Multiraten-Systeme

Referenzen

[1] Oppenheim et. al., „Zeitdiskrete Signalverarbeitung“, Pearson, 2004.

[2] Kester, Editor, „Analog-Digital Conversion“, Analog Devices, 2004.

Taktratenänderungen sind in der DSV

manchmal unumgänglich (z.B. wegen verschiedener Normen)

Audio-CD fs = 44.1 kHz, Audio-Studiotechnik fs = 48 kHz

manchmal gewollt (z.B. bei der AD-DA-Umsetzung)

dem Umweg DAC-ADC vorzuziehen

einfacher, weniger Quantisierungsrauschen

DSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 1

Abwärtstastung

nur jeder N-te Sample von x[n] wird in y[m] kopiert

N-fache Ratenreduktion von fos auf fs

einfachste Form der (verlustbehafteten) Datenreduktion

Matlab-Signal-Processing-Toolbox: downsample(x,N)

Downsampling

n

x[n]

N

0 3 6 9m

y[m] = x[m·N]

0 1 2 3

fos fs = fos/N

Ts = N·Tos

DSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 2

Tos

x[n]

y[m]

DezimationDSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 3

Spektrum wird skaliert und quasi zusammengeschoben

Bandbegrenzung vor dem Downsampling !

Dezimation

Kaskadierung digitales Antialiasing-TP-Filter und Downsampler

Matlab-Signal-Processing-Toolbox: decimate(x,N)

default Chebyshev-1-TP 8. Ordnung mit fDB=0.8*(fos/2)/Noder FIR-Filter 30. Ordnung

Nx[n] y[m]digitales Antialiasing-Filter

Dezimator

a osnos

1X(f) X (f n f )

T

a osnos

1Y(f) X (f n f /N)

N T

Ts

fsSkalierung

ADC mit Oversampling

f

f

Tos·IV(f)I

Ts· IY(f)I

fos

fs=fos/N

fTos·IX(f)I

fos

digitales AA-Filter

DSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 4

Verschiebung Antialiasing-Filter vom Analogen ins Digitale

f

Nx[n]

y[m]Antialiasing-Filterxa(t)

TP ADC

einfach!

IXa(f)I

fos

v[n]

Downsampling

Dezimator-FIR-Filter

nur jeder N-te Filterausgangswert muss berechnet werden

Verschiebung Downsampler

N mal „schieben“, 1 mal Rechnen => N mal weniger MAC-Operationen pro Input-Sample!

x[n] Tos

+ y[n]

Tos Tos

b0 b1 b2 b3

DSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 5

N N N N

x[n] Tos

+ y[n]

Tos Tos

b0 b1 b2 b3

N

Upsampling

n

N

0 3 6 9m

x[m]

0 1 2 3

fs fos = N·fs

Ts Tos=Ts/N

sonst 0

mNnfür x[m]y[n]

Aufwärtstastungzwischen je zwei x-Samples werden N-1 Nullen eingefügt

N-fache Ratenerhöhung von fs auf fos

die fehlenden Abtastwerte werden interpoliert

Matlab-Signal-Processing-Toolbox: upsample(x,N)

DSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 6

x[m]

y[n]

Interpolator

X(f))eX(zex[m]ex[m])eY(zY(f) ssosos Tfj2πTmfj2π-

m

TmNfj2π-

m

Tfj2π

Das Spektrum ändert sich nicht beim upsampling!

aber es entstehen N-1 images in der 1. Nyquistzone von Y(f)

=> digitales Anti-Image-Filter (Interpolationsfilter) erforderlich

DSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 7

f

f

Ts·IX(f)I

NTos·IY(f)I

fs

fos

imageimage

1. Nyquistzone

1. Nyquistzone

digitales Anti-Image-Filter(Verstärkung N)

digitales Antiimage-Filter Nx[n] y[n]

n n

xup[n] y[n]

InterpolatorDSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 8

Kaskadierung Upsampler und digitales Anti-Imaging-TP-Filter

Matlab-Signal-Processing-Toolbox: interp(x,N)

xup[n]

Lineare Interpolation

einfacher als Filterung mit gutem Anti-Imaging-TP-Filter (vgl. ZOH!)

Interpolationsfilter H(f) = [sin(NπfTs)/sin(πfTs)]2/N

gute Approximation, wenn Bandbreite X(f) << fs/2

n

h[n] (wenn N=5)

n

y[n]

Tos

Tos

x[1]

FIR-Interpolationsfilter

nur jeder N-te Filtereingangswert xup[n] ist von Null verschieden !

N Subfilter mit je N mal weniger Taps => N mal weniger MACs !

Beispiel: FIR-Interpolator mit 4 Taps und N=2

x[m] Ts

b0 b2

y[n]++

b1 b3

Direkt-struktur

DSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 9

x[m] Tos

+ y[n]

Tos Tos

b0 b1 b2 b3

Poly-phasen-struktur 2

2+

Tos

Verschachtelung(mit fos)

2

0 x[m] 0 x[m-1]x[m] 0 x[m-1] 0

b1·x[m] + b3·x[m-1]b0·x[m] + b2·x[m-1]

DAC mit OversamplingDSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 10

f

f

IXa(f)I

Ts· IX(f)I fs

fTos·IXupi(f)I

fos

digitales AI-Filter

Verschiebung Antiimaging-Filter vom Analogen ins Digitale

Nx[n] xa(t)Antiimaging-Filter TP DAC(ideal)

einfach!fos

xupi[n]

fos

analoges Post-Filter

fNTos·IXup(f)I

fs fos

xup[n]

Verstärkung N

Matlab-Beispiele

Dezimation Audiosignal von 48 kHz auf 8 kHz

[x,fs,bits] = wavread('musical');

sound(x,48000); pause

y=decimate(x,6); % fDB=3200 Hz

sound(y,8000);

Interpolation Audiosignal mit N=5

% Original mit fs=8192 Hzgong=load('gong'); x=gong.y; sound(x,8192);

y=upsample(x,5); sound(y,5*8192); % Images hörbar!

[y,b]=interp(x,5); sound(y,5*8192);

% images nicht mehr hörbar

% b enthält FIR-Interpolationsfilter

DSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 11

Rationale RatenverhältnisseDSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 12

N1

Antiimaging-TP-Filter N2

Antialiasing-TP-Filter

Ratenveränderung N1/N2 = fs2/fs1

Anti-Imaging und Anti-Aliasing-Filter zusammenfassbar

Eckfrequenz fDB = min{ 0.5·fos/N1, 0.5·fos/N2 }

x[n] y[n]

fDB = 0.5·fos/N1 fDB = 0.5·fos/N2

Abtastfrequenz fos

N1 TP-Filter N2x[n] y[n]

fs1 fs2

Sigma-Delta-WandlerDSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 13

Vorteile und Nachteile

low-cost, hohe Auflösung (bis 24 Bit), low power

limitierte Bandbreite (z.B. Audio bis 96 kSps)

Einfache Basiselemente (komplexe Mathematik)

Oversampling wegen Process Gain beim SNR

Zusatznutzen: einfache analoge Anti-Aliasing-/Anti-Imaging-Filter

Shaping des Quantisierungsrauschens im Spektrum

Dezimation bzw. digitale Filterung und Downsampling

DAC: Interpolation bzw. Upsampling und digitale Filterung

Quantisierung (zur Erinnerung)

sin-Vollaussteuerung N-Bit ADC: SNRsin [dB] = 6·N + 1.76

Effective Number Of Bits: ENOB = (SNReffektiv [dB] -1.76) / 6

SNReffektiv > SNRsin bzw. ENOB grösser (höhere Auflösung),wenn Quantisierungsrauschleistung verkleinert werden kann !

Funktionsprinzip Sigma-Delta-ADCDSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 14

[2]

Rauschleistung = q2/12

(rms-Wert)

Q-Rauschleistungsdichte K mal kleiner

K-faches Oversampling

Blockdiagramm Sigma-Delta-ADCDSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 15

[2]

Wellenformen Sigma-Delta-ModulatorDSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 16

[2]

4/8 oder binär 100

6/8 oder binär 110

Frequenzanalyse Sigma-Delta-ModulatorDSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 17

[2]

Noise Shaping Sigma-Delta-ModulatorDSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 18

[2]

Sigma-Delta-ADC 2. OrdnungDSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 19

[2]

SNR-Performance Sigma-Delta-ADCDSV 1, 2005/01, Rur, Multirate, 20

Beispiel AD1871 24-Bit, 96 kSps Sigma-Delta-ADC

Second Order Multi-Bit Converter, 128-/64-faches Oversampling