Modulhandbuch Master-Studiengang Mathematik€¦ · MM14 Grundmodul Komplexe Analysis, automorphe...

Modulhandbuch

Master-Studiengang

�Mathematik�

Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg

Fakultät für Mathematik und Informatik

Fassung vom 24.01.2018 zur Prüfungsordnung vom 08.12.2016Rückwirkend für das Wintersemester 2017/18

Studienform: Vollzeit

Art des Studiengangs: Konsekutiv

Regelstudienzeit: 4 Semester

Anzahl der im Studiengang zu erwerbenden Leistungspunkte: 120

Einführungsdatum: 11.03.2009

Studienstandort: Heidelberg

Anzahl der Studienplätze: Keine Zulassungsbeschränkung

Gebühren/Beiträge: Gemäÿ allgemeiner Regelung der Universität Heidelberg

1

Präambel

Qualitätsziele der Universität Heidelberg in Studium und

Lehre

Anknüpfend an ihr Leitbild und ihre Grundordnung verfolgt die Universität Heidelberg inihren Studiengängen fachliche, fachübergreifende und berufsfeldbezogene Ziele in der umfas-senden akademischen Bildung und für eine spätere beru�iche Tätigkeit ihrer Studierenden.Das daraus folgende Kompetenzpro�l wird als für alle Disziplinen gültiges Quali�kations-pro�l in den Modulhandbüchern aufgenommen und in den spezi�schen Quali�kationszielensowie den Curricula und Modulen der einzelnen Studiengänge umgesetzt:

• Entwicklung von fachlichen Kompetenzen mit ausgeprägter Forschungsorientierung;

• Entwicklung transdisziplinärer Dialogkompetenz;

• Aufbau von praxisorientierter Problemlösungskompetenz;

• Entwicklung von personalen und Sozialkompetenzen;

• Förderung der Bereitschaft zur Wahrnehmung gesellschaftlicher Verantwortung auf derGrundlage der erworbenen Kompetenzen.

Fachliche und überfachliche Quali�kationsziele des

Masterstudiengangs �Mathematik�

Der konsekutive Masterstudiengang �Mathematik� hat das Ziel einer Erweiterung der ma-thematischen Grundkenntnisse sowie einer Vertiefung, die bis zum Kontakt mit aktuellerForschung in einem der in Heidelberg vertretenen Gebiete reicht. AbsolventInnen des Mas-terstudiengangs sind in der Lage, mathematische Methoden und Modelle anzuwenden undselbständig weiterzuentwickeln. Durch die Anfertigung einer Masterarbeit werden in sehrgroÿem Maÿe die Fähigkeiten zur selbständigen wissenschaftlichen Arbeit, zur Problemana-lyse und -lösung und auch zur Organisation von Arbeit gestärkt. Der MasterstudiengangMathematik unterscheidet sich vom ebenfalls angebotenen internationalen Masterstudien-gang Scienti�c Computing dadurch, dass der Masterstudiengang Mathematik eher auf in-nermathematische Forschung ausgelegt ist, während beim internationalen MasterstudiengangScienti�c Computing der Anwendungsbezug im Vordergrund steht.

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Inhaltsverzeichnis

1 Aufbau des Studiums 5

2 Grundmodule 7

Grundmodul Algebra und Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Grundmodul Angewandte Analysis und Modellierung . . . . . . . . . . . 10Grundmodul Geometrie und Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Grundmodul Komplexe Analysis, automorphe Formen und Mathematische

Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Grundmodul Numerik und Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Grundmodul Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . 20

3 Aufbaumodule 22

Aufbaumodul Algebra und Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Aufbaumodul Angewandte Analysis und Modellierung . . . . . . . . . . 26Aufbaumodul Geometrie und Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Aufbaumodul Komplexe Analysis, automorphe Formen und Mathematische

Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Aufbaumodul Numerik und Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Aufbaumodul Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . 35

4 Spezialisierungsmodule 38

Spezialisierungsmodul Algebra und Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . 39Spezialisierungsmodul Angewandte Analysis und Modellierung . . . . . . 41Spezialisierungsmodul Geometrie und Topologie . . . . . . . . . . . . . . 43Spezialisierungsmodul Komplexe Analysis, automorphe Formen und Ma-

thematische Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Spezialisierungsmodul Numerik und Optimierung . . . . . . . . . . . . . 47Spezialisierungsmodul Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . 49

5 Ergänzungsmodule 51

Berechenbarkeit und Komplexität I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Berechenbarkeit und Komplexität II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Selected Topics in the Theory of the Computably Enumerable Sets and

Degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54E�ziente Algorithmen 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55E�ziente Algorithmen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3

6 P�ichtmodule 59

Seminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Master-Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Master-Seminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7 Fachübergreifende Kompetenzen 63

Tutorenschulung Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8 Anwendungsgebiete 66

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1 Aufbau des Studiums

Das Fachstudium gliedert sich inhaltlich entsprechend den Forschungsschwerpunkten derFakultät in die Bereiche:

A. Algebra und Arithmetik

B. Angewandte Analysis und Modellierung

C. Geometrie und Topologie

D. Komplexe Analysis, automorphe Formen und Mathematische Physik

E. Numerik und Optimierung

F. Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Innerhalb der Bereiche gliedern sich die Module nach dem Grad der Vertiefung und Spe-zialisierung. Die Leistungspunkte sind für typische Module jeder Kategorie angegeben. Esgibt insbesondere:

• Grundmodule (8 LP) führen auf der Basis der Bachelorausbildung in ein Teilgebiet ein

• Aufbaumodule (8 LP) vertiefen den Sto� eines Teilgebiets aufbauend auf einem Grund-modul.

• Spezialisierungsmodule (4-8 LP) führen in spezielle Aspekte eines Teilgebiets ein, diein der Regel eng an die aktuelle Forschung heranführen

Innerhalb dieser Module gibt es verschiedene Veranstaltungen, welche in den Modulbe-schreibungen in den folgenden Kapiteln angegeben sind. Pro Modul können mehrere Veran-staltungen besucht werden. Die Zuteilung von einzelnen Veranstaltungen zu einem bestimm-ten Modul ist an dem Modulcode erkennbar. Bei fast allen Modulen des Masters Mathematikfängt der Modulcode mit MM an, gefolgt von zwei Zi�ern. Dabei gibt die erste Zi�er dieKategorie an und die zweite Zi�er das Forschungsgebiet. Die nachfolgende Liste gibt einenÜberblick über die Module mit ihren Modulcodes:

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Code Name des Moduls

MM11 Grundmodul Algebra und Arithmetik

MM12 Grundmodul Angewandte Analysis und Modellierung

MM13 Grundmodul Geometrie und Topologie

MM14 Grundmodul Komplexe Analysis, automorphe Formen undMathematische Physik

MM15 Grundmodul Numerik und Optimierung

MM16 Grundmodul Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

MM21 Aufbaumodul Algebra und Arithmetik

MM22 Aufbaumodul Angewandte Analysis und Modellierung

MM23 Aufbaumodul Geometrie und Topologie

MM24 Aufbaumodul Komplexe Analysis, automorphe Formen undMathematische Physik

MM25 Aufbaumodul Numerik und Optimierung

MM26 Aufbaumodul Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

MM31 Spezialisierungsmodul Algebra und Arithmetik

MM32 Spezialisierungsmodul Angewandte Analysis und Modellierung

MM33 Spezialisierungsmodul Geometrie und Topologie

MM34 Spezialisierungsmodul Komplexe Analysis, automorphe Formen undMathematische Physik

MM35 Spezialisierungsmodul Numerik und Optimierung

MM36 Spezialisierungsmodul Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Weiterhin sind im Kapitel Ergänzungsmodule weitere Module gelistet, die thematisch nichtin die obigen Bereiche eingeordnet werden können.

Nach Prüfungsordnung müssen je ein Wahlp�ichtmodul (zu je 8 LP) in Reiner und An-gewandter Mathematik absolviert werden. Als Wahlp�ichtmodule können Grund- und Auf-baumodule gewählt werden. Dabei sind der Reinen Mathematik die Bereiche Algebra und

Arithmetik, Geometrie und Topologie und Komplexe Analysis, automorphe Formen und Ma-

thematische Physik zugeordnet. Der Angewandte Mathematik sind die Bereiche AngewandteAnalysis und Modellierung, Numerik und Optimierung und Statistik und Wahrscheinlich-

keitsrechnung zugeordnet.Die Wahlmodule mit einem Gesamtumfang von 32 LP können beliebig aus den Grund-,

Aufbau- und Spezialisierungsmodulen, sowie Ergänzungsmodulen gewählt werden.Zur Verbreiterung der Grundlagenkenntnisse können bis zu zwei Wahlmodule aus dem

Angebot des Bachelor-Studiengangs Mathematik gewählt werden, soweit diese nicht in dieBachelor-Prüfung eingegangen sind. Dabei sind nur Module aus dem Wahlp�ichtbereich 1bis 3 sowie die Module Lie Algebren und Lie Gruppen I und Lie Algebren und Lie Gruppen

II zulässig. Alle anderen Module des Bachelor-Studiengangs Mathematik sind nicht zurVerbreiterung der Grundlagenkenntnisse anrechenbar.

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2 Grundmodule

Die in diesem Kapitel gelisteten Module bereiten als Einführung den Weg in ein Teilgebietder Mathematik. Sie bauen typischerweise auf der Bachelor-Ausbildung auf.

Im ersten Master-Semester sollten mindestens zwei Module aus dieser Kategorie absolviertwerden.

Pro Modul können mehrere Veranstaltungen besucht werden. Die Zuteilung von einzelnenVeranstaltungen zu einem bestimmten Modul ist an dem Modulcode erkennbar. Nachfolgendsind alle Grundmodule mit ihren Modulcodes gelistet:








In den Modulbeschreibungen sind die einzelnen Veranstaltungen jeweils mit einer kurz-en Inhaltsangabe aufgeführt. Die Veranstaltungen werden in einem kürzeren oder längerenTurnus regelmäÿig angeboten.

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Grundmodul Algebra und Arithmetik

Code Name


Leistungspunkte Dauer Turnus

pro Veranstaltung:8 LP

pro Veranstaltung: ein Semester mindestens jährlich

Lehrformpro Veranstaltung:Vorlesung 4 SWS+ Übung 2 SWS

Arbeitsaufwandpro Veranstaltung:240 h; davon60 h Präsenz in der Vorlesung30 h Präsenz in Übungen120 h Hausaufgaben undselbständiges Nacharbeiten30 h Prüfungsvorbereitung

VerwendbarkeitM.Sc. Mathematik: Es könnenmehrere verschiedeneVeranstaltungen in diesemModul absolviert werden.

Lernziele Verständnis der grundlegenden Strukturen, Sätze und Methodeneines Forschungsgebietes der Mathematik,Fähigkeit, typische Aussagen mit den erlernten Methodenselbständig zu beweisen, eigene Kenntnislücken zu erkennen undselbständig zu schlieÿen, Selbstbewusster Umgang mitLernstrategien und mathematischem Denken

8

Inhalt In diesem Modul werden folgende Veranstaltungen angeboten:Algebraische Geometrie I:Diese Vorlesung vermittelt die Grundlagen sowie die algebraischenbzw. geometrischen Methoden zum Studium vonNullstellenmengen algebraischer Gleichungen.Hauptthemen sind:Garbentheorie, a�ne und allgemeine Schemata, Unterschemata,Faserprodukte, Morphismen (separierte, eigentliche, endliche,�ache, ... ), Bewertungskriterien, quasikohärente Modulgarben,Vektorraumbündel, insbesondere Geradenbündel und Divisoren.Weitere Themen können sein: Projektive Schemata, Aufblasungen,Di�erentialgarben.

Algebraische Zahlentheorie I:Diese Vorlesung enthält das Grundwissen über algebraischeZahlkörper.Hauptthemen sind:Ganzheit, Ideale, Dedekindringe, Primidealzerlegung,Minkowski-Theorie, Klassenzahl, Dirichletscher Einheitensatz,quadratische Zahlkörper, zyklotomische Körper, Erweiterungenvon Dedekindringen, Lokalisierung, Bewertungen, Fortsetzungenvon Bewertungen, Galoistheorie der Bewertungen, HilbertscheVerzweigungstheorie.

Voraussetzungen empfohlen sind Kenntnisse im Umfang der Vorlesungen Algebra Iund II

Pruefungs-modalitaeten

Pro Veranstaltung jeweils eine schriftliche oder mündlicheAbschlussprüfung am Ende des Semesters. Nach Wahl desDozenten/der Dozentin Prüfungszulassung durch erfolgreicheTeilnahme an Übungen und Hausaufgaben. Die 8 Leistungspunktewerden jeweils nach erfolgreicher Abschlussprüfung einerVeranstaltung vergeben.

NuetzlicheLiteratur

Wird von den Dozent/inn/en im LSF oder auf der Homepage derVorlesung angegeben

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Grundmodul Angewandte Analysis und Modellierung

Code Name









10

Inhalt In diesem Modul werden folgende Veranstaltungen angeboten:

Elliptische partielle Di�erentialgleichungen:Existenz von Lösungen linearer elliptischerDi�erentialgleichungen, Höhere Regularität in Sobolevräumen,Cacciopoli-Leray Ungleichung, Schaudertheorie,Campanatoräume, BMO, L^p-Theorie elliptischerDi�erentialgleichungen, Harmonischen Abbildungen.

Evolutionsgleichungen:Bochner Integral, Aubin-Lions Lemma, Galerkinverfahren,Schwache Lösung für Parabolische Di�erentialgleichungen,Hyperbolische Di�erentialgleichungen, Navier Stokes Gleichung,Euler-Gleichung, Beispiele weitere nichtlineareDi�erentialgleichungen

Nichtlineare Funktionalanalysis:Fixpunktsatz von Schauder, Theorie des Abbildungsgrades,Lemma von Sard, Theorie monotoner Operatoren, Anwendungenauf partielle Di�erentialgleichungen, Bifurkationstheorie,Hopf-Bifurkation

Voraussetzungen empfohlen sind: Kenntnisse der Analysis, linearen Algebra,Numerik und Funktionalanalysis



NuetzlicheLiteratur

Wird von den Dozierenden im LSF oder auf der Homepage derVorlesung angegeben.

11

Grundmodul Geometrie und Topologie

Code Name








Lernziele Verständnis der grundlegenden Strukturen, Sätze und Methodender Topologie und Di�erentialgeometrie,Fähigkeit, typische Aussagen mit den erlernten Methodenselbständig zu beweisen, eigene Kenntnislücken zu erkennen undselbständig zu schlieÿen, Selbstbewusster Umgang mitLernstrategien und mathematischem Denken

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Algebraische Topologie 2:Kohomologie, universelles Koe�ziententheorem, Produkte in derKohomologie, Künneth-Theorem, topologische Mannigfaltigkeiten,Orientierung und Fundamentalklasse, Dualitätssätze fürMannigfaltigkeiten, Homotopietheorie: Satz von Hurewicz, Satzvon Whitehead, Faserungen und Kofaserungen, Schleifenräume,Puppe-Sequenz, Eilenberg-MacLane Räume, Postnikov-Turm

Di�erentialtopologie 1:di�erenzierbare Mannigfaltigkeiten und Tangentialräume, glatteAbbildungen (Submersionen, Immersionen, Einbettungen,Isotopien), reguläre Werte und Satz von Sard, Tubenumgebungen,Kragen, Transversalität, orientierte Mannigfaltigkeiten,Abbildungsgrad, Schnittzahlen, Vektorraumbündel, Vektorfelder,Indexsatz von Poincaré-Hopf, de Rham Kohomologie, Integrationauf Mannigfaltigkeiten

Di�erentialgeometrie 2:Mannigfaltigkeiten mit oberen und unterenKrümmungsschranken, Vergleichssätze vonAlexandrov-Toponogov, Mannigfaltigkeiten nichtpositiverKrümmung, lokal-symmetrische und symmetrische Räume

Geometrische Gruppentheorie 1:Cayleygraphen endlich erzeugter Gruppen, Wachstum vonGruppen, hyperbolische Gruppen

Voraussetzungen empfohlen sind: Kenntnisse der Analysis und linearen Algebrafür die Vorlesung Algebraische Topologie 2 sind die Kenntnisseaus Algebraische Topologie 1 empfohlen



NuetzlicheLiteratur


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Grundmodul Komplexe Analysis, automorphe Formen und

Mathematische Physik

Code Name









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Modulformen 1:Valenzformel und Dimensionsformel für die volle Modulgruppe,Kongruenzuntergruppen, Hecketheorie, Atkin-Lehner-Theorie,Eisensteinreihen, Thetareihen, Eichler-Shimura-Isomorphismus

Siegel'sche Modulformen:Siegel'sche und Minkowski'sche Reduktionstheorie,Koecherprinzip, Siegel'sche und Klingen'sche Eisensteinreihen,Zerlegungssätze, Thetareihen, Hecketheorie, Zetafunktionen,Siegel'scher Hauptsatz, Satakekompakti�zierung

Riemann'sche Flächen 1:Überlagerungstheorie, Garben, Di�erentialformen, Kohomologie,Satz von Riemann-Roch, Serre'scher Dualitätssatz,Verteilungsprobleme, Groÿer Riemann'scher Abbildungssatz,Uniformisierung

Darstellungstheorie 1:Struktur- und Darstellungstheorie von Lie-Algebren,Klassi�kation, Geometrie und Darstellungstheorie von kompaktenLie-Gruppen, symmetrische Räume

Analytische Zahlentheorie:L-Reihen und ihre Anwendungen, Primzahlverteilung (etwa diePrimzahlsätze von Gauÿund Dirichlet), binäre quadratischeFormen

Komplexe Analysis mehrerer Veränderlicher 1:Lokale Theorie komplexer Räume, Grundlagen derFunktionentheorie mehrerer Variabler, Abelsche Funktionen

Zusätzlich aus der Physik:Quantenfeldtheorie 1

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Voraussetzungen empfohlen sind: Kenntnisse der Analysis, linearen Algebra undFunktionentheorie I



NuetzlicheLiteratur


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Grundmodul Numerik und Optimierung

Code Name









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Finite Elemente:Überblick über die Theorie schwacher Lösungen elliptischerDi�erentialgleichungen, Galerkinapproximation vonVariationsproblemen, Aufbau der Methode der �niten Elemente,das Bramble-Hilbert-Lemma, a priori und a posterioriFehleranalyse, Lösung der diskreten Probleme,Mehrgitterverfahren, Aspekte der Implementation, adaptiveGitterverfeinerung, Einführung in parabolische Gleichungen

Nichtlineare Optimierung:Endlich-dimensionale, glatte, kontinuierliche, nichtlineare Opti-mierungsprobleme, Optimalitäsbedingungen für unbeschränkteund beschränkte Optimierungsprobleme, Gradientenverfahren,Konjugierte Gradienten-(CG-)Verfahren, Line Search, Newton-und Quasi-Newton-SQP-Verfahren, Gauÿ-Newton-Verfahren,Behandlung von Ungleichungsbeschränkungen, Trust-Region-Verfahren, Automatische Di�erentiation

Numerische Optimierung bei Di�erentialgleichungen I:Modellierung dynamischer Prozesse, Parameterschätzung(Einfachschieÿverfahren, Mehrzielmethode, Kollokation,Verallgemeinertes Gauÿ-Newton, Strukturausnutzende Lösung derlinearisierten Subprobleme, Konvergenzeigenschaften),Optimalsteuerungsproblem (Problemformulierung, DirekteMethode zur Lösung von Optimalsteuerungsproblemen,Mehrzielmethode, SQP-Verfahren, StrukturausnutzendeSQP-Verfahren für das diskretisierte Optimalsteuerungsproblem)

Uncertainty Quanti�cation 1:Im Rahmen dieser Veranstaltung werden methodische Ansätzevermittelt, die es ermöglichen, eine Quanti�zierung derUnsicherheit im Zusammenhang mit komplexen numerischenModellen zu gewinnen. Folgende Schwerpunkte werden behandelt:Rundungsfehler und Fehlerfortp�anzung in der Numerik,Kondition eines Problems; Stabilitätskonzepte, Monte-CarloMethoden und Kollokationsverfahren, PolynomielleChaosentwicklungen, Stochastische Galerkin Diskretisierung

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Voraussetzungen empfohlen sind: Kenntnisse der Analysis, linearen Algebra undNumerik.



NuetzlicheLiteratur


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Grundmodul Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Code Name








Lernziele Verständnis der grundlegenden Strukturen, Sätze undangewandten und theoretischen Methoden derWahrscheinlichkeitstheorie und/oder Statistik,Fähigkeit, theoretische Aussagen mit den erlernten Methodenselbständig zu beweisen und die Kenntnisse in praktischenKontexten anzuwenden

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Wahrscheinlichkeitstheorie II:Theorie stochastischer Prozesse (Endlich-dimensionaleVerteilungen, Existenzsatz von Kolmogorov, stetige Pfade,Konstruktion und Eigenschaften der Brownschen Bewegung,Gauÿprozesse); Ergodentheorie (Stationäre und ergodischeProzesse, Ergodensätze); Invarianzprinzipien (Stra�heit, schwacheKonvergenz im Raum der stetigen Funktionen, Invarianzprinzipvon Donsker, Theorie der empirischen Prozesse); stochastischesIntegral (Martingale in stetiger Zeit, Itô-Integral, Itô-Formel)

Statistik II:Asymptotische Statistik (asymptotische Normalität, E�zienz,Abstandsmaÿe, Modell-Fehlspezi�kation, Tests von Hypothesen);Nichtparametrische Statistik (Nichtparametrische Schätzer,Regularisierung, Konvergenzraten, Kernschätzer, Adaptivität,nichtparametrische Tests);Statistik für komplexe Systeme (z.B. Statistik stochastischerProzesse, inverse Probleme, hochdimensionale Statistik, Statistikbei Netzwerken)

Voraussetzungen empfohlen sind Kenntnisse der Analysis und linearen Algebra,Wahrscheinlichkeitstheorie 1 und Statistik 1



NuetzlicheLiteratur


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3 Aufbaumodule

Die Ausbaumodule vertiefen die Kenntnisse eines Teilgebiets aufbauend auf den Grundmo-dulen. Zusammen mit den Modulen Seminar und Spezialisierungsmodul bilden sie einenwichtigen Schritt zur Masterarbeit.

Pro Modul können mehrere Veranstaltungen besucht werden. Die Zuteilung von einzelnenVeranstaltungen zu einem bestimmten Modul ist an dem Modulcode erkennbar. Nachfolgendsind alle Aufbaumodule mit ihren Modulcodes gelistet:








In den Modulbeschreibungen sind die einzelnen Veranstaltungen jeweils mit einer kurz-en Inhaltsangabe aufgeführt. Die Veranstaltungen werden in einem kürzeren oder längerenTurnus regelmäÿig angeboten.

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Aufbaumodul Algebra und Arithmetik

Code Name








Lernziele Vertieftes Verständnis der Strukturen, Sätze, Beweise undMethoden eines engeren Forschungsgebietes der Mathematik,Fähigkeit, Aussagen aus dem Teilgebiet selbständig zu beweisenund Beweistechniken zu diskutieren, sowie Aufgaben auf ihreCharakteristika hin zu analysieren und zu klassi�zieren umgeeignete Lösungsmethoden zu wählen,Fähigkeit, sich Teilaspekte des Themengebietes selbständig zuerarbeiten.

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Algebraische Geometrie II:In dieser Vorlesung werden Schemata, insbesondere Kurven oderFlächen, mit Hilfe von Kohomologie-Theorien studiert.Hauptthemen sind:I. Kohomologie:Abgeleitete Funktoren, Garbenkohomologie, Cech-Kohomologie,Kohomologie des projektiven Raumes, Serre-DualitätII. Kurven:Riemann-Roch-Theorem, Hurwitz-Theorem, projektiveEinbettungen, elliptische Kurven, Klassi�kationWeitere Themen können sein:Flächen, Schnitt-Theorie, abelsche Varietäten

Algebraische Zahlentheorie II:Die Vorlesung behandelt die lokale oder globaleKlassenkörpertheorie. Die Inhalte werden aus den folgendenThemen gewählt und umfassen insbesondere wesentliche Teile vonIII oder IV:I. Kohomologie endlicher Gruppen:G-Moduln, Kohomologiegruppen, exakte Kohomologiesequenz,funktorielle Abbildungen, Cupprodukt, Kohomologie zyklischerGruppen, Satz von Tate.II. Lokale Körper:Bewertungen, Vervollständigung, lokale Körper, multiplikativeGruppe eines p-adischen Zahlkörpers, unverzweigte und zahmverzweigte Erweiterungen.III. Lokale Klassenkörpertheorie:Galoiskohomologie, multiplikative Gruppe eines p-adischenZahlkörpers, Klassenformation unverzweigter Erweiterungen,lokales Reziprozitätsgesetz, Existenzsatz.IV. Globale Klassenkörpertheorie:Idele und Idelklassen, Kohomologie der Idelgruppe und derIdelklassengruppe, globales Reziprozitätsgesetz, Existenzsatz,Zerlegungsgesetz.

Voraussetzungen empfohlen sind Kenntnisse im Umfang der Vorlesungen Algebra Iund II, sowie Grundmodul Algebra und Arithmetik

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NuetzlicheLiteratur


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Aufbaumodul Angewandte Analysis und Modellierung

Code Name









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Mathematische Grundlagen der Fluid Dynamik:Physikalische Motivation der Navier-Stokes Gleichung, SpezielleLösungen, Kurzzeitexistenz schwacher Lösung, Langzeitexistenzschwacher Lösungen, Vortizität, Navier-Stokes Gleichung in zweiDimensionen, Existenz von Lösungen der Eulergleichung

Variationsrechnung und Modellierung:Variationsrechnung in mehreren Variablen, Motivierung ausSystemen der Natur, Direkte Methode, Euler-Lagrange Gleichung,Null-Lagrangians, Konvexitätsbegri�e, Gamma-Konvergenz,Homogenisierung, Gradienten�üsse

PDGs und Modellierung:Modellierung physikalischer/biologischer Prozesse (z.B.Fluiddynamik, Materialwissenschaften, Biologie, ...),Grundlegende mathematische Theorie

Voraussetzungen Grundmodul Angewandte Analysis und Modellierung



NuetzlicheLiteratur


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Aufbaumodul Geometrie und Topologie

Code Name








Lernziele Vertieftes Verständnis der Strukturen, Sätze, Beweise undMethoden der Topologie und Di�erentialgeometrie,Fähigkeit, Aussagen aus diesen Gebieten selbständig zu beweisenund Beweistechniken zu diskutieren, sowie Aufgaben auf ihreCharakteristika hin zu analysieren und zu klassi�zieren umgeeignete Lösungsmethoden zu wählen,Fähigkeit, sich Teilaspekte der Topologie undDi�erentialgeometrie selbständig zu erarbeiten.

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Di�erentialtopologie 2:Mögliche Themen wären etwa:Einführung in die Riemannsche Geometrie und Beziehungenzwischen Krümmung und Topologie einer Mannigfaltigkeit, MorseTheorie, Faserbündel, Charakteristische Klassen, Anwendungenauf Bordismustheorie, Exotische Di�erentialstrukturen aufSphären, h-Kobordismen, Satz von Smale, Einführung in dieChirurgietheorie

Geometrische Gruppentheorie 2:Fortgeschrittene Themen der geometrischen Gruppentheorie:Hyperbolische Gruppen, CAT(0)-Komplexe, Gruppenwirkungenauf Räumen

Symplektische Geometrie:lineare symplektische Geometrie, symplektischeMannigfaltigkeiten, fastkomplexe Strukturen, symplektischeGruppenwirkungen, symplektische Faserungen, Konstruktionensymplektischer Mannigfaltigeiten

Voraussetzungen empfohlen ist: Grundmodul Geometrie und Topologie



NuetzlicheLiteratur


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Aufbaumodul Komplexe Analysis, automorphe Formen und


Code Name




pro Veranstalung: ein Semester mindestens jährlich






- Modulformen 2- Riemann'sche Flächen 2- Darstellungstheorie 2- Topologische Feldtheorie- Komplexe Analysis mehrerer Veränderlicher 2: Theorieanalytischer Garben, Endlichkeits- und Verschwindungssätze fürkohärente Garben und Anwendungen, Theorem A und TheoremB, Abbildungssätze

Zusätzlich aus der Physik:Quantenfeldtheorie 2

Voraussetzungen empfohlen ist: Grundmodul Komplexe Analysis, automorpheFormen und Mathematische Physik

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NuetzlicheLiteratur


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Aufbaumodul Numerik und Optimierung

Code Name




pro Veranstalung: ein Semester mindestens jährlich





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Gemischte Finite Elemente:Stokes- und Navier-Stokes-Gleichungen, Sattelpunktprobleme, dasclosed range theorem und inf-sub-Stabilität,Taylor-Hood-Elemente, die Darcy-Gleichungen für Strömungdurch poröse Medien, �nite element exterior calculus,discontinuous Galerkin methods

Parallele Löser für Finite Elemente:abstrakte Unterraumkorrekturverfahren, das überlappendeSchwarz-Verfahren, geometrische und algebraischeMehrgitterverfahren, nichtüberlappendeGebietszerlegungsverfahren, Konvergenztheorie derUnterraumkorrekturverfahren, Implementation und Skalierbarkeitder Methoden

Numerische Optimierung bei Di�erentialgleichungen II:Parameterschätzung mit Beschränkungen und Konvergenzanalysefür Verallgemeinerte (beschränkte) Gauÿ-Newton-Verfahren,Statistische Sensitivitätsanalyse (Vertrauensgebiete/Kon�denzgebiete, Kovarianz-Analyse),optimale Versuchsplanung(Problemformulierung, Sequentielle Versuchsplanung, NumerischeLösung mit SQP-Verfahren, e�ziente Ableitungsberechnung),Globalisierung der Konvergenz bei Newton-Verfahren für sehrnichtlineare Probleme (Abstiegsstrategien, NatürlicheNiveaufunktionen, Restriktiver Monotonie-Test (RMT) undpraktische Realisierung), Fortsetzungsmethoden (AllgemeineStrategie, Verfahren höherer Ordnung, Schrittweitensteuerung),E�ziente Ableitungsberechnung (Vorwärts- und Rückwärtsmodus,Anwendung auf gewöhnliche Di�erentialgleichungen undDiskretisierungs-Verfahren dafür)

Uncertainty Quanti�cation 2:Im Rahmen dieser Veranstaltung werden methodische Ansätzevermittelt, die die Quanti�zierung von Unsicherheiten imZusammenhang mit Di�erentialgleichungen ermöglichen. FolgendeSchwerpunkte werden u.a. behandelt:Karhunen-Loève Expansion, Kollokation bzw. hochdimensionaleQuadratur und Interpolation, Dünne Gitter, StochastischeGalerkin Diskretisierung für partielle Di�erentialgleichungen,Bayessche Formulierung inverser Probleme

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Voraussetzungen empfohlen ist: Grundmodul Numerik und Optimierung



NuetzlicheLiteratur


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Aufbaumodul Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Code Name








Lernziele Vertieftes Verständnis der grundlegenden Strukturen, Sätze undangewandten und theoretischen Methoden derWahrscheinlichkeitstheorie und/oder Statistik,Fähigkeit, theoretisch zu argumentieren, neue Aussagen mit denerlernten Methoden selbständig zu beweisen und das Potential derMethoden in praktischen Kontexten zu erkennen

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1. Fortgeschrittene Zeitreihenanalyse2. Statistik zeitstetiger Prozesse3. Angewandte Statistik

4. Lokale asymptotische Normalität und Semiparametrik:Asymptotische Entscheidungstheorie für lokal asymptotischnormale Experimente, Di�erenzierbarkeit im quadratischenMittel, Kontiguität, Semiparametrik, asymptotische E�zienz insemiparametrischen Modellen

5. Empirische Prozesse:Glivenko-Cantelli Sätze, Vapnik-Cervonenskis Theorie,Konzentrationsungleichungen für empirische Prozesse, DonskerTheoreme, Entropieabschätzungen für Funktionenklassen,Konvergenzraten in der Nichtparametrik

6. Nichtparametrische Minimaxtheorie

7. Statistik inverser Probleme:Lineare schlecht-gestellte inverse Probleme, spektraleRegularisierungsverfahren, Projektionsverfahren, linearerGalerkinansatz, nicht-parametrische Kurvenschätzung,Orakel-Optimalität, Minimax Theorie, DatengetriebeneSchätzverfahren, Gauÿ'sche inverse Regression, Dekonvolution,funktionale lineare Regression, nicht-parametrische instrumentaleRegression

8. Bayesstatistik9. Hoch-dimensionale Statistik:Hoch-dimensionale lineare Modelle, Schätzverfahren inhoch-dimensionalen linearen Modellen, insbesondersLASSO-Schätzer, Kon�denzbereiche und Testverfahren inhoch-dimensionalen linearen Modellen, Modellwahlverfahren,Kleinste Quadrate Schätzer mit Komplexitätsstraftermen,Klassi�kationsverfahren

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Voraussetzungen empfohlen ist eine Veranstaltung des Grundmoduls Statistik undWahrscheinlichkeitsrechnung



NuetzlicheLiteratur


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4 Spezialisierungsmodule

Die hier gelisteten Module führen in spezielle Aspekte eines Teilgebietes ein, die in der Regeleng an die aktuelle Forschung heranführen. Typischerweise erfordern sie aufbauende Veran-staltungen aus den Grund- und Aufbaumodulen in diesem Teilgebiet.

Pro Modul können mehrere Veranstaltungen besucht werden. Die Zuteilung von einzelnenVeranstaltungen zu einem bestimmten Modul ist an dem Modulcode erkennbar. Nachfolgendsind alle Spezialisierungsmodule mit ihren Modulcodes gelistet:





MM34 Spezialisierungsmodul Komplexe Analysis, automorphe Formen undMathematische Physik



Die Veranstaltungen in den Spezialisierungsmodulen sind keinem Turnus unterworfen, dasheiÿt, sie können regelmäÿig, unregelmäÿig oder auch nur einmalig angeboten werden.

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Spezialisierungsmodul Algebra und Arithmetik

Code Name



pro Veranstaltung:4-8 LP


Lehrformpro Veranstaltung:Vorlesung 2 SWS(4 LP), Vorlesung2 SWS+Übung 2SWS (6 LP),Vorlesung 4 SWS(6 LP), Vorlesung4 SWS + Übung 2SWS (8 LP),Hauptseminar 2SWS + Tutorium2 SWS (6 LP)

Arbeitsaufwandbei Vorlesung 2 SWS: 120 h;davon 30 h Präsenz in derVorlesung 75 h Hausaufgabenund selbständiges Nacharbeiten15 h Prüfungsvorbereitungbei Vorlesung 2 SWS + Übung 2SWS: 180 h; davon 30 h Präsenzin der Vorlesung 30 h Präsenz inÜbungen, 105 h Hausaufgabenund selbständiges Nacharbeiten15 h Prüfungsvorbereitungbei Vorlesung 4 SWS: 180h;davon 60 h Präsenz in derVorlesung 90 h Hausaufgabenund selbständiges Nacharbeiten30 h Prüfungsvorbereitungbei Vorlesung 4 SWS + Übung 2SWS: 240 h; davon 60 h Präsenzin der Vorlesung 30 h Präsenz inÜbungen 120 h Hausaufgabenund selbständiges Nacharbeiten30 h Prüfungsvorbereitungbei Hauptseminar 2 SWS +Tutorium 2 SWS: 180 h; davon30 für Präsens im Hauptseminar,150 für selbständiges Erarbeitendes Sto�es, Tutorium,Vorbereitung des Vortrags


Lernziele Umfassende Kenntnisse und Verständnis der Strukturen,Aussagen, Methoden und Beweistechniken eines aktuellenForschungsthemas der Mathematik,Fähigkeit, sich komplexe mathematische Sachverhalte selbst zuerarbeiten und zu diskutieren.

Inhalt Aktuelle Forschungsthemen aus den Arbeitsgebieten derDozierenden.

39

Voraussetzungen empfohlen sind Veranstaltung(en) aus dem Aufbaumodul Algebraund Arithmetik


Pro Veranstaltung: mündliche oder schriftliche Abschlussprüfung,mündlicher Vortrag, schriftliche Hausarbeit oder aktive underfolgreiche Teilnahme an Diskussionen während derVeranstaltung. Auch Kombinationen davon. DiePrüfungsmodalitäten werden von den Dozent(inn)en spätestensam Anfang der Veranstaltung zu Semesterbeginn bekanntgegeben.Die Leistungspunkte werden nach erfolgreicher Prüfung proVeranstaltung vergeben.

NuetzlicheLiteratur


40

Spezialisierungsmodul Angewandte Analysis und Modellierung

Code Name










41

Voraussetzungen empfohlen sind Veranstaltung(en) aus dem Aufbaumodul Analysisund Modellierung



NuetzlicheLiteratur


42

Spezialisierungsmodul Geometrie und Topologie

Code Name








Lernziele Umfassende Kenntnisse und Verständnis der Strukturen,Aussagen, Methoden und Beweistechniken der Topologie undDi�erentialgeometrie,Fähigkeit, sich komplexe mathematische Sachverhalte selbst zuerarbeiten und zu diskutieren.


43

Voraussetzungen empfohlen sind Veranstaltung(en) aus dem AufbaumodulGeometrie und Topologie



NuetzlicheLiteratur


44

Spezialisierungsmodul Komplexe Analysis, automorphe Formen und


Code Name

MM34 Spezialisierungsmodul Komplexe Analysis, automorphe Formenund Mathematische Physik








45


Voraussetzungen empfohlen sind Veranstaltung(en) aus dem AufbaumodulKomplexe Analysis, automorphe Formen und MathematischePhysik



NuetzlicheLiteratur


46

Spezialisierungsmodul Numerik und Optimierung

Code Name










47

Voraussetzungen empfohlen sind Veranstaltung(en) aus dem AufbaumodulNumerik und Optimierung



NuetzlicheLiteratur


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Spezialisierungsmodul Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Code Name








Lernziele Umfassende Kenntnisse und Verständnis der Strukturen,Aussagen, Methoden und Beweistechniken der Statistik undWahrscheinlichkeitstheorie,Fähigkeit, sich komplexe mathematische Sachverhalte selbst zuerarbeiten und zu diskutieren

Inhalt Aktuelle Forschungsthemen aus den Arbeitsgebieten derDozierenden

49

Voraussetzungen empfohlen sind Veranstaltung(en) aus dem Aufbaumodul Statistikund Wahrscheinlichkeitsrechnung



NuetzlicheLiteratur


50

5 Ergänzungsmodule

In diesem Kapitel werden Module gelistet, die nicht einem der sechs Bereiche zugeordnetwerden können. Hierbei entspricht ein Modul immer einer Veranstaltung. Diese Module kön-nen als Wahlmodule angerechnet werden.

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Berechenbarkeit und Komplexität I

Code Name

MM41 Berechenbarkeit und Komplexität I


8 LP ein Semester jedes 4. Semester

LehrformVorlesung 4 SWS+ Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240 h; davon90 h Präsenz60 h Prüfungsvorbereitung (undPrüfung)90 h Selbststudium undAufgabenbearbeitung (eventuellin Gruppen)

VerwendbarkeitM.Sc. Mathematik,M.Sc. Scienti�c Computing,M.Sc. Angewandte Informatik

Lernziele Grundkenntnisse über Berechenbarkeit und Komplexität

Inhalt Die Berechenbarkeitstheorie liefert den formalen Rahmen, dieLösbarkeit algorithmischer Probleme zu untersuchen, dieKomplexitätstheorie stellt Methoden und Konzepte zur Analysedes erforderlichen Aufwands algorithmischer Problemlösungen zurVerfügung. Ziel des Moduls ist es die Studierenden mit denzentralen Konzepten und Methoden der Berechenbarkeits- und derKomplexitätstheorie vertraut zu machen. In derBerechenbarkeitstheorie stehen Methoden zum Nachweis derUnentscheidbarkeit im Mittelpunkt, in der Komplexitätstheorieliegt der Schwerpunkt auf dem Vergleich und der strukturellenAnalyse der polynomiell beschränkten Komplexitätsklassen.Insbesondere werden das P-NP- Problem und dieNP-Vollständigkeit behandelt.

Voraussetzungen empfohlen sind Grundkenntnisse aus der Theoretischen Informatik


Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw.mündlicher Prüfung. Art und Zeitrahmen einerWiederholungsprüfung werden vom Dozenten festgelegt und zuBeginn der Vorlesung bekannt gegeben

NuetzlicheLiteratur

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Berechenbarkeit und Komplexität II

Code Name

MM42 Berechenbarkeit und Komplexität II



LehrformVorlesung 4 SWS+ Übung 2 SWS

Arbeitsaufwand240 h; davon90 h Präsenz60 h Prüfungsvorbereitung (undPrüfung)90 h Selbststudium undAufgabenbearbeitung (eventuellin Gruppen)

VerwendbarkeitM.Sc. Mathematik,M.Sc. Scienti�c Computing,M.Sc. Angewandte Informatik

Lernziele Vertiefte Kenntnisse über Berechenbarkeit und Komplexität

Inhalt In diesem Modul werden ausgewählte fortgeschrittene Themen ausdem Bereich der Berechenbarkeits- und Komplexitästheoriebehandelt.

Voraussetzungen empfohlen sind: Berechenbarkeit und Komplexität I


Lösung von Übungsaufgaben mit benoteter Klausur bzw.mündlicher Prüfung. Art und Zeitrahmen einerWiederholungsprüfung werden vom Dozenten festgelegt und zuBeginn der Vorlesung bekannt gegeben.

NuetzlicheLiteratur

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Selected Topics in the Theory of the Computably Enumerable Sets

and Degrees

Code Name

ITCESD Selected Topics in the Theory of the Computably EnumerableSets and Degrees


4 LP ein Semester unregelmäÿig

LehrformVorlesung 2 SWSmit Übung 1 SWS

Arbeitsaufwand120 h; davon45 h Präsenzstudium60 h Aufgabenbearbeitung15 h Prüfungsvorbereitung

VerwendbarkeitM.Sc. Angewandte Informatik,M.Sc. Mathematik

Lernziele Kennenlernen von zentralen Konzepten und Ergebnissen in derTheorie der aufzählbaren Mengen, sowie das Erlernen der indiesem Gebiet verwendeten Methoden (insbesonderePrioritätsargumente)

Inhalt Computably enumerable (c.e.) sets play an important role in thefoundations of mathematics, and the investigation of these setsand their degrees of unsolvability is one of the central areas incomputability theory (recursive function theory). Many of thefundamental techniques of computability theory - like the prioritymethod - have been introduced and developed in this area. In thisadvanced course we discuss some selected topics in this areaincluding some very recent results. These topics include thelow-high hierarchy, simplicity properties of c.e. sets (as simple,hyper-simple, hyper-hyper-simple and maximal and variationshereof), and the investigation of various types of multiplepermitting arguments. (The lectures are in English.)

Voraussetzungen Empfohlen werden gute Grundkenntnisse derBerechenbarkeitstheorie


Lösen von Übungsaufgaben und benotete mündliche Prüfung. Artund Zeitrahmen einer Wiederholungsprüfung werden vomDozenten festgelegt und zu Beginn der Vorlesung bekanntgegeben.

NuetzlicheLiteratur

Robert I. Soare. Turing Computability. Springer, 2016.Robert I. Soare. Recursively Enumerable Sets and Degrees.Springer, 1987.Rodney G. Downey; Denis R. Hirschfeldt. AlgorithmicRandomness and Complexity. Springer, 2010.

54

E�ziente Algorithmen 1

Code Name

IEA1 E�ziente Algorithmen 1



LehrformVorlesung 4 SWS,Übungen 2 SWS

Arbeitsaufwand240 h; davon90 h Präsenzstudium15 h Prüfungsvorbereitung135 h Selbststudium undAufgabenbearbeitung (evtl. inGruppen)

VerwendbarkeitB.Sc. Angewandte Informatik,Lehramt Informatik,M.Sc. Angewandte Informatik,M.Sc. Mathematik,M.Sc. Scienti�c Computing

Lernziele Die Studierendenverstehen die grundlegenden Konzepte der Graphentheoriekönnen Fragestellungen als kombinatorischeOptimierungsprobleme modellierenkönnen die Komplexität von Optimierungsproblemen analysierenkennen die Methoden zum Beweis der Korrektheitkombinatorischer Algorithmen und der Analyse ihrer Laufzeitkennen die grundlegenden algorithmischen Ansätzesind mit den Fragen der e�zienten Implementierung vertrauthaben Einblick in die vielfältigen Anwendungsgebiete derkombinatorischen Optimierung

Inhalt Grundbegri�e der GraphentheorieGrundlegende GraphenalgorithmenOptimale Bäume und BranchingsKürzeste WegeDas ZuordnungsproblemMaximale FlüsseMinimale Schnitte in ungerichteten GraphenFlüsse mit minimalen KostenMatchingprobleme

Voraussetzungen empfohlen sind: Einführung in die Praktische Informatik (IPI),Programmierkurs (IPK), Algorithmen und Datenstrukturen(IAD), Lineare Algebra 1


Erfolgreiche Teilnahme an den Übungen (mehr als 50% derPunkte müssen erreicht werden) und Bestehen einer schriftlichenAbschlussprüfung

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NuetzlicheLiteratur

Korte, B., Vygen, J.: Kombinatorische Optimierung, Springer,2007Cook, W.J., Cunningham, W.H., Pulleyblank, W.R., Schrijver,A.: Combinatorial Optimization, Wiley, 1997

56

E�ziente Algorithmen 2

Code Name

IEA2 E�ziente Algorithmen 2



LehrformVorlesung 4 SWS,Übungen 2 SWS

Arbeitsaufwand240 h; davon90 h Präsenzstudium15 h Prüfungsvorbereitung135 h Selbststudium undAufgabenbearbeitung (evtl. inGruppen)

VerwendbarkeitB.Sc. Angewandte Informatik,Lehramt Informatik,M.Sc. Angewandte Informatik,M.Sc. Mathematik,M.Sc. Scienti�c Computing

Lernziele Die Studierendenkönnen polynomiale und NP-schwere Optimierungsproblemeklassi�zerenkennen die gesamte Bandbreite von Lösungsansätzen fürschwierige Problemekönnen geeignete Modellierungen für Anwendungsprobleme selbsterstellensind in der Lage, geeignete Lösungsverfahren auszuwählenkönnen selbst Lösungsverfahren konzipieren und implementieren

Inhalt NP-schwere Optimirungsproblemeapproximative Algorithmen und Heuristiken (Bin-Packing,Scheduling, Knapsack, Traveling Salesman)Relaxierungen (lineare, kombinatorische, semide�nite,Lagrange-Relaxierungen)Verfahren zur Bestimmung optimaler Lösungen (dynamischeOptimierung, Branch-and-Bound, Branch-and-Cut)lineare 0/1- Optimierung (Modellierung, Schnittebenen)polyedrische Kombinatorik,Spaltengenerierung und DekompositionFallstudien (Traveling-Salesman_Problem, Max-Cut-Problem.)Es wird somit das gesamte Spektrum von Lösungsverfahren fürschwierige kombinatorische Probleme vermittelt.

Voraussetzungen empfohlen sind: Einführung in die Praktische Informatik (IPI),Programmierkurs (IPK), Algorithmen und Datenstrukturen(IAD), Lineare Algebra 1; Absolvierung des Moduls E�zienteAlgorithmen 1 (IEA1) ist nützlich, aber nicht Voraussetzung


Erfolgreiche Teilnahme an den Übungen (mehr als 50 Prozent derPunkte müssen erreicht werden) und Bestehen einer schriftlichenAbschlussprüfung

57

NuetzlicheLiteratur

Korte, B., Vygen, J.: Kombinatorische Optimierung, Springer,2007Nemhauser, G.L., Wolsey, L.A.: Integer CombinatorialOptimization, Wiley, 1988

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6 P�ichtmodule

Dieses Kapitel umfasst die P�ichtmodule Seminar, Master-Arbeit und Master-Seminar.Nach Prüfungsordnung müssen zwei Seminare, die Master-Arbeit und das Master-Seminar

absolviert werden.Für die Master-Arbeit kann die Betreuerin / der Betreuer bis zu 16 LP in spezi�schen

Veranstaltungen als Bedingung für die Betreuung machen. Das Master-Seminar wird bei derBetreuerin / dem Betreuer der Master-Arbeit abgeleistet.

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Seminar

Code Name

MS Seminar


6 LP ein Semester jedes Semester

LehrformSeminar 2 SWS +Tutorium 2 SWS,aktive und passiveTeilnahme anVorträgen

Arbeitsaufwand180 h, davon60 h Seminar und Tutorium120 h Vorbereitung inkl.Betreuung

VerwendbarkeitB.Sc. MathematikM.Sc. MathematikM.Sc. Scienti�c ComputingLehramt Mathematik (GymPO)

Lernziele Befähigung mathematische Literatur (in der Regel einanspruchsvollerer Text) zu lesen, sich selbständig mit einermathematischen Fragestellung zu beschäftigen und hierübervorzutragen.Befähigung mathematische Argumente klar und verständlicheinem kleineren Kreis von Hörern mitzuteilen.

Inhalt nach Absprache mit dem Dozenten, insbesondere ein dem Vortragvorausgehendes umfangreiches Beratungsgespräch.

Voraussetzungen empfohlene Vorkenntnisse werden vom Dozenten bekanntgegeben


ein ca. 45- bis 90-minütiger benoteter Vortrag, aktive und passiveTeilnahme an weiteren Vorträgen

NuetzlicheLiteratur

wird vom Dozenten bekanntgegeben

60

Master-Arbeit

Code Name

MMA Master-Arbeit


30 LP ein Semester

LehrformBetreutesSelbststudium 2SWS

Arbeitsaufwand900 h Bearbeitung einesindividuellen Themas(Forschungs- undEntwicklungsarbeiten) undschriftliche Ausarbeitung

VerwendbarkeitM.Sc. Mathematik

Lernziele Einsatz der erlernten Fachkenntnisse und Methoden zumselbstständigen Lösen einer komplexen Problemstellung aus derMathematik und ihren AnwendungenFähigkeit, in groÿem Umfang selbstständig eine anspruchsvollewissenschaftlichen Arbeit zu erstellen

Inhalt selbstständiges wissenschaftliches Bearbeiten einerAufgabenstellung aus der Mathematik und ihren Anwendungen

Voraussetzungen nach Prüfungsordnung mindestens 45 LP; weiterhin kann dieBetreuerin / der Betreuer bis zu 16 LP in spezi�schenVeranstaltungen zur Bedingung der Betreuung machen


regelmäÿige Tre�en mit der Betreuerin / dem Betreuer,schriftliche Ausarbeitung

NuetzlicheLiteratur

61

Master-Seminar

Code Name

MMS Master-Seminar


8 LP ein Semester

LehrformSeminar 2 SWS,aktive + passiveTeilnahme anVorträgen

Arbeitsaufwand240 h, davon30 h Seminar210 h SelbstständigeAusarbeitung des Vortrags zurMaster-Arbeit

VerwendbarkeitM.Sc. Mathematik

Lernziele Erwerb und Kommunikation komplexer mathematischerSachverhalteBefähigung, einen umfangreichen mathematischen Themenkreisklar und verständlich einem kleineren Kreis von Hörern zuvermitteln

Inhalt Vorstellung der Master-Arbeit vor dem Betreuer / der Betreuerinund anderen Master-Studierenden in Form eines Vortrags

Voraussetzungen empfohlene Vorkenntnisse werden vom Dozenten bekanntgegeben


in der Regel ein etwa 1-stündiger benoteter Vortrag

NuetzlicheLiteratur

wird vom Dozenten bekanntgegeben

62

7 Fachübergreifende Kompetenzen

Im Master Mathematik sind 6 LP im Bereich der Fachübergreifenden Kompetenzen zu er-bringen. Dazu gibt es laut Prüfungsordnung die folgenden Möglichkeiten:

Mathematisches Kolloquium, je nach Semesterzahl 2 � 6 LP

Software-Praktikum, je nach Umfang 3 � 6 LP

Industrie-Praktikum, ja nach Umfang 3 � 6 LP

Teilnahme an Ferienkursen bzw. Summer School 3 � 6 LP

Auslandssemester, je Semester 3 LP 3 � 6 LP

FÜK aus dem Angebot der Universität bis zu 6 LP

Weiterhin sind die nachfolgend gelisteten Module anrechenbar.

63

Tutorenschulung Mathematik

Code Name

MTuSchu Tutorenschulung Mathematik


2 LP FÜK ein Semester zu Beginn jedes Wintersemesters

LehrformSchulung

Arbeitsaufwand60 h; davon15 h Präsenzzeit Schulung5 h Präsenzzeit KollegialePraxisberatung40 h Abschlussre�exion

VerwendbarkeitB.Sc. Mathematik,M.Sc. Mathematik

Lernziele Die Teilnehmenden haben ihr didaktisches Handlungsrepertoire inBezug auf die Gestaltung von Lehr-Lern-Situationen erweitert,indem sie:- didaktische Grundkonzepte beschreiben und in der eigenenVeranstaltungsplanung umsetzen können- Methoden zur Aktivierung von Teilnehmenden erlebt haben undderen Bedeutung für den Lernprozess einordnen können- unterschiedliche Rollenmodelle diskutieren und sich in Bezug aufdiese verorten können- sich und andere in Unterrichtssituationen beobachten unddaraus Rückschlüsse für ihr eigenes Handeln ziehen können- sich über im Tutorium erlebte herausfordernde Situationenaustauschend beraten können.

64

Inhalt Die Schulung besteht aus folgenden Teilen:- Allgemeine Didaktik-Schulung 1 Tag- Fachdidaktik-Schulung Mathematik 1 Tag- Kollegiale Praxisberatung (1/2 Tag), während des Semesters- Didaktische Re�exion und Dokumentation (Schreiben einer ca.5-6 seitigen Abschlussre�ektion über die eigene Erfahrung)

Inhalte allgemeiner Didaktikteil:- Leitungsrolle als Tutor- Grundlagen Lehr-Lern-Konzepte- herausfordernde Situationen im Tutorium meisternaktive Lernumgebung scha�en

Inhalte Fachdidaktikteil Mathematik:- Übungszettel korrigieren- Was macht ein gutes Tutorium aus?- Umgang mit Präsenzaufgaben- Lernen an Lösungsbeispielen

Voraussetzungen Das Halten eines Tutoriums im Wintersemester wird empfohlen,da sonst die Teile Kollegiale Praxisberatung undAbschlussre�exion nicht absolviert werden können.


das Modul ist unbenotet, für die beiden Schulungsteile und dieKollegiale Praxisberatung besteht Anwesenheitsp�icht, dieAbschlussre�exion muss bestanden sein

NuetzlicheLiteratur

65

8 Anwendungsgebiete

In diesem Kapitel werden die verschiedenen Anwendungsbiete aufgelistet, dabei wird unter-schieden zwischen grundständigen und konsekutiven Anwendungsgebieten. Bei den grund-ständigen Anwendungsgebieten wird im Master ein neues Anwendungsgebiet begonnen, wäh-rend bei einem konsekutiven Anwendungsgebiet das bereits im Bachelor gewählte Gebietfortgesetzt wird.

Im Anwendungsgebiet müssen 16 LP erbracht werden.Auf Antrag des Studierenden kann das Anwendungsgebiet durch Module aus dem MasterMathematik im Umfang von 16 LP ersetzt werden.Informationen zum Anwendungsgebiet sollten schon zum Studienbeginn eingeholt werden.

Im Wintersemester 2017/18 werden die Anwendungsgebiete überarbeitet. Studierende, diebereits ihr Anwendungsfach absolvieren und bei denen durch die Aktualisierungen Schwie-rigkeiten auftreten, melden sich bitte zwecks Klärung im Prüfungssekretariat.

66

Date post:	19-Oct-2020
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