Mondbahn

Bahn desMondes, angenähert als Ellipse. DerMond ist in Erdnä-he (rechts) eingezeichnet. Mond und Erde kreisen beide um denErde-Mond-Schwerpunkt, der sich in einem der beiden Brenn-punkte (rot) der Ellipse befindet.

Als Mondbahn wird die annähernd elliptischeUmlaufbahn des Mondes um die Erde bezeichnet.Da der Mond nicht nur der Anziehungskraft der Erde,sondern gleichzeitig auch derjenigen der Sonne undder übrigen Planeten ausgesetzt ist, weicht seine Bahnmerklich von einer reinen Keplerellipse ab. Ihre ge-naue Berechnung ist eine komplizierte Aufgabe, derenLösung Gegenstand der Mondtheorie als Teil derHimmelsmechanik ist. Sie gab den Anstoß zu zahlrei-chen bedeutenden physikalischen und mathematischenEntwicklungen.

1 Bahngeometrie

Die Mondbahn kann näherungsweise als eine Keplerel-lipse betrachtet werden. Aufgrund der Störungen, welchehauptsächlich von der Anziehungskraft der Sonne verur-sacht werden, verändert diese Ellipse jedoch in komple-xer Weise sowohl ihre Form als auch ihre Lage im Raum.

1.1 Form

Im Mittel stellt die Mondbahn eine Ellipse mit ei-ner großen Halbachse von ca. 383 398 km und ei-ner Exzentrizität von ca. 0,0555 dar. Dies entspräche

einem Perigäumsabstand von 362 102 km und einemApogäumsabstand von 404 694 km von der Erde. Auf-grund der erwähnten Störungen schwanken jedoch so-wohl die große Halbachse als auch die Exzentrizität (→Bahnstörungen), so dass auch größere und kleinere Ex-tremalabstände möglich sind. Für Näheres siehe den Ab-schnitt Erdabstand.Der Mond bewegt sich auf dieser Bahn rechtläufig, al-so vom Nordpol der Ekliptik aus gesehen entgegen demUhrzeigersinn, und für einen irdischen Beobachter vonWest nach Ost (nicht zu verwechseln mit der durchdie Erdrotation verursachten scheinbaren täglichen Bewe-gung, welche ihn von Ost nach West über den Himmelträgt). Seine mittlere Bahngeschwindigkeit beträgt 1,023km/s, sie schwankt – wie es das Zweite Keplersche Ge-setz für die Ellipsenbahn verlangt – zwischen 0,964 km/sund 1,076 km/s.[7]

Der Mond wandert auf seiner Umlaufbahn nicht exaktum den Erdmittelpunkt, sondern um das Baryzentrum,den gemeinsamen Schwerpunkt des Erde-Mond-Systems. Dieser Schwerpunkt liegt – wie es das ErsteKeplersche Gesetz verlangt – in einem der beidenBrennpunkte der Bahnellipse. Da die Mondmasse etwa1 / 81,3[7] der Erdmasse beträgt, liegt das Baryzentrumdem Massenverhältnis entsprechend im Mittel 384 400km / 82,3 ≈ 4670 km vom Erdmittelpunkt entfernt –also nur etwa 1 700 km tief im Erdmantel. Die Erdeläuft somit einmal im Monat in einem mittleren Abstandvon 4 670 km um das Baryzentrum. Erdmittelpunkt,Baryzentrum und Mondmittelpunkt liegen dabei stetsauf einer gemeinsamen Linie und in einer gemeinsamenEbene, der Mondbahnebene. Da diese um gut 5° gegendie Ekliptikebene geneigt ist, läuft der Erdmittelpunktzeitweise ein wenig oberhalb und zeitweise ein wenig un-terhalb der durch den Lauf des Baryzentrums definiertenEkliptikebene um die Sonne. Die ekliptikale Breite derErde (d. h. die von der Sonne aus gesehene Abweichungvon der Ekliptikebene) kann bis zu 0,7″ betragen.

1.2 Lage

Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene derErde (die Ekliptikebene) im Mittel um ca. 5,2° geneigt.Die Neigung schwankt allerdings mit einer Periode von173 Tagen (ein halbes Finsternisjahr) um etwa ±0,15° umdiesen mittleren Wert (→ Bahnstörungen).Die Schnittlinie von Erd- und Mondbahnebene (dieKnotenlinie) steht nicht mit fixer Ausrichtung im Raum,

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2 1 BAHNGEOMETRIE

Inklinationi

Ekliptik

Mondbahn

Aufsteigender Knoten

Erde

Absteigender Knoten

Die Knoten der Mondbahn (Neigung ist übertrieben dargestellt)

wie es bei Abwesenheit von Störungen der Fall wäre,sondern vollführt aufgrund der Störeinflüsse einmal in18,61 Jahren eine volle rückläufige Drehung um 360°entlang der Ekliptik (→ Bahnstörungen). Aufgrund die-ser Präzessionsbewegung verläuft die Mondbahn im Lau-fe der Jahre abwechselnd über und unter einem gegebe-nen Ekliptikabschnitt, so dass die Bahn des Mondes übereinen dieser Präzessionszyklen gemittelt mit der Eklipti-kebene zusammenfällt. Dies unterscheidet den Erdmondvon denmeisten anderenMonden, die entweder imMittelin der Äquatorebene ihres Planeten kreisen oder als ein-gefangene Monde sehr starke Bahnneigungen aufweisen(siehe Laplace-Ebene).Auch die Lage der Apsidenlinie, welche die Ausrichtungder Ellipse innerhalb der Bahnebene beschreibt, bleibtnicht konstant, da die Störungen eine Apsidendrehungmit einer Periode von 8,85 Jahren bewirken (→Bahnstörungen). In diesem Zeitraum läuft das Perigäumeinmal rechtläufig um die ganze Bahn.

1.3 Erdabstand

1.3.1 Mittlerer Abstand

Das zeitliche arithmetische Mittel des veränderlichenAbstandes zwischen den Mittelpunkten von Mond undErde beträgt 385 001 km.[8] Dies lässt sich z. B.aus der von Chapront und Chapront-Touzé gegebenenReihenentwicklung des Abstandes ersehen:[8]

d

km = 385000,5584 − 20905,3550 · cos(GM )

− 3699,1109 · cos(2D −GM )

− 2955,9676 · cos(2D)

− 569,9251 · cos(2GM )

± . . .

Bildet man das arithmetische Mittel über diesen Aus-druck, so fallen die Cosinus-Terme fort, und als Mittel-wert bleiben gerundet 385 001 km. (Zur Bedeutung vonGM und D siehe → Fundamentalargumente.)Traditionell werden jedoch 384 400 km angegeben. Die-ser Wert entstammt einer anderen mathematischen For-mulierung. Die Mondtheorie von E. W. Brown gab dieEntfernung nicht unmittelbar in Kilometern, sondern alsHorizontalparallaxe des Mondes an:[8]

π = 0,9507245 + 0,0518128◦ · cos(GM )

+ 0,0095303◦ · cos(2D −GM )

+ 0,0078422◦ · cos(2D)

+ 0,0008571◦ · cos(2D +GM )

± . . .

Bildet man auch hier das arithmetische Mittel, so bleibtebenfalls nur der konstante Term, und die mittlere Mond-parallaxe beträgt 0,950 724 5°. Berechnet man darausden Abstand des Mondes[8]

d′ =6378,14 kmsin(π)

so erhält man 384 399 km, was gerundet dem traditionellgebräuchlichen Wert entspricht.Die beiden Zahlenwerte sind nicht identisch, weil ein-mal über die Entfernung selbst und einmal über derenKehrwert (in Gestalt der Parallaxe) gemittelt wird, sie-he harmonisches Mittel. Aus mathematischer Sicht sindbeide Mittelwertbildungen gleichermaßen legitim.

1.3.2 Extremabstände

Wäre die Mondbahn eine ungestörte Ellipse, so würdeder Mond stets dieselben Perigäums- und Apogäumsab-stände durchlaufen. Da die Exzentrizität der Bahn jedochperiodischen Veränderungen unterliegt, ergeben sich un-terschiedliche Extremabstände, je nachdem, wie genauein Apsidendurchlauf des Mondes mit einer besondersgroßen oder kleinen Exzentrizität zusammenfällt. DieExzentrizität nimmt alle 206 Tage ein Maximum an,wenn die große Halbachse der Mondbahn in Richtungder Sonne zeigt. Dann ist der Perigäumsabstand beson-ders gering und der Apogäumsabstand besonders groß.

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Die Perigäums- und Apogäumsabstände unterliegen starkenSchwankungen.

Steht die große Halbachse im rechten Winkel zur Son-nenrichtung, dann nimmt die Exzentrizität ein Minimuman und die Apsidenabstände sind weniger extrem.[9] Dar-über hinaus sind auch diese Veränderungen der Bahnnicht immer gleich groß und zusätzlich langfristigen Drif-ten unterworfen. Es existiert daher eine komplizierte Ver-teilung von Perigäums- und Apogäumsabständen, ohnedass ein eindeutiger größter oder kleinster Wert angege-ben werden könnte. Je extremer ein Abstand ist, um soseltener tritt er auf, es besteht aber praktisch immer dieMöglichkeit, bei hinreichender Suche einen noch extre-meren Wert zu finden. Verschiedene Autoren nennen da-her auch unterschiedlich gerundete Extremwerte.

Häufigkeitsverteilung der Perigäums- und Apogäumsabstände

Einen vereinfachten Überblick über die Verteilung derauftretenden Abstände gibt die folgende Tabelle:[10]

Wie zu erkennen ist, variieren die Perigäumsabständedeutlich stärker als die Apogäumsabstände.Einzelwerte können auch außerhalb der angegebenen ge-rundeten Grenzen auftreten. Als Rekordwerte im Zeit-raum von 1500 v. Chr. bis 8000 n. Chr. finden sich:[9]

• größter Apogäumsabstand: 406 719,97 km am7. Ja-nuar 2266

• kleinster Perigäumsabstand: 356 352,93 km am 13.November 1054 v. Chr.

Ein besonders geringer Perigäumsabstand wird dann er-reicht, wenn derMond das Perigäum als Vollmond durch-läuft, die Erde sich im Aphel befindet und der Mondgleichzeitig seinen größtmöglichen Abstand von der Ek-liptik (also größte nördliche oder südliche Breite) hat. Einbesonders großer Apogäumsabstand wird erreicht, wennder Mond das Apogäum als Neumond durchläuft, die Er-de sich im Perihel befindet und der Mond seinen größtenEkliptikabstand hat.[11]

2 Bahnperioden

Sonnen- und Mondfinsternisse sind nur möglich, wenn sich derMond (rot) in der Nähe eines Knotendurchgangs befindet (A undC).

Der Mond benötigt im Mittel etwa 27,3 Tage, um die Er-de in Bezug auf den Fixsternhimmel einmal zu umrun-den. Nach diesem siderischen (d. h. auf die Sterne bezo-genen) Monat zieht er von der Erde aus gesehen wiederan demselben Stern vorbei.Während eines solchen Monats wandert die Erde ihrer-seits auf ihrem Sonnenumlauf weiter. Dabei ändert sichauch die Richtung, in welcher die Sonne von der Erde ausgesehen erscheint. Hat der Mond nach Ablauf eines si-derischen Monats seine ursprüngliche Stellung bezüglichder Fixsterne wieder erreicht, so muss er zusätzlich etwa29° zurücklegen, um wieder dieselbe Stellung bezüglichder Sonne und damit auch wieder dieselbe Mondphasezu erreichen. Er braucht dafür im Mittel gut zwei Tage;der synodische Monat, der einem kompletten Durchlaufaller Mondphasen (einer Lunation) entspricht, hat daherim Mittel eine Länge von 29,5 Tagen. Dies ist der mittle-re Zeitabstand, mit dem sich eine Mondphase wiederholt

4 3 CASSINISCHE GESETZE

(z. B. von Vollmond zu Vollmond).Wegen der Apsidendrehung (s. o.) wandern Perigäumund Apogäum die Bahn entlang, und zwar in derselbenRichtung wie der Mond selbst, so dass er nach Absolvie-rung eines siderischen Monats noch ein Stück zurückle-gen muss, um wieder bei derselben Apside anzukommen.Der anomalistische Monat von 27,6 Tagen ist die Zeit-dauer zwischen zwei Durchgängen des Mondes durch dasPerigäum oder Apogäum seiner Bahn und damit die ei-gentliche Bahnperiode (anomalistische Periode) der El-lipsenbahn.Wegen der Präzession der Mondbahnebene (s. o.) wan-dern die Bahnknoten die Ekliptik entlang, und zwar derBewegung des Mondes entgegen, so dass er bereits frü-her zum selben Knoten zurückkehrt als zum selben Stern.Der drakonitische Monat als der Zeitabstand zwischenzwei Durchgängen des Mondes durch denselben Kno-ten hat daher im Mittel eine Länge von nur 27,2 Tagen.Da Mond- und Sonnenfinsternisse nur stattfinden könnenwenn der Mond sich in der Nähe eines Bahnknotens be-findet, liegt zwischen zwei Finsternissen, die den Mondam selben Knoten haben, immer eine ganzzahlige An-zahl von drakonitischen Monaten. Zwischen zwei belie-bigen Finsternissen liegt immer eine ganzzahlige Anzahlvon halben drakonitischen Monaten.Die mittleren Längen der verschiedenen Monatebetragen:[10]

Die genannten Monatslängen sind Mittelwerte. Da dieBewegungen sowohl des Mondes als auch der Erde aufihren elliptischen Bahnen ungleichförmig sind, könneneinzelne Monate mehr oder weniger stark davon ab-weichen. Die Dauer eines gegebenen synodischen Mo-nats kann beispielsweise bis zu etwa 7 Stunden län-ger oder 6 Stunden kürzer sein als der mittlere synodi-sche Monat.[12] Darüber hinaus unterliegen die mittlerenMonatslängen aufgrund langfristiger Veränderungen derErd- und Mondbahn einer langsamen Drift. Die genaueLänge des mittleren synodischen Monats beispielsweiseberechnet sich gemäß[13]

M = 29,5305888531d + 0,00000021621 T −3,64·10−10 T2,

wobei T die seit der Standardepoche J2000.0 verstricheneAnzahl Julianischer Jahrhunderte ist.In einer Zeitspanne von 223 synodischen Monaten ge-hen auch 242 drakonitische Monate fast exakt ganzzahligauf. Nach dieser Zeitspanne kehrt der Mond also sowohlzur selben Mondphase als auch zum selben Knoten zu-rück. Damit wiederholen sich auch die Voraussetzungenfür eine Sonnen- oder Mondfinsternis, und 223 synodi-sche Monate nach einer gegebenen Finsternis ist dahererneut mit einer Finsternis zu rechnen. Diese Zeitspannevon 18 Jahren und 10 1/3 Tagen (bzw. 11 1/3 Tagen jenach Anzahl der enthaltenen Schaltjahre) ist die als Fins-ternisperiode bekannte Saros-Periode. Da in einer Saros-

Periode zudem fast exakt 239 anomalistischeMonate ent-halten sind, hat der Mond auch wieder denselben Erdab-stand und dieselbe von der Anomalie abhängige GroßeUngleichheit (siehe unten), so dass die zweite Finsternissehr ähnlich abläuft wie die erste.

3 Cassinische Gesetze

Animation: die Libration des Mondes, eine Folge seiner Ellipsen-bahn

Die wesentlichen Zusammenhänge zwischen der Eigen-rotation des Mondes und seiner Bahnbewegung wur-den von J. D. Cassini erkannt und im Jahre 1693veröffentlicht:[14]

• Der Mond rotiert gleichmäßig um seine Polachse;seine Rotationsperiode ist identisch mit der mittle-ren siderischen Periode seines Umlaufs um die Erde.

• Die Neigung der Mondachse gegen die Ekliptikbleibt konstant.

• Der absteigende Knoten des Mondäquators auf derEkliptik fällt mit dem aufsteigenden Knoten derMondbahn auf der Ekliptik zusammen und präze-diert gemeinsam mit ihm.

Diese Gesetze beschreiben mehrere Beobachtungstatsa-chen. Ein irdischer Beobachter sieht stets dieselbe Seitedes Mondes. Dieser muss sich daher offenbar in dersel-ben Zeitspanne einmal um sich selbst drehen, in der ereinmal um die Erde läuft; dies ist das Erste CassinischeGesetz. Da die Eigenrotation aus Trägheitsgründen stetsgleichförmig geschehen muss, der Umlauf entlang der el-liptischen Bahn jedoch ungleichförmig verläuft, geratendie beiden während eines Umlaufs zeitweise geringfügigaußer Tritt und kompensieren sich nicht stets exakt. DerMond vollführt daher aus Sicht des Beobachters während

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jedes Umlaufs eine periodische seitliche Drehung um biszu knapp ±8°,[15] die Libration in Länge. Der Beobachterkann einmal etwas mehr vomWestrand und einmal etwasmehr vom Ostrand des Mondes sehen. Diese Librations-bewegung wurde von Hevelius entdeckt.[14]

Auf Hevelius’ Mondkarte sind erstmals die Librationsgebiete ab-gebildet, die nur bei günstiger Librationsstellung sichtbar werden.

Auf Galilei geht die Entdeckung zurück, dass der Monddarüber hinaus auch eine Nickbewegung ausführt, die Li-bration in Breite: er konnte zeitweise mehr vom Nord-rand und zeitweise mehr vom Südrand des Mondes se-hen. Würde die Achse des Mondes senkrecht auf seinerBahnebene stehen, so würde sie dem Beobachter (dersich ja auch praktisch in der Bahnebene befindet) stetsunverändert erscheinen; die Beobachtung erwies also ei-ne Neigung der Mondachse bezüglich der Bahn. Stündedie Achse z. B. senkrecht auf der Ekliptikebene, so wä-re sie um gut 5° gegen die Bahn geneigt und der Beob-achter könnte ein Nicken um gut ±5° sehen; beobach-tet werden aber ca. ±7°, die stets bei maximaler eklip-tikaler Breite des Mondes erreicht werden. Daraus folgt,dass die Mondachse noch zusätzlich geneigt sein muss,in der Form, dass die Nordhalbkugel des Mondes beimErreichen seiner maximalen nördlichen Breite noch et-was weiter von der Erde weggeneigt und bei Erreichender maximalen südlichen Breite noch etwas weiter zurErde hingeneigt ist. Diese Konfiguration wird durch dasDritte Cassinische Gesetz beschrieben. Es lässt sich auchwie folgt ausdrücken: die Senkrechte auf der Mondbahn,die Senkrechte auf der Ekliptik und die Rotationsach-se des Mondes liegen gemeinsam in einer Ebene, wo-bei die Ekliptiksenkrechte zwischen den beiden ande-ren liegt. Da die Mondbahn eine Präzessionsbewegungausführt (→ Drehung der Knotenlinie), die beschriebeneKonfiguration aber – wie die Beobachtung zeigt – erhal-ten bleibt, muss also auch die Rotationsachse des Mon-des eine Präzessionsbewegung in derselben Richtung undmit derselben Geschwindigkeit wie die Mondbahnebeneausführen.[14]

Die Mondbahnebene ist um 5,2° gegen die Ekliptikebene

geneigt und die Äquatorebene des Mondes ist wiederumum 6,7° gegen die Mondbahnebene geneigt, allerdingsin entgegengesetzter Richtung (Drittes Cassinisches Ge-setz). Die Neigungen heben sich daher fast auf, und derMondäquator ist lediglich um 1,5° gegen die Ekliptik ge-neigt. Daher unterliegt die Sonneneinstrahlung auf demMond fast keinen jahreszeitlichen Schwankungen, und anden Mondpolen befindet sich die Sonne stets in der Nähedes Horizonts.Der Mondäquator ist um 6,7° gegen die Mondbahnebe-ne und um 1,5° gegen die Ekliptik geneigt, der Win-kel zwischen Mondbahnebene und Ekliptik variiert aberum ±0,15° (→ Schwankung der Bahnneigung). Nachdem Zweiten Cassinischen Gesetz bleibt die Neigung desMondes bezüglich der Ekliptik konstant, daher variiert dieNeigung des Mondes bezüglich seiner eigenen Bahn um±0,15°.[16]

Wie die theoretische Himmelsmechanik später zeigenkonnte, beschreiben die Cassinischen Gesetze einen dy-namisch stabilen Zustand. Dabei ist die längste Achsedes als dreiachsiges Ellipsoid beschriebenen Mondes (imMittel) stets auf die Erde ausgerichtet. Diese Ausrich-tung entspricht einem Minimum der Gravitationsenergieund bleibt daher stabil. Ein Ellipsoid kann darüber hin-aus nur stabil (ohne zu taumeln) rotieren, wenn es umdie Achse mit dem größten oder dem kleinsten Träg-heitsmoment rotiert. Im Falle des Mondes wird die längs-te Achse (welche das kleinste Trägheitsmoment besitzt)wie eben beschrieben durch die Erde festgehalten, dieRotation des Mondes erfolgt daher um die kürzeste El-lipsoidachse. Diese Rotationsachse kann darüber hinausnicht exakt senkrecht auf der Mondbahnebene stehen,da sonst die Erde in der Äquatorebene des Mondes lä-ge und kein Drehmoment ausüben könnte, welches die imDritten Cassinischen Gesetz beschriebene Präzession derMondachse verursacht. Die Neigung stellt sich (aus en-ergetischen Gründen[17]) so ein, dass die Präzession derMondachse mit derselben Bewegungsrate erfolgt wie diePräzession der Mondbahn.[14]

Aufgrund der erheblichen Bahnstörungen folgt das Erde-Mond-System nicht strikt den empirisch gefundenen Cas-sinischen Gesetzen, sondern führt Schwankungen um dieideale Konfiguration aus. Die Cassinischen Gesetze gel-ten daher nur im Mittel betrachtet.

4 Bahnstörungen

Die Bahn des Mondes lässt sich näherungsweise als ei-ne Keplerellipse beschreiben.Während jedoch eine unge-störte Keplerellipse zweier Punktmassen sowohl ihre Ge-stalt als auch ihre Lage im Raum beibehalten würde, un-terliegt die Mondbahn zahlreichen zusätzlichen Gravita-tionseinflüssen und ändert daher Gestalt und Lage merk-lich. Die hauptsächlichen Störeinflüsse sind die Gravitati-onswirkung der Sonne und der Planeten (vor allem Venus

6 4 BAHNSTÖRUNGEN

und Jupiter) sowie die Abweichung des Erdkörpers vonder Kugelgestalt.

4.1 Fundamentalargumente

Zur Interpretation und Berechnung der im Folgenden er-läuterten Störungen werden die jeweils für den gesuch-ten Zeitpunkt zu bestimmenden „Fundamentalargumen-te“ benötigt, welche die mittlere Position des Mondesund der Sonne bezüglich verschiedener Referenzpunktebeschreiben:[18]

Dabei ist t die Anzahl der seit dem StandardäquinoktiumJ2000.0 verstrichenen Tage: t = JD - 2451545,0.

4.2 Schwankung der großen Halbachse

Schwankungen der großen Halbachse.

Dem Mittelwert 383 397,8 km der großen Halbachseüberlagern sich zahlreiche periodische Schwankungen.Die bedeutendsten sind eine Schwankung um ±3400,4km mit einer Periode von 14,76 Tagen und eine um±635,6 km mit einer Periode von 31,81 Tagen.[19]

Wie die Reihenentwicklung zeigt[2]

a = 383 397,8 km+ 3 400,4 km · cos(2D)

− 635,6 km · cos(2D −GM )

− 235,6 km · cos(GM )

± . . .

nimmt dabei der führende Schwankungsterm den größtenpositiven Wert an, wenn die Elongation D den Wert 0°oder 180° annimmt, also bei Neumond und Vollmond.Die größten negativen Werte dieses Terms ergeben sichim ersten und letzten Viertel (D = 90° oder 270°).

4.3 Schwankung der Exzentrizität

Dem Mittelwert 0,055 546 der Exzentrizität überlagernsich ebenfalls zahlreiche periodische Schwankungen. Die

Schwankungen der Exzentrizität.

bedeutendsten sind eine Schwankung um ±0,014 217 miteiner Periode von 31,81 Tagen und eine Schwankung um±0,008 551 mit einer Periode von 205,9[20] Tagen.[19]

Die Reihenentwicklung[2]

e = 0,055546 + 0,014216 · cos(2D −GM )

− 0,008551 · cos(2D − 2GM )

− 0,001383 · cos(GM )

± . . .

lässt erkennen, dass die Exzentrizität ein Maximum an-nimmt, wenn die große Halbachse der Mondbahn inRichtung der Sonne zeigt (dann ist 2D − 2GM = 0° oder360°, also D = GM oder GM + 180°). Dies geschieht imMittel alle 205,9 Tage (etwas mehr als ein halbes Jahr, dadie Apsidenlinie sich ja gleichzeitig prograd um 0,11140Grad pro Tag bewegt).[20] Sie nimmt ein Minimum an,wenn die große Halbachse senkrecht zur Sonne steht (2D− 2GM = ±180°).Dieser Schwankung überlagern sich starke Schwankun-gen kürzerer Periode (mit Maxima bei 2D − GM = 0°oder 360°, alle 31,8 Tage) sowie eine Vielzahl kleinererSchwankungen.Die Exzentrizität schwankt insgesamt zwischen den Ex-tremwerten 0,026 und 0,077.[20]

4.4 Drehung der Knotenlinie

Die Knotenline steht nicht fix im Raum, sondern bewegtsich rückläufig entlang der Ekliptik. Die Knoten kommendaher dem Mond entgegen, weshalb ein drakonitischerMonat (die Rückkehr zum selben Knoten) kürzer ist alsein siderischer Monat (Rückkehr zum selben Fixstern).Die mittlere Geschwindigkeit dieser Bewegung beträgtin Bezug auf den (selbst beweglichen) Frühlingspunkt19,34° pro Jahr. Für einen vollständigen Umlauf brauchtdie Knotenlinie 18,6 Jahre (genauer 6798,38 Tage; einUmlauf bezüglich der Fixsterne dauert 6793,48 Tage[20]).

4.5 Schwankung der Bahnneigung 7

Bewegung des aufsteigenden Knotens.

Auch dieser Bewegung überlagern sich periodischeSchwankungen. Der größte Schwankungsterm hat eineAmplitude von 1,4979° und eine Periode von 173,31Tagen.[19] Diese Schwankung wurde von Tycho Braheentdeckt.[21] Sie führt dazu, dass die Knotenlinie kurzzei-tig beinahe stillsteht, wenn sie in Richtung Sonne zeigt.[20]

Je nach gegenseitiger Stellung der Knotenlinie der Mond-bahn und der Knotenlinie des Äquators addieren odersubtrahieren sich die Neigungen der Mondbahn auf derEkliptik und die Neigung der Ekliptik auf dem Äqua-tor, so dass der Mond mit einer Periode von 18,6 Jahrenabwechselnd einen Deklinationsbereich von ±28,6° odernur ±18,4° überstreicht.Diese Präzessionsbewegung der Mondbahn hat diesel-be Ursache wie die Präzessionsbewegung der Erdach-se: die Anziehungskraft der Sonne versucht, die geneigteMondbahn in die Ekliptikebene zu ziehen. Der auf die-ser Bahn kreisende Mond reagiert wie ein Kreisel, derauf das äußere Drehmoment mit einem Verschwenkender Mondbahnachse reagiert.Nähert sich der Mond beispielsweise dem absteigendenBahnknoten, so bewirkt die zusätzliche, in Richtung derEkliptikebene wirkende Störkraft, dass der Mond sichder Ekliptik schneller annähert, als es ohne Störkraft derFall gewesen wäre. Der Mond durchstößt die Ekliptik da-her früher und in einem steileren Winkel. Die Störkrafthat also die Knotenlinie dem Mond entgegengeschobenund die Bahnneigung vergrößert. Da die Knotenlinie je-des Mal in derselben Richtung verschoben wird, resul-tiert ein beständiger Umlauf der Knoten entlang der Ek-liptik. Die kurzzeitig vergrößerte Bahnneigung hingegenwird nach Durchlaufen des Knotens wieder verringert.Die Störkraft vermindert nun die Geschwindigkeit, mitwelcher der Mond sich von der Ekliptik entfernt, so dassseine Bahn wieder flacher wird. Die Bahnneigung erfährtdaher nur eine regelmäßige Schwankung und ändert sichnicht wie die Knotenlinie beständig im selben Sinne.[22]

Schwankung der Bahnneigung.

4.5 Schwankung der Bahnneigung

Die Bahnneigung schwankt etwa ±0,15° um ihren Mittel-wert. Die dominierende Schwankung hat eine Amplitudevon 0,14° und eine Periode von 173,3 Tagen.[19]

Der Reihenentwicklung[2]

i = 5,15668983◦ + 0,13507◦ · cos(2D − 2F )

± . . .

lässt sich entnehmen, dass die Neigung ein Maximum an-nimmt, wenn die Knotenlinie der Mondbahn in Richtungder Sonne zeigt (dann ist 2D − 2F = 0° oder 360°, alsoD =F oder F + 180°). Dies geschieht imMittel alle 173,3 Ta-ge (etwas weniger als ein halbes Jahr, da die Knotenliniesich ja gleichzeitig retrograd um 0,05295 Grad pro Tagbewegt). Auch dieser Schwankung sind kleinere Schwan-kungen überlagert, welche in den Minima der Neigungausgeprägter auftreten.[20]

Die Bahnneigung schwankt, weil die Anziehungskraft derSonne versucht, den Neigungswinkel zu verringern, in-dem sie den Mond in die Ekliptikebene zieht. Die Wir-kung der Sonne ist maximal, wenn der Öffnungswin-kel zwischen Ekliptik und Mondbahn in Richtung Sonnezeigt, die Knotenlinie also quer zur Sonnenrichtung steht.Sie ist Null, wenn die Knotenlinie in Richtung der Son-ne zeigt; dann nimmt die Neigung wieder größere Wer-te an.[11] Die Periode von 173,3 Tagen ist daher geradeein halbes Finsternisjahr und die Bahnneigung ist stetsdann maximal, wenn die Sonne in der Nähe eines Kno-tens steht, insbesondere also bei Finsternissen.Die Schwankung der Bahnneigung wurde von Tycho Bra-he entdeckt, der sie – nach bereits früher erfolgten An-deutungen – in einem Brief von 1599 erstmals definitivbeschrieb.[23]

4.6 Drehung der Apsidenlinie

Auch die Apsidenlinie steht nicht fix im Raum; sie be-wegt sich rechtläufig entlang der Mondbahn. Die Apsiden

8 4 BAHNSTÖRUNGEN

Bewegung des Perigäums

Drehung der Apsidenlinie

bewegen sich daher in derselben Richtung wie der Mond,weshalb ein anomalistischer Monat (Rückkehr zur selbenApside) länger ist als ein siderischer Monat (Rückkehrzum selben Fixstern).Die mittlere Geschwindigkeit der Apsidendrehung be-trägt in Bezug auf den Frühlingspunkt 40,7 Grad pro Jahr.Für einen vollständigen Umlauf brauchen die Apsiden 8,8Jahre (genauer 3231,50 Tage; ein Umlauf bezüglich derFixsterne dauert 3232,61 Tage[20])Die größten Terme der überlagerten Schwankungen ha-ben eine Amplitude von 15,448° bei einer Periodevon 31,81 Tagen bzw. 9,462° bei einer Periode von205,9 Tagen.[19]. Im Zuge dieser Schwankungen kannsich das Pergäum bis zu 30° von seiner mittleren Lageentfernen.[20]

Die periodischen Geschwindigkeits- und Abstandsände-rungen des Mondes beim Durchlaufen seiner elliptischenBahn werden durch die veränderlichen Tangential- undZentripetalkomponenten der auf den Mond wirkendenErdanziehungskraft bewirkt. Die Störungen veränderndiese Kraftkomponenten. Insbesondere verstärken und

schwächen sie abwechselnd die Zentripetalkräfte, wo-bei die Schwächung jedoch überwiegt, wie eine genaue-re Betrachtung zeigt. Die Beschleunigung des Mondes inRichtung Erde wird dadurch vermindert, und nach ei-nem vom Perihel ausgehenden Bahndurchlauf hat sichder Mond der Erde nicht wieder so weit genähert, wiees ohne Störungen der Fall gewesen wäre. Der Mondbraucht ein wenig länger, um wieder ein Perihel zu er-reichen; das Perihel und damit die gesamte Apsidenliniehat sich also in Richtung der Mondbewegung entlang derBahn verschoben.[24]

4.7 Störungen in ekliptikaler Länge

Soll die Position des Mondes entlang der Ekliptik (sei-ne ekliptikale Länge λ) unter Berücksichtigung derStöreinflüsse berechnet werden, so liefert die moder-ne Störungstheorie einen umfangreichen Satz von Kor-rekturtermen, welcher – zur gleichförmig anwachsen-den mittleren Länge LM addiert – die korrekte Positi-on ergibt. Die führenden Terme einer solchen Rechnunglauten:[25]

λ = LM + 6,289◦ · sin(GM ) Ungleichheit) (Große 1) (− 1,274◦ · sin(GM − 2D) (Evektion) 2) (+ 0,658◦ · sin(2D) (Variation) 3) (+ 0,214◦ · sin(2GM ) 4) (− 0,186◦ · sin(GS) Gleichung) (Jährliche 5) (− 0,114◦ · sin(2FM ) Ekliptik) die auf (Reduktion 6) (− 0,059◦ · sin(2GM − 2D) 7) (− 0,057◦ · sin(GM − 2D +GS) 8) (+ 0,053◦ · sin(GM + 2D) 9) (+ 0,046◦ · sin(2D −GS) (10)+ 0,041◦ · sin(GM −GS) (11)− 0,035◦ · sin(D) Gleichung) (Parallaktische (12)− 0,031◦ · sin(GM +GS) (13)− 0,015◦ · sin(2FM − 2D) (14)± . . .

+ Akzeleration säkulare

Ähnliche Reihenentwicklungen gibt es auch für dieekliptikale Breite und den Bahnradius des Mondes.Da der Mond schon sehr früh die Aufmerksamkeit dermessenden und rechnenden Astronomie auf sich zog, sindeinige der größten Störterme schon seit langer Zeit be-kannt und haben sogar eigene Namen.

„Die Entdeckung und klare Unterschei-dung all jener Störungen der Mondbahn, dieinnerhalb der Genauigkeitsgrenzen einer Beob-achtung mit bloßem Auge liegen, muss unterdie bemerkenswertesten Errungenschaften frü-her Wissenschaft gezählt werden. So war die

4.7 Störungen in ekliptikaler Länge 9

Grundlage bereitet, auf welcher Newtons Dy-namik aufbauen konnte, um ein vereinigendesErklärungsprinzip für ein Vielzahl scheinbarunzusammenhängender Effekte aufzudecken.“

– O. Neugebauer: A History of Ancient MathematicalAstronomy[26]

4.7.1 Große Ungleichheit

Bei diesem Term handelt es sich nicht um eine Störungim eigentlichen Sinne, sondern lediglich um die Berück-sichtigung der infolge der Bahnelliptizität ungleichförmi-gen Geschwindigkeit. Der Mond läuft in Perigäumsnäheschneller und in Apogäumsnähe langsamer als im Mittel.Bei einer mittleren Anomalie GM von ca. 90° oder 270°hat er daher jeweils seine maximale Abweichung von dermittleren Position erreicht.Neben dem genannten führenden Term finden sich inder Störungsreihe auch die restlichen Terme der Mittel-punktsgleichung

ν−GM =

(2e · sin(GM ) +

5

4e2 · sin(2GM ) + . . .

)180

π

welche für eine Bahn der Exzentrizität e die Differenzzwischen wahrer Anomalie ν undmittlerer AnomalieGMbeschreibt (und damit eine Lösung des Keplerproblemsdarstellt). Term 4 der obigen Störungsreihe ist der nächst-folgende Term der Mittelpunktsgleichung. Die historischgebräuchlichen Ausdrücke „Ungleichheit“ bzw. „Glei-chung“ sind im Sinne von „Korrektur“ zu verstehen.Insgesamt kann der Mond aufgrund der Mittelpunktsglei-chung um ±6,2922°[10] von der Position eines fiktivengleichmäßig laufenden Mondes abweichen. Diese erheb-liche Abweichung war bereits den antiken Astronomenbekannt. Die Babylonier beschrieben sie durch arithme-tische Reihen, die griechischen Astronomen durch einengeeignet gewählten Epizykel.

4.7.2 Evektion

→ Hauptartikel: Evektion

Die periodischen Störungen der Exzentrizität und der La-ge des Perigäums verformen die Bahn[27] dergestalt, dassder Mond – der verformten Bahn folgend – abwechselndder mittleren Position vorangeht oder nacheilt.Stehen Sonne, Erde und Mond in einer Linie (S–E–Moder S–M–E, Vollmond oder Neumond) so zieht die Son-ne im ersten Fall die Erde stärker an als denMond und imzweiten Fall denMond stärker als die Erde. In beiden Fäl-len wird dadurch der Abstand zwischen Erde und Mondvergrößert und – nach dem Dritten Keplerschen Gesetz –

die Geschwindigkeit des Mondes vermindert. Stehen Er-de und Mond so, dass ihre Verbindungslinie senkrechtzur Sonnenrichtung liegt (Erstes oder Letztes Viertel), sowerden beide zwar gleich stark von der Sonne angezogen,aber die Richtungen, in die sie gezogen werden, sind nichtexakt parallel, sie konvergieren zur Sonne hin. Es resul-tiert daher eine Anziehungskomponente, welche Mondund Erde aneinander annähert, wodurch die Geschwin-digkeit des Mondes – wiederum nach dem Dritten Kep-lerschen Gesetz – zunimmt.[28] Die größte Distanz zurungestörten Position in der Bahn ist immer dann erreicht,wenn die eben beschriebene Geschwindigkeitsvariationdas Vorzeichen wechselt und beginnt, im entgegengesetz-ten Sinne zu wirken. Dem eben beschriebenen Vorgangüberlagert sich noch eine von der Exzentrizität der Mond-bahn verursachte Geschwindigkeitsschwankung, so dassinsgesamt ein komplizierter Verlauf der Störung resul-tiert.In den Syzygien (2D = 0° oder 360°) reduziert der Stör-term sich auf −1,274°·sin(GM). Die Evektion fällt alsonegativ aus, wenn der Mond zu diesem Zeitpunkt zwi-schen Perigäum und Apogäum steht (0 <GM < 180°) undpositiv, wenn der Mond zwischen Apogäum und Peri-gäum steht (180° < GM < 360°). In den Quadraturen (2D= ±180°) herrschen die umgekehrten Verhältnisse.[29]

In den Zwischenpositionen des Mondes ist der Verlaufder Evektion komplizierter, aber sie wird stets Null, wenndie Sonne sich in der Mitte zwischen demMond und demPerigäum befindet (D = ½GM), oder von diesem Punkt90° oder 180° entfernt ist.[29] Ihre Maximalwerte von±1,274° erreicht die Evektion mit einer Periode von 31,8Tagen.[10]

Entdeckt wurde die Evektion von Ptolemäus, nach-dem offenbar schon Hipparch Anzeichen für Abwei-chungen vom einfachen Epizykelmodell festgestellt hat-te. Es gelang Ptolemäus, ein Muster in den gemesse-nen Abweichungen zu erkennen und durch Einführungeines Kurbelmechanismus auch in seine Epizykeltheorieaufzunehmen[30].

4.7.3 Variation

→ Hauptartikel: Variation (Astronomie)

Die Variation hängt nur von der Elongation D des Mon-des ab, also von seinem Winkelabstand zur Sonne unddamit indirekt von den Mondphasen. Sie verschwindet,wenn die Elongation 0°, 90°, 180° oder 270° beträgt, al-so bei Neumond, Vollmond und den beiden Halbmonden.Ihre Maximalwerte von ±0,658°[10] erreicht sie zwischendiesen Bahnpunkten, also in den so genannten Oktanten(45°, 135°, 225°, 315°). Sie variiert daher mit einer Pe-riode von einem halben synodischen Monat.Die Ursache der Variation liegt darin, dass in den Ok-tanten der Winkel, den die Verbindungslinie Erde–Mond

10 4 BAHNSTÖRUNGEN

zur Wirkungslinie von der Sonne zu Erde und Mond ein-nimmt, nicht wie bei der Evektion ein ganzzahliges Viel-faches von 90° ist, sondern eine ‚schräge‘ Komponenteenthält, welche anstelle eines Annäherns oder Entfernensein Vor- und Rückwärtsschieben des Mondes bezüglichseiner ungestörten Position bewirkt.[31]

Die Größe der Variation hätte den antiken Astronomendurchaus erlaubt, sie zu entdecken; die Griechen benutz-ten jedoch hauptsächlich Finsternisse für Bahnbestim-mungen des Mondes, wo die Variation Null wird undnicht zu bemerken ist.[32] Sie wurde von Tycho Braheentdeckt und erstmals 1595 in einem Brief an Hageciuserwähnt.[33]

4.7.4 Jährliche Gleichung

Die Jährliche Gleichung führt dazu, dass sich der Mondetwas langsamer bewegt, wenn das Erde-Mond-Systemsich in Sonnennähe befindet (in der perihel-seitigen Hälf-te der Erdbahn, gegenwärtig also im Winter) und et-was schneller in der aphel-seitigen Hälfte (also wäh-rend des Sommers). Sie unterliegt einer Periode von ei-nem anomalistischen Jahr und erreicht Maximalwertevon ±0,1864°.[10]

Die Jährliche Gleichung wird durch die Exzentrizitätder Erdbahn verursacht. Befindet sich das Erde-Mond-System in Sonnenferne, so ist die Anziehungskraft derSonne im Verhältnis zur Anziehungskraft der Erde etwasgeringer, und der Mond wird weniger weit durch die Son-ne von der Erde weggezerrt. Er ist in dieser Situation derErde also etwas näher und läuft daher schneller. Im Peri-hel dagegen wirkt die Anziehungskraft der Sonne stärker,der Mond wird weiter von der Erde weggezerrt und be-wegt sich langsamer. Im Herbst läuft der Mond also sei-ner mittleren Position etwas voraus, im Frühling bleibt eretwas zurück. Damit ist auch eine Schwankung der Um-laufzeiten von ±10 Minuten verbunden.[11]

Entdeckt wurde die Jährliche Gleichung unabhängig von-einander durch Kepler und Brahe.[34]

4.7.5 Reduktion auf die Ekliptik

Die Reduktion auf die Ekliptik ist wiederum keine Stö-rung im eigentlichen Sinne. Sie dient der Berücksich-tigung des Umstands, dass die Ebene, in der sich derMond bewegt und entlang welcher daher die Bahnkoor-dinate gezählt wird, gegen die Ekliptikebene geneigt ist,entlang welcher die ekliptikale Länge gezählt wird. Diedeshalb erforderliche Umrechnung der Bahnkoordinatein die Ekliptikkoordinate kann durch eine Koordinaten-transformation oder – wie hier – durch eine Reihenent-wicklung geschehen.Die Größe der Reduktion hängt vom gegenseitigen Ab-stand der beiden zueinander verkippten Koordinatenebe-nen am Ort des Mondes ab und somit von dem entlang

der Bahn gezählten Abstand FM des Mondes vom auf-steigenden Bahnknoten. Die Reduktion auf die Ekliptikwird Null in den Bahnknoten und in der Mitte zwischenden Knoten (bei FM = 90° und 270°). Bei FM = 45°,135°, 225° und 315° wird sie maximal. Sie variiert alsomit einer Periode von einem halben drakonitischen Mo-nat.Ptolemäus kannte diesen Term, vernachlässigte ihn je-doch wegen seiner Kleinheit.[35]

4.7.6 Parallaktische Gleichung

Die Parallaktische Gleichung nimmt Maximalbeträgevon ±0,0356° an und hat eine Periode von einem syn-odischen Monat.[10]

Sie kommt ähnlich zustande wie die Jährliche Gleichung.Der Neumond befindet sich näher an der Sonne als derVollmond. Er wird daher durch die Sonne stärker von derErde fortgezerrt und läuft wegen seiner größeren Entfer-nung langsamer als der Vollmond. Die deshalb langsamakkumulierende Abweichung von der ungestörten Positi-on ist in den Halbmondphasen am größten.[11]

Der Name dieser Störung stammt daher, dass sie vomVerhältnis der Entfernung Erde–Mond zur EntfernungErde–Sonne abhängt und es daher erlaubt, aus einer ge-nauen Untersuchung der Mondbewegung die Entfernungund damit die Parallaxe der Sonne zu bestimmen.[11] Danämlich die anderen Störungen primär von der Gravita-tionskraft der Sonne abhängen, d. h. einerseits von derenEntfernung, andererseits aber auch von derenMasse, lässtsich aus ihnen ohne unabhängige Bestimmung der Son-nenmasse nicht auf die Entfernung schließen. Die paral-laktische Gleichung hingegen hängt nur von den Entfer-nungen und nicht von der Sonnenmasse ab.[36]

4.7.7 Säkulare Akzeleration

Neben den aufgeführten periodischen Störungen unter-liegt der Mond auch nichtperiodischen („säkularen“) Stö-rungen, welche über die Jahrtausende hinweg zu einer(positiven oder negativen) Beschleunigung des Mond-laufs führen.Die „gravitative Akzeleration“ wird dadurch bewirkt,dass die Exzentrizität der Erdbahn gegenwärtig abnimmt.Dadurch wird der Gravitationseinfluss der Sonne auf denMond im Mittel geringer, was – wie schon bei der Jähr-lichen und der Parallaktischen Gleichung – zu einer ge-ringfügig schnelleren Bewegung des Mondes führt. DieseBeschleunigung beträgt 6″/Jhdt2, so dass nach t Jahrhun-derten ein Betrag von 6″·t2 zur Länge des Mondes zu ad-dieren ist.[37]

In entgegengesetzte Richtung wirkt die „gezeitenbedingteAkzeleration“. Die vom Mond auf den Erdozeanen auf-getürmten Gezeitenwellen werden von der Erdrotationseitlich versetzt, so dass sie nicht exakt in der Verbin-

11

dungslinie Erde-Mond liegen und ihrerseits ein Drehmo-ment auf den Mond ausüben. Dieses Drehmoment führtdemMond Drehimpuls und Energie zu, so dass er auf ei-ne höhere, energiereichere Bahn gehoben wird, welcheraber nach dem Dritten Keplerschen Gesetz eine geringe-re Umlaufgeschwindigkeit entspricht. Diese Abbremsungbeträgt etwa −26″/Jhdt2, so dass nach t Jahrhunderten einBetrag von ½·26·t2 von der Länge des Mondes abzuzie-hen ist. Dass hier im Gegensatz zur gravitativen Akze-leration ein Faktor ½ auftaucht, ist lediglich auf entspre-chende Konventionen zurückzuführen.[37] Infolge der ge-zeitenbedingten Anhebung seiner Bahn entfernt sich derMond pro Jahr um 3,8 cm von der Erde.[6]

5 Heliozentrische Mondbahn

Erd- und Mondbahn um die Sonne, Ausschnitt über einen Monat,maßstabsgetreu.

Betrachtet man den Mond, wie er gemeinsam mit der Er-de die Sonne umläuft, so bewegt er sich nicht in großenSchleifen, sondern dicht an der Erdbahn auf einer kaumsichtbar gewellten, stets zur Sonne hin gekrümmten Li-nie. Das ist leicht einzusehen, denn es beträgt

• der Mondbahnradius nur 1/390 des Erdbahnradius,

• die Bahngeschwindigkeit des Mondes um die Erdenur 1/29 der Bahngeschwindigkeit um die Sonne

• und die Fallbeschleunigung des Mondes im Erdfeldnur ~1/2 der gemeinsamen Fallbeschleunigung imFeld der Sonne.

Die Verhältnisse dieser Zahlen sind nicht zufällig gleichder Zahl der siderischen Monate pro Jahr.

6 Topozentrische Mondbahn

Für den topozentrischen, also den auf der Oberfläche derrotierenden Erde befindlichen Beobachter unterliegt derMondwie auch alle anderen Himmelskörper der täglichenBewegung. Diese scheinbare Bewegung wird durch dieRotation der Erde verursacht und lässt Himmelskörperüber dem östlichen Horizont aufgehen und hinter demwestlichen untergehen. Die tatsächliche Bewegung des

Für den irdischen Beobachter ergibt sich aus der ÜberlagerungvonMondlauf und Erdrotation ein kompliziertes Bewegungsmus-ter des Mondes.

Mondes auf seiner Bahn um die Erde erfolgt jedoch inentgegengesetzter Richtung und ist für den aufmerksa-men Beobachter leicht festzustellen: steht der Mond bei-spielsweise zu einem gegebenen Zeitpunkt in der Näheeines Sterns, so hat er sich eine Stunde später bezüglichdes Sterns etwa um einen Monddurchmesser in östlicherRichtung bewegt, während Mond und Stern im Zuge dertäglichen Bewegung gemeinsam um 15° (30 Monddurch-messer) nach Westen gewandert sind.Die topozentrische Mondbahn weicht aufgrund derParallaxe von der geozentrischen Mondbahn ab: je weiterein Beobachter von der Verbindungslinie der Mittelpunk-te von Erde und Mond entfernt ist, desto mehr weicht derMond von der Position ab, die er von dieser Verbindungs-linie (bzw. hypothetisch vom Erdmittelpunkt aus “gese-hen”) hat. Dieser Abstand und seine Richtung ändern sichauchmit der Erdrotation. Ein stationärer Beobachter wirdalso eine entsprechende “Bahnstörung” beobachten, de-ren Stärke von der geographischen Breite des Standortsabhängt.Der Rest dieses Abschnitts beschreibt die geozentrischeMondbahn (“vom Erdmittelpunkt aus gesehen”).Der Mond bewegt sich bezüglich der Fixsterne in einemsiderischen Monat von 27,3 Tagen einmal um 360° überden Himmel, an einem Tag also imMittel etwa 13,2°, wasetwas mehr ist als die Breite einer ausgestreckten Faust.Um diese gut 13° muss sich auch der Himmel zusätzlichdrehen, um den Mond z. B. von einer Kulmination zurnächsten zu bringen. Dazu sind im Mittel gut 50 Minu-ten erforderlich. Um diese Zeitspanne geht der Mond (imMittel) jeden Tag später auf und unter als am Vortag. DerNeumond geht morgens gemeinsam mit der Sonne auf.Die Aufgänge verspäten sich dann jeden Tag etwas wei-ter: im ersten Viertel stehend geht der Mond etwa mittagsauf, als Vollmond abends, und im letzten Viertel gegenMitternacht. Entsprechendes gilt für den Untergang. Ausder Kenntnis der Mondphase lassen sich also Auf- undUntergangszeit abschätzen.Da derMond sich stets in der Nähe der gegen denÄquator

12 9 EINZELNACHWEISE

geneigten Ekliptik bewegt, überstreicht er beim Durch-laufen seiner Bahn einen ähnlichen Nord-Süd-Bereichwie die Sonne, allerdings nicht wie diese einmal im Jahr,sondern einmal im Monat. Der Vollmond als auffälligsteMondphase steht der Sonne am Himmel stets gegenüber,befindet sich also im südlichen Ekliptikabschnitt, wenndie Sonne sich im nördlichen befindet (auf der Nordhe-misphäre im Sommer) und umgekehrt (imWinter). Voll-monde stehen daher im Sommer niedrig und im Winterhoch amHimmel. Befindet sich derMond im ersten Vier-tel, so steht er im Frühling hoch und im Herbst niedrigusw. Aus der Kenntnis von Jahreszeit und Mondphaselassen sich also Kulminationshöhe sowie Auf- und Un-tergangsrichtung abschätzen.Da die Bahn des Mondes um 5° gegen die Ekliptik ge-neigt ist, überstreicht er zwar nahezu aber nicht exakt den-selben Nord-Süd-Bereich wie die Sonne. Liegt die Kno-tenlinie seiner Bahn so, dass sich die Bahnneigung bezüg-lich der Ekliptik und die Neigung der Ekliptik bezüglichdes Äquators addieren, dann erreicht derMondmaximaleDeklinationen bis zu ±28,6°; entsprechend überstreichenseine Auf- und Untergangspunkte einen besonders wei-ten Bereich am Horizont („Große Mondwende“, zuletztim Jahre 2006). Die Wintervollmonde stehen dann be-sonders hoch und die Sommervollmonde besonders nied-rig. 9,3 Jahre später hat sich die Knotenlinie um 180° ge-dreht, die Neigungen von Mondbahn und Ekliptik sindgegenläufig und der Mond erreicht nur Deklinationen von±18,4°. Sein Auf- und Untergangsbereich am Horizonthat nun die geringste Ausdehnung („Kleine Mondwen-de“).Das bedeutet, dass die Inklination der Mondbahn zumErdäqator zwischen 18,4° und 26,6° schwankt.Wegen der Neigung der Mondbahn gegen die Ekliptikkann der Mond nicht nur Sterne bedecken, welche sichauf der Ekliptik befinden, sondern insgesamt Sterne, wel-che in einemAbstand bis zu ±6,60° beiderseits der Eklip-tik liegen (zu den von der Bahnneigung bewirkten 5° sindnoch die Parallaxe des Mondes und sein Scheibenradiuszu addieren).[38] In einem gegebenen Monat bedeckt derMond allerdings nur jene Sterne, welche in unmittelbarerNähe seiner momentanen Bahn liegen. Infolge der Kno-tenpräzession verschiebt sich die Bahn bei jedem Umlaufein wenig, und nach spätestens 18,6 Jahren ist die Bahnüber jeden erreichbaren Stern hinweggezogen.

7 Siehe auch

• Monddistanz

• Mondtafel

• Nidsigend

• Sichtbarkeit (Mond-Aufgang/-Untergang)

8 Weblinks

• Java-Applet: Visualisierung der Bahngeometrie undder Störungen in Länge (Englisch, Java benötigt)

• H.-D. Gera: Mondbahn und Saroszyklus

• Astrolexikon: »Die Bahn des Mondes«

• P. Schlyter: Computing planetary positions - a tuto-rial with worked examples (Anleitung zur Berech-nung der Mondposition, Englisch)

9 Einzelnachweise[1] IMCCE: Le manuel des éclipses. EDP Sciences, Les Ulis

2005, ISBN 2-86883-810-3, S. 32 (Mittlere Bahnelemen-te des Mondes zur Epoche J2000, online).

[2] J. L. Simon, P. Bretagnon, J. Chapront, M. Chapront-Touze, G. Francou, J. Laskar: Numerical expressions forprecession formulae and mean elements for the Moon andthe planets. In: Astronomy and Astrophysics. 282, 1994,S. 663–683 (Bibcode: 1994A&A...282..663S).

[3] berechnet

[4] United States Naval Observatory, Nautical Almanac Of-fice: The Astronomical Almanac for the Year 2009. UnitedStates Government Printing Office, Washington/ The Sta-tionery Office, London 2007, ISBN 978-0-11-887342-0,S. D2.

[5] Stephenson F.R.: Historical Eclipses and Earth’s Rotation.Cambridge University Press, Cambridge, UK 1997, ISBN0-521-46194-4, S. 11.

[6] Chapront J., Chapront-Touzé M., Francou G.: A new de-termination of lunar orbital parameters, precession con-stant and tidal acceleration from LLR measurements. As-tronomy and Astrophysics, vol. 387 (2002), S. 700–709.(online).

[7] NASA:Moon Fact Sheet (online, aufgerufen 6. Juni 2011)

[8] Meeus J.: Mathematical Astronomy Morsels. Willmann-Bell, Richmond 1997, ISBN 0-943396-51-4, Kapitel 4.

[9] J. Meeus: Mathematical Astronomy Morsels. Willmann-Bell, Richmond 1997, ISBN 0-943396-51-4, Kapitel 2.

[10] H.-U. Keller: Astrowissen. Franckh-Kosmos, Stuttgart2000, ISBN 3-440-08074-9, S. 77.

[11] H.-U. Keller (Hrsg.): Das Himmelsjahr 1992. Kosmos-Verlag, Stuttgart 1991, ISBN 3-440-06238-4. S. 82–87.

[12] Roncoli R.: Lunar Constants and Models Document. JPL2005. (online; PDF; 25,5 MB)

[13] Seidelmann P.K. (Hrsg.): Explanatory Supplement to theAstronomical Almanac. University Science Books, MillValley 1992, ISBN 0-935702-68-7.

13

[14] Eckhardt, D. H.: Theory of the libration of the moon.The Moon and the Planets, vol. 25 (Aug. 1981) S. 3–49(online)

[15] Keller H.-U.: Astrowissen. Franckh-Kosmos, Stuttgart2000, ISBN 3-440-08074-9, S. 79.

[16] Mädler J.H.:Populäre Astronomie. Vierte Auflage, CarlHeymann, Berlin 1852. S. 162.

[17] Harris A.W., Ward W.R.: Dynamical constraints on theformation and evolution of planetary bodies. Annual re-view of earth and planetary sciences, vol. 10. (1982), S.61–108 (online), S. 86.

[18] Simon J.L., Bretagnon P., Chapront J., Chapront-TouzéM., Francou G., Laskar J.: Numerical expressions for pre-cession formulae and mean elements for the Moon and theplanets. Astronomy and Astrophysics vol. 282, 663–683(1994) (online) S. 669 f. Die dort in Bogensekunden projulianischem Jahrhundert angegebenen Geschwindigkei-ten wurden der besseren Anschaulichkeit halber in Gradpro Tag umgerechnet (Division durch 3600 und durch36525). Höhere Potenzen der Zeit wurden vernachlässigt.

[19] IMCCE: Le manuel des éclipses. EDP Sciences, Les Ulis2005, ISBN 2-86883-810-3. S. 34: Schwankungen derBahnelemente des Mondes (online)

[20] Meeus J.: Mathematical Astronomy Morsels. Willmann-Bell, Richmond 1997, ISBN 0-943396-51-4. Kapitel 1

[21] Neugebauer O.: A History of Ancient Mathematical Astro-nomy. Springer, Berlin/Heidelberg/NewYork 1975, ISBN3-540-06995-X, S. 1111.

[22] Mädler J.H.:Populäre Astronomie. Vierte Auflage, CarlHeymann, Berlin 1852, S. 159.

[23] Neugebauer O.: A History of Ancient Mathematical Astro-nomy. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1975 ISBN3-540-06995-X, S. 1111.

[24] Mädler J.H.:Populäre Astronomie. Vierte Auflage, CarlHeymann, Berlin 1852, S. 159.

[25] van Flandern T.C., Pulkkinen K.F.: Low-Precision For-mulae for Planetary Positions. The Astrophysical JournalSupplement Series; 41:391-411, November 1979 (online)

[26] Neugebauer O.: A History of Ancient Mathematical As-tronomy. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1975,ISBN 3-540-06995-X. S. 1108: “The discovery and cleardistinction of all lunar perturbations which lie within thelimits of accuracy inherent in naked eye observations mustbe counted among the most remarkable achievements ofearly science. Thus was prepared the basis upon whichNewton’s dynamics could build and uncover a unifyingprinciple of explanation for a great variety of apparent-ly disconnected effects.“

[27] Danby J.M.A.: Fundamentals of Celestial Mechanics.Willmann-Bell, Richmond 2003, S. 379.

[28] Mädler J.H.:Populäre Astronomie. Vierte Auflage, CarlHeymann, Berlin 1852. S. 157

[29] Godfray H.:An Elementary Treatise on the Lunar Theo-ry. Macmillan and Co., London, New York, 1885, S. 69(online).

[30] Neugebauer O.: A History of Ancient Mathematical Astro-nomy. Springer, Berlin/Heidelberg/NewYork 1975, ISBN3-540-06995-X, S. 84 f.

[31] Mädler J.H.:Populäre Astronomie. Vierte Auflage, CarlHeymann, Berlin 1852. S. 158

[32] Kelley D.H., Milone E.F.: Exploring Ancient Skies. Sprin-ger, New York 2005, S. 34.

[33] Neugebauer O.: A History of Ancient Mathematical Astro-nomy. Springer, Berlin/Heidelberg/NewYork 1975, ISBN3-540-06995-X, S. 1109.

[34] Neugebauer O.: A History of Ancient Mathematical Astro-nomy. Springer, Berlin/Heidelberg/NewYork 1975, ISBN3-540-06995-X, S. 1110.

[35] Neugebauer O.: A History of Ancient Mathematical Astro-nomy. Springer, Berlin/Heidelberg/NewYork 1975, ISBN3-540-06995-X, S. 1107.

[36] Mädler J.H.:Populäre Astronomie. Carl Heymann, Berlin1852, S. 160.

[37] Stephenson F.R.: Historical Eclipses and Earth’s Rotation.Cambridge University Press, Cambridge, UK 1997, ISBN0-521-46194-4, Kap. 1.

[38] Meeus J.: Mathematical Astronomy Morsels. Willmann-Bell, Richmond 1997, ISBN 0-943396-51-4, Kapitel 19.

14 10 TEXT- UND BILDQUELLEN, AUTOREN UND LIZENZEN

10 Text- und Bildquellen, Autoren und Lizenzen

10.1 Text• Mondbahn Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Mondbahn?oldid=144289337 Autoren: Aka, Henristosch, Seewolf, Geof, Ninjamask,Boehm, Mike Krüger, Neitram, Peter200, CWitte, Gerhardvalentin, Cepheiden, Kdkeller, RedBot, Clemfix, Sch, Schweikhardt, Uwe W.,W!B:, Bunsenbrenner, Lotse, Augiasstallputzer, Fritz Jörn, Helfmann, Mfb, Stefan Knauf, SibFreak, Yotwen, Spuk968, New10n, Rai-nald62, Taratonga, Horst Gräbner, Gustav von Aschenbach, Dandelo, VolkovBot, Lampart, TXiKiBoT, Regi51, BurghardRichter, SieBot,Strasburger, Engie, Umherirrender, Alnilam, Pittimann, Alexbot, DumZiBoT, Muro Bot, Websterdotcom, Xqbot, MastiBot, Quartl, Wira-ma, MorbZ-Bot, Gianluca311, Antonsusi, Fredo 93, Trackler, Erophilus, Martin1978, R*elation, ZéroBot, Fix 1998, LeastCommonAn-cestor, Herr von Quack und zu Bornhöft, Raff.fio, Himbear, Addbot und Anonyme: 35

10.2 Bilder• Datei:De-Mondbahn-article.oggQuelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1b/De-Mondbahn-article.oggLizenz:CC-BY-SA-3.0 Autoren:

• Abgeleitet von Mondbahn Ursprünglicher Schöpfer: Sprecher: BunsenbrennerAutoren des Artikels

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• Datei:Häufigkeitsverteilung_von_79535_Perigäen_und_Apogäen.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/63/H%C3%A4ufigkeitsverteilung_von_79535_Perig%C3%A4en_und_Apog%C3%A4en.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: EigenesWerk Ursprünglicher Schöpfer: Sch

• Datei:Lunar_libration_with_phase2.gif Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c0/Lunar_libration_with_phase2.gif Lizenz: Public domainAutoren: EnglishWikipedia, original upload 7 September 2005 by Tomruen [1]Ursprünglicher Schöpfer: Tomruen

• Datei:Mondbahn.svgQuelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/54/Mondbahn.svg Lizenz:CC0Autoren: EigenesWerkUrsprünglicher Schöpfer: Zesel

• Datei:Moon’{}s_orbit_-_Variation_of_ascending_node_de.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0d/Moon%27s_orbit_-_Variation_of_ascending_node_de.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Sch

• Datei:Moon’{}s_orbit_-_Variation_of_distance_de.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b1/Moon%27s_orbit_-_Variation_of_distance_de.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Sch

• Datei:Moon’{}s_orbit_-_Variation_of_eccentricity_de.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1d/Moon%27s_orbit_-_Variation_of_eccentricity_de.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Sch

• Datei:Moon’{}s_orbit_-_Variation_of_inclination_de.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6b/Moon%27s_orbit_-_Variation_of_inclination_de.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Sch

• Datei:Moon’{}s_orbit_-_Variation_of_perigee_de.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/02/Moon%27s_orbit_-_Variation_of_perigee_de.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Sch

• Datei:Moon’{}s_orbit_-_Variation_of_semimajor_axis_de.png Quelle: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/64/Moon%27s_orbit_-_Variation_of_semimajor_axis_de.png Lizenz: CC BY-SA 3.0 Autoren: Eigenes Werk Ursprünglicher Schöpfer: Sch

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