ t0H

T t0H)

.(7.84)

Dabei bezeichnet t0H den Verschiebungsgradienten im CR-System zur Zeit t.

Aufgrund der Annahme, dass der Verformungsanteil des Elements infolge der

Approximation der Starrkörperrotation t0R in Beziehung (7.76) ausreichend

klein bleibt, kann der quadratische Anteil des Tensors t0EG in Beziehung (7.84)

vernachlässigt werden:t0H

T t0H ≈ 0. (7.85)

Somit wird t0E

G wie folgt linearisiert:

t0E

G ≈ 1

2

(t0H + t

0HT)

= tE.(7.86)

Die Beziehung (7.86) bedeutet, dass unter der Annahme von Beziehung (7.79)

die Komponenten des GREEN-LAGRANGEschen Verzerrungstensors im glo-

balen Koordinatensystem gleich den Komponenten des linearen Verzerrungs-

tensors im CR-Elementkoordinatensystem sind. Wird die Beziehung (7.86) in

Beziehung (7.83) eingesetzt, folgt die Variation der linearen Verzerrungen in

VOIGTscher Darstellung:

δ tε = t0BG δ tue. (7.87)

Schlussendlich wird der interne Elementkraftvektor in der CLCR-Formulierung

vollständig berechnet:

t0Fe,int =

∫

0Ve

t0B

T

Gtσ d 0Ve. (7.88)

Es ist dabei zu erkennen, dass für den Fall eines linear-elastischen Materials

Beziehung (7.88) rein geometrisch-nichtlineare Probleme beschreibt. Im Fall,

dass nichtlineare Spannungs-Dehnungsbeziehungen für die flexiblen Bauteile

zu berücksichtigen sind, lassen sich damit geometrische und materielle Nicht-

112

linearitäten berechnen. Jedoch wird hierbei der Einfluss der Konfigurationsän-

derung im CR-Koordinatensystem vernachlässigt.

Die Berechnung von t0Fe,int kann mit der GAUSSschen Integrationsmethode

erfolgen. Dabei liegt der Hauptrechenaufwand in der Berechnung des CAUCHY-

schen Spannungsvektors tσ (tε) in den Integrationspunkten, beispielsweise im

Fall nichtlinearer Materialgesetze. Hier stellt tε den linearen Verzerrungsvektor

im CR-Elementsystem dar.

Tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix in der CLCR-Form: Die konsisten-

te tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix in der CLCR-Formulierung setzt sich

aus der materiellen und der geometrischen tangentialen Elementsteifigkeitsma-

trix zusammmen. Bei der Variation des internen Elementkraftvektors t0Fe,int in

Beziehung (7.88) mit den globalen Elementverschiebungen tue unter Anwen-

dung der Produktregel folgt:

δ t0Fe,int =

∫

0Ve

(

δ t0BG

)Ttσ d0Ve +

∫

0Ve

t0B

T

G

(

δ tσ)

d0Ve

=∫

0Ve

(

δ t0BG

)Ttσ d0Ve +

∫

0Ve

t0B

T

GtCT δ tε d0Ve .

(7.89)

Wird die Beziehung (7.87) in die Gleichung (7.89) unter Berücksichtigung der

Beziehung (6.20) aus der ANC-Formulierung eingesetzt, folgt die globale tan-

gentiale Elementsteifigkeitsmatrix:

t0Ke,T = t

0KM,T + t0KG,T . (7.90)

Dabei bezeichnet t0KM,T die materielle tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix

im globalen Koordinatensystem:

t0KM,T =

∫

0Ve

t0B

T

GtCT

t0BG d0Ve , (7.91)

wobei die Matrix t0BG in der Beziehung (7.81) dargestellt ist. Anschließend

wird die konsistente Materialtangente tCT bezüglich des CR-Elementsystems

aufgestellt. t0KG,T stellt die geometrische tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix

113

im globalen Koordinatensystem dar, die folglich geschrieben wird:

t0KG,T =

∫

0Ve

t0B

TS D

(tσ)

t0BS d0Ve . (7.92)

Dabei werden die bekannten Spannungszustände der finiten Elemente aus dem

vorigen Berechnungsschritt berücksichtigt. Die Matrizen t0BS und D (tσ) sind in

den Beziehungen (6.22) und (6.21) in Kapitel 6 dargestellt. Die Steifigkeitsma-

trizen (7.91) und (7.92) lassen sich mit der GAUSSschen Integrationsmethode

berechnen.

Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass der Elementkraftvektor sowie die

Elementsteifigkeitsmatrix in der CLCR-, der TL- und der UL-Formulierung die

gleichen Formen besitzen. In der TL- sowie der UL-Formulierung werden ge-

nerell diese Matrixbeziehungen kontinuierlich in den Integrationspunkten neu

berechnet (siehe Bathe [15]). Dagegen besitzt die CLCR-Formulierung den

großen Vorteil, dass dabei der Hauptrechenaufwand lediglich in der Berechnung

der Materialtangentenmatrix tCT sowie des CAUCHYschen Spannungsvektorstσ (tε) im CR-Elementsystem liegt. Die Berechnung der Rotationsmatrix lässt

sich mit einem relativ vernachlässigbaren Aufwand durchführen. Eine Über-

sicht für die CLCR-Formulierung kann Tabelle G.5 in Anhang G entnommen

werden.

7.3 Integration nichtlinearer Materialgesetze

In Kapitel 4 wurden nichtlineare Materialmodelle formuliert. Ferner wurden in

den Abschnitten 7.1 und 7.2 die EICR- und die CLCR-Formulierung systema-

tisch beschrieben. Darauf aufbauend wird hiermit die direkte Integration von

materiellen Nichtlinearitäten in diese Formulierungen diskutiert.

In dieser Arbeit basiert die direkte Berücksichtigung von physikalischen

Nichtlinearitäten in den CR-Formulierung auf den grundlegenden Annahmen:

• Repräsentative Rotationsmatrix: Die gemittelte Rotationsmatrix in

der CLCR-Formulierung sowie die Rotationsmatrix am Elementschwer-

punkt in der EICR-Formulierung stellen die repräsentative Starrkörper-

rotation des finiten Elements dar (siehe Abschnitt 7.1.3). Somit liegen

114

die deformierte und die rotierte Konfiguration des Elements sehr nah

beieinander.

• Ausreichend kleine restliche Verformungen: Da der repräsentative

große Starrkörperrotationsanteil bereits gefiltert wurde, bleiben die rest-

lichen Verformungen des Elements ausreichend klein. Gleiches gilt für die

Verzerrungen im CR-Elementsystem in den Integrationspunkten des Ele-

ments. Aus diesem Grund lassen sich diese Verzerrungen im CR-System

unter Verwendung der konstanten linearen Verschiebungs-Dehnungsmatrix0BL in der ursprünglichen Konfiguration berechnen.

Aufgrund der oben erwähnten Annahmen werden die 3D Materialmodelle, wie

das linear-elastische, das nichtlinear-elastische und das elastisch-plastische Ma-

terialgesetz aus Abschnitt 4, direkt in den CR-Berechnungsprozess einbezogen.

Keine Modifikationen werden dabei benötigt. Für den Fall eines hyperelasti-

schen Materialverhaltens wird zunächst der gesamte Verzerrungsvektor tε bzw.

der gesamte Verzerrungstensor tE bezüglich des CR-Elementkoordinatensystems

über die Verschiebungs-Dehnungsmatrix 0BL und die rotationsfreien Element-

knotenverschiebungen tue bestimmt:

tε = 0BLtue. (7.93)

Folglich wird der Streckungstensor tU bezüglich des CR-Elementsystems ap-

proximiert:tU ≈ tE + I3. (7.94)

Anschließend lassen sich die BIOTschen Spannungen sowie die konsistente Ma-

terialtangente berechnen, wie in Abschnitt 4.5.3 detailliert beschrieben. Eine

Übersicht für die Berechnung von nichtlinearen Materialverhalten in der EICR-

und CLCR-Formulierung kann Tabelle G.6 in Anhang G entnommen werden.

Kapitel 8

CR-Formulierungen mit der

Energiestabilisierungsmethode

In Abschnitt 2.4 wurden verschiedene Versteifungseffekte sowie die Metho-

den zur Vermeidung dieser Effekte vorgestellt. Im Folgenden wird die Ein-

beziehung einer Energiestabilisierungstechnik (EST) in die EICR- und die

CLCR-Formulierung beschrieben. Damit lässt sich vor allem das volumetri-

sche Locking aufgrund von materiellen Nichtlinearitäten gut behandeln.

Zur Übersichtlichkeit werden bei den folgenden FE-Formulierungen in die-

sem Abschnitt Dämpfungs- und Trägheitseffekte vernachlässigt, ohne die all-

gemeine Gültigkeit des Verfahrens zu verlieren. Ferner werden der stabilisierte

Elementkraftvektor und die stabilisierte tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix

systematisch abgeleitet.

8.1 Allgemeines Konzept der EST

Im Gegensatz zu den in Anhang D.2 erwähnten Stabilisierungstechniken bietet

die EST die folgenden Vorteile ([105], [104]):

1. Die EST in dieser Arbeit erfordert keine zusätzlichen benutzerdefinierten

Materialparameter für den Stabilisierungsanteil der internen Element-

kräfte und der tangentialen Elementsteifigkeitsmatrix. Dabei wird das

Konvergenzverhalten des Berechnungsmodells gewährleistet.

115

116

2. Anwendungen der EST zur Berechnung von Materialmodellen mit nicht-

linearen Spannungs-Dehnungsgesetzen sowie anisotropen Eigenschaften

sind möglich.

3. Mit Hilfe der EST lassen sich große Deformationen dünnwandiger Struk-

turen mit 3D Kontinuumselementen gut berechnen.

4. Die Implementierung einer Elementformulierung unter Berücksichtigung

der EST erfordert nur wenige Modifikationen bei der Aufstellung der

FE-Matrixbeziehungen.

Mit diesen Vorteilen bietet die EST eine sehr gute Möglichkeit zur Verbesse-

rung des Elementverhaltens bei der Berechnung materieller und/oder geome-

trischer Nichtlinearitäten.

Allgemeiner Ansatz: Wie in Abschnitt 2.4 beschrieben, besteht die Hauptidee

der EST darin, dass sich die interne Verzerrungsenergie eines finiten Elements

durch die Addition einer zusätzlichen bekannten Energiefunktion direkt modi-

fizieren lässt.

Ausgehend von dem modifizierten HU-WASHIZUschen (HW) Variations-

prinzip nach Simo and Hughes (E.14) kann die Potentialfunktion tΠHW in

folgender tensorieller Darstellung geschrieben werden:

tΠHW ≈ tΠint

(t0E

G)

+ tΠ∗int

(t0E

G)

− tΠ∗int

(

t0E

G)

+∫

0Ve

tr[

λTe

(

t0EG − t

0EG)]

d 0Ve − tA(e)a .

(8.1)

Dabei bezeichnet tΠint

(t0E

G)

die interne Verzerrungsenergie des Elements, die

im Allgemeinen eine Funktion der approximierten GREEN-LAGRANGEschen

(GL) Verzerrungen t0E

G darstellt. t0E

G ist konstant über das gesamte Element.

Des Weiteren beschreibt tΠ∗int

(t0EG

)

eine bekannte ausgewählte Energiefunk-

tion. Hierbei stellt t0E

G den GL-Verzerrungstensor eines beliebigen Punkts des

Elements dar. Ferner bezeichnet λe den Tensor zweiter Stufe aus den Lagrange-

Multiplikatoren.

117

Im Fall, dass in Beziehung (8.1) nur der Energieterm tΠint

(t0E

G)

berück-

sichtigt wird, können Nullenergieformen bzw. HOURGLASS-Moden bei be-

stimmten Deformationszuständen auftreten. Mit den zusätzlichen Energieter-

men tΠ∗int bzw. dem Ausdruck tΠ∗

int

(t0E

G)

− tΠ∗int

(

t0E

G)

wird das Element-

verhalten dabei stabilisiert.

Zur Stabilisierung des Elementverhaltens kann tΠ∗int

(t0EG

)

die Form des

SAINT-VERNANT-KIRCHHOFFschen Materialmodells:

tΠ∗int

(t0E

G)

=λ

2

(

tr(

t0E

G) )2

+ µ tr((

t0E

G)2)

, (8.2)

bei kleinen Deformationen sowie die Form des NEO-HOOKEANschen Mate-

rialmodells:

tΠ∗int

(t0E

G)

=µ

2

(

tr(

t0C

)

− 3)

− µ ln(

t0J)

+λ

2

(

ln(

t0J))2

, (8.3)

oder die Form des MOONEY-RIVLINschen Materialmodells:

tΠ∗int

(t0E

G)

= C1

(t0λ

21 + t

0λ22 + t

0λ23 − 3 t

0J23

)

+ C2

(t0λ

−21 + t

0λ−22 + t

0λ−23 − 3 t

0J− 2

3

)

+1

2K(

t0J − 1

)2,

(8.4)

bei großen Deformationen annehmen. Andere Potentialfunktionen sind eben-

falls anwendbar. Im Allgemeinen sind die Materialparameter dieser Energie-

formen von der nichtlinearen Deformation des Elements abhängig. In dieser

Arbeit wird die MOONEY-RIVLINsche Potentialfunktion angewendet. Der

Grund dafür ist, dass dieses Materialmodell bereits in Abschnitt 4.5.3 aus-

führlich diskutiert wurde. Dabei lässt sich die Formel zur Berechnung des 3D

Spannungszustandes sowie der konsistenten Materialtangente dieses Materials

wiederverwenden.

Zur Behandlung von auftretenden Locking-Effekten während der nichtlinea-

ren FE-Simulation sollte das Elementverhalten in jeder Konfiguration stabili-

siert werden. Dafür sollten die Materialkonstanten C1, C2 und K kontinuierlich

mit der Verformung des Elements neu berechnet werden, was zu sehr hohem Re-

chenaufwand führen kann. Zur Vermeidung von zusätzlichen benutzerdefinier-

ten Parametern für den Stabilisierungsanteil werden folgende Vereinfachungen

vorgenommen:

118

• Es geht hier vor allem um die Beschreibung der großen Volumenände-

rung des Materialpunkts aus nichtlinearem Materialverhalten. Aus die-

sem Grund kann bei der Stabilisierung der Materialparameter C2 ver-

nachlässigt werden.

• Zur Unabhängigkeit dieser Materialkonstanten von der Verformung wer-

den sie z.B. für ein isotropes, linear-elastisches Material der Struktur mit

zwei Materialkonstanten E und ν anhand von Beziehungen (4.39) und

(4.40) wie folgt berechnet:

K =E∗

3 (1 − 2ν∗),

C1 =E∗

4 (1 + ν∗),

(8.5)

mit dem modifizierten E-Modul E∗:

E∗ = E0Ψ

1 + 0Ψ. (8.6)

Dabei nimmt die modifizierte POISSONschen Zahl ν∗ den Wert 0.3 an.

Ferner beschreibt 0Ψ einen Korrekturfaktor, der die Geometrieänderung

des finiten Elements mit der Verformung beschreibt. Bei der Formulie-

rung von CR-Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen in dieser

Arbeit wird dieser Faktor aufgrund von kleinen Verzerrungen bezüglich

des CR-Elementsystems in der Referenzkonfiguration berechnet:

0Ψ = 2(1 + ν)MIN

(0K2

x,0K2

y ,0K2

z

)

MAX(

0K2x,

0K2y ,

0K2z

) , (8.7)

wobei die Ausdrücke 0Kx, 0Ky und 0Kz den Betrag der Spaltenvektoren

der Jakobimatrix am Elementschwerpunkt bezeichnen. Auf gleiche Art

und Weise lassen sich K und C1 des MOONEY-RIVLINschen Poten-

tials für andere nichtlineare Materialmodelle der Struktur modifizieren.

Eine detaillierte Diskussion darüber kann in der Arbeit [104] von Krysl

gefunden werden.

Für die Gleichgewichtsbedingung des Systems soll die erste Variation der appro-

ximierten Potentialfunktion tΠHW in der Beziehung (8.1) verschwinden. Unter

119

Berücksichtigung der Produktregel folgt für tΠHW:

δ tΠHW = δ tΠint

(t0E

G)

+ δ tΠ∗int

(t0E

G)

− δ tΠ∗int

(

t0E

G)

+ tr

δλT

e

∫

0Ve

(

t0EG − t

0EG)

d 0Ve

− tr

λT

e

∫

0Ve

δ(

t0EG − t

0EG)

d 0Ve

− δ tA(e)

a = 0.

(8.8)

Die Gleichung (8.8) muss für beliebige Lagrange-Multiplikatoren λe erfüllt

werden. Somit müssen die Ausdrücke in den beiden eckigen Klammern in dieser

Beziehung verschwinden:

∫

0Ve

(

t0E

G − t0E

G)

d 0Ve = 0,

∫

0Ve

δ(

t0E

G − t0E

G)

d 0Ve = 0.(8.9)

Auf diese Art und Weise bieten die beiden Gleichungen in Beziehung (8.9)

verschiedene Möglichkeiten, den Verzerrungstensor t0E

Gnäherungsweise zu ap-

proximieren. Unter anderem kann t0E

Gwie folgt berechnet werden:

t0E

G=

∫

0Ve

t0EG d 0Ve

∫

0Ve

d 0Ve

=1

0Ve

∫

0Ve

t0E

G d 0Ve , (8.10)

wobei t0E

Gfür das gesamte Element konstant ist. Eine Anwendung der Bezie-

hung (8.10) in der EICR- und der CLCR-Formulierung wird in Abschnitt 8.2

ausführlich beschrieben. Aus der Variation der beiden Seiten der Beziehung

(8.10) folgt:

δ t0E

G=

10Ve

∫

0Ve

δ t0E

G d 0Ve . (8.11)

120

Mit den Beziehungen (8.8) und (8.9) ergibt sich die Variation der internen

Verzerrungsenergien und der Arbeit der äußeren eingeprägten Kräfte:

δ tΠint

(t0E

G)

− δ tΠ∗int

(

t0E

G)

+ δ tΠ∗int

(t0EG

)

− δ tA(e)a = 0 . (8.12)

Dabei sind die ersten beiden Energieausdrücke tΠint

(t0E

G)

und tΠ∗int

(

t0E

G)

von t0E

G abhängig und damit konstant über das gesamte Element. Der dritte

Ausdruck tΠ∗int

(t0E

G)

wird mit der bekannten Funktion tΠ∗int und den Verzer-

rungen t0E

G in den Integrationspunkten des Elements berechnet.

An dieser Stelle kann bemerkt werden, dass hierbei zwei Materialmodelle

verwendet werden. Eine Spannungs-Dehnungsbeziehung beschreibt das Materi-

alverhalten der Struktur. Ihr Spannungszustand sowie die daraus resultierende

interne Elementenergie tΠint

(t0E

G)

sind für das gesamte Element konstant, sie

werden zur Auswertung der Lösung herangezogen. Dagegen wird das zusätz-

liche MOONEY-RIVLINsche Materialmodell lediglich zur Verbesserung des

Elementverhaltens eingesetzt. Seine Spannungs- und seine Dehnungszustände

in den Integrationspunkten werden zur Auswertung nicht berücksichtigt.

8.2 CR-Kontinuumselemente mit der EST

Im Anschluss wird die Formulierung von 3D CR-Kontinuumselementen un-

ter Anwendung der EST detailliert beschrieben. Zur Übersichtlichkeit wird

im Weiteren lediglich mathematische Beschreibung der EICR-Formulierung

mit der EST gegeben. Jedoch wird die Anwendung der EST auf die CLCR-

Formulierung in Anhang F ausführlich diskutiert.

Zur Anwendung der EST auf die EICR-Formulierung wird die Gleichge-

wichtsbedingung (8.12) in folgender Form neu geschrieben:

(

δ tue

)T [t0Fe,int − t

0F∗

e,int + t0F∗

e,int − tFe,ext

]

= 0 . (8.13)

Dabei stellen t0Fe,int und t

0F∗

e,int die globalen internen Elementkraftvektoren zur

Zeit t bezüglich der Referenzkonfiguration dar, die sich aus den Verzerrungs-

energien δ tΠint

(t0E

G)

und δ tΠ∗int

(

t0E

G)

in Beziehung (8.12) ergeben. t0E

G

ist ,wie bereits erwähnt, für das gesamte Element konstant. Ferner resultiert

121

der Kraftvektor t0Fe,int aus der Spannungs-Dehnungsbeziehung der Struktur.

Dagegen stabilisiert t0F

∗

e,int die internen Elementkräfte und wird mit dem aus-

gewählten MOONEY-RIVLINschen Materialmodell (8.4) berechnet. Dabei soll

die Bedingung (8.10) erfüllt werden.

Stabilisierter interner Elementkraftvektor: Unter Berücksichtigung der Be-

ziehungen (7.41) und (7.42) sowie der Eigenschaften der Elementprojektions-

matrix tP werden t0Fe,int und t

0F∗

e,int wie folgt approximiert:

t0Fe,int ≈ Dk

(t0R)

tPT 0BTC

tσC

0Ve,

t0F

∗

e,int ≈ Dk

(t0R)

tPT 0BTC

tσ

∗C

0Ve.(8.14)

Dabei bezeichnet 0BC die konstante, lineare Verschiebungs-Dehnungsmatrix,

wie in Beziehung (5.11) dargestellt, die mit Hilfe der alternativen Ansatzfunk-

tionen ηi am Elementschwerpunkt berechnet wird (siehe Beziehung (7.15)).

Ferner beschreiben tσC und t

σ∗C die CAUCHYschen Spannungsvektoren

am Elementschwerpunkt bezüglich des CR-Elementsystems. Sie stellen die

Spannungs-Dehnungsbeziehung der Struktur und das MOONEY-RIVLINschen

Materialmodell dar.tσC = t

σC

(tεC

)

,

tσ

∗C = t

σ∗C

(tεC

)

,(8.15)

mit dem linearen Verzerrungsvektor tεC am Elementschwerpunk:

tεC = 0BC

tue . (8.16)

Der Ausdruck t0F∗

e,int repräsentiert den Stabilisierungsanteil für den globalen

internen Elementkraftvektor, der durch numerische Integration über das Volu-

men berechnet wird:

t0F∗

e,int = Dk

(t0R)

tPT∫

0Ve

0BTL

tσ

∗ d 0Ve. (8.17)

Dabei ist der CAUCHYsche Spannungsvektor tσ

∗ im CR-System dargestellt.

122

Er wird mit dem MOONEY-RIVLINschen Materialmodell berechnet:

tσ

∗ = tσ

∗(

tε

)

, (8.18)

mit dem linearen Verzerrungsvektor in den Integrationspunkten:

tε = 0BL

tue. (8.19)

Dadurch, dass die Beziehungen (8.14) und (8.17) in Beziehung (8.13) einge-

setzt werden, ergibt sich bei beliebigen Variationen δ tue der globale interne

Elementkraftvektor:t0Fe,int = Dk

(t0R)

t0FC,int, (8.20)

wobei t0FC,int den korrigierten internen Elementkraftvektor darstellt:

t0FC,int = tPT

0BTC

(tσC − t

σ∗C

)0Ve +

∫

0Ve

0BTL

tσ

∗ d 0Ve

. (8.21)

Ferner wird die Berechnung der Spannungsvektoren tσC, t

σ∗C und t

σ∗ bereits

in Kapitel 4 sowie Abschnitt 7.3 ausführlich beschrieben.

Stabilisierte tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix: Die tangentiale Element-

steifigkeitsmatrix in der EICR-Formulierung mit der EST lässt sich dadurch

berechnen, dass der interne Elementkraftvektor t0Fe,int (8.20) nach den globalen

Elementknotenverschiebungen tue konsistent abgeleitet wird:

t0Ke,T = Dk

(

∂ t0R

∂ tue

)

tPT

0BTC

(tσC − t

σ∗C

)0Ve +

∫

0Ve

0BTL

tσ

∗ d 0Ve

+ Dk

(t0R)(

∂ tP∂ tue

)T

0BTC

(tσC − t

σ∗C

)0Ve +

∫

0Ve

0BTL

tσ

∗ d 0Ve

+ Dk

(t0R)

tPT

0BTC

∂ (tσC − t

σ∗C)

∂ tue

0Ve +∫

0Ve

0BTL

∂ tσ

∗

∂ tued 0Ve

.

(8.22)

Es ist hier zu bemerken, dass die Ableitungen nach den Verschiebungen tue

in Beziehung (8.22) bereits in Abschnitt 7.1.2 ausführlich beschrieben werden.

123

Dabei wird die Ableitungen der Elementprojektionsmatrix tP und der Rotati-

onsmatrix t0R in den Beziehungen (7.50) und (C.6) angegeben. Ferner werden

die Ableitungen der Spannungen tσC, t

σ∗C und t

σ∗ unter Verwendung der Be-

ziehungen (7.27), (7.54) und (7.55) durchgeführt.

Letztendlich wird die tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix t0Ke,T (8.22) wie

folgt zusammengefasst:

t0KSym,T = Dk

(t0R) (

tKM,T + t0KG,T

)

Dk

(t0R

T)

. (8.23)

Dabei bezeichnet tKM,T die stabilisierte materielle, tangentiale Elementsteifig-

keitsmatrix im CR-Elementsystem. Diese Matrix wird mit Hilfe der konsisten-

ten Materialtangenten am Elementschwerpunkt C:

t0CT,C =

∂ tσC (t

εC)

∂ tεC

,

t0C

∗

T,C =∂ t

σ∗C (t

εC)

∂ tεC

,

(8.24)

sowie der konsistenten Materialtangente in den Integrationspunkten:

t0C

∗

T =∂ t

σ∗ (t

ε)

∂ tε

, (8.25)

aufgestellt. Fürs Detail wird tKM,T in folgender Form geschrieben:

tKM,T = tPT

0BTC

(t0CT,C − t

0C∗

T,C

)0BC +

∫

0Ve

0BTL

t0C

∗

T0BL d 0Ve

tP.

(8.26)

Der Ausdruck in der Klammer in Beziehung (8.26) bezeichnet die approximier-

te materielle Elementsteifigkeitsmatrix:

tKM = 0BTC

(t0CT,C − t

0C∗

T,C

)0BC +

∫

0Ve

0BTL

t0C

∗

T0BL d 0Ve. (8.27)

Des Weiteren stellt der Ausdruck t0KG,T die stabilisierte geometrische, tan-

gentiale Elementsteifigkeitsmatrix im CR-System dar. Nach der Symmetrisie-

rung, wie in Abschnitt 7.1.2 beschrieben, nimmt diese Matrix die folgende

124

Form an:t0KG,T = − tΞ tΠT − tPT tΠ tΞT, (8.28)

wobei tΞ die gleiche Form wie die in Beziehung (7.36) hat. Ferner besitzt die

Matrix tΠ die gleiche Form wie die in Beziehung (7.45).

Somit sind der interne Elementkraftvektor und die tangentiale Element-

steifigkeitsmatrix in der EICR-Formulierung unter Berücksichtigung der EST

vollständig aufgestellt. Eine Zusammenfassung für den gesamten Berechnungs-

prozess kann Tabelle G.7 entnommen werden.

Kapitel 9

Mathematische Beschreibung der

MKS-FEM-Methode

In diesem Kapitel wird die Beschreibung der MKS-FEM-Methode zur direkten

Einbeziehung von Nichtlinearitäten in die Mehrkörpersysteme vorgestellt.

Wie in Abschnitt 2.7 erwähnt, werden bei dieser Methode die Bewegungs-

gleichungen der flexiblen Körper des Mehrkörpersystems mit Hilfe der CR-

Formulierungen formuliert. Weiterhin wird die Bewegung der Starrkörper mit

Hilfe der MKS-Methode beschrieben. Somit wird das gesamte MKS-FEM-

Gleichungssystem durch geschickte Anordnung der gesamten Freiheitsgrade

des Systems unter Berücksichtigung von kinematischen Zwangsbedingungen

formuliert. Zur Integration dieses Gleichungssystems wird ein implizites Zei-

tintegrationsverfahren verwendet.

9.1 Bewegungsgleichungen von Mehrkörpersystemen

aus rein Starrkörpern

Bei der Simulation von großen Mehrkörpersystemen können die Systemkompo-

nenten als Starrkörper angenommen werden. Die Bewegung eines Starrkörpers

unter Berücksichtigung von kinematischen Zwangsbedingungen kann durch die

sogenannten NEWTON-EULERschen Gleichungen beschrieben werden [158].

Kinematische Beziehungen eines Starrkörpers: Zur Aufstellung der kinema-

tischen Beziehungen eines Starrkörpers i des Systems wird ein festes, globales

125

126

Koordinatensystem und ein mitbewegtes lokales Koordinatensystem definiert.

Zunächst wird das lokale System in einem beliebigen Punkt O des Starrkörpers

definiert.

Weiterhin können der Lagevektor xi und der Geschwindigkeitsvektor xi eines

beliebigen Punktes P des Starrkörpers i in der aktuellen Konfiguration wie folgt

beschrieben werden:

xi = xio + Ri xi,

xi =[

I3 − Ri S (xi) Gi]

xi

o

θi

.(9.1)

Dabei sind xio und xi

o der globale Koordinatenvektor sowie der globale Ge-

schwindigkeitsvektor vom Ursprung O des lokalen Systems. Im kartesischen

System gilt xio =

[

xio1, x

io2, x

io3

]T. Der Ausdruck xi stellt den Koordinaten-

vektor des Punktes P im lokalen Koordinatensystem dar. Des Weiteren ist

Ri die Rotationsmatrix des Starrkörpers i. Sie lässt sich durch die räumliche

Orientierungsänderung des lokalen Koordinatensystems relativ zum globalen

Koordinatensystem beschreiben.

Die Rotationsmatrix Ri kann beispielsweise mit der Einheitsquaternion mit

den vier Euler-Parametern q0, q1, q2 und q3 aus Beziehung (3.55) in Ab-

schnitt 3.3 dargestellt werden. Damit nimmt der Vektor der Rotationskoor-

dinaten θi die Form θi =[

qi0, q

i1, q

i2, q

i3

]Tan. Auf diese Art und Weise

lässt sich der Vektor der generalisierten Koordinaten qi des Starrkörpers i mit

qi =[

(xio)T

, (θi)T]T

definieren. Ferner wird die Matrix Giin Beziehung (9.1)

wie folgt geschrieben:

Gi(

qi)

= 2

−qi1 qi

0 qi3 −qi

2

−qi2 −qi

3 qi0 qi

1

−qi3 qi

2 −qi1 qi

0

. (9.2)

Weiterhin bezeichnet S (xi) den Spin des Vektors xi (siehe Beziehung (3.40)).

NEWTON-EULERsche Gleichungen eines Starrkörpers: Die Bewegungs-

gleichungen eines Starrkörpers i des Systems können aus den allgemeinen

127

Lagrange-Bewegungsgleichungen hergeleitet werden:

d

dt

(

∂ T i

∂ qi

)

− ∂ T i

∂ qi= Fi

r . (9.3)

Dabei stellt T i die gesamte kinetische Energie des Starrkörpers i dar:

T i =1

2

∫

Vi

ρi(

xi)T

xi dVi . (9.4)

Dadurch, dass die zweite Gleichung der Beziehung (9.1) in Beziehung (9.4)

eingesetzt wird, folgt für T i:

T i = T it + T i

rt + T ir , (9.5)

mit der translatorischen kinetischen Energie:

T it =

1

2

(

xio

)Tmi

t xio, (9.6)

und der rotatorischen kinetischen Energie:

T ir =

1

2

(

θi)T

mir θ

i, (9.7)

sowie dem Koppelterm zwischen den translatorischen und den rotatorischen

Freiheitsgraden:

T irt =

(

xio

)Tmi

rt θi. (9.8)

Im Fall, dass der Ursprung O des lokalen Koordinatensystems und der Massen-

schwerpunkt des Starrkörpers zusammenfallen, verschwindet der Koppelterm

T irt. Somit vereinfacht sich Gleichung (9.5):

T i = T it + T i

r . (9.9)

Ferner besitzt die Matrix mit mit der gesamten Masse mi des Starrkörpers i

die diagonale Form:

mit =

mi 0 0

0 mi 0

0 0 mi

, (9.10)

128

und die Matrix mir die Form:

mir =

(

Gi)T

Θi Gi. (9.11)

Dabei beschreibt Θi den Trägheitstensor bezüglich des Massenschwerpunkts

des Starrkörpers i:

Θi =∫

Vi

ρi ST(

xi)

S(

xi)

dVi. (9.12)

Hierbei sind Vi und ρi das Volumen und die Massendichte des Starrkörpers i.

Für die Zweckmäßigkeit lässt sich der Vektor aller generalisierten externen

Kräfte Fir wie folgt aufteilen:

Fir = Fi

r,ext + Fiz, (9.13)

wobei Fir,ext den Vektor aller externen eingeprägten Kräfte und Fi

z den Vek-

tor der generalisierten Zwangskräfte aus den kinematischen Verbindungen dar-

stellt. Weiterhin wird Fir,ext in den Kraftvektor Fi

r,t der Translationsfreiheits-

grade xio und in den Kraftvektor Fi

r,r der Rotationsfreiheitsgrade θi zerlegt:

Fir,ext =

[(

Fir,t

)T (

Fir,r

)T]T

. (9.14)

Wird die Beziehung (9.9) in die Lagrange-Gleichungen (9.3) eingesetzt, fol-

gen die NEWTON-EULERschen Gleichungen zur Beschreibung der Bewegung

eines Starrkörpers i des MKS-Systems aus rein Starrkörpern [158]:

mi

t 0

0(

Gi)T

Θi Gi

xi

o

θi

=

Fir,t

(

Gi)T

Fir,r − 2

(

Gi)T

Θi ωi

+ Fi

z . (9.15)

Ist θi berechnet, kann der Winkelgeschwindigkeitsvektor ωi bezüglich des

lokalen Koordinatensystems bestimmt werden:

ωi = Giθi . (9.16)

Weiterhin lässt sich der Winkelbeschleunigungsvektor αi bezüglich des lokalen

129

Koordinatensystems berechnen:

αi = Giθi . (9.17)

Detaillierte mathematische Herleitungen der kinematischen Beziehungen eines

Starrkörpers können in der Arbeit [123] von Nikravesh sowie [158] von Shaba-

na gefunden werden.

Dynamik von Mehrkörpersystemen rein starrer Körper: Aus Gründen der

Zweckmäßigkeit lässt sich das Bewegungsgleichungssystem eines Starrkörpers

i (9.15) in der folgenden Form schreiben:

Mir qi

r = Qiext + Qi

ω + Fiz. (9.18)

Dabei ist Mir mit:

Mir

(

qir

)

=

mi

t 0

0(

Gi)T

Θi Gi

, (9.19)

die generalisierte Massenmatrix des Starrkörpers i. Weiterhin stellt qir den

generalisierten Koordinatenvektor in der Form qir =

[

(xio)

T, (θi)T

]Tdar.

Qiext beschreibt den Vektor der generalisierten äußeren eingeprägten Kräfte:

Qiext

(

qir

)

=

Fir,t

(

Gi)T

Fir,r

. (9.20)

Ferner repräsentiert Qiω mit:

Qiω

(

qir, q

ir

)

=

0

−2(

Gi)T

Θi ωi

, (9.21)

den Vektor der generalisierten Zentrifugal- und Corioliskräfte. Der Vektor

Fiz beschreibt hierbei die generalisierten Zwangskräfte aus den kinematischen

Zwängen, die auf den Körper i wirken.

Die Starrkörper des gesamten Mehrkörpersystems sind mit kinematischen

Zwangsbedingungen verbunden. Im Rahmen dieser Arbeit werden nur holono-

130

me kinematische Zwangsbedingungen in der Form berücksichtigt:

C (qr, t) = 0. (9.22)

Es gibt somit keine Zeitabhängigkeiten in den Bindungsgleichungen. Der zeit-

und ortsabhängige Vektor C lässt sich dabei mit Hilfe von z linear unabhängi-

gen Zwangsgleichungen aufstellen:

C (qr, t) =[

C1 (qr, t) , C2 (qr, t) , ..., Cz (qr, t)]T

, (9.23)

wobei qr mit:

qr =[

(q1r )T

, (q2r )T

, ..., (qrr)

T]T, (9.24)

den generalisierten Koordinatenvektor des gesamten Systems beschreibt. Bei

der Eliminierung der generalisierten Zwangskräfte Fiz durch die Einführung

von Lagrange-Parametern resultiert das nichtlineare Bewegungsgleichungssys-

tem eines Mehrkörpersystems unter Berücksichtigung der Wechselwirkungen

zwischen den r Starrkörpern [158]:

Mr (qr) qr =

(

∂ C (qr, t)

∂ qr

)T

λr + Qext (qr) + Qω (qr, qr) . (9.25)

Dabei bezeichnet Mr die generalisierte Massenmatrix des gesamten Systems,

die sich aus den r Submatrizen Mir (qi

r) auf der Diagonalen zusammensetzt:

Mr (qr) =

M1r (q1

r ) 0

M2r (q2

r )

0. . .

Mrr (qr

r)

. (9.26)

Des Weiteren stellt λr in der Form λr =[

λ1r , λ

2r , ..., λ

zr

]Tden Vektor der

unbekannten Lagrange-Multiplikatoren dar. Ferner bezeichnen Qext und Qω die

Vektoren der generalisierten äußeren eingeprägten Kräfte und der Zentrifugal-

131

sowie der Corioliskräfte des gesamten Systems:

Qext =[(

Q1ext

)T,(

Q2ext

)T, ..., (Qr

ext)T]T

,

Qω =[(

Q1ω

)T,(

Q2ω

)T, ..., (Qr

ω)T]T

.

(9.27)

Damit ist die Bewegung eines Mehrkörpersystems aus rein starren Körpern

unter Berücksichtigung von kinematischen Zwängen vollständig beschrieben.

9.2 Mehrkörpersysteme aus deformierbaren und star-

ren Körpern

In diesem Abschnitt wird das MKS-FEM-Bewegungsgleichungssystem syste-

matisch hergeleitet, womit sich die Bewegung von deformierbaren FE-Körpern

und starren Körpern eines Mehrkörpersystems unter Berücksichtigung von ki-

nematischen Zwangsbedingungen effizient beschreiben lässt.

Das Bewegungsgleichungssystem eines freien deformierbaren Körpers kann

anhand der ANC-, der EICR- und der CLCR-Formulierung aus Kapitel 6

bzw. 7 aufgestellt werden. Des Weiteren wird das NEWTON-EULERsche Glei-

chungssystem zur Beschreibung der Bewegung eines freien Starrkörpers in Ab-

schnitt 9.1 dargestellt.

Ein Mehrkörpersystem, wie z.B. ein komplexes Waschmaschinensystem aus

Abbildung 9.1, setzt sich aus deformierbaren und starren Bauteilen zusammen.

Der Koordinatenvektor des gesamten Mehrkörpersystems im globalen Koordi-

natensystem kann in einen Koordinatenvektor der r Starrköper:

qr =[

(q1r )

T, (q2

r )T, ..., (qr

r)T]T, (9.28)

und einen Koordinatenvektor der f deformierbaren Körper aufgeteilt werden:

qf =[

(u1b)T

, (u2b)T

, ...,(

ufb

)T]T

. (9.29)

Dabei stellt qir den generalisierten Koordinatenvektor eines starren Körpers i

und ujb den Verschiebungsvektor einer diskretisierten FE-Struktur j im globa-

132

Manschette

Nichtlineare Dämpfer

Abb. 9.1: MKS-Modell für ein Waschmaschinensystem mit einer gummiartigenManschette und nichtlinearen Dämpfern sowie Zwängen [68]

len Koordinatensystem dar:

qir =

[

(xio)

T, (θi)

T]T,

ujb =

[

ujb1, u

jb2, u

jb3, . . . , u

jbn

]T.

(9.30)

Hierbei ist n die gesamte Anzahl der Freiheitsgrade der FE-Struktur j. Die

Wechselwirkungen zwischen den Körpern des Systems werden durch:

1. die Zwangsbedingungen zur Kopplung zwischen den starren Körpern

Crr (qr, t),

2. die Zwangsbedingungen zur Kopplung zwischen den flexiblen Körpern

Cff (qf, t),

3. die Zwangsbedingungen zur Kopplung zwischen den starren und den fle-

xiblen Körpern Crf (qr, qf, t),

beschrieben, wobei nur holonome kinematische Zwangsbedingungen berück-

sichtigt werden.

133

Auf der Grundlage des d’Alembertschen Prinzips [144] können die Bewe-

gungsgleichungen des gesamten Mehrkörpersystems unter Vernachlässigung

von Dämpfungs- sowie Kontaktproblemen in der folgender Variationsform ge-

schrieben werden [82]:

δqTr Mr qr + δqT

f Mf qf + δqTf Fint

+ δqTr

(

∂ Crr

∂ qr

)T

λr +

(

∂ Crf

∂ qr

)T

λrf

+ δqTf

(

∂ Cff

∂ qf

)T

λf +

(

∂ Crf

∂ qf

)T

λrf

− δqTr (Qext + Qω) − δqT

f Fext = 0 .

(9.31)

Dabei stellt Mr (qr) die diagonale Massenmatrix aller starren Körper dar (siehe

Beziehung (9.26)). Ferner bezeichnet Mf die globale konstante Systemmassen-

matrix der f FE-Strukturen. Sie hat die Form einer diagonalen Matrix mit

den f Submassenmatrizen der FE-Strukturen auf der Diagonalen:

Mf =

M1b 0

M2b

0. . .

Mfb

. (9.32)

Weiterhin bezeichnet Fint den Spaltenvektor aus den f internen Kraftvektoren

der FE-Strukturen:

Fint =[(

F1b,int

)T,(

F2b,int

)T, ...,

(

Ffb,int

)T]T

. (9.33)

Aufgrund der Übersichtlichkeit werden im Folgenden die Indizes der Vektoren

und der Matrizen nicht weiter dargestellt. Weiterhin stellen λr, λf und λrf

die eingeführten Lagrange-Multiplikatoren zur Eliminierung der Zwangskräfte

dar. Der Ausdruck Fext bezeichnet den Spaltenvektor aller auf die FE-Körper

wirkenden externen Belastungen:

Fext =[(

F1b,ext

)T,(

F2b,ext

)T, ...,

(

Ffb,ext

)T]T

. (9.34)

134

Die Beziehung (9.31) soll für beliebige Variationen δqr und δqf erfüllt werden.

Somit resultiert das MKS-FEM-Bewegungsgleichungssystem in der Form:

Mr 0

0 Mf

qr

qf

=

FC,rr

FC,ff

+ FC,rf +

0

Fint

+

Qext + Qω

Fext

. (9.35)

Dabei werden die generalisierten Kräfte aus der Kopplung allein zwischen den

starren Körpern FC,rr und allein zwischen den deformierbaren Körpern FC,ff:

FC,rr =

(

∂ Crr

∂ qr

)T

λr,

FC,ff =

(

∂ Cff

∂ qf

)T

λf,

(9.36)

sowie aus der Kopplung zwischen den starren und den flexiblen Körpern FC,rf

definiert:

FC,rf =

(

∂ Crf

∂ qr

)T

+

(

∂ Crf

∂ qf

)T

λrf. (9.37)

Es ist hier zu erkennen, dass das Bewegungsgleichungssystem (9.35) und das

Bewegungsgleichungssystem (9.25) eines Mehrkörpersystems rein starrer Kör-

per eine ähnliche Form haben. Der Ausdruck auf der linken Seite dieses Glei-

chungssystems beschreibt die Trägheitseffekte des gesamten Systems. Die ge-

neralisierte Massenmatrix des gesamten Systems nimmt dabei die folgende

diagonale Form an:

M (qr) =

Mr (qr) 0

0 Mf

. (9.38)

Weiterhin sind die generalisierten Zwangskräfte:

FC =

FC,rr

FC,ff

+ FC,rf, (9.39)

und die generalisierten nichtlinearen Kräfte definiert:

Fnl =

0

Fint

+

Qext + Qω

Fext

. (9.40)

135

Schlussendlich wird das MKS-FEM-Gleichungssystem (9.35) in der Form:

M (q) q = FC (qr, qf,λf,λr,λrf, t) + Fnl (qr, qr, qf, t) ,

0 = Crr (qr, t) ,

0 = Cff (qf, t) ,

0 = Crf (qr, qf, t) ,

(9.41)

mit dem generalisierten Koordinatenvektor des gesamten Systems:

q =[

qTr , qT

f

]T, (9.42)

verallgemeinert. An dieser Stelle kann bemerkt werden, dass andere Arten von

Nichtlinearitäten, wie nichtlineare Dämpfungs- und Kontaktprobleme, eben-

falls in das MKS-FEM-Gleichungssystem (9.41) einbezogen werden können.

Dabei bleibt der nichtlineare Kraftvektor Fnl in der gleichen Form wie die in

Beziehung (9.40). Jedoch kommen neue Ausdrücke für die Dämpfungs- und die

Kontaktkräfte in diese Beziehung hinzu. Ferner lassen sich die Elementkraft-

vektoren aus den CR-Formulierungen unter Anwendung der Energiestabilisie-

rungstechnik aus Kapitel 8 ohne jegliche Modifikationen berücksichtigt.

9.3 Kinematische Zwangsbedingungen

Zur vollständigen Aufstellung des MKS-FEM-Gleichungssystems (9.41) müs-

sen noch die kinematischen Zwangsbedingungen Crr, Crf und Cff formuliert

werden. In diesem Abschnitt wird kurz auf die mathematische Beschreibung

dieser Zwangsbedingungen eingegangen.

In vielen Fällen erfordert die Berechnung der Reaktionskräfte aus Zwangs-

bedingungen einen hohen Rechenaufwand. Aus diesem Grund müssen die ki-

nematischen Zwangsbedingungen des Systems effizient behandelt werden. In

dieser Arbeit werden nur holonome Zwangsbedingungen berücksichtigt.

Im Allgemeinen können kinematische Zwänge in Mehrkörpersystemen an-

hand der kinematischen Bewegungsmöglichkeiten in klassische und spezielle

Bindungen klassifiziert werden [56]. Da in dieser Arbeit die speziellen Bindun-

gen nicht zur Anwendung kommen, werden sie im Weiteren nicht beschrieben.

136

Klassische Gelenke

Typische klassische Bindungen können wie folgt aufgelistet werden:

• Kugelgelenke,

• Drehgelenke,

• starre Bindungen,

• Schubgelenke,

• Kardangelenke,

• Gleitbindungen, usw.

Starre Bindungen und Drehgelenke: Mit Hilfe der starren Bindung lassen

sich zwei Körper i und j punktweise oder flächenweise starr verbinden, wobei

die drei Verschiebungen und die drei Rotationen der für die Verbindung aus-

gewählten Punkte oder Flächen der zwei Körper identisch sind. Somit können

die kinematischen Zwangsgleichungen für die starre Verbindung z.B. für einen

Punkt P der zwei Körper i und j wie folgt beschrieben werden:

C(

qi, qj)

=

xiP − xj

P

(ni1)

T nj3

(ni2)

T nj3

(ni1)

T nj2

= 0 . (9.43)

Drehgelenke können als ein spezieller Fall der starren Verbindung dargestellt

werden, wobei jedoch beispielsweise der Rotationsfreiheitsgrad um die drit-

te lokale Achse nicht gesperrt wird (siehe Abbildung 9.2). Die kinematischen

Zwangsbedingungen für Drehgelenke lassen sich anhand der folgenden Glei-

chungen beschreiben:

C(

qi, qj)

=

xiP − xj

P

(ni1)

T nj3

(ni2)

T nj3

= 0 . (9.44)

137

Körper i

Körper j

Drehgelenk

xg1

xg2

xg3

xjp

xip

o

ni3

ni1

ni2

nj1

nj2

nj3

Abb. 9.2: Drehgelenk und seine kinematischen Beziehungen

Dabei stellen xiP und xj

P den globalen Koordinatenvektor des Punktes P auf

dem Körper i und j dar. Weiterhin wird hierbei ein lokales Koordinatensystem

(ni1, n

i2, n

i3) für den Körper i und ein weiteres Koordinatensystem

(

nj1, n

j2, n

j3

)

für den Körper j am Punkt P definiert. Die Ausdrücke qi und qj beschreiben

den generalisierten Koordinatenvektor des Körpers i sowie des Körpers j.

Mit Hilfe von Drehgelenken können zwei Körper nicht nur punktweise, son-

dern auch flächenweise verbunden werden. In der Arbeit [183] von Vetyukov

und Gerstmayr wurde eine Formulierung eines Drehgelenks für deformierbare

Flächen vorgestellt. Dabei wird in jeder Konfiguration eine repräsentative Rota-

tionsmatrix für die gesamte Fläche anhand der aktuellen Koordinatenvektoren

aller Punkte der Fläche berechnet. Das aktuelle lokale Koordinatensystem der

Fläche kann dadurch bestimmt werden, dass das lokale Koordinatensystem

der Fläche in der ursprünglichen Konfiguration anhand der repräsentativen

berechneten Rotationsmatrix entsprechend transformiert wird.

Kugelgelenke: Kugelgelenke stellen eine weitere wichtige Bindung dar. Mit

Hilfe von Kugelgelenken sind die Verschiebungen zweier Punkte oder zweier

Flächen der Körper i und j zwangsweise identisch. Dabei werden alle Rotati-

onsfreiheitsgrade der Bindung frei gelassen (siehe Abbildung 9.3).

Es folgen die Bindungsgleichungen eines Kugelgelenks für einen Punkt P

138

Körper i

Körper j

Kugelgelenk

xg1

xg2

xg3

xjp

xip

o

ni3

ni1

ni2

nj1

nj2

nj3

Abb. 9.3: Kugelgelenk und seine kinematischen Beziehungen

auf dem Körper i und j in der Form:

C(

qi, qj)

= xiP − xj

P = 0 , (9.45)

wobei xiP und xj

P ebenfalls den globalen Koordinatenvektor des Punktes P der

zwei Körper i und j darstellen. Kugelgelenke können auch für die Verbindung

zweier Flächen der zwei dreidimensionalen Körper formuliert werden. Dabei

werden zur Reduzierung der Anzahl der Lagrange-Parameter die Bindungs-

gleichungen in Integralform dargestellt [55]:

C3D

(

qi, qj)

=∫

Si

xiP dSi −

∫

Sj

xjP dSj = 0 . (9.46)

Beziehung (9.46) gibt an, dass die Verschiebungen aller Punkte auf der Fläche

Si des Körpers i gleich den Verschiebungen aller Punkte auf der Fläche Sj des

Körpers j sein müssen. Im Rahmen dieser Arbeit wird bei der Erstellung von

Berechnungsmodellen das sogenannte 3D generalisierte Kugelgelenk verwendet.

Wird Beziehung (9.46) vereinfacht, ergibt sich:

C3D,gen

(

qi, qj)

=1

ni

ni∑

i=1

xiP − 1

nj

nj∑

j=1

xjP = 0 . (9.47)

139

Beziehung (9.47) besagt, dass die Verschiebungen in den drei globalen Raum-

richtungen des geometrischen Schwerpunktes aller Knoten auf der Fläche Si

des Körpers i und auf der Fläche Sj des Körpers j gleich sein sollen. Dabei

bezeichnet ni bzw. nj die Anzahl der Knoten auf der Fläche Si bzw. Sj . An

dieser Stelle wird auf die Beschreibung weiterer Bindungen, wie z.B. Kardange-

lenke und Gleitbindungen sowie Schubgelenke, nicht weiter eingegangen. Diese

können jedoch in den Arbeiten [64] und [63] von Suroyuki sowie in der Arbeit

[89] von Orden gefunden werden.

Neben der Einteilung nach den Bewegungsmöglichkeiten können die Bin-

dungen in lineare und nichtlineare Bindungen klassifiziert werden. Einerseits

stellen die linearen Bindungen eine lineare Abhängigkeit C (q) von den gene-

ralisierten Koordinaten q dar. Ein Beispiel dafür ist das Kugelgelenk. So ist

die erste Ableitung von C (q) nach q konstant und es verschwindet die zweite

Ableitung. Es folgt für die linearen Bindungen:

Cq =∂ C (q)

∂ q= C0 = Konst. (9.48)

Andererseits stellen die nichtlinearen Bindungen, wie z.B. die starre Bindung

und Drehgelenke, nichtlineare Funktionen von den Koordinaten bzw. Rich-

tungsvektoren dar. Dabei sind im Allgemeinen die erste und die zweite Ablei-

tung von C (q) nach q nicht konstant. Aus diesem Grund ist die Berechnung

dieser Bindungen sehr rechenintensiv.

Generell werden Kugelgelenke in die Klasse der linearen Bindungen einge-

ordnet (siehe Beziehungen (9.45) und (9.46) sowie (9.47)). Des Weiteren sind

Bindungen, wie starre Bindungen und Drehgelenke, nichtlineare Bindungen.

9.4 Effiziente Zeitintegrationsverfahren zur Lösung

des Bewegungsgleichungssystems

Das nichtlineare Bewegungsgleichungssystem (9.41) soll nun effizient integriert

werden. Dafür stellt die Auswahl von Zeitintegrationsverfahren hinsichtlich

der Stabilität und Genauigkeit eine der wichtigsten Aufgaben in der MKS-

Simulation dar. Diese Auswahl ist unter anderem von der Art der geometrisch-

und physikalisch-nichtlinearen Probleme im System abhängig.

140

9.4.1 Auswahl von Zeitintegrationsverfahren für die Mehrkör-

perdynamik

Im Allgemeinen beschreibt das Bewegungsgleichungssystem (9.41) die Bewe-

gung von Bauteilen in einem hohen Frequenzbereich mit nichtlinearen Zwangs-

bedingungen. Somit lässt sich dieses Gleichungssystem in die Kategorie des

sogenannten numerisch steifen differential-algebraischen (DAE) Gleichungssys-

tems zweiter Ordnung einordnen [53]. In linearen Systemen ist der numerische

Versteifungseffekt charakterisiert durch das Verhältnis des kleinsten und des

größten Eigenwerts der Systemsteifigkeitsmatrix. In vielen Fällen muss die Zeit-

schrittweite der Zeitintegrationsverfahren aufgrund der numerischen Stabilität

oder Genauigkeit sehr klein gehalten werden.

Nach Rulka [147] und Arnold [110] lassen sich die Kriterien zur Steigerung

der Effizienz und Robustheit der Zeitintegration für die Mehrkörperdynamik

aufstellen:

• mögliche Auswahl von großen Zeitschrittweiten bei der Zeitintegration

des numerisch steifen Gleichungssystems,

• Verminderung der Anzahl von Berechnungen sowie Zerlegungen der Sys-

temsteifigkeitsmatrix,

• effiziente Berechnungen der generalisierten Kräfte für einzelne Körper

des Mehrkörpersystems,

• Rechenzeit-Reduzierung bei der Behandlung der Zwangsbedingungen,

• mögliche Vermeidung des sogenannten Drift-Off-Effekts bei der Berech-

nung der kinematischen Zwangsbedingungen im Rahmen der numeri-

schen Genauigkeitsschranken in der Langzeitdynamik,

• mögliche Behandlung von Diskontinuitäten beispielsweise aus Kontakt-

und Reibungsproblemen sowie materiellen Nichtlinearitäten.

In der Arbeit [53] von Gear wurde festgestellt, dass die impliziten Runge-Kutta-

Schemen (IRK) höherer Ordnung eine der robustesten und effizientesten Mög-

lichkeiten zur Integration des DAE-Systems zweiter Ordnung (9.41) darstellen.

Aus diesem Grund wurde in dieser Arbeit ein IRK-Solver zur Integration des

MKS-FEM-Gleichungssystems eingesetzt, der folglich diskutiert wird.

141

c1 A11 A12 . . . A1s

c2 A21 A22 . . . A2s

......

......

cs As1 As2 . . . Ass

b1 b2 . . . bs

Tab. 9.1: Allgemeine Form der Butcher-Tabelle [41]

9.4.2 Grundlagen der IRK-Zeitintegrationsschemen

Die IRK-Zeitintegrationsschemen werden generell zur Lösung von nichtlinearen

Differentialgleichungen erster Ordnung:

y = f (y, t) , (9.49)

mit den bekannten Anfangswerten y (t) und y (t) zur Zeit t verwendet (siehe

[41] und [40]).

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung zur Zeit t + ∆t kann in der soge-

nannten K-Form näherungsweise berechnet werden:

ki = f

t+ ci ∆t, y (t) + ∆ti∑

j=1

Aijkj

,

y (t+ ∆t) = y (t) + ∆ts∑

i=1

biki,

(9.50)

für i = 1, 2, ..., s. Dabei ist s die Anzahl der Stufen des IRK-Schemas und

kann einen Wert von bis zu 20 annehmen. Ferner stellen Aij , bi und ci die

Koeffizienten, Gewichte und Knoten dar, die die Eigenschaften des Verfahrens

festlegen. Hierbei gilt die Beziehung ci =∑s

j=1 Aij . Diese Konstanten können

der sogenannten Butcher-Tabelle entnommen werden (siehe Tabelle 9.1). Wei-

terhin stellen ki die unbekannten Variablen für die Stufen i dar, die sich aus

der ersten nichtlinearen Gleichung der Beziehung (9.50) mit einem iterativen

Verfahren berechnen lassen. Ferner bezeichnet ∆t den aktuellen Zeitschritt.

In [81] wurden numerische MKS-Beispiele mit verschiedenen IRK-Schemen

durchgeführt. Es konnte dabei gezeigt werden, dass hinsichtlich der Effizienz

und Genauigkeit die IRK-Integrationsmethode der Stufe 4 unter Berücksichti-

gung des sogenannten Lobatto-IIIA-Schemas zur dynamischen Berechnung von

142

0 0 0 012

524

13

− 124

1 16

23

16

16

23

16

Tab. 9.2: Koeffizienten des Lobatto-IIIA-Schemas [41]

Nichtlinearitäten sowie Diskontinuitäten in den MKS-Systemen am besten ge-

eignet ist. Aus diesem Grund wird in dieser Arbeit dieses IRK-Schema für die

dynamische MKS-FEM-Berechnung der numerischen Beispiele verwendet. Die

Koeffizienten, Gewichte und Knoten des Lobatto-IIIA-Schemas können Tabelle

9.2 entnommen werden.

Für die Anwendung eines IRK-Schemas zur Lösung von Differentialgleichun-

gen zweiter Ordnung stellt ki die erste Ableitung der Zustandvariablen Zi aller

Stufen i mit i := 1, 2, 3, ..., s dar. Dabei lässt sich die Zeit ti jeder Stufe i mit

ti = t + ci ∆t bestimmen. Auf diese Art und Weise kann die erste Gleichung

der Beziehung (9.50) neu geschrieben werden:

Zi = f

t+ ci ∆t, y (t) + ∆ti∑

j=1

AijZj

. (9.51)

Wird Zi für alle Stufen berechnet, folgt die Lösung y (t+ ∆t) zur Zeit t+ ∆t:

y (t+ ∆t) = y (t) + ∆ts∑

i=1

biZi . (9.52)

9.4.3 Ein IRK-Solver höherer Ordnung zur effizienten Zeitin-

tegration des MKS-FEM-Gleichungssystems

Zur Übersichtlichkeit lässt sich das MKS-FEM-Gleichungssystem der zweiter

Ordnung (9.41) in der folgenden verallgemeinerten Form schreiben:

M (q) q = F (q, q,λ, t) ,

C (q, t) = 0.(9.53)

143

Dabei stellt F den globalen Vektor aus den internen und externen Kraftvekto-

ren, den Zentrifugal- und Corioliskräften sowie den Zwangs- und Dämpfungs-

kräften dar. Ferner bezeichnet C (q, t) den Vektor aller c holonomen Zwangs-

bedingungen des gesamten Mehrkörpersystems:

C (q, t) =[

C1 (q, t) , C2 (q, t) , ..., Cc (q, t)]T, (9.54)

die generell nichtlineare Funktionen der generalisierten Koordinaten q sind.

Matrixbeziehungen eines IRK-Solvers höherer Ordnung

Zur Transformation des Gleichungssystems zweiter Ordnung (9.53) in ein Dif-

ferentialgleichungssystem erster Ordnung wird der generalisierte Geschwindig-

keitsvektor v = q eingeführt. Es ergeben sich:

q = v,

v = (M (q))−1 F (q, v,λ, t) .(9.55)

Bei der Anwendung eines s-stufigen IRK-Schemas wie in Beziehung (9.50) fol-

gen die Vektoren qi und vi für alle Stufen i in der K-Form [81]:

qi = q (t) + ∆ts∑

j=1

AijKqj,

vi = v (t) + ∆ts∑

j=1

AijKvj .

(9.56)

Dabei sind q (t) und v (t) die bekannten Lösungen zur Zeit t. Da die Beziehung

v = q gilt, sind die Vektoren Kqi und vi identisch. Somit ergibt sich:

Kqi = vi = v (t) + ∆ts∑

j=1

AijKvj , (9.57)

wobei Kvj den unbekannten generalisierten Beschleunigungsvektor der Stufe j

zum Zeitpunkt tj = t + cj ∆t darstellt. Ferner kann der Vektor Kvi der Stufe

i mit der zweiten Gleichung der Beziehung (9.55) iterativ berechnet werden:

Mi (qi, ti) Kvi = Fi (qi, vi,λi, ti) , (9.58)

144

wobei Fi (qi, vi,λi, ti) den globalen Kraftvektor aus allen generalisierten Kräf-

ten der Stufe i bezeichnet. Der Ausdruck Mi (qi, ti) beschreibt hierbei die Sy-

stemmassenmatrix der Stufe i. Zur Veranschaulichung der Abhängigkeiten wer-

den der Vektor Fi (qi, vi,λi, ti) sowie die Matrix Mi (qi, ti) mit der Beziehung

(9.56) explizit angegeben:

Fi (qi, vi,λi, ti) = Fi

q (t) + ∆ts∑

j=1

AijKqj, v (t) + ∆ts∑

j=1

AijKvj , λi, ti

,

Mi (qi, ti) = Mi

q (t) + ∆ts∑

j=1

AijKqj, ti

.

(9.59)

Berechnung der Lösungen zur Zeit t+∆t

Unter Berücksichtigung der Zwangsbedingungsgleichungen C (q, t) = 0 wird

der Vektor Kvi einer Stufe i mit dem folgenden Gleichungssystems berechnet:

Gi (qi, vi,λi, ti) =

Mi (qi, ti) Kvi − Fi (qi, vi,λi, ti)

Ci (qi,λi, ti)

= 0. (9.60)

Das Gleichungssystem (9.60) wird für alle Stufen i mit i:=1,2,3,...,s aufge-

stellt. Es ergibt sich dabei das gesamte nichtlineare Gleichungssystem für ein

s-stufiges IRK-Schema zur Lösung des MKS-FEM-Gleichungssystems (9.53):

G (y,λ) =

M1 (q1, t1) Kv1 − F1 (q1, v1,λ1, t1)

M2 (q2, t2) Kv2 − F2 (q2, v2,λ2, t2)...

Ms (qs, ts) Kvs − Fs (qs, vs,λs, ts)

C1 (q1, t1)

C2 (q2, t2)...

Cs (qs, ts)

= 0 , (9.61)

mit dem Vektor y aus den unbekannten Beschleunigungen Kvi aller s Stufe:

y =[

KTv1, KT

v2, ..., KTvs

]T. (9.62)

145

Es ist hierbei zu erkennen, dass der Residuenvektor G (y,λ) auch von dem

Vektor der Lagrange-Parameter λ =[

λT1 , λ

T2 , . . . ,λ

Ts

]Tabhängig ist.

NEWTON-RAPHSONsche Methode: Zur Lösung des Gleichungssystems

(9.61) kann die NEWTON-RAPHSONsche (NR) Methode verwendet werden

[16]. Dafür ergibt sich der NR-Iterationsprozess für i := 1, 2, 3, ..., m:

J(i−1)G ∆y(i) = G(i−1)

(

y(i−1),λ(i−1))

,

y(i) = y(i−1) + ∆y(i),(9.63)

mit der Anfangsbedingung K(0)vi = Kvi (t). Dabei ist m die maximale Anzahl

der Iterationen. Des Weiteren bezeichnet J(i−1)G die Jacobi-Matrix der letzten

Iteration i − 1. ∆y(i) stellt den inkrementellen Lösungsvektor der aktuellen

Iteration i dar. Die Jacobi-Matrix JG wird durch die Ableitung des Residuen-

vektors G (y,λ) (9.61) nach dem Vektor y berechnet. Dabei ergibt sich:

JG =∂ G (y,λ)

∂ y

=

JM

JC

,

(9.64)

mit den Matrizen:

JM =

J(11)M · · · J(1s)

M...

. . ....

J(s1)M · · · J(ss)

M

und JC =

J(11)C · · · J(1s)

C...

. . ....

J(s1)C · · · J(ss)

C

, (9.65)

aus kleineren s×s Submatrizen J(ij)M sowie J(ij)

C mit i, j := 1, 2, 3, ..., s. Mit den

Beziehungen (9.61) und (9.59) sowie der Kettenregel folgt für die Matrix JM:

J(ij)M =

∂ (Mi (qi, ti) Kvi − Fi (qi, vi,λ, ti))

∂ Kvj

= Mi (qi, ti)∂ Kvi

∂ Kvj

− ∂ (Mi (q (t) , t) Kvi (t))

∂ Kvj

− ∂ Fi (qi, vi,λ, ti)

∂ vi

∂ vi

∂ Kvj

− ∂ Fi (qi, vi,λ, ti)

∂ qi

∂ qi

∂ Kvj

,

(9.66)

146

sowie für die Matrix JC:

J(ij)C =

∂ Ci (qi, ti)

∂ qi

∂ qi

∂ Kvj

. (9.67)

Aus dem Grund, dass die Massenmatrix Mi (q (t) , t) sowie die Beschleunigungs-

vektoren Kvi der Stufe i von den Beschleunigungsvektoren Kvj der Stufe j mit

i, j := 1, 2, 3, ..., s unabhängig sind, ergeben sich Beziehungen:

∂ (Mi (q (t) , t) Kvi (t))

∂ Kvj

= 0, (9.68)

und

Mi (qi, ti)∂ Kvi

∂ Kvj

= δij Mi (qi, ti) , (9.69)

mit dem Kronecker-Delta δij . Anhand der Beziehungen (9.56) und (9.57) lassen

sich die Abteilungen der Vektoren q und v nach Kv berechnen:

∂ vi

∂ Kvj

= IGF ∆t Aij,

∂ qi

∂ Kvj

= IGF ∆t2s∑

n=1

AinAnj ,

(9.70)

wobei IGF die Einheitsmatrix mit der Dimension GF × GF bezeichnet. Fer-

ner ist GF die gesamte Anzahl der Freiheitsgrade des Mehrkörpersystems. Im

Weiteren werden die Ableitungen des generalisierten Kraftvektors Fi nach qi

und vi in Beziehung (9.66) durchgeführt. Zur Zweckmäßigkeit der weiteren

Diskussionen wird Fi einer Stufe i mit den Beziehungen (9.35) und (9.41) neu

dargestellt:

Fi (qi, vi,λi, ti) =

(

∂ Ci (qi, ti)

∂ qi

)T

λi +

0

Finti (qfi)

+

Qexti (qri) + Qωi (qri, qri)

Fexti

.

(9.71)

147

Ferner lasen sich der generalisierte Koordinatenvektor qi und Beschleunigungs-

vektor vi einer Stufe i explizit schreiben:

qi =

qri

qfi

und vi =

qri

qfi

. (9.72)

Dadurch, dass die Terme auf der rechten Seite der Beziehung (9.71) nach qi

und vi abgeleitet werden, ergeben sich folgende Beziehungen:

∂ Fi

∂ qi

=∂

∂ qi

(

∂ Ci (qi, ti)

∂ qi

)T

λi

+

∂ Qexti (qri)

∂ qri

+∂ Qωi (qri, qri)

∂ qri

0

0∂ Finti (qfi)

∂ qfi

,

∂ Fi

∂ vi

=

∂ Qωi (qri, qri)

∂ qri

0

0 0

.

(9.73)

Die Kraftvektoren Qexti und Qωi der Stufe i setzen sich aus den Kraftvekto-

ren Qjexti sowie Qj

ωi aller Starrkörper j mit j:=1,2,3,. . . , r zusammen (siehe

Beziehung (9.27)). Daher lassen sich die Ableitungen von Qexti und Qωi auf die

Ableitungen der Kraftvektoren des einzelnen Starrkörpers zurückgeführt. Mit

den Beziehungen (9.20), (9.21) und (9.30) folgen für einen Starrkörper j:

∂ Qjext (qj

r)

∂ qjr

=

0 0

0∂(

Gj)T

∂ θjFj

r,r

,

∂ Qjω

(

qjr , q

jr

)

∂ qjr

= −2

0 0

0

∂(

Gj)T

∂ θjΘ

j ωj +(

Gj)T

Θj ∂ ωj

∂ θj

,

∂ Qjω

(

qjr , q

jr

)

∂ qjr

= −2

0 0

0

∂(

Gj)T

∂ θjΘj ωj +

(

Gj)T

Θj ∂ ωj

∂ θj

.

(9.74)

148

An dieser Stelle wird auf die ausführliche Darstellung der Ausdrücke in Bezie-

hung (9.74) verzichtet. Sie kann jedoch auf die Arbeit [139] von Serban und

Haug sowie [123] von Nikravesh verwiesen werden.

Weiterhin beschreibt Finti (qfi) den assemblierten Spaltenvektor aus den in-

ternen Kraftvektoren aller FE-Körper. Generell stellt dieser eine nichtlineare

Funktion des assemblierten Spaltenvektors aus den Knotenverschiebungsvek-

toren uib aller FE-Körper i mit i:=1,2,3,. . . , f dar. Es ergibt sich unter Berück-

sichtigung der Beziehungen (9.33) und (9.29):

∂ Fint (qf)

∂ qf

=

∂ F1b,int

∂ u1b

0

∂ F2b,int

∂ u2b

0. . .

∂ Ffb,int

∂ ufb

. (9.75)

Der Ausdruck∂ Fj

b,int

∂ ujb

beschreibt hierbei die aus den tangentialen Element-

steifigkeitsmatrizen assemblierte Systemsteifigkeitsmatrix Kjb,T für die j-te FE-

Struktur (siehe Kapitel 5).

Schlussendlich können die Submatrizen JijM in der folgenden expliziten Form

geschrieben werden:

JijM = δij

Mri (qri, t) 0

0 Mf

− ∆t Aij

K1,RIGIDi (qri, qri) 0

0 0

− ∆t2s∑

n=1

AinAnj

K2,RIGIDi (qri, qri) 0

0 KFLEXi (qfi)

+

(

∆t2s∑

n=1

AinAnj

)

∂

∂ qi

(

∂ Ci (qi, ti)

∂ qi

)T

λi.

(9.76)

Dabei beschreibt die Matrix K1,RIGIDi die Änderung der Zentrifugal- und Co-

rioliskräfte Qωi (qri, qri) mit den Geschwindigkeiten qri der Starrkörper. Diese

Matrix setzt sich aus den r Submatrizen auf ihrer Diagonalen zusammen, die

die dritte Gleichung der Beziehung (9.74) für j:=1,2,3. . . , r darstellen:

149

K1,RIGIDi =

∂ Q1ωi

(

q1ri, q

1ri

)

∂ q1ri

0

∂ Q2ωi

(

q2ri, q

2ri

)

∂ q2ri

0. . .

∂ Qrωi (qr

ri, qrri)

∂ qrri

.

(9.77)

Weiterhin repräsentiert die Matrix K2,RIGIDi die Änderung der Zentrifugal- und

Corioliskräfte Qωi (qri, qri) sowie der externen Kräfte Qexti (qri) der Starrkörper

mit ihren Koordinatenvektoren qri. Somit nimmt K2,RIGIDi ebenfalls eine dia-

gonale Form mit den r Submatrizen auf der Diagonalen an (siehe Beziehung

(9.77). Diese Submatrizen stellen hierbei die Summe der ersten und der zweiten

Gleichung der Beziehung (9.74) dar. Für die Übersichtlichkeit wird die Matrix

K2,RIGIDi an dieser Stelle nicht dargestellt.

Der Ausdruck KFLEXi (qfi) in Beziehung (9.76) bezeichnet die globale Sys-

temsteifigkeitsmatrix aus den f Steifigkeitsmatrizen Kjb,T aller FE-Körper:

KFLEXi (qfi) =

K1b,Ti (q1

fi) 0

K2b,Ti (q2

fi)

0. . .

Kfb,Ti

(

qffi

)

. (9.78)

Es ist hier zu bemerken, dass die Submatrizen JijM eine diagonale Form haben

und sich bei der Addition der Submatrizen aus Beziehung (9.76) ergeben. Diese

Submatrizen haben die gleichen Formen und unterscheiden sich symbolisch nur

durch die Vorfaktoren Aij oder∑s

n=1AinAnj (siehe Beziehung (9.66)).

Dadurch, dass die Beziehung (9.70) in Beziehung (9.67) eingesetzt wird,

folgt für die Submatrizen JijC :

JijC = ∆t2

s∑

n=1

AinAnj

∂ Ci (qi, ti)

∂ qi

. (9.79)

Diese Submatrizen werden über die Formulierung der kinematischen Zwangs-

bedingungen des Systems aufgestellt (siehe vorigen Abschnitt 9.3).

Unter Berücksichtigung der Beziehungen (9.76) und (9.65) sowie (9.41) lässt

150

sich die erste Gleichung des Iterationsprozesses (9.63) in der folgenden kom-

pakten Form darstellen:

JM CT

q

Cq 0

(i−1)

∆y

λ

(i)

=

GF

GC

(i−1)

. (9.80)

Hierbei beinhaltet bei der Einführung von Lagrange-Parametern λ der Re-

siduenvektor GF keine Zwangskräfte mehr. Er kann unter Betrachtung des

nichtlinearen Kraftvektors Fnl (9.40) wie folgt angegeben werden:

G(i−1)F =

M1 (q1, t1) Kv1 − Fnl1 (q1, v1, t1)

M2 (q2, t2) Kv2 − Fnl2 (q2, v2, t2)...

Ms (qs, ts) Kvs − Fnls (qs, vs, ts)

(i−1)

. (9.81)

Des Weiteren bezeichnet GC den Vektor aller unbekannten Zwangskräfte des

Mehrkörpersystems:

G(i−1)C =

C1 (q1, t1)

C2 (q2, t2)...

Cs (qs, ts)

(i−1)

. (9.82)

Der Ausdruck Cq beschreibt die Änderung der Zwangsbedingungen C (q, t) mit

den generalisierten Koordinaten q. Diese Matrix wird unter Berücksichtigung

der Beziehung (9.54) berechnet:

Cq =

[(

∂ C1 (q)

∂ q

)T (

∂ C2 (q)

∂ q

)T

. . .

(

∂ Cc (q)

∂ q

)T]T

. (9.83)

Der vollständige NEWTON-RAPHSONsche Prozess (9.80) endet, sobald die

Konvergenzbedingung erfüllt ist [81]:

ǫ(i) ≤ TOL ǫ(0). (9.84)

151

Hierzu wird der Fehler der i-ten Iteration wie folgt definiert:

ǫ(i) =

√∥∥∥∥

(

G(i))T

G(i)∥∥∥∥. (9.85)

Ferner bezeichnet TOL einen bekannten Toleranzparameter. Sind die Beschleu-

nigungsvektoren Kvi aller Stufen i mit i := 1, 2, 3, ..., s erfolgreich bestimmt,

lassen sich die Geschwindigkeits- und Koordinatenvektoren über Beziehung

(9.56) vollständig berechnen.

Bei der Berechnung großer deformierbarer Mehrkörpersysteme mit einem

IRK-Solver kann vor allem wegen der iterativen Berechnungen der Vektoren

Kvi ein hoher Rechenaufwand entstehen. Hinzu kommt, dass Diskontinuitäten

z.B. aus kinematischen Zwangsbedingungen sowie physikalisch-nichtlinearen

Effekten im System zu berücksichtigen sind. Aus diesen Gründen sollen beson-

ders bei Systemen mit einer hohen Anzahl der Freiheitsgrade weitere Maßnah-

men zur schnellen Berechnung dieser Effekte herangezogen werden. Das C++

Programm HOTINT [56], ein impliziter Runge-Kutta-Solver höherer Ordnung,

verfügt über gute Möglichkeiten zur Integration des dynamischen MKS-FEM-

Gleichungssytems (9.53) mit der iterativen NEWTON-RAPHSONschen Me-

thode. Darüber hinaus sind dabei weitere effiziente Optionen zur Erhöhung

der Rechengeschwindigkeit vorhanden.

Im Weiteren werden Möglichkeiten vom Programm HOTINT zur Effizienz-

steigerung bei der Zeitintegration der MKS-Bewegungsgleichungen mit Dis-

kontinuitäten diskutiert [56]. Anschließend werden in Kapitel 10 numerische

Untersuchungen durchgeführt, wobei der HOTINT-Solver zur effizienten und

direkten Behandlung von geometrischen und/oder materiellen Nichtlinearitä-

ten unter Berücksichtigung von Zwangsbedingungen eingesetzt wird.

Methoden zur Effizienzsteigerung für den IRK-Solver

Bei der Berechnung von Mehrkörpersystemen, z.B. mit mehr als 200 Freiheits-

graden, kann die Rechenzeit für das Aufstellen der Jacobi-Matrix JIRK:

JIRK =

JM CT

q

Cq 0

, (9.86)

152

viel länger sein als die für die Zerlegung oder Inversion dieser Matrix [113].

Zur Effizienzsteigerung für einen IRK-Solver soll die Anzahl der Berechnung

der Jacobi-Matrix JIRK klein gehalten werden. Für diesen Zweck lässt sich das

modifizierte NEWTON-RAPHSONsche Verfahren mit der automatischen Zei-

tinkrementsteuerung von Hairer und Wanner ([41], [40]) effektiv verwenden.

Außerdem werden dabei effiziente Verfahren zur Behandlung von Diskontinui-

täten vorgestellt, die z.B. aus nichtlinearen Materialverhalten resultieren.

Modifiziertes NR-Verfahren: Beim modifizierten NR-Verfahren wird die

Jacobi-Matrix JIRK nur neu berechnet, wenn die sogenannte Kontraktion k(i)

einer Iteration i:

k(i) =ǫ(i)

ǫ(i−1), (9.87)

eine der folgenden Bedingungen erfüllt:

1. ǫ(i−1) > 1 für die ersten Iterationen,

2. Überschreitung der maximalen Iterationsanzahl,

3. k(i) > 0.7 für i ≥ 4 mit der Anfangsbedingung: y(i) = y(0).

In manchen Konfigurationen des Mehrkörpersystems, z.B. mit hoch nichtlinea-

ren Materialverhalten, muss die vollständige Jacobi-Matrix JIRK jedoch zur

Verbesserung des Konvergenzverhaltens des NR-Prozesses verwendet werden.

Für eine weitere Reduzierung des Rechenaufwands wird die zweite Ableitung

des Zwangsbedingungsvektors Ci nach den generalisierten Koordinaten qi in

den Submatrizen JijM vernachlässigt:

∂

∂ qi

(

∂ Ci (qi, ti)

∂ qi

)T

λi = 0 . (9.88)

Damit wird die block-diagonale Struktur der Jacobi-Matrix JM beibehalten.

Automatische Zeitinkrementsteuerung: Die Veränderung der Zeitschrittwei-

te bei der Integration des Bewegungsgleichungssystems kann dazu führen, dass

in vielen Fällen die Anzahl der Berechnungen der Jacobi-Matrix verringert wer-

den kann. Dafür haben Gerstmayr und Stangl [81] eine effiziente Möglichkeit

für die IRK-Schemen vorgestellt, die folglich kurz beschrieben wird.

153

Es werden für diesen Zweck folgende Parameter definiert:

• der absolute Toleranzparameter ǫtol,

• der Sicherheitsfaktor gegen die zu großen bzw. zu kleinen Zeitschritte

βmax und βmin = 4,

• der minimale Erhöhungs- und Reduzierungsfaktor für die Zeitschritte

Smin,erh = Smin,red = 2,

• der maximale Erhöhungsfaktor für die Zeitschritte Smax,erh = 5.

Dabei lassen sich die Parameter ǫtol und βmax systemabhängig auswählen. Ist

die folgende Bedingung erfüllt:

ǫ(k) (∆t/2) ≤ ǫ(k) (∆t)

βmax, (9.89)

soll die neue Zeitschrittweite ∆t(k+1) berechnet werden:

∆t(k+1) = Popt ∆t(k), (9.90)

mit dem sogenannten optimalen Faktor:

Popt = MAX (Smax,erh,MAX (P, Smin,erh, Smin,red)) . (9.91)

Der Parameter P ist dabei wie folgt definiert:

P =ǫ(k−1) (∆t)

ǫ(k) (∆t)

(

∆t(k)

∆t(k−1)

)ord (

ǫtol

βmin ǫ(k) (∆t/2)

) 11+ord

. (9.92)

In dieser Arbeit nimmt der Parameter βmax den Wert β2min an. Weiterhin ergibt

sich die Definition für den Fehler ǫ (∆t/2) bezüglich der Lösung y (∆t/2):

ǫ (∆t/2) =1

2ord − 1‖y (∆t) − y (∆t/2)‖ , (9.93)

wobei y (∆t) und y (∆t/2) den Lösungsvektor der ganzen bzw. der Hälfte der

Zeitschrittweite ∆t darstellen. Ferner bezeichnet ord die Ordnung des Differen-

tialgleichungssystems des Problems.

154

Im Fall, dass sehr starke Nichtlinearitäten bzw. Diskontinuitäten im System

vorkommen und die Berechnung mit der Konvergenzbedingung (9.89) nicht

konvergieren kann, wird die Schrittweite weiter reduziert:

∆t(k+1) =1

4∆t(k). (9.94)

Nach erfolgreichem Berechnungsinkrement mit starken Nichtlinearitäten gilt

ord = 1 und die Berechnung wird weiter mit der Zeitschrittweite aus Bezie-

hung (9.90) durchgeführt. Weiterhin kann bei der permanenten Änderung der

Zeitschrittweite die numerische Dämpfung mit dem Faktor dIRK = 0.1 in die

Berechnung eingebracht werden. Damit lässt sich der Fehler ǫ(k)d (∆t/2) in der

Iteration i definieren:

ǫ(k)d (∆t/2) = MAX

(

ǫ(k) (∆t/2) , (1 − dIRK) ǫ(k−1)d (∆t/2) + dIRK ǫ(k) (∆t/2)

)

.

(9.95)

Berechnung von Diskontinuitäten: Diskontinuitäten resultieren dadurch, dass

sich z.B. der Materialzustand des Bauteils während der iterativen Berechnun-

gen ändert. Dies kann dazu führen, dass der Iterationsprozess nicht konvergiert

oder inakzeptable Ergebnisse liefert. Um dieses Problem zu umgehen, haben

Gerstmayr und Stangl [81] ein Verfahren vorgestellt, bei dem zusätzliche Be-

rechnungen der sogenannten Diskontinuitätsvariablen im Anschluss an den üb-

lichen modifizierten NR-Iterationsprozess durchgeführt werden. Dabei können

folgende Möglichkeiten eingesetzt werden:

1. Bedingte Zeitschrittweitenreduzierung zur Konvergenz der Lösung,

2. Verwendung einer maximalen Zeitschrittweite bei der Berechnung der

Diskontinuitäten,

3. Berücksichtigung der numerischen Dissipationsenergie bei der Berech-

nung des Fehlers (siehe Beziehung (9.95)).

An dieser Stelle wird auf die detaillierte Beschreibung hierfür verzichtet, sie

kann jedoch in der Arbeit [81] von Gerstmayr und Stangl gefunden werden.

155

Optimale Nummerierung des globalen Koordinatenvektors: Im Fall großer

Mehrkörpersystemen ist die Jacobi-Matrix JIRK schwach besetzt. Unter An-

wendung eines direkten Solvers ist die Zerlegung dieser Matrix ineffizient. Um

diese Probleme zu umgehen, stellt Gerstmayr einen Algorithmus vor, um den

globalen generalisierten Koordinatenvektor speziell bei Systemen mit Ketten-

oder Baumstruktur optimal zu nummerieren. Dies führt dazu, dass die Band-

struktur des kleineren Subgleichungssystems für jede Kette hergestellt werden

kann. So werden nur Lagrange-Parameter zur Verbindung der Ketten mit den

anderen Ketten bzw. mit den restlichen Schleifen des Systems benötigt. Folg-

lich wird die Anzahl der neuen Lagrange-Parameter λ und die Dimension der

neuen Matrix Cq klein gehalten. Direkte Solver für bandförmige Matrizen las-

sen sich mit der Schur-Komplement-Methode effizient einsetzen.

Als Ergebnis der optimalen Nummerierung folgt aus der Beziehung (9.80):

JM C

T

q

Cq 0

∆y

λ

=

GF

GC

, (9.96)

wobei ∆y den inkrementellen Vektor gemäß des neuen globalen Koordinaten-

vektors darstellt. Ferner sind GF und GC die neuen generalisierten Kraftvekto-

ren nach der Nummerierung. Mit Hilfe der Schur-Komplement-Methode wird

das Gleichungssystem (9.96) wie folgt gelöst:

S = −CqJ−1

M CT

q ,

λ = S−1(

GC − CqJ−1

M GF

)

,

∆y = S−1(

GF − CT

q λ

)

.

(9.97)

Es ist dabei zu erkennen, dass die Zerlegung der Matrix J−1

M wegen ihrer block-

diagonalen Struktur effizient durchgeführt werden kann. Weiterhin lässt sich

die Matrix S wegen ihrer kleinen Dimension ebenfalls mit einem geringen Re-

chenaufwand faktorisieren. Im Fall linearer Bindungen ist die Matrix Cq nach

Beziehung (9.48) konstant mit Cq = C0q. Somit kann C0

q bei der Initialisierung

einmal berechnet und für die weiteren Berechnungen verwendet werden.

Somit ist der implizite Runge-Kutta-Solver höherer Ordnungen in Kombina-

tion mit dem modifizierten NEWTON-RAPHSONschen Verfahren vollständig

beschrieben. Eine Übersicht dafür wird in Abbildung 9.4 dargestellt.

156

Auswahl der IRK-Integrationsmethode

Schema und Ordnung aus der Butcher-Tabelle

Berechnung der Zeitschrittweite

MKS-FEM-Bewegungsgleichungssystem

1. Massenmatrizen aller Starrköper

2. Zentrifugal- und Corioliskräfte starrer Körper

3. Tangentiale Steifigkeitsmatrizen aller Finite-Elemente

4. Interne Elementkraftvektoren aller Finite-Elemente

5. Zwangskräfte und Ableitungen

Modifizierte NR-Iteration

Vollständige NR-Iteration

oder Reduzierung der

Zeitschrittweite

Prüfung der Konvergenz-

bedingung Keine Konvergenz

Prüfung der Diskontinuitätsbedingungen

Nein

Ja

Nein

Berechnung der neuen Diskontinuität-Variablen

Prüfung der Diskontinuitätsbedingungen

Ja

Prüfung der Bedingungen für die Zeitintegration

Ja

Nein

Neues Zeitinkrement

Ja

Nein

Abb. 9.4: Ein IRK-Solver mit der modifizierten NR-Methode zur Berechnungvon Diskontinuitäten [73]

Kapitel 10

Einsatz der entwickelten

MKS-FEM-Methode in technischen

Anwendungen

Das Hauptziel dieses Kapitels ist die Validierung der direkten Integration geo-

metrischer und/oder materieller Nichtlinearitäten in die Simulation deformier-

barer Mehrkörpersysteme unter Verwendung der MKS-FEM-Methode. Ferner

wird über einen möglichen Einsatz dieser Berechnungsmethode in technischen

Anwendungen diskutiert.

In den nachfolgenden Ausführungen wird unter anderem auf die folgenden

Problemstellungen eingegangen:

• die Effizienz und Genauigkeit der Berechnung geometrischer und/oder

materieller Nichtlinearitäten mit Hilfe der CR-Formulierungen,

• ein Vergleich der CR-Formulierungen mit der ANC-Formulierung,

• die Flexibilität und Robustheit der MKS-FEM-Methode auch bei der

Simulation komplexer technischer Mehrkörpersysteme.

Hierfür werden relevante numerische Berechnungsbeispiele durchgeführt. Für

die Auswertung der numerischen Lösungen werden die Ergebnisse aus den

MKS-FEM-Simulationen mit den Ergebnissen aus ABAQUS-Berechnungen

verglichen, wobei gleiche Berechnungsmodelle verwendet werden. Die MKS-

FEM-Simulationen werden in dieser Arbeit mit Hilfe des MKS-Programms

157

158

Prozessor Intel Core i7 CPU, 2.80 GHz

RAM 16 GB

Systemtyp 64 Bit

Tab. 10.1: Eigenschaften des verwendeten Computersystems

HOTINT [73] durchgeführt. Ferner erfolgen alle MKS-FEM- und ABAQUS-

Berechnungen mit Hilfe des gleichen Computersystems (siehe Tabelle 10.1).

10.1 Statische Berechnungen einer 3D Kragplatte

im Erdschwerefeld

L

b

h

g

xg1xg2

xg3

o

P

Abb. 10.1: Geometrische Abmessungen einer eingespannten Kragplatte (L =200 mm, b = 100 mm, h = 20 mm)

In diesem Abschnitt wird die große elastische Deformation einer fest einge-

spannten Kragplatte unter Wirkung der Fallbeschleunigung g = 9810 mm/s2

in der xg3-Richtung berechnet (siehe Abbildung 10.1). Bei allen folgenden Be-

rechnungen besteht die Kragplatte aus einem isotropen, homogenen linear-

elastischen Material mit den Materialkennwerten E = 1000 N/mm2 und ν =

159

Bezeichnung ABAQUS MKS-FEM

Lösungstechnik Voll. NEWTON Modi. NEWTON

Konst. Lastinkrement 20% 20%

Toleranzparameter Ra=0.5% TOL=0.1%

Tab. 10.2: Einstellungen für die nichtlinearen statischen ABAQUS- und dieMKS-FEM-Berechnungen der Kragplatte

g

Feste Einspannung

Abb. 10.2: Berechnungsmodell mit 120 Hexaederelementen (Rechts) und mit891 Tetraederelementen (Links)

0.3. Für die Validierung des Ergebnisses werden die Verschiebungen U1 und

U3 des Punktes P in der xg1- sowie der xg3-Richtung des globalen Koordina-

tensystems betrachtet.

10.1.1 Über die Genauigkeit der CLCR-Formulierung

Nachfolgend werden die Ergebnisse aus den MKS-FEM-Berechnungen unter

Verwendung der CLCR-Formulierung bei unterschiedlichen Vernetzungen dis-

kutiert. Ein Vergleich zwischen den nichtlinearen FE-Formulierungen wird in

Abschnitt 10.1.2 beschrieben. Für die Veranschaulichung wird das diskretisierte

FE-Modell der Kragplatte mit 120 Hexaederelementen und 891 Tetraederele-

menten in Abbildung 10.2 dargestellt.

Zur Realisierung der festen Einspannung werden die Verschiebungen in den

drei globalen Richtungen aller Knoten auf einer Endfläche gesperrt. Die Be-

rechnungen erfolgen in 5 konstanten Lastinkrementen. Die Einstellungen kön-

nen aus Tabelle 10.2 entnommen werden. Dabei bezeichnet Ra die euklidische

Norm des globalen Residuumskraftvektors [5]. TOL beschreibt den bekannten

160

Elementanzahl [1] 92 186 293 891

CLCR-Formulierung [mm] 25.30 65.43 88.49 117.55

ABAQUS [mm] 25.15 64.94 87.32 117.63

Rel. Abweichung [%] 0.6 0.8 1.3 -0.007

Tab. 10.3: Verschiebung U3 des Punktes P aus den statischen Berechnungender Kragplatte und ihre relativen Abweichungen bei unterschiedlicher Anzahlvon Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen

Toleranzparameter zur Prüfung der Konvergenz des MKS-FEM-Solvers in je-

dem Lastinkrement (siehe Abbildung 9.84). Die Rotationsmatrix der finiten

Elemente wird in der MKS-FEM-Berechnung dadurch bestimmt, dass bei der

Polarzerlegung des Deformationsgradienten der HIGHAMsche Algorithmus III

aus Abschnitt C.2.3 zum Einsatz kommt.

Tetraederelement mit linearen Ansatzfunktionen: Zunächst wird an dieser

Stelle die Genauigkeit der CR-Tetraederelemente mit linearen Ansatzfuntionen

geprüft.

In den Abbildungen 10.3 und 10.4 wird gezeigt, dass die Verschiebungs-

kurven U1 und U3 des Punktes P aus ABAQUS- sowie aus den MKS-FEM-

Berechnungen nahezu perfekt übereinstimmen. Weiterhin kann eine detaillierte

Darstellung des Ergebnisses für die Verschiebung U3 und die relativen Abwei-

chungen aus Tabelle 10.3 entnommen werden.

Die relative Abweichung der Verschiebung U3 aus der CLCR-Formulierung

zu der Lösung aus ABAQUS bei einer Diskretisierung mit 891 Tetraederele-

menten mit linearen Ansatzfunktion beträgt hierbei -0.07 %. Bei einer Vernet-

zung aus 293 Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen nimmt diese

Abweichung einen Wert von 1.3 % an. Des Weiteren wird im Fall von 891 Ele-

menten eine maximale logarithmische Dehnung an der festen Einspannung der

Kragplatte von etwa 16.6% berechnet.

Tetraederelement mit quadratischen Ansatzfunktionen: Die Verschiebungen

U1 und U3 des Punktes P im Fall von Tetraederelementen mit quadratischen

Ansatzfunktionen sind in Abbildungen 10.5 und 10.6 dargestellt. Ebenfalls

kann dabei eine nahezu perfekte Übereinstimmung zwischen den Verschie-

161

- 0

-50

-40

-30

- 0

-10

0

0 0. 0.4 0. 0.8 1

Abaqus-NL-ON, 891 El.Abaqus-NL-ON, 293 El.Abaqus-NL-ON, 186 El.Abaqus-NL-ON, 92 El.CLCR-Form., 891 El.CLCR-Form., 293 El.CLCR-Form., 186 El.CLCR-Form., 92 El.

Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.3: Verschiebung U1 des Punktes P in der xg1-Richtung bei verschiede-nen Netzfeinheiten mit Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen

2

4

6

8

1

12

14

.2 .4 .6 .8 1


Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.4: Verschiebung U3 des Punktes P in der xg3-Richtung bei verschiede-nen Netzfeinheiten mit Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen

162

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Abaqus-NL-ON, 293 El.Abaqus-NL-ON, 186 El.Abaqus-NL-ON, 92 El.CLCR-Form., 293 El.CLCR-Form., 186 El.CLCR-Form., 92 El.

Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.5: Verschiebung U1 des Punktes P in der xg1-Richtung bei verschiede-nen Netzfeinheiten mit Tetraederelementen mit quadratischen Ansatzfunktio-nen

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.6: Verschiebung U3 des Punktes P in der xg3-Richtung bei verschiede-nen Netzfeinheiten mit Tetraederelementen mit quadratischen Ansatzfunktio-nen

163

Elementanzahl [1] 92 186 293

CLCR-Formulierung [mm] 136.34 153.60 155.76

ABAQUS [mm] 134.88 153.19 156.27

Rel. Abweichung [%] 1.1 0.27 -0.33

Tab. 10.4: Verschiebung U3 des Punktes P aus den statischen Berechnungender Kragplatte und ihre relativen Abweichungen bei unterschiedlicher Anzahlvon Tetraederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen

Inkrement 0.0 Inkrement 0.4 Inkrement 1.0

Abb. 10.7: Deformationsverhalten der Kragplatte aus der MKS-FEM-Berechnung mit 293 Tetraederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen

bungskurven festgestellt werden. Dabei beträgt die relative Abweichung der

Verschiebung U3 aus der CLCR-Formulierung zu der Lösung aus ABAQUS

bei einer Diskretisierung mit 92 Elementen 1.1 % (siehe Tabelle 10.4).

Zur Veranschaulichung wird in Abbildung 10.7 das Deformationsverhal-

ten der Kragplatte aus der MKS-FEM-Berechnung mit 293 Elementen darge-

stellt. Dabei wird eine große elastische Biegeverformung der Kragplatte bei

den Lastinkrementen 0.4 und 1.0 illustriert. Ferner beträgt in diesem Fall

die maximale logarithmische Dehnung an der Einspannung 23.34%, was ein

sehr großes elastisches Dehnungsverhalten in diesem Bereich bedeutet. Nach

Bathe [16] kann das isotrope, homogene linear-elastische Materialgesetz bei

großen Verzerrungen als das generalisierte HOOKEsche Materialverhalten be-

zeichnet werden, wobei die 2PK-Spannungsmatrix das Produkt von der GL-

Verzerrungsmatrix und der HOOKEschen Matrix darstellt.

164

-100

-90

-80

- 0

-60

- 0

-40

-30

-20

-10

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.8: Verschiebung U1 des Punktes P in der xg1-Richtung bei verschiede-nen Netzfeinheiten mit Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen

Zusammenfassung für das CLCR-Tetraederelement: Die Ergebnisse aus den

statischen Berechnungen der elastischen Kragplatte bestätigen die hohe Genau-

igkeit der CLCR-Formulierung auch unter Verwendung von co-rotationalen Te-

traederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen. Diese Tatsache basiert

auf der genauen Darstellung der Starrkörperrotation der Tetraederelemente

aufgrund ihrer einfachen Form. Ferner wird hierbei ein linear-elastisches Mate-

rialverhalten berücksichtigt. Es ergibt sich dabei eine relative Abweichung von

lediglich 1.3%. Im Rahmen dieser Untersuchung wird eine große lokale Verzer-

rung von über 20% effizient ermittelt.

Hexaederelement mit linearen Ansatzfunktionen: Ebenfalls ergeben sich

im Fall von CR-Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen gute Er-

gebnisse im Vergleich zu den ABAQUS-Ergebnissen. Außerdem kann dabei

festgestellt werden, dass sich bei der Erhöhung der Elementanzahl die Ergeb-

nisse im Fall von CR-Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen und

im Fall von Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen (C3D8-NL-ON)

von ABAQUS stärker unterscheiden (siehe Abbildungen 10.8 und 10.9). Dieser

Effekt tritt dadurch auf, dass zur Berechnung der rotierten Konfiguration jedes

165

0

0

100

1 0

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.9: Verschiebung U3 des Punktes P in der xg3-Richtung bei verschiede-nen Netzfeinheiten mit Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen

Elementanzahl [1] 8 16 24 120

CLCR-Formulierung [mm] 43.75 99.47 127.01 145.30

ABAQUS [mm] 44.40 103 131.84 150.09

Rel. Abweichung [%] -1.5 -3.4 -3.7 -3.2

Tab. 10.5: Verschiebung U3 des Punktes P aus den statischen Berechnungen derKragplatte und ihre relativen Abweichungen im Fall mit Hexaederelementenmit linearen Ansatzfunktionen

finiten Elements eine repräsentative Rotationsmatrix für das gesamte Element

bestimmt wird. Im Fall, dass die rotierte und die aktuelle Konfiguration sehr

dicht beieinander liegen, können die CR-Formulierungen im Vergleich zu der

TL- oder der TL-Formulierung fast gleiche Ergebnisse liefern. Bei der großen

Biegeverformung der Kragplatte kann vor allem im Einspannungsbereich ein

großer Unterschied zwischen diesen beiden Konfigurationen entstehen. Aus die-

sem Grund haben die CR-Hexaederelemente mit linearen Ansatzfunktionen

Schwierigkeiten, die Krümmung an der Einspannstelle abzubilden. Je größer

die Biegeverformung der Kragplatte wird, desto deutlicher ist dieser Effekt zu

erkennen. In Tabelle 10.5 sind die Verschiebung U3 des Punktes P bei un-

166


Abb. 10.10: Deformationsverhalten der Kragplatte aus der MKS-FEM-Berechnung mit 120 Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen

terschiedlichen Netzfeinheiten und ihre relativen Abweichungen dargestellt. Es

ist zu erkennen, dass eine maximale Abweichung von -3.7% vorliegt. Ferner

beträgt sie für den Fall einer Diskretisierung mit 8 Elementen nur -1.5%. Dies

kann darauf zurückgeführt werden, dass aufgrund der groben Diskretisierung

der Kragplatte lediglich eine kleine Biegeverformung berechnet wird. Somit

bleiben die Verzerrungen in den Integrationspunkten relativ zur Starrkörper-

rotation des Elements ausreichend klein.

Bei der Diskretisierung der Kragplatte mit 120 Hexaederelementen kann

eine maximale Verzerrung von bis zu 20 % ermittelt werden. Zur Veranschauli-

chung wird in Abbildung 10.10 das Deformationsverhalten der Kragplatte aus

der MKS-FEM-Berechnung mit 120 Hexaederelementen dargestellt. Ebenfalls

ist eine große Verformung der Kragplatte bei den Lastinkrementen 0.4 und 1.0

zu erkennen.

Hexaederelement mit quadratischen Ansatzfunktionen: Im Gegensatz da-

zu verhält sich das CR-Hexaederelement mit quadratischen Ansatzfunktionen

weicher als das Hexaederelement C3D20-NL-ON von ABAQUS (siehe Abbil-

dungen 10.11 und 10.12). Dieses Verhalten kann auftreten, wenn das Biege-

verhalten einer deformierbaren Struktur bei einer geringen Anzahl von CR-

Hexaederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen berechnet wird.

Der Grund für diesen Effekt liegt hauptsächlich in der Darstellung der Starr-

körperrotation für das Hexaederelement mit quadratischen Ansatzfunktionen.

167

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.11: Verschiebung U1 des Punktes P in der xg1-Richtung bei verschie-denen Netzfeinheiten mit Hexaederelementen mit quadratischen Ansatzfunk-tionen

0

0

100

1 0

200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.12: Verschiebung U3 des Punktes P in der xg3-Richtung bei verschie-denen Netzfeinheiten mit Hexaederelementen mit quadratischen Ansatzfunk-tionen

168


Abb. 10.13: Deformationsverhalten der Kragplatte aus der MKS-FEM-Berechnung mit 8 Hexaederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen

Elementanzahl [1] 8 16 120

CLCR-Formulierung [mm] 169.60 162 157.74

ABAQUS [mm] 136.19 152.40 157.72

Rel. Abweichung [%] 24.53 6.3 0.001

Tab. 10.6: Verschiebung U3 des Punktes P aus den statischen Berechnungender Kragplatte und ihre relativen Abweichungen bei unterschiedlicher Anzahlvon Hexaederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen

Dadurch, dass die Rotationsmatrix aus der Polarzerlegung des Deformations-

gradienten lediglich am Schwerpunkt des Elements ermittelt wird, können im

Vergleich zu der TL- und der UL-Formulierung die Verzerrungen in den Inte-

grationspunkten mit Abweichungen berechnet werden. So wird die Verformung

des Elements in vielen Fällen nicht richtig wiedergegeben (siehe Abbildung

10.13). Es kann hier bemerkt werden, dass z.B. in der TL-Formulierung der

GREEN-LAGRANGEsche Verzerrungstensor in den Integrationspunkten in

die Berechnung einbezogen wird. Bei einer zunehmenden Elementanzahl nä-

hern sich jedoch die Lösungen aus der CLCR-Formulierung den Lösungen aus

ABAQUS an (siehe Abbildungen 10.12 und 10.11).

Eine Übersicht für die Verschiebung U3 des Punktes P bei unterschiedli-

cher Elementanzahl kann aus Tabelle 10.6 entnommen werden. Dabei wird

deutlich, dass das CR-Hexaederelement mit quadratischen Ansatzfunktionen

169

generell weicher ist als das Element C3D20-NL-ON von ABAQUS. Ferner be-

trägt die relative Abweichung im Fall von 120 Elementen lediglich 0.001%. Im

diesem Fall wird eine maximale logarithmische Dehnung an der Festeinspan-

nung der Kragplatte von 24% berechnet.

Zusammenfassung für das CLCR-Hexaederelement: Der Vergleich der CR-

Hexaederelemente mit dem Element C3D8- und C3D20-NL-ON von ABAQUS

zeigt, dass CR-Hexaederelemente zur effizienten Berechnung großer elastischer

Deformationen eingesetzt werden können. Jedoch ist dabei eine ausreichend

feine Diskretisierung des Berechnungsmodells zur richtigen Darstellung des De-

formationverhaltens vorzunehmen. Ferner lässt sich eine große lokale Dehnung

von 24 % mit diesen CR-Hexaederelementen berechnen.

10.1.2 Ein Vergleich zwischen den CR-Formulierungen und der

ANC-Formulierung

Im vorigen Abschnitt wurde die Genauigkeit der Berechnung mit Hilfe der

CLCR-Formulierung diskutiert. Im Weiteren werden die CLCR-, die EICR-

und die ANC-Formulierung vor allem hinsichtlich der Genauigkeit bei unter-

schiedlichen Netzfeinheiten verglichen. Zu diesem Zweck werden hierbei ver-

schiedene Konvergenzanalysen für die Kragplatte durchgeführt. Dabei werden

die Ergebnisse aus den statischen MKS-FEM-Berechnungen der Kragplatte aus

Abschnitt 10.1 betrachtet. Es soll hiermit hauptsächlich gezeigt werden, wie

sich die Abhängigkeit der Verschiebungen von der Knotenanzahl bei verschie-

denen FE-Formulierungen tendenziell entwickelt. Für diesen Zweck wird bei

jeder Konvergenzanalyse nur eine begrenzte Elementanzahl zur Auswertung

herangezogen.

Die Konvergenzanalyse im Fall von Hexaederelementen mit linearen Ansatz-

funktionen wird in Abbildung 10.14 dargestellt. Dabei ist zu erkennen, dass die

Berechnungen mit den CR-Formulierungen und der ANC-Formulierung fast

identische Ergebnisse liefern. Es kann hierbei festgestellt werden, dass beim

großen Biegeverformungsverhalten das CR- und das ANC-Hexaederelement

mit linearen Ansatzfunktionen Schwierigkeiten bei der Darstellung der Krüm-

mung, besonders an der Einspannstelle haben. Ebenfalls ergeben sich im Fall

170

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 20 40 60 80 100 120

Abaqus-NL-ONCLCR-Form.E CR-Form.ANC-Form.

Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Elementanzahl [1]

Abb. 10.14: Konvergenzanalyse mit Hexaederelementen mit linearen Ansatz-funktionen anhand der Verschiebung U3 des Punktes P in der xg3-Richtung

von CR-Hexaederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen gleiche Er-

gebnisse. Weiterhin sind aus dem Grund, dass bei großen Biegeverformungen

die Verzerrungszustände in den Integrationspunkten mit den co-rotationalen

Formulierungen nicht richtig dargestellt werden können, die co-rotationalen

Hexaederelemente mit quadratischen Ansatzfunktionen weicher als das Hexa-

ederelement C3D20-NL-ON von ABAQUS, was bereits im vorigen Abschnitt

erwähnt wurde. Dagegen gibt es eine sehr gute Übereinstimmung zwischen

den Ergebnissen aus Rechnungen mit dem ANC-Hexaederelement mit qua-

dratischen Ansatzfunktionen und dem Hexaederelement C3D20-NL-ON von

ABAQUS (siehe Abbildung 10.15).

Weiterhin werden Konvergenzanalysen mit Tetraederelementen durchgeführt.

Ihre Ergebnisse werden in den Abbildungen 10.16 und 10.17 dargestellt. Es ist

zu erkennen, dass die Ergebnisse aus den MKS-FEM-Berechnungen mit den

Ergebnissen aus ABAQUS nahezu perfekt übereinstimmen. Die gleiche Fest-

stellung kann für das ANC-Tetraederelement mit linearen bzw. quadratischen

Ansatzfunktionen getroffen werden.

Bei einer groben Diskretisierung der untersuchten Kragplatte verhält sich

das ANC-Tetraederelement mit quadratischen Ansatzfunktionen steifer als das

171

13

140

14

1 0

1

160

16

1 0

0 20 40 60 80 100 120


Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Elementanzahl [1]

Abb. 10.15: Konvergenzanalyse mit Hexaederelementen mit quadratischen An-satzfunktionen anhand der Verschiebung U3 des Punktes P in der xg3-Richtung

0

20

40

60

80

100

120

0 100 200 300 400 00 600 00 800 900


Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Elementanzahl [1]

Abb. 10.16: Konvergenzanalyse mit Tetraederelementen mit linearen Ansatz-funktionen anhand der Verschiebung U3 des Punktes P in der xg3-Richtung

172

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0 100 1 0 200 2 0 300


Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Elementanzahl [1]

Abb. 10.17: Konvergenzanalyse mit Tetraederelementen mit quadratischen An-satzfunktionen anhand der Verschiebung U3 des Punktes P in der xg3-Richtung

Element C3D10-NL-ON von ABAQUS sowie die CR-Tetraederelemente mit

quadratischen Ansatzfunktionen.

10.1.3 Bewertung der Effizienz der CR-Formulierungen und

der ANC-Formulierung

Weiterhin wird über die Effizienz der CR-Formulierungen sowie der ANC-

Formulierung diskutiert. Dafür wird die Abhängigkeit der Berechnungszeit von

der Knotenanzahl bei verschiedenen Elementtypen dargestellt. Die statische

Gleichgewichtslage der Kragplatte unter Wirkung des Eigengewichts wird mit

gleichen Einstellungen wie in Tabelle 10.2, jedoch nur in einem Lastinkrement

berechnet. Dabei konvergierten die ABAQUS-Berechnungen wegen eines zu

großen Lastinkrements nicht, so dass ihre Berechnungszeit nicht in diese Be-

wertung einbezogen werden kann.

Wie in Abbildung 10.18 dargestellt, stimmen die Berechnungszeitkurven

im Fall von Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen unter Verwen-

dung der drei Formulierungen gut überein. Dabei beträgt die Berechnungszeit

für das FE-Netz aus 231 Knoten etwa 14 Sekunden. Weiterhin kann festge-

173

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0 100 1 0 200 2 0

E CR-Form.CLCR-Form.ANC-Form.

Ber

echnu

ngs

zeit

[s]

Knotenanzahl [1]

Abb. 10.18: Abhängikeit der Berechnungszeit von der Knotenanzahl für FE-Modelle mit Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen

stellt werden, dass bei der Diskretisierung mit Hexaederelementen mit quadra-

tischen Ansatzfunktionen die CR-Formulierungen effizienter sind als die ANC-

Formulierung. Für das FE-Netz aus 800 Knoten erfolgte die Berechnung mit

der ANC-Formulierung in 440 Sekunden. Dagegen beträgt die Berechnungs-

zeit des gleichen Modells mit Hilfe der CR-Formulierungen nur 180 Sekun-

den (siehe Abbildung 10.19). Ebenfalls ist anhand der Abbildungen 10.20 und

10.21 festzustellen, dass die CR-Tetraederelemente effizienter sind als die ANC-

Tetraederelemente. Im Fall des FE-Netzes aus 260 Knoten mit Tetraederele-

menten mit linearen Ansatzfunktionen erfolgen die CR-Berechnungen in etwa

20 Sekunden. Dagegen lässt sich das gleiche Modell mit der ANC-Formulierung

in 41 Sekunden berechnen. Im Fall von Tetraederelementen mit quadratischen

Ansatzfunktionen ist die CR-Berechnung fast drei mal schneller als die Berech-

nung mit der ANC-Formulierung.

Zusammenfassung für die Effizienz: Im Rahmen der statischen Berechnungen

der Kragplatte kann zusammengefasst werden, dass hinsichtlich der Effizienz

die MKS-FEM-Berechnungen mit der CLCR- und der EICR-Formulierung ef-

fizienter sind als mit der ANC-Formulierung. Diese Feststellung wird im Fall

174

0

0

100

1 0

200

2 0

300

3 0

400

4 0

0 100 200 300 400 00 600 00 800


Ber

echnu

ngs

zeit

[s]

Knotenanzahl [1]

Abb. 10.19: Abhängikeit der Berechnungszeit von der Kontenanzahl für FE-Modelle mit Hexaederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen

0

10

1

20

2

30

3

40

4

0 0 100 1 0 200 2 0 300


Ber

echnu

ngs

zeit

[s]

Knotenanzahl [1]

Abb. 10.20: Abhängikeiten der Berechnungszeit von der Knotenanzahl für FE-Modelle mit Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen

175

0

00

1000

1 00

2000

2 00

3000

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600


Ber

echnu

ngs

zeit

[s]

Knotenanzahl [1]

Abb. 10.21: Abhängikeit der Berechnungszeit von der Knotenanzahl für FE-Modelle mit Tetraederelementen quadratischer Anstazfunktionen

von Hexaeder- und Tetraederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen

am besten verdeutlicht. Die Effizienz dieser FE-Formulierungen in der dyna-

mischen Simulation wird in Abschnitt 10.2 diskutiert.

10.2 Dynamische Berechnung einer 3D Kragplatte

im Erdschwerefeld

Zur weiteren Bewertung der CR-Formulierungen sowie der ANC-Formulierung

werden dynamische Berechnungen der Kragplatte bei unterschiedlichen Diskre-

tisierungen vorgenommen. Dabei wird die Kragplatte unter Wirkung der Fall-

beschleunigung an einer Endfläche fest eingespannt. Sie wird aus der Ruhelage

losgelassen, wie in Abbildung 10.1 dargestellt. Weiterhin wird ein isotropes,

homogenes linear-elastisches Material (E = 2000 N/mm2, ν = 0.3) ausge-

wählt. Die Dichte der Kragplatte beträgt hierbei 7850 × 10−9 Kg/mm3. Mit

Tetraeder- und Hexaederelementen mit linearen sowie quadratischen Ansatz-

funktionen wird die Kragplatte diskretisiert. Es werden alle dynamischen MKS-

FEM-Berechnungen mit dem IRK-Integrationsverfahren unter Berücksichti-

gung der Lobatto-IIIA-Tabelle durchgeführt. Bei den dynamischen ABAQUS-

176


ZeitintegrationImpli. HHT Impli. LobattoIIIA

Quasi NEWTON Modi. NEWTON

Konst. Zeitinkrement [s] 0.002 0.002

Toleranzparameter [1]

Lin. Ansatzfunktionen Ra=0.5% TOL=0.01%

Quad. Ansatzfunktionen Ra=0.5% TOL=0.001%

Simulationszeit [s]

Lin. Ansatzfunktionen 5 5

Quad. Ansatzfunktionen 3.5 3.5

Tab. 10.7: Einstellungen für die dynamischen ABAQUS- und die MKS-FEM-Berechnungen der Kragplatte unter Anwendung von Elementen linearer undquadratischer Ansatzfuktionen

Berechnungen wird die implizite HILBER-HUGHES-TYLORsche (HHT) Zei-

tintegrationsmethode verwendet [5]. Ferner kommt hierbei ein konstantes Zei-

tinkrement von 0.002 s zum Einsatz. Die detaillierten Einstellungen für die

ABAQUS- und die MKS-FEM-Berechnungen sind in Tabelle 10.7 dargestellt.

Wie bei den statischen Berechnungen, wird bei der Polarzerlegung zur Be-

rechnung der Rotationsmatrix in allen CR-FE-Berechnungen der HIGHAM-

sche Algorithmus III aus Abschnitt C.2.3 in Anhang C verwendet. Weiterhin

werden zur Bewertung des Ergebnisses die Verschiebungen U1 und U3 des

Punktes P in der xg1- und der xg3-Richtung des globalen Koordinatensystems

dargestellt.

Die Ergebnisse bei der Vernetzung mit 120 Hexaederelementen mit linearen

Ansatzfunktionen werden in den Abbildungen 10.22 und 10.23 dargestellt. Es

ist dabei zu erkennen, dass die zeitlichen Verläufe der Verschiebung U3 des

Punktes P aus ABAQUS und aus den CR-Formulierungen sowie aus der ANC-

Formulierung ein ähnliches Verhalten besitzen. Eine gleiche Feststellung gilt

für die zeitlichen Verläufe von U1. Jedoch ist die Amplitude der Kurven aus

den MKS-FEM-Berechnungen relativ zur Amplitude der Kurven aus ABAQUS

kleiner. Der Grund dafür liegt in der schwierigen Darstellung der Krümmung

bei großen Biegeverformungen von den CR- und ANC-Hexaederelementen mit

linearen Ansatzfunktionen. Außerdem ist zu erkennen, dass die Kurven aus

177

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

0 1 2 3 4

Abaqus-NL-ON, 120 El.E CR-Form., 120 El.

CLCR-Form., 120 El.ANC-Form., 120 El.

Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.22: Zeitlicher Verlauf der Verschiebung U1 des Punktes P aus Berech-nungen mit 120 Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen

ABAQUS den Kurven der ANC-Formulierung und der CR-Formulierungen vor-

eilen, was vor allem auf den Unterschied in den nichtlinearen Formulierungen

und damit in der Berechnung der internen Elementkräfte zurückgeführt wird.

Während der nichtlinearen dynamischen Berechnung wird die in jedem Zei-

tinkrement resultierende Abweichung akkumuliert. Daher ergeben sich nach

langer Simulationszeit erkennbare Unterschiede zwischen den Lösungen aus

ABAQUS und den CR-Formulierungen. Ferner besitzen das HHT-Verfahren

von ABAQUS und das IRK-Schema des MKS-FEM-Solvers unterschiedliche

numerische Dämpfungseffekte. Die Toleranzparameter dieser Methoden wer-

den ebenfalls unterschiedlich berechnet. Ausführliche Diskussionen über die

numerische Dämpfung bei den impliziten Zeitintegrationsverfahren können in

den Veröffentlichungen [101] und [100] von Bathe gefunden werden.

Ebenfalls zeigen die Verschiebungsverläufe U1 und U3 des Punktes P aus

den MKS-FEM- und ABAQUS-Berechnungen mit 24 Hexaederelementen mit

quadratischen Ansatzfunktionen eine sehr gute Übereinstimmung in der Ampli-

tude. Ferner eilen dabei die Verschiebungsverläufe aus der ANC-Formulierung

und den CR-Formulierungen den Verschiebungsverläufen aus ABAQUS voraus

(siehe Abbildungen 10.24 und 10.25). Der Grund dafür liegt ebenfalls in den

178

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 1 2 3 4



Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.23: Zeitlicher Verlauf der Verschiebung U3 des Punktes P aus Berech-nungen mit 120 Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen

nichtlinearen FE-Formulierungen sowie in den Zeitintegrationsschemen.

Weiterhin ist in Abbildung 10.25 zu erkennen, dass sich in den Bereichen

der maximalen Amplitude der Verschiebungskurve U3 ein anderes nichtlineares

Schwingverhalten ergibt. In der linearen FE-Analyse wird die gesamte Steifig-

keit der Struktur in der ursprünglichen Konfiguration berechnet und ist kon-

stant. Daher bleiben die Eigenfrequenzen und Eigenmoden der Struktur wäh-

rend der Simulation ebenfalls konstant. Im Gegensatz dazu ändert sich in der

nichtlinearen FE-Berechnung die Steifigkeit der Struktur während der Simula-

tion. In diesem Fall resultiert die Schwingung der Struktur aus Überlagerung

von Eigenschwingformen, die sich in jedem Berechnungsschritt ändern. Auf

diese Art und Weise tritt dieser beschriebene nichtlineare Effekt im Bereich

der maximalen Amplitude auf.

Ähnlich wie im statischen Fall stimmen die Verschiebungsverläufe U1 und

U3 des Punktes P aus Berechnungen mit CR-Tetraederelementen mit linea-

ren und quadratischen Ansatzfunktionen mit den Elementen C3D4-NL-ON

und C3D10-NL-ON von ABAQUS nahezu perfekt überein. Diese Verschie-

bungsverläufe werden für den Fall von Tetraederelementen mit linearen An-

satzfunktionen in den Abbildungen 10.26 und 10.27 sowie für den Fall von

179

-2 0

-200

-1 0

-100

- 0

0

0

0 0. 1 1. 2 2. 3 3.



Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.24: Zeitlicher Verlauf der Verschiebung U1 des Punktes P aus Berech-nungen mit 24 Hexaederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 0. 1 1. 2 2. 3 3.



Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.25: Zeitlicher Verlauf der Verschiebung U3 des Punktes P aus Berech-nungen mit 24 Hexaederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen

180

-80

- 0

-60

- 0

-40

-30

-20

-10

0

10

0 1 2 3 4



Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.26: Zeitlicher Verlauf der Verschiebung U1 des Punktes P aus Berech-nungen mit 891 Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen

Tetraederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen in den Abbildungen

10.28 und 10.29 dargestellt. Dabei ist zu bemerken, dass die Berechnungen

mit 186 ANC-Tetraederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen wegen

des Konvergenzproblems bereits nach 1 s abbrechen. Weiterhin eilt die Kurve

mit ANC-Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen der Kurve aus

der ABAQUS-Berechnung voraus.

Abschließend werden die Berechnungszeiten aus allen dynamischen Berech-

nungen zur Bewertung der Effizienz dargestellt (siehe Abbildung 10.30). Dabei

kann festgestellt werden, dass sich die Berechnungszeiten bei den MKS-FEM-

und den ABAQUS-Berechnungen mit Hexaederelementen nicht viel unterschei-

den. Im Fall von 120 Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen dau-

ert eine Berechnung mit den CR-Formulierungen circa 220 s, mit der ANC-

Formulierung circa 170 s sowie mit ABAQUS 260 s. Bei der Diskretisierung

mit 24 Hexaederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen beträgt die

Berechnungszeit mit den CR-Formulierungen und mit ABAQUS circa 140 s,

mit der ANC-Formulierung jedoch 187 s.

Weiterhin kann anhand der numerischen Berechnungsergebnisse festgestellt

werden, dass das CR-Tetraederelement mit linearen Ansatzfunktionen in der

181

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4



Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.27: Zeitlicher Verlauf der Verschiebung U3 des Punktes P aus Berech-nungen mit 891 Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

0 0. 1 1. 2 2. 3 3.


CLCR-Form., 186 El.

Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.28: Zeitlicher Verlauf der Verschiebung U1 des Punktes P aus Berech-nungen mit 186 Tetraederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen

182

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 0. 1 1. 2 2. 3 3.


CLCR-Form., 186 El.

Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Abb. 10.29: Zeitlicher Verlauf der Verschiebung U3 des Punktes P aus Berech-nungen mit 186 Tetraederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen

0

100

200

300

400

00

600

00

120-L . . 24- ua . . 891-L . . 186- ua . .

-Form.

CLCR-Form.

ANC-Form.

Abaqus-NL-ON

Ber

echnu

ngs

zeit

[s]

Abb. 10.30: Berechnungszeit der dynamischen Berechnungen mit verschie-denen Diskretisierungen und Formulierungen. Berechnung mit 186 ANC-Tetraederelementen mit quadratischen Ansatzfunktionen bricht bei 1 s ab.

183

EICR-Formulierung im Vergleich zu den anderen Elementen am effizientesten

ist. Aus dem Grund, dass der Deformationsgradient für das gesamte Tetraeder-

element mit linearen Ansatzfunktionen konstant ist, kann bei diesem Element

eine klare Trennung der großen Starrkörperrotation von der gesamten Bewe-

gung gewährleistet werden. Bei kleinen restlichen rotationsfreien Elementkno-

tenverschiebungen können rein physikalisch-lineare sowie -nichtlineare Proble-

me mit Hilfe der linearen Verzerrungen bezüglich des lokalen Elementkoordi-

natensystems effizient berechnet werden. Im Fall, dass die rotierte und die de-

formierte Konfiguration des Elements aufgrund von Problemen der großen Ver-

zerrungen nicht dicht beieinander liegen, werden bei der EICR-Formulierung

Effekte der großen Verformung bezüglich des lokalen Elementkoordinatensys-

tems durch die Elementprojektionsmatrix in der Berechnung der internen Ele-

mentkräfte mitberücksichtigt. Ausführliche Diskussionen über die Aufgaben

der Elementprojektionsmatrix im Fall von CR-Balkenelementen und 2D CR-

Elementen können in den Arbeiten [140] und [141] von Rankin und in der

Arbeit [23] von Felippa gefunden werden.

Bei einer Simulationszeit von 5 s dauert die Berechnung im Fall von 891

EICR-Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen etwa 254 s. Dagegen

beträgt sie beim gleichen Berechnungsmodell mit der CLCR-Formulierung 372

s, mit der ANC-Formulierung 410 s, sowie mit ABAQUS 663 s.

Im Vergleich zu den anderen Tetraederelementen mit quadratischen Ansatz-

funktionen ist das Tetraederelement C3D10-NL-ON von ABAQUS am effizi-

entesten. Die Simulation der Kragplatte bei der Simulationszeit von 3.5 s mit

186 C3D10-GL-ON Elementen beträgt 220 s. Im Gegensatz dazu dauern die

Berechnungen mit der EICR- und der CLCR-Formulierung jedoch fast drei-

mal länger. Der Grund dafür liegt vor allem darin, dass unter Verwendung

von quadratischen Ansatzfunktionen keine konstanten Verzerrungszustände im

Element herrschen. Ferner wird bei der CR-Berechnung der großen elastischen

Biegeverformung der Kragplatte eine repräsentative Rotationsmatrix für das

gesamte Element bestimmt. Daher benötigt der MKS-FEM-Solver mit den CR-

Formulierungen zur Berechnung der dynamischen Gleichgewichtslage in jedem

Zeitschritt ∆t mehrere Iterationen relativ zum ABAQUS-Solver.

Zusammenfassung für den dynamischen Fall: Die vorgestellten Berechnungs-

184

ergebnisse zeigen, dass sich dynamische Simulationen deformierbarer Struktu-

ren mit Hilfe der CR- und ANC-Elemente effizient durchführen lassen. Die

zeitlichen Verläufe aus den MKS-FEM-Simulationen stimmen mit den zeitli-

chen Verläufen aus ABAQUS in den Amplituden sehr gut überein. Jedoch gibt

es Abweichungen in der Phase wegen unterschiedlicher FE-Formulierungen und

impliziter Zeitintegrationsschemen. Besonders bei der Berechnung mit Hexa-

ederelementen ist dieser Effekt deutlich zu erkennen. Hinsichtlich der Effizienz,

der Genauigkeit und der Robustheit liefern in diesem Beispiel Tetraeder- und

Hexaederelemente mit linearen Ansatzfunktionen unter Verwendung der EICR-

Formulierung die beste Lösung.

Weitere dynamischen Untersuchungen mit Tetraeder- und Hexaederelemen-

ten mit linearen Ansatzfunktionen unter Berücksichtigung von nichtlinearem

Verhalten werden in Abschnitt 10.5.2 vorgestellt.

10.3 Effiziente Polarzerlegung zur Berechnung der

Rotationsmatrix

Nachfolgend wird auf die Effizienz und die Genauigkeit der in Anhang C be-

schriebenen Algorithmen zur Berechnung der Rotationsmatrix eingegangen.

Zur Darstellung der Ergebnisse werden die folgenden Abkürzungen definiert:

QR für die QR-Dekomposition, SVD für die Singulärwertzerlegung, RANKIN

für den RANKINschen Algorithmus und H für das HIGHAMsche Verfahren.

Nichtlineare statische Berechnung: Zunächst werden nichtlineare statische

Berechnungen der Kragplatte mit Hilfe der EICR-Formulierung durchgeführt.

Die Kragplatte wird dabei mit 186 Tetraederelementen mit quadratischen An-

satzfunktionen diskretisiert (siehe Abbildung 10.1). Ein isotropes, homogenes

linear-elastisches Material (E = 1000 N/mm2, ν = 0.3) wird bei der Unter-

suchung verwendet. Weiterhin können die Einstellungen für die MKS-FEM-

Berechnungen, die mit zwei Lastinkrementen durchgeführt werden, aus Tabel-

le 10.2 entnommen werden. Für die Bewertung der Effizienz wird die gesamte

Berechnungszeit tges und die gesamte Iterationsanzahl nI betrachtet. Ferner

wird dabei die Verschiebung U3 in der xg3-Richtung des globalen Koordinaten-

systems in der Gleichgewichtslage herangezogen.

185

Bezeichnung QR SVD RANKIN H-I H-II H-III

nI [1] 12 15 11 11 11 11

tges [s] 59 84 57 54 56 58

Versch. U3 [mm] 154.12 153.88 153.60 153.59 153.60 153.60

Tab. 10.8: Gesamte Berechnungszeit und gesamte Iterationsanzahl aus denstatischen MKS-FEM-Berechnungen bei unterschiedlichen Methoden zur Be-rechnung der Rotationsmatrix und die Verschiebung U3

Anhand der Tabelle 10.8 kann festgestellt werden, dass die HIGHAMschen

Algorithmen und der RANKINsche Algorithmus effizienter sind als die QR-

Zerlegung und die Singulärwertzerlegung. Die Berechnung mit dem HIGHAM-

schen Verfahren I erfolgt in 11 Iterationen und dauert dabei 54 s. Im Gegensatz

dazu wird die Berechnung mit der Singulärwertzerlegung in 15 Iterationen und

mit einer Berechnungszeit von 84 s durchgeführt. Es ist außerdem zu erkennen,

dass sich die Verschiebung U3 aus der Berechnung mit diesen Methoden kaum

unterscheidet. Im Fall des RANKInschen Verfahrens sowie der HIGHAMschen

Algorithmen beträgt diese Verschiebung 153.60 mm. Dagegen nimmt Sie im

Fall der QR-Zerlegung einen Wert von 154.12 mm an. Die Abweichungen zwi-

schen den Lösungen für die Verschiebung U3 resultieren aus der unterschied-

lichen Genauigkeit bei der Polardekomposition mit diesen Verfahren. Folglich

werden die rotationsfreien Verschiebungen und damit die internen Element-

kräfte mit unterschiedlichen Genauigkeiten berechnet.

Nichtlineare dynamische Berechnung: Weiterhin werden dynamische MKS-

FEM-Berechnungen der Kragplatte unter Wirkung des Eigengewichtes durch-

geführt, wie in Abschnitt 10.2 beschrieben. Dabei wird die EICR-Formulierung

verwendet. Des Weiteren wird die Kragplatte mit 891 Tetraederelementen

mit linearen Ansatzfunktionen diskretisiert. Ein isotropes, homogenes linear-

elastisches Material (E = 1000 N/mm2, ν = 0.3), wie in der vorigen Untersu-

chung, wird ausgewählt. Die Dichte der Kragplatte beträgt 7850×10−9 Kg/mm3.

Zur Bewertung der Methoden für die Polarzerlegung werden ebenfalls die

gesamten Berechnungszeiten tges und die gesamten Iterationsanzahlen nI sowie

die gesamte Anzahl der Zerlegungen der Jacobi-Matrix des gesamten Systems

nJac betrachtet. Zusätzlich werden die Ergebnisse für die Verschiebung U3 des

186

Bezeichnung QR SVD RANKIN H-I H-II H-III

nJac [1] - 106 - 98 101 101

nI [1] - 10796 - 11019 10821 10821

tges [s] - 647 - 346 330 263

Tab. 10.9: Gesamte Berechnungszeit und gesamte Iterationsanzahl der dyna-mischen MKS-FEM-Berechnungen bei unterschiedlichen Methoden zur Berech-nung der Rotationsmatrix

Punktes P in der xg3-Richtung des globalen Koordinatensystems bewertet.

Ergebnisse aus Tabelle 10.9 zeigen, dass hinsichtlich der Effizienz und Ro-

bustheit die HIGHAMschen Algorithmen auch in dynamischen Fällen am bes-

ten geeignet sind. Dabei stellt der HIGHAMsche Algorithmus III das effizientes-

te Verfahren zur Durchführung der Polardekomposition dar. Die dynamische

MKS-FEM-Berechnung der Kragplatte mit diesem Verfahren wird in 10821

Iterationen und 263 s erfolgreich durchgeführt. Dagegen dauert die Berech-

nung mit der Singulärwertzerlegung SVD fast drei mal länger. Dies wird vor

allem darauf zurückgeführt, dass die Berechnung der Eigenwerte der rechten

CAUCHY-GREENschen Matrix C kontinuierlich durchgeführt werden muss

(siehe Tabelle G.10). Im Gegensatz dazu wird bei der Anwendung der HIG-

HAMschen Verfahren die Rotationsmatrix direkt aus dem Deformationsgradi-

enten durch Iterationen bestimmt (siehe Abschnitt C.2.3 in Anhang C), wo-

bei Multiplikationen von Matrizen der Dimension 3 × 3 durchgeführt werden.

Bei der Berechnung von Problemen mit großen Starrkörperrotationen und klei-

nen Verzerrungen wird zur Polarzerlegung des Deformationsgradienten mit den

HIGHAMschen Algorithmen generell eine geringe Iterationsanzahl benötigt.

Es ist weiterhin aus Tabelle 10.9 zu erkennen, dass die Berechnung unter

Verwendung der QR-Zerlegung und des RANKINschen Verfahrens nicht er-

folgreich durchgeführt wird. Wie in Abschnitt C.1 beschrieben wird bei der

QR-Zerlegung die orthogonale Matrix aus der QR-Dekomposition des Defor-

mationsgradienten direkt als die Rotationsmatrix des Elements angenommen.

Im Fall von großen elastischen Biegedeformationen der Kragplatte werden die

Starrkörperrotation und daher der interne Kraftvektor des Elements nicht aus-

reichend genau berechnet. Daher bricht die Simulation mit der QR-Zerlegung

wegen des Konvergenzproblems nach einer bestimmten Simulationszeit ab.

187

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 1 2 3 4

A A

A

Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Abb. 10.31: Zeitlicher Verlauf der Verschiebung U3 des Punktes P aus Be-rechnungen mit 891 Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen beiunterschiedlichen Algorithmen zur Berechnung der Rotationsmatrix

Bei der Polardekomposition mit dem RANKINschen Verfahren resultieren

in der EICR-Formulierung direkt die Matrizen zur Berechnung der Element-

projektionsmatrix (siehe Tabelle G.11 und Beziehung (7.35)). Mit diesem Ver-

fahren wird die Rotationsmatrix des Elements unter Berücksichtigung der sym-

metrischen Eigenschaft des rechten Streckungstensors U iterativ berechnet. Im

Fall, dass große Deformationen der Struktur beim nicht ausreichend kleinen La-

stinkrement berechnet werden, lässt sich die Starrkörperrotation des Elements

mit diesem Verfahren sowie der interne Elementkraftvektor nicht genau ermit-

teln. Daher kann die MKS-FEM-Berechnung unter Verwendung des RANKIN-

schen Verfahrens ebenfalls aufgrund der Konvergenz nach einer bestimmten

Anzahl der Zeitinkremente abbrechen.

Weiterhin ist in Abbildung 10.31 zu erkennen, dass die zeitlichen Verschie-

bungsverläufe U3 aus den Berechnungen mit den HIGHAMschen Algorithmen

sowie mit der Singulärwertzerlegung SVD sowohl in der Amplitude als auch

in der Phase sehr gut übereinstimmen. Dies zeigt die gleiche Genauigkeit der

Bestimmung der Rotationsmatrix des Elements mit diesen Algorithmen.

188

Zusammenfassung der effizienten Polarzerlegung: Es kann an dieser Stel-

le festgestellt werden, dass unter den vorgestellten Algorithmen zur Berech-

nung der Rotationsmatrix des Elements der HIGHAMsche Algorithmus III

den effizientesten darstellt. Aus diesem Grund wird bei den folgenden MKS-

FEM-Berechnungen dieses Verfahren verwendet.

Die Polarzerlegung mit der Singulärwertzerlegung SVD ist robust, sie erfor-

dert jedoch wegen der kontinuierlichen Lösung des Eigenwertproblems hohe

Rechenzeit. Ferner sind die QR-Zerlegung sowie das RANKINsche Verfahren

am besten geeignet für die CR-Berechnung von Problemen mit großen Starr-

körperrotationen und kleinen Dehnungen unter Berücksichtigung von ausrei-

chend kleinen Zeitinkrementen.

10.4 Statische MKS-FEM-Berechnung großer Bie-

geverformung eines 3D Kragbalkens

deformierbar

starr

L

M

b

h xg1

xg2

xg3

o

C

Abb. 10.32: Berechnungsmodell aus einem eingespannten deformierbaren 3DKragbalken (L = 700 mm, b = 50 mm, h = 10 mm) und einem quaderförmigenStarrkörper (10 mm × 50 mm × 10 mm)

In diesem Abschnitt wird die statische MKS-FEM-Berechnung des geometrisch-

nichtlinearen Deformationsverhaltens eines Kragbalkens aus Stahl (E = 210000

N/mm2, ν = 0.3) vorgestellt. Der Kragbalken ist an einem Ende fest ein-

gespannt und am anderen Ende mit einem quaderförmigen Starrkörper ver-

bunden (siehe Abbildung 10.32). Dabei beträgt die Dichte des Starrkörpers

189

Coupling

Kugelgelenk

M

C

Abb. 10.33: FE-Diskretisierung eines Kragbalkens für die ABAQUS-Berechnung (oben) und für die MKS-FEM-Berechnung (unten) mit 80 He-xaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen mit Randbedingungen

7850×10−9 Kg/mm3. Weiterhin wird der Kragbalken mit einem Biegemoment

M = 1 × 108 Nmm am Schwerpunkt C des Starrkörpers belastet.

Zur Diskretisierung des Kragbalkens werden 80 Hexaederelemente mit li-

nearen Ansatzfunktionen verwendet. Weiterhin wird bei dieser MKS-FEM-

Berechnung die EICR-Formulierung unter Anwendung des HIGHAMschen Ver-

fahrens III aus Abschnitt C.2.3 in Anhang C zur Berechnung der Starrkörper-

rotationen verwendet. Eine Übersicht für die Einstellungen des ABAQUS- und

des MKS-FEM-Solvers kann aus Tabelle 10.10 entnommen werden.

Die Verbindung des deformierbaren Kragbalkens mit dem Starrkörper wird

bei der ABAQUS-Berechnung mit Hilfe einer kinematischen Kopplung (eng-

lisch: coupling) realisiert, wie in [5] beschrieben. Dabei sind die Verschiebungen

aller Knoten auf einer Endfläche des Kragbalkens gleich den Verschiebungen

des Schwerpunktes C des Starrkörpers. Im Gegensatz dazu wird bei der MKS-

FEM-Berechnung jeder Knoten auf dieser Fläche des Kragbalkens mit der

dazugehörigen Position auf der Oberfläche des Starrkörpers über ein Kugelge-

lenk verbunden (siehe Abbildung 10.33). Weiterhin wird die feste Einspannung

190


Lösungstechnik Quasi NEWTON Modi. NEWTON

Lastinkrement [1]

automatisch konstant

Min.: 10−8 0.01

Max.: 0.01

Anfang: 0.01

Toleranzparameter [1] Ra=0.5% TOL= 0.1%

Tab. 10.10: Einstellungen für die nichtlinearen statischen ABAQUS- und dieMKS-FEM-Berechnungen des flexiblen Kragbalkens

am anderen Ende des Kragbalkens dadurch realisiert, dass die Verschiebungen

aller Knoten auf der dazugehörigen Fläche gesperrt sind.

Zur Auswertung werden die Verschiebungen U2 und U3 des Schwerpunktes

C in der xg2- bzw. der xg3-Richtung des globalen Koordinatensystems betrach-

tet. Des Weiteren wird bei dieser Untersuchung angenommen, dass es keine

Kontaktprobleme im System gibt. Somit kann der Kragbalken mehrere Um-

drehungen um die xg1-Achse ausführen.

In den Abbildungen 10.34 und 10.35 sind die Verschiebungen U2 und U3

des Schwerpunktes C des Starrkörpers dargestellt. Dabei ist zu erkennen,

dass die ABAQUS-Berechnung wegen des Konvergenzproblems bereits nach 8%

des vollen Lastinkrements abbricht. Ferner wird sie mit einer automatischen

Lastinkrementierung durchgeführt. Im Gegensatz dazu wird die MKS-FEM-

Berechnung erfolgreich durchgeführt. Weiterhin ist zu erkennen, dass bis zum

Erreichen der 8% des vollen Lastinkrements eine sehr gute Übereinstimmung

der ABAQUS-Ergebnisse mit den MKS-FEM-Ergebnissen erzielt wird.

Aus dem Grund, dass keine Kontaktprobleme im System vorausgesetzt sind,

führt der elastische Balken unter Wirkung des Biegemoments M eine sehr große

Deformation aus. Dabei können mehrere Umdrehungen des Balkens betrachtet

werden (siehe Abbildung 10.36).

Zusammenfassung im Fall des 3D Kragbalkens: Dieses Berechnungsbeispiel

zeigt die Effizienz sowie ein sehr gutes Konvergenzverhalten der statischen

MKS-FEM-Berechnung auch bei extrem großen Biegedeformationen. Im Ge-

191

-900

-800

-700

-600

- 00

-400

-300

-200

-100

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Abaqus-NL-ON, l . las .E CR-Form., l . las .

Ver

schie

bung

U2

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.34: Verschiebung U2 des Schwerpunkts C aus der statischen Berech-nung mit Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen im Fall eineslinear-elastischen Materials

-100

0

100

200

300

400

00

600

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Abaqus-NL-ON, l . las .E CR-Form., l . las .

Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Lastinkrement [1]

Eine Umdrehung

Abb. 10.35: Verschiebung U3 des Schwerpunkts C aus der statischen Berech-nung mit Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen im Fall eineslinear-elastischen Materials

192

0% 20% 30% 80% 100%

Abb. 10.36: Deformation des flexiblen Kragbalkens bei verschiedenen Lastin-krementen aus der statischen MKS-FEM-Berechnung

gensatz dazu ergeben sich mit ABAQUS große Schwierigkeiten, dieses Defor-

mationsverhalten abzubilden.

10.5 Berechnungen eines Maschinenbauteils mit nicht-

linearem Materialverhalten

Der Hauptzweck dieses Abschnittes ist die Validierung der direkten Berech-

nung von physikalisch-nichtlinearen Problemen in der Mehrkörperdynamik mit

Hilfe der MKS-FEM-Methode. Dafür werden die Ergebnisse aus der statischen

und der dynamischen Analyse eines Maschinenbauteils mit nichtlinearem Ma-

terialverhalten präsentiert. Dabei werden das RAMBERG-OSGOODsche, das

elastisch-plastische und das MOONEY-RIVLINsche Materialmodell aus Kapi-

tel 4 direkt in die MKS-FEM-Simulation integriert (siehe Tabelle 10.11).

Material Parameter

Elastisch E = 2 × 105 N/mm2, ν = 0.3

R.-OSGOOD E = 2 × 105 N/mm2, ν = 0.3

σ0 = 500 N/mm2, n = 5, α = 0.01

Elast.-plastisch E = 2 × 105 N/mm2, ν = 0.3

σF = 500 N/mm2, H = 1000 N/mm2

M.-RIVLIN C1 = 15 N/mm2, C2 = 20 N/mm2, K = 100 N/mm2

Tab. 10.11: Materialmodelle für die ABAQUS- und MKS-FEM-Simulation desMaschinenbauteils

193

Element 493

C

Knoten 37

Kugelgelenke

Abb. 10.37: FE-Diskretisierung des Maschinenbauteils mit Tetraederelementenfür ABAQUS-Berechnungen (oben) und MKS-FEM-Berechnungen (unten)

Das MKS-FEM-Modell besteht aus einem gekerbten Maschinenbauteil und

einem quaderförmigen Starrkörper, deren geometrische Abmessungen in Abbil-

dung 10.39 dargestellt sind. Das deformierbare Maschinenbauteil wird hierbei

mit 652 Tetraeder- sowie 120 Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktio-

nen diskretisiert (siehe Abbildungen 10.37 und 10.38). Dabei wird im Bereich

der Kerbe eine feinere Diskretisierung als in den restlichen Bereichen des Bau-

teils vorgenommen. Der Grund dafür ist, dass hierbei hinsichtlich der Vali-

dierung der direkten Berechnung von materiellen Nichtlinearitäten mit den

CR-Formulierungen äußere Belastungszustände wie Zug und Biegung sowie

eine Kombination davon für den 3D Kragbalken berücksichtigt sind. Somit

herrschen im Bereich der Kerbe relativ große Spannungsgradienten.

Die Wechselwirkung des gekerbten Bauteils mit dem Starrkörper bei den

ABAQUS-Rechnungen wird mit Hilfe der kinematischen Kopplung realisiert,

wie in [5] beschrieben. Dabei sind die Verschiebungen aller Knoten der End-

fläche des Maschinenbauteils gleich den Verschiebungen des geometrischen

Schwerpunktes C des Starrkörpers. Im Gegensatz dazu wird diese kinemati-

sche Kopplung bei den MKS-FEM-Rechnungen mit Hilfe von Kugelgelenken

realisiert (siehe Abschnitt 9.3).

194

Element 33

C

Knoten 12

Kugelgelenke

Abb. 10.38: FE-Diskretisierung des Maschinenbauteils mit Hexaederelementenfür ABAQUS-Berechnungen (oben) sowie MKS-FEM-Berechnungen (unten)

Weiterhin wird bei den MKS-FEM-Berechnungen die EICR-Formulierung

unter Anwendung des HIGHAMschen Verfahrens III aus Abschnitt C.2.3 in

Anhang C zur Berechnung großer Starrkörperrotationen finiter Elemente ver-

wendet. Ebenfalls werden alle Berechnungen mit Hilfe des Computersystems

durchgeführt, dessen Eigenschaften sich aus Tabelle 10.1 entnehmen lassen.

Zur Durchführung der dynamischen Simulationen kommt die implizite Runge-

Kutta-Integrationsmethode unter Verwendung der Lobatto-IIIA-Tabelle zum

Einsatz. Ferner beträgt die Dichte des quaderförmigen Starrkörpers 7850 ×10−11Kg/mm3.

10.5.1 Nichtlineare statische Berechnungen

Zunächst werden die Ergebnisse aus den nichtlinearen statischen Berechnungen

des Systems diskutiert. Dafür lassen sich die Einstellungen für die MKS-FEM-

sowie die ABAQUS-Berechnungen aus Tabelle 10.12 entnehmen.

Bei diesen Untersuchungen wird das deformierbare Maschinenbauteil an ei-

nem Ende fest eingespannt. Weiterhin wird das System mit einer Einzellast

F im Schwerpunkt des Starrkörpers in der xg1-Richtung belastet, wie in Ab-

195



Lastinkrement [1]

automatisch konstant

Min.: 10−9 0.001

Max.: 0.001

Anfang: 0.001

Toleranzparameter [1] Ra=0.5% TOL=0.01%

Tab. 10.12: Einstellungen für die nichtlinearen statischen ABAQUS- und dieMKS-FEM-Berechnungen des Maschinenbauteils

Bezeichnung R.-OSGOOD Elast.-plastisch M.-RIVLIN

Tetraederelemente 3.5 × 106 106 24 × 104

Hexaederelemente 3.3 × 106 8 × 105 1.8 × 105

Tab. 10.13: Auswahl der Kraft F [N] bei unterschiedlichen Elementen undMaterialmodellen bei der statischen Untersuchung des Maschinenbauteils

bildung 10.39 dargestellt. Für die Zweckmäßigkeit der Untersuchung werden

unterschiedliche Beträge der Kraft F unter Berücksichtigung unterschiedlicher

Elementtypen und Materialien ausgewählt. Eine Übersicht dafür ist in Tabelle

10.13 gegeben.

Zur Validierung wird die Verschiebung U1 des Schwerpunktes C und die

MISESsche Spannung sowie die plastische MISESsche Dehnung des Tetraeder-

elements 493 betrachtet (siehe Abbildung 10.37). Ferner wird die Verschiebung

U1 des Schwerpunktes C und die MISESsche Spannung sowie die plastische MI-

SESsche Dehnung im sechsten Integrationspunkt des Hexaederelements 33 be-

trachtet (siehe Abbildung 10.38). Diese Elemente liegen an der engsten Stelle

des Maschinenbauteils, wobei der maximale Dehnungs- sowie Spannungszu-

stand berechnet werden. Im Fall, dass ein elastisch-plastisches Materialverhal-

ten berechnet wird, erreichen diese Elemente schnell einen ersten plastischen

Spannungszustand.

Tetraederelemente mit linearen Ansatzfunktionen: Im Weiteren wird auf

die Ergebnisse aus den Simulationen mit Tetraederelementen mit linearen An-

196

L

deformierbar

starr

L1

L2R

F

b

h

xg1xg2

xg3

o

C

Abb. 10.39: Berechnungsmodell aus einem eingespannten Maschinenbauteil (L=1000 mm, L1 = L2 = 399 mm, b = 100 mm, h = 25 mm, R = 25 mm) undeinem quaderförmigen Starrkörper (75 mm × 150 mm × 75 mm)

satzfunktionen eingegangen.

Die Verschiebungen U1 des Schwerpunktes C sowie die MISESsche Span-

nung des Elements 493 im Fall des RAMBERG-OSGOODschen und des dazu-

gehörigen linear-elastischen Materials werden in den Abbildungen 10.40 und

10.41 dargestellt. Es ist dabei zu erkennen, dass eine sehr gute Übereinstim-

mung zwischen den ABAQUS- und den MKS-FEM-Ergebnissen erzielt wird.

Dabei wird eine maximale logarithmische Hauptdehnung von bis zu 10% be-

rechnet. Weiterhin beträgt die Berechnungszeit der MKS-FEM-Berechnung 28

s. Im Gegensatz dazu dauert die ABAQUS-Berechnung 72 s. Dies zeigt die

hohe Effizienz des CR-Tetraederelements mit linearen Ansatzfunktionen.

Weiterhin wird die Verschiebung U1 des Schwerpunktes C im Fall von Tetra-

ederelementen mit linearen Ansatzfunktionen und einem elastisch-plastischen

Material sowie dem dazugehörigen linear-elastischen Material in Abbildung

10.42 dargestellt. Es kann dabei ebenfalls eine sehr gute Übereinstimmung

zwischen den ABAQUS- und den MKS-FEM-Ergebnissen festgestellt werden.

Gleiches gilt für das Verhalten der Kurven der MISESschen Spannung sowie

der plastischen MISESschen Dehnung des Elements 493 (siehe Abbildungen

10.43 und 10.44). In Abbildung 10.43 ist das Verfestigungsverhalten des aus-

gewählten elastisch-plastischen Materials dargestellt. Ferner wird eine maxi-

male logarithmische Hauptdehnung von 10% erreicht. Die Berechnungszeit der

197

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Abaqus-NL-ON, l . las .Abaqus-NL-ON, R.-Os ooEICR-Form., l . las .EICR-Form., R.-Os oo

Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.40: Verschiebung U1 des Schwerpunkts C aus der statischen Berech-nung mit Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen Im Fall einesRAMBERG-OSGOODschen und linear-elastischen Materials

0

00

1000

1 00

2000

2 00

3000

3 00

4000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


MIS

ESsc

he

Span

nungσ

v[N

/mm

2]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.41: MISESsche Spannung des Elements 493 aus der statischen Be-rechnung mit Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen Im Fall einesRAMBERG-OSGOODschen und linear-elastischen Materials

198

0

1

2

3

4

6

7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Abaqus-NL-ON, l . las .Abaqus-NL-ON, las . las .EICR-Form., l . las .EICR-Form., las . las .

Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.42: Verschiebung U1 des Schwerpunkts C aus der statischen Berech-nung mit Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen im Fall eineselastisch-plastischen und linear-elastischen Materials

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


MIS

ESsc

he

Span

nungσ

v[N

/mm

2]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.43: MISESsche Spannung des Elements 493 aus der statischen Be-rechnung mit Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen im Fall eineselastisch-plastischen und linear-elastischen Materials

199

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Abaqus-NL-ON, las . las .EICR-Form., las . las .

Pla

stis

che

Deh

nungεp v

[1]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.44: Plastische MISESsche Dehnung des Elements 493 aus der stati-schen Berechnung mit Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen imFall eines elastisch-plastischen Materials

MKS-FEM-Berechnung beträgt 96 s und die der ABAQUS-Berechnung 84 s.

Es kann im Fall eines RAMBERG-OSGOODschen sowie eines elastisch-

plastischen Materials ebenfalls gezeigt werden, dass sich bei einem bestimmten

Lastinkrement ein erkennbarer Unterschied zwischen den Kurven aus ABAQUS

und aus der EICR-Formulierung ergibt. Der Grund dafür liegt in einem großen

Abstand zwischen der rotierten und der deformierten Lage des Elements.

Im Fall des MOONEY-RIVLINschen Materials ergibt sich ebenfalls eine gu-

te Übereinstimmung zwischen den Kurven (siehe Abbildung 10.45). Bei 80%

des gesamten Lastinkrements beträgt die maximale logarithmische Hauptdeh-

nung 197%. Dies zeigt ein sehr großes Dehnungsverhalten, wie in Abbildung

10.46 illustriert. Es zeigt sich zusätzlich, dass ein großer Verzerrungszustand

im Bereich der Kerbe berechnet wird. In diesem Bereich liegt wegen der Ver-

jüngung der Querschnittfläche eine hohe Spannungskonzentration vor. Ferner

dauert die MKS-FEM- und die ABAQUS-Berechnung in diesem Berechnungs-

fall 120 s. Es handelt sich hierbei um die Berechnung von rein physikalisch-

nichtlinearen Problemen mit sehr großen Verzerrungen. In dieser Arbeit werden

zur schnellen Berechnung des hyperelastischen Materialverhaltens die großen

200

0

00

1000

1 00

2000

2 00

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Abaqus-NL-ON, oo -R lEICR-Form., oo -R l

Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.45: Verschiebung U1 des Schwerpunkts C aus der statischen Berech-nung mit Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen im Fall einesMOONEY-RIVLINschen Materials

Abb. 10.46: Deformation des flexiblen Bauteils aus ABAQUS (oben) und derEICR-Formulierung (unten) mit Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunk-tionen im Fall eines MOONEY-RIVLINschen Materials bei Lastinkrement 0.8

Verzerrungszustände des Elements direkt mit Hilfe der linearen Verzerrungs-

matrizen im CR-Koordinatensystem approximiert. Dabei wird der Unterschied

zwischen dem Ergebnis aus den CR-Formulierungen und aus ABAQUS mit der

Verzerrung größer. Daher nimmt bei der Erhöhung des Lastinkrements die Ab-

weichung der Lösung aus der CR-Formulierung relativ zu der ABAQUS-Lösung

zu. Im Vergleich zu der Berechnung mit einem RAMBERG-OSGOODschen so-

wie einem elastisch-plastischen Material ist dieser Effekt hierbei deutlicher.

Hexaederelemente mit linearen Ansatzfunktionen: Es zeigt sich ebenfalls ei-

ne gute Übereinstimmung zwischen den Ergebnissen aus den MKS-FEM- und

201

den ABAQUS-Berechnungen bei der Diskretisierung mit Hexaederelementen

mit linearen Ansatzfunktionen.

In den Abbildungen 10.47 und 10.48 wird die Verschiebung U1 des Schwer-

punkts C und die MISESsche Spannung des sechsten Integrationspunkts des

Hexaederelements 33 im Bereich der Kerbe für das RAMBERG-OSGOODsche

Materialverhalten dargestellt (siehe Abbildung 10.38). Weiterhin wird ein Deh-

nungsverhalten mit einer maximalen logarithmischen Hauptdehnung von 29%

berechnet. Dabei beträgt die Rechenzeit der ABAQUS-Rechnung 68 s und der

MKS-FEM-Berechnung dagegen nur 32 s, was die Effizienz der MKS-FEM-

Methode zeigt.

Ebenfalls ergibt sich eine gute Übereinstimmung zwischen den Ergebnis-

sen im Fall eines MOONEY-RIVLINschen Materials (siehe Abbildung 10.52).

Dabei wird eine maximale logarithmische Hauptdehnung von bis zu 200% be-

rechnet.

Die Berechnung eines elastisch-plastischen Materialverhaltens mit Hexaede-

relementen liefert im Vergleich zur Berechnung mit Tetraederelementen jedoch

schlechtere Ergebnisse. Aus dem Grund, dass sich das CR-Hexaederelement mit

linearen Ansatzfunktionen steifer verhält als das C3D8-NL-ON von ABAQUS,

erreicht das deformierbare Bauteil in diesem Fall schneller einen ersten plas-

tischen Spannungszustand (siehe Abbildung 10.50). Trotzdem stimmt dieser

erste Fließspannungszustand aus der MKS-FEM-Berechnung mit dem Zustand

aus ABAQUS perfekt überein. Zur weiteren Veranschaulichung werden die Ver-

schiebung U1 des Schwerpunkts C sowie die plastische MISESsche Dehnung im

sechsten Integrationspunkt des Hexaederelements 33 in diesem Fall in den Ab-

bildungen 10.49 und 10.51 dargestellt.

Wie im Fall von CR-Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen er-

geben sich hierbei ab einem bestimmten großen Lastinkrement erkennbare Ab-

weichungen zwischen den Verschiebungskurven aus ABAQUS und der EICR-

Formulierung, was eine Folge des großen Abstands zwischen der rotierten und

der aktuellen Lage des Elements ist. Dieser Effekt ist bei den Kurven für

die MISESsche Spannung und für die plastische MISESsche Dehnung deutlich

zu erkennen. Dies kann darauf zurückgeführt werden, dass in jedem Berech-

nungsschritt zur Bestimmung des Spannungszustandes die gesamten linearen

Verzerrungen bezüglich des lokalen Koordinatensystems mit der konstanten

202

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.47: Verschiebung U1 des Schwerpunkts C aus der statischen Berech-nung mit Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen im Fall einesRAMBERG-OSGOODschen und linear-elastischen Materials

0

00

1000

1 00

2000

2 00

3000

3 00

4000

4 00

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


MIS

ESsc

he

Span

nungσ

v[N

/mm

2]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.48: MISESsche Spannung im sechsten Integrationspunkt des Elements33 aus der statischen Berechnung mit Hexaederelementen mit linearen Ansatz-funktionen im Fall eines RAMBERG-OSGOODschen und linear-elastischenMaterials

203

0

2

4

6

8

10

12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.49: Verschiebung U1 des Schwerpunkts C aus der statischen Berech-nung mit Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen im Fall eineselastisch-plastischen und linear-elastischen Materials

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


MIS

ESsc

he

Span

nungσ

v[N

/mm

2]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.50: MISESsche Spannung im sechsten Integrationspunkt des Elements33 aus der statischen Berechnung mit Hexaederelementen mit linearen Ansatz-funktionen im Fall eines elastisch-plastischen und linear-elastischen Materials

204

0

0.0

0.1

0.1

0.2

0.2

0.3

0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


Pla

stis

che

Deh

nungεp v

[1]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.51: Plastische MISESsche Dehnung im sechsten Integrationspunkt desElements 33 aus der statischen Berechnung mit Hexaederelementen mit linea-ren Ansatzfunktionen im Fall eines elastisch-plastischen Materials

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.52: Verschiebung U1 des Schwerpunkts C aus der statischen Berech-nung mit Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen im Fall einesMOONEY-RIVLINschen Materials

205

Verschiebungs-Dehnungsmatrix in der Referenzlage berechnet werden.

Zusammenfassung für den statischen Fall: Die durchgeführten statischen

Berechnungen des Systems bestätigen die effiziente Möglichkeit zur Berech-

nung rein physikalisch-nichtlinearer Probleme mit den CR-Formulierungen.

Dafür lassen sich CR-Tetraeder- sowie CR-Hexaederelemente zur Diskretisie-

rung von Strukturen verwenden. Weiterhin kann festgestellt werden, dass hin-

sichtlich der Genauigkeit und der Robustheit CR-Tetraederelemente mit li-

nearen Ansatzfunktionen die besten Ergebnisse erzielen. Mit Hilfe dieser CR-

Tetraederelemente können bei sehr großen Verzerrungsproblemen der Dehnungs-

und der Spannungszustand von deformierbaren Strukturen mit großer Genau-

igkeit berechnet werden.

Die Ergebnisse aus diesen Berechnungen zeigen auch, dass sich beim Ein-

satz einer CR-Formulierung ein Dehnungsbereich im Fall eines nichtlinear-

elastischen Materialverhaltens von bis zu 30% und im Fall eines elastisch-

plastischen Materialverhaltens von bis zu 10% berechnen lässt. Im Fall eines

MOONEY-RIVLINschen Materialmodells kann eine Dehnung von 200 % er-

reicht werden. Dies zeigt weiterhin große Anwendungsmöglichkeiten der CR-

Formulierungen bei der Simulation von Strukturen mit großen Starrkörperro-

tationen und/oder großen Verzerrungen.

10.5.2 Nichtlineare dynamische Berechnungen

In diesem Abschnitt werden die dynamischen MKS-FEM-Berechnungen des de-

formierbaren Maschinenbauteils beschrieben. Dabei werden die geometrischen

Abmessungen der Bauteile aus dem vorigen statischen Fall beibehalten. Aus

Gründen der Zweckmäßigkeit werden andere geometrische Randbedingungen

für das Berechnungsmodell verwendet, jedoch wird die Kopplung des Maschi-

nenbauteils mit dem Starrkörper genau wie im statischen Fall realisiert.

Die Rotation des Maschinenbauteils um die xg2-Achse des globalen Koordi-

natensystems erfolgt durch ein Drehgelenk um diese Achse durch den Schwer-

punk C des Starrkörpers (siehe Abschnitt 9.3 sowie Abbildung 10.54). Für

diesen Zweck werden beim Berechnungsmodell in ABAQUS alle Freiheitsgra-

de des Starrkörpers außer der Rotation um die xg2-Achse und der Verschiebung

U2 in diese Achse gesperrt.

206

Bezeichnung R.-OSGOOD Elast.-plastisch M.-RIVLIN

Tetraederelemente 4 × 107 89 × 105 4 × 105

Hexaederelemente 4 × 107 6 × 106 106

Tab. 10.14: Drehmoment M in N mm bei unterschiedlichen FE-Netzen undnichtlinearen Materialmodellen bei der dynamischen Untersuchung des Ma-schinenbauteils



Zeitinkrement [s]

automatisch automatisch

Min.: 10−5 Min.: 10−5

Max.: 0.002 Max.: 0.002

Anfang: 0.002 Anfang: 0.002

Toleranzparameter [1] Ra=0.5% TOL= 0.001%

Tab. 10.15: Einstellungen für die nichtlinearen dynamischen ABAQUS- unddie MKS-FEM-Berechnungen des Maschinenbauteils

Weiterhin wird ein zeitlich konstantes Drehmoment M um die xg2-Achse

des Systems am Schwerpunkt C des Starrkörpers aufgebracht (siehe Abbildung

10.53). Für die Zweckmäßigkeit der Untersuchungen werden verschiedene Be-

träge für dieses Drehmoment M ausgewählt. Eine Übersicht dafür kann aus

Tabelle 10.14 entnommen werden. Bei der Durchführung der ABAQUS- und

der MKS-FEM-Berechnungen werden die in Tabelle 10.15 dargestellten Ein-

stellungen gewählt. Zur Validierung wird die Verschiebung U1 des Knotens 37

im Fall von Tetraederelementen und die des Knotens 12 im Fall von Hexa-

ederelementen betrachtet. Ebenfalls wird die plastische MISESsche Dehnung

des Tetraederelements 493 sowie im sechsten Integrationspunkt des Hexaede-

relements 33 im Fall des elastisch-plastischen Materials herangezogen (siehe

Abbildungen 10.37 und 10.38).

Tetraederelemente mit linearen Ansatzfunktionen: Zunächst werden die

Ergebnisse aus den dynamischen Berechnungen mit Tetraederelementen mit

linearen Ansatzfunktionen diskutiert. Der zeitliche Verlauf der Verschiebung

207

xg1xg2

xg3

M

Drehgelenk

Abb. 10.53: Berechnungsmodell aus einem flexiblen Maschinenbauteil und ei-nem Starrkörper für die dynamischen Berechnungen mit einem zeitlich kon-stanten Drehmoment M

M

Drehgelenk

Abb. 10.54: Diskretisierung des deformierbaren Maschinenbauteils mit Tetra-ederelementen und die Randbedingungen für die dynamischen MKS-FEM-Berechnungen

208

- 00

0

00

1000

1 00

2000

2 00

0 0. 1 1. 2 2. 3 3.

Abaqus-NL-ON, R.-Os oo EICR-Form., R.-Os oo

Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.55: Verlauf der Verschiebung U1 des Knotens 37 aus der dynamischenBerechnung mit Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen im Falleines RAMBERG-OSGOODschen Materials

U1 des Knotens 37 im Fall eines RAMBERG-OSGOODschen Materials ist

in Abbildung 10.55 dargestellt. Es ist dabei zu erkennen, dass eine sehr gute

Übereinstimmung zwischen den zeitlichen Verläufen vorliegt. Dabei kann ein

Dehnungsbereich bis zu 5% berechnet werden.

Die MKS-FEM-Berechnung liefert im Fall eines elastisch-plastischen Mate-

rials ebenfalls sehr gute Ergebnisse im Vergleich zu den ABAQUS-Ergebnissen.

In Abbildung 10.56 sind die zeitlichen Verläufe für die Verschiebung U1 des

Knotens 37 illustriert. Dabei kann ein Dehnungsverhalten von 0.3% erreicht

werden. Weiterhin ist der zeitliche Verlauf der MISESschen plastischen Deh-

nung des Elements 493 in Abbildung 10.57 dargestellt. Ebenfalls ist dabei eine

gute Übereinstimmung der Kurven zu erkennen. Hierbei wird eine maxima-

le verbleibende plastische Dehnung von 0.012% berechnet. Jedoch tritt dabei

eine Abweichung zwischen den maximalen Werten auf. Dies kann vor allem

darauf zurückgeführt werden, dass sich die Methoden für die Berechnung der

plastischen Verzerrungen in ABAQUS und in dieser Arbeit unterschieden.

In dieser dynamischen Simulation mit einem RAMBERG-OSGOODschen

und einem elastisch-plastischen Materialmodell liegt ein Problem kleiner Ver-

zerrungen bezüglich des CR-Elementsystems vor. Daher unterscheiden sich die

209

- 00

0

00

1000

1 00

2000

2 00

0 1 2 3 4 6


Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.56: Verlauf der Verschiebung U1 des Knotens 37 aus der dynamischenBerechnung mit Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen im Falleines elastisch-plastischen Materials

Lösungen aus ABAQUS und den CR-Formulierungen kaum.

Die Verschiebung U1 des Knotens 37 bei der Berechnung mit Tetraederele-

menten und einem MOONEY-RIVLINschen Material ist in Abbildung 10.59

dargestellt. Es ist dabei zu erkennen, dass die Amplituden der Verschiebungs-

verläufe eine sehr gute Übereinstimmung zeigen. Weiterhin ist die Deformation

des Systems nach 1s in Abbildung 10.58 illustriert. Ferner wird ein Dehnungs-

verhalten bis zu 25% berechnet. Die Verschiebungsverläufe U1 unterscheiden

sich jedoch stark in ihrer Phase. Dieser Effekt tritt dadurch auf, dass es Un-

terschiede in der nichtlinearen FE-Formulierung sowie in der Formulierung des

MOONEY-RIVLINschen Materialverhaltens gibt. Zur direkten Integration die-

ses Materialmodells bei großen Verzerrungen in die CR-Formulierungen wird

der materielle rechte Streckungstensor mit der linearen Verzerrung bezüglich

des lokalen Elementsystems approximiert (siehe Abschnitt 7.3). Im Gegensatz

dazu wird in ABAQUS dieser Tensor direkt durch die Polarzerlegung des De-

formationsgradienten ermittelt [26].

Hexaederelemente mit linearen Ansatzfunktionen: Im Anschluss werden

210

0

2 10-

4 10-

6 10-

8 10-

0.0001

0.00012

0.00014

0 1 2 3 4 6


Pla

stis

che

Deh

nungεp v

[1]

Zeit [s]

Abb. 10.57: Verlauf der plastischen Dehnung des Elements 493 aus der dynami-schen Berechnung mit Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen imFall eines elastisch-plastischen Materials

Abb. 10.58: Deformationsverhalten des Maschinenbauteils nach 1s aus derABAQUS-Berechnung (unten) und aus der MKS-FEM-Berechnung (oben)mit Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen im Fall eines M.-RIVLINschen Materials

211

- 00

0

00

1000

1 00

2000

2 00

0 2 4 6 8 10 12 14 16


Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.59: Verlauf der Verschiebung U1 des Knotens 37 aus der dynamischenBerechnung mit Tetraederelementen mit linearen Ansatzfunktionen im Falleines MOONEY-RIVLINschen Materials

die Ergebnisse aus den dynamischen Berechnungen mit Hexaederelementen

mit linearen Ansatzfunktionen vorgestellt.

In Abbildung 10.60 sind die zeitlichen Verläufe der Verschiebung U1 des

Knotens 12 im Fall eines RAMBERG-OSGOODschen Materials dargestellt.

Die Simulationszeit beträgt hierbei 5.4 s. Es ist dabei zu erkennen, dass ei-

ne sehr gute Übereinstimmung der zeitlichen Verschiebungsverläufe vorliegt.

Jedoch bricht die dynamische ABAQUS-Berechnung beim Erreichen des defi-

nierten minimalen Zeitinkrements bereits bei 4.1 s ab, wohingegen die dyna-

mische MKS-FEM-Berechnung erfolgreich durchgeführt wird. Ebenfalls kön-

nen im Vergleich zu den Ergebnissen aus ABAQUS sehr gute Ergebnisse aus

der MKS-FEM-Berechnung im Fall eines elastisch-plastischen Materials erzielt

werden (siehe Abbildungen 10.61 und 10.62).

Es handelt sich in diesen beiden Fällen um ein Problem mit großen Starr-

körperrotationen bei kleinen Verzerrungen. Dabei lässt sich auch die plastische

Verzerrung in der Struktur mit der MKS-FEM-Methode effizient berechnen.

Weiterhin sind die zeitlichen Verschiebungsverläufe U1 des Knotens 12 im

Fall eines MOONEY-RIVLINschen Materials in Abbildung 10.63 dargestellt.

212

- 00

0

00

1000

1 00

2000

2 00

0 1 2 3 4 6

Abaqus-NL-ON, R.-Os oo EICR-Form., R.-Os oo

Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.60: Verlauf der Verschiebung U1 des Knotens 12 aus der dynamischenBerechnung mit Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen im Fall ei-nes RAMBERG-OSGOODschen Materials

- 00

0

00

1000

1 00

2000

2 00

0 2 4 6 8 10


Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.61: Verlauf der Verschiebung U1 des Knotens 12 aus der dynamischenBerechnung mit Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen im Fall ei-nes elastisch-plastischen Materials

213

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.00

0.006

0 2 4 6 8 10


Pla

stis

che

Deh

nungεp v

[1]

Zeit [s]

Abb. 10.62: Verlauf der plastischen Dehnung im sechsten Integrationspunktdes Elements 33 aus der dynamischen Berechnung mit Hexaederelementen mitlinearen Ansatzfunktionen im Fall eines elastisch-plastischen Materials

Dabei ergibt sich eine sehr gute Übereinstimmung der Amplitude des Verschie-

bungsverlaufs aus der ABAQUS- und der MKS-FEM-Berechnung. Es zeigt

sich, dass sich die Verschiebungsverläufe in ihrer Phase unterscheiden. Dieser

Effekt beruht ebenfalls vor allem auf Unterschieden in den nichtlinearen For-

mulierungen sowie Materialmodellen, wie im Fall von CR-Tetraederelementen

mit linearen Ansatzfunktionen erwähnt.

Zusammenfassung für den dynamischen Fall: Wie bereits im statischen Fall

zusammengefasst, kann anhand der durchgeführten Untersuchungen gezeigt

werden, dass materielle Nichtlinearitäten mit Hilfe der CR-Formulierungen

effizient und direkt in die Dynamik deformierbarer Mehrkörpersysteme in-

tegriert werden können. Dabei lassen sich CR-Tetraederelemente und CR-

Hexaederelemente gut verwenden.

Des Weiteren kann hierbei festgestellt werden, dass sich das Verformungs-

und Dehnungsverhalten deformierbarer Strukturen bei gummiartigem sowie

elastisch-plastischem Materialverhalten mit Hilfe der CR-Elemente effizient

berechnen lassen. Im Fall eines elastisch-plastischen Materials kann bei der

214

- 00

0

00

1000

1 00

2000

2 00

0 2 4 6 8 10


Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.63: Verlauf der Verschiebung U1 des Knotens 12 aus der dynamischenBerechnung mit Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen im Fall ei-nes M.-RIVLINschen Materials

dynamischen MKS-FEM-Simulation im Vergleich zu den ABAQUS-Lösungen

die plastische MISESsche Vergleichsdehnung gut berechnet werden.

10.6 MKS-FEM-Berechnungen einer dünnwandigen

Struktur mit einer EST

Wie bereits in Kapitel 8 beschrieben, können CR-Elemente unter Verwendung

der Energiestabilisierungstechnik (EST) formuliert werden. Im Folgenden wer-

den nichtlineare statische Berechnungen einer dünnen deformierbaren Schale

zur Validierung der Einsetzbarkeit der EST vorgestellt. Ein ähnliches Berech-

nungsbeispiel kann in der Veröffentlichung [104] von Krysl gefunden werden.

Die deformierbare Schale hat die Form eines Halbzylinders und wird mit

120 Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen diskretisiert. Dabei ist

die Dicke der Schale über 2 Elemente abgebildet. Weiterhin wird die Scha-

le an einem Ende fest eingespannt und an dem anderen Ende geometrisch

mit einem Starrkörper gekoppelt. Die Festeinspannung und die geometrische

Kopplung werden wie in Abschnitt 10.4 beschrieben realisiert. Das detaillierte

215

xg1

xg2

xg3

o

h

Festeinspannung

C F

R

deformierbar

starr

Abb. 10.64: Berechnungsmodell aus einer halbzylinderförmigen dünnen Schale(R=60 mm, h=4 mm) und einem Starrkörper (100 mm×4 mm×4 mm) für dienichtlinearen statischen Berechnungen mit einer Kraft F = −15000 N

MKS-Berechnungsmodell ist in den Abbildungen 10.64 und 10.65 illustriert.

Zur Auswertung wird die Verschiebung U3 des Schwerpunkts C des Starrkör-

pers herangezogen (siehe Abbildung 10.64). Bei der Durchführung der MKS-

FEM-Berechnung wird die EICR-Formulierung mit der Energiestabilisierungs-

technik eingesetzt, wobei das HIGHAMsche Verfahren III aus Abschnitt C.2.3

in Anhang C zur Ermittlung von Starrkörperrotationen finiter Elemente ver-

wendet wird. Weiterhin werden die Ergebnisse aus nichtlinearen ABAQUS-

Berechnungen mit Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen ohne re-

duzierte Integration (C3D8-NL-ON) und mit reduzierter Integration (C3D8R-

NL-ON) betrachtet [5]. In diesem Beispiel geht es um die nichtlineare Berech-

nung der großen Biegeverformung einer dünnwandigen elastischen Struktur

mit 3D Kontinuumselementen, wobei Locking-Effekte bei fast inkompressiblen

Dehnungsproblemen auftreten können. Wie in [26] und [74] erwähnt, lassen

sich diese Effekte mit der reduzierten Integrationstechnik gut behandeln.

Des Weiteren können die Einstellungen für die ABAQUS- und die MKS-

FEM-Berechnungen aus Tabelle 10.10 in Abschnitt 10.4 entnommen werden.

Weiterhin wird ein isotropes, homogenes linear-elastisches Material mit E =

210000 N/mm2 für die Schale ausgewählt. Zur Untersuchung der Einflüsse der

216

Abb. 10.65: Diskretisierung einer halbzylinderförmigen dünnen Schale und einStarrkörper mit Randbedingungen für die MKS-FEM-Berechnungen

Inkompressibilität auf die Deformation wird die POISSONsche Zahl ν den

Wert 0 und 0.3 sowie 0.49 je nach Berechnungsfall ausgewählt.

In Abbildung 10.66 sind die Ergebnisse für die Verschiebung U3 des Punk-

tes C im Fall der POISSONschen Zahl ν = 0 dargestellt. Es ist zu erken-

nen, dass eine gute Übereinstimmung zwischen den Kurven im Fall von CR-

Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen ohne die EST und im Fall

von C3D8-NL-ON-Elementen erzielt wird. Am Ende des Lastinkrements be-

trägt die Verschiebung U3 aus der MKS-FEM-Berechnung -31.96 mm und die

aus der ABAQUS-Berechnung -32.15 mm. Weiterhin kann gezeigt werden, dass

im Vergleich zu den C3D8R-NL-ON-Elementen die CR-Hexaederelementen mit

linearen Ansatzfunktionen unter Berücksichtigung der EST ebenfalls gute Er-

gebnisse liefern können. Hierbei beträgt die Verschiebung U3 aus ABAQUS

-106.57 mm und die aus der MKS-FEM-Berechnung -101.57 mm, was eine

Abweichung relativ zur ABAQUS-Lösung von 4.6% bedeutet.

Für den Fall der POISSONschen Zahl ν = 0.3 stimmen die Lösungen aus der

MKS-FEM-Berechnung mit den aus ABAQUS ebenfalls gut überein (siehe Ab-

bildung 10.67). Außerdem kann festgestellt werden, dass bei diesem großen elas-

tischen Biegeverformungsverhalten der Schale das CR-Hexaederelement mit

der EST steifer ist als das Element C3D8R-NL-ON von ABAQUS. Hierbei

beträgt die Verschiebung U3 aus ABAQUS -105.34 mm und aus der MKS-

FEM-Berechnung -97.81 mm. Dies bedeutet eine Abweichung von 7.1% relativ

zum ABAQUS-Ergebnis. Unter Verwendung des Elements C3D8R-NL-ON von

217

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Abaqus-NL-ON, m R . I .EICR-Form., m E

Abaqus-NL-ON, o R . I .EICR-Form., o E

Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.66: Verschiebung U3 des Schwerpunkts C aus der statischen Berech-nung einer halbzylinderförmigen Schale mit Hexaederelementen mit linearenAnsatzfunktionen im Fall eines linear-elastischen Materials mit ν = 0

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


Abaqus-NL-ON, o R . I .EICR-Form., o E

Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.67: Verschiebung U3 des Schwerpunkts C aus der statischen Berech-nung einer halbzylinderförmigen Schale mit Hexaederelementen mit linearenAnsatzfunktionen im Fall eines linear-elastischen Materials mit ν = 0.3

218

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


Abaqus-NL-ON,o R . I .EICR-Form., o E

Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Lastinkrement [1]

Abb. 10.68: Verschiebung U3 des Schwerpunkts C aus der statischen Berech-nung einer halbzylinderförmigen Schale mit Hexaederelementen mit linearenAnsatzfunktionen im Fall eines linear-elastischen Materials mit ν = 0.49

ABAQUS lassen sich große Biegeverformungen von dünnwandigen Strukturen

auch unter Berücksichtigung von Locking-Effekten aus nichlinearem Material-

verhalten gut behandeln [26]. Wie in der Arbeit [105] von Krysl ausführlich

diskutiert wird, kann die EST Lockling-Effekte bei kleinen elastischen Verfor-

mungen effizient behandeln. Ferner haben die CR-Hexaederelemente mit linea-

ren Ansatzfunktionen ohne die EST Schwierigkeiten, große Biegeverformun-

gen elastischer Strukturen abzubilden, wie in Abschnitt 10.1.1 erwähnt. In den

CR-Formulierungen mit der EST, wobei die Rotationsmatrix für das gesam-

te Element bestimmt wird, verfügen die CR-Hexaederelemente mit linearen

Ansatzfunktionen trotz der Stabilisierung aus dem MOONEY-RIVLINschen

Potential ebenfalls über Schwierigkeiten, diese elastischen Biegeverformungs-

zustände zu berechnen.

Im Fall eines fast-inkompressiblen, linear-elastischen Materials mit einer

POISSONschen Zahl ν = 0.49 ergibt sich jedoch eine größere Abweichung

zwischen den Lösungen aus ABAQUS und der MKS-FEM-Berechnung im Ver-

gleich zu den beiden vorigen Fällen. Der Grund dafür liegt vor allem in der In-

kompressibilität des Materials. In Abbildung 10.68 ist die Verschiebung U3 aus

219

der ABAQUS- und der MKS-FEM-Berechnung für diesen fast-inkompressiblen

Fall dargestellt. Am Ende des Lastinkrements beträgt die Verschiebung aus

ABAQUS mit den C3D8-NL-ON-Elementen -39.57 mm und die aus der MKS-

FEM-Berechnung ohne die EST -30.61 mm. Dies bedeutet eine Abweichung

von 22.6%. Ferner liefert die ABAQUS-Rechnung mit den C3D8R-NL-ON-

Elementen eine Verschiebung von -101 mm und die MKS-FEM-Berechnung

mit der EST eine Verschiebung von -93.08 mm, was eine Abweichung relativ

zum ABAQUS-Ergebnis von 7.8% bedeutet.

An dieser Stelle kann weiterhin festgestellt werden, dass bei der Erhöhung

der POISSONschen von 0.3 bis 0.5 der Unterschied zwischen den Verschie-

bungskurven aus den MKS-FEM-Berechnungen mit der EST und aus den

ABAQUS-Berechnungen mit reduzierter Integration größer wird. Dieser Effekt

wird auf den hydrostatischen Spannungszustand des Materials zurückgeführt.

In den CR-Formulierungen dieser Arbeit wird der CAUCHYsche Spannungs-

tensor bezüglich des CR-Koordinatensystems zur Berechnung des globalen in-

ternen Elementkraftvektors verwendet (siehe Kapitel 7). Ferner kommt dabei

die lineare Verschiebungs-Dehnungsmatrix zur Beschreibung des Verzerrungs-

verhaltens des Elements zum Einsatz. Zur Veranschaulichung wird an dieser

Stelle der Spuranteil des CAUCHYschen Spannungszustandes ΣH aus Bezie-

hung (4.9) explizit dargestellt:

ΣH =

E

3 (1 − 2ν)tr (E) I3 . (10.1)

Es ist in Beziehung (10.1) zu erkennen, dass bei der Erhöhung der POISSON-

schen Zahl ν der hydrostatische Spannungszustand des Materials schnell zu-

nimmt. Im extremen Fall von ν = 0.5 geht dieser Spannungstensor gegen

unendlich. Bei der Erhöhung von ν haben die CR-Hexaederelemente mit li-

nearen Ansatzfunktionen auch unter Berücksichtigung der EST zunehmende

Schwierigkeiten, diese reinen Volumensänderungen im CR-Koordinatensystem

des Elements zu beschreiben.

Außerdem zeigen die Berechnungsergebnisse, dass sich bei großen Biegever-

formungen unter Berücksichtigung eines fast-inkompressiblen elastischen Ma-

terials das CR-Hexaederelement mit der EST viel weicher als das ohne die

EST verhält. Dieser Effekt verdeutlicht die Wirkung der zusätzlichen Poten-

220

Abb. 10.69: Deformation der Schale aus ABAQUS mit der reduzierten Integra-tion (links) und der EICR-Formulierung mit der EST (rechts) im Fall einesfast-inkompressiblen linear-elastischen Materials

tialfunktion als Stabilisierungsanteil für die internen Elementkräfte und die

Elementsteifigkeitsmatrizen gegen Locking-Effekte.

Zur Veranschaulichung wird die Deformation der Schale am Ende des La-

stinkrements in Abbildung 10.69 illustriert. Es zeigt sich im fast-inkopressiblen

Fall ein großes Deformationsverhalten der Schale, das mit den CR-Elementen

unter Berücksichtigung der EST gut abgebildet werden kann.

Zusammenfassung für CR-Elemente mit einer EST: Es kann zusammenge-

fasst werden, dass die CR-Formulierungen mit der EST eine gute Möglichkeit

für die direkte Berechnung von geometrischen und/oder materiellen Nichtlinea-

ritäten in deformierbaren Mehrkörpersystemen darstellen, wobei sich Locking-

Effekte unter anderem aus den Materialformulierungen ergeben.

10.7 Rotordynamische Untersuchung eines Rotorsys-

tems mit Elastomer-Wälzlagern mit Hilfe der

MKS-FEM-Methode

Dieser Abschnitt umfasst die dynamische MKS-FEM-Simulation eines Rotor-

systems unter Verwendung der EICR-Formulierung. Dabei wird ebenfalls das

HIGHAMsche Verfahren III aus Abschnitt C.2.3 in Anhang C zur Berechnung

der Rotationsmatrix eingesetzt. Anhand dieses Beispiels soll gezeigt werden,

dass die Untersuchung des hoch-nichtlinearen Verhaltens von Elastomerlagern

221replacemen

o

g

xg1

xg2xg3

P9

P10

M

Abb. 10.70: Rotorsystemsmodell für die MKS-FEM-Berechnung mit einem zeit-lich konstanten Torsionsmoment M

eines Rotorsystems mit Hilfe einer dynamischen MKS-FEM-Simulation prinzi-

piell möglich ist. Ferner werden anhand der Berechnungsergebnisse relevante

rotordynamische Effekte eines Rotorsystems diskutiert. Es kann jedoch an die-

ser Stelle bemerkt werden, dass die Abbildung eines realitätsnahen Simulati-

onsmodells für ein Rotorsystem nicht das Hauptziel dieses Beispiels darstellt.

Das untersuchte Berechnungsmodell wird durch Vereinfachung eines Rotor-

systems mit viskoelastischen Dämpfungselementen aus der Arbeit [153] von

Scholz abgeleitet, dessen nichtlineares Schwingungsverhalten optimiert werden

soll. Aus dem Grund, dass die Elastomerlager zur Lagerung des Rotorsystems

ein stark nichtlineares Verformungsverhalten aufweisen, sollen vor allem die

Elastomerschichten dieser Elastomerlager mit 3D finiten Elementen abgebil-

det werden.

Zur Berücksichtigung des Biegeverhaltens der vollen Rotorwelle infolge der

Gewichtskraft und deren Einfluss auf die nichtlineare Deformation der Elasto-

merschichten wird hierbei die Rotorwelle als deformierbar angenommen. Ihre

geometrischen Abmessungen können aus Abbildung 10.71 entnommen werden.

Die Rotorscheibe ist dabei in der Mitte der Welle angebracht. Am linken und

rechten Wellenende ist jeweils ein Absatz der Länge L1 vorgesehen. Wie be-

reits erwähnt, stellt die Validierung der direkten Berechnung der großen elas-

tischen Bewegung der Rotorwelle und des hyperelastischen Deformationsver-

haltens der Elastormerlager mit der MKS-FEM-Methode ein Hauptziel dieses

Beispiels dar. Dafür wird die deformierbare Welle mit 100 Hexaederelementen

222

deformierbar

S

L1L1 L2L2

D1D2

D3

Abb. 10.71: Geometrische Abmessungen der Rotorwelle des untersuchten Ro-torsystems (L1 = 25 mm, L2 = 175 mm, D1 = 50 mm, D2 = 32 mm, D3 =140 mm, S = 30 mm),

Rotorwelle Elastomerschicht

Abb. 10.72: FE-Diskretisierung der deformierbaren Rotorwelle (links) und derdeformierbaren Elastomerschicht (rechts) mit Hexaederelementen mit linearenAnsatzfunktionen

mit linearen Ansatzfunktionen zur Berechnung ihres Biegeverformungsverhal-

tens diskretisiert (siehe Abbildung 10.72, links). Weiterhin führt hierbei die de-

formierbare Rotorwelle sehr große Starrkörperdrehungen um ihre Längssachse

aus, die mit einer relativ kleinen Biegeverformung infolge des Eigengewichtes

überlagert werden. Ferner wird für die Rotorwelle ein isotropes, homogenes

linear-elastisches Material mit E = 206000 N/mm2 und ν = 0.3 ausgewählt.

Die Dichte beträgt hierbei 7850 × 10−9 Kg/mm3.

Bei dieser dynamischen Untersuchung werden die als reibungsfrei angenom-

menen Wälzlager an den beiden Wellenenden des Rotorsystems nicht im De-

tail modelliert. Es wird lediglich das nichtlineare Deformationsverhalten ihrer

Elastomerschichten berücksichtigt. Dabei wird jede Elastomerschicht mit 8 He-

223

starr

R

H

B L

Abb. 10.73: Geometrische Abmessungen des linken und rechten starren Spann-satzes des untersuchten Rotorsystems (R = 20 mm, L = 80 mm, H = 90 mm,B = 25 mm)

xaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen diskretisiert (siehe Abbildung

10.72, rechts). Ihre geometrischen Abmessungen sind aus Abbildung 10.74 zu

entnehmen. Weiterhin wird für die Elastomerschichten ein gummiartiges nicht-

lineares Materialmodell einer MOONEY-RIVLINschen Funktion mit den Koef-

fizienten C1 = 1.5 N/mm2, C2 = 2.0 N/mm2 sowie K = 105 N/mm2 ausgewählt.

Dabei beträgt die Dichte der Elastomerschichten 1520 × 10−9 Kg/mm3.

Für die Zweckmäßigkeit einer Vereinfachung des MKS-FEM-Modells wird

die Lagerung der Rotorwelle so realisiert, dass die innere Fläche jeder Elas-

tomerschicht mit der äußeren Fläche des jeweiligen Wellenabsatzes mit Hilfe

eines 3D generalisierten Kugelgelenks, wie in Abschnitt 9.3 beschrieben, kine-

matisch reibungsfrei verbunden ist. Des Weiteren werden die Verschiebungen

aller 8 Knoten (P1 bis P8) jeder Elastomerschicht gleich den Verschiebungen

der Kontaktpunkte des dazugehörigen starren Spannsatzes gesetzt. Dafür wer-

den 8 Kugelgelenke verwendet (siehe Abbildung 10.74). Weiterhin sind alle

drei Verschiebungen sowie Rotationsfreiheitsgrade am Schwerpunkt des star-

ren Spannsatzes gesperrt. Die geometrischen Abmessungen des Spannsatzes

sind aus Abbildung 10.73 zu entnehmen.

Für die Aufbringung eines zeitlich konstanten Torsionsmoments M = 11 ×104 Nmm am geometrischen Schwerpunkt einer am Wellenende sitzenden, star-

ren Kupplung werden alle Knoten auf der Endfläche eines Wellenabsatzes mit

den dazugehörigen Positionen dieser Kupplung geometrisch über Kugelgelen-

224

deformierbar

starr

P1

P2

P3

P4P5

P6

45°R1

R2

R3L

Abb. 10.74: Geometrische Abmessungen der flexiblen Elastomerschicht des lin-ken und rechten Lagers (links) und der starren Kupplung (rechts) des unter-suchten Rotorsystems (R1 = 15 mm, R2 = 20 mm, R3 = 20 mm, L = 25mm)

ken verbunden. Die geometrischen Abmessungen können aus Abbildung 10.74

entnommen werden.

Das gesamte Rotorsystemmodell ist in Abbildung 10.70 dargestellt. Dabei

illustrieren die roten und blauen Punkte die Kontaktknoten auf der inneren

Fläche der Elastomerschichten bzw. auf der äußeren Fläche der Wellenabsät-

ze für das 3D generalisierte Kugelgelenk. Des Weiteren veranschaulichen die

grünen Punkte die Kugelgelenke für die kinematische Verbindung der Elasto-

merschichten mit den Spannsätzen. Weiterhin werden die Punkte P9 und P10

definiert, deren Verschiebungen zur Auswertung des Ergebnisses herangezogen

werden. Neben dem Torsionsmoment M befindet sich die Rotorwelle noch im

Erdschwerfeld mit g = 9810 mm/s2.

Es kann hiermit bemerkt werden, dass alle starren Körper des Rotorsystems

über die gleiche Dichte von 7825 × 10−9 Kg/mm3 verfügen.

Für die dynamische MKS-FEM-Simulation wird das modifizierte NEWTON-

RAPHSONsche Verfahren mit einem minimalen Zeitinkrement von 10−6 s und

einem maximalen Zeitinkrement von 5 × 10−4 verwendet. Weiterhin wird für

die Konvergenzprüfung in jedem Zeitinkrement ein Toleranzparameter TOL =

10−6 ausgewählt. Die gesamte Simulationszeit beträgt 7.2 s. Zur Zeit t = 0 s

befindet sich das System in der Ruhelage.

Der Verlauf der Verschiebungen U1 und U2 des Punktes P9 ist in den Abbil-

225

dungen 10.76 und 10.77 dargestellt. Infolge der Schwerkraft erfährt die Rotor-

welle in der Anfangsphase der Simulation eine Biegeverformung. Bei 0.068 s

beträgt die Verschiebung U1 des Punktes P9 etwa 5.06 mm. So ergeben sich Un-

wuchteffekte in der laufenden Simulation. Des Weiteren nimmt der Einfluss des

Torsionsmomentes M auf das Deformationsverhalten der Rotorwelle mit der

Zeit zu. Dabei wird die Rotationsgeschwindigkeit der Welle mit der Zeit erhöht

und die Schwingperiode des Rotorsystems verringert sich. Ferner beträgt die

maximale Verschiebung U2 der Rotorscheibe in der Längsrichtung der Welle

etwa 0.4 mm (siehe Abbildung 10.77). Diese Verschiebung ist im Vergleich zur

maximalen Verschiebung U1 der Rotorscheibe in xg1-Richtung von etwa 80 mm

vernachlässigbar klein. Aus diesem Grund wird bei den folgenden Diskussionen

der Einfluss der Kreiselwirkung der Rotorscheibe vernachlässigt.

Aufgrund der Gewichtskraft und der Fliehkraft der Rotorwelle werden die

Elastomerschichten stark belastet. Die Verläufe der Verschiebungen des Punk-

tes P10 in den drei Richtungen sind in den Abbildungen 10.78, 10.79 und 10.80

illustriert. Es ist dabei zu erkennen, dass verschiedene harmonische Schwingan-

teile überlagert sind. Dabei beträgt die maximale Verschiebung U1 des Punktes

P10 etwa 2.75 mm. Weiterhin nimmt die maximale Amplitude der zeitlichen

Verläufe U2 und U3 den Wert 0.375 mm und 0.12 mm an. Diese Tatsache ver-

deutlicht unter anderem den großen Einfluss des Eigengewichts der elastischen

Rotorwelle auf das Schwingverhalten der Elastomerschichten.

Weiterhin wird in Abbildung 10.78 illustriert, dass der zeitliche Verlauf der

Verschiebung U1 des Punktes P10 der Elastomerschicht in xg1-Richtung aus

der Überlagerung von zwei harmonischen Schwinganteilen resultiert. Der ers-

te Schwinganteil stellt die große elastische Bewegung der Rotorwelle dar, die

in eine reine Starrkörperdrehung um ihre Längsachse und eine relativ kleine

Biegeverformung zerlegt werden kann. Dabei werden die Elastomerschichten

über die generalisierten Kugelgelenken in Schwingung versetzt. Daher kommt

der zweite Schwinganteil mit einer anderen Kreisfrequenz zustande.

In Abbildung 10.75 wird das Deformationsverhalten des gesamten Rotor-

systems bei t=3.02 s dargestellt. Es zeigt sich weiterhin, dass die maximale

Durchsenkung der Rotorwelle an der Position der Rotorscheibe vorliegt.

Abschließend werden kurz die biegekritischen Drehzahlen und relevante ro-

tordynamische Effekte des Rotorsystems diskutiert. Es geht in diesem Beispiel

226

Durchbiegung der WelleDefor. der Elastomerschicht

Abb. 10.75: Deformationsverhalten der Rotorwelle und der Elastomerschichtdes Rotorsystems aus der MKS-FEM-Berechnung bei t=3.02 s

um die dynamische Berechnung eines elastischen Lavalläufers mit lediglich ei-

nem Laufrad, der mit zwei vereinfachten nichtlinearen Elastormerlagern an

beiden Wellenenden gelagert wird. Die biegekritische Drehzahl des Gleichlaufs

dieses Systems kann wie folgt berechnet werden:

ωkr =

√

48Ew

ρw

√

Ib,w

(2L2)3 VRad

. (10.2)

Dabei bezeichnet Ew den E-Modul der Rotorwelle, ρw stellt die Dichte der

Welle dar. Ferner beschreibt Ib,w das Flächenträgheitsmoment der Welle um die

xg3-Achse. Weiterhin ist VRad das Volumen des Laufrads (siehe [138]). Anhand

der Abmessungen aus Abbildung 10.71 sowie des gegebenen isotropen linear-

elastischen Materials für die Rotorwelle ergibt sich ωkr = 4417.83 s−1. Anhand

des Ergebnisses aus der MKS-FEM-Simulation erreicht der Lavalläufer nach

7.2 s eine Rotationsgeschwindigkeit mit der Kreisfrequenz von 94.2 s−1. Diese

Kreisfrequenz liegt deutlich unter der biegekrtitischen Drehzahl des Gleichlaufs,

so dass der Resonanzbereich des Systems noch nicht erreicht wird.

Weitere rotordynamische Effekte, die anhand der Ergebnisse der MKS-FEM-

Berechnungen gezeigt werden können, sind der Gleichlauf, der statische Durch-

hang der Welle infolge des Eigengewichtes und die elliptische Bewegungsbahn

der Laufrades. In Abbildung 10.81 ist die Bewegung des Schwerpunkts des

Laufrades durch die Darstellung der zeitlichen Abhängigkeit der Verschiebung

U1 von der Verschiebung U3 dieses Wellendurchstoßpunkts illustriert. Es ist zu

erkennen, dass der Wellendurchstoßpunkt Os um 5.06 mm in xg1-Richtung ver-

227

schoben wird. Ferner kann dabei festgestellt werden, dass sich das Laufrad wäh-

rend der Simulation in einer guten Annäherung auf elliptischen Bahnen bewegt.

Sie entstehen dadurch, dass bei der Darstellung der Lage des Wellendurchstoß-

punkts mit komplexen Zahlen eine Kreisbewegung im Wellendrehsinn mit der

anderen Kreisbewegung im Gegensinn der Wellendrehung überlagert wird. Die

Halbachsen dieser Ellipsen nehmen aufgrund der Beschleunigung der Wellen-

drehzahl mit der Zeit zu.

Weiterhin zeigt sich dabei, dass der Wellendrehsinn mit der Durchlaufrich-

tung des Wellendurchstoßpunkts übereinstimmt. Dieser Gleichlauf-Effekt wird

darauf zurückgeführt, dass die Kreisfrequenz der Wellendrehung unter den Ei-

genkreisfrequenzen der Elastomer-Lagerungen liegt.

Ein weiterer interessanter Effekt ist dabei eine langsame Auswanderung der

großen Halbachsen der elliptischen Bahn aus der Lage parallel zur xg1-Achse

in die neue Lage parallel zur xg3-Achse. Der Grund dafür liegt darin, dass

sich während der Simulation das Verhältnis der Steifigkeiten der Elastomer-

schichten zur Biegesteifigkeit der Welle ändert. Infolge dessen nimmt die Am-

plitude des zeitlichen Verlaufs U3 des Punktes P10 der Elastomerschichte in

xg3-Richtung, wie in Abbildung 10.80 illustriert, mit der Zeit zu.

Ausführliche mathematische Diskussionen über diese rotordynamischen Ef-

fekte können in der Arbeit [138] von Gasch gefunden werden.

Zusammenfassung für das Rotorsystem: Zusammengefasst kann aus den

vorgestellten Berechnungsergebnissen festgestellt werden, dass eine dynami-

sche MKS-FEM-Simulation eines Rotorsystems unter Berücksichtigung der Un-

wuchteffekte infolge der Schwerkraft einer rotierenden Rotorwelle möglich ist.

Ferner lässt sich gummiartiges Materialverhalten direkt in die Mehrkörperdy-

namik einbeziehen. Wesentliche rotordynamische Effekte eines Rotorsystems

lassen sich ebenfalls gut abbilden. So sind weitergehende dynamische Untersu-

chungen an detaillierteren Rotorsystemmodellen denkbar.

Dieses Beispiel zeigt eine hervorragende Möglichkeit zur direkten Einbezie-

hung von rotierenden defomierbaren Bauteilen mit stark nichtlinearem Materi-

alverhalten in lokalen Bereichen in die Berechnung des Mehrkörpersystems. Im

Gegensatz dazu ist diese Möglichkeit in den kommerziellen MKS-Programmen

nur unter großem Aufwand oder in vielen Fällen sogar nicht gegeben.

228

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 1 2 3 4 6 7 8

am s -FE - r u

Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.76: Verschiebung U1 des Punktes P9 der Rotorscheibe aus der dyna-mischen MKS-FEM-Simulation des Rotorsystems

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 4 6 7 8

am s -FE - r u

Ver

schie

bung

U2

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.77: Verschiebung U2 des Punktes P9 der Rotorscheibe aus der dyna-mischen MKS-FEM-Simulation des Rotorsystems

229

-0.

0

0.

1

1.

2

2.

3

0 1 2 3 4 6 7 8

am s -FE - r u

Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.78: Verschiebung U1 des Punktes P10 der Elastomerschicht aus derdynamischen MKS-FEM-Simulation des Rotorsystems

-0.1

-0.0

0

0.0

0.1

0.1

0.2

0.2

0.3

0.3

0.4

0 1 2 3 4 6 7 8

am s -FE - r u

Ver

schie

bung

U2

[mm

]

Zeit [s]


230

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 1 2 3 4 6 7 8

am s -FE - r u

Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Zeit [s]


0

1

2

3

4

6

7

8

9

10

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u s r u s s Laufra s

Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Verschiebung U3 [mm]

5.06 mm

Os

M

Abb. 10.81: Bewegung des Schwerpunkts des Laufrades während der dyna-mischen MKS-FEM-Berechnung des Rotorsystems; M : Torsionsmoment; Os:Verschobener Wellendurchstoßpunkt

231

10.8 Dynamische Stabilitätsuntersuchungen an einem

Kolben-Zylinder-System mit Hilfe der MKS-

FEM-Methode

Kugelgelenk

Schubgelenk

Drehgelenk

Knoten 100

O

C

xg1

xg2

xg3

M

Abb. 10.82: Kolben-Zylinder-Systemmodell für die MKS-FEM-Berechnung miteinem konstanten Torsionsmoment M

Nachfolgend wird die dynamische MKS-FEM-Analyse eines Kolben-Zylinder-

Systems durchgeführt. Das Hauptziel dieses Beispiels besteht darin, die große

elastische Bewegung der deformierbaren Pleuelstange bei der dynamischen Si-

mulation eines gesamten Kolben-Zylinder-Systems direkt zu berechnen. Ferner

wird ausführlich das dynamische Stabilitätsverhalten des Systems diskutiert.

Das Kolben-Zylinder-System besteht aus einem starren Kolben mit einer

Dichte von 7850 × 10−9 Kg/mm3, einer elastischen Pleuelstange aus Stahl

mit E = 210000 N/mm2 und ν = 0.3 sowie einer starren Kurbelwelle. Zur

Beurteilung des Einflusses der Steifigkeit auf die dynamische Stabilität des

Pleuels wird zusätzlich ein E-Modul von 105000 N/mm2 sowie 420000 N/mm2

232

RI

Ra

D

L

H1

H2

Abb. 10.83: Geometrische Abmessungen des starren Kolbens (RI=45 mm, Ra

= 55 mm, D = 20 mm, H1 = 100 mm, H2 = 71.34 mm, L=5 mm)

betrachtet. Die Dichte der Pleuelstange und der Kurbelwelle beträgt hierbei

7825×10−9 Kg/mm3. Ferner sind die geometrischen Abmessungen des Kolbens

und der Kurbelwelle in den Abbildungen 10.83 und 10.84 dargestellt.

Die elastische Pleuelstange hat die Form eines Quaders, wie in Abbildung

10.85 dargestellt. Es werden vier Knoten für die Realisierung der kinematischen

Bindungen der Pleuelstange mit dem Kolben und der Kurbelwelle definiert. Da-

bei sind die Knoten P1 und P2 in der Abbildung 10.85 dargestellt. Die Knoten

P3 und P4 befinden sich auf der unteren Oberfläche der Pleuelstange und liegen

gegenüber dem Konten P1 bzw. P2. Des Weiteren wird die elastische Pleuel-

stange mit 100 Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen diskretisiert.

Das gesamte Mehrkörpersystem für das Kolben-Zylinder-System ist in Abbil-

dung 10.82 illustriert. Dabei ist die Pleuelstange mit dem starren Kolben über

zwei Kugelgelenke an den Stellen P1 und P3 kinematisch verbunden. Ebenso

werden die kinematischen Bindungen der Pleuelstange mit der starren Kurbel-

welle an den Knoten P2 und P4 realisiert. Als geometrische Randbedingungen

werden ein Schubgelenk in der xg2-Achse am Schwerpunkt des Kolbens und

ein Drehgelenk um die xg3-Achse am Punkt C angebracht (siehe Abbildungen

10.85 und 10.82).

Als externe Belastung wird ein zeitlich konstantes Antriebsmoment M =

−2 × 106 Nmm im Punkt C um die xg3-Achse des globalen Koordinatensys-

tems aufgebracht. Bei der Simulation wird der Einfluss der Schwerkraft nicht

berücksichtigt, und das System befindet sich am Anfang in Ruhe. Die transien-

te MKS-FEM-Simulation wird mit der EICR-Formulierung unter Anwendung

233

R1C

R2

R3 R3

L

L1

B

B1 B1 H1

H2

Abb. 10.84: Geometrische Abmessungen der starren Kurbelwelle (L=170 mm,B = 160 mm, H1 = 130 mm, H2 = 94.34 mm, R1 = 40 mm, R2 = 94.34 mm,R3 = 40 mm, B1 = 20 mm, L1 = 30 mm) bei verschiedenen Ansichten

L1

L1

P1

P2L2

B

H

Abb. 10.85: Geometrische Abmessungen der elastischen Pleuelstange (L1=20mm, L2 = 260 mm, B = 40 mm, H = 10 mm)

234

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Zeit [s]

E = 210000 N/mm2

Abb. 10.86: Verschiebung U1 des Knotens 100 der elastischen Pleuelstange ausder dynamischen MKS-FEM-Simulation nach 16.28 s im Fall des E-Moduls E= 210000 N/mm2

des HIGHAMschen Verfahrens III aus Abschnitt C.2.3 in Anhang C zur Be-

rechnung großer Starrkörperrotationen finiter Elemente durchgeführt. Dabei

wird die implizite Runge-Kutta-Integrationsmethode unter Berücksichtigung

des Lobatto-IIIA-Schemas verwendet. Des Weiteren kommt das modifizier-

te NEWTON-RAHPSONsche Verfahren mit einer maximalen Zeitschrittweite

von 0.001 s und einer minimalen Zeitschrittweite von 10−6 s zum Einsatz. Für

eine Simulationszeit von 16.28 s wird wie im vorherigen Beispiel ein Toleranz-

parameter TOL = 0.0001% ausgewählt. Weiterhin werden zur Auswertung des

Ergebnisses die Verschiebungen des Knotens 100 der diskretisierten Pleuelstan-

ge in den drei Richtungen des globalen Koordinatensystems herangezogen.

Die zeitlichen Verschiebungsverläufe U1 und U2 des Knotens 100 sind in

den Abbildungen 10.86 sowie 10.87 dargestellt. Es zeigt sich dabei, dass die

Pleuelstange mehrere geschlossene Umdrehungen bei sehr großen Starrkörper-

rotationen ausführt. Hierbei beträgt die maximale Verschiebung in der xg1-

Richtung etwa 50 mm und in der xg2-Richtung etwa 161 mm. Weiterhin kann

dabei festgestellt werden, dass die Periode der Schwingung mit der Zeit ab-

nimmt. Dies liegt daran, dass die gesamte Leistung des zeitlich Konstanten

235

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

E = 210000 N/mm2

Ver

schie

bung

U2

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.87: Verschiebung U2 des Knotens 100 der elastischen Pleuelstange ausder dynamischen MKS-FEM-Simulation nach 16.28 s im Fall des E-Moduls E= 210000 N/mm2

Torsionsmoments M für die Beschleunigung der Drehgeschwindigkeit der star-

ren Kurbelwelle und somit des elastischen Pleuels zur Verfügung steht.

Dynamische Stabilitätsuntersuchung: Weiterhin sind die zeitlichen Verläufe

der Verschiebung U3 bei verschiedenen E-Modulen in Abbildung 10.89 darge-

stellt. Dabei ist zu erkennen, dass bei einer Simulationszeit von 16.28 s aus-

schließlich der Lösung für den Fall E = 420000 N/mm2 die Amplitude der

zeitlichen Verschiebungsverläufe bei einer bestimmten Zeit bzw. Frequenz des

Systems plötzlich sehr groß wird. Kurz danach verhält sich das System instabil

und die dynamische MKS-FEM-Simulation bricht aufgrund des Konvergenz-

problems ab. Es handelt sich in diesem Beispiel in einer guten Annäherung

um ein dynamisches Stabilitätsproblem wie im Fall eines beidseitig gelenkig

gelagerten deformierbaren, geraden Stabs unter Wirkung einer pulsierenden

axialen Kraft. Für die Zweckmäßigkeit der Diskussion wird eine analytische

Lösung für dieses Problem durch weitere Idealisierungen des Systems herge-

leitet. Dafür wird ein lokales Koordinatensystem für den Pleuel definiert, das

sich mit der Deformation des Pleuels bewegt. Dabei bleibt die xl2-Achse die-

236

ses Koordinatensystems auf der Geraden, die den Mittelpunkt zwischen den

Punkten P1 und P3 mit dem Mittelpunkt zwischen den Punkten P2 und P4

verbindet(siehe Abbildungen 10.85 und 10.88).

Mit Hilfe der Methode der Lagrange-Funktion, wobei die Theorie zweiter

Ordnung unter Berücksichtigung des Trägheitseffekts in der xl3-Richtung her-

angezogen wird, lässt sich die Differentialgleichung zur Beschreibung des dyna-

mischen Stabilitätsverhaltens des Pleuels mit einer pulsierenden axialen Last

bezüglich des lokalen Koordinatensystems schreiben [20]:

ρA∂2u3

∂t2+ EIb,1

∂4u3

∂x4l2

+ F (t)∂2u3

∂x2l2

= 0. (10.3)

Dabei bezeichnet A die Querschnittfläche, die senkrecht zur Längsachse des

Pleuels steht. ρ ist die Dichte des Pleuels. Ferner beschreibt E den E-Modul

und Ib,1 das Flächenträgheitsmoment um die xl1-Achse. u3 bezeichnet die Quer-

bewegung des Pleuels in der xl3-Richtung des lokalen Koordinatensystems.

Weiterhin stellt F (t) die pulsierende axiale Belastung bezüglich des lokalen

Koordinatensystems dar. An dieser Stelle ist zu bemerken, dass in der Bewe-

gungsgleichung (10.3) die Zentrifugal- sowie Corioliskräfte infolge der relativen

Bewegung des lokalen Koordinatensystems bezüglich des globalen Koordina-

tensystems vernachlässigt werden. Ferner wird angenommen, dass die Verfor-

mung des Pleuels bezüglich des lokalen Koordinatensystems relativ zur gesam-

ten Bewegung des Pleuels klein bleibt. Ebenfalls wird der Einfluss der Trägheit

des starren Kolbens auf das Stabilitätsverhalten des Pleuels vernachlässigt.

Anhand der geometrischen Beziehungen aus Abbildung 10.88 folgen die pul-

sierende axiale Last in der Form:

F (t) =M

Lk

cos(π

2− α1 − α2), (10.4)

und Beziehung:

Lk sin(α2) = Lp sin(α1). (10.5)

Beim Einsetzen der Beziehung (10.5) in die Beziehung (10.4) nimmt die pul-

sierende axiale Last bezüglich des lokalen Systems die Form an:

F (t) =M

Lp

sin(2ωpt), (10.6)

237

wobei ωp die Kreisfrequenz der Drehbewegung des Pleuels darstellt.

An dieser Stelle sei auf eine Herleitung der analytischen Lösung der nicht-

linearen Gleichung (10.3) verzichtet. Jedoch kann sie in der Arbeit [20] von

Bolotin gefunden werden. Die kritische Eigenfrequenz der Drehbewegung des

Pleuels zur Abgrenzung des Stabilitätsbereichs des Systems wird wie folgt be-

rechnet:

ωp,kr =π2

L2p

√

EIb,1

mp

√

1 − MLp

2π2EIb,1. (10.7)

Dabei beschreibt mp die gesamte Masse des Pleuels.

In der Realität sind das Stabilitäts- und das Nachbeulverhalten von defor-

mierbaren Strukturen ein dynamisch ablaufender Prozess. In vielen Fällen soll

der Trägheitseffekt in der Stabilitätsanalyse berücksichtigt werden. Zur dyna-

mischen FE-Stabilitätsuntersuchung eines deformierbaren Systems kann die

nichtlineare dynamische FE-Simulation z.B. unter Verwendung eines implizi-

ten Zeitintegrationsverfahrens eingesetzt werden. Diese Vorgehensweise verfügt

über den Vorteil, dass die effektive Steifigkeitsmatrix der FE-Struktur wegen

der Massenmatrix in den meisten Fällen positiv definit ist. Jedoch wird zur

Unterscheidung zwischen einer stabilen und einer instabilen Bewegung z.B.

die Bestimmung der Eigenwerte der tangentialen Systemsteifigkeitsmatrix be-

nötigt. Wird ein kritischer Punkt auf dem Bewegungspfad berechnet, werden

Störungen in Form von skalierten Eingenvektoren aus einem Matrizeneigen-

wertproblem in die Berechnung von weiteren möglich auftretenden instabilen

Zuständen einbezogen, die bis zum Ende der ausgewählten Simulationszeit

erfolgen sollten. Dies kann zu sehr hohem Rechenaufwand führen. Eine detail-

lierte mathematische Diskussion dafür kann in der Veröffentlichung [42] von

Riks und Rankin gefunden werden.

Im Gegensatz zu der dynamischen FE-Stabilitätsanalyse mit der kontinuier-

lichen Untersuchung der Eigenwerte stellen Schweizerhof [94] und Degenhardt

[137] eine alternative Methode vor. Dabei werden unmittelbar nach dem Simu-

lationsanfang sehr plötzlich Schwingformen der Struktur mit hohen Eigenfre-

quenzen z.B. durch eine stoßartige Belastung zur Schwingung angeregt. Auf

diese Art und Weise lassen sich Störungen als Anfangsbedingungen direkt in die

dynamische Stablitätsanalyse einbringen. Im Laufe der Berechnung wird die

gesamte Energie dieser kurzwelligen Schwingungen in die Energie der Schwin-

gung der anderen Schwingmoden mit niedrigeren Frequenzen umgewandelt.

238

Bei vorgegebenen geometrischen und dynamischen Randbedingungen können

bestimmte Schwingformen stark angefacht werden. Ihre Amplitude nimmt mit

der Zeit zu. Infolge dessen wird die Struktur ab einer bestimmten Simulati-

onszeit instabil. Die Ergebnisse aus der FE-Stabilitätsuntersuchung an Silo-

schalen mit ungleichförmiger Schüttgutfüllung unter Wirkung transienter Axi-

albelastungen in der Arbeit [94] von Schweizerhof sowie einer dünnwandigen

Komposit-Rumpfstruktur ebenfalls unter dynamischen axialen Belastungen in

der Arbeit [137] von Degenhardt zeigen gute Anwendbarkeit dieser Metho-

de. Dabei wird darauf hingewiesen, dass zur Berechnung von Schwingmoden

mit hohen Eigenfrequenzen ein ausreichend kleiner Zeitschritt für die implizi-

te Zeitintegration ausgewählt wird. Dieser Zeitschritt soll z.B. kleiner als die

charakteristischen Zeiten dieser Schwingmoden sein soll.

Im Fall dieses Kolben-Zylinder-Systems wird im ersten Zeitschritt unter an-

derem die Biegemode des Pleuels um die xl3-Achse angeregt (siehe Abbildung

10.92). Die charakteristische Zeit dieser Biegemode wird wie folgt berechnet

(siehe [50]):

τp,3 =

√√√√ρ L4

p

E Ib,3, (10.8)

wobei der Ausdruck Ib,3 das Flächenträgheitsmoment um die xl3-Achse bezeich-

net. Beim Einsetzen der geometrischen Abmessungen sowie der Materialkon-

stanten in die Gleichung (10.8) ergibt sich τp,3 = 0.003 s. Diese Zeit liegt über

der minimalen sowie der maximalen Zeitschrittweite des MKS-FEM-Solvers.

Die Verläufe der seitlichen Auslenkung U3 des Knotens 100 des Pleuels nach 1

s bei verschiedenen E-Modulen sind zur Veranschaulichung in Abbildung 10.90

dargestellt. Es ist dabei zu erkennen, dass kurz nach dem Beginn der Simulati-

on die zeitlichen Verschiebungsverläufe des Knotens 100 im mittleren Bereich

des Pleuels mit den maximalen Amplituden im Bereich von 10−5 bis 4 × 10−5

berechnet werden. Bei der Erhöhung des E-Moduls nimmt die maximale Am-

plitude des zeitlichen Verschiebungsverlaufs zu.

Anhand der geometrischen Abmessungen aus Abbildung 10.85 sowie der

bekannten Materialparameter lässt sich die analytische Lösung der Gleichung

(10.7) in Zahlen erhalten. Im Fall des E-Moduls E = 210000 N/mm2 liegt

ωp,kr bei 89 s−1. Im Fall des E-Moduls E = 105000 N/mm2 beträgt sie 63

s−1. Mit Hilfe der MKS-FEM-Berechnungen wird im Fall des E-Moduls E =

239

M

α1

α1

α2

α2

FK

F (t) Lp

Lk

xl1

xl2

Abb. 10.88: Geometrische Beziehungen und lokales Koordinatensystem für denPleuel

210000 N/mm2 eine kritische Kreisfrequenz von 47.1 s−1 nach 16 s berechnet.

Im Gegensatz dazu nimmt im Fall des E-Moduls E = 105000 N/mm2 die

kritische Kreisfrequenz einen relativ kleinen Wert von 31.4 s−1 nach 12 s an

(siehe Abbildung 10.89). Im Fall eines hohen E-Moduls von 420000 N/mm2

wird die Stabilitätsgrenze des Pleuels aus der MKS-FEM-Berechnung weiter

nach hinten verschoben.

Die berechneten kritischen Kreisfrequenzen liegen weit unter der kritischen

Kreisfrequenz aus der analytischen Lösung. Die Abweichungen zwischen den

analytischen und numerischen Lösungen weisen darauf hin, dass die Einflüsse

der Zentrifugal- und Corioliskräfte aus der relativen Bewegung des lokalen

Koordinatensystems auf die Stabilitätsgrenze des elastischen Pleuels nicht zu

vernachlässigen sind. Ebenfalls sollte der Trägheitseffekt des starren Kolbens in

die Stabilitätsberechnung einbezogen werden. Diese erwähnten Effekte wurden

in dem MKS-FEM-Modell berücksichtigt.

In Abbildung 10.91 wird das Deformationsverhalten des elastischen Pleu-

els nach dem Erreichen der Stabilitätsgrenze illustriert. Dabei zeigt sich eine

große Starrkörperrotation des Pleuels um die xg3-Achse des globalen Koordina-

tensystems, die hauptsächlich mit großen Biegeverformungen um die xl3-Achse

des lokalen Koordinatensystems überlagert wird. Weiterhin ist bei 16.27 s eine

zusätzliche Druckbelastung auf den Pleuel infolge der translatorischen Schwin-

gung des Kolbens zu erkennen.

240

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Zeit [s]

E = 105000 N/mm2

E = 420000 N/mm2E = 210000 N/mm2

instabilstabil

Abb. 10.89: Seitliche Auslenkung U3 des Knotens 100 der elastischen Pleu-elstange aus der dynamischen MKS-FEM-Simulation bei verschiedenen E-Modulen

-8x10-5

-6x10-5

-4x10-5

-2x10-5

0

2x10-5

4x10-5

6x10-5

8x10-5

0.0001

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Zeit [s]

E = 105000 N/mm2

E = 420000 N/mm2E = 210000 N/mm2

Abb. 10.90: Seitliche Auslenkung U3 des Knotens 100 der elastischen Pleu-elstange aus der dynamischen MKS-FEM-Simulation bei verschiedenen E-Modulen nach 1 s

241

t = 16.24 s t = 16.25 s t = 16.27 s

Abb. 10.91: Deformationsverhalten des elastischen Pleuels nach dem Erreichender Stabilitätsgrenze für den Fall E = 210000 N/mm2

xg1

xg2

xg3o

M

Biegung um die xg3-Achse

Abb. 10.92: Deformationsverhalten des elastischen Pleuels nach 0.01 s für denFall E = 210000 N/mm2 mit einem Skalierungsfaktor von 8000

242

Zusammenfassung für das Kolben-Zylinder-System: Die Ergebnisse aus der

dynamischen MKS-FEM-Berechnung dieses einfachen Kolben-Zylinder-Systems

haben gezeigt, dass sich transiente Berechnungen der großen Bewegung der

deformierbaren Pleuelstange dieses Mehrkörpersystems mit der CR-FEM effi-

zient durchführen lassen. Eine Erweiterung auf die transiente Simulation z.B.

einer elastisch-plastischen oder einer nichtlinear-elastischen Pleuelstange ist

ebenfalls denkbar. Weiterhin kann dieses MKS-Modell auf ein detaillierteres

Berechnungsmodell für ein Kolben-Zylinder-System erweitert werden.

Ebenfalls können statische sowie dynamische Stabilitätsuntersuchung an de-

formierbaren Komponenten eines MKS-Systems mit den CR-Formulierungen

effizient und flexible durchgeführt werden. Berechnungen des dynamischen Ver-

haltens von deformierbaren Strukturen oberhalb der Stabilitätsgrenze auch

unter Berücksichtigung von nichtlinearem Materialverhalten sind denkbar.

Dieses numerische MKS-Beispiel bestätigt die Effizienz und die Flexibilität

der CR-Formulierungen bei der dynamischen Simulation deformierbarer Mehr-

körpersysteme. Somit können wichtige technische Anwendungen wie z.B. die

Optimierung und die Lebensdaueranalyse der elastischen Teilsysteme von Ro-

botern oder Turbomaschinen ermöglicht werden. Ebenfalls stellt die direkte

Berechnung großer nichtlinear-elastischer Deformationen eine effiziente Mög-

lichkeit zur Auslegung von technischen Systemen dar.

10.9 MKS-FEM-Berechnungen einer gummiartigen

Waschmaschinenmanschette

Die Entwicklung von effizienten Berechnungsmethoden zur MKS-Simulation

komplexer Waschmaschinensysteme unter Berücksichtigung der nichtlinearen

Deformationen von z.B. Dämpferelementen oder gummiartigen Manschetten

ist eines der wichtigen aktuellen Forschungsziele bei führenden Haushaltsge-

räteherstellern. Nach der Kenntnis des Verfassers ist jedoch keine Methode

hierfür gegeben ([52], [68]).

Das Hauptziel dieses Beispiels ist die Präsentation einer Möglichkeit zur

direkten Berechnung der deformierbaren Manschette eines Waschmaschinen-

systems mit einer CR-Formulierung. Ferner wird das große elastische Deforma-

243

Generali. Kugelgelenk

Lagerung mit der Umgebung

Manschette

o

xg1

xg2

xg3

Abb. 10.93: Vordere Ansicht des MKS-Berechnungsmodells für die dynamischeMKS-FEM-Simulation des Manschette-Trommel-Systems zur Zeit t = 0

tionsverhalten der Trommel direkt berücksichtigt. Im Rahmen dieses Beispiels

wird ein MKS-Modell für das Manschette-Trommel-System erstellt.

Die Trommel besteht aus einem isotropen, homogenen linear-elastischen

Material mit E = 220000 N/mm2 und ν = 0.3. Die Dichte beträgt hierbei

7850 × 10−9 Kg/mm3. Ferner lassen sich die geometrischen Abmessungen der

Trommel aus Abbildung 10.94 entnehmen. Es ist dabei zu bemerken, dass es

sich bei einer Dicke von t = 5 mm um eine dünnwandige Struktur handelt. Aus

diesem Grund ist eine Diskretisierung mit Schalenelementen hinsichtlich der Ef-

fizienz von Vorteil. Da im Rahmen dieser Arbeit 3D CR-Kontinuumselemente

formuliert wurden, wird die Trommel mit 36 Hexaederelementen mit linearen

Ansatzfunktionen vernetzt (siehe Abbildung 10.97, rechts). Dabei ist die Di-

cke der Trommel zur Reduzierung der Anzahl der Freiheitsgraden des Systems

über lediglich 1 Element abgebildet.

Weiterhin wird die hintere Seite der Trommel kinematisch mit einer star-

ren Aufnahme unter Anwendung von 4 Kugelgelenken verbunden. Die Verbin-

dungspositionen (4 grüne Punkte) auf einer Fläche der Aufnahme sowie die

geometrischen Abmessungen der Aufnahme sind aus Abbildung 10.95 (links)

244

L

L1 L2 L3

Ra

RI

t

P1

P2

W1 W2

deformierbar

Vordere Seite

Hintere Seite

Abb. 10.94: Geometrische Abmessungen der elastischen Trommel einer Wasch-maschine (L = 357.5 mm, RI = 160 mm, Ra = 234.5 mm, t = 5 mm, L1 =117.5 mm, L2 = 100 mm, L3 = 140 mm)

W1W2 L

H

R1

R2

R3

t

α

β β

starr

starr

Abb. 10.95: Geometrische Abmessungen der starren Trommelaufnahme (R2 =239.5 mm, R1 = 20 mm, t = 10 mm, α = 7.6° mm) (links) und der Wäscheals ein Starrkörper (R3 = 200 mm, H = 34.5 mm, L = 100 mm, β = 12.31°mm) (rechts)

245

R1

R2

R3

R4b1

b2

b3 b4

t

h

gummiartig

Abb. 10.96: Geometrische Abmessungen der gummiartigen Manschette einerWaschmaschine (R1 = 160 mm, R2 = 187.11 mm, R3 = 215.67 mm, R4 =249.74 mm, b1 = 10 mm, b2 = 8 mm , b3 = 7.14 mm, b4 = 10 mm, t = 5 mm,h = 38.25 mm))

zu entnehmen. Ferner beträgt die Dichte der Aufnahme 7850 × 10−9 Kg/mm3.

Die deformierbare Manschette stellt eine dünnwandige rotationssymmetri-

sche Struktur dar, deren geometrische Abmessungen aus Abbildung 10.96 ent-

nommen werden können. Ferner wird für die Manschette ein hyperelastisches

Materialmodell einer MOONEY-RIVLINschen Funktion mit den Materialkon-

stanten C1 = 1.5 N/mm2, C2 = 2.0 N/mm2 sowie K = 105 N/mm2 ausgewählt.

Ihre Dichte nimmt dabei den Wert 1520 × 10−9 Kg/mm3 an. Ferner wird die

Manschette mit 63 Hexaederelementen mit linearen Ansatzfunktionen diskre-

tisiert (siehe Abbildung 10.97, links).

Eine effiziente Modellierung der Wechselwirkung zwischen der elastischen

Trommel und der gummiartigen Manschette ist einer der wichtigsten Berech-

nungsschritte dieses Beispiels. Aufgrund der Vernachlässigung von Kontaktpro-

blemen wird diese Wechselwirkung hierbei mit Hilfe eines 3D generalisierten

Kugelgelenks abgebildet. Dabei sind die Verbindungsknoten der Manschette

und der Trommel zur Realisierung dieses 3D generalisierten Kugelgelenks aus

Abbildung 10.97 zu entnehmen.

Für die Untersuchung des Einflusses des Wäschegewichtes auf das Defor-

mationsverhalten der Manschette wird die Wäsche als Starrkörper modelliert

(siehe Abbildung 10.95, rechts). Ferner beträgt die Dichte der Wäsche für den

jeweiligen Berechnungsfall 3 × 10−8 Kg/mm3 und 1.5 × 10−8 Kg/mm3. Weiter-

hin wird die Wechselwirkung zwischen der Trommel und der Wäsche dadurch

246

1

129113

97

81

65

4933

17

17

21

24

53

547172

73

74

77

78

13

Abb. 10.97: Diskretisierung der elastischen Trommel mit 36 Hexaederelementen(rechts) und der gummiartigen Manschette mit 63 Hexaederelementen (links)und die jeweiligen Verbindungsknoten für das 3D generalisierte Kugelgelenk

realisiert, dass die Punkte W1 und W2 auf der Wäscheoberfläche mit den dazu-

gehörigen Punkten P1 sowie P2 auf der inneren Trommeloberfläche kinematisch

durch Kugelgelenke verbunden sind (siehe Abbildungen 10.95 sowie 10.94).

Als geometrische Randbedingung wird das Manschette-Trommel-System

mit Hilfe eines Kugelgelenks im Schwerpunkt der starren Aufnahme an der

Umgebung gelagert. Ebenfalls ist die Manschette durch Kugelgelenke an den

9 Knoten mit der Umgebung verbunden, wie in Abbildung 10.98 illustriert.

Wie im vorigen Abschnitt 10.8, wird die MKS-FEM-Simulation mit der

EICR-Formulierung durchgeführt, wobei das HIGHAMsche Verfahren III für

die Berechnung der großen Starrkörperrotationen finiter Elementer zur Anwen-

dung kommt. Ferner wird zur Integration des MKS-FEM-Gleichungssystems

das implizite Runge-Kutta-Integrationsverfahren unter Verwendung des Lobatto-

IIIA-Schemas ausgewählt. Dabei beträgt die maximale Zeitschrittweite 0.001

s und die minimale Zeitschrittweite 10−7 s. Zur Berechnung der Lösung in je-

dem Inkrement wird die modifizierte NEWTON-RAHPSONsche Methode mit

einem Toleranzparameter TOL = 10−7 verwendet.

Als äußere Belastung wird ein zeitlich konstantes Drehmoment M = 2 ×106 N mm um die xg2-Richtung im Schwerpunkt der starren Aufnahme auf-

gebracht. Als Anfangsbedingung bewegt sich das System aus der statischen

247

74 90

106

122

136

10

26

42

58

Abb. 10.98: Ausgewählte Knoten für die Lagerung der Manschette an der Um-gebung

Ruhelage. Somit kann der Einfluss des Eigengewichtes der Komponenten ver-

nachlässigt werden. Zur Auswertung des Ergebnisses werden die Verschiebun-

gen des Knotens 1 der Manschette und die Verschiebungen des Knoten 13 der

Trommel betrachtet (siehe Abbildung 10.97). Das MKS-Berechnungsmodell

für das Manschette-Trommel-System bei unterschiedlichen Ansichten ist in

den Abbildungen 10.93 und 10.99 illustriert. Infolge des zeitlich konstanten

Drehmomentes M führt die elastische Trommel eine große nichtlineare Bewe-

gung aus. Dabei rotiert die starre Wäsche um die Rotationsachse der Trommel

sowie um ihre eigene Drehachse. Es kommt damit zu Unwuchteffekten für das

gesamte System. Wegen der kinematischen Verbindung mit der Trommel unter

Anwendung des 3D generalisierten Kugelgelenks wird die gummiartige Man-

schette dynamisch belastet.

Die Verschiebungen des Knotens 1 der Manschette im Fall einer Wäsche-

Dichte von ρ = 1.5 × 10−8 Kg/mm3 (Lastfall 1) und ρ = 3.0 ×10−8 Kg/mm3

(Lastfall 2) werden in den Abbildungen 10.100, 10.101 sowie 10.102 darge-

stellt. Es ist dabei zu erkennen, dass sich ein stark nichtlineares Verhalten

der Verschiebungsverläufe ergibt. Bei der Erhöhung der Wäschemasse nehmen

248

Kugelgelenk

Lagerung mit der Umgebung

Starre AufnahmeWäsche

Konst. Drehmoment M

o

xg1

xg2

xg3

Abb. 10.99: Hintere Ansicht des MKS-Berechnungsmodells für die dynamischeMKS-FEM-Simulation des Manschette-Trommel-Systems zur Zeit t=0

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Wäsche - Fall 2 Wäsche - Fall 1

Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.100: Verschiebung U1 des Knotens 1 auf der gummiartigenManschette aus der dynamischen MKS-FEM-Simulation; Wäsche-Fall 1:ρ=1.5×10−8 Kg/mm3; Wäsche-Fall 2: ρ = 3.0 × 10−8 Kg/mm3

249

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


Ver

schie

bung

U2

[mm

]

Zeit [s]


-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Zeit [s]


250

-200

-1 0

-100

- 0

0

0

100

1 0

200

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


Ver

schie

bung

U1

[mm

]

Zeit [s]

Abb. 10.103: Verschiebung U1 des Knotens 13 auf der elastischen Trom-mel aus der dynamischen MKS-FEM-Simulation; Wäsche-Fall 1: ρ = 1.5 ×10−8 Kg/mm3; Wäsche-Fall 2: ρ = 3.0 × 10−8 Kg/mm3

die Amplituden der Schwingungen zu. Außerdem kann dabei festgestellt wer-

den, dass die Manschette hauptsächlich in der Richtung ihrer Rotationsachse

deformiert wird. Im Lastfall 2 beträgt die maximale Amplitude des Verschie-

bungsverlaufs des Knotens 1 der Manschette in dieser Richtung 21.80 mm. Im

Gegensatz dazu nimmt die maximale Amplitude des Verschiebungsverlaufs U2

dieses Knotens im Berechnungsfall 1 einen Wert von 5.57 mm an.

Aufgrund von großen Starrkörperrotationen unterscheiden sich die Verläu-

fe der Verschiebungen des Knotens 13 der Trommel in der xg1- und der xg3-

Richtung kaum (siehe Abbildungen 10.103 und 10.105). Ferner zeigt sich da-

bei, dass die Drehzahl der Trommel mit der Zeit erhöht wird. Der Grund für

diesen Effekt liegt darin, dass die ganze Antriebsleitung des externen Dreh-

momentes M für die Drehbeschleunigung der Trommel zur Verfügung steht.

Im Gegensatz dazu ist ein großer Einfluss der Wäschemasse auf den Verlauf

der Verschiebung U2 zu erkennen, wie in Abbildung 10.104 dargestellt. Gene-

rell nimmt die maximale Amplitude mit der Erhöhung der Wäschemasse bei

einem stark nichtlinearen Verhalten der Kurve zu.

Zusammenfassung für das Waschmaschinensystem:

251

-1 5

-1

-0 5

0

0 5

1

1 5

2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


Ver

schie

bung

U2

[mm

]

Zeit [s]


-50

0

50

100

150

200

250

00

50

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


Ver

schie

bung

U3

[mm

]

Zeit [s]


252

Das vorgestellte numerische Beispiel zeigt, dass die rotierende elastische Trom-

mel und die gummiartige Manschette eines Waschmaschinensystems bei der

dynamischen MKS-Simulation mit den CR-Formulierungen direkt berechnet

werden können. Diese Möglichkeit steht bisher in den kommerziellen MKS-

Programmen noch nicht zur Verfügung.

Diese MKS-FEM-Berechnungsmethode stellt damit eine sehr gute Mög-

lichkeit zur Optimierung der rotierenden deformierbaren Komponenten eines

Waschmaschinensystems dar. Ferner lässt sich eine weitere Analyse der Be-

triebsfestigkeit für die Elastomer-Bauteile ebenfalls gut durchführen.

Kapitel 11

Zusammenfassung und Ausblick

In diesem Kapitel wird eine Zusammenfassung der vorliegenden Arbeit gege-

ben. Ferner wird auf eine Diskussion über die möglichen Einsatzbereiche der

MKS-FEM-Methode eingegangen, bei der die CR-Formulierungen zum Einsatz

kommen. Weiterhin werden weitere offene Probleme diskutiert.

Zusammenfassung: In dieser Arbeit wurde die MKS-FEM-Methode zur di-

rekten Berechnung geometrischer und/oder materieller Nichtlinearitäten in der

Dynamik deformierbarer Mehrkörpersysteme formuliert. Dabei wurden nicht-

lineare diskretisierte FE-Strukturen direkt in die MKS-Formalismen integriert.

Es wurden keine Co-Simulations- oder Modellreduktionstechniken verwendet.

Auf diese Art und Weise kann eine hohe Flexibiliät und Genauigkeit für die

Simulation von Mehrkörpersystemen erzielt werden.

Für die MKS-FEM-Methode dieser Arbeit wurden 3D Tetraeder- und He-

xaederelemente sowohl linearer als auch quadratischer Ansatzfunktionen mit

Hilfe der CR-Formulierungen formuliert. Auf die gleiche Art und Weise sind

Formulierungen von CR-Schalenelementen ebenfalls möglich, die im Rahmen

dieser Arbeit jedoch nicht behandelt wurden.

Zur effizienten Behandlung von geometrischen Nichtlinearitäten der dis-

kretisierten FE-Strukturen des Mehrkörpersystems wurden hierbei zwei CR-

Formulierungen vorgestellt:

1. die elementunabhängige CR-Formulierung (EICR),

2. die CR-Formulierung mit einer konsistenten Linearisierung (CLCR).

253

254

Die grundlegende Idee dieser Formulierungen besteht darin, dass die Starr-

köperrotation aus der gesamten Deformation des Elements auf eine elegante

Art und Weise getrennt wird. Dabei wird die Polarzerlegung des Deformations-

gradienten jedes Elements effektiv genutzt, die sich mit Hilfe schneller numeri-

scher Methoden durchführen lässt. Ferner lassen sich der Elementkraftvektor

und die tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix anhand konsistenter Variationen

der internen Elementenergie aufstellen.

Die direkte Berechnung von physikalisch-nichtlinearen Problemen in defor-

mierbaren Mehrkörpersystemen stellte eines der wichtigsten Ziele dieser Arbeit

dar. Im Rahmen dieser Arbeit wurde eine systematische Herleitung der folgen-

den typischen nichtlinearen Materialmodelle vorgestellt:

1. ein nichtlinear-elastisches RAMBERG-ODGOODsches,

2. ein elastisch-plastisches MISES-HUBERsches,

3. ein hyperelastisches MOONEY-RIVLINsches Materialmodell.

Diese nichtlinearen Materialgesetze wurden direkt und ohne jegliche Modifika-

tion in die CR-Formulierungen einbezogen, was weiterhin die Flexibilität und

die Effizienz dieser Formulierungen auszeichnet.

Zur Vermeidung von Versteifungseffekten aufgrund der nichtlinearen Defor-

mation finiter Elemente wurde im Rahmen dieser Arbeit eine Energiestabili-

sierungsmethode entwickelt. Aus dem Grund, dass hierbei eine zusätzliche, be-

kannte Energiefunktion zu der internen Elementenergie mitberücksichtigt wird,

lässt sich diese Methode einfach auf die CR-Elemente anwenden. Eine syste-

matische Herleitung der nichtlinearen Matrixbeziehungen von CR-Tetraeder-

und CR-Hexaederelementen unter Anwendung der Energiestabilisierungstech-

nik wurde ebenfalls ausfürlich beschrieben.

Auf der Grundlage des d’Alembertschen Prinzips und einer geschickten An-

ordnung des generalisierten Koordinatenvektors des gesamten Systems wurde

das sogenannte MKS-FEM-Bewegungsgleichungssystem systematisch formu-

liert. Dabei wurde die Wechselwirkung zwischen den flexiblen FE-Strukturen

und den Starrköpern mit Hilfe von kinematischen Zwangsbedingungen berück-

sichtigt. Die Massenmatrix des gesamten Mehrkörpersystems besitzt die Form

einer diagonalen Matrix, die sich aus den konstanten Submassenmatrizen der

255

diskretisierten FE-Körper und den Massenmatrizen der Starrköper auf der

Diagonalen zusammensetzt. Ferner ergeben sich die globalen nichtlinearen, in-

ternen und externen Kraftvektoren auf der rechten Seite des Bewegungsglei-

chungssystems, das sich mit Hilfe eines impliziten Runge-Kutta-Solvers höherer

Ordnung effizient integrieren lässt.

Zur Validierung der Genauigkeit und der Robustheit des CR-Tetraeder- und

CR-Hexaederelementes wurden im Rahmen dieser Arbeit relevante numerische

Beispiele vorgestellt. Dafür wurden sowohl statische als auch dynamische Be-

rechnungen mit der MKS-FEM-Methode sowie ABAQUS durchgeführt.

Aus dem Vergleich zwischen den Ergebnissen aus den MKS-FEM- und

ABAQUS-Berechnungen lassen sich die folgenden wichtigen Schlussfolgerun-

gen für die MKS-FEM-Methode mit den CR-Formulierungen ziehen:

1. Generell ist die EICR-Formulierung unter Verwendung einer Elementpro-

jektionsmatrix effizienter und robuster als die CLCR-Formulierung, be-

sonders bei der dynamischen MKS-Simulation. Im Rahmen der Untersu-

chungen dieser Arbeit wurde eine MKS-FEM-Berechnung mit der EICR-

Formulierung fast zweimal schneller als mit der CLCR-Formulierung

durchgeführt. Ferner war die Berechnung mit der CLCR-Formulierung

schneller als die nichtlineare ABAQUS-Berechnung.

2. CR-Tetraeder- und CR-Hexaederelemente können für die Simulation von

elastischen Mehrkörpersystemen mit beliebig großen Starrkörperrotatio-

nen effizient eingesetzt werden. Im Rahmen der Untersuchungen dieser

Arbeit konnte ein elastisches Dehnungsverhalten von bis zu 30 % be-

rechnet werden. Dabei sind CR-Tetraeder- und CR-Hexaederelemente

mit linearen Ansatzfunktionen hinsichtlich der Genauigkeit und Effizi-

enz geeigneter als andere CR-Elemente. Im Vergleich zur ABAQUS-FE-

Berechnung wurde die transiente MKS-FEM-Simulation mit diesen CR-

Elementen fast dreimal schneller durchgeführt.

3. Bei der Berechnung von deformierbaren Strukturen mit großen Biegever-

formungen, Kerbwirkungen sowie Festeinspannstellen mit Hilfe der CR-

Elemente ist zu bemerken, dass eine ausreichend feine Diskretisierung

der Strukturen vorgenommen werden sollte.

256

4. Zur direkten Berechnung materieller Nichtlinearitäten in flexiblen Mehr-

körpersystemen sind ebenfalls CR-Tetraeder- und CR-Hexaederelemente

mit linearen Ansatzfunktionen am effizientesten. Dabei werden Bauteile

aus einem nichtlinearen Material mit beliebig großen Starrkörperrotatio-

nen schnell berechnet. Es kann eine lokale Dehnung für den Fall eines

nichtlinear-elastischen Materials von bis zu 30 % und für den Fall ei-

nes elastisch-plastischen Materials von bis zu 10 % erreicht werden. Im

Fall eines MOONEY-RIVLINschen Materials kann eine Dehnung von bis

zu 200 % gut berechnet werden. Hiermit bietet die MKS-FEM-Methode

mit den CR-Formulierungen ebenfalls weitere gute Möglichkeiten, die Le-

bensdauer nichtlinearer Komponenten des Mehrkörpersystems effizient

zu berechnen.

5. Zur Vermeidung von Locking-Effekten aus nichtlinearen Deformationen

stellen die CR-Formulierungen in der Kombination mit der Energiesta-

bilisierungstechnik eine sehr gute Möglichkeit dar. Dabei werden keine

zusätzlichen benutzerdefinierten Parameter für den Stabilisierungsanteil

zur Beschreibung der Geometrieänderung des Elements mit der Deforma-

tion benötigt. Ebenfalls sind effiziente Formulierungen von CR-Balken-

und CR-Schalenelementen unter Verwendung der EST möglich.

6. Implizite Runge-Kutta-Integrationsschemen höherer Ordnung in Kom-

bination mit dem modifizierten NEWTON-RAPHSONschen Verfahren

können wegen ihrer Effizienz, Robustheit und Genauigkeit zur Lösung

des MKS-FEM-Bewegungsgleichssystems eingesetzt werden. Dies wurde

anhand technischer Beispiele im Rahmen dieser Arbeit bestätigt.

Offene Probleme der MKS-FEM-Methode: Wie oben zusammengefasst, ge-

winnt die MKS-FEM-Methode unter Verwendung der CR-Formulierungen ein

großes Anwendungspotential auf dem Gebiet der Berechnung geometrischer

und/oder materieller Nichtlinearitäten in flexiblen Mehrköpersystemen. Die-

se Methode kann in vielen wichtigen technischen Anwendungsbereichen mit

hoher Effizienz und Flexibilität zum Einsatz kommen.

Jedoch ergeben sich weitere offene Problemstellungen bei der Weiterentwick-

lung der MKS-FEM-Methode:

257

• Aus dem Grund, dass bei sehr großen Mehrkörpersystemen oft ein MKS-

FEM-Gleichungssystem mit einer hohen Anzahl von Freiheitsgraden und

kinematischen Zwangsbedingungen vorliegt, kann sich ein hoher Rechen-

aufwand besonders bei der dynamischen Simulation ergeben.

• Im Rahmen dieser Arbeit wurden noch keine Möglichkeiten zur direkten

Einbeziehung modaler FE-Strukturen ins MKS-FEM-Gleichungssystem

vorgestellt. Ebenfalls gab es noch keine Möglichkeit für die direkte Ein-

beziehung von nichtlinearen Kontaktproblemen in die MKS-Formalismen

mit Hilfe der CR-Formulierungen.

• 3D CR-Balken- und CR-Schalenelemente unter Berücksichtigung von

nichtlinearen Materialmodellen für die MKS-FEM-Simulation wurden

noch nicht formuliert.

• Effiziente Möglichkeiten zur direkten Einbeziehung anderer Materialm-

odelle, wie z.B. thermo-mechanisches oder anisotropes nichtlineares Ma-

terialverhalten, in die MKS-Simulation wurden noch nicht vorgestellt.

• Weiterhin wurden bei der Formulierung der MKS-FEM-Methode im Rah-

men dieser Arbeit Dämpfungseffekte vernachlässigt.

Ausblick: Anhand der erwähnten offenen Probleme lassen sich im Rahmen die-

ser Arbeit die folgenden Entwicklungsvorschläge für die MKS-FEM-Simulation

deformierbarer Mehrkörpersystemen mit den CR-Formulierungen erarbeiten:

• Zur Erhöhung der Flexibilität der MKS-FEM-Methode soll die Möglich-

keit geschaffen werden, komplexe MKS-Systeme aus starren Körpern,

vollständigen nichtlinearen und reduzierten FE-Strukturen unter Berück-

sichtigung kinematischer Zwangsbedingungen effizient zu berechnen.

• Es sollen weitere implizite Zeitintegrationsmethoden, besonders für die

dynamische MKS-FEM-Simulation von großen MKS-Systemen mit der

CR-FEM entwickelt werden. Dabei soll ein schneller iterativer oder di-

rekter Solver zur Lösung des Gleichungssystems eingesetzt werden.

• Effiziente 3D CR-Schalen- und CR-Balkenelemente zur Berechnung von

komplexen nichtlinearen Materialverhalten sollen zur Erweiterung der

MKS-FEM-Methode formuliert werden.

258

• Weiterhin sollen nichtlineare Kontaktprobleme und andere nichtlineare

Materialverhalten für die CR-Berechnungen effizient formuliert werden.

• Ebenfalls sollen effiziente CR-Formulierungen zur direkten Einbeziehung

nichtlinearer Dämpfungseffekte in deformierbaren Mehrkörpersystemen

entwickelt werden. Dabei lassen sich bei der MKS-FEM-Simulation bei-

spielsweise Konzepte der CR-Dämpfung für die Strukturen entwickeln.

Weitere Erfolge bei der Entwicklung und Optimierung dieser vorgestellten

MKS-FEM-Methode zeigen die Tendenz, dass auf dem Gebiet der numerischen

Simulation die FEM- und die MKS-Methode mehr und mehr zu einer Einheit

werden, wie bereits in der Arbeit [184] von Zehn erwähnt:

MBS and FEM: A Marriage-of-Conveniece or a Love Story.

Anhang A

RAMBERG-OSGOODsches

Materialmodell

In diesem Anhang wird das RAMBERG-OSGOODsche Materialmodell syste-

matisch herleitet. Dabei wird die Berechnung des 3D Spannungszustandes und

der konsistenten Materialtangente beschrieben.

A.1 Berechnung des 3D Spannungszustandes

Unter den in Abschnitt 4.5.1 erwähnten Annahmen kann der gesamte lineare

Verzerrungstensor E in einen elastischen Anteil Ee und einen plastischen Anteil

Ep aufgeteilt werden:

E = Ee + E

p . (A.1)

HENKYscher Ansatz: In der Arbeit [69] von Henky wurde festgestellt, dass

bei vielen Materialien, wie z.B. metallischen Werkstoffen, der hydrostatische

Spannungszustand keinen Einfluss auf den Beginn der plastischen Verformun-

gen hat. Somit wird der sogenannte HENKYsche Ansatz entwickelt:

Ep = λh Σ

d, (A.2)

mit einem zunächst unbekannten HENKYschen Parameter λh. Das lineare

HOOKEsche Materialgesetz kann für den elastischen Verzerrungstensor an-

259

260

gewendet werden. Damit folgt die Beziehung:

Σ = 2µ Ee + λ tr (Ee) I3. (A.3)

Dadurch, dass die Beziehungen (A.1) und (A.2) in die Beziehung (A.3) einge-

setzt werden, ergibt sich für die Spannungen:

Σ = 2µ(

E − λh Σd)

+ λ tr (E) I3. (A.4)

Prinzip der äquivalenten plastischen Arbeit: Nach dem Prinzip der äquiva-

lenten plastischen Arbeit muss die plastische Arbeit WP des 3D Spannungzu-

stands (Σ, Ep) gleich der plastischen Arbeit des Vergleichszustands (σv, ε

pv)

bzw. des 1D Spannungszustands aus Zugversuchen (σ11, εp11) sein. Damit er-

gibt sich [122]:

WP = Σ · Ep = σv ε

pv = σ11 ε

p11, (A.5)

mit den Identitäten:σv = σ11,

εpv = εp

11 .(A.6)

Dabei wird die sogenannte plastische MISESsche Vergleichsdehnung definiert:

εpv =

√

2

3Ep · Ep. (A.7)

Ferner kann der Spannungstensor, der aus Zugversuchen gewonnen wird, in

einen hydrostatischen und einen deviatorischen Anteil zerlegt werden:

Σ =

σ11 0 0

0 0 0

0 0 0

= ΣH + Σ

d

=

13σ11 0 0

0 13σ11 0

0 0 13σ11

+

23σ11 0 0

0 −13σ11 0

0 0 −13σ11

.

(A.8)

261

Einsetzen von Beziehungen (A.6) und (A.8) in die Beziehung (A.2) folgt:

εpv = εp

11 = λh2

3σ11, (A.9)

womit der Parameter λh berechnet wird:

λh =3

2

εpv

σ11

. (A.10)

Im Allgemeinen ist die 1D Spannung σ11 = f (ε) eine nichtlineare Funktion

der gesamten Dehnung ε. Wird die Beziehung (A.10) in Beziehung (A.4) mit

der Beziehung (A.7) eingesetzt, folgen die Beziehungen für den hydrostatischen

und deviatorischen Anteil sowie die plastische Vergleichsdehnung εpv [122]:

tr (Σ) = 3K tr (E) ,

Σd =

2

3

f (ε)

εv

Ed,

1

2µ+

3

2

εpv

f(ε)=

3

2

εv

f(ε).

(A.11)

Dabei wird die MISESsche Vergleichsdehnung wie folgt definiert:

εv =

√

2

3Ed · Ed . (A.12)

Durch die Anwendung der Beziehung (4.12) lässt sich der 3D Spannungszu-

stand eines RAMBERG-OSGOODschen Materials bestimmen:

Σ = K tr (E) I3 +2

3

f (ε)

εvE

d. (A.13)

Mit der Beziehung (A.12) folgt die Gleichung (A.13) in der Form:

Σ = K tr (E) I3 +2

3

f (ε)√

23

Ed · EdE

d. (A.14)

Die Beziehung (A.14) stellt einen geschlossenen Zusammenhang zwischen dem

gesamten Dehnungs- und Spannungszustand dar. Bei vorgegebenen Verzerrun-

gen und einer einachsigen Spannungskurve lassen sich die Spannungen direkt

berechnen.

262

A.2 Berechnung der Materialtangente

Zum Erreichen des quadratischen Konvergenzverhaltens bei der inkrementel-

len/iterativen Berechnungsmethode wird die konsistente Materialtangente be-

nötigt. Sie kann dadurch bestimmt werden, dass der Spannungstensor aus Be-

ziehung (A.13) nach dem Verzerrungstensor E differenziert wird. Es folgt in

tensorieller Form:

CT =∂ Σ

∂ E

= K∂(

tr (E) I3

)

∂ E+

2

3

∂

(

f (ε)

εvE

d

)

∂ E.

(A.15)

Unter Berücksichtigung der Produktregel wird die rechte Seite der Beziehung

(A.15) weiter geschrieben:

CT = K∂(

tr (E) I3

)

∂ E+E

d⊗ ∂ εv

∂ E

[

1

εv

∂ f (ε)

∂ εv− f (ε)

ε2v

]

+f (ε)

εv

∂ Ed

∂ E, (A.16)

wobei der Operator ⊗ das dyadische Produkt zwischen zwei Tensoren zwei-

ter Stufe darstellt [17]. Weiterhin folgt die Dehnungsdekomposition (A.1) in

tensorieller Darstellung:

E =1

3(I3 ⊗ I3) [E] +

((4)

I − 1

3(I3 ⊗ I3)

)

[E] . (A.17)

Dabei ist(4)

I der Einheitstensor vierter Stufe. I3 ⊗ I3 und(4)

I lassen sich in

VOIGTscher Darstellung folglich schreiben:

(4)

I =

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0.5 0 0

0 0 0 0 0.5 0

0 0 0 0 0 0.5

, I3 ⊗ I3 =

1 1 1 0 0 0

1 1 1 0 0 0

1 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

. (A.18)

263

Der zweite Term von Beziehung (A.17) stellt den deviatorischen Verzerrungs-

tensor dar:

Ed =

((4)

I − 1

3(I3 ⊗ I3)

)

[E] . (A.19)

Wird Ed nach den gesamten Verzerrungen E abgeleitet, ergibt sich:

∂ Ed

∂ E=

(4)

I − 1

3(I3 ⊗ I3) . (A.20)

Auf die gleiche Art und Weise kann die Spur des Verzerrungstensors tr (E)

nach den Verzerrungen E abgeleitet werden:

∂ tr (E)

∂ E= I3 ⊗ I3. (A.21)

Des Weiteren stellt∂ εv

∂ Eeinen Tensor zweiter Stufe dar. Mit der Produktregel

und den Beziehungen (A.12) und (A.20) ergibt sich:

∂ εv

∂ E=

∂√

23

Ed · Ed

∂ E

=2

3

∂ Ed

∂ E

[

Ed]

εv

=2

3

Ed

εv.

(A.22)

Auf eine detaillierte mathematische Herleitung hierfür soll an dieser Stelle ver-

zichtet und auf die Arbeit [122] von Nguyen verwiesen werden. Anschließend

werden die Beziehungen (A.22), (A.21) und (A.20) in die Beziehung (A.16)

eingesetzt. Daraus resultiert die allgemeine Formel zur Berechnung der konsis-

tenten Materialtangente für ein nichtlinear-elastisches Materialmodell:

CT

(

E, f (ε))

=4

9

1

ε2v

∂f (ε)

∂εv− f (ε)

ε3v

Ed ⊗ E

d

+2

3

f (ε)

εv

(4)

I −(

2f (ε)

9εv

+K

)

(I3 ⊗ I3) .

(A.23)

264

0.050.040.030.020.010

500

1000

1500

2000

Dehnung ε ( )

Span

nungσ

(ε)(

Nm

m2

)

n = 100

n = 5

n = 1.5

Abb. A.1: 1D RAMBERG-OSGOODsche Spannungs-Dehnungsbeziehung mitverschiedenen Verfestigungsexponenten n und konstanten Parametern σ0 =500 N

mm2 , α = 0.1, E = 210000 Nmm2

Hierfür kann das dyadische Produkt Ed ⊗ E

d in VOIGTscher Darstellung

Ed ⊗ E

d geschrieben werden:

Ed ⊗ E

d = εd(

εd)T

. (A.24)

A.3 RAMBERG-OSGOODsches Potenzgesetz

In dieser Arbeit wird das nichtlineare Potenzgesetz nach Ramberg und Osgood

zur Beschreibung der 1D Spannungs-Dehnungskurve verwendet:

Eε = σ + α

(

|σ|σ0

)n−1

σ. (A.25)

Dabei sind ε und σ die 1D Dehnung bzw. Spannung. Des Weiteren geben

der Parameter α und der Verfestigungsexponent n den Grad der Nichtlinea-

rität der Kurve an. Bei n = 1 oder α = 0 folgt die linear-elastische Kurve.

Weiterhin ergibt sich eine ideal-plastische Kurve mit n ≈ ∞ und α 6= 0

(siehe Abbildung A.1). Ferner wird der Parameter σ0 für die Normierung der

Spannung eingeführt.

Bemerkenswert ist dabei, dass mit Hilfe der RAMBERG-OSGOOGschen

Spannungs-Dehnungsbeziehung das nichtlinear-elastische Materialverhalten von

265

duktilen Metallen bei einer Dehnung von bis auf 3 % sehr gut berechnet wer-

den kann. Jedoch gibt es kein Kriterium für die Entlastung. Es handelt sich

somit um eine kontinuierliche Fließbedingung [32]. Des Weiteren ist σ in der

Beziehung (A.25) identisch mit der nichtlinearen Funktion f (ε) in den Bezie-

hungen (A.16) und (A.23).

Berechnung der 1D RAMBERG-OSGOODschen Kurve: Im Folgenden wird

beschrieben, wie das 1D RAMBERG-OSGOODsche Potenzgesetz (A.25) nach

der Deformationstheorie der Plastizität in das 3D Spannungs-Dehnungsgesetz

einbezogen wird.

Für den bekannten Verzerrungstensor E lässt sich der deviatorische Verzer-

rungstensor Ed und damit die MISESsche Vergleichsdehnung εv ermitteln. Des

Weiteren folgt unter Berücksichtigung von Beziehung (A.11) der Zusammen-

hang zwischen den deviatorischen Spannungen und Verzerrungen:

Ed = (1

2µ+

3

2

εpv

f(ε))Td. (A.26)

Wird die Beziehung (A.26) in Beziehung (A.12) unter Berücksichtigung der

Identität σ = f (ε) eingesetzt, ergibt sich:

∂ σ

∂ εv=

1

1

3µ+

αn

E

(

f (ε)

σ0

)n−1 . (A.27)

Dadurch, dass die 1D Spannungs-Dehnungs-Kurve (A.25) in einen hydrostati-

schen und einen deviatorischen Anteil aufgeteilt wird, folgt für die plastische

MISESsche Vergleichsdehnung mit σ > 0:

εpv = α

(σ

σ0

)n−1 σ

E. (A.28)

Wird die Beziehung (A.28) in Beziehung (A.26) eingesetzt, ergibt sich für die

deviatorischen Verzerrungen Ed:

Ed =1

E

(

1 + ν +3

2α(σ

σ0

)n−1)

Td. (A.29)

Mit der Definition der MISESschen Vergleichsdehnung (A.12) und der Bezie-

266

hung (A.29) folgt die nichtlineare Gleichung:

E εv − 2

3(1 + ν) σ − α

(σ

σ0

)n−1

σ = 0. (A.30)

Die Gleichung (A.30) bietet eine gute Möglichkeit dafür, die Spannung σ für

eine bekannte Dehnung εv mit der NEWTON-RAHPSONschen Methode zu

berechnen. Durch die Ableitung der linken Seite der Beziehung (A.30) nach

der Spannung σ folgt die Steigung. Somit lässt sich der gesamte Berechnungs-

prozess mit den Iterationen i = 1, 2, 3, ... folglich darstellen:

2

3(1 + ν) + α

(

σ(i)

σ0

)n−1

∆σ(i+1) = E εv − 2

3(1 + ν) σ(i) − α

(

σ(i)

σ0

)n−1

σ(i),

σ(i+1) = σ(i) + ∆σ(i+1).

(A.31)

Ist die Spannung σ aus Beziehung (A.25) erfolgreich berechnet, können damit

der 3D Spannungszustand Σ (A.14) und die konsistente Materialtangente CT

(A.23) vollständig berechnet werden. Eine Zusammenfassung hierfür kann aus

Tabelle G.2 entnommen werden.

Anhang B

Integration MISES-HUBERscher

Materialmodelle

Dieser Abschnitt umfasst die mathematische Beschreibung des Radial-Return-

Verfahrens zur effizienten Integration des MISES-HUBERschen Materialm-

odells (4.31) aus Abschnitt 4.5.2. Dabei wird das lineare isotrope Verfesti-

gungsgesetz beräcksichtigt.

Allgemeiner Verfestigungsfall

Wie bereits erwähnt, wird ein Radial-Return-Prozess in einen elastischen Be-

rechnungsschritt und einen plastischen Korrekturschritt aufgeteilt.

Elastische Vorschätzung: Bei einen bekannten inkrementellen Dehnungen

∆E lässt sich der vorgeschätzte Spannungszustand t+∆tΣ

d mit den Beziehun-

gen (4.9) und (4.31) wie folgt berechnen:

t+∆tΣ

d = tΣ

d + 2µ ∆Ed,

t+∆tDd

= t+∆tΣ

d − tZd.(B.1)

Des Weiteren wird die MISES-HUBERsche Fließbedingung (4.22) äberpräft:

Φ(

t+∆tΣ,t+∆t qF

)

=∥∥∥∥

t+∆tDd∥∥∥∥−

√

2

3tσF

(tκ)

. (B.2)

267

268

Gilt einerseits fär die Fließfunktion Φ(

t+∆tΣ,t+∆t qF

)

≤ 0, ist diese Zustands-

änderung elastisch. Damit ist der gesuchte Spannungszustand gleich dem vor-

geschätzten Spannungszustand. Ferner ist die Materialtangente identisch mit

der elastischen HOOKEschen Matrix. Somit ergeben sich:

t+∆tΣ

d = t+∆tΣ

d,

t+∆tCT = Ce.(B.3)

Plastischer Korrekturprozess: Ist andererseits die Fließfunktion positiv mit

Φ(

t+∆tΣ,t+∆t qF

)

> 0. Soll fär diese plastische Zustandsänderung der vorge-

schätzte Spannungszustand entsprechend korrigiert werden. Der Materialzu-

stand(

t+∆tZd, t+∆tκ, t+∆tE

p)

des aktuellen Inkrements ∆t lässt sich mit den

Gleichungen in Beziehung (4.31) folglich berechnen:

t+∆tE

p = tE

p + ∆λFt+∆t

N,

t+∆tκ = tκ +

√

2

3∆λF,

t+∆tZd = tZd +

√

2

3

Z(

t+∆tκ)

− Z(

tκ)

t+∆tN.

(B.4)

Dabei bezeichnet t+∆tN den Einheitstensor:

t+∆tN =

t+∆tD

d

‖t+∆tDd‖ , (B.5)

der senkrecht auf der Fließfläche im Hauptspannungsraum steht. Fär die Be-

rechnung des Materialzustandes (B.4) muss zunächst der Konsistenzparameter

κ bestimmt werden.

Berechnung des Konsistenzparameters: Die deviatorischen Spannungen t+∆tD

d

werden weiterhin mit der dritten Gleichung der Beziehung (B.4) sowie den

Gleichungen der Beziehung (B.1) berechnet:

t+∆tD

d = t+∆tΣ

d −t+∆tZ

d

= t+∆tDd −

2µ ∆λF +

√

2

3

Z(

t+∆tκ)

− Z(

tκ)

t+∆tN.

(B.6)

269

Da eine plastische Zustandsänderung vorliegt, muss die MISES-HUBERsche

Fließbedingung fär die deviatorischen Räckspannungen t+∆tZd erfällt werden:

Φ(

t+∆tΣ,t+∆t qF

)

=∥∥∥

t+∆tDd∥∥∥−

√

2

3t+∆tσF

(t+∆tκ

)

= 0. (B.7)

Somit folgt fär die relativen Spannungen t+∆tDd:

∥∥∥

t+∆tDd∥∥∥ =

√

2

3t+∆tσF

(t+∆tκ

)

. (B.8)

Nach der Anwendung des Operators ‖ ‖ auf die Beziehung (B.6) mit dem

Einheitstensor t+∆tN fär

∥∥∥

t+∆tN

∥∥∥ = 1 folgt:

f (∆λF) =∥∥∥∥

t+∆tDd∥∥∥∥−

√

2

3t+∆tσF

(t+∆tκ

)

−

2µ ∆λF +

√

2

3

Z(

t+∆tκ)

− Z(

tκ)

= 0,

(B.9)

mit dem konsistenten Parameter t+∆tκ = tκ +√

23

∆λF.

Beziehung (B.9) stellt eine nichtlineare Funktion des Parameters ∆λF dar,

die beispielsweise mit der NEWTON-RAPHSONschen Methode berechnet wer-

den kann. Dafär wird die Ableitung dieser Funktion nach ∆λF gebildet:

∂f (∆λF)

∂∆λF

= −2µ

1 +Z ′ (κ) + σ′

F (κ)

3µ

, (B.10)

mit den Abkärzungen:

Z ′ (κ) =∂Z (κ)

∂κund σ′

F (κ) =∂σF (κ)

∂κ. (B.11)

Berechnung des Spannungszustandes: Ist der Parameter ∆λF erfolgreich be-

rechnet, wird der Parameter t+∆tκ durch die zweite Gleichung in Beziehung

(B.4) neu ermittelt. Somit wird der Spannungszustand t+∆tΣ mit dem HOO-

KEschen Materialgesetz (4.24) und der ersten Gleichung in Beziehung (B.4)

270

vollständig berechnet:

t+∆tΣ = Ce

[t+∆tE −t+∆t

Ep]

= t+∆tΣ

d +Ktr(

t+∆tE

)

I3 − 2µ ∆λFt+∆t

N.(B.12)

Berechnung der Materialtangente: Die konsistente Materialtangente beim

Radial-Return-Verfahren kann dadurch berechnet werden, dass der Spannungs-

zustand (B.12) nach den Verzerrungen t+∆tE konsistent abgeleitet wird:

t+∆tCT =∂ t+∆t

Σ

∂ t+∆tE

= Ce − 2µ t+∆tN ⊗ ∂ ∆λF

∂ t+∆tE− 2µ ∆λF

∂ t+∆tN

∂ t+∆tE

= Ce − 2µ t+∆tN ⊗ ∂ ∆λF

∂ t+∆tE− 2µ ∆λF

∂ t+∆tN

∂ t+∆tDd

∂ t+∆tDd

∂ t+∆tE.

(B.13)

Des Weiteren wird die Gleichung (B.9) nach t+∆tE unter Beräcksichtigung der

Beziehung (B.1) abgeleitet. Es ergibt sich:

∂ ∆λF

∂ t+∆tE=

(

1 +Z ′ (κ) + σ′

F (κ)

3µ

)−1t+∆t

N. (B.14)

Ferner kann die Ableitung des Einheitstensors t+∆tN nach den deviatorischen

Spannungen t+∆tDd

mit der Definition von t+∆tN in der Beziehung (B.5) wie

folgt berechnet werden [32]:

∂ t+∆tN

∂ t+∆tDd =

(4)

I − t+∆tN ⊗ t+∆t

N∥∥∥∥

t+∆tDd∥∥∥∥

. (B.15)

Außerdem folgt fär die Ableitung von t+∆tDd

nach den Verzerrungen t+∆tE

unter Betrachtung der Beziehungen (B.1) und (A.19):

∂ t+∆tDd

∂ t+∆tE= 2µ

((4)

I − 1

3(I3 ⊗ I3)

)

. (B.16)

Dadurch, dass die Beziehungen (B.16) und (B.15) sowie (B.14) in Beziehung

(B.13) eingesetzt werden, folgt die konsistente Materialtangente fär das MISES-

271

HUBERsche Materialverhalten mit isotroper und kinematischer Verfestigung:

t+∆tCT = Ce − 4µ2 ∆λF∥∥∥∥


((4)

I − 1

3(I3 ⊗ I3)

)

− 2µ

3µ

3µ+ Z ′ (t+∆tκ) + σ′F (t+∆tκ)

− 2µ ∆λF∥∥∥∥


t+∆tN ⊗ t+∆t

N.

(B.17)

Lineare isotrope Verfestigung

Der Hauptrechenaufwand bei der Bestimmung des Spannungszustandes sowie

der konsistenten Materialtangente liegt vor allem in der iterativen Berechnung

von ∆λF. Jedoch stehen meist die bleibenden plastischen Dehnungen aus der

dynamischen MKS-Simulation z.B. fär die Lebensdauerberechnung von Bau-

teilen im Vordergrund [65]. Aufgrund dessen wird im Rahmen dieser Arbeit

die kinematische Verfestigung zur Beschreibung des BAUSCHINGERschen Ef-

fekts vernachlässigt. Dabei gelten die folgenden Beziehungen:

Z (κ) = 0,

Z = 0,

t+∆tDd

= t+∆tΣ

d.

(B.18)

Dadurch kann der Parameter ∆λF direkt bestimmt werden. Unter Beräcksich-

tigung der Beziehung (B.9) folgt:

∆λF =

∥∥∥

t+∆tΣ

d∥∥∥− tR

2µ, (B.19)

mit dem Radius der Fließfläche tR =√

23

tσF (tκ).

Des Weiteren wird angenommen, dass die isotrope Verfestigung σF (εp) eine

lineare Funktion der plastischen Vergleichsdehnung εp darstellt (siehe Abbil-

dung B.1). Damit bleibt die Ableitung dieser Funktion konstant:

σ′

F (κ) = H. (B.20)

Werden die Beziehungen (B.18) und (B.19) sowie (B.20) in Beziehung (B.17)

272

σ (εp)

εp

H ≥ 0

Abb. B.1: Lineare isotrope Verfestigungskurve mit dem Verfestigungsmodul H

eingesetzt, folgt die konsistente Materialtangente des MISES-HUBERschen

Materialmodells fär den Fall rein linearer, isotroper Verfestigung:

t+∆tCT = Ce − 2µt+∆tR−

∥∥∥

t+∆tΣ

d∥∥∥

∥∥∥

t+∆tΣd∥∥∥

((4)

I − 1

3(I3 ⊗ I3)

)

− 2µ

t+∆tR∥∥∥

t+∆tΣd∥∥∥

− H

3µ+H

t+∆tN ⊗ t+∆t

N.

(B.21)

Dabei kann der Radius der Fließfläche t+∆tR neu berechnet werden:

t+∆tR = tR +2

3∆λFH. (B.22)

Damit lassen sich weiterhin die plastischen Verzerrungen t+∆tEp anhand der

ersten Gleichung der Beziehung (B.4) neu berechnen.

Eine Zusammenfassung fär die Berechnung des elastisch-plastischen Mate-

rialverhaltens mit einem linearen, isotropen Verfestigungsgesetz kann Tabelle

G.3 entnommen werden.

Anhang C

Algorithmen zur Berechnung der

Rotationsmatrix

Im Anschluß an den Abschnitt 3.2 werden hier verschiedene Algorithmen für

die Berechnung der großen Starrkörperrotation aus dem Deformationsgradien-

ten F beschrieben. Eine Beurteilung der vorgestellten Algorithmen wird an-

hand numerischer Beispiele in Abschnitt 10.3 dargestellt. Zur Durchführung

der orthogonalen Dekomposition von quadratischen, nicht-singulären Matrizen

werden im Rahmen dieser Arbeit zwei numerische Methoden vorgestellt:

1. QR-Dekomposition,

2. Polardekomposition.

Im Weiteren werden numerische Algorithmen dafür diskutiert. Andere Mög-

lichkeiten zur Bestimmung der Rotationsmatrix können in der Arbeit [58] von

Golub und Van Loan gefunden werden.

C.1 QR-Dekomposition

Gegeben ist eine beliebige Matrix A mit reellen Einträgen. A hat die Dimension

m×n und den Rang mit Rang(

A)

= n. Im Allgemeinen kann diese Matrix in

eine orthogonale Matrix Q der Dimension m×n und eine obere Dreiecksmatrix

R der Dimension n× n zerlegt werden [58]:

A = Q R. (C.1)

273

274

Im Fall großer Starrkörperrotationen kann A durch den Deformationsgradien-

ten F ersetzt werden. Hierbei kann die Matrix Q die Starrkörperrotation R in

Beziehung (3.6) näherungsweise darstellen [95]. Es handelt sich hierbei um die

Dekomposition einer Matrix der Dimension 3 × 3.

Für eine detaillierte mathematische Diskussion über die QR-Dekomposition

kann ebenfalls auf die Arbeit [58] von Golub und Van Loan verwiesen wer-

den. Eine Implementierung dieses Verfahrens mit dem klassischen GRAM-

SCHMIDTschen Orthonormalisierungsprozess wird in Tabelle G.9 beschrieben:

C.2 Polardekomposition

Wie in Abschnitt 3.1 beschrieben wurde, lässt sich der Deformationsgradient

der Dimension 3 × 3 mit Hilfe der Polardekomposition in eine orthogonale

Rotationsmatrix R und eine symmetrische Matrix U zerlegen:

F = R U. (C.2)

Zur Durchführung der Polarzerlegung (C.2) sollen geeignete numerische Ver-

fahren hinsichtlich der Effizienz und Genauigkeit ausgewählt werden. Eine de-

taillierte Untersuchung dafür wird in Abschnitt 10.1.3 gegeben.

C.2.1 Singulärwertzerlegung

Die Singulärwertzerlegung (englisch: singular value dekomposition (SVD)) ba-

siert auf der Idee, dass die reelle Matrix U in Beziehung (C.2) mit Hilfe der

spektralen Dekomposition geschrieben werden kann:

U = V D (λU) VT. (C.3)

Dabei ist die Matrix V orthogonal. Ferner ist D (λU) eine diagonale Matrix mit

drei positiven Eigenwerten λU1, λU2, und λU3 auf ihrer Diagonalen:

D (λU) =

λU1 0 0

0 λU2 0

0 0 λU3

mit λU1 ≥ λU2 ≥ λU3 ≥ 0. (C.4)

275

Folglich lässt sich die Polarzerlegung (C.2) neu angeben:

F = P D (λU) VT, (C.5)

mit der orthogonalen Matrix P = RV. So ist die Rotationsmatrix R berechnet.

Zur Singulärwertzerlegung soll zunächst eine QR-Dekomposition (C.1) für F

durchgeführt werden. Anschließend erfolgt die SVD-Zerlegung (C.3) [124]. Ein

robuster numerischer Algorithmus dafür ist in Tabelle G.10 dargestellt [143]:

C.2.2 RANKINscher Algorithmus

Beim RANKINschen Algorithmus wird ein NEWTON-RAHPSONschen Ver-

fahren unter Berücksichtigung der orthogonalen Eigenschaft von R verwendet

[141]. Somit kann ein quadratisches Konvergenzverhalten bei iterativen Berech-

nungen gewährleistet werden.

Bei der Variation der Exponentialform (3.50) ergibt sich:

δR = S (δϑ) R. (C.6)

Mit der Polarzerlegung (C.2) folgt bei einem bekannten Deformationsgradien-

ten F die Variation des rechten Streckungstensors:

δU = S (δϑ) U. (C.7)

Aus den Beziehungen (C.6) und (C.7) sowie der Definition des Axialoperators

(3.43) resultiert die Beziehung:

(I3tr (U) − U) δϑ = −2δ (A (U)) . (C.8)

Die Gleichung (C.8) bietet eine gute Möglichkeit, die Änderung des Pseudo-

vektors ϑ und damit die Änderung der Rotationsmatrix R bei einer gegebenen

Matrix U zu berechnen. Eine Möglichkeit zur Implementierung dieses Verfah-

rens wird in Tabelle G.11 dargestellt.

276

C.2.3 HIGHAMsche Algorithmen

Neben dem RANKINschen Verfahren bieten die HIGHAMschen Algorithmen

sehr effiziente Möglichkeiten zur Durchführung der Polardekomposition. Sie

besitzen ebenfalls ein quadratisches Konvergenzverhalten und können in vielen

technischen Anwendungen gefunden werden [72].

Die Hauptidee der HIGHAMschen Verfahren besteht darin, dass bei einer

bekannten Matrix F eine orthonormale Matrix R durch Iterationen zu fin-

den ist. Dabei lässt sich der Abstand zwischen diesen beiden Matrizen mit

tr((

F − R)T (

F − R))

12

minimieren [14]. Somit folgt für die Rotationsma-

trix näherungsweise R ≈ R. Darauf aufbauend ergeben sich unterschiedliche

Möglichkeiten für die Berechnung der Rotationsmatrix. Für z.B. einen Iterati-

onsschritt i+ 1 ergeben sich:

• Higham I: R(i+1) = 12

((

R(i))−T

+ R(i))

,

• Higham II: R(i+1) =1

2

(

1

H(i)II

(

R(i))−T

+H(i)II R(i)

)

mit dem Parameter

H(i)II =

∥∥∥∥

(

R(i))−1

∥∥∥∥

1

∥∥∥∥

(

R(i))−1

∥∥∥∥

∞∥∥∥

(

R(i))∥∥∥

1

∥∥∥

(

R(i))∥∥∥

∞

14

,

• Higham III: R(i+1) =1

2

(

1

H(i)III

Q(i) (

R(i))−T

+H(i)IIIR(i)

)

mit dem Para-

meter H(i)III =

√√√√√√

∥∥∥∥

(

R(i))−T

∥∥∥∥

F∥∥∥R(i)

∥∥∥

F

und der orthogonalen Matrix Q(i)

aus der

QR-Zerlegung R(i) = Q(i)

R(i)

.

Dabei werden die Zeilensummennorm ‖ ‖∞ und die Spaltensummennorm ‖ ‖1

sowie die Frobenius-Norm ‖ ‖F verwendet (siehe [58]). Detaillierte mathema-

tische Diskussionen über die angegebenen Approximationen können in den

Veröffentlichungen [72], [125] und [39] gefunden werden. Die drei Implementie-

rungsmöglichkeiten für die oben beschriebenen HIGHAMschen Verfahren sind

in Tabellen G.12, G.13 und G.14 dargestellt.

Anhang D

Locking-Effekte und

Stabilisierungstechniken

In Abschnitt 2.4 wurden der Effekt des volumetrischen Lockings und die Ener-

giestabilisierungsmethode beschrieben. Als Ergänzung dazu wird in diesem

Anhang auf die anderen Locking-Effekte und die Behandlungsmöglichkeiten

dafür kurz eingegangen.

D.1 Typische Locking-Effekte

Schub-Locking: Der Effekt des Schub-Lockings kann bei 2D und 3D Kontinu-

umselementen mit Ansatzfunktionen niedriger Ordnung oder im Membranan-

teil von Platten- und Schalenelementen entstehen. Dieser Effekt entsteht da-

durch, dass bei der Berechnung des Biegeverhaltens von flexiblen Strukturen

die Schubspannungen die Biegenormalspannungen dominieren. Dabei nehmen

die Schubmoden den größten Anteil der gesamten Formänderungsarbeit der

Strukturen. Dabei nimmt die Biegeenergie ab. Aus diesem Grund reagieren

die Strukturen viel zu steif auf die Biegung.

Querschub-Locking: Das Querschub-Locking tritt bei schubweichen Elemen-

ten unter Berücksichtigung der Querschubanteile auf, wie z.B. bei TIMOS-

HENKOschen Balkenelementen oder REISSNER-MINDLINschen Schalenele-

menten [114]. Dieser Effekt resultiert dadurch, dass schubweiche Elemente bei

bestimmten Deformationszuständen, wie z.B. reinen Biegezuständen, nicht frei

277

278

von Querschubverzerrungen sein können. Dabei kann es nicht nur zu einem ver-

langsamten Konvergenzverhalten, sondern auch zu einem inakzeptablen, oszil-

lierenden Spannungs- bzw. Querkraftverlauf kommen.

Membran-Locking: Eine ähnlich negative Folge wie beim Querschub-Locking

ergibt sich beim Membran-Locking, das praktisch bei allen gekrümmten Ele-

menten bei der Berechnung von biegedominierten Verformungzuständen ge-

krümmter Strukturen auftreten kann ([61], [62]). Der Membran-Locking-Effekt

ergibt sich dadurch, dass bei gekrümmten Elementen die gesamte Biegearbeit

vor allem von parasitären Normaldehnungen abgezogen wird, was zu Vertei-

fungseffekten und oszillierenden Verläufen der Normalkräfte führen kann.

Trapezoidal-, Curvature-Thickness-Locking: Das Trapezoidal-Locking tritt

bei der Berechnung der Biegedeformation von gekrümmten Strukturen mit

Kontinuumslementen auf. Dieser Effekt wird nicht nur durch schlechte FE-

Diskretisierungen, sondern auch durch eine zwangsläufige Darstellung der ge-

krümmten Geometrien der Strukturen mit trapezförmigen Elementen hervor-

rufen. Dabei können parasitäre Verzerrungen entstehen, die die Biegeenergie

verringern. Das Curvature-Thickness-Locking kann als ein spezieller Fall des

Trapezoidal-Lockings interpretiert werden, wobei sich die Richtungsvektoren

und die Verzerrungen in der Dickenrichtung von 3D Schalenelementen lineari-

sieren lassen [133].

D.2 Stabilisierungstechniken für 3D Elemente

Selektive reduzierte Integrationstechnik (SRI): Mit Hilfe der SRI-Technik

können die Locking-Effekte bei fast inkompressiblen und/oder nichtlinearen

Dehnungsproblemen dadurch effizient vermieden werden, dass bestimmte Stei-

figkeitsanteile der Elementsteifigkeitsmatrix anhand einer numerischen Integra-

tion niedriger Ordnung berechnet werden. Bei fast inkompressiblen Materiali-

en kann eine reduzierte Integration nach Hughes [74] auf den Dilatationsanteil

angewendet werden. Für ein Verallgemeinertes Konzept der SRI-Technik bei

der nichtlinearen FE-Berechnung von dünnwandigen Strukturen kann auf die

Arbeit von Hughes, Malkus und Elguedj verwiesen werden ([75], [38], [167]).

279

Bei dieser Technik gibt es jedoch das Problem, dass Nullenergieformen oder

HOURGLASS-Moden in die Formulierung eingehen können. In der Regel las-

sen sich diese Moden durch Stabilisierungsmethoden bei entsprechendem Auf-

wand gut korrigieren. Effiziente Methoden dafür können in den Veröffentlichun-

gen [166], [165] und [37] von Belytschko gefunden werden. Diese sind beispiels-

weise für die Formulierung des C3D8R-Kontinuumselements im kommerziellen

FE-Programm ABAQUS eingesetzt [5].

Assumed-Natural-Strain-Methode (ANS): Die Formulierung der angenom-

menen Dehnungen ANS basiert auf der Annahme, dass der Verlauf der berech-

neten Verzerrungen über keine Störungsanteile verfügt. So lassen sich die Ver-

zerrungen an den geschickt ausgewählten Punkten im Element berechnen, die

keine unerwünschten Dehnungsanteile enthalten. Diese Punkte (englisch: samp-

ling points) sind meist die Nullstellen des parasitären Verzerrungsverlaufs. Sie

lassen sich z.B. mit Hilfe von gezielten Testberechnungen bestimmen [96]. Eine

konsistente ANS-Formulierung mit energetischen Variationsprinzipien kann in

der Arbeit [22] von Militello und Felippa gefunden werden.

Enhanced-Assumed-Strain-Methode (EAS): Im Gegensatz zu der SRI- und

ANS-Technik kommt die Methode der erweiterten Verzerrungen EAS vor al-

lem zur Vermeidung des volumetrischen Lockings zum Einsatz. Bei der EAS-

Formulierung werden die Verzerrungen durch einen verschiebungsinkompati-

blen Dehnungsanteil und entsprechende interne Variablen erweitert, was di-

rekt im Funktional des HU-WASHIZUschen Variationsprinzips mitberücksich-

tigt wird. Bei einer konsistenten Linearisierung dieses Energieausdruckes resul-

tieren zusätzliche Stabilisierungsterme für die Elementsteifigkeitsmatrix und

internen Elementkräfte. Dazu sollen die internen Variablen vor der Assemblie-

rung des globalen Systems eliminiert werden. An dieser Stelle kann bemerkt

werden, dass die sogenannte Methode der inkompatiblen Verschiebungen in

den Veröffentlichungen [44] und [145] von Wilson und Taylor als ein spezieller

Fall der EAS-Formulierung angesehen werden kann. Dabei werden die Verschie-

bungen, jedoch nicht die Dehnungen des Elements, modifiziert (siehe [85], [83]

und [86]).

Anhang E

Variationsprinzipien der Mechanik

Variationsprinzipien der Mechanik stellen das leistungsfähigste Werkzeug zur

Beschreibung von nichtlinearen Deformationen deformierbarer Strukturen dar.

In der FEM- und der MKS-Methode können zweckmäßige Variationsformen je

nach Problem zur Behandlung von Locking-Effekten, materiellen Nichtlineari-

täten und Zwangsbedingungen verwendet werden. Ausführliche mathematische

Beschreibungen hierfür können in der Arbeit [182] von Fung und Pin Tong so-

wie [180] von Washizu gefunden werden.

Das Prinzip der virtuellen Arbeit: Im Folgenden wird ein Körper betrachtet.

Er befindet sich unter der Wirkung von Volumenkräften, Oberflächenkräften

auf seiner Oberfläche tSσ und vorgegebenen kinematischen Randbedingungen

auf der Oberfläche tSu im statischen Gleichgewicht.

Im Allgemeinen gibt das Prinzip der virtuellen Arbeit an, dass für das Kräf-

tegleichgewicht eines mechanischen Systems die virtuelle Arbeit der internen

Spannungen gleich der virtuellen Arbeit aller äußeren eingeprägten Kräfte ist.

Diese Anforderung gilt für alle möglichen, infinitesimal kleinen virtuellen Ver-

schiebungen δu, die zeitlos verlaufen und alle kinematischen Randbedingungen

erfüllen. Ferner gibt das Prinzip an, dass die kinematischen Randbedingungen

an der Oberfläche tSu keine virtuelle Arbeit verrichten [16].

Ist der Körper im statischen Gleichgewicht, gilt nach dem Prinzip der vir-

tuellen Arbeit:

δtWint = δ tA(e)a . (E.1)

281

282

Der Ausdruck ∂ tWint stellt die virtuelle Arbeit der inneren Spannungen dar:

δtWint =∫

tV

tΣ · δtE dtV. (E.2)

Dabei bezeichnet δtE die virtuellen linearen Dehnungen:

δtE =1

2

∂ δu∂ tx

+

(

∂ δu∂ tx

)T

, (E.3)

und tΣ den CAUCHYschen Spannungstensor bezüglich der aktuellen Konfigu-

ration. Des Weiteren repräsentiert δ tA(e)a die Summe der virtuellen Arbeit der

eingeprägten Volumenkräfte tf B und Flächenkräfte tf S. Somit ergibt sich:

δ tA(e)a =

∫

tVB

tf B · δu dtV +∫

tSσ

tf S · δu dtS. (E.4)

Dabei sind dtV und dtS ein Volumen- bzw. Flächenelement des Körpers in der

aktuellen Konfiguration. Mit Hilfe der Definition für den 2PK-Spannungstensor

(3.25) und der Variation der GL-Verzerrungen aus Beziehung (3.12):

δt0E

G = t0FT δtE

t0F, (E.5)

lässt sich das Prinzip der virtuellen Arbeit wie folgt zusammenfassen [16]:

∫

tV

tΣ · δtE dtV − δ tA(e)

a =∫

0V

t0S · δt

0EG d0V − δ tA(e)a = 0, (E.6)

mit der Nebenbedingung für die Verzerrungen:

δtE =1

2

∂ δu∂ tx

+

(

∂ δu∂ tx

)T

, (E.7)

und für die Verschiebungen:

δ u = 0 auf tSu. (E.8)

HU-WASHIZUsches Variationsprinzip: Washizu [180] formulierte das Prin-

283

zip der virtuellen Arbeit zu einem sogenannten generalisierten Variationsprin-

zip um, das in der Literatur oft unter dem Begriff HU-WASHIZUsches (HW)

Prinzip zu finden ist. Dabei wird mit dem ersten Hauptsatz der Thermodyna-

mik davon ausgegangen, dass der Zuwachs der volumenspezifischen internen

Energie aus einer inkrementellen Wärmeenergie und dem Zuwachs der Verzer-

rungsenergie besteht. Unter der Annahme, dass adiabatische und reversible

Prozesse ablaufen, verschwindet die inkrementelle Wärmemenge und die Exis-

tenz einer internen Dehnungsenergiefunktion kann auch für den Fall großer

Deformationen gewährleistet werden. Zur Berücksichtigung der kinematischen

und dynamischen Randbedingungen werden hierfür Lagrange-Multiplikatoren

eingeführt.

Darauf aufbauend kann das allgemeine HW-Prinzip für nichtlineare Defor-

mationsprobleme bezüglich der Referenzkonfiguration angegeben werden:

tΠHW =∫

0V

tΠint

(t0E

G)

+ tΠB

(tu)

d0V

−∫

0V

t0S ·

t0E

G − 1

2

(

∂ tu∂ 0x

)T

+∂ tu∂ 0x

+

(

∂ tu∂ 0x

)T∂ tu∂ 0x

d0V

+∫

0Sσ

tΠσ

(tu)

d0S −∫

0Su

λu ·(

tu − uS)

d0S.

(E.9)

Im stationären Zustand gilt δ tΠHW = 0. Dabei wurde angenommen, dass eine

Potentialfunktion tΠB (tu) für die Volumenkräfte und tΠσ (tu) für die Oberflä-

chenkräfte existiert.

Der Energieausdruck (E.9) beinhaltet alle kinematischen und dynamischen

Randbedingungen in der energetischen Form. Ferner kann hier bemerkt wer-

den, dass die Größen t0EG, tu und t

0S sowie die Lagrange-Multiplikatoren λu

voneinander unabhängig sind. Der Vektor uS stellt die vorgeschriebenen Ver-

schiebungen auf der Oberfläche 0Su dar. Folglich stellt der Ausdruck tΠint die in-

terne Dehnungsenergiefunktion dar, deren Ableitung nach den GL-Verzerrungen

die 2PK-Spannungen ergibt:

∂ tΠint

∂ t0E

G = t0S. (E.10)

284

Modifiziertes HW-Prinzip nach Simo und Hughes: Eine Methode zur Vermei-

dung von Locking-Effekten mit Hilfe der Energiestabilisierungstechnik wird in

dieser Arbeit vorgestellt. Dafür wird das HW-Prinzip mit Hilfe einer sogenann-

ten MA-Technik (englisch: mixed approximation) von Simo und Hughes [87]

vorgeschlagen. Detaillierte mathematische Beschreibungen der MA-Technik

können in den Veröffentlichungen von Belytschko, Fisch und Engelmann ([164],

[78]) gefunden werden.

Indem die HW-Potentialfunktion (E.9) in die Geschwindigkeitsform umge-

schrieben wird, lässt sich das HW-Prinzip neu schreiben:

0 = δ tΠHW

(tv, tE,

tΣ

)

=∫

tV

δtE · tΣ dtV + δ

∫

tV

tΣ

1

2

∂ tv∂ tx

+

(

∂ tv∂ tx

)T

− tE

dtV

−∫

tVB

tf B · δtv dtV +∫

tSσ

tf S · δtv dtS.

(E.11)

Dabei stellt der Ausdruck tv die Geschwindigkeit des Körpers dar. Die Lagrange-

Multiplikatoren werden nicht mehr berücksichtigt. Ferner sind die CAUCHY-

schen Spannungen tΣ eine unabhängige und frei wählbare Größe. Damit kann

nach Simo und Hughes angenommen werden, dass diese Spannungen ortho-

gonal zu der Differenz zwischen dem symmetrischen Anteil des Geschwindig-

keitsgradienten und der zeitlichen Änderung des linearen Verzerrungstensors

sind:

δ∫

tV

tΣ

1

2

∂ tv∂ tx

+

(

∂ tv∂ tx

)T

− tE

dtV = 0, (E.12)

womit Beziehung (E.11) vereinfacht werden kann:

0 = δ tΠHW

(tv, tE,

tΣ

)

=∫

tV

δtE · tΣ dtV − δ tl(e)

a .(E.13)

Dabei ist δ tl(e)a die Summe der virtuellen Leistung aller äußeren eingeprägten

Kräfte aus der dritten Zeile der Beziehung (E.11). Beziehung (E.13) ist in der

Geschwindigkeitsform bezüglich der aktuellen Konfiguration angegeben und

bietet eine gute Möglichkeit dafür, die Dehnungen tE und Spannungen tΣ

285

unabhängig voneinander zu berechnen.

Auf die gleiche Art und Weise kann das modifizierte HW-Prinzip (E.13)

bezüglich der ursprünglichen Konfiguration geschrieben werden:

0 = δ tΠHW

(tu, t

0EG)

=∫

0V

δt0E

G · t0S

(t0E

G)

d0V − δ tA(e)a

= δ tΠint

(t0E

G)

− δ tA(e)a .

(E.14)

Dabei repräsentieren die Ausdrücke t0E

G und t0S die über das gesamte Element

gemittelten GL-Verzerrungen und die daraus resultierenden 2PK-Spannungen,

die sich üblicherweise aus Spannungs-Dehnungsbeziehungen der Strukturen be-

rechnen lassen. Eine ähnliche modifizierte Form des HW-Prinzips kann in der

Arbeit [104] von Krysl gefunden werden. Detaillierte mathematische Herlei-

tungen anderer Variationsprinzipien, wie z.B. das generalisierte Prinzip vom

Minimum des elastischen Potentials, das HELLINGER-REISSNERsche Prin-

zip und ihre Modifikationen können in der Arbeit [180] von Washizu gefunden

werden.

Zur Herleitung der Bewegungsgleichungen von starren und deformierbaren

Körpern von Mehrkörpersystemen kommt z.B. das Prinzip nach d’Alembert

zum Einsatz. Dabei wird zusätzlich die virtuelle Arbeit der Trägheitskräfte

berücksichtigt [144].

Anhang F

CLCR-Formulierung mit einer

Energiestabilisierungstechnik

Für die Anwendung der Energiestabilisierungstechnik (EST) auf die CLCR-

Formulierung wird Beziehung (8.12) mit den Beziehungen (6.1), (7.88) und

(7.87) in VOIGTscher Darstellung neu geschrieben:

(

δ tue

)T

t0B

T

G

(t0S − t

0S∗)

0Ve +∫

0Ve

t0B

TG

t0S∗ d 0Ve − tFe,ext

= 0. (F.1)

Dabei bezeichnet t0BG die nichtlineare Verschiebungs-Dehnungsmatrix für das

gesamte Element. Im Gegensatz dazu wird t0BG in den GAUSSschen Integrati-

onspunkten berechnet.

Ferner stellen t0S

∗ und t0S

∗die 2PK-Spannungen aus der ausgewählten, be-

kannten Energiefunktion Π∗int dar, die die internen Elementkräfte stabilisieren.

Dabei ist t0S

∗für das gesamte Element konstant. Dagegen wird t

0S∗ in den

Integrationspunkten berechnet. Des Weiteren stellt t0S den ebenfalls für das

gesamte Element konstanten 2PK-Spannungsvektor dar, der aus dem Materi-

algesetz der Struktur abgeleitet wird. Der Ausdruck tFe,ext beschreibt hierbei

den Vektor der externen Kräfte.

Für beliebige virtuelle Verschiebungen δ tue folgt aus Gleichung (F.1) die

Gleichgewichtsbedingung eines Elements in der aktuellen Konfiguration:

t0B

T

G

(t0S − t

0S∗)

0Ve +∫

0Ve

t0BT

Gt0S

∗ d 0Ve = tFe,ext. (F.2)

287

288

Verschiebungs-Dehnungsmatrix t0BG: Dadurch, dass die Beziehung (6.10) in

Beziehung (8.11) eingesetzt wird, folgt mit der Beziehung (7.81):

t0BG =

10Ve

∫

0Ve

t0BG d 0Ve. (F.3)

Die Komponenten der Rotationsmatrix t0R sowie das Elementvolumen 0Ve sind

für das gesamte Element konstant. Somit können die Ableitungen der Ansatz-

funktionen Ni,j in Beziehung (6.10) durch Vergleich der Einträge der Matrizen

auf den beiden Seiten der Beziehung (F.3) gemittelt werden:

Ni,j =1

0Ve

∫

0Ve

Ni,j d 0Ve. (F.4)

Es kann hier bemerkt werden, dass Ni,j und damit Ni,j in jedem Integrati-

onspunkt konstant bleiben. Somit können sie im Initialisierungsprozess einmal

berechnet und für die gesamte Berechnung verwendet werden. Letztendlich

wird die nichtlineare Verschiebungs-Dehnungsmatrix für einen Knoten i mit

i := 1, 2, 3, ..., k wie folgt geschrieben:

t0BGi =

t0R11Ni,1

t0R21Ni,1

t0R31Ni,1

t0R12Ni,2

t0R22Ni,2

t0R32Ni,2

t0R13Ni,3

t0R23Ni,3

t0R33Ni,3

t0R12Ni,3 + t

0R13Ni,2t0R22Ni,3 + t

0R23Ni,2t0R32Ni,3 + t

0R33Ni,2

t0R13Ni,1 + t

0R11Ni,3t0R23Ni,1 + t

0R21Ni,3t0R33Ni,1 + t

0R31Ni,3

t0R11Ni,2 + t

0R12Ni,1t0R21Ni,2 + t

0R22Ni,1t0R31Ni,2 + t

0R32Ni,1

.

(F.5)

Stabilisierter interner Elementkraftvektor: Aus der Gleichgewichtsbedin-

gung (F.2) ergibt sich unter Berücksichtigung der Beziehungen (7.80) und

(7.83) der Vektor der stabilisierten internen Elementkräfte:

t0Fe,int = t

0BT

G

(tσ − tσ

∗)

0Ve +∫

0Ve

t0B

T

Gtσ∗ d 0Ve. (F.6)

Dabei sind die CAUCHYschen Spannungen tσ für das gesamte Element kon-

289

stant und sie sind im CR-Elementsystem dargestellt. tσ lässt sich mit Hilfe

der Spannungs-Dehnungsbeziehung tσ(

tε)

der Struktur berechnen. Zur Be-

rechnung der Dehnungen tε wird die lineare Verschiebungs-Dehnungsmatrix0BL benötigt. Mit den Beziehungen (F.4) und (5.11) folgt für einen Knoten i:

0BLi =

Ni,1 0 0

0 Ni,2 0

0 0 Ni,3

0 Ni,3 Ni,2

Ni,3 0 Ni,1

Ni,2 Ni,1 0

. (F.7)

Des Weiteren bezeichnen tσ∗ und tσ∗

die CAUCHYschen Spannungen im CR-

Elementsystem, die die internen Elementkräfte stabilisieren. Sie stellen die

MONNEY-RIVLINsche Spannungs-Dehnungsbeziehung tσ∗ (tε) sowie tσ∗(

tε)

dar. Dabei ist der Spannungsvektor tσ∗

für das gesamte Element konstant.

Gleiches gilt für den Dehnungsvektor tε und er lässt sich mit Hilfe der ge-

mittelten Verschiebungs-Dehnungsmatrix 0BL berechnen. Dagegen ist tσ∗ (tε)

für das gesamte Element nicht konstant. Der Dehnungsvektor tε wird anhand

der Verschiebungs-Dehnungsmatrix 0BL in den Integrationspunkten sowie der

rotationsfreien Knotenverschiebungen tue ermittelt.

Zur Übersichtlichkeit kann folglich eine Zusammenfassung für die Berech-

nung der Spannungen im CR-System angegeben werden:

tσ∗ = tσ∗(

tε)

,

tσ = tσ(

tε)

,

tσ∗

= tσ∗(

tε)

.

(F.8)

Dabei sind die Verzerrungsvektoren tε und tε im CR-System dargestellt. Sie

lassen sich wie folgt bestimmen:

tε = 0BLtue,

tε = 0BLtue. (F.9)

Der gesamte Berechnungsprozess dafür ist in Abschnitt (7.3) dargestellt.

290

Stabilisierte tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix: Die stabilisierte tangen-

tiale Elementsteifigkeitsmatrix kann dadurch bestimmt werden, dass der inter-

ne Elementkraftvektor t0Fe,int (F.6) nach den globalen Elementverschiebungen

tue abgeleitet wird. Dabei ergibt sich mit der Produktregel:

t0Ke,T =

(

∂ t0BG

∂ tue

)T(

tσ − tσ∗)

0Ve + t0B

T

G

∂(

tσ − tσ∗)

∂ tue

0Ve

+∫

0Ve

(

∂ t0BG

∂ tue

)T

tσ∗ d 0Ve +∫

0Ve

t0B

T

G

∂ tσ∗

∂ tue

d 0Ve .

(F.10)

Auf die weiteren Umformungen für die Ausdrücke der Beziehung (F.10) wird

an dieser Stelle verzichtet. Sie werden jedoch auf Abschnitt 7.2.2 verwiesen.

Letztendlich kann die tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix t0Ke,T in der fol-

genden Form geschrieben werden:

t0Ke,T = t

0Ke,T + t0K

∗e,T . (F.11)

Dabei ergibt sich die tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix t0Ke,T aus der ersten

Zeile der Beziehung (F.10) und stellt die Summe aus dem materiellen Anteilt0KM,T und dem geometrischen Anteil t

0KG,T dar:

t0Ke,T = t

0KM,T + t0KG,T, (F.12)

mit den Ausdrücken:

t0KM,T = t

0BT

G

(

tCT − tC∗

T

)

t0BG

0Ve, (F.13)

sowiet0KG,T = t

0BT

S D(

tσ − tσ∗)

t0BS

0Ve . (F.14)

Auf die gleiche Art und Weise folgt die Matrix t0K

∗e,T aus der zweiten Zeile der

Beziehung (F.10), die sich ebenfalls aus dem materiellen Anteil t0K∗

M,T sowie

dem geometrischen Anteil t0K

∗G,T zusammensetzt:

t0K

∗e,T = t

0K∗M,T + t

0K∗G,T, (F.15)

291

mit den Matrizen:

t0K

∗M,T =

∫

0Ve

t0B

T

GtC

∗

Tt0BG d 0Ve, (F.16)

undt0K∗

G,T =∫

0Ve

t0B

TS D

(tσ∗

)t0BS d 0Ve . (F.17)

Hierbei besitzt die Matrix t0BS die gleiche Form wie t

0BS in der Beziehung

(6.22), wobei jedoch die Ableitungen Ni,j durch Ni,j mit i:=1,2,3,...,k und

j:=1,2,3 ersetzt werden. Die Matrizen t0BG und t

0BT

G wurden bereits in den

Beziehungen (F.5) sowie (7.81) dargestellt. Des Weiteren nehmen die Matri-

zen D(

tσ − tσ∗)

sowie D (tσ∗) die gleiche diagonale Form wie die in der

Beziehung (6.21) an. Der Ausdruck tCT beschreibt die konsistente Materialtan-

gente der Spannungskurve tσ(

tε)

der Struktur. Des Weiteren wird tC∗

T aus

dem MOONEY-RIVLINschen Materialgesetz tσ∗(

tε)

berechnet. Diese Mate-

rialtangenten sind konstant über das gesamte Element und können wie folgt

bestimmt werden:

tCT =∂ tσ

(tε)

∂ tε,

tC∗

T =∂ tσ

∗(

tε)

∂ tε.

(F.18)

Im Gegensatz dazu wird die Materialtangente tC∗

T des MOONEY-RIVLINschen

Materialmodells in den Integrationspunkten berechnet:

tC∗

T =∂ tσ∗ (tε)

∂ tε. (F.19)

Bemerkungen für die Effizienz: Die internen Elementkräfte (F.6) und tan-

gentialen Elementsteifigkeiten (F.11) beinhalten die Stabilisierungsanteile aus

dem MOONEY-RIVLINschen Potential. Da sich diese Anteile in den CR-

formulierungen, wie in Kapitel 7 beschrieben, effizient berechnen lassen, ist

in der Regel der zusätzliche Rechenaufwand dafür vernachlässigbar klein. Eine

Zusammenfassung für die CLCR-Formulierung mit der EST wird in Tabelle

G.8 ausführlich dargestellt.

Anhang G

Numerische Implementierungen

Schritt 1: Initialisierung:Konstante Materialparameter: E, ν, C1, C2

Schritt 2: Eigenwerte und Eigenvektoren von U:Polardekomposition:

F = RU, J = det FLösung der Eigenwertgleichung:

det (U − λ I3) = 0Berechnung der Eigenvektoren:

U =3∑

i=1

λi ninTi

Aufstellung der Transformationsmatrix: T (Q)Schritt 3: Spannungszutand und Materialtangente:

BIOTsche Spannungen im Hauptdehnungsraum:

Bi = 2C1

(

λi − J23λ−1

i

)

− 2C2

(

λ−3i − J− 2

3λ−1i

)

+KJ (J − 1)

λi

BIOTsche Spannungsmatrix:

B = T(

QT)

D (B)

Materialtangente im Hauptdehnungsraum: C∗T

Materialtangentenmatrix:

CT = T(

QT)

C∗T T (Q)

Tab. G.1: Implementierung eines MOONEY-RIVLINschen Materialmodells

293

294

Schritt 1: Initialisierung:Auswahl der Toleranzen: tε, tσKonstante Materialparameter: n, α, σ0, E, ν

Berechnung der Verzerrungstensoren: E, Ed

Berechnung der MISESschen Vergleichsdehnung: εv

Schritt 2: Vermeidung der Singularität:Überprüfung der Bedingung: tε ≤ εv

Ist erfüllt: elastischer Zustand; EndeIst nicht erfüllt: nichtlinear-elastischer Zustand; weiter

Schritt 3: Berechnung der Spannung σ:

Initialisierung: σtrial =3

2

E

1 + νεv

Gilt σtrial ≤ σ0: σ(0) = σtrial

Gilt σtrial > σ0: σ(0) =

(

Eεvσn−10

α

) 1n

NEWTON-RAHPSONsche Iterationen für i = 1, 2, 3, ...Berechnung: ∆σ(i+1)

Aktualisierung: σ(i+1) = σ(i) + ∆σ(i+1)

Aktualisierung: σ = σ(i+1)

Schritt 4: Berechnung des Spannungszustandes:

Σ = K tr (E) I3 +2

3

σ

εv

Ed

Schritt 5: Konsistente Materialtangente:

CT =4

9

1

ε2v

∂σ

∂εv

− σ

ε3v

Ed ⊗ E

d

+2

3

σ

εv

(4)

I −(

2σ

9εv

+K)

(I3 ⊗ I3) .

Tab. G.2: Implementierung eines nichtlinear-elastischen Materialmodells mitdem RAMBERG-OSGOODschen Potenzgesetz

295

Schritt 1: Initialisierung:Elastische Materialparameter: E, νVerfestigungsparameter: HMaterialzustand zur Zeit t: t

E, tE

p, tσF,tR

Berechnung inkrementeller Verzerrungen: ∆E

Schritt 2: Elastische Vorschätzung:Berechnung des vorgeschätzten Zustandes:

t+∆tΣ = t

Σ + Ce [∆E]t+∆t

Σd = t

Σd + 2µ ∆E

d

MISES-HUBERsche Fließfunktion:

Φ =∥∥∥

t+∆tΣ

d∥∥∥−

√23

tσF

Schritt 3: Fallunterscheidung:Gilt Φ ≤ 0: elastischer Zustand; EndeGilt Φ > 0: plastischer Zustand; weiter

Schritt 4: Radial-Return-Korrekturprozess:Berechnung des Parameters ∆λF:

∆λF =

∥∥∥

t+∆tΣ

d∥∥∥− tR

2µBerechnung des Einheitstensors t+∆t

N:

t+∆tN =

t+∆tΣ

d

∥∥∥

t+∆tΣd∥∥∥

Berechnung des neuen Spannungszustandes:t+∆t

Σ = t+∆tΣ − 2µ ∆λF

t+∆tN

Berechnung des Fließflächenradius:t+∆tR = tR + 2

3∆λFH

Berechnung der Materialtangente:

t+∆tCT = Ce − 2µt+∆tR−

∥∥∥

t+∆tΣ

d∥∥∥

∥∥∥

t+∆tΣd∥∥∥

((4)

I − 1

3(I3 ⊗ I3)

)

− 2µ

t+∆tR∥∥∥

t+∆tΣd∥∥∥

− H

3µ+H

t+∆tN ⊗ t+∆t

N

Tab. G.3: Implementierung des MISES-HUBERschen Materialmodells mit li-nearer isotroper Verfestigung

296

Schritt 1: Initialisierung:Konstante alternative Ansatzfunktionen:

ηi = 0J−1C

[

∂ Ni

∂ r,∂ Ni

∂ s,∂ Ni

∂ t

]T

Ursprung des CR-Systems 0xC: Beziehung (7.5)

Matrix 0Bη =[

S (η1) , S (η2) , . . . ,S (ηk)]

Schritt 2: Berechnung der Rotationsmatrix:Polardekomposition:

t0FC =

∂ txC

∂ 0x, t

0FC = t0R

t0UC

Ursprung des CR-Systems txC: Beziehung (7.5).Schritt 3: Rotationsfreie Knotenverschiebungen:

tui = t0R

T(txi − txC) − (0xi − 0xC)

tue =[

tuT1 ,

tuT2 ,

tuT3 , ...,

tuTk

]T

txe =[

txTe1,

txTe2,

txTe3, ...,

txTek

]T

Schritt 4: Elementprojektionsmatrix tP:

tΞT =(

I3 tr (t0UC) − t

0UC

)−10Bη

tΦT =[

S (txe1) , S (txe2) , . . . , S (txek)]

tP = Dk (I3) − tΦ tΞT

Schritt 5: Interner ElementkraftvektorIntegration des Materialgesetzes:

tε = 0BLtue,

tσ = t

σ (tε)Korrigierter Elementkraftvektor im CR-System:

tFC,int = tPT ∫

0Ve

0BTL

tσ d0Ve

Globaler interner Elementkraftvektor:tFe,int = Dk

(t0R)

tFC,int

Schritt 6: Tangentiale ElementsteifigkeitsmatrixMaterielle Elementsteifigkeiten im CR-System:

tKM,T = tPT tKMtP

Geometrische Elementsteifigkeiten im CR-System:t0KG,T = − tΞ tΠT − tPT tΠ tΞT

Globale tangentiale Elementsteifigkeiten:t0KSym,T = Dk

(t0R) (

tKM,T + t0KG,T

)

Dk

(t0R

T)

Tab. G.4: Gesamter Berechnungsprozess in der EICR-Formulierung

297

Schritt 1: Initialisierung:Ableitungen der Ansatzfunktionen: Ni,j

Konstante Matrizen: 0Θ, 0J, t0BS

Schritt 2: Berechnung der Rotationsmatrix:Gemittelter Deformationsgradient:

t0F =

∫

0Ve

t0F d 0Ve

∫

0Ve

d 0Ve

Polardekomposition:t0F = t

0R t0U

Schritt 3: Rotationsfreie Knotenverschiebungen:tui = t

0RT

(txi − txO) − (0xi − 0xO)

tue =[

tuT1 ,

tuT2 ,

tuT3 , ...,

tuTk

]T

Schritt 4: Interner Elementkraftvektor:Spannungen im CR-System:

tε = 0BLtue,

tσ = t

σ (tε)Globale interne Elementkräfte:

t0Fe,int =

∫

0Ve

t0B

T

Gtσ d0Ve

Schritt 5: tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix:Konsistente Materialtangente im CR-System:

tCT =∂ t

σ

(tε)

∂ tεMaterielle tangentiale Elementsteifigkeiten:

t0KM,T =

∫

0Ve

t0B

T

GtCT

t0BG d0Ve

Geometrische tangentiale Elementsteifigkeiten:t0KG,T =

∫

0Ve

t0B

TS D

(tσ)

t0BS d0Ve

Globale tangentiale Elementsteifigkeiten:t0Ke,T = t

0KM,T + t0KG,T

Tab. G.5: Gesamter Berechnungsprozess in der CLCR-Formulierung

298

Isotropes, linear-elastisches Material:Gesamte Verzerrungen: tε = 0BL

tue

Spannungen: tσ = H tε

Konsistente Materialtangente: tCT = HNichtlinear-elastisches Material:

Gesamte Verzerrungen: tε = 0BLtue

Spannungen: tσ = tσ (tε)Konsistente Materialtangente: tCT = tCT (tε)

Isotropes, elastisch-plastisches Material:Gesamte Verzerrungen: tε = 0BL

tue

Plastische Verzerrungen: tεP = tεP (tε, tκ, tσF)

Spannungen: tσ = H(

tε −t εP)

Konsistente Materialtangente: tCT = tCT (tσ, H, tσF)Gummiartiges MOONEY-RIVLINsches Material:

Gesamte Verzerrungen: tε = 0BLtue und damit tE

Materielle rechte Streckungen: tU ≈ tE + I3

Eigenwerte von tU: det(

tU2 − tλ

2

i I3

)

= 0

Eigenwerte von tU: tU =3∑

i=1

tλitni

(tni

)T

BIOTsche Spannungen: tB = tB(

tλi,tni, C1, C2

)

Konsistente Materialtangente: tCT = tCT

(tλi,

tni, C1, C2

)

Tab. G.6: Berechnung der Verzerrungen und Spannungen sowie der konsisten-ten Materialtangente für die EICR- und die CLCR-Formulierung

299

Schritt 1: Initialisierung:Konstante alternative Ansatzfunktionen:

ηi = 0J−1C

[

∂ Ni

∂ r,∂ Ni

∂ s,∂ Ni

∂ t

]T

Ursprung des CR-Systems 0xC: Beziehung (7.5)

Matrizen: 0Bη =[

S (η1) , S (η2) , . . . ,S (ηk)]

, 0BC,0BL


t0FC =

∂ txC

∂ 0x, t

0FC = t0R

t0UC

Ursprung des CR-Systems txC: Beziehung (7.5).Schritt 3: Rotationsfreie Knotenverschiebungen:

tui = t0R

T(txi − txC) − (0xi − 0xC)

tue =[

tuT1 ,

tuT2 ,

tuT3 , ...,

tuTk

]T

txe =[

txTe1,

txTe2,

txTe3, ...,

txTek

]T

Schritt 4: Elementprojektionsmatrix tP:

tΞT =(

I3 tr (t0UC) − t

0UC

)−10Bη

tΦT =[

S (txe1) , S (txe2) , . . . , S (txek)]

tP = Dk (I3) − tΦ tΞT

Schritt 5: Interner ElementkraftvektorIntegration des Materialgesetzes:

tε = 0BLtue,

tεC = 0BCtue

tσ

∗ = tσ

∗ (tε) , tσ

∗C = t

σ∗C (tεC) , t

σC = tσC (tεC)

Globaler interner Elementkraftvektor:

t0FC,int = tPT

(

0BTC (t

σC − tσ

∗C) 0Ve +

∫

0Ve

0BTL

tσ

∗ d 0Ve

)

tFe,int = Dk

(t0R)

tFC,int

Schritt 6: Tangentiale ElementsteifigkeitsmatrixMaterielle Elementsteifigkeiten im CR-System:

tKM,T = tPT tKMtP

Geometrische Elementsteifigkeiten im CR-System:t0KG,T = − tΞ tΠT − tPT tΠ tΞT

Globale tangentiale Elementsteifigkeiten:t0KSym,T = Dk

(t0R) (

tKM,T + t0KG,T

)

Dk

(t0R

T)

Tab. G.7: Berechnungsprozess für die EICR-FE-Formulierung mit der EST

300

Schritt 1: Initialisierung:Ableitungen der Ansatzfunktionen: Ni,j , Ni,j

Matrizen: 0Θ, 0J, t0BS, t

0BS, 0BL, 0BL


t0F =

∫

0Ve

t0F d 0Ve

∫

0Ve

d 0Ve

, t0F = t

0Rt0U

Schritt 3: Rotationsfreie Knotenverschiebungen:tui = t

0RT

(txi − txO) − (0xi − 0xO)

tue =[

tuT1 ,

tuT2 ,

tuT3 , ...,

tuTk

]T

Schritt 4: Interner Elementkraftvektor:Spannungen im CR-System:

tε = 0BLtue, tε = 0BL

tue

tσ

∗ = tσ

∗ (tε), tσ = t

σ

(tε)

, tσ

∗= t

σ∗(

tε)

Globale interne Elementkräfte:t0Fe,int = t

0BT

G

(tσ − tσ

∗)

0Ve +∫

0Ve

t0B

T

Gtσ∗ d 0Ve

Schritt 5: tangentiale Elementsteifigkeitsmatrix:Konsistente Materialtangenten im CR-System:

tCT =∂ t

σ

(tε)

∂ tε, tC

∗

T =∂ t

σ∗(

tε)

∂ tε, tC

∗

T =∂ t

σ∗(

tε)

∂ tεMaterielle tangentiale Elementsteifigkeiten:

t0KM,T = t

0BT

G

(

tCT − tC∗

T

)

t0BG

0Ve

t0K

∗M,T =

∫

0Ve

t0B

T

GtC

∗

Tt0BG d 0Ve

Geometrische tangentiale Elementsteifigkeiten:t0KG,T = t

0BT

S D(

tσ − tσ∗)

t0BS

0Ve

t0K

∗G,T =

∫

0Ve

t0BT

S D(

tσ∗)

t0BS d 0Ve

Globale tangentiale Elementsteifigkeiten:t0Ke,T = t

0KM,T + t0K

∗M,T + t

0KG,T + t0K∗

G,T

Tab. G.8: Berechnungsprozess für die CLCR-FE-Formulierung mit der EST

301

for k := 1 to n dobegin

for i := 1 to k − 1 dobegin s := 0

for j := 1 to m do s := s+ Aji ∗ Ajk ;rik := s ;

end ;for i := 1 to k − 1 dobegin

for j := 1 to m do Ajk := Ajk + Aji ∗ rik ;end ;s := 0 ;for j := 1 to m do s := s+ A2

jk ;rkk := sqrt (s) ;

for j := 1 to m do Ajk :=Ajk

rkk

;

end k

Tab. G.9: Implementierung der QR-Dekomposition

Schritt 1: Berechnung des CAUCHY-GREENschen Tensors.C = FT F und C2 = CT C

Schritt 2: Berechnung der Eigenwerte λ2U1, λ

2U2, λ

2U3 von C.

Schritt 3: Bestimmung der Invarianten von UIU = λU1 + λU2 + λU3

IIU = λU1λU2 + λU1λU3 + λU3λU2

IIIU = λU1λU2λU3 = det (F)

Schritt 4: Berechnung von U mit U = κ1

(

κ2I3 + κ3C − C2)

κ1 = 1/ (IUIIU − IIIU)κ2 = IUIIIU

κ3 = I2U − IIU

Schritt 5: Inversion von U mit U−1 = χ1

(

χ2I3 + χ3C + χ4C2)

χ1 = 1/IIIU (IUIIU − IIIU)χ2 = IUII

2U − IIIU (I2

U + IIU)χ3 = −IIIU − IU (I2

U − 2IIU)χ4 = IU

Schritt 6: Berechnung der RotationsmatrixR = FU−1

Tab. G.10: Implementierung des SVD-Algorithmus

302

Schritt 1: Überprüfung der Orthogonalität und Initialisierung:Festlegung von TOLU, TOLH, imax

if∥∥∥

12

(

U + UT − I3

)∥∥∥ ≤ TOLU then R = F return

else then U(1) = F continueSchritt 2: Iterationsschleife zur Berechnung von U:

for i := 1 to imax doH(i) = (I3tr (U) − U)(i)

H(i)sym = H(i) +

(

H(i))T

Überprüfung der Konvergenz:

if∥∥∥A

(

U(i))∥∥∥ ≤ TOLH then goto Schritt 3

else continue

solve ∆ϑ = −2(

H(i)sym

)−1A(

U(i))

∆R = Exp (∆ϑ)U(i) = ∆RU(i)

end forSchritt 3: Berechnung der Rotationsmatrix:

R = F(

U(i))−1

Tab. G.11: Implementierung des RANKINschen Algorithmus

Schritt 1: Initialisierung:R(0) = F und Festlegung von imax

Schritt 2: Iterationsschleife zur Berechnung von R:for i := 1 to imax do

R(i) = 12

((

R(i))−T

+ R(i))

end forSchritt 3: Approximation von R:

R = R(i)

Tab. G.12: Implementierung des HIGHAMschen Algorithmus I

303

Schritt 1: Initialisierung:U(1) = F und Festlegung von imax, TOL, i = 1

Schritt 2: Iterationsschleife zur Berechnung von U:do

Speichern: Uvor = U(i)

H(i)II =

∥∥∥(U(i))

−1∥∥∥

1

∥∥∥(U(i))

−1∥∥∥

∞

‖(U(i))‖1‖(U(i))‖

∞

14

U(i) =1

2

(

1

H(i)II

(

U(i))−T

+H(i)II U(i)

)

NORM1 =∥∥∥U(i) − Uvor

∥∥∥

1

NORM2 =∥∥∥U(i)

∥∥∥

1

i = i+ 1while (NORM1 > TOL ∗NORM2 or i < imax)

end doSchritt 3: Berechnung der Rotationsmatrix:

U = U(i)

R = FU−1

Tab. G.13: Implementierung des HIGHAMschen Algorithmus II

304

Schritt 1: Initialisierung:R(0) = FFestlegung der Iterationsparameter:

imax, TOL, i = 1

Limit = (1 + TOL) ∗∥∥∥

√3∥∥∥

Berechnung der F-Norm für i = 0:

F 0 =∥∥∥∥

(

R(0))-T∥∥∥∥

F

Berechnung der F-Norm für i = 1:

H(0)III =

√√√√

∥∥∥(R(0))

−T∥∥∥

F

‖R(0)‖F

R(1) = 12

(

1

H(0)III

(

R(0))−T

+H(0)IIIR

(0))

F (1) =∥∥∥R(1)

∥∥∥

F

Schritt 2: Iterationsschleife zur Berechnung von R:

while(

F (1) > Limit or F (i) < F 0 or i ≤ imax

)

F 0 = F (i)

H(i)III =

√√√√

∥∥∥(R(i))−T

∥∥∥

F

‖R(i)‖F

R(i) = 12

(

1

H(i)III

(

R(i))−T

+H(i)IIIR(i)

)

F (i) =∥∥∥R(i)

∥∥∥

F

i = i+ 1end while

Schritt 3: Approximation der Rotationsmatrix:R = R(i)

Tab. G.14: Implementierung des HIGHAMschen Algorithmus III

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Neue MKS-FEM-Methode zur direkten Integration ... · ders meiner Frau Van Anh, meinen lieben...

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