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Nat ü rliche Zahlen

Date post:09-Jan-2016
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1, 2, 3,. Nat ü rliche Zahlen. PaedDr. Ján Gunčaga , PhD. Lehrstuhl f ü r Mathematik und Physik Pädagogische Fakultät Katholische Universität in Ružomberok Slowakei [email protected] 1, 2, 3,. Relationen. - PowerPoint PPT Presentation
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  • Natrliche ZahlenPaedDr. Jn Gunaga, PhD. Lehrstuhl fr Mathematik und Physik Pdagogische Fakultt Katholische Universitt in Ruomberok Slowakei [email protected]

  • RelationenBeispiel. Ich bereite mich auf das Abitur vor. Dazu mache ich diesen Plan:M-Mathematik, P-Physik, E-Englisch, D-Deutsch,

    M G-Geschichte. P E

    D G

    Mo Di Mi Do Fr

  • RelationenMenge T = {Mo, Di, Mi, Do, Fr}Menge F = {M, P, E, D, G}Relation R = {[Mo, E], [Mo, M], [Di, P], [Mi,D], [Do, G], [Do, P], [Fr, D], [Fr, M]} (die geordnete Paare)

    Relation ist jede Teilmenge des Kreuzproduktes der beiden Mengen (R TF).

  • Abbildungen

    A B

    f

    verboten

  • AbbildungenEine Relation f nennen wir die Abbildung f: A B, wenn jedes Element xA genau ein Element yB zum Partner hat. Wir schreiben statt [x, y] f y = f(x).

    R reelle Zahlen

    Im Fall, wenn A R und B = R, die Abbildung f ist die Funktion.

  • Abbildungen

    A B

    f

    Surjektion

  • Abbildungen

    A C

    g

    Injektion

  • Abbildungen

    A D

    h

    Bijektion

    Die Mengen A und D sind quivalent, A D.

  • Natrliche Zahlen wie KardinalzahlenS - das MengensystemKardinalzahl A= {X S ; X A} A= D Natrliche Zahlen sind Kardinalzahlen von allen Mengen, die endlich und nicht leer sind.

    2 a 1 b 2

  • Natrliche Zahlen wie KardinalzahlenOperationen und Anordnungen

    Wenn A B= (Durchschnitt), dann A+B= A B(Vereinigung).

    Die Kardinalzahl des Kreuzproduktes ist gleich dem Produkt der Kardinalzahlen von A und B: A.B= A B

    Wenn A B* und B* B, B* B (eigene Teilmenge), dann A B.

  • Natrliche Zahlen als Peano - MengeDas Mnnchen von Giuseppe Peano1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ein Modell fr Peano Axiome

  • Das Mnnchen von Giuseppe Peano1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

  • Das Mnnchen von Giuseppe Peano1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Mnnchen lebt an einer Zahlengerade von den natrlichen Zahlen. Es kann nur auf den natrlichen Zahlen vorwrts gehen. Es kann einen Schritt nur zur nchsten natrlichen Zahl machen.

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Mnnchen kann immer einen Schritt vorwrts von einer natrlichen Zahl zur nchsten natrlichen Zahl machen.

    Axiom Nr. 1: Jede natrliche Zahl a hat genau einen (mindestens und hchstens einen) Nachfolger a in der Menge von natrlichen Zahlen.

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Mnnchen kann keinen Schritt vorwrts von einer natrlichen Zahl zur natrlichen Zahl 1 machen.

    Axiom Nr. 2: 1 kann kein Nachfolger fr eine natrliche Zahl sein (1 ist also die kleinste natrliche Zahl).

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 Mnnchen stehen auf zwei verschiedenen natrlichen Zahlen.Sie machen einen Schritt vorwrts. 2 Mnnchen stehen wieder auf zwei verschiedenen natrlichen Zahlen.Axiom Nr. 3: Zwei verschiedene natrliche Zahlen haben auch verschiedene Nachfolger.

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Mnnchen hat einen Topf mit roter Farbe vor sich. Es steht auf einer natrlichen Zahl.Es malt diese natrliche Zahl rot an.Es macht einen Schritt vorwrts und es steht auf einer natrlichen Zahl.Es malt diese natrliche Zahl auch rot an.

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Mnnchen steht auf der natrlichen Zahl 1. Es malt diese natrliche Zahl an.Regel fr Mahlen

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Mnnchen steht auf der natrlichen Zahl 1. Es malt diese natrliche Zahl an.2. Wenn es auf einer natrlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwrts. Es steht auf einer natrlichen Zahl und es malt diese natrliche Zahl an.Regel fr Mahlen

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Mnnchen steht auf der natrlichen Zahl 1. Es malt diese natrliche Zahl an.2. Wenn es auf einer natrlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwrts. Es steht auf einer natrlichen Zahl und es malt diese natrliche Zahl an.Regel fr Mahlen

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Mnnchen steht auf der natrlichen Zahl 1. Es malt diese natrliche Zahl an.2. Wenn es auf einer natrlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwrts. Es steht auf einer natrlichen Zahl und es malt diese natrliche Zahl an.Regel fr Mahlen

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Mnnchen steht auf der natrlichen Zahl 1. Es malt diese natrliche Zahl an.2. Wenn es auf einer natrlichen Zahl steht, es macht einen Schritt vorwrts. Es steht auf einer natrlichen Zahl und es malt diese natrliche Zahl an.Regel fr Mahlen

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Mnnchen steht auf der natrlichen Zahl 1. Es malt diese natrliche Zahl an.2. Wenn es auf einer natrlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwrts. Es steht auf einer natrlichen Zahl und es malt diese natrliche Zahl an.Regel fr Mahlen

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Mnnchen steht auf der natrlichen Zahl 1. Es malt diese natrliche Zahl an.2. Wenn es auf einer natrlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwrts. Es steht auf einer natrlichen Zahl und es malt diese natrliche Zahl an.Regel fr Mahlen

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Mnnchen steht auf der natrlichen Zahl 1. Es malt diese natrliche Zahl an.2. Wenn es auf einer natrlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwrts. Es steht auf einer natrlichen Zahl und es malt diese natrliche Zahl an.Regel fr Mahlen

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Mnnchen steht auf der natrlichen Zahl 1. Es malt diese natrliche Zahl an.2. Wenn es auf einer natrlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwrts. Es steht auf einer natrlichen Zahl und es malt diese natrliche Zahl an.Regel fr Mahlen

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Mnnchen steht auf der natrlichen Zahl 1. Es malt diese natrliche Zahl an.2. Wenn es auf einer natrlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwrts. Es steht auf einer natrlichen Zahl und es malt diese natrliche Zahl an.Regel fr Mahlen

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Axiom Nr. 4: Eine Menge M natrlicher Zahlen, Das Beweisprinzip der vollstndigen Induktion

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Axiom Nr. 4: Eine Menge M natrlicher Zahlen, Das Beweisprinzip der vollstndigen Induktion

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Axiom Nr. 4: Eine Menge M natrlicher Zahlen, die die 1 enthlt

    Das Beweisprinzip der vollstndigen Induktion

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Axiom Nr. 4: Eine Menge M natrlicher Zahlen, die die 1 enthlt;

    Das Beweisprinzip der vollstndigen Induktiona

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Axiom Nr. 4: Eine Menge M natrlicher Zahlen, die die 1 enthlt; es gilt fr jede Zahl: aus aM

    Das Beweisprinzip der vollstndigen Induktiona

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Axiom Nr. 4: Eine Menge M natrlicher Zahlen, die die 1 enthlt; es gilt fr jede Zahl: aus aM

    Das Beweisprinzip der vollstndigen Induktiona a

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Axiom Nr. 4: Eine Menge M natrlicher Zahlen, die die 1 enthlt; es gilt fr jede Zahl: aus aM folgt aM;

    Das Beweisprinzip der vollstndigen Induktiona a

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Axiom Nr. 4: Eine Menge M natrlicher Zahlen, die die 1 enthlt; es gilt fr jede Zahl: aus aM folgt aM; Das Beweisprinzip der vollstndigen Induktion a a

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Axiom Nr. 4: Eine Menge M natrlicher Zahlen, die die 1 enthlt; es gilt fr jede Zahl: aus aM folgt aM; Das Beweisprinzip der vollstndigen Induktion a a

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Axiom Nr. 4: Eine Menge M natrlicher Zahlen, die die 1 enthlt; es gilt fr jede Zahl: aus aM folgt aM; Das Beweisprinzip der vollstndigen Induktion a a

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Axiom Nr. 4: Eine Menge M natrlicher Zahlen, die die 1 enthlt; es gilt fr jede Zahl: aus aM folgt aM; Das Beweisprinzip der vollstndigen Induktion a a

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Axiom Nr. 4: Eine Menge M natrlicher Zahlen, die die 1 enthlt; es gilt fr jede Zahl: aus aM folgt aM; Das Beweisprinzip der vollstndigen Induktion a a

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Axiom Nr. 4: Eine Menge M natrlicher Zahlen, die die 1 enthlt; es gilt fr jede Zahl: aus aM folgt aM; Das Beweisprinzip der vollstndigen Induktion a a

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Axiom Nr. 4: Eine Menge M natrlicher Zahlen, die die 1 enthlt; es gilt fr jede Zahl: aus aM folgt aM; Das Beweisprinzip der vollstndigen Induktion a a

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Axiom Nr. 4: Eine Menge M natrlicher Zahlen, die die 1 enthlt; es gilt fr jede Zahl: aus aM folgt aM; Das Beweisprinzip der vollstndigen Induktion a a

  • Regel fr das Mnnchen und Peano - Axiome1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Axiom Nr. 4: Eine Menge M natrlicher Zahlen, die die 1 enthlt; es gilt fr jede Zahl: aus aM folgt aM; M ist die Menge N selbst (M=N). Das Beweisprinzip der vollstndigen Induktion a a

  • Natrliche Zahlen als Peano - MengeAddition: a) x + 1 = xb) x + y = (x + y)Wenn fr die natrlichen Zahlen a, b gilt: b = a +x und x ist eine natrliche Zahl, dann gilt auch: a b. Operationen und AnordnungenMultiplikation: a) x . 1 = x b) x . y = x . y + x

  • Danke fr Ihre Aufmerksamkeit!1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Mnnchen ist mde!

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Nat Nat ü ü rliche Zahlen rliche Zahlen PaedDr. Ján Gunčaga PaedDr. Ján Gunčaga , PhD. , PhD. Lehrstuhl f Lehrstuhl f ü ü r Mathematik und r Mathematik und Physik Physik Pädagogische Fakultät Pädagogische Fakultät Katholische Katholische Universität in Ružomberok Universität in Ružomberok Slowakei Slowakei [email protected] [email protected]
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